Bất đẳng thức Schur và ứng dụng - Tài liệu tổng hợp

Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định
BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ ỨNG DỤNG I. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR
Nếu a, b, c, t là các số thực dương bất kì thì
t ( − )( − ) t + ( − )( − ) t a a b a c
b b c b a + c (c − a)(c − b) ≥ 0 (1) Chứng minh.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c > 0 Khi đó t t t
a ≥ b ⇒ a (a − b)(a − c) t
≥ b (a −b)(a − c) t
⇒ a (a − b)(a − c) t
+ b (b − c)(b − a) ≥ 0 Mặt khác t
c (c − a)(c −b) ≥ 0 Vậy t ( − )( − ) t + ( − )( − ) t a a b a c
b b c b a + c (c − a)(c − b) ≥ 0 (1)
Đẳng thức ở (1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c II. HỆ QUẢ Nếu t = 1 ta có:
a (a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c −b) ≥ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) tương đương với các bất đẳng sau: 3 3 3 2 2 2 2 2 2
• a + b + c + 3abc ≥ a b + ab + b c + bc + c a + ca (3)
• (b + c − a)(a + c −b)(a + b − c) ≤ abc (4)
• 4(a + b + c)(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)2 + 9abc (5) III. ỨNG DỤNG
Ở phần tiếp theo chúng tôi xin trình bày một số ứng dụng của BĐT Schur dưới dạng
(2), (3), (4), (5) qua một số thí dụ.
Thí dụ 1. Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z =1. 7
Chứng minh rằng: 0 ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27
(Đề thi Toán quốc tế - 1984) http://edu.goonline.vn
Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định Lời giải. Ta có
• xy + yz + zx − 2xyz
= (x + y + z)(xy + yz + zx) − 2xyz 2 2 2 2 2 2
= x y + xy + y z + yz + z x + zx ≥ 0 7
• xy + yz + zx − 2xyz ≤ 27
⇔ (x + y + z)(xy + yz + zx) 7 − 2xyz ≤
(x + y + z)3 27 ⇔ 7( 3 3 3
x + y + z ) +15xyz ≥ 6( 2 2 2 2 2 2
x y + xy + y z + yz + z x + zx ) (6) Theo BĐT (3) ta có ( 3 3 3
a + b + c + abc) ≥ ( 2 2 2 2 2 2 6 3
6 a b + ab + b c + bc + c a + ca )
Do đó (6) tương đương với 3 3 3
x + y + z ≥ 3xyz . (Luôn có điều này – theo BĐT Cauchy). Suy ra (6) đúng 1
Dấu bằng ở (6) xảy ra khi và chỉ khi x = y = x = . 3
Thí dụ 2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng  1  1  1 
 a- 1+   b- 1+  c- 1+  ≤ 1 (7)  b  c  a 
(Đề thi Toán Quốc tế 2000) 1
Lời giải. Đặt x = a; y = 1; z = = ac b x y z
thì a = ,b = ,c = y z x
(x − y + z)( y − z + x)(z − x + y) BĐT (7) ⇔ ≤1 (8) xyz
Từ đó và BĐT (4) thì BĐT (8) đúng. Suy ra BĐT (7) đúng
Dấu bằng ở (7) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 http://edu.goonline.vn
Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định
Thí dụ 3. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
( 2 )( 2 )( 2
a + 2 b + 2 c + 2) ≥ 9(ab+bc+ca) (9)
(Đề thi Olympic Toán Châu Á – Thái Bình Dương - 2004)
Lời giải. BĐT (9) tương đương với 2 2 2 + ( 2 2 2 2 2 2 + + )+ ( 2 2 2 a b c 2 a b b c c a
4 a + b + c ) +8 ≥ 9(ab + bc + ca) . Ta có: 2 2 2
• a + b + c ≥ ab + bc + ca; (i) • ( 2 2 a b + ) 1 + ( 2 2 b c + ) 1 + ( 2 2 c a + ) 1 ≥ 2(ab + bc + ca); (ii) 9abc 2 2 2 3 2 2 2
• a b c +1+1≥ 3 a b c ≥
