Bộ đề Giải tích 1 (có đáp án) | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bộ đề Giải tích 1 (có đáp án) | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Môn: Giải tích 1 80 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.8 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 ln(1 + x) x a) lim . x 0 → x 3 b) x y lim . 6 2 ( , x ) y ( → 0,0) 2x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 2,02 + 3,04 + 3 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng cos x 1− , x 0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 3x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. −1 Câu 5 (1 điểm). Tính 2 2
2x−3 + 1− x dx.
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 3
f (x) = x + x c là có hàm ngượ
y = g (x) . Tính g (2) . 2 2
z z 3 z Câu 7 (1 điể 1 m). Tính P = + + với z = . 2 2 x y y y (x + y )3 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình c u vói t ầ ốc độ 3 100 cm / s . Tính tốc độ a bán kính qu tăng lên củ
ả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50 cm.
Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx . 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ln(1+ x ) 1 ln x + Câu 1: ln(1 x) x L = lim =lim x e . x 0 → x 0 x → ln(1+ x) ln(1+ x) ln ln 1+ − 1 Xét giới hạn x x K = lim = lim x 0 → x 0 x → x ln(1 + x) x→0 + x + ) Vì lim −1 = 1−1 = 0 ln(1 ) ln(1 x , nên ln 1+ − 1 ~ − 1 . x→ 0 x x x ln(1 + ) x −1 1 − 2 x + o( 2 x ) ln(1 + x) − x = lim x K (VC ) B = lim = 2 lim (Khai triển Maclaurin) 2 x→ 0 x→ 0 x x 2 x→ 0 x −1 2 x −1 2 = lim = 2 x 0 → x 2
Giới hạn đã cho bằng K 1/2 L e e− = = . 3 b) x y f ( , x y) = , ( , x y) 0. 6 2 2x + 3y +) Chọn M ( 3 , a a
. Khi a → 0 thì M ( 3 a, a → (0,0) . 1 ) 1 ) a a 1
Ta có: f (M )= f (a,a ) 3 3 3 = = 1 6 6 2a + 3a 5 f ( 1 M → khi M → (0,0) (1) 1 ) 1 5 +) Chọn M ( 3 − ,
b b . Khi b → 0 thì M ( 3 − , b b → (0,0). 2 ) 2 ) (− ) b b 1 −
Ta có: f (M )= f (−b,b ) 3 3 3 = = 2 6 6 2(−b ) + 3b 5 − f ( 1 M → khi M → (0,0) (2) 2 ) 2 5 3 x y
Từ (1) và (2) f (x, y) không cùng tiến tới một giá trị khi (x, y) → (0,0) lim 6 2
(x,y )→(0,0) 2x + 3y không tồn tại.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số 2 2 f ( , x ) y =
x + y + 3 . Ta có: x y x = 2, x = 0,02 f ( , x ) y , f = ( , x ) y = . Chọn 0 . x y 2 2 2 2 x + y +3 x + y +3 y = 3, y = 0,04 0
Áp dụng công thức tính g ần đúng: 2 2 A =
2,02 + 3,04 + 3 = f ( x + ,
x y + y f x , y + f
x , y x + f
x , y y 0 0 ) ( 0 0) x ( 0 0) y ( 0 0 ) 1 3 = f (2,3) + f + f = + + = x (2, 3) 0, 02 y (2, 3) 0, 04 4 0,02 0, 04 4,04 2 4 Vậy A 4,04 . 2 2 x x
Câu 3. Chứng minh: cosx 1− , x 0 cosx + − 1 0, x 0. 2 2 2 x Xét
f (x) = cos x +
−1 trên [0;+). Ta có: f (x) = −sin x + ,
x f (x) = − cos x +1 0, x 0 2 f ( x) ng bi đồ ến trên [0; ) f (x) f + (0) = 0, x 0 f ( x) ng bi đồ ến trên [0;+ )
f (x) f (0) = 0, x 0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình ph ng gi ẳ ới hạn bởi các đường 2 y = x − 3 ,
x y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là: 3 V = 2 x
( 2x −3x)dx =2 x ( 2
3x − x )dx (vì 0 2
x − 3x 0, x [0,3]) 3 4 3 x 27 = 2 ( 2 3 3x − x ) 3 dx = 2 x − = (đvtt) 0 4 2 0
Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2
2x − 3 0 x
1− x 0 1− x = x −1 , do đó: 2 −1 − 2 2
I = 2x − 3 + 1− x d
x = 2x − 3 + ( 2 x − 1) 12 d x 1 1 3 = 2x − 3 dx + dx = (2x − 3) + ln ( 2
x + x − 1 + C 2 ) − 3 x 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 6. Ta có: 2 f (x) =3x 1 + . Với 3
y = 2 x + x = 2 x =1. 0 0 0 0 1 1 1
Vì y = g(x) c c là hàm ngượ ủa 3
f (x) = x + x nên: g ( y ) = = = . 0 f ( x f (1) 4 0 ) Vậy 1 g (2) = . 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là y 0 . 2 2 2 z 12x − 3y
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z(x, y) nên: = . 2 x (x + y )7 2 2 2 2 2 2 2 2 z z 3 z
12x − 3y + 12 y − 3x 3 −3y P = + + = + 2 2 x y y y ( + )7 y x y ( x + y )5 2 2 2 2 9 9 = − = 0,y 0. (x + y )5 (x +y )5 2 2 2 2
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t( s) là V t ( 3 ( ) cm ) .
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 3 V t = ( 3 100 cm / s ( ) 100 cm / s) .
Tại thời điểm t nào đó, R (t = 50( cm) . 0 ) 0 4 Ta có: 3 = V (t) = ( ( R t)) . Lấy ạ
đ o hàm hai vế theo t , ta có: 2
V (t) 4 (R(t)) R (t) 3
Tại t =t , ta có: V (t ) = 4 R (t ) 2 R (t ) 2
100 = 4 (50) R t 0 0 0 0 ( 0 ) R ( 100 1 t = = (cm / s). 0 ) 2 4 (50) 100
Khi bán kính quà bóng bằng 50 cm, tốc độ a bán kính qu tăng lên củ ả bóng khi bán kính là 1 (cm / s) . 100 /2 Câu 9. I = cot x dx . 0 /2 /2 /2 sin x cos x sin x +cos x Xét L =
( tan x + cot x)dx = + d x = dx . 0 0 0 cos x sin x sin x cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Đặt t = sin x − cos x dt = (cos x + sin x)dx . 2 − t 2 2 1
t = (sin x −cos ) x 1
= −2sin xcos x sin xcos x = . 2 Đổi cận: - Khi x 0+ → thì t → 1
− ; Khi x → thì t →1 2 1 dt 0 2 1 2 L = = dt + dt −1 2 −1 2 0 2 1− t 1− t 1 − t 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt + A ( → −1) A 2 B 1− 0 2 1− t → 1− t 0 B
= lim ( 2 arcsin )t + lim( 2 arcsin )t + − A→(−1) B 1 → A 0 − = lim (− 2 arcsin ) A + lim ( 2 arcsin ) B = − 2 + 2 = 2 A ( 1)+ B 1− → − → 2 2 /2 Giờ xét cot x dx , với f ( )
x = cot x 0 liên tục trên 0, . 0 2 + + x 0 → x 0 cos x 1 → 1 1 cot x = ~ ~ = , 1/2 sinx sinx x x /2 1 mà /2 1 dx hội tụ (vì = (0,1) cot x dx hội tụ. 1/ 2 0 x 0 2 Đổi biến t = − x x = − t , ta có: 2 2 /2 0 /2 /2 cot x dx = cot − t (−dt) = tan t dt = tan x d . x 0 /2 0 0 2 /2 /2 1 1 cot x dx =
( tan x + cot x )dx = L = . 0 0 2 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 x x − a) e 1 lim . x→ 0 x 4 b) xy lim 2 8
( x, y)→(0,0) 4x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 4,03 + 2, 02 + 5 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng x e 1+ x + , x 0. 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn b ng ởi các đườ 2
y = x − 4x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −
Câu 5 (1 điểm). Tính 2 2 4
− −3x + 1− x dx .
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 5
f (x) = x + x c là có hàm ngượ
y = g (x) . Tính g (2) . 2 2
z z 5 z Câu 7 1
(1 điểm). Tính P = + + với z = . 2 2 x y y y (x +y )5 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình c u v ầ ới tốe độ 3 200 cm / s . Tính tốc độ a bán kính qu tăng lên củ
ả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60 cm.
Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx . 0
Cách giải tham kh s ảo đề ố 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) x − lim . x → sin x 2 2y ln b) x lim . 2 2
(x,y )→ (1,0) ( x− 1) + y
Câu 2 (1 điểm). Phương trình 3 2 5
x + 3x y + y − 5 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) . 2x
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arctan , x 1 . 2 1− x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2x) đến 3 x . Câu 5 x
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố y = . x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2 ) x dx . b) + dx . x + ( 2 0 ( 3) x − x+1)
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 3 2 x +
y = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 3 3 2
z = x + y − (x + y) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x − 1 1 lim = lim = = 1
− . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) x → sin x x → cos x cos Vậy x − lim = −1 . x → sin x 2 2y ln x b) Đặt f ( , x y) = 2 2 (x 1 − ) + y 2 2 y ln1
+) Nếu x =1 và y → 0 thì f ( , x ) y =
= 0 → 0 khi y → 0 . (1) 2 2 0 + y
+) Nếu x 1 và (x, y) → (1,0) thì: 2 2 2y ln x ln x 2y (x −1) lim = lim lim 2 2 2 2 (x, y) ( → 1,0) ( x, y) ( → 1,0) (x, y) ( → 1,0) (x 1 − ) + y x 1 − (x 1 − ) + y x 1 x 1 x 1 Ta có: VCB lnx lnx x − 1 lim = lim = lim = 1 (x ,y )→(1,0) x 1 → x 1 x 1 − x 1 → − x 1 − 2 2 2 2y (x 1 − ) 2 | (x 1 − )y | (x 1 − ) + y 0 = | y | | y | |
= y | , mà lim | y |= 0 2 2 2 2 2 2 (x −1) + y ( x −1) + y (x − 1) + y ( x, y)→(1,0) 2 2 y ( x 1 − ) 2 − lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 y ( x 1) = 2 2 lim 0
(x,y )→(1,0) (x −1) + y 2 2
(x ,y )→(1,0) ( x 1) + y x 1 x 1 2 2y ln x lim = 1.0 = 0 (2) 2 2 ( x , y) (
→ 1,0) (x −1) + y x 2 Tù y x (1) và (2) 2 ln lim = 0 2 2 ( , x ) y (
→ 1,0) (x −1) + y Câu 2. +) Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y − 5 = 0 y + 3y = 4 y =1 y(1) =1. Theo bài ra: 3 2 5 x + 3x y( )
x +[ y(x)] −5 = 0
+) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 2 2 4
3x + 6xy(x) + 3x y (x) + 5y (x)[ y(x)] = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1 , ta có: 4
3 6y(1) 3y (1) 5y (1)[y(1)] 0
3 6 3y (1) 5y + + + = + + + (1) = 0 ( do ( y 1) = 1) − 9 y (1) = 8 Vậy 9 − y(1) = 8
Cách giải khác: Đặt 3 2 5
F(x, y) = x + 3x y + y − 5. − − + ( , ) x xy F x y x ( 2 3 6 ) Ta có: y ( ) x = = . (*) 2 4 F ( , x ) y 3x + 5 y y Với x =1 thì 5 5
1+ 3y + y −5 = 0 y + 3y = 4 y =1 y(1) = 1. Thay ( − 3 +6) 9 −
x = 1, y = 1 vào (*), ta có: y(1) = = . 3 + 5 8 2( 2 1− x ) 2
− 2x (−2x) 2x + 2 − − + (1 x )2 (1 x )2 2 2 2( 2 x )1 2 Câu 3. y = = = = , x 1. 2 4 2 2x x + 2x + 1 ( + x + + )2 2 2 x 1 1 1 1− x (1− x )2 2 2 Vậy 2 y = ,x 1 . 2 x +1 2 3 x x
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: + x = x − + + o(x )3 ln(1 ) . 2 3
Khi x → 0 thì 2x → 0 , thay x bởi 2
x , ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: 2 3 (2 ) x (2 ) x y = ln(1 + 2 ) x = 2 x − + + o( 3 (2 ) x ) 2 8 3
= 2x −2x + x + o( 3x ) 2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là 8 2 3
y = 2 x − 2x + x + o ( 3 x ). 3 Câu 5.
+) Tập xác định D =
Đồ thị hàm số không có tiệm c ng. ận đứ +) Khi L Hospital x →+ : x 1 lim y = lim = lim = 0 (Dạng vô định) x →+ →+ e +1 x x x x →+ e
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải c ủa đồ thị hàm số.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x x y 1 e 1 + x a = lim = lim = lim
= 1 0 ( vì lim e = 0 Khi x → − không có tiệm cận x →− ) x →− x →− x x x →− 0+ 1 ngang. x x xe x
b = lim ( y − a ) x = lim − x = lim = lim dạng x x x ( x x e +1 x e + 1 x 1+ e− →− →− →− →− L'Hospital 1 = lim = 0 ( do lim x e− = + x →− ) x x −e− →−
y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm c ng, và có ận đứ
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là
tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2 ) x 1 − 2 − sin(2 ) x d x 1 − ( d cos(2 ) x ) 1 − ) a tan(2 ) x dx = dx = = = ln | cos 2x | +C cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2 Vậy 1 − tan(2 ) x dx = ln | cos 2 x | + . C 2 b) + dx A dx = lim 0 ( x +3)( 2 x − x + ) A→+ 0 1 ( x +3)( 2 x − x + ) 1 A 1 1 1 2x 1 − 7 1 lim d = − + x 2 2 A →+ 0 13 x + 3 26 x −x +1 26 1 3 x − + 2 4 A 1 2 + ln x − x +1 x − ln | x 3 | 7 2 2 = lim − + arctan A →+ 13 26 26 3 3 2 0 2 ln A − A + 1 ln | A+ 3 | 7 2 A−1 ln 3 7 = lim − + arctan − + A →+ 13 26 13 3 3 13 78 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 1 | A 1| 7 2 A 1 ln 3 7 + − = lim ln + arctan − + 2 A →+ 26 A − A 1 + 13 3 3 13 78 3 1 7 ln 3 7 14 ln 3 = ln1+ − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng − . 39 3 13 2 2 3 3 Câu 7. x y 3 2 3 2 x + y =4 + 1 = 2 2 3 =
Tham số hoá đường cong: ( x t) 8cos t (0 t 2 ) 3 y (t) = 8sin t
Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật thể c, khi quay ph thu đượ ần ứng với 0 t quanh trục Ox. 2 Diện tí ch c c ần tính là: /2 = y t ( ' 2 2 | ( ) |
x (t) )2 + ( y (t) )2 /2 dt = 4 8sin t ( 2
− 4sin t cos t )2 + (24cost sin t )2 3 2 2 dt 0 0 /2 = 768
sin t sin t cos t (cos t + sin t ) /2 3 2 2 2 2 4 dt = 768
sin t cost dt 0 0 /2 /2 768 768 4 5 = 768
sin t d(cost ) = sin t = (dvdt) 0 5 5 0
Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: D = Tìm điểm dừng: x = − y { = = 2 x y 0 2 2 2
z = 3x − 2(x + y) = 0 y = x 3x = 0 x 2 2 4
z = 3y − 2(x + y ) = 0
x − x − y = x = y x = y = y 3 2 2 0 { 2 3 3x − 4x = 0 4 4
hàm số có 2 điểm dừng là M , và M (0,0) . 1 3 3 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Ta có:
A = z = 6 x− 2, B = z = 2
− , C = z = 6 y− 2 xx xy yy 2
= B − AC = 4− (6x −2)(6y − 2). 4 4 - Tại điểm M , , ta có = − và 1 32 0 A = 6 0 3 3 − 64 z(x, y) t c
đạ ực tiểu tại M (1,1), z = = . 1 z M CT ( 1 ) 27
- Tại điểm M (0,0) . 2 Xét 3 3 2 z
= z(0 + ,x0 + y
) − f (0,0) = ( ) x + ( y
) −(x + y) Khi x = − y
→ 0 ta có: z = 0, điều này chứng tỏ z (M = z M , với 2 ) ( 3) M ( x
,−y) thuộc lân cận của M hàm số không đạt cực tr t ị ại M 3 2 2 4 4 Vậy hàm số t c
đạ ực trị duy nhất tại m m là ột điể M ,
(cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1 3 3 −64 z = = . CT z (M1 ) 27
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) 2 x − lim . x → cosx 2 3 2x ln y b) lim . 2 2
(x,y )→(0,1) x + ( y− 1)
Câu 2 (1điểm). Phương trình 4 3 5
x + 4xy + 3 y − 8 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) . 2x
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin , x 1. 2 1+ x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1−3x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố x y = . 2 x e + 1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3x)dx . b) + dx 0 ( x + 4) ( 2 x + x +1)
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 3 3 2
z = x + y + (x + y) .
Cách giải tham kh s ảo đề ố 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 1
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim − . 2 0 x x→ e −1 x 3 = +
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số x t t
y = f (x) xác định bởi . Tính
f (x), f (x) . 2 4 y = 2t + 3t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 3 y = x(x − 3) . 2 2
Câu 4 (1 điểm). Ch ng minh r ứ
ằng vói mọi x 0 , ta có ln 1+ . x 2 + x 6 6 6 + ++ Câu 5 1 2
(1 điểm). Tìm giới hạn n lim . 7 n→ n
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 sin xdx a) . sin x + cosx
b) 3arccot 3 − x dx . 2 Câu 7 + (1 điể d
m). Tính tích phân suy rộng x . x ( 4 1 3x − 2)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
x arctan 3x, x 0 f (x) = 3 x
ae + bsin , x x 0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 2 1 2 x x −e 1 + Câu 1. L = lim − = lim 2 x → e 1 − x → ( 2 0 0 x x x e 1 − )x Dùng VCB: ( → x e − )x 0 2 1
~ 2x cho mẫu số, ta có: 2 VCB 2 x x − e + 1 L = lim (dạng 0 ) x→ 0 2x x 0 L H ospital 2 2 −2 x e L Hospital 2 x 0 − − = 4e 4e lim 0 (dạng ) = lim = = −1. x 0 → 4x 0 x 0 → 4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng −1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: 2 (2x) 2x − 2x + + o ( 2x) 2x −( 2 x e − )1 2! L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) → ( 2 0 x x e −1)x x→ 0 2x x 2 2 − x − o( 2 x ) 2 2 − x = lim = lim = −1. 2 2 x 0 → x 0 2x → 2x Câu 2. x = x(t) Ta có công thức: Với
Xác định hàm y = f (x) y = y(t) y (t)
y (t )x (t) − y (t)x (t) f ( ) x = và f ( ) x = . 3 x (t) x (t)
Áp dụng công thức trên ta có: 3 + dy y (t) 4t 12t f ( ) x = = = = 4 .t 2 dx x (t) 1+ 3t 2 d y d dy d 1 d 1 4 f ( ) x = = = (4 ) t = (4 )t = 4 = . 2 2 2 dx dx dx x ( ) t dt x ( ) t dt 1 +3t 1 +3t Câu 3.
+) Tập xác định: D =
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: − ( 2 x(x 3) ) 2
(x − 3) + 2(x − 3)x x − 3+ 2x y = = =
, x 0, x 3. ( 2 3 x x )2 3 2 4 3 2 x ( x −3) x ( x − − 3) ( 3) $ − + x 3 2 x y = 0 = 0 x= 1. 3 2 x (x − 3) Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị: - Hàm số t c
đạ ực đại tại điểm 3 x = 1, y = y(1) = 4 . CD - Hàm số t c
đạ ực tiểu tại điểm x = 3, y = y(3) = 0 . CT Câu 4. Xét hàm số 2 2 f ( ) x = ln(1 + ) − trên(0, + ) x 2 + x x + 2 2 2 f ( ) x =ln −
=ln( x +2) −ln x − ( do x 0) x 2+ x 2+ x 2 1 1 2
(x + 2)x − (x + 2) + 2x −4 f ( ) x = − + = = 0,x 0. 2 2 2 x + 2 x (x + 2) x(x + 2) x(2 + x ) 2 2 lim f ( ) x = lim ln 1+ − = + + + x 0 → x 0 → x 2 + x 2 2 lim f ( ) x = lim ln 1+ − = ln(1+ 0) − 0 = 0 x →+ x →+ x 2+ x Ta có bảng biến thiên:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x) 0,x 0 2 2 ln 1+ − 0,x 0 x 2+ x 2 2 ln 1+ , x 0 (đpcm) x 2 + x Câu 5. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 + 2 ++ n 1 1 + 2 ++ n 1 1 2 n L = lim = lim = lim + ++ 7 6 n → n → n n n n → n n n n 6 1 n k =lim n→ n n k =1 1 = f (x)d , x trong đó 6
f (x) = x hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 1 7 1 x 1 6 = x dx = = . 0 7 7 0
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6.
