Bộ đề thi cuối kì môn đại số | Đại học Bách khoa Hà Nội
Bộ đề thi cuối kì môn đại số | Đại học Bách khoa Hà Nội. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Môn: Đại số tuyến tính 22 tài liệu
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội 5.1 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK ĐẠI SỐ DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 2
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 3
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 4
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 5
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 6
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2) ......................................................................... 7
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3) ......................................................................... 8
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ......................................................................... 9
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2) ....................................................................... 10
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 11
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 12
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 13
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 14
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ....................................................................... 15
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3) ....................................................................... 16
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 17
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 18
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 19
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) ....................................................................... 20
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) ....................................................................... 21
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 3) ....................................................................... 22
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20173 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 3) ....................................................................... 23
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) n +
Câu 1 (1 điểm). Cho 1 i 3 z =
,n . Tìm n nhỏ nhất để Re(z = . n ) 0 n 3 + i +
Câu 2 (1 điểm). Chứng minh 0 a b
W = X ∣ X = : a,b là không gian con của a − b 0
không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW .
Câu 3 (2,5 điểm). Ký hiệu P (x) là không gian véctơ các đa thức có bậc 2 . 2 1. Hệ 2 2
u (x) = 2 + x + 3x ,u (x) = 1 − + 2 ,
x u (x) = 1+ 8x + 6x
có phải là cơ sở của P (x) 1 2 3 2 không? Vì sao?
2. Cho toán tử tuyến tính f : P (x) → P (x) được xác định bởi: 2 2 f ( 2
a + bx + x ) 2
= 6a − 2b − 2c + (2a −3 )
b x + (4a + b − 2c)x
a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 2 1, ,
x x của P (x) . 2 b) Tìm dim Ker f .
Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 , tích vô hướng của a = (a ,a ,a ,b = b ,b ,b được xác định bởi 1 2 3 ) ( 1 2 3)
a,b = a b + a b + a b . 1 1 2 2 3 3
1. Cho u = (1,1,0),u = (0,1,1) . Tìm véctơ v (0,0,0) sao cho v,u = 0 với mọi 1 2
u Spanu ,u . 1 2
2. Cho toán tử tuyến tính 3 3 f : → được xác định bởi:
f (x, y, z) = (2x − 2 y − 2z, 2
− x + 5y + z, 2x + y + 5z)
Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo.
Câu 5 (1 điểm). Với 0 a , ký hiệu C ={f ( ) x ∣ f ( )
x liên tục trên [−a, a]} Ánh xạ [−a,a] a : C → ,( f ) = f (x)dx
có phải là đơn ánh không? Tại sao? [−a,a] −a
Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn 2019 A
= 0 và AB = A + B .
Chứng minh rằng det(B) = 0.
Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyển tính f :V → V . Chứng minh rằng ( 2
dim Ker f ) 2dim(Ker f ) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) n +
Câu 1 (1 điểm). Cho 2 i 6 z =
,n *. Tìm n nhỏ nhất để Im(z = . n ) 0 n 1 − + i +
Câu 2 (1 điểm). Chứng minh a b 0
W = X ∣ X = : a,b là không gian con của 0 a − b
không gian véctơ các ma trận vuông cấp 2 trên . Tìm dimW .
Câu 3 (1 điểm ). Ký hiệu P (x) là không gian véctơ các đa thức có bậc 2 . 2 1. Hệ 2 2 2
u (x) = 1− x + x ,u (x) = 3 + 2x − 3x ,u (x) =1+ 3x − 5x
có phải là cơ sở của P (x) 1 2 3 2 không? Vì sao?
2. Cho toán tử tuyến tính f : P (x) → P (x) được xác định bởi: 2 2 f ( 2
a + bx + x ) 2
= 2a −b + c + (a − 2 )
b x + (a + b + c)x
a) Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc 2 1, ,
x x của P (x) . 2 b) Tìm dim Ker f .
