Các dạng bài trắc nghiệm giới hạn hàm số (có lời giải)

Các dạng bài trắc nghiệm giới hạn hàm số có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF gồm 15 trang giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.

58 29 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

15 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương (H)
Trang 1
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 1: [Mức độ 1] Giả sử . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Theo định lý ta có nếu
Câu 2: [Mức độ 2] Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có
Câu 3: [Mức độ 2] Cho Tìm để
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Câu 4: [Mức độ 2] Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Câu 5: [Mức độ 2] Tính
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
0
lim
xx
fx L
®
=
( )
0
lim .
xx
fx L
®
=
( )
0
3
3
lim .
xx
fx L
®
=
( )
0
lim .
xx
fx L
®
=
( )
0
lim .
xx
fx L
®
éù
-=-
ëû
( )
0
lim
xx
fx L
®
=
0.L >
6
2tan 1
lim
sin 1
x
x
B
x
p
®
+
=
+
.+¥
.-¥
1.
66
2 tan 1
2 tan 1 4 3 6
6
lim lim .
sin 1 9
sin 1
6
xx
x
B
x
pp
p
p
®®
+
++
== =
+
+
2
3
lim .
2
x
xm
C
x
®
+
=
+
m
5.C =
3.
14.
10.
10
.
3
2
36
5 lim 14.
24
x
xm m
m
x
®
++
==Û=
+
2
3
1
21
lim .
22
x
xx
A
x
®-
++
=
+
.-¥
0.
1
.
2
.+¥
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
3
22
11 1
11
21
lim lim lim 0.
22
21 1 2 1
xx x
xx
xx
A
x
xxx xx
®- ®- ®-
++
++
== = =
+
+-+ -+
2
2
413
lim .
4
x
x
A
x
®
+-
=
-
0.
1
.
6
2.
2.-
2
2
413
lim
4
x
x
A
x
®
+-
=
-
( )
( )
2
2
2
413
lim
4413
x
x
xx
®
+-
=
-++
( )
( )( )
( )
2
42
lim
22413
x
x
xx x
®
-
=
-+ ++
Trang 2
.
Câu 6: [Mức độ 2] Tính .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Câu 7: [Mức độ 1] Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 8: [Mức độ 2] Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
Câu 9: [Mức độ 3] Tìm các giá trị thực của tham số để hàm số để
tồn tại
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có:
YCBT
( )
( )
2
41
lim
6
2413
x
xx
®
==
+++
3
3
lim
515
x
x
A
x
-
®
-
=
-
1
.
5
1
.
5
-
0.
.-¥
( )
( )
33 3
3
3
11
lim lim lim
5 15 5 3 5 5
xx x
x
x
A
xx
-- -
®® ®
--
-
æö
== =-=-
ç÷
--
èø
( )
2
1
lim 7 .
x
xx
®-
-+
5
9
0
7
( )
( ) ( )
2
2
1
lim 7 1 1 7 9.
x
xx
®-
-+ =- -- +=
2
2
1
54
lim .
1
x
xx
I
x
®
-+
=
-
1
2
-
3
2
-
1
4
-
1
3
-
( )( )
( )( )
2
2
11 1
14
54 4 3
lim lim lim .
11112
xx x
xx
xx x
I
xxxx
®® ®
--
-+ -
== ==-
--++
a
( )
3
322
, khi 2
2
1
, khi 2
4
x
x
x
fx
ax x
ì
+-
>
ï
ï
-
=
í
ï
+£
ï
î
( )
2
lim .
x
fx
®
0a =
3a =
2a =
1a =
( )
( ) ( )
( )
3
3
2
22 2
2
3
3
2
2
3
3
322 322
* lim lim lim
2
2322322
31
lim .
4
32 2324
xx x
x
xx
fx
x
xx x
xx
++ +
+
®® ®
®
+- +-
==
-
æö
-++++
ç÷
èø
==
++ ++
( )
22
11
* lim lim 2 .
44
xx
fx ax a
--
®®
æö
=+=+
ç÷
èø
( ) ( )
22
11
lim lim 2 0.
44
xx
fx fx a a
-+
®®
Û=Û+=Û=
Trang 3
Câu 10: Cho các giới hạn: ; , hỏi bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Câu 11: Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: .
Câu 12: Tính giới hạn
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 13: Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải.
Chọn B
.
Câu 14: Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Câu 15: Giới hạn bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Câu 16: Tính giới hạn ta được kết quả
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy .
( )
0
lim 2
xx
fx
®
=
( )
0
lim 3
xx
gx
®
=
( ) ( )
0
lim 3 4
xx
fx gx
®
éù
-
ëû
5
2
6-
3
( ) ( )
0
lim 3 4
xx
fx gx
®
-
éù
ëû
( ) ( )
00
lim 3 lim 4
xx xx
fx gx
®®
=-
( ) ( )
00
3 lim 4 lim
xx xx
fx gx
®®
=-
6=-
( )
2
1
lim 2 3 1
x
xx
®
-+
2
1
+¥
0
( )
2
1
lim 2 3 1 0
x
xx
®
-+=
3
3
lim
3
x
x
L
x
®
-
=
+
L = -¥
0L =
L = +¥
1L =
3
3
lim
3
x
x
L
x
®
-
=
+
33
0
33
-
==
+
( )
2
1
lim 3 2 1
x
xx
®
-+
+¥
2
1
3
( )
22
1
lim 3 2 1 3.1 2.1 1 2.
x
xx
®
-+= - +=
( )
2
1
lim 7
x
xx
®-
-+
5
9
0
7
( )
2
1
lim 7
x
xx
®-
-+
( ) ( )
2
1179=- -- + =
2
1
2x 3
lim
1
x
x
x
®
-+
+
1
0
3
2
22
1
2x 3 1 2.1 3
lim 1
111
x
x
x
®
-+ - +
==
++
2
2
lim
1
x
x
x
®
+
-
4
1
2
3
2
222
lim 4
121
x
x
x
®
++
==
--
Trang 4
Câu 17: bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
.
Câu 18: bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
.
Câu 19: Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
.
Câu 20: bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Câu 21: Tìm giới hạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: Với ;
Nên .
Câu 22: Cho . Tính giới hạn đó.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
2
3
lim 4
x
x
®
-
5-
1
5
1-
2
3
lim 4 3 4 1
x
x
®
-=-=
+¥
1
2
2
3
-¥
1
12
lim
23
x
x
x
®
+
=
+
32
1
22023
lim
21
x
xx
x
®
-+
-
0
-¥
+¥
2021
32
1
22023
lim
21
x
xx
x
®
-+
-
32
12.12023
2022
2.1 1
-+
==
-
2
2
215 3
lim
23
x
xx
x
®-
+- -
+
1
3
1
7
7
3
2
2
215 3
25
lim 3
23 1
x
xx
x
®-
+- -
-
==
+-
2
2
1
lim
4
x
x
A
xx
®-
+
=
++
1
6
-
-¥
+¥
1
2x =-
2
40xx++¹
( )
( ) ( )
2
2
2
21
11
lim
46
224
x
x
A
xx
®-
-+
+
== =-
++
-+-+
2
2
lim ( 2)
4
x
x
x
x
+
®
-
-
+¥
1
0
-¥
Trang 5
= .
Câu 23: Cho hàm số ,
là tham số. Tìm giá trị của để hàm số có
giới hạn tại .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C
Ta có:
.
.
Hàm số đã cho có giới hạn tại khi và chỉ khi
.
II. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Câu 1: Tính giới hạn .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Câu 2: Tính giới hạn .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
Câu 3: bằng
A. B. C. D. 1
Lời giải
Chọn C.
