Bộ đề giải tích 1 | Đại học Bách khoa Hà Nội

Bộ đề cương bao gồm các câu hỏi về bộ môn Giải tích 1 có đáp án của Đại học Bách Khoa Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống. Mời bạn đọc đón xem!

73 37 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Giải tích 1

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

65 trang 10 tháng trước

Tác giả:

Profile Lê Văn Tiến
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
1
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65
(TaiLieuHust, 2022)
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
3
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
1
0
ln(1 )
lim
x
x
x
x
→
+



.
b)
3
62
( , ) (0,0)
lim
23
xy
xy
xy
→
+
.
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
22
2,02 3,04 3A = + +
.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
.
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
2
3y x x=−
và
0y =
quanh trục
Oy
một vòng.
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
2 3 1 dx x x
−

− + −


.
Câu 6 (1 điểm). Hàm số
3
()f x x x=+
có hàm ngược là
()y g x=
. Tính
(2)g
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
22
3z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
3
22
1
z
xy
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ
3
100 cm / s
.
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng
50 cm
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
2
0
cot dxx
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
4
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1:
ln(1 )
1
ln
00
ln(1 )
lim lim .
x
x
x
x
xx
x
Le
x
+



→→
+

==


Xét giới hạn
00
ln(1 )
ln(1 )
ln 1 1
ln
lim lim
xx
x
x
x
x
K
xx
→→

+

+

+−




==
Vì
0
ln(1 )
lim 1 1 1 0
x
x
x
→
+

− = − =


, nên
0
ln(1 ) ln(1
~
)
ln 1 1 1
x
xx
xx
→

++
+ − −


.
2
00
ln(1 )
1
ln(1 )
lim ( ) lim
xx
x
xx
x
K VCB
xx
→→
+
−
+−
= =
=
( )
22
2
0
1
2
lim
x
x o x
x
→
−
+
(Khai triển Maclaurin)
2
2
0
1
1
2
lim
2
x
x
x
→
−
−
==
Giới hạn đã cho bằng
1/2K
L e e
−
==
.
b)
3
62
( , ) , ( , ) 0.
23
xy
f x y x y
xy
=
+
+) Chọn
( )
3
1
,M a a
. Khi
0a
→
thì
( )
3
1
, (0,0)M a a →
.
Ta có:
( )
( )
33
3
1
66
1
,
2 3 5
aa
f M f a a
aa
= = =
+
( )
1
1
5
fM→
khi
1
(0,0)M →
(1)
+) Chọn
( )
3
2
,M b b−
. Khi
0b →
thì
( )
3
2
, (0,0)M b b−→
.
Ta có:
( )
( )
33
3
2
66
( ) 1
,
2( ) 3 5
bb
f M f b b
bb
−−
= − = =
−+
( )
2
1
5
fM
−
→
khi
2
(0,0)M →
(2)
Từ (1) và (2)
( , )f x y
không cùng tiến tới một giá trị khi
( , ) (0,0)xy→
3
62
( , ) (0,0)
lim
23
xy
xy
xy
→
+
không tồn tại.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
5
Câu 2. Xét hàm số
22
( , ) 3f x y x y= + +
. Ta có:
2 2 2 2
,
33
( , ) ( , )
xy
xy
x y x y
f x y f x y

==
+ + + +
. Chọn
0
0
2, 0,02
3, 0,04
xx
yy
= =
= =
.
Áp dụng công thức tính gần đúng:
( ) ( ) ( ) ( )
22
0 0 0 0 0 0 0 0
2,02 3,04 3 , , , ,
13
(2,3) (2,3) 0,02 (2,3) 0,04 4 0,02 0,04 4,04
24
xy
xy
A f x x y y f x y f x y x f x y y
f f f


= + + = + + + +
= + + = + + =
Vậy
4,04A
.
Câu 3. Chứng minh:
22
cos 1 , 0 cos 1 0, 0
22
xx
x x x x − + −
.
2
Xét ( ) cos 1 trên [0; ).
2
x
f x x= + − +
Ta có:
( ) sin ,f x x x
= − +
( ) cos 1 0, 0f x x x

= − +
()fx
đồng biến trên
[0; ) ( ) (0) 0, 0f x f x

+ =
()fx
đồng biến trên
[0; )+
( ) (0) 0, 0f x f x =
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các
đường
2
3 , 0, 0, 3 y x x y x x= − = = =
quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là:
( )
( )
3
22
0
2 3 d 2 3 dV x x x x x x x x

= − = −

(vì
2
3 0, [0,3]x x x−
)
=
( )
3
4
3
2 3 3
0
0
2 3 d 2
4
x
x x x x


− = −


27
2
=
(đvtt)
Câu 5. Điều kiện:
2 2 2
3
2 3 0 1 0 1 1
2
x x x x x− − − = −
, do đó:
( )
(
)
1
1
22
2
2
32
2
2 3 1 d 2 3 1 d
11
2 3 d d (2 3) ln 1
3
1
I x x x x x x
x x x x x x C
x
−
−


= − + − = − + −




= − + = − + + − +
−


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
6
Câu 6. Ta có:
2
( ) 3 1f x x
=+
. Với
3
0 0 0 0
2 2 1y x x x= + = =
.
Vì
()y g x=
là hàm ngược của
3
()f x x x=+
nên:
( )
( )
0
0
1 1 1
(1) 4
gy
f x f

= = =
.
Vậy
1
(2)
4
g
=
.
Câu 7. Điều kiện xác định
P
là
0y
.
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm
( , )z x y
nên:
( )
2 2 2
2
7
22
12 3
.
z x y
x
xy
−
=
+
( )
( )
2 2 2 2 2 2
22
75
2 2 2 2
3 12 3 12 3 3 3z z z x y y x y
P
x y y y y
x y x y
− + − −
= + + = +
++
( )
( )
55
2 2 2 2
99
0, 0.y
x y x y
= − =
++
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm
( s)t
là
( )
3
( ) cmVt
.
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là
( )
33
100 cm / s ( ) 100 cm / sVt
=
.
Tại thời điểm
0
t
nào đó,
( )
0
50( cm)Rt =
.
Ta có:
3
4
( ) ( ( ))
3
V t R t
=
. Lấy đạo hàm hai vế theo
t
, ta có:
2
( ) 4 ( ( )) ( )V t R t R t

=
Tại
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0 0 0 0
, ta có: 4 100 4 (50)t t t R t R t R t
V



= = =

( )
0
2
100 1
(cm / s).
4 (50) 100
Rt

= =
Khi bán kính quà bóng bằng
50 cm
, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là
1
(cm / s)
100
.
Câu 9.
/2
0
cot dI x x
=
.
Xét
/2 /2 /2
0 0 0
sin cos sin cos
( tan cot )d d d
cos sin sin cos
x x x x
L x x x x x
x x x x

+
= + = + =



.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
7
Đặt
sin cos d (cos sin )dt x x t x x x= − = +
.
2
22
1
(sin cos ) 1 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x x x
−
= − = − =
Đổi cận: - Khi
0x
+
→
thì
1t
→−
;
Khi thì 1
2
xt
→→
1 0 1
2 2 2
1 1 0
d 2 2
d d
1 1 1
2
t
L t t
t t t
−−
= = +
− − −
0
22
0
1
( 1)
22
lim d lim d
11
B
A
AB
tt
tt
−
+
→→
−
=+
−−

0
( 1) 1
0
lim ( 2 arcsin ) lim( 2 arcsin )
B
AB
A
tt
+−
→ − →
=+
( 1) 1
lim ( 2 arcsin ) lim( 2 arcsin ) 2 2 2
22
AB
AB

+−
→ − →
−
= − + = − + =
Giờ xét
/2
0
cot dxx
, với
( ) cot 0f x x
=
liên tục trên
0, .
2


00
1/2
cos 1 1 1
cot ~ ~ ,
sin sin
xx
x
x
x
x x x
++
→→
==
mà
/2
1/2
0
1
d x
x
hội tụ (vì
/2
0
1
(0,1) cot d
2
xx
=
hội tụ.
Đổi biến
22
t x x t

= − = −
, ta có:
/2 0 /2 /2
0 /2 0 0
cot d cot ( d ) tan d tan d .
2
x x t t t t x x

= − − = =


/2 /2
00
11
cot d ( tan cot )d .
22
2
x x x x x L

= + = =

Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
1
0
1
lim
x
x
x
e
x
→

−


.
b)
4
28
( , ) (0,0)
lim
43
xy
xy
xy
→
+
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
22
4,03 2,02 5A = + +
.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
.
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
2
4y x x=−
và
0y =
quanh trục
Oy
một vòng.
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
2
2
4 3 1 dx x x
−

− − + −


.
Câu 6 (1 điểm). Hàm số
5
()f x x x=+
có hàm ngược là
()y g x=
. Tính
(2)g
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
22
5z z z
P
x y y y
= + +
với
( )
5
22
1
z
xy
=
+
.
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ
3
200 cm / s
.
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng
60 cm
.
Câu 9 (1 diểm). Tính
2
0
tan dxx
.
Cách giải tham khảo đề số 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
9
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
sin
x
x
x
→
−
.
b)
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim
( 1)
xy
yx
xy
→
−+
.
Câu 2 (1 điểm). Phương trình
xác định hàm ẩn
()y y x=
. Tính
(1)y
.
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số
2
2
arctan , 1
1
x
yx
x

=

−

.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
ln(1 2 )yx=+
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
1
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
tan(2 )dxx
.
b)
( )
2
0
( 3) 1
dx
x x x
+
+ − +
.
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
3 2 2
3
4xy+=
quanh trục
Ox
một vòng. Tính diện tích mặt tròn
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
3 3 2
()z x y x y= + − +
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
10
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
11
lim lim 1
sin cos cos
xx
x
xx

→→
−
= = = −
. (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital)
Vậy
lim 1
sin
x
x
x
→
−
=−
.
b) Đặt
2
22
2 ln
( , )
( 1)
yx
f x y
xy
=
−+
+) Nếu
1x
=
và
0y →
thì
2
22
2 ln1
( , ) 0 0
0
y
f x y
y
= = →
+
khi
0y →
. (1)
+) Nếu
1x
và
( , ) (1,0)xy→
thì:
22
2 2 2 2
( , ) (1,0) ( , ) (1,0) ( , ) (1,0)
1 1 1
2 ln ln 2 ( 1)
lim lim lim
( 1) 1 ( 1)
x y x y x y
x x x
y x x y x
x y x x y
→ → →
−

=

− + − − +

Ta có:
VCB
( , ) (1,0) 1 1
ln ln 1
lim lim lim 1
1 1 1
x y x x
x x x
x x x
→ → →
−
===
− − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 ( 1) 2 | ( 1) | ( 1)
0 | | | | | |
( 1) ( 1) ( 1)
y x x y x y
y y y
x y x y x y
− − − +
= =
− + − + − +
, mà
( , ) (1,0)
lim | | 0
xy
y
→
=
2
22
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
−
=
−+
theo nguyên lý kẹp
2
22
( , ) (1,0)
1
2 ( 1)
lim 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
−
=
+
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim 1.0 0
( 1)
xy
x
yx
xy
→
= =
−+
(2)
Tù
(1) và (2)
2
22
( , ) (1,0)
2 ln
lim 0
( 1)
xy
yx
xy
→
=
−+
Câu 2.
+) Với
1x
=
thì
55
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Theo bài ra:
3 2 5
3 ( ) [ ( )] 5 0x x y x y x+ + − =
+) Lấy đạo hàm hai vế theo
x
, ta có:
2 2 4
3 6 ( ) 3 ( ) 5 ( )[ ( )] 0x xy x x y x y x y x

+ + + =
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
11
Thay
1x
=
, ta có:
4
3 6 (1) 3 (1) 5 (1)[ (1)] 0 3 6 3 (1) 5 (1) 0 ( do (1) 1)y y y y y y y
+ + + = + + + = =
9
(1)
8
y
−
=
Vậy
9
(1)
8
y
−
=
Cách giải khác: Đặt
3 2 5
( , ) 3 5F x y x x y y= + + −
.
Ta có:
( )
2
24
36
( , )
( ) .
( , ) 3 5
x
y
x xy
F x y
yx
F x y x y
−+
−
==
+
(*)
Với
1x
=
thì
55
1 3 5 0 3 4 1 (1) 1y y y y y y+ + − = + = = =
.
Thay
1, 1xy==
vào (*), ta có:
(3 6) 9
(1)
3 5 8
y
− + −
==
+
.
Câu 3.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2 2 2
2 4 2 2
2
2
2
2
2
2 1 2 ( 2 )
22
1 1 2 1
2
,1
21
1
2
1
1
1
1
x x x
x
x x x
yx
xx
x
x
x
x
x
− − −
+
− − +
= = = =
++
+

+
+

−

−
.
Vậy
2
2
,1
1
yx
x
=
+
.
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin:
( )
23
3
ln(1 )
23
xx
x x o x+ = − + +
.
Khi
0x →
thì
20x →
, thay
x
bởi 2
x
, ta có khai triển Maclaurin của
y
đến cấp 3 là:
( )
( )
23
3 2 3 3
(2 ) (2 ) 8
ln(1 2 ) 2 (2 ) 2 2
2 3 3
xx
y x x o x x x x o x= + = − + + = − + +
Vậy khai triển cần tìm là
( )
2 3 3
8
22
3
y x x x o x= − + +
.
Câu 5.
+) Tập xác định
=D
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
+) Khi
:x →+
L Hospital
1
lim lim lim 0
1
xx
x x x
x
y
ee
→+ →+ →+
= = =
+
(Dạng vô định)
0y=
là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
12
+) Khi
x → −
:
(
1
1
lim lim lim 1 0
01
x
x x x
x
y
e
a
xx
→− →− →−
+
= = = =
+
vì
)
lim 0
x
x
e
→−
=
Khi
x → −
không có tiệm cận
ngang.
(
lim ( ) lim lim lim
1 1 1
x
x x x
x x x x
x xe x
b y ax x
e e e
−
→− →− →− →−

= − = − = =

+ + +

dạng
L'Hospital
(
1
lim 0
x
x
e
−
→−
==
−
do
)
lim
x
x
e
−
→−
= +
yx
=
là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có
0y =
là tiệm cận ngang bên phải,
y
là
tiệm cận xiên bên trái.
Câu 6.
sin(2 ) 1 2sin(2 )d 1 (cos(2 )) 1
) tan(2 )d d ln | cos 2 |
cos(2 ) 2 cos(2 ) 2 cos(2 ) 2
x x x d x
a x x x x C
x x x
− − − −
= = = = +
Vậy
1
tan(2 )d ln | cos 2 | .
2
x x x C
−
=+
b)
( )
( )
22
00
dd
lim
( 3) 1 ( 3) 1
A
A
xx
x x x x x x
+
→+
=
+ − + + − +

2
2
0
1 1 1 2 1 7 1
lim d
13 3 26 1 26
13
24
A
A
x
x
x x x
x
→+


−

= − +

+ − +

−+




2
0
2
1
ln 1
ln | 3| 7 2
2
lim arctan
13 26 26
33
2
ln 1
ln | 3| 7 2 1 ln 3 7
lim arctan
13 26 13
13 3 3 78 3
A
A
A
x
xx
x
AA
AA
→+
→+

−

−+
+

= − +




−+
+−

= − + − +


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
13
2
2
1 | 1| 7 2 1 ln 3 7
lim ln arctan
26 13
1
13 3 3 78 3
A
AA
AA
→+

+−

= + − +

−+

1 7 ln 3 7 14 ln 3
ln1
26 2 13 13
13 3 78 3 39 3
= + − + = −
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng
14 ln 3
.
13
39 3
−
Câu 7.
2
3
3
2
3 2 2
3
41
22
y
x
xy


+ = + =






Tham số hoá đường cong:
3
3
( ) 8cos
(0 2 )
( ) 8sin
x t t
t
y t t
=

=
Do tính đối xứng qua trục
Ox
và trục
Oy
, diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật
thể thu được, khi quay phần ứng với
0
2
t

quanh trục Ox.
Diện tícch cần tính là:
( ) ( )
( ) ( )
( )
/2 /2
2 2 2 2
3 2 2
00
/2 /2
3 2 2 2 2 4
00
/2
/2
45
0
0
'
2 2 | ( ) | ( ) ( ) d 4 8sin 24sin cos 24cos sin d
768 sin sin cos cos sin d 768 sin cos d
768 768
768 sin d(cos ) sin (dvdt)
55
y t x t y t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t




= + = − +
= + =
= = =


Vậy diện tích cần tính là
768
5
(dvdt).
Câu 8.
Tập xác định:
2
=D
Tìm điểm dừng:
2
2
22
2
2
2
{
0
3 2( ) 0
30
4
3 2( ) 0
3 2 2 0
{
3
3 4 0
x
y
xy
xy
z x x y
x
yx
z y x y
xy
xy
x x y
xx
= −
==
= − + =
=
=


= − + =
=
==
− − =


−=
hàm số có 2 điểm dừng là
1
44
,
33
M



và
2
(0,0)M
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
14
+) Ta có:
6 2, 2, 6 2
xx xy yy
A z x B z C z y
  
= = − = = − = = −
2
4 (6 2)(6 2).B AC x y = − = − − −
- Tại điểm
1
44
,
33
M



, ta có
32 0
= −
và
60A
=
( , )z x y
đạt cực tiểu tại
( )
11
CT
64
(1,1),
27
M z Mz
−
==
.
- Tại điểm
2
(0,0)M
.
Xét
3 3 2
(0 ,0 ) (0,0) ( ) ( ) ( )z z x y f x y x y = + + − = + − +
Khi
0xy = − →
ta có:
0z
=
, điều này chứng tỏ
( ) ( )
23
z M z M=
, với
3
( , )M x y −
thuộc lân cận của
2
M
hàm số không đạt cực trị tại
2
M
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là
1
44
,
33
M



(cực tiểu), giá trị cực tiểu là
( )
CT 1
64
27
z z M
−
==
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
lim .
cos
x
x
x
→
−
b)
3
22
( , ) (0,1)
2 ln
lim
( 1)
xy
xy
xy
→
+−
.
Câu 2 (1điểm). Phương trình
4 3 5
4 3 8 0x xy y+ + − =
xác định hàm ẩn
()y y x=
. Tính
(1)y
.
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số
2
2
arcsin , 1
1
x
yx
x

=

+

.
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
ln(1 3 )yx=−
đến
3
x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
21
x
x
y
e
=
+
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
cot(3 )x dx
.
b)
( )
2
0
d
( 4) 1
x
x x x
+
+ + +
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
3 2 2
3
9xy+=
quanh trục
Ox
một vòng. Tính diện tích mặt tròn
xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
3 3 2
()z x y x y= + + +
.
Cách giải tham khảo đề số 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
16
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn
2
0
21
lim
1
x
x
ex
→

−

−

.
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số
()y f x=
xác định bởi
3
24
23
x t t
y t t
=+
=+
. Tính
( ), ( )f x f x

.
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
2
3
( 3)y x x=−
.
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi
0x
, ta có
22
ln 1
2xx

+

+

.
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
3
sin
sin cos
xdx
xx+
.
b)
3
2
arccot 3 dxx−
.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
.
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
22
( 2) 1xy+ − =
quanh trục
Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
3
arctan 3 , 0
()
sin , 0
x
x x x
fx
ae b x x
=
+
Tìm
a
và
b
để hàm số
()fx
khả vi tại
0x =
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
17
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1.
( )
2
2
2
00
2 1 2 1
lim lim
1
1
x
x
x
xx
xe
L
ex
ex
→→
−+

= − =

−
−

Dùng VCB:
( )
0
2
~12
x
x
ex
→
−
cho mẫu số, ta có:
2
VCB
0
21
lim
2
x
x
xe
L
xx
→
−+
=
(dạng
0
0
)
2
0
22
lim
4
x
L Hospital
x
e
x
→
−
=
(dạng
0
0
)
20
Hospital
0
44
lim 1.
44
x
L
x
ee
→
−−
= = = −
Vậy giới hạn cần tính bằng
1−
.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin:
( )
( )
2
2
0
21
lim
1
x
x
x
xe
L
ex
→
−−
=
−
=
( )
2
2
0
(2 )
22
2!
lim
2
x
x
x x o x
xx
→

− + +


(Khai triển Maclaurin)
( )
22
2
22
00
2
2
lim lim 1.
22
xx
x o x
x
xx
→→
−−
−
= = = −
Câu 2.
Ta có công thức: Với
( )
()
x x t
y y t
=
=
Xác định hàm y =
()fx
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) và ( ) .
()
()
y t y t x t y t x t
f x f x
xt
xt
 

−
==


Áp dụng công thức trên ta có:
3
2
d ( ) 4 12
( ) 4 .
d ( ) 1 3
y y t t t
f x t
x x t t
+
= = = =
+
2
2 2 2
d d d d 1 d 1 4
( ) (4 ) (4 ) 4 .
d d d ( )d ( ) d 1 3 1 3
yy
f x t t
x x x x t t x t t t t



= = = = = =

++

Câu 3.
+) Tập xác định:
.=D
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
18
+) Sự biến thiên:
( )
( )
2
2
2 2 4 2
33
2
3
2
3
( 3)
( 3) 2( 3) 3 2
, 0, 3.
( 3) ( 3)
( 3)
32
0 0 1.
( 3)
xx
x x x x x
y x x
x x x x
xx
xx
yx
xx
−
− + − − +
= = =
−−
−
−+
= = =
−
$
Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại điểm
.
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
CT
3, (3) 0x y y= = =
.
Câu 4. Xét hàm số
22
( ) ln(1 )
2
fx
xx
= + −
+
trên
(0, )+
2 2 2
( ) ln ln( 2) ln (
22
x
f x x x
x x x
+
= − = + − −
++
do
0)x
2
222
1 1 2 ( 2) ( 2) 2 4
( ) 0, 0.
2 ( 2) ( 2) (2 )
x x x x
f x x
x x x x x x x
+ − + + −
= − + = =
+ + + +
00
22
lim ( ) lim ln 1
2
xx
fx
xx
++
→→