Câu 4 (2,5 điểm). Trong 3 tích vô hướng của x = (x , x , x , y = y , y , y được xác định bởi 1 2 3 ) ( 1 2 3) ,
x y = x y + x y + x y . 1 1 2 2 3 3 1. Cho u = ( 2 − ,1,1),u = (1,1, 1
− ) . Tìm véctơ v (0,0,0) sao cho v,u = 0 với mọi 1 2
u Spanu ,u . 1 2
2. Cho toán tử tuyến tính 3 3 f : → được xác định bởi:
f (x, y, z) = (3x − 2 y, 2 − x,5z)
Tìm cơ sở trực chuẩn của 3 để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo.
Câu 5 (1 điểm). Với a b , ký hiệu C
= { f (x)∣ f (x) liên tục trên [a,b]}. Ánh xạ [a,b] b : C → ,( f ) = f (x)dx
có phải là toàn ánh không? Tại sao? [a,b] a
Câu 6 (1 điểm). Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp thoả mãn 2020 B
= 0 và 2AB = 2A+3B . Chứng minh rằng det( ) A = 0 .
Câu 7 (1 điểm). Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và toán tử tuyến tính f :V → V . Chứng minh rằng ( 2
dim Ker f ) 2dim(Ker f ) .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho 3 2
f (z) = z − (2 + i)z + (2 + 2i)z − 2i . Tính f (i) và giải phương trình f (z) = 0 .
Câu 2 (1 điểm). Ánh xạ 2 f → f x y = ( 2 : , ( , )
x + y) + (y − x)i có đơn ánh không? Vì sao?
x + 2y + az = 3
Câu 3 (1 điểm). Tìm a,b để hệ 2x − y − az =1 có vô số nghiệm.
2x + y + z = b
Câu 4 (1,5 điểm). Cho E = e ,e ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép 1 2 3 1 1 − 1 − biến đổi tuyến tính
f :V → V có ma trận theo cơ sở E là A = 1 − 1 1 − . Tìm cơ sở trực 1 − 1 − 1
chuẩn F = f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3
Câu 5 (1 điểm). Cho E = e ,e ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3
F = f = 2e + 4e − e , f = e − 2e + 2e , f = e + 6e − 2e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao?
Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P (x) là không gian véctơ các đa thức có bậc 2 . 2
1. Cho toán tử tuyến tính f : P (x) → P (x) xác định bởi: 2 2 f ( 2
ax + bx + c) 2
= (a −b)x + (3b + c)x + a + 2b + c . Tìm dim Im f .
2. Trên P (x) cho tích vô hướng 1
p(x), q(x) =
p(x)q(x)dx và u (x) =1; 2 1 0 2 u ( ) x = x ; ( v )
x = x . Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v(x) lên Span u ,u . 1 2 2
Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn 1 A 4A− = . Tính ( 2019 det A − A) .
Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ
u (x) = x− ,k =1,n với ,i j;i, j =1,n độc lập tuyến tính. i j k k
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho 3 2
f (z) = z + (1+ 2i)z + (1+ 2i)z + 2i . Tính f (−2i) và giải phương trình f (z) = 0 .
Câu 2 (1 điểm). Anh xạ 2 f → f x y = ( 3 2 x + y ) + ( 3 : , ( , ) 2
3x + 7 y)i có toàn ánh không? Vì sao?
2x + y + az = − 2
Câu 3 (1 điểm). Tìm , để hệ x + y + 2z = 3 có vô số nghiệm.
2x −y − z =1
Câu 4 (1 điểm). Cho E = e ,e ,e là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép biến 1 2 3 0 1 1 đổi tuyến tính
f :V → V có ma trận theo cơ sở E là A = 1 0 1 .
Tìm cơ sở trực chuẩn 1 1 0
F = f , f , f sao cho ma trận của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo. 1 2 3
Câu 5 (1 điểm). Cho E = e ,e ,e là cơ sở của không gian véctơ V . Hệ các véctơ 1 2 3
F = f = e + 2e − 2e , f = 2e − 3e + e , f = 3e − e − e có phải là một cơ sở của V hay 1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 không? Vì sao?
Câu 6 (2,5 điểm). Ký hiệu P (x) là không gian véctơ các đa thức có bậc 2 . 2
1. Cho toán tử tuyến tính f : P (x) → P (x) xác định bởi: 2 2 f ( 2
a + bx + cx ) 2
= 2a −b + (2b + c)x + (a + b + c)x . Tìm dim Im f .
