6 trang 1 lượt tải

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Dạng Engel - Chứng Minh Và Ứng Dụng | Chuyên Đề Toán | Trường đại học Sư Phạm Hà

1

Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF với mục đích hỗ trợ học tập và tham khảo. Nội dung tài liệu được trình bày rõ ràng, dễ tiếp cận, phù hợp cho việc ôn tập và củng cố kiến thức trong quá trình học đại học. Đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên chuẩn bị tốt hơn cho các buổi học, đồng thời mở rộng thêm hiểu biết về môn học. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều giá trị và hỗ trợ các bạn trong hành trình học tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo!

Môn: Chuyên đề Toán 49 tài liệu

Trường: Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 3.1 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

2 giờ trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/6
1
I. Phát biểu và chứng minh bấ ẳt đ ng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel.
Giả sử
1 2
, , ,
n
là các số thực bất kì và
1 2
, , ,
n
b b b…
là các số th ực dương.
Khi đó, ta luôn có:
( )
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
+ +…+ ≥
+ +…+
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = … =
.
Bất đẳ ứng th c này c òn có thể được gọi là “B u”ất đẳng thức cộng mẫ .
Chứng minh
Trước hết chúng ta chứ ất đẳ ức đơn giản sau:ng minh b ng th
Cho
, , ,a b x y
là các số thực và
, 0x y >
. Khi đó:
2
2 2
( )a b
a b
x y x y
+
+ ≥
+
Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành
( ) ( )
2 2 2 2
( ) ( ) 0a y x y b x x y a b xy ay bx+ + + ≥ + ⇔ − ≥
(Luôn đúng)
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
a b
x y
=
. Vậ ức (1) đượy bất đẳng th c chứng minh.
Với 6 số
, , , , ,a b c x y z
và
, , 0x y z >
. ụ ứ Áp d ng bất đẳng th c (1) hai lần ta có:
2 2
2 2 2 2
( ) ( )a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
+ + +
+ + ≥ + ≥
+ + +
Do đó b p toán họằng phép quy nạ c với
1 2
, , ,
n
thlà các số ực bất kì và
1 2
, , ,
n
b b b…
thực dương. , Khi đó ta luôn có:
( )
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b
+ +…+ ≥
+ +…+
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = … =
.
BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY – SCHWARZ DẠNG ENGEL
VD - VDC
2
II. Ứ ụ ấ ẳ ứng d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz d ạng Engel vào các bài toán điển hình
1. H ai bấ ẳt đ ng thức cơ bản
Bất đẳng thức 1: Cho các số th ực dương
,x y
. ứ ằ Ch ng minh r ng
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
H nướng dẫ
Ta có:
2
(1 1)
1 1 4
x y x y x y
+
+ ≥ =
+ +
(đpcm)
Đẳ ứng th c xảy ra khi:
x y=
.
Bất đẳng thức 2: Cho các số thực dương
, ,x y z
. Chứng minh rằng
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
Hướng dẫn
Ta có:
2
(1 1 1)
1 1 1 9
x y z x y z x y z
+ +
+ + ≥ =
+ + + +
(đpcm)
Đẳ ứng th c xảy ra khi
x y z= =
.
2. Các ứng dụng phức tạp hơn
Bài toán 1: (Bấ ẳt đ ng thức Nebits) thCho ba số ực dương
, ,a b c
.Chứ ằng minh r ng:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
Để ụ áp d ng được bất đẳng thứ ẫc cộng m u phải làm cho tử có dạng bình phương
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
( )
2
a b c
a b c a b c
b c a c a b
a b c b a c c a b ab bc ca
+ +
+ + = + + ≥
+ + +
+ + + + +
Mà ta l ại có
( )
2
2 2 2 2
( )
( ) 3 3
a b c
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
ab bc ca
+ +
+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + ⇔ ≥
+ +
Khi đó ta có:
3
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
( cm)đp
Đẳ ứng th c xảy ra khi
a b c= =
.
Bài toán 2: Giả sử c thó ba số ực
, , 1a b c > −
thỏa mãn
2 2 2
3a b c+ + =
. Chứng minh rằng
1 1 1 3
1 1 1 2ab bc ca
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
Áp dụ ựng tr c ti c Cauchyếp bấ ẳ ứt đ ng th - Schwarz d ta c ạng Engel đượ
2
2 2 2
2 2 2
(1 1 1)
1 1 1 9 3
1 1 1 3 2
3
ab bc ca ab bc ca
a b c
+ +
+ + ≥ ≥ =
+ + + + + +
+ + +
Ta suy ra u phđược điề ải chứng minh do
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
.
Dấu bằ ảng x y ra khi
a b c= =
.
3
Bài toán 3: Cho ba số thực dương
, ,a b c
. ứ ằ Ch ng minh r ng:
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
Tương tự như ở bài toán 1, để áp dụn đượ ấ đẳ ứ ẫ ầ ạ đạ ượng c B t ng th c cộng m u thì ta c n t o ra i l g
b phình ương ở tr s ên tử ố.
Áp dụ ứng bất đẳng th c Cauchy Schwarz d- ạng Engel, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2
( ) ( )
1
2 2 2 3 ( )
a b c a b c
a b c
VT
a b c b c a c a b ab bc ca a b c
+ + + +
= + + ≥ ≥ =
+ + + + + + +
Do
( )
2 2 2 2
( ) 3a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + +
Đẳ ứng th c xảy khi
a b c= =
.
Bài toán 4: Cho ba số thực dương
, ,a b c
, chứ ằng minh r ng
1.
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn
Trước h c dết, mặ ù dạ ủng c a Bài toán này khá tương đồ ướ để ấ ủng với bài tr c nhưng ý d u c a bất
đẳ ứ đ ạ ấ để ự ướng th c ở ây l i là d u “nhỏ hơn”, chính vì thế c ló thể àm tương t như bài tr c, chúng
ta c a B u ầ đổn biến i để đưa về đ ấúng d u củ ất đẳ ứng th c cộng mẫ như sau
1 3
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1
1.
2 2 2 2 2 2 2 2
a
a
b c
c
a
a b b c c a a b
b a b
c a a b b c c a a b b
c
c
+ + ≤ ⇔ ∑ − ≤ −
+ + + +
⇔ − + + ≤ − ⇔ + + ≥
+ + + + + +
T h bừ đây, ta có t ể áp dụng ất đẳng thức Cauchy Schwarz d- ạng Engel ch để ứng minh như sau
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )
1.
2
2 2 2 2
a b c
b b c a
a b
ab b bc c ca a ab bc ca b c a
+ +
∑ = + + ≥ =
+
+ + + + + + + +
Dấu bằ ảng x y ra khi
a b c= =
.
Bài toán 5: Cho ba số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
3x y z+ + ≥
. ứ ằ Ch ng minh r ng
2
2 2
3
2
y
x z
x yz y zx z xy
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
Áp dụ ứng bất đẳng th c Cauchy Schwarz d- ạng Engel, ta có:
2 2
2 2
( )y x y z
x z
x yz y zx z xy x y z xy yz zx
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
Mặt khác:
x y z xy yz zx+ + ≥ + +
Nên ta có:
2 2
2 2
( )
3
2 2
y x y z x y z
x z
x y z x y z
x yz y zx z xy
+ + + +
+ + ≥ = ≥
+ + + + +
+ + +
(Vì giả thiết
3x y z+ + ≥
).
Đẳ ứng th c xảy ra
x y z⇔ = =
.
4
Bài toán 6: Cho ba số thực dương
, ,a b c
. ứ ằ Ch ng minh r ng
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
a b c
a b b c c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
Hướng dẫn
Sau khi làm quen được với d ài tạng và cách áp dụng, khi nhìn vào b oán này có chứa cả dạng
phân số v tà bình phương ở ử nên nhiều khả năng sẽ chứ đượng minh c bằng bất đẳng thức
Cauchy- Schwartz dạng Engel, ta biến i nhđổ ư sau
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c c a
a b b c c a a b a b b c b c c a c a
+ + +
+ + = + + + + +
+ + + + + + + + +
Áp dụ ứng bất đẳng th c Cauchy Schwartz d cho c- ạng Engel ả 6 h ạng tử, ta có:
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
2
4
a b c
a b b c c a
a b c
a b a b b c b c c a c a
a b c
+ +
+ + + + + ≥ = + +
+ + + + + +
+ +
(Điều phải chứng minh)
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
a b c= =
.
Bài toán 7: (IMO1995) Cho các số thực dương
, ,a b c
thỏa mãn
1abc =
. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn
Nếu áp dụ ấng luôn b t đẳ ứng th c cộn mẫg u ở ây đ như sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3 3 3 3 3
(1 1 1)
1 1 1
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
+ +
+ + ≥
+ + + + + + + +
Khi đó bài toán trở nên phứ ẫc tạp hơn, và dễ d n tới bế tắc trong giải quyết.
Vì v ng phậ đ ử ụy ở ây ta sẽ s d ương pháp đổi biến
1 1 1
; ; 1b ca xyz
x y z
= = = ⇒ =
, khi đó ta có
( )
3
2
3
3
1
1 1
1
1
x yz
x
y z y z
a b c
y z
x
= = =
+ +
+
+
,
B dài toán l đưa vại được ề ạng t g t oán 8, vậy ta chươn ự như bài t ứng minh như sau
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
3 3 3
1 1 1
VT
2
2
x y z
y x y z
x z
y z z x x y
x y z
a b c b c a c a b
+ +
+ +
= + + = + + ≥ =
+ + +
+ +
+ + +
Mà ta lại có
3
3 3x y z xyz+ + ≥ =
nên suy ra
3
VT
2 2
x y z+ +
≥ ≥
(đpcm)
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
1a b c= = =
5
Bài toán 8: thCho ba số ực dương
, ,a b c
.thỏa mãn
2 2 2
3a b c abc+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
9a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ +
Hướng dẫn
Do đề b kiài cho dữ ện liên quan tới
2 2 2
a b c+ +
, nên ta cũng c n biầ ến đổ ửi sao cho sau khi s dụng
bất đẳ ứng th c cộng mẫu sẽ xu ất hiện chúng.
Áp dụ ứng bất đẳng th c Cauchy Schwarz d- ạng Engel, ta có
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
4 4 4
3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2
(3 ) 9
a b c
abc
a b c
VT
a b c
a b c b c a c a b a b c a b c a b c a b c
+ +
= + + ≥ = =
+ +
+ + + +
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
1x y z= = =
.
Bài toán 9: Cho các số thực dương
, ,x y z
thỏa mãn
2 2 2
1
3
x y z+ + ≥
. Chứng minh rằng:
3
3 3
1
2 3 5 2 3 5 2 3 5 30
y
x z
x y z y z x z x y
+ + ≥
+ + + + + +
Hướng dẫn
Ý tưở ựng bài toán này khá tương t bài toán 8, ta cũng sẽ ế bi n đổ ấ đẳ ứ đềi b t ng th c bài sao cho
sau khi c c áp dụ ấng b t đẳ ứng th ộng mẫu sẽ xu kiất hiện ra dữ ện
2 2 2
x y z+ +
.
Áp dụ ứng bất đẳng th c Cauchy Schawrz d- ạng Engel ta có
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
4
4 4
2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 8
x y z
y
x z
VT
x x y z y y z x z z x y
x y z xy yz zx
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
+ + + + +
Lại có:
2 2 2
xy yz zx x y z+ + ≤ + +
nên
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1
10 30
10
x y z
x y z
VT
x y z
+ +
+ +
≥ = ≥
+ +
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
1
3
x y z= = =
.
Bài toán 10: Cho các số thực dương
, ,a b c
. Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
Hướng dẫn
Quan sát thấy mẫ ủ đều c a bài đề ấ ạ ử ậu xu t hiện các h ng t b c hai, ý tưởng ở đây sẽ biến đổi vế trái
sao cho tr t tiên tử c dũng có thể đưa về ạ ậng b c hai nhằm triệ êu với mẫu.
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3 3 3
VT
a b c a b c
=
a ab b b bc c c ca a
a a ab b b b bc c c c ca a
a b c
a b c ab a b bc b c ca c a
= + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ +
≥
+ + + + + + + +
6
Do
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 2 2 2
a b c ab a b bc b c ca c a a b c a b c+ + + + + + + + = + + + +
Nên suy ra
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
VT
a b c
a b c
a b c
a b c a b c
+ +
+ +
≥ =
+ +
+ + + +
Ta chỉ cần chứng minh
2 2 2
3
a b c a b c
a b c
+ + + +
≥
+ +
Hay
( )
2 2 2
2 2 2 2
0 3 ( )
3
a b c a b c
a b c a b c
a b c
+ + + +
− ≥ ⇔ + + ≥ + +
+ +
tương đương
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab ac bc+ + − − − ≥
tương đương
2 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b b c c a− + − + − ≥
(lu ôn đúng)
Đẳ ứng th c xảy ra khi và ch ỉ khi
a b c= =

Tài liệu khác của Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Preview text:

BẤT ĐẲNG THỨC
CAUCHY – SCHWARZ DẠNG ENGEL VD - VDC
I. Phát biểu và chứng minh bất ẳ
đ ng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel.
Giả sử a ,a ,… , là các số thực bất kì và b ,b ,…, là các số thực dương . 1 2 a b n 1 2 n Khi đó, ta luôn có: 2 2 a a a
a + a + … + a n ( 1 2 1 2 n ) 2 2 + +…+ ≥ + +…+ 1 b 2 b b b b b n 1 2 n a a a
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi 1 2 n = = … = . b b b 1 2 n
Bất đẳng thức này còn có thể được gọi là “Bất đẳng thức cộng m u” ẫ . Chứng minh
Trước hết chúng ta chứng minh ất đẳ b ng thức đơn giản sau:
 Cho a,b, x, y là các số thực và x, y > 0 . Khi đó: 2 2 2 a b (a + ) b + ≥ x y x + y
Thật vậy, bất đẳng thức được viết lại thành 2
a y( x + y) 2
+ b x( x + y) 2 2 ≥ (a + )
b xy ⇔ (ay − bx) ≥ 0 (Luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi a b
= . Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. x y
 Với 6 số a,b,c, x, y, z và x, y, z > 0 . Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần ta có: 2 2 2 2 2 2 a b c (a + b) c
(a + b + c) + + ≥ + ≥ x y z x + y z x + y + z Do đó bằng phép quy n p
ạ toán học với a , a ,…, a là các số thực bất kì và b ,b ,…,b là các số 1 2 n 1 2 n thực dương. Khi đ , ó ta luôn có: 2 2 a a a
(a +a +…+a 1 2 1 2 n n ) 2 2 + +…+ ≥ + +…+ 1 b 2 b b b b b n 1 2 n
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi 1 a 2 a an = = … = . 1 b 2 b bn 1
II. Ứng dụng bất ẳ
đ ng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel vào các bài toán điển hình 1. Hai bất ẳ
đ ng thức cơ bản 1 1 4
Bất đẳng thức 1: Cho các số thực dươn g x, y . ứ Ch ng minh ằ r ng + ≥ x y x + y Hướng d n ẫ 2 1 1 (1 + 1) 4 Ta có: + ≥ = (đpcm ) x y x + y x + y
Đẳng thức xảy ra khi: x = y .
Bất đẳng thức 2: Cho các số thực dương x, y, z . Chứng minh rằng 1 1 1 9 + + ≥ x y z x + y + z Hướng dẫn 2 1 1 1 (1 + 1 + 1) 9 Ta có: + + ≥ = (đpcm ) x y z x + y + z x + y + z
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z .
2. Các ứng dụng phức tạp hơn
Bài toán 1: (Bất ẳ
đ ng thức Nebits) Cho ba số thực dương a,b,c .Chứng minh ằ r ng: a b c 3 + + ≥ b +c c +a a +b 2 Hướng dẫn
Để áp dụng được bất đẳng thức cộng ẫ
m u phải làm cho tử có dạng bình phương 2 2 2 2 a b c a b c ( a + b + ) c + + = + + ≥ b + c a +c a + b
a (b +c ) b (a +c ) c (a +b )
2 (ab + bc + ca) Mà ta lại có 2 (a +b + ) c 2 2 2 2
a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ (a + b + c) ≥ 3 (ab + bc + ca) ⇔ ≥ 3
ab+ bc+ ca Khi đó ta có: a b c 3 + + ≥ ( cm) đp b + c a +c a + b 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c .
Bài toán 2: Giả sử có ba số thực a,b,c > 1 − thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ≥
1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Hướng dẫn
Áp dụng trực tiếp bất ẳ
đ ng thức Cauchy- Schwarz dạng Enge ta l c đượ 2 2 2 2 1 1 1 (1 + 1 + 1) 9 3 + + ≥ ≥ = 2 2 2
1 + ab 1 + bc 1 + ca 3 + ab+ bc + ca 3 + a + b + c 2
Ta suy ra được điều phải chứng minh do 2 2 2
a + b + c ≥ ab + bc + ca . Dấu bằng ả
x y ra khi a = b = c . 2
Bài toán 3: Cho ba số thực dương a,b,c . ứ Ch ng minh rằng: a b c + + ≥ 1 b + 2c c + 2a a + 2b Hướng dẫn
Tương tự như ở bài toán 1, để áp dụng được Bấ đẳ t ng thức cộng ẫ m u thì ta cần ạ t o ra đại lượng
bình phương ở trên tử s ố.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz - dạng Engel, ta có: 2 2 2 2 2 a b c (a +b +c) (a +b +c) VT = + + ≥ ≥ =
a(b + 2c) b(c + 2a) c( a + 2b)
3(ab + bc + ca) 1 2
(a + b + c) Do 2 2 2 2
a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ (a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca)
Đẳng thức xảy khi a = b = c . a b c
Bài toán 4: Cho ba số thực dương a,b,c , chứng minh ằ r ng + + ≤ 1.
2a +b 2b +c 2c +a Hướng dẫn
Trước hết, mặc dù dạng ủ
c a Bài toán này khá tương đồng với bài trước nhưng để ý dấu của bất đẳng ứ
th c ở đây lại là dấu “nhỏ hơn”, chính vì thế để có thể làm tương tự như bài trước, chúng ta cần biến đổ i
để đưa về đúng dấu của Bất đẳng thức cộng m u ẫ như sau a b ca 1  3 + + ≤ 1 ⇔ ∑ − ≤ 1 − 2  
a+ b 2 b+ c 2 c+ a  2 a+ b 2  2 1  a b c  1 a b c ⇔ − + + ≤ − ⇔   + + ≥ 1.
2 2c + a 2a + b 2b + c 2
2c + a 2a + b 2b +   c
Từ đây, ta có thể áp dụng b
ất đẳng thức Cauchy Schwarz - dạng Engel ch để ứng minh như sa u 2 2 2 2 b b c a (a + b + ) c ∑ = + + ≥ = 1. 2 2 2 2a + b 2ab + b 2bc + c 2ca + a
2 (ab +bc +ca) 2 2 2
+ b + c + a Dấu bằng ả
x y ra khi a = b = c .
Bài toán 5: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≥ 3 . ứ Ch ng minh ằ r ng 2 2 2 x y z 3 + + ≥ x + yz y + zx z + xy 2 Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz - dạng Engel, ta có: 2 2 2 2 x y z
(x + y + z) + + ≥ x + yz y + zx z + xy
x + y + z + xy + yz + zx
Mặt khác: x + y + z ≥ xy + yz + zx 2 2 2 2 x y z
(x + y + z) x + y + z 3 Nên ta có: + + ≥ = ≥ x + yz y + zx z + xy
x + y + z + x + y + z 2 2
(Vì giả thiết x + y + z ≥ 3 ) .
Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z . 3
Bài toán 6: Cho ba số thực dương a,b,c . ứ Ch ng minh rằng 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a + +
≥ a + b + c a + b b + c c + a Hướng dẫn
Sau khi làm quen được với dạng và cách áp dụng, khi nhìn vào bài toán này có chứa cả dạng
phân số và bình phương ở tử nên nhiều khả năng sẽ chứng minh được bằng bất đẳng thức
Cauchy- Schwartz dạng Engel, ta biến đổi như sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a a b b c c a + + = + + + + + a+ b b+ c c+ a a+ b a+ b b+ c b+ c c + a c+ a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwartz - dạng Engel cho cả 6 hạng tử, ta có:
 ( a+ b+ c a b b c c a ) 2 2 2 2 2 2 2 2  + + + + + ≥
= a + b + c a + b a + b b + c b + c c + a c + a
4(a + b + c ) (Điều phải chứng minh)
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi a = b = c .
Bài toán 7: (IMO1995) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 + + ≥ 3 a (b +c ) 3 b (c +a ) 3
c (a +b) 2 Hướng dẫn Nếu áp dụng luôn ấ
b t đẳng thức cộng mẫu ở đây như sau 2 1 1 1 (1+ 1+ 1) + + ≥ 3 a (b +c ) 3 b (c +a ) 3 c (a +b ) 3 a (b +c ) 3
+b (c +a ) 3
+c (a +b )
Khi đó bài toán trở nên phức tạp hơn, và dễ dẫn tới bế tắc trong giải quyết. Vì vậy ở đ ây ta sẽ ử
s dụng phương pháp đổi biến 1 1 1 a =
; b = ; c = ⇒ xyz = 1 , khi đó ta có x y z 3 2 1 1 x yz x = = = , 3 a (b c + ) 1  1 1 y + z y + z  + 3  x y z  
Bài toán lại được đưa về dạng tươ g
n tự như bài toán 8, vậy ta chứng minh như sau 2 2 1 1 1 x y z
(x + y + z)2 2 x + y + z VT = + + = + + ≥ = 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3 c (a + b) y + z z + x x + y
2(x + y + z ) 2 x + y + z 3 Mà ta lại có 3
x + y + z ≥ 3 xyz = 3 nên suy ra VT ≥ ≥ (đpcm) 2 2
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi a = b = c = 1 4
Bài toán 8: Cho ba số thực dương a,b,c .thỏa mãn 2 2 2
a + b + c = 3abc . Chứng minh rằng: a b c 9 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 b c c a a b a + b + c Hướng dẫn
Do đề bài cho dữ kiện liên quan tới 2 2 2
a + b + c , nên ta cũng c n
ầ biến đổi sao cho sau khi sử dụng
bất đẳng thức cộng mẫu sẽ xuất hiện chúng .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz - dạng Engel, ta có 4 4 4 a b c
(a + b + c )2 2 2 2 2 (3ab ) c 9 VT = + + ≥ = = 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 a b c b c a c a b
a b c (a + b + c ) 2 2 2
a b c (a + b + c) a + b + c
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi x = y = z = 1.
Bài toán 9: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 1
x + y + z ≥ . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 x y z 1 + + ≥
2x + 3y + 5z 2 y +3z +5x 2z +3x + 5y 30 Hướng dẫn
Ý tưởng bài toán này khá tương tự bài toán 8, ta cũng sẽ biến đổi bất đẳng thức đề bài sao cho
sau khi áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu sẽ xuất hiện ra dữ kiện 2 2 2
x + y + z .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz - dạng Engel ta có 4 4 x z
(x + y + z y )2 2 2 2 4 VT = + + ≥
x( x + y + z) y( y + z + x) z( z + x + y) ( 2 2 2 2 3 5 2 3 5 2 3 5
2 x + y + z )+ 8 (xy + yz + zx) Lại có: 2 2 2
xy + yz + zx ≤ x + y + z nê n
(x + y + z )2 2 2 2 2 2 2 x + y + z 1 VT ≥ = ≥ 1 ( 2 2 2
0 x + y + z ) 10 30 1
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi x = y = z = . 3
Bài toán 10: Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c a + b + c + + ≥ 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a 3 Hướng dẫn
Quan sát thấy mẫu củ đề
a bài đều xuất hiện các hạng tử bậc hai, ý tưởng ở đây sẽ biến đổi vế trái
sao cho trên tử cũng có thể đưa về dạng ậ
b c hai nhằm triệt tiêu với mẫu. Ta có 3 3 3 4 4 4 VT a b c a b c = + + = + + 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a a ( 2 2
a + ab + b ) b( 2 2
b + bc + c ) c ( 2 2
c + ca + a ) (
a + b + c )2 2 2 2 ≥ 3 3 3
a + b + c + ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) 5 Do 3 3 3 + + +
( + )+ ( + ) + ( + ) = ( + + )( 2 2 2 a b c ab a b bc b c ca c a
a b c a + b + c )
(a + b + c )2 2 2 2 2 2 2 + + Nên suy ra VT a b c ≥ =
(a+ b+ c)( 2 2 2
a + b + c ) a+ b+ c Ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 a + b + c a + b + c ≥ a + b + c 3 Hay 2 2 2 a + b + c a + b + c − ≥ ⇔ ( 2 2 2 a +b +c ) 2 0 3
≥(a +b +c) a + b + c 3 tương đương 2 2 2
2a + 2b + 2c − 2ab − 2ac − 2bc ≥ 0 tương đương 2 2 2 (a − ) b
+ (b − c) + (c − ) a ≥ 0 (luôn đúng )
Đẳng thức xảy ra khi và ch ỉkhi a = b = c 6

Tài liệu liên quan: