Các dạng bài tập tính giới hạn | Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN
 Đây là phần cơ bản nhất của Giải Tích I các bạn nên nắm chắc để áp dụng cho các dạng bài tập về sau
 Bước đầu tiên khi làm một câu giới hạn là lấy số x tiến tới thay vào biểu thức tính lim để phân dạng ^^
 VD: lim  1 x  x  thay x   vào biểu thức ta được  1         x
 Câu này thuộc dạng   
 Có tất cả 5 dạng tính lim bất định cần nhớ
 Khi ta thay x vào mà có thể tính được giá trị của bt thì đó chính là giá trị của lim 100 x  2x 1  2   VD: lim    5   x 1  x  2x 1  0 
DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP DẠNG      1, Cách giải
- Về dạng này các bạn đã gặp nhiều ở lớp 11 cách giải vẫn không thay đổi
- Ta thường dùng cách nhân liên hợp 2, Ví dụ
Tính lim  1 x  x  x
 Thay x   vào ta thấy dạng    => Nhân liên hợp  x  x   x  x 1 1 lim 1  lim  lim  0 x  x  1 x  x  x  1  x  x 3, Bài tập: a  2x x  x      b 3 3 2 ) lim 2 5 ) lim x x 1 x x x  
DẠNG 2: CÁC BÀI TẬP DẠNG 0  , 0  1, Cách giải
- Dạng này ta áp dụng quy tắc L’Hospital f x  f 'x  - Quy tắc L’Hospital: lim  lim x x x x g x g ' x 0   0  
- Có thể áp dụng L’Hospital nhiều lần để đưa biểu thức tính lim về dạng dễ tính  3 x  2x  5 2, Ví dụ Tính lim 3 x 2x  9x  3 
 Thay x   vào ta thấy dạng => L’  3 L ' x  2x  5 6x 6 1
 L’ 2 lần ta được lim  lim  lim  3
x 2x  9x  3 x 12x x 12 2 3, Bài tập arctan 2x  2arctan x sin x a)lim (K 60) b)lim (K 59) 3 3x x 0  x 0 x  e 1
DẠNG 3: CÁC BÀI TẬP DẠNG 0. 1, Cách giải  0 0 0.    - 1 /  0 Ta có 
=> đưa về được dạng 2   0.    1 / 0  - Cách làm tương tự  2 2, Ví dụ Tính lim x ln .arctanx    x    
 Thay x vào ta thấy dạng 0.
 Ta sẽ ưu tiên để ln trên tử để sử dụng L’ dễ dàng  2  1 1 ln  .arctan x  .  2 2    1  x arctan lim x ln .arctan x  lim  lim x   1 x  x x  x  1   2 x 2 x 2   lim  x   2 1 x arctan x  3, Bài tập   x  a)lim tan ln 2  x b) lim ln x.ln x   1      x 1 x 1  2    
Dạng 4: Tính giới hạn bằng phương pháp thay thế vô cùng bé(VCB),
vô cùng lớn(VCL); ngắt bỏ VCB bậc cao, VCL bậc thấp 1, Cách giải
- Phương pháp này rất quan trọng các bạn cần phải nắm vững sau này có thế áp
dụng cho rất nhiều bài tập.
- Một số VCB tương đương khi x  0 ( Học thuộc) x  x a 1
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(x 1) ~ e 1 ~ lna 2 x 1 cos x ~ 1  x 1  ~  x 2
- Quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL
+ VCB: Nếu f(x) bậc cao h(x) thì f (x)  g(x) ~ g( ) x Làm ví dụ cho dễ hiểu 4 8 x  x  x x 1  lim  lim  8 x 0 2x  sin x x 0 2x 2  Vì khi x  0 thì 4 8
x  0 x  0 x  0 vì x bậc thấp nhất nên ta ngắt 4 8 x x
+ VCL: Ta ngắt bỏ ngược với VCB 4 4 x  3x x 1 Ví dụ: lim  lim  4 2 4 x 2x  x x 2x 2
2, Ví dụ dùng VCB tương đương Tính các giới hạn sau 3 x 2 sin x arctan x     2 1 e 1 x ) a lim ) b lim ) c lim x 1  cos d)lim 3x 2   x 0  e 1 x 0  2x  x x  x x 0   xtan x sin x a) lim 3 0 x x e  1
 Cách 1: Thay x  0 vào thấy dạng 0/0 => dùng L’  x x
Cách 2: Thay x  0 vào thấy 3
sin x  0 e 1  0 => sin x và 3 e 1  0 là 2 VCB  Vậy 3 sin ~ ; x x x e  1 ~ 3x  sin x x 1 Nên lim  lim  3 0 x x  x 0 e 1  3x 3 arctan x b) lim 2 x 0  2x  x  Cách 1: ………
 Cách 2: Nhìn mẫu có tổng của 2 cái tiến tới 0 => Ngắt bỏ VCB trước arctan x arctan x  lim  lim 2 x 0 x 0 2x  x 2x
 Thay x  0 thấy arctan x  0 => arctan x là VCB  arctan x ~ x arctan x arctan x x 1  lim  lim  lim  2 x 0  x 0 x 0 2x x 2 x 2 x 2
