Các dạng bài trắc nghiệm giới hạn hàm số (có lời giải)

CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 1: [Mức độ 1] Giả sử lim f (x) = L . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? x® 0 x
A. lim f (x) = L . B. f (x) 3 3 lim
= L. C. lim f (x) = L. D. lim é- f ë (x)ù = - .L û x® x®x x®x ® 0 x 0 0 x 0 x Lời giải Chọn C
Theo định lý ta có lim f (x) = L nếu L > 0. x® 0 x 2 tan x +1
Câu 2: [Mức độ 2] Tính B = lim . p x® sin x +1 6 + A. + . ¥ B. . -¥ 4 3 6 C. . D. 1. 9 Lời giải Chọn C p 2 tan +1 2 tan x +1 4 3 + 6 Ta có 6 B = lim = lim = . p p ® + ® p x sin x 1 x 9 6 6 sin +1 6 3x + m
Câu 3: [Mức độ 2] Cho C = lim
. Tìm m để C = 5. x®2 x + 2 10 A. 3. B. 14. C. 10. D. . 3 Lời giải Chọn B
3x + m 6 + m Ta có: 5 = lim = Û m =14. x®2 x + 2 4 2 x + 2x +1
Câu 4: [Mức độ 2] Tính A = lim . 3 x 1 ®- 2x + 2 1 A. . -¥ B. 0. C. . D. + . ¥ 2 Lời giải Chọn B x + 2x +1 (x + )2 2 1 (x + ) 1 Ta có: A = lim = lim = lim = 0. 3 x®- 2x + 2 x®- 2( x + ) 1 ( 2 x - x + ) 1 x®- 2( 2 1 1 1 x - x + ) 1 4x +1 - 3
Câu 5: [Mức độ 2] Tính A = lim . 2 x®2 x - 4 1 A. 0. B. . C. 2. D. 2. - 6 Lời giải Chọn B Ta có: 4x +1 - 3 2 4x +1- 3 4( x - 2) A = lim = lim = lim 2 x®2 x - 4 x®2 ( 2
x - 4)( 4x +1 + 3) x®2 (x - 2)(x + 2)( 4x +1 + 3) Trang 1 4 1 = lim = .
x®2 (x + 2)( 4x +1+3) 6 x - 3
Câu 6: [Mức độ 2] Tính A = lim . x 3- ® 5x -15 1 1 A. . B. - . C. 0. D. . -¥ 5 5 Lời giải Chọn B x - 3 -(x - 3) æ 1 ö 1 Ta có: A = lim = lim = lim - = - . ç ÷ x 3- - x 3 5x 15 - 5( x - 3) x 3- ® ® ® è 5 ø 5
Câu 7: [Mức độ 1] Tính lim ( 2 x - x + 7). x 1 ®- A. 5 . B. 9. C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B.
Ta có: lim (x - x + 7) = (- )2 2 1 - (- ) 1 + 7 = 9.. x 1 ®- 2 x - 5x + 4
Câu 8: [Mức độ 2] Tính I = lim . 2 x 1 ® x -1 1 A. - 3 . B. - 1 . C. - 1 . D. - . 2 2 4 3 Lời giải Chọn B 2 x - 5x + 4 (x - )1(x - 4) x - 4 3 Ta có: I = lim = lim = lim = - . 2 x 1 ® x 1 x -1 ® ( x - ) 1 ( x + ) x 1 1 ® x +1 2 3 ì 3x + 2 - 2 ï , khi x > 2 ï
Câu 9: [Mức độ 3] Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x) x - 2 = í để 1