2
2
lim( 2)
4
x
x
x
x
+
®
-
-
2
2
22
(2) (2)
lim lim 0
42
xx
xx x x
xx
++
®®
--
==
-+
( )
42
khi 0
1
khi 0
4
x
x
x
fx
mx m x
ì
+-
>
ï
ï
=
í
ï
++ £
ï
î
m
m
0x =
1
2
m =
1m =
0m =
1
2
m =-
( )
00
42
lim lim
xx
x
fx
x
++
®®
+-
=
( )
( )
2
0
42
lim
42
x
x
xx
+
®
+-
=
++
( )
0
lim
42
x
x
xx
+
®
=
++
0
11
lim
4
42
x
x
+
®
==
++
( )
00
11
lim lim
44
xx
fx mx m m
--
®®
æö
=++=+
ç÷
èø
0x =
( ) ( )
00
lim lim
xx
fx fx
+-
®®
=
11
0
44
mmÛ=+Û =
2
41
lim
1
x
x
K
x
®-¥
+
=
+
0K =
1K =
2K =-
4K =
2
22
11
44
41
lim lim lim 2
1
11
1
xx x
x
x
xx
K
xx
x
®-¥ ®-¥ ®-¥
-+ -+
+
== = =-
++
+
3
3
lim
3
x
x
L
x
®
-
=
+
L = -¥
0L =
L = +¥
1L =
3
3
lim
3
x
x
L
x
®
-
=
+
33
0
33
-
==
+
3
lim
2
®-¥
--
+
x
x
x
3
2
-
3-
1-
Trang 6
Câu 4: Tìm giới hạn .
A. . B. . C. . D. 0.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: .
Câu 5: bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Ta có: và .
Vậy
Câu 6: Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Câu 7: Tính giới hạn .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D.
Ta có .
Câu 8: bằng
3
1
3
lim lim 1.
2
2
1
®-¥ ®-¥
--
--
==-
+
+
xx
x
x
x
x
2
3
3
12 1
lim
21
x
xx x
D
xx x
®+¥
++ +
=
+++
+¥
-¥
4
3
2
22
2
3
356
121
1
lim
2111
x
x
xxx
D
x
xxx x
®+¥
æö
+++
ç÷
èø
==+¥
æö
++ +
ç÷
èø
( )
32
lim 2
x
xx
®+¥
-+ +
0
-¥
+¥
2
( ) ( )
32 3
3
12
lim 2 lim . 1
xx
xx x
xx
®+¥ ®+¥
éù
æö
-+ + = -++
ç÷
êú
èø
ëû
( )
3
lim
x
x
®+¥
=+¥
3
12
lim 1 1
x
xx
®+¥
æö
-+ + =-
ç÷
èø
( )
32
lim 2
x
xx
®+¥
-+ + =-¥
2
lim
1
x
x
N
x
®+¥
-+
=
+
6
2
1
1-
2
1
2
lim lim 1
1
1
1
xx
x
x
N
x
x
®+¥ ®+¥
-+
-+
===-
+
+
32
lim
21
x
x
I
x
®-¥
-
=
+
2I =-
3
2
I =-
2I =
3
2
I =
2
3
32 3
lim lim
1
21 2
2
xx
x
x
I
x
x
®-¥ ®-¥
-
-
===
+
+
( )
32
lim 2 1
x
xx
®+¥
+-
Trang 7
A. . B. . C. . D.
Lời giải.
Chọn C.
Ta có:
Vì và
Suy ra
Vậy
Câu 9: Tìm giới hạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Ta có: .
Câu 10: Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
.
Câu 11: Cho . Tính giá trị của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
0
1
+¥
-¥
( )
32 3
3
21
lim 2 1 lim 1
xx
xx x
xx
®+¥ ®+¥
æö
+-= +-
ç÷
èø
3
lim
x
x
®+¥
=+¥
3
21
lim 1 1 0
x
xx
®+¥
æö
+- =>
ç÷
èø
3
3
21
lim 1
x
x
xx
®+¥
æö
+- =+¥
ç÷
èø
( )
32
lim 2 1
x
xx
®+¥
+ - = +¥
23
lim
13
x
x
x
®+¥
-
-
2
3
2
3
-
3
2
-
2
23
lim
13
x
x
x
®+¥
-
-
3
2
2
lim
1
3
3
x
x
x
®+¥
-
==-
-
2
53
lim
5
®-¥
-
-
x
x
x
3
5
3
5
-
5
5-
2
53
lim
5
x
x
x
®-¥
-
-
2
3
5
lim
5
1
x
x
x
x
x
®-¥
æö
-
ç÷
èø
=
-
2
3
5
lim
5
1
x
x
x
x
x
®-¥
æö
-
ç÷
èø
=
--
2
3
5
lim 5
5
1
x
x
x
®-¥
-
==-
--
(
)
2
lim 9 3 2
x
xax x
®-¥
++ =-
a
6-
12
6
12-
(
)
2
2
lim 9 3 lim lim
6
93
93
xx x
ax a a
xax x
a
xax x
x
®-¥ ®-¥ ®-¥
æö
++ = = =-
ç÷
+-
èø
-+-
212
6
a
aÞ- =- Û =
4
lim
12
x
xx
x
®-¥
-
=+¥
-
4
lim 1
12
x
xx
x
®-¥
-
=
-
4
lim
12
x
xx
x
®-¥
-
=-¥
-
4
lim 0
12
x
xx
x
®-¥
-
=
-
Trang 8
Chọn A.
Vì . Vậy A đúng.
Câu 13: Cho biết . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
.
Câu 14: Tìm .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Ta có: .
Câu 15: Tìm giới hạn hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
.
Câu 16: Giới hạn bằng
A. B. 1 C.
D.
Lời giải
Chọn B.
Chia cả tử và mẫu cho ta được:
Câu 17: bằng
Câu 1: A. . B. . C. . D. .
22
4
11
.
lim lim lim
1
1
12
2
2
xx x
xx x
xx
xx
x
x
x
x
®-¥ ®-¥ ®-¥
-- --
-
===+¥
-
æö
-
-
ç÷
èø
2
14 52
lim
23
x
xx
ax
®-¥
--+
=
+
a
3
2
3
-
3-
4
3
2
115
4
222
lim 3
2
33
x
xxx
a
a
a
x
®-¥
+-+
=Û =Û=-
-
-+
21
lim
2
x
x
x
®-¥
-
+
1
1
2
-
2
-¥
21
lim
2
x
x
x
®-¥
-
+
1
2
lim 2
2
1
x
x
x
®-¥
-
==
+
2
21
lim
2
x
xx
x
®-¥
-+
+
+¥
-¥
2-
1
2
21
lim
2
x
xx
x
®-¥
-+
=-¥
+
2
22
lim
2
x
x
x
®+¥
+-
-
-¥
+¥
1-
0x >
2
2
22
1
22 100
lim lim 1
2
210
1
xx
x
xx
x
x
®+¥ ®+¥
+-
+- +-
===
--
-
( )
lim 1 3
x
xx
®+¥
+- -
0
2
-¥
+¥
Trang 9
Câu 2: Lời giải
Chọn A.
Câu 3: .
Câu 18: Tìm giới hạn: .
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 19: Cho các số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của
biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Nhận thấy: vì tập xác định có chứa .
vì giới hạn hữu hạn.
Kết hợp giả thiết cho , ta có .
Vậy .
Câu 20: Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: nên phương án A sai.
( )
lim 1 3
x
xx
®+¥
+- -
13
lim
13
x
xx
xx
®+¥
+- +
=
++ -
4
lim
13
x
xx
®+¥
=
++ -
0=
( )
2018 2
2019
x
x4x1
lim
2x 1
®+¥
+
+
0.
2018
1
.
2
2019
1
.
2
2017
1
.
