69 trang 181 lượt tải

Bài toán đa thức trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

361

Tài liệu gồm 69 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề đa thức trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7 256 tài liệu

Môn: Toán 7 2.1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lê Phương

7 tháng trước
Danh sách Quiz
/69
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/15
CĐ7: ĐA THỨC
Dạng 1: Xác định đa thức
Dạng 2: Tính giá trị của đa thức
Dạng 3: Dấu của đa thức
Dạng 4: Tìm giá trị của biến (tham số) để phép chia là phép chia hết
Dạng 5: Nghiệm của đa thức
Dạng 1. Xác định đa thức
A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Đề giao lưu HSG huyện Thanh Sơn 2022 - 2023)
Cho
32
. 4 18
f x ax x x 
và
3
4 13g x x x bx c

, trong đó a, b, c là các
hằng số. Để
f x gx
thì giá trị của số a là:
A.
3
B.
3
C.
0
D.
1
Lời giải
Chọn B
Ta có:
32
. 4 18f x ax x x 
3
44 8xa x 
3
4 13
g x x x bx c 
32
44 3x bx x c 
Để
f x gx
thì
41
a 
3
a 
Vậy
3a 
.
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Lạng Giang 2022 - 2023)
Cho đa thức
22
4 5 2 2023Ax x x x x 
và
3
5 65x x Bx Ax
. Hệ số cao
nhất của
Bx
là:
A.
2
B.
3
C.
2029
D.
5
Lời giải
Chọn D
Ta có:
3
5 65x x Bx Ax

.
3
5 65Bx x x Ax 
3 22
5 6 5 4 5 2 2023Bx x x x x x x 
3 22
5 6 5 4 5 2 2023Bx x x x x x x 
32
5 7 2029Bx x x 
Vậy hệ số cao nhất của
Bx
là
5
.
Câu 3. (HSG 7 huyện Yên Thế, tỉnh Bắc Giang 2022 - 2023)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/15
Cho đa thức
2
()
P x ax bx c

. Trong đó
,,abc
là các hằng số thỏa mãn
123
abc

( 0)a
. Tính
( 2) 3 (1) :P Pa 
.
A.
6
. B.
15
. C.
6
. D.
15
.
Lời giải
Chọn B
Vì
123
abc

nên
2
3
ba
ca
Có
2
()P x ax bx c 
nên:
242 4433P abc aaa a
;
1 236P aaa a
( 2) 3 (1) : 3 18 :P P a a aa 
( 2) 3 (1) : 15P Pa 
Câu 4. (HSG 7 huyện Sơn Động 2022 - 2023)
Cho hai đa thức:
f x ax b

;
2
() 1gx x x 
, biết
12fg
. Khi đó
ab
bằng:
A.
3
. B.
3
. C.
1
. D.
7
.
Lời giải
Chọn B
Vì
12fg
nên
2
.1 2 2 1ab 
hay
3ab
.
Câu 5. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Thu gọn biểu thức sau
22
24
12 11 . 2u uv u v 
ta được đơn thức có phần hệ số là
A.
32
. B.
56
. C.
10
. D.
32
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
22
24
12 11 . 2u uv u v 
2 22 4 2
1.12 1 .4u uv u v
2 424
12 44uv uv
42
32uv
Vậy đơn thức thu được có phần hệ số là
32
.
Câu 6. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Cho các đa thức
22
;453
x xyA y
22
;32x xy yB

22
32C
x xy y 
. Tính
C AB
A.
22
862x xy y
. B.
22
862x xy y
. C.
22
862x xy y
. D.
22
862x xy y
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
22
;453x xyA y

22
;32x xy yB

22
32C x xy y 
2 22 2 2 2
32 453 32x xy y xA xy y x xy yCB
 
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/15
2 22 22 2
3245332x xy y x xy y x xy y


22
862x xy y

Câu 7. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Nam mua 10 quyển vở, mỗi quyển giá
x
đồng và hai bút bi, mỗi chiếc giá
y
đồng. Biểu thức
biểu thị số tiền Nam phải trả là
A.
2 10
xy
. B.
10 2xy
. C.
2 10xy
. D.
10 2
xy
.
Lời giải
Chọn D
Biểu thức biểu thị số tiền Nam phải trả khi mua 10 quyển vở và 2 bút bi là:
10 2
xy
Câu 8. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Kết quả sau khi thu gọn đơn thức
22
6 .2
x y xy
là
A.
33
12xy
. B.
33
12
xy
. C.
32
12
xy
. D.
22
12
xy
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
22
6 .2x y xy
33
12xy
Câu 9. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Thu gọn đơn thức
2
1
3
3
xA xy xy


ta được kết quả là
A.
3
A xy

. B.
23
A xy
. C.
33
A xy
. D.
23
A xy
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
1
3
3
xA xy xy


3 3
xy
Câu 10. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Biểu thức đại số biểu thị diện tích hình thang có đáy lớn là
a
, đáy nhỏ là
b
, đường cao là
h
như sau
A.
a bh
. B.
a bh
. C.
2
a bh
. D.
2
a bh
.
Lời giải
Chọn D
Câu 11. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Tìm đa thức
f x ax b
. Biết
7
1
2
f
;
5
1
2
f 
A.
1
3
2
fx x
. B.
1
2
fx x
. C.
7
3
2
fx x
. D.
1
2
2
fx x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
7
1
2
f
nên
7
2
ab
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/15
5
1
2
f 
nên
5
2
ab

1
2
b

;
3a
. Khi đó ta được đa thức:
1
3
2
fx x
Câu 12. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Bậc của đa thức
32 5
79x y xy xy
là
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Chọn D
Bậc của đa thức
32 5
79x y xy xy
là
6
.
Câu 13. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Viết đơn thức
4 56
21
xyz
dưới dạng tích hai đơn thức, trong đó có một đơn thức là
22
3
xyz
A.
2 2 2 35
3 .7xyz xyz
. B.
2 2 2 34
3 .7xyz xyz
.
C.
2 2 2 35
3 . 18xyz xyz
. D.
2 2 2 35
3 .7xyz xyz
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 2 2 35
3 .7xyz xyz
4 56
21xyz
Câu 14. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Một bể đang chứa 480 lít nước, có một vòi chảy vào mỗi phút chảy được
x
lít. Cùng lúc đó
một vòi khác chảy nước từ bể ra. Mỗi phút lượng nước chảy ra bằng
1
4
lượng nước chảy vào.
Hãy biểu thị lượng nước trong bể sau khi đồng thời mở cả hai vòi trên sau
a
phút.
A.
3
480
4
ax
. B.
3
4
ax
. C.
3
480
4
ax
. D.
480 ax
.
Lời giải
Chọn A
Sau
a
phút vòi thứ nhất chảy vào bể được:
ax
(lít)
Sau
a
phút vòi thứ hai chảy ra được:
1
4
ax
(lít)
Khi đó lượng nước trong bể sau khi đồng thời mở cả hai vòi trên sau
a
phút là:
13
480 480
44
ax ax ax
(lít)
Câu 15. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Cho đa thức
2021 2022
22
2 3 .2 3 4fx x x x x 
. Sau khi thu gọn thì tổng các hệ số
của
fx
bằng
A.
1
. B.
0
. C.
1
. D.
9
.
Lời giải
Chọn B
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/15
2021 2022
22
2 3 .2 3 4fx x x x x

Ta có: tổng các hệ số của đa thức bằng giá trị của đa thức tại
1x
2021 2022
22
1 2.1 1 3 . 2.1 3.1 4f

2021 2022
0 .9 0
Vậy sau khi thu gọn thì tổng các hệ số của
fx
bằng
0
.
Câu 16. (HSG 7 huyện Tân Yên 2022 - 2023)
Bậc của đa thức
2022 2 2 3 2 2022 6
52 5 1A x x y xy x x 
là
A.
2022
. B.
6
. C.
7
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2022 2 2 3 2 2022 6
52 5 1A x x y xy x x 
223 2 6
21x y xy x
Vậy bậc của đa thức là:
2237

B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Yên Phong tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023)
Biết
fx
chia cho
3x
thì dư
7
, chia cho
2x
thì dư
5
, chia cho
3. 2xx
được
thương là
3x
và còn dư. Tìm
fx
.
Lời giải
Theo bài ta có:
3. 7f x x Ax
1
2. 5f x x Bx
2
Vì
fx
chia cho
3. 2xx
được thương là
3x
và còn dư, nên phần dư là đa thức có
bậc nhỏ hơn
2
. Đặt phần dư là:
ax b
. Khi đó ta có:

3 3 2.f x x x x ax b 
3
Các đẳng thức trên đúng với mọi
x
nên:
+ Thay
3x
vào (1) ta được:
3 3 3 . 3 7 (3) 7f Af 
(4)
+ Thay
2x
vào (2) ta được:
2 2 2 . 2 5 (2) 5f Bf 
(5)
+ Thay
3x
vào (3) ta được:

3 3.3 3 3 3 2 .3 (3) 3.f a b f ab 
(6)
+ Thay
2x
vào (3) ta được:

2 3.2 2 3 2 2 .2 (2) 2.f a b f ab 
(7)
Từ (4) và (6) ta được:
37ab
(8)
Từ (5) và (7) ta được:
25ab
(9)
Từ (8) và (9) suy ra
2; 1ab
Vậy

3 3 221f x xx x x 
hay
32
3 15 20 1fx x x x
.
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu Olympic cấp thị xã – huyện Kinh Môn 2022 - 2023)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 6/15
Cho hai đa thức
3 23
2 35
Px x x x x x

;
3 2 32
3 4 3 4 5 10Qx x x x x x

Tìm đa thức
M x Px Qx
và tìm nghiệm của đa thức
Mx
.
Lời giải
Có:
3 23
2 35Px x x x x x 
33 2
2 35
xx x xx 
32
25xx x