2. Trên P (x) cho tích vô hướng 1
p(x), q(x) =
p(x)q(x)dx và u (x) =1; 2 1 0 2 u (x) = ;
x v(x) = x . Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v(x) lên Spanu ,u . 1 2 2
Câu 7 (1 điểm). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thoả mãn 1 9 A A− = . Tính ( 2017 det A − A ).
Câu 8 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên [a, b], chứng minh hệ véctơ
u (x) = x− ,k =1,n với ,i j;i, j =1,n độc lập tuyến tính. i j k k
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình sau trong trường số phức: 3 2
z − (2 + 3i)z − (1− 3i)z = 0 . 1 0
Câu 2 (1.5 điểm). Cho A =
, với c là một số thực cho trước. c 1
a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch.
b) Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: ( − )2 3 1 A X A
= E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2
Câu 3 (1.5 điểm). Biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau theo hệ số thực m :
x − 2x − x + 3x =1 1 2 3 4
2x − 4x + x = 5 1 2 3
x − 2x + 2x −3x = m 1 2 3 4
Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x , x . 2 4
Câu 4 (2 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi: 3 f ( ,
x y, z) = ( y + z, x + z, x + y), ( , x y, z) .
a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f
b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo.
Câu 5 (3 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho:
V = Spanv = (1;0;1;0),v = (1;1;1;0), v = (1;1;0;0), v = (1; 1 − ;3;0) . 1 2 3 4 a) Hệ véctơ v
có phải là một hệ trực giao không? j 4j 1 =
b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V .
c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0; 1 − ;3) lên V .
Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng A M ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp 2019 , n A = 0 và A n
chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trong trường số phức: 4 3 2
z − (2 + 3i)z − (1− 3i)z = 0 . 1 c
Câu 2 (1.5 điểm). Cho A =
, với c là một số thực cho trước. 0 1
a) Chứng minh rằng A luôn khả nghịch. b) Tìm ma trận 4
X thoả mãn phương trình: 5 A X ( 1
A− ) = E , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 2
Câu 3 (1 điểm).
x − 2x − x + 3x = 1 1 2 3 4
4x − 8x − x + 6x = 5 1 2 3 4
x − 2x + 2x −3x = a 1 2 3 4
Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, hãy biểu diễn nghiệm theo x , x . 2 4
Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P [x] → P [x] xác định bởi: 2 2 2 2 f
= x + x f x = + x f ( 2 (1) , ( ) 1 , x ) =1+ . x
a) Tìm các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính f
b) Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của f theo hệ cơ sở đó có dạng đường chéo.
Câu 5 (1 điểm). Trong không gian véctơ 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho:
V = Spanv = (1; 1
− ;0;1),v = (1;1;0;0),v = (1;1;0;1),v = (0; 2 − ;0; 1 − ) . 1 2 3 4 a) Hệ véctơ v
có phải là một hệ trực giao không? j 4j 1 =
b) Hãy tìm một hệ cơ sở của V .
c) Tìm hình chiếu của véctơ = (2;0;3;1) lên V .
Câu 6 (1 điểm). Giả sử rằng A M ( ) - tập các ma trận thực vuông cấp 2019 , n A = 0 và A n
chéo hoá được. Chứng minh rằng: A phải là ma trận không.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Các mệnh đề A (B → C) và (A B) → C có tương
đương logic không? Vì sao?
Câu 2 (1 điểm). Giải phương trình phức sau: 4 2
z − (2 + 4i)z − 3 − 4i = 0 .
Câu 3 (1 điểm). Cho ma trận vuông A = a ij
và thực hiện đổi chỗ hàng 1 và hàng 2, ta thu 3 3
được ma trận B . Chứng tỏ luôn tồn tại ma trận X để XA = B .
x − x + 3x + mx = n +1 1 2 3 4
Câu 4 (2 điểm). Cho hệ x + x + mx + x = n ( , m n là tham số). 1 2 3 4
x + mx + 4x − x = 2 1 2 3 4
a) Tìm m, n để hệ có một nghiệm là (2;1;3;1) .
b) Tìm điều kiện của m, n để hệ có nghiệm.
