Bài toán lũy thừa số tự nhiên trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7

Tài liệu Bài toán lũy thừa số tự nhiên trong các đề thi học sinh giỏi Toán 7, gồm 28 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề lũy thừa số tự nhiên trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 7 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết. Mời bạn đọc đón xem!

38 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 7

Môn: Toán 7

Thông tin:

28 trang 2 tuần trước

Tác giả:

Profile Lê Phương
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 1/28
CĐ3: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN
Dạng 1: So sánh hai lũy thừa
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy
thừa với nhau)
Dạng 3: Một số bài toán khác
Dạng 1. So sánh hai lũy thừa
A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021-2022)
Cho hai số
333
2a
=
và
222
3b =
. Khẳng định nào đúng
A.
ab
=
B.
ab>
C.
ab
<
D.
32ab=
Lời giải
Chọn A
Ta có :
333
2a
=
3.111
2=
( )
111
3
2=
111
8
=
2.111
3=
( )
111
2
3=
111
9
=
Vì
111 111
89<
nên
ab
<
.
B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Mường La 2021 - 2022)
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần
100
2;
75
3;
50
5
Lời giải
Ta có
100 25
2 16=
;
75 25
3 27=
;
50 25
5 25=
Mà:
0 16 25 27<<<
25 25 25
16 25 27⇒<<
Vậy:
100 50 75
2 53<<
Câu 2. (HSG 7 huyện Văn Lâm, tỉnh Hưng Yên 2022 - 2023)
Chứng tỏ rằng:
27 63 28
525
<<
.
Lời giải
Ta có:
63 7 9 9
2 (2 ) 128= =
27 3 9 9
5 (5 ) 125= =
63 27
25⇒>
( )
1
Lại có:
63 9 7 7
2 (2 ) 512= =
28 4 7 7
5 (5 ) 625= =
63 28
25⇒<
(
)
2
Từ
( )
1
và
( )
2
27 63 28
525⇒<<
.
Câu 3. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2018 - 2019)
So sánh:
333
222
và
222
333
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 2/28
Ta có:
(
)
111
333 3
222 222
=
;
(
)
111
222 2
333 333
=
( )
3
3 3 22
222 2.111 8.111 8.111.111 888.111
= = = =
(
)
2
22
333 3.111 9.111= =
Vì
22
888 9 888.111 9.111
>⇒ >
32
222 333⇒>
( ) ( )
111 111
32
222 333⇒>
333 222
222 333
⇒>
Vậy
333 222
222 333
>
Câu 4. (HSG 7 huyện, trường 2022 - 2023)
So sánh hai số:
30
3
và
20
5
Lời giải
( )
10
30 3 10
3 3 27 ;
= =
(
)
10
20 2 10 10
5 5 25 27= = <
30 20
35⇒>
Câu 5. (HSG 7 huyện, 2017 - 2018)
So sánh:
20
16
và
100
2
Lời giải
Biến đổi
20 4.20 80
16 2 2
= =
Có
80 100
22<
20 100
16 2⇒<
Câu 6. (HSG 7 huyện)
So sánh hai A và B, biết:
21
3;A =
31
2B =
Lời giải
(
)
10
21 2 10
3 3. 3 3.9A
= = =
( )
10
31 3 10
2 2. 2 2.8B
= = =
Vì
10 10
3.9 2.8>
nên
AB>
Câu 7. (HSG 7 huyện)
So sánh hai số:
( )
39
5−
và
( )
91
2−
Lời giải
( )
( )
13
39
39 3 13
5 5 5 125− =−=− =−
( )
( )
13
91
91 7 13
2 2 2 128− =−=− =−
Ta thấy:
13 13
125 128<
13 13
125 128⇒− >−
( ) ( )
39 91
52⇒− >−
Câu 8. (HSG 7 trường Hồng Thái, Sơn Dương 2017 - 2018)
So sánh hai số
50
3
và
20
5
.
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 3/28
Ta có :
(
)
(
)
10
3
30 10
3 3 27 ;= =
( )
10
20 2 10 10
5 5 25 27= = <
30 20
35
⇒>
Câu 9. (HSG 7 trường Lê Văn Tám 2017 - 2018; trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016)
So sánh hợp lý:
a)
200
1
16



và
1000
1
2



b)
(
)
27
32
−
và
( )
39
18−
Lời giải
a) Ta có:
200 4.200 800 1000
1 1 11
16 2 2 2
  
= = >
  
  
b) Ta có:
(
)
27
27 5 135 156 4.39 39 39
32 2 2 2 2 16 18
= =<= <<
27 39
32 18⇒− >−
(
)
( )
27 39
32 18
⇒− >−
Câu 10. (HSG 7 trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016)
Biết
x ∈
và
0 1.x<<
Chứng minh
<
n
xx
với
,∈n
2≥n
.
Lời giải
Xét
( )
1
1
−
−= −
nn
x x xx
Với
01<<x
1
1 0;
−
⇒ −<
n
x
0>x
0⇒ −<
n
xx
⇒<
n
xx
Vậy
<
n
xx
với
,
∈n
2≥n
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)
A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Phòng GD&ĐT Thanh Thủy 2022 - 2023)
Cho biểu thức
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
...
33 3 3 3 3
N =−+−++ −
. Khẳng định đúng là
A.
3
16
N <
. B.
3
16
N >
. C.
33
16 4
N<<
. D.
3
4
N >
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
...
33 3 3 3 3
N =−+−++ −
2 3 98 99
2 3 4 99 100
3 1 ...
33 3 3 3
N
⇒ =−+ − ++ −
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 4/28
2 3 98 99 100 2 3 98 99
1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1
4 1 ... 1 ...
33 3 3 3 3 33 3 3 3
N⇒ =−+ − ++ − − <−+ − ++ −
( )
1
Đặt
2 3 98 99
11 1 1 1
1 ...
33 3 3 3
M
=−+ − ++ −
2 97 98 2 97 98
11 1 1 11 1 1
3 3 1 ... 2 ...
33 3 3 33 3 3
M⇒ =−+− ++ − =+− ++ −
99
1
43 3
3
M
=−<
3
4
M⇒<
( )
2
Từ
( )
1
và
(
)
2
⇒
3
4
4
NM<<
3
16
N⇒<
Câu 2. (HSG 7 Đề khảo sát lần 3 2022 - 2023)
Cho biểu thức
( )
2020
2a
= −
;
( )
2021
3. 2b =−−
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A.
ab>
. B.
ab
<
. C.
ab<−
. D.
ab
−>
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
2020
2
a = −
2020
2=
( )
2021
3. 2b =−−
( )
( )
2020
3.2.2=−− −
2020 2020
6.2 2= >
Do đó:
ab<
.
B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Quảng Trạch 2021 - 2022)
Chứng minh rằng với
,n ∈
3n
≥
ta có:
333 3
111 1 1
... .
345 12
A
n
= + + ++ <
Lời giải
Với
,n
∈
3n ≥
ta có:
333 3
111 1
...
345
A
n
= + + ++
333 3
222 2
2
345
⇒ = + + +⋅⋅⋅+A
n
Ta có:
3
2 2 11
3 2.3.4 2.3 3.4
<=−
3
2 2 11
4 3.4.5 3.4 4.5
<=−
3
2 2 11
5 4.5.6 4.5 5.6
<=−
........
3
2 2 11
( 1). ( 1) ( 1). .( 1)n nnn nnnn
<=−
−+ − +
333 3
222 2111111 1 1
2
3 4 5 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6 ( 1). ( 1)
⇒ = + + +⋅⋅⋅+ < − + − + − +⋅⋅⋅+ −
−+
A
n n n nn
11
2
2.3 ( 1)
⇒<−
+
A
nn
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 5/28
11
12 2 ( 1)
A
nn
⇒< −
+
1
12
A⇒<
Vậy
333 3
111 1 1
...
345 12
A
n
= + + ++ <
(với
,n ∈
3n ≥
).
Câu 2. (HSG 7 huyện Ninh Giang (Đợt 1), tỉnh Hải Dương 2022 - 2023)
Chứng minh rằng:
2 3 4 2022
1 2 3 4 2022 3
....
33 3 3 3 4
A =+++++ <
.
Lời giải
Ta có
2 3 4 2022 2 3 4 2021
1 2 3 4 2022 2 3 4 5 2022
3 3 .... 1 ....
3333 3 3333 3
A

= +++++ =++++++


2 3 4 2021 2 3 4 2022
2 3 4 5 2022 1 2 3 4 2022
3 1 .... ....
3333 3 3333 3
AA

−=++++++ −+++++


2 3 4 2021 2022
1 1 1 1 1 2022
3 1 ....
33 3 3 3 3
AA

−=++++++ −


Đặt
2 3 4 2021
1111 1
....
33 3 3 3
B =+++++
2 3 4 2020
1111 1
3 1 ....
33 3 3 3
B
=++++++
2 3 4 2020 2 3 4 2021
1111 1 1111 1
3 1 .... ....
33 3 3 3 33 3 3 3
BB