ïax + ,khi x £ 2 ïî 4
tồn tại lim f (x). x®2
A. a = 0 .
B. a = 3.
C. a = 2 . D. a = 1 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 3 + - + - f ( x) 3x 2 2 3x 2 2 * lim = lim = lim x®2+ x®2+ - x®2 x 2 + (x - 2)æ ö 3 ç (3x + 2)2 3 2 + 2 3x + 2 + 2 ÷ è ø 3 1 = lim = . x®2+ 3 ( x + )2 3 4 3 2 + 2 3x + 2 + 4 æ ö f (x) 1 1 * lim = lim ax + = 2a + . ç ÷ x 2- x 2- ® ® è 4 ø 4 1 1
YCBT Û lim f (x) = lim f (x) Û 2a + = Û a = 0. x 2- x 2+ ® ® 4 4 Trang 2
Câu 10: Cho các giới hạn: lim f (x) = 2; lim g ( x) = 3, hỏi lim 3 é f ë
(x)-4g(x)ù bằng û x® ® 0 x x 0 x x® 0 x A. 5 . B. 2 . C. 6 - . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có lim 3 é f ë
(x)-4g(x)ù = lim 3 f x - lim 4g x = 3lim f (x)- 4 lim g (x) = 6 - . û ( ) ( ) x® x®x x®x x®x x®x 0 x 0 0 0 0
Câu 11: Giá trị của lim( 2 2x - 3x + ) 1 bằng x 1 ® A. 2 . B. 1. C. +¥ . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: lim ( 2 2x - 3x + ) 1 = 0. x 1 ® x - 3
Câu 12: Tính giới hạn L = lim x 3 ® x + 3 A. L = -¥ . B. L = 0 . C. L = +¥ . D. L = 1. Lời giải Chọn B x - 3 3 - 3 Ta có L = lim = = 0. x®3 x + 3 3 + 3
Câu 13: Giá trị của lim( 2 3x - 2x + ) 1 bằng x 1 ® A. +¥ . B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải. Chọn B lim( 2 3x - 2x + ) 2 1 = 3.1 - 2.1+1 = 2.. x 1 ®
Câu 14: Giới hạn lim ( 2
x - x + 7) bằng x®-1 A. 5 . B. 9. C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có lim ( 2
x - x + 7) = (- )2 1 -(- ) 1 + 7 = 9. x 1 ®- 2 x - 2x + 3
Câu 15: Giới hạn lim bằng x 1 ® x +1 A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn A 2 2 x - 2x + 3 1 - 2.1+ 3 Ta có: lim = =1. x 1 ® x +1 1+1 x + 2
Câu 16: Tính giới hạn lim
ta được kết quả x®2 x -1 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn A x + 2 2 + 2 Dễ thấy lim = = 4. x®2 x -1 2 -1 Trang 3 Câu 17: 2
lim x - 4 bằng x® 3 A. 5 - . B. 1. C. 5 . D. 1 - . Lời giải Chọn B 2 lim x - 4 = 3- 4 =1. x® 3 x +1 Câu 18: lim bằng x 1 ® x + 2 1 2 A. +¥ . B. . C. . D. -¥ . 2 3 Lời giải Chọn C x +1 2 lim = . x 1 ® x + 2 3 3 2 x - 2x + 2023 Câu 19: Tính lim . x 1 ® 2x -1 A. 0 . B. -¥ . C. +¥ . D. 2021. Lời giải Chọn D 3 2 x - 2x + 2023 3 2 1 - 2.1 + 2023 lim = = 2022. x 1 ® 2x -1 2.1-1 2 2 x +1 - 5 x - 3 Câu 20: lim bằng x 2 ®- 2x + 3 1 1 A. . B. . C. 7 . D. 3. 3 7 Lời giải Chọn D 2 2 x +1 - 5 x - 3 2 - 5 Ta có lim = = 3. x 2 ®- 2x + 3 1 - x +1