Câu 5 (1 điểm). Trong 3 cho các véctơ:
u = (1; 0;1),u = ( 3 − ;2;1),u = (2; 1 − ;0),u = (5;6;7).$ 1 2 3 4
Tìm số chiều của không gian U = Span (u ,u ,u và kiểm tra xem u có thuộc vào không gian 1 2 3 ) 4 U hay không?
Câu 6 (2.5 điểm). Cho biến đổi tuyến tính f : P[x] → P[x] xác định bởi: 1 1
f (a + a x = a + a + 3a − a . x 0 1 ) ( 0 1) ( 0 1)
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của P[x] và kiểm tra f có đơn ánh không? 1
b) Tìm các trị riêng và các véctơ riêng của f .
Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ:
u = (1; 2;1;1),u = (2;1;1; 2). 1 2
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn B của không gian W = Span (u ,u . 1 2 )
b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ u = 2u + 3u lên không gian W . 1 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : 2
→ , f (x) = x + x và tập A= {0, 1, 2}. Xác định 1 f ( ) A ; f − ( ) A
x + x − x + x = 2 1 2 3 4
x + 2x + x + 3x = 7
Câu 2 (2 điểm). Cho hệ phương trình: 1 2 3 4
−x − 3x + 2x = −2 1 2 3 3
x + 4x − 4x + (m + 3)x = m + 6 1 2 3 4
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss với m=3.
b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
Câu 3 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f 3 3 → xác định bởi:
f ( x , x , x = 6x − 2x + 5x , 2x − x + x , x + 2x . 1 2 3 ) ( 1 2 3 1 2 3 2 3 )
a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 3
b) Tìm dim Im f ; dim Ker f .
c) Véctơ u=(3, 2, 1) có thuộc Im f không? Tại sao? 12 3 −3
Câu 4 (2 điểm). Chéo hoá ma trận −8 2 4
biết rằng 3; 6 là các trị riêng của nó. 10 5 1
Câu 5 (1.5 điểm). Cho không gian Euclide 3 với tích vô hướng chính tắc.
Cho W = Span{(1,1,1),(3, 4,5),(6,7,8)}.
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của W.
b) Tìm hình chiếu trực giao của u=(4,2,6) lên W.
Câu 6 (1 điểm). Cho A là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng ( 2
det A + I ) 0, ở đó I là
ma trận đơn vị cùng cấp với A.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20193 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng nếu A C thì A B C B.
Câu 2 (2 điểm). Cho ánh xạ f : \{2} → ; g : → xác định bởi: 2 x + 3
f (x) = x + 2, g(x) = . 2 x + 4
a) Ánh xạ g có phải toàn ánh không? Tìm Im g.
b) Xác định ánh xạ tích g f .
Câu 3 (2 điểm). Cho các véctơ u = ( 1 − ,4, 2 − , 5
− ,1), u = (5,1,7,6,2), u = (3,2,4,6,0), u = (2, 1 − ,3,0,2) trong không gian 1 2 3 4
5 . Tìm số chiều và một cơ sở của không gian sinh bởi các véctơ này.
Câu 4 (1 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính f : P [x] → P [x] xác định bởi: 3 2 f ( 2 3
a + bx + cx + dx ) 2 = (a + )
b + 2cx + dx với mọi a, , b c, d .
Xác định ma trận f theo cặp cơ sở chính tắc của các không gian P x , P x . 3 2 3 0 2
Câu 5 (2 điểm). Chéo hoá ma trận A = 2 − 2 4 − . 0 0 2
Câu 6 (1 điểm). Trong không gian Euclide 4 với tích vô hướng thông thường, cho các véctơ
u=(-2, 0, -1, 1) và v=(1, -2, 1, 0).
a) Tính khoảng cách giữa 2 véctơ u, v.
b) Trực chuẩn hoá Gram-Schmidt hệ véctơ u, v.
Câu 7 (1 điểm). Cho là argument của số phức 1+ i 2 , và n là một số nguyên dương. Rút gọn
số phức = (1+ 2)n + (1− 2)n z i i theo n và .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A = [1;3] và B = ( ; m m + 3) .
Tìm m để (A \ B) (A B) .
Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn 3
z = 4 3 − 4i , với i là đơn vị ảo. 3 7 2 3 6
Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = − X . 3 4 3 1 4
x − x + x + x = 0 1 2 3 4
Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình
2x − x + 3x − 2x = 0 với m là tham số 1 2 3 4
−x + (m −3)x −3x + 7x = m 1 2 3 4
a) Giải hệ phương trình khi m = 2 .
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
c) Khi m = 0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 .
Tìm số chiều và một cơ sở của U .
d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (4; 5; − 6; − 9) lên
không gian con của U ở câu c.
Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi:
f ( x ; x ; x = 2
− x + 3x + x ;−x − x + x ; 3
− x + 2x + 2x . 1 2 3 ) ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 )
a) Tìm m để véctơ u = (1;3;m) Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao?
b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo.
Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ
B = {sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, , sin10 , x cos10 }
x là hệ độc lập tuyến tính.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho các tập hợp con của là A = [2;4] và B = ( ; m m +1) .
Tìm m để (B \ )
A ( A \ B) .
Câu 2 (1 điểm). Tìm các số phức z thoả mãn 3
z = 4 3 + 4i , với i là đơn vị ảo. 3 2 1 2 3
Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận X = + X . 5 4 4 5 6
x − x + x − x = m 1 2 3 4
Câu 4 (4 điểm). Cho hệ phương trình 3x − 2x + 2x + x = 0 1 2 3 4
−x + mx − 2x − x = 0 1 2 3 4
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm.
c) Khi m = 0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véctơ con U của 4 .
Tìm số chiều và một cơ sở của U .
d) Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của v = (5; 2; 4; − 3) lên
không gian con của U ở câu c.
Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi:
f ( x ; x ; x = 2x − 3x + x ; x + x + x ;3x − 2x + 2x . 1 2 3 ) ( 1 2 3 1 2 3 1 2 3 )
a) Tìm m để véctơ u = (3;5;m) Im( f ) . Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao?
b) Tìm cơ sở của 3 để đối với cơ sở đó, ma trận của f có dạng đường chéo.
Câu 6 (1 điểm). Trong không gian véctơ các hàm số liên tục trên , chứng minh hệ véctơ
B = {sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, , sin10 , x cos10 }
x là hệ độc lập tuyến tính.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho cáo mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: (A B) → C.
Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi 3
f (z) = 2z −1. Ảnh xạ f có phải là đơn
ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh 1 f − ({5 + 2 } i ) . 1 3 2 −
Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 1 − 3 . 3 2 1 a) Tính 5
det( A + 2E) , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Giải phương trình ma trận T AX = 0 0 0 .
Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P [x], cho hệ vécto: 3 3 2 3 2 3 2
u =1+ 2x − x , u = 2 − x + x + 2x , u = 1
− + x − x − x , u = 4+ 2x 1 2 3 4
và các không gian véctơ con V = span u ,u ,V = span u ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4
các không gian con V +V và V V 1 2 1 2
Câu 5 (2 điểm). Cho biến đồi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (1; 2; 1
− ) = (2;2;4), f (2;1;3) = (1;2; 1
− ), f (1;1;2) = (2;3;1).
a) Xác định Im( f )
b) Tìm các trị riêng của f
Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương:
h ( x , x , x ) 2 2 2
= ax + 3x + 2x − 4x x + 2x x − 2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương.
b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u,v trên 3 thoả mãn u,u = h(u) .
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram-
Smith cơ sở chính tắc của 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho các mệnh đề A, B, C. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề: A → (B C).$
Câu 2 (1.5 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bởi 3
f (z) = 2z +1. Ánh xạ f có phải là toàn
ánh không? Vì sao? Xác định tích các môđun của các phần tử trong tập nghịch ảnh 1 f − ({5 − 2 } i ) 1 3 2
Câu 3 (2 điểm). Cho ma trận A = 2 1 − 3 − . 3 2 1 − a) Tính 5
det( A − 2E) , trong đó E là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Giải phương trình ma trận XA = 0 0 0.