2
( )
( )
®+¥ ®+¥ ®+¥
®+¥
+
++
==
éù æö
+
æö
+
+
ç÷
êú
ç÷
èø
èø
ëû
+
+
====
æö
+
+
ç÷
èø
2018
2018 2 2018 2
2
2019 2019 2019
xx x
2019
2
2019 2019 2019 2018
x
1
x .x. 4
x4x1 x4x1
x
lim lim lim
2x 1 1
1
x2
x2
x
x
1
4
40 2 1
x
lim
22
120
2
x
,,abc
2
18ca+=
(
)
2
lim 2
x
ax bx cx
®+¥
+- =-
5Pab c=++
9
5
18
12
0a >
+¥
0c >
(
)
2
lim 2
x
ax bx cx
®+¥
+- =-
Û
( )
22
2
lim 2
x
acx bx
ax bx c x
®+¥
-+
=-
++
2
0
2
ac
b
ac
ì
-=
ï
Û
í
=-
ï
+
î
2
18ca+=
( )
9
3, 0
12
a
cc
b
=
ì
ï
Û= >
í
ï
=-
î
5 9 12 15 12Pab c=++ =- + =
(
)
2
lim 0
x
xxx
®-¥
+- =
(
)
2
lim 2
x
xx x
®+¥
+- =+¥
(
)
2
1
lim
2
x
xxx
®+¥
+- =
(
)
2
lim 2
x
xx x
®-¥
+- =-¥
(
)
2
lim
x
xxx
®-¥
+- =+¥
Trang 10
Ta có: nên phương án B sai.
Ta có: nên đáp án C đúng.
Ta có: nên đáp án D sai.
Câu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
Cách 1:
Mà nên
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + và so
đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
và so đáp án.
Câu 22: Biết . Tính giá của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B.
TH1:
.
.
TH2:
Vậy
Câu 23: Cho các số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của
biểu thức .
(
)
2
1
lim 2 lim 1 2
xx
xx x x
x
®+¥ ®+¥
æö
+- = + - =-¥
ç÷
ç÷
èø
(
)
2
2
11
lim lim lim
2
1
11
xxx
x
xxx
xxx
x
®+¥ ®+¥ ®+¥
æö
ç÷
æö
ç÷
+- = =
ç÷
ç÷
++
èø
++
ç÷
èø
(
)
( )
2
1
lim 2 lim 1 2
xx
xx x x
x
®-¥ ®-¥
æö
+- = - + + =+¥
ç÷
ç÷
èø
cos 5
lim
2
x
x
x
®-¥
-¥
0
1
2
+¥
cos 5 1
0cos5 1 0 , 0
22
x
xx
xx
££Þ£ £"¹
1
lim 0
2
x
x
®-¥
=
cos 5
lim 0 .
2
®-¥
=
x
x
x
cos 5
2
x
x
9
10x =-
9
cos 5
lim
2
10
x
x
x ®-
(
)
2
lim 4 1 1
x
xax bx
®-¥
+++ =-
23
2Pa b=-
32P =
0P =
16P =
8P =
2b =
(
)
2
lim 4 1 2
x
xax x
®-¥
Þ+++
2
1
lim
412
x
ax
x ax x
®-¥
+
=
++-
2
1
lim
4
1
42
x
a
a
x
a
xx
®-¥
+
==-
-++ -
(
)
2
lim 4 1
x
xax bx
®-¥
Þ+++
114
4
a
a=- Û- =- Þ =
2b ¹
(
)
2
lim 4 1
x
xax bx
®-¥
Þ+++
2
1
lim 4
x
a
xb
xx
®-¥
éù
æö
=-+++
êú
ç÷
ç÷
êú
èø
ëû
khi b > 2
khi b < 2
-¥
ì
=
í
+¥
î
4, 2ab==
23
20Pa bÞ= - =
,,abc
2
18ca+=
(
)
2
lim 2
x
ax bx cx
®+¥
+- =-
5Pab c=++
Trang 11
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D.
Nhận thấy: vì tập xác định có chứa .
vì giới hạn hữu hạn.
Kết hợp giả thiết cho , ta có .
Vậy .
Câu 24: Tìm giới hạn .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C.
Đặt
.
Mà .
.
Vậy .
Câu 25: Tìm giới hạn .
A. . B. . C. . D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
9
5
18
12
0a >
+¥
0c >
(
)
2
lim 2
x
ax bx cx
®+¥
+- =-
=
( )
22
2
lim 2
x
acx bx
ax bx c x
®+¥
-+
=-
++
2
0
2
ac
b
ac
ì
-=
ï
Û
í
=-
ï
+
î
2
0
2
ac
b
ac
ì
-=
ï
Û
í
=-
ï
+
î
2
18ca+=
( )
9
3, 0
12
a
cc
b
=
ì
ï
Û= >
í
ï
=-
î
5 9 12 15 12Pab c=++ =- + =
12
lim ( )( )...( )
n
n
x
Cxaxaxax
®+¥
éù
=+++-
ëû
+¥
-¥
12
...
n
aa a
n
+++
12
...
2
n
aa a
n
+++
12
()( )...( )
n
n
yxaxaxa=- - -
11 1
()( ... )
nn n n n
yx yxy yx x
-- -
Þ-=- + ++
11 1
...
nn
nn n
yx
yx
yyx x
-- -
-
Þ-=
+++
12 1
lim ( ) lim
...
nn
nn n
xx
yx
yx
yyx x
-- -
®+¥ ®+¥
-
Þ-=
+++
1
11 1
1
lim
...
nn
n
nn n
x
n
yx
x
C
yyx x
x
-
-- -
®+¥
-
-
Þ=
+++
3
2
12
121
lim lim ( ... ... )
nn
n
n
nn
xx
bb
b
yx
aa a
xxxx
--
®+¥ ®+¥
-
=+++++++
12
...
n
aa a=+++
1
1
lim 1 0,..., 1
kn k
n
x
yx
kn
x
--
-
®+¥
="= -
12 1
1
...
lim
nn n
n
x
yyx x
n
x
-- -
-
®+¥
+++
Þ=
12
...
n
aa a
C
n
+++
=
01
00
01
...
lim , ( , 0)
...
n
nn
m
x
mm
ax a x a
Aab
bx b x b
-
®+¥
-
++ +
=¹
++ +
+¥
-¥
4
3
1
1
0
1
1
1
0
1
( ... )
lim
( ... )
n
nn
nn
x
m
mm
mm
aa
a
xa
xxx
A
bb
b
xb
xxx
-
-
®+¥
-
-
+++ +
=
+++ +
Trang 12
Nếu .
Nếu
.
Nếu , ta có: .
Câu 26: Cho là các số dương. Biết . Tìm giá trị lớn nhất của
.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A.
.
+ .
+
.
Do đó .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có :
.
Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của bằng .
•
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
...
lim
...
nn
nn
x
mm
mm
aa
a
a
a
xxx
mn A
bb
b
b
b
xxx
-
-
®+¥
-
-
+++ +
=Þ = =
+++ +
•
1
1
0
1
1
1
0
1
...
lim 0
( ... )
nn
nn
x
mn
mm
mm
aa
a
a
xxx
mn A
bb
b
xb
xxx
-
-
®+¥
-
-
-
+++ +
>Þ = =
+++ +
•
mn<
1
1
0
1
00
1
1
00
0
1
( ... )
khi . 0
lim
khi 0
...
nm
nn
nn
x
mm
mm
aa
a
xa
ab
xxx
A
bb
b
ab
b
xxx
-
-
-
®+¥
-
-
+++ +
+¥ >
ì
==
í
-¥ <
î
+++ +
,ab
(
)
3
232
7
lim 9 27 5
27
x
xax xbx
®-¥
-+ + +=
ab
49
18
59
34
43
58
75
68
(
)
(
)
33
232 2 32
lim 9 27 5 lim 9 3 27 5 3
xx
xax xbx xax x xbx x
®-¥ ®-¥
-+ + += -++ + +-
(
)
(
)
3
232
lim 9 3 lim 27 5 3
xx
xax x xbx x
®-¥ ®-¥
=-++ ++-
(
)
2
2
lim 9 3 lim
93
xx
ax
xax x
xax x
®-¥ ®-¥
-
-+ =
--
lim
6
93
x
aa
a
x
®-¥
==
-+
(
)
( )
2
3
32
2
3
32 32 2
3
5
lim 27 5 3 lim
27 5 3 . 27 5 9
xx
bx
xbx x
xbx x xbx x
®-¥ ®-¥
+
++-=
+++ +++
2
2
3
3
32
5
lim
27
55
27 3. 27 9
x
b
b
x
bb
xx xx
®-¥
+
==
æö
++ + ++ +
ç÷
èø
7
627 27
ab
+=
2.