Giải: sin x + cos x = 2 sin x +
. Đặt t = x + x = t −
dx = dt . Tích phân cần tính trở 4 4 4 thành: 3 3 1 1 sin t − sint − cost 4 2 2 I = dt = dt 2 sin t 2 sin t 3 2 2 3 3
1 sin t −3sin t cos t +3sin t cos t −cos t 1 2 2 cos t = dt =
sin t − 3sin t cost + 3cos t − dt 4 sin t 4 sin t 1 1 1 3 3 3 cost =
− cos 2t − sin 2t + + cos 2t − ( 2 1 −sin t ) dt 4 2 2 2 2 2 sin t 1 3 cost =
2 + cos 2t − sin 2t −
+cos tsin t dt 4 2 sint
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 cos t 1 1 1 =
2 + cos 2t −sin 2t − d t =
2t + sin 2t + cos 2t −ln | sin t | + C 4 sin t 2 2 2 2 Thay t = x + 4 3 sin xdx 1 1 1 = 2x+ + sin 2x+ + cos 2x+ − ln sin x + + C sin x + cos x 4 2 2 2 2 2 4 x
cos(2x) −sin(2x) 1 = + − ln sin x + + C 1 2 8 4 4 b) Xét nguyên hàm
arccot 3 − x dx = arccot 3− x d(x − 4)
= (x − 4)arccot 3− x − (x − 4)d(arccot 3− x) −1 −1
= (x− 4)arccot 3− x − (x− 4) dx 2 1 +( 3 − x) 2 3 − x −1
= (x− 4)arccot 3− x −
dx = (x− 4) arccot 3− x − 3− x + C. 2 3 − x 3 3 − −
arccot 3 − x dx =[(x − 4)arccot 3 − x − 3 − x] = − −1 =1 2 2 2 2 Câu 7. 1 f ( ) x =
là hàm dương và liên tục trên [1, +) . x( 4 3 x −2) + dx
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + x ( 4 1 3x − ) 2 1 x →+ 1 1 = , mà + 1 dx hội tụ (do = 5 1) x( ~ 4 3 x − 2) 4 5 x 3x 3x 5 1 3 x + dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 x ( 4 3x − ) 2
Câu 8. Tham số hoá đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1: x = cost (0 t 2 ). y = 2 + sin t
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox là: 2 2 | = y(t) |
(x (t))2 +(y (t))2 2 2 2 dt = 2
|2 + sin t | (−sin t) + (cost) dt 0 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 2 = 2
(2+ sin t)dt ( vì 2 + sin t 0) = 2 (2t + cos t) = 8 ( dvdt ) 0 0 Câu 9.
Để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 thì điều kiện cần là f (x) liên tục tại x = 0 , tức là: lim f ( ) x = lim f ( )
x = f (0) lim (
x arctan 3 x) = lim ( 3 x
ae + bsin x = + − + − ) 0 x →0 x →0 x →0 x →0 0
0 = ae + b sin 0 = 0 a = 0.
x arctan 3x , x 0,
Với a = 0 thì f ( ) x = s b in , x x 0 f ( ) x − f (0)
x arctan 3 x −0 x arctan 3 x x 3 x lim = lim = lim = lim = lim 3 = 3. + + + + + x →0 − x x 0 → x x →0 x x 0 → x x 0 0 → f ( ) x − f (0) bsin x −0 sin x lim = lim = b lim = b.1= b − − − x →0 − x →0 x →0 x 0 x x a = 0 a = 0
f (x) khả vi tại x = 0 f ( ) x − f (0) f ( )
x − f (0) lim = lim 3 = b + − x 0 → − x 0 x 0 → x − 0
Vạy (a,b) = (0, 3).
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 21
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) 1 3
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim − . 3 0 x x→ x e − 1 3 = + Câu 2 x 3
(1 điểm) Cho hàm số t t
y = f (x) xác định bởi . Tính
f (x), f (x) . 5 y = 5t −t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 3 y = x (x − 3) . x + 1 2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi x 1 , ta có ln .
x − 1 x − 1 5 5 5 + ++ Câu 5 1 2
(1 điểm). Tìm giới hạn n lim . 6 n→ n
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 cos x dx a) . sin x + cosx b) 2 arctan 3− xdx . 1 Câu 7 + (1 điể d
m). Tính tích phân suy rộng x . x ( 4 1 2 x −1)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y + 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số: x sin 3x, x 0 f ( x) =
a2x +barctan , x x 0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Lời giải tham kh s ảo đề ố 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 22
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điể x − x m). Tính cos lim .
x →+ x − sin x −1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 7,988 .
Câu 3 (1 điểm). Tính hoặc xét sự phân kỳ + −x e x dx . 1
Câu 4 (1 điểm). Tính 3 x e sin(2x)dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Cho 2 ( , ) xy z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l
ị ớn nhất, giá tr bé nh ị ất của hàm số 2 2
z = 3x − 4 y trong miền đóng: 2 2 x y + 1. 4 3
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1− x − y dx dy , trong đó: 2 2
D : x + y 1, x 0, y 0 . D 1 x = 3 Câu 8 −
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố t 8 2t y = 3 t −8 Câu 9
(1 điểm). Tính arcsin x 18 2 + . − 1 sin x dx | | + 2 1 x e y Câu 10 x
(1 điểm) Tính z (x;y ) biết arccot , 0 = x z( ; x y) x 0 , x = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 23
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x →+
Câu 1. Vì cos x b ịchặn bởi 1 (cos x − ) x ~ (− ) x x →+
Tương tự, vì (−sin x −1) bị chặn bởi 2 (x − sin x −1) ~ x VCL cos x − x − x lim = lim = −1.
x→+ x − sin x −1 x→+ x
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 − . Câu 2. 3 3
A = 7,988 = 8 − 0,012 Chọn x = 8, x
= −0,012 . Xét hàm số 3 f ( )
x = x trên (0, +) . 0 1 f x x f = ( 1 1 ( ) , 0 x = = . 0 ) 3 2 3 2 x 12 3 3 8
Áp dụng công thức tính gần đúng nhờ vi phân: 1 3
A = 7,988 = f ( x + x f x + f x x = 8 + ( 0 − ,012) = 1,999 0 ) ( 0) ( 0) 3 12 Vậy 3 A = 7,988 1,999 . − − Câu 3. − − − − − − x x e x x = x ( x e − ) x = e − x − ( x −e ) x x 1 d d
dx = −xe − e + C = + C . x e A + − − − − Ta có: A − x − x 1 x 1 A 2 e x dx = lim e x dx = lim = lim + . 1 →+ 1 x A A A→+ A e →+ e e 1 − − +) Xét giới hạn: 1 A lim A A →+ e 1 − lim = 0 (do lim A e = + ) A A→+ e A →+ + − 2 x 2 2 e x dx = 0 + =
tích phân đã cho hội tụ và bằng . 1 e e e Câu 4. 3x 3x 3x e e e 3x I =
e sin(2x )dx = sin(2x)d = sin(2x) − d(sin(2x)) 0 0 0 3 3 3 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 24
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 − 3x 2 = 0− cos(2 )d = cos(2 )d ( 3x e x x x e ) 0 0 3 9 3 −2 − 3 e x 2 3x 2 2 4 3 = cos(2x)e + e d(cos(2x)) x = −
e sin(2x)dx 0 0 9 9 9 9 0 3 3 2 2e 4 2 2e − − I = − I I = . 9 9 13 3
Vậy tích phân cần tính bằng 2 2e − . 13 Câu 5. 2 2 2 xy z y e , z = = 2 xy xye x y 2 2 2 2 2 4 xy xy 3 xy xy 2 2 z
= y e , z = z = 2ye
+ 2y xe , z = 2xe + 4 xy xx xy yx yy x y e 2 2 2 d z = z x + z x y + z y x d x 2 x d y d y d y 2 xy = + ( 2 2 xy xy + ) ( 2 2 4 2 3 xy 2 2 xy y e x ye y xe y + xe + x y e ) 2 d 2 2 2 dxd 2 4 dy Rút gọn lại, ta có: = + ( + ) + ( + ) 2 2 4 2 3 2 2 2 d d 4 4 d d 2 4 d xy z y x y y x x y x x y y e . 2 2 y x 4 1− 2 2 2 x y 3
Câu 6. Với điều kiện x 4 + 1 2 2 4 3 x y 3 2 y 3 1− 4 2 + x ) Ta có: 2 2 2 2
z = 3x − 4y 3x − 4 3 1−
6x −12 0 −12 = 1 − 2 4 2 2 x y + =1 x = 0 Đẳng thức xảy ra 4 3 = 2 y 3 x = 0 2 +) Ta có: 2 2 y 2 2
z = 3x − 4 y 3 4 1−
− 4y = 12 − 8y 12 − 0 = 12 3 2 2 x y + =1 x = 2
Đẳng thức xảy ra 4 3 y = 0 2 y = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 25
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Kết luận: Trên miền đã cho thì:
- Giá tr ịnhỏ nhất của z là −12 , đạt được tại (x, y) = (0, 3). - Giá tr l
ị ớn nhất của z c t
là 12, đạt đượ ại (x, y) = ( 2 ,0) .
Câu 7. D là miền được g ạch chéo như hình bên. x = r cos Đổi biến | J |= r . y = r sin − Miền 0
D trở thành E : 2 0 r 1 0 1 2 2 2 2 I =
1− x − y dx dy =
1− r |J | d dr = d 1− r r dr D E − 0 r 1 = 0 1 1 − − 2 = − r ( 2 − r ) 0 1 2 = − = = − ( 2r )3 0 1 d 1 d 1 1 d d − 0 − 6 2 2 2 2 3 2 r 0 =
Vậy tích phân cần tính bằng . 6 Câu 8.