Câu 4 (1.5 điểm). Trong không gian P [x], cho hệ véctơ: 3 3 2 3 2 3 2 3
u =1− 2x − x , u = 2 − x − x + 2x , u = 1
− + x − x − x , u = 4− 4x + 2x + 2x 1 2 3 4
và các không gian véctơ con V = span u ,u ,V = span u ,u . Tìm số chiều và một cơ sở của 1 1 2 2 3 4
các không gian con V +V và V V 1 2 1 2
Câu 5 (2 điểm). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian 3 xác định bởi: f (2;3; 1 − ) = (6;2; 2
− ), f (1;1;3) = (2;3; 1 − ), f (3;1; 1 − ) = (5; 4;−2).
a) Xác định Im( f )
b) Tìm các trị riêng của f
Câu 6 (2 điểm). Cho dạng toàn phương:
h ( x , x , x ) 2 2 2
= ax + 3x + 2x + 4x x − 2x x + 2x x . 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
a) Tìm điều kiện của a để dạng toàn phương xác định dương.
b) Với a=2, ta có duy nhất một tích vô hướng u,v trên 3 thoả mãn u,u = h(u) .
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3 với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hoá Gram-
Smith cơ sở chính tắc của 3
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm các nghiệm phức của phương trình 4 6
z = ( 3 + i) thoả mãn điều kiện
| z − 2i | 3 . 1 3 8 7
Câu 2 (1 điểm). Cho các ma trận A = , B = . 4 4 14 11
Tìm ma trận X thoả mãn AX = B − X .
Câu 3 (2 điểm). Trong không gian P [x] cho các véctơ: 2 2 2 2 2
v =1+ x + x , v = 2 + mx − x , v = 4 + 5x + x , v =10 +11x − 5x . 1 2 3
a) Xác định m để hệ B = v ,v ,v phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3
b) Với m = 2 , chứng minh B lập thành cơ sở của không gian P [x] . Tìm toạ độ của véctơ v đối 2 với cơ sở B .
Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : → thoả mãn:
f (1,1, 0) = (3, 3, 9), f (2, 1 − ,1) = ( 1
− ,3,1), f (0,1,1) = (1,1,3).
a) Lập ma trận của f đối vói cơ sở chính tắc của 3 .
b) Xác định f (3, 4,5) .
c) Xác định số chiều và một cơ sở của ker f .
Câu 5 (2 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1,1, 2, 1
− ), v = (1,2,1,1), v = (3,4,5, 1
− ). Cho V = Span v ,v ,v . 1 2 3 1 2 3
a) Xác định số chiều và một cơ sở của V.
b) Tìm hình chiếu trực giao của vecto v=(4,1,0,4) lên V .
Câu 6 (1 điểm). Cho ma trận A cỡ m n với m n , có hạng bằng m . Chứng minh tồn tại ma
trận B cõ n m sao cho AB = E , với E là ma trận đơn vị.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
Câu 1 (1 điểm). Cho mệnh đề P: " x , y
: y x ".
a) Xác định mệnh đề phủ định của P .
b) Mệnh đề P muốn khẳng định điều gì?
Câu 2 (1 điểm). Cho các tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng:
A (B C) = ( A B) ( A C).
Câu 3 (2 điểm). Cho các vecto v = (2,1,0, 3 − ),v = (1, 1
− ,2,5),v = (5,3,1,2),v = (8,5,6,1). 1 2 3 4
a) Chứng minh v ,v ,v ,v lập thành một cơ sở của không gian 4 . 1 2 3 4
b) Tìm toạ độ của véctơ u = (23,14,17, 5
− ) đối với cơ sở trên.
Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi: f (1, 2, 3) = (13, 7 − , 2
− ), f (1, 2,0) = (4, 2, 2
− ), f (2,0,0) = (4,0, 4).
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 .
b) Tìm các giá trị riêng, véctơ riêng của f .
c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của f .
Câu 5 (2 điểm). Trong không gian 5 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ: v = (1, 1 − , 1
− ,1,1), v = (2,1,4, 4 − ,2), v = (4, 3 − , 2 − ,6,0). 1 2 3
Ký hiệu V là không gian sinh bởi v ,v ,v . 1 2 3
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của V bằng phương pháp Gram-Schmidt.
b) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (0, 2, 4,6,8) lên V .
Câu 6 (1 điểm). Chứng minh rằng nếu ma trận A đồng dạng với ma trận B , thì 4 A cũng đồng dạng với 4 B .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20183 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1. Xét xem mệnh đề sau đúng hay sai: "Nếu số thực x thoả mãn phương trình 2
x − 2x +10 = 0 thì x phải là số âm".
Câu 2. Gọi là tập hợp các số phức. Xét ánh xạ f : → xác định bởi công thức 6 3
f (z) = z − 2z − 2 + i . Xác định tập hợp 1 f − ({1+ }) i . 2 1 2 4 3 4
Câu 3. Cho các ma trận A = 1 1 0 , B = . 4 2 2 − 1 1 2
Tìm ma trận X thoả mãn XA = B .
Câu 4. Gọi G là tập hợp các ma trận vuông cấp n với định thức khác 0. Chúng minh rằng G là
một nhóm với phép nhân ma trận.
Câu 5. Trong 4 với tích vô hướng chính tắc, cho các véctơ:
v = (1;1;0;1), v = (2;1; 1 − ;2), v = ( 1
− ;2;1;0), v = (1;2; 1 − ;2). 1 2 3 4
Đặt U = Spanv ,v ,V = Span v ,v . 1 2 3 4
a) Tìm giá trị m sao cho véctơ = (11;5; ;12) m
thuộc không gian U +V .
b) Xác định số chiều và một cơ sở của U V .
c) Tìm hình chiếu trực giao của véctơ v = (3;2;0;6) lên U . 1 2 1
Câu 6. Ánh xạ tuyến tính
f : P [x] → P [x] có ma trận A = 1 3 1 − đối với cơ sở 2 2 1 1 3
B = v ,v ,v , với 2 v =1, v =1+ ,
x v = 2 − x + x . 1 2 3 1 2 3
a) Xác định ma trận của f đối với cơ sở chính tắc E = 2 1, ,
x x . Tính f ( 2 4 + 3x + 2x ).
b) Tìm số chiều và một cơ sở của ker( f ) .
Câu 7. Cho A là ma trận thực vuông cấp 4. Biết rằng đa thức đặc trưng det(A − E) nhận các
số phức = 1+ 2i và = 3 − 2i làm nghiệm. Tính det( ) A . 1 2
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Cho ánh xạ f : → xác định bờ 2
f (x) = x + 2x −1 và tập hợp A = {2;1; 3 − }. Xác định tập ảnh −
f ( A) và tập nghịch ảnh 1 f ( ) A .
Câu 2 (1.5 điểm). Cho phương trình phức 4
z +16i = 0 . Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên.
Câu 3 (1 điểm). Giải phương trình ma trận T
AX + A = 2B , với 2 −3 −1 2 A = và B = . 5 − 8 1 −1
mx + 2x − x = 3 1 2 3
Câu 4 (1 điểm). Tìm m để hệ phương trình x + mx + 2x = 4 có nghiệm duy nhất. 1 2 3
2x +3x + x = −m 1 2 3
Câu 5 (1.5 điểm). Trong không gian P [x] , cho các véctơ 2 2
u =1+ x − x ,u = 3x − x , 2 1 2 2 u = 2 + 3 , x u = 1
− + x − 2x . Đặt U = span u ,u và U = span u ,u . Xác định số chiều và 2 3 4 1 1 2 3 4
một cơ sở của không gian U U . 1 2
Câu 6 (2 điểm). Cho toán tử tuyến tính trên 3 xác định bởi: f (1; 2; 1 − ) = (4; 2 − ; 6
− ); f (1;1;2) = (5;5;0); f (1;0;0) = (1; 2;1)
a) Tìm m để u = (6; 3
− ;m) Im( f ) .
b) Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của f .
Câu 7 (1.5 điểm). Trong 4 với tích vô hướng chính tắc.
a) Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ gồm 2 véctơ sau:
u = (1;1;1;0) và u = (0;1;1;1). 1 2
b) Cho vecto v=(3;2 ;4 ;2). Xác định véctơ u Spanu ,u sao cho ‖ u − v ‖ nhỏ nhất. 1 2
Câu 8 (0.5 điểm). Trong không gian P [x] , tìm một cơ sở và số chiều của không gian 2018
V = { p(x)∣ p(1) = p(2) = 0}.
