Tổng hợp các cách chứng minh tam giác vuông
1. Định nghĩa tam giác vuông. Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
Tam giác vuông là tam giác chỉ có một góc vuông ( tức là 1 góc 90 độ) Tam giác ABC vuông tại A:
+ Hai cạnh AB và AC kề với góc vuông gọi là cạnh bên ( hay còn gọi là cạnh góc vuông)
+ Cạnh BC đối diện với góc vuông gọi là cạnh huyền.
Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
Nhận biết một tam giác vuông có thể dựa trên nhiều dấu hiệu quan trọng. Mỗi dấu hiệu này là một gợi ý quý
báu để xác định xem một tam giác có phải là tam giác vuông hay không.
Dấu hiệu đầu tiên là có một góc vuông trong tam giác. Khi một trong ba góc của tam giác có độ lớn chính
xác là 90 độ, thì đó chính là một tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ hai xuất phát từ tính chất của tam giác vuông. Nếu bạn tìm thấy hai góc nhọn trong tam giác
mà khi cộng lại đúng 90 độ, thì đó cũng là một tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ ba là một biểu thức toán học: bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai
cạnh còn lại. Khi một tam giác thỏa điều kiện này, thì đó chắc chắn là một tam giác vuông.
Dấu hiệu thứ tư là có một đường trung tuyến trong tam giác mà nó chia một cạnh thành hai đoạn, trong đó
đoạn gần tam giác vuông bằng nửa đoạn còn lại. Nếu bạn tìm thấy một tam giác với tính chất này, đó cũng là tam giác vuông.
Dấu hiệu cuối cùng là một tam giác nội tiếp đường tròn với một cạnh của nó chính là đường kính của
đường tròn. Khi bạn gặp tam giác như vậy, thì đó là một tam giác vuông.
Nhớ rằng, để kết luận một tam giác là tam giác vuông, bạn cần kiểm tra ít nhất một trong các dấu hiệu trên.
Khi cả năm dấu hiệu này đều thỏa mãn, bạn có thể tự tin xác định rằng bạn đã tìm thấy một tam giác vuông trong tầm mắt của mình.
2. Tính chất của tam giác vuông
Tính chất 1: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Định lý Pitago
Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Định lý Pitago đảo
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam
giác đó là tam giác vuông.
Tính chất 3: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
3. Tổng hợp các cách chứng minh tam giác vuông
Có năm cách chứng minh tam giác vuông, và mỗi cách này đều là một công cụ hữu ích để xác định tính
chất đặc biệt của tam giác này.
- Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ: Đây là cách phổ biến nhất để chứng minh một tam giác là
tam giác vuông. Nếu bạn tìm thấy một góc trong tam giác mà độ lớn chính xác là 90 độ, thì tam giác đó là tam giác vuông.
- Chứng minh tam giác có tổng hai góc nhọn bằng 90 độ: Nếu bạn có thể chứng minh rằng tổng của hai góc
nhọn trong tam giác bằng 90 độ, thì đó cũng là một dấu hiệu của tam giác vuông.
- Chứng minh tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia (định lý
Pitago): Đây là một trong những cách mạnh mẽ nhất để xác định tam giác vuông. Nếu bạn có ba độ dài
cạnh tam giác và nếu bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại, thì tam giác
đó chắc chắn là tam giác vuông.
- Chứng minh tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy: Nếu bạn tìm thấy một
đường trung tuyến trong tam giác mà nó chia một cạnh thành hai đoạn, trong đó đoạn gần tam giác vuông
bằng nửa đoạn còn lại, thì đó cũng là một dấu hiệu của tam giác vuông.
- Chứng minh tam giác nội tiếp một nửa đường tròn (có 1 cạnh trùng đường kính): Khi bạn thấy tam giác nội
tiếp một nửa đường tròn và một cạnh của tam giác trùng với đường kính của đó, thì bạn đã tìm thấy một tam giác vuông.
Các cách chứng minh này cùng đóng góp vào việc nhận biết tam giác vuông và giúp ta hiểu sâu hơn về tính
chất đặc biệt của chúng.
Cách 1: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có tổng 2 góc nhọn bằng 90
độ (2 góc nhọn phụ nhau).
Ví dụ 1: Tam giác ABC có góc B + C = 90°
⇒ Tam giác ABC vuông tại A.
Cách 2: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có bình phương độ dài một
cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh kia.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông tại A.
Cách 3: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó có đường trung tuyến ứng
với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ 3: Tam giác ABC có M là trung điểm BC, biết AM = MB = MC = ½ BC
=> Tam giác ABC vuông tại A.
Cách 4: Chứng minh tam giác có một góc bằng 90 độ.
+ Cách làm: Đưa góc cần chứng minh vào góc của một tứ giác rồi chứng minh tứ giác đó là hình chữ nhật,
hình vuông, hoặc góc tạo bởi 2 đường chéo của hình thoi, hình vuông.
Cách 5: Để chứng minh một tam giác là tam vuông ta chứng minh tam giác đó nội tiếp đường tròn và có
một cạnh là đường kính.
Ví dụ 4: Tam giác OAB nội tiếp đường tròn đường kính AB
=> Tam giác OAB vuông tại O.
4. Bài tập chứng minh tam giác vuông Bài 1
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.
b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nắm trên đường nào?
Bài 2. Cho tam giác ABC có D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. Biết a) Chứng minh
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của c) Giả sử
. Tính các góc còn lai của tam giác DAE.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Chứng minh DABC = DABD
b) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC=57. Đường cao là AH = 15cm. Hãy áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác vuông, hãy tính HB, HC.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AM. Tính MD, MB, MC.
Bài 6: Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH, hãy tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HB, HC=14.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A.
a. Tính độ dài cạnh AC biết AB = 5cm và BC = 13cm
b. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng đi qua E cắt AC tại I sao cho IE vuông góc với
BC tại E. So sánh 2 góc ABI và góc CBI
c. Nếu tam giác ABC có góc A = 30O và EC = 6cm. Hãy tính chu vi của tam giác ABC Bài 8:
a. Cho tam giác ABC biết rằng Góc B = 60 độ, Góc C = 50 độ, AC = 35cm . Hãy tính diện tích tam giác ABC.
b. Cho tứ giác ABCD có góc A = Góc D = 90 độ, Góc C = 40 độ, AB = 4cm, AD=3cm. Hãy tính diện tích tứ giác ABCD.
c. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết AC=4. BD=5, Góc AOB = 50 độ. Tính diện
tích tứ giác ABCD bằng công thức lượng giác.
Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao là AH, biết rằng chu vi tam giác AHB = 40cm, chu vi tam giác ACH
= 5dm. Tính chu vi tam giác ABC và cạnh BH, CH.
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm.
a. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
b. Kẻ tia phân giác BE của góc B (E thuộc AC), từ E có EP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh EA = EP.
Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B bằng 60 độ và góc A là 90 độ
a) Tính độ dài đường chéo BD.
b) Tìm khoảng cách giữa BH và DK từ B và D đến cạnh AC. c) Tính độ dài HK.
d) Kẻ BE vuông góc DC kéo dài, tính BE, CE và DC.