+) Khi t → t (với t 2 ) thì limx và limy hữu hạn 0 0 t→ t → 0 t t 0 ng h trườ
ợp này không có tiệm cận. +) Khi 1
t → 2 thì limx = lim = 3 t 2 → t 2 → t − 8 2t 3 y Ta có: t − 8 a = lim = lim = lim(2t) = 4 0 t 2 → t 2 x → 1 t 2 → 3 t − 8 2t 4 2(t − 2)
b = lim( y − ax) = lim − = lim 3 3 t →
t → t − 8 t − 8 t → (t − 2) ( 2 2 2 2 t + 2t + 4 ) 2 2 1 = lim = = 2
t→2 t + 2t + 4 12 6 ng h trườ
ợp này đồ thị hàm số có tiệm cận xiên hai phía 1 y = 4 x + . 6
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 26
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi 1 2t
t → thì limx = lim
= 0 (hữu hạn) và lim y = lim = 0 (hữu hạn) ng nên trườ 3 3 t→ t→ t − 8 t→ t→ t −8
hợp này không có tiệm cận.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận, đó là tiệm cận xiên hai phía 1 y = 4x + . 6 Câu 9. /2 /2 /2 arcsin x 18 18 arcsin x 18 I = 1+ sin x dx = sin x dx + sin x dx − /2 | | /2 | | 1 x x + e + I 1 I 2 +) Xét 18
f (x) = sin x , ta có: f (−x) = f (x), x ) là hàm chẵn /2 18 17!! 17!! I = 2 sin x dx = 2 = 2 (tích phân Wallis). 0 18!! 2 18!! arcsin x +) Xét 18 g(x) =
sin x . Đề cho hơi dở, vì cận arcsin x không xác định trên toàn | | 1 x +e − bộ , , nên chỗ b này đề sai. ị 2 2 Sửa lại một chút: x x arcsin arcsin /2 /2 /2 18 18 18 I = − 1 + sin x dx = sin x dx + sin x dx | | − /2 − /2 | | 2 1 x x + e + 2 I x arcsin Lúc này, đặt 18 g(x) = sin x . | | 1 x + e −
Ta có g(−x) = −g(x) nên g(x) là hàm lẻ trên , 2 2 /2 I =
g(x)dx = 0 ẻ ận đố ứ 2 (tích phân hàm l , c i x ng). − /2 Vậy 17!!
I = I + I = . 1 2 18!! Câu 10. − − +) 1 y y
z (x, y ) = = , x 0 . x 2 2 2 2 y x x + y 1+ x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 27
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
+) Với mỗi điểm (0, y , xét giới hạn: 0 ) y y −
f (x y ) − f ( y ) 0 0 arccot 0 arccot , 0, 0 0 lim = lim x = lim x x→ 0 x→ 0 x→ 0 x −0 x −0 x - Nếu y y 0 0 y = 0 thì arccot = arccot 0 = lim
x . Giới hạn này không tồn tại h u h ữ ạn 0 →0 x 2 x x
không tồn tại z (0,0) . x y0 arccot - Nếu y y y 0 , ta xét: 0 0 lim = − lim arccot = lim
x = − không tồn tại 0 x 0 − x x 0 − x 2 x 0 − → → → x z (0,y (với y 0 ) . x 0 ) 0 y0 arccot - Nếu y y y 0 , ta xét: 0 0 lim = − lim arccot = lim
x = + không tồn tại 0 x 0 + x 0 + x 0 x x 2 + → → → x
z (0,y (với y 0 ) . x 0 ) 0 − − Tóm lại, 1 y y
z (x, y) = =
,x 0 . Còn z y không tồn tại. x (0, ) x 2 2 2 2 y x x + y 1 + x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 28
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 (1 điể x −x m). Tính cos lim .
x →+ x − sin x +1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 8,012 .
Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ + x e x d . x 1
Câu 4 (1 điểm). Tính 3x e cos(2 ) x dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Cho 2 ( , ) x y z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá tr l
ị ớn nhất, giá tr bé nh ị ất của hàm số 2 2
z = 4x − 3y trong miền đóng: 2 2 x y + 1. 3 4
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1+ x + y dx dy , trong đó: 2 2
D : x + y 1, x 0, y 0 . D 1 x = 3 Câu 8 −
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố 8 t 2t y = 3 8 − t
Câu 9 (1 điểm). Tính arcsin x 2 18 . − 1+ sin xdx | | 2 1 x + e y Câu 10 x
(1 điểm). Tính z ( ; x y) biết arccot , 0 = x z (x; y ) x 0 , x = 0
Lời giải tham kh 7 ảo đề
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 29
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 2
y = x + arcsin x . − Câu 2 2x 1
(1 điểm). Tìm các tiệm cận c ủa đồ th hàm s ị ố y = . 2 x +1 e cos( ln x)
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân dx . 1 x 2
Câu 4 (1 điểm). Tính giới hạn y sin x lim . ( x , y ) ( → 0,0) 2 4 2x +3y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z = x + y + ( x − )2 2 2 ( ) 1 −1.
Câu 6 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng 2
x arctan x ln 1+ x với mọi x . + 1− cos Câu 7 x
(1 điểm). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng: I = dx . 0 5 x
Câu 8 (1 điểm). Có một vật thể tròn xoay có dạng gi t cái ly nh ống như mộ ư hình vẽ. Người ta
đo được đường kính của miệng ly là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Biết rằng mặt phẳng qua trục
OI cắt vật thể theo thiết diện là một parabol. Tính thể tích V ( 3
cm ) của vật thể đã cho.
Câu 9 (1 điểm). Biểu thức 1 2 z +
= y − z xác định hàm ẩn z = z( ,
x y) . Chứng minh rằng: x z 2 y x z + − = . x 1 0 2y
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả vi trên thoả mãn: 2 2 x f ( x)
(2 x 1) f (x) xf + − =
(x) − 1 với mọi x 0 và f (1) = 2 . Tính 2 f (x)dx . 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 30
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1. 2
y = x + arcsin x . Ta có: y(1) = 1+ arcsin1= 1+ 2
y(−1) y(1)
y(− x) = 1+ arcsin(− 1) = 1− 2
y(−x) = y(x), x không thể có:
y(−x) = − y(x), x 2
y = x + arcsin x không là hàm chãn, cũng không là hàm lẻ.
Câu 2. Tập xác định: D = , đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. − - Xét khi 2x 1 2x
x → +, ta có: lim y = lim = lim = 2 x →+ x →+ 2 +1 x→+ x x đồ th hàm s ị
ố có tiệm cận ngang y = 2 khi x → + . 2x −1 2x
- Xét khi x → − , ta có: lim y = lim = lim = −2 x →− x →−
2 +1 x→− −x x đồ th hàm s ị
ố có tiệm cận ngang y = −2 khi x → − .
Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên. Vậy
đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y = 2 (về bên phải) và y = −2 (về bên trái). cos( ln ) 1 e e e x 1 Câu 3. dx =
cos( ln x)d(ln x) = sin( ln x) = . 1 1 x 1
Vậy tích phân cần tính bằng 1 . 2 y 1
Câu 4. Ta chứng minh , (
x, y) (0,0) . (*) 2 4 2x + 3 y 3 4 Thật vậy, (*) y 1 4 2 4
3y 2x +3y , luôn đúng. Vậy (*) đúng. 2 4 2x + 3y 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 31
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 y sin x y 1 1 0 = | sin x | sin x, mà lim sin x = 0 2 4 2 4 2 x + 3 y 2 x +3 y 3 (x ,y ) ( → 0,0) 3 2 2 y sin x y sin x lim = 0 lim = 0. (x ,y )→ (0,0) 2 4 (x, y )→ (0,0) 2 4 2x + 3 y 2x + 3y
Vậy giới hạn cần tính bằng 0. Câu 5. Tập xác định D =
z = 2(x + y)+ 2 x − x = y = −x x ( 2 )1 2 0 Tìm điểm dừng: z = 2(x + y) = 0 4x x − = y ( 2 1) 0
x= 0 x= 1 x= −1 y = 0 y = 1 − y = 1
hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0), M (1,−1) và M ( 1 − ,1). 1 2 3 Ta có 2 A z x B z C z = = − = = = = xx 12 2, xy 2, yy 2.
Tại điểm M (0,0) , ta có 2 −
= , nên hàm số không đạt cực trị tại M . 1 B AC 8 0 1 2
B − AC = −16 0
Tại các điểm M (1, 1 − ) và M ( 1 − ,1) ta có
hàm số đạt cực tiểu tại các 2 3 A = 10 0 điểm M (1, 1 − ), M ( 1 − ,1). Giá tr c ị ực ti u b ểu đề ằng z = z(1, 1 − ) = z( 1 − ,1) = 1 − . 2 3 CT Câu 6. Xét hàm số 2 1 f ( )
x = xarctan x −ln 1 + x = xarctan x − ln ( 2 1 + x ) trên . 2 Ta có: 1 1 2x
f (x ) = arctan x + x − = arctan x . 2 2 1+ x 2 1+ x
f (x) = 0 arctan x = 0 x = 0. Bảng biến thiên có dạng:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
f (x) 0,x R 2
x arctan x − ln 1+ x 0, x 2
x arctan x ln 1+ x , x (đpcm)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 32
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + − − + − Câu 7. 1 cos x 1 cos x 1 cos x I =
dx = I + I , trong đó 1 I = dx I = dx 1 2 1 và 2 . 0 5 x 0 5 x 1 5 x − + 1 cos x
) Xét I , ta có f x = x . Điể ất thườ m b ng . 1 ( ) 0, (0,1] x = 0 5 x 2 x x 0 1 cos x → − 1 2 1 1 1 ~ = , mà dx
hội tụ (vì = (0,1)) 1/2 5 5 1/2 x x 2x 0 2x 2 1 1− cos x I = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 0 5 x 1− cos x
+) Xét I , ta có f ( ) x =
0 liên tục trên [1,+) . Điể ất thườ m b ng + . 2 5 x − + Ta có: 1 cos x 2 2 5 0 , mà dx hội tụ (vì = 1 ) 5/2 5 5/2 x x 1 x 2 + 1− cosx I = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 2 1 5 x
Vì I và I hội tụ nên I hội tụ 1 2
Câu 8. Chiều dương như hình vẽ.
Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng: 2 x = ay + . b
Parabol qua hai điểm B(0,3) và I(8,0) 8 − 0 = 9a + b a = 8 − 2 9 x = y + 8. 8 = b 9 b = 8
Vật thể thu được là vật thể khi miền giới hạn bởi các 8 − 2 3 x = y + 8 y = 16 − 2x đường 9 4 quanh trục
x 0, y 0 0 x 8
Ox thể tích vật thể là: 8 2 2 8 8 8 2 3 9x 9x V =
y (x)dx = 16 − 2x dx = 9− dx = 9x − = 36( 3 cm ) 0 0 0 4 8 16 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 33
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 9. Đặt 1 2
F (x, y, z) = z + − y −z . x −1 y − 2 2 − − − F F y z x z = = , y x z = = . x F 1 y F 1 z 1 z + 1+ 2 2 2 y − z 2 y − z Ta có: y 1 1 z 2 2 − 2 − 2 y z 1 2 y z y 2 1 x z + + 1= x x + − 1 = + −1 = 1−1 = 0 x 2 2 y x 2 y 1 1 1 1 + 1 + 1+ 1+ 2 2 2 2 2 y − z 2 y − z 2 y − z 2 y − z Câu 10. 2 2
x f (x) (2x 1) f (x) xf + − =
(x) −1,x 0 2 2 2 x f ( ) x
2xf (x) 1 xf (x) f (x) (xf (x) 1) xf + + = + + = ( )
x + f (x) xf ( ) x + f ( ) x xf ( ) x + f ( ) x = 1, x 0 dx = dx 2 2 ( xf( ) x 1 + ) ( xf( ) x 1 + ) d(xf (x ) +1) 1 − = dx = x +C. 2 (xf ( ) x +1) xf (x) +1 Theo bài ra: −1 −1 −1 1 f (1) = 2 −
=1 + C C = 0. = x f ( ) x = − , 2 2 − +1 xf ( ) x +1 x x (TM) 2 2 2 1 − 1 1 1 − f (x)dx = −
dx = −ln | x | + = −ln 2 2 1 1 x x x 2 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 34
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 3cos(5x) + 4sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x 0 → sin x b) ( 2
ln x + x + 2)dx . 1 Câu 3 x x
(1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỷ của tích phân dx . 0 x 1− cos 2 4 Câu 4 x
(1 diểm). Tính lim . 2 4
(x ,y )→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tim cực tr c ị ủa hàm số 4 4 2 2
z = x + y + 2x − 2 y . − 1 + Câu 6 x 1
(1 điểm). Tim vả phân lọai điểm gián đọan y = arctan . x Câu 7 xyz
(1 điểm). Phương trình (x + y)z +e
= 0 xác định hàm ẩn z = z( ,x y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trên [0,1], | f ( ) x |1, x [ 0,1] . Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1− ( f(x)dx )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ) . Tinh 1 I = f (x)dx . −1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 35
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1. Chọn sao cho 3 4 sin = , cos = , ta có: 5 5 3 4 f ( ) x =3cos(5 ) x +4sin(5 ) x =5 cos(5 ) x + sin(5 ) x =5[sin cos(5 ) x +cos sin(5 )
x ] =5sin(5 x + ) 5 5
là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 2 T = = . | 5 | 5 2
Chú ý: Vớik 0 thì các hàm số sin(kx+ ),cos(kx+ ) là các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = . | k | Câu 2.
a) Ta có: sin x ~ x khi x →0 và: 2 2 x→ 0 x→ 0 1 1 − − 3 x x 3
cos x − 1= 1+ (cos x− 1) − 1 ~ (cos x− 1) ~ = 3 3 2 6 2 − x 3 VCB − − Áp dụng: cos x 1 1 6 lim = lim = . 2 2 x→ 0 x→ 0 sin x x 6 −
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 6 b) ( 2
x + x + ) x = ( 2x + x+ ) 1 ln 2 d ln 2 d x + 2 1 = x+ ( 2x + x+ ) 1 ln 2 − x + d (ln( 2x + x+ )2) 2 2 1 + = x+ ( 2 x + x+ ) 1 2x 1 ln 2 − x + dx 2 2 2 x + x+ 2 2 1 x + 1 = x+ ( 2x + x+ ) 2 ln 2 − 2 dx 2 2 1 7 x + + 2 4
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 36
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 x ( 2 x x ) 7 1 ln 2 2 1 = + + + − − dx 2 2 4 1 7 x + + 2 4 1 x + 1 = x+ ( 7 2 2 x + x+ ) 2 ln 2 − 2 x− arctan + C 2 4 7 7 2 1 + = x+ ( 2 x + x+ ) 2 x 1 ln 2 − 2 x+ 7 arctan + C. 2 7 x x Câu 3. f ( ) x = 0, x ( 0,1]. Điể ất thườ m b ng x = 0 . x 1 −cos 2 Ta có: x x x x 8 8 1 ~ = , mà 1 hội tụ (vì = (0,1) 2 1/2 x 1 1/2 0 1 cos x x − x 2 2 2 2 1 x x dx
là tích phân hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 0 x 1− cos 2 4
Câu 4. Ta đi chứng minh x 2 x , ( , x )
y (0, 0) (*) 2 4 x + y 4 Thật vậy, (*) x 2 4 4 2 4
x x x + x y , luôn đúng (
x, y) (0,0). 2 4 x + y 4 x (*) y ta có: là đúng. Vậ 2 0
x ,(x, y) (0,0) 2 4 x + y 4 Mà 2 x lim x = 0 lim = 0 (theo nguyên lý kẹp). 2 4 (x, y) ( → 0,0) (x,y ) ( → 0,0) x + y
Câu 5. Tập xác định: D = . 3
z = 4x + 4x = 0 x = +) Tìm điểm dừng: 0 x 3 z = 4 y − 4 y = 0 y = 0 y = 1 y
hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0), M (0,1) và M (0,−1) . 1 2 3 +) Ta có: A = 2 2 z
=12x + 4, B = z = 0,C = z =12y − 4. xx xy yy
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 37
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 B − AC = ( 2 x + )( 2 12 4 4 −12y ) .
- Tại điểm M (0,0) ta có: 2
B − AC = 16 0 hàm số không đạt cực tr t ị ại M (0,0) . 1 1 2
B − AC = −32 0
- Tại các điểm M (0,1) và M (0,−1) , ta có: 2 3 A = 4 0 hàm số t c
đạ ực tiểu tại các điểm M (0,1) và M (0,−1) . Giá tr c ị ực tiểu cùng bằng 2 3 z
= z(0,1) = z(0,−1) = 1 − . CT x+ 1 x 0
Câu 6. Hàm số xác định arctan 0 x x 1 −
x = 0 và x = 1
− là các điểm gián đoạn của hàm số. - Tại điểm x = 1 − , xét giới hạn: x →( 1 − ) 1 x +1 + lim + y = lim = + vì arctan ~ 0 x →( 1 − )+ x →(−1) + x +1 r a ctan x x x = 1
− là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.
- Tại điểm x = 0 , xét các giới hạn: + x→0 1 1 x +1 lim y = lim = do ~ + x →0+ x →0+ x + 1 c ar tan x x 2 x →0 1 1 x +1 − lim y = lim = do ~ − − − → → + x 0 x 0 x 1 − x arctan x 2
x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số (điểm gián đoạn bỏ được).
Câu 7. Đặt ( , , ) = ( + ) xyz F x y z x y z + e .
Ứng với x = 0, y = 1, thay vào phương trình đã cho ta có: 0
(0 +1)z + e = 0 z = 1 − .
Gọi điểm M (0,1, −1) . Ta có: xyz
F = z + zye , xyz
F = z + zxe , xyz
F = x + y + xye . x y z − − − ( ) F (M F M ) 2 − y 1 z (0,1) x = = = −2, z = (0,1) = = = −1.n x F (M ) 1 y F (M ) 1 z z
dz(0,1) = z (0,1)dx + z (0,1)dy = 2 − dx −d . y x y
Câu 8. Áp dụng bất đẳng thức tích phân:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 38
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ∫ 1 2 1
0 √1 − 𝑓 (𝑥)d𝑥 = ∫0 √1 − 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + 𝑓(𝑥)d𝑥 ≤ √∫ 1 1 1 1
0 (1 − 𝑓(𝑥))d𝑥 ⋅ ∫0 [1 + 𝑓(𝑥)]d𝑥 = √(1 − ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) ⋅ (1 + ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) 2
= √1 − (∫ 10 𝑓(𝑥)d𝑥)
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi 𝑓(𝑥) = 1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 9. 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ), x [ 1 − ,1] 1 1 1 2 f (x)dx = x + 2 dx + x f ( 3x )dx −1 −1 −1
x = −1 u = −1 Đặt 3 2
u = x du = 3x dx . Đổi cận x = 1 u = 1 1 x f (x ) 1 du 1 1 2 3 dx = f (u) = f (x)dx . Do đó: −1 −1 −1 3 3 1 3 f (x)dx = x + 2 dx +
f (x)dx f (x)dx = x + 2 dx = + =13 13 −1. − − − − − ( (x 2) )1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 2 −1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 39
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 4cos(5x) + 3sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x 0 → tan x b) ( 2
ln x − x + 2)dx , 1 Câu 3 x x
(1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân dx . 0 x 1− cos 3 4 Câu 4 y (1 điểm). Tính lim . 4 2
(x ,y )→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 4 4 2 2
z = x + y − 2x + 2 y . − 1 Câu 6 (1 điể x
m). Tim và phân loại điểm gián đoạn y = arctan . x + 1 Câu 7 xyz
(1 điểm). Phương trình (x + y)z −e
= 0 xác định hàm ẩn z = z( ,x y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trền [0,1], | f (x) |1, x [0,1] . Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1− ( f(x)dx )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 2 f x = − x + x f ( 3 ( ) 4 x ) . Tính 1 I = f (x)dx . −1
Lời giải tham kh s ảo đề ố 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 40
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điể x − x m). Tính giới hạn sin lim .
x →+ x − arctan x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x − 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x − 9 dx . 0
3sin x + 4cosx
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx . 0 4sin x + 3cosx 3 sin x
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
(x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Ch s ỉ ố ng m Shannon đo lườ
ức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −xln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x 0, y 0 thoả mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x + y = 1 2 4 x x
Câu 7 (1 điểm). Ch ng minh r ứ ằng cosx 1− + , x 0, . 2 24 2 z
Câu 8 (1 điểm) Cho y
z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình z − xe = 0. Ứng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,02;0,99) . 1 (2n 1 − )!
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n . n→+ n (n 1 − )! + ln(1+ 2x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 41
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) sin x 1− x − sin x x 1 − 0 Câu 1. L = lim = lim = = 1
x →+ x −arctan x x →+ arctan x 1 −0 1 − x Giải thích: 1 − sin x 1 x x x sin x + lim = 0 (theo nguyên lý kẹp) 1 −1 x→+ x lim = lim = 0 x→+ x x →+ x arctan x +) lim arctan x = lim = 0. x →+ 2 x →+ x Vậy L = 1 . Câu 2. 1 1 2 − f ( ) x = = =( x 1 − ) . Do đó: 2 2 x − 2 x+ 1 ( x−1) − 1 51! (50) 52 50 f (x) = ( 2 − )( 3 − )( 4 − ) ( 5 − 0)( 5 − 1)(x 1 − ) = ( 1 − ) 51! = , x 1 52 52 (x −1) (x −1) Vậy (50) 51! f ( ) x =
, x 1. − Q + 52 (x −1) Câu 3. 5 3 5 2 2 2 2 2 I = x − 9 dx = 3 − x dx + x − 3 dx 0 0 3 3 5 2 2 x 9 x 9 x x x 9 9 − − 2 = + arcsin +
− ln x + x − 9 2 2 3 2 2 0 3 9 9 = +10 − ln 3 4 2 24 7 (4 sin x + 3cos ) x + (4 cos x −3sin ) x 3sin x + 4cos x Câu 4. 2 2 25 25 I = dx = dx 0 0 4sin x +3cos x 4sin x +3cos x 2 24
7 4 cos x −3sin x 24x 7 2 = + dx = +
ln | 4sin x + 3cos x | 12 7 4 = + ln 0 25
25 4sin x + 3cos x 25 25 25 25 3 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 42
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2
Câu 5. Ta chứng minh: sin x
1 với (x, y) → (0,0) .(*) 2 2 sin x + sin y Thật vậy, (*) 2 2 2
sin x sin x + sin y , luôn đúng với (x, y) → (0,0). 3 2 Áp dụng: sin x sin x 0 =
| sin x || sin x | , khi (x, y) → (0, 0) . 2 2 2 2 sin x +sin y sin x + sin y 3 Mà sin x lim | sin x|= 0 lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 2 (x, y ) ( → 0,0) (x ,y ) (
→ 0,0) sin x+ sin y 3 sin x lim = 0. 2 2
(x,y )→ (0,0) sin x+ sin y Câu 6. x + y = 1 y = 1− x Ta có:
H = − x lnx− (1− x)ln(1− x)= f (x). x 0, y 0 0 x 1 Xét
f (x) trên (0,1) . Ta có: f (x) = − ln x− 1+ ln(1− x)+ 1= ln(1− ) x − ln x 1
f (x) = 0 ln x = ln(1− x) x = (0,1) 2 Xét dấu: 1 1
f (x ) 0 0 x ; f (x ) 0 x 1 2 2
Suy ra f (x) t giá tr đạ ị lớn nhất tại 1 x = . 2 1 1 1 max H = f = ln 2
, đạt tại (x, y) = , . 2 2 2 2 4 Câu 7. Xét hàm số x x f ( ) x = cos x 1 − + − liên tục trên 0, 2 24 2
Dùng khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange, ta có: 5 5 cos c + cos c + 2 4 2 4 x x 2 5 x x 2 5 f ( ) x = 1 − + + x 1 − + − = x , ( c ( 0, ) x ), x 0, 2 24 5! 2 24 5! 2 Đánh giá: 5 5 5 c 3 + cos c + 0 2 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 43
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 4 x x
f (x) 0, x 0, cos x 1− + , x 0, 2 2 24 2
điều phải chứng minh (đẳng thức không xảy ra). z Câu 8. ( , , ) y
F x y z = z − xe , hàm ẩn z = f ( ,
x y) xác định bởi F (x, y, z) = 0 z z z xz x y F = e − ; y F = e ; F = 1 y − e x y 2 z y y
x = 0,x = 0,02 z Chọn 0
. Ứng với x = 0, y = 1 thì 1
z = 0.e z = 0 f (0;1) = 0 . = = − 0 y 1, y 0,01 − − F (0;1;0) F (0;1;0) f (0;1) = = 1; f (0;1) y x = = 0 x F (0;1;0) y F (0;1;0) z z Suy ra: f (0,02;0,99) f ( x ; x y ) y f (0;1) f (0;1) x f = + + +
+ (0;1) y =0 1 + .0,02 +0.( 0 − ,01) = 0,02 0 0 x y
Vậy f (0,02;0,99) 0,02 .
Câu 9. Xét giới hạn:
1 (2n −1)!
n (n +1)(2n − 2)(2n −1) L = lim ln = lim ln n n →+ n (n −1)! n n n →+ n n 1 1 0 1 2 n 1 − 1 − k = lim ln 1+ + ln 1+ + ln 1+ ++ ln 1+ = lim ln 1+ n→+ n n n n n n →+ n n k= 0 1 = f (x)dx
trong đó 𝑓(𝑥) = ln (1 + 𝑥) liên tục, khả tích trên [0,1] 0 1 1 1 x = ln(1 + )
x dx = xln(1 + ) x − dx 0 0 0 1+ x 1 1 1 = ln 2− 1−
dx = ln 2− (x − ln(1+ x)) = 2 ln 2− 1 0 0 1+ x 1 (2n−1)! L 2ln 2 1 − 4 lim n = e = e = . n→+ n (n −1)! e + ln(1+ 2x) 1 ln(1+ 2x) + ln(1+ 2x) Câu 10. I = dx = dx + dx 0 x x 1 I 2 I
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 44
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ln(1+ 2x) f ( ) x =
0 liên tục trên (0;+). x x +) I m b có điể ất thường x = 0 . 1 1 Khi 2x 2 2 1 x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà dx
hội tụ (do = (0;1) ) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 + +) Vi ln(1 x) lim
=0 , với 0 nhỏ tuỳ ý . x x →+ Chọn 1 1/3 = ln(1 +2 ) x (2 ) x khi x → + 3 1/3 3 3 + Khi (2x) 2 2 7
x → + thì 0 f (x) = , mà dx hội tụ (do = 1 ) 7/6 7/6 x x x 1 x 6
I hội tụ theo tính chất so sánh. Tóm lại, I , I hội tụ hội tụ. 2 1 2 I 1
Cách 2: Để xét I , ta có thể chọn hàm g(x) = , ta có trinh bày sau: 2 7/6 x Xét 1 g(x) = 0, x 1. Ta có: 7 /6 x ln(1 +2x) f ( ) x x x ln(1+ 2 ) x lim = lim = lim (dạng ) 1/3 x →+ ( g ) x x →+ 1 x →+ x 7/6 x 2 x 6 1 2 = + lim = lim = 0 −2/3 1/3 x→+ 1 →+ 2 − /3 x x + 2 x x 3 + + 1 7 g(x)dx = dx hội tụ (do = ) 7 /6 1 1 x 6 + I = f (x)dx ộ ụ ệ quả ẩ 2 h i t theo h tiêu chu n so sánh. 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 45
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (1 điể − m). Tính giới hạn x cos x lim .
x →+ x − arccot x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x ) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x + 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x −16 dx . 0
5sinx + 6cosx
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx . 0 6sin x + 5cosx 3 Câu 5 sin y
(1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
(x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Ch s ỉ ố ng m Shannon đo lườ
ức độ đa dạng của một hệ ng sinh thái, trong trườ
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −x ln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x 0, y 0 thoả mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x + y = 1 3 5 Câu 7 x x
(1 điểm). Ch ng minh r ứ
ằng sin x x − + , x 0, . 6 120 2 z
Câu 8 (1 điểm). Cho x
z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình z − ye = 0. Úng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,99;0,02) . 1 (2 ) n !
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n . n→+ n n! + ln(1+ 3x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 46
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi ti
ết tham khảo đề số 1 − Câu 1. x cos x lim =1.
x →+ x − arccot x Câu 2. (50) 51! f (x) = . 52 (x +1) 5 Câu 3. 2 15 x − 16 = 4 + − 8ln 2 . 0 2 + Câu 5. 5sin x 6 cos x 30 11 6 2 dx = + ln . 0 6sin x + 5cos x 61 61 5
Câu 6. max H = ln 2 c khi đạt đượ 1 x = y = . 2
Câu 7. Tương tự đề 1 (dấ ằng cũng không xả u b y ra).
Câu 8. f (0,99;0,02) 0,02 . 1 (2n)! 4 Câu 9. lim n = . n→+ n n! e + + Câu 10. ln(1 3x) dx hội tụ. 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 47
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x+ sin )x x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên c ủa đồ th hàm s ị
ố y = xarccot x.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 3 4 tan x dx . 0 1
Câu 4 (1 diểm). Tính tích phân ln ( 2 x + x + )1dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực tr c ị ủa hàm số 2 2
z = 4(x − y) − x − y . 2 x Câu 6
yarctan , y 0, (1 điể Cho hàm s m). ố f ( , x y) = y . 0, y = 0
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm A(1,0). b) Tính f (1,0). y Câu 7 + + (1 điểm). Cho x y tan x tan y 0 x, y . Chứng minh tan . 2 2 2 Câu 8 x sin x
(1 điểm). Tính tích phân 2 dx . − 1+ 3x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: . 0 x x +1 −cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 48
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) 1 ln(cosx+ sinx )
Câu 1. = lim(cos + sin ) x = lim x L x x e . x →0 x →0 + Xét ln(cos x sin x) K = lim (dạng 0 ) x → 0 x 0 -sin x+cos x 1 cos x+sin x K x = lim
=1 L= lim(cos x+sin x) =e =e x→0 1 Vậy L= . e Câu 2. ( y ) x lim
= lim arccot x = 0 đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên bên phải. x →+ x x →+ ( y ) x lim
= lim arccot x = = a x →− x x →− −1 2 L Hospital 2 arccot x − 1+ x x
b = lim ( y − ) x = lim ( x arccot x − ) = lim = lim = lim =1 2 x →− x →− x →− 1 x→− 1 − x →− 1+ x 2 x x
y = x +1 là tiệm cận xiên (bên trái) duy nhất c ủa đồ thị hàm số. Câu 3. / 4 / 4 I = tan x dx = tanx (.1+ tan x) / 4 3 2 dx− tanx dx 0 0 0 /4 2 /4 /4 −sin x tan x 1 −ln 2 = tan xd(tan ) x + dx = + ln | cos x| = 0 0 cos x 2 2 0 − Vậy 1 ln 2 I = . 2 Câu 4. 1
I = (x + x + ) 1 2 x = ( 2 x + x + ) 1 ln 1 d ln 1 d x + 0 0 2 1 1 + = x+ ( x + x+ ) 1 2 1 2 x 1 ln 1 − x+ dx 2 0 2 2 x + x + 1 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 49
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 1 x + 1 3 3 1 3 3 2 ln 3 2 d = − − x 2 = ln 3− 2x − arctan 2 0 2 2 1 3 2 2 3 3 x + + 2 4 2 0 3 = ln 3− 2+ 2 2 3 Vậy 3 I = ln 3− 2+ . 2 2 3 Câu 5. 2 2
