30 trang 3 lượt tải

Các Chuyên Đề Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 7

5

Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức. Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện. Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,… Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Đề thi Toán 7 268 tài liệu

Môn: Toán 7 2.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 ngày trước
Danh sách Quiz
/30
1
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
a
n
=
. ....
n
a a a
; a
m
.a
n
= a
m+n
; a
m
: a
n
= a
m –n
( a
0, m
n)
(a
m
)
n
= a
m.n
; ( a.b)
n
= a
n
.b
n
;
( ) ( 0)
n
n
n
aa
b
bb
=
2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n
2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a
2
+…..+ a
n
b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1
......
. . .
nn
c c c
a a a a a a
−
+ + +
với a
2
– a
1
= a
3
– a
2
= … = a
n
– a
n-1
= k
HD: a) S = 1+ a + a
2
+…..+ a
n
aS = a + a
2
+…..+ a
n
+ a
n+1
Ta có : aS – S = a
n+1
– 1
( a – 1) S = a
n+1
– 1
Nếu a = 1
S = n
Nếu a khác 1 , suy ra S =
1
1
1
n
a
a
+
−
−
b) Áp dụng
11
()
.
cc
a b k a b
=−
với b – a = k
Ta có : A =
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ..... ( )
nn
c c c
k a a k a a k a a
−
− + − + + −
=
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ...... )
nn
c
k a a a a a a
−
− + − + + −
=
1
11
()
n
c
k a a
−
Bài 3 : a) Tính tổng : 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….
+ n
2
b) Tính tổng : 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …..+ n
3
HD : a) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….+ n
2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ …..+ n
3
= ( n(n+1):2)
2
2
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a) A =
1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
b)
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
B
−−
=−
+
+
HD : A =
9
28
−
; B =
7
2
Bài 4: 1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ − + −
−
+ − + −
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 5: a) TÝnh
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
+
−−+−
++−
+
−+
−+
=A
b) Cho
20052004432
3
1
3
1
...
3
1
3
1
3
1
3
1
++++++=B
Chøng minh r»ng
2
1
B
.
Bài 6: a) Tính :
−
+
+
−−
7
2
14
3
1
12:
3
10
10
3
1
4
3
46
25
1
230.
6
5
10
27
5
2
4
1
13
b) TÝnh
1 1 1 1
...
2 3 4 2012
2011 2010 2009 1
...
1 2 3 2011
P
+ + + +
=
+ + + +
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
2012 2010 1
1 1 .... 1 2011
1 2 2011
MS = + + + + + + −
2012 2012
2012 .... 2011
2 2011
= + + + −
=
1 1 1 1
2012( ...... )
2 3 4 2012
+ + + +
c)
10099...4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099...321(
−++−+−
−
−−−+++++
=A
Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức:
3
50
31
.
93
14
1.
3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1
−
−+
−−
=A
b) Chứng tỏ rằng:
2004
1
2004
1
...
3
1
3
1
2
1
1
2222
−−−−−=B
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2
−
+
+
−
=A
b) Chứng minh rằng tổng:
2,0
2
1
2
1
....
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
20042002424642
−++−+−+−=
− nn
S
Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-
..
ac
a d b c
bd
= =
-Nếu
a c e
b d f
==
thì
a c e a b e
b d f b d f

= = =

với gt các tỉ số dều có nghĩa
- Có
a c e
b d f
==
= k Thì a = bk, c = d k, e = fk
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng
thức
Bài 1: Cho
ac
cb
=
. Chứng minh rằng:
22
22
a c a
b c b
+
=
+
HD: Từ
ac
cb
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
++
=
++
=
()
()
a a b a
b a b b
+
=
+
Bài 2: Cho a,b,c
R và a,b,c
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
ab
bc
+
+
HD: Ta có (a + 2012b)
2
= a
2
+ 2.2012.ab + 2012
2
.b
2
= a
2
+ 2.2012.ab + 2012
2
.ac
= a( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
(b + 2012c)
2
= b
2
+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= ac+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= c( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
ab
bc
+
+
4
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
=
th×
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=
−
+
HD : Đặt
ac
k
bd
==
a = kb, c = kd .
Suy ra :
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
a b b k k
a b b k k
+ + +
==
− − −
và
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
c d d k k
c d d k k
+ + +
==
− − −
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
−
+
=
−
+
Bài 4: BiÕt
22
22
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d
0 Chứng minh rằng :
ac
bd
=
hoặc
ad
bc
=
HD : Ta có
22
22
a b ab
c d cd
+
=
+
=
22
22
22
22
ab a ab b
cd c cd d
++
==
++
2
2
2
()
()
()
a b a b
c d c d
++
=
++
(1)
22
22
a b ab
c d cd
+
=
+
=
22
22
22
22
ab a ab b
cd c cd d
−+
==
−+
2
2
2
()
()
()
a b a b
c d c d
−−
=
−−
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
22
( ) ( )
a b a b
a b a b
c d c d
a b b a
c d c d
c d d c
+−
=
+−
+−
=
+−
+−
=
+−
Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
=
. Chøng minh r»ng:
22
22
dc
ba
cd
ab
−
−
=
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
+
+
=
+
+
HD : Xuất phát từ
d
c
b
a
=
biến đổi theo các
hướng làm xuất hiện
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
()
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
− + +
= = = = =
− + +
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
HD : Từ
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222 +++
=
+++
=
+++
=
+++
Suy ra :
2 2 2 2
1111
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
− = − = − = −
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
===
Nếu a + b + c + d = 0
a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
5
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
= -4
Nếu a + b + c + d
0
a = b = c = d
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
= 4
Bài 7 : a) Chứng minh rằng:
Nếu
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
Thì
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
b) Cho:
d
c
c
b
b
a
==
. Chứng minh:
d
a
dcb
cba
=
++
++
3
HD : a) Từ
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
+ + + − − +
==
2 2(2 ) 4 4
22
a b c a b c a b c a
x y z x y z
+ + + − − +
= = =
++
(1)
2( 2 ) (2 ) 4 4
22
a b c a b c a b c b
x y z x y z
+ + + − − +
= = =
++
(2)
4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
+ + + − − +
= = =
−+
(3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
Bài 8: Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=
++
=
++
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
HD Từ
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
++
=
++
=
++
=
++
y z t z t x t x y x y z
x y z t
+ + + + + + + +
= = =
1 1 1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
+ + + + + + + +
+ = + = + = +
x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
+ + + + + + + + + + + +
===
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t
0 thì x = y = z = t
P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
==
Hãy tính giá trị của biểu thức : B =
111
x y z
y z x