627 627
ab ab
+³
72 49
.
27 18
92
ab abÞ³ Þ£
7
627
9
7
7
627 27
2
ab
a
ab
b
ì
ì
=
=
ï
ï
ïï
Û
íí
ïï
+=
=
ï
ï
î
î
ab
49
18
Trang 13
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Câu 1. [Mức độ 1] Tìm ta có kết quả là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Áp dụng , là số nguyên dương ta được phương án B.
Câu 2. [Mức độ 1] Tính ta được kết quả là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
áp dụng với là số lẻ ta được phương án A.
Câu 3. [Mức độ 1] Cho , tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương
Câu 4. [Mức độ 2] Tính ta được đáp án là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: (trình bày tự luận)
Ta có ; khi
Vậy .
Cách 2: (Sử dụng MTCT)
Nhập vào máy tính biểu thức ® nhấn phím CALC ® nhập ® nhấn phím
= ® đối chiếu với các phương án.
Câu 5. [Mức độ 2] Tìm ta có kết quả là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: (trình bày tự luận)
Ta có: khi .
Vậy .
11
lim
x
x
®+¥
-¥
+¥
0
11
lim
k
x
x
®+¥
=+¥
k
2021
lim
x
x
®-¥
-¥
+¥
0
2021
lim
k
x
x
®-¥
=-¥
k
( )
2
lim
x
gx
®
=-¥
( )
2
5
lim .
x
gx
®
-
-¥
+¥
5-
0
( )
( )
fx
gx
2
2
2
75
lim
6
x
x
xx
-
®
-+
--+
-¥
+¥
0
1
(
)
( )
22
22
lim 7 5 4 0; lim 6 0
xx
xxx
--
®®
-+=> --+=
2
6 0xx--+>
2.x
-
®
2
2
2
75
lim
6
x
x
xx
-
®
-+
=+¥
--+
2
2
75
6
x
xx
-+
--+
11
210
-
-
( )
2
3
25
lim
3
x
x
x
®-
+
+
0
+¥
-¥
2
( ) ( ) ( )
22
33
lim 2 5 1 0; lim 3 0; 3 0
xx
xxx
®- ®-
+=-< = + >+
3x ®-
( )
2
3
25
lim
3
x
x
x
®-
+
= -¥
+
Trang 14
Cách 2: Nhập vào máy tính biểu thức ® nhấn phím CALC ® nhập ®
nhấn phím = ® đối chiếu với các phương án.
Câu 6. [Mức độ 1] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có , và .
Vậy
Câu 7. [Mức độ 2] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Vì và
Câu 8. [Mức độ 2] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có
Vì và
Câu 9. [Mức độ 2] bằng
A. . B. . C. . D. .
( )
2
25
3
x
x
+
+
11
3 10
-
-+
1
24
lim
1
x
x
x
-
®
-
-
0
+¥
-¥
2
( )
1
lim 2 4 2 0
x
x
-
®
-=-<
( )
1
lim 1 0
x
x
-
®
-=
( )
10, 1xx-<"<
1
24
lim
1
x
x
x
-
®
-
=+¥
-
2
2
lim
21
x
xx
x
®+¥
+
-
0
+¥
-¥
1
2
2
2
22
11
2
lim lim lim
11
21
22
xx x
x
xx
xx
x
x
x
xx
®+¥ ®+¥ ®+¥
æö æö
++
ç÷ ç÷
+
èø èø
===+¥
-
æö æö
--
ç÷ ç÷
èø èø
lim
x
x
®+¥
=+¥
2
1
1
lim 0
1
2
2
x
x
x
®+¥
æö
+
ç÷
èø
=>
æö
-
ç÷
èø
3
2
lim
1
x
xx
x
®-¥
--
+
0
+¥
-¥
1-
3
3
32 32
2
21 21
11
2
lim lim lim
11
1
11
xx x
x
xx
xx xx
x
x
x
xx
®-¥ ®-¥ ®-¥
éù
æöæö
-- --
ç÷ç÷
êú
--
èøèø
êú
= = = -¥
+
æö æö
êú
++
ç÷ ç÷
êú
èø èø
ëû
2
lim
x
x
®-¥
=+¥
32
21
1
lim 1 0
1
1
x
xx
x
®-¥
æö
--
ç÷
èø
=- <
æö
+
ç÷
èø
( )
2
2
1
32
lim
1
x
xx
x
®
+-
-
-¥
2-
1-
+¥
Trang 15
Lời giải
Chọn D
Ta có , và khi .
Vậy
Câu 10. [Mức độ 2] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có
Vì và .
Câu 11. [Mức độ 2] bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có
Vì và
Câu 12. [Mức độ 2] Biết . Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có , và .
Vậy .
( )
2
1
lim 3 2 2 0
x
xx
®
+-=>
( )
2
1
lim 1 0
x
x
®
-=
( )
2
10x ->
1x ®
( )
2
2
1
32
lim
1
x
xx
x
®
+-
= +¥
-
2
lim 9
x
x
®-¥
-
0
+¥
-¥
3
2
2
9
lim 9 lim 1
xx
xx
x
®-¥ ®-¥
-= - =+¥
( )
lim lim
xx
xx
®-¥ ®-¥
=-=+¥
2
9
lim 1 1 0
x
x
®-¥
-=>
(
)
2
lim 3
x
xx x
®-¥
-+
0
+¥
-¥
3
2
-
(
)
2
3
lim 3 lim 1
xx
xx x xx
x
®-¥ ®-¥
æö
-+= - +
ç÷
èø
3
lim 1
x
xx
x
®-¥
æö
=++
ç÷
èø
3
lim 1 1
x
x
x
®-¥
éù
æö
+ + = -¥
êú
ç÷
êú
èø
ëû
lim
x
x
®-¥
=-¥
3
lim 1 1 2 0
x
x
®-¥
æö
++ =>
ç÷
èø
( )
1
lim 4
x
fx
®-
=
( )
( )
4
1
lim
1
x
fx
x
®-
+
4
+¥
-¥
0
( )
1
lim 4 0
x
fx
®-
=>
( )
4
1
lim 1 0
x
x
®-
+=
( )
4
10, 1xx+>"¹-
( )
( )
4
1
lim
1
x
fx
x
®-
=+¥
+
| 1/15
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 1: [Mức độ 1] Giả sử lim f (x) = L . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ? x® 0 x
A. lim f (x) = L . B. f (x) 3 3 lim
= L. C. lim f (x) = L. D. lim é- f ë (x)ù = - .L û x® x®x x®x ® 0 x 0 0 x 0 x Lời giải Chọn C
Theo định lý ta có lim f (x) = L nếu L > 0. x® 0 x 2 tan x +1
Câu 2: [Mức độ 2] Tính B = lim . p x® sin x +1 6 + A. + . ¥ B. . -¥ 4 3 6 C. . D. 1. 9 Lời giải Chọn C p 2 tan +1 2 tan x +1 4 3 + 6 Ta có 6 B = lim = lim = . p p ® + ® p x sin x 1 x 9 6 6 sin +1 6 3x + m
Câu 3: [Mức độ 2] Cho C = lim
. Tìm m để C = 5. x®2 x + 2 10 A. 3. B. 14. C. 10. D. . 3 Lời giải Chọn B
3x + m 6 + m Ta có: 5 = lim = Û m =14. x®2 x + 2 4 2 x + 2x +1
Câu 4: [Mức độ 2] Tính A = lim . 3 x 1 ®- 2x + 2 1 A. . -¥ B. 0. C. . D. + . ¥ 2 Lời giải Chọn B x + 2x +1 (x + )2 2 1 (x + ) 1 Ta có: A = lim = lim = lim = 0. 3 x®- 2x + 2 x®- 2( x + ) 1 ( 2 x - x + ) 1 x®- 2( 2 1 1 1 x - x + ) 1 4x +1 - 3
Câu 5: [Mức độ 2] Tính A = lim . 2 x®2 x - 4 1 A. 0. B. . C. 2. D. 2. - 6 Lời giải Chọn B Ta có: 4x +1 - 3 2 4x +1- 3 4( x - 2) A = lim = lim = lim 2 x®2 x - 4 x®2 ( 2
x - 4)( 4x +1 + 3) x®2 (x - 2)(x + 2)( 4x +1 + 3) Trang 1 4 1 = lim = .
