Bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến – Lê Văn Đoàn

Tài liệu gồm 21 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Văn Đoàn, tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị hàm nhiều biến.

118 59 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10

Môn: Toán 10

Thông tin:

21 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 256 -
Chuyên đề
Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG

Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
, 0,
a b
thì:
2 . .
a b a b
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi:
a b
, , 0,
a b c
thì:
3
3. . . .
a b c a b c
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
Nhiều trường hợp đánh giá dạng:
2
.
2 2
a b a b
ab a b
và
3
. .
3
a b c
a b c
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
, , , ,
a b x y
thì:
2 2 2 2 2
( . . ) ( )( ) .
a x b y a b x y
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi:
a b
x y
, , , , , ,
a b c x y z
thì:
2 2 2 2 2 2 2
( . . . ) ( )( ) .
a x b y c z a b c x y z
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
x y z
Nhiều trường hợp đánh giá dạng:
2 2 2 2
. . ( )( ).
a x b y a b x y
Hệ quả. Nếu
, ,
a b c
là các số thực và
, ,
x y z
là các số dương thì:
2 2 2
( )
a b a b
x y x y
và
2 2 2 2
( )
a b c a b c
x y z x y z
: bất đẳng thức cộng mẫu số.
Bất đẳng thức véctơ
Xét các véctơ:
( ; ), ( ; )
u a b v x y
. Ta luôn có:
u v u v
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) .
a b x y a x b y
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
u
và
v
cùng hướng.
Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp
3 3 3
( ) 3 ( ).
x y x y xy x y
2 2 2 2
( ) 2( ).
x y z x y z xy yz zx
3 3 3 3
( ) 3( )( )( ).
x y z x y z x y y z z x
3 3 3 2 2 2
3 ( ) ( ) .
x y z xyz x y z x y z xy yz zx
2 2 2 2 2 2
( )( )( ) ( ).
a b b c c a ab bc ca a b b c c a
( )( )( ) ( )( ) .
a b b c c a a b c ab bc ca abc
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2( ) 6
( ) ( ) ( ) 2( )
a b c abc
a b b c c a a b c ab bc ca
a b c
3 3 3
( ) ( ) ( ) 3( )( )( ).
a b b c c a a b b c c a
2 2 2 2
2 2
.( ) . ( ) ( )
4 2
a b ab a b a b
và
2 2 2
( ) ( )
2
a b a b
ab
Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ
Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại)
a.
2 2 2
; ; 0 .
suy ra
x y z x y z xy yz zx

b.
; ; 0 ( )( )( ) 8 .
suy ra
x y z x y y z z x xyz

c.
2 2 2 2
; ; 3( ) ( ) .
suy ra
x y z x y z x y z

d.
2 2 2 2 2 2
; ; 0 ( )( ) 3( ).
suy ra
x y z x y z x y z x y y z z x

e.
2
; ; 0 ( ) 3( ).
suy ra
x y z x y z xy yz zx

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
11
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 257 -
f.
2 2 2 2 2 2
; ; 0 ( ).
suy ra
x y z x y y z z x xyz x y z

g.
2
; ; 0 ( ) 3 ( ).
suy ra
x y z xy yz zx xyz x y z

h.
2 2 2 2 2 2 2
; ; 3( ) ( ) .
suy ra
x y z x y y z z x xy yz zx

i.
9
; ; ( )( ) ( )( )( ).
8
suy ra
x y z x y z xy yz zx x y y z z x

Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng)
j.
3 3 3
1
; 0 ( ) .
4
suy ra
x y x y x y
k.
2 2
1 1 2
1
1
1 1
suy ra
xy
xy
x y
và
2 2
1 1 2
1
1
1 1
suy ra
xy
xy
x y
Suy ra:
1 1 2
1
1 1
1
suy ra
xy
x y
xy
và
1 1 2
1
1 1
1
suy ra
xy
x y
xy
l.
2 2
1 1 1
; 1
1
(1 ) (1 )
suy ra
x y
xy
x y

m.
2 2
1 1 2
; 0;1
1
1 1
suy ra
x y
xy
x y

n.
2
, 0
1 1 2
1 1 1
1
suy ra
x y
x y
x y x y

Chứng minh các đánh giá cơ bản
a. Chứng minh:
2 2 2
; ; 0 .
suy ra
x y z x y z xy yz zx

Áp dụng BĐT Cauchy:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 .
2 2
x y x y xy
y z y z yz x y z xy yz zx
z x z x zx
Dấu
" "
khi
.
x y z
b. Chứng minh:
; ; 0 ( )( )( ) 8 .
suy ra
x y z x y y z z x xyz

Áp dụng BĐT Cauchy
2 2 2
2
2 ( )( )( ) 8 .
2
nhân
x y xy
y z yz x y y z z x x y z xyz
z x zx
Dấu
" "
khi
.
x y z
c. Chứng minh:
2 2 2 2
; ; 3( ) ( ) .
suy ra
x y z x y z x y z

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
( )
3( ) ( ) .
1 1 1 3
y x y z
x z
x y z x y z x y z
Dấu
" "
khi
.
x y z
d. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
; ; 0 ( )( ) 3( ).
suy ra
x y z x y z x y z x y y z z x

Ta có:
2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
( )(x ) ( ) ( ) ( )
x y z y z x xy y yz z zx x y y z z x
Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) 2 2 3( ).
x y z x y z x y y z z x x y y z z x x y y z z x
Dấu
" "
khi
.
x y z
e. Chứng minh:
2
; ; 0 ( ) 3( ).
suy ra
x y z x y z xy yz zx

Ta có:
2 2 2 2
( ) 2( ) 3( ).
x y z x y z xy yz zx xy yz zx
Dấu
" "
khi
.
x y z
f. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
; ; 0 ( ).
suy ra
x y z x y y z z x xyz x y z

Đặt:
; ;
a xy b yz c zx
thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2 2 2
a b c ab bc ca
: luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 258 -
Dấu đẳng thức khi
x y z
hoặc
0
y z
hoặc
0
x y
hoặc
0.
z x
g. Chứng minh:
2
; ; 0 ( ) 3 ( ).
suy ra
x y z xy yz zx xyz x y z

Đặt:
; ;
a xy b yz c zx
thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
2
( ) 3( )
a b c ab bc ca
: luôn đúng theo BĐT e.
Dấu đẳng thức khi
x y z
hoặc
0
y z
hoặc
0
x y
hoặc
0.
z x
h. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2 2
; ; 3( ) ( ) .
suy ra
x y z x y y z z x xy yz zx

Ta có:
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( )
3( ) 3 ( ) .
1 1 1
Cauchy Schwarz
xy yz
zx
x y y z z x xy yz zx
Dấu đẳng thức xảy ra khi
.
x y z
i. Chứng minh:
9
; ; ( )( ) ( )( )( ).
8
suy ra
x y z x y z xy yz zx x y y z z x

Ta có:
( )( )( ) 2 . . 8 .
Cauchy
x y y z z x xy yz zx xyz
Mặt khác:
( )( ) ( )( )( ).
x y z xy yz zx xyz x y y z z x
Suy ra:
1 9
( )( ) 1 ( )( )( ) ( )( )( ).
8 8
x y z xy yz zx x y y z z x x y y z z x
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
.
x y z
Chứng minh các bất đẳng thức phụ
j. Chứng minh:
3 3 3
1
; 0 ( ) .
4
suy ra
x y x y x y
Ta có:
2
3
3 3 3 3
( )
( ) 3 . ( ) ( ) 3. .( )
2 4
Cauchy
x y x y
x y x y x y x y x y x y
Dấu
" "
khi
.
x y
k. Chứng mnh:
2 2
1 1 2
1
1
1 1
suy ra
xy
xy
x y
và
2 2
1 1 2
1
1
1 1
suy ra
xy
xy
x y
Chứng minh:
2 2
1 1 2
1
1
1 1
xy
xy
x y
(1)
Bất đẳng thức (1) tương đương với:
2 2
1 1 1 1
0
1 1
1 1
xy xy
x y
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
0 0
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
xy x xy y x y x y x y
x xy y xy x xy y xy
2 2
2 2 2 2
(1 ) y(1 x ) ( ) (y )
( ) 0 ( ) 0
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
x y x y xy x
y x y x
x y xy x y xy
2
2 2
( ) ( 1)
0
(1 )(1 )(1 )
y x xy
x y xy
: đúng
1.
xy
Dấu
" "
khi
x y
hoặc
1.
xy
Chứng minh:
2 2
1 1 2
1
1
1 1
xy
xy
x y
(2)
Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x y
hoặc
1.
xy
Suy ra:
1 1 2
1
1 1
1
xy
x y
xy
và
1 1 2
1
1 1
1
xy
x y
xy
Mở rộng:
; ; 1
x y z
thì
2 2 2
1 1 1 3
1
1 1 1
xyz
x y z
(3)
Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. Dấu " = " khi và chỉ khi:
1.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 259 -
l. Chứng minh:
2 2
1 1 1
; 1
1
(1 ) (1 )
suy ra
x y
xy
x y

Ta có:
2
2 2
1 1 1 1 1 2 1
0
1 1 1 (1 )(1 ) 1
(1 ) (1 )
xy x y x y xy
x y
2 2
2 2 2 2
( ) 1 ( ) ( 1)( 1)
0 0
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
y x xy x y y x x y
x y xy x y xy
x y x y
: đúng
, 1.
x y
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.
x y
m. Chứng minh:
2 2
1 1 2
; 0;1
1
1 1
suy ra
x y
xy
x y

Ta có:
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1. 1. 1 1 .
1 1
1 1
Cauchy Schwarz
x y
x y
(1)
Mặt khác
, (0;1),
x y
thì
2 2
1 1 2
1
1 1
xy
x y
(2)
Thật vậy:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
(2) 0 0
1 1
1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )
xy x xy y
xy xy
x y x xy y xy
2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( 1)
0 0 :
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
x y x y x y y x xy
x xy y xy x y xy
đúng
1.
xy
Từ (1), (2), suy ra:
2 2
1 1 2
1
1 1
xy
x y
; 0;1 .
x y
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
.
x y
n. Chứng minh:
2
, 0
1 1 2
1 1 1
1
suy ra
x y
x y
x y x y

Ta có:
2 2
1 1 1 4 4 1 4 1 1 4
( ) ( )
ĐT
xy x y x y xy x y x y
x y x y
B
2 2
2
( ) ( )
( )
( )
x y x y
xy x y
xy x y
2
( ) (1 ) 0 :
x y x y
đúng với mọi
1
x y
và dấu
" "
khi và chỉ khi:
.
x y
§ 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