3 2 32
3 4 3 4 5 10
Qx x x x x x 
33 22
3 4 4 5 3 10xx xx x
32
3 10xx x
32 32
2 5 3 10M x Px Qx x x x x x x 
32 32
2 5 3 10xx x xx x 
5 15x
Cho
0Mx
5 15 0x 
3x 
Vậy nghiệm của đa thức
Mx
là
3x 
.
Câu 3. (HSG 7 Đề HSG thị xã Bỉm Sơm 2022 - 2023)
Cho hai đa thức
( ) ( 1)( 3)fx x x

và
32
() 3g x x ax bx 
. Xác định hệ số
,
ab
của
đa thức
()gx
biết nghiệm của đa thức
()
fx
cũng là nghiệm của đa thức
()gx
.
Lời giải
Cho
()( 1)( 3)0fx x x 
10x 
hoặc
30x 
1x
hoặc
3x 
Khi đó đa thức
()fx
có nghiệm là
1; 3xx 
.
Vì nghiệm của đa thức
()fx
cũng là nghiệm của đa thức
()
gx
nên:
+)
32
(1) 1 .1 .1 3 0g ab 
hay
2ab
(1)
+)
32
( 3) ( 3) .( 3) .( 3) 3 0g ab 
hay
3 10ab 
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được
3
1
a
b


Câu 4. (HSG 7 Kì thi chọn HSG cấp huyện Quế Võ 2022 - 2023)
Cho các đa thức:
42
3 3 7 29
Ax x x x 
;
24 3
23Bx x x x
;
3
22Cx x x
.
Tính
36Px Ax Bx Cx
và tìm nghiệm của
Px
.
Lời giải
4 2 24 3 3
3 3 7 29 3 2 3 6 2 2Px xxx xxx xx 
42 243 3
3 3 7 29 3 3 6 9 6 12 12xx x xxx x x
443322
3 3 6 6 3 3 7 12 29 9 12
xxxxx x xx  
5 50x
Cho
0Px
5 50 0x
5 50x
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 7/15
10x
Vậy nghiệm của đa thức
Px
là
10x
Câu 5. (HSG 7 Giao lưu HSG TP Chí Linh 2022 - 2023)
Cho hai đa thức
423 4
31
534 7 3
44
P x x x xx x

;
342 3
17
24
22
Q x x xx x 
Tìm đa thức
H
biết
2
37PH Q x x

Lời giải
2
37PH Q x x

nên
2
37H PQ x x




2
37H PQ x x 
Ta có
423 4 342 3
3 11 7
534 7 3 24
4 42 2
PQxxx xx x xxxxx









423 4 342 3
3 11 7
534 7 3 24
4 42 2
xxx xx x xxxxx 
2
23xx
22
23 37 4
Hxx xx x 
Vậy
4
Hx
Câu 6. (HSG 7 huyện Mường Lát; Đề giao lưu HSG Thanh Sơn 2022 – 2023)
Cho đa thức
2
f x ax bx c 
, xác định các hệ số
,,abc
biết:
02;f
17;f
2 14.f 
Lời giải
Ta có:
2
f x ax bx c 
Mà
02
17
2 14
f
f
f

2
7
4 2 14
c
abc
a bc


2
27
4 2 2 14
c
ab
ab


2
5
4 2 16
c
ab
ab


2
5
28
c
ab
ab


Suy ra
2 58ab ab

33 1aa  
Do đó
6b
. Vậy
1, 6, 2a bc
.
Câu 7. (HSG 7 Đề kiểm định HSG Quỳnh Phụ 2022 - 2023)
Cho đa thức:
2 3 99 100
( ) 1 ...
Fx x x x x x
và
99 98 97 96
( ) 99 99 99 99 ... 99 99
Gx x x x x x 
.
a) Tìm đa thức
()Hx
sao cho:
() () ()Fx Hx Gx
.
b) Tính giá trị của đa thức
()Hx
tại
99x
.
Lời giải
a) Vì
() () ()Fx Hx Gx H x F x G x
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 8/15
2 3 99 100 99 98 97 96
( ) 1 ... 99 99 99 99 ... 99 99Hx x x x x x x x x x x 
2 3 99 100 99 98 97 96
1 ... 99 99 99 99 ... 99 99xx x x x x x x x x
2 2 98 98 99 99 100
1 99 99 99 ... 99 99
x xx x x x x x x
 
2 98 99 100
100 100 100 ... 100 100
x x x xx 
100 99 98 2
100 100 ... 100 100 100x x x xx

b) Tại
99x
thì
100 1x
Khi đó,
100 99 98 2
( ) 1 1 ... 1 1 1Hxx xx xx xxxxx   
100 100 99 99 98 3 2 2
... 1x x x x x xxxxx

Vậy giá trị của đa thức
()
Hx
tại
99x
là
1
Câu 8. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Văn Lâm 2022 - 2023)
Cho đa thức
2
2
f x ax bx

. Xác định hệ số
,ab
biết đa thức
fx
nhận
1x 
và
2x
làm nghiệm.
Lời giải
Đa thức
2
2axf x bx 
nhận
1x 
làm nghiệm
1 0 20f ab 
hay
2ab
Đa thức
2
2
f x ax bx 
nhận
2x
làm nghiệm.
2 0 4 2 20f ab

4 2 2 20 1bb b

1.a
Vậy
1; 1ab

.
Câu 9. (HSG 7 huyện Sóc Sơn - Hà Nội 2022 - 2023)
Cho hai đa thức
2
24+ f x x ax
và
2
–5 –gx x x b
(
,
ab
là các hằng số). Hãy
tìm các hệ số
,ab
của hai đa thức trên, biết:
12fg
;
15fg
.
Lời giải
Ta có
16f a
;
2 –6gb
6 –6ab
12ab
1
Ta có
16fa 
;
5
gb
6 ab
6ab
2
Từ
1
và
2
tìm ra
3; 9 ab 
Vậy hai hệ số
,ab
cần tìm là:
3a 
;
9b 
.
Câu 10. (HSG 7 huyện Cát Tiên 2018 - 2019)
Cho hai đa thức :
f x ax b
;
2
() 1gx x x 
Hãy xác định
a
,
b
biết:
12fg
và
21fg
.
Lời giải
Ta có:
12fg
3ab
1
21fg
21ab
2
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 9/15
Từ
1
và
2
31aab 
3 13a
2
3
a

Với
2
3
a
nên
7
3
b
Vậy
27
,
33
ab
.
Câu 11. (HSG 7 huyện Hương Trà 2022 - 2023)
Cho
32
4 18
f x ax x x 
và
3
4 13g x x x bx c 
trong đó
,,abc
là các
hằng số. Xác định
,,abc
để
f x gx
.
Lời giải
Cách 1: Ta có:
32 3
4 18 4 4 8
f x ax x x a x x 
3 32
() 4 1 3 4 4 3g x x x bx c x bx x c
 
Do
f x gx
nên:
41a 
;
40b
;
38c 
Khi đó:
3a 
;
0b
;
11c
.
Cách 2: Ta có:
32 3
4 18 4 4 8f x ax x x a x x 
3 32
() 4 1 3 4 4 3g x x x bx c x bx x c  
Do
() ()f x gx
nên chọn
0;1; 1x 
ta được
32
0 0 11 4 4 8f g c g x x bx x

11 43f g ab 
(1)
1 1 43f g ab 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
0; 3.ba 
Vậy
3; 0; 11.a bc
Câu 12. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ 2021 - 2022)
Xác định đa thức bậc nhất
()fx
thỏa mãn
24fx fx
với mọi
x
và
(2022) 2022f
Lời giải
Vì
()fx
là đa thức bậc nhất, nên
() . 0f x ax b a
( 2) .( 2)fx ax b 
Ta có
( 2) ( ) .( 2) . . 2 . 2aaf x f x a x b ax b ax b ax b  
Mà
( 2) ( ) 4fx fx
với mọi
x
24 2a a 
(thỏa mãn
0a
)
() 2xfx b 
Ta có
(2022) 2022
f
2.2022 2022b 
2022 4044 2022b
 
Vậy đa thức
( ) 2 2022
fx x
Câu 13. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2021 - 2022)
Cho đa thức
M
thỏa mãn:
222 2
(19 ) 2 5M x y xy x y xy 
Tìm đa thức
M
và tính giá trị của
M
tại
2x
và
1y 
Lời giải
Ta có:
222 2
(19 ) 2 5M x y xy x y xy 
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 10/15
2 222
2 5 19M x y xy x y xy 
2 2 22 2 2
(2 19 ) (5 ) 21 6M x y x y xy xy x y xy 
Thay
2x
và
1y 
vào biểu thức
M
ta được:
22
21.2 .( 1) 6.2.( 1) 84 12 72M  
Vậy với
2x
và
1y 
thì
72
M

Câu 14. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị của
m
để đa thức sau là đa thức bậc
3
theo biến
x
:
2 4 32
25 20 4 7 – 9f x m x mx x 
Lời giải
Ta có:
2 4 32
25 20 4 7 – 9f x m x mx x 
là đa thức bậc
3
biến
x
khi:
2
25 0m 
và
20 4 0m
5
m 
và
5m 
Vậy
5 m
thì
fx
là đa thức bậc
3
biến
x
.
Câu 15. (HSG 7 huyện Chương Mỹ 2020 - 2021)
Cho hai đa thức:
532
1
() 5 3 2
2
fx x x x x

và
5 32
1
() 5 3
2
gx x x x x

.
Tính
hx f x gx

.
Lời giải
Ta có:
hx f x gx
5 3 2 5 32
11
532 53
22
x x xx x xxx

2
1x
.
Câu 16. (HSG 7 huyện Mỹ Đức 2022 - 2023)
Tìm đa thức
M
biết rằng:
2 22
52 69M x xy x xy y 
.
Lời giải
Từ
2 22
52 69M x xy x xy y 
suy ra:
2 22
69 52M x xy y x xy 
2 22 2 2
6 9 5 2 11
x xy y x xy x xy y 
.
Câu 17. (HSG 7 huyện Cửa Lò 2020 - 2021)
Cho hai đa thức:
54 2
2 2 73Ax xxxx
và
54 2
2 3 33Bx xxxx