Câu 21: Tìm giới hạn A = lim . 2 x 2 ®- x + x + 4 1 A. - . B. -¥ . C. +¥ . D. 1. 6 Lời giải Chọn A Ta có: Với x = 2 - ; 2 x + x + 4 ¹ 0 x +1 ( 2 - ) +1 1 Nên A = lim = = - . 2 x 2 ®- x + x + 4 ( 2 - )2 + ( 2 - ) + 4 6 x
Câu 22: Cho lim (x - 2) . Tính giới hạn đó. + 2 x®2 x - 4 A. +¥ . B. 1. C. 0 . D. -¥ . Lời giải Chọn C Trang 4 x 2 x(x - 2) (x - 2)x lim(x - 2) = lim = lim = 0. + 2 + 2 x®2 x - 4 x 2 - x 2 x 4 + ® ® x + 2 ì x + 4 - 2 ï khi x > 0 ï
Câu 23: Cho hàm số ( ) x f x = í
, m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có 1 ïmx + m + khi x £ 0 ïî 4
giới hạn tại x = 0 . 1 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 0 . D. m = - . 2 2 Lời giải: Chọn C Ta có: + - (x + 4) 2 - 2 x 1 1 f ( x) x 4 2 lim = lim = lim = lim = lim = . x 0+ x 0+ ® ® x x 0+ ®
x( x + 4 + 2) x 0+ ®
x( x + 4 + 2) x 0+ ® x + 4 + 2 4 æ ö f ( x) 1 1 lim = lim mx + m + = m + . ç ÷ x 0- x 0- ® ® è 4 ø 4
Hàm số đã cho có giới hạn tại x = 0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) x 0+ x 0- ® ® 1 1
Û = m + Û m = 0. 4 4
II. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 2
Câu 1: Tính giới hạn 4x +1 K = lim . x®-¥ x +1
A. K = 0 B. K = 1 C. K = 2 - D. K = 4 Lời giải Chọn C. 1 1 - + - + 2 x 4 4 2 2 + Ta có: 4x 1 = lim = lim x = lim x K = 2 - . x®-¥ x +1 x®-¥ x +1 x®-¥ 1 1+ x x - 3
Câu 2: Tính giới hạn L = lim . x®3 x + 3
A. L = -¥
B. L = 0
C. L = +¥ D. L = 1 Lời giải Chọn B. x - 3 3 - 3 Ta có L = lim = = 0. x®3 x + 3 3 + 3 -x - 3 Câu 3: lim bằng x®-¥ x + 2 -3 A. B. 3 - C. 1 - D. 1 2 Lời giải Chọn C. Trang 5 3 1 - - -x - 3 lim = lim x = 1. - x®-¥ x + 2 x®-¥ 2 1+ x 2 + + +
Câu 4: Tìm giới hạn x x 1 2x 1 D = lim . x®+¥ 3 3
2x + x +1 + x A. +¥ . B. -¥ 4 . C. . D. 0. 3 Lời giải Chọn A. æ ö 2 1 2 1 x ç 1+ + + ÷ 2 2 x x x Ta có: D lim è ø = = +¥. x®+¥ æ ö 2 2 1 1 1 3 x ç + + + ÷ 3 5 6 x x x x è ø Câu 5: ( 3 2
lim -x + x + 2) bằng x®+¥ A. 0 . B. -¥ . C. +¥ . D. 2 . Lời giải Chọn B. é æ öù lim ( 1 2 3 2
-x + x + 2) = lim ê( 3x). 1 - + + . ç 3 ÷ú x®+¥ x®+¥ ë è x x øû æ 1 2 ö Ta có: ( 3 lim x ) = +¥ và lim 1 - + + = 1 - . ç ÷ x®+¥ 3 x®+¥ è x x ø Vậy ( 3 2
lim -x + x + 2) = -¥ x®+¥ -x + 2