x®2 (x + 2)( 4x +1+3) 6 x - 3
Câu 6: [Mức độ 2] Tính A = lim . x 3- ® 5x -15 1 1 A. . B. - . C. 0. D. . -¥ 5 5 Lời giải Chọn B x - 3 -(x - 3) æ 1 ö 1 Ta có: A = lim = lim = lim - = - . ç ÷ x 3- - x 3 5x 15 - 5( x - 3) x 3- ® ® ® è 5 ø 5
Câu 7: [Mức độ 1] Tính lim ( 2 x - x + 7). x 1 ®- A. 5 . B. 9. C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B.
Ta có: lim (x - x + 7) = (- )2 2 1 - (- ) 1 + 7 = 9.. x 1 ®- 2 x - 5x + 4
Câu 8: [Mức độ 2] Tính I = lim . 2 x 1 ® x -1 1 A. - 3 . B. - 1 . C. - 1 . D. - . 2 2 4 3 Lời giải Chọn B 2 x - 5x + 4 (x - )1(x - 4) x - 4 3 Ta có: I = lim = lim = lim = - . 2 x 1 ® x 1 x -1 ® ( x - ) 1 ( x + ) x 1 1 ® x +1 2 3 ì 3x + 2 - 2 ï , khi x > 2 ï
Câu 9: [Mức độ 3] Tìm các giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x) x - 2 = í để 1
ïax + ,khi x £ 2 ïî 4
tồn tại lim f (x). x®2
A. a = 0 .
B. a = 3.
C. a = 2 . D. a = 1 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 3 + - + - f ( x) 3x 2 2 3x 2 2 * lim = lim = lim x®2+ x®2+ - x®2 x 2 + (x - 2)æ ö 3 ç (3x + 2)2 3 2 + 2 3x + 2 + 2 ÷ è ø 3 1 = lim = . x®2+ 3 ( x + )2 3 4 3 2 + 2 3x + 2 + 4 æ ö f (x) 1 1 * lim = lim ax + = 2a + . ç ÷ x 2- x 2- ® ® è 4 ø 4 1 1
YCBT Û lim f (x) = lim f (x) Û 2a + = Û a = 0. x 2- x 2+ ® ® 4 4 Trang 2
Câu 10: Cho các giới hạn: lim f (x) = 2; lim g ( x) = 3, hỏi lim 3 é f ë
(x)-4g(x)ù bằng û x® ® 0 x x 0 x x® 0 x A. 5 . B. 2 . C. 6 - . D. 3 . Lời giải Chọn C Ta có lim 3 é f ë
(x)-4g(x)ù = lim 3 f x - lim 4g x = 3lim f (x)- 4 lim g (x) = 6 - . û ( ) ( ) x® x®x x®x x®x x®x 0 x 0 0 0 0
Câu 11: Giá trị của lim( 2 2x - 3x + ) 1 bằng x 1 ® A. 2 . B. 1. C. +¥ . D. 0 . Lời giải Chọn D Ta có: lim ( 2 2x - 3x + ) 1 = 0. x 1 ® x - 3
Câu 12: Tính giới hạn L = lim x 3 ® x + 3 A. L = -¥ . B. L = 0 . C. L = +¥ . D. L = 1. Lời giải Chọn B x - 3 3 - 3 Ta có L = lim = = 0. x®3 x + 3 3 + 3
Câu 13: Giá trị của lim( 2 3x - 2x + ) 1 bằng x 1 ® A. +¥ . B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải. Chọn B lim( 2 3x - 2x + ) 2 1 = 3.1 - 2.1+1 = 2.. x 1 ®
Câu 14: Giới hạn lim ( 2
x - x + 7) bằng x®-1 A. 5 . B. 9. C. 0 . D. 7 . Lời giải Chọn B Ta có lim ( 2
x - x + 7) = (- )2 1 -(- ) 1 + 7 = 9. x 1 ®- 2 x - 2x + 3
Câu 15: Giới hạn lim bằng x 1 ® x +1 A. 1. B. 0 . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn A 2 2 x - 2x + 3 1 - 2.1+ 3 Ta có: lim = =1. x 1 ® x +1 1+1 x + 2
Câu 16: Tính giới hạn lim
ta được kết quả x®2 x -1 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn A x + 2 2 + 2 Dễ thấy lim = = 4. x®2 x -1 2 -1 Trang 3 Câu 17: 2
lim x - 4 bằng x® 3 A. 5 - . B. 1. C. 5 . D. 1 - . Lời giải Chọn B 2 lim x - 4 = 3- 4 =1. x® 3 x +1 Câu 18: lim bằng x 1 ® x + 2 1 2 A. +¥ . B. . C. . D. -¥ . 2 3 Lời giải Chọn C x +1 2 lim = . x 1 ® x + 2 3 3 2 x - 2x + 2023 Câu 19: Tính lim . x 1 ® 2x -1 A. 0 . B. -¥ . C. +¥ . D. 2021. Lời giải Chọn D 3 2 x - 2x + 2023 3 2 1 - 2.1 + 2023 lim = = 2022. x 1 ® 2x -1 2.1-1 2 2 x +1 - 5 x - 3 Câu 20: lim bằng x 2 ®- 2x + 3 1 1 A. . B. . C. 7 . D. 3. 3 7 Lời giải Chọn D 2 2 x +1 - 5 x - 3 2 - 5 Ta có lim = = 3. x 2 ®- 2x + 3 1 - x +1
Câu 21: Tìm giới hạn A = lim . 2 x 2 ®- x + x + 4 1 A. - . B. -¥ . C. +¥ . D. 1. 6 Lời giải Chọn A Ta có: Với x = 2 - ; 2 x + x + 4 ¹ 0 x +1 ( 2 - ) +1 1 Nên A = lim = = - . 2 x 2 ®- x + x + 4 ( 2 - )2 + ( 2 - ) + 4 6 x
Câu 22: Cho lim (x - 2) . Tính giới hạn đó. + 2 x®2 x - 4 A. +¥ . B. 1. C. 0 . D. -¥ . Lời giải Chọn C Trang 4 x 2 x(x - 2) (x - 2)x lim(x - 2) = lim = lim = 0. + 2 + 2 x®2 x - 4 x 2 - x 2 x 4 + ® ® x + 2 ì x + 4 - 2 ï khi x > 0 ï
Câu 23: Cho hàm số ( ) x f x = í
, m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số có 1 ïmx + m + khi x £ 0 ïî 4
giới hạn tại x = 0 . 1 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 0 . D. m = - . 2 2 Lời giải: Chọn C Ta có: + - (x + 4) 2 - 2 x 1 1 f ( x) x 4 2 lim = lim = lim = lim = lim = . x 0+ x 0+ ® ® x x 0+ ®
x( x + 4 + 2) x 0+ ®
x( x + 4 + 2) x 0+ ® x + 4 + 2 4 æ ö f ( x) 1 1 lim = lim mx + m + = m + . ç ÷ x 0- x 0- ® ® è 4 ø 4
Hàm số đã cho có giới hạn tại x = 0 khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) x 0+ x 0- ® ® 1 1
Û = m + Û m = 0. 4 4
II. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 2
Câu 1: Tính giới hạn 4x +1 K = lim . x®-¥ x +1
