lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI 2
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Xuân Anh Nhóm GT2-L06-02 MSSV:. Nguyễn Huy Hoàng 2113405. Trần Ngọc Minh 2111773. Nguyễn Vĩ Khang 2011372. Nguyễn Văn Thư 2114959. TPHCM, tháng 5 năm 2022 Latex by Trần Ngọc Minh Trang 1
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) lOMoARcPSD|46958826 Mục lục 0.1
Nền tảng hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.1.1 Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.1.2 Vonfram Alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.2
Nội dung đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2.1 Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong: z = x2 + y2, z = 2,
y = −x2, phần ứng với y ≤ −x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp của mặt định
hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.3
Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.1 Tích phân bội 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3.2 Tích phân mặt loại 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0.4
Phần báo cáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4.1 Vẽ hình khối V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4.2 Tính tích phân: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.4.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.5
Lời kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.6
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC MSSV Tên Công việc Hoàn thành
2113405 Nguyễn Huy Hoàng Tìm hiểu, vẽ hình trên Geogebra 100% 2111773 Trần Ngọc Minh
Tổng hợp, gõ Word, trình bày 100% 2011372 Nguyễn Vĩ Khang
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết 100% 2114959 Nguyễn Văn Thư Kiểm tra, sửa lỗi 100% Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 3 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 Lời cảm ơn
Chúng em xin chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã tận tình giúp đỡ, giảng dạy
và định hướng chúng em trong cách tư duy và phát triển lối làm việc khoa học. Đó là những góp ý
quý báu, là nền tảng thực hiện để chúng em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này. Bài báo cáo là
kết quả của sự nổ lực của tất cả thành viên trong nhóm tuy nhiên không thể tránh khỏi sai sót, mong
được sự thông cảm của quý thầy cô. Kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp của cô để chúng em có thể
hoàn thiện bản thân mình hơn. Chúng em xin chân thành cảm ơn Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 4 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 Lời nói đầu
Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta hay tiếp xúc hoặc quan sát thấy những vật thể có dạng
hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng chẳng hạn như các loại hộp đựng, tủ quần áo, các tòa
nhà hay các công trình kiến trúc khác... Để tìm hiểu cách tạo hình cũng như diện tích và thể tích của
chúng thì nhóm chúng em, được sự hướng dẫn của giảng viên là cô Nguyễn Thị Xuân Anh đã nghiên
cứu và tìm hiểu về đề tài. Qua đề tài lần này, chúng ta sẽ biết được cách dựng hình bằng ứng dụng
Geogebra, cách ứng dụng các kiến thức đã học vào trong thực tế. Do kiến thức và hiểu biết của nhóm
chúng em có hạn, đồng thời trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi những sai xót có thể dẫn
đến kết quả thiếu tính chính xác tuyệt đối, mong nhận được sự góp ý chân thành của cô. Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 5 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 0.1 Nền tảng hỗ trợ 0.1.1 Geogebra
Geogebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học. Tác giả Markus
Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại học Salzburg và hiện đạng tiếp tục phát
triển tại trường đại học Florida Atlantic. Geogebra được viết trên Java và vì thế phần mềm đa nền 0.1.2 Vonfram Alpha
Wolfram|Alpha là một máy trả lời do Wolfram Research phát triển. Đây là một dịch vụ trực tuyến
có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nhập vào trực tiếp bằng cách tính toán câu trả lời từ các dữ liệu có
cấu trúc, chứ không chỉ cung cấp một danh sách các tài liệu hoặc trang có web có thể chứa câu trả
lời như cách máy tìm kiếm thường làm. Website này được Stephen Wolfram công bố vào tháng 3 năm
2009, và được phát hành cho công chúng ngày 15 tháng 5 năm 2009
Ngoài chức năng là môt cỗ máy tìm kiếm, Wolfram Alpha còn là một phần mềm giải toán online
(web giải toán). WolframAlpha cho phép giải một lượng phong phú các dạng toán từ đơn giản đến
phức tạp, từ toán phổ thông đến toán ở bậc đại học: Tính toán cơ bản, Vẽ đồ thị, Đại số, Giải tích
(thực và phức), Hình học, Lí thuyết số, Toán rời rạc, Toán ứng dụng, Logic & Lí thuyết tập hợp, Xác
suất & Thống kê, Kinh tế lượng. 0.2 Nội dung đề tài
0.2.1 Cho khối V trong không gian Oxyz giới hạn bởi 3 mặt cong: z =
x2 + y2, z = 2, y = −x2, phần ứng với y ≤ −x2 • Vẽ hình khối V (1đ) Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 6 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 Z Z • Tính tích phân
(x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z2 + y)dxdy (1đ) S
0.2.2 Trình bày khái niệm mặt định hướng và cách xá định vector pháp của mặt định hướng. Áp dụng 1 1
: Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M(0; −1; 2), N(0; −1; 1), P (√ ; − ; 1) 2 2 0.3 Cơ sở lý thuyết 0.3.1 Tích phân bội 3: Định nghĩa:
Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên miền đóng và bị chặn V trong không gian Oxyz. CHia V thành
n phần không giẫm lên nhau V1,V2,...,V có thể tích tương ứng là n ∆V1,∆V2,...,∆Vn
Trong mỗi miền V lấy 1 điểm bất kì k Mk(xk, yk, zk) n Lập tổng tích phân: X Sn = f (xk, yk, zk)∆Vk k=1
Cho max d(Vk) → 0, nếu tổng trên tiến đến giới hạn hữu hạn S không hpuj thuộc vào cách chia miền
V và cách lấy điểm M thì giới hạn hữu hạn k
S được gọi là tích phân bội ba của hàm f (x, y, z) trên Z Z Z miền V , kí hiệu là : f (x, y, z)dV V
Đồng thời, ta gọi hàm f(x, y, z) này là hàm khả tích trên miền V Vậy: n Z Z Z X f (x, y, z)dV = lim f (xk, yk, zk)∆Vk V maxd(V )→0 x k=1 Chú ý:
Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy điểm M thì giới hạn hữu hạn k S
được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x, y, z) trên miền V kí hiệu là: ∆V = ∆x∆y∆z = dxdydz Z Z Z Z Z Z
Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : f (x, y, z)dV = f (x, y, z)dxdydz V V
0.3.2 Tích phân mặt loại 2: 1. Mặt định hướng
(a) Khái niệm mặt định hướng
• Mặt S được gọi là mặt định hướng (mặt 2 phía) nếu tại điểm M bất kì của S xác định
được vector pháp tuyến đơn vị ~n(M) có 3 thành phần là các hàm liên tục
• Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0 thì phương trình tiếp diện tại M là: F 0 (M )(x (M )(y (M )(z x − xM) + F 0y − yM) + F 0z − zM) = 0
khi đó tại mỗi điểm M trên mặt S có 2 pháp vector ngược hướng nhau
~nS(M ) = +5F (M) = (F 0 (M), F 0(M), F 0(M)), ~n (M ), F 0(M ), F 0(M )) x y z S (M ) = −5F (M ) = −(F 0x y z
• Trong trường hợp đặc biệt nếu mặt S có phương trình z = z(x, y) thì ta đặt F (x, y, z) = z − z(x, y)
Khi đó mặt S có 2 pháp vector:
~nS(M ) = +5F (M) = (−z0 (M), (M ), 1), ~n (M ), z0 (M ), x −z0y S (M ) = −5F (M ) = (z0x y −1)
Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc nhọn thì tọa độ z của pháp vector dương, tương ứng với
~nS(M ) = + 5 F (M) = (−z0 (M), (M ), 1) x −z0y Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 7 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
Ngược lại Nếu pháp vector tạo với tia Oz góc tù thì tọa độ z của pháp vector âm, tương ứng với
~nS(M ) = − 5 F (M) = (z0 (M), z0 (M), x y −1)
• Việc chọn một trong hai pháp vecto được gọi là định hướng mặt S, phía của mặt S là
phía mà khi đó ta đứng lên phía ấy, vecto pháp vừa chọn có hướng từ chân đến đầu
Hình 1: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngoài mặt cầu x2 + y2 + z2 = 9, ứng với 0 ≤ z ≤ 3 Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 8 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
Hình 2: Mặt định hướng S có 2 phía trong và ngoài phần mặt Paraboloid z = x2+y2, ứng với 0 ≤ z ≤ 4 (b) Vector pháp đơn vị:
Mặt 2 phía S có phương trình F (x, y, z) = 0, tại điểm M bất kì của S cũng có 2 vector
pháp đơn vị ngược chiều nhau là 5F (M) ± (1) |5F (M)|
Khi định hướng mặt S, ta sẽ chọn 1 trong 2 vector trên
Gọi α ,β ,γ lần lượt là góc tạo bởi vector chỉ phương Ox,Oy,Oz với pháp vector này, ta được: ~n(1, 0, 0) ~n(0, 1, 0) ~n(0, 0, 1) cos α = , cos β = , cos γ = |~n| |~n| |~n| ~n = (cos α, cos β, cos γ) (2)
Như vậy khi định hướng mặt S tực là ta chỉ chọn 1 trong 2 vector pháp tức là ta sẽ phải
chọn dấu ” + ” hay ” − ” trong đẳng thức (1) để bằng vector ở đẳng thức (2)
(c) Cách cho mặt định hướng:
Khi cho hướng của 1 mặt 2 phía S thì người ta có thể cho hứng của mặt theo 1 trong các cách sau: π π
• Hướng trên (hoặc dưới) theo hướng trục Oz.Ta sẽ có góc: γ < (hoặc γ > ) 2 2 π π
• Hướng trái (hoặc phải) theo hướng trục Oy.Ta sẽ có góc: β > (hoặc β < ) 2 2 π π
• Hướng trước (hoặc sau) theo hướng trục Ox. Ta sẽ có góc: α < (hoặc α > ) 2 2
• Hướng trong (hoặc ngoài) nếu là đường cong kín
Ta sẽ xác định 1 trong 3 góc là nhọn hay tù tùy vào từng mặt cong Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 9 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
(d) Cách xác định vector pháp của mặt định hướng:
Cho mặt S với phương trình F (x, y, z) = 0
• Tính 5F = (F 0 , F 0, F 0) x y z
• Xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay từ để suy ra cosin tương ứng là
dương hay ấm và so sánh với dấu tọa độ tương ứng trong vector gradient
• Nếu 2 thành phần tương ứng của vector pháp và vector gradient cùng dấu thì 2 vector cùng dấu tức là : + 5 F ~n =
Ghi chú: Ta chia 2 trường hợp khi tính vector pháp đơn vị |5F |
1. Cho hướng của mặt S là trên hoặc dưới (trái hoặc phải, trước hoặc sau) thì không
cần vẽ hình ta cungz xác định được 1 trong 3 góc α, β, γ xem góc nào là nhọn hay tù
2. Cho hướng của mặt S là trong hoặc ngoài thì cần vẽ hình 1 phần mặt cong để
xác định 1 trong 3 góc α,β, γ xem là góc nhọn hay tù (e) Mở rộng:
• Mặt không định hướng
Ngoài ra mặt định hướng còn có mặt không định hướng (mặt 1 phía). Ví dụ mặt Mobius
Mobius có thể được tạo bằng cách sau: Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 10 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
Lấy một hình chữ nhật ABCD (bằng giấy) sau đó vặn cong hình chữ nhật để hai đầu
giáp nhau (điểm A trùng điểm C, điểm B trùng điểm D). Giả sử pháp véc tơ tại điểm
M là . Dịch chuyển liên tục dọc theo lá (không vượt quá biên) ta sẽ quay lại điểm xuất
phát M ban đầu nhưng lúc này hướng của pháp véc tơ có hướng ngược lại. Pháp véc tơ
tại một điểm M không thể có hai hướng, do đó hàm pháp véc tơ không liên tục trên mặt
Mobius, vì nếu liên tục thì sau khi dịch chuyển một cách liên tục, quay về vị trí M ban
đầu thì pháp véc tơ phải trùng với pháp véc tơ ban đầu. Do đó, mặt Mobius là mặt một phía.
Hình 3: Mặt Mobius là mặt một phía
2. Tính tích phân mặt loại 2 (bằng cách đưa về tích phân mặt loại 1)
• Giả sử S : z = z(x, y) với vector pháp đơn vị vecn hướng lên trên. Khi đó, phương trình
của đường cong S là F (x, y, z) = z − z(x, y) = 0 và 1 ~n =
−z0 , −z0 , 1 = (cos α, cos β, cos γ) q x y 1 + (z0 )2 + z0 2 x y q dS = 1 + (z0 )2 + z0 2dxdy x y Z Z I =
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS S   Z Z −z0 −z0 1 = x y P + Q + R q q q  dS S 1 + (z0 )2 + z0 2 1 + (z0 )2 + z0 2 1 + (z0 )2 + z0 2 x y x y x y   Z Z −z0 −z0 1 q = x y P + Q + R 1 + (z0 )2 + z0 q q q  x y D 2 2 2 xy 1 + (z0 )2 + z0 1 + (z0 )2 + z0 1 + (z0 )2 + z0 x y x y x y Z Z h i = P (−z0 ) + Q( ) + R dxdy x −z0y Dxy
• Nếu vector pháp tuyến đơn vị ~n của mặt cong S hướng xuống dưới thì phương trình của mặt cong S là:
F (x, y, z) = z(x, y) − z = 0 và 1 ~n =
z0 , z0 , −1 = (cos α, cos β, cos γ) q x y 1 + (z0 )2 + z0 2 x y q dS = 1 + (z0 )2 + z0 2dxdy x y Z Z I =
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dS S Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 11 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2   Z Z z0 z0 −1 = x y P + Q + R q q q  dS S 1 + (z0 )2 + z0 2 1 + (z0 )2 + z0 2 1 + (z0 )2 + z0 2 x y x y x y   Z Z z0 z0 −1 q = x y P + Q + R 1 + (z0 )2 + z0 q q q  x y D 2 2 2 xy 1 + (z0 )2 + z0 1 + (z0 )2 + z0 1 + (z0 )2 + z0 x y x y x y Z Z h i = P (z0 ) + Q(z0 ) dxdy x y − R Dxy
3. Công thức Ostrogratxki - Gauss
Cho S là mặt kín. f là vật thể được bao quanh bởi S. Nếu P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) và
các đạo hàm riêng của nó liên tục trên miền f thì: Z Z Z Z Z ∂P ∂Q ∂R P dydz + Qdzdx + Rdxdy = ± + + dxdydz S ∂x ∂y ∂z f
Dấu "+" nếu hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía ngoài vật thể f, dấu "-"nếu
hướng của pháp vector với mặt cong lấy hướng ra phía trong f
Lưu ý: Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S0 kín để áp dụng công thức
Ostrogratxki - Gauss, rồi trừ đi phần bổ sung. Z Z Ví dụ 1: Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 9 S
Lời giải: Vì S là mặt kín nên áo dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được: Z Z Z Z Z xdydz + ydzdx + zdxdy = 3dxdydz = 3V = 4π.32 = 36π S V Z Z Ví dụ 2: Tính
x3dydz + y3dzdx + z3dxdy trong đó S là mặt phía trong của mặt cầu S x2 + y2 + z2 = 4
Lời giải: Vì S là mặt kín nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được: Z Z Z 3(x2 + y2 + z2)dxdydz Vx = r sin θ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π Đặt   y = r sin θ sin ϕ ⇒
0 ≤ θ ≤ π , J = −r2 sin θ  z = r cos θ  0 ≤ r ≤ 2 Z 2π Z π Z 2 384 I = −3 dϕ dθ r4 sin θdr = π 0 0 0 5 Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 12 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 0.4 Phần báo cáo 0.4.1 Vẽ hình khối V 0.4.2 Tính tích phân: Z Z I =
(x − 2y + z)dydz + (2xy + z)dzdx + (z2 + y)dxdy S
Vì S là mặt phía bên ngoài của khối V nên áp dụng công thức Ostrogratxki - Gauss ta được: Z Z Z I = (1 + 2x + 2z)dxdydz (*) V
Để tích tích phân (*) 1 cách nhanh chóng và chính xác ta sử dụng Vonfram Alpha
• Đầu tiên cần tìm cận cho x, y, z: Lấy giao tuyến của mặt x2 + y2 = 2
z = x2 + y2 và z = 2 ta được z = 2 √
Chiếu khối V lên Oxy ta được miền Dxy = x, y| − 1 ≤ x ≤ 1, − 2 − x2 ≤ y ≤ −x2|
• Sau đó thực hiện tính toán trên Vonfram Alpha ta được: Z Z Z I =
(1 + 2x + 2z)dxdydz ≈ 7.43616 V Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 13 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2 0.4.3 Áp dụng 1 1
Tìm vector pháp của mặt S ở trên tại các điểm M(0; −1; 2), N(0; −1; 1), P (√ , ; 1) 2 2
Lời giải: Dễ dàng kiểm tra được M(0; −1; 2) nằm trên mặt z = 2, N(0; −1; 1) nằm trên mặt z = x2+y2, 1 1 P ( √ ,
; 1) nằm trên mặt y = −x2 và 3 điểm này đều thuộc mặt S 2 2
• Với điểm M(0; −1; 2) thuộc mặt z = 2 ta có F (x, y, z) = z − 2 = 0 π
5F = (0; 0; 1). Vì S là mặt biên phía ngoài của khối V nên γ <
suy ra cos γ > 0. Điều này có 2
nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient cùng dấu. Vậy 5F ~n = +
= (0; 0; 1) ⇒ ~n(M) = (0; 0; 1) |5F |
• Với điểm N(0; −1; 1) thuộc mặt z = x2 + y2 ta có F (x, y, z) = z − x2 − y2 = 0 π
5F = (−2x; −2y; 1). Vì S là mặt biên phía ngoài khối V nên γ >
suy ra cos γ < 0. Điều này 2
có nghĩa tọa độ z của vector pháp và vector gradient ngược dấu. (2x, 2y, 1 Vậy 5F −1) ~n = − =
⇒ ~n(N) = √ (0; −2; −1) |5F | p4(x2 + y2) + 1 5 1 1
• Với điểm P (√ , ; 1) thuộc mặt y = −x2 ta có F (x, y, z) = x2 + y = 0 2 2 π
5F = (2x; 1; 0). Vì S là mặt biên phía ngoài khối V nên 0 < β <
suy ra cos β > 0. Điều này 2
có nghĩa tọa độ y của vector pháp và vector gradient cùng dấu. 0.5 Lời kết
Thông qua việc làm báo cáo Bài tập lớn Giải tích 2, chúng em đã trau dồi được cho mình những kiến
thức mới, cũng như đào sâu các kiến thức đã học như Tích Phân Bội, Tích Phân Bội Ba, Tích Phân
Mặt, Tích Phân Đường,. . . và thấy được sự hữu ích cũng như tầm quan trọng của chúng trong việc
tính toán các thông số phức tạp. Bên cạnh đó, chúng em cũng nâng cao cho bản thân các kĩ năng về
việc tự học, tự tìm hiểu thông tin, làm việc nhóm, soạn thảo và hơn cả là biết ứng dụng các phần
mềm như Matlab, Geogebra, Vonfram Alpha,. . . 0.6 Tài liệu tham khảo
[1. ] Nguyễn Đình Huy (2018) Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh.
[2. ] Th.S Nguyễn Thị Xuân Anh Slide bài giảng Giải tích 2
[3. ] T.S Lê Xuân Đại Bài giảng điện tử Giải tích 2.
[4. ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole.
[5. ] James Steward (2012) Calculus, Thomson Brooke/Cole.
[6. ] https://vi.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha
[7. ] https://vi.wikipedia.org/wiki/GeoGebra Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 14 lOMoARcPSD|46958826 Chủ đề 2 Nhóm 2
ơ đồ khối".png ơ đồ khối".pdf ơ đồ khối".jpg ơ đồ khối".mps ơ đồ khối".jpeg ơ đồ khối".jbig2 ơ đồ
khối".jb2 ơ đồ khối".PNG ơ đồ khối".PDF ơ đồ khối".JPG ơ đồ khối".JPEG ơ đồ khối".JBIG2 ơ đồ khối".JB2
Hình 4: Sơ đồ khối của hệ thống Latex by Trần Ngọc Minh
Downloaded by Pham Huyen (21073258@vnu.edu.vn) Trang 15