z(x, y) = 4(x − y) − x − y
+) Tập xác định: D = . +)
z = 4− 2x; z = −4− 2y x y z = 0 x = 2 Giải hệ x M (2,−2) m d là điể ừng z = 0 y = −2 y +) Ta có: A = z = 2
− ; B = z = 0; C = z = 2 − xx xy yy 2 B −AC = 4 − 0
hàm số đã cho đạt cực tr ịtại duy nhất 1 điểm là M (2, 2 − ), đây A = 2 − 0
là điểm cực đại, z = z(2,−2) = 8 . CÐ Câu 6. 2 2 a) Ta có x x y 0 : 0 |
f (x, y) |= y arctan | = y | arctan |
y | y = 0, (1) y y 2 f ( , x ) y =0 | f ( , x ) y | | = 0 | . (2) 2 Từ
(1) và (2) ta có: 0 |
f (x, y) | |
y | ,(x, y)
, mà lim | y | =0 , nên theo nguyên lý 2 (x ,y ) ( → 1,0) 2
kẹp ta có lim | f ( , x y) | =0 (x ,y ) ( → 1,0) lim
f (x, y) = 0 = f (1, 0) f ( ,
x y) liên tục tại B(1, 0) . (x, y )→ (1,0)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 50
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 y arctan −0 2 − b) Xét giới hạn: f (1, y) f (1, 0) y 1 lim = lim = lim arctan = 2 y →0 y →0 y →0 y − 0 y y 2 −
f (1,y ) f (1, 0) f (1,0) = lim = y y 0 → y − 0 2 Câu 7. Xét hàm số
f (x) = tan x trên 0, . 2 1 2sin x f (x) = ; f (x) = 0,x 0, 2 3 cos x cos x 2
f (x) là hàm lồi trên 0,
. Do x, y 0; , áp dụng bất đẳng thức hàm lồi: 2 2 x + y x + y f ( ) x + f ( ) y 2 f
tan x + tan y 2 tan , , x y 0, 2 2 2 tan x + tan y x + y tan , x , y 0, 2 2 2
đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = , y x 0, 2 Câu 8. / 2 xsin x 0 xsin x / 2 x sin x I = dx = dx + dx −/2 x −/2 x 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3x − = = Xét 0 xsin x x t I = dx
t = −x x = − t . Đổi cận . 1 . Đặt d d 2 2 − /2 1+ 3x
x = 0 t = 0 0 − − /2 /2 t sin( t) t sin t xsin x I = (−dt) = dt = dx 1 /2 −t 0 −t 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3−x x /2 /2 /2 x sin x x sin x x sin x 3 x sin x I = + dx = + dx =
x sin x dx 0 x x − 0 x x 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 /2 /2 /2 =
x d(− cos x) = (− x cos x) −
(− cos x)dx = 1 0 0 0 Vậy I = 1 . arctan x dx arctan x dx + arctan x d Câu 9. 1 x I = = + 0 0 x x + 1− cos x x x + 1− cos x + − I2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 51
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST arctan x arctan x f ( ) x = =
0 là hàm liên tục trên (0, +) . + 1− cos 2 x x x x x x + 2 sin 2 +) I m b có điể ất thường x = 0 . 1 2 Khi x x 0+ → ta có: (1− cos x) ~
, là VCB bậc cao hơn x x khi x → 0 2 1 1 Khi x 1 x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà 1 dx hội tụ (do = 1 ) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1
x x + (1− cos x) x x 0
+) Xét I . Với x 1, ta có: 2 0 arctan x 2 + 2 2 3 0 f (x) = , x 1 , mà 2 dx hội tụ (do = 1 ) 3/2 3/2 x x x 1 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy I , I hội tụ 2 1 2 I hội tụ.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 52
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) 1
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x− sin ) x x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên c ủa đồ th hàm s ị
ố y = x arctan x.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 4 4 tan x dx . 0 1
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân ln ( 2 x − x + )1dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 2
z = 4( y − x) − y − x . 2 y
xarctan , x 0,
Câu 6 (2 điểm). Cho hàm số f (x, y) = x 0, x = 0.
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm B(0,1) . b) Tính f . x (0,1) Câu 7 + +
(1 điểm). Cho x y cot x cot y 0 , x y . Chứng minh cot . 2 2 2 Câu 8 x sin x
(1 điểm). Tính tích phân 2 − dx . 1 +2 x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: . 0
x x + x − sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 53
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi ti ết tham kh s ảo đề ố 3 1 Câu 1. 1
lim(cos x− sin ) x x = . x→ 0 e Câu 2. ( y ) x lim = lim arctan x = = a x →+ x x →+ 2 1 arctan x − 2 2 b = lim y −
x = lim x arctan x − = lim 1+ = lim x = −1 x →+ 2 x →+ 2 x →+ 1 x→+ 1 − x 2 x y =
x −1 là tiệm cận xiên bên phải . 2 −
Tương tự ta tìm được y = x 1
− là tiệm cận xiên bên trái. 2 Câu 3. /4 /4 4 2 tan x dx = t an x ( 2 1+ tan x) −( 2 1+ tan x) +1 d x 0 0 /4 3 tan x 2 = − tan x+ x = − . 3 4 3 0 Câu 4. 1ln
( 2x − x+1)dx = − 2 0 3 Câu 5. Hàm số t c
đạ ực trị tại duy nhất điểm M ( 2
− , 2) (cực đại), z = z( 2 − ,2) = 8. max
Câu 6. a) f (x, y) liên tục tại B(0,1) . b) f = x (0,1) 2
Câu 7. Tương tự đề trên. Câu 8. I = 1 + Câu 9. arctan x dx hội tụ. 0
x x + x −sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 54
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
a −x, khi x 1 f (x) = a
rccos ,x khi 0 x 1
Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm c c ngượ ủa hàm số 2x 2 x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hai hàm f(x)= 3 x , g(x)= 2 x , 1
− x 3 . Tìm số c (−1,3) − − sao cho f (c) f (3) f ( 1) =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? g (c) g(3) − g( 1 − ) Giải thích?
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) :
thoả mãn f (x) g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu f (x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f ( )
x ) g (g( x)) . Câu 5 (1 điể + + m). Tính tích phân 3x 1 dx . 0 ( x +1) ( 2 x + ) 1 1 1+ 2sin x
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn lim ln . 3 x→0 x 1+ sin 2x Câu 7
(1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(cos ) x , 0 x . 3 3 t x = 3 Câu 8 (1 điể
m). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1 −t . 2 t y = 1 − t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1 1 2 n 1 − lim + ++ n→ 2 2 2 2 2 n+ 1 4 n + 1 4n + 2 4n + (n− 1)
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm f(x) lồi, khả tích trên đoạn [a, b]. Ch ng minh r ứ ằng: 1 b
f (a) + f ( ) b
f (x )dx a b − a 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 55
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1. Ta có: f (1) = arccos1 = 0 . 3 3 lim f ( ) x = lim a − x = a 1 − , lim f ( )
x = lim arccos x = arccos1 = 0 x 1+ x 1+ x 1− x 1− → → → →
+) f (x) liên tục tại 3
x = 1 lim f (x) = lim f (x) = f (1)
a − 1 = 0 a = 1 + − x →1 x →1
Vậy a =1 là giá tr c ị ần tìm.
Câu 2. Với x , xét phương trình x − x x = − = ( x y y )2 2 2 2 2 −1 2 y − y + − x 4 y | y | 2 = = 0 (L) ( x )2 x 2 2 2
− y 2 −1 = 0 2 y + y + + x 4 y | y | 2 = = 0 (TM ) 2 2 2 y + y + 4 −1 x = log = 0 = f ( y) 2 2 2 + + − x x 4 c c Hàm ngượ ủa hàm số đã cho là 1 f ( ) x = log , x . 2 2 Câu 3. Ta có: 2 f ( ) x 3x , g = (x) = 2 ,
x x (−3,1) 2 3 3 − − − − − Do đó: f ( ) c f ( 3) f (1) 3c ( 3) 1 7 = = c = ( 3 − ,1) . 2 g (c) g( 3 − ) −g(1) 2c ( 3 − ) 1 − 3 − −
Như vậy tồn tại hằng số f c f f
c để thoả mãn đẳng thức ( ) ( 3) (1) = , điều này không mâu g (c )
g (−3)− g (1) thuẫn v nh lý Cauchy. ới đị
Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho g (x) 0,x (a, )
b . Bài này ta có g(0) = 0, với 0 ( 3
− ,1) thế nên bài này không thoả u ki mãn điề
ện định lý Cauchy → bài này không nằm
trong vùng áp dụng định lý Cauchy, không mâu thuẫn.
Câu 4. Vì f là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra f (x) g( ) x
f ( f (x)) f (g(x)). Lại có f (g(x)) g(g(x)) (vì f (y) g( y) ) đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 56
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + + + Câu 5. 3x 1 x 2 1 x = + − x (x + 1)( d d 2 0 x + ) 2 2 0 1
x + 1 x + 1 x + 1 A A x 2 1 1 = lim + − dx = lim ln
( 2x+1 + 2arctan x−ln | x+1| 2 2 ) A →+
0 x + 1 x +1 x +1 A→+ 2 0 1 = ( + A + ) 2 2 A 1 lim ln
1 + 2arctan A − ln | A +1| = lim ln + 2arctan A A→+ 2 A→+ A = ln1+ 2 = 2 Câu 6. VCB 1 1+ 2sin x 1 1+ 2sin x 1+ 2sin x L = lim ln = lim −1 do lim = 1 3 3 x →0 x → + 0 x → + 0 x 1 sin 2x x 1 sin 2x 1+ sin 2x 3 x x − + o (x ) 3 3 (2x ) 2 − 2x − + o ( 3x)
1 2sin x −sin 2x 1 3! 3! = lim = lim 3 3 x →0 x → + 0 x 1 sin 2 x x 1 +sin 2 x 3 1 x + o( 3 x ) 3 1 x 1 1 = lim = lim = lim = = 1. 3 3 x →0 x 0 → x 0 x 1+ sin 2x x 1+ sin 2x → 1+ sin 2x 1+ 0 Vậy L=1. − Câu 7. Ta có: sin x y ( ) x = , x 0,
. Độ dài cung cần tính là: cos x 3 2 + ( − x y ( ) x )2 sin 1 1 3 3 3 dx = 1+ dx = dx =
dx do cos x 0,x 0, 2 0 0 0 cosx cos x cosx 3 cos x dx d(sin x) d − (sin x) 3 3 2 = d(sin ) x = = 2 2 0 0 0 cos x 1 −sin x
(sin x −1)(sin x +1) 3 1 − sin x −1 = ln = ln(2+ 3) (đvđd). 2 sin x +1 0
Vậy độ dài cung cần tính là ln(2 + 3) (đvđd). Câu 8.