I. Bài toán hai biến có tính đối xứng
VD 1. (CĐ – 2008) Cho hai số
,
x y
thỏa mãn điều kiện:
2 2
2.
x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3
2( ) 3 .
P x y xy
ĐS:
min 7 khi 1
13 1 3 1 3
max khi ;
2 2 2
P x y
P x y
VD 2. Cho hai số thực dương
,
x y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1 3 .
x y xy
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2
3
3 1 1
( 1) ( 1)
y
x
P
y x x y
x y
ĐS:
max 1
P
khi
1.
x y
VD 3. (D – 2009) Cho
, 0
x y
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2
(4 3 )(4 3 ) 25 .
P x y y x xy
ĐS:
191 2 3 2 3
min khi ;
16 4 4
25 1
max khi
2 2
P x y
P x y
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 260 -
VD 4. Cho các số thực
,
x y
thỏa:
2 3 2 3 .
x y x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
2 2
8 5 2( 1)( 1).
P x y x y x y
ĐS:
3 3
min 2 8 5 khi ;
2 2
7 1
max 34 khi ;
2 2
P x y
P x y
VD 5. Cho
,
x y
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
2 2
2 2 1.
x y xy
Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của:
4 4 2 2
7( ) 4 .
P x y x y
ĐS:
2 2
18 5 5
min khi ;
25 5 5
70 7 20
max khi ,
33 33 33
P x y
P xy x y
VD 6. Cho
,
x y
là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2
1.
x xy y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
4 4
2 2
1
1
x y
P
x y
ĐS:
11
min
15
P và
max 6 2 6.
P
VD 7. (B – 2011) Cho
, 0
a b
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
2( ) ( )( 2).
a b ab a b ab
Tìm giá trị
nhỏ nhất của:
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
ĐS:
23
min
4
P khi
2, 1
1, 2
a b
a b
VD 8. (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho các số thực dương
,
x y
thỏa:
1
1
2 3
y
x
x y
y x
Hãy tìm
giá trị nhỏ nhất của:
2
2
2
4 4
3
( )
y
x
P x y
xy
y x
ĐS:
2596
min
81
P khi
1
3
x
y
hoặc
3
1
x
y
II. Bài toán hai biến có tính đẳng cấp
VD 9. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2 2
0.
x y
Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của:
2
2 2
2
3 2
xy y
P
x xy y
ĐS:
max 1 khi 0;
min 0,5 khi 0
P x y
P x y
VD 10. (B – 2008) Cho hai số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn hệ thức:
2 2
1.
x y
Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của:
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
ĐS:
max 3
P
khi
2 2
3
1
x y
x y
VD 11. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
4 2 3.
x xy y
Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2 .
P x xy y
ĐS:
min 2
P
và
1
max
3
P
VD 12. (D – 2013) Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa điều kiện:
1.
xy y
Hãy tìm giá trị
lớn nhất của:
2 2
2
6( )
3
x y x y
P
x y
x xy y
ĐS:
5 7
max
3 30
P khi
1
; 2.
2
x y
VD 13. Cho
x
và
y
là các số thực dương thỏa:
2 2 4 4
2 (11 1) 8 6 1.
y x x y
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2
2 2 2 2
( )( 4 )
x y
P
x y y x y
ĐS:
2 1
min
5
P
khi
1
; 1.
2
x y
VD 14. Cho
x
và
y
là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4 2 2
2 2
9
8
xy x x y
P
x y
ĐS:
3 2
max
4
P khi
6 2
x
và
1.
y
VD 15. Cho hai số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2.
x y
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2
7( 2 ) 4 2 8 .
P x y x xy y
ĐS:
max 8
P
khi
4 2
;
3 3
x y
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 261 -
III. Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa:
2 2
( 4) ( 4) 2 32.
x y xy Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của:
3 3
3( 1)( 2).
P x y xy x y ĐS:
17 5 5
min
4
P
khi
1 5
4
x y
VD 17. Cho hai số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
, 1.
x y
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
ĐS:
min 8
P
khi
2.
x y
VD 18. Cho hai số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
4.
xy
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
4 4 2
2 2 3
( )
P
x y x y
ĐS:
13
min
8
P khi
5 1, 5 1.
x y
VD 19. Cho hai số thực dương
,
a b
khác nhau và thỏa mãn điều kiện:
2
2 12.
a b Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
4 4 2
4 4 5
8( )
P
a b a b
ĐS:
27
min
64
P khi
2; 4.
a b
VD 20. (B – 2006) Cho
, .
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất:
2 2 2 2
2 1 2 1 2 .
P x y x x y x y
ĐS:
min 2 3
P
khi
3
0,
3
x y
VD 21. Cho hai số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa:
3
;
5
x y
và
6 .
xy x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
3 1
3 1
(3 )(3 ).
9 1 9 1
y
x
P x y y x
y x
ĐS:
34
min
9
P khi
1
3
x y
VD 22. Cho các số dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
3.
x y xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3
3
2 2
1
1
4 4 .
y
x
P x y
y x
ĐS:
min 64 2
P
khi
1.
x y
VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi
x
và
y
thỏa:
1 ; 2.
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
2 2
1
4( 1)
3 5 3 5
x y y x
P
x y
x y y x
ĐS:
7
min
8
P
khi
1, 2.
x y
VD 24. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
2 2 1/ 5.
x y xy
Tìm giá trị
lớn nhất của:
2 2
3 3 4
1 2
1 1
P
xy
x y
ĐS:
32
max
15
P khi
1
2
x y
VD 25. Cho
, 0,
a b
thỏa:
4 4
1
2 2 16
2
ab a b
ab
Tìm giá trị lớn nhất:
2 2
2 2 3
1 4
1 1 4
P
ab
a b
?
VD 26. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa điều kiện:
4 4
4 6 / .
x y xy
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2
3 2
1 1
1 2 1 2
5
xy
P
x y
x y
ĐS:
min 1
P
khi
1.
x y
VD 27. Cho
, 0
x y
thỏa mãn:
, (0;1)
x y
và
3 3
( )( ) ( 1)( 1) 0.
x y x y xy x y
Tìm giá trị lớn nhất
của:
2
2 2
1 1
( ) .
1 1
P xy x y
x y
ĐS:
6 1
max
9
10
P
khi
1
3
x y
VD 28. Cho hai số thực dương
a
và
b
thay đổi thỏa điều kiện:
2 2
4.
a b a b
Tìm giá trị nhỏ nhất
của:
2 2
2 2
2
1 1
2
( ) 1
a b a b
P
a a b b
a b
ĐS:
2 5
min 4
5
P khi
1.
a b
VD 29. Cho hai số thực dương
a
và
b
thay đổi thỏa điều kiện:
4 4
6
4a b
ab
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của:
2 2
1 1
2 1 2 1
1
a b ab
P
a b
a b
ĐS:
1
min
3
P
khi
1.
a b
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 262 -
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
.
x y x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của:
3 3 2 2
.
P x y x y y x
ĐS:
min 0 khi 0
max 4 khi 1
P x y
P x y
BT 2. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
1.
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1
( 1) 1 ( 1) 1P x y
y x
ĐS:
min 4 3 2
P
khi
1
2
x y
BT 3. Cho
, 0
x y
thỏa:
2 2
( 1)(9 2 ) 7( ) 2 2.
xy xy xy x y xy
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của:
1 1
P xy xy
xy
xy
ĐS:
min 4 khi 1
2
27
max khi
1
4
2
P x y
x y
P
x y
BT 4. Cho các số thực
x
và
y
thỏa mãn điều kiện:
1, 1
x y
và
4 3( ).
xy x y
Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của:
3 3
2 2
3 3
P x y
x y
ĐS:
65 3
min khi
12 2
1, 3
74
max khi
3, 1
3
P x y
x y
P
x y
BT 5. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
3.
xy x y
Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của:
4 4 3 3
4 .
P x y xy x y
ĐS:
min 5 khi 1
max 33 khi 3
P x y
P x y
BT 6. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
, 1
x y
và
8.
x y xy
Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2 2
.
P x y x y
ĐS:
min 24 khi 2
51 7
max khi , 1
2 2
P x y
P x y
BT 7. Cho các số thực
x
và
y
thỏa:
1 2 4 1.
x y y x
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của:
2
1
9 ( ) .
P x y x y
x y
ĐS:
min 2 2 2 khi 2, 1
33 2 5
max khi 4, 0
2
P x y
P x y
BT 8. (A – 2006) Cho
,
x y
là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện:
2 2
( ). .
x y xy x y xy
Hãy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3
1 1
P
x y
ĐS:
max 16
P
khi
1
2
x y
BT 9. Cho các số không âm
x
và
y
thay đổi thỏa:
3.
x y xy
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của:
2 2
3
3
1 1
y xy
x
P x y
y x x y
ĐS:
3
min khi 1
2
max 0 khi 0, 3
P x y
P x y
BT 10. Cho các số thực dương
, .
x y
Hãy tìm giá trị lớn nhất của:
4 4 2 2
4 2
5
( ) ( )
xy
x y x y
P
x y
x y x y
ĐS:
7
max
2
P
khi
.
x y
BT 11. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
0
xy
và
0.
x y
Hãy tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của:
2 3
3 3
4
8
x y y
P
x y
ĐS:
min 0,5 khi 0, 0
1
max khi 4
6
P x y
P x y
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 263 -
BT 12. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
3 1 (3 2).
x y y x Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
2 2
2 2 8
2
2
x y x xy y
P
xy y
x y
BT 13. Cho
x
và
y
là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2
2.
x xy y
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2 7 .
P x xy y
Đáp số:
min 16
P
khi
7 7
, 3
2 2
x y và
8
max
3
P
khi
2 2
5 ;
21 21
x y
BT 14. Cho
x
và
y
là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
3 2
x y xy
và
0.
y
Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 .
P x xy y
BT 15. Cho
, 0.
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
(4 3) (4 3)
4
x x y y
P
x y xy
Đáp số:
min 2
P
khi
0,5.
x y
BT 16. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
4 4
2
3 3xy x y
xy
Hãy tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 2
16
.
2
P x y
x y
ĐS:
20
max
3
P
khi
2.
x y
BT 17. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
3 .
x y y x x y xy
Tìm giá trị
nhỏ nhất của:
2
2 2
(1 2 ) 3
2
xy
P x y
xy
ĐS:
71
min
4
P khi
2.
x y
BT 18. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 0.
x y xy
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2
2
4 8 1
y
x
P
y x
ĐS:
8
min
5
P
khi
4, 2.
x y
BT 19. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1 2 2.
x y x y
Hãy tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2( 1)( 1) 8 4 .
P x y x y x y
Đáp số:
min 18
P
khi
1, 1
x y
và
max 25
P
khi
2, 1.
x y
BT 20. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
3 3 3.
x y y x
Tìm giá trị lớn
nhất của:
3
( ) 12( 1)( 1).
P xy x y x y
ĐS:
max 10
P
khi
3
2
x y
BT 21. Cho các số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2 2 2 2
( 1) 3 1 4 5 .
x y x y x y
Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
2 2
2 3
1
x y x y
P
x y
Đáp số:
min 1
P
khi
0; 1
x y
và
4
max
3
P
khi
0; 2.
x y
BT 22. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1 1
3 2.
y
x
x y
y x x y
Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
4
4
2 2
1 1
3
y
x
P xy
y x
y x
BT 23. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
5( )( 3) 6( ) 20 .
x y xy x y xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 3 2
4 3 2
4 4 3 3 2 2
9 16 25
y y y
x x x
P
y x y x y x
Đáp số:
14156
min
27
P khi
1, 3
a b
hoặc
3, 1.
a b
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 264 -
BT 24. Cho các số thực
a
và
b
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 2 ) 3 2( )( 2 ).
a b a b a b a b
Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
3 3 2 2
( ) 2 5 ( ) 2 5
8
( )
a b a b a b a b
a b b
P
b a ab a b
Đáp số:
97
min
3
P khi
1.
a b c
BT 25. Cho hai số thực
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
4 4 2 2.
x y xy x y
Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
4 8 6 1.
P x y xy
ĐS:
max 12
P
khi
1; 0,5.
x y
BT 26. Cho hai số thực
x
và
y
thỏa mãn điều kiện:
2 2 1 1.
x y x y
Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:
2(1 )
( ) ( )
2 2
xy x y
y
x
P x y y x
x y
BT 27. Cho
,
x y
là hai số thực dương thay đổi thỏa:
2 3
3 8 20.
x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
4 4 1
( )
P
x y x y
ĐS:
min 6
P
khi
2, 1.
x y
BT 28. (B – 2009) Cho các số thực
,
x y
thay đổi thỏa:
3
( ) 4 2.
x y xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
4 4 2 2 2 2
3( ) 2( ) 1.
P x y x y x y
ĐS:
9
min
16
P khi
1
2
x y
BT 29. Cho
x
và
y
là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2
4( ) 1 2( ).
x y xy x y
Tìm giá trị lớn nhất của:
2 2
.
P xy x y x y
ĐS:
3
min
4
P
khi
1
2
x y
BT 30. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1 1
1 1 4.
x y
y x
Tìm giá trị
nhỏ nhất của:
2 2
1 1 .
P xy x y
ĐS:
min 9 2 10
P
khi
3.
x y
BT 31. Cho
x
và
y
là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện:
2 2 3 2014 2012.
x y x y Tìm
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:
2 2
2015 2 1
( 1) ( 1)
1
xy x y
P x y
x y
Đáp số:
2015
min 4044122
2013
P khi
2
2014
x
y
và
2015
max 4096577
2026
P khi
2
2023
x
y
BT 32. Cho hai số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa:
2 2
9 1.
x y
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
( 1) 3(2 1) (3 1)
3 1
x xy y
P
x y
HD:
3 1
4
( ) ,
1 2;1 2
t x y
f t t
t
t
BT 33. Cho
x
và
y
thỏa mãn điều kiện:
4 4 2
16 (2 1) 2.
x y xy
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2 2
( 3) 2 (4 3).
P x x y y HD: Bài toán đối xứng theo
, 2 .
x y
BT 34. Cho các số thực dương
x
và
y
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
3
3
2 2
3 2
3
y
x
xy y x
x y
Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 2
16
2
P x y
x y
ĐS:
20
min
3
P khi
2.
x y
BT 35. Cho
, 0
x y
thỏa:
3.
x y xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
4
4
2 7 3 .
1 1
y
x
P xy xy
y x
Đáp số:
min 6
P
khi
1.
x y
BT 36. Cho các số thực dương
x
và
y
thỏa mãn điều kiện:
2 2
( )( 1).
x xy y x y xy
Tìm giá trị nhỏ
nhất của:
2
2
2 2
2
4( 1)
( )
3( )
x y xy y
P x y
x y x
xy
ĐS:
min 55.
P
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 265 -
§ 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ

I. Ba biến đối xứng
1. Đặt ẩn phụ trực tiếp
VD 30. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
1
2 2 2P xy yz zx
x y z
ĐS:
3
max 2
3
P khi
3
3
x y z
VD 31. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 2 2
3
xy yz zx
P x y z
x y z
ĐS:
7
min
2
P
khi
1.
x y z
VD 32. Cho
, ,
x y z
là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2
2
8
( 2 )
( ) 2
P xy yz zx
x y z xy yz
ĐS:
min 3
P
khi
2
, 0.
2
x z y
VD 33. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1 16
.
4
xyz
x y z
Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
3
2 2 2
4 3
1 4( )
xyz xyz
P
x y z
ĐS:
13
max
28
P khi
1
4
x y z
VD 34. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
2 1.
x y z xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ).
P x y z y z x z x y
x y z
ĐS:
max 2
P
khi
.
x y z
2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
VD 35. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3
2
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2
2 2
1 1 1
y
x z
P
y z x x y z
ĐS:
15
min
2
P khi
1
2
x y z
VD 36. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 3
3 3
8
3
x y z
P xyz
ĐS:
max 9
P
khi
1.
x y z
VD 37. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
2
1 1
( )
2
x y z
P x y z
xyz xy yz zx
ĐS:
min 4
P
khi
1
3
x y z
VD 38. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa:
x y z
và
2 2 2
5.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
( )( )( )( ).
P x y y z x z xy yz zx
ĐS:
max 4
P
khi
2; 1; 0.
x y z
VD 39. Cho
, ,
x y z
không âm thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) .
P x y y z z x xy yz zx x y z
ĐS:
min 1
P
khi
( ; ; ) (1; 0; 0).
x y z
VD 40. (B – 2010) Cho
, ,
a b c
không âm thỏa mãn điều kiện:
1.
a b c
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3( ) 3( ) 2 .
P a b b c c a ab bc ca a b c
ĐS:
min 2
P
khi
( ; ; ) (1;0;0).
a b c
VD 41. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 2 2
xy yz zx
P x y z
x y y z z x
ĐS:
min 4
P
khi
1.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 266 -
VD 42. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2
2 2 2
( 1)
1 1 1
x y z
P
x y z
x y y z z x
ĐS:
13
min
3
P khi
1.
x y z
VD 43. (HSG Bình Phước 2014) Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2
1 2
( 1)( 1)( 1)
1
P
x y z
x y z
ĐS:
1
max
4
P
khi
1.
x y z
VD 44. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1, 0, 0.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2
1 2
( 1)( 1)
2 2
P
x y z
x y z x
ĐS:
1
max
4
P
khi
1, 2.
y z x
VD 45. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2 2
9 16
( 2 )( 2 )
1
P
x z y z xy
x y z
ĐS:
min 5
P
khi
1.
x y z
VD 46. (B – 2013) Cho
, ,
a b c
là các số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
2 2 2
4 9
( ) ( 2 )( 2 )
4
P
a b a c b c
a b c
ĐS:
5
max
8
P
khi
2.
a b c
VD 47. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
8
2
( )( )( )
xyz y
x z
P
x y y z z x y z x
ĐS:
min 2
P
khi
.
x y z
VD 48. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2 2 2 2
1
16
1
xy yz zx
P
x y z
x y y z z x
ĐS:
28
min
3
P khi
1.
x y z
VD 49. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
72
( )( )( ).
1
P x y y z z x
x y z
ĐS:
min 44
P
khi
1.
x y z
VD 50. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
1.
xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
3 3
1
( 2) ( 2) ( 2)
2 3
y
x z
P
y z z x x y
x y z
ĐS:
12 6
min
12
P
khi
1.
x y z
VD 51. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa:
2 2 2
6.
x y z xy yz zx
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
3
3 3
2 2 2
54
9ln( ).
6
y
x z
P x y z
xy yz zx
y z x
ĐS:
min 9 9ln 3
P
khi
1.
x y z
VD 52. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
2( 1).
x y z y
Hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
1
2 2 .
1
P xy yz
x y z
ĐS:
21
max
5
P khi
1; 2.
x z y
VD 53. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2
2
3 3 3 2 2 2
13
3( )
x y y z xyz
z x
P
z x y xy yz zx
ĐS:
40
min
9
P khi
.
x y z
VD 54. Cho
, , 0
a b c
thỏa điều kiện:
4 4 4 2 2 2
3( ) 7( ) 12 0.
a b c a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
ĐS:
min 1
P
khi
a b c
VD 55. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
3( ) 2 .
x y z x y z xy
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
20 20
.
2
P x y z
x z y
ĐS:
min 26
P
khi
1; 2; 3.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 267 -
VD 56. (HSG Hà Nội 2014) Cho
0, 0, 0 1
a b c
và
2 2 2
3.
a b c
Tìm GTLN và GTNN của biểu
thức:
6
2 3 3P ab bc ca
a b c
ĐS:
min 2 3 khi 3, 0
max 10 khi 1.
P a b c
P a b c
VD 57. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
24 3
13x 12 16
P
xy yz x y z
ĐS:
3
min
2
P
khi
16
4 16
21
x y z
VD 58. (HSG Nghệ An 2013) Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
3
2 3
P
a ab abc a b c
ĐS:
3
min
2
P
khi
16
4 16
21
a b c
VD 59. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 8
2 8
2 2( ) 3
P
x y yz
y x z
ĐS:
3
min
2
P
khi
1 1
;
2 4
y x z
VD 60. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3
2
4( ) 8 3
1 ( )
xy yz xyz x y
P
x y z
ĐS:
14
max
3
P khi
16
4 16
21
x y z
VD 61. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa:
1
1
4
x
và
; 1,
y z
sao cho
1.
xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
x y z
ĐS:
22
min
15
P khi
1
; 2.
4
x y z
VD 62. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
1 2 3
4
( 1) ( 1) ( 1)
xy yz zx
P
x y z
ĐS:
9
min
4
P
khi
1.
x y z
VD 63. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , 0;1 .
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 3
1 1 1
.
1 1 1
P xyz
x y z
ĐS:
min 3
P
khi
0.
x y z
II. Ba biến mà có hai biến đối xứng
VD 64. Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
a b c
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2
1 1 2 3
1
P
c
a ab b ab
ĐS:
8 3
min
3
P khi
3 1
;
2 2
x y z
VD 65. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2
2 3
2 2 3
4
( ) ( ) 3( )
y
x z
P
x y y z z x
ĐS:
3
min
2
P
khi
.
x y z
VD 66. (A – 2011) Cho các số thực
, ,
x y z
thuộc đoạn
1; 4
thỏa điều kiện:
; .
x y x z
Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
2 3
y
x z
P
x y y z z x
ĐS:
34
min
33
P khi
4 2 4.
x y z
VD 67. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
.
x z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2 2
y
x z
P
z x
x y y z
ĐS:
max 5
P
khi
2 4 .
x y z
VD 68. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
0.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
8 .( )
y
z x
P
x y y z
z xz z
ĐS:
min 4
P
khi
2 4 .
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 268 -
VD 69. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1
xy
và
1.
z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3
2
1 1 3( 1)
y
x z
P
y x xy
ĐS:
3
min
2
P
khi
1.
x y z
VD 70. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
xy yz zx
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2
2
3
1 1
1
y
x z
P
x y
z
ĐS:
max 10
P
khi
10 3
3
x y
z
VD 71. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3 2.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
18 2 3 1
1
3 2 1 3 1
x
P
x y z x y
ĐS:
min 15
P
khi
5 1 1
; ;
12 4 2
x y z
VD 72. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xyz
y
x
P
x yz y zx z xy
ĐS:
4 3 3
max
4
P
khi
2 3 3
7 4 3
x y
z
VD 73. Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1 1 1
2
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
a b c
P
b c c a
a b c
ĐS:
4 13
min
5 13
P khi
2 .
a b c
VD 74. (A – 2013) Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn:
2
( )( ) 4 .
a c b c c
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
3 3 2 2
3 3
32 32
( 3 ) ( 3 )
a b a b
P
c
b c a c
ĐS:
min 1 2
P
khi
a b c
VD 75. Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện:
0.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
3 3 3
3
16
( )
x y z
P
x y z
ĐS:
16
min
81
P khi
8 0.
x y z
VD 76. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa điều kiện:
x y
và
( )( ) 1.
x z y z
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2 2 2
1 6 12
( ) ( ) ( )
P
x y y z z x
ĐS:
min 20
P
khi
2
1
2
x z
y z
VD 77. (B – 2014) Cho các số thực
, ,
a b c
không âm thỏa điều kiện:
( ) 0.
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2( )
a b c
P
b c a c a b
ĐS:
3
min
2
P
khi
( ; ; ) (0; ; 0).
a b c m m
VD 78. Cho
, ,
a b c
không âm thỏa điều kiện:
0; a b c.
ab bc ca
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
3
2 3
b c a
P
c a a b b c
ĐS:
min 4
P
khi
0; 0
0; 0
x y z
y x z
VD 79. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3
3 3
3 3 3 3
2 1
27
( ) ( )
y
x z
P
x y z y z x
ĐS:
7
min
9
P
khi
1.
x y z
VD 80. (A – 2014) Cho
, ,
x y z
là các số không âm thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
2.
x y z
Tìm giá trị lớn
nhất của:
2
2
1
1 9
1
y z yz
x
P
x y z
x yz x
ĐS:
5
min
9
P
khi
1, 0.
x y z
VD 81. Cho
, ,
x y z
là các số không âm thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
2.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2
2
1
1 3
1
y z
x
P
x y z xyz
x yz x
ĐS:
max 1
P
khi
0; 1.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 269 -
VD 82. Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
1.
abc
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 3 3
1 1
9
1 1
b c
P
a
a c a b
ĐS:
4
min
9
P
khi
1.
a b c
VD 83. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
2
3
3
2 2
9
9
9
( ) 5 ( ) 5
x y z y
x
P
y z yz z x zx
ĐS:
7
min
3
P
khi
1.
x y z
VD 84. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2
2
2 2
3( )
4
( ) 5 ( ) 5
y x y
x
P
y z yz z x zx
ĐS:
1
min
9
P
khi
1
3
x y z
VD 85. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
( ) 2 2
2
4
y x y x y
x z
P
y z z x x y z
z
ĐS:
3
min
2
P
khi
.
x y z
VD 86. Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
.
a b c
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
4 4 4
4 4 4
1 1 1
( )
4 4
P a b c
a b c
ĐS:
81
min
8
P khi
2 2 .
a b c
VD 87. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 2
3
4 3 2 3
( )
x y z y z
P
x y z
ĐS:
4
min
25
P khi
2 .
x y z
VD 88. Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , 1;2 .
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2
2
( )
4( )
x y
P
z xy yz zx
ĐS:
1
min
6
P
khi
1, 2.
x y z
VD 89. Cho các số thực
, ,
x y z
phân biệt và thỏa mãn điều kiện:
, , 0; 2 .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
x y y z z x
ĐS:
9
min
4
P
khi
0; 1; 2.
x y z
VD 90. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
.
x y z xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
2 2
( )
2
( )( 1)
( 1) 1
z z xy
z
P
x y z
z z
ĐS:
min 2
P
khi
2 1
2 1, 1
x
y z
VD 91. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
.
xyz x z y
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
2 2 2
2 2 4 3
1 1
1 ( 1) 1
z z
P
x y
z z z
ĐS:
2
max
9
P
khi
1 2
; 2;
4
2
x y z
VD 92. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2
2 2
2 2
4
1 1
2 2 2
y
x z
P
y x
x y
ĐS:
min 20 2 28
P
khi
2 1
3 2 2
x y
z
VD 93. Cho ba số thực
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 22 2 2
3
1 27
32 (
2 1)
2x y z
P
x y z
ĐS:
1
min
2
P
khi
1
; 1.
2
x y z
VD 94. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa:
2 2 2
5( ) 2 .
x y z x y z xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
3
1 3
48 .
10
P x y z
x
y z
ĐS:
min 58
P
khi
2, 3, 5.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 270 -
III. Phương pháp đồ thị
1. Bài toán có giả thiết tổng các biến là hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 95. Cho các số thực dương
, ,
a b c
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
1.
a b c
Hãy tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
a b c
P
a b c
ĐS:
9
max
10
P khi
1
3
a b c
VD 96. Cho các số thực dương
, ,
a b c
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
3.
a b c
Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
1 1 1
P
a b c
ĐS:
3
min
2
P
khi
1.
a b c
VD 97. Cho các số không âm
, , ,
a b c d
thỏa điều kiện:
4.
a b c d
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2 2
1
2
3 5 3 5 3 5 3 5
a b c d
P
a b c d
ĐS:
1
max
2
P
khi
1.
a b c d
VD 98. (France MO) Cho các số không âm
, , ,
a b c d
thỏa điều kiện:
1.
a b c d
Chứng minh rằng:
3 3 3 3 2 2 2 2
1
6( )
8