+++


Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011
+ t
2011
6
Biết x,y,z,t thỏa mãn:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2
x y z t x y z t
a b c d a b c d
+ + +
= + + +
+ + +
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N
*
và
14
22
a
b
=
;
11
13
c
d
=
;
13
17
e
f
=
c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
2009 2010 2011
abc
==
.
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )
2
Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
===
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
x y z t
+ + − + + − + + − + + −
= = =
( n là số tự nhiên)
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,…
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :
==
1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x
HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ − − + − −
= = = = = =
− − − −
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
22
5 12
yy
xx
=
−−
với y = 0 thay vào không thỏa mãn
Nếu y khác 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
1 3 2
12 2
yy
y
+
= = −
−
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
1
15
−
Vậy x = 2, y =
1
15
−
thoả mãn đề bài
Bài 3 : Cho
a b c
b c a
==
và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tính b, c.
HD : từ
1
a b c a b c
b c a a b c
++
= = = =
++
a = b = c = 2012
7
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :
1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
++
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
1 2 3 2( ) 1
2
()
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
+ + + + + − + +
= = = = =
+ + + +
(vì x+y+z
0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
Bài 5 : Tìm x, biết rằng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
+++
==
HD : Từ
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
xx
+ + + + − + + + + − +
= = = =
− + −
Suy ra :
11
1
66
x
x
= =
Bài 6: T×m x, y, z biÕt:
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
++=
−+
=
++
=
++ 211
(x, y, z
0
)
HD : Từ
1
1 1 2 2( ) 2
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
++
= = = + + = =
+ + + + + − + +
Từ x + y + z =
1
2
x + y =
1
2
- z , y +z =
1
2
- x , z + x =
1
2
- y thay vào đẳng thức
ban đầu để tìm x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3
64
3
8
3 zyx
==
vµ
122
222
=−+ zyx
Bài 8 : Tìm x , y biết :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ − + −
==
Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
- Tính chất về giá trị tuyệt đối :
0A
với mọi A ;
,0
,0
AA
A
AA
=
−
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A B A B+ +
dấu ‘=’ xẩy ra khi AB
0;
A B A B− −
dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
( 0)
Am
A m m
Am
−
;
()
Am
A m hay m A m
Am
−
−
với m > 0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A
2n
0 với mọi A ; - A
2n
0 với mọi A
A
m
= A
n
m = n; A
n
= B
n
A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =
B ( nếu n chẵn)
0< A < B
A
n
< B
n
;
8
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
2011.2012
. 2012.2013
2
x=
2.2013
2011
x=
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x− − − −
+ − =
( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x− + − + − + − +
+ + =
2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
( 2012)( ) 2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
2 : ( ) 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
x
x
− − − −
+ + − = −
− + + − = −
= − + + − +
Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)
1 1 1 1 49
....
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99xx
+ + + + =
−+
b) 1- 3 + 3
2
– 3
3
+ ….+ (-3)
x
=
1006
91
4
−
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
• Dạng :
x a x b+ = +
và
x a x b x c+ + = +
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a)
2011 2012xx− = −
b)
2010 2011 2012xx− + − =
HD : a)
2011 2012xx− = −
(1) do VT =
2011 0,xx−
nên VP = x – 2012
0 2012x
(*)
9
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012):2
x x v ly
x x x
− = − =



− = − = +

Kết hợp (*)
x = 4023:2
b)
2010 2011 2012xx− + − =
(1)
Nếu x
2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012
x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x
2011
từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012
x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt
431 =++− xx
b) T×m x biÕt:
426
22
+=−+ xxx
c) T×m x biÕt:
54232 =−−+ xx
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:
xxx 313 =+++
b) Tìm x biết:
2 3 2x x x− − = −
Bài 4 : tìm x biết :
a)
14x −
b)
2011 2012x −
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :
1 3 5 7 8x x x x− + − + − + − =
b) Tìm x biết :
2010 2012 2014 2xxx− + − + − =
HD : a) ta có
1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x− + − + − + − − + − + − + − =
(1)
Mà
1 3 5 7 8x x x x− + − + − + − =
suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”
Hay
17
35
35
x
x
x


do x nguyên nên x
{3;4;5}
b) ta có
2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x− + − + − − + − + −
(*)
Mà
2010 2012 2014 2xxx− + − + − =
nên (*) xẩy ra dấu “=”
Suy ra:
2012 0
2012
2010 2014
x
x
x
−=
=

Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết :
1 2 ..... 100 2500x x x− + − + + − =
Bài 3 : Tìm x biết
1 2 ..... 100 605x x x x+ + + + + + =
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:
x 1 x 2 y 3 x 4− + − + − + −
= 3
Bài 5 : Tìm x, y biết :
2006 2012 0x y x− + −
HD : ta có
2006 0xy−
với mọi x,y và
2012 0x −
với mọi x
Suy ra :
2006 2012 0x y x− + −
với mọi x,y mà
2006 2012 0x y x− + −
0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
xy
x y x x y
x
−=
− + − = = =
−=
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
2004 4 10 101 990 1000x x x x x= − + − + + + + + +
10
Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5
x
+ 5
x+2
= 650 b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
HD : a) 5
x
+ 5
x+2
= 650
5
x
( 1+ 5
2
) = 650
5
x
= 25
x = 2
b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
3
x -1
(1 + 5) = 162
3
x – 1
= 27
x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
HD : a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
2
1
1
23
23
23
xy
x y x
xx
−−
+
= =
Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
x – 1 = y-x = 0
x = y = 1
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
10
x
= 10
2y
x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2
m
+ 2
n
= 2
m
+n
b) 2
m
– 2
n
= 256
HD: a) 2
m
+ 2
n
= 2
m
+n
2
m + n
– 2
m
– 2
n
= 0
2
m
( 2
n
– 1) –( 2
n
– 1) = 1
(2
m
-1)(2
n
– 1) = 1
2 1 1
1
2 1 1
n
m
mn
−=
= =
−=
b) 2
m
– 2
n
= 256
2
n
( 2
m – n
- 1) = 2
8
Dễ thấy m
n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1
n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n
2 thì 2
m – n
– 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà
VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
Bài 4 : Tìm x , biết :
( ) ( )
1 11
7 7 0
xx
xx
++
− − − =
HD :
( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
xx
x
xx
xx
++
+
− − − =

− − − =

( )
( )
( )
1 10
8
6
1
10
70
7 0 7
( 7) 1
1 ( 7) 0
10
7 1 7 0
x
x
x
x
x
xx
x
x
xx
+



=
=
+
−=
− = =
−=
− − =


− − − =

Bài 5 : Tìm x, y biết :
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =
HD : ta có
2011 0xy−
với mọi x,y và (y – 1)
2012
0 với mọi y
Suy ra :
2012
2011 ( 1) 0x y y− + −
với mọi x,y . Mà
2012
2011 ( 1) 0x y y− + − =
2011 0
2011, 1
10
xy
xy
y
−=
= =
−=
Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a)
2012
5 (3 4) 0xy+ + − =
b)
22
(2 1) 2 8 12 5.2x y x− + − − = −
11
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị
của biểu thức.
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết:
22
23)2004(7 yx −=−
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000
17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x
2
mà x NT
x = 2. Lại có 1000 – 13y
51
, 1000 – 13y > 0 và y NT
y =
b) Từ
22
23)2004(7 yx −=−
(1)
do 7(x–2004)
2
0
22
23 0 23 {0,2,3,4}y y y −
Mặt khác 7 là số NT
2
13 7y−
vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
c) Ta có xy + 3x - y = 6
( x – 1)( y + 3) = 3
11
33
x
y
−=
+=
hoặc
11
33
x
y
− = −
+ = −
hoặc
13
31
x
y
−=
+=
hoặc
13
11
x
y
− = −
+ = −
d) x
2
-2y
2
=1
2 2 2
1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y − = − + =
do VP = 2y
2
chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố
1 2 3
12
x y x
x y y
+ = =



− = =

Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7
b) Tìm
,xy
biết:
22
25 8( 2012)yx− = −
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7
2x – 2y + 2xy = 7
(2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) Từ
22
25 8( 2012)yx− = −
y
2
25 và 25 – y
2
chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc
y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho:
1 1 1
x y 5
+=
b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
b
aa 553
23
=++
và
c
a 53 =+
12
HD : a) Từ
1 1 1
x y 5
+=
5 ( x + y) = xy (*)
5
5
5
x
xy
y

