Các dạng bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9 Cánh Diều

Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn Cho góc nhọn α ( 0 0
0 < α < 90 ) . Xét A
∆ BC vuông tại A có  ABC = α .
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α , kí hiệu sinα sinα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α , kí hiệu cosα cos AB α = BC
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α , kí hiệu tanα tanα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu cotα cotα BC = AC
Chú ý: Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng 0 90 . Nhận xét: Với 0 0 0 < α < 90 , ta có: • 0 sin(90 −α) = cosα • 0 cos(90 −α) = sinα • 0 tan(90 −α) = cotα • 0 cot(90 −α) = tanα Trang 1
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: α 0 30 0 45 0 60 sinα 1 2 2 3 2 2 1 cosα 3 2 2 2 2 tanα 3 1 3 3 cotα 3 1 3 3 Trang 2
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα α • sin tanα = cosα α • cos cotα = sinα • 2 2 sin α + cos α =1 • tanα.cotα =1 • 1 2 1+ tan α = 2 cos α • 1 2 1+ cot α = 2 sin α
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết: a) 3 sinα = b) 12 cosα = c) 4 tanα = 5 13 3
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết: a) sinα = cosα b) tanα = cotα
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 0 2 0 3 0
A = 4 − sin 45 + 2cos 60 − 3cot 45 b) 0 0 0
B = tan 45 .cos30 .cot 30 c) 2 0 2 0 2 0
C = cos 15 + cos 25 +...+ cos 75 d) 2 0 2 0 2 0
D = sin 10 + sin 20 +...+ sin 80
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau 0 0 2024 0 0 0 0 a) sin 30 2cos 45 3tan 45 A + − = b) sin 30 .cos60 .cot 60 B = 0 cos60 0 tan 45
Bài 5. Cho  là góc nhọn, biết 3 sin   . Tính cos ;  tan ;  cot 2 Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2
A  cos 20  cos 40  cos 50  cos 70 . Trang 3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
b) Rút gọn biểu thứcB  sin 35  sin 67  cos23  cos 55 .
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a) sin 70,cos 30,cos 40,sin 51
b) sin20,cos 31,cos 47,sin14 .
c) tan 30,cot34,cot46, tan 81
d) cot25, tan 65,cot35, n ta 75 .
Bài 8. Cho tan   2. Tính
sin   cos  A 
sin   cos 
Bài 9. Biết tan   2. Tính giá trị của biểu thức : 2 2
A  sin   2 sin  cos   3 cos a.
Bài 10. Cho  là góc nhọn tính giá trị của biểu thức 6 2 2 6
E  sin   3 sin .
 cos   cos  Trang 4
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC =1,2c ;
m AC = 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A .
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = a 5, BC = a 3 , AC = a 2
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =1,6c ;
m AC =1,2cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C .
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 60m ;
m AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng cos B = 0,6
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tính sin B,sinC a) AB =13c , m BH = 5cm b) BH = 3c , m CH = 4cm Trang 5
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 3 BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao 6m . Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút).
Bài 2. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính  BCA (làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất B 6 A 3,5 C
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc α . Cho biết tòa nhà cao 21m và
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc α (làm tròn đến phút) . Trang 6
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc α tạo bởi thang với bức tường. C
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km . Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)? Trang 7
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 4
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC),  0
C = α < 45 , đường trung tuyến AM , đường cao
AH , MA = MB = MC = a . Chứng minh rằng: a) sin 2α = 2sinα.cosα b) 2 1+ cos 2α = 2cos α c) 2 1− cos 2α = 2sin α
Bài 2. Cho tam giác nhọn HD
ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết 1  . Chứng HA 2
minh rằng tanB.cotC  3 . Bài 3. Cho tam giác A a
ABC có BC  a,AC  ,
b AB  c . Chứng minh rằng: sin  . 2 b  c
Bài 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC  a,AC  ,
b AB  c . Chứng minh rằng: a b c   . sin A sin B sinC
Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A, Chứng minh rằng: AC sin B  . AB sinC Trang 8
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều CHƯƠNG 4
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn Cho góc nhọn α ( 0 0
0 < α < 90 ) . Xét A
∆ BC vuông tại A có  ABC = α .
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn α Công thức
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α , kí hiệu sinα sinα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α , kí hiệu cosα cos AB α = BC
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α , kí hiệu tanα tanα AC = BC
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu cotα cotα BC = AC
Chú ý: Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc phụ nhau là hai góc nhọn có tổng bằng 0 90 .
Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Nhận xét: Với 0 0 0 < α < 90 , ta có: • 0 sin(90 −α) = cosα • 0 cos(90 −α) = sinα • 0 tan(90 −α) = cotα • 0 cot(90 −α) = tanα Trang 1
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
Bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt: α 0 30 0 45 0 60 sinα 1 2 2 3 2 2 1 cosα 3 2 2 2 2 tanα 3 1 3 3 cotα 3 1 3 3 Trang 2
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 1
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC
Với góc nhọn α , ta có:
• 0 < sinα <1; 0 < cosα <1 • 1 cotα = tanα α • sin tanα = cosα α • cos cotα = sinα • 2 2 sin α + cos α =1 • tanα.cotα =1 • 1 2 1+ tan α = 2 cos α • 1 2 1+ cot α = 2 sin α
Bài 1. Tìm các tỉ số lượng giác còn lại của góc α, biết: a) 3 sinα = b) 12 cosα = c) 4 tanα = 5 13 3 Lời giải a) Ta có: 2 2 2 16 4 sin α + cos α =1⇒ cos α = ⇒ cosα = (cosα > 0) 25 5 sinα 3 tanα = = cosα 4 cosα 4 cotα = = sinα 3 b) Ta có: 2 2 2 2 12  2 25 5
sin α + cos α =1⇒ sin α =1− ⇔ sin α = ⇒ sinα = (sinα >   0) 13  169 13 sinα 5 tanα = = cosα 12 cosα 12 cotα = = sinα 5 Trang 3
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều c) Ta có: 2 2 1 1  4  1 25 2 9 3 1+ tan α = ⇔ = 1+ ⇔ = ⇔ cos α = ⇒ cosα = (cosα >   0) 2 2 2 cos α cos α  3  cos α 9 25 5 1 3 tanα.cotα =1 ⇔ cotα = = tanα 4 3 4 4 sinα = cosα tanα = . = 5 3 5
Bài 2. Tìm góc nhọn α, biết: a) sinα = cosα b) tanα = cotα Lời giải a) Ta có: α = α ⇒ α = ( 0 sin cos sin sin 90 −α ) 0 0 ⇔ α = 90 −α ⇒ α = 45 b) Ta có: α = α ⇒ α = ( 0 tan cot tan tan 90 −α ) 0 0 ⇔ α = 90 −α ⇒ α = 45
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau a) 2 0 2 0 3 0
A = 4 − sin 45 + 2cos 60 − 3cot 45 b) 0 0 0
B = tan 45 .cos30 .cot 30 c) 2 0 2 0 2 0
C = cos 15 + cos 25 +...+ cos 75 d) 2 0 2 0 2 0
D = sin 10 + sin 20 +...+ sin 80 Lời giải a) Ta có: 2 2   2 0 2 0 3 0 2  1
A 4 sin 45 2cos 60 3cot 45 4   2.  = − + − = − + −     3 =1 2    2  b) Ta có: 0 0 0 3 3
B = tan 45 .cos30 .cot 30 =1. . 3 = 2 2 c) Ta có: 2   2 0 2 0 2 0 C = + + + = ( 2 0 2 0 + ) 2 0 2 7 cos 15 cos 25 ... cos 75
cos 15 cos 75 +...+ cos 45 =1+1+1+   =  2  2   d) Ta có: 2 0 2 0 2 0 D = + + + = ( 2 0 2 0 + )+ +( 2 0 2 0 sin 10 sin 20 ... sin 80 sin 10 cos 10
... sin 40 + cos 40 ) =1+1+1+1= 4 Trang 4
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau 0 0 2024 0 0 0 0 a) sin 30 2cos 45 3tan 45 A + − = b) sin 30 .cos60 .cot 60 B = 0 cos60 0 tan 45
Bài 5. Cho  là góc nhọn, biết 3 sin   . Tính cos ;  tan ;  cot 2 Bài 6.
a) Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2
A  cos 20  cos 40  cos 50  cos 70 .
b) Rút gọn biểu thứcB  sin 35  sin 67  cos23  cos 55 .
Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.
a) sin 70,cos 30,cos 40,sin 51
b) sin20,cos 31,cos 47,sin14 .
c) tan 30,cot34,cot46, tan 81
d) cot25, tan 65,cot35, n ta 75 .
Bài 8. Cho tan   2. Tính
sin   cos  A 
sin   cos 
Bài 9. Biết tan   2. Tính giá trị của biểu thức : 2 2
A  sin   2 sin  cos   3 cos a.