.
Tính
M x Ax Bx
;
N x Ax Bx
.
Lời giải
Ta có:
54 2
2 2 73Ax xxxx
và
54 2
2 3 33Bx xxxx
.
Suy ra:
5 42
4 2 46M x Ax Bx x x x x 
.
2
5 10N x Ax Bx x x 
.
Câu 18. (HSG 7 huyện Yên Mỹ 2021 - 2022)
Cho hai đa thức:
5342
( ) 2 3 9 11 6Pxxxxx x
và
45 3 2
( ) 3 2 4 10 9Qx x x x x x 
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 11/15
Tính
() () ()
M x Px Qx

.
Lời giải
() () ()
M x Px Qx

5342 45 3 2
( ) 2 3 9 11 6 3 2 4 10 9Mxxxxx x xx x xx
2
() 2 2Mx x x
.
Câu 19. (HSG 7 huyện Cửa Lò 2022 - 2023)
Cho hai đa thức:
54 2
2 2 73Ax xxxx
và
54 2
2 3 33
Bx xxxx
.
Tính
M x Ax Bx
;
N x Ax Bx
.
Lời giải
Ta có:
54 2
2 2 73Ax xxxx

và
54 2
2 3 33Bx xxxx

. Suy ra:
5 42
4 2 46
M x Ax Bx x x x x 
;
N x Ax Bx
2
5 10xx
.
Câu 20. (HSG 7 huyện Tân Kỳ 2021 - 2022)
Tìm hệ số
a
trong đa thức
2
22P x x ax 
biết
2x 
là nghiệm của đa thức
Px
.
Lời giải
Vì
2x 
là nghiệm của đa thức nên
2
2 0 2.2 2. 2 0 5P aa 
.
Vậy
5a 
.
Câu 21. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2018 - 2019)
Cho đa thức
() .f x ax b
Tìm
a
,
b
biết
13f
và
20f 
.
Lời giải
Ta có
13f
.1 3ab 
3ab
3ba
20f 
20ab
23 0aa

33
a 
1a
Thay
1
a
vào
3ba

ta được
2
b
Vậy
1a
;
2b
.
Câu 22. (HSG 7 huyện Chương Mỹ 2018 - 2019)
Cho 2 đa thức
22
22f x x mx m
và
22
2 15g x mx m x 
a) Tìm
m
để
11fg
.
b) Với giá trị
m
tìm được ở câu
,a
tìm đa thức
2 () ()hx f x gx
.
c) Với đa thức
()hx
ở câu b. Tìm nghiệm của đa thức
2
39
hx x
.
Lời giải
a) Ta có
2
2
1 1 2 .( 1) 2f mm 
2
21mm
22
(1) .1 2 1 .1 5gm m 
2
23mm
Để
11fg
22
21 2 3mm mm 
1m 
.
b) Với
1m 
thì
2
21fx x x
và
2
45gx x x
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 12/15
() 2
hx f x g x

22
2. 2 1 4 5
xx xx 
2
() 7
hx x
.
c) Ta có
2
3 90hx x 
22
73 90xx 
2
4x
2x 
Câu 23. (HSG 7 huyện Thường Tín 2018 - 2019)
Cho
19 5 2018
()f x xx x x

;
2019 20 2 4 2
() 9 2gx x x x x x 
. Tính
kx f x gx
Lời giải
Ta có
kx f x gx
19 5 2018 2019 20 2 4 2
() 9 2kx xx x x x x x x x 
42
29kx x x
.
Câu 24. (HSG 7 trường THCS Nhơn Trí 2018 - 2019)
Tìm giá trị của
m
để đa thức sau là đa thức bậc
3
theo biến
x
2 4 32
25 20 4 7 9f x m x mx x 
Lời giải
2 4 32
25 20 4 7 9f x m x mx x

là đa thức bậc
3
biến
x
khi :
2
25 0
20 4 0
m
m


5
5
m
m


5m

Vậy
5m
thì
fx
là đa thức bậc
3
biến
x
.
Câu 25. (HSG 7 huyện Tân Tạo và Huyện Phú Khánh_2018-2019)
Tìm đa thức bậc hai biết
1fx fx x 
. Từ đó áp dụng tính tổng
1 2 3 ....Sn
.
Lời giải
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng:
2
0f x ax bx c a 
Ta có:
2
11 1f x ax bx c 
1
21
2
12
01
2
a
a
fx fx ax a b x
ba
b





Vậy đa thức cần tìm là
2
11
22
fx x x c 
(
c
là hằng số tùy ý)
Áp dụng:
Với
1,x
ta có:
11 0ff
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 13/15
Với
2x
, ta có:
121
ff
.................................................................
Với
xn
, ta có:
1n fn fn 
2
1
1 2 3 .... 0
22 2
nn
nn
S n fn f c c

Câu 26. (HSG 7 huyện năm 2022 - 2023)
Cho hai đa thức
5 2 4 32
1
379
4
fx x x x x x x

;
45232
1
5 23
4
gx x x x x x

Tính
f x gx
và
f x gx
Lời giải
4 32
11
( ) ( ) 12 11 2
44
f x gx x x x x 
5432
11
2276
44
f x gx x x x x x 
Câu 27. (HSG 7 huyện Hồng Ngự, tỉnh, trường THCS Hậu A 2022 - 2023)
Cho đa thức
42
1
3
2
Px x x x

. Tìm các đa thức
Qx
,
Rx
sao cho:
a)
52
21
Px Qx x x 
b)
3
Px Rx x

Lời giải
a) Ta có:
52
21Px Qx x x

52
21Qx Px x x 
42 5 2
1
3 21
2
x x xx x 
542
1
2
xxxx
Vậy
542
1
2
Qx xxxx
b)
3
Px Rx x
3
Rx Px x

42 3
1
3
2
x x xx 
43 2
1
3
2
xx xx 
Vậy
43 2
1
3
2
Rxxx xx 
Câu 28. (HSG 7 huyện Thạch Thành 2017 - 2018)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 14/15
1) Tìm đa thức
A
biết:
22 2
34 78A xy y x xy y 
2) Cho hàm số
() 2y f x ax 
có đồ thị đi qua điểm
2
1;Aa a a
a) Tìm
a
b) Với
a
vừa tìm được, tìm giá trị của
x
thỏa mãn
2 1 12fx f x
Lời giải
1)
22 2
34 78A xy y x xy y 
22 2
78 34A x xy y xy y
22
44
A x xy y
2)
a) Vì đồ thị hàm số
() 2y f x ax 
đi qua điểm
2
1;Aa a a
nên:
2
12a a aa 
22
2a aa a 
22 1
aa 
b) Với
1 () 2a y fx x

ta có:
2 1 12fx f x
2 1 2 12 2xx 
1
2
x
Câu 29. (Đề thi HSG 7 năm học 2017 - 2018)
Cho 2 đa thức:
22
() 2
P x x mx m
;
22
() 2 1Qx x m x m

Tìm
m
biết
11PQ
Lời giải
2 22
1 1 2 .1 2 1P mmm m
22
1 12 1 2Q m mm m 
Để
11PQ
22
21 2mm mm 
1
41
4
mm  
Vậy
1
4
m 
thì thỏa mãn
11PQ
.
Câu 30. (HSG 7 huyện Khoái Châu 2014 - 2015)
Xác định đa thức
()Px
có bậc
2
với hệ số cao nhất bằng
1
và nhận hai số
0
;
3
làm nghiệm.
Lời giải
Vì đa thức
()Px
có bậc
2
với hệ số cao nhất bằng
1
nên
2
()P x x ax b
(trong đó
a
,
b
là các hệ số)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 15/15
Có
0
là một nghiệm của đa thức
()Px
, nên
00Pb
Có
3
là một nghiệm của đa thức
()Px
, nên:
3 93 0 0 3P aa 
Vậy đa thức
2
() 3
Px x x

là đa thức cần tìm.
Câu 31. (HSG 7 huyện Bình Lục 2022 - 2023)
Tìm đa thức
2
()P x ax bx c 
biết
( 1) 1P

;
(0) 1P
;
(1) 3P
với
x
là biến số vả
a
,
b
,
c
là các hệ số.
Lời giải
Theo đề bài, ta có:
( 1) 1 1
(0) 1 1
(1) 3 3
P abc
Pc
P abc
 


Kết hợp lại, tìm được
0, 2, 1abc
Vậy đa thức cần tìm là
() 2 1Px x
Câu 32. (HSG 7 huyện, tỉnh, trường Hùng Thư năm 2017 - 2018)
Cho hai đa thức:
2 22
5 63 7 1A xy x x y y 
;
222
5 13 3 6 5B x xy y x y
Tính
;AB
AB
Lời giải:
22 2
18 9 10 11 6
A B xy x y y x 
22 2
834 4
A B xy x y y x