+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
5q + y = qy
5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có
55
51
11
q
y Z q
qq
= = + −
−−
Ư(5) , từ đó tìm được y, x
b)
b
aa 553
23
=++
a
2
( a +3) = 5
b
– 5 , mà
c
a 53 =+
a
2
. 5
c
= 5( 5
b – 1
– 1)
1
2
1
51
5
b
c
a
−
−
−
=
Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5
b – 1
- 1 không chia
hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1
a = 2 và b = 2
Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
2
2 2 2
5 2013 5
pp
q+ = +
HD :
22
2 2 2 2 2
5 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1)
p p p p p p
q q q+ = + − = − − = −
Do p nguyên tố nên
22
2013 25q−
và 2013 – q
2
> 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
12 −
n
chia hết cho 7
HD : Với n < 3 thì 2
n
không chia hết cho 7
Với n
3
khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (
*
kN
)
Xét n = 3k , khi đó 2
n
-1 = 2
3k
– 1 = 8
k
– 1 = ( 7 + 1)
k
-1 = 7.A + 1 -1 = 7.A
7
Xét n = 3k +1 khi đó 2
n
– 1 = 2
3k+1
– 1 = 2.8
3k
– 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không
chia hết cho 7
Xét n = 3k+2 khi đó 2
n
– 1 = 2
3k +2
-1 = 4.8
3k
– 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không
chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với
*
kN
* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b)
313 −m
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Nếu m < -2 thì
1 2 1mm− +
, suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Vậy m
{ -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để
1 2 1 2( 1) 2 1 (2 1) 3 2 1 3 2 1m m m m m m m− + − + + − + +
b)
313 −m
- 3 < 3m – 1 < 3
0
24
1
33
m
m
m
=
−
=
vì m nguyên
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6
1+x
chia hÕt cho 2
3−x
b) T×m
Zx
®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
A =
3
21
+
−
x
x
. HD: A =
3
21
+
−
x
x
=
1 2( 3) 6 7
2
33
x
xx
− + +
=−
++
Bài 3: Tìm x nguyên để
2012 5
1006 1
x
x
+
+
HD :
2012 5
1006 1
x
x
+
+
=
2(1006 1) 2009 2009
2
1006 1 1006 1
x
xx
++
=+
++
13
để
2012 5
1006 1
x
x
+
+
2009 1006 1x+
x là số CP.
Với x >1 và x là số CP thì
1006 1 2012 2009x +
suy ra 2009 không chia
hết cho
1006 1x +
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì
2009:1006 1 2009x +=
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 với mọi a,b
* a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
*A
2n
0 với mọi A, - A
2n
0 với mọi A
*
0,AA
,
0,AA−
*
,,A B A B A B+ +
dấu “ = ” xẩy ra khi A.B
0
*
,,A B A B A B− −
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 với mọi a,b
Và a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012 = 2(x
2
– 2.x. + 1
2
) + 2010 = 2( x – 1)
2
+ 2010
Do ( x - 1)
2
0 với mọi x , nên P(x)
2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000 = ( x + 50)
2
– 3500
- 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x
2
+ bx +c ( a > 0)
HD: P(x) = a x
2
+ bx +c = a( x
2
+ 2.x.
2
b
a
+
2
()
2
b
a
) + ( c -
2
4
b
a
)
= a(
22
2
44
) ( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
xx
a a a
−−
+ +
Vậy Min P(x) =
2
4
4
ac b
a
−
khi x =
2
b
a
−
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a
2
+ 3a + 4
b) B = 2 x – x
2
HD : a) A = - a
2
+ 3a + 4 =
2 2 2
3 3 9 3 25
( 2. . ( ) ) (4 ) ( )
2 2 4 2 4
a a a− − + + + = − − +
Do
3
( ) 0,
2
aa− −
nên A
25
,
4
a
. Vậy Max A =
25
4
khi a =
3
2
c) B =
2 2 2 2
2 ( 2. .1 1 ) 1 ( 1) 1x x x x x− = − − + + = − − +
. Do
( 1) 0, 1,x x B x− −
Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P =
2
2012
4 2013xx++
b) Q =
2012
2012
2013
2011
a
a
+
+
14
* Dạng vận dụng A
2n
0 với mọi A, - A
2n
0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)
2
+ ( y – 2012)
2012
b) Q = ( x + y – 3)
4
+ ( x – 2y)
2
+ 2012
HD : a) do
2
( 2 ) 0, ,x y x y−
và
2012
( 2012) 0,yy−
suy ra : P
0
với mọi x,y
Min P = 0 khi
2 0 4024
2012 0 2012
x y x
yy
− = =


− = =

b) Ta có
4
( 3) 0. ,x y x y+ −
và
2
( 2 ) 0. ,x y x y−
suy ra : Q
2012 với mọi x,y
Min Q = 2012 khi
2
2
( 3) 0 2
1
( 2 ) 0
x y x
y
xy
+ − = =

=
−=
Bài 3 : Tìm GTLN của R =
4
2
2013
( 2) ( ) 3x x y− + − +
Bài 4 : Cho phân số:
54
23
−
+
=
x
x
C
(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
HD :
3 2 4.(3 2) 12 8
3 3 3 23
. . .(1 )
4 5 4 3.(4 5) 4 12 15 4 12 15
x x x
C
x x x x
+ + +
= = = = +
− − − −
C lớn nhất khi
23
12 15x −
lớn nhất
12 15x−
nhỏ nhất và
12 15 0x −
2x=
Vậy Max C =
3 23 8
(1 )
4 9 3
+=
khi x = 2
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè
32
87
−
−
n
n
cã gi¸ trÞ lín nhÊt
HD : Ta có
7 8 7 2(7 8) 7 14 16 7 5
. . (1 )
2 3 2 7(2 3) 2 14 21 2 14 21
n n n
n n n n
− − −
= = = +
− − − −
Để
32
87
−
−
n
n
lớn nhất thì
5
14 21n −
lớn nhất
14 21 0n −
và 14n – 21 có giá trị nhỏ
nhất
21 3
14 2
n =
và n nhỏ nhất
n = 2
* Dạng vận dụng
0,AA
,
0,AA−
,,A B A B A B+ +
dấu “ = ” xẩy ra khi A.B
0
,,A B A B A B− −
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)
2
+
yx−
+ 3
b) B =
2011
2012 2010x−−
HD: a) ta có
2
( 2) 0x −
với mọi x và
0yx−
với mọi x,y
A
3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
2
( 2) 0
2
2
0
x
x
y
yx
−=
=

=
−=
15
b) Ta có
2010 0x− −
với mọi x
2012
2010 2012x− −
với mọi x
B
2011
2012
B
với mọi x, suy ra Min B =
2011
2012
khi x = 2010
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a)
2011 2012A x x= − + −
b)
2010 2011 2012B x x x= − + − + −
c) C =
1 2 ..... 100x x x− + − + + −
HD : a) Ta có
2011 2012A x x= − + −
=
2011 2012 2011 2012 1x x x x− + − − + − =
với mọi x
1A
với x . Vậy Min A = 1 Khi
( 2011)(2012 ) 0 2011 2012x x x− −
b) ta có
2010 2011 2012B x x x= − + − + −
( 2010 2012 ) 2011x x x= − + − + −
Do
2010 2012 2010 2012 2x x x x− + − − + − =
với mọi x (1)
Và
2011 0x −
với mọi x (2)
Suy ra B
( 2010 2012 ) 2011x x x= − + − + −
2
. Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)
xẩy ra dấu “=” hay
( 2010)(2012 ) 0
2011
2011 0
xx
x
x
− −
=
−=
c) Ta có
1 2 ..... 100x x x− + − + + −
=
( 1 100 ) ( 2 99 ) ..... ( 50 56 )x x x x x x− + − + − + − + + − + −
1 100 2 99 .... 50 56x x x x x x − + − + − + − + + − + −
= 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C
2050
với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
( 1)(100 ) 0 1 100
( 2)(99 ) 0 2 99
............................ ................
( 50)(56 ) 0 50 56
x x x
x x x
x x x
− −