−=++++++ −+++++


2021
1
21
3
B = −
2021
11
2 2.3
B = −
<
1
2
2022
1 2022
21
23
A⇒ <+ −
2022
3 1011
43
A⇒≤−
3
4
A⇒<
Câu 3. (HSG 7 huyện Chương Mỹ, Hà Nội 2022 - 2023)
Cho tổng
222 2 2
111 1 1
...
10 11 12 2024 2025
S = + + ++ +
. So sánh
S
với
1
.
Lời giải
Ta có
( )
( )
2
1 1 11
,1
11
kk
k k kk k
< = − ∈>
−−
Thay
10;k =
11;
k =
...
,
2025k =
, ta có
111111 1 1
...
9 10 10 11 11 12 2024 2025
S <−+−+−++ −
11
1
9 2025
S
⇒<− <
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 6/28
Vậy
1S <
.
Câu 4. (HSG 7 thành phố Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang 2022 - 2023)
Chứng minh rằng
22 22 22 2 2
3 5 7 4047
... 1.
1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024
+ + ++ <
Lời giải
22 22 22 2 2
3 5 7 4047
...
1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024
+ + ++
22 2 2 2 2 2 2
22 22 22 2 2
2 1 3 2 4 3 2024 2023
...
1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024
−− − −
=++++
222222 2 2
111111 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2023 2024
=−+−+−++ −
2
1
1
2024
= −
Ta thấy
2
1
11
2024
−<
Do vậy
22 22 22 2 2
3 5 7 4047
... 1
1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024
+ + ++ <
Câu 5. (HSG 7 thành phố Chí Linh, tỉnh Hải Dương 2022 - 2023)
Chứng minh
2 3 4 2023
1 2 3 4 2023 1
...
44 4 4 4 2
S =+++++ <
15Lời giải
2 3 4 2023
1 2 3 4 2023
...
44 4 4 4
S =+++++
Nên ta có
2 3 2022
2 3 4 2023
4 1 ...
44 4 4
S
=++ + ++
2 3 2022 2023
1 1 1 1 2023
4 1 ...
44 4 4 4
SS−=++ + ++ −
2 3 2022
11 1 1
3 1 ...
44 4 4
S <+ + + + +
Đặt
2 3 2022
11 1 1
1 ...
44 4 4
A =++ + ++
2 2021
11 1
4 4 1 ...
44 4
A = ++ + + +
2022
1
44
4
AA−=−
⇒
34A <
4
3
A⇒<
Suy ra
441
982
S <<=
Vậy
2 3 4 2023
1 2 3 4 2023 1
...
44 4 4 4 2
S =+++++ <
Câu 6. (HSG 7 huyện Mường Lát 2022 - 2023)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 7/28
Cho
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
33 3 3 3 3
A ...=−+−++ −
. Chứng minh:
3
16
A
<
Lời giải
Ta có:
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
33 3 3 3 3
A ...
=−+−++ −
2 3 98 99
2 3 4 99 100
31
33 3 3 3
A ...
=−+ − ++ −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
31
33 3 3 3 3
A A ...+ =−+ − ++ − −
2 3 98 99 100
1 1 1 1 1 100
41
33 3 3 3 3
A ...

= −+ − ++ − −


( )
1
Đặt
2 3 98 99
11 1 1 1
1
33 3 3 3
B ...
=−+ − ++ −
2 97 98
11 1 1
3 31
33 3 3
B ...= −+ − + + −
99
1
33
3
BB+=−
99
1
43 3
3
B =−<
3
4
B⇒<
( )
2
Từ
( )
1
và
(
)
2
suy ra
100
3 100 3
4
43 4
A <− <
Do đó
3
16
A <
Câu 7. (HSG 7 thị xã Điện Bàn, tỉnh Nghệ An 2022 - 2023)
Cho biểu thức
( ) ( )
( )
( )
222 2
3 5 7 19
...
1.2 2.3 3.4 9.10
P =++++
. Hãy so sánh
P
với
1
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
222 2
3 5 7 19
...
1.2 2.3 3.4 9.10
P =++++
3 5 7 19
...
1.4 4.9 9.16 81.100
P = + + ++
11111 1 1 1
...
1 4 4 9 9 16 81 100
P =−+−+− ++ −
1
1
100
P = −
Suy ra
1P <
.
Câu 8. (HSG 7 huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa 2022 - 2023)
Chứng minh rằng:
2
2
222023432
100
1
..........
7
1
6
1
5
1
3
1
.....
3
1
3
1
3
1
++++<++++
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 8/28
1 Lời giải
Ta có
2 3 4 2023
111 1
.....
333 3
VT =+++ +
(
)
1
2 3 4 5 2023 2 3 4 2022
1111 1 1111 1
3. 3. ..... .....
3333 3 3333 3
VT

= +++++ =+++++


(
)
2
Lấy
(
)
2
trừ
( )
1
theo vế với vế ta được:
2023
11 1
2.
33 3
VT

=−<


Vậy:
1
6
VT <
( )
3
222 2
111 1
..........
5 6 7 100
VP =+++ +
Ta thấy
101.100
1
............
7.6
1
6.5
1
100
1
..........
7
1
6
1
5
1
2
22
2
++>++++
Nên
1 1 96 96 1
5 101 505 576 6
VP >− = > =
( )
4
Từ
( )
3
và
( )
4
suy ra:
VP VT>
Câu 9. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2, trường TH và THCS Kỳ Đồng 2022 - 2023)
Cho
99
111 1
1 ...
234 2
B =+++++
. So sánh
B
với 50
Lời giải
98 99
1 11 1 1
1 ... ...
2 34 2 1 2
B

=++ + ++ ++

+

2 98 99
1 11 1 1
1 ... ...
2 32 2 1 2
B

=++ + ++ ++

+

(Có
98
nhóm trong
B
)
2 2 99 99
1 11 1 1
1 ... ...
222 2 2
B

>++ + ++ ++


(Có
98
nhóm trong ngoặc)
98
2 99
11 1
1 2 .... 2
22 2
B >+ +⋅ + + ⋅
1 1 1 99 101 100
1 ... 1 50
22 2 2 2 2
=++++=+ = > =
Vậy
50B >
Câu 10. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh, trường Thái Hưng 2022 - 2023)
Cho
222 2
111 1
1 1 1 ..... 1
2 3 4 100
D
 
=−−− −
 
 
So sánh
D
với
1
2
−
.
Lời giải
Vì
D
là tích của
99
số âm nên:
2
11 1 1
= 1 1 1 ... 1
4 9 16 100
D
 
− −−− −
 
 
222 2 2 2 2 2
3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101
= =
2 3 4 100 2 3 4 100
D− ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 9/28
1.2.3.4.5...98.99 3.4.5...100.101
=
2.3.4.5...99.100 2.3.4...99.100
D−⋅
1 101 101 100
= = >
100 2 200 200
D−⋅
hay
1
>
2
D
−
.
Vậy
1
<
2
D −
Câu 11. (HSG 7 huyện Quang Sơn, 2022 - 2023)
2 3 4 2018
1 2 3 4 2018
...
33 3 3 3
A =+++++
. So sánh
A
và
3
4
.
Lời giải
2 3 4 2018
1 2 3 4 2018
...
33 3 3 3
A =+++++
2 3 2017
2 3 4 2018
3 1 ...
33 3 3
A =++ + ++
2 3 2017 2 3 4 2018
2 3 4 2018 1 2 3 4 2018
3 1 ... ...
333 3 3333 3
AA

−=+++++ −+++++


2 3 2017 2018
1 1 1 1 2018
2 1 ...
33 3 3 3
A =++ + ++ −
2 3 2017
11 1 1
2 1 ...
33 3 3
A
<+ + + + +
(
)
1
.
Đặt
2 3 2017
11 1 1
1 ...
33 3 3
B =++ + ++
Suy ra:
2 3 2016
11 1 1
3 3 1 ...
33 3 3
B = ++ + + + +
2 3 2016 2 3 2017
11 1 1 11 1 1
3 3 1 ... 1 ...
33 3 3 33 3 3
BB

−= +++ + ++ − ++ + ++


2017
1
23
3
B = −
2017
31 3
2 2.3 2
B⇒=− <
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
ta suy ra
3
2
2
A <
Hay
3
4
A <
.
Vậy
3
4
A <
Câu 12. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Trần Thái Tông 2022 - 2023)
Cho
2024 2024 2023 2023
2024 2024 2023 2023
2022 2021 2022 2021
;
2022 2021 2022 2021
MN
−−
= =
++
. Hãy so sánh
M
và
N
Lời giải
Ta có:
2022 2021>
2022
1
2021
⇒>
Mà
2024 2023>
2024 2023
2022 2022
2021 2021

⇒>


2024 2023
2022 2022
11
2021 2021
 
⇒+ >+
 
 
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 10/28
2024 2023
11
2022 2022
11
2021 2021
⇒<
 
++
 
 
2024 2023
2024 2024 2023 2023
2021 2021
2022 2021 2022 2021
⇒<
++
2024 2023
2024 2024 2023 2023
2.2021 2.2021
2022 2021 2022 2021
⇒<
++
2024 2023
2024 2024 2023 2023
2.2021 2.2021
11
2022 2021 2022 2021
⇒− >−
++
2024 2024 2023 2023
2024 2024 2023 2023
2022 2021 2022 2021
2022 2021 2022 2021
−−
⇒>
++
Vậy
MN>
Câu 13. (HSG 7 huyện Thái Thụy, 2022 - 2023)
Cho
2 100
11 1
....
11 11 11
B =+ ++
. So sánh
B
với
1
10
.
Lời giải
2 100
11 1
....
11 11 11
B =+ ++
99
11
11 1 ....
11 11
B
=+++
100
1
11 1
11
BB
−=−
100
1
10 1 1
11
B⇒=− <
.
10 1B⇒<
Vậy
1
10
B <
Câu 14. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Bình Lăng 2022 - 2023)
Chứng minh tổng: A= 1+
22222 2 2
11111 1 1
...
2 3 4 5 6 2019 2020
+ + + + ++ +
không phải là một số
nguyên
Lời giải
Ta có:
11
>
1.2 2.2
;
11
>
2.3 3.3
;
11
>
3.4 4.4
;
…
11
>
2018.2019 2019.2019
;
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 11/28
11
>
2019.2020 2020.2020
;
Do đó ta có:
22222 2 2
1 1 1 1 1 11111 1 1
1 ... 1 ...
1.2 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 2 3 4 5 6 2019 2020
+ + + + + >+++++++ +
111111 1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020
1A⇒ −+−+−++ −
<+ +−
1
20
1
2
1
0
A⇒ <+−
=
2019
1
2020
+
Vì
2019
01
2020
<<
nên
2019
11 2
2020
<+ <
Vậy suy ra:
12A<<
Chứng tỏ
A
không phải là một số nguyên.
Câu 15. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Thai Hưng 2022 - 2023)
Chứng minh rằng:
2 3 4 2018 2019
1111 1 1 1
.
33 3 3 3 3 2
B =++++…+ + <
Lời giải
2 3 4 2018 2019
1111 1 1
3 1+ .
33 3 3 3 3
B
= ++++…+ +
2019
1
3– 1
3
BB= −
2019
1
21
3
B = −
2019 2019
1 111
1 :2
3 2 3 .2 2
B

⇒=− =− <


Vậy
1
2
B <
Câu 16. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023)
2 3 4 2016 2017
1111 1 1
...
33 3 3 3 3
B + + ++ += +
. Chứng minh:
1
2
B <
Lời giải
Ta có:
2 3 4 2016 2017
1111 1 1
...
33 3 3 3 3
B + + ++ += +
2 2016
3
11 1
....
33 3
1B ++= ++
2017
31
1
3
BB−=−
2017
111
2 2.3 2
B −<=
1
2
B⇒<
Câu 17. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Diệp Nông 2022 - 2023)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 12/28
Chứng minh rằng:
333 3
111 1 1
......
5 6 7 2020 40
+++ + <
Lời giải
Đặt
333 3
111 1
......
56 2
7 20 0
A ++ += +
111 1
......
5.5.5 6.6.6 7.7.7 2020.2020.2020
A
++ +
= +
111 1
......
4.5.6 5.6.7 6.7.8 2019.2020.2021
A + + ++<
1111111 1 1
......
2 4.5 5.6 5.6 6.7 6.7 7.8 2019.2020 2020.2021
A

−+−+−++ −
<
11 1
2 4.5 2020.2021
A −<



11 1
2 20 2020.2021

= −


Vì
1
0
2020.2021
>
nên
111
20 2020.2021 20
−<
=>
11 1
2 20 2020.2021

−


1
40
<
hay
.
Vậy
333 3
111 1 1
......
5 6 7 2020 40
+++ + <
.
Câu 18. (HSG 7 huyện Tam Điệp, tỉnh Ninh Bình, trường 2022 - 2023)
Cho dãy số
1
;a
2
;
a
...;
n
a
được xác định như sau:
1
1;a =
2
1
1;
2
a = +
3
11
1;
23
a =++
...;
11 1
1 ...
23
n
a
n
=++++
. Chứng minh rằng:
222 2
1 23
11 1 1
... 2
23
n
a a a na
+ + ++ <
, với mọi số tự nhiên
1n >
.
Lời giải
Với mọi
2k ≥
ta có:
2
1
11
k kk
ka ka a
−
<
(vì
1kk
aa
−
>
)
Ta có:
1
1 11
11 1
. ..
kk
k k kk kk
aa
a a aa kaa
−
− −−
−
−= =
Suy ra:
2
1
1 11
.
kk k
ka a a
−
<−
Với
{ }
2;3;4;5;6;...;kn∈
ta có:
2
2 12
1 11
2.
a aa
<−
;
2
3 23
1 11
3.a aa
<−
;
...
2
1
1 11
.
nn n
na a a
−
<−
Cộng từng vế theo vế ta được:
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 13/28
22 2
22 1 1
1 1 1 111
... 1
23
nn
a a na a a a
+ ++ < − < =
222 2
1 23
11 1 1
... 2
23
n
a a a na
⇒ + + ++ <
Câu 19. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường 2021 - 2022)
Cho
222 2
111 1
......... .
234 9
A =+++ +
Chứng minh
28
59
A
<<
Lời giải
Ta có
111 1
......
1.2 2.3 3.4 8.9
A <++++
⇒
11111 11
1 ......
22334 89
A
<−+−+−+ +−
⇒
1
1
9
A <−
⇒
8
9
A <
(
)
1
Ta có
111 1
......
2.3 3.4 4.5 9.10
A >++++
⇒
1111 1 1
......
2334 910
A >−+−+ +−
⇒
4
10
A >
⇒
2
5
A >
( )
2
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
28
59
A<<
.
Câu 20. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ, tỉnh Thái Bình, trường 2021 - 2022)
Cho
2 3 4 2022
22 2 2 2
1 ...
33 3 3 3
A
   
=−+−+−+
   
   
. Chứng tỏ rằng
A
không phải là số
nguyên
Lời giải
Ta có:
2 3 4 2022
22 2 2 2
1 ...
33 3 3 3
A
   
=−+−+−+
   
   
2 3 4 2022
2 2 22 2 2 2
1 ...
3 3 33 3 3 3
A

   
⇒=−+−+−+

   
   


2 3 4 5 2023
22222 2
...
33333 3
    
=−+−+−+
    
    
2023
22
1
33
AA

⇒+ =+


2023
23
1.
35
A


⇒=+





Vì
2023
2
0
3

>


2023
2
10
3

⇒+ >


mà
3
0
5
>
nên
0A >
( )
1
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 14/28
Vì
2
01
3
<<
2023
22
33

⇒<


2023
2 25
11
3 33

⇒+ <+ =


2023
2 3 53
1 . .1
3 5 35
A


⇒=+ < =





( )
2
Từ
(
)
1
và
( )
2
ta có
0 1 A<<
nên
A
không là số nguyên.
Câu 21. (HSG 7 huyện Lục Ngạn, tỉnh Bắc Ninh, trường 2021 - 2022)
Cho
22 2 2
2020 2020 2020 2020
...
2019 1 2019 2 2019 3 2019 2019
C = + + ++ ⋅
++ + +
Chứng minh rằng giá trị của
biểu thức
C
không phải là số nguyên.
Lời giải
Ta có:
22
2020 2020
,
2019 1 2019
<
+
22
2020 2020
,
2019 2 2019
<
+
22
2020 2020
,
2019 3 2019
<
+
…
22
2020 2020
.
2019 2019 2019
<
+
Từ đó suy ra
222 2
2020 2020 2020 2020
...
2019 2019 2019 2019
C <++++
2
2020 2020
.2019 2
2019 2019
C <=<
2C
⇒<
( )
1
Ta có:
22
2020 2020
,
2019 1 2019 2019
>
++
22
2020 2020
,
2019 2 2019 2019
>
++
22
2020 2020
,
2019 3 2019 2019
>
++
…
22
2020 2020
,
2019 2018 2019 2019
>
++
22
2020 2020
2019 2019 2019 2019
=
++
Từ đó suy ra
222 2
2020 2020 2020 2020
...
2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019
C >++++
+++ +
2
2020
.2019
2019 2019
C >
+
2020.2019
1
2019(2019 1)
= =
+
1C⇒>
( )
2
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 15/28
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
12C<<
nên
C
không là số nguyên.
Câu 22. (HSG 7 huyện Quan Hóa, tỉnh Thanh Hóa, trường 2021 - 2022)
Chứng minh rằng:
2 4 6 98 100
111 1 1 1
...
7 7 7 7 7 50
− + −+ − <
Lời giải
Đặt:
2 4 6 98 100
111 1 1
...
777 7 7
A = − + −+ −
Ta có:
2 4 4 6 4 4 98 100
11 1 1 1 1
49. 49.( ... ... )
77 7 7 7 7
nn
A
−−
= − ++ − ++ −
2 4 4 4 2 96 98
1 1 1 11
49. 1 ... ...
7 7 7 77
nn
A
−−
=− ++ − ++ −
100
1
50 1 1
7
A⇒=−<
1
50
A⇒<
.
Câu 23. (HSG 7 trường THCS Điện Hồng 2018 - 2019)
Chứng minh:
222 2
111 1 1 1
......
6 5 6 7 100 4
<+++ + <
Lời giải
Đặt
222 2
111 1
......
5 6 7 100
A
=+++ +
, ta có:
1 1 1 1 111111 1 1
* ...... .....
4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100
A < + + + + =−+−+−+ + −
111
4 100 4
=−<
1 1 1 1 11 1
* .....
5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
A > + ++ + =− >
Câu 24. (HSG 7 trường THCS Bảo Phương 2018 - 2019)
Chứng minh rằng:
2 3 2012 2013
11 1 1 1 1
.....
33 3 3 3 2
B =+++ + + <
Lời giải
2 3 2012 2013
11 1 1 1
.....
33 3 3 3
B =+++ + +
2 3 2012
11 1 1
3 1 .....
33 3 3
B
=++ + + +
2013
1
31
3
BB−=−
2013
1
21
3
B⇒=−
2013
111
2 2.3 2
B⇒=− <
Vậy
1
2
B <
.
Câu 25. (HSG 7 trường THCS Điện Hồng 2018 - 2019)
Chứng minh:
222 2
111 1 1 1
......
6 5 6 7 100 4
<+++ + <
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 16/28
Đặt
222 2
111 1
......
5 6 7 100
A =+++ +
, ta có:
1 1 1 1 111111 1 1
* ...... .....
4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100
A < + + + + =−+−+−+ + −
111
4 100 4
=−<
1 1 1 1 11 1
* .....
5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
A > + ++ + =− >
Câu 26. (HSG 7 Huyện Thường Tín 2018 - 2019)
Chứng minh rằng:
333 3 2
111 1 1
......
2 3 4 2019 2
B
=+++ + <
Lời giải
Ta có:
3
3
11
2 1.2.3
2 1.2.3
> ⇒<
Tương tự:
3
11
;......;
3 2.3.4
<
3
11
2019 2017.2018.2019
<
1 1 1 1 3 1 4 2 2019 2017
...... ......
1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019 2 1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019
A
−− −

