Hướng dẫn tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chi tiết)
1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định được hình chiếu H của
điểm M trên đường thẳng Δ , rồi xem MH là đường cao của một tam giác nào đó để tính. Điểm H thường
được dựng theo hai cách sau:
Cách 1: Trong mp(M,Δ) vẽ MH⊥Δ ⇒ d(M,Δ) = MH
Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H . Khi đó d(M,Δ) = MH .
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và
một điểm M (x1, y1), thì khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính bằng công thức: d(M, d) =
|ax1 + by1 + c| / sqrt(a^2 + b^2).
Trong đó: - |ax1 + by1 + c| là giá trị tuyệt đối của ax1 + by1 + c. - sqrt(a^2 + b^2) là căn bậc hai của tổng
bình phương của hệ số a và b của đường thẳng.
Giả sử ta có đường thẳng có phương trình là ax + by + c = 0 và một điểm M có tọa độ (x1, y1). Ta sẽ tính
được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng cách làm như sau:
Bước 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm H trên đường thẳng đó.
- Điểm H là điểm cắt của đường thẳng và đường vuông góc đi qua điểm M. Để tìm điểm H ta giải hệ phương trình sau:
ax + by + c = 0 (1) (phương trình đường thẳng)
y - y1 = -a/b(x - x1) (2) (phương trình đường thẳng vuông góc)
- Từ (1) => y = (-ax - c)/b
- Thay y vào (2) => x = (b^2*x1 - a*b*y1 - a*c)/(a^2 + b^2)
- Từ (1) và (2), ta tính được tọa độ của H: (xH, yH)
- Từ đó tính khoảng cách từ M đến H: dMH = sqrt((xH - x1)^2 + (yH - y1)^2)
Bước 2: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là giá trị tuyệt đối của dMH chia cho căn bậc hai của a^2 + b^2.
- Khoảng cách từ M đến đường thẳng d = |ax1 + by1 + c|/sqrt(a^2 + b^2) Vậy là ta đã tìm được khoảng cách
từ điểm M đến đường thẳng.
2. Một số bài tập liên quan đến dạng bài tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng I. Trắc nghiệm
Câu 1. Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là: A. 1 B. 2 C. 4/5 D. 14/5
Câu 2. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d:x/6 + y/8 = 1 là: A. 4,8 B. 1/10 C. 1 D. 6
Câu 3. Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng {x = 1 + 3t; y = 2 + 4t} A. 2 B. 2/5 C. 10/ D. /2
Câu 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán
kính R của đường tròn (C) bằng: A. R = 4 B. R = 6 C. R = 8 D. R = 10
Câu 5. Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng: A. 2/5 B. 1 C. 4/5 D. 4/25
Câu 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và (b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường
thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng: A. B. C. D. 2
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao
của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng: A. 1/5 B. 3 C. 1/25 D. 3/5
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC. A. 10 B. 5 C. D.
Câu 9. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A
( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là: A. 1. B. 2 C. 3 D. 4
Câu 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA=3a. Diện tích tam giác ABC
bằng 2a2, BC=a . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu? A. 2a. B. 4a C. 3a D. 5a II. Tự luận
Câu 1. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d’: 2x + 2y + 5 = 0. Tính khoảng cách từ M (2; 3) tới đường thẳng d’.
Câu 2. Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ Q (2; 1) tới đường thẳng d.
Câu 3. Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (d) : x + y - 2 = 0 và ( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến
đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0
Câu 4. Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A ( 1; -2) ; B ( 2; 0) và D ( -1; 3)
Câu 5. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và 3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A (2; 1)
. Tính diện tích của hình chữ nhật
Câu 6. Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?
Câu 7. Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và (b) : 3x + 4y - 5 = 0.
Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Tính diện tích của hình chữ nhật.
Câu 8. Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y - 10 = 0. Tính bán kính R của đường tròn ( C).
3. Đáp án bài tập liên quan đến dạng bài tính khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án D A A D A C A B B D Câu 1.
Ta có: d ( M ; d ' ) = | 2.2 + 2.3 + 5 | / √ 22 + 22 = 15√ 2 / 4 Câu 2.
Ta có: d ( Q ; d ) = | − 2 + 3.1 + 1 | / √ ( − 1 )2 + 32 = √ 10 / 5 Câu 3.
+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình: { x + y - 2 = 0; 2x + 3y - 5 = 0} => {x = 1; y = 1} => A ( 1; 1)
+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là : d( A; d’) = 2 Câu 4.
+ Đường thẳng AB: qua A (1; -2); vecto chỉ phương AB (1; 2) nên vecto pháp tuyến n (2; -1)
=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0
+ độ dài đoạn AB: AB = √5
Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB) = 9 /
=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5. 9 / = 9 Câu 5.
+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là 2
+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là 3
=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6 Câu 6.
+ Phương trình đường thẳng AC: qua A (2; -1); vecto chỉ phương AC (0; -3) nên vecto pháp tuyến n (1; 0)
=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0.
+ Độ dài AC = 3 và khoảng cách từ B đến AC là: d(B; AC) = 2
=> Diện tích tam giác ABC là : S = 1/2. AC. d( B;AC) = 1/2 .3.2 = 3 . Câu 7.
Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.
Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = 2; d(A; b) = 1 Câu 8.
Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d
chính là bán kính đường tròn. => R = d(I; d) = 44/13