a b c d a b c d
VD 99. (China MO) Cho các số thực dương
, ,
a b c
thay đổi thỏa mãn điều kiện:
3.
a b c
Chứng
minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
9 9 9
5.
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
a b c
a b c b c a c a b
VD 100. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
4
4 4
4 4 4
y
x z
P
x y z
ĐS:
min 5
P
khi
1.
x y z
VD 101. Cho các số thực dương
, , ,
a b c d
thỏa mãn điều kiện:
1.
a b c d
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1 1
1 1 1 1
a b c d
P
a b c d
ĐS:
min 8
P
khi
1
4
a b c d
VD 102. Cho các số không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
3.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của:
2 2 2
1 1 1.
P x x y y z z
ĐS:
min 3 khi 1
max 2 7 khi 3; 0
P x y z
P x y z
VD 103. (USA MO) Cho các số thực dương
, ,
a b c
thay đổi. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 )
8.
2 ( ) 2 ( ) 2 ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
VD 104. (Crux Mathematicorum – Canada) Cho các số thực dương
, ,
a b c
thay đổi. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
2. Bài toán có giả thiết tổng bình phương các biến bằng hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 105. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
( ).
P x y z
x y z
ĐS:
min 2 3
P
khi
3
3
x y z
VD 106. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
3( ) 2P x y z
x y z
ĐS:
min 15
P
khi
1.
x y z
VD 107. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa:
4
, ,
3
x y z
và
2 2 2
12.
x y z Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2
2 2
1
1 1
y
x z
P
x y z
ĐS:
15
max
2
P khi
2.
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 271 -
VD 108. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
1 1 1
y
x z
P
x y z
ĐS:
3 2
min
2
P khi
3
3
x y z
VD 109. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
y
x z
P
y z x z x y
ĐS:
3 2
min
2
P khi
3
3
x y z
VD 110. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
y
x z
P
yz zx xy
ĐS:
min 1
P
khi
( ; ; ) (0;0;1).
x y z
VD 111. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
( ) ( ) ( )
y
x z
P
y z z x x y
ĐS:
3
min
4
P
khi
1.
x y z
VD 112. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
x y z
ĐS:
3 3 9
min
2
P
khi
1
3
x y z
VD 113. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của:
2 2 2
4
4 4
2 5 2 5 2 5
y
x z
P
x x y y z z
ĐS:
min 3
P
khi
1.
x y z
VD 114. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của:
5 3
5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2
2 2
y y y
x x x z z z
P
y z z x x y
ĐS:
2 3
max
3
P khi
1
3
x y z
VD 115. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
2 2
2
2 2 2
5 5 5
x xy y yz
z zx
P
z x y
ĐS:
3
max
2
P
khi
1
3
x y z
VD 116. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
8 8 8 3.
y
x z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
4 4 4
3 4 3 4
3 4
y
x z
x y x
P
ĐS:
3
min
2
P
khi
0.
x y z
VD 117. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
4 4 4
3.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức:
1 1 1
4 4 4
P
xy yz zx
ĐS:
max 1
P
khi
1.
x y z
VD 118. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
3.
x y z
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 30 3
1
13
1 1 1
a a b b c c
3. Bài toán có giả thiết tích các biến là hằng số hoặc P có dạng P = f(a).f(b).f(c)
VD 119. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1 1
y
x z
P
x y z
ĐS:
3 2
min
2
P khi
1.
x y z
VD 120. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3
2
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
(1 )(1 )(1 ).
P x y z
ĐS:
125
min
64
P khi
1
2
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 272 -
VD 121. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2
(1 )(1 )(1 ).
P x y z
ĐS:
100
min
729
P khi
1
2
x y z
VD 122. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
4( ) 9.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của:
2 2 2
( 1).( 1).( 1).
P x x y y z z
ĐS:
max 8
P
khi
3
4
x y z
VD 123. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
4( ) 9 0.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất
của:
2 2 2
( 1) .( 1) .( 1) .
y
z x
P x x y y z z ĐS:
4
max 4 2
P
khi
3
4
x y z
VD 124. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
1 1 1
a b c
P
bc ac ab
ĐS:
3
min
2
P
khi
1.
x y z
VD 125. Cho các số thực dương
, , .
a b c
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
a b b c c a
P
a b b c c a
ĐS:
min 0
P
khi
a b c
VD 126. Cho các số thực dương
, , .
a b c
Chứng minh:
4 4 4 3 3 3
4 4 4 5
a b c a b c
a b b c c a
IV. Đánh giá dồn về một biến f(a) hoặc f(b) hoặc f(c), rồi xét hàm
VD 127. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
2( ) 4 9 2015.
P x y z xyz x ĐS:
min 2008
P
khi
1; 0.
x y z
VD 128. Cho các số không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
2 .
P x y z xyz
ĐS:
9
min
2
P
khi
3
0;
2
z x y
VD 129. Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn điều kiện:
x y z
và
2 2 2
2 4 12.
x y z Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2 2
4 3 .
P xy yz zx xyz y y
ĐS:
max 11 2 2
P
khi
0
2
x
y z
VD 130. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa điều kiện:
4 3 4 22.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 2 3
3
P x y z
x y z
ĐS:
25
min
3
P khi
1, 2, 3.
x y z
VD 131. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2
1 1 1
3 9 6 36
2(2 1)
P
y z
x
ĐS:
3
min
8
P
khi
1 1 1
, ,
2 3 6
x y z
VD 132. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , 1;4
x y z
và
2 8.
x y z
Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:
3 3 3
5 .
P x y z
ĐS:
max 137
P
khi
1, 3.
x y z
VD 133. (B – 2012) Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
0
x y z
và
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức:
5 5 5
P x y z .
ĐS:
5 6
max
36
P khi
6 1
,
3
6
z x y
VD 134. (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa:
2 2 2
3.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2
3 7 5 5 7 3 .
P x y y z z x
ĐS:
max 3 10
P
khi
1.
x y z
VD 135. Cho
, , 0
x y z
thỏa điều kiện:
2
1 1 2 1 2 5.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3 3 3
2 .
P x y z
ĐS:
max 64
P
khi
0, 4
0, 4
x y z
x z y
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 273 -
V. Xét hàm lần lượt từng biến và xét hàm đại diện cho ba biến
VD 136. Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , 1; 3 .
x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2
36
y
x z
P
yz xz xy
ĐS:
min 7
P
khi
1; 3.
x y z
VD 137. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , 1;2 .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1 1 1
4 4 4
P
x xy y yz z zx
ĐS:
3
min
4
P
khi
1.
x y z
VD 138. (A – 2011) Cho các số thực
, , 1;4
x y z
thỏa điều kiện:
; x .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 3
y
x z
P
x y y z z x
ĐS:
34
min
33
P khi
4; 1; 2.
x y z
VD 139. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 0.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2
10 2 3
y x y
x
P
y z x y z x y
ĐS:
6
min
7
P
khi
2 4 .
z x y
VD 140. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
.
xyz x z y
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2
2 2 3
1 1 1
P
x y z
ĐS:
10
max
3
P khi
2 2
, 2 ,
2 4
x y z
VD 141. Cho
1
, , ;1 .
2
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của:
x y y z
z x
P
z x y
ĐS:
3 2 2
max
2
P
khi
1 1
1, ,
2
2
x y z
VD 142. Cho các số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện:
, , 1; 2 .
a b c
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2 2 2
( ) ( ) ( )
ab bc ca
P
a b c b c a c a b
ĐS:
3
max
2
P
khi
1.
a b c
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 37. Cho ba số thực không âm thỏa:
2 2 2
3.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
5
P xy yz zx
x y z
BT 38. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn:
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
4
2
P xy yz zx
xy yz zx
BT 39. Cho
, , 0
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
2( ) 3.
x y z xy yz zx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2
1
3
P x y z
x y z
BT 40. Cho
, , 0
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
3( ) 12.
x y z xy yz zx Tìm gía trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của:
2 2 2
x y z
P xy yz zx
x y z
BT 41. Cho các số thực
, , 0; 2
x y z
thỏa:
3.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
.
x y z
P xy yz zx
xy yz zx
BT 42. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
2 2 2
3
xy yz zx
P x y z
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 274 -
BT 43. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Hãy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
2
2 2 2
( 3)
2
3( 1)( 1)( 1)
1
x y z
P
x y z
x y z
BT 44. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
2 5 2.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
( ) 1 4 ( 2 5 )
P xy yz zx x y z
BT 45. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa
4
x y z
và
2.
xyz
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
4 4 4
.
P x y z
BT 46. Cho
, , 0.
x y z
Chứng minh rằng:
2
( ) 4 3 ( ).
x y z x yz y xz z xy xyz x y z
BT 47. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3 3 3
3 1.
x y z xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
.
P x y z
BT 48. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
( ) 3 ,
x x y z yz
ta có:
3 3 3
( ) ( ) 3( )( )( ) 5( ) .
x y x z x y x z y z y z
BT 49. Cho các số thực dương
, ,
x y z
phân biệt thỏa:
2
2
xy yz z
và
2
x z
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
y
x z
P
x y y z z x
BT 50. Cho các số thực
, , (0;1)
x y z
thỏa điều kiện:
(1 )(1 )(1 ).
xyz x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2 2 2
.
P x y z
BT 51. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
3.
xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2 2
324
( ) .
P x y z
x y z
BT 52. Cho các số thực dương
x,y,z
thỏa mãn điều kiện:
2
y xz
và
2
z xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
2014
y
x z
P
x y y z z x
BT 53. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
1 1
6 4
P
x xy yz x y z
BT 54. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
9( )
6 7 8
xyz x y z
P
x y z
xy z xyz zx y
BT 55. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
2
2 2
2 2 2
1
1 1
1 1 1
y
x z
P
y z x
BT 56. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
, , (0;1).
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
3
3 3
2 2 2
3
3 3
2 2 2
y
x z
P
y z x
BT 57. Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn điều kiện:
x y z
và
3 5 7 9.
xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
4 4 4
32 1 1
( ) ( ) ( )
P
x y y z z x
BT 58. Cho các số không âm
, ,
x y z
phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( )
( ) ( ) ( )
P x y z
x y y z z x
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 275 -
BT 59. Cho các số dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
2 2 0.
x y z xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2
2 2 2
( )
xy
z z
P
x y
x y z x y
BT 60. Cho các số thực phân biệt
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
, , 0; 2 .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
P
x y y z z x
BT 61. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1 18
1. 1
2
P
x y x y z
BT 62. Cho các số thực dương
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
3
3 3
3 2 3 3
1 2
27
( ) ( )
y
x z
P
x y z y z x
BT 63. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
xyz
y
x
P
x yz y zx z xy
BT 64. Cho
, , 0
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 18.
x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
4
33 3
( )
4 4 4
108
y
x z
x y z
P
BT 65. Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
5( ) 6( ).
x y z xy yz zx
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2
2( ) .
P x y z y z
BT 66. Cho các số thực
, , 0; 4
x y z
thỏa mãn điều kiện:
1.
xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
1 1 1
1
1 1
P
z
x y
BT 67. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa:
3.
x y z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
( )( )( ).
P x xy y y yz z z zx x
BT 68. Cho các số thực dương
, , 1;x y z