⇒< + ++ = + ++


11 1 1 1 1 1 11 1
....
2 1.2 2.3 2.3 3.4 2017.2018 2018.2019 2 1.2 2018.2019
A

⇒< −+−++ − = −


22
111
2 2018.2019.2 2
A
⇒< − <
333 3 2
111 1 1
......
2 3 4 2019 2
A⇒= + + + + <
Câu 27. (HSG 7 trường Hương Điền 2017 - 2018)
Chứng minh:
222 2
111 1
..... 1
2 3 4 2005
++++ <
Lời giải
2
1 1 11
2 1.2 1 2
<=−
2
1 1 11
3 2.3 2 3
<=−
…
2
1 1 11
2005 2004.2005 2004 2005
<=−
222 2
111 1 1111 1 1
..... ......
2 3 4 2005 1 2 2 3 2004 2005
⇒ + + + + <−+ −+ + −
222 2
111 1 1
..... 1
2 3 4 2005 2005
⇒ + + + + <−
222 2
111 1
..... 1
2 3 4 2005
⇒++++ <
(đpcm)
Câu 28. (HSG 7 huyện Trực Ninh 2017 - 2018)
Chứng minh rằng:
2 4 4 2 4 98 100
11 1 1 1 1 1
...... .....
50
77 7 7 7 7
−
−+ + − ++ − <
nn
Lời giải
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 17/28
Đặt
2 4 4 2 4 98 100
11 1 1 1 1
...... .....
77 7 7 7 7
−
=−+ + − ++ −
nn
A
Ta có:
2 4 4 4 2 96 98
1 1 1 11
49 1 ..... ...
7 7 7 77
−−
=− + + − ++ −
nn
A
100
1
50 1 1
7
⇒=−<A
1
50
⇒<A
.
Câu 29. (HSG 7 trường Nghĩa Điền 2017 - 2018)
So sánh các số sau:
2011
2012
10 1
10 1
+
=
+
A
và
2012
2013
10 1
10 1
+
=
+
B
Lời giải
Ta có:
2011
2012
10 1
10 1
+
=
+
A
2012
2012 2012
10 10 9
10 1
10 1 10 1
+
⇒= =+
++
A
2012
2013
10 1
10 1
+
=
+
B
2013
2013 2013
10 10 9
10 1
10 1 10 1
+
⇒= =+
++
B
Vì
2012 2013
99
10 1 10 1
>
++
nên
10 10>AB
⇒>AB
.
Câu 30. (HSG 7 Phòng GD&ĐT Thiệu Hóa 2022 - 2023)
Cho
2
11 1 1
....
4 9 16 2023
C =++ + +
. Chứng minh rằng
3
4
C
<
.
Lời giải
Ta có:
11
3.3 2.3
<
11
4.4 3.4
<
…
11
2023.2023 2022.2023
<
Suy ra
11 1 1
...
4 2.3 3.4 2022.2023
C <++++
11111 1 1
...
4 2 3 3 4 2022 2023
C < +−+−++ −
11 1 113
4 2 2023 4 2 4
C <+− <+=
Vậy
3
4
C <
.
Câu 31. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023)
a)
22 2 2 2
1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023 2 2022.2024 2
.... < 2023
2 3 4 2022 2023
+++ + +
+ + ++ +
b) Cho
1357 99
2 4 6 8 100
P = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
. Chứng minh rằng
1
10
P <
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 18/28
Lời giải
Đặt
22 2 2 2
1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023 2 2022.2024 2
....
2 3 4 2022 2023
A
+++ + +
= + + ++ +
( )
1
Ta thấy tổng
A
có
2022
số hạng
22 2 2 2
1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023 2 2022.2024 2
....
2 3 4 2022 2023
A
+++ + +
= + + ++ +
222 2 2
111 1 1
(1 ) (1 ) (1 ) .... (1 ) (1 )
2 3 4 2022 2023
A
=+ ++ ++ + ++ ++
222 2
2022 /
111 1
(1 1 1 .... 1) ( ... )
2 3 4 2023
sh
A
= +++ + + + + + +

222 2 2
111 1 1
2022 ( .... )
2 3 4 2022 2023
A = + + + ++ +
(
)
2
Ta có:
2
2
2
2
11
2 1.2
11
3 2.3
11
4 3.4
.............
11
2023 2022.2023
<
<
<
<
2
2
2
2
11
1
22
1 11
3 23
1 11
4 34
.............
1 11
2023 2022 2023
<−
<−
⇒ <−
<−
222 2
111 1 1
... 1 1
2 3 4 2023 2023
⇒ + + ++ =− <
222 2
111 1
... 1
2 3 4 2023
⇒ + + ++ <
Do đó
222 2
111 1
2022 ( ... ) 2022 1 2023
2 3 4 2023
A = + + + + + < +=
(
)
3
Từ
( )
1,
( )
2,
( )
3
Chứng tỏ:
22 2 2 2
1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023 2 2022.2024 2
.... < 2023
2 3 4 2022 2023
+++ + +
+ + ++ +
b)Ta đi chứng minh bài toán phụ sau:
( )
*
1
12
nn
n
nn
+
<∈
++
Thật vậy: với mọi
*
n ∈
ta có:
22
1++nnnnn< ++
( ) ( )
2
1 1nn+< +
1
12
nn
nn
+
⇒<
++
(Nhân chéo chứng minh
( ) ( )( )
2 1 1nn n n+<+ +
Cho
n
các giá trị từ
1
đến
99
ta có:
12
;
23
<
35
;
46
<
56
;
67
<
....;
99 100
100 101
<
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 19/28
1 3 5 7 99 2 4 6 8 100
2 4 6 8 100 3 5 7 9 101
⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
1357 99 1357 99 2468 1001357 99
2 4 6 8 100 2 4 6 8 100 3 5 7 9 101 2 4 6 8 100
⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ <⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2
1357 99 1 1
2 4 6 8 100 101 100

⇒ ⋅⋅⋅⋅ < <


Vậy
1
10
P <
Câu 32. (HSG 7 huyện Quang Sơn, 2022 - 2023)
Chứng minh rằng
2
1 1 3 5 2021 2023 1
4048 2 4 6 2022 2024 2025

< ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅


Lời giải
2
1 1 3 5 2021 2023 1
4048 2 4 6 2022 2024 2025

< ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅


Với mọi
1n ≥
ta có:
222
22 2
( 1) 2 1 2 2
nnnn
n nn nnn
= <=
+ ++ + +
.
Từ đó suy ra:
2
1 3 5 2021 2023 1 3 5 2021 2013 1
2 4 6 2022 2024 3 5 7 2023 2025 2025

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ =


(
)
1
Với mọi
2
n ≥
ta có:
( )
( )
( )
22
22
2
1 ( 1)
11
( 1) 1
11
nn
nn n
nn
nn
−+
−−
>= =
++
++
.
Từ đó suy ra:
2
1 3 5 2021 2023 1 2 4 2020 2022 1
2 4 6 2022 2024 4 4 6 2022 2024 4048

⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ > ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ =


.
( )
2
Từ
(
)
1
và
( )
2
2
1 1 3 5 2021 2023 1
4048 2 4 6 2022 2024 2025

⇒ < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅


(đpcm)
Câu 33. (HSG 7 huyện Tri Thức, tỉnh Đồng Nai, 2022 - 2023)
Chứng minh:
22 2 2
11 1 1 1
...
6 8 10 100 8
+ + ++ <
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 22 2 2 2
1 1 1 1 11 1 1 1
... ...
6 8 10 100 2 3 4 5 50

+ + ++ = + + ++


22
1 1 1 1 1 1111111 1 1
... ...
2 2.3 3.4 4.5 49.50 2 2 3 3 4 4 5 49 50

< + + ++ = −+−+−++ −


11 1 1 1 1
.
4 2 50 8 200 8

= −=−<


(đpcm)
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
Trang 20/28
Vậy
22 2 2
11 1 1 1
...
6 8 10 100 8
+ + ++ <
Câu 34. (HSG 7 huyện Tiêu Du, tỉnh Bắc Ninh, 2022 - 2023)
1.Cho
2 4 6 8 98 100
1111 1 1
....
7777 7 7
A = − + − ++ −
. Chứng minh rằng
1
50
A
<
.
2.Cho
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
....
77 7 7 7 7
A =+++++ +
. Chứng minh rằng
.
Lời giải
1) Ta có
2 4 6 8 98 100
1111 1 1
....
7777 7 7
A = − + − ++ −
22
2 4 6 8 98 100
1111 1 1
7 7 ....
7777 7 7
A

=⋅ − + − ++ −


2 4 6 8 96 98
1111 1 1
49 1 ....
7777 7 7
A =− + − + −+ −
2 4 6 8 96 98 2 4 6 8 98 100
1111 1 1 1111 1 1
49 1 .... ....
7777 7 7 7777 7 7
AA

⇒ +=−+−+−+ − + −+−++ −


100
1
50 1 1
7
A
=−<
1
50
A⇒<
Vậy
.
2) Ta có
2 3 4 99 100
1 2 3 4 99 100
....
77 7 7 7 7
A
=+++++ +
1 2 3 98 99
2 3 4 99 100
7. 1 ....
77 7 7 7
A =++ + ++ +
1 2 3 98 99 2 3 4 99 100
2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100
7 1 .... ....
777 7 7 7777 7 7
AA

⇒ −=+++++ + −+++++ +


2 3 4 99 100
1 1 1 1 1 100
6 1 ....
77 7 7 7 7
A⇒ =++++++ −
Đặt
234 99
1111 1
1 ....
77 7 7 7
B =++++++
234 98
1111 1
7 7 1 ....
77 7 7 7
B⇒ =+++++++
234 98 234 99
1111 1 1111 1
7 7 1 .... 1 ....
77 7 7 7 77 7 7 7
BB