Câu 6: Tính N = lim . x®+¥ x +1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 1 - . Lời giải Chọn D. 2 1 - + -x + 2 Ta có = lim = lim x N = 1 - . x®+¥ x +1 x®+¥ 1 1+ x 3x - 2
Câu 7: Tính giới hạn I = lim . x®-¥ 2x +1 3 3 A. I = 2 -
B. I = -
C. I = 2 D. I = 2 2 Lời giải Chọn D. 2 3 - 3x - 2 3 Ta có = lim = lim x I = . x®-¥ 2x +1 x®-¥ 1 2 2 + x Câu 8: ( 3 2 lim x + 2x - ) 1 bằng x®+¥ Trang 6 A. 0 . B. 1. C. +¥ . D. -¥ Lời giải. Chọn C. æ 2 1 ö Ta có: lim ( 3 2 x + 2x - ) 3 1 = lim x 1+ - ç 3 ÷ x®+¥ x®+¥ è x x ø æ 2 1 ö Vì 3
lim x = +¥ và lim 1+ - =1 > 0 ç ÷ x®+¥ 3 x®+¥ è x x ø æ 2 1 ö Suy ra 3 lim x 1+ - = +¥ ç 3 ÷ x®+¥ è x x ø Vậy ( 3 2 lim x + 2x - ) 1 = +¥ x®+¥ 2x - 3
Câu 9: Tìm giới hạn lim . x®+¥ 1- 3x 2 2 A. . B. - 3 . C. - . D. 2 . 3 3 2 Lời giải Chọn B. 3 2x - 3 2 - 2 Ta có: lim = lim x = - . x®+¥ 1- 3x x®+¥ 1 3 - 3 x 5x - 3 Câu 10: Tính lim . x®-¥ 2 x - 5 3 3 A. . B. - . C. 5 . D. -5 . 5 5 Lời giải Chọn D. æ 3 ö æ 3 ö 3 x 5 - x 5 - 5 - 5x - 3 ç ÷ ç ÷ Ta có: lim x lim è x ø = lim è x ø = = lim = 5 - x®-¥ 2 x - 5 x®-¥ 5 x®-¥ 5 x®-¥ 5 . x 1- -x 1- - 1- 2 x 2 x 2 x Câu 11: Cho 2 lim
9x + ax + 3x = 2
- . Tính giá trị của a . x®-¥ ( ) A. 6 - . B. 12 . C. 6 . D. 12 - . Lời giải Chọn B. æ ax ö a a lim
x + ax + x = ç ÷ = = - x®-¥ ( 2 9 3 ) lim lim x®-¥ 2 è 9x + ax - 3 x x ®-¥ ø a 6 - 9 + - 3 x a Þ - = 2 - Û a =12. 6
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 4 4 4 4 A. x - x x - x x - x x - x lim = +¥. B. lim =1. C. lim = -¥. D. lim = 0. x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x Lời giải Trang 7 Chọn A. 2 1 2 1 - - - - 4 . x x x x - x Vì lim = lim x = lim
x = +¥. Vậy A đúng. x®-¥ 1- 2 x x ®-¥ æ 1 x®-¥ ö 1 x - 2 - 2 ç ÷ è x ø x 2 1- 4x - x + 5 2 Câu 13: Cho biết lim
= . Giá trị của a bằng x®-¥ a x + 2 3 2 4 A. 3 . B. - . C. 3 - . D. . 3 3 Lời giải Chọn C. 1 1 5 + 4 - + 2 x x x 2 2 2 lim = Û = Û a = 3 - . x®-¥ 2 3 -a 3 -a + x 2x -1 Câu 14: Tìm lim . x®-¥ x + 2 1 A. 1. B. - . C. 2 . D. -¥ . 2 Lời giải Chọn C. 1 2x -1 2 - Ta có: lim = lim x = 2. x®-¥ x + 2 x®-¥ 2 1+ x 2 2x - x +1
Câu 15: Tìm giới hạn hàm số lim . x®-¥ x + 2 A. +¥ . B. -¥ . C. 2 - . D. 1. Lời giải Chọn B. 2 2x - x +1 lim = -¥. x®-¥ x + 2 2 Câu 16: Giới hạn x + 2 - 2 lim bằng x®+¥ x - 2 A. -¥ B. 1 C. +¥ D. 1 - Lời giải Chọn B.
Chia cả tử và mẫu cho x > 0 ta được: 2 2 + - 2 1 2 x + 2 - 2 x x 1+ 0 - 0 lim = lim = =1 x®+¥ x - 2 x®+¥ 2 1- 0 1- x Câu 17: lim + - - ®+¥ ( x 1 x 3) bằng x Câu 1: A. 0 . B. 2 . C. -¥ . D. +¥ . Trang 8 Câu 2: Lời giải Chọn A. x +1- x + 3 4 Câu 3: lim + - - = lim = lim = 0 ®+¥ ( x 1 x 3) . x x®+¥ x +1 + x - 3 x®+¥ x +1 + x - 3 2018 2 x 4x +1
Câu 18: Tìm giới hạn: lim 2019 . x®+¥ (2x+ )1 1 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2018 2 2019 2 2017 2 Lời giải Chọn B. Ta có: 2018 1 x .x. 4 2018 2 2018 2 + x 4x +1 x 4x + 2 = 1 = x lim lim lim ®+¥ (2x + )2019 ®+¥ 2019 ®+¥ 1 é æ 1 öù 2019 æ 1 ö2019 x x x êx 2 + x 2 + ç ÷ú ç ÷ ë è x øû è x ø + 1 4 2 x 4 + = lim = 0 = 2 = 1 ®+¥ æ 1 ö2019 (2+0)2019 2019 2018 x 2 2 2 + ç ÷ è x ø
Câu 19: Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 2 c + a = 18 và 2 lim
ax + bx - cx = 2 - . Tính giá trị của x®+¥ ( )
biểu thức P = a + b + 5c . A. 9 . B. 5 . C. 18. D. 12. Lời giải Chọn D.
Nhận thấy: a > 0 vì tập xác định có chứa +¥ .
c > 0 vì giới hạn hữu hạn. ( 2 ìa - c = 0 2 a - c ) 2 x + bx ï 2 lim
ax + bx - cx = 2 - Û lim = 2 - Û í b x®+¥ ( ) x®+¥ 2
ax + bx + cx = 2 - ï î a + c ìa = 9 ï
Kết hợp giả thiết cho 2
c + a = 18, ta có Û íc = 3,(c > 0). b ï î = 12 -
Vậy P = a + b + 5c = 9 -12 +15 = 12 .
Câu 20: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 lim
x + x - x = 0 B. 2 lim
x + x - 2x = +¥ x®+¥ ( ) x®-¥ ( ) 1 C. lim
x + x - x = + - = -¥ ®-¥ ( 2 lim x x 2x x ) x®+¥ ( 2 ) D. 2 Lời giải Chọn C. Ta có: 2 lim
x + x - x = +¥ nên phương án A sai. x®-¥ ( ) Trang 9 æ 1 ö Ta có: 2 lim
x + x - 2x = lim xç 1+ - 2÷ = -¥ nên phương án B sai. x®+¥ ( ) x®+¥ ç x ÷ è ø æ ö x ç 1 ÷ æ ö 1 Ta có: lim
x + x - x = ç ÷ ç ÷ = x®+¥ ( 2 ) lim lim nên đáp án C đúng. x®+¥ 2 x
è x + x + x ®+¥ ç ø 1 ÷ 2 ç 1+ +1÷ è x ø æ 1 ö Ta có: 2 lim
x + x - 2x = lim -x ç 1+ + 2÷ = +¥ nên đáp án D sai. x®-¥ ( ) ( ) x®-¥ ç x ÷ è ø cos5x
Câu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là x®-¥ 2x 1 A. -¥ . B. 0 . C. . D. +¥ . 2 Lời giải Chọn B. cos5x 1
Cách 1: 0 £ cos5x £ 1Þ 0 £ £ , x " ¹ 0 2x 2x 1 cos5x Mà lim = 0 nên lim = 0 . x®-¥ 2x x®-¥ 2x cos 5x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + 9 x = 10 - và so 2x đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos5x lim và so đáp án. 2x 9 x ® 10 - Câu 22: Biết
x + ax + + bx = - 2 3
P = a - 2b x®-¥ ( 2 lim 4 1 ) . T
1 ính giá của biểu thức .
A. P = 32.
B. P = 0 .
C. P = 16. D. P = 8 . Lời giải Chọn B. TH1: b = 2 1 + a + a Þ + + + ax 1 = lim = lim x = - ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 2x x ) . x®-¥ 2
4x + ax +1 - 2x x®-¥ a 1 4 - 4 + + - 2 2 x x Þ + + + a = 1 - Û - = 1 - Þ a = 4 ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 bx x ) . 4 é æ a 1 öù ì-¥ khi b > 2 TH2: b ¹ 2 Þ + + + = lim êxç - 4 + + + b÷ú = í ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 bx x ) 2 x®-¥ ç x x ÷ êë è øúû î+¥ khi b < 2
Vậy a = 4,b = 2 2 3
Þ P = a - 2b = 0
Câu 23: Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 2 c + a = 18 và
ax + bx - cx = - x®+¥ ( 2 lim ) 2. Tính giá trị của
biểu thức P = a + b + 5c . Trang 10 A. 9. B. 5 . C. 18. D. 12. Lời giải Chọn D.
Nhận thấy: a > 0 vì tập xác định có chứa +¥ .
c > 0 vì giới hạn hữu hạn. ( 2 ìa - c = 0 2 ìa - c = 0 2 a - c ) 2 x + bx ï ï
ax + bx - cx = - = lim = 2 - Û í b Û í b x®+¥ ( 2 lim ) 2 x®+¥ 2
ax + bx + cx = 2 - ï = 2 - ï î a + c î a + c ìa = 9 ï
Kết hợp giả thiết cho 2
c + a = 18, ta có Û íc = 3,(c > 0). b ï î = 12 -
Vậy P = a + b + 5c = 9 -12 +15 = 12 .
Câu 24: Tìm giới hạn C = lim én (x + a )(x + a )...(x + a ) - xù 1 2 n . x®+¥ ë û
a + a + ...+ a
a + a + ...+ a A. +¥ . B. -¥ . C. 1 2 n . D. 1 2 n . n 2n Lời giải Chọn C. Đặt n
y = (x - a )(x - a )...(x - a ) 1 2 n n n y - x n n n 1 - n 1 - n 1 y x (y x)(y y x ... x - Þ - = - + + + ) Þ y - x = n 1 - n 1 - n 1 y + y x +...+ x - n n y - x
Þ lim (y - x) = lim n 1 - n-2 n 1 x x y + y x +...+ x - ®+¥ ®+¥ n n y - x n 1 - Þ = lim x C . n 1 - n 1 - n 1 x y + y x +...+ x - ®+¥ n 1 x - n n y - x b b b Mà 2 3 lim
= lim (a + a +...+ a + + +... n +
) = a + a +...+ a . n 1 - 1 2 n 2 n 1 1 2 n x x x x x x - ®+¥ ®+¥ k n 1 - -k y x n 1 - n-2 n 1 y + y x +...+ x - lim =1 k " = 0,...,n -1Þ lim = n. n 1 x x - ®+¥ n 1 x x - ®+¥
a + a + ...+ a Vậy 1 2 n C = . n n
a x + ...+ a x + a
Câu 25: Tìm giới hạn 0 n 1 A = lim -
n , (a ,b ¹ 0) m 0 0 .