thỏa điều kiện:
x y z 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2 2
( 2)( 2)( 2).
P x y z
BT 69. Cho các số thực
, , .
x y z
Chứng minh:
2 2 2 2 2 2 3
6( )( ) 27 10 ( ) .
x y z x y z xyz x y z
BT 70. Cho
, , 0;1
x y z
thỏa mãn điều kiện:
3
2
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của:
2 2 2
.
P x y z
BT 71. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa:
2 2 2
3.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( 2)( 2)( 2).
P x y z
BT 72. Cho các số thực
, , 1;3
x y z
thỏa:
2 6.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của:
3 3 3
5 .
P x y z
BT 73. Cho
, , 0
x y z
thay đổi thỏa:
2 2 2
5( ) 6( ).
x y z xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức:
1 1 1
( )P x y z
x y z
BT 74. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
x y z 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
3( ) 4 .
P x y z xyz
BT 75. Cho
, , 0
x y z
thỏa đồng thời các điều kiện:
4
x y z
và
5.
xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
1 1 1
( )P x y z
x y z
BT 76. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
3
( ) 32 .
x y z xyz
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 4 4
4
( )
x y z
P
x y z
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 276 -
BT 77. Cho các số thực
, ,
x y z
không đồng thời bằng 0 và thỏa:
2 2 2
2( ).
x y z xy yz zx
Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
2 2 2
( )( )
x y z
P
x y z x y z
BT 78. Cho
, ,
x y z
thỏa:
0
x y z
và
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
.
P x y z
BT 79. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
2 2 2
x y z 3y.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 3
1 4 8
( 1) ( 2) ( 3)
P
x y z
BT 80. Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2
( ).
y z x y z
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
4 1 1 1
( 1)( 1)( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
P
x y z
x y z
BT 81. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện:
0 1.
z y x
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
( ) ( ) (1 ).
P x y z y z y z z
BT 82. Cho các số không âm
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
3 3 3
( ) ( ) ( ) .
P x y z y z x z x y
BT 83. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
21 2 8 12.
xy yz zx
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 2 3
P
x y z
BT 84. Cho các số thực không âm
, ,
x y z
thỏa:
1
x y z
và không có hai số nào bằng 0. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
( 3)( 1)
( )( ) ( )( )
P x y z
x y y z x y x z
BT 85. Cho
, , 0
x y z
thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
( ) 4 4.
x y x y z z
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
2 2
( ) ( )
1
x y z y x z
P
x z y z z
BT 86. Cho các số thực:
1
, , ;1
2
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1 1 1
( )P x y z
x y z
BT 87. Cho
0 1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
2 2 2
(1 ) ( )( ).
P z z x y y z
BT 88. Cho các số thực dương
x y z
. Chứng minh rằng:
2
2
2 2 ( )
3
( )
y
x z z x
y z z x x y x x z
BT 89. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
3.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
P x y z
BT 90. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
8.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 3 8
3 2
P
x y z x
BT 91. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
.
xyz x z y
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
2 2 3
1 1 1
P
x y z
BT 92. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y
x z
P
y z z x x y
BT 93. Cho các số thực dương
, , .
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
y
x z
P
y z z x x y z
BT 94. Cho
, , 0
x y z
thỏa:
1.
x y z
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
15
4
P x y z xyz
BT 95. Cho
, , 0
a b c
mãn:
1.
a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 5 .
P ab ac ac
BT 96. Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thỏa điều kiện:
2 2 2
2 2( ).
x y z xy x y z
Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
2 2
40 40
2
1 3
P x y z
y z x
BT 97. Cho
, ,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
1.
x y z
Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
3 3 3 3
2 2 3 3
1 1 24
xy yz x y y z
P
z x x z
| 1/21
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán Chuyên đề
BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN 11
Bài 1. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG 
 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
  a, b  0, thì: a b  2 .
a b . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi: a  . b
  a, b, c  0, thì: 3
a b c  3. . a .
b c . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi: a b c. 2 3 a ba b
a b c
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab   . a b    và . a . b c     2  2   3 
 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b
  a, b, x, y  , thì: 2 2 2 2 2 ( . a x  .
b y)  (a b )(x y ) . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi:   x y
  a, b, c, x, y, z  , thì: 2 2 2 2 2 2 2 ( . a x  .
b y c.z)  (a b c )(x y z ) . a b c
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi:    x y z
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: 2 2 2 2 . a x  .
b y  (a b )(x y ).
Hệ quả. Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì: 2 2 2 a b (a  ) b 2 2 2 2 a b c
(a b c)   và   
: bất đẳng thức cộng mẫu số. x y x y x y z
x y z
 Bất đẳng thức véctơ      
Xét các véctơ: u  (a; )
b , v  (x; y) . Ta luôn có: u v u v   2 2 2 2 2 2 
a b x y  (a x)  (b y) . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng.
 Một số biến đổi hằng đẳng thức thường gặp  3 3 3
x y  (x y)  3x ( y x y).  2 2 2 2
x y z  (x y z)  2(xy yz zx).  3 3 3 3
x y z  (x y z)  3(x y)(y z)(z x).  3 3 3 2 2 2
x y z  3xyz  (x y z) x y z  (xy yz zx) .    2 2 2 2 2 2
(a b)(b c)(c a)  ab bc ca  (a b b c c a).  (a  )
b (b c)(c a)  (a b c)(ab bc ca)  abc. 3 3 3
2(a b c )  6abc  2 2 2 2 2 2
(a b)  (b c)  (c a)  2(a b c ab bc ca)  
a b c  3 3 3
(a b)  (b c)  (c a)  3(a  )
b (b c)(c  ) a . 2   2   2 2 2
(a b)  (a b )  2 2 2 2 .
 (a b )  .  ab  (a b)  (a  ) b và ab   4 2 2
 Một số đánh giá cơ bản và bất đẳng thức phụ
Các đánh giá cơ bản thường được sử dụng (không cần chứng minh lại) a. suy ra 2 2 2
x; y; z  0 
x y z xy yz z . x b. suy  ; ;  0 ra x y z 
 (x y)(y z)(z x)  8xy . z c. suy ra 2 2 2 2
x; y; z   
 3(x y z )  (x y z) . d. suy ra 2 2 2 2 2 2
x; y; z  0 
 (x y z)(x y z )  3(x y y z z x). e. suy ra 2
x; y; z  0 
 (x y z)  3(xy yz zx).
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 256 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán f. suy ra 2 2 2 2 2 2
x; y; z  0 
x y y z z x xyz(x y z). g. suy ra 2
x; y; z  0 
 (xy yz zx)  3xy (
z x y z). h. suy ra 2 2 2 2 2 2 2
x; y; z   
 3(x y y z z x )  (xy yz zx) . i. suy ra 9
x; y; z   
 (x y z)(xy yz zx)  (x y)(y z)(z x). 8
Các bất đẳng thức phụ thường được sử dụng (chứng minh lại khi áp dụng) suy ra 1 j. 3 3 3
x; y  0   x y  (x y) . 4 suy ra 1 1 2 suy ra 1 1 2 k.  xy  1     và  xy  1      2 2 1  x 1  y 1  xy 2 2 1  x 1  y 1  xy Suy ra: suy ra 1 1 2  xy  1     và suy ra 1 1 2  xy  1      1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy suy ra 1 1 1 l.
x; y  1      2 2 (1  x) (1  y) 1  xy suy ra 1 1 2 m.
x; y  0;1        2 2 1  x 1  y 1  xy 2 x, y  0       suy ra 1 1 2 n.      1     1    1  x y  1 x y x     y    
Chứng minh các đánh giá cơ bản a. Chứng minh: suy ra 2 2 2
x; y; z  0 
x y z xy yz z . x 2 2 2 2
x y  2 x y  2xy    Áp dụng BĐT Cauchy: 2 2 2 2 2 2 2
y z  2 y z  2yz x y z xy yz z .
x Dấu "  " khi x y  . z  2 2 2 2
z x  2 z x   2zxb. Chứng minh: suy  ; ;  0 ra x y z 
 (x y)(y z)(z x)  8xy . z
x y  2 xynhân  Áp dụng BĐT Cauchy 2 2 2
y z  2 yz (x y)(y z)(z x)  x y z   8xy .
z Dấu "  " khi x y  . z
z x  2 zx   c. Chứng minh: suy ra 2 2 2 2
x; y; z   
 3(x y z )  (x y z) .
Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số, ta được: 2 2 2 2 2 2 x y z
(x y z ) 2 2 2 2 2 2 2
x y z    
 3(x y z )  (x y z) . Dấu "  " khi x y  . z 1 1 1 3 d. Chứng minh: suy ra 2 2 2 2 2 2
x; y; z  0 
 (x y z)(x y z )  3(x y y z z x). Ta có: 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2
(x y z)(x  y z )  (x xy )  (y yz )  (z zx )  x y y z z x
Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu (…) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(x y z)(x y z )  2x y  2y z z x x y y z z x  3(x y y z z x). Dấu "  " khi x y  . z e. Chứng minh: suy ra 2
x; y; z  0 
 (x y z)  3(xy yz zx). Ta có: 2 2 2 2
(x y z)  x y z  2(xy yz zx)  3(xy yz zx). Dấu "  " khi x y  . z f. Chứng minh: suy ra 2 2 2 2 2 2
x; y; z  0 
x y y z z x xyz(x y z).
Đặt: a xy; b yz; c zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 2 2
a b c ab bc ca : luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy (BĐT a.)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 257 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Dấu đẳng thức khi x y z hoặc y z  0 hoặc x y  0 hoặc z x  0. g. Chứng minh: suy ra 2
x; y; z  0 
 (xy yz zx)  3xy (
z x y z).
Đặt: a xy; b yz; c zx thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2
(a b c)  3(ab bc ca) : luôn đúng theo BĐT e.
Dấu đẳng thức khi x y z hoặc y z  0 hoặc x y  0 hoặc z x  0. h. Chứng minh: suy ra 2 2 2 2 2 2 2
x; y; z   
 3(x y y z z x )  (xy yz zx) . 2 2 2 ( ) ( ) ( ) CauchySchwarz xy yz zx  Ta có: 2 2 2 2 2 2 2
3(x y y z z x )  3     (xy yz    zx) . 1 1 1  
Dấu đẳng thức xảy ra khi x y  . z i. Chứng minh: suy ra 9
x; y; z   
 (x y z)(xy yz zx)  (x y)(y z)(z x). 8 Cauchy
Ta có: (x y)(y z)(z x)  2 xy. yz. zx  8xy . z
Mặt khác: (x y z)(xy yz zx)  xyz  (x y)(y z)(z x). Suy ra:  1  9
(x y z)(xy yz zx) 
 1 (x y)(y z)(z  )
x  (x y)(y z)(z x).    8  8
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x y  . z
Chứng minh các bất đẳng thức phụ suy ra 1 j. Chứng minh: 3 3 3
x; y  0   x y  (x y) . 4 2 Cauchy 3  x y  (x y) Ta có: 3 3 3 3
x y  (x y)  3 .
x y(x y)  (x y)  3. .(x y)    
Dấu "  " khi x  . y  2  4 suy ra 1 1 2 suy ra 1 1 2 k. Chứng mnh:  xy  1     và  xy  1      2 2 1  x 1  y 1  xy 2 2 1  x 1  y 1  xy 1 1 2 Chứng minh: xy  1    (1) 2 2 1  x 1  y 1  xy  1 1   1 1 
Bất đẳng thức (1) tương đương với:         0 2  2 1  x 1 xy 1    y 1 xy      2 2 xy x xy y ( x y x)
y(x y)    0    0 2 2 2 2
(1  x )(1  xy)
(1  y )(1  xy)
(1  x )(1  xy)
(1  y )(1  xy) 2 2 (
x 1  y )  y(1  x )
(x y)  x ( y y x)
 (y x)   0  (y  ) x   0 2 2 2 2
(1  x )(1  y )(1  xy)
(1  x )(1  y )(1  xy) 2
(y x) (xy  1)   0 : đúng x
y  1. Dấu "  " khi x y hoặc xy  1. 2 2
(1  x )(1  y )(1  xy) 1 1 2 Chứng minh: xy  1    (2) 2 2 1  x 1  y 1  xy
Ta làm tương tự và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y hoặc xy  1. 1 1 2 1 1 2 Suy ra: xy  1    và xy  1     1  x 1  y 1  xy 1  x 1  y 1  xy 1 1 1 3
Mở rộng:  x; y; z  1 thì    (3) 2 2 2 1  x 1  y 1  z 1  xyz
Chứng minh: Ghép từng cặp xoay vòng, cộng lại. Dấu " = " khi và chỉ khi: x y z  1.
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 258 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán suy ra 1 1 1 l. Chứng minh:
x; y  1      2 2 (1  x) (1  y) 1  xy 2 1 1 1  1 1  2 1 Ta có:          0 2 2 (1  x) (1  y) 1  xy 1  x 1  y
(1  x)(1  y) 1  xy   2 2 (y x)
1  xy x y (y x)
(x  1)(y  1)    0    0 : đúng x  , y  1. 2 2 2 2
(1  x) (1  y)
(1  x)(1  y)(1  xy)
(1  x) (1  y) (1  )
x (1  y)(1  xy)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y  1. suy ra 1 1 2 m. Chứng minh:
x; y  0;1        2 2 1  x 1  y 1  xy 1 1 CauchySchwarz 1 1 Ta có: 2 2 1.  1.  1  1 .  (1) 2 2 2 2 1  x 1 1 1    y x y 1 1 2 Mặt khác x  , y (0;1), thì   (2) 2 2 1  x 1  y 1  xy 2 2  1 1   1 1  xy x xy y Thật vậy: (2)          0    0 2  2  2 2 1  x 1  xy 1  y 1  xy
(1  x )(1  xy) (1  y )(1    xy)   2 ( x y x) ( y x y)
(y x) (xy  1)    0   0 : đúng xy  1. 2 2 2 2
(1  x )(1  xy)
(1  y )(1  xy)
(1  x )(1  y )(1  xy) 1 1 2 Từ (1), (2), suy ra:   , x  ; y  0;1. 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi: x  . y 2 2 1  x 1  y 1  xy 2 x, y  0       suy ra 1 1 2 n. Chứng minh:      1     1    1  x y  1 x y x     y     1 1 1 4 4 1 4 1 1 4 2 2 (x y) (x y) Ta có: BĐT             2 2 xy x y (x y) x y xy (x y) x y x y 2 x ( y x y)
xy(x y) 2
 (x y) (1  x y)  0 : đúng với mọi x y  1 và dấu "  " khi và chỉ khi: x  . y
§ 2. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 
I. Bài toán hai biến có tính đối xứng
VD 1. (CĐ – 2008) Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: 2 2
x y  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ min P  7
 khi x y  1   nhất của biểu thức: 3 3
P  2(x y )  3xy. ĐS: 13 1 3 1  3    max P  khi x  ; y   2 2 2
VD 2. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y  1  3x .
y Tìm giá trị lớn nhất 3x 3y 1 1
của biểu thức: P     
ĐS: max P  1 khi x y  1. 2 2 y(x  1) ( x y  1) x y
VD 3. (D – 2009) Cho x, y  0 thỏa mãn điều kiện: x y  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  191 2  3 2  3 min P  khi x  ; y   của biểu thức: 2 2
P  (4x  3y)(4y  3x)  25x . y ĐS: 16 4 4    25 1 max P  khi x y    2 2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 259 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 4. Cho các số thực x, y thỏa: 2x  3  2y  3  x y. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:  3 3
min P  2  8 5 khi x  ; y    2 2 
P  8 5  x y x y  2(x  1)(y  1). ĐS: 2 2   7 1
max P  34 khi x  ; y    2 2
VD 5. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 2
2x  2y xy  1. Tìm giá trị lớn nhất và  18 5 5 min P  khi x   ; y   
giá trị nhỏ nhất của: 4 4 2 2
P  7(x y )  4x y . ĐS: 25 5 5    70 7 2 2 20 max P  khi xy  , x y    33 33 33
VD 6. Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: 2 2
x xy y  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 4 4 x y  1 11
nhất của biểu thức: P   ĐS: min P
và max P  6  2 6. 2 2 x y  1 15
VD 7. (B – 2011) Cho a, b  0 thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
2(a b )  ab  (a b)(ab  2). Tìm giá trị 3 3 2 2  a b   a b  23
a  2, b  1
nhỏ nhất của: P  4   9       ĐS: min P   khi  3 3 2 2   b a   b a  4 a  1, b  2   x  1 y  1 
VD 8. (HSG – Hà Tĩnh – 2014) Cho các số thực dương x, y thỏa: x y  2  3    Hãy tìm y x   2 2  x y 3  2596 x  1 x  3
giá trị nhỏ nhất của: 2
P  (x y)      ĐS: min P  khi hoặc     4 4 y x xy    81 y  3  y  1 
II. Bài toán hai biến có tính đẳng cấp
VD 9. Cho các số thực dương x và y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 2 2
x y  0. Tìm giá trị lớn nhất 2 2xy y max P 1 khi x 0; y      
và giá trị nhỏ nhất của: P   ĐS:  2 2 
3x  2xy y min P  0
 ,5 khi x  y  0 
VD 10. (B – 2008) Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn hệ thức: 2 2
x y  1. Tìm giá trị lớn nhất 2 2(x  6xy) x   3y
và giá trị nhỏ nhất của: P   ĐS: max P  3 khi  2  1  2xy  2y 2 2 x y  1 
VD 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
4x  2xy y  3. Tìm giá trị lớn nhất và 1
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
P x  2xy y . ĐS: min P  2  và max P   3
VD 12. (D – 2013) Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: xy y  1. Hãy tìm giá trị x y x  2y 5 7 1
lớn nhất của: P    ĐS: max P  
khi x  ; y  2. 2 2 6(x y)
x xy  3y 3 30 2
VD 13. Cho x và y là các số thực dương thỏa: 2 2 4 4
2y (11x  1)  8x  6y  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 2 x y 2  1 1
của biểu thức: P   ĐS: min P
khi x  ; y  1. 2 2 2 2
(x y )(y  4x y ) 5 2 4 2 2
xy x  9x y
VD 14. Cho x và y là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   2 2 x  8y 3 2 ĐS: max P
khi x  6 2 và y  1. 4
VD 15. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y  2. Hãy tìm giá trị lớn nhất 4 2 của biểu thức: 2 2
P  7(x  2y)  4 x  2xy  8y .
ĐS: max P  8 khi x  ; y   3 3
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 260 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
III. Bài toán có hai biến mà cần đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau
VD 16. (D – 2012) Cho các số thực dương x và y thỏa: 2 2
(x  4)  (y  4)  2xy  32. Hãy tìm giá trị nhỏ 17  5 5 1  5 nhất của: 3 3
P x y  3(xy  1)(x y  2). ĐS: min P  khi x y   4 4
VD 17. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x, y  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu 3 3 2 2
x y x y thức: P  
ĐS: min P  8 khi x y  2.
(x  1)(y  1)
VD 18. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy  4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 3 13
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x  5  1, y  5  1. 4 4 2 x y (x y) 8
VD 19. Cho hai số thực dương a, b khác nhau và thỏa mãn điều kiện: 2
a  2b  12. Tìm giá trị nhỏ nhất 4 4 5 27
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi a  2; b  4. 4 4 2 a b 8(a  ) b 64
VD 20. (B – 2006) Cho x, y  . Tìm giá trị nhỏ nhất: 2 2 2 2
P x y  2x  1  x y  2x  1  y  2 . 3
ĐS: min P  2  3 khi x  0, y   3 3
VD 21. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: x; y
và 6xy x  .
y Tìm giá trị nhỏ nhất của 5 3x  1 3y  1 34 1 biểu thức: P  
 (3x y)(3y x). ĐS: min P  khi x y   2 2 9y  1 9x  1 9 3
VD 22. Cho các số dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3  x  1   y  1  biểu thức: 2 2 P  4   4   x     
y . ĐS: min P  64  2 khi x y  1. y    x
VD 23. (D – 2014) Cho hai số thực dương thay đổi x và y thỏa: 1  ;
x y  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x  2y y  2x 1 7 P     ĐS: min P
khi x  1, y  2. 2 2 x  3y  5 y  3x  5 4(x y  1) 8
VD 24. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
2x  2y  1 / xy  5. Tìm giá trị 3 3 4 32 1
lớn nhất của: P     ĐS: max P  khi x y   2 2 1  x 1  y 1  2xy 15 2 2 2 3
VD 25. Cho a, b  0, thỏa: 4 4 1
2ab  2  a  16b
 Tìm giá trị lớn nhất: P    ? 2ab 2 2 1  a 1  4b 1  4ab
VD 26. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa điều kiện: 4 4
x y  4  6 / x .
y Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 3  2xy
của biểu thức: P    
ĐS: min P  1 khi x y  1. 2 2 1  2x 1  2y 5  x y
VD 27. Cho x, y  0 thỏa mãn: x, y (0;1) và 3 3
(x y )(x y)  xy(x  1)(y  1)  0. Tìm giá trị lớn nhất 1 1 6 1 1 của: 2 P  
xy  (x y) . ĐS: max P   khi x y   2 2 1  x 1  y 10 9 3
VD 28. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: 2 2
a b a b  4. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2  a  1 b  1  a b 2 5 của: P  2      ĐS: min P  4 
khi a b  1. 2 2 2 a a b b   (a b)  1 5
VD 29. Cho hai số thực dương a và b thay đổi thỏa điều kiện: 4 4 6
a b  4 
 Hãy tìm giá trị nhỏ ab a  1 b  1 ab 1 nhất của: P     ĐS: min P
khi a b  1. 2 2 2a  1 2b  1 a b  1 3
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 261 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 1. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x y x  .
y Tìm giá trị lớn nhất và giá
min P  0 khi x y  0 trị nhỏ nhất của: 3 3 2 2
P x y x y y . x ĐS:  
max P  4 khi x y  1 
BT 2. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  1   1  1
thức: P  (x  1)1    (y  1) 1    
ĐS: min P  4  3 2 khi x y   y    x  2
BT 3. Cho x, y  0 thỏa: 2 2
(xy  1)(9 xy  2xy)  7(x y )  2xy  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
min P  4 khi x y  1  1 1  x y  2
nhất của: P xy xy    ĐS:  27  xyxy max P  khi  1 4 x y      2
BT 4. Cho các số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x  1, y  1 và 4xy  3(x y). Tìm giá trị lớn nhất  65 3 min P  khi x y   3 3  12 2
và giá trị nhỏ nhất của: 3 3
P x y    ĐS:   2 2 x y 74
x  1, y  3 max P  khi   3 x  3, y  1  
BT 5. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
xy x y  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá
min P  5 khi x y  1  trị nhỏ nhất của: 4 4 3 3
P x y  4xy x y . ĐS:  
max P  33 khi x y   3 
BT 6. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x, y  1 và x y xy  8. Tìm giá trị lớn
min P  24 khi x y  2 
nhất và giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 2
P x y x y . ĐS:  51 7  max P  khi x  , y  1   2 2
BT 7. Cho các số thực x và y thỏa: x y y  1  2x  4  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
min P  2  2 2 khi x  2, y  1  1  nhất của: 2 P
 9  x y  (x y) . ĐS:  33  2 5  x y max P
khi x  4, y  0  2
BT 8. (A – 2006) Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa mãn điều kiện: 2 2
(x y).xy x y xy. Hãy 1 1 1
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P   
ĐS: max P  16 khi x y   3 3 x y 2
BT 9. Cho các số không âm x và y thay đổi thỏa: x y xy  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ  3 3x 3y xy min P  
khi x y  1 nhất của: 2 2
P x y     ĐS:  2  y  1 x  1 x y
max P  0 khi x  0, y  3  4 4 2 2 x y x y 5 xy
BT 10. Cho các số thực dương x, y. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: P     4 2 (x y) (x y) x y 7 ĐS: max P  khi x  . y 2
BT 11. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: xy  0 và x y  0. Hãy tìm giá trị lớn 2 3 min P  0
 ,5 khi x  0, y  0 x y  4y
nhất và giá trị nhỏ nhất của: P   ĐS:  3 3  1 x  8y max P  khi x  4y   6
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 262 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BT 12. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x  3y  1  y(3x  2). Tìm giá trị 2 2 x  2y
2x xy  8y
nhỏ nhất của biểu thức: P    2 2 2 2 2 xy   y x y
BT 13. Cho x và y là các số thực thỏa mãn điều kiện: 2 2
x xy y  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
P x  2xy  7y . 7 7 8 2 2
Đáp số: min P  16 khi x   , y  3 và max P  khi x  5 ; y    2 2 3 21 21
BT 14. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x  3y xy  2 và y  0. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: 2 2
P x xy  2y . 2 2 (
x 4x  3)  ( y 4y  3)
BT 15. Cho x, y  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  
x y  4xy
Đáp số: min P  2 khi x y  0,5.
BT 16. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 4 4 2
3xy  3  x y   Hãy tìm giá xy 16 20
trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 P
x y . ĐS: max P
 khi x y  2. 2 2 x y  2 3
BT 17. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x y y x x y  3xy. Tìm giá trị 2 (1  2xy)  3 71 nhỏ nhất của: 2 2
P x y   ĐS: min P
khi x y  2. 2xy 4
BT 18. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x  2y xy  0. Tìm giá trị nhỏ 2 2 x y 8
nhất của biểu thức: P    ĐS: min P
khi x  4, y  2. 4  8y 1  x 5
BT 19. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y x  1  2y  2. Hãy tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
P x y  2(x  1)(y  1)  8 4  x y.
Đáp số: min P  18 khi x  1, y  1
 và max P  25 khi x  2, y  1.
BT 20. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x 3  y y 3  x  3. Tìm giá trị lớn 3 nhất của: 3
P xy  (x y)  12(x  1)(y  1).
ĐS: max P  10 khi x y   2
BT 21. Cho các số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2 2
(x y  1)  3x y  1  4x  5y . Tìm 2 2 2 2
x  2y  3x y
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   2 2 x y  1 4
Đáp số: min P  1 khi x  0; y  1  và max P
khi x  0; y   2. 3  x y 1 1 
BT 22. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3     x y    2. Tìm y x x y   2 4 4  x y  1 1 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P     3xy    2 2   y x y x   
BT 23. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
5(x y)(xy  3)  6(x y )  20xy. 4 4 3 3 2 2  x y   x y   x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  9    16     25    4 4 3 3  2 2  y x y x y x       14156 Đáp số: min P
khi a  1, b  3 hoặc a  3, b  1. 27
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 263 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BT 24. Cho các số thực a và b thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a  2b )  3a b  2(a b )(a  2b ). Tìm 2 2 2 2 2 2 3 3 3 (  a  )
b  2a  5b   (a  ) b  2a  5  8 b a b b
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P         3 3 2 2 b a a ( b a b ) Đáp số: 97 min P
khi a b c  1. 3
BT 25. Cho hai số thực x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
x  4y  4xy x  2y  2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: P  4x  8y  6xy  1.
ĐS: max P  12 khi x  1; y  0,5.
BT 26. Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện: x y  2 x  2  y  1  1. Tìm giá trị lớn nhất, giá x y
2(1  xy x y )
trị nhỏ nhất của biểu thức: P  (x y)  (y x)   2 2 x y
BT 27. Cho x, y là hai số thực dương thay đổi thỏa: 2 3
3x  8y  20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 1 P    
ĐS: min P  6 khi x  2, y  1. 2 2 2 x y (x y)
BT 28. (B – 2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa: 3
(x y)  4xy  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 2 2 2
P  3(x y x y )  2(x y )  1. ĐS: 9 min P  khi   1 x y  16 2
BT 29. Cho x và y là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: 2 2
4(x y xy)  1  2(x y). 3 1
Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2
P xy x y x y . ĐS: min P  khi x y   4 2  1   1 
BT 30. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x 1   y 1     4.   Tìm giá trị y    x  nhỏ nhất của: 2 2
P xy  1  x  1  y .
ĐS: min P  9  2 10 khi x y  3.
BT 31. Cho x và y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện: x y  2 x  2  3 y  2014  2012. Tìm
2015  2xy x y  1
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 2 2
P  (x  1)  (y  1)   x y  1 2015 x  2 2015 x  2
Đáp số: min P  4044122  khi 
và max P  4096577  khi   2013 y  2014  2026 y  2023 
BT 32. Cho hai số thực dương x và y thay đổi thỏa: 2 2
x  9y  1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
(x  1)  3(2xy  1)  (3y  1)
t x  3y  1 4 biểu thức: P  
HD: f (t)  t  ,   x  3y  1 tt 1 2;1 2       
BT 33. Cho x và y thỏa mãn điều kiện: 4 4 2
x  16y  (2xy  1)  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P  ( x x  3)  2 ( y 4y  3).
HD: Bài toán đối xứng theo x, 2 . y 3 3 3 x y 2
BT 34. Cho các số thực dương x và y thay đổi thỏa mãn điều kiện: 3      Tìm giá trị 2 2 xy y x x y 16 20
lớn nhất của biểu thức: 2 2 P   x y . ĐS: min P
khi x y  2. 2 2 x y  2 3 4x 4y
BT 35. Cho x, y  0 thỏa: x y xy  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  
 2xy  7  3xy. y  1 x  1
Đáp số: min P  6 khi x y  1.
BT 36. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn điều kiện: 2 2
x xy y  (x y)(xy  1). Tìm giá trị nhỏ 2 2 x y 4(xy  1)  y  nhất của: 2 2
P  (x y )     ĐS: min P  55. 2   xy 3(x y)  x
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 264 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
§ 3. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM BA BIẾN SỐ 
I. Ba biến đối xứng
1. Đặt ẩn phụ trực tiếp
VD 30. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của 1 3 3
biểu thức: P  2xy  2yz  2zx   ĐS: max P  2 
khi x y z  
x y z 3 3
VD 31. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
xy yz zx 7 biểu thức: 2 2 2
P x y z   ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 2
x y z  3 2
VD 32. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 8 2 thức: 2
P  (xy yz  2zx)  
ĐS: min P  3 khi x  z   , y  0. 2
(x y z)  xy yz  2 2 1  16xyz
VD 33. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z . Tìm giá trị lớn nhất 4 3 4xyz  3 xyz 13 1
của biểu thức: P   ĐS: max P
khi x y z   2 2 2
1  4(x y z ) 28 4
VD 34. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  2xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ 1 nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 P
x (1  y )(1  z )  y (1  z )(1  x )  z (1  x )(1  y ). 2 2 2
x y z
ĐS: max P  2 khi x y  . z
2. Đánh giá trước, rồi đặt ẩn phụ sau 3
VD 35. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 2 x y z 1 1 1 15 1 biểu thức: P        ĐS: min P
khi x y z   y z x x y z 2 2
VD 36. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu 3 3 3
x y z thức: 3 3 P  8 xyz  
ĐS: max P  9 khi x y z  1. 3
VD 37. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3
x y z  1 2 1 1
P  (x y z)     
ĐS: min P  4 khi x y z   2  xyz xy yz zx      3
VD 38. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa: x y z và 2 2 2
x y z  5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P  (x y)(y z)(x z)(xy yz zx).
ĐS: max P  4 khi x  2; y  1; z  0.
VD 39. Cho x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P  3(x y y z z x )  3(xy yz zx)  x y z . ĐS: min P  1 khi ( ;
x y; z)  (1; 0; 0).
VD 40. (B – 2010) Cho a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a b c  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P  3(a b b c c a )  3(ab bc ca)  2 a b c . ĐS: min P  2 khi (a; ; b c)  (1; 0; 0).
VD 41. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của
xy yz zx biểu thức: 2 2 2
P x y z  
ĐS: min P  4 khi x y z  1. 2 2 2
x y y z z x
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 265 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 42. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 2
(x y z  1) 1 1 1 13 biểu thức: P      ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 2
x y y z z x x y z 3
VD 43. (HSG Bình Phước 2014) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 biểu thức: P    ĐS: max P
khi x y z  1. 2 2 2
(x  1)(y  1)(z  1)
x y z  1 4
VD 44. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  1, y  0, z  0. Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 biểu thức: P    ĐS: max P
khi y z  1, x  2. 2 2 2 (
x y  1)(z  1)
x y z  2x  2 4
VD 45. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 9 16 P   
ĐS: min P  5 khi x y z  1. 2 2 2
(x  2z)(y  2z)xy
x y z  1
VD 46. (B – 2013) Cho a, b, c là các số thực dương. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 4 9 5 P    ĐS: max P
khi a b c  2. 2 2 2
a b c  4 (a  )
b (a  2c)(b  2c) 8
VD 47. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 8xyz x y z P      2 
ĐS: min P  2 khi x y  . z
(x y)(y z)(z x) y z x
VD 48. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 16
xy yz zx  1 28 thức: P    ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 2 2 2 2    1
x y z x y y z z x 3
VD 49. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 72 thức: P
 (x y)(y z)(z x).
ĐS: min P  44 khi x y z  1.
x y z  1
VD 50. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 x y z 1 12  6 P      ĐS: min P
khi x y z  1. y(z  2) ( z x  2) ( x y  2)
2 x y z  3 12
VD 51. Cho các số thực dương x, y, z thỏa: 2 2 2
x y z xy yz zx  6. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 x y z 54 P    
 9 ln(x y z).
ĐS: min P  9  9 ln 3 khi x y z  1. 2 2 2 y z x
xy yz zx  6
VD 52. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  2(y  1). Hãy tìm giá trị lớn 1 21
nhất của biểu thức: P
 2xy  2yz. ĐS: max P
khi x z  1; y  2.
x y z  1 5
VD 53. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2 x y y z z x 13xyz 40 P      ĐS: min P
khi x y  . z 3 3 3 2 2 2 z x y
3(xy yz zx ) 9
VD 54. Cho a, b, c  0 thỏa điều kiện: 4 4 4 2 2 2
3(a b c )  7(a b c )  12  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 a b c biểu thức: P    
ĐS: min P  1 khi a b c. b  2c c  2a a  2b
VD 55. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
3(x y z)  x y z  2xy. Tìm giá trị nhỏ 20 20
nhất của biểu thức: P  
x y  . z
ĐS: min P  26 khi x  1; y  2; z  3. x z y  2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 266 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 56. (HSG Hà Nội 2014) Cho a  0, b  0, 0  c  1 và 2 2 2
a b c  3. Tìm GTLN và GTNN của biểu 6 
min P  2 3 khi a  3 , b c  0
thức: P  2ab  3bc  3ca   ĐS:  
a b c
max P  10 khi a b c  1. 
VD 57. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 24 3 3 16 P    ĐS: min P  
khi x  4y  16z  
13x  12 xy  16 yz
x y z 2 21
VD 58. (HSG Nghệ An 2013) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 3 3 16 thức: P    ĐS: min P  
khi a  4b  16c   3
a ab abc
a b c 2 21
VD 59. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 8 3 1 1 P    ĐS: min P  
khi y  ; x z   2 2
2x y  8yz
2y  2(x z)  3 2 2 4
VD 60. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3
4( xy yz xyz )  8x  3y 14 16 P   ĐS: max P
khi x  4y  16z   2
1  (x y z) 3 21 1
VD 61. Cho các số thực dương x, y, z thỏa:
x  1 và y; z  1, sao cho xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ 4 1 1 1 22 1
nhất của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x  ; y z  2. 1  x 1  y 1  z 15 4
VD 62. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện: x y  .
z Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
xy yz zx 1 2 3 9 thức: P      ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 2 4 (x  1) (y  1) (z  1) 4
VD 63. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z  0;1. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức: P     xy . z
ĐS: min P  3 khi x y z  0. 3 3 3 1  x 1  y 1  z
II. Ba biến mà có hai biến đối xứng
VD 64. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
a b c  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 2 3 8 3 3 1 biểu thức: P     ĐS: min P  khi x y  ; z   2 2 1  c a ab b ab 3 2 2
VD 65. Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 3 x y 4z 3 P     ĐS: min P
khi x y  . z 2 2 3 (x y) (y z) 3(z x) 2
VD 66. (A – 2011) Cho các số thực x, y, z thuộc đoạn 1; 4 
 thỏa điều kiện: x y; x  . z Tìm giá trị x y z 34
nhỏ nhất của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x  4y  2z  4. 2x  3y y z z x 33
VD 67. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  .
z Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu x y z thức: P    
ĐS: max P  5 khi x  2y  4 . z 2 2 2 2 z x x y y z
VD 68. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: x y z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 y z x P    
ĐS: min P  4 khi x  2y  4 . z x y y z 8 .( z xz z)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 267 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 69. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy  1 và z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 x y z  2 3 biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. y  1 x  1 3(xy  1) 2
VD 70. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy yz zx  1. Tìm giá trị lớn nhất của x y 3z
x y  10  3 biểu thức: P     ĐS: max P  10 khi  2 2  2 1  x 1  y 1  zz  3 
VD 71. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3x y z  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 18 2  3x  1  5 1 1 thức: P      1 
ĐS: min P  15 khi x  ; y  ; z  
3x y  2z  1 3x  1 y   12 4 2
VD 72. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y xyz 4  3 3 
x y  2 3  3 P     ĐS: max P  khi   x yz y zx z xy 4 z  7  4 3  1 1 1
VD 73. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:  
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 a b 2c a b c 4 13 biểu thức: P     ĐS: min P  
khi a b  2c. 2 2 2 b c c a
a b c 5 13
VD 74. (A – 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 2
(a c)(b c)  4c . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 3 3 2 2 32a 32b a b
của biểu thức: P    
ĐS: min P  1  2 khi a b c. 3 3 (b  3c) (a  3c) c
VD 75. Cho các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: x y z  0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 3 3
x y  16z 16 thức: P   ĐS: min P
khi x y  8z  0. 3
(x y z) 81
VD 76. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y và (x z)(y z)  1. Hãy tìm giá trị nhỏ x z  2 1 6 12 
nhất của biểu thức: P    
ĐS: min P  20 khi   2 2 2 1 (x y) (y z) (z x) y z    2
VD 77. (B – 2014) Cho các số thực a, b, c không âm thỏa điều kiện: (a  )
b c  0. Tìm giá trị nhỏ nhất a b c 3
của biểu thức: P     ĐS: min P  khi (a; ; b c)  (0; ; m m  0). b c a c 2(a b) 2
VD 78. Cho a, b, c không âm thỏa điều kiện: ab bc ca  0; a  b  c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu b c a
x  0; y z  0 thức: 3 P  2  3    ĐS: min P  4 khi   c a a b b c
y  0; x z  0 
VD 79. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 x y 2z  1 7 biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. 3 3 3 3
x  (y z)
y  (z x) 27 9
VD 80. (A – 2014) Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  2. Tìm giá trị lớn 2 x y z 1  yz 5 nhất của: P     ĐS: min P
khi x y  1, z  0. 2
x yz x  1
x y z  1 9 9
VD 81. Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 2 x y z 1 biểu thức: P    
ĐS: max P  1 khi x  0; y z  1. 2
x yz x  1
x y z  1 xyz  3
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 268 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 82. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: abc  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 b c 4 thức: P     ĐS: min P
khi a b c  1. 3 3 3 3 a c  1 a b  1 9a 9
VD 83. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2
x y z 9x 9y 7 P   3  3  ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 9
(y z)  5yz
(z x)  5zx 3
VD 84. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 x y 3(x y) 1 1 thức: P    
ĐS: min P   khi x y z   2 2
(y z)  5yz
(z x)  5zx 4 9 3
VD 85. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 x y z (x y) 2x  2y 3 P      2  ĐS: min P  
khi x y  . z 2 y z z x x y 4z z 2
VD 86. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  1 1 1  81 thức: 4 4 4
P  (a b c )     ĐS: min P
khi 2a  2b  . c 4 4 4   4a 4b c  8 3 3 3 2
4x  3y  2z  3y z
VD 87. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   3
(x y z) 4 ĐS: min P
khi 2x y  . z 25
VD 88. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z  1  ; 2 . 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 2 (x y) 1 biểu thức: P   ĐS: min P
khi x y  1, z  2. 2
z  4(xy yz zx) 6
VD 89. Cho các số thực x, y, z phân biệt và thỏa mãn điều kiện: x, y, z  0; 2 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 9
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x  0; y  1; z  2. 2 2 2 (x y) (y z) (z x) 4
VD 90. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: x y z xy .
z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 (z z xy) 2z  x  2  1 P   
ĐS: min P  2 khi   2 2 2
(x y)(z  1)
(z  1) z  1 y  2  1, z  1 
VD 91. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: xyz x z y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 4z 3z 2 1 2 P      ĐS: max P  khi x  ; y  2; z   2 2 2 2 2 x  1 y  1 z  1
(z  1) z  1 9 2 4
VD 92. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 x y 4z  x y  2  1 thức: P   
 ĐS: min P  20 2  28 khi   2 2 1  y 1  x 2  2x  2yz  3  2 2  1 27
VD 93. Cho ba số thực x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P    2 2 2 2 2 3 32x y z
(2x  2y z  1) 1 1 ĐS: min P  
khi x y  ; z  1. 2 2
VD 94. Cho các số thực dương x, y, z thỏa: 2 2 2
x y z  5(x y z)  2xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của  1 3 
biểu thức: P  48  
  x y z.
ĐS: min P  58 khi x  2, y  3, z  5.  3 y z x   10   
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 269 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
III. Phương pháp đồ thị
1. Bài toán có giả thiết tổng các biến là hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 95. Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c  1. Hãy tìm giá trị lớn a b c 9 1
nhất của biểu thức: P     ĐS: max P
khi a b c   2 2 2 a  1 b  1 c  1 10 3
VD 96. Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c  3. Hãy tìm giá trị nhỏ 1 1 1 3
nhất của biểu thức: P     ĐS: min P
khi a b c  1. 2 2 2 a  1 b  1 c  1 2
VD 97. Cho các số không âm a, b, c, d thỏa điều kiện: a b c d  4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu a b c d 1 1 thức: P       ĐS: max P
khi a b c d  1. 2 2 2 2 3a  5 3b  5 3c  5 3d  5 2 2
VD 98. (France MO) Cho các số không âm a, b, c, d thỏa điều kiện: a b c d  1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 2 1
6(a b c d )  a b c d   8
VD 99. (China MO) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện: a b c  3. Chứng 2 2 2 a  9 b  9 c  9 minh rằng:    5. 2 2 2 2 2 2
2a  (b c)
2b  (c a)
2c  (a b)
VD 100. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 4  x 4  y 4  z biểu thức: P    
ĐS: min P  5 khi x y z  1. 4  x 4  y 4  z
VD 101. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a b c d  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 1  a 1  b 1  c 1  d 1
của biểu thức: P    
 ĐS: min P  8 khi a b c d   1  a 1  b 1  c 1  d 4
VD 102. Cho các số không âm x, y, z thỏa điều kiện: x y z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
min P  3 khi x y z  1  nhất của: 2 2 2
P x x  1  y y  1  z z  1. ĐS:  
max P  2  7 khi x  3; y z  0 
VD 103. (USA MO) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi. Chứng minh rằng: 2 2 2
(2a b c) (2b c  ) a
(2c a b)    8. 2 2 2 2 2 2
2a  (b c)
2b  (c a)
2c  (a b)
VD 104. (Crux Mathematicorum – Canada) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi. Chứng minh rằng: 2 2 2
(b c a) (c a  ) b
(a b c) 3     2 2 2 2 2 2
(b c)  a
(c a)  b (a  ) b c 5
2. Bài toán có giả thiết tổng bình phương các biến bằng hằng số với P = f(a) + f(b) + f(c)
VD 105. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 3
của biểu thức: P   
 (x y z).
ĐS: min P  2 3 khi x y z   x y z 3
VD 106. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất  1 1 1 
của biểu thức: P  3(x y z)  2    
ĐS: min P  15 khi x y z  1. x y z   4
VD 107. Cho các số thực dương x, y, z thỏa: x, y, z  và 2 2 2
x y z  12. Hãy tìm giá trị lớn nhất 3 2 2 2 x  1 y  1 z  1 15
của biểu thức: P     ĐS: max P
khi x y z  2. x y z 2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 270 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 108. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất x y z 3 2 3
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z   2 2 2 1  x 1  y 1  z 2 3
VD 109. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất x y z 3 2 3
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z   2 2 2 2 2 2 y z x z x y 2 3
VD 110. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất x y z
của biểu thức: P    
ĐS: min P  1 khi ( ;
x y; z)  (0; 0;1). 1  yz 1  zx 1  xy
VD 111. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất x y z 3
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. 2 2 2 (y z) (z x) (x y) 4
VD 112. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1 3 3  9 1
của biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z   1  x 1  y 1  z 2 3
VD 113. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 4x 4y 4z của: P    
ĐS: min P  3 khi x y z  1. 2 2 2 x  2x  5 y  2y  5 z  2z  5
VD 114. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Hãy tìm giá trị lớn nhất của: 5 3 5 3 5 3
x  2x x
y  2y y
z  2z z 2 3 1 P     ĐS: max P
khi x y z   2 2 2 2 2 2 y z z x x y 3 3
VD 115. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất 2 2 2 x xy y yz z zx 3 1
của biểu thức: P     ĐS: max P
khi x y z   2 2 2 5  z 5  x 5  y 2 3
VD 116. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 8x 8y 8z  
 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4x 4y 4z 3 thức: P     ĐS: min P
khi x y z  0. 3  4x 3  4y 3  4x 2
VD 117. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4 4 4
x y z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất 1 1 1
của biểu thức: P    
ĐS: max P  1 khi x y z  1. 4  xy 4  yz 4  zx
VD 118. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  3. Chứng minh rằng: 1 1 1 30  3 1      2 2 2 a a  1 b b  1 c c  1 13
3. Bài toán có giả thiết tích các biến là hằng số hoặc P có dạng P = f(a).f(b).f(c)
VD 119. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y z 3 2 thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. 1  x 1  y 1  z 2 3
VD 120. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 2 125 1 của biểu thức: 2 2 2
P  (1  x )(1  y )(1  z ). ĐS: min P
khi x y z   64 2
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 271 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
VD 121. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất 100 1 của biểu thức: 2 2 2
P  (1  x )(1  y )(1  z ). ĐS: min P
khi x y z   729 2
VD 122. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4(x y z)  9. Hãy tìm giá trị lớn nhất 3 của: 2 2 2
P  (x x  1).(y y  1).(z z  1).
ĐS: max P  8 khi x y z   4
VD 123. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 4(x y z)  9  0. Hãy tìm giá trị lớn nhất 3 của: 2 y 2 z 2  (   1) .(   1) .(   1)x P x x y y z z . ĐS: 4
max P  4 2 khi x y z   4
VD 124. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 a b c 3 thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. 1  bc 1  ac 1  ab 2
VD 125. Cho các số thực dương a, b, .
c Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 a b b c c a P    
ĐS: min P  0 khi a b c. a  3b b  3c c  3a 4 4 4 3 3 3 a b c
a b c
VD 126. Cho các số thực dương a, b, . c Chứng minh:     a  4b b  4c c  4a 5
IV. Đánh giá dồn về một biến f(a) hoặc f(b) hoặc f(c), rồi xét hàm
VD 127. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
P  2(x y z )  4xyz  9x  2015.
ĐS: min P  2008 khi x  1; y z  0.
VD 128. Cho các số không âm x, y, z thỏa điều kiện: x y z  3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 9 3 thức: 2 2 2
P x y z  2xyz. ĐS: min P
khi z  0; x y   2 2
VD 129. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: x y z và 2 2 2
x  2y  4z  12. Tìm giá trị lớn nhất của x  0  biểu thức: 2 2 2 2
P xy  4yz zx xyz y  3y.
ĐS: max P  11 2  2 khi   y z  2 
VD 130. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện: 4x  3y  4z  22. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 3 25
biểu thức: P x y z     ĐS: min P
khi x  1, y  2, z  3. 3x y z 3
VD 131. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 3 1 1 1 thức: P     ĐS: min P  khi x  , y  , z   2 2(2x  1) 3  9y 6  36z 8 2 3 6
VD 132. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z  1  ; 4 
 và x y  2z  8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3
P x y  5z .
ĐS: max P  137 khi x y  1, z  3.
VD 133. (B – 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện: x y z  0 và 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị 5 6 6 1 
lớn nhất của biểu thức: 5 5 5 P  x  y  z . ĐS: max P  khi z  , x y  36 3 6
VD 134. (HSG Vĩnh Phúc 2013) Cho các số thực x, y, z thỏa: 2 2 2
x y z  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
P  3x  7y  5y  5z  7z  3x .
ĐS: max P  3 10 khi x y z  1.
VD 135. Cho x, y, z  0 thỏa điều kiện: 2
1  x  1  2y  1  2z  5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
x y  0, z  4 thức: 3 3 3
P  2x y z . ĐS: max P  64 khi  
x z  0, y  4 
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 272 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
V. Xét hàm lần lượt từng biến và xét hàm đại diện cho ba biến
VD 136. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z  1; 3. 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 36x 2y z biểu thức: P    
ĐS: min P  7 khi x  1; y z  3. yz xz xy
VD 137. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z  1  ; 2 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 3 biểu thức: P     ĐS: min P
khi x y z  1. x xy  4 y yz  4 z zx  4 4
VD 138. (A – 2011) Cho các số thực x, y, z  1  ; 4 
 thỏa điều kiện: x y; x  .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của x y z 34 biểu thức: P     ĐS: min P
khi x  4; y  1; z  2. 2x  3y y z z x 33
VD 139. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  2y z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y x  2y 6 biểu thức: P     ĐS: min P
khi z  2x  4 . y 10y z
x y z 2x  3y 7
VD 140. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: xyz x z y. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 3 10 2 2 biểu thức: P     ĐS: max P  khi x
, y  2 , z   2 2 2 x  1 y  1 z  1 3 2 4  1  x y y z z x
VD 141. Cho x, y, z  ;1 . 
Tìm giá trị lớn nhất của: P     2    z x y 3  2 2 1 1 ĐS: max P
khi x  1, y  , z   2 2 2
VD 142. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a, b, c  1; 2 . 
 Tìm giá trị lớn nhất của 2  ab 2  bc 2  ca 3 biểu thức: P     ĐS: max P
khi a b c  1.
(a b)c
(b c)a
(c a)b 2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
BT 37. Cho ba số thực không âm thỏa: 2 2 2
x y z  3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 5
thức: P xy yz zx  
x y z
BT 38. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 4
biểu thức: P xy yz zx  
xy yz zx  2
BT 39. Cho x, y, z  0 thỏa điều kiện: 2 2 2
2(x y z )  xy yz zx  3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1
P x y z  
x y z  3
BT 40. Cho x, y, z  0 thỏa điều kiện: 2 2 2
3(x y z )  xy yz zx  12. Tìm gía trị lớn nhất và giá trị 2 2 2
x y z
nhỏ nhất của: P
xy yz z . x
x y z
BT 41. Cho các số thực x, y, z  0; 2 
 thỏa: x y z  3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 2 2 2
x y z thức: P
xy yz zx.
xy yz zx
BT 42. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
xy yz zx thức: 2 2 2
P x y z   2 2 2
x y z  3
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 273 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BT 43. Cho các số thực dương x, y, .
z Hãy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2 2
(x y z  3) P    2 2 2
3(x  1)(y  1)(z  1)
x y z  1
BT 44. Cho các số thực x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
x  2y  5z  2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 P (xy yz zx) 1  4 (x 2y 5z )              
BT 45. Cho các số thực dương x, y, z thỏa x y z  4 và xyz  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4
P x y z .
BT 46. Cho x, y, z  0. Chứng minh rằng: 2
(x y z)  x yz y xz z xy  4 3xyz(x y z).
BT 47. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3
x y z  3xyz  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
P x y z .
BT 48. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: (
x x y z)  3yz, ta có: 3 3 3
(x y)  (x z)  3(x y)(x z)(y z)  5(y z) .
BT 49. Cho các số thực dương x, y, z phân biệt thỏa: 2
xy yz  2z và 2x z . Tìm giá trị lớn nhất của x y z biểu thức: P     x y y z z x
BT 50. Cho các số thực x, y, z (0;1) thỏa điều kiện: xyz  (1  x)(1  y)(1  z). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
P x y z .
BT 51. Cho các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: xy yz zx  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 324 thức: 2 2 2 2 P
 (x y z ) .
x y z
BT 52. Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn điều kiện: 2 y xz và 2
z xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y 2014z biểu thức: P     x y y z z x
BT 53. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 1 1 P   
x  6 xy  4 yz
x y z
BT 54. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: xyz
x y z P    3
9(x y z)
6xy z  7 xyz  8zx y
BT 55. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 1  x 1  y 1  z biểu thức: P     2 2 2 1  y 1  z 1  x
BT 56. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x, y, z (0;1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu 3 3 3 x  3 y  3 z  3 thức: P     2 2 2 y  2 z  2 x  2
BT 57. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: x y z và 3xy  5yz  7zx  9. Tìm giá trị nhỏ nhất của 32 1 1 biểu thức: P     4 4 4 (x y) (y z) (z x)
BT 58. Cho các số không âm x, y, z phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:   2 2 2 1 1 1
P  (x y z )     2 2 2  (x y) (y z) (z x)  
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 274 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BT 59. Cho các số dương x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
x y z xy  2yz  2zx  0. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 z z xy
của biểu thức: P     2 2 2
(x y z) x y x y
BT 60. Cho các số thực phân biệt x, y, z thỏa điều kiện: x, y, z  0; 2 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: P     2 2 2 (x y) (y z) (z x)
BT 61. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 18 thức: P   1.  1   x y
x y  2z
BT 62. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 3 3 x y 1  2z P     3 2 3 3
x  (y z)
y  (z x) 27
BT 63. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu x y xyz thức: P     x yz y zx z xy
BT 64. Cho x, y, z  0 thỏa điều kiện: 2 2 2
(x y)  (y z)  (z x)  18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 4
x y z thức: 3 x 3 y 3 z ( ) P  4  4  4   108
BT 65. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
5(x y z )  6(xy yz zx). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
P  2(x y z)  y z .
BT 66. Cho các số thực x, y, z  0; 4 
 thỏa mãn điều kiện: xyz  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P     2 2 1  x 1  y 1  z
BT 67. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa: x y z  3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2
P  (x xy y )(y yz z )(z zx x ).
BT 68. Cho các số thực dương x, y, z  1  ;  
 thỏa điều kiện: x  y  z  6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2
P  (x  2)(y  2)(z  2).
BT 69. Cho các số thực x, y, . z Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3
6(x y z)(x y z )  27xyz  10 (x y z ) . 3
BT 70. Cho x, y, z  0;1 
 thỏa mãn điều kiện: x y z
 Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 2
P x y z . 2
BT 71. Cho các số thực x, y, z thỏa: 2 2 2
x y z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P  (x  2)(y  2)(z  2).
BT 72. Cho các số thực x, y, z  1  ; 3 
 thỏa: x y  2z  6. Tìm giá trị lớn nhất của: 3 3 3
P x y  5z .
BT 73. Cho x, y, z  0 thay đổi thỏa: 2 2 2
5(x y z )  6(xy yz zx). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn  1 1 1 
nhất của biểu thức: P  (x y z)     x y z  
BT 74. Cho x, y, z  0 thỏa: x  y  z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2
P  3(x y z )  4xy . z
BT 75. Cho x, y, z  0 thỏa đồng thời các điều kiện: x y z  4 và xy yz zx  5. Tìm giá trị nhỏ   nhất của biểu thức: 3 3 3 1 1 1
P  (x y z )     x y z   4 4 4
x y z
BT 76. Cho x, y, z  0 thỏa: 3
(x y z)  32xy .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   4
(x y z)
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 275 -
Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
BT 77. Cho các số thực x, y, z không đồng thời bằng 0 và thỏa: 2 2 2
x y z  2(xy yz zx). Tìm giá 3 3 3
x y z
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P   2 2 2
(x y z)(x y z )
BT 78. Cho x, y, z thỏa: x y z  0 và 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 P x y z . 1 4 8
BT 79. Cho x, y, z  0 thỏa: 2 2 2
x  y  z  3y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P     2 2 3 (x  1) (y  2) (z  3)
BT 80. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 y z  (
x y z ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 1 1 P      2 2 2
(x  1)(y  1)(z  1) (x  1) (y  1) (z  1)
BT 81. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 0  z y x  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2
P x (y z)  y (z y)  z (1  z).
BT 82. Cho các số không âm x, y, z thỏa điều kiện: x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 P  (
x y z)  y(z x)  z(x y) . 1 2 3
BT 83. Cho x, y, z  0 thỏa: 21xy  2yz  8zx  12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P     x y z
BT 84. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa: x y z  1 và không có hai số nào bằng 0. Tìm giá trị 1 1
nhỏ nhất của biểu thức: P  (x y  3)(z  1)   
(x y)(y z)
(x y)(x z)
BT 85. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y  (x y)z  4z  4. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu 2 2 ( x y z)
y(x z) 1 thức: P     x z y z z  1   
BT 86. Cho các số thực: x, y, z  ;1  
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 1 1 1
P  (x y z)      2    x y z  
BT 87. Cho 0  x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2 2 2
P z (1  z)  (x y )(y z). 2 2x 2y 2z (z x)
BT 88. Cho các số thực dương x  y  z . Chứng minh rằng:    3   y z z x x y ( x x z)
BT 89. Cho x, y, z  0 thỏa: x y z  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
P x y z . 1 3 8
BT 90. Cho x, y, z  0 thỏa: x y z  8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P     x y 3z  2x 2 2 3
BT 91. Cho x, y, z  0 thỏa: xyz x z y. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P     2 2 2 x  1 y  1 z  1 x y z
BT 92. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P     y z z x x y x y 2z
BT 93. Cho các số thực dương x, y, .
z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P     y z z x
x y z
BT 94. Cho x, y, z  0 thỏa: x y z  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 15
P x y z xyz. 4
BT 95. Cho a, b, c  0 mãn: a b c  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P ab  3ac  5ac.
BT 96. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện: 2 2 2
x y z  2xy  2(x y z). Tìm giá trị nhỏ 40 40 nhất của biểu thức: 2 2
P x y  2z    y z  1 x  3
BT 97. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
x y z  1. Tìm giá trị lớn nhất của 3 3 3 3 xy yz x y y z biểu thức: P     2 2 3 3 1  z 1  x 24x z
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn Page - 276 -