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: 7 7
(z + i) = (z − i) . 1 − 1 0 1 0
Câu 2 (1 điểm). Câu 2 (1 diểm). Giải phương trình ma trận: X = . 2 1 2 2
Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình:
x + 2x + x = 0 1 2 3
ax + (1− a)x +( 2 a +1 x = 0 2 3 ) 4 2
x + (2 − a)x − x − 2a x = 0 1 2 3 4
Câu 4 (3 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi:
f (x, y, z) = (4x − 2 y + 2z, − 2x + y − z, 2x − y + z).
a) Với tích vô hướng chính tắc của 3, hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ
cơ sở đó có dạng đường chéo.
b) Tìm toạ độ của véctơ = (1,0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó.
c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện 2 2 2
x + y + z = 9 : 2 2 2 3 ( ,
x y, z) = 4x + y + z − 4xy + 4xz − 2 yz, ( , x y, z) .
Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho:
V = Span v = (1; 2;3;1), v = (1;3;3; 2) 1 1 2
V = Span v = (1; 2;5;3), v = (1;3; 4;3) 2 3 4
Tìm một cơ sở trực chuẩn của V +V . Tìm hình chiếu của = (1;1;2;0) lên V +V . 1 2 1 2
Câu 6 (1 điểm). Cho P [x] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2, và ánh xạ 2 3 : P [x] →
xác định bởi ( p(x)) = ( p(0), p(1), p( 1
− )) . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích?
Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu M ( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n 1
. Giả sử rằng A, B là 2 ma n,1
trận vuông thực cấp n,(0 n ) thoả mãn: t t
X AY = X BY , X ,Y M ( ) . n,1
Chứng minh rằng A = B .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Bộ đề thi cuối kỳ môn Đại số - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ ĐẠI SỐ 20171 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (1 điểm). Giải phương trình trên trường số phức: 9 9
(z + i) = (z − i) . 1 − 2 0 1 0
Câu 2 (1 điểm). Giaii phương trình ma trận: X = . 4 2 1 1
Câu 3 (1.5 điểm). Giải và biện luận theo hệ số thực a hệ phương trình:
x + 2x − 2x − x = 0 1 2 3 4
ax + (1− a)x + ( 2 a +1 x = 0 2 3 ) 4 2
2x + (4 − a)x − 4x − 2(a 1)x = 0 + 1 2 3 4
Câu 4 (31.5 điểm). Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 f : → xác định bởi
f (x, y, z) = (4x + 2 y − 2z, 2x + y − z, 2
− x − y + z).
a) Với tích vô hướng chính tắc của 3, hãy tìm một cơ sở trực chuẩn để ma trận của f theo hệ
cơ sở đó có dạng đường chéo.
b) Tìm toạ độ của véctơ = (1,0,1) theo hệ cơ sở trực chuẩn đó.
c) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau, với điều kiện 2 2 2
x + y + z = 16 : 2 2 2 3 ( ,
x y, z) = 4x + y + z + 4xy − 4xz − 2 yz, (
x, y, z) .
Câu 5 (1.5 điểm). Trong không ain vec to 4 trang bị tích vô hướng chính tắc, cho:
V = Span v = (1; 2;3;1), v = (1;3;3; 2) 1 1 2
V = Span v = (1; 2;5;3), v = (1;3; 4;3) 2 3 4
Tìm một cơ sở trực chuẩn của V V . Tìm hình chiếu của = (1;1;0;1) lên V V . 1 2 1 2
Câu 6 (1 điểm). Cho P [x] là tập các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 , và ánh xạ 2 3 : P [x] →
xác định bởi ( p(x)) = ( p(0), p( 1
− ), p(1)) . Hỏi có phải là một đẳng cấu 2 không? Giải thích?
Câu 7 (1 điểm). Ký hiệu M ( ) là tập các ma trận thực kích cỡ n 1
. Giả sử rằng A, B là 2 ma n,1
trận vuông thực cấp n,(0 n ) thoả mãn: t t
X AY = X BY , X
,Y M ( ) . Chứng minh n,1 rằng A = B .
Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
