-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki - Toán cao cấp c2 | Đại học Duy Tân
Cho 2 bộ số thực ( ) 1 2 ; ;...; n aa a và ( ) 1 2 ; ;...; n bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: ( ) ( )( ) 2 2 2 22 2 2 11 2 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n n ab ab ab a a a b b b + ++ ≤ + ++ + ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 2 ... n n a a a bb b = == với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !
Toán cao cấp c2 (mth 102) 130 tài liệu
Đại học Duy Tân 1.8 K tài liệu
Bất Đẳng Thức Bunhiacốpxki - Toán cao cấp c2 | Đại học Duy Tân
Cho 2 bộ số thực ( ) 1 2 ; ;...; n aa a và ( ) 1 2 ; ;...; n bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: ( ) ( )( ) 2 2 2 22 2 2 11 2 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n n ab ab ab a a a b b b + ++ ≤ + ++ + ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 2 ... n n a a a bb b = == với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !
Môn: Toán cao cấp c2 (mth 102) 130 tài liệu
Trường: Đại học Duy Tân 1.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu khác của Đại học Duy Tân
Preview text:
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn
I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) :
Cho 2 bộ số thực (a ;a ;...;a và (b ;b ;...;b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: 1 2 n ) 1 2 n )
(a b + a b +...+ a b ≤ a + a + + a b +b + +b n n )2 ( 2 2 2 ... n ) ( 2 2 2 ... 1 1 2 2 1 2 1 2 n )
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a a a 1 2 = = ... n =
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. b b b 1 2 n II. Các hệ quả : Hệ quả 1: C
Nếu a x + ... + a x = C (không đổi) thì min ( 2 2 x + ... + x = 1 n ) 1 1 n n 2 2 a + ... + a 1 n x x đạt được khi 1 = ... n = a a 1 n Hệ quả 2: www.nguoithay.org Nếu 2 2 2
x + ... + x = C (không đổi) thì max (a x + ... + a x = C a + ... + a 1 1 n n ) 2 2 1 n 1 n x x đạt được khi 1 = ... n = ≥ 0 a a 1 n
min (a x + ... + a x = − C a + + a n n ) 2 2 ... 1 1 1 n x x Dấu “=” xảy ra 1 ⇔ = ... n = ≤ 0 a a 1 n
III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng:
• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm
(a ;a ;...;a ;(b ;b ;...;b ;(c ;c ;...;c ta luôn có : 1 2 n ) 1 2 n ) 1 2 n )
(a b c + a b c +...+ a b c ≤ a + a + + a b + b + + b c + c + + c n n n )2 ( 3 3 3 ... n ) ( 3 3 3 ... n ) ( 3 3 3 ... 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n ) Chứng minh: Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
A = a + a + ... + a , B = b + b + ... + b
, C = c + c + ... + c 1 2 n 1 2 n 1 2 n
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 1
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn
Nếu A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0.
Vậy ta chỉ xét trường hợp A > 0; B > 0;C > 0 a b c Đặt i x = ; i y = ; i z = với 1 i = ; 2;3 i i i A B C 3 3 3
⎧x + x + x = 1 1 2 3 ⎪ Khi đó ta có: 3 3 3
⎨y + y + y = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x y z + x y z + x y z ≤ 1 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⎪ 3 3 3
z + z + z = 1 ⎩ 1 2 3 3 3 3 ⎧ x + x + x 1 1 1 x y z ≤ ⎪ 1 1 1 3 ⎪ 3 3 3 ⎪ x + x + x Áp
dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: 3 3 3
x ; y ; z (i = 1;2;3 ta có: 2 2 2 ⎨x y z ≤ i i i ) 2 2 2 3 ⎪ 3 3 3 ⎪ x + x + x 3 3 3 ⎪x y z ≤ 3 3 3 3 ⎩
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: x y z + x y z + x y z ≤ 1(đpcm) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ⎧a b c 1 1 1 = = ⎪ A B C
⎧x = y = z ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎪a b c Đẳng thức xảy ra 2 2 2
⇔ ⎨x = y = z ⇔ ⎨ = = 2 2 2 A B C ⎪x y z ⎪ = = ⎩ 3 3 3 ⎪a b c 3 3 3 = = ⎪⎩ A B C
Hay a : b : c = A : B : C (i = 1;2;3 tức là: a : b : c = a : b : c = a : b : c i i i ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3
• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm:
Cho m dãy số thực không âm:
(a ;a ;...;a ,(b ;b ;...;b , … , (K ;K ;...;K 1 2 n ) 1 2 n ) 1 2 n ) Ta có:
(a b ...K + a b ...K +...+ a b ... m m m K ≤ a + a + ... m m m + a b + b + ... m + b ... m m K + K + ... m + K 1 1 1 2 2 2 n n n ) ( 1 2 n ) ( 1 2 n ) ( 1 2 n )
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a : b : ... : K = a : b : ... : K = a : b : ... : K ( chứng minh tương tự như trên) 1 1 1 2 2 2 n n n
I- MỘT SỐ VÍ DỤ :
Bài 1: Cho x, y, z là ba số dương thỏa 4x + 9y +16z = 49 . Chứng minh rằng: 1 25 64 T = + + ≥ 49 x y z
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 2 www.nguoithay.org
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải 1 5 8
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 x;3 y; 4 z và ; ; ta được: x y z 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
T = ( x + y + z) + + = ⎜
⎟ ⎢( x )2 + ( y )2 + ( z )2 1 25 84 1 5 8 49. 4 9 16 2 3 4 ⎢ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎥ ⎝ x y z ⎠ ⎣ ⎥ ⎜ ⎟ ⎦ ⎢⎝ x ⎜ ⎠ y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ z ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎛ 1 5 8 ⎞ 2 ≥ ⎜ 2 x. + 3 y. + 4 z. ⎟ = 49 ⎜ x y z ⎟ ⎝ ⎠ 1 25 64 ⇒ T = + + ≥ 49 x y z ⎧ 1 x = ⎪ 2 ⎧ 1 5 8 ⎪ ⎪ = = ⎪ 5
Đẳng thức xảy ra khi ⎨2x 3y 4z ⇔ ⎨y = 3
⎪⎩4x 9y 16z 49 ⎪ + + = ⎪z = 2 ⎪⎩
Bài 2 : Cho x > 0; y > 0 và 2 2
x + y ≤ x + y .Chứng minh:
x + 3y ≤ 2 + 5
Hướng dẫn giải 2 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 Giả thiết: 2 2
x + y ≤ x + y ⇔ x − + y − ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 1
1;3 ; x − ; y − ⎜ ⎟ ta có: ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 2 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎤ ⎞ 1. 1− + 3. y − ≤ 10 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ x − + y − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ≤ 5 ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎥⎦
⇒ (x + y − )2 3 2 ≤ 5
⇒ x + 3y − 2 ≤ 5
⇒ x + 3y ≤ 2 + 5 ⎧ 1 5 ⎪x = + ⎪ Đẳng thức xảy ra khi 2 10 ⎨ ⎪ 1 3 5 y = + ⎪⎩ 2 10
Bài 3 : Cho a,b,c ≥ 0 ; a + b + c = 1.Chứng minh:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 3
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn 1 1 1 1 + + + ≥ 30 2 2 2 a + b + c ab bc ac
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Gọi A = + + + 2 2 2 a + b + c ab bc ac
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎜ ; ; ; ⎟ 2 2 2
⎝ a + b + c ab bc ca ⎠ ( 2 2 2
a + b + c ;3 ab;3 bc;3 ca ) Ta có: ( + + + )2 ≤ ( 2 2 2 1 3 3 3
a + b + c + 9ab + 9bc + 9ca) A ⇒
≤ ⎡(a + b + c)2 100
+ 7(ab + bc + ca)⎤ A ⎣ ⎦ (*) 1 1
Mà ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = (do 1
a + b + c = ) 3 3
Do đó: (*) ⇒ A ≥ 30. 1
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3 1 1 1 Bài 4 : Cho ;
x y; z > 0 và thoả x + y + z ≤ 1.Chứng minh : 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 82 2 2 2 x y z
Hướng dẫn giải 1 1 1 Gọi 2 2 2 S = x + + y + + z + 2 2 2 x y z ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: ( ) 1 1;9 ; ; x ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ 9 1 1 Ta có: 2 2 x + ≤ 1+ 81. x + = 82. x + (1) 2 2 x x x 9 1 2 y + ≤ 82. y + Tương tự: 2 y y ` (2) 9 1 2 z + ≤ 82. z + (3) 2 z z ⎛ 1 1 1 ⎞
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: S. 82 ≥ x + y + z + 9 + + ⎜ ⎟ ⎝ x y z ⎠ ⎛ ⎞ S ≥
(x + y + z) 1 1 1 . 82 81 + 9 + + − 80 ⎜ ⎟
(x + y + z) Hay ⎝ x y z ⎠
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 4
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn ⎛ ⎞ ≥
(x + y + z) 1 1 1 2.9.3. + + − 80 ≥ 162 − 80 = 82 ⎜ ⎟ ⎝ x y z ⎠ 1 1 1 Vậy 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 82 2 2 2 x y z
Bài 5 : Cho ba số thực dương a, ,
b c thoả ab + bc + ca = abc .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ 3 ab bc ca
Hướng dẫn giải 2 2 2 2 b + 2a b + 2a 1 1 Ta có: = = + 2
(do a,b dương) 2 2 2 2 ab a b a b 1 1 1
Đặt x = ; y = ; z = thì a b c ⎧a, , b c > 0 ⎧ ; x y; z > 0 giả thiết ⎨ ⇔ ⎨
⎩ab + bc + ca = abc
⎩x + y + z = 1 và (đpcm) 2 2 2 2 2 2
⇔ x + 2y + y + 2z + z + 2x ≥ 3
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (x + y )= (x +y +y )≥(x+y+y)2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 ⇒ x + 2y ≥ (x + 2y) 3 1 Tương tự 2 2 y + 2z ≥ ( y + 2z) 3 1 2 2 z + 2x ≥ (z + 2x) 3 1 Vậy 2 2 2 2 2 2
x + 2y + y + 2z + z + 2x ≥
(3x + 3y + 3z) = 3 3 1
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 3 1
Với x = y = z = thì a = b = c = 3 3
Bài 6 : Chứng minh: a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + )
1 với mọi số thực dương ; a ; b c ≥ 1
Hướng dẫn giải Đặt 2 2 2
a −1 = x ;b −1 = y ;c −1 = z Với ;
x y; z > 0.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
x + y + z ≤ ( 2
z + ) ⎡⎣( 2x + )( 2 1 1 y + ) 1 +1⎤⎦
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 5
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn x + y ≤ ( 2 x + )( 2
y + ) ⇒ x + y + z ≤ ( 2 x + )( 2 1 1 1 y + ) 1 + z (1)
( 2x + )( 2y + ) + z ≤ ( 2x + )( 2y + ) 2 1 1 1 1 + 1. z +1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có x + y + z ≤ ( 2
z + ) ⎡⎣( 2x + )( 2 1 1 y + ) 1 +1⎤⎦
Vậy a −1 + b −1 + c −1 ≤ c (ab + ) 1 (đpcm) Bài 7 : Cho ; a ;
b c > 0 và thoả abc = 1.Chứng minh: 1 1 1 3 + + ≥ 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3
c (a + b) 2
Hướng dẫn giải 1 1 1
Đặt x = ; y = ; z = ⇒ xyz = 1; x > 0; y > 0; z > 0 a b c 2 2 2 x y z 3
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= + + ≥ y + z z + x x + y 2 ⎛ x y z ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : ( y + z; z + x; x + y );⎜ ; ; ⎟ ⎜ y z z x x y ⎟ + + + ⎝ ⎠ Ta có: ( + + )2 x y z
≤ ( y + z + z + x + x + y) A x + y + z 3 3 3 3 ⇒ A ≥
≥ . xyz = (do xyz = 1) ⇒ A ≥ 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 Với 1
x = y = z = thì a = b = c = 1. Bài 8 : Cho ; a ;
b c > 0 .Chứng minh: a b c + + ≤ 1
a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b)
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:
( a; b);( c; a) Ta có: ( + )2 ac ab
≤ (a + b)(c + a) ⇒ ac + ab ≤ (a + b)(c + a)
⇒ a + ac + ab ≤ a + (a + b)(c + a) a a a ⇒ ≤ = (1)
a + (a + b)(a + c)
a + ac + ab a + b + c
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 6
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn b b Tương tự: ≤ (2)
b + (b + c)(b + a) a + b + c c c ≤ (3)
c + (c + a)(c + b) a + b + c
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: a b c + + ≤ 1
a + (a + b)(a + c) b + (b + c)(b + a) c + (c + a)(c + b)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . ab 3 2 − 3 Bài 9 : Cho ; a b > 0 và thoả 2 2
a + b = 9 .Chứng minh : ≤ a + b + 3 2
Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 a + b = 9
⇔ ab = (a + b)2 2 − 9
⇔ 2ab = (a + b + 3)(a + b − 3) 2ab ⇔ = a + b − 3 a + b + 3 ab a + b 3 ⇔ = − a + b + 3 2 2
Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì 2 2
a + b ≤ 2. a + b = 3 2 ab 3 2 − 3 Nên ≤ a + b + 3 2 ⎧ ; a b > 0 ⎪⎪ 3 Đẳng thức xảy ra khi 2 2
⎨a + b = 9 ⇔ a = b = 2 ⎪ ⎪⎩a = b 1 1 1 p + q p + q p + q Bài 10: Cho ; a ; b ;
c d dương tuỳ ý.Chứng minh : + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có 2 ( + ) ⎛ ⎞ 2 p q ⎛ p q ⎞ p q = ⎜ . pa + . qb ⎟ ≤ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟( pa + qb) a b ⎝ ⎠ ⎝ a b ⎠
Tương tự ta chứng minh được ( )2 ⎛ p q ⎞ ⎜ ⎟( ) ( ⎛ ⎞ + ≤ + + p + q)2 p q p q pb qc ; ≤ + ⎜ ⎟( pc + qa) ⎝ b c ⎠ ⎝ c a ⎠
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 7
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn ( + )2 ⎡ 1 1 1 ⎤ + + ≤ ⎢ ⎥ ( + )⎛ 1 1 1 ⎞ p q p q + + ⎜ ⎟ ⎣ pa + qb pb + qc pc + qa ⎦ ⎝ a b c ⎠ ⎡ ⎤ Hay ( + ) 1 1 1 1 1 1 p q + + ≤ + + ⎢ ⎣ pa qb pb qc pc qa ⎥ + + + ⎦ a b c 1 1 1 p + q p + q p + q Vậy + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa
Bài 11 : Cho 4 số dương ; a ; b ; c d .Chứng minh: 3 3 3 3 2 2 2 2 a b c d
a + b + c + d + + + ≥ b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c 3
Hướng dẫn giải 3 3 3 3 a b c d Đặt P = + + + b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 3 3 3 3 ⎛ a b c d ⎞ ⎜ ; ; ; ⎟; ⎜ + + + + + +
+ + ⎟ ( a (b + c + d ); b(c + d + a); c(d + b + a); d (a + b + c) ) b c d c d a b d a a b c ⎝ ⎠ Ta có: ( + + + )2 2 2 2 2 a b c d
≤ P ⎡a (b + c + d ) + b(c + d + a) + c(d + a + b) + d (a + b + c)⎤ ⎣ ⎦ 2
⇔ ( + + + ) ≤ ⎡( + + + )2 2 2 2 2 − ( 2 2 2 2 a b c d P a b c d
a + b + c + d )⎤ ⎣ ⎦ (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: (a; ; b ; c d );(1;1;1; ) 1 ta được:
(a + b + c + d )2 ≤ ( 2 2 2 2
4 a + b + c + d ) (2)
(a +b + c + d )2 2 2 2 2 ≤ 3P ( 2 2 2 2
a + b + c + d ) Từ (1) và (2) ta được 2 2 2 2
⇔ a + b + c + d ≤ 3P 3 3 3 3 2 2 2 2 a b c d
a + b + c + d Vậy + + + ≥ b + c + d
c + d + a b + d + a a + b + c 3 a b c
Bài 12 : Cho các số dương ; a ;
b c thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : + + ≥ 1
1+ b − a 1+ c − b 1 + a − c
Hướng dẫn giải a b c a b c Đặt A = + + = + +
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
2b + c 2c + a 2a + b
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 ( + + ) ⎡ ⎤ 2 a = ⎢ ( b c a b c
a 2b + c) +
b(2c + a) +
c (2a + b)⎥ 2b + c 2c + a 2a + b ⎣ ⎦ ⎡ a b c ⎤ ≤ + + ⎡a ⎢
⎥ ⎣ (2b + c) + b(2c + a) + c (2a + b)⎤
⎣ 2b + c 2c + a 2a + b ⎦ ⎦
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 8
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn
(a +b + c)2 ⇔ A ≥
3(ab + bc + ca) Ta lại có: (
3(ab + bc + ca)
a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) . Suy ra A ≥ ( =
ab + bc + ca) 1 3 a b c Vậy + + ≥ 1
1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c
⎧2b + c = 2c + a = 2a + b ⎪ 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi ⎨a = b = c
⇔ a = b = c = 3
⎪a +b + c =1 ⎩
Bài 13 : Giả sử các số thực ;
x y; z;t thoả mãn điều kiện: a ( 2 2
x + y ) + b( 2 2
z + t ) = 1 với ;
a b là hai số dương cho +
trước. Chứng minh: ( + )( + ) a b x z y t ≤ ab
Hướng dẫn giải Do ;
a b > 0 nên từ giả thiết ta có: + +
a (x + y ) + b(z + t ) 2 2 2 2 x y z t 1 2 2 2 2 = 1 ⇔ + = b a ab 2 2 2 2 x z y t 1 ⇔ + + + = b a b a ab
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 2 2 ( + )2 ⎛ x z ⎞ ⎛ x z ⎞ x z = . b + . a ≤ ⎜ ⎟
(b + a)⎜ + ⎟ (1) ⎝ b a ⎠ ⎝ b a ⎠ 2 2 ⎛ y t ⎞ Tương tự :
( y + t)2 ≤ (b + a)⎜ + ⎟ (2) ⎝ b a ⎠
Cộng từng vế (1) và (2) ta được: 2 2 2 2 ⎛ x z y t ⎞ a + b
(x + z)2 + ( y + t)2 ≤ (b + a)⎜ + + + ⎟ = (3) ⎝ b a b a ⎠ ab
Mặt khác ( x + z)2 + ( y + t)2 ≥ 2( x + z)( y + t) (4) +
Do đó từ (3) và (4) suy ra: ( + )( + ) a b x z y t ≤ ab ⎧ x z = ⎪b a ⎪ ⎧x = y ⎪ y t ⎪
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ⎨ = ⇔ ⎨ ax b a z = t = ⎪ ⎪⎩ b
⎪x + z = y + t ⎪⎩
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 9
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn
Bài 14 : Cho các số thực dương ;
x y; z;t thoả mãn xyzt = 1.Chứng minh: 1 1 1 1 4 + + + ≥ 3
x ( yz + zt + ty) 3
y ( xz + zt + tx) 3
z ( xt + ty + yx) 3
t ( xy + yz + zx) 3
Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Với ;
x y; z;t dặt a = ;b = ;c = ; d = ( ; a ; b ;
c d > 0) và abcd = 1 x y z t 1 1 1 1
⇒ x = ; y = ; z = ;t = a b c d
Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 1 1 1 1 4 + + + ≥ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3 + + + + + + + + 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟
a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd
ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ 3 3 3 3 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 bcd adc abd abc 3 3 3 3 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ (vì abcd = 1)
a (b + c + d ) b(c + d + a) c(d + a + b) d (a + b + c) 3 2 2 2 2 a b c d 4 ⇔ + + + ≥ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 2 2 2 2 a b c d Đặt S = + + + b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
S ⎡⎣(b + c + d ) + (c + d + a) + (d + a + b) + (a + b + c)⎤ ≥
⎦ (a + b + c + d )2 .
(a + b + c + d)2 1 ⇒ S ≥ =
a + b + c + d (1)
3(a + b + c + d ) ( ) 3
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
a + b ≥ 2 ab; c + d ≥ 2 cd
Suy ra a + b + c + d ≥ 2( ab + cd )
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ab; cd ta có: 4 ab + cd ≥ 2
abcd = 2 abcd = 2 (vì abcd = 1) (2) 4
Từ (1) và (2) suy ra S ≥ 3 1 1 1 1 4 Vậy + + + ≥ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 3 + + + + + + + + 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟
a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd
ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = d = 1 ⇔ x = y = z = t = 1 .
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 www.nguoithay.org Page 10
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn
Bài 15 : Cho x ; x ; x ; x dương thoả điều kiện x + x + x + x = 1.Chứng minh : 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 4 4 + + + x x x x 1 1 2 3 4 ≥ 3 3 3 3
x + x + x + x 4 1 2 3 4
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
1 = ( x + x + x + x )2 ≤ 4( 2 2 2 2
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 1 2 2 2 2
⇒ x + x + x + x ≥ (1) 1 2 3 4 4 2 • ( 2 2 2 2
x + x + x + x ) = ( 3 3 3 3
x . x + x . x + x . x + x . x 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 )
≤ ( x + x + x + x )( 3 3 3 3
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 3 3 3 3
= x + x + x + x (vì x + x + x + x = 1) 1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 3 3
x + x + x + x 1 2 3 4 2 2 2 2 ⇔
≥ x + x + x + x (2) 2 2 2 2 1 2 3 4
x + x + x + x 1 2 3 4 •
(x + x + x + x )2 3 3 3 3 1 2 3 4 = ( 2 2 2 2
x .x + x .x + x .x + x .x 1 1 2 2 3 3 4 4 ) ≤ ( 2 2 2 2
x + x + x + x )( 4 4 4 4
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ) 4 4 4 4 3 3 3 3
x + x + x + x
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 ⇒ ≥ (3) 3 3 3 3 2 2 2 2
x + x + x + x
x + x + x + x 1 2 3 4 1 2 3 4 Từ (1);(2) và (3) suy ra: 4 4 4 4
x + x + x + x 1 1 2 3 4 ≥ 3 3 3 3
x + x + x + x 4 1 2 3 4
Bài 16 : Cho bốn số dương ; a ; b ; c d .Chứng minh: 4 4 4 4 a b c d
a + b + c + d + + + ≥ ( a + b)( 2 2
a + b ) (b + c)( 2 2
b + c ) (c + d )( 2 2
c + d ) (d + a)( 2 2 d + a ) 4
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
(a + b)2 ≤ (a + b ) ⇔ (a + b )(a + b)2 2 2 2 2 ≤ ( 2 2 a + b ) ≤ ( 2 2 2 2 4 a + b ) (1) 4 4 a + b 1 ⇔ ≥ + ( a + b)( a b 2 2 a + b ) ( ) 4 4 4 a − b Mặt khác: = − ( a + b)( a b 2 2 a + b ) 4 4 4 4 a b c d Đặt N = + + + ( a + b)( 2 2
a + b ) (b + c)( 2 2
b + c ) (c + d )( 2 2
c + d ) (d + a)( 2 2 d + a )
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 11
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang www.nguoithay.org GV Ñoã Kim Sôn Ta có: ( 4 4 a − b ) + ( 4 4 a + b ) ( 4 4 b − c ) + ( 4 4 b + c ) ( 4 4 c − d ) + ( 4 4 c + d ) ( 4 4 d − a ) + ( 4 4 d + a ) 2N = + + + ( (1) a + b)( 2 2 a + b ) (b + c)( 2 2 b + c ) (c + d)( 2 2 c + d ) (d + a)( 2 2 d + a ) 1
⇔ N ≥ (a + b) 1
+ a − b + (b + c) 1
+ b − c + (c + d ) 1 2
+ c − d + (d + a) + d − a 4 4 4 4 1
⇔ N ≥ (a + b + b + c + c + d + d + a) 1 2
⇔ N ≥ (a + b + c + d ) ( đpcm ) 4 4 a b c Bài 17 : Cho ; a ;
b c là các số thực dương.Chứng minh: + + ≥ 1 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
(Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải a b c Đặt A = + + 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được: 2 ( ⎡ ⎤
a + b + c)2 a b c 4 2 4 2 4 2 = ⎢
. a. a + 8bc +
. b. b + 8ac +
. c. c + 8ab ⎥ 4 2 4 2 4 2 ⎣ a + 8bc b + 8ac c + 8ab ⎦ ⎡ a b c ⎤ 2 2 2 ⎡ ⎢ ⎥ . a a 8bc b b 8ac c c 8ab ⎤ ≤ + + + + + + + 2 2 2 ⎣ a 8bc b 8ac c 8ab ⎣ ⎦ + + + ⎦ 3 3 3 .
A ⎡ a. a 8abc b. b 8abc c. c 8abc ⎤ = + + + + + ⎣ ⎦
≤ A (a + b + c)( 3 3 3 .
a + b + c + 24abc) (1) Mặt khác
(a + b + c)3 3 3 3
= a + b + c + 3(a + b)(b + c)(a + c)
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
a + b ≥ 2 ab; b + c ≥ 2 bc; a + c ≥ 2 ac
Suy ra: (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc
⇒ (a + b + c)3 3 3 3
= a + b + c + (a + b)(b + c)(a + c) 3 3 3 3
≥ a + b + c + 24abc (2) Từ (1) và (2) suy ra:
(a + b + c)2 ≤ A (a + b + c)(a + b + c)3 = A (a + b + c)2 . . a b c
Do đó A ≥ 1, nghĩa là + + ≥ 1 2 2 2 a + 8bc b + 8ac c + 8ab
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Bài 18 : Cho ; x y; z + ∈
thoả xy + yz + zt + tx = 1.Chứng minh:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 12
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 3 x y z t 1 + + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z 3
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( + + + )2 ≤ ( 2 2 2 2 + + + )( 2 2 2 2 xy yz zt tx x y z t
y + z + t + x ) 2 2 2 2
⇔ 1 ≤ x + y + z + t (1)
Đặt: X = y + z + t;Y = x + z + t; Z = x + y + t;T = x + y + z
Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ t 2 2 2 2
⇒ x ≥ y ≥ z ≥ t và 3 3 3 3
x ≥ y ≥ z ≥ t
và y + z + t ≤ x + z + t ≤ x + y + t ≤ x + y + z ⇔ X ≤ Y ≤ Z ≤ 1 1 1 1 T ⇒ ≥ ≥ ≥ X Y Z T
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau: 3 3 3 3
⎧x ≥ y ≥ z ≥ t ⎪ ⎨ 1 1 1 1 ≥ ≥ ≥ ⎪⎩ X Y Z T 3 3 3 3 x y z t 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ + + + ≥ + + + ⎜ ⎟( 3 3 3 3
x + y + z + t ) (2) X Y Z T 4 ⎝ X Y Z T ⎠
⎧x ≥ y ≥ z ≥ t
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy ⎨ 2 2 2 2
⎩x ≥ y ≥ z ≥ t 1 ( 3 3 3 3
x + y + z + t ) ≥ (x + y + z + t)( 2 2 2 2
x + y + z + t ) 4 Mặt khác: 1
x + y + z + t = ( x + y + z + x + y + t + x + z + t + y + z + t) 1
= ( X + Y + Z + T ) 3 3 ⇒ ( 1 1 3 3 3 3
x + y + z + t ) ≥ ( 2 2 2 2
x + y + z + t ). ( X + Y + Z + T ) (3) 4 3 Từ (2) và (3) rút ra: 3 3 3 3 x y z t 1 ( ⎛ 1 1 1 1 2 2 2 2 ⎞ + + + ≥
x + y + z + t )( X + Y + Z + T ) + + + ⎜ ⎟ X Y Z T 48 ⎝ X Y Z T ⎠ Theo (1) ta lại có: 2 2 2 2
1 ≤ x + y + z + t
Áp dụng BĐT Cauchy cho X ;Y; Z;T > 0 ta có: 4
X + Y + Z + T ≥ 4 X .Y.Z.T 1 1 1 1 1 4 + + + ≥ 4 X Y Z T
X .Y.Z.T ( ⎛ ⎞
⇒ X + Y + Z + T ) 1 1 1 1 . + + + ≥ 16 ⎜ ⎟ ⎝ X Y Z T ⎠
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 13
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 3 x y z t 1 1 Vậy + + + ≥ .1.16 = X Y Z T 48 3
Thay X ;Y; Z;T ta được kết quả: 3 3 3 3 x y z t 1 + + + ≥ y + z + t x + z + t x + y + t x + y + z 3 1
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 2
Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng: 1 2 C + C + ... n
+ C ≤ n(2n − n n n )1
Hướng dẫn giải Chọn hai dãy ( 1 2
a = C ; a = C ;...; n
a = C ; b = b = ... = b = 1 1 n 2 n n n ) ( 1 2 n ) 2
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( 1 2 n
C + C + + C ) ≤ ( 1 2 ... C + C + ... n + C + + + (1) n n n n n n ) (1 1 ... ) 1 n
Theo nhị thức Newton ta có: (a + b)n k k n k = ∑C a b − n k 1 =
Cho a = b = 1.Ta có: n 0 1 n n 1
2 = C + C + ... + C ⇒ 2 −1 = C + ... n + C n n n n n Vậy từ (1) ta có: 1 2 C + C + ... n
+ C ≤ n(2n − n n n )1
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 C = C = ... n = C ⇔ n = 1. n n n a b c d 2 Bài 20 : Cho ; a ; b ;
c d > 0 .Chứng minh : + + + ≥
b + 2c + 3d
c + 2d + 3a
d + 2a + 3b
a + 2b + 3c 3
(Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải 2 n n n ⎛ x ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: i
⎜ ∑ ⎟ ∑ x y ≥ ∑ x ⎜ i i ⎟ ⎜ i ⎟
⎝ i 1= yi ⎠⎝ i 1= ⎠ ⎝ i 1= ⎠
với n = 4;( x ; x ; x ; x = a; ; b ;
c d ; y ; y ; y ; y = b + 2c + 3d;c + 2d + 3a;d + 2a + 3 ;
b a + 2b + 3c 1 2 3 4 ) ( ) ( 1 2 3 4 ) ( )
(a + b + c + d )2 ⇒ VT ≥ (1)
4(ab + ac + ad + bc + bd + cd ) 3
Mặt khác (ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ≤ (a + b + c + d )2 (2) 8 2
Từ (1) và (2) ⇒ VT ≥ ( đpcm ) 3 4 4 4 3 3 3 a b c a + b + c Bài 21 : Cho 0
a > ;b > 0;c > 0 .Chứng minh : + + ≥ b + c c + a a + b 2
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 14
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Hướng dẫn giải 4 4 4 a b c Đặt 2 2 2 x = ; x = ; x = và 2 a (b + c) 2 2
= y ;b c + a = y ;c a + b = y 1 ( ) 2 2 2 ( ) 2 1 2 3 b + c c + a a + b 3
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số x ; x ; x và y ; y ; y ta được: 1 2 3 1 2 3 4 4 4 ⎛ a b c ⎞ 2 ⎜ + + ⎡
⎟ a (b + c) 2
+ b (c + a) 2
+ c (a + b) 2 ⎤ ≥ ( 3 3 3
a + b + c )2
⎝ b + c c + a a + b ⎣ ⎦ ⎠ (a +b + c a b c )2 3 3 3 4 4 4 Nên + + ≥ 2 b + c c + a a + b a (b + c) 2
+ b (c + a) 2
+ c (a + b)
Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh: ( + + ) 2 3 3 3 ≥ ( + ) 2 + ( + ) 2 2 a b c a b c
b c a + c (a + b) (**) (**) 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
⇔ a + b − a b − b a + b + c − b c − bc + c + a − c a − ca ≥ 0
⇔ (a − b)2 (a + b) + (b − c)2 (b + c) + (c − a)2 (c + a) ≥ 0 (***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng. 4 4 4 3 3 3 a b c a + b + c Vậy + + ≥ b + c c + a a + b 2
Bài 22 : Cho x > 0;i = 1; 2;...;n có x + x + ... + x = 1.Cho x ; x ;...; x là hoán vị của x ; x ;...; x .Chứng minh: i 1 2 n 1 i 2 i n i 1 2 n 2 n ⎛ 1 ⎞ ( 2n + )2 1 ∑⎜ x + ⎟ ≥ k ⎜ ⎟ k 1 = x n ⎝ ⎠ k i
Hướng dẫn giải 2 2 2 n ⎛ 1 ⎞ ⎡ n ⎛ 1 ⎞⎤ n n ⎛ 1 ⎞ Theo Bunhiacôpxki: . n ∑⎜ x + ⎟ ≥ ⎢∑⎜ x +
⎟⎥ = ⎜ ∑ x + ∑ ⎟ k k k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ k 1 = x ⎝ ⎠ ⎢ = x ⎣ ⎝ ⎠⎥ = = x i k 1 i k 1 k 1 ⎦ ⎝ ⎠ k k k i n n n n 2 ⎛ ⎞⎛ 1 ⎞ 1 n Mà ∑ x = 1 2 2 ∑x ⎜ ⎟⎜ ∑ ⎟ ≥ n ⇒ ∑ ≥ = n k k i n ⎜ ⎟ k 1 = ⎝ k 1= ⎠ k 1= x = x i k 1 ⎝ ⎠ k k i ∑xki k 1 = 2 n ⎛ 1 ⎞ ( 2n + )2 1 Vậy ∑⎜ x + ⎟ ≥ k ⎜ ⎟ k 1 = x n ⎝ ⎠ k i BÀI TẬP : 3 3 a b Bài 1: Cho ; a ; b ; c d > 0 và thỏa + = ( + )3 2 2 2 2 c d a b .Chứng minh: + ≥ 1 c d
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 15
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 1 1 4 16 64 Bài 2: Cho ; a ; b ;
c d > 0 .Chứng minh: + + + ≥ a b c d
a + b + c + d 3 3 3 a b c 1 Bài 3: Cho ; a ;
b c là 3 số dương và 2 2 2
a + b + c ≥ 1.Chứng minh: + + ≥ b + c c + a a + b 2 Bài 4: Cho 2 2 2
a + b + c = 1.Chứng minh: a + b + c + ab + ac + bc ≤ 1+ 3 4 4 4 2 2 2 a b c a + b + c Bài 5: Cho ; a ;
b c là các số dương.Chứng minh: + + ≥ 2 2 2 2 2 2
a + ba + b
b + bc + c
c + ac + a 3 Bài 6: Cho 3 số ;
x y; z thoả x ( x − ) + y ( y − ) + z ( z − ) 4 1 1
1 ≤ .Chứng minh: x + y + z ≤ 4 3 a + 2b b + 2c c + 2a Bài 6: Cho a; ;
b c là 3 số không âm.Chứng minh: + +
≥ a + b + c 3 3 3 bc ca ab 3
Bài 7: Cho 3 số dương ; a ;
b c có abc = 1.Chứng minh: + + ≥ 2 2 2 2 2 2
a b + a c b c + b a c a + c b 2 1+ x 1+ y 1+ z 9 + 3 3
Bài 8: Cho 3 số dương ;
x y; z có x + y + z = 1.Chứng minh: + + ≥ y + z z + x x + y 2 ( + + )2 a b c a b c Bài 9: Chứng minh: + + ≥ x y z x + y + z 2 2 2 x y y z z x 2
Bài 10: Cho x ≥ y ≥ z > 0 .Chứng minh: + + ≥ ( 2 2 2
x + y + z ) z x y ⎛ a + b ⎞
Bài 11: Cho a ≥ 1;b ≥ 1.Chứng minh: log a + log b ≤ 2 log 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 1 1 ⎞
Bài 12: Cho a; ;
b c > 0 .Chứng minh: (a + b + c ) + + ≥ ⎜
⎟ (a + b + c)2 3 3 3 ⎝ a b c ⎠ 3 2
Bài 13: Cho a; ;
b c ∈ .Chứng minh: a + (1− b)2 + b + (1− c)2 + c + (1− a)2 2 2 2 ≥ 2 3 1 1 1 3 Bài 14: Cho ;
x y; z > 0 và x + y + z ≤ .Chứng minh: 2 2 2 x + + y + + z + ≥ 17 2 2 2 2 x y z 2
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;
a b và 2 số dương ;
c d thay đổi sao cho a + b < c + d .Chứng minh: c ( − )2 2 2 a c a + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi nào? c + d
a + b − c − d a + b a a a
Bài 16: Cho a ; a ;...; a là các số thực thoả mãn 2 2 2
a + a + ... + a = 3.Chứng minh: 1 2 + + ... n + < 2 1 2 n 1 2 n 2 3 n +1 a b c 3
Bài 17: Cho a; ; b ;
c p;q > 0 .Chứng minh: + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q
Bài 18: Chứng minh rằng với mọi a ∈ (i = 1;2;...;n ta có: i ) + ( n a
1− a )2 + a + (1− a )2 + ... + a + − a ≥ n (1 )2 2 2 2 1 2 2 3 1 2
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 16
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c)
Bài 1: Cho ΔABC thoả mãn hệ thức: + + = (1).CM ΔABC đều
br + cR cr + aR ar + bR 9R
Hướng dẫn giải
x = br + cR > 0
Để đơn giản ta đặt: y = cr + aR > 0 (2)
z = ar + bR > 0 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) vậy (1) ⇔ + + = x y z 9R Từ (2) ta có:
ax + by + cz = (ab + bc + ca)(r + R) (3) 3 3 3 a b c y x z y x z 4 4 4 2 2 2 2 2 2
(ax + by + cz)( +
+ ) = a + b + c + ab(a + b ) + bc(b + c ) + ca(c + a ) x y z x y y z z x Theo BĐTCauchy,ta có: 3 3 3 a b c 4 4 4 2 2 2 2
(ax + by + cz)( +
+ ) ≥ a + b + c + 2 . ab ab + .2 bc bc + c .2
a ca ≥ (a + b + c ) x y z 3 3 3 2 2 2 a b c
(a + b + c ) Suy ra : ( + + ) ≥ (theo 3) (4) x y z
(ab +bc + ca)(r + R)
mặt khác ta luôn có (Cauchy): 2 2 2
a + b + c ≥ ab + bc + ca 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 a b c
(a + b + c ) a + b + c nên (4): + + ≥ = 2 2 2 x y z
(a + b + c )(r + R) r + R 2
(a + b + c) ≥ (theo BĐT BCS) 3(r + R) R 9R
Mà R ≥ 2r ⇒ 3(r + R) ≤ 3( + R) = 2 2 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) 3 3 3 2 a b c
2(a + b + c) từ đó: + + ≥ ⇒ + + ≥ x y z 9R
br + cR cr + aR ar + bR 9R
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 17
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn ⎧
⎪a = b = c ⎪⎪
dấu “=” xảy ra khi ⎨R = r ⇔ ΔABC đều ⎪ y y z y x z 2 2 2 2 2 2 ⎪a = b ,b = c ,c = a ⎪⎩ x z y z y x
Bài 2 : CM: 1+ cos Acos B cosC ≥ 3 sin Asin B sin C với A, B,C nhọn
Hướng dẫn giải A B B C C A
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A 1 Áp dụng BCS ta có: 2 2 2 2 2 2 tg tg + tg tg + tg tg ≥ (1) 2 2 2 2 2 2 3
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có: A B B C C A A B C 2 2 2 3 tg tg + tg tg + tg tg ≥ 3 tg tg tg (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C 1 ⇔ 3tg tg tg ≤ 2 2 2 3 từ (1)và(2): A B B C C A 4 A B C 2 2 2 2 2 2 1+ tg tg + tg tg + tg tg ≥ ≥ 4 3tg tg tg 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C ⎞ ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C ⎞ A B C 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1+ tg 1+ tg 1+ tg + 1− tg 1− tg 1− tg ≥ 8 3tg tg tg ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 2 2 2 2 A 2 B 2 C A B C 1− tg 1− tg 1− tg 2tg 2tg 2tg 2 2 2 2 2 2 ⇔ 1+ . . ≥ 3 . . 2 A 2 B 2 C 2 A 2 B 2 C 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 1+ tg 2 2 2 2 2 2
⇔ 1+ cos Acos B cosC ≥ 3 sin Asin Bsin C
Dấu “=” xảy ra khi ΔABC đều
Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ .chứng minh rằng a b c T = + + ≥1 b 2 + c 2 − a
2c + 2a − b 2a + 2b − c
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số: a b c ; ; ; a( b
2 + 2c − a); b(2c + 2a − b); c(2a + b 2 − c) b 2 + 2c − a
2c + 2a − b 2a + b 2 − c
Ta có: T [.a(2b + 2c − a)+ b(2c + 2a − b)+ c(2a + b − c)]≥ (a + b + c)2 2
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2 Từ đó suy ra đpcm.
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 18
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Bài 4 : Cho ABC Δ
và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của Δ nhỏ S
và có diện tích S1; S2; S3. Gọi S là diện tích ΔABC . Chứng minh: S + S + S ≥ 1 2 3 3
Hướng dẫn giải Giả sử S1= SAMN ha − 2r Ta có: AM Δ
N đồng dạng ABC Δ
với tỉ số đồng dạng là:
với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h ha a là
đường cao kẻ từ đỉnh A. 2 2 S
⎛ ha − 2r ⎞ ⎛ a ⎞ Ta có: 1 = ⎜ ⎟ = 1 ⎜⎜ − ⎟⎟ S ⎝ ha ⎠ ⎝ p ⎠ 1 r a (Vì S = aha = 2 pr ⇒ = với p là nửa chu vi) 2 ha p S1 a Vậy: =1− S p S S 2 b 3 c Tương tự: =1− ; =1− S p S p S + S + S a + b + c Do đó: 1 2 3 = 3 − = 1 S p Áp dụng BĐT Bun ta có: 2 S = ( . 1 S + . 1 S + . 1 S
≤ 1 +1 +1 S + S + S 1 2 3 ) ( 2 2 2)( 1 2 3) ⇒ S
S + S + S ≥
(đpcm). Dấu “=” xảy ra khi ABC Δ đều 1 2 3 3
Bài 5 : Cho ΔABC và 1 điểm Q nào đó ở trong Δ . Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC).Chứng minh: 1
a) S = ( S + S + S )2 b) S + S + S ≥ S 1 2 3 1 2 3 3
Hướng dẫn giải MP a) Ta có: QM Δ
P đồng dạng B Δ AC (tỉ số ). AC 2 S ⎛ MP ⎞ S MP Suy ra 1 1 = ⇒ = ⎜ ⎟ . S ⎝ AC ⎠ S AC S PC S AM Tương tự 2 3 = ; = S AC S AC S + S + S
MP + PC + AM AC Do đó: 1 2 3 = = = 1 S AC AC
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 19
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Suy ra: S = S + S + S ⇒ S = ( S + S + S )2 1 2 3 1 2 3
b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
S = (1. S +1. S +1. S )2 ≤ ( 2 2 2 1 +1 +1 S + S + S 1 2 3 )( 1 2 3) 1
Suy ra S + S + S ≥ S 1 2 3 3
Dấu “=” xảy ra khi S = S = S ⇔ Q là trọng tâm ABC Δ 1 2 3
Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh: a b c + +
≥ a + b + c
b + c − a
c + a − b
a + b − c
Hướng dẫn giải b
⎧ + c − a = x > 0 ⎪
Đặt ⎨c + a − b = y > 0
⎪a +b −c = z > 0 ⎩
Khi đó ta cần chứng minh: y + z z + x x + y y + z z + x x + y + + ≥ + + 2 x 2 y 2 z 2 2 2
⇔ yz ( y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) ≥ 2 xyz ( x + y + y + z + x + z ) (1)
Dễ thấy VT (1) ≥ 2( xy + yz + zx) (2)
Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
( x+ y + y + z + z + x)2 ≤ 6(x+ y + z)
⇒ x + y + y + z + z + x ≤ 6(x + y + z)
VT (2) ≤ 2 3xyz ( x + y + z) (3) Rõ ràng ta có 2 2 2 2 2 2
x y + x y + x y ≥ xyz ( x + y + z)
⇒ ( xy + yz + zx)2 ≥ 3xyz (x + y + z)
⇒ xy + yz + zx ≥ 3xyz (x + y + z) (4)
Từ (1) (2) (3) (4) ⇒ đpcm. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a2b(a – b) +b2c(b – a) + c2a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 20