= + − = +


+


22
lim ( ) lim ln 1 ln(1 0) 0 0
2
xx
fx
xx
→+ →+


= + − = + − =


+


Ta có bảng biến thiên:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
19
Từ bảng biến thiên, suy ra:
( ) 0, 0f x x
22
ln 1 0, 0
2
x
xx

+ −

+

22
ln 1 , 0
2
x
xx

+

+

(đpcm)
Câu 5.
6 6 6
6 6 6 6 6 6
76
6
1
1 2 1 1 2 1 1 2
lim lim lim
1
lim
n n n
n
n
k
n n n
L
n n n n n n n
k
nn
→ → →
→
=


+ ++ + ++
= = = + ++






=


1
0
( )d ,f x x=
trong đó
6
()f x x=
hàm liên tục, khả tích trên
[0,1].
1
7
1
6
0
0
1
d .
77
x
xx= = =
Vậy giới hạn cần tính bằng
1
7
.
Câu 6.
Giải:
sin cos 2 sin
4
x x x

+ = +


. Đặt
dd
44
t x x t x t

= + = − =
. Tích phân cần tính trở
thành:
3
3
11
sin
sin cos
4
22
d d
2 sin 2 sin
t
tt
I t t
tt



−
−




==

3 2 2 3 3
22
1 sin 3sin cos 3sin cos cos 1 cos
d sin 3sin cos 3cos d
4 sin 4 sin
t t t t t t t
t t t t t t
tt

− + −
= = − + −



( )
2
1 1 1 3 3 3 cos
cos 2 sin 2 cos 2 1 sin d
4 2 2 2 2 2 sin
t
t t t t t
t

= − − + + − −


1 3 cos
2 cos 2 sin 2 cos sin d
4 2 sin
t
t t t t t
t

= + − − +


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
20
1 cos 1 1 1
2 cos 2 sin 2 d 2 sin 2 cos 2 ln | sin |
4 sin 2 2
22
t
t t t t t t t C
t
= + − − = + + − +
4
Thay tx
=+
3
sin 1 1 1
2 sin 2 cos 2 ln sin
s
in cos 4 2 2 2 2 2 4
xdx
x x x x C
xx

= + + + + + − + +

+

1
cos(2 ) sin(2 ) 1
ln sin
2 8 4 4
x x x
xC
−

= + − + +


b) Xét nguyên hàm
arccot 3 d arccot 3 d( 4)x x x x− = − −

( 4)arccot 3 ( 4) d(arccot 3 )x x x x= − − − − −
2
11
( 4) arccot 3 ( 4) d
1 ( 3 ) 2 3
x x x x
xx
−−
= − − − −
+ − −
1
( 4)arccot 3 d ( 4)arccot 3 3 .
23
x x x x x x C
x
−
= − − − = − − − − +
−
3
3
2
2
arccot 3 d [( 4) arccot 3 3 ] 1 1
22
x x x x x

−−

− = − − − − = − − =


Câu 7.
( )
4
1
()
32
fx
xx
=
−
là hàm dương và liên tục trên
[1, )+
.
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường
+
( )
45
4
1 1 1
~
33
32
x
x x x
xx
→+
=
−
, mà
5
1
1
d
3
x
x
+
hội tụ
(do 5 1)
=
( )
4
1
d
32
x
xx
+
−
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Câu 8. Tham số hoá đường tròn
22
( 2) 1:xy+ − =
cos
(0 2 )
2 sin
xt
t
yt
=

=+
.
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
22
( 2) 1xy+ − =
quanh trục Ox là:
( ) ( )
22
22
22
00
2 | ( ) | ( ) ( ) d 2 |2 sin | ( sin ) (cos ) dy t x t y t t t t t t


= + = + − +

Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
21
2
2
2
0
0
2 (2 sin )d ( vì 2 sin 0) 2 (2 cos ) 8 ( dvdt )t t t t t
= + + = + =
Câu 9.
Để hàm số
()fx
khả vi tại
0x =
thì điều kiện cần là
()fx
liên tục tại
0x =
, tức là:
( )
3
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) (0) lim( arctan 3 ) lim sin 0
x
x x x x
f x f x f x x ae b x
+ − + −
→ → → →
= = = + =
0
0 sin 0 0 0.ae b a = + = =
Với
0a =
thì
arctan 3 , 0,
()
sin , 0
x x x
fx
b x x
=
0 0 0 0 0
( ) (0) arctan 3 0 arctan 3 3
lim lim lim lim lim 3 3.
0
x x x x x
f x f x x x x x x
x x x x
+ + + + +
→ → → → →
− −
= = = = =
−
0 0 0
( ) (0) sin 0 sin
lim lim lim .1
0
x x x
f x f b x x
b b b
x x x
− − −
→ → →
−−
= = = =
−
()fx
khả vi tại
00
0
0
0
( ) (0) ( ) (0)
lim lim
3
00
xx
a
a
x
f x f f x f
b
xx
+−
→→
=
=

=
−−

=
=
−−
Vạy
( , ) (0, 3).ab
=
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn
3
0
13
lim
1
x
x
xe
→

−

−

.
Câu 2 (1 điểm) Cho hàm số
()y f x=
xác định bởi
3
5
3
5
x t t
y t t
=+
=−
. Tính
( ), ( )f x f x

.
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
2
3
( 3)y x x=−
.
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi
1x
, ta có
12
ln
11
x
xx
+


−−

.
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
.
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)
3
cos d
sin cos
xx
xx+
.
b)
2
1
arctan 3 xdx−
.
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng
( )
4
1
d
21
x
xx
+
−
.
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
22
( 2) 1xy+ + =
quanh trục
Ox
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
sin 3 , 0
()
2 arctan , 0
x
x x x
fx
a b x x
=
+
Tìm
a
và
b
để hàm số
()fx
khả vi tại
0x =
.
Lời giải tham khảo đề số 5
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
23
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
cos
lim
sin 1
x
xx
xx
→+
−
−−
.
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng
3
7,988
.
Câu 3 (1 điểm). Tính hoặc xét sự phân kỳ
1
d
x
e x x
+
−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
3
0
sin(2 )d
x
e x x
.
Câu 5 (1 điểm). Cho
2
( , )
xy
z x y e=
. Tính
2
d z
.
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số
22
34z x y=−
trong miền đóng:
22
1
43
xy
+
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
1 d d
D
x y x y−−

, trong đó:
22
: 1, 0, 0D x y x y+
.
Câu 8 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
3
3
1
8
2
8
x
t
t
y
t
=
−
=
−
Câu 9 (1 điểm). Tính
18
2
||
2
arcsin
1 sin d
1
x
x
xx
e
−

+

+

.
Câu 10 (1 điểm) Tính
( ; )
x
z x y
biết
arccot , 0
( ; )
0, 0
y
x
z x y
x
x
=
=
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
24
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1. Vì
cos x
bị chặn bởi
1 (cos ) ~ ( )
x
x x x
→+
− −
Tương tự, vì
( sin 1)x−−
bị chặn bởi
2 ( sin 1 ~)
x
xxx
→+
− −
VCL
cos
lim lim 1.
sin 1
xx
x x x
x x x
→+ →+
−−
= = −
−−
Vậy giới hạn cần tính bằng
1−
.
Câu 2.
33
7,988 8 0,012A = = −
Chọn
0
8, 0,012xx= = −
. Xét hàm số
3
()f x x
=
trên
(0, )+
.
( )
0
3 2 3 2
1 1 1
( ) , 0 .
12
3 3 8
f x x f x
x

= = =
Áp dụng công thức tính gần đúng nhờ vi phân:
( ) ( ) ( )
3
3
0 0 0
1
7,988 8 ( 0,012) 1,999
12
A f x x f x f x x
= = + + = + − =
Vậy
3
7,988 1,999A =
.
Câu 3.
( ) ( )
1
d d d
x x x x x x
x
x
e x x x e e x e x xe e C C
e
− − − − − −
−−
= − = − − − = − − + = +
.
Ta có:
11
1
1 1 2
d lim d lim lim
A
A
xx
xA
A A A
xA
e x x e x x
e e e
+
−−
→+ →+ →+
− − − −

= = = +



.
+) Xét giới hạn:
1
lim
A
A
A
e
→+
− −



1
lim 0
A
A
e
→+
−
=
(do
lim
A
A
e
→+
= +
)
1
22
d 0
x
e x x
ee
+
−
= + =
tích phân đã cho hội tụ và bằng
2
e
.
Câu 4.
3 3 3
3
0 0 0
0
sin(2 )d sin(2 )d sin(2 ) d(sin(2 ))
3 3 3
x x x
x
e e e
I e x x x x x
= = = −
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
25
( )
33
00
22
0 cos(2 )d cos(2 )d
39
xx
e x x x e

−
= − =

3
3 3 3
00
0
2 2 2 2 4
cos(2 ) d(cos(2 )) sin(2 )d
9 9 9 9
x x x
e
x e e x e x x

−−

= + = −



33
2 2 4 2 2
.
9 9 13
ee
I I I

−−
= − =
Vậy tích phân cần tính bằng
3
22
.
13
e
−
Câu 5.
22
2
,2
xy xy
xy
z y e z xye

==
2 2 2 2 2
4 3 2 2
, 2 2 , 2 4
xy xy xy xy xy
xx xy yx yy
z y e z z ye y xe z xe x y e
   
= = = + = +
2 2 2
d d 2 d d d
xx xy yy
z z x z x y z y
  
= + +
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 2 3 2 2 2
d 2 2 2 dxd 2 4 d
xy xy xy xy xy
y e x ye y xe y xe x y e y= + + + +
Rút gọn lại, ta có:
( ) ( )
2
2 4 2 3 2 2 2
d d 4 4 d d 2 4 d .
xy
z y x y y x x y x x y y e

= + + + +

Câu 6. Với điều kiện
2
2
2
22
2
2
2
41
3
4
1
43
3
31
4
y
x
x
xy
y
x
y

−

+


−


)+
Ta có:
2
2 2 2 2
3 4 3 4 3 1 6 12 0 12 12
4
x
z x y x x

= − − − − − = −


Đẳng thức xảy ra
22
2
0
1
43
3
0
xy
x
y
x
=
+=



=
=
+) Ta có:
2
2 2 2 2
3 4 3 4 1 4 12 8 12 0 12
3
y
z x y y y

= − − − = − − =


Đẳng thức xảy ra
22
2
2
1
43
0
0
xy
x
y
y
=
+=


=
=
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
26
Kết luận: Trên miền đã cho thì:
- Giá trị nhỏ nhất của
z
là
12−
, đạt được tại
( , ) (0, 3)xy =
.
- Giá trị lớn nhất của
z
là 12, đạt được tại
( , ) ( 2,0)xy =
.
Câu 7.
D
là miền được gạch chéo như hình bên.
Đổi biến
cos
||
sin
xr
Jr
yr
=
=
=
.
Miền
D
trở thành
0
:
2
01
E
r
−


01
2 2 2 2
0
1 d d 1 | | d d d 1 d
DE
I x y x y r J r r r r

−
= − − = − = −
( )
( )
1
0 1 0 0
3
2 2 2
0
22
0
1 1 2 1
d 1 d 1 1 d d
2 2 3 2
r
r
r r r

=
−
−−
=
−−

= − − = − =


6
=
Vậy tích phân cần tính bằng
6
.
Câu 8.
+) Khi
0
tt→
(với
0
2t
) thì
0
lim
tt
x
→
và
0
lim
tt
y
→
hữu hạn
trường hợp này không có tiệm cận.
+) Khi
2t
→
thì
3
22
1
lim lim
8
tt
x
t
→→
= =
−
Ta có:
3
2 2 2
3
2
8
lim lim lim(2 ) 4 0
1
8
t t t
t
y
t
at
x
t
→ → →
−
= = = =
−
( )
33
2
2 2 2
2 4 2( 2)
lim( ) lim lim
88
( 2) 2 4
t t t
tt
b y ax
tt
t t t
→ → →
−

= − = − =

−−
− + +

2
2
2 2 1
lim
2 4 12 6
t
tt
→
= = =
++
trường hợp này đồ thị hàm số có tiệm cận xiên hai phía
1
4
6
yx=+
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
27
+) Khi
t →
thì
3
1
lim lim 0
8
tt
x
t
→ →
==
−
(hữu hạn) và
3
2
lim lim 0
8
tt
t
y
t
→ →
==
−
(hữu hạn) nên trường
hợp này không có tiệm cận.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận, đó là tiệm cận xiên hai phía
1
4
6
yx=+
.
Câu 9.
1
2
/2 /2 /2
18 18 18
| | | |
/2 /2 /2
arcsin arcsin
1 sin d sin d sin d
11
xx
I
I
xx
I x x x x x x
ee
− − −

= + = +

++

)+
Xét
18
( ) sinf x x=
, ta có:
( ) ( ), ( )f x f x x f x− =
là hàm chẵn
/2
18
2
0
17!! 17!!
2 sin d 2
18!! 2 18!!
I x x
= = =
(tích phân Wallis).
+) Xét
. Đề cho hơi dở, vì cận
arcsin x
không xác định trên toàn
bộ
,
22

−



, nên chỗ này đề bị sai.
Sửa lại một chút:
2
/2 /2 /2
18 18 18
| | | |
/2 /2
2
arcsin arcsin
1 sin d sin d sin d
11
xx
I
xx
I x x x x x x
ee


−
−−


= + = +

++


Lúc này, đặt
18
||
arcsin
( ) sin
1
x
x
g x x
e
=
+
.
Ta có
( ) ( )g x g x− = −
nên
()gx
là hàm lẻ trên
,
22

−



/2
2
/2
( )d 0I g x x
−
= =
(tích phân hàm lẻ, cận đối xứng).
Vậy
12
17!!
18!!
I I I= + =
.
Câu 10.
+)
2
2 2 2
1
( , ) , 0
1
x
yy
z x y x
x x y
y
x
−−
= =
+

+


.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
28
+) Với mỗi điểm
( )
0
0, y
, xét giới hạn:
( ) ( )
00
00
0 0 0
arccot 0 arccot
, 0,
lim lim lim
00
x x x
yy
f x y f y
xx
x x x
→ → →
−
−
==
−−
- Nếu
00
0
0
0 thì arccot arccot 0 lim
2
x
yy
yx
xx
→
= = =
. Giới hạn này không tồn tại hữu hạn
không tồn tại
(0,0)
x
z
.
- Nếu
0
0y
, ta xét:
0
00
0 0 0
arccot
lim lim arccot lim
2
x x x
y
yy
x
x x x
− − −
→ → →
= − = = −
không tồn tại
( )
0
0,
x
zy
(với
0
0y
).
- Nếu
0
0y
, ta xét:
0
00
0 0 0
arccot
lim lim arccot lim
2
x x x
y
yy
x
x x x
+ + +
→ → →
= − = = +
không tồn tại
( )
0
0,
x
zy
(với
0
0y
).
Tóm lại,
2
2 2 2
1
( , ) , 0
1
x
yy
z x y x
x x y
y
x
−−
= =
+

+


. Còn
(0, )
x
zy
không tồn tại.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
cos
lim
sin 1
x
xx
xx
→+
−
−+
.
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng
3
8,012
.
Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ
1
d .
x
e x x
+
Câu 4 (1 điểm). Tính
3
0
cos(2 )d
x
e x x
.
Câu 5 (1 điểm). Cho
2
( , )
xy
z x y e=
. Tính
2
d z
.
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số
22
43z x y=−
trong miền đóng:
22
1
34
xy
+
.
Câu 7 (1 điểm). Tính
22
1 d d
D
x y x y++

, trong đó:
22
: 1, 0, 0D x y x y+
.
Câu 8 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
3
3
1
8
2
8
x
t
t
y
t
=
−
=
−
Câu 9 (1 điểm). Tính
18
2
||
2
arcsin
1 sin
1
x
x
xdx
e
−




+
+
.
Câu 10 (1 điểm). Tính
( ; )
x
z x y
biết
arccot , 0
( ; )
0, 0
y
x
z x y
x
x
=
=
Lời giải tham khảo đề 7
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
30
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
2
arcsiny x x=+
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
2
21
1
x
y
x
−
=
+
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
1
cos( ln )
d
e
x
x
x
.
Câu 4 (1 điểm). Tính giới hạn
2
24
( , ) (0,0)
sin
lim
23
xy
yx
xy
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
( )
2
22
( ) 1 1z x y x= + + − −
.
Câu 6 (1 điểm). Chứng minh rằng
2
arctan ln 1x x x+
với mọi
x
.
Câu 7 (1 điểm). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng:
5
0
1 cos
d
x
Ix
x
+
−
=
.
Câu 8 (1 điểm). Có một vật thể tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ. Người ta
đo được đường kính của miệng ly là
6 cm
và chiều cao là
8 cm
. Biết rằng mặt phẳng qua trục
OI cắt vật thể theo thiết diện là một parabol. Tính thể tích
( )
3
cmV
của vật thể đã cho.
Câu 9 (1 điểm). Biểu thức
2
1
z y z
x
+ = −
xác định hàm ẩn
( , )z z x y=
. Chứng minh rằng:
2
10
2
y
x
z
xz
y
+ − =
.
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số
()fx
khả vi trên
\{0}
thoả mãn:
22
( ) (2 1) ( ) ( ) 1x f x x f x xf x
+ − = −
với mọi
0x
và
(1) 2f =
. Tính
2
1
( )df x x
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
31
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
2
arcsiny x x=+
. Ta có:
(1) 1 arcsin1 1
2
( 1) (1)
( ) 1 arcsin( 1) 1
2
y
yy
yx
= + = +
−
− = + − = −
không thể có:
( ) ( ),
( ) ( ),
y x y x x
y x y x x
− =
− = −
2
arcsiny x x = +
không là hàm chã
n, cũng không là hàm lẻ.
Câu 2. Tập xác định:
=D
, đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- Xét khi
x →+
, ta có:
2
2 1 2
lim lim lim 2
1
x x x
xx
y
x
x
→+ →+ →+
−
= = =
+
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
2y =
khi
x →+
.
- Xét khi
x → −
, ta có:
2
2 1 2
lim lim lim 2
1
x x x
xx
y
x
x
→− →− →−
−
= = = −
−
+
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
2y =−
khi
x → −
.
Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang là
2y =
(về bên phải) và
2y =−
(về bên trái).
Câu 3.
11
1
cos( ln ) 1 1
d cos( ln )d(ln ) sin( ln )
e
ee
x
x x x x
x


= = =

.
Vậy tích phân cần tính bằng
1
.
Câu 4. Ta chứng minh
2
24
1
, ( , ) (0,0)
3
23
y
xy
xy
+
. (*)
Thật vậy, (*)
4
4 2 4
24
1
3 2 3
2 3 3
y
y x y
xy
+
+
, luôn đúng. Vậy (*) đúng.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
32
22
2 4 2 4
sin 1
0 | sin | sin ,
3
2 3 2 3
y x y
xx
x y x y
=
++
mà
( , ) (0,0)
1
lim sin 0
3
xy
x
→
=
22
2 4 2 4
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
sin sin
lim 0 lim 0.
2 3 2 3
x y x y
y x y x
x y x y
→→
= =
++
Vậy giới hạn cần tính bằng 0.
Câu 5.
Tập xác định
2
=D
Tìm điểm dừng:
( )
( )
2
2
2( ) 2 1 2 0
4 1 0
2( ) 0
x
y
yx
z x y x x
xx
z x y
= −
= + + − =


−=
= + =
0 1 1
0 1 1
x x x
y y y
= = = −
= = − =
hàm số có 3 điểm dừng là
12
(0,0), (1, 1)MM−
và
3
( 1,1).M −
Ta có
2
12 2, 2, 2.
xx xy yy
A z x B z C z
  
= = − = = = =
Tại điểm
1
(0,0)M
, ta có
2
80B AC− =
, nên hàm số không đạt cực trị tại
1
.M
Tại các điểm
2
(1, 1)M −
và
3
( 1,1)M −
ta có
2
16 0
10 0
B AC
A
− = −
=
hàm số đạt cực tiểu tại các
điểm
23
(1, 1), ( 1,1).MM−−
Giá trị cực tiểu đều bằng
(1, 1) ( 1,1) 1.
CT
z z z= − = − = −
Câu 6. Xét hàm số
( )
22
1
( ) arctan ln 1 arctan ln 1
2
f x x x x x x x= − + = − +
trên .
Ta có:
22
1 1 2
( ) arctan arctan
1 2 1
x
f x x x x
xx
= + − =
++
.
( ) 0 arctan 0 0.f x x x
= = =
Bảng biến
thiên có dạng:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
( ) 0,f x x R
2
arctan ln 1 0,x x x x − +
2
arctan ln 1 ,x x x x +
(đpcm)
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
33
Câu 7.
12
5
0
1 cos
d
x
I x I I
x
+
−
= = +
, trong đó
1
1
5
0
1 cos
d
x
Ix
x
−
=
và
2
5
1
1 cos
d
x
Ix
x
+
−
=
.
)+
Xét
1
I
, ta có
5
1 cos
( ) 0, (0,1]
x
f x x
x
−
=
. Điểm bất thường
0x =
.
2
0
1/2
55
1 cos 1
2
~
2
x
x
x
x
xx
→
−
=
, mà
1
1/2
0
1
d
2
x
x
hội tụ (vì
1
(0,1)
2
=
)
1
1
5
0
1 cos
d
x
Ix
x
−
=
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
+) Xét
2
I
, ta có
5
1 cos
( ) 0
x
fx
x
−
=
liên tục trên
[1, )+
. Điểm bất thường
.+
Ta có:
5/2
5
1 cos 2
0
x
x
x
−

, mà
5/2
1
2
d x
x
+
hội tụ (vì
5
1
2
=
)
2
5
1
1 cos
d
x
Ix
x
+
−
=
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Vì
1
I
và
2
I
hội tụ nên
I
hội tụ
Câu 8. Chiều dương như hình vẽ.
Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng:
2
. x ay b=+
Parabol qua hai điểm
(0,3)B
và
(8,0)I
2
8
09
8
8.
9
8
9
8
ab
a
xy
b
b
−
=+
=
−