− −




− −

50 56x
Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết
1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2
n
, 3
n
,4
n
, 5
n
,6
n
, 7
n
, 8
n
, 9
n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
22
3 2 3 2
n n n n++
− + −
chia hết cho 10
HD: ta có
22
3 2 3 2
n n n n++
− + −
=
22
3 3 2 2
n n n n++
+ − −
=
22
3 (3 1) 2 (2 1)
nn
+ − +
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
− = −
= 10( 3
n
-2
n
)
Vậy
22
3 2 3 2
n n n n++
− + −
10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
16
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 = 75.( 4
2005
– 1) : 3 + 25
= 25( 4
2005
– 1 + 1) = 25. 4
2005
chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n
N
*
và p là số nguyên tố thoả mãn:
1−m
p
=
p
nm +
(1)
Chứng minh rằng : p
2
= n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p
( 1)pm−
do p là số nguyên tố và m, n
N
*
m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p
2
= n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)
(m + n)(m – 1) = p
2
Do p là số nguyên tố và m, n
N
*
m – 1 = p
2
và m + n =1
m = p
2
+1 và n = - p
2
< 0 (loại)
Vậy p
2
= n + 2
Bài 4: a) Sè
410
1998
−=A
cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
b) Chøng minh r»ng:
3338
4136 +=A
chia hÕt cho 7
HD: a) Ta có 10
1998
= ( 9 + 1)
1998
= 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
4 = 3.1 + 1
Suy ra :
410
1998
−=A
= ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia
hết cho 9
b) Ta có 36
38
= (36
2
)
19
= 1296
19
= ( 7.185 + 1)
19
= 7.k + 1 ( k
N
*
)
41
33
= ( 7.6 – 1)
33
= 7.q – 1 ( q
N
*
)
Suy ra :
3338
4136 +=A
= 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q)
7
Bài 5 :
a) Chứng minh rằng:
nnnn
2323
42
++−
++
chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c
17 nếu a - 11b + 3c
17 (a, b, c Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng:
17101723 baba ++
(a, b Z )
b) Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta có 17a – 34 b
17
và 3a + 2b
17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b − + + −
10 16 17ab−
vì (2, 7) = 1
10 17 16 17 10 17a b b a b + − +
b) Ta có f(0) = c do f(0)
3
3c
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết
cho 3
2 3 3bb
vì ( 2, 3) = 1
f(1)
33abc + +
do b và c chia hết cho 3
3a
Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng
2006
10 53
9
+
lµ mét sè tù nhiên
b) Cho
12 +
n
lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh
12 −
n
lµ hîp sè
HD : b) ta có (2
n
+1)( 2
n
– 1) = 2
2n
-1 = 4
n
-1 (1) .Do 4
n
- 1 chia hêt cho 3 và
12 +
n
lµ
sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2
n
-1 chia hết cho 3 hay 2
n
-1 là hợp số
17
Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức
1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a
1
< a
2
< a
3
<…. < a
n
thì n a
1
< a
1
+ a
2
+ …
+ a
n
< na
n
1 2 1
1 1 1 1 1
.....
nn
na a a a na
+ + +
* a(a – 1) < a
2
< a( a+1)
2
1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a
+−
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 , * a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
+
+
+
+
+
=
không là số nguyên.
HD : Ta có
1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
++
= + + + + = =
+ + + + + + + + + + +
1M
Mặt khác
( ) ( ) ( )a b c a b b b c c c a a
M
a b b c c a a b b c c a
+ − + − + −
= + + = + +
+ + + + + +
3 ( )
b c a
a b b c c a
− + +
+ + +
= 3 – N Do N >1 nên M < 2
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng :
2a b ab+
(1) ,
3
3a b c abc+ +
(2) với a, b, c
0
HD :
2a b ab+
2 2 2 2 2 2
( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0a b ab a ab b ab a ab b a b + + + − + −
(*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
a)
11
( )( ) 4ab
ab
+ +
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9abc
abc
+ + + +
(2)
HD : a) Cách 1 : Từ
22
11
( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0a b a b ab a b
ab
+ + + −
(*)
18
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
Cách 2: Ta có
2a b ab+
và
1 1 2
ab
ab
+
1 1 2
( )( ) 2 . 4a b ab
ab
ab
+ + =
Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
b) Ta có :
1 1 1
( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( )
b c a c a b a b b c a c
abc
a b c a b c b a c b c a
+++
+ + + + = + + + = + + + + + +
Lại có
2; 2; 2
a b b c a c
b a c b c a
+ + +
Suy ra
1 1 1
( )( )abc
abc
+ + + +
3 2 2 2 9 + + + =
Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương.
Chứng minh rằng:
4
3
222
++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0++ cabcab
.
HD : b) Tính ( a + b + c)
2
từ cm được
0++ cabcab
Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x
3
+ bx
2
+ cx + d ( a khác 0)
Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)
HD : ta có P(1) = 100
a + b + c + d = 100
P(-1) = 50
- a + b – c + d = 50
P( 0) = 1
d = 1
P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x)
Bài 2 : Cho
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2( − ff
. Biết rằng
0213 =++ cba
HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c
f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)
2
0
Bài 3 Cho đa thức
cbxaxxf ++=
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1);
f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên
c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên
a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên
2a , 2b nguyên
Bài 4 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax +++=
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
19
Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x
d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số
nguyên . Do d nguyên
a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b
nguyên
2b nguyên
6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.
Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu
thức: A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx +++−
HD : Giả sử A( x) = a
o
+ a
1
x + a
2
x
2
+ …..+ a
4018
x
4018
Khi đó A(1) = a
o
+ a
1
+a
2
+ …….+ a
4018
do A(1) = 0 nên a
o
+ a
1
+a
2
+ …….+ a
4018
= 0
Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 .... 2012 2012 1x x x x x x− + − + − + −
HD : Đặt A =
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 .... 2012 2012 1x x x x x x− + − + − + −
2010 2009 2008
( 2011) ( 2011) ( 2011) .... ( 2011) 1x x x x x x x x x− − − − − + − − + −
tại x = 2012 thì A = 2011
Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế
1. Kiến thức vận dụng
- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :
y = k.x
3
12
1 2 3
.....
n
n
yy
yy
k
x x x x
= = = = =
( k là hệ số tỉ lệ )
- Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :
x.y = a
1 1 2 2 3 3
. . . ...... .
nn
x y x y x y x y a = = = = =
( a là hệ số tỉ lệ )
- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
2. Bài tập vận dụng
*Phương pháp giải :
- Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán
- Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm
- Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
- Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển
động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc
3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn
cạnh là 59 giây
Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A
trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng
được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được
đều như nhau.
Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa
quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.
Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là
3: 4.
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?
20
Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn
thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ
là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu
công nhân ?
Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ
hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB
lần lượt là : 40 phút,
5
8
giờ ,
5
9
giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ?
PHẦN HÌNH HỌC
I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
P
2
: - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
P
2
: - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le
trong ,đồng vị
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P
2
: - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
P
2
: - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc
- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )
P
2
: - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác
6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
P
2
: - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào
một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa
cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT
tam giác
- Dựa vào định lí về quan hệ giữa
đường xiên và hình chiếu, đường
xiên và đường vuông góc .
II. Bài tập vận dụng
Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ
ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
1
1
2
1
K
I
C
E
D
B
A