≥ 4(ab + bc + ca) −(a + b + c)2 (Theo BĐT (5)) a + b + c 2 2 2 ⇒ + ≥ ( + + ) −( 2 2 2 a b c 2 2 ab bc ca a + b + c ) (iii)
Từ (i), (ii), (iii) ta suy ra ( 2 2 2 a b c + 2) + 2( 2 2 2 2 2 2 a b + b c + c a + 3) + 4( 2 2 2 a + b + c )
≥ 2(ab + bc + ca) + 4(ab + bc + ca) + 3( 2 2 2 a + b + c ) ≥ 9(ab + bc + ca)
Vậy BĐT (9) đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Thí dụ 4. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng : 3 3 3
a +b +c +6 abc ≥ 9
(Đề thi Olympic Toán Ba Lan - 2005) http://edu.goonline.vn
Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định
Lời giải. Theo BĐT (3) ta có : 3 3 3
a + b + c + 6abc ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca). Ta có
(a + b+ c)2 ≥ 3(ab+ bc+ca) = 9 ⇒ a + b + c ≥ 3 3 3 3 ⇒ a + b + c + 6abc ≥ 9
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Thí dụ 5. Tìm số thực k lớn nhất sao cho với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn điều
kiện abc = 1, ta luôn có bất đẳng thức 1 1 1 + +
+3 k ≥ k+1 a+b+c 10 2 2 2 ( )( ) ( ) a b c
(Đề thi chọn HSG Toán Quốc gia THPT năm 2006 – Bảng B)
Lời giải. Giả sử số thực k thỏa mãn đề bài 1 Chọn a = b = , c = (n + )2 1 ( * n ∈ ℕ ). n +1 Từ (10) suy ra 2 1 2 n + 2n +1+ − (n + )4 1 n +1 k ≤ . 2 2 n + 2n + −1 n +1 2 1 2 n + 2n +1+ − (n + )4 1 n +1 Vì lim =1 n→+∞ 2 2 n + 2n + −1 n +1 nên k ≤ 1
Với k = 1 BĐT (10) trở thành http://edu.goonline.vn
Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định 1 1 1 + + + 3 ≥ 2 a + b + c 11 2 2 2 ( ) ( ) a b c 1 1 1
Đặt x = , y = , z = thì x, y, z là các số dương và xyz = 1. a b c
BĐT (11) tương đương với 2 2 2
x + y + z + 3 ≥ 2(xy + yz + zx) ⇔ (x + y + z)( 2 2 2
x + y + z + 3) ≥ 2(x + y + z)(xy + yz + zx) 3 3 3 ⇔ x + y + z + 3(x + y + z) 2 2 2 2 2 2
≥ x y + xy + y z + yz + z x + zx + 6 (12) Mặt khác 3 x + y + z ≥ 3 xyz = 3. Suy ra 3 3 3
x + y + z + 3(x + y + z) 3 3 3
≥ x + y + z + 3xyz + 6 2 2 2 2 2 2
≥ x y + xy + y z + yz + z x + zx + 6 (theo BDT (3))
Vậy BĐT (12) đúng ⇒ BĐT (11) đúng. Dấu bằng ở (11) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Như vậy giá trị lớn nhất của k là 1.
* Cuối cùng một số bài tập dành cho bạn đọc
Bài 1. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 2 2 2 a + bc b + ca c + ab a) + + ≥ a + b + c b + c c + a a + b a + b + c b)
− abc ≤ max ({ a − b)2 ,( b − c)2 ,( c − a)2 3 }. 3
(Đề chọn đội tuyển của Mỹ thi Toán Quốc tế - 2000)   ( + + ) 1 1 1 9 c) xy yz zx  + +  ≥ .   (x y)2 (y z)2 (z x)2  + + + 4 
(Đề thi Olympic Toán của Iran - 1996) 3 3 3 2 2 2 2 2 2
d) a + b + c + 3abc ≥ ab 2a + 2b + bc 2b + 2c + ca 2c + 2a http://edu.goonline.vn
Trần Xuân Đáng – GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định  π 
Bài 2. Cho ba số thực a, b, c thuộc khoảng  0;  . Chứng minh rằng  2 
sin a sin(a − b)sin (a − c) sin bsin (b − c)sin (b − a) sin csin (c − a)sin (c − b) ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 0 sin b c sin c a sin a b
(Đề chọn đội tuyển của Mỹ thi Toán Quốc tế - 2003) http://edu.goonline.vn