 => Nên ngắt bỏ VCB trước khi thay thế VCB   c) 2 1 lim x 1 cos   x  x   Cách 1:…….. 1
 Cách 2: câu này để ý một chút khi thay x   thì  0 x 2  1  2 X 1 1     x  Ta có 1 cos X ~
khi X  0 ở đây có   0 nên 1 cos ~ 2 x x 2 2  1  1  x      1  2 2 lim x 1   cos   lim x  x  x  x   2 2
 => VCB không nhất thiết phải là x nó có thể thay thế cả biểu thức nếu biểu
thức đó tiến tới 0 khi x  0 3 x 2 e  1 x d) lim x 0  x tan x  Cách 1:…….  x Cách 2: Ta thấy 3
e 1 và tan x là 2 VCB có thể thay thế nhưng trên tử là 3 x 2
e 1  x về nguyên tắc chúng ta không thể thay thể VCB vào tổng được nên ta
tách làm 2 lim rồi thay thế VCB 3 3 x 2 x 2 3 2 e 1 x e 1 x x x  lim  lim  lim  lim  lim  1 x 0 x0 x 0  x 0 x 0 x tan x x tan x x tan x x.x x.x
 => Nếu muốn thay thế VCB vào tổng thì tách ra thành 2 lim 3, Chú ý
 Chỉ được thay thế VCB khi VCB đứng 1 mình hoặc trong tích nếu muốn thay vào
tổng phải tách thành 2 lim
 Không được thay VCB vào hiệu tan x  sin x VD: lim 3 x0 x tan x  sin x x  x
+ Cách giải sai thay thế VCB trực tiếp lim  lim  0 3 3 x0 x0 x x + Cách 2:  1   1  1 2 sin x 1   1     x tan x  sin x  cos x   cos x  1  cos x 1 2 lim  lim  lim  lim  lim  3 3 2 2 2 x 0  x 0  x 0  x 0  x 0 x x x x cosx  x cosx 2 Vậy cách 1 sai sml ^^ 4, Bài tập arctan xln  2 1  2x  a)lim 3 x 0  x x 2 2  x  ln x  4.3x b) lim 2
 x  x  2ln x  5.2x  2.3x x 2 3
x sin x  tan x  arcsin x4 c)lim x 
2x  3x  2 arctan x 2 3 0 2 3 4 x.sin 3x.tan x.arcsin x sin 3x.sin 2x d)lim ) e lim 5 4 x sin 2x.arcsin . x arctan 2 x x  x x 2 0 0 3
DẠNG 4: CÁC BÀI TẬP DẠNG  0 0 1 ,0 ,  1, Cách giải a) Dạng 1 :
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim l v n u u 1  lim v v u  e  u 1  v  Sau đó dùng VCB b) Dạng 0  và 0 0
 Ta học thuộc công thức biến đổi sau lim vln u u  v v  0 lim u  e u v0  Sau đó dùng L’  Dạng 0 0 tương tự 2, Ví dụ 2 x5 2 x 2  x  2   1  Tính a) lim  b) lim1   c)lim x x x   x     x 0 x 1 x 5   2 x5  x  2  a) lim   x  x  1 
 Thay x   thấy dạng 1 lim l v n u u 1   v Ốp công thức lim v u  e  u 1  v  2 x5  x    lim2 x 5   2 ln     lim2 x5 1 ln1 x 2     x x  x 1     x 1 lim  e  e     x x  1  1  1   Khi x   thấy  0 vậy ln 1    là 1 VCB x 1  x 1  2 x 5     x  x 2      x   1  2 x 5 lim 2 5 ln lim 2 5 ln 1       lim x 2   x  x1 x   x1 x x 1  2 lim  e  e  e  e   x x  1  1 x  2
 Ta thấy sau khi thay thế VCB được 
 1 nên dạng 1 có công thức x  1 x  1 lim  v u  1 u 1  giải nhanh lim v v u  e  u 1  v 2  1 x b)  lim 1   x  x  5 
 Thay x   thấy dạng 1 2x 1 lim 2x.  1 
 Ốp công thức ta được x   2 x 5 lim 1   e  e   x  x  5  c) 2 lim x x x 0 
 Thay x  0 thấy dạng 0 0
 Ốp công thức ta được 2 2 limx lnx x A x 0 lim x  e   e  1 x 0  1 3 L ' 2 ln x x x A lim x ln x  lim  lim  lim  0 2 3 x 0  x 0  x 0  x 0 x 2  x  2x 3, Bài tập 1    x  x a)lim  x e  x1x b) lim tan x 2 x 1 tan arcsin 2 ) c lim   x 0   x 0  x  1 sin x  2
DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG NGUYÊN LÝ KẸP VÀ HÀM BỊ CHẶN 1, Cách giải
a) Nguyên lý kẹp có g(x)  f (x)  h(x)
Mà lim g (x)  lim h(x)  a  lim f (x)  a x x  x x  xx 0 0 0 b) Hàm bị chặn
Nếu hàm số f (x) bị chặn và lim g( ) x  0 x x  0 Thì lim f (x )g (x )  0 x x  0 2, Ví dụ 1 Tính lim .s x in x0 x 1  sin 1 1  Ta có x   lim x.sin  0 0 lim  0 x x x   x0 