A. K = 0 B. K = 1 C. K = 2 - D. K = 4 Lời giải Chọn C. 1 1 - + - + 2 x 4 4 2 2 + Ta có: 4x 1 = lim = lim x = lim x K = 2 - . x®-¥ x +1 x®-¥ x +1 x®-¥ 1 1+ x x - 3
Câu 2: Tính giới hạn L = lim . x®3 x + 3
A. L = -¥
B. L = 0
C. L = +¥ D. L = 1 Lời giải Chọn B. x - 3 3 - 3 Ta có L = lim = = 0. x®3 x + 3 3 + 3 -x - 3 Câu 3: lim bằng x®-¥ x + 2 -3 A. B. 3 - C. 1 - D. 1 2 Lời giải Chọn C. Trang 5 3 1 - - -x - 3 lim = lim x = 1. - x®-¥ x + 2 x®-¥ 2 1+ x 2 + + +
Câu 4: Tìm giới hạn x x 1 2x 1 D = lim . x®+¥ 3 3
2x + x +1 + x A. +¥ . B. -¥ 4 . C. . D. 0. 3 Lời giải Chọn A. æ ö 2 1 2 1 x ç 1+ + + ÷ 2 2 x x x Ta có: D lim è ø = = +¥. x®+¥ æ ö 2 2 1 1 1 3 x ç + + + ÷ 3 5 6 x x x x è ø Câu 5: ( 3 2
lim -x + x + 2) bằng x®+¥ A. 0 . B. -¥ . C. +¥ . D. 2 . Lời giải Chọn B. é æ öù lim ( 1 2 3 2
-x + x + 2) = lim ê( 3x). 1 - + + . ç 3 ÷ú x®+¥ x®+¥ ë è x x øû æ 1 2 ö Ta có: ( 3 lim x ) = +¥ và lim 1 - + + = 1 - . ç ÷ x®+¥ 3 x®+¥ è x x ø Vậy ( 3 2
lim -x + x + 2) = -¥ x®+¥ -x + 2
Câu 6: Tính N = lim . x®+¥ x +1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 1 - . Lời giải Chọn D. 2 1 - + -x + 2 Ta có = lim = lim x N = 1 - . x®+¥ x +1 x®+¥ 1 1+ x 3x - 2
Câu 7: Tính giới hạn I = lim . x®-¥ 2x +1 3 3 A. I = 2 -
B. I = -
C. I = 2 D. I = 2 2 Lời giải Chọn D. 2 3 - 3x - 2 3 Ta có = lim = lim x I = . x®-¥ 2x +1 x®-¥ 1 2 2 + x Câu 8: ( 3 2 lim x + 2x - ) 1 bằng x®+¥ Trang 6 A. 0 . B. 1. C. +¥ . D. -¥ Lời giải. Chọn C. æ 2 1 ö Ta có: lim ( 3 2 x + 2x - ) 3 1 = lim x 1+ - ç 3 ÷ x®+¥ x®+¥ è x x ø æ 2 1 ö Vì 3
lim x = +¥ và lim 1+ - =1 > 0 ç ÷ x®+¥ 3 x®+¥ è x x ø æ 2 1 ö Suy ra 3 lim x 1+ - = +¥ ç 3 ÷ x®+¥ è x x ø Vậy ( 3 2 lim x + 2x - ) 1 = +¥ x®+¥ 2x - 3
Câu 9: Tìm giới hạn lim . x®+¥ 1- 3x 2 2 A. . B. - 3 . C. - . D. 2 . 3 3 2 Lời giải Chọn B. 3 2x - 3 2 - 2 Ta có: lim = lim x = - . x®+¥ 1- 3x x®+¥ 1 3 - 3 x 5x - 3 Câu 10: Tính lim . x®-¥ 2 x - 5 3 3 A. . B. - . C. 5 . D. -5 . 5 5 Lời giải Chọn D. æ 3 ö æ 3 ö 3 x 5 - x 5 - 5 - 5x - 3 ç ÷ ç ÷ Ta có: lim x lim è x ø = lim è x ø = = lim = 5 - x®-¥ 2 x - 5 x®-¥ 5 x®-¥ 5 x®-¥ 5 . x 1- -x 1- - 1- 2 x 2 x 2 x Câu 11: Cho 2 lim
9x + ax + 3x = 2
- . Tính giá trị của a . x®-¥ ( ) A. 6 - . B. 12 . C. 6 . D. 12 - . Lời giải Chọn B. æ ax ö a a lim
x + ax + x = ç ÷ = = - x®-¥ ( 2 9 3 ) lim lim x®-¥ 2 è 9x + ax - 3 x x ®-¥ ø a 6 - 9 + - 3 x a Þ - = 2 - Û a =12. 6
Câu 12: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 4 4 4 4 A. x - x x - x x - x x - x lim = +¥. B. lim =1. C. lim = -¥. D. lim = 0. x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x x®-¥ 1- 2x Lời giải Trang 7 Chọn A. 2 1 2 1 - - - - 4 . x x x x - x Vì lim = lim x = lim
x = +¥. Vậy A đúng. x®-¥ 1- 2 x x ®-¥ æ 1 x®-¥ ö 1 x - 2 - 2 ç ÷ è x ø x 2 1- 4x - x + 5 2 Câu 13: Cho biết lim
= . Giá trị của a bằng x®-¥ a x + 2 3 2 4 A. 3 . B. - . C. 3 - . D. . 3 3 Lời giải Chọn C. 1 1 5 + 4 - + 2 x x x 2 2 2 lim = Û = Û a = 3 - . x®-¥ 2 3 -a 3 -a + x 2x -1 Câu 14: Tìm lim . x®-¥ x + 2 1 A. 1. B. - . C. 2 . D. -¥ . 2 Lời giải Chọn C. 1 2x -1 2 - Ta có: lim = lim x = 2. x®-¥ x + 2 x®-¥ 2 1+ x 2 2x - x +1
Câu 15: Tìm giới hạn hàm số lim . x®-¥ x + 2 A. +¥ . B. -¥ . C. 2 - . D. 1. Lời giải Chọn B. 2 2x - x +1 lim = -¥. x®-¥ x + 2 2 Câu 16: Giới hạn x + 2 - 2 lim bằng x®+¥ x - 2 A. -¥ B. 1 C. +¥ D. 1 - Lời giải Chọn B.
Chia cả tử và mẫu cho x > 0 ta được: 2 2 + - 2 1 2 x + 2 - 2 x x 1+ 0 - 0 lim = lim = =1 x®+¥ x - 2 x®+¥ 2 1- 0 1- x Câu 17: lim + - - ®+¥ ( x 1 x 3) bằng x Câu 1: A. 0 . B. 2 . C. -¥ . D. +¥ . Trang 8 Câu 2: Lời giải Chọn A. x +1- x + 3 4 Câu 3: lim + - - = lim = lim = 0 ®+¥ ( x 1 x 3) . x x®+¥ x +1 + x - 3 x®+¥ x +1 + x - 3 2018 2 x 4x +1
Câu 18: Tìm giới hạn: lim 2019 . x®+¥ (2x+ )1 1 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2018 2 2019 2 2017 2 Lời giải Chọn B. Ta có: 2018 1 x .x. 4 2018 2 2018 2 + x 4x +1 x 4x + 2 = 1 = x lim lim lim ®+¥ (2x + )2019 ®+¥ 2019 ®+¥ 1 é æ 1 öù 2019 æ 1 ö2019 x x x êx 2 + x 2 + ç ÷ú ç ÷ ë è x øû è x ø + 1 4 2 x 4 + = lim = 0 = 2 = 1 ®+¥ æ 1 ö2019 (2+0)2019 2019 2018 x 2 2 2 + ç ÷ è x ø
Câu 19: Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 2 c + a = 18 và 2 lim
ax + bx - cx = 2 - . Tính giá trị của x®+¥ ( )
biểu thức P = a + b + 5c . A. 9 . B. 5 . C. 18. D. 12. Lời giải Chọn D.
Nhận thấy: a > 0 vì tập xác định có chứa +¥ .
c > 0 vì giới hạn hữu hạn. ( 2 ìa - c = 0 2 a - c ) 2 x + bx ï 2 lim
ax + bx - cx = 2 - Û lim = 2 - Û í b x®+¥ ( ) x®+¥ 2
ax + bx + cx = 2 - ï î a + c ìa = 9 ï
Kết hợp giả thiết cho 2
c + a = 18, ta có Û íc = 3,(c > 0). b ï î = 12 -
Vậy P = a + b + 5c = 9 -12 +15 = 12 .
Câu 20: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. 2 lim
x + x - x = 0 B. 2 lim
x + x - 2x = +¥ x®+¥ ( ) x®-¥ ( ) 1 C. lim
x + x - x = + - = -¥ ®-¥ ( 2 lim x x 2x x ) x®+¥ ( 2 ) D. 2 Lời giải Chọn C. Ta có: 2 lim
x + x - x = +¥ nên phương án A sai. x®-¥ ( ) Trang 9 æ 1 ö Ta có: 2 lim
x + x - 2x = lim xç 1+ - 2÷ = -¥ nên phương án B sai. x®+¥ ( ) x®+¥ ç x ÷ è ø æ ö x ç 1 ÷ æ ö 1 Ta có: lim
x + x - x = ç ÷ ç ÷ = x®+¥ ( 2 ) lim lim nên đáp án C đúng. x®+¥ 2 x
è x + x + x ®+¥ ç ø 1 ÷ 2 ç 1+ +1÷ è x ø æ 1 ö Ta có: 2 lim
x + x - 2x = lim -x ç 1+ + 2÷ = +¥ nên đáp án D sai. x®-¥ ( ) ( ) x®-¥ ç x ÷ è ø cos5x
Câu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim là x®-¥ 2x 1 A. -¥ . B. 0 . C. . D. +¥ . 2 Lời giải Chọn B. cos5x 1
Cách 1: 0 £ cos5x £ 1Þ 0 £ £ , x " ¹ 0 2x 2x 1 cos5x Mà lim = 0 nên lim = 0 . x®-¥ 2x x®-¥ 2x cos 5x
Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad + + CACL + 9 x = 10 - và so 2x đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad + cos5x lim và so đáp án. 2x 9 x ® 10 - Câu 22: Biết
x + ax + + bx = - 2 3
P = a - 2b x®-¥ ( 2 lim 4 1 ) . T
1 ính giá của biểu thức .
A. P = 32.
B. P = 0 .
C. P = 16. D. P = 8 . Lời giải Chọn B. TH1: b = 2 1 + a + a Þ + + + ax 1 = lim = lim x = - ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 2x x ) . x®-¥ 2
4x + ax +1 - 2x x®-¥ a 1 4 - 4 + + - 2 2 x x Þ + + + a = 1 - Û - = 1 - Þ a = 4 ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 bx x ) . 4 é æ a 1 öù ì-¥ khi b > 2 TH2: b ¹ 2 Þ + + + = lim êxç - 4 + + + b÷ú = í ®-¥ ( 2 lim 4x ax 1 bx x ) 2 x®-¥ ç x x ÷ êë è øúû î+¥ khi b < 2
Vậy a = 4,b = 2 2 3
Þ P = a - 2b = 0
Câu 23: Cho các số thực a,b, c thỏa mãn 2 c + a = 18 và
ax + bx - cx = - x®+¥ ( 2 lim ) 2. Tính giá trị của
biểu thức P = a + b + 5c . Trang 10 A. 9. B. 5 . C. 18. D. 12. Lời giải Chọn D.
Nhận thấy: a > 0 vì tập xác định có chứa +¥ .
c > 0 vì giới hạn hữu hạn. ( 2 ìa - c = 0 2 ìa - c = 0 2 a - c ) 2 x + bx ï ï
ax + bx - cx = - = lim = 2 - Û í b Û í b x®+¥ ( 2 lim ) 2 x®+¥ 2
ax + bx + cx = 2 - ï = 2 - ï î a + c î a + c ìa = 9 ï
Kết hợp giả thiết cho 2
c + a = 18, ta có Û íc = 3,(c > 0). b ï î = 12 -
Vậy P = a + b + 5c = 9 -12 +15 = 12 .
Câu 24: Tìm giới hạn C = lim én (x + a )(x + a )...(x + a ) - xù 1 2 n . x®+¥ ë û
a + a + ...+ a
a + a + ...+ a A. +¥ . B. -¥ . C. 1 2 n . D. 1 2 n . n 2n Lời giải Chọn C. Đặt n
y = (x - a )(x - a )...(x - a ) 1 2 n n n y - x n n n 1 - n 1 - n 1 y x (y x)(y y x ... x - Þ - = - + + + ) Þ y - x = n 1 - n 1 - n 1 y + y x +...+ x - n n y - x
Þ lim (y - x) = lim n 1 - n-2 n 1 x x y + y x +...+ x - ®+¥ ®+¥ n n y - x n 1 - Þ = lim x C . n 1 - n 1 - n 1 x y + y x +...+ x - ®+¥ n 1 x - n n y - x b b b Mà 2 3 lim
= lim (a + a +...+ a + + +... n +
) = a + a +...+ a . n 1 - 1 2 n 2 n 1 1 2 n x x x x x x - ®+¥ ®+¥ k n 1 - -k y x n 1 - n-2 n 1 y + y x +...+ x - lim =1 k " = 0,...,n -1Þ lim = n. n 1 x x - ®+¥ n 1 x x - ®+¥
a + a + ...+ a Vậy 1 2 n C = . n n
a x + ...+ a x + a
Câu 25: Tìm giới hạn 0 n 1 A = lim -
n , (a ,b ¹ 0) m 0 0 .
x®+¥ b x + ... + b x + b 0 m 1 - m A. +¥ . B. -¥ 4 . C. . D. Đáp án khác. 3 Lời giải Chọn D. n a a a 1 n 1 x (a + + ... - n + + ) 0 n 1 - n Ta có: = lim x x x A x®+¥ m b b b 1 m 1 x (b + +... - m + + ) 0 m 1 - m x x x Trang 11 a a a 1 n 1 a + + ... - n + + • 0 n 1 - n a Nếu x x x 0
m = n Þ A = lim = . x®+¥ b b b 1 m 1 - m b0 b + + ...+ + 0 m 1 - m x x x a a a 1 n 1 a + + ... - n + + • 0 n 1 - n Nếu > Þ = lim x x x m n A = 0 x®+¥ m-n b b b 1 m 1 x (b + +... - m + + ) 0 m 1 - m x x x . n-m a a a 1 n 1 x (a + + ... - n + + ) • 0 n 1 - n
ì+¥ khi a .b > 0
Nếu m < n , ta có: x x x 0 0 A = lim = í . x®+¥ b b b -¥ < 1 m 1 - m khi a b 0 + + + + î 0 0 b ... 0 m 1 - m x x x 7
Câu 26: Cho a,b là các số dương. Biết lim x - ax + x + bx + = x®-¥ ( 2 3 3 2 9 27 5)
. Tìm giá trị lớn nhất của 27 ab . 49 59 43 75 A. . B. . C. . D. . 18 34 58 68 Lời giải Chọn A. - + + + = - + + + + - ®-¥ ( 2 3 3 2 x ax x bx ) ®-¥( 2 3 3 2 lim 9 27 5 lim 9x ax 3x 27x bx 5 3x x x ) = - + + + + - ®-¥ ( 2 x ax x) ®-¥(3 3 2 lim 9 3 lim 27x bx 5 3x x x ). - a a ax = lim = + lim
x - ax + x = x®-¥ a 6 x®-¥ ( 2 9 3 ) lim . x®-¥ 2
9x - ax - 3x 9 - + 3 x bx + lim
x + bx + - x = x®-¥ ( 27 5 3 ) 2 5 3 3 2 + lim x®-¥ 2 ( 3 2 27x + bx + 5) 3 3 2 2 3 + 3 .
x 27x + bx + 5 + 9x 5 b + 2 b = lim x = x®-¥ 2 . 27 æ b 5 ö b 5 3 3 27 + + + 3. 27 + + + 9 ç 3 ÷ 2 è x x ø x x a b 7 Do đó + = . 6 27 27
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có : a b a b + ³ 2 . 6 27 6 27 7 2 49 Þ ³ . a b Þ ab £ . 27 9 2 18 ì a b ì 7 = a = ï ï ï ï Đẳng thức xảy ra khi 6 27 9 í Û í . a b 7 7 ï ï + = b = ïî6 27 27 ïî 2 49
Vậy giá trị lớn nhất của ab bằng . 18 Trang 12
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
Câu 1. [Mức độ 1] Tìm 11
lim x ta có kết quả là x®+¥ A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 11. Lời giải Chọn B Áp dụng lim k
x = +¥ , k là số nguyên dương ta được phương án B. x®+¥
Câu 2. [Mức độ 1] Tính 2021 lim x
ta được kết quả là x®-¥ A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 2021. Lời giải Chọn A áp dụng lim k
x = -¥ với k là số lẻ ta được phương án A. x®-¥ 5 -
Câu 3. [Mức độ 1] Cho limg (x) = -¥, tính lim . x®2
x®2 g ( x) A. -¥ . B. +¥ . C. 5 - . D. 0 . Lời giải Chọn D f ( x)
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương g ( x) 2 7 - x + 5
Câu 4. [Mức độ 2] Tính lim
ta được đáp án là - 2
x®2 -x - x + 6 A. -¥ . B. +¥ . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B
Cách 1: (trình bày tự luận) Ta có 2 2
lim 7 - x + 5 = 4 > 0; lim -x - x + 6 = 0 ; 2
-x - x + 6 > 0 khi x 2 .- ® x®2- ( ) - ( ) x®2 2 7 - x + 5 Vậy lim = +¥. - 2
x®2 -x - x + 6
Cách 2: (Sử dụng MTCT) 2 7 - x + 5
Nhập vào máy tính biểu thức
® nhấn phím CALC ® nhập 11 2 10- - ® nhấn phím 2 -x - x + 6
= ® đối chiếu với các phương án. 2x + 5
Câu 5. [Mức độ 2] Tìm lim
ta có kết quả là x®- ( x + 3)2 3 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 2 . Lời giải Chọn C
Cách 1: (trình bày tự luận) Ta có: lim(2x + 5) = 1
- < 0; lim(x +3)2 = 0;(x +3)2 > 0 khi x ® 3 - . x 3 ®- x 3 ®- 2x + 5 Vậy lim = -¥ . x®- ( x + 3)2 3 Trang 13 2x + 5
Cách 2: Nhập vào máy tính biểu thức
® nhấn phím CALC ® nhập 11 3 10- - + ® (x + 3)2
nhấn phím = ® đối chiếu với các phương án. 2x - 4
Câu 6. [Mức độ 1] lim bằng x 1- ® x -1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có lim(2x - 4) = 2 - < 0, lim(x - ) 1 = 0 và (x - ) 1 < 0, x " <1. x 1- ® x 1- ® 2x - 4 Vậy lim = +¥ x 1- ® x -1 2 x + 2x
Câu 7. [Mức độ 2] lim bằng x®+¥ 2x -1 1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. . 2 Lời giải Chọn B 2 æ 2 ö æ 2 ö x 1+ 1+ 2 x 2x ç ÷ ç ÷ + Ta có lim lim è x ø lim è x x ø = = = +¥ x®+¥ 2x -1 x®+¥ æ 1 x®+¥ ö æ 1 ö x 2 - 2 - ç ÷ ç ÷ è x ø è x ø æ 2 ö 1+ ç ÷ è x ø 1 Vì lim x = +¥ và lim = > 0 x®+¥ x®+¥ æ 1 ö 2 2 - ç ÷ è x ø 3 2 - x - x
Câu 8. [Mức độ 2] lim bằng x®-¥ x +1 A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 1 - . Lời giải Chọn C æ ö é æ ö ù 3 2 1 2 1 x - -1 - -1 3 ç 3 2 ÷ ê ç 3 2 2 x x ÷ ú - - Ta có è x x ø 2 lim = lim = lim è x x x ø ê ú = -¥ x®-¥ x +1 x®-¥ æ 1 x®-¥ ö ê æ 1 ö x 1 1 ú + + ç ÷ ç ÷ x êë x ú è ø è ø û æ 2 1 ö - -1 ç 3 2 ÷ Vì 2
lim x = +¥ và lim è x x ø = 1 - < 0 x®-¥ x®-¥ æ 1 ö 1+ ç ÷ è x ø 2 x + 3x - 2
Câu 9. [Mức độ 2] lim bằng x® (x - )2 1 1 A. -¥ . B. 2 - . C. 1 - . D. +¥ . Trang 14 Lời giải Chọn D Ta có lim( 2
x + 3x - 2) = 2 > 0, li ( m x - )2 1 = 0 và (x - )2 1 > 0 khi x ®1. x 1 ® x 1 ® 2 x + 3x - 2 Vậy lim = +¥ x® (x - )2 1 1 Câu 10. [Mức độ 2] 2
lim x - 9 bằng x®-¥ A. 0 . B. +¥ . C. -¥ . D. 3. Lời giải Chọn B 9 Ta có 2
lim x - 9 = lim x 1- = +¥ 2 x®-¥ x®-¥ x 9
Vì lim x = lim (-x) = +¥ và lim 1- =1> 0. x®-¥ x®-¥ 2 x®-¥ x Câu 11. [Mức độ 2] 2
lim x - x + 3x bằng x®-¥( ) A. 0 . B. +¥ . C. -¥ 3 . D. - . 2 Lời giải Chọn C æ ö æ 3 ö Ta có 2 3
lim x - x + 3x = lim ç x - x 1+ ÷ = lim ç x + x 1+ ÷ x®-¥( ) x®-¥ x è ø x®-¥ x è ø é æ 3 öù
lim êxç1+ 1+ ÷ú = -¥ x®-¥ x êë è øúû æ ö Vì lim x = -¥ 3 và lim ç1+ 1+ ÷ = 2 > 0 x®-¥ x®-¥ x è ø f ( x) Câu 12.
[Mức độ 2] Biết lim f (x) = 4. Khi đó lim bằ ng x 1 ®- x®- ( x + )4 1 1 A. 4 . B. +¥ . C. -¥ . D. 0 . Lời giải Chọn B
Ta có lim f (x) = 4 > 0, lim(x + )4 1 = 0 và (x + )4 1 > 0, x " ¹ - . 1 x 1 ®- x 1 ®- f (x) Vậy lim = +¥ . x®- ( x + )4 1 1 Trang 15