= +

=

=
Vật thể thu được là vật thể khi miền giới hạn bởi các
đường
2
8
3
8
16 2
9
4
08
0, 0
xy
yx
x
xy
−
=+
=−





quanh trục
Ox
thể tích vật thể là:
( )
8
2
2
8 8 8
23
0 0 0
0
3 9 9
( )d 16 2 d 9 d 9 36 cm
4 8 16
xx
V y x x x x x x

= = − = − = − =


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
34
Câu 9. Đặt
2
1
( , , )F x y z z y z
x
= + − −
.
2
2
22
1
,.
11
11
22
y
x
xy
zz
y
F
yz
F
x
zz
FF
y z y z


−
−
−
−
−
= = = =
++
−−
Ta có:
2
2
22
2
2
2
1
11
1
22
1
1
2
2
1
y
x
y
z
yz
x z x
x
yy
y
yz
x
z
−
+ + = + −
+
+
−
−
2
22
1
2
1
1 1 1 0
11
11
22
yz
y z y z
=
−
+ − = − =
++
−−
Câu 10.
22
( ) (2 1) ( ) ( ) 1, 0x f x x f x xf x x
+ − = −
2 2 2
( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ) 1) ( ) ( )x f x xf x xf x f x xf x xf x f x

+ + = + + = +
22
( ) ( ) ( ) ( )
1, 0 d d
( ( ) 1) ( ( ) 1)
xf x f x xf x f x
x x x
xf x xf x

++
= =
++

2
d( ( ) 1) 1
d.
( ( ) 1) ( ) 1
xf x
x x C
xf x xf x
+−
= = +
++

Theo bài ra:
2
1 1 1 1
(1) 2 1 0. ( ) ,
2 1 ( ) 1
f C C x f x
xf x x x
− − −
= − = + = = = −
− + +
(TM)
2
22
2
11
1
1 1 1 1
( )d d ln | | ln 2
2
f x x x x
x x x
−−
= − = − + = −

Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
35
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số
3cos(5 ) 4sin(5 )y x x=+
.
Câu 2 (2 diểm). Tính:
a)
3
2
0
cos 1
lim
sin
x
x
x
→
−
b)
( )
2
ln 2 dx x x++
.
Câu 3 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỷ của tích phân
1
0
d
1 cos
2
xx
x
x
−
.
Câu 4 (1 diểm). Tính
4
24
( , ) (0,0)
lim
xy
x
xy
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tim cực trị của hàm số
4 4 2 2
22z x y x y= + + −
.
Câu 6 (1 điểm). Tim vả phân lọai điểm gián đọan
1
1
arctan
x
y
x
−
+

=


.
Câu 7 (1 điểm). Phương trình
( ) 0
xyz
x y z e+ + =
xác định hàm ẩn
( , )z z x y=
.
Tính
(0,1)dz
.
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số
()fx
khả tích trên
[0,1], | ( )| 1, [0,1]f x x
.
Chứng minh rằng
(
)
2
11
2
00
1 ( )d 1 ( )df x x f x x− = −

.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số
()fx
liên tục trên
[ 1;1]−
và thoả mãn điều kiện:
( )
23
( ) 2f x x x f x= + +
. Tinh
1
1
( )dI f x x
−
=
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
36
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1. Chọn
sao cho
34
sin ,cos
55

==
, ta có:
34
( ) 3cos(5 ) 4sin(5 ) 5 cos(5 ) sin(5 ) 5[sin cos(5 ) cos sin(5 )] 5sin(5 )
55
f x x x x x x x x

= + = + = + = +


là hàm tuần hoàn với chu kỳ
22
.
| 5 | 5
T

==
Chú ý: Với
0k
thì các hàm số
sin( ),cos( )kx kx

++
là các hàm tuần hoàn với chu kỳ
2
||
T
k
=
.
Câu 2.
a) Ta có:
sin ~xx
khi
0x →
và:
22
00
3
3
11
cos 1 1 (cos 1) 1 ~ (cos 1) ~
3 3 2 6
xx
xx
x x x
→→
−−
− = + − − − =
Áp dụng:
2
3
VCB
22
00
cos 1 1
6
lim lim
sin 6
xx
x
x
xx
→→
−
−−
==
.
Vậy giới hạn cần tính bằng
1
6
−
.
b)
( ) ( )
22
1
ln 2 d ln 2 d
2
x x x x x x

+ + = + + +


( )
( )
( )
22
11
ln 2 d ln 2
22
x x x x x x
= + + + − + + +
( )
2
2
1 1 2 1
ln 2 d
2 2 2
x
x x x x x
xx
+
= + + + − +
++
( )
2
2
2
1
1
2
ln 2 2 d
2
17
24
x
x x x x
x

+



= + + + −



++


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
37
( )
2
2
1 7 1
ln 2 2 1 d
24
17
24
x x x x
x




= + + + − −




++




( )
2
1
1 7 2
2
ln 2 2 arctan
24
77
2
x
x x x x C

+



= + + + − − +





( )
2
1 2 1
ln 2 2 7 arctan
2
7
x
x x x x C
+

= + + + − + +


.
Câu 3.
( ) 0, (0,1]
1 cos
2
xx
f x x
x
=
−
. Điểm bất thường
0x
=
.
Ta có:
2
1/2
8
~
1
1 cos
2
22
x x x x
x
x
x
=

−


, mà
1
1/2
0
8
x
hội tụ (vì
1
(0,1)
2
=
1
0
d
1 cos
2
xx
x
x
−
là tích phân hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Câu 4. Ta đi chứng minh
4
2
24
, ( , ) (0,0)
x
x x y
xy
+
(*)
Thật vậy, (*)
4
2 4 4 2 4
24
x
x x x x y
xy
+
+
, luôn đúng
( , ) (0,0)xy
.
(*) là đúng. Vậy ta có:
4
2
24
0 , ( , ) (0,0)
x
x x y
xy
+
Mà
4
2
24
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim 0 lim 0
x y x y
x
x
xy
→→
= =
+
(theo nguyên lý kẹp).
Câu 5. Tập xác định:
2
=D
.
+) Tìm điểm dừng:
3
3
4 4 0
0
4 4 0
01
x
y
z x x
x
z y y
yy
= + =
=

= − =
= =
hàm số có 3 điểm dừng là
12
(0,0), (0,1)MM
và
3
(0, 1)M −
.
+) Ta có: A =
22
12 4, 0, 12 4.
xx xy yy
z x B z C z y
  
= + = = = = −
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
38
( )( )
2 2 2
12 4 4 12B AC x y − = + −
.
- Tại điểm
1
(0,0)M
ta có:
2
16 0B AC− =
hàm số không đạt cực trị tại
1
(0,0)M
.
- Tại các điểm
2
(0,1)M
và
3
(0, 1)M −
, ta có:
2
32 0
40
B AC
A
− = −
=
hàm số đạt cực tiểu tại các điểm
2
(0,1)M
và
3
(0, 1)M −
. Giá trị cực tiểu cùng bằng
CT
(0,1) (0, 1) 1.z z z= = − = −
Câu 6. Hàm số xác định
0
1
arctan 0
1
x
x
x
x
+
−
0x
=
và
1x
=−
là các điểm gián đoạn của hàm số.
- Tại điểm
1x
=−
, xét giới hạn:
( 1)
( 1) ( 1)
11
lim lim vì arctan 0
r
~
1
a ctan
x
xx
x
y
x
x
x
+
++
→−
+
→ − → −

+
= = +

+

1x
= −
là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.
- Tại điểm
0x =
, xét các giới hạn:
0
00
1 1 1
lim lim
1
c
~
ar tan
2
x
xx
x
y do
x
x
x
+
++
→
→→

+
= = +

+

0
00
1 1 1
lim lim
1
arct n
~
a
2
x
xx
x
y do
x
x
x
−
−−
→
→→

+
= = −

+−

0x=
là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số (điểm gián đoạn bỏ được).
Câu 7. Đặt
( , , ) ( )
xyz
F x y z x y z e= + +
.
Ứng với
0, 1xy==
, thay vào phương trình đã cho ta có:
0
(0 1) 0 1z e z+ + = = −
.
Gọi điểm
(0,1, 1)M −
. Ta có:
, , .
xyz xyz xyz
x y z
F z zye F z zxe F x y xye
= + = + = + +
()
()
21
(0,1) 2, (0,1) 1.
( ) 1 ( ) 1
d (0,1) (0,1)d (0,1)d 2 d d .
y
x
xy
zz
xy
FM
FM
z z n
F M F M
z z x z y x y



−
−
−−
= = = − = = = = −
= + = − −
Câu 8. Áp dụng bất đẳng thức tích phân:
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
39
󰇛󰇜
 
󰇛󰇜
󰇛󰇜

󰇛 󰇛󰇜󰇜
󰇟 󰇛󰇜󰇠
󰇡
󰇛󰇜󰇢 󰇡
󰇛󰇜󰇢

󰇡
󰇛󰇜󰇢
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi
󰇛
󰇜
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 9.
( )
23
( ) 2 , [ 1,1]f x x x f x x= + + −
( )
1 1 1
23
1 1 1
( )d 2 d df x x x x x f x x
− − −
= + +
Đặt
32
d 3 du x u x x= =
. Đổi cận
11
11
xu
xu
= − = −
= =
( )
1 1 1
23
1 1 1
d1
d ( ) ( )d
33
u
x f x x f u f x x
− − −
= =
. Do đó:
(
)
1
1 1 1 1 1
3
1 1 1 1 1
1
13
( )d 2 d ( )d ( )d 2 d ( 2)
32
f x x x x f x x f x x x x x
− − − − −
−
= + + = + = +
13 13 1=−
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số
4cos(5 ) 3sin(5 )y x x=+
.
Câu 2 (2 diểm). Tính:
a)
3
2
0
cos 1
lim
tan
x
x
x
→
−
b)
( )
2
ln 2 dx x x−+
,
Câu 3 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân
1
0
d
1 cos
3
xx
x
x
−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
4
42
( , ) (0,0)
lim
xy
y
xy
→
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
4 4 2 2
22z x y x y= + − +
.
Câu 6 (1 điểm). Tim và phân loại điểm gián đoạn
1
arctan
1
x
y
x
−

=

+

.
Câu 7 (1 điểm). Phương trình
( ) 0
xyz
x y z e+ − =
xác định hàm ẩn
( , )z z x y=
.
Tính
(0,1)dz
.
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số
()fx
khả tích trền
[0,1], | ( ) | 1, [0,1]f x x
.
Chứng minh rằng
(
)
2
11
2
00
1 ( )d 1 ( )df x x f x x− = −

.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số
()fx
liên tục trên
[ 1;1]−
và thoả mãn điều kiện:
( )
2 2 3
( ) 4f x x x f x
= − +
. Tính
1
1
( )dI f x x
−
=
.
Lời giải tham khảo đề số 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
41
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn
sin
lim
arctan
x
xx
xx
→+
−
−
.
Câu 2 (1 điểm). Cho
2
1
()
21
fx
xx
=
−+
. Tính đạo hàm cấp cao
(50)
()fx
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
5
2
0
9dxx−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
2
0
3sin 4cos
d
4sin 3cos
xx
x
xx
+
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn
3
22
( , ) (0,0)
sin
lim
sin sin
xy
x
xy
→
+
.
Câu 6 (1 điểm). Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức:
ln lnH x x y y= − −
, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
thoả mãn
0, 0
1
xy
xy

+=
. Tìm giá trị lớn nhất của
H
.
Câu 7 (1 điểm). Chứng minh rằng
24
cos 1 , 0,
2 24 2
xx
xx

− +


.
Câu 8 (1 điểm) Cho
( , )z f x y=
là hàm số ẩn xác định bởi phương trình
0.
z
y
z xe−=
Ứng
dụng vi phân, tính gần đúng
(0,02;0,99)f
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
1 (2 1)!
lim
( 1)!
n
n
n
nn
→+

−


−

.
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
0
ln(1 2 )
d
x
x
xx
+
+
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
42
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
sin
1
sin 1 0
lim lim 1
arctan
arctan 1 0
1
xx
x
xx
x
L
x
xx
x
→+ →+
−
−−
= = = =
−−
−
Giải thích:
1 sin 1
sin
lim 0
11
lim lim 0
x
xx
x
x
x x x
x
xx
→+
→+ →+
−

+ =
−
==
(theo nguyên lý kẹp)
arctan
) lim arctan lim 0.
2
xx
x
x
x
→+ →+
+ = =
Vậy
1L =
.
Câu 2.
2
22
11
( ) ( 1)
2 1 ( 1)
f x x
x x x
−
= = = −
− + −
. Do đó:
(50) 52 50
52 52
1 51!
( ) ( 2)( 3)( 4) ( 50)( 51)( 1) ( 1) 51! , 1
( 1) ( 1)
f x x x
xx
−
= − − − − − − = − =
−−
Vậy
(50)
52
51!
( ) , 1.
( 1)
f x x Q
x
= − +
−
Câu 3.
5 3 5
2 2 2 2 2
0 0 3
9 d 3 d 3 dI x x x x x x= − = − + −
35
22
2
03
9 9 9 9
arcsin ln 9
2 2 3 2 2
x x x x x
xx
−−
= + + − + −
99
10 ln3
42
= + −
Câu 4.
22
00
24 7
(4sin 3cos ) (4cos 3sin )
3sin 4cos
25 25
d d
4sin 3cos 4sin 3cos
x x x x
xx
I x x
x x x x

+ + −
+
==
++

2
2
0
0
24 7 4 cos 3sin 24 7
d ln | 4sin 3cos |
25 25 4sin 3cos 25 25
x x x
x x x
xx
−
= + = + +
+
12 7 4
ln
25 25 3
=+
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
43
Câu 5. Ta chứng minh:
2
22
sin
1
sin sin
x
xy
+
với
( , ) (0,0)xy→
.(*)
Thật vậy, (*)
2 2 2
sin sin sinx x y +
, luôn đúng với
( , ) (0,0)xy→
.
Áp dụng:
32
2 2 2 2
sin sin
0 | sin | | sin |
sin sin sin sin
xx
xx
x y x y
=
++
, khi
( , ) (0,0)xy→
.
Mà
3
22
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
sin
lim | sin | 0 lim 0
sin sin
x y x y
x
x
xy
→→
= =
+
theo nguyên lý kẹp
3
22
( , ) (0,0)
sin
lim 0.
sin sin
xy
x
xy
→
=
+
Câu 6.
Ta có:
11
ln (1 )ln(1 ) ( )
0, 0 0 1
x y y x
H x x x x f x
x y x
+ = = −
= − − − − =

.
Xét
()fx
trên
(0,1)
. Ta có:
( ) ln 1 ln(1 ) 1 ln(1 ) lnf x x x x x
= − − + − + = − −
1
( ) 0 ln ln(1 ) (0,1)
2
f x x x x
= = − =
Xét dấu:
11
( ) 0 0 ; ( ) 0 1
22
f x x f x x

Suy ra
()fx
đạt giá trị lớn nhất tại
1
2
x =
.
1
max ln 2
2
Hf

= =


, đạt tại
11
( , ) ,
22
xy

=


.
Câu 7. Xét hàm số
24
( ) cos 1
2 24
xx
f x x= − + −
liên tục trên
0,
2



Dùng khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange, ta có:
2 4 2 4
55
55
cos cos
22
( ) 1 1 , ( (0, )), 0,
2 24 5! 2 24 5! 2
cc
x x x x
f x x x c x x


++



= − + + − + − =





Đánh giá:
5 5 5
3 cos 0
2 2 2
cc

+ +


Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
44
24
( ) 0, 0, cos 1 , 0,
2 2 24 2
xx
f x x x x

− +
điều phải chứng minh (đẳng thức không xảy ra).
Câu 8.
( , , )
z
y
F x y z z xe=−
, hàm ẩn
( , )z f x y=
xác định bởi
( , , ) 0F x y z =
2
; ; 1
z z z
y y y
x y z
xz x
F e F e F e
yy
= − = = −
Chọn
0
0
0, 0,02
1, 0,01
xx
yy
= =
= = −
. Ứng với
0, 1xy==
thì
1
0. 0 (0;1) 0
z
z e z f= = =
.
(0;1;0)
(0;1;0)
(0;1) 1; (0;1) 0
(0;1;0) (0;1;0)
y
x
xy
zz
F
F
ff
FF


−
−
= = = =
Suy ra:
( )
00
(0,02;0,99) ; (0;1) (0;1) (0;1) 0 1.0,02 0.( 0,01) 0,02
xy
f f x x y y f f x f y

= + + + + = + + − =
Vậy
(0,02;0,99) 0,02f
.
Câu 9. Xét giới hạn:
1
0
1 (2 1)! ( 1) (2 2)(2 1)
lim ln lim ln
( 1)!
1 0 1 2 1 1
lim ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 lim ln 1
n
n
n
nn
n
nn
k
n n n n n
L
n n n
nk
n n n n n n n
→+ →+
−
→+ →+
=

− + − −
==




−


−
= + + + + + ++ + = +


1
0
( )df x x=
trong đó 󰇛󰇜󰇛 󰇜 liên tục, khả tích trên 󰇟󰇠
11
1
0
00
ln(1 )d ln(1 ) d
1
x
x x x x x
x
= + = + −
+

1
1
0
0
1
ln 2 1 d ln 2 ( ln(1 )) 2ln 2 1
1
x x x
x

= − − = − − + = −

+

2ln 2 1
1 (2 1)! 4
lim .
( 1)!
L
n
n
n
ee
n n e
−
→+

−
= = =


−

Câu 10.
12
1
0 0 1
ln(1 2 ) ln(1 2 ) ln(1 2 )
d d d
II
x x x
I x x x
x x x x x x
+ +
+ + +
= = +
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
45
ln(1 2 )
( ) 0
x
fx
xx
+
=
liên tục trên
(0; )+
.
+)
1
I
có điểm bất thường
0x =
.
Khi
0x
+
→
thì
1/2
22
( ) ~ ~
x
fx
x
xx
, mà
1
1/2
0
2
d x
x
hội tụ (do
1
(0;1)
2
=
)
1
I
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
+) Vi
ln(1 )
lim 0
x
x
x
→+
+
=
, với
0
nhỏ tuỳ ý.
Chọn
1/3
1
ln(1 2 ) (2 )
3
xx
= +
khi
x →+
Khi
x →+
thì
1/3
3
7/6
(2 ) 2
0 ( )
x
fx
x
xx
=
, mà
3
7/6
1
2
dx
x
+
hội tụ (do
7
1
6
=
)
2
I
hội tụ theo tính chất so sánh. Tóm lại,
12
,II
hội tụ
I
hội tụ.
Cách 2: Để xét
2
I
, ta có thể chọn hàm
7/6
1
()gx
x
=
, ta có trinh bày sau:
Xét
7/6
1
( ) 0, 1g x x
x
=
. Ta có:
1/3
7/6
ln(1 2 )
( ) ln(1 2 )
lim lim lim
1
()
x x x
x
f x x
xx
g x x
x
→+ →+ →+
+
+
==
(dạng
)
2/3 1/3
2/3
2
6
12
lim lim 0
1
2
3
xx
x
xx
x
−
→+ →+
−
=
+
==
+
7/6
11
1
( )d dg x x x
x
+ +
=

hội tụ (do
7
6
=
)
2
1
( )dI f x x
+
=
hội tụ theo hệ quả tiêu chuẩn so sánh.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
46
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn
cos
lim
arccot
x
xx
xx
→+
−
−
.
Câu 2 (1 điểm). Cho
2
1
()
21
fx
xx
=
++
. Tính đạo hàm cấp cao
(50)
()fx
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
5
2
0
16x dx−
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
2
0
5sin 6cos
d
6sin 5cos
xx
x
xx
+
+
.
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn
3
22
( , ) (0,0)
sin
lim
sin sin
xy
y
xy
→
+
.
Câu 6 (1 điểm). Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức:
ln lnH x x y y= − −
, ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
thoả mãn
0, 0
1
xy
xy

+=
. Tìm giá trị lớn nhất của
H
.
Câu 7 (1 điểm). Chứng minh rằng
35
sin , 0,
6 120 2
xx
x x x

− +


.
Câu 8 (1 điểm). Cho
( , )z f x y=
là hàm số ẩn xác định bởi phương trình
0
z
x
z ye−=
. Úng
dụng vi phân, tính gần đúng
(0,99;0,02)f
.
Câu 9 (1 điểm). Tính
1 (2 )!
lim
!
n
n
n
nn
→+




.
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
0
ln(1 3 )
d
x
x
xx
+
+
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
47
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi tiết tham khảo đề số 1
Câu 1.
cos
lim 1
arccot
x
xx
xx
→+
−
=
−
.
Câu 2.
(50)
52
51!
()
( 1)
fx
x
=
+
.
Câu 3.
5
2
0
15
16 4 8ln 2
2
x
− = + −
.
Câu 5.
2
0
5sin 6cos 30 11 6
d ln
6sin 5cos 61 61 5
xx
x
xx
+
=+
+
.
Câu 6.
max ln2H =
đạt được khi
1
2
xy==
.
Câu 7. Tương tự đề 1 (dấu bằng cũng không xảy ra).
Câu 8.
(0,99;0,02) 0,02f
.
Câu 9.
1 (2 )! 4
lim
!
n
n
n
n n e
→+

=



.
Câu 10.
0
ln(1 3 )
d
x
x
xx
+
+
hội tụ.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
48
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn
0
lim(cos sin )
x
x
xx
→
+
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số
arccoty x x=
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
3
4
0
tan dxx
.
Câu 4 (1 diểm). Tính tích phân
( )
1
2
0
ln 1 dx x x++
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
22
4( )z x y x y= − − −
.
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số
2
arctan , 0,
( , )
0, 0
x
yy
f x y
y
y


=

=
.
a) Xét tính liên tục của
( , )f x y
tại điểm
(1,0)A
.
b) Tính
(1,0)
y
f
.
Câu 7 (1 điểm). Cho
0,
2
xy

. Chứng minh
tan tan
tan
22
x y x y++
.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân
2
2
sin
d
13
x
xx
x
−
+
.
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
0
arctan d
1 cos
xx
x x x
+
+−
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
49
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
1
00
ln(cos sin )
lim(cos sin ) lim
.
x
xx
xx
x
L x x e
→→
+
= + =
Xét
0
ln(cos sin )
lim
x
xx
K
x
→
+
=
(dạng
0
0
)
1
K
x
x0
-sin x+cos x
cos x+sin x
lim =1 L=lim(cos x+sin x) =e =e
1
→
=
Vậy
.Le
=
Câu 2.
()
lim lim arccot 0
xx
yx
x
x
→+ →+
==
đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên bên phải.
()
lim lim arccot
xx
yx
xa
x
→− →−
= = =
2
L Hospital
2
2
2
1
arccot
1
lim ( ) lim (arccot ) lim lim lim 1
11
1
x x x x x
xx
x
b y x x x
x
xx

→− →− →− →− →−
−
−
+
= − = − = = = =
−
+
1yx
= +
là tiệm cận xiên (bên trái) duy nhất của đồ thị hàm số.
Câu 3.
( )
/4 /4 /4
32
0 0 0
tan d tan . 1 tan d tan dI x x x x x x x
= = + −
/4
2
/4 /4
00
0
sin tan 1 ln 2
tan d(tan ) d ln | cos |
cos 2 2
xx
x x x x
x


−−
= + = + =



Vậy
1 ln 2
2
I
−
=
.
Câu 4.
( ) ( )
11
22
00
1
ln 1 d ln 1 d
2
I x x x x x x

= + + = + + +



( )
1
1
2
2
0
0
1 1 2 1
ln 1 d
2 2 1
x
x x x x x
xx
+
= + + + − +
++
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
50
1
2
0
3 3 1
ln3 2 d
22
13
24
x
x



= − −


++




1
0
1
3 3 2
2
ln3 2 arctan
22
33
2
x
x

+


= − −



3
ln3 2
2
23
= − +
Vậy
3
ln 3 2 .
2
23
I
= − +
Câu 5.
22
( , ) 4( )z x y x y x y= − − −
+) Tập xác định:
2
=D
.
+)
4 2 ; 4 2
xy
z x z y

= − = − −
Giải hệ
0
2
(2, 2)
0
2
x
y
z
x
M
z
y
=
=
−

=
=−
là điểm dừng
+) Ta có:
2; 0; 2
xx xy yy
A z B z C z
  
= = − = = = = −
2
40
20
B AC
A
− = −

= −
hàm số đã cho đạt cực trị tại duy nhất 1 điểm là
(2, 2)M −
, đây
là điểm cực đại,
CÐ
(2, 2) 8zz= − =
.
Câu 6.
a) Ta có
22
0 : 0 | ( , ) | arctan | | arctan | | 0,
2
xx
y f x y y y y y
yy
= = =
(1)
( , ) 0 | ( , ) | | 0 |
2
f x y f x y
= =
. (2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
0 | ( , ) | | | , ( , )
2
f x y y x y
, mà
( , ) (1,0)
lim | | 0
2
xy
y
→
=
, nên theo nguyên lý
kẹp ta có
( , ) (1,0)
lim | ( , ) | 0
xy
f x y
→
=
( , ) (1,0)
lim ( , ) 0 (1,0) ( , )
xy
f x y f f x y
→
= =
liên tục tại
(1, 0)B
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
51
b) Xét giới hạn:
2
2
0 0 0
1
arctan 0
(1, ) (1,0) 1
lim lim lim arctan
02
y y y
y
f y f
y
y y y
→ → →
−
−
= = =
−
0
(1, ) (1,0)
(1,0) lim
02
y
y
f y f
f
y
→
−
= =
−
Câu 7. Xét hàm số
( ) tanf x x=
trên
0,
2



.
23
1 2sin
( ) ; ( ) 0, 0,
cos cos 2
x
f x f x x
xx


= =


()fx
là hàm lồi trên
0,
2



. Do
, 0;
2
xy



, áp dụng bất đẳng thức hàm lồi:
( ) ( ) 2 tan tan 2 tan , , 0,
2 2 2
x y x y
f x f y f x y x y
++
+ +
tan tan
tan , , 0,
2 2 2
x y x y
xy
++



đpcm. Dấu bằng xảy ra khi
, 0,
2
x y x

=


Câu 8.
/2 0 /2
/2 /2 0
sin sin sin
d d d
1 3 1 3 1 3
x x x
x x x x x x
I x x x


−−
= = +
+ + +
Xét
0
1
/2
sin
d
13
x
xx
Ix
−
=
+
. Đặt
ddt x x t= − = −
. Đổi cận
22
00
xt
xt

−
= =
= =
.
0 /2 /2
1
/2 0 0
sin( ) sin sin
( d ) d
1 3 1 3 1 3
t t x
t t t t x x
I t t dx

− − −
−−
= − = =
+ + +
/2 /2 /2
0 0 0
sin sin sin 3 sin
d d sin d
1 3 1 3 1 3 1 3
x
x x x x
x x x x x x x x
I x x x x x
−


= + = + =


+ + + +


/2 /2
/2
0
00
d( cos ) ( cos ) ( cos )d 1x x x x x x

= − = − − − =

Vậy
1I =
.
Câu 9.
2
1
0 0 1
arctan d arctan d arctan d
1 cos 1 cos 1 cos
I
x x x x x x
I
x x x x x x x x x
+
= = +
+ − + − + −
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
52
2
arctan arctan
( ) 0
1 cos
2sin
2
xx
fx
x
x x x
xx
= =
+−
+
là hàm liên tục trên
(0, )+
.
+)
1
I
có điểm bất thường
0x
=
.
Khi
0x
+
→
ta có:
2
(1 cos ) ~
2
x
x−
, là VCB bậc cao hơn
xx
khi
0x →
Khi
0x
+
→
thì
1/2
1
( ) ~ ~
x
fx
x
xx
, mà
1
1/2
0
1
d x
x
hội tụ (do
1
1
2
=
)
1
I
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
+) Xét
2
.I
Với
1x
, ta có:
(1 cos ) 0
0 arctan
2
x x x x x
x
+ −

3/2
22
0 ( ) , 1f x x
x
xx

=
, mà
3/2
1
2
d x
x
+
hội tụ (do
3
1
2
=
)
2
I
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy
12
,II
hội tụ
I
hội tụ.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
53
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn
1
0
lim(cos sin )
x
x
xx
→
−
.
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số
arctany x x=
.
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân
4
4
0
tan dxx
.
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân
( )
1
2
0
ln 1 dx x x−+
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
22
4( )z y x y x= − − −
.
Câu 6 (2 điểm). Cho hàm số
2
arctan , 0,
( , )
0, 0.
y
xx
f x y
x
x


=

=
a) Xét tính liên tục của
( , )f x y
tại điểm
(0,1)B
.
b) Tính
(0,1)
x
f
.
Câu 7 (1 điểm). Cho
0,
2
xy

. Chứng minh
cot cot
cot
22
x y x y++
.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân
2
2
sin
d
12
x
xx
x
−
+
.
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
0
arctan d
sin
xx
x x x x
+
+−
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
54
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi tiết tham khảo đề số 3
Câu 1.
1
0
1
lim(cos sin )
x
x
xx
e
→
−=
.
Câu 2.
()
lim lim arctan
2
xx
yx
xa
x
→+ →+
= = =
arctan
2
lim lim arctan lim
1
22
x x x
x
b y x x x
x

→+ →+ →+
−
= − = − =
2
2
1
1
lim 1
1
x
x
x
→+
+
= = −
−
1
2
yx
= −
là tiệm cận xiên bên phải.
Tương tự ta tìm được
1
2
yx
−
=−
là tiệm cận xiên bên trái.
Câu 3.
( ) ( )
/4 /4
4 2 2 2
00
tan d tan 1 tan 1 tan 1 dx x x x x x


= + − + +


/4
3
0
tan 2
tan .
3 4 3
x
xx

= − + = −


Câu 4.
( )
1
2
0
ln 1 d 2
3
x x x
− + = −
Câu 5. Hàm số đạt cực trị tại duy nhất điểm
( 2, 2)M −
(cực đại),
max
( 2,2) 8zz= − =
.
Câu 6. a)
( , )f x y
liên tục tại
(0,1)B
.
b)
(0,1)
2
x
f
=
Câu 7. Tương tự đề trên.
Câu 8. I = 1
Câu 9.
0
arctan d
sin
xx
x x x x
+
+−
hội tụ.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
55
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm
a
để hàm số sau liên tục tại điểm
1x
=
:
3
, khi 1
()
arccos , khi 0 1
a x x
fx
xx
−
=

Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm ngược của hàm số
22
xx
y
−
=−
Câu 3 (1 điểm). Cho hai hàm f(x)=
3
x
, g(x)=
2
x
,
13x−
. Tìm số
( 1,3)c −
sao cho
( ) (3) ( 1)
( ) (3) ( 1)
f c f f
g c g g
−−
=
−−
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không?
Giải thích?
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số
( ), ( ) :f x g x →
thoả mãn
( ) ( )f x g x
với mọi
x
. Chứng
minh rằng nếu
()fx
là hàm đơn điệu tăng thì
( ( )) ( ( ))f f x g g x
.
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân
( )
2
0
31
d
( 1) 1
x
x
xx
+
+
++
.
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn
3
0
1 1 2sin
lim ln
1 sin 2
x
x
xx
→
+


+

.
Câu 7 (1 điểm). Tính độ dài cung
ln(cos ),0
3
y x x
=
.
Câu 8 (1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong
3
3
2
1
1
t
x
t
t
y
t
=
−
=
−
.
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn:
2 2 2 2 2
1 1 2 1
lim
1
4 1 4 2 4 ( 1)
n
n
n
n n n n
→

−

+ ++

+
+ + + −

Câu 10 (1 điểm). Cho hàm f(x) lồi, khả tích trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng:
1 ( ) ( )
( )d
2
b
a
f a f b
f x x
ba
+
−
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
56
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1. Ta có:
(1) arccos1 0f ==
.
33
1 1 1 1
lim ( ) lim 1, lim ( ) lim arccos arccos1 0
x x x x
f x a x a f x x
+ + − −
→ → → →
= − = − = = =
+)
()fx
liên tục tại
3
11
1 lim ( ) lim ( ) (1) 1 0 1
xx
x f x f x f a a
+−
→→
= = = − = =
Vậy
1a
=
là giá trị cần tìm.
Câu 2. Với
x
, xét phương trình
( )
2
2 2 2 2 1
x x x x
yy
−
= − = −
( )
2
2
2
4
||
2 0 ( )
22
2 2 1 0
4
||
2 0 ( )
22
x
xx
x
yy
yy
L
y
yy
yy
TM
−+
−
= =
− − =
++
+
= =
2
2
4
log 0
2
yy
x
++
= =
1
()fy
−
=
Hàm ngược của hàm số đã cho là
2
1
2
4
( ) log ,
2
xx
f x x
−
++
=
.
Câu 3. Ta có:
2
( ) 3 , ( ) 2 , ( 3,1)f x x g x x x

= = −
Do đó:
2 3 3
2
( ) ( 3) (1) 3 ( 3) 1 7
( 3,1)
( ) ( 3) (1) 2 ( 3) 1 3
f c f f c
c
g c g g c
− − − − −
= = = −
− − − −
.
Như vậy tồn tại hằng số
c
để thoả mãn đẳng thức
( ) ( 3) (1)
( ) ( 3) (1)
f c f f
g c g g
−−
=
−−
, điều này không mâu
thuẫn với định lý Cauchy.
Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho
( ) 0, ( , )g x x a b
. Bài này ta có
(0) 0g
=
, với
0 ( 3,1)−
thế nên bài này không thoả mãn điều kiện định lý Cauchy
→
bài này không nằm
trong vùng áp dụng định lý Cauchy, không mâu thuẫn.
Câu 4. Vì
f
là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra
( ) ( )f x g x
. Lại có
( ( )) ( ( ))f g x g g x
(vì
( ) ( )f y g y
)
đpcm.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
57
Câu 5.
( )
22
2
00
3 1 2 1
dd
1 1 1
( 1) 1
xx
xx
x x x
xx
+ +
+

= + −

+ + +
++


( )
2
22
0
0
2 1 1
lim d lim ln 1 2arctan ln | 1|
1 1 1 2
A
A
AA
x
x x x x
x x x
→+ →+
= + − = + + − +
+ + +
( )
2
2
11
lim ln 1 2arctan ln | 1| lim ln 2arctan
2
AA
A
A A A A
A
→+ →+

+

= + + − + = +





ln1 2
2
= + =
Câu 6.
VCB
33
0 0 0
1 1 2sin 1 1 2sin 1 2sin
lim ln lim 1 do lim 1
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2
x x x
x x x
L
x x x x x
→ → →
+ + +
= = − =
+ + +
( )
( )
( )
33
33
33
00
33
3
33
0 0 0
(2 )
22
3! 3!
1 2sin sin 2 1
lim lim
1 sin 2 1 sin 2
1 1 1 1
lim lim lim 1.
1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 0
xx
x x x
xx
x o x x o x
xx
x x x x
x o x
x
x x x x x
→→
→ → →
− + − − +
−
= =
++
+
= = = = =
+ + + +
Vậy L=1.
Câu 7. Ta có:
sin
( ) , 0,
cos 3
x
y x x
x
−

=


. Độ dài cung cần tính là:
( )
2
2
3 3 3 3
2
0 0 0 0
sin 1 1
1 ( ) d 1 d d d do cos 0, 0,
cos cos cos 3
x
y x x x x x x x
x x x
−
= + = + = =




3 3 2
22
0 0 0
cos d d(sin ) (sin )
d(sin )
cos 1 sin (sin 1)(sin 1)
x x x d x
x
x x x x
−
= = =
− − +
3
0
sin 1
ln ln(2 3)
2 sin 1
1 x
x
−

= = +

+
−
(đvđd).
Vậy độ dài cung cần tính là
ln(2 3)
+
(đvđd).
Câu 8.
Khi  thì 




 trường hợp này không có tiệm cận xiên.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
58
- Khi
0
tt→
, với
0
1t
thì
0
3
0
3
0
lim
1
tt
t
x
t
→
=
−
hữu hạn
trường hợp này không có tiệm cận Xiên.
- Khi
1t →
thì
x → 
. Ta có:
2 3 2
3
1 1 1
11
lim lim lim 3
1
t t t
y t t t t
a
x t t t
→ → →
− + +
= = = =
−
( )
( )
2 2 3
23
3
2
1 1 1 1
13
3
lim( ) lim( 3 ) lim lim
11
(1 ) 1
t t t t
t t t t
tt
b y ax y x
tt
t t t
→ → → →
+ + −

= − = − = − =

−−
− + +

( )
2 2 2
2
2
11
(1 ) (1 )
lim lim 0
1
(1 ) 1
tt
t t t t
tt
t t t
→→
−−
= = =
++
− + +
3yx=
là tiệm cận xiên của đường cong đã cho.
Câu 9. Giới hạn đã cho được viết lại là:
 









 




vì với thì

Xét giới hạn:
 








󰇡
󰇢

󰇛󰇜 (với 󰇛󰇜
liên tục, khả tích trên 󰇟󰇠 )
(
)
1
1
2
2
0
0
d 4 5 2
4
x
xx
x
= = + = −
+
1
22
0
1
lim lim 1 ( 5 2) 5 2.
1
4
n
nn
k
nk
L
nn
nk
−
→+ →+
=
= = − = −
+
+
Câu 10. Với mỗi
[ , ]x a b
, luôn tồn tại duy nhất
[0,1]t
sao cho:
(1 )x ta t b= + −
.
Do đó có thể đổi biến
(1 ) d ( )dx ta t b x a b t= + − = −
.
Đổi cận:
- Khi
xa=
thì
1t =
.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
59
- Khi
xb=
thì
0t
=
.
Lúc này:
01
10
11
( )d ( (1 ) ) ( )d ( (1 ) )d .
b
a
f x x f ta t b a b t f ta t b t
b a b a
= + − − = + −
−−
Áp dụng tính chất hàm lồi:
( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ), [0,1]f ta t b tf a t f b t+ − + −
.
󰇛 󰇛 󰇜󰇜
󰇟󰇛󰇜 󰇛 󰇜󰇛󰇜󰇠

󰈅
󰇛󰇜
󰇧
󰇨
󰈅
󰇛󰇜
󰇛󰇜
󰇛󰇜
Suy ra điều phải chứng minh.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm
a
để hàm số sau liên tục tại điểm
1x
=
:
3
, khi 1
()
arccos , khi 0 1
a x x
fx
xx
+
=

Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm ngược của hàm số
3 3 .
xx
y
−
=−
Câu 3 (1 điểm). Cho hàm số
32
( ) , ( ) , 3 1f x x g x x x= = −
. Tìm số
( 3,1)c −
sao cho
( ) ( 3) (1)
( ) ( 3) (1)
f c f f
g c g g
−−
=
−−
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? Giải thích?
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số
( ), ( ) :f x g x →
thoả mãn
( ) ( )f x g x
với mọi
x
. Chứng
minh rằng nếu
()gx
là hàm đơn điệu tăng thì
( ( )) ( ( ))f f x g g x
.
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân
( )
2
0
3
( 1) 1
x
dx
xx
+
+
++
.
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn
3
0
1 1 2sin
lim ln
1 sin 2
x
x
xx
→
−


−

.
Câu 7 (1 điểm). Tính độ dài cung
ln(sin ),
62
y x x

=
.
Câu 4 (1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong
2
3
3
1
3
1
t
x
t
t
y
t
=
−
=
−
.
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn:
2 2 2 2 2
1 1 2 1
lim
1
4 1 4 2 4 ( 1)
n
n
n
n n n n
→

−

+ ++

+
− − − −

Câu 4 (1 điểm). Cho hàm f(x) lõm, khả tích trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng:
1 ( ) ( )
( )d
2
b
a
f a f b
f x x
ba
+
−
Lời giải tham khảo đề số 5
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
61
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
2
d
32
x
x
xx++
.
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
3
1
d
11
x
x x x
− + + +
.
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip:
22
1
49
xy
+=
quay quanh trục
Ox
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
2
0
cos cos 4
lim
x
xx
x
→
−
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số
32
22
x
y
x x x
=
− + −
.
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số
3 2 2 2
32z x y x y xy= + − +
. Tính
d (1,1)z
.
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
( )(2 3 );z xy x y x y

= + − − +
là tham số thực.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
( )d d
D
x y x y
+

, với
22
14
:
3
xy
D
x y x
+

Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm
f
sao cho:
(1) (1), (0) 0 và ( ) 0, ( 2,2)f f f f x x

= − = −
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số:
( ) ( ) ( )
2018 2019
2 2 2 2 2 2
sin 100z x x y x y x y

= − + − + −


.
Chứng minh
2
zz
x xy zy
yx

+=

.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
62
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1.
2
21
d d d
3 2 ( 1)( 2) 2 1
xx
x x x
x x x x x x

= = −

+ + + + + +

2ln | 2 | ln | 1|x x C= + − + +
Câu 2.
3
1
( ) 0, 1
11
f x x
x x x
=
− + + +
.
Điểm bất thường của tích phân suy rộng là
+
. Ta có:
3/2
33
1 1 1
~
11
x
x
x x x x
→+
=
− + + +
, mà
3/ 2
1
dx
x
+
hội tụ (do
3
1
2
=
)
3
1
d
11
x
x x x
− + + +
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
Câu 3.
Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với ) thì sẽ thu được vật
thể đã cho. Nửa trên của elip là miền giới hạn bởi:
.
Quay miền này quanh trục  ta thu được vật thể có thể tích là:




󰇛
󰇜

󰇧
󰇨󰈅

󰇛󰇜
Câu 4.
2
00
cos cos 4 sin 4sin 4
lim lim
2
xx
x x x x
L
xx
→→
− − +
==
(dạng
󰇜
0
cos 16cos 4 cos0 16cos 0 15
lim .
2 2 2
x
xx
→
− + − +
= = =
Vậy giới hạn cần tính bằng
15
2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
63
Câu 5.
( )
32
2
22
( 2) 1
xx
y
x x x
xx
==
− + −
−+
.
Tập xác định:
\{2} 2x= =D
là điểm gián đoạn của hàm số.
22
2 2 2 2
1 1 2
lim lim do lim , lim 0
2 1 2 1 5
x x x x
xx
y
x x x x
+ + + +
→ → → →

= = + = + =

− + − +

2x
=
là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.
Câu 6.
2 2 2
32
3 2 3 (1,1) 2
2 2 3 (1,1) 1
d (1,1) (1,1)d (1,1)d 2 d d
xx
yy
xy
z x y xy y z
z x y x y x z
z z x z y x y



= + − =
= + − =
= + = +
Câu 7.
Tìm điểm dừng:
0
4 4 2 0
4 6 3 0
2
x
y
x
z y x
z x y
y
=
= − − + =


= − − + =
=

0,
2
M



là điểm dừng duy nhất của hàm số.
2
80
4, 4, 6
40
xx xy yy
B AC
A z B z C z
A
  
− = −
= = − = = − = = −
= −
hàm số đạt cực đại tại
0,
2
M



, giá trị cực đại
2
CÐ
3
4
z
=
.
Câu 8.
Đổi biến
cos
||
sin
xr
Jr
yr
=
=
=
.
Miền
D
trở thành
12
43
r



Tích phân cần tính là:
/3 2 /3 2
2
/4 1 /4 1
( )d d d ( cos sin ) d d (cos sin ) d
D
I x y x y r r r r r r


= + = + = +
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
64
3
/3 /3
/4 /4
2
/3
/4
1
77
(cos sin ) d (cos sin )d (sin cos )
3 3 3
r
r
r




=
=
=
=
= + = + = −

7
( 3 1)
6
=−
.
Câu 9. Giả sử tồn tại hàm
()fx
thoả mãn đề bài.
Vì
f
khả vi tới cấp 2 trên (-2,2)
f
khả vi trên (-2,2), liên tục trên [-2,2].
Áp dụng định lý Lagrange cho
()fx
trên [0,1]:
Tồn tại
(0,1)
sao cho
(1) (0)
( ) (1)
10
ff
ff
−
==
−
(vì
(0) 0f =
)
Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm
()fx
liên tục trên
[ 1,0]−
, khả vi trên
( 1, 0)−
ta
có: Tồn tại
( 1,0)
−
sao cho
(0) ( 1)
( ) ( 1) (1)
0 ( 1)
ff
f f f
−−
= = − − =
−−
Như vậy, tồn tại
, ( 2,2),
−
sao cho
( ) ( )ff


=
, điều này mâu thuẫn với giả thiết
( ) 0, ( 2,2)f x x
−
không tồn tại hàm
f
thoả mãn đề bài.
Câu 10.
Đặt
và 󰇛󰇜



.
Ta có: 󰇛󰇜.


󰇛󰇜
󰆒
󰇛󰇜


󰇛󰇜
󰆒
󰇛󰇜 󰇛󰇜 
󰆒
󰇛󰇜


󰆒
󰇛󰇜


󰆒
󰇛󰇜 󰇛󰇜
󰆒
󰇛󰇜








󰆒
󰇛󰇜 󰇛󰇜 

󰆒
󰇛󰇜󰇛󰇜 
 đpcm.
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
65
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính
2
d
56
x
x
xx++
.
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:
3
1
d
11
x
x x x
+ + + +
.
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip:
22
1
94
xy
+=
quay quanh trục
Ox
.
Câu 4 (1 điểm). Tính
2
0
cos 4 cos
lim
x
xx
x
→
−
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số
32
22
x
y
x x x
=
+ + +
.
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số
2 3 2 2
32z x y x y xy= + − +
. Tính
d (1,1)z
.
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
( )(2 3 );z xy x y x y

= + − − +
là tham số thực.
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
( )d d
D
x y x y+

, vói
22
14
:
3
xy
D
x
yx
+

Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm
f
sao cho:
(1) (1), (0) 0 và ( ) 0, ( 2,2)f f f f x x

= − = −
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số
( ) ( ) ( )
2018 2019
2 2 2 2 2 2
sin 100z x x y x y x y

= − + − + −


.
Chứng minh
2
zz
x xy zy
yx

+=

.
Lời giải tham khảo đề số 7
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)
lOMoARcPSD|36442750
| 1/65
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................................2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ............................................................4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ............................................................................8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ............................................................................9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 53
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................... 54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................... 56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................... 62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1  ln(1+ x) x  a) lim   . x→0  x  3 x y b) lim . 6 2 ( x, y) ( → 0,0) 2x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 2,02 + 3,04 + 3 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng cos x  1− , x   0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 3x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −  
Câu 5 (1 điểm). Tính 2 2
 2x −3 + 1− x dx.  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 3
f (x) = x + x có hàm ngược là y = g(x) . Tính g (2) . 2 2
z z 3 z  1
Câu 7 (1 điểm). Tính P = + +  với z = . 2 2 xyy y  (x + y )3 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 3 100 cm / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50 cm. 
Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx  . 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)  ln(1+x)  1 ln   ln(1+ x)  xxCâu 1: L = lim =   lim x e . x→0 x→0  x   ln(1+ x)    ln(1+ x)  ln ln 1+ −     1  x    x 
Xét giới hạn K = lim = lim x→0 x→0 x x  ln(1+ x)  x→0   ln(1+ x)   ln(1+ x)  Vì lim −1 =1−1 =   0 , nên ln 1+ −1 ~ −     1 . x→0  x    x   x  ln(1+ x) − 1 − 1 2 x + o ( 2 x ) ln(1+ x) − x  = lim x K (VCB) = lim = 2 lim (Khai triển Maclaurin) 2 x→0 x→0 x x 2 x→0 x 1 − 2 x 1 2 − = lim = 2 x→0 x 2
 Giới hạn đã cho bằng K 1/ 2 L e e− = = . 3 x y b) f ( , x y) = , (  , x y)  0. 6 2 2x + 3y +) Chọn M ( 3 , a a
. Khi a → 0 thì M ( 3 , a a → (0,0) . 1 ) 1 ) a a 1
Ta có: f (M ) = f (a,a ) 3 3 3 = = 1 6 6 2a + 3a 5  f ( 1 M → khi M → (0,0) (1) 1 ) 1 5 +) Chọn M ( 3 − , b b
. Khi b → 0 thì M ( 3 − , b b → (0,0). 2 ) 2 ) ( b − ) b 1 −
Ta có: f (M ) = f (− , b b ) 3 3 3 = = 2 6 6 2( b − ) + 3b 5 −  f ( 1 M →
khi M → (0,0) (2) 2 ) 2 5 3 x y
Từ (1) và (2)  f (x, y) không cùng tiến tới một giá trị khi (x, y) → (0,0)  lim 6 2
( x, y)→(0,0) 2x + 3y không tồn tại.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số 2 2 f ( ,
x y) = x + y + 3 . Ta có:  xyx = 2, x  = 0,02 f x y = f x y = . Chọn 0 . x ( , ) , y ( , )  2 2 2 2 x + y + 3 x + y + 3 y = 3, y  =  0, 04 0
Áp dụng công thức tính gần đúng: 2 2
A = 2, 02 + 3, 04 + 3 = f ( x + x  , y + y
  f x , y + f x , y x
 + f x , y y  0 0 ) ( 0 0) x ( 0 0) y ( 0 0 )   1 3
= f (2,3) + f (2,3)0,02 + f (2,3)0,04 = 4 + 0,02 + 0,04 = 4,04 x y 2 4 Vậy A  4,04 . 2 2 x x
Câu 3. Chứng minh: cos x  1− , x   0  cos x + −1 0, x   0 . 2 2 2 x Xét  
f (x) = cos x +
−1 trên [0;+). Ta có: f (x) = −sin x + ,
x f (x) = −cos x +1  0, x   0 2 f   (x)  
đồng biến trên [0;+)  f (x)  f (0) = 0, x   0 f
 (x) đồng biến trên [0;+)  f (x)  f (0) = 0, x   0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các đườ 2
ng y = x − 3x, y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là: 3 V = 2 x
 ( 2x −3x)dx = 2 x  ( 2
3x − x )dx (vì 0 2
x − 3x  0, x  [0,3]) 3 4 3  x  27 = 2  ( 2 3 3x − x ) 3 dx = 2 x  −  = (đvtt) 0  4  2 0
Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2
2x − 3  0  x
 1− x  0  1− x = x −1 , do đó: 2 1 − −     2 2
I =  2x − 3 + 1− x d
x =  2x −3 + ( 2 x − ) 12 1 d  x     1 1 3 = 2x − 3 dx + dx = (2x − 3) + ln   ( 2 x + x −1 + C 2 ) x − 3 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST  2
Câu 6. Ta có: f (x) = 3x +1. Với 3
y = 2  x + x = 2  x =1. 0 0 0 0 3  1 1 1
Vì y = g(x) là hàm ngược của f (x) = x + x nên: g ( y = = = . 0 ) f  ( x f  (1) 4 0 ) Vậy 1 g  (2) = . 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là y  0 . 2 2 2  z 12x − 3y
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z(x, y) nên: = . 2 x  (x + y )7 2 2 2 2 2 2 2 2
z z 3 z
12x − 3y +12 y − 3x 3 3 − y P = + +  = +  2 2 xyy y  ( + )7 y x y (x + y )5 2 2 2 2 9 9 = − = 0, y   0.
(x + y )5 (x + y )5 2 2 2 2
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm 3
t( s) là V (t) (cm ) .
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 3 V   t = ( 3 100 cm / s ( ) 100 cm / s) .
Tại thời điểm t0 nào đó, R(t = 50( cm) . 0 ) 4  2  Ta có: 3 =   V (t) =
 (R(t)) . Lấy đạo hàm hai vế theo t , ta có: V (t) 4 (R(t)) R (t) 3 Tại 
t = t , ta có: V (t ) = 4 R  (t ) 2   R  (t ) 2
 100 = 4 (50) Rt 0 0 0 0 ( 0 ) R  ( 100 1 t = = (cm / s). 0 ) 2 4  (50) 100
 Khi bán kính quà bóng bằng 50 cm, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là 1 (cm / s) . 100  /2 Câu 9. I = cot x dx  . 0  /2  /2    /2 sin x cos x sin x + cos x Xét L =
( tan x + cot x)dx =    + d  x = dx    . 0 0 0  cos x sin x  sin x cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Đặt t = sin x − cos x  dt = (cos x + sin x)dx . 2 − 2 2 1 t
t = (sin x − cos x) = 1− 2sin x cos x  sin x cos x = . 2 Đổ  i cận: - Khi x 0+ → thì t 1
→− ; Khi x → thì t →1 2 1 0 1 dt 2 2 L = = dt + dt    −1 2 1 − 2 0 2 1− t 1− t 1− t 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt   + − A→( 1 − ) A 2 B 1 → 0 2 1− t 1− t 0 B
= lim ( 2 arcsin t) + lim( 2 arcsin t) + − A→(−1) B 1 → A 0  −  = lim (− 2 arcsin )
A + lim ( 2 arcsin B) = − 2  + 2  =  2 + − A→( 1 − ) B 1 → 2 2  /2    Giờ xét cot x dx  , với f ( )
x = cot x  0 liên tục trên 0, .  0  2  + + x→0 x→0 cos x 1 1 1 cot x = ~ ~ = , 1/2 sin x sin x x x   /2 1 mà / 2 1 dx  hội tụ (vì   = (0,1)   cot x dx  hội tụ. 1/ 2 0 x 0 2  Đổ   i biến t = − x x = − t , ta có: 2 2  /2 0    /2  /2  cot x dx = cot − t (−dt) = tan t dt =     tan x d . x   0  /2 0 0  2   /2  /2 1 1   cot x dx =
( tan x + cot x)dx = L = .   0 0 2 2 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 xe −1 x  a) lim  . x→0 x   4 xy b) lim 2 8
( x, y)→(0,0) 4x + 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân 2 2 A = 4, 03 + 2, 02 + 5 . 2 x
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng x e  1+ x + , x   0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường 2
y = x − 4x
và y = 0 quanh trục Oy một vòng. 1 −  
Câu 5 (1 điểm). Tính 2 2  4
− − 3x + 1− x dx .  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số 5
f (x) = x + x có hàm ngược là y = g(x) . Tính g (2) . 2 2
z z 5 z  1
Câu 7 (1 điểm). Tính P = + +  với z = . 2 2 xyy y  (x + y )5 2 2
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ 3 200 cm / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60 cm. 
Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx  . 0
Cách giải tham khảo đề số 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: −  a) x lim . x  → sin x 2 2y ln x b) lim . 2 2
( x, y)→(1,0) (x −1) + y
Câu 2 (1 điểm). Phương trình 3 2 5
x + 3x y + y − 5 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) .  2x
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arctan , x     1 . 2 1− x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x y = . x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2x)dx  . + b) dx  . x + ( 2 0 ( 3) x − x + ) 1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 3 3 2
z = x + y − (x + y) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x −  1 1 lim = lim = = 1
− . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) x  → sin x x  → cos x cos − Vậy x lim = 1 − . x  → sin x 2 b) Đặ 2y ln x
t f (x, y) = 2 2 (x −1) + y 2 2 y ln1
+) Nếu x =1 và y → 0 thì f (x, y) =
= 0 → 0 khi y → 0 . (1) 2 2 0 + y
+) Nếu x 1 và (x, y) → (1,0) thì: 2 2 2y ln x  ln x  2y (x −1) lim = lim    lim 2 2 2 2 (x,y) ( → 1,0) − + (x, y) ( → 1,0)  − (x, y) ( → 1,0) (x 1) y x 1 (x −1) + y x 1  x 1  x 1  VCB − Ta có: ln x ln x x 1 lim = lim = lim = 1 ( x, y )→(1,0) x 1 → x 1 x −1 x −1 → x −1 2 2 2 2 y (x −1) 2 | (x −1) y | (x −1) + y 0  = | y | | y | |
= y | , mà lim | y |= 0 2 2 2 2 2 2 (x −1) + y (x −1) + y (x −1) + y ( x, y)→(1,0) 2 2 y (x −1)  2 − lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 y (x 1)  = 2 2 lim 0
( x, y)→(1,0) (x −1) + y 2 2
( x, y )→(1,0) (x  1) + yx 1  x 1 2 2 y ln x  lim = 1.0 = 0 (2) 2 2
( x, y )→(1,0) (x −1) + y x 2 2y ln x Tù̀ (1) và (2)  lim = 0 2 2
( x, y)→(1,0) (x −1) + y Câu 2. 5 5
+) Với x =1 thì 1+ 3y + y − 5 = 0  y + 3y = 4  y =1 y(1) =1. 3 2 5
Theo bài ra: x + 3x y(x) +[ y(x)] − 5 = 0 2 2   4
+) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 3x + 6xy(x) + 3x y (x) + 5y (x)[ y(x)] = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1, ta có:   4
3 6y(1) 3y (1) 5y (1)[y(1)] 0
3 6 3y(1) 5y + + + =  + + + (1) = 0 ( do y(1) =1) 9 y −  (1) = 8 Vậy 9 y − (1) = 8 3 2 5
Cách giải khác: Đặt F( ,
x y) = x + 3x y + y − 5.  − − +  ( 2 3x 6 ( , ) xy F x y ) Ta có: y (x) x = = .  2 4 F (x, y) 3x + (*) 5y y 5 5
Với x =1 thì 1+ 3y + y − 5 = 0  y + 3y = 4  y =1 y(1) =1.
Thay x = 1, y = 1 vào (*), ta có: (3 6) 9 y − + − (1) = = . 3 + 5 8 2( 2 1− x ) 2
− 2x (−2x) 2x + 2 − − +  (1 x )2 (1 x )2 2 2 2( 2 x )1 2 Câu 3. y = = = = , x   1. 2 4 2  2x x + 2x +1 (x + + )2 2 2 x +1 1 1   1− x  (1− x )2 2 2 Vậy  2 y = , x   1  . 2 x +1 2 3 x x 3
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: ln(1+ x) = x − + + o(x ) . 2 3
Khi x → 0 thì 2x → 0 , thay x bởi 2 x , ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: 2 3 (2x) (2x)
y = ln(1+ 2x) = 2x − + + o( 3 (2x) ) 2 8 3
= 2x − 2x + x + o( 3x) 2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là 2 8 3
y = 2x − 2x + x + o ( 3 x ) . 3 Câu 5.
+) Tập xác định D =
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. L H  ospital +) Khi x → +: x 1 lim y = lim = lim = 0 (Dạng vô định) x →+ →+ e +1 x x x x→+ e
y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x x y + 1 e 1 a = lim = lim = lim = 1  0( vì lim x
e = 0  Khi x → − không có tiệm cận x→− ) x→− x→− x x x →− 0 +1 ngang. xxxe x
b = lim ( y − ax) = lim − x = lim =   lim dạng x x x ( x xe +1 xe +1 x 1+ e− →− →− →− →−  L'Hospital 1 = lim = 0 do lim x e− = + x→− ) x ( x −e− →−
y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là
tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2x) 1 − 2 − sin(2x)dx 1 − d(cos(2x)) 1 −
a) tan(2x)dx = dx = = = ln | cos 2x | +C     cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2 − Vậy 1 tan(2x)dx =
ln | cos 2x | +C.  2 + b) d A x dx =   (x + 3) ( lim 2 x − x + ) 1 A→+ (x + 3) ( 2 0 0 x − x + ) 1     A 1 1 1 2x −1 7 1 lim  d  =  −  +  x  2 2 A→+ 0  13 x + 3 26 x − x +1 26  1  3   x − +      2  4  A  1  2  + ln − x − x +1 x  ln | x 3 | 7 2 2 = lim  − +  arctan  A→+  13 26 26 3 3     2  0 2  + ln A − A +1  ln | A 3 | 7 2 A −1 ln 3 7 = lim  − + arctan − +  A→+  13 26 13 3 3 13 78 3   
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST  2  1 | A +1| 7 2 A −1 ln 3 7 = lim  ln + arctan − +  2 A→+  26 A − A +1 13 3 3 13 78 3    1 7  ln3 7 14 ln 3 = ln1+  − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng − . 39 3 13 2 2 3    3 x y Câu 7. 3 2 2 3 x + y = 4    +   =1  2   2      3
x(t) = 8cos t
Tham số hoá đường cong:  (0  t  2 ) 3 y  (t) = 8sin t
Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật 
thể thu được, khi quay phần ứng với 0  t  quanh trục Ox. 2
Diện tícch cần tính là:  /2    y t  ( ' 2 2 | ( ) |
x (t))2 ( y =  + (t))2 /2 dt = 4 8sin t  ( 2
− 4sin t cos t)2 + (24cost sin t)2 3 2 2 dt 0 0  /2  = 768
sin t sin t cos t  (cos t +sin t) /2 3 2 2 2 2 4 dt = 768
sin t cos t dt  0 0  /2  /2   4 768 5 768 = 768 sin t d(cos t) = sin t = (dvdt) 0 5 5 0 
Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: 2 D = Tìm điểm dừng:    x = −y   {    = = 2 x y 0 2 2 2
z = 3x − 2(x + y) = 0 y = x 3x = 0 x         2 4 2
z = 3y − 2(x + y) = 0
x − x − y =  x = yx = y =  y 3 2 2 0  {   3 2    
 3x − 4x = 0   4 4 
hàm số có 2 điểm dừng là M  , và M (0, 0) . 1   3 3  2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST   
+) Ta có: A = z = 6x − 2, B = z = 2
− , C = z = 6y − 2 xx xy yy 2
  = B − AC = 4−(6x − 2)(6y − 2).  4 4  - Tại điểm M  , , ta có  = −  và  1  32 0 A = 6 0  3 3  −  64
z(x, y) đạt cực tiểu tại M (1,1), z = z M = . 1 CT ( 1) 27 - Tại điểm M (0,0) 2 . 3 3 2 Xét z
 = z(0+  ,x0+ y
 ) − f (0,0) = ( x  ) + ( y  ) −( x  + y  ) Khi x  = − y  → 0 ta có: z
 = 0, điều này chứng tỏ z(M = z M , với 2 ) ( 3) M ( x  ,− y  ) M M 3 thuộc lân cận của 2
hàm số không đạt cực trị tại 2  4 4 
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là M  ,
(cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1   3 3  64 − z = z M = . CT ( 1) 27
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 2x − a) lim .  x→ cos x 2 3 2x ln y b) lim . 2 2
( x, y)→(0,1) x + ( y −1)
Câu 2 (1điểm). Phương trình 4 3 5
x + 4xy + 3y − 8 = 0 xác định hàm ẩn y = y(x) . Tính y (1) .  2x
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin , x    1. 2 1+ x
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1− 3x) đến 3 x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x y = . 2 x e +1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3x)dx  . + b) dx  (x + 4) ( 2 0 x + x + ) 1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 2 2 3 x +
y = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 3 3 2
z = x + y + (x + y) .
Cách giải tham khảo đề số 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)  2 1 
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim −   . 2 →0 x xe −1 x  3
x = t + t
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số y = f (x) xác định bởi 
. Tính f  (x), f (x) . 2 4 y  = 2t + 3t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 3 y = x(x − 3) .  2  2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi x  0 , ta có ln 1+    .  x  2 + x 6 6 6 1 + 2 ++ n
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn lim   . 7 n→ n  
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 sin xdx a)  . sin x + cos x
b) 3 arccot 3 − x dx  . 2 + dx
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng  . x ( 4 1 3x − 2)
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y − 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
 x arctan 3x, x  0 f (x) =  3xae  + bsin x, x  0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2  2 1  2 x x − e +1 Câu 1. L = lim − =   lim 2 x →  e −1 x →  ( 2 0 0 x x x e − ) 1 x → Dùng VCB: ( x e − )x 0 2 1
~ 2x cho mẫu số, ta có: 2 VCB 2 x x − e +1 L = lim ) x→0 2x  (dạng 0 x 0  2  2 − 2 x L Hospital e 2 x L 0 Hospital − − = 4e 4e lim (dạng 0 ) = lim = = 1 − . x→0 4x 0 x→0 4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng −1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: 2  (2x)  2x −  2x + + o( 2 x ) 2  x − ( 2x e − ) 1  2!  L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) → ( 2 0 x x e − ) 1 x x→0 2x x 2 2 − x − o( 2 x ) 2 2 − x = lim = lim = 1 − . 2 2 x 0 → x 0 2x → 2x Câu 2. x = x(t) Ta có công thức: Với f x y = Xác định hàm y = ( ) y(t) y (t)
y (t)x (t) − y (t)x   (t) f (x) = và f (x) = .  3 x (t) x(t)  
Áp dụng công thức trên ta có:  3  dy y (t) 4t +12t f (x) = = = = 4t.  2 dx x (t) 1+ 3t 2  d y d  dy  d 1 d 1 4 f (x) = = = (4t) =  (4t) = 4 =   . 2   2 2 dx
dx  dx x (t)dt x (t) dt 1+ 3t 1+ 3t Câu 3.
+) Tập xác định: D = .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: −  (  2 x(x 3) ) 2
(x − 3) + 2(x − 3)x x − 3 + 2x y = = = , x   0, x  3. ( − − x x − )2 2 4 2 3 3 2 3 x (x 3) x (x 3) ( 3) $  x − 3 + 2x y = 0  = 0  x =1. 2 3 x (x − 3) Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại điểm 3 x = 1, y = y(1) = 4 . CD
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, y = y(3) = 0 CT . Câu 4. Xét hàm số 2 2 f (x) = ln(1+ ) − trên (0, + ) x 2 + x x + 2 2 2 f (x) = ln −
= ln(x + 2) − ln x − ( do x  0) x 2 + x 2 + x 2  1 1 2
(x + 2)x − (x + 2) + 2x 4 − f (x) = − + = =  0, x   0. 2 2 2 x + 2 x (x + 2) x(x + 2) x(2 + x)   2  2 
lim f (x) = lim ln 1+ − = +     + + x→0 x→0   x  2 + x    2  2 
lim f (x) = lim ln 1+ − = ln(1+ 0) − 0 =    0  x→+ x→+   x  2 + x  Ta có bảng biến thiên:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x)  0, x   0  2  2  ln 1+ −  0, x     0  x  2 + x  2  2  ln 1+  ,x    0 (đpcm)  x  2 + x Câu 5. 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 + 2 ++ n  1 1 + 2 ++ n 1  1   2   n   L = lim   = lim  = lim   + ++        7 6 n→ n→ n n n n → n    n   n   n    6 1 n k  = lim  
n→ n =  n k 1 1
= f (x)dx,  trong đó 6
f (x) = x hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 1 7 1 6 x 1 = x dx = = .  0 7 7 0
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6.     
Giải: sin x + cos x = 2 sin x + 
 . Đặt t = x +  x = t −  dx = dt . Tích phân cần tính trở  4  4 4 thành: 3 3      1 1  sin t −    sin t − cos t      4   2 2  I = dt = dt   2 sin t 2 sin t 3 2 2 3 3
1 sin t − 3sin t cos t + 3sin t cos t − cos t 1  cos  2 2 t = dt = 
sin t −3sintcost +3cos t − dt  4 sin t 4  sin t  1  1 1  3  3 3  cost  =
− cos 2t − sin 2t + + cos 2t −   ( 2 1−     sin t ) dt  4  2 2  2  2 2  sin t  1  3 cos t  =
2 + cos 2t − sin 2t − + 
cos t sin t dt  4  2 sin t
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1  cos t  1  1 1 
= 2+ cos2t −sin 2t − dt = 
 2t + sin 2t + cos 2t − ln | sin t | + C  4  sin t  2 2  2 2   Thay t = x + 4 3 sin xdx 1   1    1        = 
 2x + + sin  2x + +  cos  2x + −  ln sin x +    + C sin x + cos x 4 2 2   2  2  2   4   x
cos(2x) − sin(2x) 1    = + − ln sin x + + C   1 2 8 4  4  b) Xét nguyên hàm
arccot 3− x dx = arccot 3− x d(x − 4)  
= (x − 4)arccot 3 − x − (x − 4) d(arccot 3 − x)  −1 −1
= (x − 4)arccot 3− x − (x − 4)  dx  2 1+ ( 3 − x ) 2 3 − x 1 −
= (x − 4)arccot 3− x −
dx = (x − 4) arccot 3 − x − 3 − x + C.  2 3 − x 3 3  −   − 
 arccot 3− x dx = [(x − 4)arccot 3− x − 3− x] = − −1 =    1 2 2 2  2  1
Câu 7. f (x) =
là hàm dương và liên tục trên [1, +) . x ( 4 3x − 2) + dx  
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + x ( 4 1 3x − 2) 1 x→+ 1 1 = + , mà 1 dx
hội tụ (do  = 5  1) 5 x ( ~ 4 3x − 2) 4 5 x  3x 3x 1 3x + dx  
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. x ( 4 1 3x − 2) 2 2
Câu 8. Tham số hoá đường tròn x + ( y − 2) = 1: x = cost  (0  t  2 ) . y  = 2 + sin t 2 2
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x + (y − 2) =1 quanh trục Ox là: 2   2 |y(t) | 
(x(t))2 (y = + (t))2 2 2 2 dt = 2
|2 + sin t | (−sin t) + (cos t) dt  0 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 2 = 2 (2 + sin t)dt
( vì 2 + sin t  0) = 2 (2t + cos t) = 8 ( dvdt )  0 0 Câu 9.
Để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 thì điều kiện cần là f (x) liên tục tại x = 0 , tức là:
lim f (x) = lim f (x) = f (0)  lim ( x arctan 3x ) = lim ( 3x ae + bsin x = + − + − ) 0 x→0 x→0 x→0 x→0 0
 0 = ae + bsin 0 = 0  a = 0.
 x arctan 3x, x  0,
Với a = 0 thì f (x) =  b
 sin x, x  0
f (x) − f (0)
x arctan 3x − 0 x arctan 3x x  3x lim = lim = lim = lim = lim 3 = 3. + + + + + x→0 − x→0 x→0 x→0 x→0 x 0 x x x
f (x) − f (0) b sin x − 0 sin x lim = lim = b lim = .1 b = b − − − x→0 − x→0 x→0 x 0 x xa = 0  a =  0
f ( x) khả vi tại x = 0  
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)   lim = lim   3 = b + − x→  0 − x→0 x 0 x − 0
Vạy (a,b) = (0, 3).
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 21
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)  1 3 
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim −   . 3 →0 x xx e −1 3
x = 3t + t
Câu 2 (1 điểm) Cho hàm số y = f (x) xác định bởi 
. Tính f  (x), f (x) . 5 y  = 5t − t
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 3 y = x (x − 3) .  x +1 2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng với mọi x 1, ta có ln    .
x −1 x −1 5 5 5 1 + 2 ++ n
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn lim   . 6 n→ n  
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: 3 cos x dx a)  . sin x + cos x b) 2 arctan 3 − xdx  . 1 + dx
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng  . x ( 4 1 2x − ) 1
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn 2 2
x + ( y + 2) = 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:  x sin 3x, x  0 f (x) =  a
 2x + b arctan x, x  0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x = 0 .
Lời giải tham khảo đề số 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 22
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) −
Câu 1 (1 điểm). Tính cos x x lim .
x→+ x − sin x −1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 7,988 .
Câu 3 (1 điểm). Tính hoặc xét sự phân kỳ + −x e x dx  . 1
Câu 4 (1 điểm). Tính  3x e sin(2x)dx  . 0 2
Câu 5 (1 điểm). Cho ( , ) xy z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số 2 2
z = 3x − 4 y trong miền đóng: 2 2 x y + 1. 4 3
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1− x − y dx dy  , trong đó: 2 2
D : x + y  1, x  0, y  0 . D  1 x =  3  −
Câu 8 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số t 8  2ty = 3  t − 8   
Câu 9 (1 điểm). Tính arcsin x 18 2   + . − 1 sin x dx | |  + 2 1 x e   y  arccot , x  0
Câu 10 (1 điểm) Tính z ( ; x y) biết = x z( ; x y)  x 0, x = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 23
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x→+
Câu 1. Vì cos x bị chặn bởi 1 (cos x − x) ~ (−x) x→+
Tương tự, vì (−sin x −1) bị chặn bởi 2  (x − sin x −1) ~ x VCL cos x − x −x  lim = lim = 1. −
x→+ x − sin x −1 x→+ x
Vậy giới hạn cần tính bằng −1. Câu 2. 3 3
A = 7,988 = 8 − 0, 012 Chọn x = 8, x  = 0 − ,012. Xét hàm số 3
f (x) = x trên (0, +) . 0  1 f x x f  =    ( 1 1 ( ) , 0 x = = . 0 ) 3 2 3 2 x 12 3 3 8
Áp dụng công thức tính gần đúng nhờ vi phân:  1 3 A =
7,988 = f ( x + x
  f x + f x x  = 8 + (−0,012) = 1,999 0 ) ( 0) ( 0) 3 12 Vậy 3 A = 7,988  1,999 . − − − − − − − − x Câu 3. x e x x = x   ( x −e ) x
= −e x − ( x −e ) x x 1 d d
dx = −xe − e + C = + C . x e + − − 1 A A − − x  − − Ax x 1 2 Ta có: e x dx = lim e x dx = lim = lim +     . 1 →+ 1 x A A A→+ A e →+  e e  1 −1− A    +) Xét giới hạn: lim   A A→+ e    −1  lim = 0 (do lim A e = + ) A A→+ e A→+ + − 2 x 2 2  e x dx = 0 + =  
tích phân đã cho hội tụ và bằng . 1 e e e Câu 4.  3x 3x 3x        3 e e e x I =
e sin(2x)dx = sin(2x)d     = sin(2x)  − d(sin(2x))  0 0 0  3   3  3 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 24
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2  −  3x 2 = 0 − cos(2 )d = cos(2 )d   ( 3x e x x x e ) 0 0 3 9  3  2  −   −  3 e x 2 3x 2 2 4 3 =  cos(2x)e + e  d(cos(2x)) x = −
e sin(2x)dx   0 0  9  9 9 9 0 3 3 2 2  − e 4 2 − 2eI = − I I = . 9 9 13 3 2 2  − e
Vậy tích phân cần tính bằng . 13 Câu 5. 2 2  2 xy z y e , z = = 2 xy xye x y 2 2 2 2 2  4 xy   xy 3 xy  xy 2 2 z = y e
, z = z = 2ye
+ 2y xe , z = 2xe + 4 xy x y e xx xy yx yy 2  2   2
d z = z dx + 2z dx dy + z dy xx xy yy 2 xy = + ( 2 2 xy xy + ) +( 2 2 4 2 3 xy 2 2 xy y e x ye y xe y xe + x y e ) 2 d 2 2 2 dxd 2 4 dy Rút gọn lại, ta có: =  + ( + ) + ( +  ) 2 2 4 2 3 2 2 2 d d 4 4 d d 2 4 d xy z y x y y x x y x x y y e .  2    2 yx  41−  2 2 2 x y   3  x  4
Câu 6. Với điều kiện + 1    2 2 4 3   x y   3 2 y  31−     4  2   + x ) Ta có: 2 2 2 2
z = 3x − 4 y  3x − 4 31−
  6x −12  0 −12 = 1 − 2  4  2 2  x y  + = x =  0 Đẳ 1 ng thức xảy ra   4 3     =  2 y 3 x  = 0 2  y  +) Ta có: 2 2 2 2
z = 3x − 4 y  3 4 1−
 − 4y =12 −8y 12 − 0 =12  3  2 2  x y  + =  =  Đẳ 1 x 2 ng thức xảy ra   4 3   y   = 0 2 y  = 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 25
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Kết luận: Trên miền đã cho thì:
- Giá trị nhỏ nhất của z là −12 , đạt được tại (x, y) = (0,  3) .
- Giá trị lớn nhất của z là 12, đạt được tại (x, y) = ( 2  ,0) .
Câu 7. D là miền được gạch chéo như hình bên.  =  Đổ x r cos i biến  |  J |= r . y  = r sin   −     0
Miền D trở thành E :  2 0  r 1 0 1 2 2 2 2 I =
1− x − y dx dy =
1− r | J | ddr = d 1− r r dr     D E − 0 r 1 = 0 1 1 −  −   2 =   − r   ( 2 − r ) 0 1 2 = −    ( 2 − r )3 0 1 d 1 d 1 1 d = d   = − 0 2  2 3 −  2 6 2 2 r =0 
Vậy tích phân cần tính bằng . 6 Câu 8.
+) Khi t → t (với t  2 ) thì lim x và lim y hữu hạn 0 0 t →t → 0 t t0
 trường hợp này không có tiệm cận. 1
+) Khi t → 2 thì lim x = lim =  3 t →2 t →2 t − 8 2t 3 y − Ta có: t 8 a = lim = lim = lim(2t) = 4  0 t →2 t →2 x 1 t →2 3 t − 8  2t 4  2(t − 2)
b = lim( y − ax) = lim − = lim   3 3 t → t →
t − 8 t − 8 t →  (t − 2) ( 2 2 2 2 t + 2t + 4) 2 2 1 = lim = = 2
t →2 t + 2t + 4 12 6  1
trường hợp này đồ thị hàm số có tiệm cận xiên hai phía y = 4x + . 6
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 26
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 2t
+) Khi t →  thì lim x = lim
= 0 (hữu hạn) và lim y = lim
= 0 (hữu hạn) nên trường 3 t → t→ t − 8 3 t → t → t − 8
hợp này không có tiệm cận. 1
Vậy đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận, đó là tiệm cận xiên hai phía y = 4x + . 6  /2    /2  /2 arcsin x arcsin x Câu 9. 18 18 18 I =  1+ sin x dx = sin x dx + sin x dx   − /2 |x| − /2 − /2 |x|  1+ e  1+ e 1 I I2 +) Xét 18
f (x) = sin x , ta có: f (−x) = f (x), x
   f (x) là hàm chẵn  /2  18 17!! 17!!  I = 2 sin x dx = 2   =   (tích phân Wallis). 2 0 18!! 2 18!! arcsin x +) Xét 18 g(x) =
sin x . Đề cho hơi dở, vì cận arcsin x không xác định trên toàn | | 1 x + e   −   bộ  ,
 , nên chỗ này đề bị sai.  2 2  Sửa lại một chút:  x x arcsin arcsin  /2    /2  /2  18 18  18 I = −  1+ sin x dx = sin x dx + sin x dx   |x| − /2 − /2 |x| 2  1+ e  1+ e   I2 x arcsin Lúc này, đặ  t 18 g(x) = sin x . | | 1 x + e   −  
Ta có g(−x) = −g(x) nên g(x) là hàm lẻ trên ,    2 2   /2  I =
g(x)dx = 0 
(tích phân hàm lẻ, cận đối xứng). 2 − /2 17!!
Vậy I = I + I = . 1 2 18!! Câu 10.  1 − −y y
+) z (x, y) =  = , x   0. x 2 2 2 2  y x x + y 1+    x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 27
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
+) Với mỗi điểm (0, y , xét giới hạn: 0 ) y y −
f ( x y ) − f ( y ) 0 0 arccot 0 arccot , 0, 0 0 lim = lim x = lim x x→0 x→0 x→0 x − 0 x − 0 x yy - Nếu 0 0 y = 0 thì arccot = arccot 0 =  lim
x . Giới hạn này không tồn tại hữu hạn  0 →0 x 2 x x
không tồn tại z (0,0) . x y0 arccot y y
- Nếu y  0 , ta xét: 0 0 lim = −  lim arccot =  lim
x = −  không tồn tại 0 − − − x→0 x→0 x→0 x x 2 x
z (0, y (với y  0 ). x 0 ) 0 y0 arccot y y
- Nếu y  0 , ta xét: 0 0 lim = −  lim arccot =  lim
x = +  không tồn tại 0 + + + x→0 x→0 x→0 x x 2 x
z (0, y (với y  0 ). x 0 ) 0  1 − −y y Tóm lại, 
z (x, y) =  = , x
  0. Còn z (0, y) không tồn tại. x 2 2 2 2  x y x x + y 1+    x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 28
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) −
Câu 1 (1 điểm). Tính cos x x lim .
x→+ x − sin x +1
Câu 2 (1 điểm). Dùng vi phân tính gần đúng 3 8,012 .
Câu 3 (1 điểm) Tính hoặc xét sự phân kỳ + x e x d . x  1
Câu 4 (1 điểm). Tính  3x e cos(2x)dx  . 0 2
Câu 5 (1 điểm). Cho ( , ) x y z x y = e . Tính 2 d z .
Câu 6 (1 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số 2 2
z = 4x − 3y trong miền đóng: 2 2 x y + 1. 3 4
Câu 7 (1 điểm). Tính 2 2
1+ x + y dx dy  , trong đó: 2 2
D : x + y  1, x  0, y  0 . D  1 x =  3  −
Câu 8 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 8 t  2ty = 3  8 − t   
Câu 9 (1 điểm). Tính arcsin x 2 18   . − 1+ sin xdx  | |  2  1 x + e   y  arccot , x  0
Câu 10 (1 điểm). Tính z ( ; x y) biết = x z( ; x y)  x 0, x = 0
Lời giải tham khảo đề 7
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 29
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Xét tính chẵn, lẻ của hàm số 2
y = x + arcsin x . 2x −1
Câu 2 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y = . 2 x +1 e cos( ln ) x
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân dx  . 1 x 2
Câu 4 (1 điểm). Tính giới hạn y sin x lim . ( x, y )→(0,0) 2 4 2x + 3y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = x + y + (x − )2 2 2 ( ) 1 −1.
Câu 6 (1 điểm). Chứng minh rằng 2
x arctan x  ln 1+ x với mọi x . + 1− cos x
Câu 7 (1 điểm). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng: I = dx  . 0 5 x
Câu 8 (1 điểm). Có một vật thể tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ. Người ta
đo được đường kính của miệng ly là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Biết rằng mặt phẳng qua trục
OI cắt vật thể theo thiết diện là một parabol. Tính thể tích V ( 3
cm ) của vật thể đã cho.
Câu 9 (1 điểm). Biểu thức 1 2 z +
= y − z xác định hàm ẩn z = z(x, y) . Chứng minh rằng: x z 2  y x z + −1 = 0 . x 2 y
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả vi trên \{0} thoả mãn: 2 2 x f (x)
(2x 1) f (x) xf  + − =
(x) −1 với mọi x  0 và f (1) = 2 . Tính 2 f (x)dx  . 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 30
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1. 2
y = x + arcsin x . Ta có: 
y(1) = 1+ arcsin1 = 1+ 2
y(−1)   y(1) 
y(−x) = 1+ arcsin(−1) = 1− 2
y(−x) = y(x),   x không thể có:  y
 (−x) = −y(x), x   2
y = x + arcsin x không là hàm chã̃n, cũng không là hàm lẻ.
Câu 2. Tập xác định: D = , đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 2x −1 2x
- Xét khi x → + , ta có: lim y = lim = lim = 2 x→+ x→+ 2 +1 x→+ x x
 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2 khi x → +. 2x −1 2x
- Xét khi x → − , ta có: lim y = lim = lim = 2 − x→− x→−
2 +1 x→− −x x
 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2 khi x → − .
Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.
Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y = 2 (về bên phải) và y = −2 (về bên trái). cos( ln ) 1 e e e x 1 Câu 3. dx =
cos( ln x)d(ln x) = sin( ln x) =   . 1 1 x   1 1
Vậy tích phân cần tính bằng  . 2 y 1
Câu 4. Ta chứng minh  , (
x, y)  (0,0) . (*) 2 4 2x + 3y 3 4 y 1 Thật vậy, (*) 4 2 4 
  3y  2x + 3y , luôn đúng. Vậy (*) đúng. 2 4 2x + 3y 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 31
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 2 y sin x y 1  1 0  = | sin x | sin x, mà lim sin x = 0 2 4 2 4 2x + 3y 2x + 3y 3 ( x, y)→(0,0) 3 2 2 y sin x y sin x  lim = 0  lim = 0. ( x, y )→(0,0) 2 4 ( x, y)→(0,0) 2 4 2x + 3y 2x + 3y
Vậy giới hạn cần tính bằng 0. Câu 5. Tập xác định 2 D = z = 
2(x + y) + 2 x −  x = y = −xx ( 2 )1 2 0 Tìm điểm dừng:   
z = 2(x + y) = 0 4x x − =   y  ( 2 )1 0
x = 0 x =1 x = 1 −       y =  0 y = 1 − y    =1
 hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0), M (1, 1 − ) và M ( 1 − ,1). 1 2 3 Ta có  2 A z 12x 2, B z 2,C z = = − = = = = 2. xx xy yy
Tại điểm M (0,0) , ta có 2
B − AC = 8  0 , nên hàm số không đạt cực trị tại M . 1 1 2 B − AC = 16 −  0
Tại các điểm M (1, 1 − ) và M ( 1 − ,1) ta có 
 hàm số đạt cực tiểu tại các 2 3 A  = 10  0 điểm M (1, 1 − ), M ( 1
− ,1). Giá trị cực tiểu đều bằng z = z(1, 1 − ) = z( 1 − ,1) = 1 − . 2 3 CT 1 Câu 6. Xét hàm số 2
f (x) = x arctan x − ln 1+ x = x arctan x − ln ( 2 1+ x ) trên . 2  1 1 2x
Ta có: f (x) = arctan x + x  −  = arctan x . 2 2 1+ x 2 1+ x
f  (x) = 0  arctan x = 0  x = 0. Bảng biến thiên có dạng:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
f (x)  0, x   R 2
x arctan x − ln 1+ x  0, x   2
x arctan x  ln 1+ x , x   (đpcm)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 32
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + 1− cos x 1− cos x + 1− cos x Câu 7. I =
dx = I + I  , trong đó 1 I = dx  và I = dx  . 1 2 0 5 1 2 x 0 5 x 1 5 x − + 1 cos x
) Xét I , ta có f (x) =  0, x
 (0,1]. Điểm bất thường x = 0 . 1 5 x 2 x x→0 1− cos x 1 2 1 1 1 ~ = , mà dx
hội tụ (vì  = (0,1) ) 1/2 5 5 2x 1/2 x x 0 2x 2 1 1− cos xI = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 0 5 x 1− cos x
+) Xét I , ta có f (x) =
 0 liên tục trên [1,+) . Điểm bất thường . + 2 5 x 1− cos x 2 + 2 5 Ta có: 0   , mà dx
hội tụ (vì  =  1 ) 5/2 5 x 5/2 x 1 x 2 + 1− cos xI = dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 2 1 5 x
Vì I và I hội tụ nên I hội tụ 1 2
Câu 8. Chiều dương như hình vẽ.
Phương trình parabol đi qua 3 điểm A, B, O có dạng: 2 x = ay + . b
Parabol qua hai điểm B(0,3) và I(8,0)   −8 0 = 9a + ba = −8 2     9  x = y + 8. 8 = b 9  b    = 8
Vật thể thu được là vật thể khi miền giới hạn bởi các  8 −  2 3  = +  = − đườ x y 8 y 16 2x ng  9   4 quanh trục
x  0, y  0   0  x  8
Ox  thể tích vật thể là: 8 2 2 8 8 8       2 3 9x 9x V = 
y (x)dx =  
  16−2x  dx = 9− dx =  9x −  = 36( 3 cm ) 0 0 0  4   8   16  0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 33
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 Câu 9. Đặt 2
F (x, y, z) = z + − y − z . x 1 y −  −  2 2 − − −  F F y z x z = = ,  y x z = = . x F  1 y F  1 z 1 z + 1+ 2 2 2 y − z 2 y − z Ta có: 1 y 1 z 2 2 y − z 2 1 2 y − z 2  y 2 1 x z + +1 = x x  +  −1 = + −1 =1−1 = 0 x 2 2 y x 2 y 1 1 1 1+ 1+ 1+ 1+ 2 2 2 2 2 y − z 2 y − z 2 y − z 2 y − z Câu 10. 2 2
x f (x) (2x 1) f (x) xf  + − = (x) −1, x   0 2 2  2
x f (x) 2xf (x) 1 xf (x) f (x) (xf (x) 1) xf   + + = +  + =
(x) + f (x) xf  (x) f (x) xf  +
(x) + f (x)  =1, x   0  dx = dx   2 2 (xf (x) +1) (xf (x) +1) d(xf (x) +1) 1 −  = dx  = x + C.   2 (xf (x) +1) xf (x) +1 Theo bài ra: 1 − 1 − 1 − 1 f (1) = 2 − 
=1+ C C = 0. 
= x f (x) = − , 2 2 − +1 xf (x) +1 x x (TM) 2 2 2  1 − 1   1  1 −  f (x)dx = −
dx = − ln | x | + = −       ln 2 2 1 1  x x   x  2 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 34
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 3cos(5x) + 4sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x→0 sin x b)  ( 2
ln x + x + 2)dx . 1 x x
Câu 3 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỷ của tích phân dx  . 0 x 1− cos 2 4 x
Câu 4 (1 diểm). Tính lim . 2 4
( x, y)→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tim cực trị của hàm số 4 4 2 2
z = x + y + 2x − 2 y . 1 −  x +1
Câu 6 (1 điểm). Tim vả phân lọai điểm gián đọan y = arctan  .  x xyz
Câu 7 (1 điểm). Phương trình (x + y)z +e
=0 xác định hàm ẩn z = z(x, y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trên [0,1], | f (x) |1, x  [  0,1]. Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1−  ( f(x)dx  )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ) . Tinh 1 I = f ( x)dx  . −1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 35
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 3 4
Câu 1. Chọn  sao cho sin = ,cos = , ta có: 5 5 3 4 
f (x) = 3cos(5x) + 4 sin(5x) = 5
cos(5x) + sin(5x) = 5[sin  cos(5 )
x + cos sin(5x)] = 5sin(5x +  )   5 5  2 2
là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = = . | 5 | 5 2
Chú ý: Với k  0 thì các hàm số sin(kx + ),cos(kx + ) là các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = . | k | Câu 2.
a) Ta có: sin x ~ x khi x → 0 và: 2 2 x→0 x→0 1 1 −x −x 3 3
cos x −1 = 1+ (cos x −1) −1 ~ (cos x −1) ~  = 3 3 2 6 2 −x 3 VCB cos x −1 1 − Áp dụng: 6 lim = lim = . 2 2 x→0 x→0 sin x x 6 −1
Vậy giới hạn cần tính bằng . 6  1  b) ln ( 2
x + x + 2)dx = ln
 ( 2x + x + 2)d x +    2   1    = x + ( 2x + x+ ) 1 ln 2 − x + d  (ln( 2x + x+     2)  2   2   1    + = x + ( 2x + x+ ) 1 2x 1 ln 2 − x +      dx 2  2   2  x + x + 2 2  1  x +    1    = x +   ( 2 x + x + ) 2 ln 2 − 2 dx  2  2   1  7 x + +    2  4
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 36
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST      1  x   ( 2 x x ) 7 1 ln 2 2 1 d  = + + + − −  x  2  2   4  1  7   x + +      2  4   1   x + 1    = x +   ( 2 x + x + ) 7 2 2 ln 2 − 2 x −  arctan  + C  2   4 7 7     2   1  + = x +   ( 2 x + x + ) 2x 1 ln 2 − 2x + 7 arctan + C .  2  7 x x
Câu 3. f (x) =  0, x
 (0,1]. Điểm bất thường x = 0 . x 1− cos 2 x x x x 8 1 8 1 Ta có: ~ = , mà  hội tụ (vì   = (0,1) 2 1/2 x 1 1/2 0  1− cos  x x x 2 2   2  2  1 x x  dx
là tích phân hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 0 x 1− cos 2 4 x
Câu 4. Ta đi chứng minh 2  x , (  ,
x y)  (0, 0) (*) 2 4 x + y 4 x Thật vậy, (*) 2 4 4 2 4 
x x x + x y , luôn đúng (
x, y)  (0,0) . 2 4 x + y 4  x
(*) là đúng. Vậy ta có: 2 0   x , (  , x y)  (0, 0) 2 4 x + y 4 x Mà 2 lim x = 0  lim = 0 (theo nguyên lý kẹp). 2 4 ( x, y)→(0,0) ( x, y) ( → 0,0) x + y
Câu 5. Tập xác định: 2 D = .  3  = + =  = +) Tìm điể z 4x 4x 0 x 0 m dừng: x     3 z
 = 4y − 4y = 0 y   = 0  y = 1  y
 hàm số có 3 điểm dừng là M (0,0),M (0,1) và M (0, 1 − ) . 1 2 3 +) Ta có: A =  2   2
z = 12x + 4, B = z = 0,C = z = 12y − 4. xx xy yy
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 37
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2  B − AC = ( 2 x + )( 2 12 4 4 −12y ) .
- Tại điểm M (0,0) ta có: 2
B − AC = 16  0  hàm số không đạt cực trị tại M (0,0) . 1 1 2 B − AC = 32 −  0
- Tại các điểm M (0,1) và M (0, 1 − ) , ta có:  2 3 A  = 4  0
 hàm số đạt cực tiểu tại các điểm M (0,1) và M (0, 1
− ) . Giá trị cực tiểu cùng bằng 2 3 z
= z(0,1) = z(0, 1 − ) = 1 − . CT x +1 x  0
Câu 6. Hàm số xác định  arctan  0   x x   1 −
x = 0 và x = 1
− là các điểm gián đoạn của hàm số. - Tại điểm x = 1 − , xét giới hạn: + x→( 1 − ) 1  x +1  lim y = lim = + vì arctan ~ 0+  + + x→( 1 − ) x→( 1 − ) x +1 r a ctan x   xx = 1
− là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số.
- Tại điểm x = 0 , xét các giới hạn: + x→0 1 1  x +1  lim y = lim = do ~ +    + + → → +  x 0 x 0 x 1 a c r tan  xx 2 − x→0 1 1  x +1  lim y = lim = do ~ −    − − → → +  x 0 x 0 x 1 − arct n a  xx 2
x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số (điểm gián đoạn bỏ được).
Câu 7. Đặt ( , , ) = ( + ) xyz F x y z x y z + e .
Ứng với x = 0, y =1, thay vào phương trình đã cho ta có: 0
(0 +1)z + e = 0  z = 1 − . Gọi điểm   
M (0,1, −1) . Ta có: xyz
F = z + zye , xyz
F = z + zxe , xyz
F = x + y + xye . x y z   − − −  F (M ) 2 F (M )  − y 1 z (0,1) x = = = 2 − , z = (0,1) = = = 1 − .n x F  (M ) 1 y F  (M ) 1 z z
 dz(0,1) = z (0,1)dx + z (0,1)dy = 2 − dx − d . y x y
Câu 8. Áp dụng bất đẳng thức tích phân:
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 38
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ∫ 1 1 0 √1 − 𝑓2(𝑥)d𝑥
= ∫0 √1 − 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + 𝑓(𝑥)d𝑥 ≤ √∫ 1 1 1 1
0 (1 − 𝑓(𝑥))d𝑥 ⋅ ∫0 [1 + 𝑓(𝑥)]d𝑥 = √(1 − ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) ⋅ (1 + ∫0 𝑓(𝑥)d𝑥) 2
= √1 − (∫ 10 𝑓(𝑥)d𝑥)
Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi 𝑓(𝑥) = 1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 9. 2 f x = x + + x f ( 3 ( ) 2 x ), x  [ 1 − ,1] 1 1 1 2  f (x)dx = x + 2 dx + x f    ( 3x)dx 1 − 1 − 1 −  = −  = − Đặ x 1 u 1 t 3 2
u = x  du = 3x dx . Đổi cận  x  =1 u = 1 1  x f  (x ) 1 1 2 3 du 1 dx = f (u) = f (x)dx   . Do đó: 1 − 1 − 1 3 3 − 1 3 f (x)dx = x + 2 dx +
f (x)dx f (x)dx = x + 2 dx = +      = 13 13 −1. − − − − − ( (x 2) )1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 2 1 −
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 39
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tìm chu kỳ của hàm số y = 4cos(5x) + 3sin(5x) .
Câu 2 (2 diểm). Tính: 3 cos x −1 a) lim 2 x→0 tan x b)  ( 2
ln x − x + 2)dx , 1 x x
Câu 3 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân dx  . 0 x 1− cos 3 4 y
Câu 4 (1 điểm). Tính lim . 4 2
( x, y)→(0,0) x + y
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 4 4 2 2
z = x + y − 2x + 2 y . 1 −  x
Câu 6 (1 điểm). Tim và phân loại điểm gián đoạn y = arctan  .  x +1 xyz
Câu 7 (1 điểm). Phương trình (x + y)z −e
=0 xác định hàm ẩn z = z(x, y). Tính dz(0,1) .
Câu 8 (1 điểm). Cho hàm số f (x) khả tích trền [0,1], | f (x) |1, x  [0,1] . Chứng minh rằng
1− f (x)dx = 1−  ( f(x)dx  )2 1 1 2 . 0 0
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số f (x) liên tục trên [−1;1] và thoả mãn điều kiện: 2 2 f x = − x + x f ( 3 ( ) 4 x ) . Tính 1 I = f ( x)dx  . −1
Lời giải tham khảo đề số 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 40
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) −
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn x sin x lim .
x→+ x − arctan x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x − 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x − 9 dx  . 0
 3sin x + 4cos x
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx  .
0 4sin x + 3cos x 3 sin x
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
( x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −x ln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x  0, y  0 thoả mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x  + y = 1 2 4 x x   
Câu 7 (1 điểm). Chứng minh rằng cos x 1− + , x  0,  . 2 24  2  z
Câu 8 (1 điểm) Cho y
z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình z − xe = 0. Ứng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,02;0,99) .  1 (2n −1)! 
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n     . n→+ n (n −1)!   + ln(1+ 2x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx  . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 41
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) sin x 1− x − sin x 1− 0 Câu 1. = lim = lim x L = =1
x→+ x − arctan x x →+ arctan x 1− 0 1− x Giải thích:  1 − sin x 1    x x x sin x +   lim = 0 (theo nguyên lý kẹp) 1 1 x→+ − x  lim = lim = 0 x→+ xx →+ x  arctan x
+) lim arctan x =  lim = 0. x→+ 2 x→+ x Vậy L = 1. 1 1 Câu 2. 2 f (x) (x 1)− = = = − . Do đó: 2 2 x − 2x +1 (x −1) (50) 5 − 2 50 1 51! f (x) = ( 2 − )( 3 − )( 4 − )( 5 − 0)( 5 − 1)(x −1) = ( 1 − ) 51! = , x   1 52 52 (x −1) (x −1) 51! Vậy (50) f (x) = , x   1. − Q + 52 (x −1) Câu 3. 5 3 5 2 2 2 2 2 I = x − 9 dx = 3 − x dx + x − 3 dx    0 0 3 3 5 2 2  x 9 x 9 x   x x 9 9  − − 2 =  + arcsin  + 
− ln x + x − 9   2 2 3   2 2      0 3 9 9 = +10 − ln 3 4 2 24 7  
(4sin x + 3cos x) +
(4cos x − 3sin x) 3sin x + 4cos x Câu 4. 2 2 25 25 I = dx = dx   0 0 4sin x + 3cos x 4sin x + 3cos x   2  24
7 4 cos x − 3sin x   24x 7   2 = +  dx = + ln | 4sin x +  12 7 4    3cos x | = + ln 0  25
25 4sin x + 3cos x   25 25  25 25 3 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 42
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 sin x
Câu 5. Ta chứng minh:
1 với (x, y) → (0,0).(*) 2 2 sin x + sin y Thật vậy, (*) 2 2 2
 sin x  sin x + sin y , luôn đúng với (x, y) → (0,0). 3 2 sin x sin x Áp dụng: 0  = | sin x | |
 sin x | , khi (x, y) → (0,0) . 2 2 2 2 sin x + sin y sin x + sin y 3 sin x Mà lim | sin x |= 0  lim = 0 theo nguyên lý kẹp 2 2 ( x, y)→(0,0)
( x, y)→(0,0) sin x + sin y 3 sin x  lim = 0. 2 2
( x, y)→(0,0) sin x + sin y Câu 6. x + y =1 y =1− x Ta có:   
H = −x ln x − (1− x)ln(1− x) = f (x) . x  0, y  0  0  x 1 Xét 
f (x) trên (0,1) . Ta có: f (x) = − ln x −1+ ln(1− x) +1 = ln(1− x) − ln x  1
f (x) = 0  ln x = ln(1− x)  x = (0,1) 2  1  1
Xét dấu: f (x)  0  0  x  ; f (x)  0   x 1 2 2 1
Suy ra f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = . 2  1    1 1  max H = f =
  ln 2 , đạt tại (x, y) =  ,  .  2   2 2  2 4 x x   
Câu 7. Xét hàm số f (x) = cos x −1+ − liên tục trên  0,  2 24  2 
Dùng khai triển Maclaurin với phần dư Lagrange, ta có:   5    5  cos c +    cos c + 2 4  2 4   x x  2       5 x x 2 5 f (x) = 1  − + + x  −1+ − =
x , (c  (0, x)), x  0,   2 24 5!  2 24 5!  2         Đánh giá: 5 5 5 c 3    +   cos c +    0 2 2  2 
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 43
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 2 4    x x   
f (x)  0, x   0,  cos x 1− + , x     0,   2  2 24  2 
 điều phải chứng minh (đẳng thức không xảy ra). z Câu 8. ( , , ) y
F x y z = z − xe , hàm ẩn z = f (x, y) xác định bởi F (x, y, z) = 0 z z z   xzx y F = −e ; y F = e ; F = 1 y − e x y 2 z y yx = 0, x  = 0,02 z Chọn 0 
. Ứng với x = 0, y = 1 thì 1
z = 0.e z = 0  f (0;1) = 0 .
y = 1, y = −  0, 01 0   − −  F (0;1;0) F (0;1;0)  f (0;1) = =1; f (0;1) y x = = 0 x F (0;1;0) y F (0;1;0) z z Suy ra: f (0, 02;0,99) f ( x ; x y y f (0;1) f  (0;1) x f  = +  +   +  + (0;1) y  = 0+1.0,02 + 0.( 0 − ,01) = 0,02 0 0 ) x y
Vậy f (0,02;0,99)  0,02 .
Câu 9. Xét giới hạn:
  1 (2n −1)!  
n  (n +1)(2n − 2)(2n −1)  L = lim ln   = lim ln n n  →+   n  (n −1)! n n n→+ n      n 1 1   0   1   2   n −1  1 −  k  = lim ln 1+ + ln 1+ + ln 1+ ++ ln 1+ = lim ln 1+            n→+ n n   n   n   n   n →+  n =  n k 0 1 = f (x)dx
trong đó 𝑓(𝑥) = ln (1 + 𝑥) liên tục, khả tích trên [0,1] 0 1 1 1 x
= ln(1+ x)dx = x ln(1+ x) − dx   0 0 0 1+ x 1  1  1 = ln 2 − 1−
dx = ln 2 − (x − ln(1+ x)) = 2 ln 2 −    1 0 0  1+ x   1 (2n −1)!  L 2ln 2 1 − 4  lim n   = e = e = .   n→+ n (n −1)! e   + + 1 ln(1 2x) ln(1+ 2x) + ln(1+ 2x) Câu 10. I = dx = dx + dx    0 0 1 x x x x x x 1 I I2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 44
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ln(1+ 2x) f (x) =
 0 liên tục trên (0;+). x x
+) I có điểm bất thường x = 0 . 1 2x 2 1 2 1 Khi x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà dx
hội tụ (do  = (0;1) ) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 ln(1+ x) +) Vi lim = 0    , với 0 nhỏ tuỳ ý. x→+ x 1 Chọn 1/3
 =  ln(1+ 2x)  (2x) khi x → + 3 1/3 3 (2x) 2 3 + 2 7
Khi x → + thì 0  f (x)  = , mà dx  hội tụ (do  =  1 ) 7/6 7/6 x x x 1 x 6
I hội tụ theo tính chất so sánh. Tóm lại, I , I hội tụ  I hội tụ. 2 1 2 1
Cách 2: Để xét I , ta có thể chọn hàm g(x) = , ta có trinh bày sau: 2 7/6 x 1 Xét g(x) =  0, x   1. Ta có: 7/6 x ln(1+ 2x) f (x) x x ln(1+ 2x)  lim = lim = lim (dạng ) 1/3
x→+ g(x) x→+ 1 x→+ x  7/6 x 2 6 1 2 = + lim x = lim = 0 2 − /3 1/3 x→+ 1 →+ 2 − /3 x x + 2x x 3 + + 1  7 g(x)dx = dx   hội tụ (do  = ) 7/6 1 1 x 6 +  I = f (x)dx
hội tụ theo hệ quả tiêu chuẩn so sánh. 2 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 45
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) −
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn x cos x lim .
x→+ x − arccot x
Câu 2 (1 điểm). Cho 1 f (x) =
. Tính đạo hàm cấp cao (50) f (x) 2 x + 2x +1 5
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 2 x −16 dx  . 0
 5sin x + 6cos x
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân 2 dx  .
0 6sin x + 5cos x 3 sin y
Câu 5 (1 điểm). Tính giới hạn lim . 2 2
( x, y)→(0,0) sin x + sin y
Câu 6 (1 điểm). Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái, trong trường
hợp có hai loài, được xác định theo công thức: H = −x ln x − y ln y , ở đó x, y là tỷ lệ các loài,
x  0, y  0 thoả mãn 
. Tìm giá trị lớn nhất của H . x  + y = 1 3 5 x x   
Câu 7 (1 điểm). Chứng minh rằng sin x x − + , x  0,  . 6 120  2  z
Câu 8 (1 điểm). Cho z = f (x, y) là hàm số ẩn xác định bởi phương trình x
z − ye = 0. Úng
dụng vi phân, tính gần đúng f (0,99;0,02) .  1 (2n)! 
Câu 9 (1 điểm). Tính lim n     . n→+ n n!   + ln(1+ 3x)
Câu 10 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng: dx  . 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 46
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi tiết tham khảo đề số 1 x − cos x Câu 1. lim = 1.
x→+ x − arccot x 51! Câu 2. (50) f (x) = . 52 (x +1) 5 15 Câu 3. 2 x −16 = 4 + − 8ln 2  . 0 2
 5sin x + 6cos x 30 11 6 Câu 5. 2 dx = + ln  .
0 6sin x + 5cos x 61 61 5 1
Câu 6. max H = ln 2 đạt được khi x = y = . 2
Câu 7. Tương tự đề 1 (dấu bằng cũng không xảy ra).
Câu 8. f (0,99;0, 02)  0, 02 .  1 (2n)!  4 Câu 9. lim n   =   . n→+ n n! e   + ln(1+ 3x) Câu 10. dx  hội tụ. 0 x x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 47
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x + sin x)x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số y = x arccot x . 
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 3 4 tan x dx  . 0 1
Câu 4 (1 diểm). Tính tích phân ln ( 2 x + x +  )1dx. 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 2
z = 4(x − y) − x − y . 2   x
y arctan   , y  0,
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số f (x, y) =   y  .  0, y = 0
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm ( A 1, 0) .
b) Tính f  (1, 0) . y  + +
Câu 7 (1 điểm). Cho x y x y 0  x, y  . Chứng minh tan tan tan  . 2 2 2  xsin x
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân 2 − dx . 1+ 3x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 0 x x +1− cos x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 48
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) 1 ln(cos x+sin x)
Câu 1. = lim(cos + sin ) x = lim x L x x e . x→0 x→0
ln(cos x + sin x) 0 Xét K = lim (dạng ) x→0 x 0 -sin x+ cos x 1 cos x+sin x K x = lim = 1  L = lim(cos x+sin x) =e =e x→0 1 Vậy L = . e Câu 2. y(x) lim
= lim arccot x = 0 đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên bên phải. x→+ x x →+ y(x) lim
= lim arccot x =  = a x→− x x →− 1 −  2 L Hospital 2 arccot x −  1 x +
= lim ( − ) = lim (arccot − ) = lim = lim x b y x x x = lim =1 2 x→− x→− x→− 1 x→− 1 − x→− 1+ x 2 x x
y =  x +1 là tiệm cận xiên (bên trái) duy nhất của đồ thị hàm số.  /4  /4  /4 Câu 3. 3 I = tan x dx = tan . x   ( 2 1+ tan x)dx − tanx dx  0 0 0  /4 2  /4  /4 −sin x  tan x  1− ln 2 = tanx d(tan x) + dx =    + ln | cos x | = 0 0 cos x  2  2 0 1− ln 2 Vậy I = . 2 Câu 4. 1   I = ln  (x + x+ ) 1 1 2 1 dx = ln
 ( 2x + x + )1d x +   0 0  2   1    + = x + (x + x+ )1 1 2 1 2x 1 ln 1 − x +      dx 2 0  2   2  x + x +1 0
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 49
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST   1     1  x +  1 3 3 1 = 3 3 2 ln 3 − 2−  d  x  2
= ln 3−  2x −  arctan  2 0 2  2 1 3    2  2 3 3   x + +        2  4   2  0 3  = ln 3− 2 + 2 2 3 3  Vậy I = ln 3− 2 + . 2 2 3 Câu 5. 2 2
z(x, y) = 4(x − y) − x − y +) Tập xác định: 2 D = . +) z 4 2 ; x z = − = 4 − − 2y x y z = 0 x = 2 Giải hệ x     M (2, 2 − ) là điểm dừng z  = 0 y   = 2 − y +) Ta có: A z 2; B z 0; C z = = − = = = = 2 − xx xy yy 2 B − AC = 4 −  0  
 hàm số đã cho đạt cực trị tại duy nhất 1 điểm là M (2,−2) , đây A  = 2 −  0
là điểm cực đại, z = z(2, 2 − ) = 8. CÐ Câu 6. 2 2  x   x   a) Ta có y   0 : 0 |
f (x, y) |= y arctan | = y |  arctan |  y |  y =     0, (1)y   y  2 
f (x, y) = 0 |
f (x, y) | | = 0 |  . (2) 2  
Từ (1) và (2) ta có: 2 0 |
f (x, y) | |  y |  , (  x, y)  , mà lim | y |  = 0 , nên theo nguyên lý 2 ( x, y)→(1,0) 2
kẹp ta có lim | f ( , x y) |= 0 ( x, y)→(1,0)
 lim f (x, y) = 0 = f (1,0)  f ( ,
x y) liên tục tại B(1, 0) . ( x, y)→(1,0)
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 50
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 y arctan − 0 2
f (1, y) − f (1, 0) y 1  b) Xét giới hạn: lim = lim = lim arctan = 2 y→0 y→0 y→0 y − 0 y y 2 
f (1, y) − f (1, 0)   f (1,0) = lim = y y→0 y − 0 2   
Câu 7. Xét hàm số f (x) = tan x trên  0,  .  2   1  2sin x    f (x) = ; f (x) =  0, x  0,  2 3 cos x cos x  2        
f (x) là hàm lồi trên  0,  . Do x, y  0;  , áp dụng bất đẳng thức hàm lồi:  2   2   x + y x + y   
f (x) + f ( y)  2 f
 tan x + tan y  2 tan , x  , y    0,   2  2  2  tan x + tan y x + y      tan , x  , y 0,  2 2  2     
đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x = y, x 0,   2   /2 0  /2 x sin x x sin x x sin x Câu 8. I = dx = dx + dx    − /2 x − /2 x 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3x   −  0 x sin xx =  t = Xét I = dx
. Đặt t = −x dx = d
− t . Đổi cận  . 1 2 2 − /2 1+ 3xx  = 0  t = 0 0 − −  /2  /2 t sin( t) t sin t x sin x I = (−dt) = dt = dx    1  − − − /2 t 0 t 0 1+ 3 1+ 3 1+ 3 x x  /2  /2      /2 x sin x x sin x x sin x 3 x sin xI = +   dx =    + d  x =
x sin x dx −  0 x x 0 x x 0  1+ 3 1+ 3   1+ 3 1+ 3   /2   /2 /2 =
x d(− cos x) = (−x cos x) −
(− cos x)dx = 1   0 0 0 Vậy I = 1.  1 arctan x dx arctan x dx + arctan x dx Câu 9. I = = +    0 0 1 x x +1− cos x x x +1− cos x x x +1− cos x I2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 51
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST arctan x arctan x f (x) = =
 0 là hàm liên tục trên (0,+). +1− cos 2 x x x x x x + 2 sin 2
+) I có điểm bất thường x = 0 . 1 2 x Khi x 0+ → ta có: (1− cos x) ~
, là VCB bậc cao hơn x x khi x →0 2  x 1 1 1 1 Khi x 0+ → thì f (x) ~ ~ , mà dx  hội tụ (do  =  1) 1/2 1/ 2 x x x 0 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1
x x + (1− cos x)  x x  0 
+) Xét I . Với x 1, ta có:  2  0  arctan x   2    +  2 2 3 0  f (x)  = , x  1, mà 2 dx  hội tụ (do  =  1 ) 3/2 3/2 x x x 1 x 2
I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Vậy I , I hội tụ 2 1 2  I hội tụ.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 52
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) 1
Câu 1 (1 điểm). Tính giới hạn lim(cos x − sin x) x . x→0
Câu 2 (1 điểm). Tìm tiệm cân xiên của đồ thị hàm số y = x arctan x . 
Câu 3 (1 điểm). Tính tích phân 4 4 tan x dx  . 0 1
Câu 4 (1 điểm). Tính tích phân ln ( 2 x − x +  )1dx . 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số 2 2
z = 4( y − x) − y − x . 2   y
x arctan   , x  0,
Câu 6 (2 điểm). Cho hàm số f (x, y) =   x   0, x = 0.
a) Xét tính liên tục của f (x, y) tại điểm B(0,1) . b) Tính f  (0,1) . x  + +
Câu 7 (1 điểm). Cho x y x y 0  x, y  . Chứng minh cot cot cot  . 2 2 2  xsin x
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân 2 − dx . 1+ 2x 2 + arctan x dx
Câu 9 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 0
x x + x − sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 53
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Lời giải chi tiết tham khảo đề số 3 1 1
Câu 1. lim(cos x − sin x) x = . x→0 e y(x)  Câu 2. lim = lim arctan x = = a x→+ x x →+ 2  1 arctan x   −     2 2 + b = lim y −
x = lim x arctan x − =     lim 1 = lim x = 1 − x→+  2 x→+   2 x→+  1 x→+ 1 − x 2 x   y =
x −1 là tiệm cận xiên bên phải. 2 Tương tự  − ta tìm được y =
x −1 là tiệm cận xiên bên trái. 2  /4  /4 Câu 3. 4 2 tan x dx = tan x    ( 2 1+ tan x) − ( 2 1+ tan x) +1 d  x  0 0  /4 3  tan x   2 = 
− tan x + x = − .  3  4 3 0 1  Câu 4. ln
 ( 2x − x+ )1dx = −2 0 3
Câu 5. Hàm số đạt cực trị tại duy nhất điểm M (−2, 2) (cực đại), z = z( 2 − ,2) = 8. max
Câu 6. a) f (x, y) liên tục tại B(0,1) .   b) f (0,1) = x 2
Câu 7. Tương tự đề trên. Câu 8. I = 1 + arctan x dx Câu 9.  hội tụ. 0
x x + x − sin x
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 54
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
 a − x, khi x 1 f (x) = 
arccos x, khi 0  x 1
Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm ngược của hàm số 2x 2 x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hai hàm f(x)= 3 x , g(x)= 2 x , 1
−  x  3. Tìm số c( 1 − ,3) f  (c) f (3) − f ( 1 − ) sao cho =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? g (c) g(3) − g( 1 − ) Giải thích?
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) : → thoả mãn f (x)  g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu f (x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f (x))  g(g(x)) . + 3x +1
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân x  . (x +1) ( d 2 0 x + ) 1 1 1+ 2sin x
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn lim ln  . 3 x→0 x  1+ sin 2x  
Câu 7 (1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(cos x),0  x  . 3 3  t x =  3 
Câu 8 (1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1− t  . 2 ty =  1− t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1  1 2  n −1 lim  + ++  n→ +  2 2 2 2 2 n 1 4  n +1 4n + 2 4n + (n −1)  
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm f(x) lồi, khả tích trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng: 1 b
f (a) + f (b)
f (x)dx   a b − a 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 55
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1. Ta có: f (1) = arccos1 = 0 . 3 3
lim f (x) = lim a − x = a −1, lim f (x) = lim arccos x = arccos1 = 0 + + − − x 1 → x 1 → x 1 → x 1 →
+) f (x) liên tục tại 3
x = 1  lim f (x) = lim f (x) = f (1) 
a −1 = 0  a = 1 + − x 1 → x 1 →
Vậy a =1 là giá trị cần tìm.
Câu 2. Với x , xét phương trình x −x x = −  = ( x y y )2 2 2 2 2 −1 2  y − y + y− y x 4 | | 2 =  = 0 (L)  ( x )2 x  2 2 2
− y  2 −1 = 0   2 y + y + y+ y x 4 | | 2 =  = 0 (TM )  2 2 2 y + y + 4  − x = log = 0 1 = f (y) 2 2 2 + +  − x x 4
Hàm ngược của hàm số đã cho là 1 f (x) = log , x  . 2 2 Câu 3. Ta có:  2 f (x) 3x , g = (x) = 2 , x x  ( 3 − ,1)  2 3 3
Do đó: f (c) f ( 3 − ) − f (1) 3c ( 3 − ) −1 7 − =  =  c = ( 3 − ,1) .  2 g (c) g( 3 − ) − g(1) 2c ( 3 − ) −1 3  Như vậ f (c) f ( 3 − ) − f (1)
y tồn tại hằng số c để thoả mãn đẳng thức = , điều này không mâu g (c) g( 3 − ) − g(1)
thuẫn với định lý Cauchy.
Thật vậy, định lý Cauchy áp dụng cho g(x)  0, x
 (a,b) . Bài này ta có g(0) = 0 , với
0  (−3,1) thế nên bài này không thoả mãn điều kiện định lý Cauchy → bài này không nằm
trong vùng áp dụng định lý Cauchy, không mâu thuẫn.
Câu 4. Vì f là hàm đơn điệu tăng, mà theo bài ra f (x)  g(x)
f ( f (x))  f (g(x)) . Lại có f (g(x))  g(g(x)) (vì f (y)  g(y) )  đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 56
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST + 3x +1 +  x 2 1  Câu 5. x = + − x     (x +1) ( d d 2 0 x + ) 2 2 0 1
x +1 x +1 x +1 A A x 2 1   1  = lim + − dx = lim ln 
( 2x +1 +2arctan x−ln| x+    1| 2 2 )
A→+ 0  x +1 x +1 x +1 A→+   2  0  1 = (    + A + ) 2 2 A 1 lim ln
1 + 2arctan A − ln | A +1| = lim  ln + 2arctan A   A→+ 2 A→+  A       = ln1+ 2 =  2 Câu 6. VCB 1 1+ 2sin x  1 1+ 2sin x   1+ 2sin xL = lim ln = lim −1 do lim =      1 3 3 x→0 x→0 x→0 x  1+ sin 2x x  1+ sin 2x   1+ sin 2x  3  x    x − + o  (x ) 3 3 (2x) 2 −   2x − + o( 3 x )
1 2sin x − sin 2x 1  3!   3!  = lim  = lim  3 3 x→0 x→0 x 1+ sin 2x x 1+ sin 2x 3 1 x + o ( 3 x ) 3 1 x 1 1 = lim  = lim  = lim = = 1. 3 3 x→0 x→0 x→0 x 1+ sin 2x x 1+ sin 2x 1+ sin 2x 1+ 0 Vậy L=1.  −sin x   
Câu 7. Ta có: y (x) = , x   0, 
 . Độ dài cung cần tính là: cos x  3        − x       = 1+  (y (x)) 2 2 sin 1 1 3 3 3 3 dx = 1+ dx = dx =
dx do cos x  0, x      0,       2 0 0 0 0  cos x  cos x cos x   3    cos   x dx d(sin x) −d(sin x) 3 3 2 = d(sin x) = =    2 2 0 0 0 cos x 1− sin x
(sin x −1)(sin x +1)  3 −1  sin x −1 = ln = ln(2 +   3) (đvđd). 2  sin x +1 0
Vậy độ dài cung cần tính là ln(2 + 3) (đvđd). Câu 8.
− Khi 𝑡 → ±∞ thì lim𝑡→±∞ 𝑥 = lim𝑡→±∞ 𝑡3 = −1 ⇒ trường hợp này không có tiệm cận xiên. 1−𝑡3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 57
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 3 t
- Khi t → t , với t  1 thì 0 lim x =
hữu hạn  trường hợp này không có tiệm cận Xiên. 0 0 3 t →t − 0 1 t0
- Khi t →1 thì x →  . Ta có: 2 3 2 y t 1− t 1+ t + t lim = lim  = lim = 3 = a 3 t 1 → t 1 → t 1 x 1− t t → t 2   t ( 2 t + t + ) 3 2 3 1 − 3 3 t t t
b = lim( y − ax) = lim( y − 3x) = lim  −  = lim 3 t → t →
t →  1− t 1 t − t →  (1− t) ( 2 1 1 1 1 1+ t + t ) 2 2 2 t (1− t) t (1− t) = lim = = t→ (1− t)( lim 0 2 1 1+ t + t ) 2 t 1 → 1+ t + t
y = 3x là tiệm cận xiên của đường cong đã cho.
Câu 9. Giới hạn đã cho được viết lại là: 1 𝑛−1 𝑘 𝑛 1 𝑛−1 𝑘 𝐿 = lim = lim
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=1 𝑘=1 𝑛 1 𝑛−1 𝑘 𝑘 = lim ( vì với 𝑘 = 0 thì = 0)
𝑛→+∞ 𝑛 + 1 ⋅ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 √4𝑛2 + 𝑘2 𝑘=0 Xét giới hạn: 𝑘 1 𝑛−1 𝑘 1 𝑛−1 𝐾 = lim = lim 𝑛
𝑛→+∞ 𝑛 ∑ √4𝑛2 + 𝑘2 𝑛→+∞ 𝑛 ∑ 2 𝑘=0 𝑘=0 √4 + (𝑘𝑛) 1 𝑥
= ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 (với 𝑓(𝑥) =
liên tục, khả tích trên [0,1] ) 0 √4 + 𝑥2 x = dx = 4 + x = 5 − 2  0 ( )1 1 2 2 + 0 4 x n 1 n 1 − kL = lim  lim  =1( 5 − 2) = 5 − 2. n→+ n→+ 2 2 n +1
n k=0 4n + k
Câu 10. Với mỗi x [a,b] , luôn tồn tại duy nhất t [0,1] sao cho: x = ta + (1− t)b .
Do đó có thể đổi biến x = ta + (1−t)b  dx = (a −b)dt . Đổi cận:
- Khi x = a thì t =1.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 58
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
- Khi x = b thì t = 0. b 0 1 1 1 Lúc này: f (x)dx =
f (ta + (1− t)b)  (a − b)dt =
f (ta + (1− t)b)dt.    a 1 0 b − a b − a
Áp dụng tính chất hàm lồi: f (ta + (1− t)b)  tf (a) + (1− t) f (b), t  [0,1]. ⇒ ∫ 1 1
0 𝑓(𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏)d𝑡
≤ ∫0 [𝑡𝑓(𝑎) + (1 − 𝑡)𝑓(𝑏)]d𝑡 𝑡2 1 𝑡2 1 1 1
= 2| 𝑓(𝑎) + (𝑡 − 2)| 𝑓(𝑏) = 2𝑓(𝑎) + 2𝑓(𝑏). 0 0
Suy ra điều phải chứng minh.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 59
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x =1 : 3
 a + x, khi x 1 f (x) = 
arccos x, khi 0  x 1
Câu 2 (1 điểm). Tìm hàm ngược của hàm số 3x 3 . x y − = −
Câu 3 (1 điểm). Cho hàm số 3 2
f (x) = x , g(x) = x , 3
−  x  1. Tìm số c  (−3,1) sao cho f  (c) f ( 3 − ) − f (1) =
. Điều này có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay không? Giải thích? g (c) g( 3 − ) − g(1)
Câu 4 (1 điểm). Cho hai hàm số f (x), g(x) : → thoả mãn f (x)  g(x) với mọi x . Chứng
minh rằng nếu g(x) là hàm đơn điệu tăng thì f ( f (x))  g(g(x)) . + x + 3
Câu 5 (1 điểm). Tính tích phân dx  . (x +1) ( 2 0 x + ) 1 1 1− 2sin x
Câu 6 (1 điểm). Tính giới hạn lim ln   . 3 x→0 x  1− sin 2x   
Câu 7 (1 điểm). Tính độ dài cung y = ln(sin x),  x  . 6 2 2  t x = 
Câu 4 (1 điểm). Tìm tiệm cận xiên của đường cong 1− t  . 3  3t y = 3  1− t
Câu 9 (1 điểm). Tính giới hạn: 1  1 2  n −1 lim  + ++  n→ +  2 2 2 2 2 n 1 4  n −1 4n − 2 4n − (n −1)  
Câu 4 (1 điểm). Cho hàm f(x) lõm, khả tích trên đoạn [a, b]. Chứng minh rằng: 1 b
f (a) + f (b)
f (x)dx   a b − a 2
Lời giải tham khảo đề số 5
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 60
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính x dx  . 2 x + 3x + 2  dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 1 3
x − x +1 + x +1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
=1 quay quanh trục Ox. 4 9 −
Câu 4 (1 điểm). Tính cos x cos 4x lim . 2 x→0 x
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số x y = . 3 2
x − 2x + x − 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 3 2 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = xy + ( − x − y)(2x + 3y);  là tham số thực. 2 2 1
  x + y  4
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy  , với D :  Dx   y  3x
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho: f (1) f (1), f (0) 0 và f  = − = (x)  0, x  ( 2 − , 2) 2018 2019
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số:   z = x ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 sin 100 x − y )  .     Chứng minh 2 z z x + xy = zy yx  .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 61
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) x x  2 1  Câu 1. dx = dx = −    dx
 = 2ln | x + 2 | −ln | x +1| +C 2 x + 3x + 2 (x +1)(x + 2)
x + 2 x +1 1
Câu 2. f (x) =  0, x  1. 3
x − x +1 + x +1
Điểm bất thường của tích phân suy rộng là + . Ta có: 1 x→+ 1 1 + dx 3 ~ = , mà  hội tụ (do  =  1 ) 3/2 3 3 − + 3/ 2 1 + +1 x x x x x 1 x 2  dx  
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 3
x − x +1 + x +1 Câu 3.
Chỉ cần quay nửa trên của elip (ứng với 𝑦 ≥ 0 ) thì sẽ thu được vật
thể đã cho. Nửa trên của elip là miền giới hạn bởi: 3 𝑦 = √
2 4 − 𝑥2, 𝑦 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2.
Quay miền này quanh trục O𝑥 ta thu được vật thể có thể tích là: 2 3 2 9 2 9 𝑥3 2
𝑉 = 𝜋 ∫ ( √4 − 𝑥2) d𝑥 = (4 − 𝑥2)d𝑥 = −2 2 4 ∫ −2 4 (4𝑥 − 3 )| −2 = 24𝜋(dvtt) Câu 4. cos x − cos 4x
−sin x + 4sin 4x L = lim = lim
(dạng 0 − 𝐿′𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙) 2 x→0 x→0 x 2x 0
− cos x +16cos 4x −cos 0 +16cos 0 15 = lim = = . x→0 2 2 2 15
Vậy giới hạn cần tính bằng 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 62
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST x x Câu 5. y = = . 3 2
x − x + x − x − ( 2 2 2 ( 2) x + ) 1
Tập xác định: D = \{2}  x = 2 là điểm gián đoạn của hàm số. 1 x  1 x 2  lim y = lim  = + do lim = +, lim =   0  + + 2 + + 2 x→2 x→2 − + x→2  − x→2 x 2 x 1 x 2 x +1 5 
x = 2 là điểm gián đoạn loại 2 của hàm số. Câu 6.  2 2 2
z = 3x y + 2xy − 3yz (1,1) = 2 x x  3 2
z = 2x y + 2x y − 3xz (1,1) =1 y y
 dz(1,1) = z (1,1)dx + z (1,1)dy = 2 dx + dy x y Câu 7.   x = 0  = − − +  = Tìm điể z 4 y 4x 2 0  m dừng: x     
z = −4x − 6 y + 3 = 0 y =  y    2   
M 0,  là điểm dừng duy nhất của hàm số.  2  2
B − AC = −     8 0 A = z = 4 − , B = z = 4 − , C = z = 6 −   xx xy yy A  = 4 −  0     3
hàm số đạt cực đại tại M  0, , giá trị cực đại 2 z =  .  2  CÐ 4 Câu 8.  =  Đổ x r cos i biến  |  J |= r . y  = r sin 1   r  2 
Miền D trở thành       4 3 Tích phân cần tính là:  /3 2  /3 2 2 I =
(x + y)dx dy = d
(r cos + r sin)  r dr = d
(cos + sin)r dr      D  /4 1  /4 1
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 63
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST r=2   = 3 /3  /3  /3 r 7 7 = (cos + sin) d  =
(cos + sin)d = (sin − cos)    /4  /4 3 3 3 r 1 =   = /4 7 = ( 3 −1). 6
Câu 9. Giả sử tồn tại hàm f (x) thoả mãn đề bài.
Vì f khả vi tới cấp 2 trên (-2,2)  f khả vi trên (-2,2), liên tục trên [-2,2].
Áp dụng định lý Lagrange cho f (x) trên [0,1]:  f (1) − f (0)
Tồn tại   (0,1) sao cho f () =
= f (1) (vì f (0) = 0 ) 1− 0
Tương tự, áp dụng định lý Lagrange cho hàm f (x) liên tục trên [−1,0], khả vi trên (−1,0) ta  f (0) − f ( 1 − )
có: Tồn tại   (−1,0) sao cho f ( ) = = − f ( 1 − ) = f (1) 0 − ( 1 − )
Như vậy, tồn tại , ( 2
− ,2),   sao cho f () f
= ( ) , điều này mâu thuẫn với giả thiết
f  (x)  0, x  ( 2
− ,2)  không tồn tại hàm f thoả mãn đề bài. Câu 10.
Đặt 𝑢 = 𝑥2 − 𝑦2 và 𝑓(𝑢) = sin 𝑢 + 𝑢2018 + 100𝑢2019.
Ta có: 𝑧 = 𝑥𝑓(𝑢). ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ ∂𝑥 = 𝑓(𝑢) + 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ 2𝑥 = 𝑓(𝑢) + 2𝑥2𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ∂𝑢
∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ ∂𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑢) ⋅ (−2𝑦) = −2𝑥𝑦𝑓′(𝑢) ∂𝑧 ⇒ 𝑥2 ∂𝑧
∂𝑦 + 𝑥𝑦 ∂𝑥 = −2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) + 𝑥𝑦𝑓(𝑢) + 2𝑥3𝑦𝑓′(𝑢) = 𝑥𝑓(𝑢) ⋅ 𝑦 = 𝑧𝑦. ⇒ đpcm.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 64
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com) lOMoARcPSD|36442750
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Tính x dx  . 2 x + 5x + 6  dx
Câu 2 (1 điểm). Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng:  . 1 3
x + x +1 + x +1 2 2 x y
Câu 3 (1 điểm). Tính thể tích vật tròn xoay tạo bởi elip: +
=1 quay quanh trục Ox. 9 4 −
Câu 4 (1 điểm). Tính cos 4x cos x lim . 2 x→0 x
Câu 5 (1 điểm). Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số x y = . 3 2
x + 2x + x + 2
Câu 6 (1 điểm). Cho hàm số 2 3 2 2
z = x y + x y − 3xy + 2 . Tính dz(1,1) .
Câu 7 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = xy + ( − x − y)(2x + 3y);  là tham số thực. 2 2 1
  x + y  4 
Câu 8 (1 điểm). Tính tích phân kép
(x + y)dx dy  , vói D :  x Dy x   3
Câu 9 (1 điểm). Tồn tại hay không hàm f sao cho: f (1) f  (1), f (0) 0 và f  = − = (x)  0, x  ( 2 − , 2) 2018 2019
Câu 10 (1 điểm). Cho hàm số   z = x ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 x − y ) + ( 2 2 sin 100 x − y )   .   Chứng minh 2 z z x + xy = zy yx  .
Lời giải tham khảo đề số 7
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 65
Downloaded by v?n ti?n Lê (vantienle525@gmail.com)