Tài liệu khác của Toán 7

Preview text:


CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa: an = . a ....
a a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a  0, m  n) n n
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; a a ( )n = (b  0) n b b
2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an
b) Tính tổng : A = c c c + +......+
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k a .a a .a a .a 1 2 2 3 n 1 − n
HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Ta có : aS – S = an+1 – 1  ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = 1  S = n n 1 +
Nếu a khác 1 , suy ra S = a −1 a −1 b) Áp dụng c c 1 1 = ( − ) với b – a = k . a b k a b Ta có : A = c 1 1 c 1 1 c 1 1 ( − ) + ( − ) +.....+ ( − ) k a a k a a k a a 1 2 2 3 n 1 − n = c 1 1 1 1 1 1 ( − + − +......+ − ) k a a a a a a 1 2 2 3 n 1 − n = c 1 1 ( − ) k a a 1 n
Bài 3 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2 1
Bài 3: Thực hiện phép tính: a) A = 1 1 1 1
1− 3 − 5 − 7 −...− 49 ( + + +...+ ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 12 5 6 2 10 3 5 2 2 .3 − 4 .9 5 .7 − 25 .49 b) B = ( − 2 2 .3)6 4 5 + 8 .3 (125.7)3 9 3 + 5 .14 HD : A = 9 − ; B = 7 28 2 1 1 1 2 2 2 + − + −
Bài 4: 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 − 5 5 5 3 3 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203  3 3   375 , 0 − 3 , 0 + +  Bài 5: a) TÝnh 5 , 1 +1− 75 , 0 1890 A =  11 12 +  : +115  5 5 5  2005  5 , 2 + − , 1 25 − 625 , 0 + 5 , 0 − −   3 11 12  b) Cho 1 1 1 1 1 1 B = + + + + ... + + 2 3 4 2004 2005 3 3 3 3 3 3 Chøng minh r»ng 1 B  . 2  1 5 5  1 3 13 − 2 −10  . 230 + 46
Bài 6: a) Tính :  4 27 6  25 4  3 10   1 2  1 +  : 12 −14   10 3   3 7  1 1 1 1 + + +...+ b) TÝnh 2 3 4 2012 P = 2011 2010 2009 1 + + +...+ 1 2 3 2011
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …. 2012 2010 1  MS =1+ +1+ +....+1+ − 2011 1 2 2011 2012 2012 = 2012 + +....+ − 2011 = 1 1 1 1 2012( + + + ......+ ) 2 2011 2 3 4 2012  1 1 1 1  1 ( + 2 + 3 + ... + 99 + ) 100  − − − ( , 1 . 63 2 − . 21 ) 6 , 3 c)  2 3 7 9  A =
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 −100
Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 2  11 3  1 2   1 . 4 − 15 − 6 .   31 7  3 19   14   31 A =  . −1  .  5 1  1   93  50 4 + 12 − 5    6 6  3    b) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 B = 1− − − − ... −  22 32 32 20042 2004
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:  4 2  3  624 , 81 : 4 − 505 , 4  +125  3  4 A = 2  11 2    2 13   : 88 , 0 + 53 , 3  − ( ) 75 , 2  :  25    25     
b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S = − + − ... + − + .... + −  , 0 2 22 24 26 24n−2 24n 22002 22004
Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng : - a c =  . a d = . b c b d -Nếu a c e   = = thì a c e a b e = = =
với gt các tỉ số dều có nghĩa b d f b d f
b d f - Có a c e
= = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f 2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức 2 2 Bài 1: Cho a c +
= . Chứng minh rằng: a c a = c b 2 2 b + c b HD: Từ a c = suy ra 2 c = . a b c b 2 2 2 khi đó a + c a + . a b = 2 2 2 b + c b + . a b
= a(a + b) a = b(a + b) b
Bài 2: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2
a = (a + 2012b) c 2 (b + 2012c)
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
= a( a + 2.2012.b + 20122.c)
(b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
= c( a + 2.2012.b + 20122.c) a 2 (a + 2012b) Suy ra : = c 2 (b + 2012c) 3 a c a 5 + b 3 c 5 + d 3
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu = th× = b d a 5 − b 3 c 5 − d 3 HD : Đặt a c
= = k a = kb, c = kd . b d + + + + + +
Suy ra : 5a 3b b(5k 3) 5k 3 = =
và 5c 3d d(5k 3) 5k 3 = = 5a − 3b b(5k − 3) 5k − 3 5c − 3d d(5k − 3) 5k − 3 a 5 + b 3 c 5 + d 3 Vậy = a 5 − b 3 c 5 − d 3 2 2 + Bài 4: BiÕt a b ab =
với a,b,c, d  0 Chứng minh rằng : 2 2 c + d cd a c = hoặc a d = b d b c 2 2 2 2 2
HD : Ta có a + b ab + + + + = = 2ab a 2ab b = = (a b) a b 2 = ( ) (1) 2 2 c + d cd 2 2 2cd
c + 2cd + d 2 (c + d) c + d 2 2 2 2 2 a + b ab − + − − = = 2ab a 2ab b = = (a b) a b 2 = ( ) (2) 2 2 c + d cd 2 2 2cd
c − 2cd + d 2 (c − d) c − d
a + b a − b = 
Từ (1) và (2) suy ra : a + b a − b 2 2 + − ( ) = ( ) c d c d   c + d c − d a + b b − a  =
c + d d − c Xét 2 TH đi đến đpcm a c
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc = . Chøng minh r»ng: b d 2 2 2 2 2 ab a − b  +  + = vµ a b a b   = 2 2 cd c − d 2 2  c + d c + d a c
HD : Xuất phát từ = biến đổi theo các b d 2 2 2 2 2 2
hướng làm xuất hiện ab a −b a c a + b a + b 2 = = = = = ( ) 2 2 2 2 2 2 cd c − d b d c + d c + d
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a + b + c + d a + b 2 + c + d a + b + c 2 + d
a + b + c + 2d = = = a b c d Tính a + b b + c c + d d + a M = + + + c + d d + a a + b b + c
HD : Từ 2a + b + c + d a + b 2 + c + d a + b + c 2 + d
a + b + c + 2d = = = a b c d
Suy ra : 2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d −1 = −1 = −1 = −1 a b c d + + + + + + + + + + + +  a b c d a b c d a b c d a b c d = = = a b c d
Nếu a + b + c + d = 0  a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 4 + + + +  a b b c c d d a M = + + + = -4 c + d d + a a + b b + c Nếu a + b + c + d + + + +  0  a = b = c = d  a b b c c d d a M = + + + = 4 c + d d + a a + b b + c
Bài 7 : a) Chứng minh rằng: Nếu x y z = = a + b 2 + c
2a + b − c 4a − b 4 + c Thì a b c = =
x + 2y + z
2x + y − z
4x − 4y + z 3 b) Cho: a b c + + = =
. Chứng minh:  a b c a   = b c d
b + c + d d HD : a) Từ x y z + + + − − + = =
a 2b c 2a b c 4a 4b c = = a + b 2 + c
2a + b − c 4a − b 4 + c x y z + + + − − +
a 2b c 2(2a b c) 4a 4b c a = = = (1) x 2y z
x + 2y + z
2(a + 2b + c) (2a + b − c) 4a − 4b + c b = = = (2) 2x y z
2x + y + z
4(a + 2b + c) 4(2a + b − c) 4a − 4b + c c = = = (3) 4x 4y z
4x − 4y + z
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : a b c = =
x + 2y + z
2x + y − z
4x − 4y + z Bài 8: Cho x y z t = = = y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. x + y y + z z + t t + x P = + + + z + t t + x x + y y + z HD Từ x y z t + + + + + + + + = = =  y z t z t x t x y x y z = = = y + z + t z + t + x t + x + y x + y + z x y z t + + + + + + + +  y z t z t x t x y x y z +1 = +1 = +1 = +1 x y z t + + + + + + + + + + + +  x y z t z t x y t x y z x y z t = = = x y z t
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t  0 thì x = y = z = t  P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : y + z − x z + x − y x + y − z = = x y z  
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = x y  z  1+ 1+ 1+      y  z  x
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 5 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 + + +
Biết x,y,z,t thỏa mãn: x y z t x y z t = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + d a b c d
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và a 14 = ; c 11 = ; e 13 = b 22 d 13 f 17
c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : a b c = = . 2009 2010 2011
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2
Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2012a + b + c + d
a + 2012b + c + d
a + b + 2012c + d
a + b + c + 2012d = = = a b c d TÝnh a + b b + c c + d d + a M = + + + c + d d + a a + b b + c
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = ( n là số tự nhiên) x y z t
và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : = = 12 5x 4x
HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 1+ 7y −1− 5y 2y 1+ 5y −1− = = = = = 3y = 2y 12 5x 4x 4x − 5x −x 5x −12 5x −12 => 2y 2y =
với y = 0 thay vào không thỏa mãn −x 5x −12 Nếu y khác 0 => -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được: 1+ 3y 2y − =
= −y =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 12 2 − 15 Vậy x = 2, y = 1 − thoả mãn đề bài 15
Bài 3 : Cho a b c
= = và a + b + c ≠ 0; a = 2012. b c a Tính b, c.
HD : từ a b c a + b + c = = = =1  a = b = c = 2012 b c a a + b + c 6
Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : y + x +1 x + z + 2 x + y − 3 1 = = = x y z x + y + z
HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
y + x +1 x + z + 2 x + y − 3 2(x + y + z) 1 = = = = 2 = (vì x+y+z  0) x y z
(x + y + z) x + y + z
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z
Bài 5 : Tìm x, biết rằng: 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x
HD : Từ 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y 2(1+ 2y) − (1+ 4y) 1+ 2y +1+ 4y − (1+ 6y) = = = = 18 24 6x 2.18 − 24 18 + 24 − 6x Suy ra : 1 1 =  x = 1 6 6x
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: x y z = =
= x + y + z (x, y, z  0 ) z + y +1 x + z +1 x + y − 2 HD : Từ x y z x + y + z 1 = =
= x + y + z = = z + y +1 x + z +1 x + y − 2
2(x + y + z) 2
Từ x + y + z = 1  x + y = 1 - z , y +z = 1 - x , z + x = 1 - y thay vào đẳng thức 2 2 2 2 ban đầu để tìm x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt 3x 3y 3z = = vµ 2 2 x + 2 2 2 y − z = 1 8 64 216
Bài 8 : Tìm x , y biết : 2x +1 4y −5 2x + 4y − 4 = = 5 9 7x
Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế  , A A  0
- Tính chất về giá trị tuyệt đối : A  0 với mọi A ; A =  − , A A  0
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A + B A + B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB  0; A − B A − B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 A mA m A m  (m  0) 
; A m  
(hay − m A m) với m > 0 A  −mA  −m
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n  0 với mọi A ; - A2n  0 với mọi A
Am = An  m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =  B ( nếu n chẵn)
0< A < B  An < Bn ; 7
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b) x −1 x − 2 x − 3 x − 4 + − = 2011 2010 2009 2008
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013 2011.2012  . x = 2012.2013 2.2013  x = 2 2011
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Từ x −1 x − 2 x − 3 x − 4 + − = 2011 2010 2009 2008
(x − 2012) + 2011 (x − 2012) + 2010 (x − 2012) + 2009 (x − 2012) + 2008  + + = 2011 2010 2009 2008
x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012  + + − = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1  (x − 2012)( + + − ) = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 1 1  x = 2 − : ( + + − ) + 2012 2011 2010 2009 2008
Bài 2 Tìm x nguyên biết a) 1 1 1 1 49 + + +....+ = 1.3 3.5 5.7 (2x −1)(2x +1) 99 1006
b) 1- 3 + 32 – 33 + ….+ (-3)x = 9 −1 4
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
• Dạng : x + a = x + b và x + a x + b = x + c
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị
đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a) x − 2011 = x − 2012 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012
HD : a) x − 2011 = x − 2012 (1) do VT = x − 2011  0, x
nên VP = x – 2012  0  x  2012 (*) 8
x − 2011 = x − 2012 2011 = 2012( ô v ly) Từ (1)    x 2011 2012 x  − = − x = (2011+ 2012) : 2
Kết hợp (*)  x = 4023:2
b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 (1)
Nếu x  2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x  2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt x −1 + x + 3 = 4 b) T×m x biÕt: 2 x + 6x − 2 2 = x + 4
c) T×m x biÕt: 2x + 3 − 2 4 − x = 5
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x + 3 + x +1 = 3x
b) Tìm x biết: 2x − 3 − x = 2 − x Bài 4 : tìm x biết :
a) x −1  4 b) x − 2011  2012
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết : x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8
b) Tìm x biết : x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2
HD : a) ta có x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7  x −1+ 7 − x + x − 3+ 5 − x = 8 (1)
Mà x −1 + x − 3 + x − 5 + x − 7 = 8 suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 1   x  7 Hay
 3  x  5 do x nguyên nên x {3;4;5} 3   x  5
b) ta có x − 2010 + x − 2012 + x − 2014  x − 2010 + 2014 − x + x − 2012  2 (*)
Mà x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = 2 nên (*) xẩy ra dấu “=” x − 2012 = 0 Suy ra:   x = 2012 2010  x  2014 Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x −1 + x − 2 +.....+ x −100 = 2500
Bài 3 : Tìm x biết x +1 + x + 2 +.....+ x +100 = 605x
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x − 1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3
Bài 5 : Tìm x, y biết : x − 2006y + x − 2012  0
HD : ta có x − 2006y  0 với mọi x,y và x − 2012  0 với mọi x
Suy ra : x − 2006y + x − 2012  0 với mọi x,y mà x − 2006y + x − 2012  0 x − y = 0
x − 2006y + x − 2012 = 0  
x = 2012, y = 2 x − 2012 = 0
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
2004 = x − 4 + x −10 + x +101 + x + 990 + x +1000 9
Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25 x = 2
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 2x y
HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x  2 3 x 1 =
 2 − = 3y−x x 1 2 + 3x
Nhận thấy : ( 2, 3) = 1  x – 1 = y-x = 0  x = y = 1
b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n  2m + n – 2m – 2n = 0  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1 2n −1=1
 (2m -1)(2n – 1) = 1    m = n =1 2m −1=1
b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28
Dễ thấy m  n, ta xét 2 trường hợp :
+ Nếu m – n = 1  n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n  2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà
VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 x 1 + x 1 + 1
Bài 4 : Tìm x , biết : ( x − 7) − (x − 7) = 0 HD :
(x − 7)x 1+ − (x − 7)x 11 + = 0  ( x − 7)x 1+ 1
 − (x − 7)10 = 0  
 ( x − 7)(x+ )1 1
 − (x − 7)10 = 0   x 1 + x−7    =0   
x−7=0x=7    10 10 x = 8 1−(x−7) =0 (x−7) 1 = x = 6   
Bài 5 : Tìm x, y biết : 2012
x − 2011y + ( y −1) = 0
HD : ta có x − 2011y  0 với mọi x,y và (y – 1)2012  0 với mọi y Suy ra : 2012
x − 2011y + ( y −1)  0 với mọi x,y . Mà 2012
x − 2011y + ( y −1) = 0
x − 2011y = 0 
x = 2011, y =1 y −1 = 0
Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a) 2012
x + 5 + (3y − 4) = 0 b) 2 2
(2x −1) + 2y − x − 8 = 12 − 5.2 10
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức.
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2 2
7(x − 2004) = 23 − y
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000  17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x 2
mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y 51 , 1000 – 13y > 0 và y NT  y = b) Từ 2 2
7(x − 2004) = 23 − y (1) do 7(x–2004)2  0 2 2
 23 − y  0  y  23  y {0, 2,3, 4} Mặt khác 7 là số NT 2
 13 − y 7 vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 x −1 =1 x −1 = 1 −
c) Ta có xy + 3x - y = 6  ( x – 1)( y + 3) = 3   hoặc  y + 3 = 3 y + 3 = 3 − x −1 = 3 x −1 = 3 − hoặc  hoặc  y + 3 =1 y +1 = 1 − d) x2-2y2=1 2 2 2
x −1 = 2y  (x −1)(x +1) = 2y x +1 = 2yx = 3
do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố     x −1 = yy = 2
Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7
b) Tìm x, y  biết: 2 2
25 − y = 8(x − 2012)
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7  2x – 2y + 2xy = 7  (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 2 2
25 − y = 8(x − 2012)  y2  25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc
y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x 1 1 1
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: + = x y 5
b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : 3 b a + a 3 2 + 5 = 5 và c a + 3 = 5 11 1 1 1 x 5 HD : a) Từ +
=  5 ( x + y) = xy (*)  xy 5  x y 5   y 5
+ Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra:
5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta có 5q 5 y = = 5 +
Z q −1Ư(5) , từ đó tìm được y, x q −1 q −1 b) 3 b a + a
3 2 + 5 = 5  a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà c
a + 3 = 5  a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1) b 1 − 5 −1 2  a =
Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5b – 1 - 1 không chia c 1 5 −
hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1  a = 2 và b = 2
Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 2 p 2 p 2 5 + 2013 = 5 + q HD : 2 2 2 p 2 p 2 2 p p 2 5 + 2013 = 5 +  2013− = 25 − 25  2013− = 25p (25p q q q −1) Do p nguyên tố nên 2 2
2013 − q 25 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q
Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n −1 chia hết cho 7
HD : Với n < 3 thì 2n không chia hết cho 7
Với n  3 khi đó n = 3k hoặc n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 ( * k N )
Xét n = 3k , khi đó 2n -1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7.A + 1 -1 = 7.A 7
Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 không chia hết cho 7
Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 -1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không
chia hết cho 7 . Vậy n = 3k với * k N
* Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết:
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m −1  3
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Nếu m < -2 thì m −1  2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m { -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để m −1 2m +1 2(m −1) 2m +1 (2m +1) − 3 2m +1 3 2m +1 2 − 4 m = 0
b) 3m −1  3  - 3 < 3m – 1 < 3   m   vì m nguyên 3 3  m =1
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6 x +1 chia hÕt cho 2 x − 3
b) T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
A = 1− 2x . HD: A = 1− 2x = 1− 2(x + 3) + 6 7 = − 2 x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
Bài 3: Tìm x nguyên để 2012 x + 5 1006 x +1
HD : 2012 x + 5 = 2(1006 x +1) + 2009 2009 = 2 + 1006 x +1 1006 x +1 1006 x +1 12
để 2012 x + 5  2009 1006 x +1 x là số CP. 1006 x +1
Với x >1 và x là số CP thì 1006 x +1  2012  2009 suy ra 2009 không chia
hết cho 1006 x +1
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì 2009 :1006 x +1 = 2009
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
* a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
*A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A
* A  0, A
, − A  0, A
* A + B A + B , ,
A B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
* A − B A − B , ,
A B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b
Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010
Do ( x - 1)2  0 với mọi x , nên P(x)  2010 . Vậy Min P(x) = 2010 khi ( x - 1)2 = 0 hay x = 1
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500  - 3500 với mọi x Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) 2
HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x. b + b b 2 ( ) ) + ( c - ) 2a 2a 4a 2 2 2 = a( b 4ac − b 4ac − b 4ac − b b 2 x + ) + ( )  , x  Vậy Min P(x) = khi x = − 2a 4a 4a 4a 2a
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2 HD : a) A = - a2 + 3a + 4 = 3 3 9 3 25 2 2 2 −(a − 2. . a
+ ( ) ) + (4 + ) = −(a − ) + 2 2 4 2 4 Do 3
−(a − )  0, a  nên A 25  , a
 . Vậy Max A = 25 khi a = 3 2 4 4 2 c) B = 2 2 2 2
2x − x = −(x − 2. .1
x +1 ) +1 = −(x −1) +1 . Do −(x −1)  0, x
  B  1, x  Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 2012 a) P = 2012 b) Q = a + 2013 2 x + 4x + 2013 2012 a + 2011 13
* Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, - A2n 0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012
b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) do 2
(x − 2 y)  0, x  , y và 2012 ( y − 2012)  0, y
 suy ra : P  0 với mọi x,y x − 2y = 0 x = 4024  Min P = 0 khi    y − 2012 = 0 y = 2012 b) Ta có 4
(x + y − 3)  0. x  , y và 2
(x − 2 y)  0. x
 , y suy ra : Q  2012 với mọi x,y 2
(x + y −3) = 0 x = 2  Min Q = 2012 khi    2
(x − 2y) = 0 y =1
Bài 3 : Tìm GTLN của R = 2013 4 2
(x − 2) + (x − y) + 3 3 x + 2
Bài 4 : Cho phân số: C = (x  Z) 4 x − 5
a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x  Z để C là số tự nhiên. 3 x + 2 3 4.(3 x + 2) 3 12 x + 8 HD : 3 23 C = = . = . = .(1+ ) 4 x − 5 4 3.(4 x − 5) 4 12 x −15 4 12 x −15 C lớn nhất khi 23
lớn nhất 12 x −15 nhỏ nhất và 12 x −15  0  x = 2 12 x −15 Vậy Max C = 3 23 8 (1+ ) = khi x = 2 4 9 3
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè 7n − 8 cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n − 3
HD : Ta có 7n −8 7 2(7n −8) 7 14n −16 7 5 = . = . = (1+ ) 2n − 3 2 7(2n − 3) 2 14n − 21 2 14n − 21
Để 7n − 8 lớn nhất thì 5
lớn nhất  14n − 21  0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ 2n − 3 14n − 21 nhất 21 3  n
= và n nhỏ nhất  n = 2 14 2
* Dạng vận dụng A  0, A
, − A  0, A
A + B A + B , ,
A B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
A − B A − B , ,
A B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)2 + y − x + 3 b) B = 2011 2012 − x − 2010 HD: a) ta có 2
(x − 2)  0 với mọi x và y − x  0 với mọi x,y  A  3 với mọi x,y 2
(x − 2) = 0 x = 2
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi     y − x = 0  y = 2 14
b) Ta có − x − 2010  0 với mọi x  2012 − x − 2010  2012 với mọi x  2011 B B
với mọi x, suy ra Min B = 2011 khi x = 2010 2012 2012
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = x − 2011 + x − 2012
b) B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012
c) C = x −1 + x − 2 +.....+ x −100
HD : a) Ta có A = x − 2011 + x − 2012 = x − 2011 + 2012 − x x − 2011+ 2012 − x = 1
với mọi x  A  1 với x . Vậy Min A = 1 Khi (x − 2011)(2012 − x)  0  2011 x  2012
b) ta có B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011
Do x − 2010 + 2012 − x x − 2010 + 2012 − x = 2 với mọi x (1)
Và x − 2011  0 với mọi x (2)
Suy ra B = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011  2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)
(x − 2010)(2012 − x)  0 xẩy ra dấu “=” hay   x = 2011 x − 2011 = 0 c) Ta có
x −1 + x − 2 + .....+ x −100 = ( x −1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + .....+ ( x − 50 + 56 − x )
x −1+100 − x + x − 2 + 99 − x + ....+ x − 50 + 56 − x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C  2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
(x −1)(100 − x)  0 1   x  100  (x 2)(99 x) 0  − −  2  x  99     50  x  56 ............................ ................  
(x −50)(56− x)  0 50   x  56
Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng
* Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
* Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
* Tính chất chia hết của một tổng
2. Bài tập vận dụng:
Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : n+2 n+2 3 − 2
+ 3n − 2n chia hết cho 10 HD: ta có n+2 n+2 3 − 2
+ 3n − 2n = n+2 n n+2 3 + 3 − 2 − 2n = n 2 n 2 3 (3 +1) − 2 (2 +1) = n n n n 1 3 10 2 5 3 10 2 −  −  =  − 10 = 10( 3n -2n) Vậy n+2 n+2 3 − 2
+ 3n − 2n 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng: 15
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
= 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n  N* và p là số nguyên tố thoả mãn: p = m + n (1) m −1 p
Chứng minh rằng : p2 = n + 2
HD : + Nếu m + n chia hết cho p  p (m −1) do p là số nguyên tố và m, n  N*
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
+ Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1)  (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n  N*  m – 1 = p2 và m + n =1
 m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè A = 101998 − 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: 38 33
A = 36 + 41 chia hÕt cho 7
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không) 4 = 3.1 + 1
Suy ra : A = 101998 − 4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9
b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k  N*)
4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) Suy ra : 38 33
A = 36 + 41 = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7 Bài 5 :
a) Chứng minh rằng: n+2 n+ 4 n n 3 − 2
+ 3 + 2 chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 nếu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z)
Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a + 2b 17  10a + b 17 (a, b  Z )
b) Cho đa thức f (x = ax2 )
+ bx + c (a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta có 17a – 34 b 17 và 3a + 2b 17 17a − 34b + 3a + 2b 17  2(10a −16b) 17
 10a −16b 17 vì (2, 7) = 1  10a +17b −16b 17  10a + b 17
b) Ta có f(0) = c do f(0) 3  c 3
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết
cho 3  2b 3  b 3 vì ( 2, 3) = 1
f(1) 3  a + b + c 3 do b và c chia hết cho 3  a 3
Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 2006
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng 10 + 53 lµ mét sè tù nhiên 9
b) Cho 2n +1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n −1 lµ hîp sè
HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và 2n +1 lµ
sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số 16
Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức
1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <…. < an thì n a1 < a1 + a2 + … + an < nan 1 1 1 1 1   + +.....+  na a a a na n 1 2 n 1
* a(a – 1) < a2 < a( a+1) 1 1 1    2 a(a +1) a a(a −1)
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 , * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b 2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: a b c M = + +
không là số nguyên.
a + b b + c c + a HD : Ta có a b c a b c a + b + c M = + +  + + = =1
a + b b + c c + a
a + b + c c + a + b a + b + c a + b + cM 1 Mặt khác a b c
(a + b) − b (b + c) − c (c + a) − a M = + + = + +
a + b b + c c + a a + b b + c c + a b c a 3 − ( + +
) = 3 – N Do N >1 nên M < 2
a + b b + c c + a
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : a + b  2 ab (1) , 3
a + b + c  3 abc (2) với a, b, c  0
HD : a + b  2 ab 2 2 2 2 2 2
 (a + b)  4ab a + 2ab + b  4ab a − 2ab + b  0  (a − b)  0 (*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng a) 1 1
(a + b)( + )  4 (1) b) 1 1 1
(a + b + c)( + + )  9 (2) a b a b c HD : a) Cách 1 : Từ 1 1 2 2
(a + b)( + )  4  (a + b)  4ab  (a − b)  0 (*) a b 17
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
Cách 2: Ta có a + b  2 ab và 1 1 2 +  1 1 2
 (a + b)( + )  2 ab. = 4 a b ab a b ab
Dấu “ =” xẩy ra khi a = b b) Ta có : 1 1 1
b + c a + c a + b a b b c a c
(a + b + c)( + + ) = 3 + + + = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c a b c b a c b c a Lại có a b b c a c +  2; +  2; +  2 b a c b c a Suy ra 1 1 1
(a + b + c)( + + )  3 + 2 + 2 + 2 = 9 Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c a b c
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: x y z 3 + + 
2x + y + z
2y + z + x
2z + x + y 4
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab + bc + ca  0 .
HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được ab + bc + ca  0
Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)
Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)
HD : ta có P(1) = 100  a + b + c + d = 100
P(-1) = 50  - a + b – c + d = 50 P( 0) = 1  d = 1 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x)
Bài 2 : Cho f (x = ax2 )
+ bx + c với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng: f (−2). f ) 3
(  0 . Biết rằng 13a + b + 2c = 0
HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2  0
Bài 3 Cho đa thức f (x = ax2 )
+ bx + c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1);
f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên  c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên
 a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên  2a , 2b nguyên
Bài 4 Chứng minh rằng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có giá trị nguyên với mọi x nguyên
khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d 18
Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x  d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số
nguyên . Do d nguyên  a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b
nguyên 2b nguyên  6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.
Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = 2 2004 2 2005 3 ( − 4x + x ) . 3 ( + 4x + x )
HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + …..+ a4018x4018
Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018
do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = 0
Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức: 2011 2010 2009 2008 2 x − 2012x + 2012x − 2012x
+....− 2012x + 2012x −1 HD : Đặt A = 2011 2010 2009 2008 2 x − 2012x + 2012x − 2012x
+....− 2012x + 2012x −1 2010 2009 2008 x
(x − 2011) − x
(x − 2011) − x
(x − 2011) + .... − x(x − 2011) + x −1
tại x = 2012 thì A = 2011
Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế
1. Kiến thức vận dụng
- Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận :
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi : y = k.x  y y y y 1 2 3 = = = ..... n =
= k ( k là hệ số tỉ lệ ) x x x x 1 2 3 n
- Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :
x.y = a  x .y = x .y = x .y = ...... = x .y = a ( a là hệ số tỉ lệ ) 1 1 2 2 3 3 n n
- Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
2. Bài tập vận dụng *Phương pháp giải :
- Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán
- Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm
- Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
- Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển
động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc
3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A
trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng
được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau.
Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa
quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A.
Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? 19
Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn
thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ
là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ
hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB
lần lượt là : 40 phút, 5 giờ , 5 giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ? 8 9 PHẦN HÌNH HỌC I.
Một số phương pháp chứng minh hình hoc
1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
- Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
- Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
- Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác
3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc
- Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm )
P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác
6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào
một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa D
cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT E tam giác 1
- Dựa vào định lí về quan hệ giữa A
đường xiên và hình chiếu, đường
xiên và đường vuông góc . 1 II.
Bài tập vận dụng I
Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ 2 K
ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD 1 B 20 C

Tài liệu liên quan: