Bộ đề Giải tích 1 (có đáp án) | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bộ đề Giải tích 1 (có đáp án) | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

59 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

65 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
1
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1
BỘ ĐỀ THI CU I K MÔN GIỐ Ỳ ẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên so n: Tài li u HUST ạ ệ
DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 2 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 3 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 3 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 4 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 5 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 5 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 6 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 7 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 7 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 8 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 2 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 1 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 2 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 2 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 3 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 3 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 4 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................................... 53
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 4 (Nhóm ngành 1)– ĐỀ ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 5 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 5 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 6 (Nhóm ngành 2)– ĐỀ ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 7 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 7 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 8 (Nhóm ngành 3)– ĐỀ ......................................................................... 65
(TaiLieuHust, 2022)
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
3
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
a)
1
0
ln(1 )
lim
x
x
x
x
→
+
.
b)
3
6 2
( , ) (0,0)
lim
2 3
x y
x y
x y
→
+
.
Câu 2 (1 điểm). Tính g vi phân ần đúng nhờ
.
Câu 3 (1 điểm). Ch ng minh r ng ứ ằ
2
cos 1 , 0
2
x
x x −
.
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích kh i tròn xoay khi quay hình gi i h n b ng ố ớ ạ ởi các đườ
2
3y x x= −
và
0y =
quanh trục
Oy
m t vòng. ộ
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
2 3 1 dx x x
−
− + −
.
Câu 6 (1 điểm). Hàm s ố
3
( )f x x x= +
c là có hàm ngượ
( )y g x=
. Tính
(2)
g
.
Câu 7 Tính (1 điểm).
2 2
2 2
3z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
3
2 2
1
z
x y
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). t qu bóng bay hình c u vói t c Không khí được bơm vào mộ ả ầ ố độ
3
100 cm / s
.
Tính t a bán kính qu bóng khi bán kính qu bóng b ng ốc độ tăng lên củ ả ả ằ
50 cm
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
2
0
cot dx x
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
4
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1:
ln(1 )
1
ln
0 0
ln(1 )
lim lim .
x
x
x
x
x x
x
L e
x
+
→ →
+
= =
Xét gi i hớ ạn
0 0
ln(1 )
ln(1 )
ln 1 1
ln
lim lim
x x
x
x
x
x
K
x x
→ →
+
+
+ −
= =
Vì
0
ln(1 )
lim 1 1 1 0
x
x
x
→
+
− = − =
, nên
0
ln(1 ) ln(1
~
)
ln 1 1 1
x
x x
x x
→
+ +
+ − −
.
2
0 0
ln(1 )
1
ln(1 )
lim ( ) lim
x x
x
x x
x
K VCB
x x
→ →
+
−
+ −
= =
=
( )
2 2
2
0
1
2
lim
x
x o x
x
→
−
+
(Khai tri n Maclaurin) ể
2
2
0
1
1
2
lim
2
x
x
x
→
−
−
= =
i h ng Giớ ạn đã cho bằ
1/2K
L e e
−
= =
.
b)
3
6 2
( , ) , ( , ) 0.
2 3
x y
f x y x y
x y
=
+
+) Chọn
( )
3
1
,M a a
. Khi
0a →
thì
( )
3
1
, (0,0)M a a →
.
Ta có:
( )
( )
3 3
3
1
6 6
1
,
2 3 5
a a
f M f a a
a a
= = =
+
( )
1
1
5
f M →
khi
1
(0,0)M →
(1)
+) Chọn
( )
3
2
,M b b−
. Khi
0b →
thì
( )
3
2
, (0,0)M b b− →
.
Ta có:
( )
( )
3 3
3
2
6 6
( ) 1
,
2( ) 3 5
b b
f M f b b
b b
− −
= − = =
− +
( )
2
1
5
f M
−
→
khi
2
(0,0)M →
(2)
Từ (1) và (2)
( , )f x y
không cùng ti n t i m t giá tr khi ế ớ ộ ị
( , ) (0,0)x y →
3
6 2
( , ) (0,0)
lim
2 3
x y
x y
x y
→
+
không t n tồ ại.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
5
Câu 2. Xét hàm s ố
2 2
( , ) 3f x y x y= + +
. Ta có:
2 2 2 2
,
3 3
( , ) ( , )
x y
x y
x y x y
f x y f x y
= =
+ + + +
. Chọn
0
0
2, 0,02
3, 0,04
x x
y y
= =
= =
.
Áp d ng công th c tính g ụ ứ ần đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2,02 3,04 3 , , , ,
1 3
(2,3) (2,3) 0,02 (2,3) 0,04 4 0,02 0, 04 4,04
2 4
x y
x y
A f x x y y f x y f x y x f x y y
f f f
= + + = + + + +
= + + = + + =
Vậy
4,04A
.
Câu 3. Chứng minh:
2 2
cos 1 , 0 cos 1 0, 0
2 2
x x
x x x x − + −
.
2
Xét ( ) cos 1 trên [0; ).
2
x
f x x= + − +
Ta có:
( ) sin ,f x x x
= − +
( ) cos 1 0, 0f x x x

= − +
( )f x
ng bi n trênđồ ế
[0; ) ( ) (0) 0, 0f x f x
+ =
( )f x
ng bi n trên đồ ế
[0; )+
( ) (0) 0, 0f x f x =
Từ u ph i ch ng minh. D u b ng x y ra khi x = 0 đó ta có được điề ả ứ ấ ằ ả
Câu 4. Quay mi n D là hình ph ng gi i h n b i các ề ẳ ớ ạ ở
đường
2
3 , 0, 0, 3 y x x y x x= − = = =
quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là:
( ) ( )
3
2 2
0
2 3 d 2 3 dV x x x x x x x x
= − = −
(vì
2
3 0, [0,3]x x x−
)
=
( )
3
4
3
2 3 3
0
0
2 3 d 2
4
x
x x x x
− = −
27
2
=
(đvtt)
Câu 5. Điều ki n: ệ
2 2 2
3
2 3 0 1 0 1 1
2
x x x x x− − − = −
, do đó:
( )
( )
1
1
2 2
22
3 2
2
2 3 1 d 2 3 1 d
1 1
2 3 d d (2 3) ln 1
3
1
I x x x x x x
x x x x x x C
x
−
−
= − + − = − + −
= − + = − + + − +
−
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
6
Câu 6. Ta có:
2
( ) 3 1f x x
= +
. Với
3
0 0 0 0
2 2 1y x x x= + = =
.
Vì
( )y g x=
c clà hàm ngượ ủa
3
( )f x x x= +
nên:
( )
( )
0
0
1 1 1
(1) 4
g y
f x f
= = =
.
Vậy
1
(2)
4
g
=
.
Câu 7. Điều kiện xác định
P
là
0y
.
Do s i x ng c a $x, y$ trong hàm ự đố ứ ủ
( , )z x y
nên:
( )
2 2 2
2
7
2 2
12 3
.
z x y
x
x y
−
=
+
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2
7 5
2 2 2 2
3 12 3 12 3 3 3z z z x y y x y
P
x y y y y
x y x y
− + − −
= + + = +
+ +
( ) ( )
5 5
2 2 2 2
9 9
0, 0.y
x y x y
= − =
+ +
Câu 8. Gọi th tích c a qu bóng t i thể ủ ả ạ ời điểm
( s)t
là
( )
3
( ) cmV t
.
Theo bài ra, t bóng là ốc độ bơm không khí vào quả
( )
3 3
100 cm / s ( ) 100 cm / sV t
=
.
Tại thời điểm
0
t
nào đó,
( )
0
50( cm)R t =
.
Ta có:
3
4
( ) ( ( ))
3
V t R t
=
. L o hàm hai v theo ấ ạy đ ế
t
, ta có:
Tại
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0 0 0 0
, ta có: 4 100 4 (50)t t t R t R t R t
V
= = =
( )
0
2
100 1
(cm / s).
4 (50) 100
R t
= =
Khi bán kính quà bóng b ng ằ
50 cm
, t a bán kính qu bóng khi bán kính là ốc độ tăng lên củ ả
1
(cm / s)
100
.
Câu 9.
/2
0
cot dI x x
=
.
Xét
/2 /2 /2
0 0 0
sin cos sin cos
( tan cot )d d d
cos sin sin cos
x x x x
L x x x x x
x x x x
+
= + = + =
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
7
Đặt
sin cos d (cos sin )dt x x t x x x= − = +
.
2
2 2
1
(sin cos ) 1 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x x x
−
= − = − =
Đổi cận: - Khi
0
x
+
→
thì
1t →−
;
Khi thì 1
2
x t
→ →
1 0 1
2 2 21 1 0
d 2 2
d d
1 1 1
2
t
L t t
t t t
− −
= = +
− − −
0
2 20
1
( 1)
2 2
lim d lim d
1 1
B
A
A B
t t
t t
−
+
→ →
−
= +
− −
0
( 1) 1
0
lim ( 2 arcsin ) lim ( 2 arcsin )
B
A B
A
t t
+ −
→ − →
= +
( 1) 1
lim ( 2 arcsin ) lim( 2 arcsin ) 2 2 2
2 2
A B
A B
+ −
→ − →
−
= − + = − + =
Giờ xét
/2
0
cot dx x
, với
( ) cot 0f x x
=
liên t c trên ụ
0, .
2
0 0
1/2
cos 1 1 1
cot ~ ~ ,
sin sin
x x
x
x
x
x x x
+ +
→ →
= =
mà
/2
1/2
0
1
dx
x
h i t (vì ộ ụ
/2
0
1
(0,1) cot d
2
x x
=
h i tộ ụ.
Đổ ếi bi n
2 2
t x x t
= − = −
, ta có:
/2 0 / 2 / 2
0 / 2 0 0
cot d cot ( d ) tan d tan d .
2
x x t t t t x x
= − − = =
/2 /2
0 0
1 1
cot d ( tan cot )d .
2 2
2
x x x x x L
= + = =
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
8
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
a)
1
0
1
lim
x
x
x
e
x
→
−
.
b)
4
2 8
( , ) (0,0)
lim
4 3
x y
xy
x y
→
+
Câu 2 (1 điểm). Tính g vi phân ần đúng nhờ
.
Câu 3 (1 điểm). ng minh r ng Chứ ằ
2
1 , 0
2
x
x
e x x + +
.
Câu 4 (1 điểm). Tính th tích kh i tròn xoay khi quay hình gi i h n b ng ể ố ớ ạ ởi các đườ
2
4y x x= −
và
0y =
quanh trục
Oy
m t vòng. ộ
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
4 3 1 dx x x
−
− − + −
.
Câu 6 (1 điểm). Hàm s ố
5
( )f x x x= +
c là có hàm ngượ
( )y g x=
. Tính
(2)
g
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
2 2
2 2
5z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
5
2 2
1
z
x y
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). t qu bóng bay hình c u v i t Không khí được bơm vào mộ ả ầ ớ ốe độ
3
200 cm / s
.
Tính t a bán kính qu bóng khi bán kính qu bóng b ng ốc độ tăng lên củ ả ả ằ
60 cm
.
Câu 9 (1 diểm). Tính
2
0
tan dx x
.
Cách gi i tham s 1 ả khảo đề ố
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
9
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
a)
lim
sin
x
x
x
→
−
.
b)
2
2 2
( , ) (1,0)
2 ln
lim
( 1)
x y
y x
x y
→
− +
.
Câu 2 (1 điểm). Phương trình
3 2 5
3 5 0x x y y+ + − =
nh hàm xác đị ẩn
( )y y x=
. Tính
(1)
y
.
Câu 3 (1 điểm). o hàm c a hàm s Tính đạ ủ ố
2
2
arctan , 1
1
x
y x
x
=
−
.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai tri n Maclaurin cể ủa
ln(1 2 )y x= +
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các ti m c n c hàm s ệ ậ ủa đồ thị ố
1
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
tan(2 )dx x
.
b)
( )
2
0
( 3) 1
dx
x x x
+
+ − +
.
Câu 7 (1 điểm). ng Quay đườ
3 2 2
3
4x y+ =
quanh trục
Ox
m t vòng. Tính di n tích m t tròn ộ ệ ặ
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
3 3 2
( )z x y x y= + − +
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
10
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
1 1
lim lim 1
sin cos cos
x x
x
x x
→ →
−
= = = −
. (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital)
Vậy
lim 1
sin
x
x
x
→
−
= −
.
b) Đặt
2
2 2
2 ln
( , )
( 1)
y x
f x y
x y
=
− +
+) Nếu
1x =
và
0y →
thì
2
2 2
2 ln1
( , ) 0 0
0
y
f x y
y
= = →
+
khi
0y →
. (1)
+) Nếu
1x
và
( , ) (1,0)x y →
thì:
2 2
2 2 2 2
( , ) (1,0) ( , ) (1,0) ( , ) (1,0)
1 1 1
2 ln ln 2 ( 1)
lim lim lim
( 1) 1 ( 1)
x y x y x y
x x x
y x x y x
x y x x y
→ → →
−
=
− + − − +
Ta có:
VCB
( , ) (1,0) 1 1
ln ln 1
lim lim lim 1
1 1 1
x y x x
x x x
x x x
→ → →
−
= = =
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 ( 1) 2 | ( 1) | ( 1)
0 | | | | | |
( 1) ( 1) ( 1)
y x x y x y
y y y
x y x y x y
− − − +
= =
− + − + − +
, mà
( , ) (1,0)
lim | | 0
x y
y
→
=
2
2 2
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
x y
x
y x
x y
→
−
=
− +
theo nguyên lý kẹp
2
2 2
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
x y
x
y x
x y
→
−
=
+
2
2 2
( , ) (1,0)
2 ln
lim 1.0 0
( 1)
x y
x
y x
x y
→
= =
− +
(2)
Tù
(1) và (2)
2
2 2
( , ) (1,0)
2 ln
lim 0
( 1)
x y
y x
x y
→
=
− +
Câu 2.
+) Với
1x =
thì
5 5
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Theo bài ra:
3 2 5
3 ( ) [ ( )] 5 0x x y x y x+ + − =
+) L o hàm hai v theo ấy đạ ế
x
, ta có:
2 2 4
3 6 ( ) 3 ( ) 5 ( )[ ( )] 0x xy x x y x y x y x
+ + + =
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
11
Thay
1x =
, ta có:
4
3 6 (1) 3 (1) 5 (1)[ (1)] 0 3 6 3 (1) 5 (1) 0 ( do (1) 1)y y y y y y y
+ + + = + + + = =
9
(1)
8
y
−
=
Vậy
9
(1)
8
y
−
=
Cách gi i khác:ả Đặt
3 2 5
( , ) 3 5F x y x x y y= + + −
.
Ta có:
( )
2
2 4
3 6
( , )
( ) .
( , ) 3 5
x
y
x xy
F x y
y x
F x y x y
− +
−
= =
+
(*)
Với
1x =
thì
5 5
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Thay
1, 1x y= =
vào ta có: (*),
(3 6) 9
(1)
3 5 8
y
− + −
= =
+
.
Câu 3.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2 2
2 4 2 2 2
2
2
2
2
2 1 2 ( 2 )
2 2
1 1 2 1
2
, 1
2 1 1
2
1
1
1
1
x x x
x
x x x
y x
x x x
x
x
x
x
− − −
+
− − +
= = = =
+ + +
+
+
−
−
.
Vậy
2
2
, 1
1
y x
x
=
+
.
Câu 4. Ta có khai tri n Maclaurin: ể
( )
2 3
3
ln(1 )
2 3
x x
x x o x+ = − + +
.
Khi
0x →
thì
2 0x →
, thay
x
b 2ởi
x
, ta có khai tri n Maclaurin cể ủa
y
n c p 3 là: đế ấ
( ) ( )
2 3
3 2 3 3
(2 ) (2 ) 8
ln(1 2 ) 2 (2 ) 2 2
2 3 3
x x
y x x o x x x x o x= + = − + + = − + +
Vậy khai tri n c n tìm là ể ầ
( )
2 3 3
8
2 2
3
y x x x o x= − + +
.
Câu 5.
+) T ập xác định
=D
Đồ ị ệ th hàm số không có ti m c ng. ận đứ
+) Khi
:x →+
L Hospital
1
lim lim lim 0
1
x x
x x x
x
y
e e
→+ →+ →+
= = =
+
(Dạng vô định)
0y =
là ti m c n ngang bên ph i c hàm s . ệ ậ ả ủa đồ thị ố
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
12
+) Khi
x → −
:
(
1
1
lim lim lim 1 0
0 1
x
x x x
x
y
e
a
x x
→− →− →−
+
= = = =
+
vì
)
lim 0
x
x
e
→−
=
Khi
x → −
không có ti m cệ ận
ngang.
(
lim ( ) lim lim lim
1 1 1
x
x x x
x x x x
x xe x
b y ax x
e e e
−
→− →− →− →−
= − = − = =
+ + +
d ng ạ
L'Hospital
(
1
lim 0
x
x
e
−
→−
= =
−
do
)
lim
x
x
e
−
→−
= +
y x
=
là ti m c n xiên bên trái c hàm s . ệ ậ ủa đồ thị ố
Vậy đồ thị hàm s không có ti m c ng, và có ố ệ ận đứ
0y =
là ti m c n ngang bên ph i, ệ ậ ả
y
là
tiệm cận xiên bên trái.
Câu 6.
sin(2 ) 1 2sin(2 )d 1 (cos(2 )) 1
) tan(2 )d d ln | cos 2 |
cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 cos(2 ) 2
x x x d x
a x x x x C
x x x
− − − −
= = = = +
Vậy
1
tan(2 )d ln | cos2 | .
2
x x x C
−
= +
b)
( ) ( )
2 2
0 0
d d
lim
( 3) 1 ( 3) 1
A
A
x x
x x x x x x
+
→+
=
+ − + + − +
22
0
1 1 1 2 1 7 1
lim d
13 3 26 1 26
1 3
2 4
A
A
x
x
x x x
x
→+
−
= − +
+ − +
− +
2
0
2
1
ln 1
ln | 3| 7 2
2
lim arctan
13 26 26
3 3
2
ln 1
ln | 3 | 7 2 1 ln 3 7
lim arctan
13 26 13
13 3 3 78 3
A
A
A
x
x x
x
A A
A A
→+
→+
−
− +
+
= − +
− +
+ −
= − + − +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
13
2
2
1 | 1| 7 2 1 ln 3 7
lim ln arctan
26 13
1 13 3 3 78 3
A
A A
A A
→+
+ −
= + − +
− +
1 7 ln 3 7 14 ln 3
ln1
26 2 13 13
13 3 78 3 39 3
= + − + = −
Vậy tích phân suy r ng c n tính b ng ộ ầ ằ
14 ln 3
.
13
39 3
−
Câu 7.
2
3
3
2
3 2 2
3
4 1
2 2
y
x
x y
+ = + =
Tham s ng cong: ố hoá đườ
3
3
( ) 8cos
(0 2 )
( ) 8sin
x t t
t
y t t
=
=
Do tính đối xứng qua trục
Ox
và trục
Oy
, di n tích v t th c n tính b ng 2 l n di n tích vệ ậ ể ầ ằ ầ ệ ật
thể c, khi quay phthu đượ ần ứng với
0
2
t
quanh tr c Ox. ụ
Diện t ch cíc ần tính là:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
/2 /2
2 2 2 2
3 2 2
0 0
/2 /2
3 2 2 2 2 4
0 0
/2
/2
4 5
0
0
'
2 2 | ( ) | ( ) ( ) d 4 8sin 24sin cos 24cos sin d
768 sin sin cos cos sin d 768 sin cos d
768 768
768 sin d(cos ) sin (dvdt)
5 5
y t x t y t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t
= + = − +
= + =
= = =
Vậy diện tích c n tính là ầ
768
5
(dvdt).
Câu 8.
Tập xác định:
=D
Tìm điểm dừng:
2 2
2 2
2
2
2
{
0
3 2( ) 0 3 0
4
3 2( ) 0
3 2 2 0
{
3
3 4 0
x
y
x y
x y
z x x y x
y x
z y x y x y
x y
x x y
x x
= −
= =
= − + =
=
=
= − + =
=
= =
− − =
− =
hàm s m d ng là ố có 2 điể ừ
1
4 4
,
3 3
M
và
2
(0,0)M
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
14
+) Ta có:
6 2, 2, 6 2
xx xy yy
A z x B z C z y
  
= = − = = − = = −
2
4 (6 2)(6 2).B AC x y = − = − − −
- Tại điểm
1
4 4
,
3 3
M
, ta có
32 0
= −
và
6 0A =
( , )z x y
t c c ti u tđạ ự ể ại
( )
1 1
CT
64
(1,1),
27
M z M
z
−
= =
.
- Tại điểm
2
(0,0)M
.
Xét
3 3 2
(0 ,0 ) (0,0) ( ) ( ) ( )z z x y f x y x y = + + − = + − +
Khi
0x y = − →
ta có:
0z
=
, điều này chứng tỏ
( ) ( )
2 3
z M z M=
, v i ớ
3
( , )M x y −
thu c lân c n cộ ậ ủa
2
M
hàm s t c c tr tố không đạ ự ị ại
2
M
Vậy hàm s t c c tr duy nh t t i m m là ố đạ ự ị ấ ạ ột điể
1
4 4
,
3 3
M
(cực tiểu), giá trị c c tiự ểu là
( )
CT 1
64
27
z z M
−
= =
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
15
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các gi i h n sau: ớ ạ
a)
2
2
lim .
cos
x
x
x
→
−
b)
3
2 2
( , ) (0,1)
2 ln
lim
( 1)
x y
x y
x y
→
+ −
.
Câu 2 (1điểm). Phương trình
4 3 5
4 3 8 0x xy y+ + − =
nh hàm xác đị ẩn
( )y y x=
. Tính
(1)
y
.
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số
2
2
arcsin , 1
1
x
y x
x
=
+
.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai tri n Maclaurin cể ủa
ln(1 3 )y x= −
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các ti m c n c hàm s ệ ậ ủa đồ thị ố
2 1
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
cot(3 )x dx
.
b)
( )
2
0
d
( 4) 1
x
x x x
+
+ + +
Câu 7 (1 điểm). ng Quay đườ
3 2 2
3
9x y+ =
quanh trục
Ox
m t vòng. Tính di n tích m t tròn ộ ệ ặ
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
3 3 2
( )z x y x y= + + +
.
Cách gi i tham kh s 3 ả ảo đề ố
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
16
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm gi i hớ ạn
2
0
2 1
lim
1
x
x
e x
→
−
−
.
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )y f x=
nh bxác đị ởi
3
2 4
2 3
x t t
y t t
= +
= +
. Tính
( ), ( )f x f x

.
Câu 3 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
2
3
( 3)y x x= −
.
Câu 4 (1 điểm). ng minh r ng vói mChứ ằ ọi
0x
, ta có
2 2
ln 1
2x x
+
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm gi i hớ ạn
6 6 6
7
1 2
lim
n
n
n
→
+ ++
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
3
sin
sin cos
xdx
x x+
.
b)
3
2
arccot 3 dx x−
.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy r ng ộ
( )
4
1
d
3 2
x
x x
+
−
.
Câu 8 (1 điểm). Tính di n tích m t tròn xoay t o b ng tròn ệ ặ ạ ởi đườ
2 2
( 2) 1x y+ − =
quanh trục
Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm s : ố
3
arctan 3 , 0
( )
sin , 0
x
x x x
f x
ae b x x
=
+
Tìm
a
và
b
hàm s để ố
( )f x
vi tkhả ại
0x =
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
17
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1.
( )
2
2
2
0 0
2 1 2 1
lim lim
1
1
x
x
x
x x
x e
L
e x
e x
→ →
− +
= − =
−
−
Dùng VCB:
( )
0
2
~1 2
x
x
e x
→
−
cho m u s , ta có: ẫ ố
2
VCB
0
2 1
lim
2
x
x
x e
L
x x
→
− +
=
(dạng
0
0
)
2
0
2 2
lim
4
x
L Hospital
x
e
x
→
−
=
ng (dạ
0
0
)
2 0
Hospital
0
4 4
lim 1.
4 4
x
L
x
e e
→
− −
= = = −
Vậy gi i h n c n tính b ng ớ ạ ầ ằ
1−
.
Cách giải 2: Dùng khai tri n Maclaurin: ể
( )
( )
2
2
0
2 1
lim
1
x
x
x
x e
L
e x
→
− −
=
−
=
( )
2
2
0
(2 )
2 2
2!
lim
2
x
x
x x o x
x x
→
− + +
(Khai tri n Maclaurin ể )
( )
2 2
2
2 2
0 0
2
2
lim lim 1.
2 2
x x
x o x
x
x x
→ →
− −
−
= = = −
Câu 2.
Ta có công th c: Vứ ới
( )
( )
x x t
y y t
=
=
Xác định hàm y =
( )f x
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) và ( ) .
( )
( )
y t y t x t y t x t
f x f x
x t
x t
 

−
= =
Áp d ng công th c trên ta có:ụ ứ
3
2
d ( ) 4 12
( ) 4 .
d ( ) 1 3
y y t t t
f x t
x x t t
+
= = = =
+
2
2 2 2
d d d d 1 d 1 4
( ) (4 ) (4 ) 4 .
d d d ( )d ( ) d 1 3 1 3
y y
f x t t
x x x x t t x t t t t

= = = = = =
+ +
Câu 3.
+) T nh: ập xác đị
=D
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
18
+) S n thiên: ự biế
( )
( )
2
2
2 2 4 2
3 3
2
3
2
3
( 3)
( 3) 2( 3) 3 2
, 0, 3.
( 3) ( 3)
( 3)
3 2
0 0 1.
( 3)
x x
x x x x x
y x x
x x x x
x x
x x
y x
x x
−
− + − − +
= = =
− −
−
− +
= = =
−
$
Lập b ng bi thiên: ả ến
Dựa vào bàng bi n thiên, ta k t lu n hàm s m c c tr : ế ế ậ ố có 2 điể ự ị
- Hàm s t c i tố đạ ực đạ ại điểm
3
CD
1, (1) 4x y y= = =
.
- Hàm s t c c ti u tố đạ ự ể ại điểm
CT
3, (3) 0x y y= = =
.
Câu 4. Xét hàm s ố
2 2
( ) ln(1 )
2
f x
x x
= + −
+
trên
(0, )+
2 2 2
( ) ln ln( 2) ln (
2 2
x
f x x x
x x x
+
= − = + − −
+ +
do
0)x
2
2 2 2
1 1 2 ( 2) ( 2) 2 4
( ) 0, 0.
2 ( 2) ( 2) (2 )
x x x x
f x x
x x x x x x x
+ − + + −
= − + = =
+ + + +
0 0
2 2
lim ( ) lim ln 1
2
x x
f x
x x
+ +
→ →
= + − = +
+
2 2
lim ( ) lim ln 1 ln(1 0) 0 0
2
x x
f x
x x
→+ →+
= + − = + − =
+
Ta có b ng bi n thiên: ả ế
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
19
Từ b ng biả ến thiên, suy ra:
( ) 0, 0f x x
2 2
ln 1 0, 0
2
x
x x
+ −
+
2 2
ln 1 , 0
2
x
x x
+
+
(đpcm)
Câu 5.
6 6 6
6 6 6 6 6 6
7 6
6
1
1 2 1 1 2 1 1 2
lim lim lim
1
lim
n n n
n
n
k
n n n
L
n n n n n n n
k
n n
→ → →
→
=
+ ++ + ++
= = = + ++
=
1
0
( )d ,f x x=
trong đó
6
( )f x x=
hàm liên t c, kh tích trên ụ ả
[0,1].
1
7
1
6
0
0
1
d .
7 7
x
x x= = =
Vậy gi i h n c n tính b ng ớ ạ ầ ằ
1
7
.
Câu 6.
Giải:
sin cos 2 sin
4
x x x
+ = +
. Đặt
d d
4 4
t x x t x t
= + = − =
. Tích phân c n tính tr ầ ở
thành:
3
3
1 1
sin
sin cos
4
2 2
d d
2 sin 2 sin
t
t t
I t t
t t
−
−
= =
3 2 2 3 3
2 2
1 sin 3sin cos 3sin cos cos 1 cos
d sin 3sin cos 3cos d
4 sin 4 sin
t t t t t t t
t t t t t t
t t
− + −
= = − + −
( )
2
1 1 1 3 3 3 cos
cos 2 sin 2 cos 2 1 sin d
4 2 2 2 2 2 sin
t
t t t t t
t
= − − + + − −
1 3 cos
2 cos 2 sin 2 cos sin d
4 2 sin
t
t t t t t
t
= + − − +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
20
1 cos 1 1 1
2 cos 2 sin 2 d 2 sin 2 cos 2 ln | sin |
4 sin 2 2
2 2
t
t t t t t t t C
t
= + − − = + + − +
4
Thay t x
= +
3
sin 1 1 1
2 sin 2 cos 2 ln sin
s
in cos 4 2 2 2 2 2 4
xdx
x x x x C
x x
= + + + + + − + +
+
1
cos(2 ) sin(2 ) 1
ln sin
2 8 4 4
x x x
x C
−
= + − + +
b) Xét nguyên hàm
arccot 3 d arccot 3 d( 4)x x x x− = − −
( 4)arccot 3 ( 4) d(arccot 3 )x x x x= − − − − −
2
1 1
( 4) arccot 3 ( 4) d
1 ( 3 ) 2 3
x x x x
x x
− −
= − − − −
+ − −
1
( 4)arccot 3 d ( 4) arccot 3 3 .
2 3
x x x x x x C
x
−
= − − − = − − − − +
−
33
2
2
arccot 3 d [( 4) arccot 3 3 ] 1 1
2 2
x x x x x
− −
− = − − − − = − − =
Câu 7.
( )
4
1
( )
3 2
f x
x x
=
−
c trên là hàm dương và liên tụ
[1, )+
.
( )
4
1
d
3 2
x
x x
+
−
là tích ph n suy r ng lo i 1 v m b ng ầ ộ ạ ới điể ất thườ
+
( )
4 54
1 1 1
~
3 3
3 2
x
x x x
x x
→+
=
−
, mà
5
1
1
d
3
x
x
+
h i t ộ ụ
(do 5 1)
=
( )
4
1
d
3 2
x
x x
+
−
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
Câu 8. Tham s ng tròn ố hoá đườ
2 2
( 2) 1:x y+ − =
cos
(0 2 )
2 sin
x t
t
y t
=
= +
.
Diện tích mặt tròn xoay tạo b ng tròn ởi đườ
2 2
( 2) 1x y+ − =
quanh tr c Ox là: ụ
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
0 0
2 | ( )| ( ) ( ) d 2 |2 sin | ( sin ) (cos ) dy t x t y t t t t t t
= + = + − +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
21
2
2
2
0
0
2 (2 sin )d ( vì 2 sin 0) 2 (2 cos ) 8 ( dvdt )t t t t t
= + + = + =
Câu 9.
Để hàm số
( )f x
vi tkhả ại
0x =
thì điều kiện cần là
( )f x
liên t c tụ ại
0x =
, t c là: ứ
( )
3
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) (0) lim( arctan 3 ) lim sin 0
x
x x x x
f x f x f x x ae b x
+ − + −
→ → → →
= = = + =
0
0 sin 0 0 0.ae b a = + = =
Với
0a =
thì
arctan 3 , 0,
( )
sin , 0
x x x
f x
b x x
=
0 0 0 0 0
( ) (0) arctan 3 0 arctan 3 3
lim lim lim lim lim 3 3.
0
x x x x x
f x f x x x x x x
x x x x
+ + + + +
→ → → → →
− −
= = = = =
−
0 0 0
( ) (0) sin 0 sin
lim lim lim .1
0
x x x
f x f b x x
b b b
x x x
− − −
→ → →
− −
= = = =
−
( )f x
vi tkhả ại
0 0
0
0
0
( ) (0) ( ) (0)
lim lim
3
0 0
x x
a
a
x
f x f f x f
b
x x
+ −
→ →
=
=
=
− −
=
=
− −
Vạy
( , ) (0, 3).a b =
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
22
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm gi i hớ ạn
3
0
1 3
lim
1
x
x
x e
→
−
−
.
Câu 2 (1 điểm) Cho hàm s ố
( )y f x=
nh bxác đị ởi
3
5
3
5
x t t
y t t
= +
= −
. Tính
( ), ( )f x f x

.
Câu 3 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
2
3
( 3)y x x= −
.
Câu 4 (1 điểm). Ch ng minh r ng v i mứ ằ ớ ọi
1x
, ta có
1 2
ln
1 1
x
x x
+
− −
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm gi i hớ ạn
5 5 5
6
1 2
lim
n
n
n
→
+ ++
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
3
cos d
sin cos
x x
x x+
.
b)
2
1
arctan 3 xdx−
.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy r ng ộ
( )
4
1
d
2 1
x
x x
+
−
.
Câu 8 (1 điểm). Tính di n tích m t tròn xoay t o b ng tròn ệ ặ ạ ởi đườ
2 2
( 2) 1x y+ + =
quanh trục
Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm s : ố
sin 3 , 0
( )
2 arctan , 0
x
x x x
f x
a b x x
=
+
Tìm
a
và
b
hàm s để ố
( )f x
vi tkhả ại
0x =
.
Lời gi i tham kh sả ảo đề ố 5
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
23
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
cos
lim
sin 1
x
x x
x x
→+
−
− −
.
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng
3
7,988
.
Câu 3 (1 điểm). Tính ho c xét s phân k ặ ự ỳ
1
d
x
e x x
+
−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
3
0
sin(2 )d
x
e x x
.
Câu 5 (1 điểm). Cho
2
( , )
xy
z x y e=
. Tính
2
d z
.
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l n nh t, giá tr bé nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ấ ủ ố
2 2
3 4z x y= −
trong miền đóng:
2 2
1
4 3
x y
+
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
2 2
1 d d
D
x y x y− −
, trong đó:
2 2
: 1, 0, 0D x y x y+
.
Câu 8 ( m).1 điể Tìm các ti m c n c hàm s ệ ậ ủa đồ thị ố
3
3
1
8
2
8
x
t
t
y
t
=
−
=
−
Câu 9 (1 điểm). Tính
18
2
| |
2
arcsin
1 sin d
1
x
x
x x
e
−
+
+
.
Câu 10 (1 điểm) Tính
( ; )
x
z x y
biết
arccot , 0
( ; )
0, 0
y
x
z x y
x
x
=
=
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
24
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1. Vì
cos x
b n bị chặ ởi
1 (cos ) ~ ( )
x
x x x
→+
− −
Tương tự, vì
( sin 1)x− −
b n bị chặ ởi
2 ( sin 1 ~)
x
xx x
→+
− −
VCL
cos
lim lim 1.
sin 1
x x
x x x
x x x
→+ →+
− −
= = −
− −
Vậy gi i h n c n tính b ng ớ ạ ầ ằ
1−
.
Câu 2.
3 3
7,988 8 0,012A = = −
Chọn
0
8, 0,012x x= = −
. Xét hàm s ố
3
( )f x x
=
trên
(0, )+
.
( )
0
3 2 3 2
1 1 1
( ) , 0 .
12
3 3 8
f x x f x
x
= = =
Áp d ng công th c tính g vi phân: ụ ứ ần đúng nhờ
( ) ( ) ( )
3
3
0 0 0
1
7,988 8 ( 0,012) 1,999
12
A f x x f x f x x
= = + + = + − =
Vậy
3
7,988 1,999A =
.
Câu 3.
( ) ( )
1
d d d
x x x x x x
x
x
e x x x e e x e x xe e C C
e
− − − − − −
− −
= − = − − − = − − + = +
.
Ta có:
1 1
1
1 1 2
d lim d lim lim
A
A
x x
x A
A A A
x A
e x x e x x
e e e
+
− −
→+ →+ →+
− − − −
= = = +
.
+) Xét gi i h n: ớ ạ
1
lim
A
A
A
e
→+
− −
1
lim 0
A
A
e
→+
−
=
(do
lim
A
A
e
→+
= +
)
1
2 2
d 0
x
e x x
e e
+
−
= + =
i t và b ng tích phân đã cho hộ ụ ằ
2
e
.
Câu 4.
3 3 3
3
0 0 0
0
sin(2 )d sin(2 )d sin(2 ) d(sin(2 ))
3 3 3
x x x
x
e e e
I e x x x x x
= = = −
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
25
( )
3 3
0 0
2 2
0 cos(2 )d cos(2 )d
3 9
x x
e x x x e
−
= − =
3
3 3 3
0 0
0
2 2 2 2 4
cos(2 ) d(cos(2 )) sin(2 )d
9 9 9 9
x x x
e
x e e x e x x
− −
= + = −
3 3
2 2 4 2 2
.
9 9 13
e e
I I I
− −
= − =
Vậy tích phân c n tính b ng ầ ằ
3
2 2
.
13
e
−
Câu 5.
2 2
2
, 2
xy xy
x y
z y e z xye
= =
2 2 2 2 2
4 3 2 2
, 2 2 , 2 4
xy xy xy xy xy
xx xy yx yy
z y e z z ye y xe z xe x y e
   
= = = + = +
2 2 2
d d 2 d d d
xx xy yy
z z x z x y z y
  
= + +
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 2 3 2 2 2
d 2 2 2 dxd 2 4 d
xy xy xy xy xy
y e x ye y xe y xe x y e y= + + + +
Rút g n l i, ta có: ọ ạ
( ) ( )
2
2 4 2 3 2 2 2
d d 4 4 d d 2 4 d .
xy
z y x y y x x y x x y y e
= + + + +
Câu 6. Với điều kiện
2
2
2
2 2
2
2
2
4 1
3
4
1
4 3
3
3 1
4
y
x
x
x y
y
x
y
−
+
−
)+
Ta có:
2
2 2 2 2
3 4 3 4 3 1 6 12 0 12 12
4
x
z x y x x
= − − − − − = −
Đẳng thức xảy ra
2 2
2
0
1
4 3
3
0
x y
x
y
x
=
+ =
=
=
+) Ta có:
2
2 2 2 2
3 4 3 4 1 4 12 8 12 0 12
3
y
z x y y y
= − − − = − − =
Đẳng thức xảy ra
2 2
2
2
1
4 3
0
0
x y
x
y
y
=
+ =
=
=
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
26
Kết luận: Trên mi ền đã cho thì:
- Giá tr t cị nhỏ nhấ ủa
z
là
12−
, đạt được tại
( , ) (0, 3)x y =
.
- Giá tr l n nh t cị ớ ấ ủa
z
c tlà 12, đạt đượ ại
( , ) ( 2,0)x y =
.
Câu 7.
D
là mi c g ền đượ ạch chéo như hình bên.
Đổ ếi bi n
cos
| |
sin
x r
J r
y r
=
=
=
.
Miền
D
thành trở
0
:
2
0 1
E
r
−
0 1
2 2 2 2
0
1 d d 1 | | d d d 1 d
D E
I x y x y r J r r r r
−
= − − = − = −
 
( ) ( )
1
0 1 0 03
2 2 2
0
2 2
0
1 1 2 1
d 1 d 1 1 d d
2 2 3 2
r
r
r r r
=
−
− −
=
− −
= − − = − =
6
=
Vậy tích phân c n tính b ng ầ ằ
6
.
Câu 8.
+) Khi
0
t t→
(với
0
2t
) thì
0
lim
t t
x
→
và
0
lim
t t
y
→
h u h n ữ ạ
ng h p này không có ti m c trườ ợ ệ ận.
+) Khi
2t →
thì
3
2 2
1
lim lim
8
t t
x
t
→ →
= =
−
Ta có:
3
2 2 2
3
2
8
lim lim lim(2 ) 4 0
1
8
t t t
t
y
t
a t
x
t
→ → →
−
= = = =
−
( )
3 3
2
2 2 2
2 4 2( 2)
lim( ) lim lim
8 8
( 2) 2 4
t t t
t t
b y ax
t t
t t t
→ → →
−
= − = − =
− −
− + +
2
2
2 2 1
lim
2 4 12 6
t
t t
→
= = =
+ +
ng h hàm s có ti m ctrườ ợp này đồ thị ố ệ ận xiên hai phía
1
4
6
y x= +
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
27
+) Khi
t →
thì
3
1
lim lim 0
8
t t
x
t
→ →
= =
−
u h n) và (hữ ạ
3
2
lim lim 0
8
t t
t
y
t
→ →
= =
−
u h ng (hữ ạn) nên trườ
hợp này không có ti m cệ ận.
Vậy đồ thị hàm s ố chỉ có duy nh t m t ti m c m c n xiên hai phía ấ ộ ệ ận, đó là tiệ ậ
1
4
6
y x= +
.
Câu 9.
1
2
/2 /2 /2
18 18 18
| | | |/2 /2
arcsin arcsin
1 sin d sin d sin d
1
x x
I
I
x x
I x x x x x x
e
−
= + = +
+ +
)+
Xét
18
( ) sinf x x=
, ta có:
( ) ( ), )f x f x x− =
là hàm ch n ẵ
/2
18
2
0
17!! 17!!
2 sin d 2
18!! 2 18!!
I x x
= = =
(tích phân Wallis).
+) Xét
18
| |
arcsin
( ) sin
1
x
x
g x x
e
=
+
. Đề cho hơi dở , vì cận
arcsin x
nh trên toàn không xác đị
bộ
,
2 2
−
, nên ch b sai. ỗ này đề ị
Sửa lại m t chút: ộ
2
/2 /2 /2
18 18 18
| | | |/2 /2
2
arcsin arcsin
1 sin d sin d sin d
1
x x
I
x x
I x x x x x x
e
−
− −
= + = +
+ +
Lúc này, đặt
18
| |
arcsin
( ) sin
1
x
x
g x x
e
=
+
.
Ta có
( ) ( )g x g x− = −
nên
( )g x
là hàm l trên ẻ
,
2 2
−
/2
2
/2
( )d 0I g x x
−
= =
(tích phân hàm l , c i x ng). ẻ ận đố ứ
Vậy
1 2
17!!
18!!
I I I= + =
.
Câu 10.
+)
2
2 2 2
1
( , ) , 0
1
x
y y
z x y x
x x y
y
x
− −
= =
+
+
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
28
+) V i mớ ỗi điểm
( )
0
0, y
, xét gi i h ớ ạn:
( ) ( )
0 0
0 0
0 0 0
arccot 0 arccot
, 0,
lim lim lim
0 0
x x x
y y
f x y f y
x x
x x x
→ → →
−
−
= =
− −
- N uế
0 0
0
0
0 thì arccot arccot 0 lim
2
x
y y
y x
x x
→
= = =
. Gi i h n này không t n t i h u hớ ạ ồ ạ ữ ạn
không t n tồ ại
(0,0)
x
z
.
- Nếu
0
0y
, ta xét:
0
0 0
0 0 0
arccot
lim lim arccot lim
2
x x x
y
y y
x
x x x
− − −
→ → →
= − = = −
không t n tồ ại
( )
0
0,
x
z y
(với
0
0y
).
- Nếu
0
0y
, ta xét:
0
0 0
0 0 0
arccot
lim lim arccot lim
2
x x x
y
y y
x
x x x
+ + +
→ → →
= − = = +
không t n tồ ại
( )
0
0,
x
z y
(với
0
0y
).
Tóm l i, ạ
2
2 2 2
1
( , ) , 0
1
x
y y
z x y x
x x y
y
x
− −
= =
+
+
. Còn
(0, )
x
z y
không t n tồ ại.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
29
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20191 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
cos
lim
sin 1
x
x x
x x
→+
−
− +
.
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng
3
8,012
.
Câu 3 (1 điểm) Tính ho c xét s phân k ặ ự ỳ
1
d .
x
e x x
+
Câu 4 (1 điểm). Tính
3
0
cos(2 )d
x
e x x
.
Câu 5 (1 điểm). Cho
2
( , )
x y
z x y e=
. Tính
2
d z
.
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l n nh t, giá tr bé nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ấ ủ ố
2 2
4 3z x y= −
trong miền đóng:
2 2
1
3 4
x y
+
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
2 2
1 d d
D
x y x y+ +
, trong đó:
2 2
: 1, 0, 0D x y x y+
.
Câu 8 (1 điểm). Tìm các ti m c n c hàm s ệ ậ ủa đồ thị ố
3
3
1
8
2
8
x
t
t
y
t
=
−
=
−
Câu 9 (1 điểm). Tính
18
2
| |
2
arcsin
1 sin
1
x
x
xdx
e
−
+
+
.
Câu 10 (1 điểm). Tính
( ; )
x
z x y
biết
arccot , 0
( ; )
0, 0
y
x
z x y
x
x
=
=
Lời gi i tham kh 7ả ảo đề
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
30
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20192 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Xét tính ch n, l c a hàm s ẵ ẻ ủ ố
2
arcsiny x x= +
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm các ti m c n c hàm s ệ ậ ủa đồ thị ố
2
2 1
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
1
cos( ln )
d
e
x
x
x
.
Câu 4 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
2
2 4
( , ) (0,0)
sin
lim
2 3
x y
y x
x y
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
( )
2
2 2
( ) 1 1z x y x= + + − −
.
Câu 6 (1 điểm). ng minh r ng Chứ ằ
2
arctan ln 1x x x +
v i mớ ọi
x
.
Câu 7 (1 điểm). Xét s h i t c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ủ ộ
50
1 cos
d
x
I x
x
+
−
=
.
Câu 8 (1 điểm). Có m t v t th tròn xoay có d ng gi t cái ly nh hình v i ta ộ ậ ể ạ ống như mộ ư ẽ. Ngườ
đo được đường kính của miệng ly là
6 cm
và chi u cao là ề
8 cm
. Bi t r ng m t ph ng qua tr c ế ằ ặ ẳ ụ
OI c t v t th theo thi t di n là m t parabol. Tính th tích ắ ậ ể ế ệ ộ ể
( )
3
cmV
c a v t th ủ ậ ể đã cho.
Câu 9 (1 điểm). u thBiể ức
2
1
z y z
x
+ = −
nh hàm xác đị ẩn
( , )z z x y=
. ng minh r ng: Chứ ằ
2
1 0
2
y
x
z
x z
y
+ − =
.
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )f x
vi trên khả tho mãn: ả
2 2
( ) (2 1) ( ) ( ) 1x f x x f x xf x
+ − = −
v i mớ ọi
0x
và
(1) 2f =
. Tính
2
1
( )df x x
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
31
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
2
arcsiny x x= +
. Ta có:
(1) 1 arcsin1 1
2
( 1) (1)
( ) 1 arcsin( 1) 1
2
y
y y
y x
= + = +
−
− = + − = −
không th có: ể
( ) ( ),
( ) ( ),
y x y x x
y x y x x
− =
− = −
2
arcsiny x x = +
không là hàm chã
n, cũng không là hàm lẻ.
Câu 2. Tập xác định:
=D
, đồ ận đứ thị hàm số không có tiệm c ng.
- Xét khi
x → +
, ta có:
2
2 1 2
lim lim lim 2
1
x x x
x x
y
x
x
→+ →+ →+
−
= = =
+
hàm s có ti m c n ngang đồ thị ố ệ ậ
2y =
khi
x → +
.
- Xét khi
x → −
, ta có:
2
2 1 2
lim lim lim 2
1
x x x
x x
y
x
x
→− →− →−
−
= = = −
−
+
hàm s có ti m c n ngang đồ thị ố ệ ậ
2y = −
khi
x → −
.
Đồ ị ệ th hàm số không có ti m cận xiên.
Vậy đồ thị có 2 ti m c n ngang là ệ ậ
2y =
bên ph i) và (về ả
2y = −
bên trái). (về
Câu 3.
1 1
1
cos( ln ) 1 1
d cos( ln )d(ln ) sin( ln )
e
e e
x
x x x x
x
= = =
.
Vậy tích phân c n tính b ng ầ ằ
1
.
Câu 4. Ta ch ng minh ứ
2
2 4
1
, ( , ) (0,0)
3
2 3
y
x y
x y
+
. (*)
Th y,ật vậ (*)
4
4 2 4
2 4
1
3 2 3
2 3 3
y
y x y
x y
+
+
, luôn đúng. Vậy (*) đúng.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
32
2 2
2 4 2 4
sin 1
0 | sin | sin ,
3
2 3 2 3
y x y
x x
x y x y
=
+ +
mà
( , ) (0,0)
1
lim sin 0
3
x y
x
→
=
2 2
2 4 2 4
( , ) (0,0) ( , ) (0,0 )
sin sin
lim 0 lim 0.
2 3 2 3
x y x y
y x y x
x y x y
→ →
= =
+ +
Vậy gi i h n c n tính b ng 0. ớ ạ ầ ằ
Câu 5.
Tập xác định
=D
Tìm điểm dừng:
( )
( )
2
2
2( ) 2 1 2 0
4 1 0
2( ) 0
x
y
y x
z x y x x
x x
z x y
= −
= + + − =
− =
= + =
0 1 1
0 1 1
x x x
y y y
= = = −
= = − =
hàm s m d ng là ố có 3 điể ừ
1 2
(0,0), (1, 1)M M −
và
3
( 1,1).M −
Ta có
2
12 2, 2, 2.
xx xy yy
A z x B z C z
  
= = − = = = =
Tại điểm
1
(0,0)M
, ta có
2
8 0B AC− =
, nên hàm s t c c tr tố không đạ ự ị ại
1
.M
Tại các điểm
2
(1, 1)M −
và
3
( 1,1)M −
ta có
2
16 0
10 0
B AC
A
− = −
=
hàm s t c c ti u t i các ố đạ ự ể ạ
điểm
2 3
(1, 1), ( 1,1).M M− −
Giá tr c c ti u b ng ị ự ểu đề ằ
(1, 1) ( 1,1) 1.
CT
z z z= − = − = −
Câu 6. Xét hàm s ố
( )
2 2
1
( ) arctan ln 1 arctan ln 1
2
f x x x x x x x= − + = − +
trên .
Ta có:
2 2
1 1 2
( ) arctan arctan
1 2 1
x
f x x x x
x x
= + − =
+ +
.
( ) 0 arctan 0 0.f x x x
= = =
B ng biả ến
thiên có d ng: ạ
Dựa vào b ng bi n thiên ta thả ế ấy
( ) 0,f x x R
2
arctan ln 1 0,x x x x − +
2
arctan ln 1 ,x x x x +
(đpcm)
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
33
Câu 7.
1 2
50
1 cos
d
x
I x I I
x
+
−
= = +
, trong đó
1
1
5
0
1 cos
d
x
I x
x
−
=
và
2
5
1
1 cos
d
x
I x
x
+
−
=
.
)+
Xét
1
I
, ta có
5
1 cos
( ) 0, (0,1]
x
f x x
x
−
=
. Điể ất thườm b ng
0x =
.
2
0
1/2
5 5
1 cos 1
2
~
2
x
x
x
x
x x
→
−
=
, mà
1
1/2
0
1
d
2
x
x
h i t (vì ộ ụ
1
(0,1)
2
=
)
1
1
5
0
1 cos
d
x
I x
x
−
=
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
+) Xét
2
I
, ta có
5
1 cos
( ) 0
x
f x
x
−
=
liên t c trên ụ
[1, )+
. Điể ất thườm b ng
.+
Ta có:
5/2
5
1 cos 2
0
x
x
x
−
, mà
5/ 2
1
2
dx
x
+
h i t (vì ộ ụ
5
1
2
=
)
2
5
1
1 cos
d
x
I x
x
+
−
=
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
Vì
1
I
và
2
I
hội t nênụ
I
hội t ụ
Câu 8. Chiều dương như hình vẽ.
Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng:
2
. x ay b= +
Parabol qua hai điểm
(0,3)B
và
(8, 0)I
2
8
0 9
8
8.
9
8
9
8
a b
a
x y
b
b
−
= +
=
−
= +
=
=
Vật th c là v t th khi mi n gi i h n b i các ể thu đượ ậ ể ề ớ ạ ở
đường
2
8
3
8
16 2
9
4
0 8
0, 0
x y
y x
xx y
−
= +
= −
quanh trục
Ox
tích v t th là: thể ậ ể
( )
8
2
2
8 8 8
2 3
0 0 0
0
3 9 9
( )d 16 2 d 9 d 9 36 cm
4 8 16
x x
V y x x x x x x
= = − = − = − =
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
34
Câu 9. Đặt
2
1
( , , )F x y z z y z
x
= + − −
.
2
2
2 2
1
, .
1 1
1 1
2 2
y
x
x y
z z
y
F
y z
F
x
z z
F F
y z y z
−
−
−
−
−
= = = =
+ +
− −
Ta có:
2
2
2 2
2
2
2
1
1 1
1
2 2
1
1
2
2
1
y
x
y
z
y z
x z x
x
y y
y
y z
x
z
−
+ + = + −
+
+
−
−
2
2 2
1
21
1 1 1 0
1 1
1 1
2 2
y z
y z y z
=
−
+ − = − =
+ +
− −
Câu 10.
2 2
( ) (2 1) ( ) ( ) 1, 0x f x x f x xf x x
+ − = −
2 2 2
( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ) 1) ( ) ( )x f x xf x xf x f x xf x xf x f x
+ + = + + = +
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1, 0 d d
( ( ) 1) ( ( ) 1)
xf x f x xf x f x
x x x
xf x xf x
+ +
= =
+ +
2
d( ( ) 1) 1
d .
( ( ) 1) ( ) 1
xf x
x x C
xf x xf x
+ −
= = +
+ +
Theo bài ra:
2
1 1 1 1
(1) 2 1 0. ( ) ,
2 1 ( ) 1
f C C x f x
xf x x x
− − −
= − = + = = = −
− + +
(TM)
2
2 2
2
1 1
1
1 1 1 1
( )d d ln | | ln 2
2
f x x x x
x x x
− −
= − = − + = −
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
35
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20193 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu k c a hàm s ỳ ủ ố
3cos(5 ) 4sin(5 )y x x= +
.
Câu 2 (2 di m). ể Tính:
a)
3
2
0
cos 1
lim
sin
x
x
x
→
−
b)
( )
2
ln 2 dx x x+ +
.
Câu 3 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân ự ộ ụ ỷ ủ
1
0
d
1 cos
2
x x
x
x
−
.
Câu 4 (1 diểm). Tính
4
2 4
( , ) (0,0 )
lim
x y
x
x y
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tim c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
4 4 2 2
2 2z x y x y= + + −
.
Câu 6 (1 điểm). Tim v phân l an ả ọai điểm gián đọ
1
1
arctan
x
y
x
−
+
=
.
Câu 7 (1 điểm). Phương trình
( ) 0
xyz
x y z e+ + =
nh hàm xác đị ẩn
( , )z z x y=
.
Tính
(0,1)dz
.
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )f x
tích trêkhả n
[0,1], | ( ) | 1, [0,1]f x x
.
Chứng minh r ng ằ
( )
2
1 1
2
0 0
1 ( )d 1 ( )df x x f x x− = −
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )f x
liên t c trên ụ
[ 1;1]−
và tho u ki ả mãn điề ện:
( )
2 3
( ) 2f x x x f x= + +
. Tinh
1
1
( )dI f x x
−
=
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
36
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1. Chọn
sao cho
3 4
sin ,cos
5 5
= =
, ta có:
3 4
( ) 3cos(5 ) 4sin(5 ) 5 cos(5 ) sin(5 ) 5[sin cos(5 ) cos sin(5 )] 5sin(5 )
5 5
f x x x x x x x x
= + = + = + = +
là hàm tu n hoàn v i chu k ầ ớ ỳ
2 2
.
| 5| 5
T
= =
Chú ý: V iớ
0k
thì các hàm s ố
sin( ),cos( )kx kx
+ +
là các hàm tu n hoàn v i chu k ầ ớ ỳ
2
| |
T
k
=
.
Câu 2.
a) Ta có:
sin ~x x
khi
0x →
và:
2 2
0 0
3
3
1 1
cos 1 1 (cos 1) 1 ~ (cos 1) ~
3 3 2 6
x x
x x
x x x
→ →
− −
− = + − − − =
Áp d ng: ụ
2
3
VCB
2 2
0 0
cos 1 1
6
lim lim
sin 6
x x
x
x
x x
→ →
−
− −
= =
.
Vậy gi i h n c n tính b ng ớ ạ ầ ằ
1
6
−
.
b)
( ) ( )
2 2
1
ln 2 d ln 2 d
2
x x x x x x
+ + = + + +
( ) ( )
( )
2 2
1 1
ln 2 d ln 2
2 2
x x x x x x
= + + + − + + +
( )
2
2
1 1 2 1
ln 2 d
2 2 2
x
x x x x x
x x
+
= + + + − +
+ +
( )
2
2
2
1
1
2
ln 2 2 d
2
1 7
2 4
x
x x x x
x
+
= + + + −
+ +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
37
( )
2
2
1 7 1
ln 2 2 1 d
2 4
1 7
2 4
x x x x
x
= + + + − −
+ +
( )
2
1
1 7 2
2
ln 2 2 arctan
2 4
7 7
2
x
x x x x C
+
= + + + − − +
( )
2
1 2 1
ln 2 2 7 arctan
2
7
x
x x x x C
+
= + + + − + +
.
Câu 3.
( ) 0, (0,1]
1 cos
2
x x
f x x
x
=
−
. Điể ất thườm b ng
0x =
.
Ta có:
2
1/2
8
~
1
1 cos
2
2 2
x x x x
x
x
x
=
−
, mà
1
1/2
0
8
x
h i t (vì ộ ụ
1
(0,1)
2
=
1
0
d
1 cos
2
x x
x
x
−
là tích phân h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
Câu 4. Ta đi chứng minh
4
2
2 4
, ( , ) (0,0)
x
x x y
x y
+
(*)
Thật v y, ậ (*)
4
2 4 4 2 4
2 4
x
x x x x y
x y
+
+
, luôn đúng
( , ) (0,0)x y
.
(*) y ta có: là đúng. Vậ
4
2
2 4
0 , ( , ) (0,0)
x
x x y
x y
+
Mà
4
2
2 4
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim 0 lim 0
x y x y
x
x
x y
→ →
= =
+
(theo nguyên lý k p). ẹ
Câu 5. Tập xác định:
=D
.
+) Tìm điểm dừng:
3
3
4 4 0
0
4 4 0
0 1
x
y
z x x
x
z y y
y y
= + =
=
= − =
= =
hàm s m d ng là ố có 3 điể ừ
1 2
(0,0), (0,1)M M
và
3
(0, 1)M −
.
+) Ta có: A =
2 2
12 4, 0, 12 4.
xx xy yy
z x B z C z y
  
= + = = = = −
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
38
( )( )
2 2 2
12 4 4 12B AC x y − = + −
.
- Tại điểm
1
(0,0)M
ta có:
2
16 0B AC− =
hàm s t c c tr tố không đạ ự ị ại
1
(0,0)M
.
- Tại các điểm
2
(0,1)M
và
3
(0, 1)M −
, ta có:
2
32 0
4 0
B AC
A
− = −
=
hàm s t c c ti u tố đạ ự ể ại các điểm
2
(0,1)M
và
3
(0, 1)M −
. Giá tr c c ti u cùng bị ự ể ằng
CT
(0,1) (0, 1) 1.z z z= = − = −
Câu 6. Hàm s ố xác định
0
1
arctan 0
1
x
x
xx
+
−
0x
=
và
1x = −
n c a hàm s . là các điểm gián đoạ ủ ố
- Tại điểm
1x = −
, xét gi i h ớ ạn:
( 1)
( 1) ( 1)
1 1
lim lim vì arctan 0
r
~
1
a ctan
x
x x
x
y
x
x
x
+
+ +
→ −
+
→ − → −
+
= = +
+
1x
= −
n lo i 2 c a hàm s . là điểm gián đoạ ạ ủ ố
- Tại điểm
0x =
, xét các gi i h ớ ạn:
0
0 0
1 1 1
lim lim
1
c
~
ar tan
2
x
x x
x
y do
x
x
x
+
+ +
→
→ →
+
= = +
+
0
0 0
1 1 1
lim lim
1
arct n
~
a
2
x
x x
x
y do
x
x
x
−
− −
→
→ →
+
= = −
+ −
0x =
n lo i 2 c a hàm s (là điểm gián đoạ ạ ủ ố điểm gián đoạn bỏ được).
Câu 7. Đặt
( , , ) ( )
xyz
F x y z x y z e= + +
.
Ứng với
0, 1x y= =
, thay vào phương trình đã cho ta có:
0
(0 1) 0 1z e z+ + = = −
.
Gọi điểm
(0,1, 1)M −
. Ta có:
, , .
xyz xyz xyz
x y z
F z zye F z zxe F x y xye
= + = + = + +
( )
( )
2 1
(0,1) 2, (0,1) 1.
( ) 1 ( ) 1
d (0,1) (0,1)d (0,1)d 2 d d .
y
x
x y
z z
x y
F M
F M
z z n
F M F M
z z x z y x y
−
−
− −
= = = − = = = = −
= + = − −
Câu 8. Áp d ng b ng th c tích phân: ụ ất đẳ ứ
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
39
∫
0
1
1 −𝑓√
2
(𝑥)d𝑥 =∫
0
1
1 −𝑓(𝑥)
√
⋅
√
1 + 𝑓(𝑥)d𝑥
≤
√
∫
0
1
(1 − 𝑓(𝑥))d𝑥 ⋅ ∫
0
1
[1 + 𝑓(𝑥)]d𝑥=
√
(1 − ∫
0
1
𝑓(𝑥)d𝑥) ⋅ (1 + ∫
0
1
𝑓(𝑥)d𝑥)
=
√
1 − (∫
0
1
𝑓(𝑥)d𝑥)
2
Đẳ
ng thức xảy ra, chẳng hạn khi 𝑓
(
𝑥
)
= 1
Từ u ph i ch ng minh. đó suy ra điề ả ứ
Câu 9.
( )
2 3
( ) 2 , [ 1,1]f x x x f x x= + + −
( )
1 1 1
2 3
1 1 1
( )d 2 d df x x x x x f x x
− − −
= + +
Đặt
3 2
d 3 du x u x x= =
. Đổi cận
1 1
1 1
x u
x u
= − = −
= =
( )
1 1 1
2 3
1 1 1
d 1
d ( ) ( )d
3 3
u
x f x x f u f x x
− − −
= =
. Do đó:
( )
1
1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1
1
1 3
( )d 2 d ( )d ( )d 2 d ( 2)
3 2
f x x x x f x x f x x x x x
− − − − −
−
= + + = + = +
13 13 1= −
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
40
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20193 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu k c a hàm s ỳ ủ ố
4cos(5 ) 3sin(5 )y x x= +
.
Câu 2 (2 diểm). Tính:
a)
3
2
0
cos 1
lim
tan
x
x
x
→
−
b)
( )
2
ln 2 dx x x− +
,
Câu 3 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân ự ộ ụ ỳ ủ
1
0
d
1 cos
3
x x
x
x
−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
4
4 2
( , ) (0,0 )
lim
x y
y
x y
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
4 4 2 2
2 2z x y x y= + − +
.
Câu 6 (1 điểm). Tim và phân loại điểm gián đoạn
1
arctan
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 7 (1 điểm). Phương trình
( ) 0
xyz
x y z e+ − =
nh hàm xác đị ẩn
( , )z z x y=
.
Tính
(0,1)dz
.
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )f x
tích trkhả ền
[0,1], | ( ) | 1, [0,1]f x x
.
Chứng minh r ng ằ
( )
2
1 1
2
0 0
1 ( )d 1 ( )df x x f x x− = −
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm s ố
( )f x
liên t c trên ụ
[ 1;1]−
và tho u ki ả mãn điề ện:
( )
2 2 3
( ) 4f x x x f x
= − +
. Tính
1
1
( )dI f x x
−
=
.
Lời gi i tham kh sả ảo đề ố 1
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
41
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
sin
lim
arctan
x
x x
x x
→+
−
−
.
Câu 2 (1 điểm). Cho
2
1
( )
2 1
f x
x x
=
− +
. Tính đạo hàm cấp cao
(50)
( )f x
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
5
2
0
9 dx x−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
2
0
3sin 4 cos
d
4sin 3cos
x x
x
x x
+
+
.
Câu 5 (1 m). điể Tính gi i hớ ạn
3
2 2
( , ) (0,0)
sin
lim
sin sin
x y
x
x y
→
+
.
Câu 6 (1 điểm). s ng m ng c a m t h ng Chỉ ố Shannon đo lườ ức độ đa dạ ủ ộ ệ sinh thái, trong trườ
hợp có hai loài, được xác định theo công thức:
ln lnH x x y y= − −
, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
thoả mãn
0, 0
1
x y
x y
+ =
. Tìm giá tr l n nh t cị ớ ấ ủa
H
.
Câu 7 (1 điểm). ng minh r ng Chứ ằ
2 4
cos 1 , 0,
2 24 2
x x
x x
− +
.
Câu 8 (1 điểm) Cho
( , )z f x y=
là hàm s nh bố ẩn xác đị ởi phương trình
0.
z
y
z xe− =
ng Ứ
dụng vi phân, tính gần đúng
(0,02; 0,99)f
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
1 (2 1)!
lim
( 1)!
n
n
n
n n
→+
−
−
.
Câu 10 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
0
ln(1 2 )
d
x
x
x x
+
+
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
42
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
sin
1
sin 1 0
lim lim 1
arctan
arctan 1 0
1
x x
x
x x
x
L
x
x x
x
→+ →+
−
− −
= = = =
− −
−
Giải thích:
1 sin 1
sin
lim 0
1 1
lim lim 0
x
x x
x
x
x x x
x
x x
→+
→+ →+
−
+ =
−
= =
(theo nguyên lý k ẹp)
arctan
) lim arctan lim 0.
2
x x
x
x
x
→+ →+
+ = =
Vậy
1L =
.
Câu 2.
2
2 2
1 1
( ) ( 1)
2 1 ( 1)
f x x
x x x
−
= = = −
− + −
. Do đó:
(50) 52 50
52 52
1 51!
( ) ( 2)( 3)( 4) ( 50)( 51)( 1) ( 1) 51! , 1
( 1) ( 1)
f x x x
x x
−
= − − − − − − = − =
− −
Vậy
(50)
52
51!
( ) , 1.
( 1)
f x x Q
x
= − +
−
Câu 3.
5 3 5
2 2 2 2 2
0 0 3
9 d 3 d 3 dI x x x x x x= − = − + −
3 5
2 2
2
0 3
9 9 9 9
arcsin ln 9
2 2 3 2 2
x x x x x
x x
− −
= + + − + −
9 9
10 ln3
4 2
= + −
Câu 4.
2 2
0 0
24 7
(4sin 3cos ) (4cos 3sin )
3sin 4cos
25 25
d d
4sin 3cos 4sin 3cos
x x x x
x x
I x x
x x x x
+ + −
+
= =
+ +
2
2
0
0
24 7 4cos 3sin 24 7
d ln | 4sin 3cos |
25 25 4sin 3cos 25 25
x x x
x x x
x x
−
= + = + +
+
12 7 4
ln
25 25 3
= +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
43
Câu 5. Ta ch ng minh: ứ
2
2 2
sin
1
sin sin
x
x y
+
với
( , ) (0,0)x y →
.(*)
Th y,ật vậ (*)
2 2 2
sin sin sinx x y +
, luôn đúng với
( , ) (0,0)x y →
.
Áp d ng: ụ
3 2
2 2 2 2
sin sin
0 | sin | | sin |
sin sin sin sin
x x
x x
x y x y
=
+ +
, khi
( , ) (0,0)x y →
.
Mà
3
2 2
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
sin
lim | sin | 0 lim 0
sin sin
x y x y
x
x
x y
→ →
= =
+
theo nguyên lý k p ẹ
3
2 2
( , ) (0,0)
sin
lim 0.
sin sin
x y
x
x y
→
=
+
Câu 6.
Ta có:
1 1
ln (1 ) ln(1 ) ( )
0, 0 0 1
x y y x
H x x x x f x
x y x
+ = = −
= − − − − =
.
Xét
( )f x
trên
(0,1)
. Ta có:
( ) ln 1 ln(1 ) 1 ln(1 ) lnf x x x x x
= − − + − + = − −
1
( ) 0 ln ln(1 ) (0,1)
2
f x x x x
= = − =
Xét d u: ấ
1 1
( ) 0 0 ; ( ) 0 1
2 2
f x x f x x
Suy ra
( )f x
t giá tr l n nh t tđạ ị ớ ấ ại
1
2
x =
.
1
max ln 2
2
H f
= =
, đạt tại
1 1
( , ) ,
2 2
x y
=
.
Câu 7. Xét hàm s ố
2 4
( ) cos 1
2 24
x x
f x x= − + −
liên t c trên ụ
0,
2
Dùng khai tri n Maclaurin v i ph ể ớ ần dư Lagrange, ta có:
2 4 2 4
5 5
5 5
cos cos
2 2
( ) 1 1 , ( (0, )), 0,
2 24 5! 2 24 5! 2
c c
x x x x
f x x x c x x
+ +
= − + + − + − =
Đánh giá:
5 5 5
3 cos 0
2 2 2
c c
+ +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
44
2 4
( ) 0, 0, cos 1 , 0,
2 2 24 2
x x
f x x x x
− +
u ph i ch ng th c không x y ra). điề ả ứng minh (đẳ ứ ả
Câu 8.
( , , )
z
y
F x y z z xe= −
, hàm ẩn
( , )z f x y=
nh bxác đị ởi
( , , ) 0F x y z =
2
; ; 1
z z z
y y y
x y z
xz x
F e F e F e
y y
= − = = −
Chọn
0
0
0, 0,02
1, 0,01
x x
y y
= =
= = −
. Ứng với
0, 1x y= =
thì
1
0. 0 (0;1) 0
z
z e z f= = =
.
(0;1;0)
(0;1;0)
(0;1) 1; (0;1) 0
(0;1;0) (0;1;0)
y
x
x y
z z
F
F
f f
F F
−
−
= = = =
Suy ra:
( )
0 0
(0,02;0,99) ; (0;1) (0;1) (0;1) 0 1.0, 02 0.( 0,01) 0,02
x y
f f x x y y f f x f y
= + + + + = + + − =
Vậy
(0,02;0,99) 0,02f
.
Câu 9. Xét gi i h ớ ạn:
1
0
1 (2 1)! ( 1) (2 2)(2 1)
lim ln lim ln
( 1)!
1 0 1 2 1 1
lim ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 lim ln 1
n
n
n
n n
n
n n
k
n n n n n
L
n n n
n k
n n n n n n n
→+ →+
−
→+ →+
=
− + − −
= =
−
−
= + + + + + ++ + = +
1
0
( )df x x=
trong đó 𝑓(𝑥)= ln (1 + 𝑥) liên tục, khả tích trên [0,1]
1 1
1
0
0 0
ln(1 )d ln(1 ) d
1
x
x x x x x
x
= + = + −
+
1
1
0
0
1
ln 2 1 d ln 2 ( ln(1 )) 2ln 2 1
1
x x x
x
= − − = − − + = −
+
2ln 2 1
1 (2 1)! 4
lim .
( 1)!
L
n
n
n
e e
n n e
−
→+
−
= = =
−
Câu 10.
1 2
1
0
ln(1 2 ) ln(1 2 ) ln(1 2 )
d d d
I I
x x x
I x x x
x x
+ +
+ + +
= = +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
45
ln(1 2 )
( ) 0
x
f x
x x
+
=
liên t c trên ụ
(0; )+
.
+)
1
I
m b ng có điể ất thườ
0x =
.
Khi
0
x
+
→
thì
1/2
2 2
( ) ~ ~
x
f x
x
x x
, mà
1
1/2
0
2
dx
x
h i t do ộ ụ (
1
(0;1)
2
=
)
1
I
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
+) Vi
ln(1 )
lim 0
x
x
x
→+
+
=
, với
0
nhỏ tuỳ ý.
Chọn
1/3
1
ln(1 2 ) (2 )
3
x x
= +
khi
x → +
Khi
x → +
thì
1/3
3
7/6
(2 ) 2
0 ( )
x
f x
x
x x
=
, mà
3
7/6
1
2
dx
x
+
h i t do ộ ụ (
7
1
6
=
)
2
I
h i t theo tính ch t so sánh. Tóm l i, ộ ụ ấ ạ
1 2
,I I
h i t ộ ụ
I
h i t . ộ ụ
Cách 2: xét Để
2
I
, ta có th n hàm ể chọ
7/6
1
( )g x
x
=
, ta có trinh bày sau:
Xét
7/6
1
( ) 0, 1g x x
x
=
. Ta có:
1/3
7/ 6
ln(1 2 )
( ) ln(1 2 )
lim lim lim
1
( )
x x x
x
f x x
x x
g x x
x
→+ →+ →+
+
+
= =
(dạng
)
2/3 1/3
2/3
2
6
1 2
lim lim 0
1
2
3
x x
x
x x
x
−
→+ →+
−
=
+
= =
+
7/6
1 1
1
( )d dg x x x
x
+ +
=
h i t (do ộ ụ
7
6
=
)
2
1
( )dI f x x
+
=
h i t theo h tiêu chu n so sánh. ộ ụ ệ quả ẩ
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
46
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
cos
lim
arccot
x
x x
x x
→+
−
−
.
Câu 2 (1 điểm). Cho
2
1
( )
2 1
f x
x x
=
+ +
. Tính đạo hàm cấp cao
(50)
( )f x
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
5
2
0
16x dx−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
2
0
5sin 6 cos
d
6sin 5cos
x x
x
x x
+
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
3
2 2
( , ) (0,0)
sin
lim
sin sin
x y
y
x y
→
+
.
Câu 6 (1 điểm). s ng m ng c a m t h ng Chỉ ố Shannon đo lườ ức độ đa dạ ủ ộ ệ sinh thái, trong trườ
hợp có hai loài, được xác định theo công thức:
ln lnH x x y y= − −
, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
thoả mãn
0, 0
1
x y
x y
+ =
. Tìm giá tr l n nh t cị ớ ấ ủa
H
.
Câu 7 (1 điểm). ng minh r ng Chứ ằ
3 5
sin , 0,
6 120 2
x x
x x x
− +
.
Câu 8 (1 điểm). Cho
( , )z f x y=
là hàm s ố ẩn xác đị ởi phương trình nh b
0
z
x
z ye− =
. Úng
dụng vi phân, tính gần đúng
(0,99;0,02)f
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
1 (2 )!
lim
!
n
n
n
n n
→+
.
Câu 10 (1 m). điể Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
0
ln(1 3 )
d
x
x
x x
+
+
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
47
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Lời gi chi tiải ết tham khảo đề số 1
Câu 1.
cos
lim 1
arccot
x
x x
x x
→+
−
=
−
.
Câu 2.
(50)
52
51!
( )
( 1)
f x
x
=
+
.
Câu 3.
5
2
0
15
16 4 8 ln 2
2
x
− = + −
.
Câu 5.
2
0
5sin 6 cos 30 11 6
d ln
6sin 5cos 61 61 5
x x
x
x x
+
= +
+
.
Câu 6.
max ln2H =
c khi đạt đượ
1
2
x y= =
.
Câu 7. Tương tự ằng cũng không xả đề 1 (dấu b y ra).
Câu 8.
(0,99;0,02) 0,02f
.
Câu 9.
1 (2 )! 4
lim
!
n
n
n
n n e
→+
=
.
Câu 10.
0
ln(1 3 )
d
x
x
x x
+
+
h i tộ ụ.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
48
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
0
lim(cos sin )
x
x
x x
→
+
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm ti m cân xiên c hàm s ệ ủa đồ thị ố
arccoty x x=
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
3
4
0
tan dx x
.
Câu 4 (1 diểm). Tính tích phân
( )
1
2
0
ln 1 dx x x+ +
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm sự ị ủ ố
2 2
4( )z x y x y= − − −
.
Câu 6 Cho hàm s (1 điểm). ố
2
arctan , 0,
( , )
0, 0
x
y y
f x y
y
y
=
=
.
a) Xét tính liên t c cụ ủa
( , )f x y
tại điểm
(1, 0)A
.
b) Tính
(1,0)
y
f
.
Câu 7 (1 m). Cho điể
0 ,
2
x y
. Ch ng minh ứ
tan tan
tan
2 2
x y x y+ +
.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân
2
2
sin
d
1 3
x
x x
x
−
+
.
Câu 9 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
0
arctan d
1 cos
x x
x x x
+
+ −
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
49
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
1
0 0
ln(cos sin )
lim(cos sin ) lim .
x
x x
x x
x
L x x e
→ →
+
= + =
Xét
0
ln(cos sin )
lim
x
x x
K
x
→
+
=
(dạng
0
0
)
1
K
x
x 0
-sin x+cos x
cos x+sin x
lim =1 L=lim(cosx+sin x) =e =e
1
→
=
Vậy
.L e
=
Câu 2.
( )
lim lim arccot 0
x x
y x
x
x
→+ →+
= =
đồ ị ệ th hàm số không có ti m cận xiên bên phải.
( )
lim lim arccot
x x
y x
x a
x
→− →−
= = =
2
L Hospital
2
2
2
1
arccot
1
lim ( ) lim (arccot ) lim lim lim 1
1 1
1
x x x x x
x x
x
b y x x x
x
x x
→− →− →− →− →−
−
−
+
= − = − = = = =
−
+
1y x
= +
là ti m c n xiên (bên trái) duy nh t c hàm s . ệ ậ ấ ủa đồ thị ố
Câu 3.
( )
/4 / 4 / 4
3 2
0 0 0
tan d tan . 1 tan d tan dI x x x x x x x
= = + −
/4
2
/4 / 4
0 0
0
sin tan 1 ln 2
tan d(tan ) d ln | cos |
cos 2 2
x x
x x x x
x
− −
= + = + =
Vậy
1 ln 2
2
I
−
=
.
Câu 4.
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1
ln 1 d ln 1 d
2
I x x x x x x
= + + = + + +
( )
1
1
2
2
0
0
1 1 2 1
ln 1 d
2 2 1
x
x x x x x
x x
+
= + + + − +
+ +
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
50
1
2
0
3 3 1
ln 3 2 d
2 2
1 3
2 4
x
x
= − −
+ +
1
0
1
3 3 2
2
ln 3 2 arctan
2 2
3 3
2
x
x
+
= − −
3
ln 3 2
2
2 3
= − +
Vậy
3
ln3 2 .
2
2 3
I
= − +
Câu 5.
2 2
( , ) 4( )z x y x y x y= − − −
+) T nh: ập xác đị
=D
.
+)
4 2 ; 4 2
x y
z x z y
= − = − −
Giải h ệ
0
2
(2, 2)
0
2
x
y
z
x
M
z
y
=
=
−
=
= −
m d là điể ừng
+) Ta có:
2; 0; 2
xx xy yy
A z B z C z
  
= = − = = = = −
2
4 0
2 0
B AC
A
− = −
= −
hàm s t c c tr t i duy nh m là ố đã cho đạ ự ị ạ ất 1 điể
(2, 2)M −
, đây
là điể ực đạm c i,
CÐ
(2, 2) 8z z= − =
.
Câu 6.
a) Ta có
2 2
0 : 0 | ( , ) | arctan | | arctan | | 0,
2
x x
y f x y y y y y
y y
= = =
(1)
( , ) 0 | ( , ) | | 0 |
2
f x y f x y
= =
. (2)
Từ ta có: (1) và (2)
0 | ( , ) | | | , ( , )
2
f x y y x y
, mà
( , ) (1,0)
lim | | 0
2
x y
y
→
=
, nên theo nguyên lý
kẹp ta có
( , ) (1,0)
lim | ( , ) | 0
x y
f x y
→
=
( , ) (1,0)
lim ( , ) 0 (1,0) ( , )
x y
f x y f f x y
→
= =
liên t c tụ ại
(1,0)B
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
51
b) Xét gi i h n: ớ ạ
2
2
0 0 0
1
arctan 0
(1, ) (1, 0) 1
lim lim lim arctan
0 2
y y y
y
f y f
y
y y y
→ → →
−
−
= = =
−
0
(1, ) (1,0)
(1,0) lim
0 2
y
y
f y f
f
y
→
−
= =
−
Câu 7. Xét hàm s ố
( ) tanf x x=
trên
0,
2
.
2 3
1 2sin
( ) ; ( ) 0, 0,
cos cos 2
x
f x f x x
x x

= =
( )f x
là hàm l i trên ồ
0,
2
. Do
, 0;
2
x y
, áp d ng b ng th c hàm l i: ụ ất đẳ ứ ồ
( ) ( ) 2 tan tan 2 tan , , 0,
2 2 2
x y x y
f x f y f x y x y
+ +
+ +
tan tan
tan , , 0,
2 2 2
x y x y
x y
+ +
cm. D u b ng x y ra khi đp ấ ằ ả
, 0,
2
x y x
=
Câu 8.
/2 0 /2
/2 /2 0
sin sin sin
d d d
1 3 1 3 1 3
x x x
x x x x x x
I x x x
− −
= = +
+ + +
Xét
0
1
/2
sin
d
1 3
x
x x
I x
−
=
+
. Đặt
d dt x x t= − = −
. Đổi cận
2 2
0 0
x t
x t
−
= =
= =
.
0 / 2 /2
1
/2 0 0
sin( ) sin sin
( d ) d
1 3 1 3 1 3
t t x
t t t t x x
I t t dx
− − −
− −
= − = =
+ + +
/2 /2 /2
0 0 0
sin sin sin 3 sin
d d sin d
1 3 1 3 1 3 1 3
x
x x x x
x x x x x x x x
I x x x x x
−
= + = + =
+ + + +
/2 / 2
/2
0
0 0
d( cos ) ( cos ) ( cos )d 1x x x x x x
= − = − − − =
Vậy
1I =
.
Câu 9.
2
1
0 0
arctan d arctan d arctan d
1 cos 1 cos
I
x x x x x x
I
x x x x x x
+
= = +
+ − + − + −
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
52
2
arctan arctan
( ) 0
1 cos
2sin
2
x x
f x
x
x x x
x x
= =
+ −
+
là hàm liên t c trên ụ
(0, )+
.
+)
1
I
m b ng có điể ất thườ
0x =
.
Khi
0
x
+
→
ta có:
2
(1 cos ) ~
2
x
x−
, là VCB bậc cao hơn
x x
khi
0x →
Khi
0
x
+
→
thì
1/2
1
( ) ~ ~
x
f x
x
x x
, mà
1
1/2
0
1
dx
x
h i t do ộ ụ (
1
1
2
=
)
1
I
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
+) Xét
2
.I
Với
1x
, ta có:
(1 cos ) 0
0 arctan
2
x x x x x
x
+ −
3/2
2 2
0 ( ) , 1f x x
x
x x
=
, mà
3/2
1
2
dx
x
+
h i t (do ộ ụ
3
1
2
=
)
2
I
h i t theo tiêu chu n so sánh. Vộ ụ ẩ ậy
1 2
,I I
h i t ộ ụ
I
h i t . ộ ụ
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
53
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính gi i hớ ạn
1
0
lim(cos sin )
x
x
x x
→
−
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm ti m cân xiên c hàm s ệ ủa đồ thị ố
arctany x x=
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
4
4
0
tan dx x
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
( )
1
2
0
ln 1 dx x x− +
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm sự ị ủ ố
2 2
4( )z y x y x= − − −
.
Câu 6 (2 điểm). Cho hàm s ố
2
arctan , 0,
( , )
0, 0.
y
x x
f x y
x
x
=
=
a) Xét tính liên t c cụ ủa
( , )f x y
tại điểm
(0,1)B
.
b) Tính
(0,1)
x
f
.
Câu 7 (1 điểm). Cho
0 ,
2
x y
. Ch ng minh ứ
cot cot
cot
2 2
x y x y+ +
.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân
2
2
sin
d
1 2
x
x x
x
−
+
.
Câu 9 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
0
arctan d
sin
x x
x x x x
+
+ −
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
54
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Lời gi chi tiải ết tham kh sảo đề ố 3
Câu 1.
1
0
1
lim(cos sin )
x
x
x x
e
→
− =
.
Câu 2.
( )
lim lim arctan
2
x x
y x
x a
x
→+ →+
= = =
arctan
2
lim lim arctan lim
1
2 2
x x x
x
b y x x x
x
→+ →+ →+
−
= − = − =
2
2
1
1
lim 1
1
x
x
x
→+
+
= = −
−
1
2
y x
= −
là ti m c n xiên bên ph ệ ậ ải.
Tương tự ta tìm đượ c
1
2
y x
−
= −
là ti m c n xiên bên trái. ệ ậ
Câu 3.
( ) ( )
/4 / 4
4 2 2 2
0 0
tan d tan 1 tan 1 tan 1 dx x x x x x
= + − + +
/4
3
0
tan 2
tan .
3 4 3
x
x x
= − + = −
Câu 4.
( )
1
2
0
ln 1 d 2
3
x x x
− + = −
Câu 5. Hàm s t c c tr t i duy nhố đạ ự ị ạ ất điểm
( 2, 2)M −
i), (cực đạ
max
( 2,2) 8z z= − =
.
Câu 6. a)
( , )f x y
liên t c tụ ại
(0,1)B
.
b)
(0,1)
2
x
f
=
Câu 7. Tương tự đề trên.
Câu 8. I = 1
Câu 9.
0
arctan d
sin
x x
x x x x
+
+ −
h i tộ ụ.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
55
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm
a
hàm s sau liên t c tđể ố ụ ại điểm
1x =
:
3
, khi 1
( )
arccos , khi 0 1
a x x
f x
x x
−
=
Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm c c a hàm s ngượ ủ ố
2 2
x x
y
−
= −
Câu 3 (1 m). điể Cho hai hàm f(x)=
3
x
, g(x)=
2
x
,
1 3x−
. Tìm s ố
( 1,3)c −
sao cho
( ) (3) ( 1)
( ) (3) ( 1)
f c f f
g c g g
− −
=
− −
. Điề ới địu này có mâu thuẫn v nh lý Cauchy hay không?
Giải thích?
Câu 4 (1 m). điể Cho hai hàm s ố
( ), ( ) :f x g x
tho mãn ả
( ) ( )f x g x
v i mớ ọi
x
. Ch ng ứ
minh r ng nằ ếu
( )f x
là hàm đơn điệu tăng thì
( ( )) ( ( ))f f x g g x
.
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân
( )
2
0
3 1
d
( 1) 1
x
x
x x
+
+
+ +
.
Câu 6 (1 m). điể Tính gi i hớ ạn
3
0
1 1 2sin
lim ln
1 sin 2
x
x
x x
→
+
+
.
Câu 7 (1 m). điể Tính độ dài cung
ln(cos ),0
3
y x x
=
.
Câu 8 (1 điểm). Tìm ti m c n xiên c ng cong ệ ậ ủa đườ
3
3
2
1
1
t
x
t
t
y
t
=
−
=
−
.
Câu 9 (1 điểm). Tính gi i h ớ ạn:
2 2 2 2 2
1 1 2 1
lim
1
4 1 4 2 4 ( 1)
n
n
n
n n n n
→
−
+ ++
+
+ + + −
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm f(x) l i, kh n [a, b]. Ch ng minh r ng: ồ ả tích trên đoạ ứ ằ
1 ( ) ( )
( )d
2
b
a
f a f b
f x x
b a
+
−
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
56
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1. Ta có:
(1) arccos1 0f = =
.
3 3
1 1 1 1
lim ( ) lim 1, lim ( ) lim arccos arccos1 0
x x x x
f x a x a f x x
+ + − −
→ → → →
= − = − = = =
+)
( )f x
liên t c tụ ại
3
1 1
1 lim ( ) lim ( ) (1) 1 0 1
x x
x f x f x f a a
+ −
→ →
= = = − = =
Vậy
1a =
là giá tr c n tìm. ị ầ
Câu 2. Với
x
, xét phương trình
( )
2
2 2 2 2 1
x x x x
y y
−
= − = −
( )
2
2
2
4
| |
2 0 ( )
2 2
2 2 1 0
4
| |
2 0 ( )
2 2
x
x x
x
y y
y y
L
y
y y
y y
TM
− +
−
= =
− − =
+ +
+
= =
2
2
4
log 0
2
y y
x
+ +
= =
1
( )f y
−
=
c c a hàm s Hàm ngượ ủ ố đã cho là
2
1
2
4
( ) log ,
2
x x
f x x
−
+ +
=
.
Câu 3. Ta có:
2
( ) 3 , ( ) 2 , ( 3,1)f x x g x x x
= = −
Do đó:
2 3 3
2
( ) ( 3) (1) 3 ( 3) 1 7
( 3,1)
( ) ( 3) (1) 2 ( 3) 1 3
f c f f c
c
g c g g c
− − − − −
= = = −
− − − −
.
Như vậy tồn tại hằng số
c
tho ng thđể ả mãn đẳ ức
( ) ( 3) (1)
( ) ( 3) (1)
f c f f
g c g g
− −
=
− −
, điều này không mâu
thuẫn v nh lý Cauchy. ới đị
Thật v nh lý Cauchy áp d ng cho ậy, đị ụ
( ) 0, ( , )g x x a b
. Bài này ta có
(0) 0
g
=
, với
0 ( 3,1) −
thế nên bài này không thoả u ki nh lý Cauchy mãn điề ện đị
→
bài này không nằm
trong vùng áp d nh lý Cauchy, không mâu thu ụng đị ẫn.
Câu 4. Vì
f
là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra
( ) ( )f x g x
( ( )) ( ( ))f f x f g x
. L i có ạ
( ( )) ( ( ))f g x g g x
(vì
( ) ( )f y g y
)
đpcm.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
57
Câu 5.
( )
2 2
2
0 0
3 1 2 1
d d
1 1 1
( 1) 1
x x
x x
x x x
x x
+ +
+
= + −
+ + +
+ +
( )
2
2 2
0
0
2 1 1
lim d lim ln 1 2 arctan ln | 1|
1 1 1 2
A
A
A A
x
x x x x
x x x
→+ →+
= + − = + + − +
+ + +
( )
2
2
1 1
lim ln 1 2arctan ln | 1| lim ln 2arctan
2
A A
A
A A A A
A
→+ →+
+
= + + − + = +
ln1 2
2
= + =
Câu 6.
VCB
3 3
0 0 0
1 1 2sin 1 1 2sin 1 2sin
lim ln lim 1 do lim 1
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2
x x x
x x x
L
x x x x x
→ → →
+ + +
= = − =
+ + +
( ) ( )
( )
3 3
3 3
3 3
0 0
3 3
3
3 3
0 0 0
(2 )
2 2
3! 3!
1 2sin sin 2 1
lim lim
1 sin 2 1 sin 2
1 1 1 1
lim lim lim 1.
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 0
x x
x x x
x x
x o x x o x
x x
x x x x
x o x
x
x x x x x
→ →
→ → →
− + − − +
−
= =
+ +
+
= = = = =
+ + + +
Vậy L=1.
Câu 7. Ta có:
sin
( ) , 0,
cos 3
x
y x x
x
−
=
. Độ dài cung cần tính là:
( )
2
2
3 3 3
2
0 0 0
sin 1 1
( ) d 1 d d d do cos 0, 0,
cos cos cos 3
x
y x x x x x x x
x x x
−
+ = + = =
3 3 2
2 2
0 0 0
cos d d(sin ) (sin )
d(sin )
cos 1 sin (sin 1)(sin 1)
x x x d x
x
x x x x
−
= = =
− − +
3
0
sin 1
ln ln(2 3)
2 sin 1
1 x
x
−
= = +
+
−
(đvđd).
Vậy độ dài cung c n tính là ầ
ln(2 3)
+
(đvđd).
Câu 8.
−
Khi 𝑡→±∞ lim 𝑥 =lim thì
𝑡→±∞ 𝑡→±∞
𝑡
3
1−𝑡
3
=−1⇒ ng h p này không có ti m c n xiên.trườ ợ ệ ậ
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
58
- Khi
0
t t→
, với
0
1t
thì
0
3
0
3
0
lim
1
t t
t
x
t
→
=
−
h u hữ ạn
ng h p này không có ti m c n Xiên. trườ ợ ệ ậ
- Khi
1t →
thì
x → 
. Ta có:
2 3 2
3
1 1 1
1 1
lim lim lim 3
1
t t t
y t t t t
a
x t t t
→ → →
− + +
= = = =
−
( )
( )
2 2 3
2 3
3
2
1 1 1 1
1 3
3
lim( ) lim( 3 ) lim lim
1 1
(1 ) 1
t t t t
t t t t
t t
b y ax y x
t t
t t t
→ → → →
+ + −
= − = − = − =
− −
− + +
( )
2 2 2
2
2
1 1
(1 ) (1 )
lim lim 0
1
(1 ) 1
t t
t t t t
t t
t t t
→ →
− −
= = =
+ +
− + +
3y x =
là ti m c n xiên c ệ ậ ủa đường cong đã cho.
Câu 9. Giới h c vi t lạn đã cho đượ ế ại là:
𝐿 = lim
𝑛→+∞
1
𝑛 + 1
∑
𝑛−1
𝑘=1
𝑘
√
4𝑛 + 𝑘
2 2
= lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛 + 1
⋅
1
𝑛
∑
𝑛−1
𝑘=1
𝑘
√4𝑛 + 𝑘
2 2
= lim
𝑛→+∞
𝑛
𝑛 + 1
⋅
1
𝑛
∑
𝑛−1
𝑘=0
𝑘
√
4𝑛 + 𝑘
2 2
( vì với 𝑘=0thì
𝑘
√
4𝑛 + 𝑘
2 2
=0)
Xét gi i h ớ ạn:
𝐾 = lim
𝑛→+∞
1
𝑛
∑
𝑛−1
𝑘=0
𝑘
√
4𝑛 + 𝑘
2 2
= lim
𝑛→+∞
1
𝑛
∑
𝑛−1
𝑘=0
𝑘
𝑛
√
4 + (
𝑘
𝑛
)
2
=∫
1
0
𝑓(𝑥)d𝑥 (với 𝑓(𝑥)=
𝑥
√
4 + 𝑥
2
liên tục, khả tích trên [0,1] )
( )
1
1
2
20
0
d 4 5 2
4
x
x x
x
= = + = −
+
1
2 2
0
1
lim lim 1 ( 5 2) 5 2.
1
4
n
n n
k
n k
L
n n
n k
−
→+ →+
=
= = − = −
+
+
Câu 10. V i mớ ỗi
[ , ]x a b
, luôn t n t i duy nhồ ạ ất
[0,1]t
sao cho:
(1 )x ta t b= + −
.
Do đó có thể đổi biến
(1 ) d ( )dx ta t b x a b t= + − = −
.
Đổi cận:
- Khi
x a=
thì
1t =
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
59
- Khi
x b=
thì
0t =
.
Lúc này:
0 1
1 0
1 1
( )d ( (1 ) ) ( )d ( (1 ) )d .
b
a
f x x f ta t b a b t f ta t b t
b a b a
= + − − = + −
− −
Áp d ng tính ch t hàm l i: ụ ấ ồ
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), [0,1]f ta t b tf a t f b t+ − + −
.
⇒ ∫
0
1
𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏)d𝑡 ≤∫
0
1
[ (𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)]d𝑡𝑡𝑓
=
𝑡
2
2
|
0
1
𝑓(𝑎) + 𝑡 −
(
𝑡
2
2
)|
0
1
𝑓(𝑏) =
1
2
𝑓(𝑎) +
1
2
𝑓(𝑏).
Suy ra điều phải chứng minh.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
60
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm
a
hàm s sau liên t c tđể ố ụ ại điểm
1x =
:
3
, khi 1
( )
arccos , khi 0 1
a x x
f x
x x
+
=
Câu 2 (1 điểm). c c a hàm s Tìm hàm ngượ ủ ố
3 3 .
x x
y
−
= −
Câu 3 (1 điểm). Cho hàm s ố
3 2
( ) , ( ) , 3 1f x x g x x x= = −
. Tìm s ố
( 3,1)c −
sao cho
( ) ( 3) (1)
( ) ( 3) (1)
f c f f
g c g g
− −
=
− −
. Điề ới địu này có mâu thuẫn v nh lý Cauchy hay không? Giải thích?
Câu 4 (1 m). điể Cho hai hàm s ố
( ), ( ) :f x g x
tho mãn ả
( ) ( )f x g x
v i mớ ọi
x
. Ch ng ứ
minh r ng nằ ếu
( )g x
là hàm đơn điệu tăng thì
( ( )) ( ( ))f f x g g x
.
Câu 5 (1 m). điể Tính tích phân
( )
2
0
3
( 1) 1
x
dx
x x
+
+
+ +
.
Câu 6 (1 m). điể Tính gi i hớ ạn
3
0
1 1 2sin
lim ln
1 sin 2
x
x
x x
→
−
−
.
Câu 7 (1 m). điể Tính độ dài cung
ln(sin ),
6 2
y x x
=
.
Câu 4 (1 m). điể Tìm ti m c n xiên c ng cong ệ ậ ủa đườ
2
3
3
1
3
1
t
x
t
t
y
t
=
−
=
−
.
Câu 9 (1 m). điể Tính gi i h ớ ạn:
2 2 2 2 2
1 1 2 1
lim
1
4 1 4 2 4 ( 1)
n
n
n
n n n n
→
−
+ ++
+
− − − −
Câu 4 (1 m). điể Cho hàm f(x) lõm, kh n [a, b]. Ch ng minh r ng: ả tích trên đoạ ứ ằ
1 ( ) ( )
( )d
2
b
a
f a f b
f x x
b a
+
−
Lời gi i tham kh sả ảo đề ố 5
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
61
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
2
d
3 2
x
x
x x+ +
.
Câu 2 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
31
d
1 1
x
x x x
− + + +
.
Câu 3 (1 điểm). Tính th tích v t tròn xoay t o b i elip: ể ậ ạ ở
2 2
1
4 9
x y
+ =
quay quanh trục
Ox
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
2
0
cos cos 4
lim
x
x x
x
→
−
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân lo n c a hàm s ại điểm gián đoạ ủ ố
3 2
2 2
x
y
x x x
=
− + −
.
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm s ố
3 2 2 2
3 2z x y x y xy= + − +
. Tính
d (1,1)z
.
Câu 7 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
( )(2 3 );z xy x y x y
= + − − +
là tham s ố thực.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
( )d d
D
x y x y
+
, với
2 2
1 4
:
3
x y
D
x y x
+
Câu 9 (1 điểm). T n t i hay không hàm ồ ạ
f
sao cho:
(1) (1), (0) 0 và ( ) 0, ( 2, 2)f f f f x x

= − = −
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số:
( ) ( ) ( )
2018 2019
2 2 2 2 2 2
sin 100z x x y x y x y
= − + − + −
.
Chứng minh
2
z z
x xy zy
y x
+ =
.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
62
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1.
2
2 1
d d d
3 2 ( 1)( 2) 2 1
x x
x x x
x x x x x x
= = −
+ + + + + +
2ln | 2 | ln | 1|x x C= + − + +
Câu 2.
3
1
( ) 0, 1
1 1
f x x
x x x
=
− + + +
.
Điểm b ng cất thườ ủa tích phân suy rộng là
+
. Ta có:
3/2
3 3
1 1 1
~
1 1
x
x
x x x x
→+
=
− + + +
, mà
3/2
1
dx
x
+
h i t (do ộ ụ
3
1
2
=
)
31
d
1 1
x
x x x
− + + +
h i t theo tiêu chu n so sánh. ộ ụ ẩ
Câu 3.
Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với 𝑦≥0 ) thì s c vẽ thu đượ ật
thể ề a trên cđã cho. Nử ủa elip là mi n giới hạn bởi:
𝑦=
3
2
√
4 − 𝑥
2
,𝑦=0,𝑥= −2,𝑥=2.
Quay mi n này quanh tr c v t th có th tích là: ề ục O𝑥ta thu đượ ậ ể ể
𝑉 =𝜋 ∫
2
−2
(
3
2
√
4 − 𝑥
2
)
2
d𝑥=
9
4
∫
2
−2
(
4 − 𝑥
2
)
d𝑥=
9
4
(4𝑥 −
𝑥
3
3
)|
−2
2
=
24𝜋(dvtt)
Câu 4.
2
0 0
cos cos 4 sin 4sin 4
lim lim
2
x x
x x x x
L
x x
→ →
− − +
= =
(
dạng
0
0
− 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙)
0
cos 16cos 4 cos 0 16cos 0 15
lim .
2 2 2
x
x x
→
− + − +
= = =
Vậy gi i h n c n tính b ng ớ ạ ầ ằ
15
2
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
63
Câu 5.
( )
3 2
2
2 2
( 2) 1
x x
y
x x x
x x
= =
− + −
− +
.
Tập xác định:
2x= =D
n c a hàm s . là điểm gián đoạ ủ ố
2 2
2 2 2 2
1 1 2
lim lim do lim , lim 0
2 1 2 1 5
x x x x
x x
y
x x x x
+ + + +
→ → → →
= = + = + =
− + − +
2x
=
n lo i 2 c a hàm s . là điểm gián đoạ ạ ủ ố
Câu 6.
2 2 2
3 2
3 2 3 (1,1) 2
2 2 3 (1,1) 1
d (1,1) (1,1)d (1,1)d 2 d d
x x
y y
x y
z x y xy y z
z x y x y x z
z z x z y x y
= + − =
= + − =
= + = +
Câu 7.
Tìm điểm dừng:
0
4 4 2 0
4 6 3 0
2
x
y
x
z y x
z x y
y
=
= − − + =
= − − + =
=
0,
2
M
m d ng duy nh t c a hàm s . là điể ừ ấ ủ ố
2
8 0
4, 4, 6
4 0
xx xy yy
B AC
A z B z C z
A
  
− = −
= = − = = − = = −
= −
hàm s t c i tố đạ ực đạ ại
0,
2
M
, giá tr cị ực đại
2
CÐ
3
4
z
=
.
Câu 8.
Đổ ếi bi n
cos
| |
sin
x r
J r
y r
=
=
=
.
Miền
D
thành trở
1 2
4 3
r
Tích phân c n tính là: ầ
/3 2 /3 2
2
/4 1 / 4 1
( )d d d ( cos sin ) d d (cos sin ) d
D
I x y x y r r r r r r
= + = + = +

Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
64
3
/3 /3
/4 /4
2
/3
/4
1
7 7
(cos sin ) d (cos sin )d (sin cos )
3 3 3
r
r
r
=
=
=
=
= + = + = −
7
( 3 1)
6
= −
.
Câu 9. Giả s t n t i hàm ử ồ ạ
( )f x
tho mãn bài. ả đề
Vì
f
vi t i c p 2 trên (-2,2) khả ớ ấ
f
khả vi trên (-2,2), liên t c trên [-2,2]. ụ
Áp d nh lý Lagrange cho ụng đị
( )f x
trên [0,1]:
Tồn tại
(0,1)
sao cho
(1) (0)
( ) (1)
1 0
f f
f f
−
= =
−
(vì
(0) 0f =
)
Tương tự ụng đị, áp d nh lý Lagrange cho hàm
( )f x
liên t c trên ụ
[ 1,0]−
, kh vi trên ả
( 1,0)−
ta
có: T n tồ ại
( 1, 0)
−
sao cho
(0) ( 1)
( ) ( 1) (1)
0 ( 1)
f f
f f f
− −
= = − − =
− −
Như vậy, tồn tại
, ( 2,2),
−
sao cho
( ) ( )f f
=
, điều này mâu thuẫn với giả thiết
( ) 0, ( 2,2)f x x
−
không t n t i hàm ồ ạ
f
tho bài. ả mãn đề
Câu 10.
Đặt 𝑢=𝑥 − 𝑦
2 2
. và 𝑓(𝑢)=sin 𝑢 + 𝑢
2018
+ 100𝑢
2019
Ta có: . 𝑧= (𝑢)𝑥𝑓
∂𝑧
∂𝑥
=𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓
′
(𝑢) ⋅
∂𝑢
∂𝑥
=𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓
′
(𝑢)⋅ 2𝑥 =𝑓(𝑢)+ 2𝑥
2
𝑓
′
(𝑢)
∂𝑧
∂𝑦
=𝑥𝑓
′
(𝑢) ⋅
∂𝑢
∂𝑦
=𝑥𝑓
′
(𝑢) ⋅ (−2𝑦)=−2 (𝑢)𝑥𝑦𝑓
′
⇒𝑥
2
∂𝑧
∂𝑦
+ 𝑥𝑦
∂𝑧
∂𝑥
=−2𝑥
3
𝑦𝑓
′
(𝑢)+ 𝑥𝑦𝑓(𝑢) + 2𝑥
3
𝑦𝑓
′
(𝑢)= (𝑢)⋅ 𝑦= .𝑥𝑓 𝑧𝑦
⇒ đpcm.
Bộ đề thi cuối k môn Gi i tích 1 - HUST ỳ ả
Tài li c chia s n phí t i website ệu đượ ẻ miễ ạ Tailieuhust.com
65
ĐỀ Ả – ĐỀ CUỐI KỲ GI I TÍCH 1 20181 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 m). điể Tính
2
d
5 6
x
x
x x+ +
.
Câu 2 (1 điểm). Xét s h i t , phân k c a tích phân suy r ng: ự ộ ụ ỳ ủ ộ
31
d
1 1
x
x x x
+ + + +
.
Câu 3 (1 điểm). Tính th tích v t tròn xoay t o b i elip: ể ậ ạ ở
2 2
1
9 4
x y
+ =
quay quanh trục
Ox
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
2
0
cos 4 cos
lim
x
x x
x
→
−
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân lo n c a hàm s ại điểm gián đoạ ủ ố
3 2
2 2
x
y
x x x
=
+ + +
.
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm s ố
2 3 2 2
3 2z x y x y xy= + − +
. Tính
d (1,1)z
.
Câu 7 (1 điểm). Tìm c c tr c a hàm s ự ị ủ ố
( )(2 3 );z xy x y x y
= + − − +
là tham s ố thực.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
( )d d
D
x y x y+
, vói
2 2
1 4
:
3
x y
D
x
y x
+
Câu 9 (1 điểm). Tồn t i hay không hàm ạ
f
sao cho:
(1) (1), (0) 0 và ( ) 0, ( 2, 2)f f f f x x

= − = −
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm s ố
( ) ( ) ( )
2018 2019
2 2 2 2 2 2
sin 100z x x y x y x y
= − + − + −
.
Chứng minh
2
z z
x xy zy
y x
+ =
.
Lời gi i tham kh sả ảo đề ố 7
| 1/65
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1  ln(1 + x) x  a) lim   . x 0 →  x  3 b) x y lim . 6 2 ( , x ) y ( → 0,0) 2x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 2,02 + 3,04 + 3 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng cos x  1− , x   0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 3x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. −1 Câu 5   (1 điểm). Tính 2 2
  2x−3 + 1− x dx.  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 3
f (x) = x + x c là có hàm ngượ
y = g (x) . Tính g (2) . 2 2
z z 3 zCâu 7 (1 điể 1 m). Tính P = + +  với z = . 2 2 xyy y  (x + y )3 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình c u vói t ầ ốc độ 3 100 cm / s . Tính tốc độ a bán kính qu tăng lên củ
ả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50 cm. 
Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx  . 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)  ln(1+ x )  1 ln   x   + Câu 1: ln(1 x) xL = lim =lim x e .   x 0 → x 0  x →   ln(1+ x)    ln(1+ x)   ln ln 1+ − 1      Xét giới hạn  x    x  K = lim = lim x 0 → x 0 x → x  ln(1 + x)  x→0   + x    + )  Vì lim −1 = 1−1 = 0 ln(1 ) ln(1 x   , nên ln 1+ − 1 ~ − 1     . x→ 0  x    x   x  ln(1 + ) x −1 1 − 2 x + o( 2 x ) ln(1 + x) − x  = lim x K (VC ) B = lim = 2 lim (Khai triển Maclaurin) 2 x→ 0 x→ 0 x x 2 x→ 0 x −1 2 x −1 2 = lim = 2 x 0 → x 2
 Giới hạn đã cho bằng K 1/2 L e e− = = . 3 b) x y f ( , x y) = , (  , x y)  0. 6 2 2x + 3y +) Chọn M ( 3 , a a
. Khi a → 0 thì M ( 3 a, a → (0,0) . 1 ) 1 ) a a 1
Ta có: f (M )= f (a,a ) 3 3 3 = = 1 6 6 2a + 3a 5  f ( 1 M → khi M → (0,0) (1) 1 ) 1 5 +) Chọn M ( 3 − ,
b b . Khi b → 0 thì M ( 3 − , b b → (0,0). 2 ) 2 ) (− ) b b 1 −
Ta có: f (M )= f (−b,b ) 3 3 3 = = 2 6 6 2(−b ) + 3b 5 −  f ( 1 M → khi M → (0,0) (2) 2 ) 2 5 3 x y
Từ (1) và (2)  f (x, y) không cùng tiến tới một giá trị khi (x, y) → (0,0)  lim 6 2
(x,y )→(0,0) 2x + 3y không tồn tại.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số 2 2 f ( , x ) y =
x + y + 3 . Ta có: x y x  = 2, x  = 0,02 f (  , x ) y , f  = ( , x ) y = . Chọn 0 . x y  2 2 2 2 x + y +3 x + y +3 y = 3, y  =  0,04 0
Áp dụng công thức tính g ần đúng: 2 2   A =
2,02 + 3,04 + 3 = f ( x +  ,
x y + y f x , y + f
x , y  x + f
x , y  y 0 0 ) ( 0 0) x ( 0 0) y ( 0 0 )   1 3 = f (2,3) + f  + f  = +  +  = x (2, 3) 0, 02 y (2, 3) 0, 04 4 0,02 0, 04 4,04 2 4 Vậy A  4,04 . 2 2 x x
Câu 3. Chứng minh: cosx  1− , x   0 cosx + − 1 0, x   0. 2 2 2 x Xét  
f (x) = cos x +
−1 trên [0;+). Ta có: f (x) = −sin x + ,
x f (x) = − cos x +1 0, x   0 2 f (  x) ng bi đồ ến trên [0; ) f (x) f  +   (0) = 0, x   0 f (  x) ng bi đồ ến trên [0;+ )
  f (x)  f (0) = 0, x   0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình ph ng gi ẳ ới hạn bởi các đường 2 y = x − 3 ,
x y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là: 3 V = 2 x
 ( 2x −3x)dx =2 x  ( 2
3x − x )dx (vì 0 2
x − 3x  0, x  [0,3]) 3 4 3  x  27 = 2  ( 2 3 3x − x ) 3 dx = 2 x −   = (đvtt) 0  4  2 0
Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2
2x − 3  0  x
 1− x  0  1− x = x −1 , do đó: 2 −1 −     2 2
I =   2x − 3 + 1− x d
x =   2x − 3 + ( 2 x − 1) 12 d  x     1 1 3 = 2x − 3 dx + dx = (2x − 3) + ln   ( 2
x + x − 1 + C 2 ) − 3 x 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST  Câu 6. Ta có: 2 f (x) =3x 1 + . Với 3
y = 2  x + x = 2  x =1. 0 0 0 0  1 1 1
Vì y = g(x) c c là hàm ngượ ủa 3
f (x) = x + x nên: g ( y ) = = = . 0 f  ( x f (1) 4 0 ) Vậy 1 g  (2) = . 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là y  0 . 2 2 2  z 12x − 3y
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z(x, y) nên: = . 2  x (x + y )7 2 2 2 2 2 2 2 2  z z 3 z
12x − 3y + 12 y − 3x 3 −3y P = + +  = +  2 2 xy y y ( + )7 y x y ( x + y )5 2 2 2 2 9 9 = − = 0,y  0. (x + y )5 (x +y )5 2 2 2 2
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t( s) là V t ( 3 ( ) cm ) .
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 3 V   t = ( 3 100 cm / s ( ) 100 cm / s) .
Tại thời điểm t nào đó, R (t = 50( cm) . 0 ) 0 4   Ta có: 3 =   V (t) = ( ( R t)) . Lấy ạ
đ o hàm hai vế theo t , ta có: 2
V (t) 4 (R(t)) R (t) 3
Tại t =t , ta có: V (t ) = 4 R  (t ) 2  R   (t ) 2
100 = 4 (50) R t 0 0 0 0 ( 0 )   R ( 100 1 t = = (cm / s). 0 ) 2 4  (50) 100
 Khi bán kính quà bóng bằng 50 cm, tốc độ a bán kính qu tăng lên củ ả bóng khi bán kính là 1 (cm / s) . 100  /2 Câu 9. I = cot x dx  . 0  /2  /2    /2 sin x cos x sin x +cos x Xét L =
( tan x + cot x)dx =  + d  x = dx    . 0 0   0  cos x sin x  sin x cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Đặt t = sin x − cos x  dt = (cos x + sin x)dx . 2 − t 2 2 1
t = (sin x −cos ) x 1
= −2sin xcos x sin xcos x = . 2 Đổi cận: - Khi  x 0+ → thì t → 1
− ; Khi x → thì t →1 2 1 dt 0 2 1 2 L = = dt + dt    −1 2 −1 2 0 2 1− t 1− t 1 − t 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt   + A ( → −1) A 2 B 1− 0 2 1− t → 1− t 0 B
= lim ( 2 arcsin )t + lim( 2 arcsin )t + − A→(−1) B 1 → A 0  −  = lim (− 2 arcsin ) A + lim ( 2 arcsin ) B = − 2  + 2  =  2 A ( 1)+ B 1− → − → 2 2  /2    Giờ xét cot x dx  , với f ( )
x = cot x  0 liên tục trên 0, .  0 2    + + x 0 → x 0 cos x 1 → 1 1 cot x = ~ ~ = , 1/2 sinx sinx x x  /2 1 mà  /2 1 dx  hội tụ (vì   = (0,1)  cot x dx   hội tụ. 1/ 2 0 x 0 2  Đổi biến   t = − x x = − t , ta có: 2 2  /2 0    /2  /2  cot x dx = cot − t (−dt) = tan t dt =     tan x d . x   0 /2 0 0  2   /2  /2 1 1   cot x dx =
( tan x + cot x )dx = L = .   0 0 2 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 x x  −  a) e 1 lim  . x→ 0 x   4 b) xy lim 2 8
( x, y)→(0,0) 4x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 4,03 + 2, 02 + 5 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng x e  1+ x + , x   0. 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn b ng ởi các đườ 2
y = x − 4x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −  
Câu 5 (1 điểm). Tính 2 2   4
− −3x + 1− x dx .  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 5
f (x) = x + x c là có hàm ngượ
y = g (x) . Tính g (2) . 2 2
z z 5 zCâu 7 1
(1 điểm). Tính P = + +  với z = . 2 2 xyy y (x +y )5 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình c u v ầ ới tốe độ 3 200 cm / s . Tính tốc độ a bán kính qu tăng lên củ
ả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60 cm. 
Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx  . 0
Cách giải tham kh s ảo đề ố 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) x −  lim . x  → sin x 2 2y ln b) x lim . 2 2
(x,y )→ (1,0) ( x− 1) + y
Câu 2 (1 điểm). Phương trình 3 2 5
x + 3x y + y − 5 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) .  2x
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arctan , x  1   . 2   1− x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2x) đến 3 x . Câu 5 x
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố y = . x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2 ) x dx  . b) + dx  . x + ( 2 0 ( 3) x − x+1)
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 3 2 x +
y = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 3 3 2
z = x + y − (x + y) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x − 1 1 lim = lim = = 1
− . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) x → sin x x → cos x cos  Vậy x −  lim = −1 . x  → sin x 2 2y ln x b) Đặt f ( , x y) = 2 2 (x 1 − ) + y 2 2 y ln1
+) Nếu x =1 và y → 0 thì f ( , x ) y =
= 0 → 0 khi y → 0 . (1) 2 2 0 + y
+) Nếu x 1 và (x, y) → (1,0) thì: 2 2 2y ln x  ln x  2y (x −1) lim = lim    lim 2 2 2 2 (x, y) ( → 1,0) ( x, y) ( → 1,0) (x, y) ( → 1,0) (x 1 − ) + yx 1 −  (x 1 − ) + y x 1  x 1  x 1 Ta có: VCB lnx lnx x − 1 lim = lim = lim = 1 (x ,y )→(1,0) x 1 → x 1 x 1 − x 1 → − x 1 − 2 2 2 2y (x 1 − ) 2 | (x 1 − )y | (x 1 − ) + y 0  = | y | | y | |
= y | , mà lim | y |= 0 2 2 2 2 2 2 (x −1) + y ( x −1) + y (x − 1) + y ( x, y)→(1,0) 2 2 y ( x 1 − ) 2  − lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 y ( x 1)  = 2 2 lim 0
(x,y )→(1,0) (x −1) + y 2 2
(x ,y )→(1,0) ( x  1) + y x 1 x 1 2 2y ln x  lim = 1.0 = 0 (2) 2 2 ( x , y) (
→ 1,0) (x −1) + y x 2 Tù y x (1) và (2) 2 ln  lim = 0 2 2 ( , x ) y (
→ 1,0) (x −1) + y Câu 2. +) Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y − 5 = 0  y + 3y = 4  y =1 y(1) =1. Theo bài ra: 3 2 5 x + 3x y( )
x +[ y(x)] −5 = 0  
+) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 2 2 4
3x + 6xy(x) + 3x y (x) + 5y (x)[ y(x)] = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1 , ta có:   4
3 6y(1) 3y (1) 5y (1)[y(1)] 0
3 6 3y (1) 5y + + + =  + + + (1) = 0 ( do ( y 1) = 1) −  9  y (1) = 8 Vậy 9 − y(1) = 8
Cách giải khác: Đặt 3 2 5
F(x, y) = x + 3x y + y − 5.  − − +  ( , ) x xy F x y x ( 2 3 6 ) Ta có: y ( ) x = = . (*)  2 4 F ( , x ) y 3x + 5 y y Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y −5 = 0  y + 3y = 4  y =1 y(1) = 1. Thay ( − 3 +6) 9 −
x = 1, y = 1 vào (*), ta có: y(1) = = . 3 + 5 8 2( 2 1− x ) 2
− 2x (−2x) 2x + 2 − − +  (1 x )2 (1 x )2 2 2 2( 2 x )1 2 Câu 3. y = = = = , x  1. 2 4 2  2x x + 2x + 1 ( + x + + )2 2 2 x 1 1 1   1− x  (1− x )2 2 2 Vậy  2 y = ,x  1 . 2 x +1 2 3 x x
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: + x = x − + + o(x )3 ln(1 ) . 2 3
Khi x → 0 thì 2x → 0 , thay x bởi 2
x , ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: 2 3 (2 ) x (2 ) x y = ln(1 + 2 ) x = 2 x − + + o( 3 (2 ) x ) 2 8 3
= 2x −2x + x + o( 3x ) 2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là 8 2 3
y = 2 x − 2x + x + o ( 3 x ). 3 Câu 5.
+) Tập xác định D =
Đồ thị hàm số không có tiệm c ng. ận đứ  +) Khi L Hospital x →+ : x 1 lim y = lim = lim = 0 (Dạng vô định) x →+ →+ e +1 x x x x →+ e
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải c ủa đồ thị hàm số.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x x y 1 e 1 + x a = lim = lim = lim
= 1 0 ( vì lim e = 0  Khi x → − không có tiệm cận x →− ) x →− x →− x x x →− 0+ 1 ngang. xxxe x
b = lim ( y − a ) x = lim − x = lim = lim   dạng x x x ( x xe +1 xe + 1 x 1+ e− →− →− →− →−  L'Hospital 1 = lim = 0 ( do lim x e− = + x →− ) x x −e− →−
y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm c ng, và có ận đứ
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là
tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2 ) x 1 − 2 − sin(2 ) x d x 1 − ( d cos(2 ) x ) 1 − ) a tan(2 ) x dx = dx = = = ln | cos 2x | +C     cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2 Vậy 1 − tan(2 ) x dx = ln | cos 2 x | + . C  2 b) + dx A dx = lim   0 ( x +3)( 2 x − x + ) A→+ 0 1 ( x +3)( 2 x − x + ) 1     A 1 1 1 2x 1 − 7 1 lim  d  =  −  +  x  2 2 A →+ 0  13 x + 3 26 x −x +1 26  1  3   x − +      2  4  A  1  2  + ln x − x +1 x − ln |  x 3 | 7 2 2 = lim  − +  arctan  A →+  13 26 26 3 3     2  0 2  ln A − A + 1 ln |  A+ 3 | 7 2 A−1 ln 3 7 = lim  − + arctan − +  A →+  13 26 13 3 3 13 78 3   
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2  1 | A 1| 7 2 A 1 ln 3 7  + − = lim  ln + arctan − +  2 A →+  26 A − A 1 + 13 3 3 13 78 3    1 7  ln 3 7 14 ln 3 = ln1+  − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng − . 39 3 13 2 2 3    3  Câu 7. x y 3 2 3 2 x + y =4   +  1 =  2   2      3  =
Tham số hoá đường cong: ( x t) 8cos t  (0  t  2 ) 3 y  (t) = 8sin t
Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật thể c, khi quay ph thu đượ ần ứng với  0  t  quanh trục Ox. 2 Diện tí ch c c ần tính là:  /2     =  y t  ( ' 2 2 | ( ) |
x (t) )2 + ( y (t) )2 /2 dt = 4 8sin t  ( 2
− 4sin t cos t )2 + (24cost sin t )2 3 2 2 dt 0 0  /2  = 768
sin t sin t cos t  (cos t + sin t ) /2 3 2 2 2 2 4 dt = 768
sin t cost dt  0 0  /2  /2 768 768 4 5 = 768
sin t d(cost ) = sin t = (dvdt) 0 5 5 0
Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: D = Tìm điểm dừng:    x = − y   {    = = 2 x y 0 2 2 2
z = 3x − 2(x + y) = 0  y = x 3x = 0 x         2 2 4
z = 3y − 2(x + y ) = 0
x − x − y =  x = yx = y =  y  3 2 2 0 {   2 3   3x − 4x =    0   4 4 
hàm số có 2 điểm dừng là M  , và M (0,0) . 1   3 3  2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Ta có:   
A = z = 6 x− 2, B = z = 2
− , C = z = 6 y− 2 xx xy yy 2
  = B − AC = 4− (6x −2)(6y − 2).  4 4  - Tại điểm M , , ta có  = −  và  1   32 0 A = 6 0  3 3  −  64 z(x, y) t c
đạ ực tiểu tại M (1,1), z = = . 1 z M CT ( 1 ) 27
- Tại điểm M (0,0) . 2 Xét 3 3 2 z
 = z(0 +  ,x0 + y
 ) − f (0,0) = ( ) x + ( y
 ) −(x + y) Khi x = − y
 → 0 ta có: z = 0, điều này chứng tỏ z (M = z M , với 2 ) ( 3) M ( x
 ,−y) thuộc lân cận của M  hàm số không đạt cực tr t ị ại M 3 2 2  4 4  Vậy hàm số t c
đạ ực trị duy nhất tại m m là ột điể M ,
(cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1    3 3  −64 z = = . CT z (M1 ) 27
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) 2 x −  lim .  x → cosx 2 3 2x ln y b) lim . 2 2
(x,y )→(0,1) x + ( y− 1)
Câu 2 (1điểm). Phương trình 4 3 5
x + 4xy + 3 y − 8 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) .  2x
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin , x    1. 2 1+ x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1−3x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố x y = . 2 x e + 1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3x)dx  . b) + dx  0 ( x + 4) ( 2 x + x +1)
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 3 3 2
z = x + y + (x + y) .
Cách giải tham kh s ảo đề ố 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)  2 1 
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim −  . 2  0 x x→  e −1 x  3  = +
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số x t t
y = f (x) xác định bởi  . Tính  
f (x), f (x) . 2 4 y  = 2t + 3t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 3 y = x(x − 3) .  2  2
Câu 4 (1 điểm). Ch ng minh r ứ
ằng vói mọi x  0 , ta có ln 1+    .  x  2 + x 6 6 6  + ++  Câu 5 1 2
(1 điểm). Tìm giới hạn n lim . 7  n→ n  
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 sin xdx a)  . sin x + cosx
b) 3arccot 3 − x dx  . 2 Câu 7 + (1 điể d
m). Tính tích phân suy rộng x  . x ( 4 1 3x − 2)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
 x arctan 3x, x  0 f (x) =  3 x
ae + bsin , x x  0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2  2 1  2 x x −e 1 + Câu 1. L = lim − = lim  2  x → e 1 − x →  ( 2 0 0 x x x e 1 − )x Dùng VCB: ( → x e − )x 0 2 1
~ 2x cho mẫu số, ta có: 2 VCB 2 x x − e + 1 L = lim (dạng 0 ) x→ 0 2xx 0 L Hospital 2 2 −2 xe L Hospital 2 x 0 − − = 4e 4e lim 0 (dạng ) = lim = = −1. x 0 → 4x 0 x 0 → 4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng −1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: 2  (2x)  2x − 2x + + o  ( 2x) 2x −( 2 x e − )1  2!   L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) → ( 2 0 x x e −1)x x→ 0 2x x 2 2 − x − o( 2 x ) 2 2 − x = lim = lim = −1. 2 2 x 0 → x 0 2x → 2x Câu 2. x = x(t) Ta có công thức: Với
Xác định hàm y = f (x) y = y(t)       y (t) 
y (t )x (t) − y (t)x (t) f ( ) x = và f ( ) x = .  3 x (t)  x  (t)  
Áp dụng công thức trên ta có:  3 +  dy y (t) 4t 12t f ( ) x = = = = 4 .t  2 dx x (t) 1+ 3t 2  d y d  dy  d 1 d 1 4 f ( ) x = = = (4 ) t =  (4 )t = 4 = . 2     2 2 dx dx  dx x ( ) t dt x ( ) t dt 1 +3t 1 +3t Câu 3.
+) Tập xác định: D =
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: −  (  2 x(x 3) ) 2
(x − 3) + 2(x − 3)x x − 3+ 2x y = = =
, x 0, x  3. ( 2 3 x x )2 3 2 4 3 2 x ( x −3) x ( x − − 3) ( 3) $ − +  x 3 2 x y = 0  = 0  x= 1. 3 2 x (x − 3) Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị: - Hàm số t c
đạ ực đại tại điểm 3 x = 1, y = y(1) = 4 . CD - Hàm số t c
đạ ực tiểu tại điểm x = 3, y = y(3) = 0 . CT Câu 4. Xét hàm số 2 2 f ( ) x = ln(1 + ) − trên(0, + ) x 2 + x x + 2 2 2 f ( ) x =ln −
=ln( x +2) −ln x − ( do x  0) x 2+ x 2+ x 2  1 1 2
(x + 2)x − (x + 2) + 2x −4 f ( ) x = − + = =  0,x  0. 2 2 2 x + 2 x (x + 2) x(x + 2) x(2 + x )   2  2  lim f ( ) x = lim ln 1+ − = +    + +  x 0 → x 0 →   x  2 + x   2  2  lim f ( ) x = lim ln 1+ − = ln(1+ 0) − 0 =    0  x →+ x →+   x  2+ x Ta có bảng biến thiên:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x)  0,x  0  2  2  ln 1+ −  0,x    0  x  2+ x  2  2  ln 1+  , x   0   (đpcm)  x  2 + x Câu 5. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 + 2 ++ n  1 1 + 2 ++ n 1  1   2   n   L = lim =   lim  = lim   + ++        7 6 n → n → n n n n → n    n   n   n    6 1 n k  =lim   n→ nn k =1 1 = f (x)d , x  trong đó 6
f (x) = x hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 1 7 1 x 1 6 = x dx = = .  0 7 7 0
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6.     
Giải: sin x + cos x = 2 sin x + 
 . Đặt t = x +  x = t −
 dx = dt . Tích phân cần tính trở  4  4 4 thành: 3 3      1 1  sin t −    sint − cost   4      2 2  I = dt = dt   2 sin t 2 sin t 3 2 2 3 3
1 sin t −3sin t cos t +3sin t cos t −cos t 1   2 2 cos t = dt =
sin t − 3sin t cost + 3cos t − dt    4 sin t 4  sin t  1  1 1  3  3 3  cost  =
− cos 2t − sin 2t + + cos 2t −       ( 2 1 −sin t ) dt  4   2 2  2  2 2  sin t  1  3 cost  =
2 + cos 2t − sin 2t −
+cos tsin t dt   4  2 sint
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1  cos t  1  1 1  =
2 + cos 2t −sin 2t − d t =
2t + sin 2t + cos 2t −ln | sin t | + C     4  sin t  2 2  2 2   Thay t = x + 4 3 sin xdx 1   1    1        =   2x+ + sin 2x+ + cos 2x+ − ln sin x + + C        sin x + cos x 4 2 2   2  2  2   4   x
cos(2x) −sin(2x) 1    = + − ln sin x + + C   1 2 8 4  4  b) Xét nguyên hàm
arccot 3 − x dx = arccot 3− x d(x − 4)  
= (x − 4)arccot 3− x − (x − 4)d(arccot 3− x)  −1 −1
= (x− 4)arccot 3− x − (x− 4)  dx  2 1 +( 3 − x) 2 3 − x −1
= (x− 4)arccot 3− x −
dx = (x− 4) arccot 3− x − 3− x + C.  2 3 − x 3 3  −   − 
 arccot 3 − x dx =[(x − 4)arccot 3 − x − 3 − x] = − −1 =1    2 2 2  2  Câu 7. 1 f ( ) x =
là hàm dương và liên tục trên [1, +) . x( 4 3 x −2) + dx  
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + x ( 4 1 3x − ) 2 1 x →+ 1 1 = , mà + 1 dx  hội tụ (do  = 5 1) x( ~ 4 3 x − 2) 4 5 x 3x 3x 5 1 3 x + dx  
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 x ( 4 3x − ) 2
Câu 8. Tham số hoá đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1: x = cost  (0  t  2 ). y = 2 + sin t
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox là: 2    2 |   = y(t) | 
(x (t))2 +(y (t))2 2 2 2 dt = 2
|2 + sin t | (−sin t) + (cost) dt  0 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 2 = 2
(2+ sin t)dt ( vì 2 + sin t  0) = 2 (2t + cos t) = 8 ( dvdt )  0 0 Câu 9.
Để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 thì điều kiện cần là f (x) liên tục tại x = 0 , tức là: lim f ( ) x = lim f ( )
x = f (0)  lim (
x arctan 3 x) = lim ( 3 x
ae + bsin x = + − + − ) 0 x →0 x →0 x →0 x →0 0
 0 = ae + b sin 0 = 0  a = 0.
 x arctan 3x , x  0,
Với a = 0 thì f ( ) x =   s b in , x x  0 f ( ) x − f (0)
x arctan 3 x −0 x arctan 3 x x  3 x lim = lim = lim = lim = lim 3 = 3. + + + + + x →0 − x x 0 → x x →0 x x 0 → x x 0 0 → f ( ) x − f (0) bsin x −0 sin x lim = lim = b lim = b.1= b − − − x →0 − x →0 x →0 x 0 x xa = 0 a  = 0  
f (x) khả vi tại x = 0   f ( ) x − f (0) f ( )
x − f (0)   lim = lim   3 = b + − x 0 →  − x 0 x 0 → x − 0
Vạy (a,b) = (0, 3).
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 21
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)  1 3 
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim −  . 3  0 x x→  x e − 1 3  = + Câu 2 x 3
(1 điểm) Cho hàm số t t
y = f (x) xác định bởi  . Tính  
f (x), f (x) . 5 y  = 5t −t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 3 y = x (x − 3) .  x + 1 2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi x 1 , ta có ln    .
x − 1 x − 1 5 5 5  + ++  Câu 5 1 2
(1 điểm). Tìm giới hạn n lim . 6  n→ n  
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 cos x dx a)  . sin x + cosx b) 2 arctan 3− xdx  . 1 Câu 7 + (1 điể d
m). Tính tích phân suy rộng x  . x ( 4 1 2 x −1)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y + 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:  x sin 3x, x  0 f ( x) = 
a2x +barctan , x x  0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Lời giải tham kh s ảo đề ố 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 22
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điể x − x m). Tính cos lim .
x →+ x − sin x −1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 7,988 .
Câu 3 (1 điểm). Tính hoặc xét sự phân kỳ + −x e x dx  . 1
Câu 4 (1 điểm). Tính  3 x e sin(2x)dx  . 0
Câu 5 (1 điểm). Cho 2 ( , ) xy z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l
ị ớn nhất, giá tr bé nh ị ất của hàm số 2 2
z = 3x − 4 y trong miền đóng: 2 2 x y +  1. 4 3
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1− x − y dx dy  , trong đó: 2 2
D : x + y  1, x  0, y  0 . D  1 x =  3 Câu 8  −
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố t 8  2ty = 3  t −8  Câu 9  
(1 điểm). Tính arcsin x 18 2   + . − 1 sin x dx | |  + 2 1 x e   y Câu 10x
(1 điểm) Tính z (x;y ) biết arccot , 0 = x z( ; x y)  x 0  , x = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 23
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x →+
Câu 1. Vì cos x b ịchặn bởi 1  (cos x − ) x ~ (− ) x x →+
Tương tự, vì (−sin x −1) bị chặn bởi 2  (x − sin x −1) ~ x VCL cos x − x − x  lim = lim = −1.
x→+ x − sin x −1 x→+ x
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 − . Câu 2. 3 3
A = 7,988 = 8 − 0,012 Chọn x = 8, x
 = −0,012 . Xét hàm số 3 f ( )
x = x trên (0, +) . 0  1 f x x f  =    ( 1 1 ( ) , 0 x = = . 0 ) 3 2 3 2 x 12 3 3 8
Áp dụng công thức tính gần đúng nhờ vi phân:  1 3
A = 7,988 = f ( x + x f x + f x x = 8 + ( 0 − ,012) = 1,999 0 ) ( 0) ( 0) 3 12 Vậy 3 A = 7,988  1,999 . − − Câu 3. − − − − − − x x e x x = x   ( x e − ) x = e − x −  ( x −e ) x x 1 d d
dx = −xe − e + C = + C . x e A + − −  − − Ta có: A −  x − x 1 x 1 A 2 e x dx = lim e x dx = lim = lim +     . 1 →+ 1 x A A A→+ A e →+ e e  1 − −  +) Xét giới hạn: 1 A  lim   A A →+ e    1 −  lim = 0 (do lim A e = + ) A A→+ e A →+ + − 2 x 2 2  e x dx = 0 + =  
tích phân đã cho hội tụ và bằng . 1 e e e Câu 4.  3x 3x 3x    e   e   e 3x I =
e sin(2x )dx = sin(2x)d     =  sin(2x)  − d(sin(2x))  0 0 0 3 3 3     0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 24
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2   − 3x 2 = 0− cos(2 )d = cos(2 )d   ( 3x e x x x e ) 0 0 3 9  3  −2    −  3 e x 2 3x 2 2 4 3 = cos(2x)e + e d(cos(2x)) x = −
e sin(2x)dx     0 0  9  9 9 9 0 3 3 2 2e 4 2 2e  − −  I = − I I = . 9 9 13 3
Vậy tích phân cần tính bằng 2 2e  − . 13 Câu 5. 2 2  2 xy z y e , z = = 2 xy xye x y 2 2 2 2 2  4 xy   xy 3 xy  xy 2 2 z
= y e , z = z = 2ye
+ 2y xe , z = 2xe + 4 xy xx xy yx yy x y e 2  2   2 d z = z x + z x y + z y x d x 2 x d y d y d y 2 xy = + ( 2 2 xy xy + ) ( 2 2 4 2 3 xy 2 2 xy y e x ye y xe y + xe + x y e ) 2 d 2 2 2 dxd 2 4 dy Rút gọn lại, ta có: =  + ( + ) + ( + ) 2 2 4 2 3 2 2 2 d d 4 4 d d 2 4 d xy z y x y y x x y x x y y e  .   2    2 y x  4 1−    2 2 2 x y   3   
Câu 6. Với điều kiện x 4 + 1     2 2 4 3   x y   3 2 y  3 1−    4    2   + x ) Ta có: 2 2 2 2
z = 3x − 4y  3x − 4 3 1−
 6x −12  0 −12 = 1 − 2    4  2 2  x y  + =1 x = 0 Đẳng thức xảy ra    4 3     =  2 y  3 x = 0  2   +) Ta có: 2 2 y 2 2
z = 3x − 4 y  3 4 1−
− 4y = 12 − 8y 12 − 0 = 12    3  2 2  x y  + =1 x = 2
Đẳng thức xảy ra   4 3   y =   0 2 y = 0 
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 25
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Kết luận: Trên miền đã cho thì:
- Giá tr ịnhỏ nhất của z là −12 , đạt được tại (x, y) = (0,  3). - Giá tr l
ị ớn nhất của z c t
là 12, đạt đượ ại (x, y) = ( 2  ,0) .
Câu 7. D là miền được g ạch chéo như hình bên. x = r cos Đổi biến  |  J |= r . y = r  sin    −     Miền 0
D trở thành E :  2 0 r  1  0 1 2 2 2 2 I =
1− x − y dx dy =
1− r |J | d dr = d 1− r r dr     D E  − 0 r 1 = 0 1 1 −  −   2 =  − r   ( 2 − r ) 0 1 2 =  − = = −   ( 2r   )3 0 1 d 1 d 1 1 d d   − 0  − 6 2 2 2  2 3  2 r 0 = 
Vậy tích phân cần tính bằng . 6 Câu 8.
+) Khi t → t (với t  2 ) thì limx và limy hữu hạn 0 0 t→ t → 0 t t 0  ng h trườ
ợp này không có tiệm cận. +) Khi 1
t → 2 thì limx = lim =  3 t 2 → t 2 → t − 8 2t 3 y Ta có: t − 8 a = lim = lim = lim(2t) = 4  0 t 2 → t 2 x → 1 t 2 → 3 t − 8  2t 4  2(t − 2)
b = lim( y − ax) = lim − = lim  3 3  t →
t →  t − 8 t − 8 t →  (t − 2) ( 2 2 2 2 t + 2t + 4 ) 2 2 1 = lim = = 2
t→2 t + 2t + 4 12 6  ng h trườ
ợp này đồ thị hàm số có tiệm cận xiên hai phía 1 y = 4 x + . 6
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 26
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi 1 2t
t →  thì limx = lim
= 0 (hữu hạn) và lim y = lim = 0 (hữu hạn) ng nên trườ 3 3 t→ t→ t − 8 t→ t→ t −8
hợp này không có tiệm cận.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận, đó là tiệm cận xiên hai phía 1 y = 4x + . 6   Câu 9.  /2  /2  /2 arcsin x 18 18 arcsin x 18 I =  1+ sin x dx = sin x dx + sin x dx    − /2 | | /2 | |  1 x x + e  + I 1 I 2 +) Xét 18
f (x) = sin x , ta có: f (−x) = f (x), x   ) là hàm chẵn  /2  18 17!! 17!!  I = 2 sin x dx = 2   =  2  (tích phân Wallis). 0 18!! 2 18!! arcsin x +) Xét 18 g(x) =
sin x . Đề cho hơi dở, vì cận arcsin x không xác định trên toàn | | 1 x +e   −   bộ ,   , nên chỗ b này đề sai. ị  2 2  Sửa lại một chút:  x x arcsin arcsin  /2    /2  /2  18 18  18 I =  − 1   + sin x dx = sin x dx + sin x dx   | |  − /2  − /2 | | 2  1 x x + e  +   2 I x arcsin Lúc này, đặt  18 g(x) = sin x . | | 1 x + e   −  
Ta có g(−x) = −g(x) nên g(x) là hàm lẻ trên ,  2 2     /2  I =
g(x)dx = 0 ẻ ận đố ứ 2  (tích phân hàm l , c i x ng). −  /2 Vậy 17!!
I = I + I = . 1 2 18!! Câu 10. − − +)  1 y y
z (x, y ) =  = , x   0 . x 2 2 2 2  y x x + y  1+    x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 27
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
+) Với mỗi điểm (0, y , xét giới hạn: 0 ) y y −
f (x y ) − f ( y ) 0 0 arccot 0 arccot , 0, 0 0 lim = lim x = lim x x→ 0 x→ 0 x→ 0 x −0 x −0 x  - Nếu y y 0 0 y = 0 thì arccot = arccot 0 =  lim
x . Giới hạn này không tồn tại h u h ữ ạn  0 →0 x 2 x x
không tồn tại z (0,0) . x y0 arccot  - Nếu y y y  0 , ta xét: 0 0 lim = −  lim arccot =  lim
x = −  không tồn tại 0 x 0 − x x 0 − x 2 x 0 − → → → x z  (0,y (với y  0 ) . x 0 ) 0 y0 arccot  - Nếu y y y  0 , ta xét: 0 0 lim = −  lim arccot =  lim
x = +  không tồn tại 0 x 0 + x 0 + x 0 x x 2 + → → → x
z  (0,y (với y  0 ) . x 0 ) 0 − − Tóm lại,  1 y y
z (x, y) =  =
,x  0 . Còn z y không tồn tại. x (0, ) x 2 2 2 2  y x x + y  1 +    x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 28
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điể x −x m). Tính cos lim .
x →+ x − sin x +1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 8,012 .
Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ + x e x d . x  1
Câu 4 (1 điểm). Tính  3x e cos(2 ) x dx  . 0
Câu 5 (1 điểm). Cho 2 ( , ) x y z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l
ị ớn nhất, giá tr bé nh ị ất của hàm số 2 2
z = 4x − 3y trong miền đóng: 2 2 x y +  1. 3 4
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1+ x + y dx dy  , trong đó: 2 2
D : x + y  1, x  0, y  0 . D  1 x =  3 Câu 8  −
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố 8 t  2ty = 3  8 − t   
Câu 9 (1 điểm). Tính arcsin x 2 18  .  − 1+  sin xdx  | |  2  1 x + e   y Câu 10x
(1 điểm). Tính z ( ; x y) biết arccot , 0 = x z (x; y )  x 0  , x = 0
Lời giải tham kh 7 ảo đề
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 29
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 2
y = x + arcsin x . − Câu 2 2x 1
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố y = . 2 x +1 e cos( ln x)
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân dx  . 1 x 2
Câu 4 (1 điểm). Tính giới hạn y sin x lim . ( x , y ) ( → 0,0) 2 4 2x +3y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z = x + y + ( x − )2 2 2 ( ) 1 −1.
Câu 6 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng 2
x arctan x  ln 1+ x với mọi x . + 1− cos Câu 7 x
(1 điểm). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng: I = dx  . 0 5 x
Câu 8 (1 điểm). Có một vật thể tròn xoay có dạng gi t cái ly nh ống như mộ ư hình vẽ. Người ta
đo được đường kính của miệng ly là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Biết rằng mặt phẳng qua trục
OI cắt vật thể theo thiết diện là một parabol. Tính thể tích V ( 3
cm ) của vật thể đã cho.
Câu 9 (1 điểm). Biểu thức 1 2 z +
= y − z xác định hàm ẩn z = z( ,
x y) . Chứng minh rằng: x z  2  y x z + − = . x 1 0 2y
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả vi trên thoả mãn: 2 2 x f ( x)
(2 x 1) f (x) xf  + − =
(x) − 1 với mọi x  0 và f (1) = 2 . Tính 2 f (x)dx  . 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 30
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1. 2
y = x + arcsin x . Ta có:  y(1) = 1+ arcsin1= 1+ 2
y(−1)   y(1) 
y(− x) = 1+ arcsin(− 1) = 1− 2
y(−x) = y(x), x    không thể có: 
y(−x) = − y(x), x    2
y = x + arcsin x không là hàm chãn, cũng không là hàm lẻ.
Câu 2. Tập xác định: D = , đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. − - Xét khi 2x 1 2x
x → +, ta có: lim y = lim = lim = 2 x →+ x →+ 2 +1 x→+ x x  đồ th hàm s ị
ố có tiệm cận ngang y = 2 khi x → + . 2x −1 2x
- Xét khi x → − , ta có: lim y = lim = lim = −2 x →− x →−
2 +1 x→− −x x  đồ th hàm s ị
ố có tiệm cận ngang y = −2 khi x → − .
Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên. Vậy
đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y = 2 (về bên phải) và y = −2 (về bên trái). cos( ln ) 1 e e e x 1 Câu 3. dx =
cos(  ln x)d(ln x) = sin(  ln x) =   . 1 1 x   1
Vậy tích phân cần tính bằng 1 .  2 y 1
Câu 4. Ta chứng minh  , (
x, y)  (0,0) . (*) 2 4 2x + 3 y 3 4 Thật vậy, (*) y 1 4 2 4 
  3y  2x +3y , luôn đúng. Vậy (*) đúng. 2 4 2x + 3y 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 31
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 y sin x y 1  1 0  = | sin x | sin x, mà lim sin x = 0 2 4 2 4 2 x + 3 y 2 x +3 y 3 (x ,y ) ( → 0,0) 3 2 2 y sin x y sin x  lim = 0  lim = 0. (x ,y )→ (0,0) 2 4 (x, y )→ (0,0) 2 4 2x + 3 y 2x + 3y
Vậy giới hạn cần tính bằng 0. Câu 5. Tập xác định D =
z = 2(x + y)+ 2 x −  x =  y = −xx ( 2 )1 2 0  Tìm điểm dừng:    z =  2(x + y) = 0 4x x − =  y   ( 2 1) 0
x= 0 x= 1  x= −1       y =  0 y = 1 − y =    1
 hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0), M (1,−1) và M ( 1 − ,1). 1 2 3 Ta có  2 A z x B z C z = = − = = = = xx 12 2, xy 2, yy 2.
Tại điểm M (0,0) , ta có 2 −
=  , nên hàm số không đạt cực trị tại M . 1 B AC 8 0 1 2
B − AC = −16  0
Tại các điểm M (1, 1 − ) và M ( 1 − ,1) ta có
 hàm số đạt cực tiểu tại các 2 3 A  = 10  0 điểm M (1, 1 − ), M ( 1 − ,1). Giá tr c ị ực ti u b ểu đề ằng z = z(1, 1 − ) = z( 1 − ,1) = 1 − . 2 3 CT Câu 6. Xét hàm số 2 1 f ( )
x = xarctan x −ln 1 + x = xarctan x − ln ( 2 1 + x ) trên . 2 Ta có:  1 1 2x
f (x ) = arctan x + x  −  = arctan x . 2 2 1+ x 2 1+ x
f  (x) = 0  arctan x = 0  x = 0. Bảng biến thiên có dạng:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
f (x)  0,x R 2
x arctan x − ln 1+ x  0, x   2
x arctan x  ln 1+ x , x   (đpcm)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 32
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + − − + − Câu 7. 1 cos x 1 cos x 1 cos x I =
dx = I + I  , trong đó 1 I = dx I = dx 1 2 1  và 2  . 0 5 x 0 5 x 1 5 x − + 1 cos x
) Xét I , ta có f x =  x   . Điể ất thườ m b ng . 1 ( ) 0, (0,1] x = 0 5 x 2 x x 0 1 cos x → − 1 2 1 1 1 ~ = , mà dx
hội tụ (vì  =  (0,1)) 1/2 5 5 1/2 x x 2x 0 2x 2 1 1− cos xI = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 0 5 x 1− cos x
+) Xét I , ta có f ( ) x =
 0 liên tục trên [1,+) . Điể ất thườ m b ng + .  2 5 x − + Ta có: 1 cos x 2 2 5 0   , mà dx  hội tụ (vì  = 1 ) 5/2 5 5/2 x x 1 x 2 + 1− cosxI = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 2 1 5 x
Vì I và I hội tụ nên I hội tụ 1 2
Câu 8. Chiều dương như hình vẽ.
Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng: 2 x = ay + . b
Parabol qua hai điểm B(0,3) và I(8,0)   8 − 0  = 9a + ba = 8 − 2     9  x = y + 8. 8 = b 9  b  =   8
Vật thể thu được là vật thể khi miền giới hạn bởi các  8 − 2  3 x = y + 8  y = 16 − 2x đường  9   4 quanh trục
x  0, y  0 0    x  8
Ox  thể tích vật thể là: 8 2 2 8 8 8       2 3 9x 9x V = 
y (x)dx =  16 − 2x dx =  9− dx =          9x −  = 36( 3 cm ) 0 0 0  4   8   16  0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 33
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 9. Đặt 1 2
F (x, y, z) = z + − y −z . x −1 y  −  2 2 − − −  F Fy z x z = = , y x z = = . x F 1 y F 1 z 1 z + 1+ 2 2 2 y − z 2 y − z Ta có: y 1 1  z 2 2 − 2 − 2 y z  1 2 y z y 2 1 x z + + 1= x x  +  − 1 = + −1 = 1−1 = 0 x 2 2 y x 2 y 1 1 1 1 + 1 + 1+ 1+ 2 2 2 2 2 y − z 2 y − z 2 y − z 2 y − z Câu 10. 2 2
x f (x) (2x 1) f (x) xf  + − =
(x) −1,x  0 2 2  2 x f ( ) x
2xf (x) 1 xf (x) f (x) (xf (x) 1) xf   + + = +  + = ( )
x + f (x)   xf ( ) x + f ( ) x xf ( ) x + f ( ) x  = 1, x   0 dx = dx   2 2 ( xf( ) x 1 + ) ( xf( ) x 1 + ) d(xf (x ) +1) 1 −  = dx  = x +C.   2 (xf ( ) x +1) xf (x) +1 Theo bài ra: −1 −1 −1 1 f (1) = 2 − 
=1 + C C = 0.  = x f ( ) x = − , 2 2 − +1 xf ( ) x +1 x x (TM) 2 2 2  1 − 1   1  1 −  f (x)dx = −
dx = −ln | x | + = −ln 2    2    1 1  x x   x  2 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 34
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 3cos(5x) + 4sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x 0 → sin x b)  ( 2
ln x + x + 2)dx . 1 Câu 3 x x
(1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỷ của tích phân dx  . 0 x 1− cos 2 4 Câu 4 x
(1 diểm). Tính lim . 2 4
(x ,y )→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tim cực tr c ị ủa hàm số 4 4 2 2
z = x + y + 2x − 2 y . − 1  + Câu 6 x 1
(1 điểm). Tim vả phân lọai điểm gián đọan y = arctan   .  x Câu 7 xyz
(1 điểm). Phương trình (x + y)z +e
= 0 xác định hàm ẩn z = z( ,x y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trên [0,1], | f ( ) x |1, x  [  0,1] . Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1−  ( f(x)dx  )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ) . Tinh 1 I = f (x)dx  . −1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 35
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1. Chọn  sao cho 3 4 sin = , cos = , ta có: 5 5  3 4  f ( ) x =3cos(5 ) x +4sin(5 ) x =5 cos(5 ) x + sin(5 ) x =5[sin  cos(5 ) x +cos sin(5 )
x ] =5sin(5 x  + )    5 5   
là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 2 T = = . | 5 | 5 2
Chú ý: Vớik  0 thì các hàm số sin(kx+  ),cos(kx+  ) là các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = . | k | Câu 2.
a) Ta có: sin x ~ x khi x →0 và: 2 2 x→ 0 x→ 0 1 1 − − 3 x x 3
cos x − 1= 1+ (cos x− 1) − 1 ~ (cos x− 1) ~  = 3 3 2 6 2 − x 3 VCB − − Áp dụng: cos x 1 1 6 lim = lim = . 2 2 x→ 0 x→ 0 sin x x 6 −
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 6   b) ( 2
x + x + ) x =  ( 2x + x+ ) 1 ln 2 d ln 2 d x +    2   1    = x+ ( 2x + x+ ) 1 ln 2 − x + d  (ln( 2x + x+     )2)  2  2  1   + = x+   ( 2 x + x+ ) 1 2x 1 ln 2 − x +  dx    2  2  2 x + x+ 2 2  1  x +    1    = x+ ( 2x + x+ ) 2 ln 2 −   2 dx  2  2  1 7 x + +    2  4
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 36
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST      1  x   ( 2 x x ) 7 1 ln 2 2  1  = + + + − −  dx  2  2  4  1  7   x + +      2  4   1  x  + 1    = x+   ( 7 2 2 x + x+ ) 2 ln 2 − 2 x−  arctan  + C  2  4 7 7     2   1  + = x+   ( 2 x + x+ ) 2 x 1 ln 2 − 2 x+ 7 arctan + C.  2 7 x x Câu 3. f ( ) x = 0, x  (  0,1]. Điể ất thườ m b ng x = 0 . x 1 −cos 2 Ta có: x x x x 8 8 1 ~ = , mà 1  hội tụ (vì   = (0,1) 2 1/2  x 1 1/2 0 1 cos  x x  − x 2  2   2  2  1 x x  dx
là tích phân hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 0 x 1− cos 2 4
Câu 4. Ta đi chứng minh x 2  x , (  , x )
y  (0, 0) (*) 2 4 x + y 4 Thật vậy, (*) x 2 4 4 2 4 
x x x + x y , luôn đúng (
x, y)  (0,0). 2 4 x + y 4 x(*) y ta có: là đúng. Vậ 2 0 
x ,(x, y)  (0,0) 2 4 x + y 4 Mà 2 x lim x = 0  lim = 0 (theo nguyên lý kẹp). 2 4 (x, y) ( → 0,0) (x,y ) ( → 0,0) x + y
Câu 5. Tập xác định: D = .  3
z = 4x + 4x = 0 x = +) Tìm điểm dừng: 0 x     3 z =  4 y − 4 y = 0 y =   0 y = 1 y
 hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0), M (0,1) và M (0,−1) . 1 2 3 +) Ta có: A =  2   2 z
=12x + 4, B = z = 0,C = z =12y − 4. xx xy yy
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 37
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2  B − AC = ( 2 x + )( 2 12 4 4 −12y ) .
- Tại điểm M (0,0) ta có: 2
B − AC = 16  0  hàm số không đạt cực tr t ị ại M (0,0) . 1 1 2
B − AC = −32  0
- Tại các điểm M (0,1) và M (0,−1) , ta có: 2 3 A = 4   0  hàm số t c
đạ ực tiểu tại các điểm M (0,1) và M (0,−1) . Giá tr c ị ực tiểu cùng bằng 2 3 z
= z(0,1) = z(0,−1) = 1 − . CT x+ 1 x  0
Câu 6. Hàm số xác định  arctan  0   x x  1 − 
x = 0 và x = 1
− là các điểm gián đoạn của hàm số. - Tại điểm x = 1 − , xét giới hạn: x →( 1 − ) 1  x +1 +  lim + y = lim = + vì arctan ~ 0  x →( 1 − )+ x →(−1) + x +1 r a ctan x   xx = 1
− là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.
- Tại điểm x = 0 , xét các giới hạn: + x→0 1 1  x +1  lim y = lim = do ~ +    x →0+ x →0+ x + 1  c ar tan  xx 2 x →0 1 1  x +1 −  lim y = lim = do ~ −    − − → → +  x 0 x 0 x 1 − x arctan   x 2
x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số (điểm gián đoạn bỏ được).
Câu 7. Đặt ( , , ) = ( + ) xyz F x y z x y z + e .
Ứng với x = 0, y = 1, thay vào phương trình đã cho ta có: 0
(0 +1)z + e = 0  z = 1 − .
Gọi điểm M (0,1, −1) . Ta có:  xyz  
F = z + zye , xyz
F = z + zxe , xyz
F = x + y + xye . x y z   − − −  ( ) F (M F M ) 2  − y 1 z (0,1) x = = = −2, z = (0,1) = = = −1.n x F (M ) 1 y F (M ) 1 z z
dz(0,1) = z (0,1)dx + z  (0,1)dy = 2 − dx −d . y x y
Câu 8. Áp dụng bất đẳng thức tích phân:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 38
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ∫ 1 2 1
0 √1 − 𝑓 (𝑥)d𝑥 = ∫0 √1 − 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + 𝑓(𝑥)d𝑥 ≤ √∫ 1 1 1 1
0 (1 − 𝑓(𝑥))d𝑥 ⋅ ∫0 [1 + 𝑓(𝑥)]d𝑥 = √(1 − ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) ⋅ (1 + ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) 2
= √1 − (∫ 10 𝑓(𝑥)d𝑥)
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi 𝑓(𝑥) = 1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 9. 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ), x  [ 1 − ,1] 1 1 1 2  f (x)dx = x + 2 dx + x f    ( 3x )dx −1 −1 −1
x = −1  u = −1 Đặt 3 2
u = x  du = 3x dx . Đổi cận  x = 1  u = 1  1  x f  (x ) 1 du 1 1 2 3 dx = f (u) = f (x)dx   . Do đó: −1 −1 −1 3 3 1 3 f (x)dx = x + 2 dx +
f (x)dx f (x)dx = x + 2 dx = +      =13 13 −1. − − − − − ( (x 2) )1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 2 −1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 39
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 4cos(5x) + 3sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x 0 → tan x b)  ( 2
ln x − x + 2)dx , 1 Câu 3 x x
(1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân dx  . 0 x 1− cos 3 4 Câu 4 y (1 điểm). Tính lim . 4 2
(x ,y )→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 4 4 2 2
z = x + y − 2x + 2 y . − 1 Câu 6   (1 điể x
m). Tim và phân loại điểm gián đoạn y = arctan   .  x + 1 Câu 7 xyz
(1 điểm). Phương trình (x + y)z −e
= 0 xác định hàm ẩn z = z( ,x y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trền [0,1], | f (x) |1, x  [0,1] . Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1−  ( f(x)dx  )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 2 f x = − x + x f ( 3 ( ) 4 x ) . Tính 1 I = f (x)dx  . −1
Lời giải tham kh s ảo đề ố 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 40
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điể x − x m). Tính giới hạn sin lim .
x →+ x − arctan x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x − 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x − 9 dx  . 0
 3sin x + 4cosx
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx  . 0 4sin x + 3cosx 3 sin x
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
(x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Ch s ỉ ố ng m Shannon đo lườ
ức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −xln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x  0, y  0 thoả mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x + y = 1  2 4 x x   
Câu 7 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng cosx  1− + , x  0, . 2 24  2  z
Câu 8 (1 điểm) Cho y
z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình z − xe = 0. Ứng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,02;0,99) .  1 (2n 1 − )! 
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n     . n→+ n (n 1 − )!   + ln(1+ 2x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx  . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 41
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) sin x 1− x − sin x x 1 − 0 Câu 1. L = lim = lim = = 1
x →+ x −arctan x x →+ arctan x 1 −0 1 − x Giải thích:  1 − sin x 1    x x x sin x +   lim = 0 (theo nguyên lý kẹp) 1 −1 x→+ x  lim = lim = 0 x→+ xx →+ x  arctan x +) lim arctan x =  lim = 0. x →+ 2 x →+ x Vậy L = 1 . Câu 2. 1 1 2 − f ( ) x = = =( x 1 − ) . Do đó: 2 2 x − 2 x+ 1 ( x−1) − 1 51! (50) 52 50 f (x) = ( 2 − )( 3 − )( 4 − ) (  5 − 0)( 5 − 1)(x 1 − ) = ( 1 − ) 51! = , x  1 52 52 (x −1) (x −1) Vậy (50) 51! f ( ) x =
, x 1. − Q + 52 (x −1) Câu 3. 5 3 5 2 2 2 2 2 I = x − 9 dx = 3 − x dx + x − 3 dx    0 0 3 3 5 2 2  x 9 x 9 x   x x 9 9  − − 2 = + arcsin  +
− ln x + x − 9   2 2 3   2 2      0 3 9 9 = +10 − ln 3 4 2 24 7   (4 sin x + 3cos ) x + (4 cos x −3sin ) x 3sin x + 4cos x Câu 4. 2 2 25 25 I = dx = dx   0 0 4sin x +3cos x 4sin x +3cos x   2  24
7 4 cos x −3sin x   24x 7   2 = +  dx = +
 ln | 4sin x + 3cos x |  12 7 4     = + ln 0  25
25 4sin x + 3cos x   25 25  25 25 3 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 42
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2
Câu 5. Ta chứng minh: sin x
 1 với (x, y) → (0,0) .(*) 2 2 sin x + sin y Thật vậy, (*) 2 2 2
 sin x  sin x + sin y , luôn đúng với (x, y) → (0,0). 3 2 Áp dụng: sin x sin x 0  =
| sin x || sin x | , khi (x, y) → (0, 0) . 2 2 2 2 sin x +sin y sin x + sin y 3 Mà sin x lim | sin x|= 0  lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 2 (x, y ) ( → 0,0) (x ,y ) (
→ 0,0) sin x+ sin y 3 sin x  lim = 0. 2 2
(x,y )→ (0,0) sin x+ sin y Câu 6. x + y = 1 y = 1− x Ta có:   
H = − x lnx− (1− x)ln(1− x)= f (x). x  0, y  0 0  x    1 Xét 
f (x) trên (0,1) . Ta có: f (x) = − ln x− 1+ ln(1− x)+ 1= ln(1− ) x − ln x  1
f (x) = 0  ln x = ln(1− x)  x =  (0,1) 2 Xét dấu:  1  1
f (x )  0  0  x  ; f (x )  0   x 1 2 2
Suy ra f (x) t giá tr đạ ị lớn nhất tại 1 x = . 2  1    1 1  max H = f = ln 2  
, đạt tại (x, y) =  ,  .  2   2 2  2 4    Câu 7. Xét hàm số x x f ( ) x = cos x 1 − + − liên tục trên 0,   2 24  2 
Dùng khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange, ta có:   5    5  cos c +    cos c + 2 4  2 4   x x  2      5 x x 2 5  f ( ) x = 1  − + + x  1 − + − = x , ( c (  0, ) x ), x   0,    2 24 5!  2 24 5!  2         Đánh giá: 5 5 5 c 3    +   cos c +  0   2 2  2 
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 43
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 4    x x   
f (x)  0, x   0,  cos x 1− + , x   0,      2  2 24  2 
 điều phải chứng minh (đẳng thức không xảy ra). z Câu 8. ( , , ) y
F x y z = z − xe , hàm ẩn z = f ( ,
x y) xác định bởi F (x, y, z) = 0 z z z   xzx y F = e − ; y F = e ; F = 1 y − e x y 2 z y y
x = 0,x = 0,02 z Chọn 0 
. Ứng với x = 0, y = 1 thì 1
z = 0.e z = 0  f (0;1) = 0 . =  = −  0 y 1, y 0,01   − −  F (0;1;0) F (0;1;0)  f (0;1) = = 1; f  (0;1) y x = = 0 x F (0;1;0) y F (0;1;0) z z Suy ra: f (0,02;0,99) f ( x ; x y ) y f (0;1) f  (0;1) x f  = +  +   +
  + (0;1) y =0 1 + .0,02 +0.( 0 − ,01) = 0,02 0 0 x y
Vậy f (0,02;0,99)  0,02 .
Câu 9. Xét giới hạn:
  1 (2n −1)!  
n  (n +1)(2n − 2)(2n −1)  L = lim ln  = lim ln n n  →+   n (n −1)!  n n n →+    n    n 1 1   0   1   2   n 1 −  1 −  k  = lim ln 1+ + ln 1+ + ln 1+ ++ ln 1+ = lim ln 1+            n→+ n n   n   n   n   n →+  n   n k= 0  1 = f (x)dx
trong đó 𝑓(𝑥) = ln (1 + 𝑥) liên tục, khả tích trên [0,1] 0 1 1 1 x = ln(1 + )
x dx = xln(1 + ) x − dx   0 0 0 1+ x 1 1  1 = ln 2− 1−
dx = ln 2− (x − ln(1+ x)) = 2 ln 2−    1 0 0  1+ x   1 (2n−1)!  L 2ln 2 1 − 4  lim n   = e = e = .   n→+ n (n −1)! e   + ln(1+ 2x) 1 ln(1+ 2x) + ln(1+ 2x) Câu 10. I = dx = dx + dx    0 x x 1 I 2 I
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 44
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ln(1+ 2x) f ( ) x =
0 liên tục trên (0;+). x x +) I m b có điể ất thường x = 0 . 1 1 Khi 2x 2 2 1 x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà dx
hội tụ (do  =  (0;1) ) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 + +) Vi ln(1 x) lim
=0 , với   0 nhỏ tuỳ ý . x x →+ Chọn 1 1/3  =  ln(1 +2 ) x  (2 ) x khi x → + 3 1/3 3 3 + Khi (2x) 2 2 7
x → + thì 0  f (x)  = , mà dx  hội tụ (do  = 1 ) 7/6 7/6 x x x 1 x 6
I hội tụ theo tính chất so sánh. Tóm lại, I , I hội tụ  hội tụ. 2 1 2 I 1
Cách 2: Để xét I , ta có thể chọn hàm g(x) = , ta có trinh bày sau: 2 7/6 x Xét 1 g(x) =  0, x  1. Ta có: 7 /6 x ln(1 +2x) f ( ) x x x ln(1+ 2 ) x  lim = lim = lim (dạng ) 1/3 x →+ ( g ) x x →+ 1 x →+ x  7/6 x 2 x 6 1 2 = + lim = lim = 0 −2/3 1/3 x→+ 1 →+ 2 − /3 x x + 2 x x 3 + + 1  7 g(x)dx = dx   hội tụ (do  = ) 7 /6 1 1 x 6 +  I = f (x)dx ộ ụ ệ quả ẩ 2  h i t theo h tiêu chu n so sánh. 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 45
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điể − m). Tính giới hạn x cos x lim .
x →+ x − arccot x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x ) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x + 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x −16 dx  . 0
 5sinx + 6cosx
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx  . 0 6sin x + 5cosx 3 Câu 5 sin y
(1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
(x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Ch s ỉ ố ng m Shannon đo lườ
ức độ đa dạng của một hệ ng sinh thái, trong trườ
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −x ln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x  0, y  0 thoả mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x + y =  1 3 5    Câu 7 x x
(1 điểm). Ch ng minh r ứ
ằng sin x x − + , x   0,  . 6 120  2  z
Câu 8 (1 điểm). Cho x
z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình z − ye = 0. Úng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,99;0,02) .  1 (2 ) n ! 
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n     . n→+ n n!   + ln(1+ 3x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx  . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 46
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi ti
ết tham khảo đề số 1 − Câu 1. x cos x lim =1.
x →+ x − arccot x Câu 2. (50) 51! f (x) = . 52 (x +1) 5 Câu 3. 2 15 x − 16 = 4 + − 8ln 2  . 0 2  +  Câu 5. 5sin x 6 cos x 30 11 6 2 dx = + ln  . 0 6sin x + 5cos x 61 61 5
Câu 6. max H = ln 2 c khi đạt đượ 1 x = y = . 2
Câu 7. Tương tự đề 1 (dấ ằng cũng không xả u b y ra).
Câu 8. f (0,99;0,02)  0,02 .  1 (2n)!  4 Câu 9. lim n  =   . n→+ n n! e   + + Câu 10. ln(1 3x) dx  hội tụ. 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 47
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x+ sin )x x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên c ủa đồ th hàm s ị
ố y = xarccot x. 
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 3 4 tan x dx  . 0 1
Câu 4 (1 diểm). Tính tích phân ln ( 2 x + x +  )1dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 2
z = 4(x − y) − x − y . 2   x Câu 6
yarctan   , y  0, (1 điể Cho hàm s m). ố f ( , x y) =  y   .  0, y = 0
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm A(1,0). b) Tính f  (1,0). y Câu 7  + + (1 điểm). Cho x y tan x tan y 0  x, y  . Chứng minh tan  . 2 2 2  Câu 8 x sin x
(1 điểm). Tính tích phân 2 dx  . − 1+ 3x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 0 x x +1 −cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 48
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) 1 ln(cosx+ sinx )
Câu 1. = lim(cos + sin ) x = lim x L x x e . x →0 x →0 + Xét ln(cos x sin x) K = lim (dạng 0 ) x → 0 x 0 -sin x+cos x 1 cos x+sin x K x = lim
=1 L= lim(cos x+sin x) =e =e x→0 1 Vậy L= . e Câu 2. ( y ) x lim
= lim arccot x = 0 đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên bên phải. x →+ x x →+ ( y ) x lim
= lim arccot x =  = a x →− x x →− −1  2 L Hospital 2 arccot x −  1+ x x
b = lim ( y −  ) x = lim ( x arccot x − )  = lim = lim = lim =1 2 x →− x →− x →− 1 x→− 1 − x →− 1+ x 2 x x
y = x +1 là tiệm cận xiên (bên trái) duy nhất c ủa đồ thị hàm số.    Câu 3. / 4 / 4 I = tan x dx = tanx   (.1+ tan x) / 4 3 2 dx− tanx dx  0 0 0  /4 2  /4  /4 −sin x  tan x  1 −ln 2 = tan xd(tan ) x + dx = + ln | cos x| =     0 0 cos x 2 2   0 − Vậy 1 ln 2 I = . 2 Câu 4. 1  
I =  (x + x + ) 1 2 x =  ( 2 x + x + ) 1 ln 1 d ln 1 d x +   0 0  2  1  1    + = x+ ( x + x+ ) 1 2 1 2 x 1 ln 1 − x+      dx 2 0  2  2 x + x + 1 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 49
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST   1     1  x +  1 3 3 1 3 3 2 ln 3 2  d  = − −  x  2 = ln 3− 2x −  arctan  2 0 2  2 1 3    2  2 3 3   x + +        2  4   2  0 3  = ln 3− 2+ 2 2 3  Vậy 3 I = ln 3− 2+ . 2 2 3 Câu 5. 2 2
z(x, y) = 4(x − y) − x − y
+) Tập xác định: D = . +)  
z = 4− 2x; z = −4− 2y x yz  = 0 x  = 2 Giải hệ x     M (2,−2) m d là điể ừng z = 0 y  = −2 y   +) Ta có:    A = z = 2
− ; B = z = 0; C = z = 2 − xx xy yy 2 B  −AC = 4 −  0  
 hàm số đã cho đạt cực tr ịtại duy nhất 1 điểm là M (2, 2 − ), đây A = 2 −  0 
là điểm cực đại, z = z(2,−2) = 8 . CÐ Câu 6. 2 2      a) Ta có x x y   0 : 0 |
f (x, y) |= y arctan | = y |  arctan |
y |  y = 0,     (1) y y     2  f ( , x ) y =0 |  f ( , x ) y | | = 0 |  . (2) 2   Từ
(1) và (2) ta có: 0 |
f (x, y) | |
y |  ,(x, y)
, mà lim | y |  =0 , nên theo nguyên lý 2 (x ,y ) ( → 1,0) 2
kẹp ta có lim | f ( , x y) | =0 (x ,y ) ( → 1,0)  lim
f (x, y) = 0 = f (1, 0)  f ( ,
x y) liên tục tại B(1, 0) . (x, y )→ (1,0)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 50
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 y arctan −0 2 −  b) Xét giới hạn: f (1, y) f (1, 0) y 1 lim = lim = lim arctan = 2 y →0 y →0 y →0 y − 0 y y 2 − 
f (1,y ) f (1, 0)   f (1,0) = lim = y y 0 → y − 0 2   Câu 7. Xét hàm số 
f (x) = tan x trên 0,   .  2   1  2sin x    f (x) = ; f (x) =  0,x 0, 2 3   cos x cos x  2        
f (x) là hàm lồi trên 0, 
 . Do x, y  0;  , áp dụng bất đẳng thức hàm lồi:  2   2   x + y x + y    f ( ) x + f ( ) y  2 f
 tan x + tan y  2 tan ,  , x y 0,      2  2  2  tan x + tan y x + y      tan , x  , y  0,   2 2  2    
 đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = , y x  0,    2    Câu 8. / 2 xsin x 0 xsin x / 2 x sin x I = dx = dx + dx    −/2 x −/2 x 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3x   −   =  = Xét 0 xsin x x t I = dx
t = −x x = − t . Đổi cận . 1  . Đặt d d  2 2 − /2 1+ 3x
x = 0 t = 0  0 − −  /2  /2 t sin( t) t sin t xsin x I = (−dt) = dt = dx 1     /2 −t 0 −t 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3−x x  /2  /2      /2 x sin x x sin x x sin x 3 x sin xI = + dx =      + dx =
x sin x dx  0 x x − 0 x x 0  1+ 3 1+ 3  1+ 3 1+ 3    /2   /2 /2 =
x d(− cos x) = (− x cos x) −
(− cos x)dx = 1   0 0 0 Vậy I = 1 .  arctan x dx arctan x dx + arctan x d Câu 9. 1 x I = = +    0 0 x x + 1− cos x x x + 1− cos x + − I2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 51
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST arctan x arctan x f ( ) x = =
0 là hàm liên tục trên (0, +) . + 1− cos 2 x x x x x x + 2 sin 2 +) I m b có điể ất thường x = 0 . 1 2 Khi x x 0+ → ta có: (1− cos x) ~
, là VCB bậc cao hơn x x khi x → 0 2 1 1  Khi x 1 x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà 1 dx  hội tụ (do  = 1 ) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1
x x + (1− cos x)  x x  0 
+) Xét I . Với x 1, ta có: 2   0  arctan x   2    +  2 2 3 0  f (x)  = , x  1 , mà 2 dx  hội tụ (do  = 1 ) 3/2 3/2 x x x 1 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy I , I hội tụ 2 1 2  I hội tụ.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 52
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) 1
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x− sin ) x x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên c ủa đồ th hàm s ị
ố y = x arctan x. 
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 4 4 tan x dx  . 0 1
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân ln ( 2 x − x +  )1dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 2
z = 4( y − x) − y − x . 2   y
xarctan   , x  0,
Câu 6 (2 điểm). Cho hàm số f (x, y) =   x  0, x =  0.
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm B(0,1) . b) Tính f  . x (0,1) Câu 7  + +
(1 điểm). Cho x y cot x cot y 0  , x y  . Chứng minh cot  . 2 2 2  Câu 8 x sin x
(1 điểm). Tính tích phân 2 − dx .  1 +2 x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 0
x x + x − sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 53
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi ti ết tham kh s ảo đề ố 3 1 Câu 1. 1
lim(cos x− sin ) x x = . x→ 0 eCâu 2. ( y ) x lim = lim arctan x = = a x →+ x x →+ 2  1 arctan x   −     2 2 b = lim y −
x = lim x arctan x − = lim 1+     = lim x = −1 x →+  2 x →+   2 x →+  1 x→+ 1 − x 2 x   y =
x −1 là tiệm cận xiên bên phải . 2  −
Tương tự ta tìm được y = x 1
− là tiệm cận xiên bên trái. 2 Câu 3. /4  /4 4 2 tan x dx = t  an x    ( 2 1+ tan x) −( 2 1+ tan x) +1 d  x 0 0    /4 3  tan x   2 = − tan x+ x = − .    3  4 3 0  Câu 4. 1ln
 ( 2x − x+1)dx = − 2 0 3 Câu 5. Hàm số t c
đạ ực trị tại duy nhất điểm M ( 2
− , 2) (cực đại), z = z( 2 − ,2) = 8. max
Câu 6. a) f (x, y) liên tục tại B(0,1) .   b) f = x (0,1) 2
Câu 7. Tương tự đề trên. Câu 8. I = 1 + Câu 9. arctan x dx  hội tụ. 0
x x + x −sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 54
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
 a −x, khi x 1 f (x) =  a
 rccos ,x khi 0 x 1
Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm c c ngượ ủa hàm số 2x 2 x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hai hàm f(x)= 3 x , g(x)= 2 x , 1
−  x  3 . Tìm số c  (−1,3)  − − sao cho f (c) f (3) f ( 1) =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? g (c) g(3) − g( 1 − ) Giải thích?
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) :
thoả mãn f (x)  g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu f (x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f ( )
x )  g (g( x)) . Câu 5 (1 điể + + m). Tính tích phân 3x 1 dx  . 0 ( x +1) ( 2 x + ) 1 1 1+ 2sin x
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn lim ln . 3   x→0 x 1+ sin 2x Câu 7
(1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(cos ) x , 0  x  . 3 3  t x =  3 Câu 8 (1 điể 
m). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1 −t  . 2 ty =  1 − t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1  1 2 n 1  − lim  + ++  n→ 2 2 2 2 2 n+ 1 4  n + 1 4n + 2 4n + (n− 1)  
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm f(x) lồi, khả tích trên đoạn [a, b]. Ch ng minh r ứ ằng: 1 b
f (a) + f ( ) b
f (x )dx   a b − a 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 55
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1. Ta có: f (1) = arccos1 = 0 . 3 3 lim f ( ) x = lim a − x = a 1 − , lim f ( )
x = lim arccos x = arccos1 = 0 x 1+ x 1+ x 1− x 1− → → → →
+) f (x) liên tục tại 3
x = 1 lim f (x) = lim f (x) = f (1) 
a − 1 = 0  a = 1 + − x →1 x →1
Vậy a =1 là giá tr c ị ần tìm.
Câu 2. Với x , xét phương trình x − x x = −  = ( x y y )2 2 2 2 2 −1  2 y − y + − x 4 y | y | 2 =  = 0 (L)  ( x )2 x  2 2 2
− y  2 −1 = 0   2 y + y + + x 4 y | y | 2 =  = 0 (TM )  2 2 2 y + y + 4  −1 x = log = 0 = f ( y) 2 2 2 + +  − x x 4 c c Hàm ngượ ủa hàm số đã cho là 1 f ( ) x = log , x  . 2 2 Câu 3. Ta có:  2 f ( ) x 3x , g = (x) = 2 ,
x x (−3,1)  2 3 3 − − − − − Do đó: f ( ) c f ( 3) f (1) 3c ( 3) 1 7 =  =  c = ( 3 − ,1) .  2 g (c) g( 3 − ) −g(1) 2c ( 3 − ) 1 − 3  − −
Như vậy tồn tại hằng số f c f f
c để thoả mãn đẳng thức ( ) ( 3) (1) = , điều này không mâu g (c )
g (−3)− g (1) thuẫn v nh lý Cauchy. ới đị
Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho g (x)  0,x (a, )
b . Bài này ta có g(0) = 0, với 0  ( 3
− ,1) thế nên bài này không thoả u ki mãn điề
ện định lý Cauchy → bài này không nằm
trong vùng áp dụng định lý Cauchy, không mâu thuẫn.
Câu 4. Vì f là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra f (x)  g( ) x
f ( f (x))  f (g(x)). Lại có f (g(x))  g(g(x)) (vì f (y)  g( y) )  đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 56
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + + +   Câu 5. 3x 1 x 2 1 x = + − x     (x + 1)( d d 2 0 x + ) 2 2 0 1
x + 1 x + 1 x + 1 A A x 2 1  1  = lim + − dx = lim ln    
( 2x+1 + 2arctan x−ln | x+1| 2 2 )  A →+
0  x + 1 x +1 x +1 A→+   2  0  1 = (    + A + ) 2 2 A 1 lim ln
1 + 2arctan A − ln | A +1| = lim ln + 2arctan A    A→+ 2 A→+  A       = ln1+ 2 =  2 Câu 6. VCB 1 1+ 2sin x  1 1+ 2sin x   1+ 2sin xL = lim ln = lim −1 do lim =      1 3 3 x →0 x →  + 0 x →   + 0 x 1 sin 2x x 1 sin 2x   1+ sin 2x  3  x    x − + o  (x ) 3 3 (2x ) 2 − 2x − + o   ( 3x)
1 2sin x −sin 2x 1  3!   3!  = lim  = lim  3 3 x →0 x → + 0 x 1 sin 2 x x 1 +sin 2 x 3 1 x + o( 3 x ) 3 1 x 1 1 = lim  = lim  = lim = = 1. 3 3 x →0 x 0 → x 0 x 1+ sin 2x x 1+ sin 2x → 1+ sin 2x 1+ 0 Vậy L=1. −    Câu 7. Ta có: sin xy ( ) x = , x  0,
. Độ dài cung cần tính là: cos   x  3    2   + ( − x       y ( ) x )2 sin 1 1 3 3 3 dx = 1+ dx = dx =
dx do cos x  0,x 0,      2     0 0 0  cosx  cos x cosx   3   cos x dx  d(sin x)  d − (sin x) 3 3 2 = d(sin ) x = =    2 2 0 0 0 cos x 1 −sin x
(sin x −1)(sin x +1)  3 1 −  sin x −1  = ln = ln(2+ 3)   (đvđd). 2 sin x +1  0
Vậy độ dài cung cần tính là ln(2 + 3) (đvđd). Câu 8.
− Khi 𝑡 → ±∞ thì lim𝑡→±∞ 𝑥 = lim𝑡→±∞ 𝑡3 = −1 ⇒ ng h trườ
ợp này không có tiệm cận xiên. 1−𝑡3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 57
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 3 - Khi t
t → t , với t  1 thì 0 lim x = hữu hạn  ng h trườ
ợp này không có tiệm cận Xiên. 0 0 3 t→ t0 1− t0
- Khi t →1 thì x →  . Ta có: 2 3 2 y t 1−t 1+ t + t lim = lim  = lim = 3 = a 3 t 1 → t 1 → t→1 x 1 −t t t 2 t ( 2 t + t + ) 3 2 3 1 −   3 3 t t t
b = lim( y − ax) = lim( y − 3x) = lim − = lim  3  t → t →
t →  1− t 1 t − t →  (1− t)( 2 1 1 1 1 1+ t + t ) 2 2 2 t (1− t) t (1− t) = lim = = t→ (1− t)( lim 0 2 1 1+ t + t ) 2 t 1 → 1+t +t
y = 3x là tiệm cận xiên của đường cong đã cho.
Câu 9. Giới hạn đã cho được viết lại là: 𝑛−1 𝑛−1 𝐿 = lim 1 𝑘 𝑛 1 𝑘 = lim 𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ∑ 2 2
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=1 √4𝑛 + 𝑘 𝑘=1 𝑛 1 𝑛−1 𝑘 𝑘 = lim ( vì với 𝑘 = 0 thì = 0)
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=0 Xét giới hạn: 𝑛−1 𝑛−1 𝑘 𝐾 = lim 1 𝑘 1 = lim 𝑛
𝑛→+∞ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑛→+∞ 𝑛 ∑ 2 𝑘=0 𝑘=0 √4 + (𝑘𝑛) 1 𝑥
= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 (với 𝑓(𝑥) =
liên tục, khả tích trên [0,1] ) 0 √4 + 𝑥2 x = dx = 4+ x = 5 − 2  0 ( )1 1 2 2 0 4 + x n 1 n 1 − kL = lim  lim  = 1 ( 5 − 2) = 5 − 2. n→+ n →+ 2 2 n + 1
n k =0 4n + k
Câu 10. Với mỗi x [a,b] , luôn tồn tại duy nhất t [0,1] sao cho: x = ta + (1− t)b .
Do đó có thể đổi biến x = ta + (1− t)b  dx = (a − b)dt . Đổi cận:
- Khi x = a thì t =1.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 58
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
- Khi x = b thì t = 0 . b Lúc này: 1 1 0 1 f (x)dx =
f (ta +(1 −t) ) b (a − ) b dt =
f (ta +(1 −t) ) b d . t    a 1 0 b − a b − a
Áp dụng tính chất hàm lồi: f (ta + (1− t)b)  tf (a) + (1− t) f (b), t  [0,1] . ⇒ ∫ 1 1
0 𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏)d𝑡 ≤ ∫0 [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)]d𝑡 𝑡2 1 𝑡2 1 1 1
= 2| 𝑓(𝑎) + (𝑡 − 2)| 𝑓(𝑏) = 2𝑓(𝑎)+2𝑓(𝑏). 0 0
Suy ra điều phải chứng minh.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 59
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
 a +x, khi x 1 f (x) =  a
 rccos ,x khi 0 x 1
Câu 2 (1 điểm). c c Tìm hàm ngượ ủa hàm số 3 x 3 . x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hàm số 3 2
f (x) = x , g(x) = x , −3  x  1 . Tìm số c  ( 3 − ,1) sao cho  f ( ) c f ( 3 − ) − f(1) =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? Giải thích? g( ) c ( g −3) − ( g 1)
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) :
thoả mãn f (x)  g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu g(x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f (x))  g(g(x)) . Câu 5 + x + 3
(1 điểm). Tính tích phân dx  . 0 ( x +1) ( 2 x + ) 1 1 1− 2sin  Câu 6 x
(1 điểm). Tính giới hạn lim ln . 3   x→0 x 1− sin 2x Câu 7  
(1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(sin ) x ,  x  . 6 2 2  t x =  Câu 4
(1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1− t  . 3  3t y = 3  1 − t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1  1 2 n 1  − lim  + ++  n→ 2 2 2 2 2 n+ 1 4n − 1 4n − 2
4n − (n− 1)   
Câu 4 (1 điểm). Cho hàm f(x) lõm, khả tích trên đoạn [a, b]. Ch ng minh r ứ ằng: 1 b
f (a) + f (b)
f (x )dx   a b − a 2
Lời giải tham kh s ảo đề ố 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 60
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 x
(1 điểm). Tính dx  . 2 x + 3x + 2  dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 1 3 x − x+ 1 + x+ 1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
=1 quay quanh trục Ox . 4 9 Câu 4 (1 điể − m). Tính cos x cos 4x lim . 2 x→ 0 x Câu 5 (1 điể x
m). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = . 3 2
x − 2x + x − 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 3 2 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z= xy+ ( − x− y)(2x+ 3y);  là tham số thực . 2 2 1
  x + y  4
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy  , với D :  Dx   y  3x
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho: 
f (1) = − f (1), f (0) = 0 và f (x)  0, x   ( 2 − , 2) Câu 10 (1 điể 2018 2019 m). Cho hàm số:   z = x ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 sin 100 x − y ) .     Chứng minh 2 z z x + xy = zy . yx
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 61
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x x  2 1  Câu 1. dx = dx = − dx   
= 2ln | x + 2 | −ln | x +1| +C 2   x +3x +2 (x 1 + )(x +2)  x +2 x 1 +  Câu 2. 1 f ( ) x = 0, x  1  . 3
x − x + 1+ x + 1
Điểm bất thường của tích phân suy rộng là + . Ta có: 1 x→+ 1 1 + dx 3 ~ = , mà  hội tụ (do  = 1 ) 3/2 3 3 − + 3/ 2 1+ + 1 x x x x x 1 x 2  dx  
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 3
x − x +1 + x+1 Câu 3.
Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với 𝑦 ≥ 0 ) thì sẽ thu được vật
thể đã cho. Nửa trên của elip là miền giới hạn bởi: 3 𝑦 = √
2 4 − 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2.
Quay miền này quanh trục O𝑥 ta thu được vật thể có thể tích là: 2 3 2 9 2 9 𝑥3 2
𝑉 = 𝜋 ∫ ( √4 − 𝑥2) d𝑥 = (4 − 𝑥2)d𝑥 = −2 2 4 ∫ −2 4 (4𝑥 − 3 )| −2 = 24𝜋(dvtt) Câu 4. cos x− cos 4 x
− sin x+ 4sin 4 x L = lim = lim
(dạng 0 − 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) 2 x →0 x →0 x 2x 0
− cos x +16cos 4x − cos0 +16cos 0 15 = lim = = . x →0 2 2 2
Vậy giới hạn cần tính bằng 15 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 62
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 5. x x y = = . 3 2
x − x + x− x− ( 2 2 2 ( 2) x + 1) Tập xác định: D =
x = 2 là điểm gián đoạn của hàm số. 1 x  1 x 2  lim y = lim  = + do lim = + , lim =   0 + + 2 + + 2 x →2 x →2 − + x →2  − x 2 x 2 x 1 x 2 → x + 1 5 
x = 2 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. Câu 6.  2 2 2
z = 3x y + 2xy − 3yz (1,1) = 2 x x  3 2
z = 2x y + 2x y − 3xz (1,1) = 1 y y
 dz (1,1) = z (1,1)dx + z (1,1)dy = 2 dx + dy x y Câu 7.   x = 0
z = −4 y − 4x + 2 = 0  Tìm điểm dừng: x     
z = −4 x − 6 y + 3 = 0 y =  y    2     M 0,   m d là điể
ừng duy nhất của hàm số.  2  2 B  −AC = −     8 0 A = z = 4 − , B = z = 4 − , C = z = 6 −   xx xy yy A  = 4 −  0     hàm số t c đạ ực đại tại 3 M 0,   , giá tr c ị ực đại 2 z =  .  2  CÐ 4 Câu 8. x = r cos Đổi biến  |  J |= r . y = r  sin  1   r  2 
Miền D trở thành       4 3 Tích phân cần tính là:  /3 2  /3 2 2 I =
(x + y)dx dy = d
(r cos + r sin) r dr = d
(cos + sin)r dr      D  /4 1  /4 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 63
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST r 2 = 3   = /3  /3  /3 r 7 7 = (cos + sin) d  =
(cos + sin )d = (sin  − cos)    /4  /4 3 3 3 r 1 =   = /4 7 = ( 3 −1) . 6
Câu 9. Giả sử tồn tại hàm f (x) thoả mãn đề bài.
Vì f khả vi tới cấp 2 trên (-2,2)  f khả vi trên (-2,2), liên tục trên [-2,2].
Áp dụng định lý Lagrange cho f (x) trên [0,1]: − Tồn tại    f f (0,1) sao cho (1) (0) f ( ) =
= f (1) (vì f (0) = 0 ) 1− 0
Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f (x) liên tục trên [−1,0] , khả vi trên (−1,0) ta − − có: Tồn tại    f f (−1, 0) sao cho (0) ( 1) f ( ) =
= − f (−1) = f (1) 0− (−1)
Như vậy, tồn tại  ,  (−2,2),   sao cho f  ( ) f  =
( ) , điều này mâu thuẫn với giả thiết
f  (x)  0,x (−2, 2)  không t n t ồ
ại hàm f thoả mãn đề bài. Câu 10.
Đặt 𝑢 = 𝑥2 − 𝑦2 và 𝑓(𝑢) = sin 𝑢 + 𝑢2018 + 100𝑢2019.
Ta có: 𝑧 = 𝑥𝑓(𝑢 . ) ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ 2𝑥 = 𝑓(𝑢) + 2𝑥2𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ (−2𝑦) = −2𝑥𝑦𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ⇒ 𝑥2 ∂𝑧
∂𝑦 + 𝑥𝑦 ∂𝑥 = −2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) + 𝑥𝑦𝑓(𝑢) + 2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) = 𝑥𝑓(𝑢) ⋅ 𝑦 = 𝑧𝑦. ⇒ đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 64
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 x
(1 điểm). Tính dx  . 2 x + 5x + 6  dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 1 3
x + x +1 + x+1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
= 1 quay quanh trục Ox . 9 4 Câu 4 (1 điể − m). Tính cos 4x cos x lim . 2 x→ 0 x Câu 5 (1 điể x
m). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = . 3 2
x + 2 x + x + 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 2 3 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z= xy+ ( − x− y)(2x+ 3y);  là tham số thực . 2 2 1
  x + y  4 
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy  , vói D :  x Dy x   3
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho: f (1) f (1), f (0) 0 và f  = − = ( ) x  0, x   (−2, 2) Câu 10 (1 điể 2018 2019
m). Cho hàm số z x  ( 2 2 x y ) ( 2 2 x y ) ( 2 2 sin 100 x y )  = − + − + −  .     Chứng minh 2 z z x + xy = zy . yx
Lời giải tham kh s ảo đề ố 7
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 65