Bài toán dạng toàn phương - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội

Bài toán dạng toàn phương - Đại số tuyến tính | Đại học Sư Phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống

47 24 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính( MATH 231A)

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

4 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Dạng toàn phương
1. Khái niệm dạng toàn phương:
Định nghĩa: D là m àm b ạng toàn phương n biến ột h ậc hai dạng:
với các hệ số là các s à các bi là các bi ố thực v ến ến thực.
Nếu ta ký hiệu:
chú ý A là ma tr ận đối xứng.
Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau:
Ma tr à ma trận A được gọi l ận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng
toàn phương có dạng ma trận đối xứng.
ví dụ 1: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, f(x) là d àn ạng to
phương. Ma trận A có dạng:
Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g(x) là
dạng toàn phươn ến. Ma trận A cg 3 bi của dạng toàn phương có dạng:
1.2 Dạng toàn phương
1.2 Dạng toàn phương chính tắc:
Một dạng toàn phương chính tắc l ạng toàn phương mà trong biểu thức à d
xác định không chứa các tích mà ch ình ph ỉ chứa các số hạng b ương
Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma ận chéo.tr
Ví dụ: là 1 d ạng toàn phương chính tắc.
2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
2.1 Phương pháp ận trực giao: ma tr
Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận
của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo th ĩa l ẽ chuyển ì có ngh à ta s
được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.
Mặt khác, A là ma tr ên ta có A luôn có n giá tr êng th à ận đối xứng n ị ri ực, v
các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó,
nếu P l ận trực giao chéo hóa ma trận A v ạng chéo của A thà ma tr à D là d ì ta
có: (trong đó ậy có thể chuyển A về dạng chéo ). V
, ngh à chuy ĩa l ển dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Định lý:
Cho dạng toàn phương , với A l ận vuông đối xứng cấp n à ma tr
với các giá trị riêng và P là ma tr àm chéo hóa A: ận trực giao l
Khi đó, bằng cách đổi biến ta đưa dạng toàn phương về dạng chính
tắc sau:
Chứng minh:
Thật vậy ta đặt :
Ta có:
Rõ ràng
Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thực
hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.
Ví dụ: Cho d ạng toàn phương
Ma trận của dạng toàn phương là:
Giải phương tr đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riình êng
là nghiệm kép.
Với Vectơ riêng ứng với GTR l ệm cũa hệ phương trà nghi ình:
Hay ta có h ình: ệ phương tr
Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lập
tuyến tính là:
Trực chuẩn hóa Gram ệ này ta được hệ trực chuẩn:– Schmidt h
Với Vectơ riêng ứng ới GTR l ệm cũa hệ phương tr v à nghi ình:
Hay ta có h ình: ệ phương tr
Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độc lập
tuyến tính là: . Rõ ràng,
Chuẩn hóa vectơ ta có:
Vậy dạng toàn phương chính tắc là:
Và ma tr ận P có dạng:
Và công thức đổi biến là:
Hay:
Theo PVT
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Dạng toàn phương
1. Khái niệm dạng toàn phương:
Định nghĩa: Dạng toàn phương n biến
là một hàm bậc hai dạng: với các hệ số
là các số thực và các biến là các biến thực. Nếu ta ký hiệu:
chú ý A là ma trận đối xứng.
Khi đó, ta có thể viết dạng toàn phương ở dạng ma trận sau:
Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của dạng
toàn phương có dạng ma trận đối xứng.
ví dụ 1: Cho hàm bậc hai
. Rõ ràng, f(x) là dạng toàn
phương. Ma trận A có dạng:
Ví dụ 2: Cho hàm bậc hai . Rõ ràng, g(x) là
dạng toàn phương 3 biến. Ma trận A ccủa dạng toàn phương có dạng:
1.2 Dạng toàn phương
1.2 Dạng toàn phương chính tắc:
Một dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương mà trong biểu thức
xác định không chứa các tích
mà chỉ chứa các số hạng bình phương
Nghĩa là: ma trận của dạng toàn phương là 1 ma trận chéo. Ví dụ:
là 1 dạng toàn phương chính tắc.
2. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:
2.1 Phương pháp ma trận trực giao:
Từ định nghĩa của dạng toàn phương chính tắc, ta thấy nếu chuyển ma trận
của dạng toàn phương về dạng ma trận chéo thì có nghĩa là ta sẽ chuyển
được dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc.
Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên ta có A luôn có n giá trị riêng thực, và
các VTR ứng với các giá trị riêng khác nhau đều trực giao với nhau. Khi đó,
nếu P là ma trận trực giao chéo hóa ma trận A và D là dạng chéo của A thì ta có: (trong đó
). Vậy có thể chuyển A về dạng chéo
, nghĩa là chuyển dạng toàn phương về dạng chính tắc. Định lý: Cho dạng toàn phương
, với A là ma trận vuông đối xứng cấp n với các giá trị riêng
và P là ma trận trực giao làm chéo hóa A:
Khi đó, bằng cách đổi biến
ta đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc sau: Chứng minh: Thật vậy ta đặt : Ta có: Rõ ràng
Vậy ta chỉ cần chéo hóa trực giao ma trận A của dạng toàn phương và thực
hiện phép đổi biến, ta sẽ đưa về dạng toàn phương chính tắc.
Ví dụ: Cho dạng toàn phương
Ma trận của dạng toàn phương là:
Giải phương trình đặc trưng của ma trận A, ta có ma trận A có 2 giá trị riêng là nghiệm kép. Với
Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
Hay ta có hệ phương trình: Từ đó : VTR có dạng: và ta có 2 VTR độc lập tuyến tính là:
Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ này ta được hệ trực chuẩn: Với
Vectơ riêng ứng với GTR là nghiệm cũa hệ phương trình:
Hay ta có hệ phương trình:
Giải hệ này ta được VTR có dạng: và ta có 1 VTR độc lập tuyến tính là: . Rõ ràng, Chuẩn hóa vectơ ta có:
Vậy dạng toàn phương chính tắc là: Và ma trận P có dạng:
Và công thức đổi biến là: Hay: Theo PVT