Câu 33. (HSG 7 huyện Cự Khê, 2016- 2017)
Cho các đa thức :
43 2
() 3 4 2 1Px x x x x 
;
42
() 2 2
Qx x x x
a) Tính
() ()
Px Qx
b) Tìm đa thức
()Hx
biết
4
() 2 2Qx H x x 
c) Tìm nghiệm của đa thức
()Hx
Lời giải
a)
43 2
() () 3 3 1Px Qx x x x x 
b) Ta có:
4
() 2 2Qx H x x 
4 42 4 2
() () 2 2 2 2 2 2HxQx x xxx x xx  
c) Xét
() 0Hx
2
10
Hx x x x x
0x
hoặc
1x
Vậy đa thức
()Hx
có nghiệm là
0x
;
1x
.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/37
CĐ7: ĐA THỨC
Dạng 1: Xác định đa thức
Dạng 2: Tính giá trị của đa thức
Dạng 3: Dấu của đa thức
Dạng 4: Tìm giá trị của biến (tham số) để phép chia là phép chia hết
Dạng 5: Nghiệm của đa thức
Dạng 2. Tính giá trị của đa thức
A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Đề giao lưu HSG huyện Thanh Sơn 2022 - 2023)
Cho
0xy
. Giá trị của đa thức
3 22
3 22 4D xy x y x y x y 
là:
A.
0
B.
3
C.
4
D.
5
Lời giải
Chọn C
Ta có
3 22
3 22 4D xy x y x y x y 
2
32 4xyx y xyx y  
Thay
0
xy
vào đa thức
D
ta được:
2
3 .0 2 .0 4
D xy x y

004 4
Vậy giá trị của đa thức
4D
khi
0xy
.
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Lạng Giang 2022 - 2023)
Cho đa thức
()fx
thỏa mãn:
( ) . ( ) 2023f x xf x x

với mọi giá trị của
x
. Kết quả của
( 4)f
là:
A.
10117
17
B.
10127
17
C.
10117
17
D.
10127
17
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) . ( ) 2023f x xf x x 
(1)
+ Thay
4x
vào (1) ta được:
(4) 4. ( 4) 4 2023ff

(4) 4. ( 4) 2027
ff 
4 (4) 16. ( 4) 8108ff
(2)
+ Thay
4x 
vào (1) ta được:
( 4) 4. (4) 4 2023ff 
( 4) 4. (4) 2019ff 
4. (4) ( 4) 2019ff
(3)
Từ (2), (3)
4 (4) 16. ( 4) 4. (4) ( 4) 8108 2019f f ff 
17. ( 4) 10127f 
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/37
10127
( 4)
17
f 
Câu 3. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021)
Cho đa thức
109 87
–101 101 –101 –101 101fx x x x x x

. Giá trị của
100
f
là:
A.
1
. B.
1
. C.
100
. D.
101
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Ta có:
109 87
–101 101 –101 –101 101fx x x x x x

10 9 9 8 8 3 3 2 2
100 100 ... 100 100 100 101x x x x x x x x x xx   
1099887322
100 100 100 ... 100 100 101x xxxxxxxxxx 
987 2
100 100 100 ... 100 100 101xx xx xx xx xx x  
987 2
100 ... 101x xx x x xx 
Với
100
x
ta có:
21 20 2
100 100 100 100 100 ... 100 100 100 101f 
21 20 2
0. 100 100 ... 100 100 100 101 
0 100 101 1
Vậy
1fx
với
100x
.
Cách 2:
Với
100x
1 101x

109 87
–101 101 –101 –101 101
fx x x x x x 
109 87
–1 1–1 –1 1fxx xxxxxx xxx  
10 10 9 9 8 8 7 2
– ––1fxxx xxxxx xxx 
1fx
Vậy
1fx
với
100
x
.
Câu 4. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021)
Cho đa thức
()Px
thỏa mãn:
2
1
3
fx f x
x



. Giá trị của
2(f
) là:
A.
13
24
. B.
13
24
. C.
23
34
. D.
13
32
.
Lời giải
Chọn D
Với
2x
ta có:
2
1
2 3 2 41
2
ff



Với
1
2
x
ta có:
2
1 11
32 2
2 24
ff
 







 
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/37
Từ
1
và
2
ta có:
2
2
1
23 2 4
2
1 11
32
2 24
ff
ff



 







 
Suy ra
13
2
32
f
Câu 5. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021)
Cho
0
32 2 2
234
2 2 13 15
216
C x y xy x y yx xy



biết
– 0. xy
Giá trị các biểu thức sau
C
bằng:
A.
1
B.
1
C.
2
D.
0
Lời giải
Chọn A
Ta có:
0
32
234
2 13 15
216
C xy xyxy xyyx

 

32
2 13 15 1C xy xyxy xyxy  
32
2 13 15 1C x y x y xy
Thay
– 0xy
vào
C
ta được:
32
0. 2 13 15 1 0 1 1C x y xy  
Vậy
1C
với
– 0xy
.
Câu 6. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022)
Tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức
2021 2022
22
8 3 10 . 8 10Px x x x x 
là
A.
4043
10
. B.
1
. C.
2021
. D.
2022
.
Lời giải
Chọn B
Tổng các hệ số của đa thức
Px
là
1P
.
Ta có:
2021 2022
22
1 8.1 3.1 10 . 8.1 1 10P 
2022
2021
1.1
1.1
1
.
Do đó tổng các hệ số của đa thức
Px
nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức
2021 2022
22
8 3 10 . 8 10
Px x x x x 
là
1
.
Câu 7. (HSG 7 huyện Thanh Sơn 2021 - 2022)
Cho
0
xy
. Giá trị của đa thức
3 22
3 22 4D xy x y x y x y 
là
A.
0
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/37
Ta có:
3 22
3 22 4
D xy x y x y x y

2
3 2 44xyx y xyx y  
(vì
0xy

).
Vậy
4D
khi
0xy
.
Câu 8. (HSG 7 huyện Thanh Sơn 2021 - 2022)
Cho
32
4 18f x ax x x 
và
3
4 13g x x x bx c 
, trong đó
,,abc
là các
hằng số. Để
f x gx
thì giá trị của số
a
là
A.
3
. B.
3
. C.
0
. D.
1
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
3 2 33 3
4 18 4 48 4 48fxaxxx axxx axx 
.
3 32
4 1 3 44 3
g x x x bx c x bx x c  
.
Để
f x gx
thì
41a 
. Suy ra:
3a 
.
Câu 9. (HSG 7 trường THCS Đào Duy Từ 2018 - 2019)
Cho hàm số
y fx
xác định với mọi
1.
x
Biết
1. 1fn n fn
và
1 1.f
Giá
trị của
4
f
là:
A. 3 B. 5 C. 6 D. 1
Lời giải
Chọn C
Ta có
4 41 41ff
4 33ff
3 31 31ff
3 22
ff

2 21 21ff

21ff
Do đó
46f
.
Câu 10. (HSG 7 huyện Sơn Động 2022 - 2023)
Giá trị biểu thức:
2 2 2 2 22
7 – 5 11 –10 15 4
2023 A x y xy x y xy xy x y
tại
1
x
,
0,5y

là:
A.
0
. B.
1
. C.
2023
. D.
2023
.
Lời giải
Chọn C
Thay
1x
vào biểu thức
A
, ta được:
2 2 2 2 22
7 – 5 11 –10 15 4 2023 A x y xy x y xy xy x y
2 22
7 – 5 11 –10 15 4 2023
yy y y y y
222
7 11 4 5 10 15 2023y yy y y y 
2023
.
Vậy giá trị của biểu thức
A
tại
1, 0, 5 xy 
là
2023
.
Câu 11. (HSG 7 huyện Lâm Thao 2022 - 2023)
Cho biết
3
2 30xx 
. Giá trị của biểu thức
42
5 10 15 1Px x x x
là.
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/37
A.
0Px
. B.
1Px
. C.
5Px
. D.
6
Px
.
Lời giải
Chọn B
Ta có :
42 3
5 10 15 1 5 2 3 1 0 1 1Px x x x xx x   
Câu 12. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023)
Cho
2023 2022 2021 2
( ) 2023 2023 2023 2023 1Px x x x x x

. Tính
(2024)P
.
A.
2023
. B.
2023
. C.
2024
. D.
2025
.
Lời giải
Chọn D
2023 2022 2021 2
( ) 2023 2023 2023 2023 1
Px x x x x x

2023 2022 2021 2
( ) 2023 2023 2023 2023 1Px x x x x x 
2023 2022 2
( ) 2023 1Px x x x x 
Đặt
2022 2
Ax x x 
2023 23
.xA x x x 
2 320 3 2 2022 2
.xA A x x x x x x  
2023
1Ax x
x

2023
1
x
x
x
A
Do đó
2023
2023
( ) 2023. 1
1
P
xx
xx
x

2023
2023
2024 2024
(2024) 2024 2023. 1
2024 1
P
(2024) 2024 1 2025P

.
Câu 13. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023)
Cho
,xy
thỏa mãn
4 2022
( 2) ( 1) 0
xy 
thì giá trị
22
19 4x y xy
bằng
A.
80
. B.
84
. C.
83
. D.
85
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
4 2022
( 2) ( 1) 00,
xy
nên
,xy
thỏa mãn
4 2022
( 2) ( 1) 0xy 
khi
4
( 02)x
và
2022
( 1) 0y
2x
và
1y
Khi đó
22
19.4.1 4.2.1 8419 4x y xy 
Câu 14. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023)
Giá trị của biểu thức
222
Qa b c