⇒ −=+++++++ −++++++


99
1
67 7
7
B =−<
7
6
B⇒<
Câu 35. (HSG 7 huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa, 2022 - 2023)
Cho
2023
111 1
1
234 2 1
A =++++…+
−
. Chứng minh rằng:
2023
2
A >
.
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
CĐ3: CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪA SỐ TỰ NHIÊN
Dạng 1: So sánh hai lũy thừa
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa với nhau)
Dạng 3: Một số bài toán khác
Dạng 1. So sánh hai lũy thừa A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 huyện Thanh Ba 2021-2022) Cho hai số 333 a = 2 và 222
b = 3 . Khẳng định nào đúng
A. a = b
B. a > b
C. a < b
D. 3a = 2b Lời giải Chọn A Ta có : 333 a = 2 3.111 = 2 = ( )111 3 2 111 = 8 222 b = 3 2.111 = 3 = ( )111 2 3 111 = 9 Vì 111 111
8 < 9 nên a < b . B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Mường La 2021 - 2022)
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần 100 2 ; 75 3 ; 50 5 Lời giải Ta có 100 25 2 =16 ; 75 25 3 = 27 ; 50 25 5 = 25 Mà: 0 <16 < 25 < 27 25 25 25
⇒ 16 < 25 < 27 Vậy: 100 50 75 2 <5 < 3
Câu 2. (HSG 7 huyện Văn Lâm, tỉnh Hưng Yên 2022 - 2023) Chứng tỏ rằng: 27 63 28 5 < 2 < 5 . Lời giải Ta có: 63 7 9 9 2 = (2 ) =128 27 3 9 9 5 = (5 ) =125 63 27 ⇒ 2 > 5 ( ) 1 Lại có: 63 9 7 7 2 = (2 ) = 512 28 4 7 7 5 = (5 ) = 625 63 28 ⇒ 2 < 5 (2) Từ ( ) 1 và (2) 27 63 28 ⇒ 5 < 2 < 5 .
Câu 3. (HSG 7 huyện Thái Thụy 2018 - 2019) So sánh: 333 222 và 222 333 Lời giải
Trang 1/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Ta có: = ( )111 333 3 222 222 ; = ( )111 222 2 333 333 3 = ( )3 3 2 2 222
2.111 = 8.111 = 8.111.111 = 888.111 2 = ( )2 2 333 3.111 = 9.111 Vì 2 2
888 > 9 ⇒ 888.111 > 9.111 3 2 ⇒ 222 > 333 ⇒ ( )111 > ( )111 3 2 222 333 333 222 ⇒ 222 > 333 Vậy 333 222 222 > 333
Câu 4. (HSG 7 huyện, trường 2022 - 2023) So sánh hai số: 30 3 và 20 5 Lời giải = ( )10 30 3 10 3 3 = 27 ; = ( )10 20 2 10 10 5 5 = 25 < 27 30 20 ⇒ 3 > 5
Câu 5. (HSG 7 huyện, 2017 - 2018) So sánh: 20 16 và 100 2 Lời giải Biến đổi 20 4.20 80 16 = 2 = 2 Có 80 100 2 < 2 20 100 ⇒ 16 < 2
Câu 6. (HSG 7 huyện) So sánh hai A và B, biết: 21 A = 3 ; 31 B = 2 Lời giải A = = ( )10 21 2 10 3 3. 3 = 3.9 B = = ( )10 31 3 10 2 2. 2 = 2.8 Vì 10 10
3.9 > 2.8 nên A > B
Câu 7. (HSG 7 huyện) So sánh hai số: ( )39 5 − và ( )91 2 − Lời giải (− )39 39 = − = −( 3)13 13 5 5 5 = 125 − (− )91 91 = − = −( 7 )13 13 2 2 2 = 128 − Ta thấy: 13 13 125 <128 13 13 ⇒ 125 − > 128 − ⇒ (− )39 > (− )91 5 2
Câu 8. (HSG 7 trường Hồng Thái, Sơn Dương 2017 - 2018) So sánh hai số 50 3 và 20 5 . Lời giải
Trang 2/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Ta có : 30 = (( ) )10 3 10 3 3 = 27 ; = ( )10 20 2 10 10 5 5 = 25 < 27 30 20 ⇒ 3 > 5
Câu 9. (HSG 7 trường Lê Văn Tám 2017 - 2018; trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016) So sánh hợp lý: 200  1  1000  1  a)  và 16       2  b) ( )27 32 − và ( )39 18 − Lời giải 200 4.200 800 1000  1   1   1   1  a) Ta có: = = >  16   2  2  2         b) Ta có: = ( )27 27 5 135 156 4.39 39 39 32 2 = 2 < 2 = 2 <16 <18 27 39 ⇒ 32 − > 18 − ⇒ (− )27 > (− )39 32 18
Câu 10. (HSG 7 trường Nguyễn Khuyến 2015 - 2016)
Biết x ∈ và 0 < x <1.Chứng minh n
x < x với n∈, n ≥ 2 . Lời giải Xét n x x x( n 1− − = x − ) 1 Với 0 < x <1 n 1 −
⇒ x −1< 0; x > 0 ⇒ n x − x < 0 ⇒ n x < x Vậy n
x < x với n∈, n ≥ 2
Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với một số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) A. Trắc nghiệm
Câu 1. (HSG 7 Phòng GD&ĐT Thanh Thủy 2022 - 2023) Cho biểu thức 1 2 3 4 99 100 N = − + − + ...+ − . Khẳng định đúng là 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 A. 3 N < . B. 3 N > . C. 3 3 < N < . D. 3 N > . 16 16 16 4 4 Lời giải Chọn A Ta có: 1 2 3 4 99 100 N = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 ⇒ 3N =1− + − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3
Trang 3/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 ⇒ 4N =1− + − + ...+ − − < 1− + − + ...+ − ( )1 2 3 98 99 100 2 3 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Đặt 1 1 1 1 1 M =1− + − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ 3M = 3−1+ − + ...+ − = 2 + − + ...+ − 2 97 98 2 97 98 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4M = 3− < 3 3 ⇒ M < (2) 99 3 4 Từ ( ) 1 và (2) ⇒ 3 4N < M < 3 ⇒ N < 4 16
Câu 2. (HSG 7 Đề khảo sát lần 3 2022 - 2023)
Cho biểu thức a = (− )2020 2 ; b = − (− )2021 3. 2
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. a > b .
B. a < b .
C. a < b − .
D. −a > b . Lời giải Chọn B Ta có: a = (− )2020 2 2020 = 2 b = − (− )2021 3. 2 = − (− ) (− )2020 3. 2 . 2 2020 2020 = 6.2 > 2
Do đó: a < b . B. Tự luận
Câu 1. (HSG 7 huyện Quảng Trạch 2021 - 2022)
Chứng minh rằng với n∈ 1 1 1 1 1
, n ≥ 3 ta có: A = + + + ...+ < . 3 3 3 3 3 4 5 n 12 Lời giải Với n 1 1 1 1
∈ , n ≥ 3 ta có: A = + + + ...+ 3 3 3 3 3 4 5 n 2 2 2 2 ⇒ 2A = + + + ⋅⋅⋅ + 3 3 3 3 3 4 5 n Ta có: 2 2 1 1 < = − 3 3 2.3.4 2.3 3.4 2 2 1 1 < = − 3 4 3.4.5 3.4 4.5 2 2 1 1 < = − 3 5 4.5.6 4.5 5.6 ........ 2 2 1 1 < = − 3 n
(n −1).n(n +1) (n −1).n . n (n +1) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ 2A = + + + ⋅⋅⋅+ < − + − + − + ⋅⋅⋅+ − 3 3 3 3 3 4 5 n 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6
(n −1).n n(n +1) 1 1 ⇒ 2A < − 2.3 n(n +1)
Trang 4/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 1 ⇒ A < − 12 2n(n +1) 1 ⇒ A < 12 Vậy 1 1 1 1 1 A = + + + ...+ <
(với n∈, n ≥ 3). 3 3 3 3 3 4 5 n 12
Câu 2. (HSG 7 huyện Ninh Giang (Đợt 1), tỉnh Hải Dương 2022 - 2023) Chứng minh rằng: 1 2 3 4 2022 3 A = + + + + .... + < . 2 3 4 2022 3 3 3 3 3 4 Lời giải Ta có  1 2 3 4 2022  2 3 4 5 2022 3A = 3 + + + + .... + =  1+ + + + + .... +  2 3 4 2022 2 3 4 2021  3 3 3 3 3  3 3 3 3 3 2 3 4 5 2022   1 2 3 4 2022 3A A 1 ....   ....  − = + + + + + + − + + + + +  2 3 4 2021 2 3 4 2022 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3       1 1 1 1 1  2022 3A − A =1+ + + + + ....+ −  2 3 4 2021  2022  3 3 3 3 3  3 Đặt 1 1 1 1 1 B = + + + + ....+ 2 3 4 2021 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 3B =1+ + + + + ....+ 2 3 4 2020 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 3B B 1 ....   ....  − = + + + + + + − + + + + +  2 3 4 2020 2 3 4 2021 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3      1 2B =1− 2021 3 1 1 B = − 1 < 2021 2 2.3 2 1 2022 ⇒ 2A <1+ − 2022 2 3 3 1011 ⇒ A ≤ − 2022 4 3 3 ⇒ A < 4
Câu 3. (HSG 7 huyện Chương Mỹ, Hà Nội 2022 - 2023) Cho tổng 1 1 1 1 1 S = + + + ...+ + . So sánh S với 1. 2 2 2 2 2 10 11 12 2024 2025 Lời giải Ta có 1 1 1 1 < = −
k ∈,k >1 2 k (k − ) ( ) 1 k k −1 k
Thay k =10; k =11; ..., k = 2025 , ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 S < − + − + − + ...+ − 9 10 10 11 11 12 2024 2025 1 1 ⇒ S < − < 1 9 2025
Trang 5/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Vậy S <1.