Bài 10. Cho  là góc nhọn tính giá trị của biểu thức 6 2 2 6
E  sin   3 sin .
 cos   cos  Trang 5
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 2
TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC =1,2c ;
m AC = 0,9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A . Lời giải A 0,9 C 1,2 B
tam giác ABC vuông tại C nên theo Pythagone ta có: 2 2 2 9 3
AB = AC + BC = ⇒ AB = 4 2 Ta có: AC 3 sin B = = AB 5 BC 4 cos B = = AB 5 AC 3 tan B = = CB 4 BC 4 cot B = = AC 3 Do  +  0 A B = 90 nên: 4 sin A = cos B = 5 3 cos A = sin B = 5 4 tan A = cot B = 3 3 cot A = tan B = 4
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = a 5, BC = a 3 , AC = a 2
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B , từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A Lời giải Trang 6
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều A C B a) ta có: 2 2 AB = 5a 2 2 2 2 2
AC + BC = 3a + 2a = 5a 2 2 2
⇒ AB = AC + BC ⇒ A
∆ BC vuông tại C (định lý Pythagone đảo). b) Ta có: AC a 2 6 sin B = = = AB a 5 5 BC a 3 15 cos B = = = AB a 5 5 AC a 2 6 tan B = = = CB a 3 3 BC a 3 6 cot B = = = AC a 2 2 Do  +  0 A B = 90 nên: 15 sin A = cos B = 5 6 cos A = sin B = 5 6 tan A = cot B = 2 6 cot A = tan B = 3
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =1,6c ;
m AC =1,2cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc
B , từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . Lời giải Trang 7
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều C 1,2 A 1,6 B Ta có: 3 4 3 4
sin B = ;cos B = ;tan B = ;cot B = 5 5 4 3 4 3 4 3
⇒ sin C = ;cosC = ;tan C = ;cot C = 5 5 3 4
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 60m ;
m AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C Lời giải A 6 8 B C Ta có: 8 4 6 3 8 4 3 sin B = = ;cos B =
= ;tan B = = ;cot B = 10 5 10 5 6 3 4 3 4 3 4
⇒ sin C = ;cos B = ;tan B = ;cot B = . 5 5 4 3
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C biết rằng cos B = 0,6 Lời giải A B C Ta có: 2 2 2 2 2
sin B + cos B =1⇒ sin B + 0,6 =1⇒ sin B = 0,64 ⇒ sin B = 0,8 sin B 0,8 4 tan B = = = cos B 0,6 3 cos B 0,6 3 cot B = = = sin B 0,8 4 Do  +  0 C B = 90 nên:
sin C = cos B = 0,6 Trang 8
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
cosC = sin B = 0,8 3 tan C = cot B = 4 4 cot C = tan B = 3
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Tính sin B,sinC a) AB =13c , m BH = 5cm b) BH = 3c , m CH = 4cm Lời giải A B H C
a) Ta có: AB =13c ,
m BH = 5cm ⇒ AH ⇒ BC ⇒ sin B,sin C
b) Ta có: BH = 3c ,
m CH = 4cm ⇒ AH ⇒ AB, AC ⇒ sin B,sin C Trang 9
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều DẠNG 3 BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài 1. Một cây cau có chiều cao 6m . Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang
tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút). Lời giải Xét A
∆ BC vuông tại A , ta có: AC 6 3 sin B =
= = (tỉ số lượng giác của góc nhọn) BC 8 4 B 48°35′ ⇒ ≈
Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 0 48 35′ .
Bài 2. Một cột đèn điện AB cao 6m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5m. Hãy tính  BCA (làm tròn
đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất Trang 10
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều B 6 A 3,5 C Lời giải B 6 A 3,5 C
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AB 6 = = ⇒  0 tan C C ≈ 59 45' AC 3,5
Bài 3. Tia nắng chiếu qua nóc của tòa nhà hợp với mặt đất một góc α . Cho biết tòa nhà cao 21m và
bóng của nó trên mặt đất dài 15m. Tính góc α (làm tròn đến phút) . Lời giải A C B Trang 11
Hình học 9 - Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông – Tự luận có lời giải Cánh Diều
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AC 21 = = ⇒  0 tan B C ≈ 54 28' CB 15
Bài 4. Một cái thang dài 6m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 3m. Tính
góc α tạo bởi thang với bức tường. C Lời giải
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có:  AC 3 1 = = = ⇒  0 sin B B = 30 AB 6 2
Bài 5. Một máy bay đang bay ở độ cao 12 km . Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay
tạo một góc nghiêng so với mặt đất. Nếu cách sân bay 320 km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng
là bao nhiêu (làm tròn đến phút)? Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ABC , ta có: AC 12 3 sin B = = = BC 320 80 B 2°9′ ⇒ ≈
Vậy góc nghiêng là 2°9′ . Trang 12