− Khi 𝑡 → ±∞ thì lim𝑡→±∞ 𝑥 = lim𝑡→±∞ 𝑡3 = −1 ⇒ ng h trườ
ợp này không có tiệm cận xiên. 1−𝑡3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 57
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 3 - Khi t
t → t , với t 1 thì 0 lim x = hữu hạn ng h trườ
ợp này không có tiệm cận Xiên. 0 0 3 t→ t0 1− t0
- Khi t →1 thì x → . Ta có: 2 3 2 y t 1−t 1+ t + t lim = lim = lim = 3 = a 3 t 1 → t 1 → t→1 x 1 −t t t 2 t ( 2 t + t + ) 3 2 3 1 − 3 3 t t t
b = lim( y − ax) = lim( y − 3x) = lim − = lim 3 t → t →
t → 1− t 1 t − t → (1− t)( 2 1 1 1 1 1+ t + t ) 2 2 2 t (1− t) t (1− t) = lim = = t→ (1− t)( lim 0 2 1 1+ t + t ) 2 t 1 → 1+t +t
y = 3x là tiệm cận xiên của đường cong đã cho.
Câu 9. Giới hạn đã cho được viết lại là: 𝑛−1 𝑛−1 𝐿 = lim 1 𝑘 𝑛 1 𝑘 = lim 𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ∑ 2 2
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=1 √4𝑛 + 𝑘 𝑘=1 𝑛 1 𝑛−1 𝑘 𝑘 = lim ( vì với 𝑘 = 0 thì = 0)
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=0 Xét giới hạn: 𝑛−1 𝑛−1 𝑘 𝐾 = lim 1 𝑘 1 = lim 𝑛
𝑛→+∞ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑛→+∞ 𝑛 ∑ 2 𝑘=0 𝑘=0 √4 + (𝑘𝑛) 1 𝑥
= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 (với 𝑓(𝑥) =
liên tục, khả tích trên [0,1] ) 0 √4 + 𝑥2 x = dx = 4+ x = 5 − 2 0 ( )1 1 2 2 0 4 + x n 1 n 1 − k L = lim lim = 1 ( 5 − 2) = 5 − 2. n→+ n →+ 2 2 n + 1
n k =0 4n + k
Câu 10. Với mỗi x [a,b] , luôn tồn tại duy nhất t [0,1] sao cho: x = ta + (1− t)b .
Do đó có thể đổi biến x = ta + (1− t)b dx = (a − b)dt . Đổi cận:
- Khi x = a thì t =1.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 58
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
- Khi x = b thì t = 0 . b Lúc này: 1 1 0 1 f (x)dx =
f (ta +(1 −t) ) b (a − ) b dt =
f (ta +(1 −t) ) b d . t a 1 0 b − a b − a
Áp dụng tính chất hàm lồi: f (ta + (1− t)b) tf (a) + (1− t) f (b), t [0,1] . ⇒ ∫ 1 1
0 𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏)d𝑡 ≤ ∫0 [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)]d𝑡 𝑡2 1 𝑡2 1 1 1
= 2| 𝑓(𝑎) + (𝑡 − 2)| 𝑓(𝑏) = 2𝑓(𝑎)+2𝑓(𝑏). 0 0
Suy ra điều phải chứng minh.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 59
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
a +x, khi x 1 f (x) = a
rccos ,x khi 0 x 1
Câu 2 (1 điểm). c c Tìm hàm ngượ ủa hàm số 3 x 3 . x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hàm số 3 2
f (x) = x , g(x) = x , −3 x 1 . Tìm số c ( 3 − ,1) sao cho f ( ) c f ( 3 − ) − f(1) =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? Giải thích? g( ) c ( g −3) − ( g 1)
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) :
thoả mãn f (x) g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu g(x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f (x)) g(g(x)) . Câu 5 + x + 3
(1 điểm). Tính tích phân dx . 0 ( x +1) ( 2 x + ) 1 1 1− 2sin Câu 6 x
(1 điểm). Tính giới hạn lim ln . 3 x→0 x 1− sin 2x Câu 7
(1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(sin ) x , x . 6 2 2 t x = Câu 4
(1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1− t . 3 3t y = 3 1 − t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1 1 2 n 1 − lim + ++ n→ 2 2 2 2 2 n+ 1 4n − 1 4n − 2
4n − (n− 1)
Câu 4 (1 điểm). Cho hàm f(x) lõm, khả tích trên đoạn [a, b]. Ch ng minh r ứ ằng: 1 b
f (a) + f (b)
f (x )dx a b − a 2
Lời giải tham kh s ảo đề ố 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 60
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) Câu 1 x
(1 điểm). Tính dx . 2 x + 3x + 2 dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: . 1 3 x − x+ 1 + x+ 1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
=1 quay quanh trục Ox . 4 9 Câu 4 (1 điể − m). Tính cos x cos 4x lim . 2 x→ 0 x Câu 5 (1 điể x
m). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = . 3 2
x − 2x + x − 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 3 2 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z= xy+ ( − x− y)(2x+ 3y); là tham số thực . 2 2 1
x + y 4
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy , với D : D x y 3x
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho:
f (1) = − f (1), f (0) = 0 và f (x) 0, x ( 2 − , 2) Câu 10 (1 điể 2018 2019 m). Cho hàm số: z = x ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 sin 100 x − y ) . Chứng minh 2 z z x + xy = zy . y x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 61
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x x 2 1 Câu 1. dx = dx = − dx
= 2ln | x + 2 | −ln | x +1| +C 2 x +3x +2 (x 1 + )(x +2) x +2 x 1 + Câu 2. 1 f ( ) x = 0, x 1 . 3
x − x + 1+ x + 1
Điểm bất thường của tích phân suy rộng là + . Ta có: 1 x→+ 1 1 + dx 3 ~ = , mà hội tụ (do = 1 ) 3/2 3 3 − + 3/ 2 1+ + 1 x x x x x 1 x 2 dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 3
x − x +1 + x+1 Câu 3.
Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với 𝑦 ≥ 0 ) thì sẽ thu được vật
thể đã cho. Nửa trên của elip là miền giới hạn bởi: 3 𝑦 = √
2 4 − 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2.
Quay miền này quanh trục O𝑥 ta thu được vật thể có thể tích là: 2 3 2 9 2 9 𝑥3 2
𝑉 = 𝜋 ∫ ( √4 − 𝑥2) d𝑥 = (4 − 𝑥2)d𝑥 = −2 2 4 ∫ −2 4 (4𝑥 − 3 )| −2 = 24𝜋(dvtt) Câu 4. cos x− cos 4 x
− sin x+ 4sin 4 x L = lim = lim
(dạng 0 − 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) 2 x →0 x →0 x 2x 0
− cos x +16cos 4x − cos0 +16cos 0 15 = lim = = . x →0 2 2 2
Vậy giới hạn cần tính bằng 15 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 62
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 5. x x y = = . 3 2
x − x + x− x− ( 2 2 2 ( 2) x + 1) Tập xác định: D =
x = 2 là điểm gián đoạn của hàm số. 1 x 1 x 2 lim y = lim = + do lim = + , lim = 0 + + 2 + + 2 x →2 x →2 − + x →2 − x 2 x 2 x 1 x 2 → x + 1 5
x = 2 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. Câu 6. 2 2 2
z = 3x y + 2xy − 3y z (1,1) = 2 x x 3 2
z = 2x y + 2x y − 3x z (1,1) = 1 y y
dz (1,1) = z (1,1)dx + z (1,1)dy = 2 dx + dy x y Câu 7. x = 0
z = −4 y − 4x + 2 = 0 Tìm điểm dừng: x
z = −4 x − 6 y + 3 = 0 y = y 2 M 0, m d là điể
ừng duy nhất của hàm số. 2 2 B −AC = − 8 0 A = z = 4 − , B = z = 4 − , C = z = 6 − xx xy yy A = 4 − 0 hàm số t c đạ ực đại tại 3 M 0, , giá tr c ị ực đại 2 z = . 2 CÐ 4 Câu 8. x = r cos Đổi biến | J |= r . y = r sin 1 r 2
Miền D trở thành 4 3 Tích phân cần tính là: /3 2 /3 2 2 I =
(x + y)dx dy = d
(r cos + r sin) r dr = d
(cos + sin)r dr D /4 1 /4 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 63
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST r 2 = 3 = /3 /3 /3 r 7 7 = (cos + sin) d =
(cos + sin )d = (sin − cos) /4 /4 3 3 3 r 1 = = /4 7 = ( 3 −1) . 6
Câu 9. Giả sử tồn tại hàm f (x) thoả mãn đề bài.
Vì f khả vi tới cấp 2 trên (-2,2) f khả vi trên (-2,2), liên tục trên [-2,2].
Áp dụng định lý Lagrange cho f (x) trên [0,1]: − Tồn tại f f (0,1) sao cho (1) (0) f ( ) =
= f (1) (vì f (0) = 0 ) 1− 0
Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f (x) liên tục trên [−1,0] , khả vi trên (−1,0) ta − − có: Tồn tại f f (−1, 0) sao cho (0) ( 1) f ( ) =
= − f (−1) = f (1) 0− (−1)
Như vậy, tồn tại , (−2,2), sao cho f ( ) f =
( ) , điều này mâu thuẫn với giả thiết
f (x) 0,x (−2, 2) không t n t ồ
ại hàm f thoả mãn đề bài. Câu 10.
Đặt 𝑢 = 𝑥2 − 𝑦2 và 𝑓(𝑢) = sin 𝑢 + 𝑢2018 + 100𝑢2019.
Ta có: 𝑧 = 𝑥𝑓(𝑢 . ) ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ 2𝑥 = 𝑓(𝑢) + 2𝑥2𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ (−2𝑦) = −2𝑥𝑦𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ⇒ 𝑥2 ∂𝑧
∂𝑦 + 𝑥𝑦 ∂𝑥 = −2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) + 𝑥𝑦𝑓(𝑢) + 2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) = 𝑥𝑓(𝑢) ⋅ 𝑦 = 𝑧𝑦. ⇒ đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 64
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) Câu 1 x
(1 điểm). Tính dx . 2 x + 5x + 6 dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: . 1 3
x + x +1 + x+1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
= 1 quay quanh trục Ox . 9 4 Câu 4 (1 điể − m). Tính cos 4x cos x lim . 2 x→ 0 x Câu 5 (1 điể x
m). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số y = . 3 2
x + 2 x + x + 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 2 3 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực tr c
ị ủa hàm số z= xy+ ( − x− y)(2x+ 3y); là tham số thực . 2 2 1
x + y 4
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy , vói D : x D y x 3
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho: f (1) f (1), f (0) 0 và f = − = ( ) x 0, x (−2, 2) Câu 10 (1 điể 2018 2019
m). Cho hàm số z x ( 2 2 x y ) ( 2 2 x y ) ( 2 2 sin 100 x y ) = − + − + − . Chứng minh 2 z z x + xy = zy . y x
Lời giải tham kh s ảo đề ố 7
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 65