Câu 4. (HSG 7 thành phố Bắc Giang, tỉnh Bắc Giang 2022 - 2023) Chứng minh rằng 3 5 7 4047 + + + ...+ < 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024 Lời giải 3 5 7 4047 + + + ...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −1 3 − 2 4 − 3 2024 − 2023 = + + + ...+ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + ...+ − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 2023 2024 1 = 1− 2 2024 Ta thấy 1 1− < 1 2 2024 Do vậy 3 5 7 4047 + + + ...+ < 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .2 2 .3 3 .4 2023 .2024
Câu 5. (HSG 7 thành phố Chí Linh, tỉnh Hải Dương 2022 - 2023) Chứng minh 1 2 3 4 2023 1 S = + + + + ...+ < 2 3 4 2023 4 4 4 4 4 2 15Lời giải 1 2 3 4 2023 S = + + + + ...+ 2 3 4 2023 4 4 4 4 4 Nên ta có 2 3 4 2023 4S =1+ + + + ...+ 2 3 2022 4 4 4 4 1 1 1 1 2023 4S − S =1+ + + + ...+ − 2 3 2022 2023 4 4 4 4 4 1 1 1 1 3S <1+ + + + ...+ 2 3 2022 4 4 4 4 Đặt 1 1 1 1 A =1+ + + + ...+ 2 3 2022 4 4 4 4 1 1 1 4A = 4 +1+ + + ...+ 2 2021 4 4 4 1 4A − A = 4 − 2022 4 ⇒ 3A < 4 4 ⇒ A < 3 Suy ra 4 4 1 S < < = 9 8 2 Vậy 1 2 3 4 2023 1 S = + + + + ...+ < 2 3 4 2023 4 4 4 4 4 2
Câu 6. (HSG 7 huyện Mường Lát 2022 - 2023)
Trang 6/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 2 3 4 99 100 3 Cho A = − + − + ...+ − . Chứng minh: A < 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 16 Lời giải 1 2 3 4 99 100 Ta có: A = − + − + ...+ − 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 3A =1− + − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100 3A + A =1− + − + ...+ − − 2 3 98 99 100 3 3 3 3 3 3  1 1 1 1 1  100 4A = 1− + − + ...+ − −  ( ) 1 2 3 98 99  100  3 3 3 3 3  3 1 1 1 1 1 Đặt B = 1− + − + ...+ − 2 3 98 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3B = 3 −1+ − + ...+ − 2 97 98 3 3 3 3 1 3B + B = 3 − 99 3 1 4B = 3 − < 3 99 3 3 ⇒ B < (2) 4 3 100 3 Từ ( )
1 và (2) suy ra 4A < − < 100 4 3 4 3 Do đó A < 16
Câu 7. (HSG 7 thị xã Điện Bàn, tỉnh Nghệ An 2022 - 2023) Cho biểu thức 3 5 7 19 P = + + + ...+
. Hãy so sánh P với 1. (1.2)2 (2.3)2 (3.4)2 (9.10)2 Lời giải Ta có 3 5 7 19 P = + + + ...+ (1.2)2 (2.3)2 (3.4)2 (9.10)2 3 5 7 19 P = + + + ...+ 1.4 4.9 9.16 81.100 1 1 1 1 1 1 1 1 P = − + − + − + ...+ − 1 4 4 9 9 16 81 100 1 P =1− 100 Suy ra P <1.
Câu 8. (HSG 7 huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa 2022 - 2023) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + < + + + .......... + 2 3 4 2023 2 2 2 2 3 3 3 3 5 6 7 100
Trang 7/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 Lời giải Ta có 1 1 1 1 VT = + + + .....+ ( )1 2 3 4 2023 3 3 3 3  1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 3.VT = 3. + + + +.....+ = + + + +  .....+  (2) 2 3 4 5 2023 2 3 4 2022  3 3 3 3 3  3 3 3 3 3 1 1 1 Lấy (2) trừ ( )
1 theo vế với vế ta được: 2.VT   = − <  2023 3 3    3 Vậy: 1 VT < (3) 6 1 1 1 1 VP = + + + ..........+ 2 2 2 2 5 6 7 100 Ta thấy 1 1 1 1 1 1 1 + + + .......... + > + + ............ 52 62 72 1002 5.6 . 6 7 100 101 . Nên 1 1 96 96 1 VP > − = > = (4) 5 101 505 576 6
Từ (3) và (4) suy ra: VP >VT
Câu 9. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2, trường TH và THCS Kỳ Đồng 2022 - 2023) Cho 1 1 1 1 B =1+ + + +...+ . So sánh B với 50 99 2 3 4 2 Lời giải 1  1 1   1 1 B 1 ... ...  = + + + + + + +    98 99 2  3 4   2 1 2  +  1  1 1   1 1 B 1  ...  ...  = + + + + + + + 
(Có 98 nhóm trong B ) 2 98 99 2  3 2   2 1 2  +  1  1 1   1 1 B 1  ...  ...  > + + + + + + +  (Có 98 nhóm trong ngoặc) 2 2 99 99 2 2 2 2 2      1 1 98 1 B >1+ + 2⋅ + ....+ 2 ⋅ 1 1 1 99 101 100 = 1+ + +...+ =1+ = > = 50 2 99 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy B > 50
Câu 10. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh, trường Thái Hưng 2022 - 2023) Cho  1  1  1   1 D 1 1 1..... 1 = − − − −  2 2 2 2 2 3 4 100        So sánh D với 1 − . 2 Lời giải
Vì D là tích của 99 số âm nên:  1  1  1   1 D = 1 1 1 ... 1  − − − − −      2 4 9 16 100        3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 − D = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 100 2 3 4 100
Trang 8/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7
1.2.3.4.5...98.99 3.4.5...100.101 − D = ⋅
2.3.4.5...99.100 2.3.4...99.100 1 101 101 100 − D = ⋅ = > hay 1 − D > . 100 2 200 200 2 Vậy 1 D < − 2
Câu 11. (HSG 7 huyện Quang Sơn, 2022 - 2023) 1 2 3 4 2018 A = + + + + ...+ . So sánh A và 3 . 2 3 4 2018 3 3 3 3 3 4 Lời giải 1 2 3 4 2018 A = + + + + ...+ 2 3 4 2018 3 3 3 3 3 2 3 4 2018 3A =1+ + + + ...+ 2 3 2017 3 3 3 3 2 3 4 2018   1 2 3 4 2018 3A A 1 ...   ...  − = + + + + + − + + + + +  2 3 2017 2 3 4 2018 3 3 3 3 3 3 3 3 3      1 1 1 1 2018 2A =1+ + + + ...+ − 2 3 2017 2018 3 3 3 3 3 1 1 1 1 2A <1+ + + + ...+ ( ) 1 . 2 3 2017 3 3 3 3 Đặt 1 1 1 1 B =1+ + + + ...+ 2 3 2017 3 3 3 3 Suy ra: 1 1 1 1 3B = 3+1+ + + + ...+ 2 3 2016 3 3 3 3 1 1 1 1   1 1 1 1 3B B 3 1 ...  1 ...  − = + + + + + + − + + + + +  2 3 2016 2 3 2017 3 3 3 3 3 3 3 3      1 2B = 3− 3 1 3 ⇒ B = − < (2) 2017 3 2017 2 2.3 2 Từ ( ) 1 và (2) ta suy ra 3 2A < Hay 3 A < . 2 4 Vậy 3 A < 4
Câu 12. (HSG 7 huyện Hưng Hà, trường Trần Thái Tông 2022 - 2023) 2024 2024 2023 2023 2022 − 2021 2022 − 2021 Cho M = ; N =
. Hãy so sánh M và N 2024 2024 2023 2023 2022 + 2021 2022 + 2021 Lời giải Ta có: 2022 2022 > 2021 ⇒ >1 2021 2024 2023 Mà 2024> 2023  2022   2022  ⇒ >  2021   2021     2024 2023  2022   2022 1  1  ⇒ + > +  2021  2021    
Trang 9/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 1 ⇒ < 2024 2023  2022   2022 1  1  + +  2021  2021     2024 2023 2021 2021 ⇒ < 2024 2024 2023 2023 2022 + 2021 2022 + 2021 2024 2023 2.2021 2.2021 ⇒ < 2024 2024 2023 2023 2022 + 2021 2022 + 2021 2024 2023 2.2021 2.2021 ⇒1− >1− 2024 2024 2023 2023 2022 + 2021 2022 + 2021 2024 2024 2023 2023 2022 − 2021 2022 − 2021 ⇒ > 2024 2024 2023 2023 2022 + 2021 2022 + 2021
Vậy M > N
Câu 13. (HSG 7 huyện Thái Thụy, 2022 - 2023) Cho 1 1 1 B = + + ....+
. So sánh B với 1 . 2 100 11 11 11 10 Lời giải 1 1 1 B = + + ....+ 2 100 11 11 11 1 1 11B =1+ +....+ 99 11 11 1
11B − B =1− 100 11 1 ⇒ 10B =1− < 1. 100 11 ⇒10B <1 Vậy 1 B < 10
Câu 14. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Bình Lăng 2022 - 2023) Chứng minh tổng: A= 1+ 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ...+ + không phải là một số 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 2019 2020 nguyên Lời giải Ta có: 1 1 > ; 1.2 2.2 1 1 > ; 2.3 3.3 1 1 > ; 3.4 4.4 … 1 1 > ; 2018.2019 2019.2019
Trang 10/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 1 > ; 2019.2020 2020.2020 Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + ... + > 1+ + + + + + ...+ + 2 2 2 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 2 3 4 5 6 2019 2020 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⇒ A < 1+ − + − + − +...+ − + − 1 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 1 ⇒ A <1+1− = 2019 1+ 2020 2020 Vì 2019 0 < < 1 nên 2019 1<1+ < 2 2020 2020
Vậy suy ra: 1< A < 2
Chứng tỏ A không phải là một số nguyên.
Câu 15. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Thai Hưng 2022 - 2023) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 B = + + + + . … + + < 2 3 4 2018 2019 3 3 3 3 3 3 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 3B = 1+ + + + + . … + + 2 3 4 2018 2019 3 3 3 3 3 3 1 3B – B =1− 2019 3 1 2B =1− 2019 3 1  1 1 1 ⇒ B  = 1−  : 2 = − <  2019 2019  3  2 3 .2 2 Vậy 1 B < 2
Câu 16. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Phạm Kính Ân 2022 - 2023) 1 1 1 1 1 1 B = + + + + ...+ + . Chứng minh: 1 B < 2 3 4 2016 2017 3 3 3 3 3 3 2 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 B = + + + + ...+ + 2 3 4 2016 2017 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 B =1+ + + ....+ 2 2016 3 3 3 3B − B =1 1 − 2017 3 1 1 1 B = − < 2017 2 2.3 2 1 ⇒ B < 2
Câu 17. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường Diệp Nông 2022 - 2023)
Trang 11/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 + + + ......+ < 3 3 3 3 5 6 7 2020 40 Lời giải Đặt 1 1 1 1 A = + + + ......+ 3 3 3 3 5 6 7 2020 1 1 1 1 A = + + + ......+ 5.5.5 6.6.6 7.7.7 2020.2020.2020 1 1 1 1 A < + + + ......+ 4.5.6 5.6.7 6.7.8 2019.2020.2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A  <  ......  − + − + − + + − 2   4.5 5.6 5.6 6.7 6.7 7.8 2019.2020 2020.2021 1 1 1 A <  −  1  1 1  = − 2  4.5 2020.2021     2  20 2020.2021 Vì 1 > 0 nên 1 1 1 − < => 1  1 1  − 1 < 2020.2021 20 2020.2021 20 2  20 2020.2021   40 hay 1 A < . 40 Vậy 1 1 1 1 1 + + + ......+ < . 3 3 3 3 5 6 7 2020 40
Câu 18. (HSG 7 huyện Tam Điệp, tỉnh Ninh Bình, trường 2022 - 2023)
Cho dãy số a ; a ; ...;a được xác định như sau: a =1; 1 a =1+ ; 1 1 a =1+ + ; ...; 1 2 n 1 2 2 3 2 3 1 1 1
a = + + + + . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + ...+
< 2 , với mọi số tự nhiên n 1 ... 2 3 n 2 2 2 2 a 2a 3a na 1 2 3 n n >1. Lời giải
Với mọi k ≥ 2 ta có: 1 1 < (vì a > a ) 2 ka ka k k 1 − − a k k 1 k Ta có: 1 1 a − a k k − 1 1 − = = a − a a − a k a − a k k k . k . k . 1 1 1 k Suy ra: 1 1 1 < − 2 k.a a − a k k 1 k
Với k ∈{2;3;4;5;6;. .; } n ta có: 1 1 1 < − ; 2 2.a a a 2 1 2 1 1 1 < − ; 2 3.a a a 3 2 3 ... 1 1 1 < − 2 . n a a − a n n 1 n
Cộng từng vế theo vế ta được:
Trang 12/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 1 1 1 1 1 + + ...+ < − < = 1 2 2 2 2a 3a na a a a 2 2 n 1 n 1 1 1 1 1 ⇒ + + + ...+ < 2 2 2 2 2 a 2a 3a na 1 2 3 n
Câu 19. (HSG 7 huyện Hưng Hà, tỉnh Thái Bình, trường 2021 - 2022) Cho 1 1 1 1 A = + + + .........+ . Chứng minh 2 8 < A < 2 2 2 2 2 3 4 9 5 9 Lời giải Ta có 1 1 1 1 A < + + + ......+ 1.2 2.3 3.4 8.9 ⇒ 1 1 1 1 1 1 1
A <1− + − + − +......+ − 2 2 3 3 4 8 9 ⇒ 1 A <1− 9 ⇒ 8 A < ( ) 1 9 Ta có 1 1 1 1 A > + + + ......+ 2.3 3.4 4.5 9.10 ⇒ 1 1 1 1 1 1
A > − + − +......+ − 2 3 3 4 9 10 ⇒ 4 A > 10 ⇒ 2 A > (2) 5 Từ ( ) 1 và (2) suy ra 2 8 < A < . 5 9
Câu 20. (HSG 7 huyện Quỳnh Phụ, tỉnh Thái Bình, trường 2021 - 2022) 2 3 4 2022 Cho
2  2   2   2   2 A 1       ...  = − + − + − +
. Chứng tỏ rằng A không phải là số 3 3 3 3  3         nguyên Lời giải 2 3 4 2022 Ta có:
2  2   2   2   2 A 1       ...  = − + − + − + 3 3 3 3  3         2 3 4 2022 2
2  2  2   2   2   2  A 1        ...  ⇒ = − + − + − +    3
3  3  3   3   3   3    2 3 4 5 2023
2  2   2   2   2   2         ...  = − + − + − + 3 3 3 3 3  3           2023 2  2 2023   A A 1  ⇒ + = +  2  3 ⇒ A = 1  +   . 3  3     3    5  2023 2023 Vì  2  >  2    0 ⇒1+ >  
0 mà 3 > 0 nên A > 0 ( ) 1  3   3  5
Trang 13/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 2023 2023 Vì 2 0 < <1  2  2 ⇒ <  2  2 5 ⇒ 1+ <   1+ = 3  3   3  3  3 3 2023  2    3 5 3 ⇒ A = 1
 +   . < . =1 (2)   3    5 3 5  Từ ( )
1 và (2) ta có 0 < A <1 nên A không là số nguyên.
Câu 21. (HSG 7 huyện Lục Ngạn, tỉnh Bắc Ninh, trường 2021 - 2022) Cho 2020 2020 2020 2020 C = + + + ...+
⋅Chứng minh rằng giá trị của 2 2 2 2 2019 +1 2019 + 2 2019 + 3 2019 + 2019
biểu thức C không phải là số nguyên. Lời giải Ta có: 2020 2020 < , 2 2 2019 +1 2019 2020 2020 < , 2 2 2019 + 2 2019 2020 2020 < , 2 2 2019 + 3 2019 … 2020 2020 < . 2 2 2019 + 2019 2019 Từ đó suy ra 2020 2020 2020 2020 C < + + + ...+ 2 2 2 2 2019 2019 2019 2019 2020 2020 C < .2019 = < 2 2 2019 2019 ⇒ C < 2 ( )1 Ta có: 2020 2020 > , 2 2 2019 +1 2019 + 2019 2020 2020 > , 2 2 2019 + 2 2019 + 2019 2020 2020 > , 2 2 2019 + 3 2019 + 2019 … 2020 2020 > , 2 2 2019 + 2018 2019 + 2019 2020 2020 = 2 2 2019 + 2019 2019 + 2019 Từ đó suy ra 2020 2020 2020 2020 C > + + + ...+ 2 2 2 2
2019 + 2019 2019 + 2019 2019 + 2019 2019 + 2019 2020 C 2020.2019 > .2019 = = 1 2 2019 + 2019 2019(2019 +1) ⇒ C >1 (2)
Trang 14/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Từ ( )
1 và (2) suy ra 1< C < 2 nên C không là số nguyên.
Câu 22. (HSG 7 huyện Quan Hóa, tỉnh Thanh Hóa, trường 2021 - 2022) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 − + −...+ − < 2 4 6 98 100 7 7 7 7 7 50 Lời giải Đặt: 1 1 1 1 1 A = − + −...+ − 2 4 6 98 100 7 7 7 7 7 Ta có: 1 1 1 1 1 1 49.A = 49.( − + ...+ − + ...+ − ) 2 4 4n−6 4n−4 98 100 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 49.A =1− + ...+ − + ...+ − 2 4n−4 4n−2 96 98 7 7 7 7 7 1 ⇒ 50A =1− < 1 100 7 1 ⇒ A < . 50
Câu 23. (HSG 7 trường THCS Điện Hồng 2018 - 2019) Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 < + + + ......+ < 2 2 2 2 6 5 6 7 100 4 Lời giải Đặt 1 1 1 1 A = + + + ......+ , ta có: 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 *A < + + + ......+ = − + − + − + .....+ − 1 1 1 = − < 4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 4 1 1 1 1 1 1 1 *A > + + .....+ + = − > 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
Câu 24. (HSG 7 trường THCS Bảo Phương 2018 - 2019) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 B = + + + .....+ + < 2 3 2012 2013 3 3 3 3 3 2 Lời giải 1 1 1 1 1 B = + + + .....+ + 2 3 2012 2013 3 3 3 3 3 1 1 1 1 3B =1+ + + + .....+ 2 3 2012 3 3 3 3 1 3B − B =1− 1 ⇒ 2B =1− 2013 3 2013 3 1 1 1 ⇒ B = − < 2013 2 2.3 2 Vậy 1 B < . 2
Câu 25. (HSG 7 trường THCS Điện Hồng 2018 - 2019) Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 < + + + ......+ < 2 2 2 2 6 5 6 7 100 4 Lời giải
Trang 15/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Đặt 1 1 1 1 A = + + + ......+ , ta có: 2 2 2 2 5 6 7 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 *A < + + + ......+ = − + − + − + .....+ − 1 1 1 = − < 4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 4 1 1 1 1 1 1 1 *A > + + .....+ + = − > 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6
Câu 26. (HSG 7 Huyện Thường Tín 2018 - 2019) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 B = + + + ......+ < 3 3 3 3 2 2 3 4 2019 2 Lời giải Ta có: 3 1 1 2 >1.2.3 ⇒ < 3 2 1.2.3 Tương tự: 1 1 < ;......; 1 1 < 3 3 2.3.4 3 2019 2017.2018.2019 1 1 1 1  3−1 4 − 2 2019 − 2017 A ......  ......  ⇒ < + + + = + + + 1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019 2 1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019    1 1 1 1 1 1 1  1  1 1 A   ....  ⇒ < − + − + + − = − 2 1.2 2.3 2.3 3.4
2017.2018 2018.2019  2 1.2 2018.2019      1 1 1 ⇒ A < − < 2 2 2 2018.2019.2 2 1 1 1 1 1 ⇒ A = + + + ......+ < 3 3 3 3 2 2 3 4 2019 2
Câu 27. (HSG 7 trường Hương Điền 2017 - 2018) Chứng minh: 1 1 1 1 + + + .....+ < 1 2 2 2 2 2 3 4 2005 Lời giải 1 1 1 1 < = − 2 2 1.2 1 2 1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 … 1 1 1 1 < = − 2 2005 2004.2005 2004 2005 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ + + + .....+ < − + − + ......+ − 2 2 2 2 2 3 4 2005 1 2 2 3 2004 2005 1 1 1 1 1 ⇒ + + + .....+ < 1− 2 2 2 2 2 3 4 2005 2005 1 1 1 1 ⇒ + + + .....+ < 1 (đpcm) 2 2 2 2 2 3 4 2005
Câu 28. (HSG 7 huyện Trực Ninh 2017 - 2018) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 − + ......+ − + .....+ − < 2 4 4n−2 4n 98 100 7 7 7 7 7 7 50 Lời giải
Trang 16/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Đặt 1 1 1 1 1 1 A = − +......+ − + .....+ − 2 4 4n−2 4n 98 100 7 7 7 7 7 7 Ta có: 1 1 1 1 1 49A =1− +.....+ − +...+ − 2 4n−4 4n−2 96 98 7 7 7 7 7 1 ⇒ 50A =1− <1 1 ⇒ A < . 100 7 50
Câu 29. (HSG 7 trường Nghĩa Điền 2017 - 2018) 2011 2012 So sánh các số sau: 10 +1 A + = và 10 1 B = 2012 10 +1 2013 10 +1 Lời giải 2011 2012 Ta có: 10 +1 + A = 10 10 9 ⇒ 10A = = 1+ 2012 10 +1 2012 2012 10 +1 10 +1 2012 10 +1 2013 B + = 10 10 9 ⇒10B = =1+ 2013 10 +1 2013 2013 10 +1 10 +1 Vì 9 9 >
nên 10A >10B 2012 2013 10 +1 10 +1 ⇒ A > B .
Câu 30. (HSG 7 Phòng GD&ĐT Thiệu Hóa 2022 - 2023) Cho 1 1 1 1 C = + + + ....+ . Chứng minh rằng 3 C < . 2 4 9 16 2023 4 Lời giải Ta có: 1 1 < 3.3 2.3 1 1 < 4.4 3.4 … 1 1 < 2023.2023 2022.2023 Suy ra 1 1 1 1 C < + + + ...+ 4 2.3 3.4 2022.2023 1 1 1 1 1 1 1
C < + − + − +...+ − 4 2 3 3 4 2022 2023 1 1 1 1 1 3 C < + − < + = 4 2 2023 4 2 4 Vậy 3 C < . 4
Câu 31. (HSG 7 huyện Hưng Hà 2022 - 2023) a) 1.3+ 2 2.4 + 2 3.5 + 2 2021.2023+ 2 2022.2024 + 2 + + + ....+ + < 2023 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023 b) Cho 1 3 5 7 99
P = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 1 P <
2 4 6 8 100 . Chứng minh rằng 10
Trang 17/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Lời giải Đặt 1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023+ 2 2022.2024 + 2 A + + + = + + + ....+ + ( )1 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023
Ta thấy tổng A có 2022 số hạng 1.3 2 2.4 2 3.5 2 2021.2023+ 2 2022.2024 + 2 A + + + = + + + ....+ + 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023 1 1 1 1 1
A = (1+ ) + (1+ ) + (1+ ) +. . + (1+ ) + (1+ ) 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023 1 1 1 1
A = (1+1+1+....+1) + ( + + + ...+ ) 2 2 2 2  2 3 4 2023 2022s/h 1 1 1 1 1 A = 2022 + ( + + + ....+ + ) (2) 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023 Ta có:  1 1 <  1 1  < 1− 2 2 1.2  2  2 2   1 1 <  1 1 1 < − 2 3 2.3 2 3 2 3  1 1  1 1 1  < ⇒  < − 2 4 3.4 2  4 3 4  .............  .............   1 1   < 1 1 1  < − 2 2023 2022.2023 2 2023 2022 2023   1 1 1 1 1 ⇒ + + + ...+ = 1− < 1 2 2 2 2 2 3 4 2023 2023 1 1 1 1 ⇒ + + + ...+ < 1 2 2 2 2 2 3 4 2023 Do đó 1 1 1 1 A = 2022 + ( + + + ...+ ) < 2022 +1 = 2023 (3) 2 2 2 2 2 3 4 2023 Từ ( ) 1 , (2), (3)
Chứng tỏ: 1.3+ 2 2.4 + 2 3.5 + 2 2021.2023+ 2 2022.2024 + 2 + + + ....+ + < 2023 2 2 2 2 2 2 3 4 2022 2023
b)Ta đi chứng minh bài toán phụ sau: n n +1 < ( * n∈ ) n +1 n + 2 Thật vậy: với mọi * n∈ ta có: 2 2 n + n < n + n + n +1
(n + ) < (n + )2 1 1 n n +1 ⇒ < n +1 n + 2
(Nhân chéo chứng minh n(n + 2) < (n + ) 1 (n + ) 1
Cho n các giá trị từ 1 đến 99 ta có: 1 2 < ; 3 5 < ; 5 6 < ; ....; 99 100 < 2 3 4 6 6 7 100 101
Trang 18/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100 ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ 2 4 6 8 100 3 5 7 9 101 1 3 5 7 99 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100 1 3 5 7 99 ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
2 4 6 8 100 2 4 6 8 100 3 5 7 9 101 2 4 6 8 100 2  1 3 5 7 99  1 1 ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < <  2 4 6 8 100    101 100 Vậy 1 P < 10
Câu 32. (HSG 7 huyện Quang Sơn, 2022 - 2023) 2 Chứng minh rằng 1  1 3 5 2021 2023  1 < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅ 4048  2 4 6 2022 2024    2025 Lời giải 2 1  1 3 5 2021 2023  1 < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅ 4048  2 4 6 2022 2024    2025
Với mọi n ≥1 ta có: 2 2 2 n n n n = < = . 2 2 2 (n +1)
n + 2n +1 n + 2n n + 2 Từ đó suy ra: 2  1 3 5 2021 2023  1 3 5 2021 2013 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ =  ( ) 1 2 4 6 2022 2024    3 5 7 2023 2025 2025
Với mọi n ≥ 2 ta có: 2 2 n n −1 (n − ) 1 (n +1) n −1 > = = . 2 (n +1) (n + )2 1 (n + )2 1 n +1 Từ đó suy ra: 2  1 3 5 2021 2023  1 2 4 2020 2022 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ > ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ =  . (2) 2 4 6 2022 2024    4 4 6 2022 2024 4048 2 Từ ( ) 1 và (2) 1  1 3 5 2021 2023  1 ⇒ < ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ < ⋅(đpcm) 4048  2 4 6 2022 2024    2025
Câu 33. (HSG 7 huyện Tri Thức, tỉnh Đồng Nai, 2022 - 2023) Chứng minh: 1 1 1 1 1 + + + ...+ < 2 2 2 2 6 8 10 100 8 Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1  1 1 1 1 ...  ...  + + + + = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 8 10 100 2 3 4 5 50    1  1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 1 1 1  ...   ...  < + + + + = − + − + − + + − 2 2 2 2.3 3.4 4.5 49.50 2 2 3 3 4 4 5 49 50      1  1 1  1 1 1 = . − = − < (đpcm) 4  2 50    8 200 8
Trang 19/28
DỰ ÁN TÁCH ĐỀ HSG TOÁN 7 Vậy 1 1 1 1 1 + + + ...+ < 2 2 2 2 6 8 10 100 8
Câu 34. (HSG 7 huyện Tiêu Du, tỉnh Bắc Ninh, 2022 - 2023) 1.Cho 1 1 1 1 1 1 A = − + − + ....+ − . Chứng minh rằng 1 A < . 2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 50 2.Cho 1 2 3 4 99 100 A = + + + + ....+ + . Chứng minh rằng 7 A < . 2 3 4 99 100 7 7 7 7 7 7 36 Lời giải 1) Ta có 1 1 1 1 1 1 A = − + − + ....+ − 2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 2 2  1 1 1 1 1 1 7 A 7 ....  = ⋅ − + − + + −  2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7    1 1 1 1 1 1 49A =1− + − + −....+ − 2 4 6 8 96 98 7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1 49A A 1 ....   ....  ⇒ + = − + − + − + − + − + − + + −  2 4 6 8 96 98 2 4 6 8 98 100 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7      1 50A =1− <1 100 7 1 ⇒ A < 50 Vậy 1 A < . 50 2) Ta có 1 2 3 4 99 100 A = + + + + ....+ + 2 3 4 99 100 7 7 7 7 7 7 2 3 4 99 100 7.A =1+ + + + ....+ + 1 2 3 98 99 7 7 7 7 7 2 3 4 99 100   1 2 3 4 99 100 7A A 1 ....   ....  ⇒ − = + + + + + + − + + + + + +  1 2 3 98 99 2 3 4 99 100 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7      1 1 1 1 1 100 ⇒ 6A =1+ + + + + ....+ − 2 3 4 99 100 7 7 7 7 7 7 Đặt 1 1 1 1 1 B =1+ + + + + ....+ 2 3 4 99 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 ⇒ 7B = 7 +1+ + + + + ....+ 2 3 4 98 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 7B B 7 1 ....  1 ....  ⇒ − = + + + + + + + − + + + + + +  2 3 4 98 2 3 4 99 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7      1 6B = 7 − < 7 99 7 7 ⇒ B < 6
Câu 35. (HSG 7 huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa, 2022 - 2023) Cho 1 1 1 1 A =1+ + + +…+ . Chứng minh rằng: 2023 A > . 2023 2 3 4 2 −1 2
Trang 20/28