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ . B. -¥ 4 . C. . D. Đáp án khác. 3 Lời giải Chọn D. n a a a 1 n 1 x (a + + ... - n + + ) 0 n 1 - n Ta có: = lim x x x A x®+¥ m b b b 1 m 1 x (b + +... - m + + ) 0 m 1 - m x x x Trang 11 a a a 1 n 1 a + + ... - n + + • 0 n 1 - n a Nếu x x x 0
m = n Þ A = lim = . x®+¥ b b b 1 m 1 - m b0 b + + ...+ + 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + + ... - n + + • 0 n 1 - n Nếu > Þ = lim x x x m n A = 0 x®+¥ m-n b b b 1 m 1 x (b + +... - m + + ) 0 m 1 - m x x x . n-m a a a 1 n 1 x (a + + ... - n + + ) • 0 n 1 - n
ì+¥ khi a .b > 0
Nếu m < n , ta có: x x x 0 0 A = lim = í . x®+¥ b b b -¥ < 1 m 1 - m khi a b 0 + + + + î 0 0 b ... 0 m 1 - m x x x 7
Câu 26: Cho a,b là các số dương. Biết lim x - ax + x + bx + = x®-¥ ( 2 3 3 2 9 27 5)
. Tìm giá trị lớn nhất của 27 ab . 49 59 43 75 A. . B. . C. . D. . 18 34 58 68 Lời giải Chọn A. - + + + = - + + + + - ®-¥ ( 2 3 3 2 x ax x bx ) ®-¥( 2 3 3 2 lim 9 27 5 lim 9x ax 3x 27x bx 5 3x x x ) = - + + + + - ®-¥ ( 2 x ax x) ®-¥(3 3 2 lim 9 3 lim 27x bx 5 3x x x ). - a a ax = lim = + lim
x - ax + x = x®-¥ a 6 x®-¥ ( 2 9 3 ) lim . x®-¥ 2
9x - ax - 3x 9 - + 3 x bx + lim
x + bx + - x = x®-¥ ( 27 5 3 ) 2 5 3 3 2 + lim x®-¥ 2 ( 3 2 27x + bx + 5) 3 3 2 2 3 + 3 .
x 27x + bx + 5 + 9x 5 b + 2 b = lim x = x®-¥ 2 . 27 æ b 5 ö b 5 3 3 27 + + + 3. 27 + + + 9 ç 3 ÷ 2 è x x ø x x a b 7 Do đó + = . 6 27 27
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có : a b a b + ³ 2 . 6 27 6 27 7 2 49 Þ ³ . a b Þ ab £ . 27 9 2 18 ì a b ì 7 = a = ï ï ï ï Đẳng thức xảy ra khi 6 27 9 í Û í . a b 7 7 ï ï + = b = ïî6 27 27 ïî 2 49
Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng . 18 Trang 12
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Câu 1. [Mức độ 1] Tìm 11
lim x ta có kết quả là x®+¥ A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 11. Lời giải Chọn B Áp dụng lim k
x = +¥ , k là số nguyên dương ta được phương án B. x®+¥
Câu 2. [Mức độ 1] Tính 2021 lim x
ta được kết quả là x®-¥ A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 2021. Lời giải Chọn A áp dụng lim k
x = -¥ với k là số lẻ ta được phương án A. x®-¥ 5 -
Câu 3. [Mức độ 1] Cho limg (x) = -¥, tính lim . x®2
x®2 g ( x) A. -¥ . B. +¥ . C. 5 - . D. 0 . Lời giải Chọn D f ( x)
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương g ( x) 2 7 - x + 5
Câu 4. [Mức độ 2] Tính lim
ta được đáp án là - 2
x®2 -x - x + 6 A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B
Cách 1: (trình bày tự luận) Ta có 2 2
lim 7 - x + 5 = 4 > 0; lim -x - x + 6 = 0 ; 2
-x - x + 6 > 0 khi x 2 .- ® x®2- ( ) - ( ) x®2 2 7 - x + 5 Vậy lim = +¥. - 2
x®2 -x - x + 6
Cách 2: (Sử dụng MTCT) 2 7 - x + 5
Nhập vào máy tính biểu thức
® nhấn phím CALC ® nhập 11 2 10- - ® nhấn phím 2 -x - x + 6
= ® đối chiếu với các phương án. 2x + 5
Câu 5. [Mức độ 2] Tìm lim
ta có kết quả là x®- ( x + 3)2 3 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 2 . Lời giải Chọn C
Cách 1: (trình bày tự luận) Ta có: lim(2x + 5) = 1
- < 0; lim(x +3)2 = 0;(x +3)2 > 0 khi x ® 3 - . x 3 ®- x 3 ®- 2x + 5 Vậy lim = -¥ . x®- ( x + 3)2 3 Trang 13 2x + 5
Cách 2: Nhập vào máy tính biểu thức
® nhấn phím CALC ® nhập 11 3 10- - + ® (x + 3)2
nhấn phím = ® đối chiếu với các phương án. 2x - 4
Câu 6. [Mức độ 1] lim bằng x 1- ® x -1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có lim(2x - 4) = 2 - < 0, lim(x - ) 1 = 0 và (x - ) 1 < 0, x " <1. x 1- ® x 1- ® 2x - 4 Vậy lim = +¥ x 1- ® x -1 2 x + 2x
Câu 7. [Mức độ 2] lim bằng x®+¥ 2x -1 1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. . 2 Lời giải Chọn B 2 æ 2 ö æ 2 ö x 1+ 1+ 2 x 2x ç ÷ ç ÷ + Ta có lim lim è x ø lim è x x ø = = = +¥ x®+¥ 2x -1 x®+¥ æ 1 x®+¥ ö æ 1 ö x 2 - 2 - ç ÷ ç ÷ è x ø è x ø æ 2 ö 1+ ç ÷ è x ø 1 Vì lim x = +¥ và lim = > 0 x®+¥ x®+¥ æ 1 ö 2 2 - ç ÷ è x ø 3 2 - x - x
Câu 8. [Mức độ 2] lim bằng x®-¥ x +1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 1 - . Lời giải Chọn C æ ö é æ ö ù 3 2 1 2 1 x - -1 - -1 3 ç 3 2 ÷ ê ç 3 2 2 x x ÷ ú - - Ta có è x x ø 2 lim = lim = lim è x x x ø ê ú = -¥ x®-¥ x +1 x®-¥ æ 1 x®-¥ ö ê æ 1 ö x 1 1 ú + + ç ÷ ç ÷ x êë x ú è ø è ø û æ 2 1 ö - -1 ç 3 2 ÷ Vì 2
lim x = +¥ và lim è x x ø = 1 - < 0 x®-¥ x®-¥ æ 1 ö 1+ ç ÷ è x ø 2 x + 3x - 2
Câu 9. [Mức độ 2] lim bằng x® (x - )2 1 1 A. -¥ . B. 2 - . C. 1 - . D. +¥ . Trang 14 Lời giải Chọn D Ta có lim( 2
x + 3x - 2) = 2 > 0, li ( m x - )2 1 = 0 và (x - )2 1 > 0 khi x ®1. x 1 ® x 1 ® 2 x + 3x - 2 Vậy lim = +¥ x® (x - )2 1 1 Câu 10. [Mức độ 2] 2
lim x - 9 bằng x®-¥ A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 3. Lời giải Chọn B 9 Ta có 2
lim x - 9 = lim x 1- = +¥ 2 x®-¥ x®-¥ x 9
Vì lim x = lim (-x) = +¥ và lim 1- =1> 0. x®-¥ x®-¥ 2 x®-¥ x Câu 11. [Mức độ 2] 2
lim x - x + 3x bằng x®-¥( ) A. 0 . B. +¥ . C. -¥ 3 . D. - . 2 Lời giải Chọn C æ ö æ 3 ö Ta có 2 3
lim x - x + 3x = lim ç x - x 1+ ÷ = lim ç x + x 1+ ÷ x®-¥( ) x®-¥ x è ø x®-¥ x è ø é æ 3 öù
lim êxç1+ 1+ ÷ú = -¥ x®-¥ x êë è øúû æ ö Vì lim x = -¥ 3 và lim ç1+ 1+ ÷ = 2 > 0 x®-¥ x®-¥ x è ø f ( x) Câu 12.
[Mức độ 2] Biết lim f (x) = 4. Khi đó lim bằ ng x 1 ®- x®- ( x + )4 1 1 A. 4 . B. +¥ . C. -¥ . D. 0 . Lời giải Chọn B
Ta có lim f (x) = 4 > 0, lim(x + )4 1 = 0 và (x + )4 1 > 0, x " ¹ - . 1 x 1 ®- x 1 ®- f (x) Vậy lim = +¥ . x®- ( x + )4 1 1 Trang 15