biết
2, 6ab bc
và
3ac
là:
A.
10
. B.
6
. C.
10
. D.
6
.
Lời giải

Tài liệu khác của Toán 7

Preview text:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 CĐ7: ĐA THỨC
Dạng 1: Xác định đa thức
Dạng 2: Tính giá trị của đa thức
Dạng 3: Dấu của đa thức
Dạng 4: Tìm giá trị của biến (tham số) để phép chia là phép chia hết
Dạng 5: Nghiệm của đa thức
Dạng 1. Xác định đa thức A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Đề giao lưu HSG huyện Thanh Sơn 2022 - 2023) Cho f x 3
a x x 2 . 4 x  
1 8 và gx 3
x  4xbx  
1 c3, trong đó a, b, c là các
hằng số. Để f x gx thì giá trị của số a là: A. 3 B. 3 C. 0 D. 1 Lời giải Chọn B
Ta có: f x 3
a x x 2 . 4 x   1 8 3 3  .
a x  4x  4x 8 3
x a  4 4x 8 gx 3
x  4xbx   1 c3 3 2
x  4bx  4x c3
Để f x gx thì a  4 1  a  3 Vậy a  3.
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Lạng Giang 2022 - 2023)
Cho đa thức Ax 2 2
 4x5x x2x  2023 và  3
5x65x Bx Ax. Hệ số cao
nhất của Bx là: A. 2 B. 3 C. 2029 D. 5 Lời giải Chọn D Ta có:  3
5x65x Bx Ax.
Bx 3
5x65x  Ax
Bx 3
x  x  2 2 5 6 5
4x5x x2x   2023  Bx 3 2 2
 5x65x 4x 5x x  2x 2023  Bx 3 2
 5x  7x 2029
Vậy hệ số cao nhất của Bx là 5.
Câu 3. (HSG 7 huyện Yên Thế, tỉnh Bắc Giang 2022 - 2023)
Trang 1/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Cho đa thức 2 P(x) a b c
ax bx c . Trong đó a,b,c là các hằng số thỏa mãn   1 2 3
(a  0) . Tính P(2)3 P(1): a . A. 6. B. 15. C. 6 . D. 15. Lời giải Chọn B b   2a Vì a b c   nên  1 2 3 c    3a  Có 2
P(x)  ax bx c nên:
P2 4a2b c  4a4a 3a  3a ; P 
1  a  2a 3a  6a
P(2)3 P(1): a 3a18a: a
P(2)3 P(1): a  15
Câu 4. (HSG 7 huyện Sơn Động 2022 - 2023)
Cho hai đa thức: f x ax b ; 2
g(x)  x x 1, biết f  
1  g2. Khi đó a b bằng: A. 3. B. 3. C. 1. D. 7 . Lời giải Chọn B Vì f   1  g2 nên 2
a .1b  2 21 hay a b  3 .
Câu 5. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023) Thu gọn biểu thức sau 2
u uv2  4 12
11u  .2v2 ta được đơn thức có phần hệ số là A. 32. B. 56. C. 10. D. 32. Lời giải Chọn D Ta có: 2
u uv2  4 12
11u  .2v2 2 2 2 4 2
 12u .u v 11u .4v 4 2 4 2
 12u v  44u v 4 2  32u v
Vậy đơn thức thu được có phần hệ số là 32.
Câu 6. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023) Cho các đa thức 2 2
A  4x 5xy 3y ; 2 2
B  3x  2xy y ; 2 2
C  x 3xy  2y . Tính
C AB A. 2 2
8x 6xy  2y . B. 2 2
8x  6xy 2y . C. 2 2
8x 6xy 2y . D. 2 2
8x 6xy  2y . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2
A  4x 5xy 3y ; 2 2
B  3x  2xy y ; 2 2
C  x 3xy  2y 2 2
C AB  x xy y  2 2
x xy y  2 2 3 2 4 5 3
3x  2xy y
Trang 2/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 2 2 2 2 2
 x 3xy  2y 4x 5xy 3y 3x 2xy y 2 2
 8x  6xy 2y
Câu 7. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Nam mua 10 quyển vở, mỗi quyển giá x đồng và hai bút bi, mỗi chiếc giá y đồng. Biểu thức
biểu thị số tiền Nam phải trả là
A. 2x10y .
B. 10x2y .
C. 2x 10y .
D. 10x  2y . Lời giải Chọn D
Biểu thức biểu thị số tiền Nam phải trả khi mua 10 quyển vở và 2 bút bi là: 10x  2y
Câu 8. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Kết quả sau khi thu gọn đơn thức 2 x y  2 6 . 2xy  là A. 3 3 12x y . B. 3 3 12x y . C. 2 3 12x y . D. 2 2 12x y . Lời giải Chọn A Ta có: 2 x y  2 6 . 2xy  3 3  12x y
Câu 9. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)   Thu gọn đơn thức 1 A    xy   2
3xy x ta được kết quả là  3  A. 3
A  xy . B. 2 3
A  x y . C. 3 3
A  x y . D. 2 3 A x y . Lời giải Chọn C   Ta có: 1 A    xy 3 3   2
3xy x x y  3 
Câu 10. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Biểu thức đại số biểu thị diện tích hình thang có đáy lớn là a , đáy nhỏ là b , đường cao là h như sau
abh
a bh
A.a bh .
B.abh. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn D
Câu 11. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Tìm đa thức f x ax b . Biết f   7 1  ; f   5 1   2 2
A. f x 1  3x  .
B. f x 1  x  .
C. f x 7  3x  .
D. f x 1  2x  . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: f   7 1  nên 7 a b  2 2
Trang 3/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 f   5 1   nên 5 a  b   2 2 1
b  ; a  3. Khi đó ta được đa thức: f x 1  3x  2 2
Câu 12. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023) Bậc của đa thức 3 2 5
x y xy 7xy 9 là A. 2 . B. 3. C. 5. D. 6 . Lời giải Chọn D Bậc của đa thức 3 2 5
x y xy 7xy 9 là 6 .
Câu 13. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023) Viết đơn thức 4 5 6
21x y z dưới dạng tích hai đơn thức, trong đó có một đơn thức là 2 2 3x y z A.  2 2 x y z  2 3 5 3 . 7x y z . B.  2 2 x y z  2 3 4 3 . 7x y z . C.  2 2 x y z  2 3 5 3
. 18x y z . D.  2 2 x y z  2 3 5 3 . 7x y z . Lời giải Chọn A Ta có:  2 2 x y z  2 3 5 3 . 7x y z  4 5 6  21x y z
Câu 14. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Một bể đang chứa 480 lít nước, có một vòi chảy vào mỗi phút chảy được x lít. Cùng lúc đó
một vòi khác chảy nước từ bể ra. Mỗi phút lượng nước chảy ra bằng 1 lượng nước chảy vào. 4
Hãy biểu thị lượng nước trong bể sau khi đồng thời mở cả hai vòi trên sau a phút. A. 3 480 ax .
B. 3 ax . C. 3 480 ax . D. 480 ax . 4 4 4 Lời giải Chọn A
Sau a phút vòi thứ nhất chảy vào bể được: ax (lít)
Sau a phút vòi thứ hai chảy ra được: 1 ax (lít) 4
Khi đó lượng nước trong bể sau khi đồng thời mở cả hai vòi trên sau a phút là: 1 3
480 axax  480 ax (lít) 4 4
Câu 15. (HSG 7 huyện Việt Yên 2022 - 2023)
Cho đa thức f x x x 2021  x x 2022 2 2 2 3 . 2 3 4
. Sau khi thu gọn thì tổng các hệ số
của f x bằng A. 1. B. 0 . C. 1. D. 9. Lời giải Chọn B
Trang 4/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
f x x x 2021  x x 2022 2 2 2 3 . 2 3 4
Ta có: tổng các hệ số của đa thức bằng giá trị của đa thức tại x 1 f     2021    2022 2 2 1 2.1 1 3 . 2.1 3.1 4 2021 2022  0 .9  0
Vậy sau khi thu gọn thì tổng các hệ số của f x bằng 0 .
Câu 16. (HSG 7 huyện Tân Yên 2022 - 2023) Bậc của đa thức 2022 2 2 3 2 2022 6 A  5x
2 x y xy 5xx 1 là A. 2022 . B. 6 . C. 7 . D. 4 . Lời giải Chọn C Ta có: 2022 2 2 3 2 2022 6 A  5x
2 x y xy 5xx 1 2 2 3 2 6
 2 x y xy x 1
Vậy bậc của đa thức là: 2 23  7 B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Yên Phong tỉnh Bắc Ninh 2022 - 2023)
Biết f x chia cho x3 thì dư 7 , chia cho x2 thì dư 5, chia cho x 
3 .x2 được
thương là 3x và còn dư. Tìm f x. Lời giải Theo bài ta có:
f xx 
3 .Ax7   1
f xx2.Bx5 2
Vì f x chia cho x 
3 .x2 được thương là 3x và còn dư, nên phần dư là đa thức có
bậc nhỏ hơn 2 . Đặt phần dư là: a x b . Khi đó ta có:
f x 3xx  3 x2 . a x b   3
Các đẳng thức trên đúng với mọi x nên:
+ Thay x  3 vào (1) ta được: f   3 3  3 .A 
3 7 f (3)  7 (4)
+ Thay x  2 vào (2) ta được: f 222.B25  f (2)  5 (5)
+ Thay x  3 vào (3) ta được: f   3  3.33  3 32 .3
a b f (3)  3.a b (6)
+ Thay x  2 vào (3) ta được:
f 2 3.22  3 22 .2
a b f (2)  2.a b (7)
Từ (4) và (6) ta được: 3a b  7 (8)
Từ (5) và (7) ta được: 2a b  5 (9)
Từ (8) và (9) suy ra a  2;b 1
Vậy f x 3xx 
3 x2 2x 1 hay f x 3 2
 3x 15x  20x 1.
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu Olympic cấp thị xã – huyện Kinh Môn 2022 - 2023)
Trang 5/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Cho hai đa thức Px 3 2 3
 2x x x x 3x 5; Qx 3 2 3 2
 3x  4x 3x4x 5x 10
Tìm đa thức M x PxQx và tìm nghiệm của đa thức M x. Lời giải Có: Px 3 2 3
 2x x x x 3x 5   3 3 x x  2 2
x x3x5 3 2
x x  2x 5 Qx 3 2 3 2
 3x  4x 3x4x 5x 10   3 3
x x  2 2 3 4
4x 5x 3x10 3 2
 x x 3x 10
M x PxQx 3 2
x x x   3 2 2 5
x x 3x   10 3 2 3 2
x x  2x 5 x x 3x 10  5x 15
Cho M x 0  5x 15  0  x  3
Vậy nghiệm của đa thức M x là x  3.
Câu 3. (HSG 7 Đề HSG thị xã Bỉm Sơm 2022 - 2023)
Cho hai đa thức f (x)  (x1)(x 3) và 3 2
g(x)  x ax bx3 . Xác định hệ số a,b của
đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) . Lời giải
Cho f (x)  (x1)(x 3)  0
x1 0 hoặc x 3  0
x 1 hoặc x  3
Khi đó đa thức f (x) có nghiệm là x 1; x  3.
Vì nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên: +) 3 2 g(1) 1  .1 a  .1
b 3  0 hay a  b  2 (1) +) 3 2
g(3)  (3)  . a (3)  .
b (3)3  0 hay 3a b  10 (2) a  3
Kết hợp (1) và (2) ta được  b    1 
Câu 4. (HSG 7 Kì thi chọn HSG cấp huyện Quế Võ 2022 - 2023) Cho các đa thức: Ax 4 2
 3x 3x  7x  29 ; Bx 2 4 3
x x  2x 3 ; Cx 3
x  2x2 .
Tính Px Ax3Bx6Cx và tìm nghiệm của Px. Lời giải Px 4 2
x x x    2 4 3
x x x    3 3 3 7 29 3 2
3 6 x  2x  2 4 2 2 4 3 3
 3x 3x  7x  293x 3x  6x 96x 12x 12 4 4 3 3 2 2
 3x 3x 6x  6x 3x 3x  7x12x  29912  5x 50
Cho Px 0  5x 50  0 5x  50
Trang 6/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 x 10
Vậy nghiệm của đa thức Px là x 10
Câu 5. (HSG 7 Giao lưu HSG TP Chí Linh 2022 - 2023) Cho hai đa thức 4 2 3 3 4 1 P 1 7
 5x 3x  4x x7x x 3; 3 4 2 3
Q x 2x  4x x x 4 4 2 2
Tìm đa thức H biết PH Q 2 x 3x7 Lời giải
PH Q 2
x 3x7 nên H P Q  2 x 3x 7         
H PQ  2 x 3x7     Ta có 4 2 3 3 4 1 1     3 4 2 7 3 P Q 5
x 3x  4x x7x x 3 
  x 2x  4x x x   4 4  2 2  4 2 3 3 4 1 1 3 4 2 7 3
 5x 3x  4x x7x x 3 x  2x 4x xx 4 4 2 2 2
 x 2x 3 2 2
H  x 2x 3 x 3x7  x4
Vậy H x4
Câu 6. (HSG 7 huyện Mường Lát; Đề giao lưu HSG Thanh Sơn 2022 – 2023) Cho đa thức   2
f x ax bx c , xác định các hệ số a,b,c biết: f 0 2; f   1  7; f 2 14. Lời giải Ta có:   2
f x ax bx c  f 0 2  c   2   Mà    f   1  7
 a bc  7    f   2   14
4a 2b c  14   c   2    c   2 c   2       
a b  2  7 
 a b  5
 a b  5   
4a 2b  2  14   
4a 2b  16 
2a b  8 
Suy ra a b  2ab  5 
8  3a  3  a  1
Do đó b  6 . Vậy a  1, b  6, c  2 .
Câu 7. (HSG 7 Đề kiểm định HSG Quỳnh Phụ 2022 - 2023) Cho đa thức: 2 3 99 100
F(x) 1 x x x ... x x và 99 98 97 96
G(x)  99x 99x 99x 99x ...99x99 .
a) Tìm đa thức H (x) sao cho: F(x) H (x)  G(x) .
b) Tính giá trị của đa thức H (x) tại x  99. Lời giải
a) Vì F(x) H (x)  G(x)  H x F xGx
Trang 7/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 H x  2 3 99 100
x x x   x x  99 98 97 96 ( ) 1 ...
99x 99x 99x 99x ...99x  99 2 3 99 100 99 98 97 96
1 x x x ... x x 99x 99x 99x 99x ...99x 99
   xx 2 2 98 98 99 99 100 1 99
99  x 99x ... x 99x  x 99x x       2 98 99 100
100100x 100x ...100x 100x x 100 99 98 2
x 100x 100x ...100x 100x 100
b) Tại x  99 thì 100  x 1 Khi đó, 100
H x x x   99
x x   98
x  x   2 ( ) 1 1 ...
1 x x  
1 x x   1 100 100 99 99 98 3 2 2
x x x x x ... x x x x x 1
Vậy giá trị của đa thức H (x) tại x  99 là 1
Câu 8. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Văn Lâm 2022 - 2023)
Cho đa thức f x 2
ax bx2 . Xác định hệ số a,b biết đa thức f x nhận x  1 và x  2 làm nghiệm. Lời giải
Đa thức f x 2
 ax bx2 nhận x  1 làm nghiệm  f  
1  0  ab2  0 hay a b  2
Đa thức f x 2
ax bx2 nhận x  2 làm nghiệm.
f 2 0  4a  2b2  0
 4b  2 2b2  0  b  1  a 1.
Vậy a 1; b  1.
Câu 9. (HSG 7 huyện Sóc Sơn - Hà Nội 2022 - 2023)
Cho hai đa thức f x 2
 2x + ax  4 và gx 2
x – 5x – b ( a,b là các hằng số). Hãy
tìm các hệ số a,b của hai đa thức trên, biết: f  
1  g2; f   1  g  5 . Lời giải Ta có f  
1  a 6 ; g2 b
 – 6  a  6  b
 – 6  a b  12   1 Ta có f   1  a   6 ; g  5  b   a   6  b
  ab  6 2 Từ  
1 và 2 tìm ra a  3; b  9
Vậy hai hệ số a,b cần tìm là: a  3; b  9 .
Câu 10. (HSG 7 huyện Cát Tiên 2018 - 2019)
Cho hai đa thức : f x ax b ; 2
g(x)  x x 1
Hãy xác định a , b biết: f  
1  g2 và f 2 g  1 . Lời giải Ta có: f  
1  g2  a b  3   1
f 2 g 
1  2a b 1 2
Trang 8/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ   1 và 2 2
 3a a b 1  3a 13  a  3 Với 2 a  nên 7 b  3 3 Vậy 2 7 a  ,b  . 3 3
Câu 11. (HSG 7 huyện Hương Trà 2022 - 2023) Cho f x 3
ax x 2 4 x  
1 8 và gx 3
x 4xbx  
1 c3 trong đó a,b,c là các
hằng số. Xác định a,b,c để f x gx. Lời giải
Cách 1: Ta có: f x 3
ax x 2
x   a  3 4 1 8 4 x 4x 8 3
g x x xbx   3 2 ( ) 4
1 c3  x 4bx 4x c3
Do f x gx nên: a  4 1; 4b  0 ; c3  8
Khi đó: a  3; b  0 ; c 11.
Cách 2: Ta có: f x 3
ax x 2
x   a  3 4 1 8 4 x 4x 8 3
g x x xbx   3 2 ( ) 4
1 c3  x 4bx 4x c3
Do f (x)  g(x) nên chọn x  0;1;1ta được
f   g  c   gx 3 2 0 0 11
x 4bx 4x 8 f   1  g 
1  a  4b  3 (1) f   1  g  1  a   4b  3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra b  0; a  3. Vậy a  3; b  0; c 11.
Câu 12. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ 2021 - 2022)
Xác định đa thức bậc nhất f (x) thỏa mãn f x  2 f x 4 với mọi x và f (2022)  2022 Lời giải
Vì f (x) là đa thức bậc nhất, nên f (x)  .
a x b a  0  f (x  2)  .(
a x  2) b
Ta có f (x  2) f (x)  .(
a x  2) b . a x b .
a x  2a b . a xb  2a
Mà f (x  2) f (x) 4 với mọi x  2a  4  a  2 (thỏa mãn a  0 ) f (x) 2x b
Ta có f (2022) 2022  2.2022b  2022  b  20224044  2022
Vậy đa thức f (x) 2x2022
Câu 13. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2021 - 2022)
Cho đa thức M thỏa mãn: 2 2 2 2
M (19x y xy )  2x y 5xy
Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x  2 và y  1 Lời giải Ta có: 2 2 2 2
M (19x y xy )  2x y 5xy
Trang 9/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2 2 2 2
M  2x y 5xy 19x y xy 2 2 2 2 2 2
M  (2x y 19x y) (5xy xy )  21x y 6xy
Thay x  2 và y  1 vào biểu thức M ta được: 2 2
M  21.2 .(1) 6.2.(1)  8412  72
Vậy với x  2 và y  1 thì M  72
Câu 14. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x :
f x 2 m   4
x   m 3 2 25
20 4 x 7x – 9 Lời giải
Ta có: f x 2 m   4
x   m 3 2 25
20 4 x 7x – 9 là đa thức bậc 3 biến x khi: 2
m 25  0 và 20 4m  0
m   5 và m  5
Vậy m  5 thì f x là đa thức bậc 3 biến x .
Câu 15. (HSG 7 huyện Chương Mỹ 2020 - 2021) Cho hai đa thức: 5 3 2 1
f (x)  5x 3x  2x x  và 5 3 2 1
g(x)  5x 3x x x  . 2 2
Tính hx f x gx. Lời giải Ta có: hx 1 1
f x gx 5 3 2 5 3 2
 5x 3x  2x x  5x 3x x x  2  x 1. 2 2
Câu 16. (HSG 7 huyện Mỹ Đức 2022 - 2023)
Tìm đa thức M biết rằng: M  2 x xy 2 2 5 2
 6x 9xy y . Lời giải Từ M  2 x xy 2 2 5 2
 6x 9xy y suy ra: 2 2
M x xy y  2 6 9 5x 2xy 2 2 2 2 2
 6x 9xy y 5x  2xy x 11xy y .
Câu 17. (HSG 7 huyện Cửa Lò 2020 - 2021)
Cho hai đa thức: Ax 5 4 2
 2x x 2x 7x3 và Bx 5 4 2
 2x x 3x 3x3 .
Tính M x Ax Bx; N x Ax Bx. Lời giải Ta có: Ax 5 4 2
 2x x 2x 7x3 và Bx 5 4 2
 2x x 3x 3x3 .
Suy ra: M x Ax Bx 5 4 2
 4x  2x x 4x6 .
N x Ax Bx 2
 5x 10x .
Câu 18. (HSG 7 huyện Yên Mỹ 2021 - 2022) Cho hai đa thức: 5 3 4 2
P(x)  x 2x 3x 9x 11x6 và 4 5
Q x x x   3 x   2 ( ) 3 2
4 10x 9x .
Trang 10/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Tính M (x)  P(x)Q(x) . Lời giải
M (x)  P(x)Q(x) M x  5 3 4 2
x x x x x  4 5
x x   3 x   2 ( ) 2 3 9 11 6 3 2
4 10x 9x 2
M (x)  x  2x  2 .
Câu 19. (HSG 7 huyện Cửa Lò 2022 - 2023)
Cho hai đa thức: Ax 5 4 2
 2x x 2x 7x3 và Bx 5 4 2
 2x x 3x 3x3 .
Tính M x Ax Bx; N x Ax Bx. Lời giải Ta có: Ax 5 4 2
 2x x 2x 7x3 và Bx 5 4 2
 2x x 3x 3x3 . Suy ra:
M x Ax Bx 5 4 2
 4x  2x x 4x6 ;
N x Ax Bx 2 5x 10x .
Câu 20. (HSG 7 huyện Tân Kỳ 2021 - 2022)
Tìm hệ số a trong đa thức Px 2
 2x ax  2 biết x  2 là nghiệm của đa thức Px . Lời giải
Vì x  2 là nghiệm của đa thức nên P  2
2  0  2.2  2.a  2  0  a  5 . Vậy a  5.
Câu 21. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2018 - 2019)
Cho đa thức f (x)  ax  .
b Tìm a , b biết f  
1  3 và f 2 0 . Lời giải Ta có f   1  3  .1
a b  3  a b  3  b  3a
f 2 0  2a b  0  2a 3a  0  3a  3  a 1
Thay a 1 vào b  3a ta được b  2
Vậy a 1; b  2.
Câu 22. (HSG 7 huyện Chương Mỹ 2018 - 2019)
Cho 2 đa thức f x 2 2
x  2mx m 2 và gx 2 2
m x  2m  1 x 5
a) Tìm m để f   1  g  1 .
b) Với giá trị m tìm được ở câu a, tìm đa thức hx 2 f (x) g(x) .
c) Với đa thức h(x) ở câu b. Tìm nghiệm của đa thức hx 2 3x 9 . Lời giải
a) Ta có f   2 2 1 1  2 .
m (1)  m 2 2  m 2m1 2 2
g(1)  m .1  2m  1 .15 2
m  2m 3 Để f   1  g  1 2 2
m 2m1 m  2m 3  m  1.
b) Với m  1 thì f x 2
x 2x1 và gx 2
x 4x 5
Trang 11/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
h(x)  2 f x gx   2
x x  2 2. 2 1 x 4x   5 2
h(x)  x 7 .
c) Ta có hx 2 3x 9  0 2 2
x 7 3x 9  0 2  x  4  x  2
Câu 23. (HSG 7 huyện Thường Tín 2018 - 2019) Cho f x x 19 5 2018 ( )
x x x ; 2019 20 2 g x x
x   x  4 2 ( ) 9 x x   2 . Tính
kx f x gxLời giải
Ta có kx f x gxk x x 19 5 2018
x x x  2019 20 2  x
x   x  4 2 ( ) 9 x x   2 k x 4 2
x  2x 9 .
Câu 24. (HSG 7 trường THCS Nhơn Trí 2018 - 2019)
Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x
f x 2 m   4
x   m 3 2 25
20 4 x 7x 9 Lời giải
f x 2 m   4
x   m 3 2 25
20 4 x 7x 9 là đa thức bậc 3 biến x khi :  2 m 25   0 m  5     m  5   20  4m  0  m    5 
Vậy m  5 thì f x là đa thức bậc 3 biến x .
Câu 25. (HSG 7 huyện Tân Tạo và Huyện Phú Khánh_2018-2019)
Tìm đa thức bậc hai biết f x f x 
1  x . Từ đó áp dụng tính tổng S 1 23.... n . Lời giải
Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f x 2
ax bx ca  0
Ta có: f x  ax 2 1
1 bx  1 c  1 2 1 a a  
f x f x    2
1  2axa b x    ba   0    1  b    2
Vậy đa thức cần tìm là f x 1 2 1
x x c ( c là hằng số tùy ý) 2 2 Áp dụng:
Với x 1, ta có: 1 f   1  f 0
Trang 12/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Với x  2 , ta có: 1 f 2 f   1
.................................................................
Với x n , ta có: n f n f n  1 2 n n nn   1
S 1 2 3.... n f n f 0
  cc  2 2 2
Câu 26. (HSG 7 huyện năm 2022 - 2023) Cho hai đa thức f x 5 2 4 3 2 1
x 3x  7x 9x x x ; 4 gx 4 5 2 3 2 1
 5x x x 2x 3x  4
Tính f x gx và f x gxLời giải 4 3 2 1 1
f (x)  g(x) 12x 11x  2x x 4 4
f x gx 5 4 3 2 1 1
 2x  2x 7x 6x x 4 4
Câu 27. (HSG 7 huyện Hồng Ngự, tỉnh, trường THCS Hậu A 2022 - 2023)
Cho đa thức Px 4 2 1
x 3x   x . Tìm các đa thức Qx, Rx sao cho: 2
a) PxQx 5 2
x 2x 1 b)     3 P x R x x Lời giải
a) Ta có: PxQx 5 2
x 2x 1
Qx Px 5 2 x 2x   1 4 2 1 5 2
x 3x   xx  2x 1 2 5 4 2 1
 x x x x 2 Vậy Qx 5 4 2 1
 x x x x 2 b)     3 P x R x x      3 R x P x x 4 2 1 3
x 3x   xx 2 4 3 2 1
x x 3x x  2 Vậy Rx 4 3 2 1
x x 3x x  2
Câu 28. (HSG 7 huyện Thạch Thành 2017 - 2018)
Trang 13/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
1) Tìm đa thức A biết: A 2 xy y  2 2 3 4
x 7xy 8y
2) Cho hàm số y f (x)  ax  2 có đồ thị đi qua điểm A 2
a1;a a a) Tìm a
b) Với a vừa tìm được, tìm giá trị của x thỏa mãn f 2x 
1  f 12xLời giải 1) A 2 xy y  2 2 3 4
x 7xy 8y 2 2
A x xy y  2 7 8 3xy4y  2 2
A x 4xy  4y 2)
a) Vì đồ thị hàm số y f (x)  ax  2 đi qua điểm A 2
a1;a a nên: 2
a a aa  1  2 2 2
a a a a  2
 2a  2  a 1
b) Với a 1 y f (x)  x  2
ta có: f 2x 
1  f 12x  2x 
1  2 12x 2 1  x  2
Câu 29. (Đề thi HSG 7 năm học 2017 - 2018) Cho 2 đa thức: 2 2
P(x)  x  2mx m ; 2
Q x x  m   2 ( ) 2 1 x m
Tìm m biết P  1  Q  1 Lời giải P  2 2 2 1 1  2 .1
m m m  2m 1 Q  2 2
1 12m1 m m 2m Để P  1  Q  1 2 2
m  2m 1 m 2m 1
 4m  1 m   4 Vậy 1
m   thì thỏa mãn P  1  Q  1 . 4
Câu 30. (HSG 7 huyện Khoái Châu 2014 - 2015)
Xác định đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0 ; 3 làm nghiệm. Lời giải
Vì đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 nên 2
P(x)  x ax b (trong đó a , b là các hệ số)
Trang 14/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Có 0 là một nghiệm của đa thức P(x) , nên P0 b  0
Có 3 là một nghiệm của đa thức P(x), nên: P 
3  93a 0  0  a  3 Vậy đa thức 2
P(x)  x 3x là đa thức cần tìm.
Câu 31. (HSG 7 huyện Bình Lục 2022 - 2023) Tìm đa thức 2
P(x)  ax bx c biết P(1)  1; P(0) 1; P(1)  3 với x là biến số vả
a , b , c là các hệ số. Lời giải Theo đề bài, ta có:
P(1)  1 ab c  1
P(0) 1 c 1
P(1)  3  a b c  3
Kết hợp lại, tìm được a  0, b  2, c 1
Vậy đa thức cần tìm là P(x)  2x 1
Câu 32. (HSG 7 huyện, tỉnh, trường Hùng Thư năm 2017 - 2018) Cho hai đa thức: 2 2 2
A  5xy 6x3x y 7y 1; 2 2 2
B  5x 13xy 3y 6x y 5 Tính A ; B AB Lời giải: 2 2 2
AB 18xy 9x y 10y 11x 6 2 2 2
AB  8xy 3x y  4y x4
Câu 33. (HSG 7 huyện Cự Khê, 2016- 2017) Cho các đa thức : 4 3 2
P(x)  3x x  4x  2x 1; 4 2
Q(x)  2x x x2
a) Tính P(x) Q(x)
b) Tìm đa thức H (x) biết Q x H x 4 ( )  2x 2
c) Tìm nghiệm của đa thức H (x) Lời giải a) 4 3 2
P(x) Q(x)  x x 3x 3x1
b) Ta có: Q x H x 4 ( )  2x 2 4 4 2 4 2
H (x)  Q(x)  2x  2  2x x x2 2x  2  x x
c) Xét H (x)  0 H x 2
 x x x1 x 0  x  0 hoặc x 1
Vậy đa thức H (x) có nghiệm là x  0 ; x 1.
Trang 15/15
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 CĐ7: ĐA THỨC
Dạng 1: Xác định đa thức
Dạng 2: Tính giá trị của đa thức
Dạng 3: Dấu của đa thức
Dạng 4: Tìm giá trị của biến (tham số) để phép chia là phép chia hết
Dạng 5: Nghiệm của đa thức
Dạng 2. Tính giá trị của đa thức A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Đề giao lưu HSG huyện Thanh Sơn 2022 - 2023)
Cho x y  0 . Giá trị của đa thức D xyx y 3 2 2 3
 2x y  2x y  4 là: A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 Lời giải Chọn C
Ta có D xyx y 3 2 2 3
 2x y  2x y  4  xyx y 2 3
 2x yx y 4
Thay x y  0 vào đa thức D ta được: 2 D  3x .0 y  2x .0
y  4  00 4  4
Vậy giá trị của đa thức D  4 khi x y  0 .
Câu 2. (HSG 7 Đề giao lưu HSG Lạng Giang 2022 - 2023)
Cho đa thức f (x) thỏa mãn: f (x)  .x f (x)  x  2023 với mọi giá trị của x . Kết quả của f (4) là: A. 10117 B. 10127 C. 10117 D. 10127 17 17 17 17 Lời giải Chọn D
Ta có: f (x)  .x f (x)  x  2023 (1)
+ Thay x  4 vào (1) ta được:
f (4)  4. f (4)  4 2023
f (4)  4. f (4)  2027
 4 f (4) 16. f (4)  8108 (2)
+ Thay x  4 vào (1) ta được:
f (4)4. f (4)  4 2023
f (4)4. f (4)  2019
 4. f (4)  f (4)  2019 (3)
Từ (2), (3) 4 f (4)16. f (4)4. f (4) f (4) 8108 2019
17. f (4) 10127
Trang 1/37
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 10127  f (4)  17
Câu 3. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021)
Cho đa thức f x 10 9 8 7
x –101x 101x –101x –101x 101. Giá trị của f 100 là: A. 1 . B. 1 . C. 100 . D. 101. Lời giải Chọn B Cách 1:
Ta có: f x 10 9 8 7
x –101x 101x –101x –101x 101 10 9 9 8 8 3 3 2 2
x 100x x 100x x ...100x x 100x x 100xx 101   10 9 x x  9 8 x x  8 7 x x   3 2 x x  2 100 100 100 ... 100
x 100x x101 9  x x  8  x x  7  x x  2 100 100
100 ... x x100 xx100 x 101  x  9 8 7 2
100 x x x ... x x x101 Với x 100 ta có: f     21 20 2 100
100 100 100 100 ...100   100 100101   21 20 2 0. 100 100 ...100   100 100101  0100 1011
Vậy f x1 với x 100. Cách 2:
Với x 100  x 1101 f x 10 9 8 7
x –101x 101x –101x –101x 101 f x 10  xx   9
x x   8 x x   7 – 1 1 –
1 x –x  
1 x x   1 f x 10 10 9 9 8 8 7 2
x – x x x x – x x – x x x 1 f x1
Vậy f x1 với x 100.
Câu 4. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021)  
Cho đa thức P(x) thỏa mãn: f x 1    2 3 f   x
. Giá trị của f (2) là:  x A. 13 . B. 13 . C. 23 . D. 13 . 24 24 34 32 Lời giải Chọn D   Với x 1
 2 ta có: f 2   2
3 f   2  4   1  2 2     Với 1 x 1 1 1  ta có: f  
 3 f 2        2 2 2 2 4
Trang 2/37
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ   1 và 2ta có:     f 2 1    2 3 f   2  4  2   2  1    f  
   f   1 1 3 2           2 2 4 Suy ra f   13 2  32
Câu 5. (HSG 7 huyện Lục Nam 2020 - 2021) 0   Cho 3 2
C xy x y xy  2 2
y xx y 234 2 2 13 15    biết x – y  0. 216
Giá trị các biểu thức sau C bằng: A. 1 B. 1 C. 2 D. 0 Lời giải Chọn A 0  
Ta có: C  xy 3 2
x y xy xyy x 234 2 13 15    216
C  xy 3 2 2
13x y xy15xyxy1
C xy 3 2
213x y 15xy1
Thay x – y  0 vào C ta được: C   3 2
0. 213x y 15xy1 011
Vậy C 1 với x – y  0 .
Câu 6. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021 - 2022)
Tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức
Px x x 2021  x x 2022 2 2 8 3 10 . 8 10 là A. 4043 10 . B. 1. C. 2021. D. 2022 . Lời giải Chọn B
Tổng các hệ số của đa thức Px là P  1 . Ta có: P    2021    2022 2 2 1 8.1 3.1 10 . 8.1 1 10 2021 1 . 2022 1 1.1 1.
Do đó tổng các hệ số của đa thức Px nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức
Px x x 2021  x x 2022 2 2 8 3 10 . 8 10 là 1.
Câu 7. (HSG 7 huyện Thanh Sơn 2021 - 2022)
Cho x y  0 . Giá trị của đa thức D xyx y 3 2 2 3
 2x y  2x y  4 là A. 0 . B. 3. C. 4 . D. 5. Lời giải Chọn C
Trang 3/37
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Ta có: D xyx y 3 2 2 3
 2x y  2x y  4
xyx y 2 3
 2x yx y 4  4 (vì x y  0 ).
Vậy D  4 khi x y  0 .
Câu 8. (HSG 7 huyện Thanh Sơn 2021 - 2022) Cho f x 3
ax x 2 4 x  
1 8 và gx 3
x  4xbx  
1 c3, trong đó a, b, c là các
hằng số. Để f x gx thì giá trị của số a là A. 3. B. 3. C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B
Ta có: f x 3
ax x 2 x   3 3
  ax x x   a   3 4 1 8 4 4 8
4 x  4x 8. gx 3
x xbx   3 2 4
1 c3  x  4bx  4x c3 .
Để f x gx thì a  4 1. Suy ra: a  3.
Câu 9. (HSG 7 trường THCS Đào Duy Từ 2018 - 2019)
Cho hàm số y f x xác định với mọi x 1.Biết f nn 
1 . f n  1 và f   1 1.Giá
trị của f 4 là: A. 3 B. 5 C. 6 D. 1 Lời giải Chọn C
Ta có f 44  1 f 4 
1  f 4 3 f   3 f   3 3  1 f 3  1  f   3  2 f 2 f 22  1 f 2 
1  f 2 f   1
Do đó f 4 6.
Câu 10. (HSG 7 huyện Sơn Động 2022 - 2023) Giá trị biểu thức: 2 2 2 2 2 2
A  7x y – 5 xy 11x y –10xy 15xy  4x y  2023 tại x 1, y  0,5 là: A. 0 . B. 1. C. 2023. D. 2023. Lời giải Chọn C
Thay x 1 vào biểu thức A , ta được: 2 2 2 2 2 2
A  7x y – 5 xy 11x y –10xy 15xy  4x y  2023 2 2 2
 7 y – 5 y 11y –10y 15y  4y 2023
  y y y 2 2 2 7 11 4
5y 10y 15y 2023 2023.
Vậy giá trị của biểu thức A tại x 1, y  0,5 là 2023.
Câu 11. (HSG 7 huyện Lâm Thao 2022 - 2023) Cho biết 3
x 2x 3  0 . Giá trị của biểu thức Px 4 2
 5x 10x 15x 1 là.
Trang 4/37
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
A. Px 0 .
B. Px1.
C. Px 5 .
D. Px 6 . Lời giải Chọn B Ta có : 4 2 3
Px 5x 10x 15x 1 5xx 2x   3 1 011
Câu 12. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023) Cho 2023 2022 2021 2
P(x)  x 2023x 2023x
2023x 2023x 1. Tính P(2024) . A. 2023. B. 2023. C. 2024 . D. 2025 . Lời giải Chọn D 2023 2022 2021 2
P(x)  x 2023x 2023x
2023x 2023x 1 2023 P x x  2022 2021 2 ( ) 2023x  2023x
 2023x  2023x1 2023 P x x   2022 2 ( ) 2023 x
 x x1 Đặt 2022 2 A x
 x x 2023 3 2  . x A x
 x x 2 20 3 3 2       2022 2 .xA A x x x x
 x x  Ax  2023 1  xx 2023 x xA   x1 2023 Do đó 2023
P(x)  x 2023. xx 1 x1 2023 2023 2024 2024  P(2024)  2024 2023. 1 20241
P(2024)  2024 1 2025 .
Câu 13. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023)
Cho x, y thỏa mãn 4 2022
(x2) (y 1)  0 thì giá trị 2 2
19x y  4xy bằng A. 80 . B. 84 . C. 83 . D. 85 . Lời giải Chọn B Ta có 4 2022
(x2)  0 , (y 1)
 0 nên x, y thỏa mãn 4 2022
(x2) (y 1)  0 khi 4 (x2)  0 và 2022 (y 1)  0
x  2 và y 1 Khi đó 2 2
19x y  4xy 19.4.1 4.2.1 84
Câu 14. (HSG 7 huyện Tam Nông 2022 - 2023)
Giá trị của biểu thức 2 2 2
Q a b c biết ab  2,bc  6 và ac  3 là: A. 10. B. 6. C. 10. D. 6 . Lời giải
Trang 5/37

Tài liệu liên quan: