Các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

Tài liệu gồm 138 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương tuyển chọn các câu hỏi và bài toán trắc nghiệm đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt chương trình Hình học 11 chương 2,

91 46 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

138 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H2-1
MỤC LỤC
PHẦNA
.CÂUHỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG1.LÝTHUYẾT ................................................................................................................................................... 1
DẠNG2.XÁCĐỊNHGIAOTUYẾNCỦA2MẶTPHẲNG........................................................................................ 3
DẠNG3.TÌMGIAOĐIỂM ............................................................................................................................................ 4
DẠNG4.TÌMTHIẾTDIỆN ........................................................................................................................................... 7
DẠNG5.ĐỒNGQUY,THẲNGHÀNG ...................................................................................................................... 11
DẠNG6.TỈSỐ ............................................................................................................................................................. 12
PHẦNB.LỜIGIẢITHAMKHẢO .............................................................................................................................. 14
DẠNG1.LÝTHUYẾT ................................................................................................................................................. 14
DẠNG2.XÁCĐỊNHGIAOTUYẾNCỦA2MẶTPHẲNG...................................................................................... 16
DẠNG3.TÌMGIAOĐIỂM .......................................................................................................................................... 20
DẠNG4.TÌMTHIẾTDIỆN ......................................................................................................................................... 27
DẠNG5.ĐỒNGQUY,THẲNGHÀNG ...................................................................................................................... 40
DẠNG6.TỈSỐ ............................................................................................................................................................. 44
PHẦNA.CÂUHỎI
DẠNG1.LÝTHUYẾT
Câu 1. Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàođúng?
A. Nếuhaimặtphẳngphânbiệtlầnlượtchứahaiđườngthẳngsongsongthìgiaotuyếncủachúng
(nếucó)cũngsongsongvớihaiđườngthẳngđóhoặctrùngvớimộttronghaiđườngthẳngđó.
B. Nếubamặtphẳngđôimộtcắtnhautheobagiaotuyếnthìbagiaotuyếnđấyhoặcđồngquihoặc
đôimộtsongsong.
C. Nếuhaimặtphẳngphânbiệtlầnlượtchứahaiđườngthẳngsongsongthìgiaotuyếncủachúng
(nếucó)cũngsongsongvớihaiđườngthẳngđó.
D. Haimặtphẳngcùngsongsongvớiđườngthẳngthứbathìsongsongvớinhau.
Câu 2. Mộtmặtphẳnghoàntoànđượcxácđịnhnếubiếtđiềunàosauđây?
A. Mộtđườngthẳngvàmộtđiểmthuộcnó. B. Bađiểmmànóđiqua.
C. Bađiểmkhôngthẳnghàng. D. Haiđườngthẳngthuộcmặtphẳng.
Câu 3. Trongcáctínhchấtsau,tínhchấtnàokhôngđúng?
A. Cóhaiđườngthẳngphânbiệtcùngđiquahaiđiểmphânbiệtchotrước.
B. Tồntại4điểmkhôngcùngthuộcmộtmặtphẳng.
C. Cómộtvàchỉmộtmặtphẳngđiquabađiểmkhôngthẳnghàng.
D. Nếumộtđườngthẳngđiquahaiđiểmthuộcmộtmặtphẳngthìmọiđiểmcủađườngthẳngđều
thuộcmặtphẳngđó.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 4. (HKI-ChuyênHàNội-Amsterdam2017-2018)Chọnmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsau:
A. Bađườngthẳngđôimộtsongsongthìchúngcùngnằmtrênmộtmặtphẳng.
B. Bađườngthẳngphânbiệtđôimộtcắtnhauthìchúngcùngnằmtrênmộtmặtphẳng.
C. Bađườngthẳngđôimộtcắtnhauthìchúngđồngquytạimộtđiểm.
D. CảA,B,Cđềusai.
Câu 5. Chocáckhẳngđịnh:
(1):Haimặtphẳngcómộtđiểmchungthìchúngcómộtđườngthẳngchungduynhất.
(2):Haimặtphẳngphânbiệtcómộtđiểmchungthìchúngcómộtđườngthẳngchungduynhất.
(3):Haimặtphẳngcómộtđiểmchungthìchúngcòncóvôsốđiểmchungkhácnữa.
(4):Nếubađiểmphânbiệtcùngthuộchaimặtphẳngthìchúngthẳnghàng.
Sốkhẳngđịnhsaitrongcáckhẳngđịnhtrênlà
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 6. Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng?
A. Haiđườngthẳngphânbiệtkhôngsongsongthìcheonhau.
B. Haiđườngthẳngkhôngcóđiểmchungthìchéonhau.
C. Haiđườngthẳngchéonhauthìkhôngcóđiểmchung.
D. Haiđườngthẳnglầnlượtnằmtrênhaimặtphẳngphânbiệtthìchéonhau.
Câu 7. Chohaiđườngthẳng
a
và
b
chéonhau.Cóbaonhiêumặtphẳngchứa
a
vàsongsongvới
b
A.
0.
. B. Vôsố. C.
2.
. D.
1.
Câu 8. (THIHK1LỚP11THPTVIỆTTRÌ2018-2019)Trongcáchìnhvẽsauhìnhnàocóthểlà
hìnhbiểudiễncủamộthìnhtứdiện?(chọncâuđúngvàđầyđủnhất)
A.
( ), ( )I II
. B.
( ),( ),( ),( )I II III IV
.C.
( )I
. D.
.
Câu 9. (ChuyênNguyễnHuệ-HàNội-HK12018-2019)Mộthìnhchópcóđáylàngũgiáccósốcạnh
là
A.
9
cạnh. B.
10
cạnh. C.
6
cạnh. D.
5
cạnh.
Câu 10. (HKI–TRIỆUQUANGPHỤC2018-2019)Mộthìnhchópcóđáylàngũgiáccósốmặtvàsố
cạnhlà
A.
5
mặt,
5
cạnh. B.
6
mặt,
5
cạnh. C.
6
mặt,
10
cạnh. D.
5
mặt,
10
cạnh.
Câu 11. (LươngThếVinh-KiểmtragiữaHK1lớp11năm2018-2019)Hìnhchópcó
16
cạnhthìcó
baonhiêumặt?
A.
10
. B.
8
. C.
7
. D.
9
.
Câu 12. Chohìnhchóp
.
S ABC
.Gọi
, , ,M N K E
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
, , ,SA SB SC BC
.Bốnđiểmnào
sauđâyđồngphẳng?
A.
, , ,M K A C
. B.
, , ,M N A C
. C.
, , ,M N K C
. D.
, , ,M N K E
.
Câu 13. (THPTKINHMÔN-HD-LẦN2-2018)Chọnmệnhđềđúngtrongcácmệnhđềsauđây:
A. Trongkhônggianhaiđườngthẳngchéonhauthìkhôngcóđiểmchung.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
B. Trongkhônggianhaiđườngthẳngphânbiệtcùngsongsongvớimộtmặtphẳngthìsongsong
vớinhau.
C. Nếumặtphẳng
P
chứahaiđườngthẳngcùngsongsongvớimặtphẳng
Q
thì
P
và
Q
songsongvớinhau.
D. Trongkhônggianhìnhbiểudiễncủamộtgócthìphảilàmộtgócbằngnó.
Câu 14. (THPTCHUYÊNVĨNHPHÚC-LẦN3-2018)Trongkhônggianchobốnđiểmkhôngđồng
phẳng,cóthểxácđịnhnhiềunhấtbaonhiêumặtphẳngphânbiệttừcácđiểmđó?
A.
3
. B.
4
. C.
2
. D.
6
.
Câu 15. (THPTNGUYỄNHUỆ-NINHBÌNH-2018)Chotamgiác
ABC
khiđósốmặtphẳngqua
A
vàcáchđềuhaiđiểm
B
và
C
là?
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D. Vôsố.
Câu 16. Chomặtphẳng
P
vàhaiđườngthẳngsongsong
a
và
b
.Mệnhđềnàosauđâyđúng?
A. Nếu
P
songsongvới
a
thì
P
cũngsongsongvới
b
.
B. Nếu
P
cắt
a
thì
P
cũngcắt
b
.
C. Nếu
P
chứa
a
thì
P
cũngchứa
b
.
D. Tấtcảcáckhẳngđịnhtrênđềusai.
DẠNG2.XÁCĐỊNHGIAOTUYẾNCỦA2MẶTPHẲNG
Câu 17. Chohìnhchóp
.
S ABCD
với
ABCD
làhìnhbìnhhành.Khiđógiaotuyếncủahaimặtphẳng
SAC
và
SAD
là
A. Đườngthẳng
SC
. B. Đườngthẳng
SB
. C. Đườngthẳng
SD
. D. Đườngthẳng
SA
.
Câu 18. (BạchĐằng-QuảngNinh-Lần1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhbìnhhành.Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AD
và
BC
.Giaotuyếncủa
SMN
và
SAC
là
A.
SK
(
K
làtrungđiểmcủa
AB
). B.
SO
(
O
làtâmcủahìnhbìnhhành
ABCD
).
C.
SF
(
F
làtrungđiểmcủa
CD
). D.
SD
.
Câu 19. (HKI_L11-NGUYỄNGIATHIỀU-HÀNỘI1718)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
là
hìnhthangvớiđáylớn
AD
,
2
AD BC
.Gọi
O
làgiaođiểmcủa
AC
và
.BD
Tìmgiaotuyếncủa
haimặtphẳng
SAC
và
SBD
.
A.
SA
. B.
AC
. C.
SO
. D.
SD
.
Câu 20. (HKI–TRIỆUQUANGPHỤC2018-2019)Chohìnhchóptứgiác
. .S ABCD
Giaotuyếncủa
haimặtphẳng
SAB
và
SBC
là
A.
SA
. B.
SB
. C.
SC
. D.
AC
.
Câu 21. (THIHK1LỚP11THPTVIỆTTRÌ2018-2019)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthang
( // )ABCD AD BC
. Gọi
M
là trung điểm của
CD
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
MSB
và
SAC
là:
A.
SP
với
P
làgiaođiểmcủa
AB
và
CD
.
B.
SI
với
I
làgiaođiểmcủa
AC
và
BM
.
C.
SO
với
O
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
. D.
SJ
với
J
làgiaođiểmcủa
AM
và
BD
.
Câu 22. (HỌCKÌ1-LỚP11-KIMLIÊNHÀNỘI18-19)Chohìnhchóp
.
S ABCD
,biết
AC
cắt
BD
tại
M
,
AB
cắt
CD
tại
O
.Tìmgiaotuyếncủahaimặtphẳng
SAB
và
SCD
.
A.
SO
. B.
SM
. C.
SA
. D.
SC
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 23. Chohìnhchóp
SABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhthang,đáylớnlà
AB
.Kếtluậnnàosauđâysai?
A. Giaotuyếncủahaimặtphẳng
SAD
và
SBC
làđườngthẳngđiqua
S
vàkhôngsongsong
với
AD
.
B. Giaotuyếncủahaimặtphẳng
SAD
và
SBC
làđườngthẳngđiqua
S
vàsongsongvới
AD
C. Giaotuyếncủahaimặtphẳng
SAB
và
SCD
làđườngthẳngđiqua
S
vàsongsongvới
CD
.
D. Giaotuyếncủahaimặtphẳng
SAC
và
SBD
làđườngthẳngđiqua vàgiaođiểmcủa
AC
và
DB
.
Câu 24. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhbìnhhành.Gọi
I
và
J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SA
và
SB
.Khẳngđịnhnàosauđâysai?
A.
SAB IBC IB
. B.
IJCD
làhìnhthang.
C.
SBD JCD JD
. D.
IAC JBD AO
(
O
làtâm
ABCD
).
Câu 25. Chohinhchop
.
S ABCD
co
AC BD M
,
AB CD N
.Giaotuyêncuahaimătphăng
SAB
va
SCD
la:
A.
SM
. B.
SA
. C.
MN
. D.
SN
.
Câu 26. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang
ABCD
( // )AD BC
.Gọi
M
làtrungđiểm
CD
.Giaotuyếncủahaimặtphẳng
( )MSB
và
( )SAC
là
A.
SI
(
I
làgiaođiểmcủa
AC
và
BM
). B.
SO
(
0
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
).
C.
SJ
(
J
làgiaođiểmcủa
AM
và
BD
). D.
SP
(
P
làgiaođiểmcủa
AB
và
CD
).
Câu 27. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhbìnhhànhtâm
O
,
M
làtrungđiểm
SC
.Khẳng
địnhnàosauđâysai?
A. Giaotuyếncủa
SAC
và
ABCD
là
AC
. B.
SA
và
BD
chéonhau.
C.
AM
cắt
SBD
. D. Giaotuyếncủa
SAB
và
SCD
là
SO
.
Câu 28. (ChuyênNguyễnHuệ-HàNội-HK12018-2019)Chotứdiện
ABCD
,
M
làtrungđiểmcủa
AB
,
N
làđiểmtrên
AC
mà
1
4
AN AC
,
P
làđiểmtrênđoạn
AD
mà
2
3
AP AD
.Gọi
E
là
giaođiểmcủa
MP
và
BD
,
F
làgiaođiểmcủa
MN
và
BC
.Khiđógiaotuyếncủa
BCD
và
CMP
là
A.
CP
. B.
NE
. C.
MF
. D.
CE
.
Câu 29. Chobốnđiểm
, , ,A B C D
khôngđồngphẳng.Gọi
,I K
lầnlượtlàtrungđiểmhaiđoạnthẳng
AD
và
BC
.
IK
làgiaotuyếncủacặpmặtphẳngnàosauđây?
A.
IBC
và
KBD
. B.
IBC
và
KCD
. C.
IBC
và
KAD
. D.
ABI
và
KAD
.
Câu 30.
(THPTTỨKỲ-HẢIDƯƠNG-LẦN2-2018)Chotứdiện
ABCD
.Gọi
M
,
N
lầnlượtlà
trungđiểm
AD
và
AC
.Gọi
G
làtrọngtâmtamgiác
BCD
.Giaotuyếncủahaimặtphẳng
GMN
và
BCD
làđườngthẳng:
A. qua
M
vàsongsongvới
AB
. B. Qua
N
vàsongsongvới
BD
.
C. qua
G
vàsongsongvới
CD
. D. qua
G
vàsongsongvới
BC
.
DẠNG3.TÌMGIAOĐIỂM
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 31. Chohìnhchóp
.
S ABCD
có
I
làtrungđiểmcủa
SC
,giaođiểmcủa
AI
và
SBD
là
A. Điểm
K
(với
O
làtrungđiểmcủa
BD
và
K SO AI
).
B. Điểm
M
(với
O
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
,
M
làgiaođiểm
SO
và
AI
).
C. Điểm
N
(với
O
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
,
N
làtrungđiểmcủa
SO
).
D. Điểm
I
.
Câu 32. Chohinhchop
.
S ABCD
cođaylahinhbinhhanh.
,M N
lânlươtthuôcđoan
, .AB SC
Khăng
đinhnaosauđâyđung?
A. Giaođiêmcua
MN
va
SBD
lagiaođiêmcua
MN
va
.SB
B. Đươngthăng
MN
khôngcătmătphăng
SBD
.
C. Giaođiêmcua
MN
va
SBD
lagiaođiêmcua
MN
va
SI
,trongđo
I
lagiaođiêmcua
CM
vaBD.
Câu 33. Chotứgiác
ABCD
có
AC
và
BD
giaonhautại
O
vàmộtđiểm
S
khôngthuộcmặtphẳng
( )ABCD
.Trênđoạn
SC
lấymộtđiểm
M
khôngtrùngvới
S
và
C
.Giaođiểmcủađườngthẳng
SD
vớimặtphẳng
( )ABM
là
A. giaođiểmcủa
SD
và
BK
(với
K SO AM
).
B. giaođiểmcủa
SD
và
AM
.
C. giaođiểmcủa
SD
và
AB
.
D. giaođiểmcủa
SD
và
MK
(với
K SO AM
).
Câu 34. (ChuyênLêThánhTông-QuảngNam-2018-2019)Chotứdiện
ABCD
.Gọi
,M N
lầnlượtlà
trungđiểmcáccạnh
,AD BC
;
G
làtrọngtâmcủatamgiác
BCD
.Khiđó,giaođiểmcủađường
thẳng
MG
vàmặtphẳng
( )ABC
là:
A. Điểm
A
.
B. Giaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
AN
.
C. Điểm
N
.
D. Giaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
BC
.
Câu 35. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhbìnhhành.
M
làtrungđiểmcủa
SC
.Gọi
I
làgiaođiểm
củađườngthẳng
AM
vớimặtphẳng
SBD
.Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhsau
đây:
A.
3
IA IM
. B.
3IM IA
. C.
2IM IA
. D.
2IA IM
.
Câu 36. (HKI-ChuyênHàNội-Amsterdam2017-2018)Chotứdiện
ABCD
có
,M N
theothứtựlà
trungđiểmcủa
,AB BC
.Gọi
P
làđiểmthuộccạnh
CD
saocho
2
CP PD
và
Q
làđiểmthuộc
cạnh
AD
saochobốnđiểm
, , ,M N P Q
đồngphẳng.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
Q
làtrungđiểmcủađoạnthẳng
AC
. B.
2
DQ AQ
C.
2
AQ DQ
D.
3
AQ DQ
.
Câu 37. (THIHK1LỚP11THPTVIỆTTRÌ2018-2019)Chotứdiện
ABCD
,gọi
,E F
lầnlượtlà
trungđiểmcủa
AB
,
CD
;
G
làtrọngtâmtamgiác
BCD
.Giaođiểmcủađườngthẳng
EG
vàmặt
phẳng
ACD
là
A. Giaođiểmcủađườngthẳng
EG
và
AF
. B. Điểm
F
.
C. Giaođiểmcủađườngthẳng
EG
và
CD
. D. Giaođiểmcủađườngthẳng
EG
và
AC
.
Câu 38. (HKI-NguyễnGiaThiều2018-2019)Chotứdiện
ABCD
có
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BC
,
AD
.Gọi
G
làtrọngtâmcủatamgiác
BCD
.Gọi
I
làgiaođiểmcủa
NG
vớimặtphẳng
ABC
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
I AM
. B.
I BC
. C.
I AC
. D.
I AB
.
Câu 39. (HỌCKÌ1-LỚP11-KIMLIÊNHÀNỘI18-19)Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáylàhìnhbình
hành.Gọi
M
,
I
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SA
,
BC
điểm
G
nằmgiữa
S
và
I
saocho
3
5
SG
SI
.
Tìmgiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vớimặtphẳng
ABCD
.
A. Làgiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
AI
.
B. Làgiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
BC
.
C. Làgiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
CD
.
D. Làgiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàđườngthẳng
AB
.
Câu 40. Chotứdiện
ABCD
.Lấyđiểm
M
saocho
2AM CM
và
N
làtrungđiểm
AD
.Gọi
O
làmột
điểmthuộcmiềntrongcủa
BCD
.Giaođiểmcủa
BC
với
OMN
làgiaođiểmcủa
BC
với
A.
OM
. B.
MN
. C.
,A B
đềuđúng. D.
,A B
đềusai.
Câu 41. Cho hình chóp , là một điểm trên cạnh , là một điểm trên cạnh ,
, , .Khiđógiaođiểmcủađườngthẳng vớimặt
phẳng là
A. Giaođiểmcủa và . B. Giaođiểmcủa và .
C. Giaođiểmcủa và . D. Giaođiểmcủa và .
Câu 42. Chohìnhchóp
.S ABC
cóđáy
ABC
làtamgiác,nhưhìnhvẽbênduới.
Với
, ,HM N
lầnlượtlàcácđiểmthuộcvàocáccạnh
, ,AB BC SA
saocho
MN
khôngsongsong
với
.AB
Gọi
O
làgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
AN
với
BM
.Gọi
T
làgiaođiểmcủađường
NH
với
SBO
.Khẳngđịnhnàosauđâylàkhẳngđịnhđúng?
A.
T
làgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
SO
với
.HM
B.
T
làgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
NH
và
BM
.
C.
T
làgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
NH
và
SB
.
D.
T
làgiaođiểmcủahaiđườngthẳng
NH
và
SO
.
Câu 43. Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáyABCDlàmộttứgiác(ABkhôngsongsongvớiCD).GọiMlà
trungđiểm của SD, Nlà điểmnằm trên cạnhSB sao cho
2 .SN NB
Giaođiểm của MN với
(ABCD)làđiểmK.HãychọncáchxácđịnhđiểmKđúngnhấttrong4phươngánsau:
A. KlàgiaođiểmcủaMNvớiAC. B. KlàgiaođiểmcủaMNvớiAB.
C. KlàgiaođiểmcủaMNvớiBC. D. KlàgiaođiểmcủaMNvớiBD.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 44. (TRƯỜNGTHPTTHANHTHỦY2018-2019)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhình
bìnhhànhtâm
O
.Gọi
, ,M N K
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
, ,CD CB SA
.
H
làgiaođiểmcủa
AC
và
MN
.Giaođiểmcủa
SO
với
MNK
làđiểm
E
.Hãychọncáchxácđịnhđiểm
E
đúngnhất
trongbốnphươngánsau:
A.
E
làgiaođiểmcủa
MN
với
SO
. B.
E
làgiaođiểmcủa
KN
với
SO
.
C.
E
làgiaođiểmcủa
KH
với
SO
. D.
E
làgiaođiểmcủa
KM
với
SO
.
DẠNG4.TÌMTHIẾTDIỆN
Câu 45. (HKI-NguyễnGiaThiều2018-2019)Chohìnhchóp
.
S ABCD
với
ABCD
làtứgiáclồi.Thiết
diệncủamặtphẳng
tùyývớihìnhchópkhôngthểlà
A. tamgiác. B. tứgiác. C. ngũgiác. D. lụcgiác.
Câu 46. Chohìnhchóp
.S ABCD
có
ABCD
làhìnhthangcânđáylớn
AD
.Gọi
,M N
lầnlượtlàhai
trungđiểmcủa
,AB CD
.Gọi
( )P
làmặtphẳngqua
MN
vàcắtmặtbên
( )SBC
theomộtgiao
tuyến.Thiếtdiệncủa
( )P
vàhìnhchóplà:
A. Hìnhbìnhhành. B. Hìnhchữnhật. C. Hìnhthang. D. Hìnhvuông.
Câu 47. (HỌCKỲIĐANPHƯỢNGHÀNỘI2017-2018)Chotứdiện
ABCD
đềucạnh
a
.Gọi
G
là
trọngtâmtamgiác
ABC
,mặtphẳng
CGD
cắttứdiệntheomộtthiếtdiệncódiệntíchlà.
A.
2
2
6
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
2
4
a
. D.
2
3
2
a
.
Câu 48. (HKI_L11-NGUYỄNGIATHIỀU-HÀNỘI1718)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
là
hìnhbìnhhành.Gọi
M
,
,N P
lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh
, ,AB AD SC
.Thiếtdiệnhìnhchóp
vớimặtphẳng
MNP
làmột
A. tamgiác. B. tứgiác. C. ngũgiác. D. lụcgiác.
Câu 49. Cho tứ diện
ABCD
. Trên các cạnh
, ,AB BC CD
lần lượt lấy các điểm
, ,P Q R
sao cho
1
, 2
3
AP AB BC QC
,
R
khôngtrùngvới
,C D
.Gọi
PQRS
làthiếtdiệncủamặtphẳng
PQR
vớihìnhtứdiện
ABCD
.Khiđó
PQRS
là
A. hìnhthangcân. B. hìnhthang.
C. mộttứgiáckhôngcócặpcạnhđốinàosongsong. D. hìnhbìnhhành.
Câu 50. (HKI–TRIỆUQUANGPHỤC2018-2019)Chohìnhchóp
.
S ABCD
.Cóđáy
ABCD
làhình
bìnhhành.Gọi
M
,
N
,
Q
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
AB
,
AD
,
SC
.Thiếtdiệncủahình
chópvớimặtphẳng
MNQ
làđagiáccóbaonhiêucạnh?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D.
6
.
Câu 51. Chohinhchop
.S ABCD
cođaylahinhthang,
AB
//
CD
va
2AB CD
.Goi
O
lagiaođiêmcua
AC
va
BD
.Lấy
E
thuôccanh
SA
,
F
thuôccanh
SC
saocho
2
3
SE SF
SA SC
(thamkhảohìnhvẽ
dướiđây).
Thiêtdiêncuahinhchop
.S ABCD
cătbơimătphăng
BEF
là
A. mộttamgiác. B. mộttứgiác. C. mộthìnhthang. D. mộthìnhbìnhhành.
Câu 52. (THIHK1LỚP11THPTVIỆTTRÌ2018-2019)Chohìnhchóp
.S ABCD
cóđáy
ABCD
là
hìnhthangvớiđáylớn
,AD E
làtrungđiểmcủacạnh
, ,SA F G
làcácđiểmthuộccạnh
,SC AB
(F
khônglàtrungđiểmcủa
SC
).Thiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng
EFG
làmộthình
A. lụcgiác. B. ngũgiác. C. tamgiác. D. tứgiác.
Câu 53. (LươngThếVinh-KiểmtragiữaHK1lớp11năm2018-2019)Chohìnhchóp
.S ABCD
có
đáy
ABCD
làhìnhbìnhhành.Gọi
I
làtrungđiểm
SA
.Thiếtdiệncủahìnhchóp
.S ABCD
cắtbởi
IBC
là
A. Tứgiác
IBCD
. B. Hìnhthang
IGBC
(
G
làtrungđiểm
SB
).
C. Hìnhthang
IJBC
(
J
làtrungđiểm
SD
). D. Tamgiác
IBC
.
Câu 54. Chotứdiệnđều
ABCD
cócạnhbằng
2
.Gọi
G
làtrọngtâmtamgiác
ABC
.Cắttứdiệnbởimặt
phẳng
GCD
.Tínhdiệntíchcủathiếtdiện.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
3
. B.
2 3
. C.
2
. D.
2 2
3
.
Câu 55. Chokhốilậpphương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
.Cácđiểm
,E F
lầnlượttrungđiểm
C B
và
' 'C D
.Tínhdiệntíchthiếtdiệncủakhốilậpphươngcắtbởimặtphẳng
AEF
.
A.
2
7 17
.
24
a
B.
2
17
.
4
a
C.
2
17
.
8
a
D.
2
7 17
.
12
a
Câu 56. Chohìnhchóp
.
S ABCD
.Gọi
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SB
và
SD
.Thiếtdiệncủahình
chóp
.
S ABCD
vàmặtphẳng
AMN
làhìnhgì
A. Tamgiác. B. Ngũgiác. C. Tamgiáccân. D. Tứgiác.
Câu 57. Chotứdiện
ABCD
có
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
,AB CD
và
P
làmộtđiểmthuộccạnh
BC
(
P
khôngtrùngtrungđiểmcạnh
BC
).Thiếtdiệncủatứdiệncắtbởimặtphẳng
MNP
là:
A. Tamgiác. B. Lụcgiác. C. Ngũgiác. D. Tứgiác.
Câu 58. Chohìnhchóp
.
S ABCD
,có
M
làtrungđiểmcủa
SC
,
N
thuộccạnh
BC
saocho
2
NB NC
.
Thiếtdiệncủahìnhchóp
.
S ABCD
cắtbởimặtphẳng
AMN
là
A. hìnhthangcân. B. hìnhbìnhhành. C. tamgiác. D. tứgiác.
Câu 59. (THPTCHUYÊNQUANGTRUNG-BP-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhbìnhhànhtâm
O
.Gọi
M
,
N
,
K
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
CD
,
CB
,
SA
.Thiết
diệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng
MNK
làmộtđagiác
H
.Hãychọnkhẳngđịnhđúng?
A.
H
làmộthìnhthang. B.
H
làmộthìnhbìnhhành.
C.
H
làmộtngũgiác.D.
H
làmộttamgiác.
Câu 60. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
C
làđiểmtrêncạnh
SC
saocho
2
3
SC SC
.Thiếtdiệncủahìnhchópvớimặtphẳng
ABC
làmộtđagiác
m
cạnh.Tìm
m
.
A.
6
m
. B.
4
m
. C.
5
m
. D.
3
m
.
Câu 61. (THPTHOÀNGHOATHÁM-HƯNGYÊN-2018)Chotứdiện
ABCD
có
M
,
N
lầnlượtlà
trungđiểmcủa
AB
,
CD
và
P
làmộtđiểmthuộccạnh
BC
(
P
khônglàtrungđiểmcủa
BC
).
Thiếtdiệncủatứdiệnbịcắtbởimặtphẳng
MNP
là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
A. Tứgiác. B. Ngũgiác. C. Lụcgiác. D. Tamgiác.
Câu 62. (KSNLGV-THUẬNTHÀNH2-BẮCNINHNĂM2018-2019)Chotứdiện
ABCD
có
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
,AB CD
và
P
làmộtđiểmthuộccạnh
BC
(
P
khôngtrùngtrungđiểm
cạnh
BC
).Thiếtdiệncủatứdiệncắtbởimặtphẳng
MNP
là:
A. Tamgiác. B. Lụcgiác. C. Ngũgiác. D. Tứgiác.
Câu 63. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhthang
/ /
AB CD
.Gọi
,I J
lầnlượtlàtrungđiểm
củacáccạnh
,AD BC
vàGlàtrọngtâmtamgiác
SAB
.Biếtthiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặt
phẳng
IJG
làhìnhbìnhhành.Hỏikhẳngđịnhnàosaođâyđúng?
A.
3
AB CD
. B.
1
3
AB CD
. C.
3
2
AB CD
. D.
2
3
AB CD
.
Câu 64. Chotưdiên
ABCD
cocacmătlanhưngtamgiacđêucođôdaicaccanhbăng
2a
.Goi
,M N
lân
lươtlatrungđiêmcaccanh
AC
,
BC
và
P
latrongtâmtamgiac
BCD
.Mătphăng
MNP
căttư
diêntheomôtthiêtdiêncodiêntichla:
A.
2
11
4
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
2
4
a
. D.
2
11
2
a
.
Câu 65. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
cócạnhbằng
0
a a
.Tínhdiệntíchthiếtdiệncủahình
lậpphươngđãchocắtbởimặtphẳngtrungtrựccủađoạn
AC
.
A.
2
2 2
3
a
. B.
2
a
. C.
2
3 3
4
a
. D.
2
5
2
a
.
Câu 66. Chotứdiệnđều
ABCD
cócạnhbằng1.Điểm
M
diđộngtrênđoạn
BC
,
M
khác
B
và
C
.Mặt
phẳng
điqua
M
đồngthờisongsongvớihaiđườngthẳng
,AB CD
.Gọi
H
làthiếtdiệncủa
tứdiện
ABCD
cắtbớimặtphẳng
.Trongcáckhẳngđịnhsaucóbaonhiêukhẳngđịnhđúng?
(1)
H
làmộthìnhchữnhật.
(2)Chuvicủa
H
bằng2.
(3)Diệntíchcủa
H
bằng
1
4
.
(4)Quỹtíchtrọngtâm
H
làmộtđoạnthẳngcóđộdàibằng
3
2
.
(Trọngtâmcủahình
1 2
...
n
A A A
làđiểm
G
thỏamãn
1 2 3
... 0
GA GA GA
).
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1
Câu 67. Cho tứ diện
ABCD
có cạnh bằng
.a
Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm các cạnh
, , ,BC AD AC BD
và
G
làgiaođiểmcủa
MN
và
PQ
.Tínhdiệntíchtamgiác
GAB
?
A.
2
3
8
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
2
8
a
. D.
2
2
4
a
.
Câu 68. (CHUYÊNTRẦNPHÚ-HẢIPHÒNG-LẦN2-2018)Chohìnhchóp
.S ABCD
,
G
làđiểm
nằmtrongtamgiác
SCD
.
E
,
F
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB
và
AD
.Thiếtdiệncủahìnhchóp
khicắtbởimặtphẳng
EFG
là:
A. Tamgiác. B. Tứgiác. C. Ngũgiác. D. Lụcgiác.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Câu 69. (THPTCHUYÊNHẠLONG-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhình
bìnhhành.Gọi
,M N
và
P
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
, ,SA BC CD
.Hỏithiếtdiệncủa
hìnhchópcắtbởimặtphẳng
MNP
làhìnhgì?
A. Hìnhngũgiác. B. Hìnhtamgiác. C. Hìnhtứgiác. D. Hìnhbìnhhành.
Câu 70. (THPTCHUYÊNHẠLONG-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhình
thang
/ /
AB CD
.Gọi
,I J
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
,AD BC
vàGlàtrọngtâmtamgiác
SAB
.Biếtthiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng
IJG
làhìnhbìnhhành.Hỏikhẳngđịnh
nàosaođâyđúng?
A.
1
3
AB CD
.
B.
3
2
AB CD
.
C.
3
AB CD
.
D.
2
3
AB CD
Câu 71. (CHUYÊNTRẦNPHÚ-HẢIPHÒNG-LẦN2-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
cócạnhbằng
2
.Cắthìnhlậpphươngbằngmộtmặtphẳngchứađườngchéo
AC
.Tìmgiátrịnhỏ
nhấtcủadiệntíchthiếtdiệnthuđược.
A.
2 6
. B.
6
. C.
4
. D.
4 2
.
DẠNG5.ĐỒNGQUY,THẲNGHÀNG
Câu 72. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hinh chop
.
S ABCD
co đay
ABCD
la hinh thang
// ,
AD BC AD BC
.Goi
I
lagiaođiêmcua
AB
va
DC
,
M
latrungđiêmcua
SC
va
DM
căt
SAB
tai
J
.KhăngđinhnaosauđâySAI?
A. Bađiêm
, ,S I J
thănghang.
B. Đươngthăng
JM
thuôcmătphăng
( )SAB
.
C. Đươngthăng
SI
lagiaotuyêncuahaimătphăng
( )SAB
va
( )SCD
.
D. Đươngthăng
DM
thuôcmătphăng
( )SCI
.
Câu 73. (THPTXUÂNHÒA-VP-LẦN1-2018)Chohinhtưdiên
ABCD
co
M
,
N
lânlươtlatrung
điêmcua
AB
,
BD
.Cacđiêm
G
,
H
lânlươttrêncanh
AC
,
CD
saocho
NH
căt
MG
tai
I
.
Khẳngđịnhnàosauđâylàkhẳngđịnhđúng?
A.
A
,
C
,
I
thănghang B.
B
,
C
,
I
thănghang.
C.
N
,
G
,
H
thănghang. D.
B
,
G
,
H
thănghang.
Câu 74. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthang
ABCD
// ,
AD BC AD BC
.Gọi
I
làgiaođiểmcủa
AB
và
DC
;
M
làtrungđiểmcủa
SC
và
DM
cắtmặtphẳng
SAB
tại
J
.Khẳngđịnhnàosauđâysai?
A. Đườngthẳng
SI
làgiaotuyếncủahaimặtphẳng
SAB
và
SCD
.
B. Đườngthẳng
JM
thuộcmặtphẳng
SAB
.
C. Bađiểm
S
,
I
,
J
thẳnghàng.
D. Đườngthẳng
DM
thuộcmặtphẳng
SCI
.
Câu 75. (HKI–TRIỆUQUANGPHỤC2018-2019)Chohìnhchóptứgiác .
S ABCD
,cóđáy
ABCD
là
tứgiáclồi.
O
làgiaođiểmcủahaiđườngchéo
AC
và
BD
.Mộtmặtphẳng
cắtcáccạnhbên
SA
,
SB
,
SC
,
SD
tươngứngtạicácđiểm
M
,
N
,
P
,
Q
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A. Cácđườngthẳng
, , MP NQ SO
đồngqui.
B. Cácđườngthẳng
, , MP NQ SO
chéonhau.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
C. Cácđườngthẳng
, , MP NQ SO
đôimộtsongsong.
D. Cácđườngthẳng
, , MP NQ SO
trùngnhau.
Câu 76. (HKI-ChuyênHàNội-Amsterdam2017-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
.Mộtmặtphẳng
P
bấtkìcắtcáccạnh
, , ,SA SB SC SD
lầmlượttại
'; '; '; 'A B C D
.Gọi
I
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
.Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnhdướiđây?
A. Cácđườngthẳng
, , ' 'AB CD C D
đồngquy B. Cácđườngthẳng
, , 'B'AB CD A
đồngquy
C. Cácđườngthẳng
' ', ' ',SI
A C B D
đồngquy. D. CácphươngánA,B,Cđềusai
Câu 77. Chotứdiện
ABCD
.Gọi
E
,
F
lầnlượtlàtrungđiểmcủacạnh
AB
,
BC
.Mặtphẳng
P
điqua
EF
cắt
AD
,
CD
lầnlượttại
H
và
G
.Biết
EH
cắt
FG
tại
I
.Bađiểmnàosauđâythẳnghàng?
A.
, ,I A B
. B.
, ,I C B
. C.
, ,I D B
. D.
, ,I C D
.
Câu 78. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthangvớiđáylớnlà
BC
.
,M N
lầnlượtlàtrungđiểm
của
,SB SC
.ĐiểmIlàgiaođiểmcủaABvà
DC
.Phátbiểunàosauđâyđúng
A.
MI SAB SCD
.
B. BốnđiểmM,N,A,Dkhôngđồngphẳng.
C.
NI SAB SCD
.
D. BađườngthẳngAM,DN,SIđôimộtsongsonghoặcđồngquy.
Câu 79. Chohìnhchóptứgiác
.S ABCD
,gọi
O
làgiaođiểmcủa
AC
và
BD
.Mộtmặtphẳng cắt
cáccạnhbên
, , ,SA SB SC SD
tươngứngtạicácđiểm
, , ,M N P Q
.Khẳngđịnhnàođúng?
A. Cácđườngthẳng
, ,MN PQ SO
đồngquy.
B. Cácđườngthẳng
, ,MP NQ SO
đồngquy.
C. Cácđườngthẳng
, ,MQ PN SO
đồngquy.
D. Cácđườngthẳng
, ,MQ PQ SO
đồngquy.
DẠNG6.TỈSỐ
Câu 80. (THPTKINHMÔN-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018)Chotứdiện
ABCD
.Gọi
1
G
và
2
G
lần
lượtlàtrọngtâmcáctamgiác
BCD
và
ACD
.âusai.
A.
1 2
2
3
G G AB
. B.
1
BG
,
2
AG
và
CD
đồngqui.
C.
1 2
//
G G ABD
. D.
1 2
//
G G ABC
.
Câu 81. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthang
ABCD
với
//
AD BC
và
2
AD BC
.Gọi
M
làđiểmtrêncạnh
SD
thỏamãn
1
3
SM SD
.Mặtphẳng
ABM
cắtcạnhbên
SC
tạiđiểm
N
.Tínhtỉsố
SN
SC
.
A.
2
3
SN
SC
. B.
3
5
SN
SC
. C.
4
7
SN
SC
. D.
1
2
SN
SC
.
Câu 82. (HKI-ChuyênHàNội-Amsterdam2017-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhình
chữnhật.Gọi
,M N
theothứtựlàtrọngtâm
;
SAB SCD
.GọiG làgiaođiểmcủađườngthẳng
MN
vớimặtphẳng
SAC
,OlàtâmcủahìnhchữnhậtABCD. Khiđótỉsố
SG
GO
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
A.
3
2
B.
2
. C.
3
D.
5
3
.
Câu 83. (HKI-ChuVănAn-2017)Chohìnhchóp
.
S ABC
.Gọi
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
,SA BC
và
P
làđiểmnằmtrêncạnh
AB
saocho
1
3
AP AB
.Gọi
Q
làgiaođiểmcủa
SC
và
MNP
.
Tínhtỉsố
SQ
SC
.
A.
2
5
SQ
SC
. B.
2
3
SQ
SC
. C.
1
3
SQ
SC
. D.
3
8
SQ
SC
.
Câu 84. (THIHK1LỚP11THPTVIỆTTRÌ2018-2019)Chohìnhchóp
. .S ABC
Gọi
,M N
lầnlượt
làtrungđiểmcủa
SA
và
,BC
P
làđiểmnằmtrêncạnh
AB
saocho
1
.
3
AP
AB
Gọi
Q
làgiaođiểm
của
SC
vàmặtphẳng
.MNP
Tính
.
SQ
SC
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
6
Câu 85. Chotứdiện
ABCD
.Gọi
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
,
AD BC
,điểm
G
làtrọng
tâmcủatamgiác
BCD
.Gọi
I
giaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàmặtphẳng
ABC
.Khiđótỉlệ
AN
NI
bằngbaonhiêu?
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
3
4
.
Câu 86. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhbìnhhành.Haiđiểm
, N
M
thứtựlàtrungđiểm
củacáccạnh
,AB SC
.Gọi
,I J
theothứtựlàgiaođiểmcủa
,
AN MN
vớimặtphẳng
SBD
.Tính
?
IN JN
k
IA JM
A.
2
k
. B.
3
2
k
. C.
4
3
k
. D.
5
3
k
.
Câu 87. (HỌCKÌ1-LỚP11-KIMLIÊNHÀNỘI18-19)Chotứdiện
ABCD
.Gọi
I
,
J
lầnlượtlà
trungđiểmcủa
AC
và
BC
.Trêncạnh
BD
lấyđiểm
K
saocho
2BK KD
.Gọi
F
làgiaođiểm
của
AD
vớimặtphẳng
IJK
.Tínhtỉsố
FA
FD
.
A.
7
3
. B.
2
. C.
11
5
. D.
5
3
.
Câu 88. ChotứdiệnABCD,gọiMlàtrungđiểmcủaAC. TrêncạnhADlấyđiểmNsaochoAN=2ND,
trêncạnhBClấyđiểmQsaochoBC=4BQ.gọiIlàgiaođiểmcủađườngthẳngMNvàmặtphẳng
(BCD),JlàgiaođiểmcủađườngthẳngBDvàmặtphẳng(MNQ).Khiđó
JB JQ
JD JI
bằng
A.
13
20
B.
20
21
C.
3
5
D.
11
12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Câu 89. (HKI-ChuVănAn-2017)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthang
ABCD
với
//AD BC
và
2
AD BC
.Gọi
M
làđiểmtrêncạnh
SD
thỏamãn
1
3
SM SD
.Mặtphẳng
ABM
cắtcạnh
bên
SC
tạiđiểm
N
.Tínhtỉsố
SN
SC
.
A.
1
2
SN
SC
. B.
2
3
SN
SC
. C.
4
7
SN
SC
. D.
3
5
SN
SC
.
Câu 90. (THPTNGUYỄNHUỆ-NINHBÌNH-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
làhìnhbình
hành.
M
,
N
làlượtlàtrungđiểmcủa
AB
và
SC
.
I
làgiaođiểmcủa
AN
và
SBD
.
J
làgiao
điểmcủa
MN
với
SBD
.Khiđótỉsố
IB
IJ
là:
A.
4
. B.
3
. C.
7
2
. D.
11
3
.
Câu 91. (CHUYÊNTRẦNPHÚ-HẢIPHÒNG-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhình
bìnhhànhtâm
O
.Gọi
M
,
N
,
P
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SB
,
SD
và
OC
.Gọigiaođiểmcủa
MNP
với
SA
là
K
.Tỉsố
KS
KA
là:
A.
2
5
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Câu 92. (THPTCHUVĂNAN-HKI-2018)Chohìnhchóp
. .S ABC
Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểm
của
SA
,
BC
và
P
làđiểmnằmtrêncạnh
AB
saocho
1
.
3
AP AB
Gọi
Q
làgiaođiểmcủa
SC
và
MNP
.Tínhtỉsố
SQ
SC
A.
1
3
SQ
SC
B.
3
8
SQ
SC
C.
2
3
SQ
SC
D.
2
5
SQ
SC
PHẦNB.LỜIGIẢITHAMKHẢO
DẠNG1.LÝTHUYẾT
Câu 1. ChọnA
Câu 2. ChọnC
Câu 3. Chọn A.
Câu 4. ChọnD
Mệnhđề:“Bađườngthẳngđôimộtsongsongthìchúngcùngnằmtrênmộtmặtphẳng”saivìcó
thểxảyratrườnghợpsau:
c
b
a
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Mệnhđề:“Bađườngthẳngphânbiệtđôimộtcắtnhauthìchúngcùngnằmtrênmộtmặtphẳng”
saivìcóthểxảyratrườnghợpsau:
Mệnhđề:“Bađườngthẳngđôimộtcắtnhauthìchúngđồngquytạimộtđiểm”saivìcóthểxảy
ratrườnghợpsau:
Câu 5. Chọn B.
(1)saikhihaimặtphẳngtrùngnhau.
(4)saikhihaimặtphẳngtrùngnhau.
Câu 6. Chọn C.
ĐápánCđúng,vìhaiđườngthẳngchéonhaulàhaiđườngthẳngkhôngcùngnằmtrongmặtphẳng
nênchúngkhôngcóđiểmchung.
Câu 7. ChọnD
+)Trongkhônggianhaiđườngthẳng
a
và
b
chéonhau,cómộtvàchỉmộtmặtphẳngđiqua
a
vàsongsongvới
b
.
Câu 8. ChọnA
Hình
( )III
khôngphảilàhìnhbiểudiễncủamộthìnhtứdiện⇒ChọnA
Câu 9. ChọnB
Hìnhchópcósốcạnhbênbằngsốcạnhđáynênsốcạnhcủahìnhchóplà:
5 5 10.
Câu 10. ChọnC
Hìnhchópcóđáylàngũgiáccó:
•
6
mặtgồm
5
mặtbênvà
1
mặtđáy.
•
10
cạnhgồm
5
cạnhbênvà
5
cạnhđáy.
Câu 11. ChọnD
Hìnhchóp
1 2
. ...
n
S A A A
,
3
n
có
n
cạnhbênvà
n
cạnhđáynêncó
2n
cạnh.
Tacó:
2 16 8
n n
.
Vậykhiđóhìnhchópcó
8
mặtbênvà
1
mặtđáynênnócó
9
mặt.
Câu 12. ChọnA
a
b
c
P
c
b
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Tathấy
,M K
cùngthuộcmặtphẳng
SAC
nênbốnđiểm
; ; ;M K A C
đồngphẳng.
Câu 13. Mệnhđềđúnglà:“Trongkhônggianhaiđườngthẳngchéonhauthìkhôngcóđiểmchung.”
Câu 14. Trongkhônggian,bốnđiểmkhôngđồngphẳngtạothànhmộthìnhtứdiện.Vìvậyxácđịnh
nhiềunhấtbốnmặtphẳngphânbiệt.
Câu 15. +TH1.Mặtphẳngcầntìmđiqua
A
vàsongsongvới
BC
.
Tađượcmộtmặtphẳngthỏamãn.
+TH2.Mặtphẳngcầntìmđiqua
A
vàtrungđiểm
M
củacạnh
BC
.
Cóvôsốmặtphẳngđiqua
A
và
M
nêncóvôsốmặtphẳngthỏamãnbàitoán.
Tómlạicóvôsốmặtphẳngthỏamãnbàitoán.
Câu 16. ChọnB
Gọi
Q
làmặtphẳngchứa
a
và
b
.
a P I
cắt
a
nên
P Q d
.
Trong
Q
d a I
nên
d b J
từđó
b P J
.
DẠNG2.XÁCĐỊNHGIAOTUYẾNCỦA2MẶTPHẲNG
Câu 17.
Lơigiai
ChọnD
Tathấy
SAC SAD SA
.
Câu 18. ChọnB
Gọi
O
làtâmhbh
ABCD
O AC MN
SO SMN SAC
.
Câu 19. ChọnC
E
N
M
K
S
A
C
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Có
S SAC SBD
.
,
,
O AC AC SAC
O SAC SBD
O BD BD SAC
.
Nên
SO SAC SBD
.
Câu 20. ChọnB
Tacó:
S SAB SBC
SB
B SAB SBC
làgiaotuyếncủahaimặtphẳng
SAB
và
SBC
.
Câu 21. ChọnB
Giaotuyếncủahaimặtphẳng
MSB
và
SAC
là
SI
với
I
làgiaođiểmcủa
AC
và
BM
.
Câu 22. ChọnA
O
A
B
C
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Tacó:
O AB CD
AB SAB O SAB SCD
CD SAC
.
Lạicó:
;
S SAB SCD S O
.Khiđó
SAB SCD SO
.
Câu 23. ChọnB
Tacó
S SAD SCB
và
AD CB J
(vì
AD
khôngsongsongvới
CB
)
Suyra
SJ SAD SCB
và
SJ
vàcắt
AD
Câu 24. ChọnD
Tacó:
IAC JBD SAC SBD SO
.
Câu 25. ChọnD
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
S
lađiêmchungthưnhâtcuahaimătphăng
SAB
va
SCD
.
Vi
AB CD N
nên
N AB SAB
N CD SCD
.
Dođo
N
lađiêmchungthưhaicuahaimătphăngtrên.
Vây
SN
lagiaotuyêncuahaimătphăng
SAB
va
SCD
.
Câu 26. ChọnA
Gọi
I
làgiaođiểmcủa
AC
và
BM
.
( )
( )
I AC SAC
I BM SBM
Nên
( ) ( )I SAC SBM
và
( ) ( )S SAC SBM
Vậy
SI
làgiaotuyếncủahaimặtphẳng
( )MSB
và
( )SAC
.
Câu 27. Chọn D.
Tacóhaimặtphẳng
SAB
và
SCD
cóđiểm
S
chungvàlầnlượtđiquahaiđườngthẳngsong
songlà
AB
và
CD
nêngiaotuyếncủahaimặtphẳngnàylàđườngthẳngđiqua
S
vàsongsong
với
AB
và
CD
.DođóđápánDsai.
Câu 28. ChọnD
I
A
D
B
C
S
M
M
O
A
B
D
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Tacó
C BCD CMP
1
.
Lạicó
E BD E BCD
BD MP E
E MP E CMP
2
.
Từ
1
và
2
BCD CMP CE
.
Câu 29. Chọn C.
I AD KAD
I IBC
I
làđiểmchungthứnhấtcủahaimặtphẳng
IBC
và
KAD
.
K BC IBC
K KAD
K
làđiểmchungthứhaicủahaimặtphẳng
IBC
và
KAD
.
Vậy
IBC KAD IK
.
Câu 30.
Tacó
MN
làđườngtrungbìnhtamgiác
ACD
nên
//MN CD
.
Tacó
G GMN BCD
,haimặtphẳng
ACD
và
BCD
lầnlượtchứa
DC
và
MN
nên
giaotuyếncủahaimặtphẳng
GMN
và
BCD
làđườngthẳngđiqua
G
vàsongsongvới
CD
.
DẠNG3.TÌMGIAOĐIỂM
Câu 31. Chọn B.
G
N
M
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Câu 32.
D. Giaođiêmcua
MN
va
SBD
lagiaođiêmcua
MN
va
.BD
ChọnC
Câu 33. ChọnA
Trongmặtphẳng
( )SAC
,
SO AM K
.
Trongmặtphẳng
( )SBD
,kéodài
BK
cắt
SD
tại
N
⇒
N
làgiaođiểmcủa
SD
vớimặtphẳng
( )ABM
⇒Chọn A.
Câu 34. ChọnB
N
K
M
O
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Trongmặtphẳng
: AND AN MG E
.
, . E AN AN ABC E ABC
E MG
.
E MG ABC
.
Vậygiaođiểmcủađườngthẳng
MG
vàmặtphẳng
( )ABC
là
E
E AN MG
.
Câu 35. Chọn D.
Gọi
AC BD O
thì
SAC SBD SO
.
Trongmặtphẳng
SAC
,lấy
AM SO I
I AM SBD
.
Dotrong
SAC
,
AM
và
SO
làhaiđườngtrungtuyến,nên
I
làtrọngtâm
SAC
.
Vậy
2IA IM
.
Câu 36. ChọnC
E
N
M
D
G
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Theogiảithiết,
,M N
theothứtựlàtrungđiểmcủa
,AB BC
nên
/ / AC
MN
.
Haimặtphẳng
MNP
và
ACD
có
/ /MN AC
và
P
làđiểmchungthứnhấtcủahaimặtphẳng
giaotuyếncủahaimặtphẳnglàđườngthẳng
PQ
điqua
P
vàsongsongvới
AC
;cắt
AD
tại
Q
.
Mặtkhác,trongtamgiác
ACD
có
2
/ /
CP PD
PQ AC
nên
2
AQ DQ
Câu 37. ChọnA
Xétmặtphẳng
( )ABF
có
E
làtrungđiểmcủa
AB
,
2
3
BG BF
nên
EG
khôngsong
songvới
AF
⇒Kéodài
EG
và
AF
cắtnhautại
M
.Vì
( )AF ACD
nên
M
làgiaođiểmcủa
EG
và
( )ACD
⇒ChọnA
Câu 38. ChọnA
Q
P
D
C
M
N
B
A
E
B
D
C
G
F
M
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Dễthấy
NG
và
AM
cùngnằmtrongmặtphẳng
AMD
.
Mặtkháctalạicó
1
2
DN
DA
,
2
3
DG
DM
.
Dođó
NG
và
AM
cắtnhau.
Gọi
I NG AM
,
AM ABC
I NG ABC
.
Vậykhẳngđịnhđúnglà
I AM
.
Câu 39. ChọnA
a)Xéttrongmặtphẳng
SAI
tacó
MG AI J
.
Dođó:
J AI ABCD
J MG
Suyra:Giaođiểmcủađườngthẳng
MG
vớimặtphẳng
ABCD
làđiểm
J
.
Câu 40. Chọn B.
I
G
N
M
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Dễthấy
OM
khôngđồngphẳngvới
BC
và
MN
cũngkhôngđồngphẳngvới
BC
.VậycảAvà
Bđềusai.
Câu 41. ChọnC
( )
( )
IJ ( )
I SO AM I AM I AMN
J AN BD J AN J AMN
AMN
Khiđógiaođiểmcủađườngthẳng
SD
vớimặtphẳng
( )AMN
làgiaođiểmcủa
SD
và
IJ
Câu 42. Chọn D.

 




CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Tacó:
T SAN
T NH
T NH SBO T SO
T SBO
T SBO
.Vậy
T NH SO
.
Câu 43. ChọnD
Xét
ΔSBD
cóMlàtrungđiểmcủaSDvàNthuộcSBsaocho
2
2 .
3
SN NB SN SB
suyraMNkéodàicắtBDtạiK.
Câu 44. ChọnC
A
D
C
B
S
K
M
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Vì
KMN SAC KH
.Dođó
E
làgiaođiểmcủa
KH
với
SO
.
DẠNG4.TÌMTHIẾTDIỆN
Câu 45. ChọnD
Vìhìnhchóp
.
S ABCD
vớiđáy
ABCD
làtứgiáclồithìcó
4
mặtbênvàmộtmặtđáynênthiết
diệncủamặtphẳng
tùyývớihìnhchópchỉcóthểcótốiđalà
5
cạnh.Dođóthiếtdiệnkhông
thểlàlụcgiác.
Câu 46. ChọnC
-Giảsửmặtphẳng(P)cắt(SBC)theogiaotuyến
PQ
.
A
D
B
C
S
M
N
Q
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Khiđódo
||MN BC
nêntheođịnhlýbagiaotuyếnsongsonghoặcđồngquyápdụngchoba
mặtphẳng
( );( );( )P SBC ABCD
thìtađượcbagiaotuyến
; ;MN BC PQ
đôimộtsongsong.
Dođóthiếtdiệnlàmộthìnhthang.
Câu 47. ChọnC
Gọigiaođiểmcủa
CG
với
AB
là
I
.Thiếtdiệncủamặtphẳng
CGD
vớitứdiện
ABCD
làtam
giác
DCI
.
G
làtrọngtâmtamgiácđều
ABC
nêntacó
3
2
a
CI
và
3
3
a
CG
.ÁpdụngđịnhlíPytago
nên
2 2
6
3
a
DG DC CG
.Vậy
2
1 1 6 3 2
. . .
2 2 3 2 4
DCI
a a a
S DG CI
.
Câu 48. ChọnC
Trong
ABCD
:
CD
và
BC
cắt
MN
lầnlượttại
I
và
E
.
Trong
SBC
:
PI
cắt
SB
tại
J
.Trong
SDC
:
PE
cắt
SD
tại
K
.
Khiđó
MNP
giaovới
ABCD
,
SDA
,
SBC
,
SAB
,
SDC
lầnlượttheocácgiaotuyến
MN
,
NK
,
PJ
,
JM
,
KP
.Nênthiếtdiệntạothànhlàngũgiác
MNKPJ
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Câu 49. ChọnB
Do
1
//
3
AP CQ
PQ AC
AB CB
.
Giaotuyếncủamặtphẳng
PQR
và
ACD
làđườngthẳngđiqua
R
vàsongsongvới
AC
,cắt
AD
tại
S
.
Dođó
PQRS
làthiếtdiệncủamặtphẳng
PQR
vớihìnhtứdiện
ABCD
.
Theocáchdựngthì
//PQ RS
mà
R
bấtkỳtrêncạnh
CD
nênthiếtdiệnlàhìnhthang.
Câu 50. ChọnC
Trongmp
ABCD
,gọi
K MN CD
,
L MN BC
suyra
K SCD
,
L SBC
.
Trongmp
SCD
,gọi
P KQ SD
.
Trongmp
SBC
,gọi
R LQ SC
.
Khiđótacó:
MNQ ABCD MN
;
MNQ SAD NP
;
MNQ SCD PQ
;
MNQ SBC QR
;
MNQ SAB RM
.
Vậythiếtdiệncầntìmlàngũgiác.
Câu 51. ChọnB
S
Q
B
D
C
A
P
R
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Trong
SAC
,goi
I SO EF
,trong
SBD
,goi
N BI SD
.Suyra
N
lagiaođiêmcua
đươngthăng
SD
vơimătphăng
BEF
.
Thiêtdiêncuahinhchopcătbơimătphăng
BEF
latưgiac
BFNE
.
Câu 52. ChọnB
Gọi
; ; ;N EG SB K NF BC O AC BD
; .FE SO H NI SD
Khiđó,tacó:
; ;SAB EGF EG ABCD EGF GK
; ; .EGF SBC KF EGF SCD FH EGF SAD EH
Vậythiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng
EGF
làngũgiác
.EGKFH
Câu 53. ChọnC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Gọi
O
làgiaođiểm
AC
và
BD
.Gọi
G
làgiaođiểmcủa
SO
,
CI
.
Trong
SBD
,gọi
J
làgiaođiểmcủa
BG
với
SD
.
Suyra
J
làtrungđiểmcủa
SD
.
Vậythiếtdiệnlàhìnhthang
IJCB
(
J
làtrungđiểm
SD
).
Cáchkhác:
Tacó:
// //
//
BC IBC
AD SAD
IBC SAD IJ AD BC
BC AD
I IBC SAD
J SB
.
Do
IJ
làđườngtrungbìnhcủatamgiác
SAD
nên
J
làtrungđiểm
SD
.
Vậythiếtdiệnlàhìnhthang
IJCB
(
J
làtrungđiểm
SD
).
Câu 54. ChọnC
Gọi
M
làtrungđiểm
AB
.Khiđócắttứdiệnbởimặtphẳng
GCD
tađượcthiếtdiệnlà
MCD
.
Tacótứdiệnđều
ABCD
cócạnhbằng
2
2 3
3
2
MC MD
;
2
CD
.
Khiđónửachuvi
MCD
:
3 3 2
1 3
2
p
.
Nên
2
MCD
S p p MC p MD p CD
.
Câu 55. ChọnA
J
G
O
I
C
A
D
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Qua
A
dựngđườngthẳngsongsongvới
EF
cắt
,CD CB
lầnlượttại
,I J
.Khiđó,
IF
cắt
'DD
tại
G
và
EJ
cắt
'BB
tại
K
,tacóthiếtdiệncủahìnhlậpphươngcắtbởimặtphẳng
AEF
là
ngũgiác
AKEFG
.
Tacó:
1 1 13
2 3 3 6
GD D F a a
GD DD GF KE
GD DA
,
2GK BD a
và
2
2
a
EF
.Suyra
2
17
.
8
EFGK
a
S
Tamgiác
AKG
cântại
A
và
13
.
3
a
AK AG
Suyra
2
17
.
6
AGK
a
S
Vậy
2
7 17
.
24
AKEFG EFGK AGK
a
S S S
Câu 56.
Hướngdẫngiải
Chọn D.
Gọi
.SC AMN P
Khiđó,Thiếtdiệncủahìnhchóp
.S ABCD
vàmặtphẳng
AMN
làtứgiác
AMPN
.
Câu 57. ChọnD
N
M
A
D
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Trongmp
ABC
kéodài
,MP AC
cắtnhautạiI.
Trongmp
ACD
kéodài
IN
cắt
AD
tại
.Q
ợ
c:
ABC MNP MP
BCD MNP PN
ACD MNP NQ
ABD MNP QM
Vậythiếtdiệncủatứdiệncắtbởimặtphẳng
MNP
làtứgiác
.MPNQ

Câu 58. Chọn.
Kéo
AN
cắt
CD
tại
E
,kéo
EM
cắt
SD
tại
P
,tacó:
AMN ABCD AN
;
AMN SBC NM
;
AMN SCD MQ
và
AMN SAD QA
.Vậythiếtdiệncầntìmlàtứgiác
ANMQ
.
Câu 59. Sửatrênhìnhđiểm
P
thànhđiểm
K
nhé
Q
I
N
M
B
A
D
C
P
S
M
N
E
P
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Gọi
E MN AC
và
F PE SO
.Trong
SBD
qua
F
kẻđườngthẳngsongsongvớis
MN
vàlầnlượtcắt
,SB SD
tại
,H G
.Khiđótathuđượcthiếtdiệnlàngũgiác
.MNHKG
Câu 60.
Gọi
O AC BD
và
I AC SO
;Kéodài
BI
cắt
SD
tại
D
.Khiđó
ABC ABCD AB
;
ABC SAB AB
;
ABC SBC BC
và
ABC SAD AD
;
ABC SBD C D
.
Suyrathiếtdiệnlàtứgiác
ABC D
nên
4
m
.
I
O
D'
C'
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Câu 61.
Gọi
Q NP BD
.Gọi
R QM AD
.Suyra:
Q MNP
và
R MNP
.
Vậythiếtdiệncủatứdiệnbịcắtbởimặtphẳng
MNP
làtứgiác
MRNP
.
Câu 62. ChọnD
Trongmp
ABC
kéodài
,MP AC
cắtnhautạiI.
Trongmp
ACD
kéodài
IN
cắt
AD
tại
.Q
ABC MNP MP
BCD MNP PN
ACD MNP NQ
ABD MNP QM
Vậythiếtdiệncủatứdiệncắtbởimặtphẳng
MNP
làtứgiác
MPNQ
.
Câu 63. ChọnA
R
Q
N
M
B
D
C
A
P
G
J
I
B
A
D
S
E
F
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Từgiảthiếtsuyra
// //IJ AB CD
,
2
AB CD
IJ
.
Xét2mặtphẳng
( ),( )IJG SAB
có
G
làđiểmchung⇒giaotuyếncủachúnglàđườngthẳng
EF
điqua
G
,
// // //EF AB CD IJ
với
E SA
,
F SB
.
Nốicácđoạnthẳng
,EI FJ
tađượcthiếtdiệnlàtứgiác
EFJI
,làhìnhthangvì
//EF IJ
.
Vì
G
làtrọngtâmcủatamgiác
SAB
và
//EF AB
nêntheođịnhlíTa–léttacó:
2
3
EF AB
Nênđểthiếtdiệnlàhìnhbìnhhànhtacần:
2
3
2 3
AB CD AB
EF IJ AB CD
Câu 64. ChọnA
Mătphăng
MNP
căttưdiên
ABCD
theomôtthiêtdiênlamôttamgiac
MND
.
Dotưdiên
ABCD
cocacmătlanhưngtamgiacđêucođôdaicaccanhbăng
2a
nên
MD AC
DN BC
3.MD DN a
1
2
MN AB a
(tinhchâtđươngtrungbinh).
2 3 1
.
2 2
a
MN MD ND
p
4 2
4
11
2 3 1 2 3 1 .
2 4
MND
a a
S p p MN p MD p ND
Câu 65. ChọnC
J
I
H
G
F
E
C'
D'
B'
A
B
C
D
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Gọi
, , , , ,E F G H I J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
, , , , ,
BC CD DD A D A B BB
.
Tacó
EA EC E
thuộcmặtphẳngtrungtrựccủa
AC
.
Tươngtự
, , , ,F G H I J
thuộcmặtphẳngtrungtrựccủa
AC
.
Dođóthiếtdiệncủahìnhlậpphươngđãchocắtbởimặtphẳngtrungtrựccủa
AC
làlụcgiácđều
EFGHIJ
cạnh
2
2
a
EF
.
Vậydiệntíchthiếtdiệnlà
2
2
2 3 3 3
6. .
2 4 4
a
S a
.
Câu 66. ChọnC
Trong
BCD
dựng
/ / ,( )MQ CD Q BD
Trong
ABC
dựng
/ / ,( )MN AB N AC
Trong
( )ACD
dựng
/ / ,( )NP CD P AD
Thiếtdiện
( )H
làhìnhchữnhật
MNPQ
(dotứdiện
ABCD
làtứdiệnđều).
(1)Đúng.
(2)Đúng.Vì:
Đặt
,(0 1)
BM k k
thì
; 1
MQ k MN k
Dođóchuvicủahìnhchữnhật
MNPQ
là:
2 1 2
k k

(3)Sai.Vì:
(1 )
MNPQ
S k k
.
(4)Sai.Vìtrọngtâmhìnhchữnhật
MNPQ
nằmtrênđoạnnốitrungđiểmcạnh
AB
vàcạnh
CD
.Đoạnđódài
2
2
.
Câu 67. ChọnC
N
P
Q
B
D
C
A
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
GọiR,SlầnlượtlàtrungđiểmcủaABvàCD. TronghìnhtứdiệnđềutachứngminhđượcRSđi
quaGvàvuônggócvớiAB
Tacó:
3
2
a
AS BS
Kíhiệu:
3
2 2
AB BS SA a a
p
2
1
( G AS) .
2
1 1 1
( . )
2 2 2
3 3
2 2
2
8
dt GR AB
SR AB dt SAB
a a
p p a p p
a
.
Câu 68.
Trongmặtphẳng
: ;ABCD EF BC I
EF CD J
Trongmặtphẳng
: ;SCD GJ SC K
GJ SD M
Trongmặtphẳng
:SBC KI SB H
S
R
G
N
P
M
Q
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Tacó:
GEF ABCD EF
,
GEF SAD FM
,
GEF SCD MK
GEF SBC KH
,
GEF SAB HE
Vậythiếtdiệncủahìnhchóp
.S ABCD
cắtbởimặtphẳng
EFG
làngũgiác
EFMKH
Câu 69.
Gọi
PN AB I
,
NP AD K
.
Kẻ
IM
cắt
SB
tại
R
,kẻ
MK
cắt
SD
tại
Q
.
Vậythiếtdiệncủahìnhchópcắtbởimặtphẳng
MNP
làngủgiác
MPQMR
.
Câu 70.
Vì
IJG SAB G
tacó
/ /IJ AB
vì
IJ
làđườngtrungbìnhcủahìnhthang
ABCD
/ / / /IJG SAB Gx AB IJ
.Gọi
,
E Gx SA F Gx SB
IJG SAD EI
;
IJG ABCD IJ
;
IJG SBC JF
Suyrathiếtdiện
IJG
vàhìnhchóplàhìnhbìnhhành
1
IJFE IJ EF
vì
G
làtrọngtâmtamgiác
2 2
2
3 3
SAB SG GH EF AB
và
3
2
AB CD
IJ
vì
IJ
làđườngtrungbìnhcủahìnhthang
ABCD
Q
R
P
N
M
A
D
B
C
S
I
K
E
F
G
H
J
I
D
A
B
S
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Từ
1
,
2
và
3
2
3 2
AB CD
AB
4 3 3 3
AB AB CD AB CD
Câu 71.
Gọi
H
làthiếtdiệncủahìnhlậpphươngvàmặtphẳng
chứa
AC
.
+Trườnghợp
H
cómộtđỉnhthuộccạnh
BB
hoặc
DD
.
Giaotuyếncủa
và
A B C D
làđườngthẳng
d
,hìnhchiếuvuônggóccủa
A
lên
d
là
điểm
H
.Khiđógócgiữa
và
A B C D
là
AHA
.
Vì
A H d
nên
A H A C
,dođó
sin sin
AA AA
AC A
AH AC
,dođó
cos cos
A C A
Hìnhchiếuvuônggóccủahình
H
lên
A B C D
làhìnhvuông
A B C D
,dođódiệntich
hình
H
:
.cos
A B C D
H
S S
cos
A B C D
H
S
S
.
Diệntíchthiếtdiệnnhỏnhấtkhi
cos
lớnnhất,tứclà
2
cos cos
3
A C A
.Khiđódiệntích
cầntìmlà
4 3
2 6
2
H
S .
+Trườnghợp
H
cómộtđỉnhthuộccạnh
CD
hoặc
A B
,chọnmặtphẳngchiếulà
BCC B
,
chứngminhtươngtựtacũngcó
cos
BB C C
H
S
S
,
min 2 6
H
S
.
+Trườnghợp
H
cómộtđỉnhthuộccạnh
BC
hoặc
A D
,chọnmặtphẳngchiếulà
BAA B
,
chứngminhtươngtựtacũngcó,
min 2 6
H
S
.
DẠNG5.ĐỒNGQUY,THẲNGHÀNG
Câu 72. ChọnB
A
A'
C'
H
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Trong
( )SCD
,
DM SI J
.Khiđo
J DM SAB
.
Câu 73.
Do
NH
cắt
MG
tại
I
nênbốnđiểm
, , ,M N H G
cùngthuộcmặtphẳng
.Xétbamặtphẳng
ABC
,
BCD
,
phânbiệt,đồngthời
ABC MG
BCD NH
ABC BCD BC
mà
MG NH I
Suyra
MG
,
NH
,
BC
đồngquytại
I
nên
B
,
C
,
I
thẳnghàng.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Câu 74.
Tacó
M SAB
nênđườngthẳng
JM
khôngthuộcmặtphẳng
SAB
.
Câu 75. ChọnA
Tacó
M
,
N
,
P
,
Q
đồngphẳngvàtạothànhtứgiác
MNPQ
nênhaiđường
MP
và
NQ
cắtnhau.
(1)
Mặtkhác:
MNPQ SAC MP
MNPQ SBD NQ
SAC SBD SO
(2)
Từ(1),(2)suyracácđườngthẳng
, , MP NQ SO
đồngqui.
Câu 76. ChọnC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Haimặtphẳng
P
và
SAC
cắtnhautheogiaotuyến
' 'A C
.
Haimặtphẳng
P
và
SBD
cắtnhautheogiaotuyến
B'D'
.
Haimặtphẳng
SAC
và
SBD
cắtnhautheogiaotuyến
SI
.
Vậybađườngthẳng
' ',B'D',SI
A C
đồngquy.
Câu 77.
ChọnC
I EH ABD
I EH FG I ABD ABC BD
I FG ABC
.
Vậy
, ,I D B
thẳnghàng.
Câu 78. ChọnD
TamgiácSBCcóMNlàđườngtrungbìnhnênMNsongsongBC,lạicóBCsongsongADnên
suyraMNsongsongAD,dođóM,N,A,Dđồngphẳng.
A
I
B'
C'
D'
A'
D
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
Xétbamặtphẳng:
, ,
SAB SCD MNDA
có:
SAB SCD SI
;
SAB MNDA AM
;
SCD MNDA DN
SuyraAM,DN,SIđôimộtsongsonghoặcđồngquy(địnhlývềgiaotuyến3mặtphẳng)
NênDđúng.
Câu 79. ChọnB
Tacó:
MP mp SAC
;
NQ mp SBD
Và
SAC SBD SO
Gọi
MP
I NQ
Thì
I SO
nên
MP, NQ, SO
đồngquy.
DẠNG6.TỈSỐ
Câu 80.
Tacó:
1 2
1
3
IG IG
IB IA
1 2
1
3
G G
AB
1 2
1
3
G G AB
.
O
B
A
D
C
S
N
M
P
Q
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Câu 81.
Gọi
F
làgiaođiểmcủa
AB
và
CD
.Nối
F
với
M
,
FM
cắt
SC
tạiđiểm
N
.Khiđó
N
làgiao
điểmcủa
ABM
và
SC
.
Theogiảthiết,tachứngminhđược
C
làtrungđiểm
DF
.
Trongmặtphẳng
SCD
kẻ
CE
songsong
NM
(
E
thuộc
SD
).Do
C
làtrungđiểm
DF
nên
suyra
E
làtrungđiểm
MD
.Khiđó,tacó
SM ME ED
và
M
làtrungđiểm
SE
.
Do
//
MN CE
và
M
làtrungđiểm
SE
nên
MN
làđườngtrungbìnhcủatamgiác
SCE
.Từđó
suyra
N
làtrungđiểm
SC
và
1
2
SN
SC
.
Câu 82. ChọnB
Tacó:
O FE
.Xéthaimặtphẳng
SEF
và
SCD
có:
( )
.
O EF SEF
O SEF SAC
O AC SAC
Mà
S SEF SAC
nên
.SEF SAC SO
Trongmặtphẳng
SEF
tacó:
SO MN G
G MN
G SO SAC
.MN SAC G
Xéttamgiác
SFE
có:
/ / / / EF
MG EF do MN
2
2
3
SG SM SG
SO SE GO
.
Câu 83. ChọnC
G
O
N
M
F
E
D
B
C
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Gọi
I
làgiaođiểmcủa
NP
và
AC
.Khiđó
Q
làgiaođiểmcủa
MI
và
SC
.
Từ
A
kẻđườngthẳngsongsongvới
BC
,cắt
IN
tại
K
.
Khiđó
1 1
2 2
AK AP IA AK
BN BP IC CN
.
Từ
A
kẻđườngthẳngsongsongvới
SC
,cắt
IQ
tại
E
.
Khiđó 1
AE AM
AE SQ
SQ SM
,
1 1
2 2
AE IA
AE CQ
CQ IC
.Dođó
1
3
SQ
SC
.
Câu 84. ChọnB
+)Gọi
I PN AC
;gọi
Q IM SC
+)ÁpdụngđịnhlíMenalaustrongtamgiác
SAC
tacó
. . 1 (1)
QS IC MA QS IA
QC IA MS QC IC
+)ÁpdụngđịnhlíMenalaustrongtamgiác
ABC
tacó
1
. . 1 (2)
2
IA NC PB IA PA
IC NB PA IC PB
+)Từ
1
và
2
suyra
1
2
QS
QC
hay
1
.
3
SQ
SC
Câu 85. ChọnA
ÁpdụngđịnhlýMenelausđốivớitamgiác
AND
vàcáttuyến
IGM
tacó:
1
. . 1 1.2. 1 1
2
MA GD IN IN IN AN
MD GN IA IA IA NI
Câu 86. ChọnB
E
K
Q
I
M
N
A
B
C
S
P
Q
I
P
N
M
S
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Gọi
,
O AC BD BD MC K
.Trong
:
SAC SO AN I
.
Trong
:
SMC SK MN J
.
Tathấy
I
làtrọngtâmtamgiác
SAC
nên
1
2
IN
IA
.
K
làtrọngtâmtamgiác
ABC
,lấy
L
làtrungđiểm
KC
.Tacó
MK KL LC
.
NL
làđườngtrungbìnhcủatamgiác
SKC
nên
/ /NL SK
,mà
K
làtrungđiểm
ML
nên
KJ
là
đườngtrungbìnhcủatamgiác
MNL
.Khiđó
3
1
2
JN IN JN
JM IA JM
.
Câu 87. ChọnB
Trongmặtphẳng
BCD
haiđườngthẳng
JK
và
CD
khôngsongsongnêngọi
E JK CD
Khiđó
E ACD
.
Suyra:
ACD IJK EJ
.
Trong
ACD
gọi
F EI AD
.Khiđó
IJK AD F
.
Cách1:
Vẽ
//DH BC
và
H IE
.Tacó:
2
2
BJ BK BJ
HD
HD KD
1
2
HD JC
.
Suyra
D
làtrungđiểmcủa
CE
.
Xét
ACE
có
EI
và
AD
làhaiđườngtrungtuyếnnên
F
làtrọngtâmcủa
ACE
.
I
J
K
O
A
B
C
D
S
N
M
L
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Vậy
2
AF
FD
.
Cách2:
Xét
BCD
,ápdụngđịnhlíMenelauscó:
1
. . 1 1. . 1 2
2
JB EC KD EC EC
JC ED KB ED ED
.
Xét
ACD
,ápdụngđịnhlíMenelauscó:
1
. . 1 2. .1 1
2
EC FD IA FD FD
ED FA IC FA FA
.
Vậy
2
FA
FD
.
Câu 88. Chọn D.
VìMlàtrungđiểmACnênIMlàtrungtuyếntamgiácIACMặtkhácAN=2NDnêntacóDlà
trungđiểmcủaIC(ÁpdụngđịnhlíPtolemetrongtamgiácACDcócáttuyếnMI)
ÁpdụngđịnhlíPtolemetrongtamgiácBCDcóđườngthẳngQIcắtBD,DC,CBlầnlượttạiJ,I,Q
nên:
1 3 2
. . 1 . . 1
2 1 3
BJ DI CQ BJ JB
JD IC QB JD JD
ÁpdụngđịnhlíPtolemetrongtamgiácQICcóđườngthẳngBDcắtQI,DC,CQlầnlượttạiB,I,D
nên:
1 4 1
. . 1 . . 1
1 1 4
QJ ID CB QJ JB
JI DC BQ JI JD
2 1 11
3 4 12
JB JQ
JD JI
Câu 89. ChọnA
Trongmặtphẳng
ABCD
:
Gọi
I AB CD
I AB ABM
Trongmặtphẳng
SCD
:
Gọi
N IM SC
và
K
làtrungđiểm
IM
.
Tacó:
1
2
IC BC
ID AD
(do
//
BC AD
)
Trongtamgiác
IMD
có
KC
làđườngtrungbìnhnên
//
KC MD
và
1
2
KC MD
Mà
1
2
SM MD
SM KC
.
Lạicó
// do
KC SM M SD
K
N
I
M
A
B
C
S
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
1
SN SM
NC KC
.Vậy
1
2
SN
SC
.
Câu 90.
S
A
B
C
D
O
M
N
I
J
K
A
B
M
N
I
J
K
Gọi
O
làtrungđiểmcủa
AC
nên
O AC BD
.Trongmặtphẳng
SAC
:
AN SO I
nên
I
làgiaođiểmcủa
AN
và
SBD
.Trong
ABN
tacó
MN BI J
nên
J
làgiaođiểmcủa
MN
với
SBD
.Gọi
K
làtrungđiểmcủa
SD
.Suyra
// //NK DC AB
và
BI SD K
hay
B
,
I
,
J
,
K
thẳnghàng.Khiđó
//
NK BM
và
=
NK MA BM
vàtứgiác
AKMN
làhìnhbìnhhành.Xét
haitamgiácđồngdạng
KJN
và
BJM
có
1
NK MJ BJ
BM NJ JK
suyra
J
làtrungđiểmcủa
MN
và
J
làtrungđiểmcủa
BK
hay
BJ JK
.Trongtamgiác
SAC
có
I
làtrọngtâmcủa
tamgiácnên
1
2
NI
IA
.Do
//
AK MN
nên
1
2
IJ NI
IK IA
1
3
IJ IJ
JK BJ
1
4
IJ
BI
hay
4
IB
IJ
.
Câu 91.
Gọi
J SO MN
,
K SA PJ
thì
K SA MNP
.
Vì
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SB
,
SD
nên
J
làtrungđiểmcủa
SO
.
ÁpdụngđịnhlíMenelausvàotamgiác
SAO
vớicáttuyếnlà
KP
,tacó:
. . 1
SK AP OJ
KA PO JS
.3.1 1
SK
KA
1
3
KS
KA
.
Vậy
1
3
KS
KA
.
I
K
J
P
N
M
O
B
S
A
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Câu 92.
Trongmặtphẳng
ABC
:
NP
cắt
AC
tại
E
.
Trongmặtphẳng
SAC
:
EM
cắt
SC
tại
Q
.
Tacó
Q EM
Q MNP
mà
Q SC
Q
làgiaođiểmcủa
SC
và
MNP
.
Trongmặtphẳng
ABC
từ
A
kẻđườngthẳngsongsongvới
BC
cắt
EN
tại
K
.
TheoTalettacó
1
2
AK AP
BN PB
mà
BN NC
1
2
AK
CN
.
TheoTalettacó
AK AE
CN EC
1
2
AE
EC
.
Trongmặtphẳng
SAC
từ
A
kẻđườngthẳngsongsongvới
SC
cắt
EQ
tại
I
.
TheoTalettacó
AI AE
QC EC
mà
1
2
AE
EC
1
2
AI
QC
1
2
AI QC
*
.
TheoTalettacó
AI AM
SQ SM
mà
AM SM
1
AI
SQ
AI SQ
**
.
Từ
*
và
**
tacó
1
2
SQ QC
1
3
SQ
SC
.
A
K
I
Q
E
P
N
M
S
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H2-2
MỤC LỤ
C
PHẦN
A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ........................................ 2
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN ........................................................................ 4
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN ................................................................................. 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 8
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ........................................ 9
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN ...................................................................... 16
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN ............................................................................... 20
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba
giao tuyến
1
2 3
, ,d d d
trong đó
1
d
song song với
2
d
. Khi đó vị trí tương đối của
2
d
và
3
d
là?
A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. trùng nhau.
Câu 2. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Câu 3. Cho đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
. Nếu
chứa
a
và cắt
theo giao tuyến
là
b
thì
a
và
b
là hai đường thẳng
A. cắt nhau. B. trùng nhau. C. chéo nhau. D. song song với nhau.
Câu 4. Cho hình tứ diện
A
BCD
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AB
và
CD
cắt nhau. B.
AB
và
CD
chéo nhau.
C.
A
B
và
CD
song song. D. Tồn tại một mặt phẳng chứa
A
B
và
CD
.
Câu 5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song
C. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 6. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hai đường thẳng chéo
nhau
a
và
b
. Lấy
A
,
B
thuộc
a
và
C
,
D
thuộc
b
. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường
thẳng
AD
và
BC
?
A. Cắt nhau. B. Song song nhau.
C. Có thể song song hoặc cắt nhau. D. Chéo nhau.
Câu 7. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt
a
,
b
,
c
trong đó
a
song song với
b
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng
a
và
b
.
B. Nếu
b
song song với
c
thì
a
song song với
c
.
C. Nếu điểm
A
thuộc
a
và điểm
B
thuộc
b
thì ba đường thẳng
a
,
b
và
AB
cùng ở trên một
mặt phẳng.
D. Nếu
c
cắt
a
thì
c
cắt
b
.
Câu 8. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho đường thẳng
a
nằm trên
mp P
, đường
thẳng
b
cắt
P
tại
O
và
O
không thuộc
a
. Vị trí tương đối của
a
và
b
là
A. chéo nhau. B. cắt nhau. C. song song với nhau. D. trùng nhau.
Câu 9. Cho hai đường thẳng
,a b
chéo nhau. Một đường thẳng
c
song song với
a
. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
b
và
c
song song. B.
b
và
c
chéo nhau hoặc cắt nhau
C.
b
và
c
cắt nhau. D.
b
và
c
chéo nhau.
Câu 10. Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
,
b
và điểm
M
không thuộc
a
cũng không thuộc
b
. Có
nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua
M
và đồng thời cắt cả
a
và
b
?
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 11. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Trong không gian cho đường thẳng
a
chứa
trong mặt phẳng
P
và đường thẳng
b
song song với mặt phẳng
P
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
//a b
. B.
a
,
b
không có điểm chung.
C.
a
,
b
cắt nhau. D.
a
,
b
chéo nhau.
Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
C. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Trong không gian hai đường chéo nhau thì không có điểm chung.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Câu 13. Cho tứ diện
ABCD
và
,M N
lần lượt là trọng tâm của tam giác
,
ABC ABD
. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A.
/ /MN CD
. B.
/ /MN AD
. C.
/ /MN BD
. D.
/ /MN CA
.
Câu 14. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp
S.
ABCD
đáy là hình bình
hành tâm O, I là trung điểm của
SC
, xét các mệnh đề:
(I) Đường thẳng
IO
song song với
SA
.
(II) Mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là một tứ giác.
(III) Giao điểm của đường thẳng
AI
với mặt phẳng
SBD
là trọng tâm của tam giác
SBD
.
(IV) Giao tuyến của hai mặt phẳng
IBD
và
SAC
là
IO
.
Số mệnh đê đúng trong các mệnh để trên là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 15. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
I
và
J
lần lượt là trọng tâm
ABC
và
ABD
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
IJ
song song với
CD
. B.
IJ
song song với
AB
.
C.
IJ
chéo nhau với
CD
. D.
IJ
cắt
AB
.
Câu 16. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang với đáy lớn
AD
,
2
AD BC
. Gọi
G
và
G
lần lượt là trọng tâm tam giác
SAB
và
.SAD
GG
song song với đường thẳng
A.
AB
. B.
AC
. C.
BD
. D.
SC
.
Câu 17. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
G
và
E
lần lượt là trọng
tâm của tam giác
ABD
và
ABC
. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.
GE
và
CD
chéo nhau. B.
//GE CD
.
C.
GE
cắt
AD
. D.
GE
cắt
CD
.
Câu 18. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hình tứ diện
ABCD
, lấy điểm
M
tùy ý trên cạnh
AD
,M A D
. Gọi
P
là mặt phẳng đi qua
M
song song với mặt phẳng
ABC
lần lượt cắt
BD
,
DC
tại
N
,
P
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
//MN AC
. B.
//MP AC
. C.
//
MP ABC
. D.
//NP BC
.
Câu 19. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,I J
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
,
ABC ABD
. Đường thẳng
IJ
song song với đường thẳng:
A.
CM
trong đó
M
là trung điểm
BD
. B.
AC
.
C.
DB
. D.
CD
.
Câu 20. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình chữ nhật. Gọi
,M N
theo thứ tự là trọng tâm
;
SAB SCD
. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng
;BM CN
. Khi đó tỉ số
SI
CD
bằng
A.
1
B.
1
2
. C.
2
3
D.
3
2
.
Câu 21. Cho tứ diện
ABCD
.
P
,
Q
lần lượt là trung điểm của
AB
,
DC
. Điểm
R
nằm trên cạnh
BC
sao cho
R 2RB C
. Gọi
S
là giao điểm của mặt phẳng
PQR
và
AD
. Khi đó
A.
3SD
SA
. B.
2SD
SA
. C.
SD
SA
. D.
2 3SD
SA
.
Câu 22. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Gọi
N
là
trung điểm của cạnh
SC
. Lấy điểm
M
đối xứng với
B
qua
A
. Gọi giao điểm
G
của đường thẳng
MN
với mặt phẳng
SAD
. Tính tỉ số
GM
GN
.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
2
. D.
3
.
Câu 23. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện
ABCD
. Các điểm
,P Q
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
CD
; điểm
R
nằm trên cạnh
BC
sao cho
2
BR RC
. Gọi
S
là giao điểm
của
mp PQR
và cạnh
AD
. Tính tỉ số
SA
SD
.
A.
7
3
. B.
2
. C.
5
3
. D.
3
2
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 24. Cho tứ diện
ABCD
. Lấy ba điểm
, ,P Q R
lần lượt trên ba cạnh
AB
,
CD
,
BC
sao cho
//PR AC
và
2
CQ QD
. Gọi giao điểm của đường thẳng
AD
và mặt phẳng
PQR
là
S
. Khẳng định nào
dưới đây là đúng?
A.
3
AS DS
. B.
3
AD DS
. C.
2AD DS
. D.
AS DS
.
Câu 25. Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,K L
lần lượt là trung điểm của
AB
và
BC
.
N
là điểm thuộc đoạn
CD
sao cho
2
CN ND
. Gọi
P
là giao điểm của
AD
với mặt phẳng
( )KLN
. Tính tỉ số
PA
PD
A.
1
2
PA
PD
. B.
2
3
PA
PD
. C.
3
2
PA
PD
. D.
2
PA
PD
.
Câu 26. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
,
M
là điểm thuộc
BC
sao
cho
2
MC MB
. Gọi
N
,
P
lần lượt là trung điểm của
BD
và
AD
. Điểm
Q
là giao điểm của
AC
với
MNP
. Tính
QC
QA
.
A.
3
2
QC
QA
. B.
5
2
QC
QA
. C.
2
QC
QA
. D.
1
2
QC
QA
.
Câu 27. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hinh chop
.
S ABCD
co đay la hinh binh hanh. Goi
M
,
N
lân lươt la trung điêm cua
AB
,
AD
va
G
la trong tâm tam giac
SBD
. Mặt phẳng
MNG
căt
SC
tai điêm
H
. Tinh
SH
SC
A.
2
5
. B.
1
4
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Câu
28.
(THPT
CHUYÊN
HÙNG
VƯƠNG
-
BÌNH
DƯƠNG
-
2018)
Cho hình chóp
.
S ABC
.
Bên
trong tam giác
ABC
ta lấy một điểm
O
bất kỳ. Từ
O
ta dựng các đường thẳng lần lượt song song với
, ,SA SB SC
và cắt các mặt phẳng
, ,
SBC SCA SAB
theo thứ tự tại
, ,A B C
. Khi đó tổng tỉ số
' ' 'OA OB OC
T
SA SB SC
bằng bao nhiêu?
A.
3
T
.
B.
3
4
T
.
C.
1T
.
D.
1
3
T
.
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN
Câu 29. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành.
Giao tuyến của
SAB
và
SCD
là
A. Đường thẳng qua
S
và song song với
AD
. B. Đường thẳng qua
S
và song song với
CD
.
C. Đường
SO
với
O
là tâm hình bình hành. D. Đường thẳng qua
S
và cắt
AB
.
Câu 30. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
SAD SBC
là đường thẳng qua
S
và song song với
AC
.
B.
SAB SAD SA
.
C.
SBC AD
.
D.
SA
và
CD
chéo nhau.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 31. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình
hành. Gọi
I
,
J
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CB
. Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng
SAB
và
SCD
là đường thẳng song song với
A.
AD
. B.
IJ
. C.
BJ
. D.
BI
.
Câu 32. Cho hình chóp
.
S ABCD
có mặt đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi đường thẳng
d
là giao
tuyến của hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng
d
đi qua
S
và song song với
AB
.
B. Đường thẳng
d
đi qua
S
và song song với
DC
.
C. Đường thẳng
d
đi qua
S
và song song với
BC
.
D. Đường thẳng
d
đi qua
S
và song song với
BD
.
Câu 33. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho chóp
.
S ABCD
đáy là hình thang ( đáy
lớn
,AB
đáy nhỏ
CD
). Gọi
,I K
lần lượt là trung điểm của
, .AD BC
G
là trọng tâm tam giác
SAB
. Khi đó
giao tuyến của
2
mặt phẳng
IKG
và
SAB
là?
A. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
IKG
và
SAB
là đường thẳng đi qua
S
và song song
, AB IK
B. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
IKG
và
SAB
là đường thẳng đi qua
S
và song song
AD
.
C. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
IKG
và
SAB
là đường thẳng đi qua
G
và song song
CB
.
D. Giao tuyến của 2 mặt phẳng
IKG
và
SAB
là đường thẳng đi qua
G
và song song
, AB IK
.
Câu 34. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang
ABCD
//
AB CD
.
Gọi
,E F
lần lượt là trung điểm của
AD
và
BC
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là
A. Đường thẳng đi qua
S
và qua giao điểm của cặp đường thẳng
AB
và
SC
.
B. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
AD
.
C. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
AF
.
D. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
EF
.
Câu 35. Cho tứ diện
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
//
AB CD
. Gọi
M
,
N
và
P
lần lượt là
trung điểm của
BC
,
AD
và
SA
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
MNP
là
A. đường thẳng qua
M
và song song với
SC
.
B. đường thẳng qua
P
và song song với
AB
.
C. đường thẳng
PM
.
D. đường thẳng qua
S
và song song với
AB
.
Câu 36. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
//
AB CD
. Gọi
I
,
J
lần lượt là trung
điểm của
AD
và
BC
,
G
là trọng tâm
SAB
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
IJG
là
A. đường thẳng qua
S
và song song với
AB
. B. đường thẳng qua
G
và song song với
DC
.
C.
SC
. D. đường thẳng qua
G
và cắt
BC
.
Câu 37. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang,
// .AD BC
Giao tuyến của
SAD
và
SBC
là
A. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
AB
.
B. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
CD
.
C. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
AC
.
D. Đường thẳng đi qua
S
và song song với
AD
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN
Câu 38. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình bình
hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau
đây?
A.
AD
. B.
AC
. C.
DC
. D.
BD
.
Câu 39. Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi M là trung
điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng
MCD
với hình chóp
.
S ABCD
là hình gì?
A. Tam giác. B. Hình bình hành.
C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình thang,
//AD BC
,
2AD BC
.
M
là trung điểm của
SA
. Mặt phẳng
MBC
cắt hình chóp theo
thiết diện là
A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
Câu 41. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho
1
3
AM AN
AB AD
.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CB. Khẳng định nào sau
đây là đúng
A. Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
B. Tứ giác MNPQ là một hình thang nhưng không phải hình bình hành.
C. Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
D. Tứ giác MNPQ không có cặp cạnh đối nào song song.
Câu 42. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
,
AC BD O
,
A C B D O
. Gọi
M
,
N
,
P
lần lượt là trung điểm các cạnh
AB
,
BC
,
CC
. Khi đó
thiết diện do mặt phẳng
MNP
cắt hình lập phương là hình:
A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
Câu 43. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là một hình bình
hành. Gọi
M
là trung điểm của
SD
, điểm
N
nằm trên cạnh
SB
sao cho
2
SN NB
và
O
là giao điểm của
AC
và
.BD
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
AMN
là một hình thang.
B. Đường thẳng
MN
cắt mặt phẳng
.ABCD
C. Hai đường thẳng
MN
và
SC
chéo nhau.
D. Hai đường thẳng
MN
và
SO
cắt nhau.
Câu 44. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm của
.AB
Cắt tứ
diện
ABCD
bới mặt phẳng đi qua
M
và song song với
BC
và
AD
, thiết diện thu được là hình gì?
A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông. C. Hình bình hành. D. Ngũ giác.
Câu 45. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
M
là trung điểm của
SD
,
N
là điểm trên cạnh
SB
sao cho
2SN SB
,
O
là giao điểm của
AC
và
BD
.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đường thẳng
MN
cắt mặt phẳng
ABCD
.
B. Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
AMN
là một hình thang.
C. Hai đường thẳng
MN
và
SO
cắt nhau.
D. Hai đường thẳng
MN
và
SC
chéo nhau.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 46. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp tứ giác
. ,S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
bình hành. Gọi
, , M N P
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, SA SB
và
.BC
Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
MNP
và hình chóp
.
S ABCD
là
A. Tứ giác
MNPK
với
K
là điểm tuỳ ý trên cạnh
.AD
B. Tam giác
.MNP
C. Hình bình hành
MNPK
với
K
là điểm trên cạnh
AD
mà
// .PK AB
D. Hình thang
MNPK
với
K
là điểm trên cạnh
AD
mà
// .PK AB
Câu 47. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
là trung điểm của
OB
,
là mặt phẳng đi qua
M
, song song với
AC
và song song với
SB
. Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng
là hình gì?
A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
Câu 48. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điêm của
AB
,
AC
.
E
là điểm trên cạnh
CD
với
3ED EC
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
( )MNE
và tứ diện
ABCD
là
A. Tam giác
MNE
.
B. Tứ giác
MNEF
với
E
là điểm bất kì trên cạnh
BD
.
C. Hình bình hành
MNEF
với
E
là điểm trên cạnh
BD
mà
//EF BC
.
D. Hình thang
MNEF
với
E
là điểm trên cạnh
BD
mà
//EF BC
.
Câu 49. Cho hình chóp
.
S ABCD
với các cạnh đáy là
AB
,
CD
. Gọi
I
,
J
lần lượt là trung điểm của các
cạnh
AD
,
BC
và
G
là trọng tâm tam giác
SAB
. Tìm
k
với
AB kCD
để thiết diện của mặt phẳng
GIJ
với hình chóp
.
S ABCD
là hình bình hành.
A
B
C
D
S
G
I
J
A.
4
k
. B.
2
k
. C.
1
k
. D.
3
k
.
Câu 50. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
M
và
N
lần lượt là
trung điểm của
AB
và
AC
.
E
là điển trên cạnh
CD
với
3ED EC
. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
MNE
và tứ diện
ABCD
là:
A. Tam giác
MNE
.
B. Tứ giác
MNEF
với
F
là điểm bất kì trên cạnh
BD
.
C. Hình bình hành
MNEF
với
F
là điểm bất kì trên cạnh
BD
mà
EF
song song với
BC
.
D. Hình thang
MNEF
với
F
là điểm trên cạnh
BD
mà
EF
song song với
BC
.
Câu 51. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình
bình hành. Gọi
M
,
N
,
I
lần lượt là trung điểm của
SA
,
SB
,
BC
điểm
G
nằm giữa
S
và
I
sao cho
3
5
SG
SI
.Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
MNG
là
A. hình thang. B. hình tam giác. C. hình bình hành. D. hình ngũ giác.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Chọn C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song
hoặc đồng quy.
Câu 2. Chọn B
Đáp án A sai do hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song với nhau.
Đáp án C sai do hai đường thẳng không song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau.
Đáp án D sai do hai đường thẳng không cắt nhau và không song song với nhau thì có thể trùng
nhau.
Đáp án B đúng.
Câu 3. Chọn D
Câu 4. Chọn B
Do
ABCD
là hình tứ diện nên bốn điểm
, , ,A B C D
không đồng phẳng (loại đáp án A, C, D).
Câu 5.
Chọn C
Câu 6. Chọn D
b
a
A
D
B
C
Ta có:
a
và
b
là hai đường thẳng chéo nhau nên
a
và
b
không đồng phẳng.
Giả sử
AD
và
BC
đồng phẳng.
+ Nếu
;AD BC M M ABCD M a b
Mà
a
và
b
không đồng phẳng, do đó không tồn tại điểm
M
.
+ Nếu
//AD BC
a
và
b
đồng phẳng (mâu thuẫn giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó
AD
và
BC
chéo nhau.
Câu 7. Mệnh đề “nếu
c
cắt
a
thì
c
cắt
b
” là mệnh đề sai, vì
c
và
b
có thể chéo nhau.
Câu 8. Chọn A
P
a
b
O
Do đường thẳng
a
nằm trên
mp P
, đường thẳng
b
cắt
P
tại
O
và
O
không thuộc
a
nên
đường thẳng
a
và đường thảng
b
không đồng phẳng nên vị trí tương đối của
a
và
b
là chéo
nhau.
Câu 9. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Khi
c
và
b
cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng cắt nhau. Còn
b
và
c
không cùng nằm
trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Do
c
song song với
a
nên nếu
b
và
c
song song với nhau thì
b
cũng song song hoặc trùng với
a
, điều này trái với giả thiết là
a
và
b
chéo nhau.
Câu 10. Chọn D.
Gọi
P
là mặt phẳng qua
M
và chứa
a
;
Q
là mặt phẳng qua
M
và chứa
b
.
Giả sử tồn tại đường thẳng
c
đi qua
M
và đồng thời cắt cả
a
và
b
suy ra
c P
c P Q
c Q
.
Mặt khác nếu có một đường thẳng
c
đi qua
M
và đồng thời cắt cả
a
và
b
thì
a
và
b
đồng
phẳng (vô lí).
Do đó có duy nhất một đường thẳng đi qua
M
và đồng thời cắt cả
a
và
b
.
Câu 11.
//
b P
thì
b
có thể song song với
a
(hình 1) mà
b
cũng có thể chéo
a
(hình 2).
//
b P
b P
b a
. Vậy
a
,
b
không có điểm chung.
Câu 12. Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Câu 13. Chọn A
B
D
C
A
I
J
M
N
Dễ thấy
,MN AD
là hai đường thẳng chéo nhau nên loại B.
Dễ thấy
,MN BD
là hai đường thẳng chéo nhau nên loại C.
Dễ thấy
,MN CA
là hai đường thẳng chéo nhau nên loại D.
Suy ra chọn A.
Câu 14. Chọn C
Mệnh đề (I) đúng vì
IO
là đường trung bình của tam giác
SAC
.
P
P
a
a
b
b
Q
Hình 1
Hình 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Mệnh đề (II) sai vì tam giác
IBD
chính là thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
IBD
.
Mệnh đề (III) đúng vì giao điểm của đường thẳng
AI
với mặt phẳng
SBD
là giao điểm của
AI
với
SO
.
Mệnh đề (IV) đúng vì
,I O
là hai điểm chung của 2 mặt phẳng
IBD
và
SAC
.
Vây số mệnh đê đúng trong các mệnh để trên là: 3.
Câu 15. Chọn A
J
E
I
A
B
C
D
Gọi
E
là trung điểm
AB
.
Vì
I
và
J
lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC
và
ABD
nên:
1
3
EI EJ
EC ED
Suy ra:
/ /IJ CD
.
Câu 16. Chọn C
G
G'
H
K
A
B
C
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Gọi
H
và
K
lần lượt là trung điểm cạnh
;AB AD
. Với
G
và
G
lần lượt là trọng tâm tam giác
SAB
và
SAD
ta có:
2
//
3
SG SG
GG HK
SH SK
(1).
Mà
//HK BD
(
HK
là đường trung bình tam giác
ABD
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
GG
song song với
.BD
Câu 17.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Trong tam giác
MCD
có
1
3
MG ME
MD MC
suy ra
//GE CD
Câu 18.
N
P
A
B
C
D
M
Do
// //
P ABC AB P
Có
//
, //
MN P ABD
MN AB
AB ABD AB P
, mà
AB
cắt
AC
nên
//MN AC
là sai.
Câu 19. Đáp án D.
Cách 1: ( Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng kiến thức hình học phẳng)
Gọi
E
là trung điểm của
AB
. Ta có
I CE
J DE
nên suy ra
IJ
và
CD
đồng phẳng.
Do
,I J
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
,
ABC ABD
nên ta có:
1
3
EI EJ
EC ED
. Suy ra
IJ CD
.
Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu)
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
BD
và
BC
. Suy ra
MN CD
(1).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Do
,I J
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
,
ABC ABD
nên ta có:
2
3
AI AJ
AN AM
. Suy ra
IJ MN
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
IJ CD
.
Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng).
Có lẽ trong ví dụ này cách này hơi dài, song chúng tôi vẫn sẽ trình bày ở đây, để các bạn có thể
hiểu và vận dụng cách 3 hợp lí trong các ví dụ khác.
Dễ thấy, bốn điểm
D
,
C
,
I
,
J
đồng phẳng.
Ta có:
DCIJ AMN IJ
DCIJ BCD CD
IJ CD MN
AMN BCD MN
MN CD
.
Câu 20. Chọn A
I
N
M
F
E
D
B
C
A
S
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Ta có
I BM CN
.
I BM SAB
I SAB SCD
I CN SCD
Mà
S SAB SCD
. Do đó
.SAB SCD SI
Ta có:
/ /
/ / AB/ / CD
AB CD
AB SAB
SI
CD SCD
SAB SCD SI
.Vì
/ /SI CD
nên
/ /SI CF
.
Theo định lý Ta – let ta có:
2 2
SI SN
SI CF CD
CF NF
1
SI
CD
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 21.
Chọn B
Gọi
.F BD RQ
Nối
P
với
F
cắt
DA
tại
.S
Ta có
1
. . 1 .
D R 2
DF BR CQ DF RC
FB RC Q FB B
Tương tự ta có
. . 1 2 2SD.
SD D
DF BP AS SA FB
SA
FB PA S DF
Câu 22. Chọn C
Gọi giao điểm của
AC
và
BD
là
O
và kẻ
OM
cắt
AD
tại
K
. Vì
O
là trung điểm
AC
,
N
là trung điểm
SC
nên
//ON SA
(tính chất đường trung bình). Vậy hai mặt phẳng
( )MON
và
( )SAD
cắt nhau tại giao tuyến
GK
song song với
NO
. Áp dụng định lí Talet cho
//
GK ON
, ta có:
GM KM
GN KO
(1)
Gọi
I
là trung điểm của
AB
, vì
O
là trung điểm của
BD
nên theo tính chất đường trung
bình,
//
OI AD
, vậy theo định lí Talet:
2
KM AM AB
KO AI AI
. (2)
Từ (1) và (2), ta có
2
GM
GN
.
Câu 23. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Trong mặt phẳng
BCD
, gọi
I RQ BD
.
Trong
ABD
, gọi
S PI AD
S AD PQR
.
Trong mặt phẳng
BCD
, dựng
/ /DE BC
DE
là đường trung bình của tam giác
IBR
.
D
là trung điểm của
BI
.
Trong
ABD
, dựng
/ /DF AB
1
2
DF
BP
1
2
DF
PA
2
SA
SD
.
Câu 24. Chọn B
A
B
C
D
P
Q
R
S
x
Ta có:
;
//
Q PQR ACD
PR PRQ AC ACD
PR AC
PQR ACD Qx
với
// //Qx PR AC
Gọi
S Qx AD S PQR AD
Xét tam giác
ACD
có
//QS AC
Ta có:
1
3
SD QD
AD CD
3AD SD
.
Câu 25. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
P
B
D
C
A
I
K
L
N
Giả sử
LN BD I
. Nối
K
với
I
cắt
AD
tại
P
Suy ra
( )
KLN AD P
Ta có:
/ / / /KL AC PN AC
Suy ra:
2
PA NC
PD ND
Câu 26.
Q
N
P
M
A
C
B
D
Ta có
// //
NP AB AB MNP
.
Mặt khác
AB ABC
,
ABC
và
MNP
có điểm
M
chung nên giao tuyến của
ABC
và
MNP
là đường thẳng
//
MQ AB
Q AC
.
Ta có:
2
QC MC
QA MB
. Vậy
Câu 27.
Trong mặt phẳng
ABCD
, goi
E MN AC
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Trong mặt phẳng
SAC
, goi
H EG SC
.
Ta co:
;
H EG EG MNG
H SC
H SC MNG
.
Goi
I
,
J
lân lươt la trung điêm cua
SG
va
SH
.
Ta co
//
//
IJ HG
IA GE
A
,
I
,
J
thăng hang
Xet
ACJ
co
//
EH AJ
3
CH CE
HJ EA
3 CH HJ
.
Lai co
2SH HJ
nên
5SC HJ
.
Vây
2
5
SH
SC
.
Câu 28.
M
C'
B'
A'
O
S
A
B
C
P
N
A
P
B
M
C
N
O
Gọi
, ,M N P
lần lượt là giao điểm của
AO
và
BC
,
BO
và
AC
,
CO
và
AB
.
Ta có
CMO BMO CMO BMO OBC
CMA BMA CMA BMA ABC
S S S S S
OA MO
SA MA S S S S S
ANO CNO ANO CNO OAC
ANB CNB ANB CNB ABC
S S S S S
OB NO
SB NB S S S S S
.
APO BPO APO BPO OAB
APC BPC APC BPC ABC
S S S S S
OC PO
SC PC S S S S S
Từ đó
' ' '
1
OBC OAC OAB ABC
ABC ABC ABC ABC
S S S S
OA OB OC
T
SA SB SC S S S S
.
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN
Câu 29.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
S
là điểm chung của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
.
Mặt khác
//
AB SAB
CD SCD
AB CD
.
Nên giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là đường thẳng
St
đi qua điểm
S
và song
song với
CD
.
Câu 30. Chọn A
SAD SBC
là đường thẳng qua
S
và song song với
BC
.
Câu 31. Chọn D
Gọi
d
là đường thẳng qua
S
và song song với
AB
// d BI
Ta có:
// AB CD
AB SAB SAB SCD d
CD SCD
.
Vậy giao tuyến cần tìm song song với
BI
.
Câu 32. Chọn C
A
S
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Ta có
//
S SAD SBC
AD SAD
BC SBC
AD BC
do đó giao tuyến của giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
là đường thẳng
d
đi qua
S
và song song với
BC
,
AD
.
Câu 33. Chọn D
Xét hai mặt phẳng
,
IKG SAB
Ta có
;
G GIK G SAB
suy ra
G
là điểm chung thứ nhất.
/ / , , .IK AB IK GIK AB SAB
Suy ra
/ / / /
Gx IIKG SAB
K AB
Câu 34. Chọn D
d
F
E
A
B
D
S
C
Ta có:
//CDAB
AB SAB
CD SCD
giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là đường thẳng đi qua
S
và
song song với
AB
. Lại có
//AB EF
, nên giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là
đường thẳng đi qua
S
và song song với
EF
.
Câu 35. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
P
N
M
A
B
D
C
S
Ta có
P SA SAB
;
P MNP
nên
P
là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng
SAB
và
MNP
.
Mặt khác:
//MN AB
( do
MN
là đường trung bình của hình thang
ABCD
).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
MNP
là đường thẳng qua
P
và song song
với
AB
,
SC
.
Câu 36. Chọn B.
x
J
I
A
B
D
S
G
C
Ta có
// 1
IJ AB
(đường trung bình hình thang ).
2
G GIJ SAB
.
IJ GIJ
,
3
AB SAB
Từ
1
,
2
,
3
Gx GIJ SAB
,
//
Gx AB
,
//
Gx CD
.
Câu 37.
Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
d
S
A
D
B
C
Ta có: hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
có 1 điểm chung là
S
và lần lượt chứa hai đường thẳng
AD
và
BC
song song nhau nên giao tuyến d của hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
đi qua
S
và
song song
,AD BC
.
Câu 38.
Ta có
//AD BC
SAD SBC d
, với
d
là đường thẳng đi qua
S
và song song với
AD
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN
Câu 39. Đáp án C.
Gọi
N
là trung điểm của
SB
. Do
/ /MN AB
,
/ /AB CD
/ /MN CD
.
Như vậy suy ra
N
thuộc mặt phẳng
MCD
.
Ta có:
MCD SAD MD
MCD SAB MN
MCD SBC NC
MCD ABCD CD
Vậy tứ giác
MNCD
là thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng
MCD
.
Kết hợp với
/ /MN CD
, suy ra
MNCD
là hình thang.
Câu 40.
A
D
B
C
S
M
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Ta có
BMC ABCD BC
,
BMC SAB BM
, // // ,
x x x
BMC SAD M M AD BC M SD N
,
BMC SCD NC
Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
MBC
là tứ giác
BMNC
.
Ta có
1
2
//
MN AD
MN AD
suy ra
//BC
MN BC
MN
nên thiết diện
BMNC
là hình bình hành.
Câu 41. Ta có
1
/ /
3
AM AN
MN BD
AB AD
và
1
3
MN
BD
(1)
Mặt khác vì
PQ
là đường trung bình của tam giác
BCD
1
2
PQ BD
,
/ / 2
PQ BD
Từ (1) (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang, nhưng không là hình bình hành.
Câu 42.
Ta có
//
//
//
MN AC
MNP AB C
NP AB
MNP
cắt hình lập phương theo thiết diện là lục giác.
Câu 43.
A
B
C
D
A
B
C
D
O
O
M
N
P
Q
R
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
a)
MN
không song song với
BD
. Suy ra trong
SBD
ta có
MN
cắt
BD
. Do đó đáp án B đúng.
b) Hai đường thẳng
MN
và
SC
chéo nhau. Hiển nhiên đúng do
.
S ABCD
là hình chóp. Do đó đáp
án C đúng.
c) Hai đường thẳng
MN
và
SO
cắt nhau vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng
SBD
. Do đó đáp án
D đúng. Vậy đáp án A sai.
Câu 44.
P
Q
N
M
A
B
C
D
Gọi
là mặt phẳng đi qua
M
và song song với
BC
và
AD
.
Xét
và
ABD
có
M ABD
AD
nên
ABD MQ
với
Q
là trung điểm
BD
.
Xét
và
MNPQ
có
Q BCD
BC
nên
BCD QP
với
P
là trung điểm
CD
.
Xét
và
ACD
có
P ACD
AD
nên
ACD NP
với
N
là trung điểm
AC
.
Mà
,MN PQ
là hai đường trung bình của tam giác
ABC
và
DBC
.
Nên ta có
MN PQ
MN PQ
Vậy thiết diện là hình bình hành
MNPQ
.
Câu 45. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
.MN BD I MN ABCD I
nên A đúng.
Hai đường thẳng
MN
và
SO
cắt nhau do cùng nằm trong mặt phẳng
SBD
và không song song
nên C đúng.
Hai đường thẳng
MN
và
SC
chéo nhau vì không cùng nằm trong một mặt phẳng nên D đúng
Câu 46. Chọn D
K
N
P
M
D
C
B
A
S
Vì
/ / / /
MN AB AB MNP
mà
AB ABCD
nên
mp MNP
cắt
mp ABCD
theo giao
tuyến là đường thẳng qua
P
và song song với
.AB
Trong
,mp ABCD
qua
P
kẻ đường thẳng song song với
AB
cắt
AD
tại
/ / .K MN PK
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng
MNP
và hình chóp
.
S ABCD
là hình thang
MNPK
với
K
là
điểm trên cạnh
AD
mà
/ / .PK AB
Câu 47. Chọn B
Ta có:
1
/ /
M ABCD
ABCD d
ABCD AC
đi qua
M
và song song với
AC
.
Trong
ABCD
, gọi
,I H
lần lượt là giao điểm của
1
d
với
AB
và
BC
. Khi đó,
I
và
H
lần
lượt là trung điểm của
AB
và
BC
.
Ta lại có:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
2
/ /
I SAB
AB d
SAB SB
đi qua
I
và song song với
SB
.
Trong
SAB
, gọi
J
là giao điểm của
2
d
với
SA
. Khi đó,
J
là trung điểm của
SA
.
Ta cũng có:
3
/ /
H SBC
SBC d
SBC SB
đi qua
H
và song song với
SB
.
Trong
SBC
, gọi
L
là giao điểm của
3
d
với
SC
. Khi đó,
L
là trung điểm của
SC
.
Mặt khác:
4
/ /
M SBD
SBD d
SBD SB
đi qua
M
và song song với
SB
.
Trong
SBC
, gọi
K
là giao điểm của
4
d
với
SD
.
Vậy thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
khi cắt bởi mặt phẳng
là ngũ giác
HIJKL
.
Câu 48. Chọn D
I
F
E
N
M
B
D
C
A
Do
M
,
N
lần lượt là trung điêm của
AB
,
AC
//MN BC
.
Ta có
( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( ) // //
/ /
E MNE BCD
MN MNE BC BCD MNE BCD EF MN BC
MN BC
( )F BD
.
Ta có:
( ) ( )
MNE ABC MN
,
( ) ( )
MNE ACD NE
,
( ) ( )
MNE BCD EF
,
( ) ( )
MNE ABD FM
.
Vậy thiết diện là hình thang
MNEF
(vì
//
EF MN
).
Xét
CAD
có
1 1
2 4
CN CE
CA CD
EN AD I
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
, ,
( ) ( )
MNE ABD FM
ABD ACD AD
MN AD FM
MNE ACD EN
EN AD I
đồng qui tại
I
.
Do đó
MNEF
không thể là hình bình hành.
Câu 49. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
K
N
M
J
I
G
S
D
C
B
A
Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng
GIJ
và
SAB
là đường thẳng
Gx
đi qua
G
và song
song với các đường thẳng
AB
,
IJ
. Giao tuyến
Gx
cắt
SA
tại
M
và cắt
SB
tại
N
.
Thiết diện của mặt phẳng
GIJ
với hình chóp
.
S ABCD
là hình thang
IJNM
vì
//
IJ MN
.
IJ
là đường trung bình của hình thang
ABCD
nên ta có:
1
2 2 2
AB CD kCD CD k
IJ CD
.
G
là trọng tâm tam giác
SAB
nên
2 2
3 3
MN AB kCD
.
Để
IJNM
là hình bình hành ta cần phải có
IJ MN
1 2 1 2
3
2 3 2 3
k k k
CD kCD k
.
Câu 50.
Lời giải
Chọn D
x
F
E
N
M
A
B
C
D
Ta có:
MNE ABC MN
,
MNE ACD NE
.
Vì hai mặt phẳng
MNE
và
BCD
lần lượt chứa hai đường thẳng song song là
MN
và
BC
nên
MNE BCD Ex
(với
Ex
là đường thẳng qua
E
và song song với
BC
),
Ex
cắt
BD
tại
F
.
MNE BCD EF
và
MNE ADD FM
. Và
1
2
MN BC
;
3
4
EF BC
.
Vậy thiết diện là hình thang
MNEF
với
F
là điểm trên cạnh
BD
mà
EF
song song với
BC
.
Câu 51. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Xét trong mặt phẳng
SBC
ta có
NG BC P
.
Vì
/ /MN AB
nên
MNG ABCD
theo giao tuyến đi qua
P
song song với
,AB CD
và cắt
AD
tại
Q
.
Do đó:
MNG SAB MN
MNG SBC NP
MNG ABCD PQ
MNG SAD QM
Suy ra: Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
MNG
là tứ giác
MNPQ
.
Nhận xét:
/ /
/ /
/ /
MNG SAB MN
SAB ABCD AB
PQ AB
PQ MN
MNG ABCD PQ
AB MN
.
Suy ra: Thiết diện của hình chóp
.
S ABCD
với mặt phẳng
MNG
là hình thang
MNPQ
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H2-3
MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ................................................................................... 3
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN .............................................................. 4
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 8
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ................................................................................... 9
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ............................................................ 17
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng
định sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu
//
a
P
thì tồn tại trong
P
đường thẳng
b
để
// b a
.
C. Nếu
//
a P
b P
thì
// a b
.
D. Nếu
/
/
a
P
và đường thẳng
b
cắt mặt phẳng
P
thì hai đường thẳng
a
và
b
cắt nhau.
Câu 2. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho mặt phẳng
và đường thẳng
d
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu
/
/d
thì trong
tồn tại đường thẳng
sao cho
/
/ d
.
B. Nếu
/
/d
và
b
thì
/
/b d
.
C. Nếu
d
A
và
d
thì
d
và
d
hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
D. Nếu
/ / ;d c c
thì
/ /d
.
Câu 3. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho các mệnh đề sau:
(1). Nếu
//
a P
thì
a
song song với mọi đường thẳng nằm trong
P
.
(2). Nếu
//
a
P
thì
a
song song với một đường thẳng nào đó nằm trong
P
.
(3). Nếu
//
a P
thì có vô số đường thẳng nằm trong
P
song song với
a
.
(4). Nếu
//
a
P
thì có một đường thẳng
d
nào đó nằm trong
P
sao cho
a
và
d
đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Câu 4. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
A. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với
mặt phẳng còn lại.
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
C. Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Câu 5. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào
đó nằm trong mặt phẳng đó.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng
quy.
D. Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng
đó song song với nhau.
Câu 6. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định sai trong các
khẳng định sau đây
A. Nếu hai mặt phẳng song song cùng cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song
với nhau.
B. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ.
C. Nếu mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng
P
đều song song với mặt phẳng
Q
.
D. Nếu mặt phẳng
P
có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song
song với mặt phẳng
Q
thì mặt phẳng
P
song song với mặt phẳng
Q
.
Câu 7. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc
trùng nhau.
Câu 8. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết
luận đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
?
A.
//a b
và
b
. B.
//a
và
//
.
C.
//a b
và
//b
. D.
a
.
Câu 9. Cho hai mặt phẳng
,P Q
cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng
d
. Đường thẳng
a
song
song với cả hai mặt phẳng
,P Q
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
,a d
trùng nhau. B.
,a d
chéo nhau. C.
a
song song
d
. D.
,a d
cắt nhau.
Câu 10. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau
, ,a b c
. Gọi
P
là mặt phẳng qua
a
,
Q
là mặt phẳng
qua
b
sao cho giao tuyến của
P
và
Q
song song với
c
. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng
P
và
Q
thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Vô số mặt phẳng
P
và
Q
. B. Một mặt phẳng
P
, vô số mặt phẳng
Q
.
C. Một mặt phẳng
Q
, vô số mặt phẳng
P
. D. Một mặt phẳng
P
, một mặt phẳng
Q
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 11. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang, đáy lớn
AB
. Gọi
,P Q
lần lượt là hai điểm
nằm trên cạnh
SA
và
SB
sao cho
1
3
SP SQ
SA SB
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
PQ
cắt
ABCD
. B.
PQ ABCD
.
C.
/ /
PQ ABCD
. D.
PQ
và
CD
chéo nhau.
Câu 12. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
1
G
và
2
G
lần lượt là trọng
tâm các tam giác
BCD
và
ACD
. Khẳng định nào sau đây SAI?
A.
1 2
//
G G ABD
. B.
1 2
//
G G ABC
.
C.
1
BG
,
2
AG
và
CD
đồng quy. D.
1 2
2
3
G G AB
.
Câu 13. Cho tứ diện
ABCD
, gọi
1 2
,G G
lần lượt là trọng tâm tam giác
BCD
và
ACD
. Mệnh đề nào sau
đây sai?
A.
1 2
//
G G ABD
. B. Ba đường thẳng
1 2
,
BG AG
và
CD
đồng quy.
C.
1 2
//
G G ABC
. D.
1 2
2
3
G G AB
.
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
, ,M N K
lần lượt là trung điểm của
, , .DC BC SA
Gọi
H
là giao điểm của
AC
và
MN
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
MN
chéo
SC
. B.
//
MN SBD
. C.
// DMN ABC
. D.
MN SAC H
.
Câu 15. Cho hai hình bình hành
ABCD
và
ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
1
O
,
2
O
lần
lượt là tâm của
ABCD
,
ABEF
.
M
là trung điểm của
CD
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng
định sau:
A.
2
MO
cắt
BEC
. B.
1 2
O O
song song với
BEC
.
C.
1 2
O O
song song với
EFM
. D.
1 2
O O
song song với
AFD
.
Câu 16. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
chữ nhật. Gọi
,M N
theo thứ tự là trọng tâm
;
SAB SCD
. Khi đó MN song song với mặt phẳng
A.
( )SAC
B.
( )SBD
. C.
( )SAB
D.
( )ABCD
.
Câu 17. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Các điểm
,I J
lần lượt là trọng tâm các tam giác
,
SAB SAD
.
M
là trung điểm
CD
. Chọn mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau:
A.
// ( )IJ SCD
. B.
// ( )IJ SBM
. C.
// ( )IJ SBC
. D.
/ /( )IJ SBD
.
Câu 18. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
,
M
là trung điểm
SA
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A.
// DOM SC
. B.
// DOM SB
. C.
//
OM SAB
. D.
// DOM SA
.
Câu 19. Cho hinh chop
.
S ABCD
co đay la hinh thang,
AB
//
CD
va
2
AB CD
. Lấy
E
thuộc cạnh
SA
,
F
thuôc canh
SC
sao cho
2
3
SE SF
SA SC
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Đương thăng
EF
song song vơi măt phăng
SAC
.
B. Đương thăng
EF
cắt đường thẳng
AC
.
C. Đương thăng
AC
song song vơi măt phăng
BEF
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
D. Đương thăng
CD
song song vơi măt phăng
BEF
.
Câu 20. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Khi đó đường thẳng MG song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A.
.ACD
B.
.BCD
C.
.ABD
D.
.ABC
Câu 21. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
,
G
là trọng tâm
ABD
và
M
là
điểm trên cạnh
BC
sao cho
2
BM MC
. Đường thẳng
MG
song song với mặt phẳng
A.
.ACD
B.
.ABC
C.
.ABD
D.
(
.)BCD
Câu 22. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
SABCD
có đáy là
hình bình hành.
,M N
lần lượt là trung điểm của
SC
và
SD
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
/ /
MN SBD
. B.
/ /
MN SAB
. C.
/ /
MN SAC
D.
/ /
MN SCD
.
Câu 23. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Cho tứ diện
ABCD
,
G
là trọng tâm tam giác
ABD
. Trên
đoạn
BC
lấy điểm
M
sao cho
2
MB MC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
MG
song song với
ACD
B.
MG
song song với
ABD
.
C.
MG
song song với
ACB
. D.
MG
song song với
BCD
.
Câu 24. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
M
,
N
lần lượt
là trung điểm của
A B
và
CC
. Khi đó
CB
song song với
A.
AC M
. B.
BC M
. C.
A N
. D.
AM
.
Câu 25. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình thang với đáy lớn
AD
,
2
AD BC
. Gọi
M
là điểm thuộc cạnh
SD
sao cho
2 .MD MS
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
.BD
OM
song song với mặt phẳng
A.
SAD
. B.
SBD
. C.
SBC
. D.
SAB
.
Câu 26. Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm
,M N
lần lượt
nằm trên
',AD DB
sao cho
(0 2)
AM DN x x a
Khi x thay đổi, đường thẳng
MN
luôn
song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
A.
' 'CB D
. B.
'
A BC
. C.
' .AD C
. D.
' 'BA C
Câu
27. (THPT
CHUYÊN
HÙNG
VƯƠNG
-
BÌNH
DƯƠNG
-
2018)
Cho hình hộp ABC
D.
A’B’C’D’.
Trên các cạnh
'; '; 'AA BB CC
lần lượt lấy ba điểm
, ,M N P
sao cho
' 1 ' 2 ' 1
; ;
' 3 ' 3 ' 2
A M B N C P
AA BB CC
. Biết mặt phẳng
MNP
cắt cạnh
'DD
tại Q. Tính tỉ số
'
'
D Q
DD
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
5
6
. D.
2
3
.
Câu 28. Cho hai hình bình hành
ABCD
và
ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
O
,
1
O
lần
lượt là tâm của
ABCD
,
ABEF
M
là trung điểm của
CD
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
1
OO
//
BEC
. B.
1
OO
//
AFD
. C.
1
OO
//
EFM
. D.
1
MO
cắt
BEC
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 29. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
,
I
là trung điểm cạnh
SC
. Khẳng định nào sau đây sai?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
A. Đường thẳng
IO
song song với mặt phẳng
SAD
.
B. Mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là một tứ giác.
C. Đường thẳng
IO
song song với mặt phẳng
SAB
.
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng
IBD
và
SAC
là
IO
.
Câu 30. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Điểm
M
thỏa mãn
3 .MA MB
Mặt phẳng
P
qua
M
và song song với
SC
,
BD
. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.
B.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.
C.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.
D.
P
không cắt hình chóp.
Câu 31. (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho tứ diện
ABCD
. Điểm
M
thuộc đoạn
AC
(
M
khác
A
,
M
khác
C
). Mặt phẳng
đi qua
M
song song với
AB
và
AD
. Thiết diện của
với tứ
diện
ABCD
là hình gì?
A. Hình vuông B. Hình chữ nhật C. Hình tam giác D. Hình bình hành
Câu 32. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
, gọi
I
là trung điểm cạnh
SC
.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng
IO
song song với mặt phẳng
.SAD
B. Đường thẳng
IO
song song với mặt phẳng
.SAB
C. Mặt phẳng
IBD
cắt mặt phẳng
SAC
theo giao tuyến
.OI
D. Mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo một thiết diện là tứ giác.
Câu 33. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
bình hành tâm
, O I
là trung điểm cạnh
SC
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
// .IO mp SAB
B.
// .IO mp SAD
C. Mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là một tứ giác.
D.
.IBD SAC OI
Câu 34. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và BC. Thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (MNI) và hình chóp S.ABCD là:
A. Tứ giác MNIK với K là điểm bất kỳ trên cạnh AD.
B. Tam giác MNI.
C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB
Câu 35. Goi
P
la măt phăng qua
H
, song song vơi
CD
va
SB
. Thiêt diên tao bơi
P
va hinh chop
.
S ABCD
la hinh gi?
A. Ngu giac. B. Hinh binh hanh.
C. Tư giac không co căp canh đôi nao song song. D. Hinh thang.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
Câu 36. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện
ABCD
. Điểm
M
thuộc đoạn
AC
. Mặt phẳng
qua
M
song song với
AB
và
AD
. Thiết diện của
với tứ diện
ABCD
là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình ngũ giác.
Câu 37. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là một điểm thuộc đoạn
SB
. Mặt
phẳng
ADM
cắt hình chóp
S.ABCD
theo thiết diện là
A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.
Câu 38. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt đáy,
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
,
2SA a
. Gọi
M
là trung điểm cạnh
SC
,
là mặt phẳng đi qua
A
,
M
và song song với đường thẳng
BD
. Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng
.
A.
2
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
4 2
3
a
. D.
2
2 2
3
a
.
Câu 39. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho tứ diện
ABCD
có
AB a
,
CD b
. Gọi
I
,
J
lần
lượt là trung điểm
AB
và
CD
,
giả sử
AB CD
. Mặt phẳng
qua
M
nằm trên đoạn
IJ
và song song với
AB
và
CD
. Tính diện
tích thiết diện của tứ diện
ABCD
với mặt phẳng
biết
1
3
IM IJ
.
A.
ab
. B.
9
ab
. C.
2ab
. D.
2
9
ab
.
Câu 40. Cho tứ diện
ABCD
có
AB
vuông góc với
CD
,
6
AB CD
.
M
là điểm thuộc cạnh
BC
sao cho
. 0 1
MC x BC x
.
mp
P
song song với
AB
và
CD
lần lượt cắt
, , ,BC DB AD AC
tại
, , ,M N P Q
. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ?
A.
8
. B.
9
. C.
11
. D.
10
.
Câu 41. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
, gọi
M
là trung điểm
CD
,
P
là mặt phẳng đi qua
M
và song song với
B D
và
CD
. Thiết diện của
hình hộp cắt bởi mặt phẳng
P
là hình gì?
A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác. D. Lục giác.
Câu 42. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
có
6
AB
,
8
CD
. Cắt tứ diện bởi một
mặt phẳng song song với
AB
,
CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó
bằng
A.
31
7
. B.
18
7
. C.
24
7
. D.
15
7
.
Câu 43. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
. Trên các cạnh
AD
,
BC
theo thứ tự lấy các điểm
M
,
N
sao cho
1
3
MA NC
AD CB
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
MN
và song song với
CD
. Khi đó thiết diện của tứ diện
ABCD
cắt bởi mặt phẳng
P
là:
A. một tam giác.
B. một hình bình hành.
C. một hình thang với đáy lớn gấp
2
lần đáy nhỏ
D. một hình thang với đáy lớn gấp
3
lần đáy nhỏ.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 44. Cho tứ diện
ABCD
. Điểm G là trọng tâm tam giác
BCD
. Mặt phẳng
( )
qua G,
( )
song song
với
AB
và
CD
.
( )
cắt trung tuyến AM của tam giác ACD tại K. Chọn khẳng định đúng?
A.
( )
cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một hình tam giác. B.
2
3
AK AM
.
C.
1
3
AK AM
. D. Giao tuyến của
( )
và (CBD) cắt
CD
.
Câu 45. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Mặt phẳng
P
qua
BD
và song song
với
SA
. Khi đó mặt phẳng
P
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là một hình
A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.
Câu 46. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Gọi
I
là trung điểm
AB
. Mặt phẳng
IB D
cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Tam giác
Câu 47. Cho hìnhchóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành.
M
là một điểm thuộc đoạn
SB
(
M
khác
S
và
B
). Mặtphẳng
ADM
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là
A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
Câu 48. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Điểm
M
thỏa mãn
3
MA MB
. Mặt
phẳng
P
qua
M
và song song với hai đường thẳng
,SC BD
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
P
không cắt hình chóp.
B.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.
C.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.
D.
P
cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.
Câu 49. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
,
M
là trung điểm
SA
.Gọi
là mặt phẳng đi qua
M
, song song với
SC
và
AD
. Thiết diện của
với hình chóp
.
S ABCD
là
hình gì?
A. Hình thang. B. Hình thang cân. C. Hình chữ nhật. D. Hình bình hành.
Câu 50. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
thang
/ /
AB CD
. Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,AD BC
và G là trọng tâm tam
giác
SAB
. Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
IJG
là hình bình hành. Hỏi khẳng
định nào sao đây đúng?
A.
3
AB CD
. B.
1
3
AB CD
. C.
3
2
AB CD
. D.
2
3
AB CD
.
Câu 51. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng
6a
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
, ;CA CB P
là điểm trên cạnh
BD
sao cho
2BP PD
.
Diện tích
S
thiết diện của tứ diện
ABCD
bị cắt bởi
MNP
là:
A.
2
5 457
.
2
a
B.
2
5 457
.
12
a
C.
2
5 51
.
2
a
D.
2
5 51
.
4
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Câu 52. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang
//
AB CD
, cạnh
3AB a
,
AD CD a
. Tam giác
SAB
cân tại
, 2S SA a
. Mặt phẳng
P
song song với
,SA AB
cắt các cạnh
, , ,AD BC SC SD
theo thứ tự tại
, , ,M N P Q
. Đặt
0
AM x x a
. Gọi
x
là giá trị để tứ giác
MNPQ
ngoại tiếp được đường tròn, bán kính đường tròn đó là
A.
7
4
a
. B.
7
6
a
. C.
3
4
a
. D.
a
.
Câu 53. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện
ABCD
có tất cả các cạnh bằng
a
,
I
là trung điểm của
AC
,
J
là một điểm trên cạnh
AD
sao cho
2AJ JD
.
P
là mặt phẳng
chứa
IJ
và song song với
AB
. Tính diện tích thiết diện khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng
P
.
A.
2
3 51
144
a
. B.
2
3 31
144
a
. C.
2
31
144
a
. D.
2
5 51
144
a
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Chọn B
Câu 2. Chọn B
Mệnh đề B sai vì
b
và
d
có thể chéo nhau.
Câu 3. (1). Sai.
(2). Đúng.
(3). Đúng.
(4). Đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng.
Câu 4. Giả sử
song song với
. Một đường thẳng
a
song song với
có thể nằm trên
.
Câu 5. Vì B. … hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau.
C. … ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
D. … ai đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau, hoặc trùng nhau.
Câu 6.
Ví dụ
SAD
chứa
;MN PQ
cùng song song với
ABCD
nhưng
SAD
cắt
ABCD
.
Câu 7. Lý thuyết : Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt
nhau hoặc trùng nhau.
Câu 8. Chọn
a
Câu 9. Chọn C
N
C
A
D
B
S
M
P
Q
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 10. Chọn D
Vì
c
song song với giao tuyến của
P
và
Q
nên
c P
và
c Q
.
Khi đó,
P
là mặt phẳng chứa
a
và song song với
,c
mà
a
và
c
chéo nhau nên chỉ có một mặt
phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng
Q
chứa
b
và song song với
c
.
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng
P
và một mặt phẳng
Q
thỏa yêu cầu bài toán.
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 11.
Chọn C.
/ /
/ /
PQ AB
AB ABCD PQ ABCD
PQ ABCD
.
Câu 12. Chọn D
c
(Q)
(P)
b
a
Q
P
A
B
D
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Gọi
M
là trung điểm
CD
1
1
2
2
1
;
3
1
;
3
MG
G BM
MB
MG
G AM
MA
Xét tam giác
ABM
, ta có
1 2
1 2
1
//
3
MG MG
G G AB
MB MA
(định lí Thales đảo)
1 2 1
1 2
1 1
3 3
G G MG
G G AB
AB MB
.
Câu 13. Chọn D
Gọi
M
là trung điểm của
CD
.
Xét
ABM
ta có:
1 2
1 2
1 2
//
1
1
3
3
G G AB
MG MG
MB MA
G G AB
D sai.
Vì
1 2 1 2
// //
G G AB G G ABD
A đúng.
Vì
1 2 1 2
// //
G G AB G G ABC
C đúng.
Ba đường
1 2
, ,BG AG CD
, đồng quy tại
M
B đúng.
Câu 14. Chọn C
Vì
DMN ABC
nên
MN
không song song với mặt phẳng
DABC
câu C sai.
Câu 15. Chọn A.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Gọi
J
là giao điểm của
AM
và
BC
.
Ta có:
1 1
/ / / / / /MO AD BC MO CJ
.
Mà
1
O
là trung điểm của
AC
nên
M
là trung điểm của
AJ
.
Do đó
2
/ /MO EJ
.
Từ đó suy ra
2
/ /
MO BEC
(vì dễ nhận thấy
2
MO
không nằm trên
BEC
).
Vậy
2
MO
không cắt
BEC
.
Câu 16. Chọn D
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Do
;M N
là trọng tâm tam giác
;
SAB SCD
nên
, ,S M E
thẳng hàng;
, ,S N F
thẳng hàng.
Xét
SEF
có:
2
3
SM SN
SE SF
nên theo định lý Ta – let
/ /MN EF
.
Mà
EF ABCD
nên
/ /
MN ABCD
.
Câu 17. Chọn D
N
M
F
E
D
B
C
A
S
O
1
O
2
J
D
F
A
B
E
C
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Gọi
,N P
lần lượt là trung điểm của cạnh
,AB AD
.
Xét
SNP
có
2
// NP
3
SI SJ
IJ
SN SP
.
Xét
ABD
có
M
là đường trung bình trong tam giác
//NP BD
.
Suy ra
//IJ BD
.
Ta có
( )
( // // ( )
( ( )
IJ SBD
IJ BD IJ SBD
BD SBD
.
Câu 18. Chọn A
Ta có:
M
là trung điểm
SA
;
O
là trung điểm
AC OM
là đường trung bình
SAC
.
// ; D // DOM SC SC SCD OM SC OM SC
.
Câu 19. Chọn C
Vi
2
3
SE SF
SA SC
nên đương thăng
EF
//
AC
. Ma
EF BEF
,
AC BEF
nên
AC
song
song vơi măt phăng
BEF
.
Câu 20. Chọn A
M
O
A
D
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Gọi E là trung điểm AD
Câu 21.
Gọi
P
là trung điểm
AD
Ta có:
3
//CP MG// .
2
BM BG
MG ACD
BC BP
Câu 22.
Ta có
/ / CD / / ABMN MN
/ / SABMN
P
N
D
C
B
A
G
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Câu 23.
Gọi
I
là trung điểm của
AD
. Xét tam giác
BCI
có
2
3
BM BG
BC BI
/ / , ,
MG CI CI ACD MG ACD
/ /
MG ACD
.
Câu 24.
- Gọi
G
là giao điểm của
AC
và
A C
G
là trung điểm của
A C
MG
là đường trung bình
của tam giác
A CB
/ /
CB MG
/ /
CB AC M
.
Câu 25. Chọn C
G
A
C
C'
B
B'
A'
N
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
1 2
// ;
2 3
OC OB BC DO
AD BC AC BD O
OA OD AD DB
. Mặt khác:
2
S 3
DM
D
S
DO DM
DB D
//OM SB
Mà
,
SB SBC OM SBC
.
Nên
//
OM SBC
.
Câu 26. Chọn B
Sử dụng định lí Ta-lét thuận
Vì
//
AD A D
nên tồn tại
P
là mặt phẳng qua
AD
và song song với mp
A D CB
Q
là mặt phẳng qua
M
và song song với mp
A D CB
Giả sử
Q
cắt
DB
tại
N
Theo định lí Ta-lét ta có:
(*)
AM DN
AD DB
Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh
a
nên
2AD DB a
Từ
*
ta có
AM DN
DN DN
N N
( )MN Q
//
A C
Q
D B
suy ra
MN
luôn song song với mặt phẳng cố định
A D CB
hay
A BC
Sử dụng định lí Ta-lét đảo
O
A
B
C
D
S
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Từ giả thiết ta có:
AM MD AD
DN NB DB
Suy ra
AD
,
MN
và
D B
luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo).
Vậy
MN
luôn song song với một mặt phẳng
P
, mà
P
song song với
AD
và
D B
Mặt phẳng này chính là mp
A D CB
hay
A BC
Câu
27.
Gọi độ dài cạnh bên của hình hộp là
a
.
Giao tuyến của mặt phẳng
MNP
với
' 'CDD C
là đường thẳng đi qua
P
và song song với
MN
(do
/ / ' 'MN CDD C
)
Gọi
'P
là trung điểm
'BB
và
' ': / / ' 'Q AA MN P Q
. Khi đó tứ giác
' 'MNP Q
là hình bình hành
và
2 1 1 1 1
' ' ' ' ' '
3 2 6 6 6
NP a a a MQ a Q A MA MQ a
.
Vậy
' ' ' 1
' ' 6
A Q D Q
AA DD
.
Câu 28. Chọn D
Xét tam giác
ACE
có
1
,O O
lần lượt là trung điểm của
AC
,
AE
.
Suy ra
1
OO
là đường trung bình trong tam giác
ACE
1
OO
//
EC
.
Tương tự,
1
OO
là đường trung bình của tam giác
BFD
nên
1
OO
//
FD
.
Vậy
1
OO
//
BEC
,
1
OO
//
AFD
và
1
OO
//
EFC
. Chú ý rằng:
EFC EFM
.
Q'
P'
Q
P
A'
B'
C'
A
B
C
D
D'
N
M
O
1
O
E
F
C
D
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 29.
A đúng vì
//IO SA
//
IO SAD
.
C đúng vì
//IO SA
//
IO SAB
.
D đúng vì
SAD
I
IB
C O
.
B sai vì mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là tam giác
IBD
.
Câu 30.
Trong
ABCD
, kẻ đường thẳng qua
M
và song song với
BD
cắt
, , BC CD CA
tại
, , K N I
.
Trong
SCD
, kẻ đường thẳng qua
N
và song song với
SC
cắt
SD
tại
P
.
Trong
SCB
, kẻ đường thẳng qua
K
và song song với
SC
cắt
SB
tại
Q
.
Trong
SAC
, kẻ đường thẳng qua
I
và song song với
SC
cắt
SA
tại
R
.
Thiết diện là ngũ giác
KNPRQ
.
Câu 31. Chọn C
O
I
D
C
A
B
S
R
Q
P
N
I
K
M
D
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Ta có
//AB
AB ABC
ABC MN
với
//MN AB
và
N BC
.
Ta có
//AD
AD ADC
ADC MP
với
//MP AD
và
P CD
.
BCD NP
.
Do đó thiết diện của
với tứ diện
ABCD
là hình tam giác
MNP
.
Câu 32. Chọn D
Trong tam giác
SAC
có
O
là trung điểm
AC
,
I
là trung điểm
SC
nên
/ /SAIO
IO
song song với hai mặt phẳng
SAB
và
.SAD
Mặt phẳng
IBD
cắt
SAC
theo giao tuyến
.IO
Mặt phẳng
IBD
cắt
SBC
theo giao tuyến
BI
, cắt
SCD
theo giao tuyến
ID
, cắt
ABCD
theo giao tuyến
BD
thiết diện tạo bởi mặt phẳng
IBD
và hình chóp
.S ABCD
là tam giác
.IBD
Vậy đáp án D sai.
Câu 33. Chọn C
P
N
M
D
C
B
A
I
O
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Trong mặt phẳng
SAC
có
,I O
lần lượt là trung điểm của
,SC SA
nên
// .IO SA
Suy ra
//
.
//
IO SAB
IO SAD
Hai mặt phẳng
SAC
và
IBD
có hai điểm chung là
,O I
nên giao tuyến của hai mặt phẳng là
.IO
Thiết diện của mặt phẳng
IBD
cắt hình chóp
.
S ABCD
chính là tam giác
.IBD
Câu 34.
B. Tam giác MNI.
C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB Chọn D
Hình vẽ:
Ta xét ba mặt phẳng (MNI), (SAB), (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến song song.
MNI SAB MN
SAB ABCD AB
1
mµ MN//= AB
2
MNI ABCD
theo giao tuyến là một đường thẳng đi qua I và song song với AB, sẽ cắt AD
tại một điểm K: IK//=AB
Vậy thiết diện cần tìm là: Hình thanh MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
Câu 35. Chọn D
P
la măt phăng qua
H
, song song vơi
CD
va
SB
nên
P
căt
ABCD
theo giao tuyên qua
H
song song
CD
căt
, BC AD
lân lươt tai
, F E
;
P
căt
SBC
theo giao tuyên
//FI SB
(
I SC
);
P
căt
SCD
theo giao tuyên
//JI CD
(
J SD
).
Khi đo thiêt diên tao bơi
P
va hinh chop
.
S ABCD
la hinh thang vi
//JI FE
,
//FI SB
,
//JE SA
nên
FI
không song song vơi
JE
.
Câu 36. Chọn A
A
B
D
C
S
M
N
I
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
và
ABC
có
M
chung,
song song với
AB
,
AB ABC
.
, / /ABC Mx Mx AB
và
Mx BC N
.
và
ACD
có
M
chung,
song song với
AD
,
AD ACD
, / /ACD My My AD
và
My CD P
.
Ta có
ABC MN
.
ACD MP
.
BCD NP
.
Thiết diện của
với tứ diện
ABCD
là tam giác
MNP
.
Câu 37. Chọn A
Do
BC // AD
nên mặt phẳng
ADM
và
SBC
có giao tuyến là đường thẳng
MG
song song
với
BC
Thiết diện là hình thang
AMGD
.
P
N
M
D
C
B
A
G
A
D
C
B
S
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Câu 38.
Gọi
O AC BD
,
I SO AM
. Trong mặt phẳng
SBD
qua
I
kẻ
/ /EF BD
, khi đó ta có
AEMF
là mặt phẳng chứa
AM
và song song với
BD
. Do đó thiết diện của hình chóp bị
cắt bởi mặt phẳng
là tứ giác
AEMF
.
Ta có:
//FE BD
BD SAC
FE SAC
FE AM
.
Mặt khác ta có:
*
2
AC a SA
nên tam giác
SAC
vuông cân tại
A
, suy ra
2AM a
.
*
I
là trọng tâm tam giác
SAC
, mà
//EF BD
nên tính được
2 4
3 3
a
EF BD
.
Tứ giác
AEMF
có hai đường chéo
FE AM
nên
2
1 2 2
.
2 3
AEMF
a
S FE AM
.
Câu 39.
F
E
I
M
O
C
A
D
B
S
a
d
Q
P
H
G
F
E
N
L
J
I
A
B
C
D
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Ta có
// CD
CD ICD
M ICD
giao tuyến của
với
ICD
là đường thẳng qua
M
và
song song với
CD
cắt
IC
tại
L
và
ID
tại
N
.
// AB
AB JAB
M JAB
giao tuyến của
với
JAB
là đường thẳng qua
M
và song song
với
AB
cắt
JA
tại
P
và
JB
tại
Q
.
Ta có
// AB
AB ABC
L ABC
// EF AB
(1)
Tương tự
// AB
AB ABD
N ABD
// HG AB
(2).
Từ (1) và (2)
// // EF HG AB
(3)
Ta có
// CD
CD ACD
P ACD
// FG CD
(4)
Tương tự
// CD
CD BCD
Q BCD
// EH CD
(5)
Từ (4) và (5)
// // FG EH CD
(6).
Từ (3) và (6), suy ra
EFGH
là hình bình hành. Mà
AB CD
nên
EFGH
là hình chữ nhật.
Xét tam giác
ICD
có:
// LN CD
LN IN
CD ID
.
Xét tam giác
ICD
có:
// MN JD
IN IM
ID IJ
.
Do đó
1
3
LN IM
CD IJ
1
3 3
b
LN CD
.
Tương tự
2
3
PQ JM
AB JI
2 2
3 3
a
PQ AB
.
Vậy
2
.
9
EFGH
ab
S PQ LN
.
Câu 40. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Xét tứ giác
MNPQ
có
// //
// //
MQ NP AB
MN PQ CD
MNPQ
là hình bình hành.
Mặt khác,
AB CD MQ MN
.
Do đó,
MNPQ
là hình chữ nhật.
Vì
//MQ AB
nên
. 6
MQ CM
x MQ x AB x
AB CB
.
Theo giả thiết
. 1
MC x BC BM x BC
.
Vì
//MN CD
nên
1 1 . 6 1
MN BM
x MN x CD x
CD BC
.
Diên tích hình chữ nhật
MNPQ
là
2
1
. 6 1 .6 36. . 1 36 9
2
MNPQ
x x
S MN MQ x x x x
.
Ta có
9
MNPQ
S
khi
1
1
2
x x x
Vậy diện tích tứ giác
MNPQ
lớn nhất bằng 9 khi
M
là trung điểm của
BC
.
Câu 41.
P
N
Q
A
B
D
C
M
M
Q
N
P
K
B
A
D
C
A'
D'
C'
B'
I
F
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
* Gọi
I
là điểm thuộc
A B
sao cho
3
2
A I A B

, gọi
K
là trung điểm của
DD
. Ta có:
//
//
MI DB
P MIK
MK CD
* Gọi
,
E MK C D F MK CC
.
* Gọi
, ,
P IE B C Q IE A D N PF BC
.
* Thiết diện của hình hộp
.
ABCD A B C D
cắt bởi mặt phẳng
P
là ngũ giác
MNPQK
.
Câu 42. Giả sử một mặt phẳng song song với
AB
và
CD
cắt tứ diện
ABCD
theo một thiết diện là hình
thoi
MNIK
như hình vẽ trên. Khi đó ta có:
// //
// //
MK AB IN
MN CD IK
MK KI
.
Cách 1:
Theo định lí Ta – lét ta có:
MK CK
AB AC
KI AK
CD AC
6
8
MK AC AK
AC
KI AK
AC
1
6
MK AK
AC
1
6 8
MK KI
1
6 8
MK MK
7
1
24
MK
24
7
MK
.
Vậy hình thoi có cạnh bằng
24
7
.
Cách 2:
Theo định lí Ta-lét ta có:
MK CK
AB AC
KI AK
CD AC
MK MK CK AK
AB CD AC AC
6 8
MK MK AK KC
AC
7
1
24
MK AC
AC
24
7
MK
.
Câu 43.
Trong mặt phẳng
ACD
,từ
M
kẻ
//
MP CD
P AC
.
Trong mặt phẳng
BCD
,từ
M
kẻ
//
NQ CD
Q BD
.
Khi đó ta có
MPNQ
là thiết diện của mặt phẳng
P
và tứ diện
ABCD
.
Ta có
//
1
3
MP CD
MP CD
(1);
//
2
3
NQ CD
NQ CD
(2).
Q
N
P
M
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Từ (1) và (2) ta có
//
1
2
NQ MP
MP NQ
.
Vậy
MPNQ
là hình thang có đáy lớn bằng hai lần đáy nhỏ.
Câu 44.
Chọn B
Xác định thiết diện:
( )
qua G, song song với CD
( ) ( )
BCD HI
(giao tuyến đi qua G và song song CD,
,
H BC I CD
)
Tương tự ta được
( ) ( ) ( / / )ABD IJ JI AB
( ) ( ) ( / / )ACD JN JN CD
( ) ( )
ABC HN
Vậy
( )
là (HNJI)
Vì G là trọng tâm tam giác BCD mà
/ /IG CD
nên
2
3
BG BI
BM BC
Mặt khác IJ song song AB nên
2
3
BI AJ
BC AD
Lại có JK song song DM (vì ,
K AM M CD
) nên
2
3
AK AJ
AM AD
. Vậy
2
3
AK AM
Câu 45. Chọn D
Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
I là trung điểm của AC và BD
I
O
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
//P SA
P SAC OI
BD P
Khi đó
/ /OI SA
và I là trung điểm của
SC
P SBC BI
và
P SCD ID
Vậy thiết diện là tam giác
BDI
Câu 46. Chọn B
Ta có
IB D
và
ABCD
có I là một điểm chung.
//
//
B D IBD
BD ABCD IBD ABCD IJ BD J AD
B D BD
Thiết diện là hình thang
IJD B
.
Câu 47.
Lờigiải
Chọn D
Ta có
M
là một điểm thuộc đoạn
SB
với
M
khác
S
và
B
.
Suy ra
//
M ADM SBC
AD ADM
BC SBC
AD BC
// //ADM SBC Mx BC AD
.
Gọi
N Mx SC
thì
ADM
cắt hình chóp
.S ABCD
theo thiết diện là tứ giác
AMND
. Vì
//MN AD
và
MN
với
AD
không bằng nhau nên tứ giác
AMND
là hình thang.
Câu 48. Chọn D
+ Mặt phẳng
P
qua
M
và song song với hai đường thẳng
,SC BD
S
H
G
F
P
N
M
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
/ / , , .P ABCD Mx BD Mx BC N Mx CD P
/ / , .P SBC Ny SC Ny SB F
/ / , .P SCD Pt SC Pt SD H
Trong
:
SAB MF SA G
.
+
.P ABCD NP
.P SCD PH
.P SAD HG
.P SAB GF
.P SBC FN
Vậy
P
cắt hình chóp theo thiết diện là ngũ giác
.NPHGF
Câu 49. Chọn A
//
// ;
M SAD
SAD MN AD N SD
AD AD SAD
1
.
//
// ;
N SCD
SCD NP SC P CD
SC SC SCD
.
//
// ;
P ABCD
ABCD PQ AD Q AB
AD AD ABCD
2
.
SAB MQ
Từ
1
2
suy ra
// //MN PQ AD
thiết diện
MNPQ
là hình thang.
Câu 50. Chọn A
N
P
Q
M
O
A
D
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Từ giả thiết suy ra
// //
IJ AB CD
,
2
AB CD
IJ
.
Xét 2 mặt phẳng
( ),( )IJG SAB
có
G
là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng
EF
đi qua
G
,
// // //EF AB CD IJ
với
E SA
,
F SB
.
Nối các đoạn thẳng
,EI FJ
ta được thiết diện là tứ giác
EFJI
, là hình thang vì
//EF IJ
.
Vì
G
là trọng tâm của tam giác
SAB
và
//EF AB
nên theo định lí Ta – lét ta có:
2
3
EF AB
Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần:
2
3
2 3
AB CD AB
EF IJ AB CD
Câu 51. Chọn B
Ta có
/ /
AB MN
( Vì
MN
là đường trung bình của
ABC
),
, / / .AB MNP MN MNP AB MNP
Lại có
AB ABD
, do đó
MNP ABD PQ Q AD
sao cho:
/ / / /
PQ AB MN
, ,
MNP ABC MN MNP BCD NP MNP ACD MQ
.
Vậy thiết diện của tứ diện
ABCD
bị cắt bởi
MNP
là hình thang
MNPQ
( vì
/ /MN PQ
)
Mặt khác các tam giác
,
ACD BCD
đều và bằng nhau nên
MQ NP MNPQ
là hình thang cân.
G
J
I
B
A
D
S
E
F
C
K
Q
P
N
M
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
1 1
3 ; 2 .
2 3
MN AB a PQ AB a
Ta có
2 2
, / /
3 3
PQ KP
PQ MN
MN KN
mà
N
là trung điểm
của
CB P
là trọng tâm tam giác
BCK D
là trung điểm của
12 .CK CK a
2 2
1 117
2 . .cos60 .
3 3
a
NP CK CN CK CN
Chiều cao của hình thang
MNPQ
là
2
2
457
.
2 6
MN PQ a
h NP
2
5 457
. .
2 12
TD
MN PQ a
S h
Câu 52. Chọn B
// //P SA MQ SA
;
// //P AB MN AB
;
// // //P AB P CD PQ CD
//PQ MN
Tứ giác
MNPQ
là hình thang.
// ; // //P SA P AB P SAB
//PN SB
PN CN
SB CB
.
//
MQ DM
MQ SA
SA DA
.
//
DM CN
MN AB
DA CB
PN QM
PN QM
SB SA
MNPQ
là hình thang cân.
//
MQ DM a x
MQ SA
SA DA a
2MQ a x
//
PQ SQ AM x
PQ CD
CD SD AD a
PQ x
Gọi
E MN BD
3
ME DM a x
ME a x
AB DA a
;
EN BN AM x
EN x
CD BC AB a
3 2MN ME EN a x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Hình thang cân
MNPQ
có đường tròn nội tiếp
MN PQ MQ NP
(Tính chất tiếp tuyến)
3 2 4a x x a x
3
a
x
7 4
; ;
3 3 3
a a a
MN PQ QM
1 1
2 2
MF MN PQ a
2
2 2 2
16 7
9 3
a a
QF MQ MF a
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình thang
MNPQ
là
1 7
2 6
a
R QF
Câu 53. Chọn C
Gọi
K P BD
,
L P BC
,
E P CD
.
Vì
/ /P AB
nên
/ /IL AB
,
/ /JK AB
. Do đó thiết diện là hình thang
IJKL
và
L
là trung điểm
cạnh
BC
, nên ta có
1
2
KD JD
KB JA
.
Xét tam giác
ACD
có
I
,
J
,
E
thẳng hàng. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt ta có:
1
. . 1
2
ED IC JA ED
D
EC IA JD EC
là trung điểm
EC
.
Dễ thấy hai tam giác
ECI
và
ECL
bằng nhau theo trường hợp c-g-c.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác
ICE
ta có:
2
2 2 2
13
2 . .cos 60
4
a
EI EC IC EC IC
13
2
a
EL EI
.
Áp dụng công thức Hê-rông cho tam giác
ELI
ta có:
2
2
51
16
ELI
S p p x p y a
Với
2 13 1
2 4
EI EL IL
p a
,
13
2
x EI EL a
,
2
a
y IL
.
Hai tam giác
ELI
và tam giác
EKJ
đồng dạng với nhau theo tỉ số
2
3
k
nên
E
L
K
J
I
A
B
D
C
K
J
E
L
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Do đó:
2
2
2 5 51
3 144
IJKL ELI EKJ ELI ELI
S S S S S a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H2-4
MỤC LỤC
PHẦN A
. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 3
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................... 5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 7
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 7
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 9
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................. 15
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu hai mặt phẳng
( )
và
( )
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(
)
đều song song với mặt phẳng
(
)
.
B. Nếu hai mặt phẳng
( )
và
( )
song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
(
)
.
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng
(
)
và
(
)
thì
(
)
và
(
)
song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song
song với mặt phẳng cho trước đó.
Câu 2. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Cho điểm
M
nằm ngoài mặt phẳng
.
Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng
a
chứa
M
và song song với
.
B. Cho hai đường thẳng
a
và
b
chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng
chứa
a
và song
song với
.b
C. Cho điểm
M
nằm ngoài mặt phẳng
.
Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng
chứa điểm
M
và song song với
.
D. Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt
phẳng
chứa
a
và song song với
.
Câu 3. Cho hai mặt phẳng
P
và
Q
song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng
d
P
và
d
Q
thì
/
/d d
.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm
A P
và song song với
Q
đều nằm trong
P
.
C. Nếu đường thẳng
cắt
P
thì
cũng cắt
Q
.
D. Nếu đường thẳng
a Q
thì
//
a P
.
Câu 4. Cho hai mặt phẳng phân biệt
P
và
Q
; đường thẳng
;
a P b Q
. Tìm khẳng định sai
trong các mệnh đề sau.
A. Nếu
/ /
P Q
thì
/ /a b
.
B. Nếu
/ /
P Q
thì
/ /b P
.
C. Nếu
/ /
P Q
thì
a
và
b
hoặc song song hoặc chéo nhau.
D. Nếu
/ /
P Q
thì
/ /
a Q
Câu 5. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác thì chúng song song với nhau.
B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy.
C. Nếu đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
P
thì
a
song song với một đường thẳng nào đó
nằm trong
P
.
D. Cho hai đường thẳng
a
,
b
nằm trong mặt phẳng
P
và hai đường thẳng
a
,
b
nằm trong mặt
phẳng
Q
. Khi đó, nếu
//a a
;
//b b
thì
//
P Q
.
Câu 6. Trong không gian, cho đường thẳng a và hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. Nếu (P) và (Q) cùng cắt a thì (P) song song với (Q).
B. Nếu (P) và (Q) cùng song song với a thì (P) song song với (Q).
C. Nếu (P) song song với (Q ) và a nằm trong mp (P) thì a song song với (Q).
D. Nếu (P) song song với (Q ) và a cắt (P) thì a song song với (Q).
Câu 7. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng
chéo nhau?
A. Vô số. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 8. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình lăng trụ
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Tìm mệnh
đề sai trong các mệnh đề sau
A.
mp ' 'AA B B
song song với
mp ' 'CC D D
.
B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.
C.
'AA
song song với
'CC
.
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau.
Câu 9. (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh
đề nào đúng?
- Nếu
a mp P
và
//
mp P mp Q
thì
//
a mp Q
.
I
- Nếu
a mp P
,
b mp Q
và
//
mp P mp Q
thì
//a b
.
II
- Nếu
//
a mp P
,
//
a mp Q
và
mp P mp Q c
thì
//c a
.
III
A. Chỉ
I
. B.
I
và
III
.
C.
I
và
II
. D. Cả
I
,
II
và
III
.
Câu 10. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
A. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.
D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến
song song với nhau.
Câu 11. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với
nhau. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )d P
và
' ( )d Q
thì d // d’.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm
( )A P
và song song với (Q) đều nằm trong (Q).
C. Nếu đường thẳng a nằm trong (Q) thì a // (P).
D. Nếu đường thẳng
cắt (P) thì
cắt (Q).
Câu 12. (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đường thẳng
a
và đường
thẳng
b
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
/ / / /a
và
/ / .
b
B.
/ / / / .
a b
C. a và b chéo nhau. D.
/ / / / .a b
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 13. (Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
//
ACD A C B
. B.
//
ABB A CDD C
.
C.
//
BDA D B C
. D.
//
BA D ADC
.
Câu 14. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Mặt phẳng
AB D
song song với mặt phẳng nào trong các mặt
phẳng sau đây?
A.
BCA
. B.
BC D
. C.
A C C
. D.
BDA
.
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Mặt phẳng
AB D
song
song với mặt phẳng nào sau đây?
A.
BA C
. B.
C BD
. C.
BDA
. D.
ACD
.
Câu 16. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có các cạnh bên
, , ,
AA BB CC DD
. Khẳng định nào sai?
A.
BB DC
là một tứ giác đều. B.
BA D
và
ADC
cắt nhau.
C.
A B CD
là hình bình hành. D.
//
AA B B DD C C
.
Câu 17. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
I
,
J
,
K
lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC
,
ACC
,
AB C
. Mặt phẳng nào
sau đây song song với
IJK
?
A.
A
BC
. B.
AA B
. C.
BB C
. D.
CC A
.
Câu 18. (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
. Gọi
M
,
N
,
P
theo thứ tự là trung điểm của
SA
,
SD
và
AB
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
//
NMP SBD
. B.
NOM
cắt
OPM
.
C.
//
MON SBC
. D.
PON MNP NP
.
Câu 19. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
, có đáy
ABCD
là hình bình
hành tâm
O
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
,SA SD
. Mặt phẳng
OMN
song song với mặt
phẳng nào sau đây?
A.
SBC
. B.
SCD
. C.
ABCD
. D.
SAB
.
Câu 20. Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
H
là trung điểm của
A B
. Mặt phẳng
AHC
song song với
đường thẳng nào sau đây?
A.
BA
. B.
BB
. C.
BC
. D.
CB
.
Câu 21. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình bình hành
ABCD
. Qua
A
,
B
,
C
,
D
lần lượt vẽ các
nửa đường thẳng
Ax
,
By
,
zC
,
Dt
ở cùng phía so với mặt phẳng
ABCD
, song song với nhau
và không nằm trong
ABCD
. Một mặt phẳng
P
cắt
Ax
,
By
,
zC
,
Dt
tương ứng tại
A
,
B
,
C
,
D
sao cho
3
AA
,
5
BB
,
4
CC
. Tính
DD
.
A.
4
. B.
6
. C.
2
. D.
12
.
Câu 22. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang đáy
AD
và
BC
. Gọi
M
là trọng tâm tam giác
SAD
,
N
là điểm thuộc đoạn
AC
sao
cho
2
NC
NA
,
P
là điểm thuộc đoạn
CD
sao cho
.
2
PC
PD
Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SBC
và
MNP
là một đường thẳng song song với
BC
.
B.
MN
cắt
SBC
.
C.
//
MNP SAD
.
D.
//
MN SBC
và
//
MNP SBC
Câu 23. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai hình bình hành
ABCD
và
ABEF
có tâm lần
lượt là
O
và
O
, không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi
M
là trung điểm
AB
, xét các khẳng
định
: //
I ADF BCE
;
: //
II MOO ADF
;
: //
III MOO BCE
;
: //
IV ACE BDF
.
Những khẳng định nào đúng?
A.
I
. B.
,
I II
. C.
, ,
I II III
. D.
, , ,
I II III IV
.
Câu 24. Cho hình vuông
ABCD
và tam giác đều
SAB
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi
M
là điểm
di động trên đoạn
AB
. Qua
M
vẽ mặt phẳng
song song với
SBC
. Gọi
N
,
P
,
Q
lần lượt
là giao của mặt phẳng
với các đường thẳng
CD
,
SD
,
SA
. Tập hợp các giao điểm
I
của hai
đường thẳng
MQ
và
NP
là
A. Đoạn thẳng song song với
AB
. B. Tập hợp rỗng.
C. Đường thẳng song song với
AB
. D. Nửa đường thẳng.
Câu 25. Cho hinh chop
.
S ABCD
co đay la hinh thang,
AB
//
CD
va
2
AB CD
. Goi
O
la giao điêm cua
AC
va
BD
. Lây
E
thuôc canh
SA
,
F
thuôc canh
SC
sao cho
2
3
SE SF
SA SC
(tham khảo hình vẽ
dưới đây).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Goi
la măt phăng qua
O
va song song vơi măt phăng
BEF
. Goi
P
la giao điêm cua
SD
vơi
.
Tinh ti sô
SP
SD
.
A.
3
7
SP
SD
. B.
7
3
SP
SD
. C.
7
6
SP
SD
. D.
6
7
SP
SD
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Câu 26. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
. Mặt phẳng
P
chứa
BD
và song song với mặt phẳng
AB D
cắt hình lập phương theo thiết diện là.
A. Một tam giác đều. B. Một tam giác thường.
C. Một hình chữ nhật. D. Một hình bình hành.
Câu 27. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
cạnh
a
. Mặt phẳng
qua
AC
và song song với
BB
.
Tính chu vi thiết diện của hình lập phương
.ABCD A B C D
khi cắt bởi mặt phẳng
.
A.
2 1 2 a . B.
3
a
. C.
2
2a
. D.
1 2 a
Câu 28. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều
SABC
. Gọi
I
là trung điểm của
đoạn
AB
,
M
là điểm di động trên đoạn
AI
. Qua
M
vẽ mặt phẳng
song song với
SIC
.
Thiết diện tạo bởi
với tứ diện
SABC
là.
A. hình bình hành. B. tam giác cân tại
M
. C. tam giác đều. D. hình thoi.
Câu 29. Cho hình vuông
ABCD
và tam giác đều
SAB
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi
M
là điểm
di động trên đoạn
.AB
Qua
M
vẽ mặt phẳng
song song với
SBC
. Thiết diện tạo bởi
và hình chóp
.S ABCD
là hình gì?
A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông.
Câu 30. Cho tứ diện đều
SABC
cạnh bằng
.a
Gọi
I
là trung điểm của đoạn
AB
,
M
là điểm di động trên
đoạn
AI
. Qua
M
vẽ mặt phẳng
song song với
SIC
. Tính chu vi của thiết diện tạo bởi
với tứ diện
SABC
, biết
AM x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
2 1 3
x
. B.
3 1 3
x
. C. Không tính được. D.
1 3
x
.
Câu 31. Cho hình chóp cụt tam giác
.
ABC A B C
có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại
A
và
A
và có
1
2
AB
A B
. Khi đó tỉ số diện tích
ABC
A B C
S
S
bằng
A.
4
. B.
1
2
. C.
1
4
. D.
2
.
Câu 32. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
thỏa mãn
4,
AB AC
30
BAC
. Mặt phẳng
P
song song với
ABC
cắt đoạn
SA
tại
M
sao cho
2
SM MA
. Diện tích thiết diện của
P
và hình chóp
.
S ABC
bằng bao nhiêu?
A.
1
. B.
14
9
. C.
25
9
. D.
16
9
.
Câu 33. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành và
,M N
lần lượt là trung điểm của
,AB CD
. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
đi qua
MN
và song song với mặt phẳng
SAD
.Thiết diện là hình gì?
A. Hình thang B. Hình bình hành C. Tứ giác D. Tam giác
Câu 34. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
có
,
AC a BD b
. Tam giác
SBD
là tam giác đều. Một mặt phẳng
di động song song với mặt phẳng
SBD
và đi qua điểm
I
trên đoạn
AC
và
0
AI x x a
. Thiết diện của hình chóp cắt bởi
là hình gì?
A. Hình bình hành B. Tam giác C. Tứ giác D. Hình thanG
Câu 35. Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Mặt phẳng
MA C
cắt hình hộp
.
ABCD A B C D
theo thiết diện là hình gì?
A. Hình thang. B. Hình ngũ giác. C. Hình lục giác. D. Hình tam giác.
Câu 36. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân với cạnh bên
2
BC
, hai đáy
6
AB
,
4
CD
. Mặt phẳng
P
song song với
ABCD
và cắt cạnh
SA
tại
M
sao cho
3
SA SM
. Diện
tích thiết diện của
P
và hình chóp
.
S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
5 3
9
. B.
2 3
3
. C.
2
. D.
7 3
9
.
Câu 37. Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Xét tứ diện
' 'AB CD
. Cắt tứ diện đó bằng mặt
phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng
ABC
. Tính diện tích của thiết
diện thu được.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
A.
2
3
a
.
B.
2
2
3
a
.
C.
2
2
a
.
D.
2
3
4
a
.
Câu 38. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
mặt bên
SAB
là tam giác vuông tại
A
,
3SA a
,
2SB a
. Điểm
M
nằm trên đoạn
AD
sao cho
2AM MD
. Gọi
P
là mặt phẳng qua
M
và song song với
SAB
. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng
P
.
A.
2
5 3
18
a
. B.
2
5 3
6
a
. C.
2
4 3
9
a
. D.
2
4 3
3
a
.
Câu 39. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật
' ' ' 'ABCDA B C D
có
, , 'AB a BC b CC c
. Gọi
, 'O O
lần lượt là tâm của
ABCD
và
' ' ' 'A B C D
. Gọi
là mặt phẳng
đi qua
'O
và song song với hai đường thẳng
'A D
và
'D O
. Dựng thiết diện của hình hộp chữ nhật
' ' ' 'ABCDA B C D
khi cắt bởi mặt phẳng
. Tìm điều kiện của
, ,a b c
sao cho thiết diện là hình
thoi có một góc bằng
0
60
.
A.
a b c
. B.
1
3
a b c
. C.
1
3
a c b
. D.
1
3
b c a
.
Câu 40. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình thang cân (
||AD BC
),
2BC a
,
AB AD DC a
, với
0
a
. Mặt bên
SBC
là tam giác
đều. Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
. Biết hai đường thẳng
S D
và
AC
vuông góc nhau,
M
là điểm thuộc đoạn
OD
(
M
khác
O
và
D
),
MD x
,
0
x
. Mặt phẳng
qua
M
và song
song với hai đường thẳng
SD
và
AC
, cắt khối chóp
.
S ABCD
theo một thiết diện. Tìm
x
để diện
tích thiết diện đó là lớn nhất?
A.
3
4
a
x
. B.
3x a
. C.
3
2
a
x
. D.
x a
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Chọn A
Lý thuyết.
Câu 2. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Cho điểm
M
nằm ngoài mặt phẳng
.
Khi đó có vô số đường thẳng chứa
M
và song song với
.
Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua
M
và song song với
.
Do đó đáp
án A là sai.
Câu 3. Chọn A
Nếu
P
và
Q
song song với nhau và đường thẳng
d P
,
d Q
thì ,d d
có thể chéo
nhau. Nên khẳng định A là sai.
Câu 4. Chọn A
Đáp án A sai vì khi cho hai mặt phẳng phân biệt
P
và
Q
; đường thẳng
;a P b Q
thì
a
và
b
có thể chéo nhau
Câu 5. Chọn C
Đáp án A sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
Đáp án B sai vì ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song hoặc trùng nhau (lý thuyết).
Đáp án C đúng. Ta chọn mặt phẳng
chứa
a
và cắt mặt phẳng
P
theo giao tuyến
d
thì
d P
và
//a d
(Hình 1).
Đáp án D sai vì ta có thể lấy hai mặt phẳng
P
và
Q
thỏa
a
,
b
nằm trong mặt phẳng
P
;
a
,
b
nằm trong mặt phẳng
Q
với
// // //a b a b
mà hai mặt phẳng
P
và
Q
cắt nhau (Hình
2).
Câu 6. Chọn C.
Câu 7. Chọn A
Gọi hai đường thẳng chéo nhau là
a
và
b
,
c
là đường thẳng song song với
a
và cắt
b
.
Gọi mặt phẳng
,b c
. Do
// //a c a
Giải sử mặt phẳng
//
mà
//b b
Mặt khác
// //a a
. Có vô số mặt phẳng
//
nên có vô số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau.
Câu 8. Chọn B
a
c
b
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Câu 9. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 10. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau có thể trùng nhau.
Câu 11. Đáp án A sai vì d và d’ có thể chéo nhau.
Câu 12. Chọn A
- Do
/ /
và
a
nên
/ /a
.
- Tương tự, do
/ /
và
b
nên
/ / .
b
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 13. Chọn D
Ta có
BA D BCA D
và
ADC ABCD
.
Mà
BCA D ABCD BC
, suy ra
//
BA D ADC
sai.
Câu 14.
Lời giai
Chọn B
Do
ADC B
là hình bình hành nên
//
AB DC
, và
ABC D
là hình bình hành nên
//AD BC
nên
//
ABD BC D
.
C
B
A
B'
D'
C'
A'
D
C'
C
D
A
B
B'
A'
D'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 15.
Ta có
//B D BD
;
//AD C B
//
AB D C BD
.
Câu 16. Chọn A
Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp.
;
BA D BA D C ADC ADC B
BA D
ADC
ON
. Câu B đúng.
Do
B BDC
nên
BB DC
không phải là tứ giác.
Câu 17. Chọn C
Do
I
,
J
,
K
lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC
,
ACC
nên
2
3
AI AJ
AM AN
nên
//IJ MN
.
I
J
K
P
N
M
C'
B'
A'
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
//
IJ BCC B
Tương tự
//
IK BCC B
//
IJK BCC B
Hay
//
IJK BB C
.
Câu 18. Chọn C
Xét hai mặt phẳng
MON
và
SBC
.
Ta có:
//OM SC
và
//ON SB
.
Mà
BS SC C
và
OM ON O
.
Do đó
//
MON SBC
.
Câu 19.
Vì
ABCD
là hình bình hành nên
O
là trung điểm
,AC BD
.
Do đó:
/ / / /
MO SC MO SBC
Và
/ / / /
NO SB NO SBC
Suy ra:
/ /
OMN SBC
.
Câu 20. Chọn D
P
NM
O
C
S
B
D
A
N
M
O
C
A
D
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Gọi
M
là trung điểm của
AB
suy ra
MB AH MB AHC
.
1
Vì
MH
là đường trung bình của hình bình hành
ABB A
suy ra
MH
song song và bằng
BB
nên
MH
song song và bằng
CC
MHC C
là hình hình hành
MC HC MC AHC
.
2
Từ
1
và
2
, suy ra
B MC AHC B C AHC
.
Câu 21.
Do
P
cắt mặt phẳng
,Ax By
theo giao tuyến
A B
; cắt mặt phẳng
,Cz Dt
theo giao tuyến
C D
, mà hai mặt phẳng
,
Ax By
và
,Cz Dt
song song nên
//A B C D
.
Tương tự có
//A D B C
nên
A B C D
là hình bình hành.
Gọi
O
,
O
lần lượt là tâm
ABCD
và
A B C D
. Dễ dàng có
OO
là đường trung bình của hai hình
thang
AA C C
và
BB D D
nên
2 2
AA CC BB DD
OO
.
Từ đó ta có
2DD
.
M
H
C
B
A'
C'
B'
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 22.
Ta có
2
// //
2
NC
NA
NP AD BC
PC
PD
1
.
M SAD MNP
. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng
SAD
và
MNP
là đường thẳng
d
qua
M
song song với
BC
và
MN
.
Gọi
R
là giao điểm của
d
với
SD
.
Dễ thấy:
1
//SC
3
DR DP
PR
DS DC
2
.
Từ
1
và
2
suy ra:
//
MNP SBC
và
//
MN SBC
.
Câu 23.
Xét hai mặt phẳng
ADF
và
BCE
có :
//
//
AD BC
AF BE
nên
: //
I ADF BCE
là đúng.
Xét hai mặt phẳng
ADF
và
MOO
có :
//
//
AD MO
AF MO
nên
: //
II MOO ADF
là đúng.
R
M
P
N
D
C
B
A
S
O'
O
M
F
A
B
E
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Vì
: //
I ADF BCE
đúng và
: //
II MOO ADF
đúng nên theo tính chất bắc cầu ta có
: //
III MOO BCE
đúng.
Xét mặt phẳng
ABCD
có
AC BD O
nên hai mặt phẳng
ACE
và
BDF
có điểm
O
chung vì vậy không song song nên
: //
IV ACE BDF
sai.
Câu 24. Chọn A
Lần lượt lấy các điểm
N
,
P
,
Q
thuộc các cạnh
CD
,
SD
,
SA
thỏa
MN BC
,
NP SC
,
PQ AD
. Suy ra
MNPQ
và
SBC
.
Vì
,
,
I S SCD
I MQ NP
I S SAB
I
nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
. Khi
M B I S
M A I T
với
T
là điểm thỏa mãn tứ giác
ABST
là hình bình hành.
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với
AB
.
Câu 25.
Chọn D
Vi
2
3
SE SF
SA SC
nên đương thăng
EF
//
AC
. Ma
EF BEF
,
AC BEF
nên
AC
song
song vơi măt phăng
BEF
.
I
T
O
D
C
B
A
S
M
N
P
Q
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Vi
AC
qua
O
va song song vơi măt phăng
BEF
nên
AC
.
Trong
SAC
, goi
I SO EF
, trong
SBD
, goi
N BI SD
. Suy ra
N
la giao điêm cua
đương thăng
SD
vơi măt phăng
BEF
.
Hai măt phăng song song
BEF
va
bi căt bơi măt phăng thư ba la
SCD
theo hai giao
tuyên lân lươt la
FN
va
Ct
nên hai giao tuyên đo song song nhau, tưc la
Ct
//
FN
.
Trong
SCD
,
Ct
căt
SD
tai
P
. Khi đo
P
la giao điêm cua
SD
vơi
.
Trong hinh thang
ABCD
, do
AB
//
CD
va
2
AB CD
nên
2
2
3
BO AB BO
OD CD BD
.
Trong tam giac
SAC
, co
EF
//
AC
nên
2
2
3
SE SI IS
SA SO IO
.
Xet tam giac
SOD
vơi cat tuyên
NIB
, ta co:
2 4
. . 1 . .2
3 3
NS BD IO NS BO IS
ND BO IS ND BD IO
.
Suy ra:
4
7
SN
SD
(1).
Lai co:
2
3
SN SF
SP SC
(Do
CP
//
FN
) (2).
Tư (1) va (2) suy ra
6
7
SP
SD
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Câu 26. Chọn A
Do
BC
song song với
AD
,
DC
song song với
'AB
nên thiết diện cần tìm là tam giác đều
BDC
Câu 27. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Ta dễ dàng dựng được thiết diện là tứ
ACC A
. Tứ giác
ACC A
là hình chữ nhật có chiều dài là
2AC a
và chiều rộng
AA a
.
Khi đó chu vi thiết diện của hình lập phương
.ABCD A B C D
khi cắt bởi mặt phẳng
là
2. 2 1 2P AC AA a
.
Câu 28.
Qua
M
vẽ
//MP IC
,
P AC
,
//MN SI
,
N SA
.
Ta có
MN MP
SI IC
và
SI IC
nên suy ra
MN MP
thiết diện là tam giác cân tại
M
.
Câu 29. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Lần lượt lấy các điểm
N
,
P
,
Q
thuộc các cạnh
CD
,
SD
,
SA
thỏa
MN BC
,
NP SC
,
PQ AD
. Suy ra
MNPQ
và
SBC
.
Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang.
Câu 30. Chọn A
Để ý hai tam giác
MNP
và
SIC
đồng dạng với tỉ số
2AM x
AI a
2 2 2 3 3
2 3 1
2 2
MNP
MNP
SIC
C
x x x a a
C SI IC SC a x
C a a a
.
Câu 31. Chọn C
Q
P
N
M
S
A
B
C
D
O
P
N
M
I
S
C
B
A
B
C
B'
C'
A'
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Hình chóp cụt
.
ABC A B C
có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác
ABC
đồng
dạng tam giác
A B C
suy ra
1
. .
1
2
.
1
4
. .
2
ABC
A B C
AB AC
S
AB AC
S A B A C
A B A C
.
Câu 32. Chọn D
Diện tích tam giác
ABC
là
1 1
. . .sin .4.4.sin 30 4
2 2
ABC
S AB AC BAC
.
Gọi
,N P
lần lượt là giao điểm của mặt phẳng
P
và các cạnh
,SB SC
.
Vì
P
//
ABC
nên theoo định lí Talet, ta có
2
3
SM SN SP
SA SB SC
.
Khi đó
P
cắt hình chóp
.
S ABC
theo thiết diện là tam giác
MNP
đồng dạng với tam giác
ABC
theo tỉ số
2
3
k
. Vậy
2
2
2 16
. .4
3 9
MNP ABC
S k S
.
Câu 33. Chọn A
Ta có
M SAB
SAB SAD SA
,
SAB MK SA K SB
.
Tương tự
N SCD
SAD
SCD SAD SD
,
SCD NH SD H SC
.
N
P
S
B
C
A
M
K
H
N
M
B
D
C
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Dễ thấy
HK SBC
. Thiết diện là tứ giác
MNHK
Ba mặt phẳng
,
ABCD SBC
và
đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là
, ,MN HK BC
,
mà
MN BC MN HK
. Vậy thiết diện là một hình thang.
Câu 34. Chọn B
Trường hợp 1. Xét
I
thuộc đoạn
OA
Ta có
I ABD
SBD
ABD SBD BD
,
ABD MN BD I MN
.
Tương tự
N SAD
SBD
SAD SBD SD
,
SAD NP SD P SN
.
Thiết diện là tam giác
MNP
.
Do
SBD
SAB SBD SB MP SB
SAB MP
. Hai tam giác
MNP
và
BDS
có các cặp cạnh tương ứng
song song nên chúng đồng dạng, mà
BDS
đều nên tam giác
MNP
đều.
Trường hợp 2. Điểm
I
thuộc đoạn
OC
, tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều
HKL
như
hv
.
Câu 35. Chọn A
K
L
H
P
M
N
O
B
D
C
A
S
I
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Trong mặt phẳng
ABB A
,
AM
cắt
BB
tại
I
Do
1
// ;
2
MB A B MB A B
nên
B
là trung điểm
B I
và
M
là trung điểm của
IA
.
Gọi
N
là giao điểm của
BC
và
C I
.
Do
//
BN B C
và
B
là trung điểm
B I
nên
N
là trung điểm của
C I
.
Suy ra: tam giác
IA C
có
MN
là đường trung bình.
Ta có mặt phẳng
MA C
cắt hình hộp
.
ABCD A B C D
theo thiết diện là tứ giác
A MNC
có
//
MN A C
Vậy thiết diện là hình thang
A MNC
.
Cách khác:
Ta có:
//
ABCD A B C D
A C M A B C D A C
A C M ABCD Mx
//
Mx A C
,
M
là trung điểm của
AB
nên
Mx
cắt
BC
tại trung điểm
N
.Thiết diện là tứ giác
A C NM
.
Câu 36. Chọn A
Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
,D C
trên
AB
ABCD
là hình thang cân
;
1
AH BK CD HK
BK
AH HK BK AB
.
O
P
N
B
A
C
D
D
C
A
B
S
M
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Tam giác
BCK
vuông tại
,K
có
2 2 2 2
2 1 3
CK BC BK
.
Suy ra diện tích hình thang
ABCD
là
4 6
. 3. 5 3
2 2
ABCD
AB CD
S CK
.
Gọi
, ,N P Q
lần lượt là giao điểm của
P
và các cạnh
, ,SB SC SD
.
Vì
P
//
ABCD
nên theo định lí Talet, ta có
1
3
MN NP PQ QM
AB BC CD AD
.
Khi đó
P
cắt hình chóp theo thiết diện
MNPQ
có diện tích
2
5 3
.
9
MNPQ ABCD
S k S
.
Câu 37. Chọn C
Cách xác định mặt phẳng thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và
song song với mặt phẳng
ABC
với tứ diện
' 'AB CD
:
Trong
' 'ACC A
kẻ đường thẳng qua
O
và song song với
AC
, cắt
'AA
tại trung điểm
I
Trong
' 'ABB A
kẻ đường thẳng quan
I
song song với
AB
, cắt
'AB
tại trung điểm
J
.
Trong
'
B AC
kẻ đường thẳng qua
J
song song với
AC
, cắt
'B C
tại trung điểm
K
.
Trong
' 'B CD
kẻ đường thẳng qua
K
song song với
' 'B D
, cắt
'D C
tại trung điểm
L
.
Trong
'
D AC
kẻ đường thẳng qua
L
song song với
AC
, cắt
'AD
tại trung điểm
M
.
Mặt phẳng vừa tạo thành song song với
ABC
và tạo với tứ diện
' 'AB CD
thiết diện là hình bình
hành
MJKL
.
Ta có
/ / ' '
/ / ' '
JM B D
ML A C
Tứ giác
MJKL
là hình chữ nhật.
2
2
1 1 1
. ' '. ' ' . 2
2 2 4 2
MJKL
a
S JM ML B D A C a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 38.
Ta có:
//
,
P SAB
M AD M P
P ABCD MN
P SCD PQ
và
// //MN PQ AB
(1)
//
,
P SAB
M AD M P
P SAD MQ
P SBC NP
và
//
//
MQ SA
NP SB
Mà tam giác
SAB
vuông tại
A
nên
SA AB
MN MQ
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
P
cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại
M
và
Q
.
Mặt khác
//MQ SA
MQ DM DQ
SA DA DS
1
3
MQ SA
và
1
3
DQ
DS
.
//
PQ CD
PQ SQ
CD SD
2
3
PQ AB
, với
2 2
AB SB SA a
Khi đó
1
.
2
MNPQ
S MQ PQ MN
1 2
.
2 3 3
MNPQ
SA AB
S AB
2
5 3
18
MNPQ
a
S
.
Câu 39. Chọn D
S
A
B
C
D
M
N
P
Q
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Gọi
E
là tâm hình chữ nhật
DCC D
,
F
là trung điểm
OC
.
Trên
ABCD
, gọi
G BF CD
.
Trên
CDDC
, gọi
H GE C D
.
Trên
A B C D
, gọi
G BF CD
.
Khi đó,
//
//
D O BKHG
A D BKHG
nên thiết diện tạo thành là tứ giác
BKHG
.
Theo đề
BKHG
là hình thoi có một góc
0
60
nên ta có:
0
120
HK HG
BKH
0
120
A B C D CDD C b c
BKH
.
Dễ thấy:
3
a
CG
2 2 2
BG BC C G
2
2
9
a
b
.
Trong
BKO
có:
2 2 2 0
2 . .cos120
BO KB KO KB KO
2 2
1 1 1
2 . .
4 2 2
BG BG BG BG
2
7
4
BG
2
2
7
4 9
a
b
.
Trong
BOO
có:
2 2 2
BO BO OO
2
2 2 2 2
7 1
4 9 4
a
b a b c
2
2 2 2 2
7 1
4 9 4
b c
a
b a b b

0, 0
3
a b
a
b

.
Vậy
3
a
b c
.
Câu 40. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Trong
mp SBD
kẻ đường thẳng qua
M
song song với
S D
, cắt cạnh
SB
tại
H
.
Trong
mp ABCD
kẻ đường thẳng qua
M
song song với
AC
, cắt các cạnh
DA
và
DC
lần lượt
tại
E
và
F
.
Trong
mp SDA
kẻ đường thẳng qua
E
song song với
S D
, cắt cạnh
SA
tại
I
.
Trong
mp SDC
kẻ đường thẳng qua
F
song song với
S D
, cắt cạnh
SC
tại
G
.
Khi đó thiết diện của khối chóp
.S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
là ngũ giác
EFGHI
.
Dễ thấy
ABCD
là nửa lục giác đều có tâm là trung điểm
K
của
BC
. Do đó
ADCK
và
ABND
là
hình thoi nên
AC KD
. Mặt khác
AC SD
nên
AC SKD
AC SK
.
Lại có
SK BC
(vì
SBC
đều), suy ra
SK ABCD
SK KD
.
Ta có
IG
là giao tuyến của
với
SAC
, mà
||AC
, suy ra
||IG AC
.
Mặt khác
||HM SD
và
SD AC
, suy ra
HM IG
và
HM EF
và
IGFE
là hình chữ nhật.
Diện tích thiết diện
EFGHI
bằng
1
. .
2
EFGI HGI
s S S IG NM IG HN
.
Ta có
AK K D AD a
nên
AKD
đều.
Mà
,BD AK AC KD
nên
O
là trọng tâm tam giác
ADK
. Suy ra
2 3 3
.
3 2 3
a a
OD
.
3AC B D a
(
BAC
vuông tại
A
, do
KA KB KC
).
2 2
2SD SK KD a
.
Ta có
. . 3 3
3
3
DM EF DM x
EF AC a x
DO AC DO
a
.
3
3
. .2 2 2 3
3
3
a
x
GF CF OM OM
GF SD a a x
SD CD OD OD
a
.
3 6 2 3
. .2
3
3
HM BM BM a x a x
HM SD a
SD BD BD
a
.
Suy ra
6 2 3 4 3
2 2 3
3 3
a x x
HN HM NM HN GF a x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Vậy
2
2
2
1 4 3 3 3 3
. .3 2 2 3 .3 4 3 6 3 2
2 3 2 4
x a a
s x a x x x ax x
.
Suy ra
2
3 3
4
a
s
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3 3
2
2 4
a a
x x
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ngu
yễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H2-5
PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1: Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn?
A. Chéo nhau. B. Đồng qui. C. Song song. D. Thẳng hàng.
Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thảnh đoạn thẳng.
B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi
thứ tự của ba điểm đó.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.
Câu 3: Cho hình lăng trụ
.
A
BC A B C
, qua phép chiếu song song đường thẳng
CC
, mặt phẳng chiếu
A
B C
biến
M
thành
M
. Trong đó
M
là trung điểm của
B
C
. Chọn mệnh đề đúng?
A.
M
là trung điểm của
A
B
. B.
M
là trung điểm của
B
C
.
C.
M
là trung điểm của
A
C
. D. Cả ba đáp án trên đều sai.
Câu 4: Cho hình lăng trụ
.
A
BC A B C
, gọi
I
,
I
lần lượt là trung điểm của
A
B
,
A
B
. Qua phép chiếu
song song đường thẳng
A
I
, mặt phẳng chiếu
A
B C
biến
I
thành ?
A.
A
. B.
B
. C.
C
. D.
I
.
Câu 5: Cho tam giác
A
BC
ở trong mặt phẳng
và phương
l
. Biết hình chiếu (theo phương
l
) của
tam giác
A
BC
lên mặt phẳng
P
là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
//
P
. B.
P
.
C.
/
/l
hoặc
l
. D. A, B, C đều sai.
Câu 6: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm.
Câu 7: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
Câu 8: Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành.
A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
B. Một đường thẳng.
C. Thành hai đường thẳng song song.
D. Cả ba trường hợp trên.
Câu 9: Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của hình lập phương
.
ABCD A B C D
theo phương
AA
lên mặt phẳng
A
BCD
là hình bình hành.
PHÉP CHIẾU SONG SONG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
B. Hình chiếu song song của hình lập phương
.
ABCD A B C D
theo
phương
AA
lên mặt phẳng
ABCD
là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương
.
ABCD A B C D
theo phương
AA
lên mặt phẳng
ABCD
là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương
.
ABCD A B C D
theo phương
AA
lên mặt phẳng
ABCD
là một tam giác.
Câu 10: Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau?
A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 11: Trong các mện đề sau mệnh đề nào sai:
A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Câu 12: Nếu đường thẳng
a
cắt mặt phẳng chiếu
P
tại điểm
A
thì hình chiếu của
a
sẽ là:
A. Điểm
A
. B. Trùng với phương chiếu.
C. Đường thẳng đi qua
A
. D. Đường thẳng đi qua
A
hoặc chính
A
.
Câu 13: Giả sử tam giác
ABC
là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác đều là:
A. Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác
ABC
.
B. Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác
ABC
.
C. Giao điểm của hai đường đường cao của tam giác
ABC
.
D. Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác
ABC
.
Câu 14: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành.
M
là trung điểm của
SC
. Hình chiếu song
song của điểm
M
theo phương
AB
lên mặt phẳng
SAD
là điểm nào sau đây?
A.
S
. B. Trung điểm của
SD
.
C.
A
. D.
D
.
Câu 15: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm
A
theo
phương
AB
lên mặt phẳng
SBC
là điểm nào sau đây?
A.
S
. B. Trung điểm của
BC
.
C.
B
. D.
C
.
Câu 16: Cho lăng trụ
.
ABC A B C
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Khi đó hình chiếu song song của
điểm
M
lên
AA B
theo phương chiếu
CB
là
A. Trung điểm
BC
. B. Trung điểm
AB
. C. Điểm
A
. D. Điểm
B
.
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
. Gọi
O AC BD
và
O A C B D
. Điểm
,M
N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
.CD
Qua phép chiếu song song theo phương
AO
lên mặt
phẳng
ABCD
thì hình chiếu của tam giác
C MN
là
A. Đoạn thẳng
MN
. B. Điểm
O
. C. Tam giác
CMN
. D. Đoạn thẳng
BD
.
Câu 18: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Xác định các điểm
,M N
tương ứng trên các đoạn
', ' 'AC B D
sao cho
MN
song song với
'BA
và tính tỉ số
'
MA
MC
.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 19: Cho hình hộp
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
CD
và
'CC
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
a) Xác định đường thẳng
đi qua
M
đồng thời cắt
AN
và
'A B
.
b) Gọi
,I J
lần lượt là giao điểm của
với
AN
và
'A B
. Hãy tính tỉ số
IM
IJ
.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
, gọi
, ,M N P
lần lượt là tâm của các mặt bên
ABB A
,
BCC B
và
ACC A
. Qua phép chiếu song song đường thẳng
BC
và mặt phẳng chiếu
AB C
khi đó hình chiếu của điểm
P
?
A. Trung điểm của
AN
. B. Trung điểm của
AM
.
C. Trung điểm của
B N
. D. Trung điểm của
B M
.
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1: Chọn A.
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn.
Câu 2: Chọn B.
Tính chất của phép chiếu song song.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau. Suy ra B sai : Chúng có thể trùng nhau.
Câu 3: Chọn B.
Ta có phép chiếu song song đường thẳng
CC
, biến
C
thành
C
, biến
B
thành
B
.
Do
M
là trung điểm của
BC
suy ra
M
là trung điểm của
B C
.
Câu 4: Chọn B.
Ta có
//AI B I
AIB I
AI B I
là hình bình hành.
Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng
AI
, mặt phẳng chiếu
' ' 'A B C
biến điểm
I
thành điểm
B
.
Câu 5: Chọn C.
Phương án A: Hình chiếu của tam giác
ABC
vẫn là một tam giác trên mặt phẳng
P
.
Phương án B: Hình chiếu của tam giác
ABC
vẫn là tam giác
ABC
.
Phương án C: Khi phương chiếu
l
song song hoặc được chứa trong mặt phẳng
. Thì
hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng trên mặt phẳng
P
. Nếu giao tuyến của hai mặt
phẳng
và
P
là một trong ba cạnh của tam giác
ABC
.
Câu 6: Chọn A.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại B - chỉ là một đoạn thẳng.
Loại C - phép chiếu song song không thể là một khối đa diện.
Loại D - chỉ là một điểm.
A
B
C
B
A
I
C
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Chọn A - hình chiếu là một đa giác.
Câu 7: Chọn C.
Phương án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Phương án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.
Phương án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.
Phương án D: Đúng - tính chất phép chiếu song song.
Câu 8: Chọn D.
Tính chất phép chiếu song song.
Câu 9: Chọn B.
Qua phép chiếu song song đường thẳng
AA
lên mặt phẳng
ABCD
sẽ biến
A
thành
A
, biến
B
thành
B
, biến
C
thành
C
, biến
D
thành
D
. Nên hình chiếu song song của hình lập
phương
.
ABCD A B C D
là hình vuông.
Câu 10: Chọn C.
Tính chất của phép chiếu song song.
Câu 11: Chọn A.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình
chiếu của nó.
Câu 12: Chọn D.
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng
a
thì hình chiếu là điểm
A
.
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng
a
thì hình chiếu là
đường thẳng đi qua điểm
A
.
Câu 13: Chọn B.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực.
Câu 14: Chọn B.
Giả sử
N
là ảnh của
M
theo phép chiếu song song đường thẳng
AB
lên mặt phẳng
SAD
.
Suy ra
//MN AB
//MN CD
. Do
M
là trung điểm của
SC
N
là trung điểm của
SD
.
Câu 15: Chọn C.
Do
AB SBC A
suy ra hình chiếu song song của điểm
A
theo phương
AB
lên mặt phẳng
SBC
là điểm
B
.
Câu 16: Chọn B
Gọi
N
là trung điểm của
AB
. Ta có:
//MN CB
.
Vậy hình chiếu song song của điểm
M
lên
AA B
theo phương chiếu
CB
là điểm
N
.
Câu 17: Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Ta có:
O C AO
và
O C AO

nên tứ giác
O C OA
là hình bình hành
O A C O

.
Do đó hình chiếu của điểm
O
qua phép chiếu song song theo phương
O A
lên mặt phẳng
ABCD
là điểm
.O
Mặt khác điểm
M
và
N
thuộc mặt phẳng
ABCD
nên hình chiếu của
M
và
N
qua phép
chiếu song song theo phương
O A
lên mặt phẳng
ABCD
lần lượt là điểm
M
và
.N
Vậy qua phép chiếu song song theo phương
AO
lên mặt phẳng
ABCD
thì hình chiếu của tam
giác
C MN
là đoạn thẳng
MN
.
Câu 18:
Lời giải
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng
' ' ' 'A B C D
theo phương chiếu
'BA
. Ta có
N
là ảnh của
M
hay
M
chính là giao điểm
của
' 'B D
và ảnh
'AC
qua phép chiếu này. Do
đó ta xác định
,M N
như sau:
Trên
' 'A B
kéo dài lấy điểm
K
sao cho
' ' 'A K B A
thì
'ABA K
là hình bình hành
nên
/ / 'AK BA
suy ra
K
là ảnh của
A
trên
'AC
qua phép chiếu song song.
Gọi
' ' ' N B D KC
. Đường thẳng qua
N
và
song song với
AK
cắt
'AC
tại
M
. Ta có
,M N
là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có
'
2
' ' ' '
MA NK KB
MC NC C D
.
Câu 19:
Lời giải
N
M
O'
O
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
C
B
D
A
D'
M
A'
N
K
B'
C'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
a) Giả sử đã dựng được đường thẳng
cắt cả
AN
và
'BA
. Gọi
,I J
lần lượt là giao điểm
của
với
AN
và
'BA
.
Xét phép chiếu song song lên
ABCD
theo
phương chiếu
'A B
. Khi đó ba điểm
, ,J I M
lần lượt có hình chiếu là
, ',B I M
. Do
, ,J I M
thẳng hàng nên
, ',B I M
cũng thẳng hàng. Gọi
'N
là hình chiếu của
N
thì
'An
là hình chiếu
của
AN
. Vì
' ' ' ' I AN I AN I BM AN
.
Từ phân tích trên suy ra cách dựng:
- Lấy
' '
I AN BM
.
- Trong
'ANN
dựng
' 'II NN
( đã có
' 'NN CD
) cắt
AN
tại
I
.
- Vẽ đường thẳng
MI
, đó chính là đường thẳng cần dựng.
a) Ta có
'MC CN
suy ra
'
MN CD AB
. Do đó
'I
là trung điểm của
BM
. Mặt khác
'
II JB
nên
'II
là đường trung bình của tam giác
MBJ
, suy ra
1
IM
IM IJ
IJ
.
Câu 20:
Chọn A.
Δ
J
I
I'
N'
N
C'
D'
B'
B
A
D
C
A'
M
| 1/138
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1H2-1 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................... 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG........................................................................................ 3
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM ............................................................................................................................................ 4
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ........................................................................................................................................... 7
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 11
DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 12
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .............................................................................................................................. 14
DẠNG 1. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................................. 14
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG...................................................................................... 16
DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM .......................................................................................................................................... 20
DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN ......................................................................................................................................... 27
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG ...................................................................................................................... 40
DẠNG 6. TỈ SỐ ............................................................................................................................................................. 44 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. LÝ THUYẾT Câu 1.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
B. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.
D. Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Câu 2.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết điều nào sau đây?
A. Một đường thẳng và một điểm thuộc nó.
B. Ba điểm mà nó đi qua.
C. Ba điểm không thẳng hàng.
D. Hai đường thẳng thuộc mặt phẳng. Câu 3.
Trong các tính chất sau, tính chất nào không đúng?
A. Có hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
B. Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
D. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 4.
(HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
B. Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
C. Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm.
D. Cả A, B, C đều sai. Câu 5. Cho các khẳng định:
(1): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(2): Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
(3): Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
(4): Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.
Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 6.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì cheo nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
D. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. Câu 7.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b A. 0. . B. Vô số. C. 2. . D. 1. Câu 8.
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là
hình biểu diễn của một hình tứ diện? (chọn câu đúng và đầy đủ nhất)
A. (I ), (II ) .
B. (I ), (II ), (III ), (IV ) . C. (I ) .
D. (I ), (II ), (III ) . Câu 9.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số cạnh là A. 9 cạnh. B. 10 cạnh. C. 6 cạnh. D. 5 cạnh.
Câu 10. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh.
Câu 11. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Hình chóp có 16 cạnh thì có bao nhiêu mặt? A. 10 . B. 8 . C. 7 . D. 9 .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , K, E lần lượt là trung điểm của S , A S ,
B SC, BC . Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. M , K, , A C .
B. M , N, , A C .
C. M , N , K,C .
D. M , N , K, E .
Câu 13. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Nếu mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng Q thì  P và Q song song với nhau.
D. Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Câu 14. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho bốn điểm không đồng
phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó? A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 6 .
Câu 15. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho tam giác ABC khi đó số mặt phẳng qua A
và cách đều hai điểm B và C là? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. Vô số.
Câu 16. Cho mặt phẳng  P và hai đường thẳng song song a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu  P song song với a thì  P cũng song song với b .
B. Nếu  P cắt a thì  P cũng cắt b .
C. Nếu  P chứa a thì  P cũng chứa b .
D. Tất cả các khẳng định trên đều sai.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng
SAC  và SAD là
A. Đường thẳng SC .
B. Đường thẳng SB . C. Đường thẳng SD . D. Đường thẳng SA .
Câu 18. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Giao tuyến của  SMN  và SAC là
A. SK ( K là trung điểm của AB ).
B. SO ( O là tâm của hình bình hành ABCD ).
C. SF ( F là trung điểm của CD ). D. SD .
Câu 19. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang với đáy lớn AD , AD  2BC . Gọi O là giao điểm của AC và B .
D Tìm giao tuyến của
hai mặt phẳng SAC  và SBD . A. SA . B. AC . C. SO . D. SD .
Câu 20. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABC . D Giao tuyến của
hai mặt phẳng SAB và  SBC  là A. SA . B. SB . C. SC . D. AC .
Câu 21. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang
ABCD ( AD // BC ) . Gọi M là trung điểm của CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và SAC là:
A. SP với P là giao điểm của AB và CD .
B. SI với I là giao điểm của AC và BM .
C. SO với O là giao điểm của AC và BD .
D. SJ với J là giao điểm của AM và BD .
Câu 22. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD , biết AC cắt BD
tại M , AB cắt CD tại O . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và SCD . A. SO . B. SM . C. SA . D. SC .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 23. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AB . Kết luận nào sau đây sai?
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD và  SBC  là đường thẳng đi qua S và không song song với AD .
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAD và  SBC  là đường thẳng đi qua S và song song với AD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là đường thẳng đi qua S và song song với CD .
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAC  và  SBD là đường thẳng đi qua và giao điểm của AC và DB .
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của
SA và SB . Khẳng định nào sau đây sai?
A. SAB   IBC   IB .
B. IJCD là hình thang.
C. SBD   JCD  JD .
D. IAC    JBD  AO ( O là tâm ABCD ).
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có AC BD M , AB CD N . Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và  SCD là: A. SM . B. SA . C. MN . D. SN .
Câu 26. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD
( AD // BC) . Gọi M là trung điểm CD . Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là
A. SI ( I là giao điểm của AC và BM ).
B. SO ( 0 là giao điểm của AC và BD ).
C. SJ ( J là giao điểm của AM và BD ).
D. SP ( P là giao điểm của AB và CD ).
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SC . Khẳng
định nào sau đây sai?
A. Giao tuyến của  SAC  và  ABCD là AC . B. SA và BD chéo nhau.
C. AM cắt  SBD .
D. Giao tuyến của SAB và SCD là SO .
Câu 28. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm của 1 2
AB , N là điểm trên AC mà AN
AC , P là điểm trên đoạn AD mà AP
AD . Gọi E là 4 3
giao điểm của MP và BD , F là giao điểm của MN và BC . Khi đó giao tuyến của  BCD và CMP là A. CP . B. NE . C. MF . D. CE .
Câu 29. Cho bốn điểm ,
A B,C, D không đồng phẳng. Gọi I , K lần lượt là trung điểm hai đoạn thẳng AD
và BC . IK là giao tuyến của cặp mặt phẳng nào sau đây ?
A. IBC  và  KBD . B. IBC  và  KCD . C. IBC  và  KAD . D. ABI  và  KAD .
Câu 30. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm AD và AC . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Giao tuyến của hai mặt phẳng GMN
và  BCD là đường thẳng:
A. qua M và song song với AB .
B. Qua N và song song với BD .
C. qua G và song song với CD .
D. qua G và song song với BC . DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có I là trung điểm của SC , giao điểm của AI và SBD là
A. Điểm K (với O là trung điểm của BD và K SO AI ).
B. Điểm M (với O là giao điểm của AC và BD , M là giao điểm SO và AI ).
C. Điểm N (với O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của SO ). D. Điểm I .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M , N lần lượt thuộc đoạn AB, SC . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và SB.
B. Đường thẳng MN không cắt mặt phẳng SBD .
C. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và SI , trong đó I là giao điểm của CM và BD.
Câu 33. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD) . Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Giao điểm của đường thẳng
SD với mặt phẳng (ABM ) là
A. giao điểm của SD và BK (với K SO AM ).
B. giao điểm của SD và AM .
C. giao điểm của SD và AB .
D. giao điểm của SD và MK (với K SO AM ).
Câu 34. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm các cạnh AD , BC ; G là trọng tâm của tam giác BCD . Khi đó, giao điểm của đường
thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là:
A. Điểm A .
B. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AN . C. Điểm N .
D. Giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC .
Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC . Gọi I là giao điểm
của đường thẳng AM với mặt phẳng SBD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây:
A. IA  3IM .
B. IM  3IA .
C. IM  2IA .
D. IA  2IM .
Câu 36. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có M , N theo thứ tự là
trung điểm của AB, BC . Gọi P là điểm thuộc cạnh CD sao cho CP  2PD và Q là điểm thuộc
cạnh AD sao cho bốn điểm M , N , P, Q đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Q là trung điểm của đoạn thẳng AC .
B. DQ  2 AQ
C. AQ  2DQ
D. AQ  3DQ .
Câu 37. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD , gọi E , F lần lượt là
trung điểm của AB , CD ; G là trọng tâm tam giác BCD . Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng ACD là
A. Giao điểm của đường thẳng EG và AF . B. Điểm F .
C. Giao điểm của đường thẳng EG và CD .
D. Giao điểm của đường thẳng EG và AC .
Câu 38. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của
BC , AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của NG với mặt phẳng
ABC . Khẳng định nào sau đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. I AM .
B. I BC .
C. I AC .
D. I AB .
Câu 39. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình SG 3
hành. Gọi M , I lần lượt là trung điểm của SA , BC điểm G nằm giữa S và I sao cho  . SI 5
Tìm giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng  ABCD .
A. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AI .
B. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng BC .
C. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng CD .
D. Là giao điểm của đường thẳng MG và đường thẳng AB .
Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm M sao cho AM  2CM và N là trung điểm AD . Gọi O là một
điểm thuộc miền trong của BCD . Giao điểm của BC với OMN  là giao điểm của BC với A. OM . B. MN . C. , A B đều đúng. D. , A B đều sai.
Câu 41. Cho hình chóp ,
là một điểm trên cạnh ,
là một điểm trên cạnh , , ,
. Khi đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng là A. Giao điểm của và . B. Giao điểm của và . C. Giao điểm của và . D. Giao điểm của và .
Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác, như hình vẽ bên duới.
Với M , N , H lần lượt là các điểm thuộc vào các cạnh AB, BC, SA sao cho MN không song song với A .
B Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AN với BM . Gọi T là giao điểm của đường
NH với SBO . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. T là giao điểm của hai đường thẳng SO với HM .
B. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và BM .
C. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SB .
D. T là giao điểm của hai đường thẳng NH và SO .
Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác (AB không song song với CD). Gọi M là
trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN  2N .
B Giao điểm của MN với
(ABCD) là điểm K. Hãy chọn cách xác định điểm K đúng nhất trong 4 phương án sau:
A. K là giao điểm của MN với AC.
B. K là giao điểm của MN với AB.
C. K là giao điểm của MN với BC.
D. K là giao điểm của MN với BD.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 44. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD, CB, SA . H là giao điểm của AC
và MN . Giao điểm của SO với  MNK  là điểm E . Hãy chọn cách xác định điểm E đúng nhất trong bốn phương án sau:
A. E là giao điểm của MN với SO .
B. E là giao điểm của KN với SO .
C. E là giao điểm của KH với SO .
D. E là giao điểm của KM với SO . DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN
Câu 45. (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác lồi. Thiết
diện của mặt phẳng   tùy ý với hình chóp không thể là A. tam giác. B. tứ giác. C. ngũ giác. D. lục giác.
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD . Gọi M , N lần lượt là hai trung điểm của A ,
B CD . Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC ) theo một giao
tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là:
A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình thang. D. Hình vuông.
Câu 47. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC , mặt phẳng CGD cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là. 2 a 2 2 a 3 2 a 2 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Câu 48. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, SC . Thiết diện hình chóp
với mặt phẳng MNP là một A. tam giác. B. tứ giác. C. ngũ giác. D. lục giác.
Câu 49. Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm P, Q, R sao cho 1 AP
AB, BC  2QC , R không trùng với C, D . Gọi PQRS là thiết diện của mặt phẳng  PQR 3
với hình tứ diện ABCD . Khi đó PQRS là A. hình thang cân. B. hình thang.
C. một tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song. D. hình bình hành.
Câu 50. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD . Có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AD , SC . Thiết diện của hình
chóp với mặt phẳng  MNQ là đa giác có bao nhiêu cạnh?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB  2CD . Gọi O là giao điểm của SE SF 2
AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho   (tham khảo hình vẽ SA SC 3 dưới đây).
Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  BEF  là A. một tam giác. B. một tứ giác. C. một hình thang.
D. một hình bình hành.
Câu 52. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang với đáy lớn A ,
D E là trung điểm của cạnh S ,
A F,G là các điểm thuộc cạnh SC, AB
(F không là trung điểm của SC ). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là một hình A. lục giác. B. ngũ giác. C. tam giác. D. tứ giác.
Câu 53. (Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi  IBC là
A. Tứ giác IBCD .
B. Hình thang IGBC ( G là trung điểm SB ).
C. Hình thang IJBC ( J là trung điểm SD ).
D. Tam giác IBC .
Câu 54. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Cắt tứ diện bởi mặt
phẳng GCD . Tính diện tích của thiết diện.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 A. 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. . 3
Câu 55. Cho khối lập phương ABC . D A BCD
  cạnh a . Các điểm E, F lần lượt trung điểm C B
  và C ' D '
. Tính diện tích thiết diện của khối lập phương cắt bởi mặt phẳng  AEF  . 2 7a 17 2 a 17 2 a 17 2 7a 17 A. . B. . C. . D. . 24 4 8 12
Câu 56. Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB và SD . Thiết diện của hình
chóp S.ABCD và mặt phẳng  AMN  là hình gì A. Tam giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác cân. D. Tứ giác.
Câu 57. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh
BC ( P không trùng trung điểm cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là: A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.
Câu 58. Cho hình chóp S.ABCD , có M là trung điểm của SC , N thuộc cạnh BC sao cho NB  2NC .
Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  AMN  là A. hình thang cân. B. hình bình hành. C. tam giác. D. tứ giác.
Câu 59. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , K lần lượt là trung điểm của CD , CB , SA . Thiết
diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNK  là một đa giác  H  . Hãy chọn khẳng định đúng?
A. H  là một hình thang.
B. H  là một hình bình hành.
C. H  là một ngũ giác. D. H  là một tam giác.
Câu 60. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy C là điểm trên cạnh SC 2 sao cho SC 
SC . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  ABC là một đa giác m cạnh. Tìm 3 m . A. m  6 . B. m  4 . C. m  5 . D. m  3 .
Câu 61. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là
trung điểm của AB , CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm của BC ).
Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNP là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. Tứ giác. B. Ngũ giác. C. Lục giác. D. Tam giác.
Câu 62. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có M , N
lần lượt là trung điểm của AB, CD và P là một điểm thuộc cạnh BC ( P không trùng trung điểm
cạnh BC ). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là: A. Tam giác. B. Lục giác. C. Ngũ giác. D. Tứ giác.
Câu 63. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  AB / /CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm
của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng  IJG là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng? 1 3 2
A. AB  3CD . B. AB CD . C. AB CD . D. AB CD . 3 2 3
Câu 64. Cho tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm các cạnh AC , BC và P là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng MNP cắt tứ
diện theo một thiết diện có diện tích là: 2 a 11 2 a 3 2 a 2 2 a 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2
Câu 65. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a a  0 . Tính diện tích thiết diện của hình
lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của đoạn AC . 2 2 3 3 5 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 2 a . 3 4 2
Câu 66. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Điểm M di động trên đoạn BC , M khác B và C .Mặt
phẳng   đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng AB,CD .Gọi  H  là thiết diện của
tứ diện ABCD cắt bới mặt phẳng   .Trong các khẳng định sau có bao nhiêu khẳng định đúng?
(1)  H  là một hình chữ nhật.
(2) Chu vi của  H  bằng 2. 1
(3) Diện tích của  H  bằng . 4 3
(4) Quỹ tích trọng tâm  H  là một đoạn thẳng có độ dài bằng . 2    
(Trọng tâm của hình A A ...A là điểm G thỏa mãn GA GA  ...  GA  0 ). 1 2 n 1 2 3 A. 3. B. 4. C. 2. D. 1
Câu 67. Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng .
a Gọi M , N, ,
P Q lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A ,
D AC, BD và G là giao điểm của MN và PQ . Tính diện tích tam giác GAB ? 2 a 3 2 a 3 2 a 2 2 a 2 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4
Câu 68. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp .
S ABCD , G là điểm
nằm trong tam giác SCD . E , F lần lượt là trung điểm của AB và AD . Thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 69. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh ,
SA BC, CD . Hỏi thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNP là hình gì? A. Hình ngũ giác. B. Hình tam giác. C. Hình tứ giác. D. Hình bình hành.
Câu 70. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang  AB / /CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm tam giác
SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  IJG là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào sao đây đúng? 1 3 2 A. AB CD . B. AB CD .
C. AB  3CD . D. AB CD 3 2 3
Câu 71. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD  
có cạnh bằng 2 . Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC . Tìm giá trị nhỏ
nhất của diện tích thiết diện thu được. A. 2 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 2 .
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
Câu 72. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
AD // BC, AD BC . Gọi I là giao điểm của AB và DC , M là trung điểm của SC và DM cắt
SAB tại J . Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Ba điểm S, I , J thẳng hàng.
B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng (SAB) .
C. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) .
D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng (SCI ) .
Câu 73. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung
điểm của AB , BD . Các điểm G , H lần lượt trên cạnh AC , CD sao cho NH cắt MG tại I .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. A , C , I thẳng hàng
B. B , C , I thẳng hàng.
C. N , G , H thẳng hàng.
D. B , G , H thẳng hàng.
Câu 74. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD
AD // BC, AD BC  . Gọi I là giao điểm của AB và DC ; M là trung điểm của SC và DM
cắt mặt phẳng SAB tại J . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đường thẳng SI là giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và SCD .
B. Đường thẳng JM thuộc mặt phẳng SAB .
C. Ba điểm S , I , J thẳng hàng.
D. Đường thẳng DM thuộc mặt phẳng SCI  .
Câu 75. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , có đáy ABCD là
tứ giác lồi. O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một mặt phẳng   cắt các cạnh bên
SA , SB , SC , SD tương ứng tại các điểm M , N , P , Q . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui.
B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
C. Các đường thẳng MP, NQ, SO đôi một song song.
D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau.
Câu 76. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD . Một mặt phẳng  P
bất kì cắt các cạnh S ,
A SB, SC, SD lầm lượt tại A '; B ';C '; D ' . Gọi I là giao điểm của AC và BD
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?
A. Các đường thẳng AB, CD, C ' D ' đồng quy
B. Các đường thẳng AB, CD, A 'B' đồng quy
C. Các đường thẳng A 'C ', B ' D ',SI đồng quy. D. Các phương án A, B, C đều sai
Câu 77. Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của cạnh AB , BC . Mặt phẳng  P đi qua
EF cắt AD , CD lần lượt tại H và G . Biết EH cắt FG tại I . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I , , A B .
B. I , C, B .
C. I , D, B .
D. I , C, D .
Câu 78. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn là BC . M , N lần lượt là trung điểm
của SB, SC . Điểm I là giao điểm của AB và DC . Phát biểu nào sau đây đúng
A. MI  SAB  SCD .
B. Bốn điểm M, N, A, D không đồng phẳng.
C. NI  SAB   SCD .
D. Ba đường thẳng AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy.
Câu 79. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD . Một mặt phẳng   cắt các cạnh bên S ,
A SB, SC, SD tương ứng tại các điểm M , N , P,Q . Khẳng định nào đúng?
A. Các đường thẳng MN , PQ, SO đồng quy.
B. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng quy.
C. Các đường thẳng MQ, PN , SO đồng quy.
D. Các đường thẳng MQ, PQ, SO đồng quy. DẠNG 6. TỈ SỐ
Câu 80. (THPT KINH MÔN - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi G và G lần 1 2
lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD . âu sai. 2 A. G G AB .
B. BG , AG và CD đồng qui. 1 2 3 1 2
C. G G // ABD .
D. G G // ABC . 1 2   1 2  
Câu 81. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với 1
AD // BC và AD  2BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM
SD . Mặt phẳng  ABM  3 SN
cắt cạnh bên SC tại điểm N . Tính tỉ số . SC SN 2 SN 3 SN 4 SN 1 A.  . B.  . C.  . D.  . SC 3 SC 5 SC 7 SC 2
Câu 82. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm SAB; SCD . Gọi G là giao điểm của đường thẳng SG
MN với mặt phẳng SAC  , O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khi đó tỉ số bằng GO
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 5 A. B. 2 . C. 3 D. . 2 3
Câu 83. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S , A BC 1
và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP
AB . Gọi Q là giao điểm của SC và MNP . 3 SQ Tính tỉ số . SC SQ 2 SQ 2 SQ 1 SQ 3 A.  . B.  . C.  . D.  . SC 5 SC 3 SC 3 SC 8
Câu 84. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho hình chóp S.ABC. Gọi M , N lần lượt AP 1
là trung điểm của SA và BC, P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho
 . Gọi Q là giao điểm AB 3 SQ
của SC và mặt phẳng MNP. Tính . SC 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6
Câu 85. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD , BC , điểm G là trọng
tâm của tam giác BCD . Gọi I giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng  ABC  . Khi đó tỉ lệ AN bằng bao nhiêu? NI 1 2 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 3 4
Câu 86. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N thứ tự là trung điểm của các cạnh A ,
B SC . Gọi I , J theo thứ tự là giao điểm của AN, MN với mặt phẳng SBD . Tính IN JN k   ? IA JM 3 4 5
A. k  2 . B. k  . C. k  . D. k  . 2 3 3
Câu 87. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là
trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK  2KD . Gọi F là giao điểm FA
của AD với mặt phẳng  IJK  . Tính tỉ số . FD 7 11 5 A. . B. 2 . C. . D. . 3 5 3
Câu 88. Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của AC. Trên cạnh AD lấy điểm N sao cho AN=2ND,
trên cạnh BC lấy điểm Qsao cho BC=4BQ.gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng JB JQ
(BCD), J là giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNQ).Khi đó  bằng JD JI 13 20 3 11 A. B. C. D. 20 21 5 12
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 89. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AD // BC 1
và AD  2BC . Gọi M là điểm trên cạnh SD thỏa mãn SM
SD . Mặt phẳng  ABM  cắt cạnh 3 SN
bên SC tại điểm N . Tính tỉ số . SC SN 1 SN 2 SN 4 SN 3 A.  . B.  . C.  . D.  . SC 2 SC 3 SC 7 SC 5
Câu 90. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình
hành. M , N là lượt là trung điểm của AB và SC . I là giao điểm của AN và SBD . J là giao IB
điểm của MN với SBD . Khi đó tỉ số là: IJ 7 11 A. 4 . B. 3 . C. . D. . 2 3
Câu 91. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
bình hành tâm O . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SB , SD và OC . Gọi giao điểm của  KS
MNP với SA là K . Tỉ số là: KA 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 3 4 2
Câu 92. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S.ABC. Gọi M , N lần lượt là trung điểm 1
của SA , BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AP  .
AB Gọi Q là giao điểm của SC và 3 SQ
MNP . Tính tỉ số  SC SQ 1 SQ 3 SQ 2 SQ 2 A.   B.   C.   D.   SC 3 SC 8 SC 3 SC 5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn A Câu 2. Chọn C Câu 3. Chọn A. Câu 4. Chọn D
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ” sai vì có
thể xảy ra trường hợp sau: a b c P
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng ”
sai vì có thể xảy ra trường hợp sau: a b c P
Mệnh đề: “ Ba đường thẳng đôi một cắt nhau thì chúng đồng quy tại một điểm” sai vì có thể xảy ra trường hợp sau: b a c Câu 5. Chọn B.
(1) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau.
(4) sai khi hai mặt phẳng trùng nhau. Câu 6. Chọn C.
Đáp án C đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng
nên chúng không có điểm chung. Câu 7. Chọn D
+) Trong không gian hai đường thẳng a và b chéo nhau, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua a
và song song với b . Câu 8. Chọn A
Hình (III ) không phải là hình biểu diễn của một hình tứ diện ⇒ Chọn A Câu 9. Chọn B
Hình chóp có số cạnh bên bằng số cạnh đáy nên số cạnh của hình chóp là: 5  5  10.
Câu 10. Chọn C
Hình chóp có đáy là ngũ giác có:
• 6 mặt gồm 5 mặt bên và 1 mặt đáy.
• 10 cạnh gồm 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.
Câu 11. Chọn D
Hình chóp S.A A ...A , n  3 có n cạnh bên và n cạnh đáy nên có 2n cạnh. 1 2 n
Ta có: 2n  16  n  8 .
Vậy khi đó hình chóp có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên nó có 9 mặt.
Câu 12. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M N K A B E C
Ta thấy M , K cùng thuộc mặt phẳng  SAC  nên bốn điểm M ; K; ; A C đồng phẳng.
Câu 13. Mệnh đề đúng là: “Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.”
Câu 14. Trong không gian, bốn điểm không đồng phẳng tạo thành một hình tứ diện. Vì vậy xác định
nhiều nhất bốn mặt phẳng phân biệt.
Câu 15. + TH1. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và song song với BC .
Ta được một mặt phẳng thỏa mãn.
+ TH2. Mặt phẳng cần tìm đi qua A và trung điểm M của cạnh BC .
Có vô số mặt phẳng đi qua A và M nên có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Tóm lại có vô số mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Câu 16. Chọn B
Gọi Q là mặt phẳng chứa a và b . a  P  I cắt a nên  P Q  d .
Trong Qd a I nên d b J từ đó b   P  J .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG Câu 17. Lời giải Chọn D
Ta thấy SAC   SAD  SA .
Câu 18. Chọn B
Gọi O là tâm hbh ABCD O AC MN SO  SMN   SAC .
Câu 19. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D O B C
Có S  SAC   SBD . O
  AC, AC   SAC  
O  SAC   SBD .
O BD, BD   SAC  
Nên SO  SAC   SBD .
Câu 20. Chọn B S   
SAB  SBC  Ta có: 
SB là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  SBC  .
B  SAB   SBC  
Câu 21. Chọn B
Giao tuyến của hai mặt phẳng MSB và  SAC  là SI với I là giao điểm của AC và BM .
Câu 22. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 O   AB CD
Ta có: AB  SAB  O  SAB  SCD .
CD  SAC 
Lại có: S SAB SCD; S O . Khi đó  SAB  SCD  SO .
Câu 23. Chọn B
Ta có S  SAD  SCB và AD CB J ( vì AD không song song với CB )
Suy ra SJ  SAD  SCB và SJ và cắt AD
Câu 24. Chọn D
Ta có:  IAC  JBD  SAC   SBD  SO .
Câu 25. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng SAB và SCD . N AB   SAB
Vì AB CD N nên  . N CD   SCD 
Do đó N là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng trên.
Vậy SN là giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
Câu 26. Chọn A S A D I M B C
Gọi I là giao điểm của AC và BM .
I AC  (SAC)
I BM  (SBM )
Nên I  (SAC)  (SBM ) và S  (SAC)  (SBM )
Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) .
Câu 27. Chọn D. S M D C O A B
Ta có hai mặt phẳng SAB và SCD có điểm S chung và lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song là AB và CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua S và song song
với AB và CD . Do đó đáp án D sai.
Câu 28. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có C   BCD  CMP   1 .
E BD E    BCD
Lại có BD MP E   2 .
E MP E   CMP  Từ  
1 và 2   BCD CMP  CE .
Câu 29. Chọn C. I AD    KAD 
I là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng  IBC  và  KAD . I    IBC   K BC    IBC  
K là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng  IBC  và  KAD . K    KAD 
Vậy  IBC    KAD  IK . A M N D B G Câu 30. C
Ta có MN là đường trung bình tam giác ACD nên MN //CD .
Ta có G  GMN    BCD , hai mặt phẳng  ACD và  BCD lần lượt chứa DC và MN nên
giao tuyến của hai mặt phẳng GMN  và  BCD là đường thẳng đi qua G và song song với CD . DẠNG 3. TÌM GIAO ĐIỂM
Câu 31. Chọn B.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 32.
D. Giao điểm của MN và SBD là giao điểm của MN và BD . Chọn C
Câu 33. Chọn A S N K M D A O C B
Trong mặt phẳng (SAC) , SO AM K .
Trong mặt phẳng (SB )
D , kéo dài BK cắt SD tại N ⇒ N là giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM ) ⇒ Chọn A.
Câu 34. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A M B D G N C E
Trong mặt phẳng  AND : AN MG E .
E AN, AN   ABC  E  ABC. E MG .
E MG ABC .
Vậy giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng ( ABC ) là E E AN MG .
Câu 35. Chọn D.
Gọi AC BD O thì SAC   SBD  SO .
Trong mặt phẳng SAC  , lấy AM SO I I AM  SBD .
Do trong SAC , AM và SO là hai đường trung tuyến, nên I là trọng tâm SAC .
Vậy IA  2IM .
Câu 36. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A M Q D B P N C
Theo giải thiết, M , N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC nên MN / / AC .
Hai mặt phẳng MNP và  ACD có MN / / AC và P là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng
 giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng PQ đi qua P và song song với AC ; cắt AD tại Q . CP   2PD
Mặt khác, trong tam giác ACD có 
nên AQ  2DQ PQ / / AC
Câu 37. Chọn A A E B C G F D M 2
Xét mặt phẳng ( ABF ) có E là trung điểm của AB , BG
BF nên EG không song 3 song với
AF ⇒ Kéo dài EG và AF cắt nhau tại M . Vì AF  ( ACD) nên M là giao điểm của EG và ( ACD) ⇒ Chọn A
Câu 38. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A N D B G M C I
Dễ thấy NG và AM cùng nằm trong mặt phẳng  AMD . DN 1 DG 2 Mặt khác ta lại có  ,  . DA 2 DM 3
Do đó NG và AM cắt nhau.
Gọi I NG AM , AM   ABC   I NG   ABC  .
Vậy khẳng định đúng là I AM .
Câu 39. Chọn A
a) Xét trong mặt phẳng SAI  ta có MG AI  J . 
J AI   ABCD Do đó:  J MG
Suy ra: Giao điểm của đường thẳng MG với mặt phẳng  ABCD là điểm J .
Câu 40. Chọn B.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dễ thấy OM không đồng phẳng với BC và MN cũng không đồng phẳng với BC . Vậy cả A và B đều sai.
Câu 41. Chọn C
I SO AM I AM I  ( AMN )
J AN BD J AN J  ( AMN )  IJ  ( AMN )
Khi đó giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng ( AMN ) là giao điểm của SD và IJ
Câu 42. Chọn D.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 T   NH T     SAN
Ta có: T NH  SBO    
T SO . Vậy T NH SO . T   SBOT    SBO 
Câu 43. Chọn D S M N A D B C K 2
Xét ΔSBD có M là trung điểm của SD và N thuộc SB sao cho SN  2NB SN  . SB 3
suy ra MN kéo dài cắt BD tại K.
Câu 44. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vì  KMN   SAC   KH . Do đó E là giao điểm của KH với SO . DẠNG 4. TÌM THIẾT DIỆN
Câu 45. Chọn D
Vì hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi thì có 4 mặt bên và một mặt đáy nên thiết
diện của mặt phẳng   tùy ý với hình chóp chỉ có thể có tối đa là 5 cạnh. Do đó thiết diện không thể là lục giác.
Câu 46. Chọn C S Q P A D M N B C
- Giả sử mặt phẳng (P) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Khi đó do MN || BC nên theo định lý ba giao tuyến song song hoặc đồng quy áp dụng cho ba
mặt phẳng (P);(SBC );(ABCD) thì ta được ba giao tuyến MN ; BC ; PQ đôi một song song.
Do đó thiết diện là một hình thang.
Câu 47. Chọn C
Gọi giao điểm của CG với AB là I . Thiết diện của mặt phẳng CGD với tứ diện ABCD là tam giác DCI . a 3 a 3
G là trọng tâm tam giác đều ABC nên ta có CI  và CG
. Áp dụng định lí Pytago 2 3 a 6 2 1 1 a 6 a 3 a 2 nên 2 2 DG DC CG  . Vậy S  . DG CI  . .  . 3 DCI 2 2 3 2 4
Câu 48. Chọn C
Trong  ABCD : CD và BC cắt MN lần lượt tại I và E .
Trong SBC  : PI cắt SB tại J . Trong SDC  : PE cắt SD tại K .
Khi đó MNP giao với  ABCD , SDA , SBC  ,  SAB , SDC  lần lượt theo các giao tuyến
MN , NK , PJ , JM , KP . Nên thiết diện tạo thành là ngũ giác MNKPJ .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 49. Chọn B A P S B D R Q C AP CQ 1 Do    PQ // AC . AB CB 3
Giao tuyến của mặt phẳng  PQR và  ACD là đường thẳng đi qua R và song song với AC , cắt AD tại S .
Do đó PQRS là thiết diện của mặt phẳng  PQR với hình tứ diện ABCD .
Theo cách dựng thì PQ // RS mà R bất kỳ trên cạnh CD nên thiết diện là hình thang.
Câu 50. Chọn C
Trong mp  ABCD , gọi K MN CD , L MN BC suy ra K SCD , L SBC  .
Trong mp SCD , gọi P KQ SD .
Trong mp SBC  , gọi R LQ SC .
Khi đó ta có: MNQ   ABCD  MN ; MNQ  SAD  NP ; MNQ  SCD  PQ ;
MNQ SBC  QR ; MNQ SAB  RM .
Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác.
Câu 51. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong SAC  , gọi I SO EF , trong SBD , gọi N BI SD . Suy ra N là giao điểm của
đường thẳng SD với mặt phẳng  BEF  .
Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  BEF  là tứ giác BFNE .
Câu 52. Chọn B
Gọi N EG S ;
B K NF BC;O AC B ;
D FE S ;
O H NI S . D
Khi đó, ta có: SAB   EGF   E ;
G ABCD   EGF   GK;
EGF  SBC  KF;EGF  SCD  FH;EGF  SAD  EH.
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  EGF  là ngũ giác EGKFH .
Câu 53. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S I J G B A O D C
Gọi O là giao điểm AC và BD . Gọi G là giao điểm của SO , CI .
Trong SBD , gọi J là giao điểm của BG với SD .
Suy ra J là trung điểm của SD .
Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ). Cách khác:
BC   IBC    AD  SAD  Ta có:
   IBC    SAD  IJ // AD // BC J SB . BC // ADI
IBC  SAD   
Do IJ là đường trung bình của tam giác SAD nên J là trung điểm SD .
Vậy thiết diện là hình thang IJCB ( J là trung điểm SD ).
Câu 54. Chọn C
Gọi M là trung điểm AB . Khi đó cắt tứ diện bởi mặt phẳng GCD ta được thiết diện là MCD . 2 3
Ta có tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2  MC MD   3 ; CD  2 . 2 3  3  2 Khi đó nửa chu vi MCD : p   1 3 . 2 Nên S
p p MC p MD p CD  .   2 MCD
Câu 55. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Qua A dựng đường thẳng song song với EF cắt C ,
D CB lần lượt tại I, J . Khi đó, IF cắt DD '
tại G và EJ cắt BB ' tại K , ta có thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng  AEF  là ngũ giác AKEFG . GDD F  1 1 a a 13 Ta có:    GD  DD 
GF KE
, GK BD a 2 và GD DA 2 3 3 6 a 2 2 a 17 EF  . Suy ra S  . 2 EFGK 8 a 13 2 a 17
Tam giác AKG cân tại A và AK AG  . Suy ra S  . 3 AGK 6 2 7a 17 Vậy SSS  . AKEFG EFGK AGK 24 Câu 56.
Hướng dẫn giải Chọn D. S N M D A C B
Gọi SC   AMN     P .
Khi đó, Thiết diện của hình chóp S.ABCD và mặt phẳng  AMN  là tứ giác AMPN .
Câu 57. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A
Trong mp  ABC kéo dài MP, AC cắt nhau tại I.
Trong mp  ACD kéo dài IN cắt AD tại Q. ợc: M
ABC   MNP  MP Q
BCD  MNP  PN B
ACD  MNP  NQ D
ABD  MNP  QM P N C
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng
MNP là tứ giác MPNQ. I
Câu 58. Chọn. S P M D E C N A B
Kéo AN cắt CD tại E , kéo EM cắt SD tại P , ta có:
AMN    ABCD  AN ;  AMN   SBC  NM ;  AMN   SCD  MQ và
AMN   SAD  QA. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ANMQ .
Câu 59. Sửa trên hình điểm P thành điểm K nhé
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi E MN AC và F PE SO . Trong SBD qua F kẻ đường thẳng song song với s MN
và lần lượt cắt SB, SD tại H , G . Khi đó ta thu được thiết diện là ngũ giác MNHKG. S D' I C' D A O B C Câu 60.
Gọi O AC BD và I AC  SO ; Kéo dài BI cắt SD tại D . Khi đó
ABC   ABCD  AB ;  ABC  SAB  AB ;  ABC  SBC  BC và
ABC  SAD  AD ;  ABC  SBD  C D   .
Suy ra thiết diện là tứ giác ABC D   nên m  4 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A R M Q B D P N C Câu 61.
Gọi Q NP BD . Gọi R QM AD . Suy ra: Q  MNP và R MNP .
Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MRNP .
Câu 62. Chọn D
Trong mp  ABC kéo dài MP, AC cắt nhau tại I.
Trong mp  ACD kéo dài IN cắt AD tại Q.
ABC   MNP  MP
BCD  MNP  PN
ACD  MNP  NQ
ABD  MNP  QM
Vậy thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MPNQ .
Câu 63. Chọn A S E F G A B I J D C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AB CD
Từ giả thiết suy ra IJ // AB // CD , IJ  . 2
Xét 2 mặt phẳng (IJG), (SAB) có G là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng EF
đi qua G , EF // AB // CD // IJ với E SA , F SB .
Nối các đoạn thẳng EI , FJ ta được thiết diện là tứ giác EFJI , là hình thang vì EF // IJ . 2
Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lí Ta – lét ta có: EF AB 3 AB CD 2AB
Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần: EF IJ    AB  3CD 2 3
Câu 64. Chọn A
Mặt phẳng MNP cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là một tam giác MND .
Do tứ diện ABCD có các mặt là những tam giác đều có độ dài các cạnh bằng 2a nên MD AC
MD DN a 3 . DN BC  1 MN
AB a (tính chất đường trung bình ). 2 a MN MD ND 2 3    1 p   . 2 2 4 2 a a 11 Sp p MN p MD p ND     MND     2 3 1 2 3 1 . 4    2 4
Câu 65. Chọn C B E C F D A J B' G C' I A' H D'
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi E, F, G, H , I , J lần lượt là trung điểm của BC, CD, DD ,
AD , AB , BB .
Ta có EA EC  E thuộc mặt phẳng trung trực của AC .
Tương tự F , G, H , I , J thuộc mặt phẳng trung trực của AC .
Do đó thiết diện của hình lập phương đã cho cắt bởi mặt phẳng trung trực của AC là lục giác đều a 2
EFGHIJ cạnh EF  . 2 2  a 2  3 3 3
Vậy diện tích thiết diện là 2 S  6.  .  a .  2  4 4  
Câu 66. Chọn C A P N B D Q M C
Trong  BCD dựng MQ / /CD, (Q BD)
Trong  ABC  dựng MN / / AB, (N AC)
Trong ( ACD) dựng NP / /CD, (P AD)
Thiết diện (H ) là hình chữ nhật MNPQ (do tứ diện
ABCD là tứ diện đều). (1) Đúng. (2) Đúng.Vì:
Đặt BM k, (0  k  1) thì MQ k; MN  1 k
Do đó chu vi của hình chữ nhật MNPQ là: 2k 1 k   2 (3) Sai.Vì: S
k(1 k ) . MNPQ
(4) Sai.Vì trọng tâm hình chữ nhật MNPQ nằm trên đoạn nối trung điểm cạnh AB và cạnh CD 2 .Đoạn đó dài . 2
Câu 67. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A R N P B G Q M D S C
Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trong hình tứ diện đều ta chứng minh được RS đi
qua G và vuông góc với AB a 3
Ta có: AS BS  2
AB BS SA a a 3 Kí hiệu: p   2 2 1 dt( G AS)  . GR AB 2 1 1 1  ( . SR AB)  dt SAB   2 2 2 .  a 3   a 3  
p p a p    p    2   2      2 a 2  8 Câu 68.
Trong mặt phẳng ABCD : EF BC I ; EF CD J
Trong mặt phẳng SCD : GJ SC K; GJ SD M
Trong mặt phẳng SBC : KI SB H
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có: GEFABCD  EF , GEFSAD  FM , GEFSCD  MK
GEFSBC KH , GEFSA B HE
Vậy thiết diện của hình chóp .
S ABCD cắt bởi mặt phẳng E
FG là ngũ giác EFMKH S M Q R A D K P B N C I Câu 69.
Gọi PN AB I , NP AD K .
Kẻ IM cắt SB tại R , kẻ MK cắt SD tại Q .
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng MNP là ngủ giác MPQMR . S E G F A B H I J Câu 70. D C
Vì  IJG  SAB   
G ta có IJ / / AB vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD
IJG  SAB  Gx / / AB / /IJ . Gọi E Gx  ,
SA F Gx SB
IJG  SAD  EI ;  IJG   ABCD  IJ ;  IJG  SBC  JF
Suy ra thiết diện  IJG và hình chóp là hình bình hành IJFE IJ EF   1 2 2
vì G là trọng tâm tam giác SAB SG GH EF AB 2 3 3 AB CD và IJ
3 vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 AB CD Từ   1 , 2 và 3  AB
 4 AB  3AB  3CD AB  3CD 3 2 B C A D A B' C' A' C' A' D' H Câu 71.
Gọi  H  là thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng   chứa AC .
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BB hoặc DD .
Giao tuyến của   và  AB CD
  là đường thẳng d , hình chiếu vuông góc của A lên d là
điểm H . Khi đó góc giữa   và  AB CD   là  AHA . AAAA
Vì AH d nên AH AC , do đó  sin     sin AC A   , do đó 
cos  cos AC AAH AC
Hình chiếu vuông góc của hình  H  lên  AB CD
  là hình vuông AB CD   , do đó diện tich S
hình  H  : SS .cos A BCD S     . AB CD   H  H  cos
Diện tích thiết diện nhỏ nhất khi cos lớn nhất, tức là  2
cos  cos AC A   . Khi đó diện tích 3 4 3 cần tìm là S   2 6 . H  2
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh CD hoặc AB , chọn mặt phẳng chiếu là  BCC B   , S
chứng minh tương tự ta cũng có BB CC S   , min S  2 6 . H  cos H
+ Trường hợp  H  có một đỉnh thuộc cạnh BC hoặc AD , chọn mặt phẳng chiếu là  BAAB ,
chứng minh tương tự ta cũng có, min S  2 6 . H
DẠNG 5. ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
Câu 72. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong (SCD) , DM SI J . Khi đó J DM  SAB . Câu 73.
Do NH cắt MG tại I nên bốn điểm M , N , H ,G cùng thuộc mặt phẳng   . Xét ba mặt phẳng 
     ABC   MG
ABC ,  BCD ,   phân biệt, đồng thời 
     BCD  NH
mà MG NH I
ABCBCD  BC
Suy ra MG , NH , BC đồng quy tại I nên B , C , I thẳng hàng.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 74.
Ta có M  SAB nên đường thẳng JM không thuộc mặt phẳng SAB .
Câu 75. Chọn A
Ta có M , N , P , Q đồng phẳng và tạo thành tứ giác MNPQ nên hai đường MP và NQ cắt nhau. (1) 
MNPQ  SAC   MP  Mặt khác: 
MNPQ   SBD  NQ (2) 
SACSBD  SO
Từ (1), (2) suy ra các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui.
Câu 76. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S D' A' C' B' D A I B C
Hai mặt phẳng  P và SAC  cắt nhau theo giao tuyến A'C ' .
Hai mặt phẳng  P và SBD cắt nhau theo giao tuyến B'D' .
Hai mặt phẳng SAC  và SBD cắt nhau theo giao tuyến SI .
Vậy ba đường thẳng A 'C ', B'D',SI đồng quy. Câu 77. Chọn C
I EH   ABD
I EH FG
  I   ABD   ABC   BD .
I FG   ABC  
Vậy I , D, B thẳng hàng.
Câu 78. ChọnD
Tam giác SBC có MN là đường trung bình nên MN song song BC, lại có BC song song AD nên
suy ra MN song song AD, do đó M, N, A, D đồng phẳng.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Xét ba mặt phẳng: SAB, SCD, MNDA có:
SAB SCD  SI ; SAB MNDA  AM ; SCD MNDA  DN
Suy ra AM, DN, SI đôi một song song hoặc đồng quy (định lý về giao tuyến 3 mặt phẳng) Nên D đúng.
Câu 79. Chọn B S N M P Q C B O A D
Ta có: MP mp SAC  ; NQ mp SBD
Và SAC   SBD  SO
Gọi I  MP  NQ
Thì I SO nên MP, NQ, SO đồng quy. DẠNG 6. TỈ SỐ Câu 80. IG IG 1 G G 1 1 Ta có: 1 2   1 2    G G AB . IB IA 3 AB 3 1 2 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 81.
Gọi F là giao điểm của AB và CD . Nối F với M , FM cắt SC tại điểm N . Khi đó N là giao
điểm của  ABM  và SC .
Theo giả thiết, ta chứng minh được C là trung điểm DF .
Trong mặt phẳng SCD kẻ CE song song NM ( E thuộc SD ). Do C là trung điểm DF nên
suy ra E là trung điểm MD . Khi đó, ta có SM ME ED và M là trung điểm SE .
Do MN // CE và M là trung điểm SE nên MN là đường trung bình của tam giác SCE . Từ đó SN 1
suy ra N là trung điểm SC và  . SC 2
Câu 82. Chọn B S M N G A D F E O B C
Ta có: O FE .Xét hai mặt phẳng SEF  và SCD có:
O EF  (SEF )  OSEFSAC. Mà S SEFSAC nên SEFSAC  S . O
O AC  SAC  G   MN
Trong mặt phẳng SEF  ta có: SO MN G  
MN  SAC     G . G SO   SAC  SG SM 2 SG
Xét tam giác SFE có: MG / / EF do MN / / EF      2 . SO SE 3 GO
Câu 83. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S Q M E I A C K P N B
Gọi I là giao điểm của NP và AC . Khi đó Q là giao điểm của MI và SC .
Từ A kẻ đường thẳng song song với BC , cắt IN tại K . AK AP 1 IA AK 1 Khi đó      . BN BP 2 IC CN 2
Từ A kẻ đường thẳng song song với SC , cắt IQ tại E . AE AM AE IA 1 1 SQ 1 Khi đó 
 1  AE SQ ,    AE CQ . Do đó  . SQ SM CQ IC 2 2 SC 3
Câu 84. Chọn B S Q M A I C P N B
+) Gọi I PN AC ; gọi Q IM SC QS IC MA QS IA
+) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác SAC ta có . .  1   (1) QC IA MS QC IC IA NC PB IA PA 1
+) Áp dụng định lí Menalaus trong tam giác ABC ta có . .  1    (2) IC NB PA IC PB 2 QS 1 SQ 1 +) Từ   1 và 2 suy ra  hay  . QC 2 SC 3
Câu 85. Chọn A
Áp dụng định lý Menelaus đối với tam giác AND và cát tuyến IGM ta có: MA GD IN IN IN 1 AN . .  1  1.2.  1     1 MD GN IA IA IA 2 NI
Câu 86. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S N I J D A O M L K B C
Gọi O AC B ,
D BD MC K . Trong SAC  : SO AN I .
Trong SMC  : SK MN J . IN 1
Ta thấy I là trọng tâm tam giác SAC nên  . IA 2
K là trọng tâm tam giác ABC , lấy L là trung điểm KC . Ta có MK KL LC .
NL là đường trung bình của tam giác SKC nên NL / / SK , mà K là trung điểm ML nên KJ là JN IN JN 3
đường trung bình của tam giác MNL . Khi đó  1    . JM IA JM 2
Câu 87. Chọn B
Trong mặt phẳng  BCD hai đường thẳng JK và CD không song song nên gọi E JK CD
Khi đó E  ACD .
Suy ra :  ACD  IJK   EJ .
Trong  ACD gọi F EI AD . Khi đó  IJK   AD F .
Cách 1 : BJ BK BJ 1
Vẽ DH // BC và H IE . Ta có :   2  HD   HD JC . HD KD 2 2
Suy ra D là trung điểm của CE .
Xét ACE có EI và AD là hai đường trung tuyến nên F là trọng tâm của ACE .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AF Vậy  2 . FD
Cách 2 : JB EC KD EC 1 EC
Xét BCD , áp dụng định lí Menelaus có : . .  1  1. .  1   2 . JC ED KB ED 2 ED EC FD IA FD FD 1
Xét ACD , áp dụng định lí Menelaus có : . .  1  2. .1  1   . ED FA IC FA FA 2 FA Vậy  2 . FD
Câu 88. Chọn D.
Vì M là trung điểm AC nên IM là trung tuyến tam giác IAC Mặt khác AN=2 ND nên ta có D là
trung điểm của IC (Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác ACD có cát tuyến MI)
Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác BCD có đường thẳng QI cắt BD,DC,CB lần lượt tại J,I,Q BJ DI CQ BJ 1 3 JB 2 nên: . .  1  . .  1   JD IC QB JD 2 1 JD 3
Áp dụng định lí Ptoleme trong tam giác QIC có đường thẳng BD cắt QI,DC,CQ lần lượt tại B,I,D QJ ID CB QJ 1 4 JB 1 nên: . .  1  . .  1   JI DC BQ JI 1 1 JD 4 JB JQ 2 1 11      JD JI 3 4 12
Câu 89. Chọn A S M N A D K B C I
Trong mặt phẳng  ABCD :
Gọi I AB CD I AB   ABM
Trong mặt phẳng SCD :
Gọi N IM SC và K là trung điểm IM . IC BC 1 Ta có:   (do BC // AD ) ID AD 2 1
Trong tam giác IMD có KC là đường trung bình nên KC // MD và KC MD 2 1 Mà SM
MD SM KC . 2
Lại có KC // SM do M SD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 SN SM SN 1    1. Vậy  . NC KC SC 2 S K N I J N A B M K I O J D B A Câu 90. C M
Gọi O là trung điểm của AC nên O AC BD . Trong mặt phẳng SAC  : AN SO I nên I
là giao điểm của AN và SBD . Trong  ABN  ta có MN BI J nên J là giao điểm của MN
với SBD . Gọi K là trung điểm của SD . Suy ra NK //DC //AB và BI SD K hay B , I , J ,
K thẳng hàng. Khi đó NK //BM và NK =MA BM và tứ giác AKMN là hình bình hành. Xét NK MJ BJ
hai tam giác đồng dạng KJN và BJM có  
 1 suy ra J là trung điểm của BM NJ JK
MN và J là trung điểm của BK hay BJ JK . Trong tam giác SAC có I là trọng tâm của NI 1 IJ NI 1 IJ 1 IJ IJ 1 IB tam giác nên 
. Do AK //MN nên        hay  4 . IA 2 IK IA 2 JK 3 BJ BI 4 IJ S K I M J N A B O P D C Câu 91.
Gọi J SO MN , K SA PJ thì K SA  MNP .
Vì M , N lần lượt là trung điểm của SB , SD nên J là trung điểm của SO .
Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SAO với cát tuyến là KP , ta có: SK AP OJ SK KS 1 . .  1  .3.1  1   . KA PO JS KA KA 3 KS 1 Vậy  . KA 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S Q M I A C E K P N B Câu 92.
Trong mặt phẳng  ABC  : NP cắt AC tại E .
Trong mặt phẳng SAC  : EM cắt SC tại Q .
Ta có Q EM Q  MNP mà Q SC Q là giao điểm của SC và MNP .
Trong mặt phẳng  ABC  từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EN tại K . AK AP 1 AK 1 Theo Talet ta có  
mà BN NC   . BN PB 2 CN 2 AK AE AE 1 Theo Talet ta có    . CN EC EC 2
Trong mặt phẳng SAC  từ A kẻ đường thẳng song song với SC cắt EQ tại I . AI AE AE 1 AI 1 1 Theo Talet ta có  mà     AI QC * . QC EC EC 2 QC 2 2 AI AM AI Theo Talet ta có 
mà AM SM
 1  AI SQ *  * . SQ SM SQ 1 SQ 1 Từ * và *  * ta có SQ QC   . 2 SC 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1H2-2 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ........................................ 2
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN ........................................................................ 4
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN ................................................................................. 6
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 8
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ........................................ 9
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN ...................................................................... 16
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN ............................................................................... 20 PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
(Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba
giao tuyến d , d , d trong đó d song song với d . Khi đó vị trí tương đối của d và d là? 1 2 3 1 2 2 3 A. Chéo nhau. B. Cắt nhau. C. Song song. D. trùng nhau. Câu 2.
(Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau. Câu 3.
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   . Nếu   chứa a và cắt   theo giao tuyến
là b thì a và b là hai đường thẳng A. cắt nhau. B. trùng nhau. C. chéo nhau.
D. song song với nhau. Câu 4.
Cho hình tứ diện ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB và CD cắt nhau.
B. AB và CD chéo nhau.
C. AB và CD song song.
D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và CD . Câu 5.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song
C. Hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng thì chéo nhau
D. Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 6.
(Lương Thế Vinh - Kiểm tra giữa HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Cho hai đường thẳng chéo
nhau a và b . Lấy A , B thuộc a và C , D thuộc b . Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường
thẳng AD và BC ? A. Cắt nhau. B. Song song nhau.
C. Có thể song song hoặc cắt nhau. D. Chéo nhau. Câu 7.
(THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c
trong đó a song song với b . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng a và b .
B. Nếu b song song với c thì a song song với c .
C. Nếu điểm A thuộc a và điểm B thuộc b thì ba đường thẳng a , b và AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D. Nếu c cắt a thì c cắt b . Câu 8.
(HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho đường thẳng a nằm trên mp P , đường
thẳng b cắt  P tại O và O không thuộc a . Vị trí tương đối của a và b là A. chéo nhau. B. cắt nhau.
C. song song với nhau. D. trùng nhau. Câu 9.
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Một đường thẳng c song song với a . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b và c song song.
B. b và c chéo nhau hoặc cắt nhau
C. b và c cắt nhau.
D. b và c chéo nhau.
Câu 10. Cho hai đường thẳng chéo nhau a , b và điểm M không thuộc a cũng không thuộc b . Có
nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng đi qua M và đồng thời cắt cả a và b ? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 11. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Trong không gian cho đường thẳng a chứa
trong mặt phẳng  P và đường thẳng b song song với mặt phẳng  P . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a // b .
B. a , b không có điểm chung.
C. a , b cắt nhau.
D. a , b chéo nhau.
Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
C. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
D. Trong không gian hai đường chéo nhau thì không có điểm chung.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Câu 13. Cho tứ diện ABCD và M , N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN / /CD .
B. MN / / AD .
C. MN / /BD .
D. MN / /CA .
Câu 14. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình
hành tâm O, I là trung điểm của SC , xét các mệnh đề:
(I) Đường thẳng IO song song với SA .
(II) Mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
(III) Giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng SBD là trọng tâm của tam giác SBD .
(IV) Giao tuyến của hai mặt phẳng  IBD và SAC là IO .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 15. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm ABC và ABD . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. IJ song song với CD .
B. IJ song song với AB .
C. IJ chéo nhau với CD .
D. IJ cắt AB .
Câu 16. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang với đáy lớn AD , AD  2BC . Gọi G và G lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SA . D GG
song song với đường thẳng A. AB . B. AC . C. BD . D. SC .
Câu 17. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi G và E lần lượt là trọng
tâm của tam giác ABD và ABC . Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. GE và CD chéo nhau.
B. GE //CD .
C. GE cắt AD .
D. GE cắt CD .
Câu 18. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho hình tứ diện ABCD , lấy điểm M tùy ý trên cạnh AD M  ,
A D . Gọi  P là mặt phẳng đi qua M song song với mặt phẳng  ABC  lần lượt cắt BD , DC
tại N , P . Khẳng định nào sau đây sai?
A. MN //AC .
B. MP//AC .
C. MP//  ABC  .
D. NP//BC .
Câu 19. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD . Đường thẳng
IJ song song với đường thẳng:
A. CM trong đó M là trung điểm BD . B. AC . C. DB . D. CD .
Câu 20. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm SAB; SCD . Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SI
BM ;CN . Khi đó tỉ số bằng CD 1 2 3 A. 1 B. . C. D. . 2 3 2
Câu 21. Cho tứ diện ABCD . P , Q lần lượt là trung điểm của AB , CD . Điểm R nằm trên cạnh BC
sao cho BR  2RC . Gọi S là giao điểm của mặt phẳng  PQR và AD . Khi đó A. SA  3SD . B. SA  2SD . C. SA  SD .
D. 2SA  3SD .
Câu 22. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi N là
trung điểm của cạnh SC . Lấy điểm M đối xứng với B qua A . Gọi giao điểm G của đường thẳng MN GM
với mặt phẳng SAD . Tính tỉ số . GN 1 1 A. . B. . C. 2 . D. 3 . 2 3
Câu 23. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD . Các điểm P , Q lần
lượt là trung điểm của AB và CD ; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR  2RC . Gọi S là giao điểm SA
của mp PQR và cạnh AD . Tính tỉ số . SD 7 5 3 A. . B. 2 . C. . D. . 3 3 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Lấy ba điểm P , Q, R lần lượt trên ba cạnh AB , CD , BC sao cho
PR//AC và CQ  2QD . Gọi giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng  PQR là S . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. AS  3DS .
B. AD  3DS .
C. AD  2DS .
D. AS DS .
Câu 25. Cho tứ diện ABCD . Gọi K , L lần lượt là trung điểm của AB và BC . N là điểm thuộc đoạn PA
CD sao cho CN  2ND . Gọi P là giao điểm của AD với mặt phẳng (KLN ) . Tính tỉ số PD PA 1 PA 2 PA 3 PA A.  . B.  . C.  . D.  2 . PD 2 PD 3 PD 2 PD
Câu 26. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD , M là điểm thuộc BC sao
cho MC  2MB . Gọi N , P lần lượt là trung điểm của BD và AD . Điểm Q là giao điểm của AC với QCMNP . Tính . QA QC 3 QC 5 QC QC 1 A.  . B.  . C.  2 . D.  . QA 2 QA 2 QA QA 2
Câu 27. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của AB , AD và G là trọng tâm tam giác SBD . Mặt phẳng MNG  cắt SC SH
tại điểm H . Tính SC 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 3
Câu 28. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hình chóp S.ABC . Bên
trong tam giác ABC ta lấy một điểm O bất kỳ. Từ O ta dựng các đường thẳng lần lượt song song với ,
SA SB, SC và cắt các mặt phẳng  SBC ,SCA , SAB theo thứ tự tại A , B ,C . Khi đó tổng tỉ số OA ' OB ' OC ' T    bằng bao nhiêu? SA SB SC 3 1 A. T  3 . B. T  . C. T  1. D. T  . 4 3
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN
Câu 29. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Giao tuyến của SAB và SCD là
A. Đường thẳng qua S và song song với AD . B. Đường thẳng qua S và song song với CD .
C. Đường SO với O là tâm hình bình hành.
D. Đường thẳng qua S và cắt AB .
Câu 30. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.SAD  SBC  là đường thẳng qua S và song song với AC .
B.SAB   SAD  SA .
C.SBC   AD .
D. SA và CD chéo nhau.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 31. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CB . Khi đó giao tuyến của 2 mặt phẳng SAB và
SCD là đường thẳng song song với A. AD . B. IJ . C. BJ . D. BI .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy  ABCD là hình bình hành. Gọi đường thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đường thẳng d đi qua S và song song với AB .
B. Đường thẳng d đi qua S và song song với DC .
C. Đường thẳng d đi qua S và song song với BC .
D. Đường thẳng d đi qua S và song song với BD .
Câu 33. (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Cho chóp S.ABCD đáy là hình thang ( đáy
lớn AB, đáy nhỏ CD ). Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AD, BC. G là trọng tâm tam giác SAB . Khi đó
giao tuyến của 2 mặt phẳng  IKG và SAB là?
A. Giao tuyến của 2 mặt phẳng  IKG và SAB là đường thẳng đi qua S và song song AB, IK
B. Giao tuyến của 2 mặt phẳng  IKG và SAB là đường thẳng đi qua S và song song AD .
C. Giao tuyến của 2 mặt phẳng  IKG và SAB là đường thẳng đi qua G và song song CB .
D. Giao tuyến của 2 mặt phẳng  IKG và SAB là đường thẳng đi qua G và song song AB, IK .
Câu 34. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD AB//CD .
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là
A. Đường thẳng đi qua S và qua giao điểm của cặp đường thẳng AB và SC .
B. Đường thẳng đi qua S và song song với AD .
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AF .
D. Đường thẳng đi qua S và song song với EF .
Câu 35. Cho tứ diện S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  AB//CD . Gọi M , N và P lần lượt là
trung điểm của BC , AD và SA . Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và MNP là
A. đường thẳng qua M và song song với SC .
B. đường thẳng qua P và song song với AB .
C. đường thẳng PM .
D. đường thẳng qua S và song song với AB .
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  AB // CD . Gọi I , J lần lượt là trung
điểm của AD và BC , G là trọng tâm SAB . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  IJG là
A. đường thẳng qua S và song song với AB .
B. đường thẳng qua G và song song với DC . C. SC .
D. đường thẳng qua G và cắt BC .
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC. Giao tuyến của SAD và SBC  là
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AB .
B. Đường thẳng đi qua S và song song với CD .
C. Đường thẳng đi qua S và song song với AC .
D. Đường thẳng đi qua S và song song với AD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN
Câu 38. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình
hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC  là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây? A. AD . B. AC . C. DC . D. BD . Câu 39.
Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung
điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng  MCD với hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 40. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang, AD//BC , AD  2BC . M là trung điểm của SA . Mặt phẳng  MBC  cắt hình chóp theo thiết diện là
A. Hình bình hành. B. Tam giác.
C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.
Câu 41. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các AM AN 1 điểm M, N sao cho  
.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh CD, CB. Khẳng định nào sau AB AD 3 đây là đúng
A. Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
B. Tứ giác MNPQ là một hình thang nhưng không phải hình bình hành.
C. Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.
D. Tứ giác MNPQ không có cặp cạnh đối nào song song.
Câu 42. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   ,
AC BD O , AC  B D
   O . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CC . Khi đó
thiết diện do mặt phẳng MNP cắt hình lập phương là hình: A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác.
Câu 43. (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình
hành. Gọi M là trung điểm của SD , điểm N nằm trên cạnh SB sao cho SN  2NB và O là giao điểm của AC và .
BD Khẳng định nào sau đây sai?
A. Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  AMN  là một hình thang.
B. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng  ABCD.
C. Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau.
D. Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau.
Câu 44. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm của A . B Cắt tứ
diện ABCD bới mặt phẳng đi qua M và song song với BC và AD , thiết diện thu được là hình gì? A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông. C. Hình bình hành. D. Ngũ giác.
Câu 45. (HKI-Chu Văn An-2017) Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M
là trung điểm của SD , N là điểm trên cạnh SB sao cho SN  2SB , O là giao điểm của AC và BD .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đường thẳng MN cắt mặt phẳng  ABCD.
B. Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  AMN  là một hình thang.
C. Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau.
D. Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 46. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình
bình hành. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh S ,
A SB và BC. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng
MNP và hình chóp S.ABCD là
A. Tứ giác MNPK với K là điểm tuỳ ý trên cạnh AD.
B. Tam giác MN . P
C. Hình bình hành MNPK với K là điểm trên cạnh AD mà PK // AB.
D. Hình thang MNPK với K là điểm trên cạnh AD mà PK // AB.
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của
OB ,   là mặt phẳng đi qua M , song song với AC và song song với SB . Thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   là hình gì? A. Lục giác. B. Ngũ giác. C. Tam giác. D. Tứ giác.
Câu 48. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điêm của
AB , AC . E là điểm trên cạnh CD với ED  3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là
A. Tam giác MNE .
B. Tứ giác MNEF với E là điểm bất kì trên cạnh BD .
C. Hình bình hành MNEF với E là điểm trên cạnh BD mà EF // BC .
D. Hình thang MNEF với E là điểm trên cạnh BD mà EF // BC .
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD với các cạnh đáy là AB , CD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các
cạnh AD , BC và G là trọng tâm tam giác SAB . Tìm k với AB kCD để thiết diện của mặt phẳng
GIJ  với hình chóp S.ABCD là hình bình hành. S G A B I J D C A. k  4 . B. k  2 . C. k  1. D. k  3 .
Câu 50. (LIÊN TRƯỜNG - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và AC . E là điển trên cạnh CD với ED  3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE
và tứ diện ABCD là:
A. Tam giác MNE .
B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD .
C. Hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF song song với BC .
D. Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF song song với BC .
Câu 51. (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
bình hành. Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của SA , SB , BC điểm G nằm giữa S và I sao cho SG 3 
.Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  MNG là SI 5 A. hình thang. B. hình tam giác. C. hình bình hành. D. hình ngũ giác.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. Câu 2. Chọn B
Đáp án A sai do hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song với nhau.
Đáp án C sai do hai đường thẳng không song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau.
Đáp án D sai do hai đường thẳng không cắt nhau và không song song với nhau thì có thể trùng nhau. Đáp án B đúng. Câu 3. Chọn D Câu 4. Chọn B
Do ABCD là hình tứ diện nên bốn điểm ,
A B, C, D không đồng phẳng (loại đáp án A, C, D). Câu 5. Chọn C Câu 6. Chọn D a B A D C b
Ta có: a và b là hai đường thẳng chéo nhau nên a và b không đồng phẳng.
Giả sử AD và BC đồng phẳng.
+ Nếu AD BC M M  ABCD  M  ; a b
Mà a và b không đồng phẳng, do đó không tồn tại điểm M .
+ Nếu AD // BC a và b đồng phẳng (mâu thuẫn giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó AD và BC chéo nhau. Câu 7.
Mệnh đề “nếu c cắt a thì c cắt b ” là mệnh đề sai, vì c và b có thể chéo nhau. Câu 8. Chọn A b a O P
Do đường thẳng a nằm trên mp P , đường thẳng b cắt  P tại O và O không thuộc a nên
đường thẳng a và đường thảng b không đồng phẳng nên vị trí tương đối của a và b là chéo nhau. Câu 9. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Khi c và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng cắt nhau. Còn b và c không cùng nằm
trong một mặt phẳng thì chúng chéo nhau.
Do c song song với a nên nếu b và c song song với nhau thì b cũng song song hoặc trùng với
a , điều này trái với giả thiết là a và b chéo nhau.
Câu 10. Chọn D.
Gọi  P là mặt phẳng qua M và chứa a ; Q là mặt phẳng qua M và chứa b .
Giả sử tồn tại đường thẳng c đi qua M và đồng thời cắt cả a và b suy ra c   P 
c   P  Q . c   Q 
Mặt khác nếu có một đường thẳng c đi qua M và đồng thời cắt cả a và b thì a và b đồng phẳng (vô lí).
Do đó có duy nhất một đường thẳng đi qua M và đồng thời cắt cả a và b .
Câu 11. b//  P thì b có thể song song với a (hình 1) mà b cũng có thể chéo a (hình 2). b b Q a a P P Hình 1 Hình 2
b//  P  b   P    b a   . Vậy a , b không có điểm chung.
Câu 12. Áp dụng định nghĩa hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
DẠNG 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Câu 13. Chọn A A N M B D J I C
Dễ thấy MN , AD là hai đường thẳng chéo nhau nên loại B.
Dễ thấy MN , BD là hai đường thẳng chéo nhau nên loại C.
Dễ thấy MN , CA là hai đường thẳng chéo nhau nên loại D.
Suy ra chọn A.
Câu 14. Chọn C
Mệnh đề (I) đúng vì IO là đường trung bình của tam giác SAC .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Mệnh đề (II) sai vì tam giác IBD chính là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng IBD .
Mệnh đề (III) đúng vì giao điểm của đường thẳng AI với mặt phẳng SBD là giao điểm của AI với SO .
Mệnh đề (IV) đúng vì I , O là hai điểm chung của 2 mặt phẳng  IBD và SAC .
Vậy số mệnh đề đúng trong các mệnh để trên là: 3.
Câu 15. Chọn A A E J I B D C
Gọi E là trung điểm AB . EI EJ 1
Vì I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên:   EC ED 3
Suy ra: IJ / /CD .
Câu 16. Chọn C S G' G A D K H B C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi H và K lần lượt là trung điểm cạnh AB; AD . Với G và G lần lượt là trọng tâm tam giác SG SG 2
SAB và SAD ta có:  
GG // HK (1). SH SK 3
Mà HK // BD ( HK là đường trung bình tam giác ABD (2).
Từ (1) và (2) suy ra GG song song với . BD Câu 17. MG ME 1
Gọi M là trung điểm của AB . Trong tam giác MCD có  
suy ra GE //CD MD MC 3 A M N B D P C Câu 18.
Do  P //  ABC   AB//  P MN  
P   ABD Có 
MN //AB , mà AB cắt AC nên MN //AC là sai. AB  
ABD, AB// P 
Câu 19. Đáp án D.
Cách 1: ( Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng kiến thức hình học phẳng) I CE
Gọi E là trung điểm của AB . Ta có 
nên suy ra IJ và CD đồng phẳng. J DEEI EJ 1
Do I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD nên ta có:   . Suy ra EC ED 3 IJ CD .
Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu)
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD và BC . Suy ra MN CD (1).
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AI AJ 2
Do I , J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD nên ta có:   . Suy ra AN AM 3 IJ MN (2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ CD .
Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng).
Có lẽ trong ví dụ này cách này hơi dài, song chúng tôi vẫn sẽ trình bày ở đây, để các bạn có thể
hiểu và vận dụng cách 3 hợp lí trong các ví dụ khác.
Dễ thấy, bốn điểm D , C , I , J đồng phẳng. 
DCIJ    AMN   IJ
DCIJ BCD  CD Ta có: 
IJ CD MN .  AMN
  BCD  MNMN CD
Câu 20. Chọn A I S M N A D F E B C
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD. I BM   SAB
Ta có I BM CN  
I  SAB  SCD. I CN   SCD 
Mà S  SAB  SCD . Do đó SAB  SCD  SI. AB / /CD   AB  SAB  Ta có:
  SI / / AB/ / CD .Vì SI / /CD nên SI / /CF . CD  SCD 
SAB SCDSI     SI SN SI
Theo định lý Ta – let ta có: 
 2  SI  2CF CD   1. CF NF CD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 21. Chọn B
Gọi F BD  .
RQ Nối P với F cắt AD tại S. DF BR CQ DF RC 1 Ta có . .  1    . FB RC D Q FB R B 2 DF BP AS SA FB Tương tự ta có . .  1    2  SA  2SD. FB PA SD SD DF
Câu 22. Chọn C
Gọi giao điểm của AC và BD là O và kẻ OM cắt AD tại K . Vì O là trung điểm AC ,
N là trung điểm SC nên ON // SA (tính chất đường trung bình). Vậy hai mặt phẳng (MON )
và (SAD) cắt nhau tại giao tuyến GK song song với NO . Áp dụng định lí Talet cho
GK // ON , ta có: GM KM  (1) GN KO
Gọi I là trung điểm của AB , vì O là trung điểm của BD nên theo tính chất đường trung
bình, OI // AD , vậy theo định lí Talet: KM AM AB    2 . (2) KO AI AI GM Từ (1) và (2), ta có  2 . GN
Câu 23. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mặt phẳng  BCD , gọi I RQ BD .
Trong  ABD , gọi S PI AD S AD   PQR .
Trong mặt phẳng  BCD , dựng DE / / BC DE là đường trung bình của tam giác IBR .
D là trung điểm của BI . DF 1 DF 1 SA
Trong  ABD , dựng DF / / AB       2 . BP 2 PA 2 SD
Câu 24. Chọn B A P x S B D Q R C Q
   PQR   ACD 
Ta có: PR   PRQ; AC   ACD   PQR  ACD  Qx với Qx//PR//AC PR//AC
Gọi S Qx AD S   PQR  AD
Xét tam giác ACD có QS //AC SD QD 1 Ta có:  
AD  3SD . AD CD 3
Câu 25. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A K P B D I N L C
Giả sử LN BD I . Nối K với I cắt AD tại P Suy ra (KLN )  AD P PA NC
Ta có: KL / / AC PN / / AC Suy ra:   2 PD ND D P N A C Q M B Câu 26.
Ta có NP // AB AB // MNP .
Mặt khác AB   ABC  ,  ABC  và MNP có điểm M chung nên giao tuyến của  ABC  và
MNP là đường thẳng MQ // AB Q AC . QC MC Ta có:   2 . Vậy QA MB Câu 27.
Trong mặt phẳng  ABCD , gọi E MN AC .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mặt phẳng SAC  , gọi H EG SC . 
H EG; EG   MNG Ta có: 
H SC  MNG  . H   SC
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của SG và SH . IJ // HG Ta có 
A , I , J thẳng hàng IA //  GE CH CE
Xét ACJ có EH // AJ  
 3  CH  3HJ . HJ EA
Lại có SH  2HJ nên SC  5HJ . SH 2 Vậy  . SC 5 S A B' A' N C' C N P A O O P M B C B M Câu 28.
Gọi M , N , P lần lượt là giao điểm của AO và BC , BO và AC , CO và AB . OAMO S S SS S Ta có CMO BMO CMO BMO OBC      SA MA S S SS S CMA BMA CMA BMA ABC OBNO S S SS S ANO CNO ANO CNO OAC      . SB NB S S SS S ANB CNB ANB CNB ABC OCPO S S SS S APO BPO APO BPO OAB      SC PC S S SS S APC BPC APC BPC ABC OA' OB ' OC ' S S S S Từ đó OBC OAC OAB ABC T         1 . SA SB SC S S S S ABC ABC ABC ABC
DẠNG 3. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG ĐỂ TÌM GIAO TUYẾN Câu 29.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
S là điểm chung của hai mặt phẳng SAB và SCD .
AB  SAB   Mặt khác CD   SCD .  AB // CD
 Nên giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là đường thẳng St đi qua điểm S và song song với CD .
Câu 30. Chọn A
SAD  SBC là đường thẳng qua S và song song với BC .
Câu 31. Chọn D
Gọi d là đường thẳng qua S và song song với AB d // BI AB // CD
Ta có: AB  SAB  SAB  SCD  d .
CD  SCD 
Vậy giao tuyến cần tìm song song với BI .
Câu 32. Chọn C S C B A D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
S  SAD  SBC  
AD   SAD Ta có 
do đó giao tuyến của giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và BC   SBC   AD//BC
SBC là đường thẳng d đi qua S và song song với BC , AD .
Câu 33. Chọn D
Xét hai mặt phẳng  IKG,SAB
Ta có G  GIK ;G  SAB suy ra G là điểm chung thứ nhất.
IK / / AB, IK  GIK , AB  SAB.
Suy ra  IKG  SAB  Gx / /IK / / AB
Câu 34. Chọn D S d A B E F D C Ta có:  AB//CD 
AB   SAB  giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và  SCD là đường thẳng đi qua S và CD   SCD 
song song với AB . Lại có AB//EF , nên giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và SCD là
đường thẳng đi qua S và song song với EF .
Câu 35. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S P A B N M D C
Ta có P SA  SAB ; P MNP nên P là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng  SAB và MNP .
Mặt khác: MN //AB ( do MN là đường trung bình của hình thang ABCD ).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và MNP là đường thẳng qua P và song song với AB , SC .
Câu 36. Chọn B. S G x A B I J D C
Ta có IJ // AB  
1 (đường trung bình hình thang ).
G  GIJ   SAB2 .
IJ  GIJ  , AB  SAB3 Từ  
1 , 2 , 3  Gx  GIJ   SAB , Gx // AB , Gx // CD .
Câu 37. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S d A D B C
Ta có: hai mặt phẳng SAD và SBC  có 1 điểm chung là S và lần lượt chứa hai đường thẳng
AD và BC song song nhau nên giao tuyến d của hai mặt phẳng SAD và SBC  đi qua S và
song song AD, BC . Câu 38.
Ta có AD // BC  SAD  SBC   d , với d là đường thẳng đi qua S và song song với AD
DẠNG 4. SỬ DỤNG YẾU TỐ SONG SONG TÌM THIẾT DIỆN
Câu 39. Đáp án C.
Gọi N là trung điểm của SB . Do MN / / AB , AB / /CD MN / /CD .
Như vậy suy ra N thuộc mặt phẳng  MCD . 
MCD  SAD  MD MCD
  SAB  MN Ta có:  MCD
  SBC   NC
MCD ABCD  CD
Vậy tứ giác MNCD là thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng  MCD .
Kết hợp với MN / /CD , suy ra MNCD là hình thang. S N M A D B C Câu 40.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có  BMC    ABCD  BC ,
BMC   SAB  BM BMC  SAD  M ,M //AD//BC,M SD N , x x x
BMC  SCD  NC
Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  MBC  là tứ giác BMNC .  1 MN ADMN BC Ta có  2 suy ra 
nên thiết diện BMNC là hình bình hành.  MN //BC MN //AD   AM AN 1 MN 1
Câu 41. Ta có  
MN / / BD và  (1) AB AD 3 BD 3 1
Mặt khác vì PQ là đường trung bình của tam giác BCD PQ
BD , PQ / / BD 2 2
Từ (1) (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang, nhưng không là hình bình hành. Q BCR OADP S B C O N A Câu 42. M DMN //AC Ta có 
 MNP //  AB C   NP//AB 
 MNP cắt hình lập phương theo thiết diện là lục giác. Câu 43.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
a) MN không song song với BD . Suy ra trong SBD ta có MN cắt BD . Do đó đáp án B đúng.
b) Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau. Hiển nhiên đúng do S.ABCD là hình chóp. Do đó đáp án C đúng.
c) Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau vì chúng cùng nằm trong mặt phẳng SBD . Do đó đáp án
D đúng. Vậy đáp án A sai. A M N B D Q P C Câu 44.
Gọi  là mặt phẳng đi qua M và song song với BC và AD . M  
    ABD
Xét   và  ABD có 
nên     ABD  MQ với Q là trung điểm BD .   AD   Q   
   BCD
Xét   và MNPQ có 
nên     BCD  QP với P là trung điểm CD .   BC   P  
    ACD
Xét   và  ACD có 
nên     ACD  NP với N là trung điểm AC .   AD  
Mà MN , PQ là hai đường trung bình của tam giác ABC và DBC . MN PQ Nên ta có  MN PQ
Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ .
Câu 45. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
MN BD I MN   ABCD  I. nên A đúng.
Hai đường thẳng MN và SO cắt nhau do cùng nằm trong mặt phẳng SBD và không song song nên C đúng.
Hai đường thẳng MN và SC chéo nhau vì không cùng nằm trong một mặt phẳng nên D đúng
Câu 46. Chọn D S M N A D K B C P
Vì MN / / AB AB / /  MNP mà AB   ABCD nên mp MNP cắt mp ABCD  theo giao
tuyến là đường thẳng qua P và song song với AB.
Trong mp ABCD, qua P kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại K MN / / PK.
Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng  MNP và hình chóp S.ABCD là hình thang MNPK với K là
điểm trên cạnh AD mà PK / / A . B
Câu 47. Chọn B Ta có: M  
    ABCD 
     ABCD  d đi qua M và song song với AC .
 ABCD   AC   1 / / 
Trong  ABCD  , gọi I, H lần lượt là giao điểm của d với AB và BC . Khi đó, I và H lần 1
lượt là trung điểm của AB và BC . Ta lại có:
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 I  
   SAB 
     AB  d đi qua I và song song với SB .
 SAB   SB   2 / / 
Trong  SAB , gọi J là giao điểm của d với SA . Khi đó, J là trung điểm của SA . 2 Ta cũng có: H  
   SBC  
    SBC   d đi qua H và song song với SB .
 SBC   SB   3 / / 
Trong SBC , gọi L là giao điểm của d với SC . Khi đó, L là trung điểm của SC . 3 Mặt khác: M  
   SBD 
    SBD  d đi qua M và song song với SB .
 SBD   SB   4 / / 
Trong SBC , gọi K là giao điểm của d với SD . 4
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   là ngũ giác HIJKL .
Câu 48. Chọn D I A M N F B D E C
Do M , N lần lượt là trung điêm của AB , AC MN // BC . Ta có
E  (MNE)  (BCD) 
MN  (MNE), BC  (BCD)  (MNE)  (BCD)  EF // MN // BC (F BD) . MN / /BC
Ta có: (MNE)  ( ABC)  MN , (MNE)  ( ACD)  NE , (MNE)  (BCD)  EF ,
(MNE)  ( ABD)  FM .
Vậy thiết diện là hình thang MNEF (vì EF // MN ). CN 1 CE 1 Xét CAD có   
EN AD I . CA 2 CD 4 Ta có
(MNE)  ( ABD)  FM  
( ABD)  ( ACD)  AD  MN, AD,FM đồng qui tại I .
(MNE)  ( ACD)  EN
EN AD I  
Do đó MNEF không thể là hình bình hành.
Câu 49. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M N G A B K I J D C
Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng GIJ  và SAB là đường thẳng Gx đi qua G và song
song với các đường thẳng AB , IJ . Giao tuyến Gx cắt SA tại M và cắt SB tại N .
Thiết diện của mặt phẳng GIJ  với hình chóp S.ABCD là hình thang IJNM vì IJ //MN .
IJ là đường trung bình của hình thang ABCD nên ta có: AB CD kCD CD k 1 IJ    CD . 2 2 2 2 2
G là trọng tâm tam giác SAB nên MN AB kCD . 3 3
Để IJNM là hình bình hành ta cần phải có IJ MN k 1 2 k 1 2kCD kCD    k  3 . 2 3 2 3 Câu 50. Lời giải Chọn D A M x N D B F E C
Ta có: MNE    ABC   MN , MNE    ACD  NE .
Vì hai mặt phẳng MNE và  BCD lần lượt chứa hai đường thẳng song song là MN và BC nên
MNE  BCD  Ex (với Ex là đường thẳng qua E và song song với BC ), Ex cắt BD tại F . 1 3
MNE  BCD  EF và MNE   ADD  FM . Và MN BC ; EF BC . 2 4
Vậy thiết diện là hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF song song với BC .
Câu 51. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Xét trong mặt phẳng SBC ta có NG BC    P .
Vì MN / / AB nên MNG  ABCD theo giao tuyến đi qua P song song với AB, CD và cắt AD tại Q . 
MNG   SAB  MN MNG
  SBC   NP Do đó:  MNG
   ABCD  PQ
MNG SAD  QM
Suy ra: Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  MNG là tứ giác MNPQ . 
MNG   SAB  MN
SABABCD  ABPQ / / AB Nhận xét:    . MNG
  ABCD  PQ PQ / /MN   AB / /MN
Suy ra: Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  MNG là hình thang MNPQ .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1H2-3 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ................................................................................... 3
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN .............................................................. 4
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 8
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 8
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ................................................................................... 9
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ............................................................ 17 PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
(HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu a //  P thì tồn tại trong  P đường thẳng b để b // a . a //  PC. Nếu  thì a // b . b   P 
D. Nếu a //  P và đường thẳng b cắt mặt phẳng  P thì hai đường thẳng a và b cắt nhau. Câu 2.
(Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho mặt phẳng   và đường thẳng d   
. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu d / /   thì trong   tồn tại đường thẳng  sao cho  / / d .
B. Nếu d / /   và b    thì b / / d .
C. Nếu d     A và d     thì d và d hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
D. Nếu d / / c ; c    thì d / /   . Câu 3.
(THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho các mệnh đề sau:
(1). Nếu a //  P thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong  P .
(2). Nếu a //  P thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong  P .
(3). Nếu a //  P thì có vô số đường thẳng nằm trong  P song song với a .
(4). Nếu a //  P thì có một đường thẳng d nào đó nằm trong  P sao cho a và d đồng phẳng. Số mệnh đề đúng là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1. Câu 4.
(THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
B. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
C. Nếu hai đường thẳng song song thì chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
D. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. Câu 5.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào
đó nằm trong mặt phẳng đó.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng quy.
D. Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau. Câu 6.
(THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây
A. Nếu hai mặt phẳng song song cùng cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song với nhau.
B. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
C. Nếu mặt phẳng  P song song với mặt phẳng Q thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng
P đều song song với mặt phẳng Q .
D. Nếu mặt phẳng  P có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song
song với mặt phẳng Q thì mặt phẳng  P song song với mặt phẳng Q . Câu 7.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì trùng nhau.
C. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Câu 8.
(ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết
luận đường thẳng a song song với mặt phẳng   ?
A. a // b và b    .
B. a //    và    //   .
C. a // b và b //   .
D. a      . Câu 9.
Cho hai mặt phẳng  P,Q cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d . Đường thẳng a song
song với cả hai mặt phẳng  P,Q . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a, d trùng nhau.
B. a, d chéo nhau.
C. a song song d .
D. a, d cắt nhau.
Câu 10. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau , a ,
b c . Gọi  P là mặt phẳng qua a , Q là mặt phẳng
qua b sao cho giao tuyến của  P và Q song song với c . Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng
P và Q thỏa mãn yêu cầu trên?
A. Vô số mặt phẳng  P và Q .
B. Một mặt phẳng  P , vô số mặt phẳng Q .
C. Một mặt phẳng Q , vô số mặt phẳng  P . D. Một mặt phẳng  P , một mặt phẳng Q .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB . Gọi P, Q lần lượt là hai điểm SP SQ 1
nằm trên cạnh SA và SB sao cho  
. Khẳng định nào sau đây là đúng? SA SB 3
A. PQ cắt  ABCD .
B. PQ   ABCD .
C. PQ / /  ABCD .
D. PQ và CD chéo nhau.
Câu 12. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho tứ diện ABCD . Gọi G và G lần lượt là trọng 1 2
tâm các tam giác BCD và ACD . Khẳng định nào sau đây SAI?
A. G G // ABD .
B. G G // ABC . 1 2   1 2   2
C. BG , AG và CD đồng quy. D. G G AB . 1 2 1 2 3
Câu 13. Cho tứ diện ABCD , gọi G , G lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD . Mệnh đề nào sau 1 2 đây sai?
A. G G // ABD .
B. Ba đường thẳng BG , AG và CD đồng quy. 1 2   1 2 2
C. G G // ABC . D. G G AB . 1 2   1 2 3
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M , N , K lần lượt là trung điểm của DC, BC, .
SA Gọi H là giao điểm của AC và MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. MN chéo SC .
B. MN // SBD . C. MN //  D ABC  .
D. MN  SAC   H .
Câu 15. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O , O lần 1 2
lượt là tâm của ABCD , ABEF . M là trung điểm của CD . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. MO cắt  BEC  .
B. O O song song với  BEC  . 2 1 2
C. O O song song với  EFM  .
D. O O song song với  AFD . 1 2 1 2
Câu 16. (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật. Gọi M , N theo thứ tự là trọng tâm SAB; SCD . Khi đó MN song song với mặt phẳng A. (SAC) B. (SBD) . C. (SAB) D. ( ABCD) .
Câu 17. (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm
I , J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SAD . M là trung điểm CD . Chọn mệnh đề đúng
trong các mệnh đề sau:
A. IJ // (SCD) .
B. IJ // (SBM ) .
C. IJ // (SBC) .
D. IJ / /(SBD) .
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SA . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. OM // SCD .
B. OM // S D B  .
C. OM // SAB .
D. OM //  S D A  .
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB  2CD . Lấy E thuộc cạnh SA , SE SF 2
F thuộc cạnh SC sao cho  
. Khẳng định nào dưới đây đúng? SA SC 3
A. Đường thẳng EF song song với mặt phẳng SAC .
B. Đường thẳng EF cắt đường thẳng AC .
C. Đường thẳng AC song song với mặt phẳng  BEF  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
D. Đường thẳng CD song song với mặt phẳng  BEF  .
Câu 20. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABD. M là điểm trên cạnh BC sao cho MB =
2MC. Khi đó đường thẳng MG song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A.ACD.
B.BCD.
C.ABD.
D.ABC .
Câu 21. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm A
BD và M là
điểm trên cạnh BC sao cho BM  2MC . Đường thẳng MG song song với mặt phẳng A.ACD. B.ABC . C.ABD. D. (BCD . )
Câu 22. (CỤM CHUYÊN MÔN 4 - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABCD có đáy là
hình bình hành. M , N lần lượt là trung điểm của SC và SD . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. MN / / SBD .
B. MN / / SAB .
C. MN / / SAC
D. MN / / SCD .
Câu 23. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác ABD . Trên
đoạn BC lấy điểm M sao cho MB  2MC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. MG song song với  ACD
B. MG song song với  ABD .
C. MG song song với  ACB .
D. MG song song với  BCD .
Câu 24. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho lăng trụ ABC.AB C
  . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của A B
  và CC . Khi đó CB song song với A.AC M   . B.BC M   . C.A N . D. AM .
Câu 25. (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang với đáy lớn AD , AD  2BC . Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho MD  2MS. Gọi
O là giao điểm của AC và .
BD OM song song với mặt phẳng
A.SAD . B.SBD .
C.SBC  . D.SAB .
Câu 26. Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M , N lần lượt
nằm trên AD ', DB sao cho AM DN x(0  x a 2) Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn
song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?
A.CB' D ' .
B.A' BC .
C.AD 'C..
D.BA'C '
Câu 27. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Trên các cạnh
AA'; BB ';CC ' lần lượt lấy ba điểm
M , N , P sao cho A' M 1 B ' N 2 C ' P 1  D 'Q ;  ;
 . Biết mặt phẳng MNP cắt cạnh DD ' tại Q. Tính tỉ số AA' 3 BB ' 3 CC ' 2 DD ' . 1 1 5 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3
Câu 28. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O , O lần 1
lượt là tâm của ABCD , ABEF M là trung điểm của CD . Khẳng định nào sau đây sai?
A. OO //  BEC  .
B. OO //  AFD .
C. OO //  EFM  .
D. MO cắt  BEC  . 1 1 1 1
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 29. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng SAD .
B. Mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
C. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng  SAB .
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng  IBD và SAC  là IO .
Câu 30. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M  
thỏa mãn MA  3M .
B Mặt phẳng  P qua M và song song với SC , BD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.P cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.
B.P cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.
C.P cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.
D.P không cắt hình chóp.
Câu 31. (Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn AC ( M khác
A , M khác C ). Mặt phẳng   đi qua M song song với AB và AD . Thiết diện của   với tứ
diện ABCD là hình gì? A. Hình vuông
B. Hình chữ nhật
C. Hình tam giác
D. Hình bình hành
Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , gọi I là trung điểm cạnh SC .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng SAD.
B. Đường thẳng IO song song với mặt phẳng  SAB.
C. Mặt phẳng  IBD cắt mặt phẳng SAC  theo giao tuyến OI.
D. Mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là tứ giác.
Câu 33. (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
bình hành tâm O, I là trung điểm cạnh SC . Khẳng định nào sau đây sai?
A. IO // mp SAB.
B. IO // mp SAD.
C. Mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
D.IBD  SAC   OI.
Câu 34. (ĐỘI CẤN VĨNH PHÚC LẦN 1 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và BC. Thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (MNI) và hình chóp S.ABCD là:
A. Tứ giác MNIK với K là điểm bất kỳ trên cạnh AD.
B. Tam giác MNI.
C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB
Câu 35. Gọi  P là mặt phẳng qua H , song song với CD và SB . Thiết diện tạo bởi  P và hình chóp
S.ABCD là hình gì? A. Ngũ giác.
B. Hình bình hành.
C. Tứ giác không có cặp cạnh đối nào song song. D. Hình thang.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 36. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD . Điểm M thuộc đoạn
AC . Mặt phẳng   qua M song song với AB và AD . Thiết diện của   với tứ diện ABCD là hình gì? A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình ngũ giác.
Câu 37. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm thuộc đoạn SB . Mặt
phẳng  ADM  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.
Câu 38. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy, ABCD
là hình vuông cạnh a 2 , SA  2a . Gọi M là trung điểm cạnh SC ,   là mặt phẳng đi qua A ,
M và song song với đường thẳng BD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng   . 2 4a 2 4a 2 2 2a 2 A. 2 a 2 . B. . C. . D. . 3 3 3
Câu 39. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho tứ diện ABCD có AB a , CD b. Gọi I , J lần
lượt là trung điểm AB và CD ,
giả sử AB CD . Mặt phẳng   qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD . Tính diện 1
tích thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng   biết IM IJ . 3 ab 2ab A. ab . B. . C. 2ab . D. . 9 9
Câu 40. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD , AB CD  6 . M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC  .
x BC 0  x  
1 . mp  P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại
M , N , P, Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu ? A. 8 . B. 9 .
C. 11. D. 10 .
Câu 41. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABC . D A BCD   , gọi
M là trung điểm CD ,  P là mặt phẳng đi qua M và song song với B D
 và CD . Thiết diện của
hình hộp cắt bởi mặt phẳng  P là hình gì? A. Ngũ giác. B. Tứ giác. C. Tam giác. D. Lục giác.
Câu 42. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB  6 , CD  8 . Cắt tứ diện bởi một
mặt phẳng song song với AB , CD để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 31 18 24 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 43. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD , BC MA NC 1
theo thứ tự lấy các điểm M , N sao cho  
. Gọi  P là mặt phẳng chứa đường thẳng AD CB 3
MN và song song với CD . Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng  P là: A. một tam giác.
B. một hình bình hành.
C. một hình thang với đáy lớn gấp 2 lần đáy nhỏ
D. một hình thang với đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 44. Cho tứ diện ABCD . Điểm G là trọng tâm tam giác BCD . Mặt phẳng ( ) qua G, ( ) song song
với AB và CD . ( ) cắt trung tuyến AM của tam giác ACD tại K. Chọn khẳng định đúng? 2
A. ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một hình tam giác. B. AK AM . 3 1 C. AK AM .
D. Giao tuyến của ( ) và (CBD) cắt CD . 3
Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng  P qua BD và song song
với SA . Khi đó mặt phẳng  P cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một hình A. Hình thang. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.
Câu 46. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình hộp ABCD.AB CD
  . Gọi I là trung điểm
AB . Mặt phẳng  IB D
  cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình chữ nhật. D. Tam giác
Câu 47. Cho hìnhchóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm thuộc đoạn SB ( M khác
S và B ). Mặtphẳng  ADM  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là A. Hình bình hành. B. Tam giác. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.  
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thỏa mãn MA  3MB . Mặt
phẳng P qua M và song song với hai đường thẳng SC, BD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.P không cắt hình chóp.
B.P cắt hình chóp theo thiết diện là một tứ giác.
C.P cắt hình chóp theo thiết diện là một tam giác.
D.P cắt hình chóp theo thiết diện là một ngũ giác.
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , M là trung điểm SA .Gọi  
là mặt phẳng đi qua M , song song với SC và AD . Thiết diện của   với hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình thang. B. Hình thang cân. C. Hình chữ nhật. D. Hình bình hành.
Câu 50. (THUẬN THÀNH SỐ 2 LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang  AB / /CD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh A ,
D BC và G là trọng tâm tam
giác SAB . Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  IJG là hình bình hành. Hỏi khẳng
định nào sao đây đúng? 1 3 2
A. AB  3CD . B. AB CD . C. AB CD . D. AB CD . 3 2 3
Câu 51. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng
6a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của C ,
A CB; P là điểm trên cạnh BD sao cho BP  2PD .
Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là: 2 5a 457 2 5a 457 2 5a 51 2 5a 51 A. . B. . C. . D. . 2 12 2 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 52. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang  AB // CD , cạnh AB  3a , AD CD a
. Tam giác SAB cân tại S, SA  2a . Mặt phẳng  P song song với ,
SA AB cắt các cạnh
AD, BC, SC, SD theo thứ tự tại M , N , P, Q . Đặt AM x 0  x a . Gọi x là giá trị để tứ giác
MNPQ ngoại tiếp được đường tròn, bán kính đường tròn đó là a 7 a 7 3a A. . B. . C. . D. a . 4 6 4
Câu 53. (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng
a , I là trung điểm của AC , J là một điểm trên cạnh AD sao cho AJ  2JD .  P là mặt phẳng
chứa IJ và song song với AB . Tính diện tích thiết diện khi cắt tứ diện bởi mặt phẳng  P . 2 3a 51 2 3a 31 2 a 31 2 5a 51 A. . B. . C. . D. . 144 144 144 144
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn B Câu 2. Chọn B
Mệnh đề B sai vì b và d có thể chéo nhau. Câu 3. (1). Sai. (2). Đúng. (3). Đúng. (4). Đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng. Câu 4.
Giả sử   song song với   . Một đường thẳng a song song với   có thể nằm trên   . Câu 5.
Vì B. … hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau.
C. … ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.
D. … ai đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau, hoặc trùng nhau. S N M Q P D A B C Câu 6.
Ví dụ SAD chứa MN; PQ cùng song song với  ABCD nhưng SAD cắt  ABCD . Câu 7.
Lý thuyết : Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng có thể chéo nhau, song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Câu 8.
Chọn a      Câu 9. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Câu 10. Chọn D a c b (Q) (P)
Vì c song song với giao tuyến của  P và Q nên c   P và c  Q .
Khi đó,  P là mặt phẳng chứa a và song song với c, mà a và c chéo nhau nên chỉ có một mặt phẳng như vậy.
Tương tự cũng chỉ có một mặt phẳng Q chứa b và song song với c .
Vậy có nhiều nhất một mặt phẳng  P và một mặt phẳng Q thỏa yêu cầu bài toán.
DẠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG S P Q B A D C Câu 11. Chọn C. PQ / / AB  
AB   ABCD  PQ / /  ABCD . PQ   ABCD 
Câu 12. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 MG 1 1 G BM ;  1   MB 3
Gọi M là trung điểm CD   MG 1 2 G   AM ;  2   MA 3 1 MG MG
Xét tam giác ABM , ta có 1 2  
G G // AB (định lí Thales đảo) 1 2 3 MB MA G G MG 1 1 1 2 1     G G AB . 1 2 AB MB 3 3
Câu 13. Chọn D
Gọi M là trung điểm của CD . G G // AB 1 2 MG MG 1  Xét ABM ta có: 1 2     1  D sai. MB MA 3 G G   AB 1 2  3
Vì G G // AB G G // ABD A đúng. 1 2 1 2  
Vì G G // AB G G // ABC C đúng. 1 2 1 2  
Ba đường BG , AG ,CD , đồng quy tại M B đúng. 1 2
Câu 14. Chọn C Vì MN   D
ABC  nên MN không song song với mặt phẳng  D
ABC   câu C sai.
Câu 15. Chọn A.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 J D M C O1 A B O2 F E
Gọi J là giao điểm của AM và BC .
Ta có: MO / / AD / / BC MO / /CJ . 1 1
Mà O là trung điểm của AC nên M là trung điểm của AJ . 1
Do đó MO / / EJ . 2
Từ đó suy ra MO / / BEC (vì dễ nhận thấy MO không nằm trên  BEC  ). 2   2
Vậy MO không cắt  BEC  . 2
Câu 16. Chọn D S M N A D E F B C
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Do M ; N là trọng tâm tam giác SAB; SCD nên S, M , E thẳng hàng; S, N , F thẳng hàng. SM 2 SN Xét SEF có:  
nên theo định lý Ta – let  MN / /EF . SE 3 SF
Mà EF   ABCD nên MN / /  ABCD .
Câu 17. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi N , P lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AD . SI SJ 2 Xét SNP có    IJ // NP . SN SP 3
Xét ABD có M là đường trung bình trong tam giác  NP // BD .
Suy ra IJ // BD . IJ  (SBD) 
Ta có (IJ // BD
IJ // (SBD) . (BD  (SBD) 
Câu 18. Chọn A S M D A O B C
Ta có: M là trung điểm SA ; O là trung điểm AC OM là đường trung bình SAC .
OM //SC SC  SCD; OM   D
SC   OM //  D SC  .
Câu 19. Chọn C SE SF 2 Vì  
nên đường thẳng EF // AC . Mà EF   BEF  , AC   BEF  nên AC song SA SC 3
song với mặt phẳng  BEF  .
Câu 20. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Gọi E là trung điểm AD C M D B P G N A Câu 21.
Gọi P là trung điểm AD BM BG 3 Ta có:  
MG//CP  MG//  ACD. BC BP 2 Câu 22.
Ta có MN / / CD  MN / / AB  MN / / SAB
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 23. BM BG 2
Gọi I là trung điểm của AD . Xét tam giác BCI có   BC BI 3
MG / /CI , CI   ACD, MG   ACD
MG / /  ACD . A C B G N C' A' M B' Câu 24.
- Gọi G là giao điểm của AC và AC G là trung điểm của AC MG là đường trung bình
của tam giác ACB  CB / /MG CB / /  AC M   .
Câu 25. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M A D O B C OC OB BC 1 DO 2 DM 2
AD // BC; AC BD O       . Mặt khác:  OA OD AD 2 DB 3 DS 3 DO DM   DB DS  OM // SB
Mà SB  SBC , OM  SBC  .
Nên OM // SBC  .
Câu 26. Chọn B
Sử dụng định lí Ta-lét thuận
Vì AD//AD nên tồn tại  P là mặt phẳng qua AD và song song với mp  A DCB
Q là mặt phẳng qua M và song song với mp  A DCB
Giả sử Q cắt DB tại N AM DN
Theo định lí Ta-lét ta có:  (*) ADDB
Mà các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD  DB a 2
Từ * ta có AM DN   DN   DN N   N MN  (Q)
Q //  A DC
B suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định  A DC
B hay  A BC
Sử dụng định lí Ta-lét đảo
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AM MDAD Từ giả thiết ta có:   DN NB DB
Suy ra AD , MN và D B
 luôn song song với một mặt phẳng (định lí Ta-lét đảo).
Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng  P , mà  P song song với AD và D B
Mặt phẳng này chính là mp  A DC
B hay  A BCB C A D N P' P Câu 27. M Q' B' C' Q A' D'
Gọi độ dài cạnh bên của hình hộp là a .
Giao tuyến của mặt phẳng  MNP với CDD 'C ' là đường thẳng đi qua P và song song với
MN (do MN / / CDD 'C ' )
Gọi P ' là trung điểm BB ' và Q ' AA' : MN / /P 'Q ' . Khi đó tứ giác MNP 'Q ' là hình bình hành 2 1 1 1 1 và NP '  a a a MQ ' 
a Q ' A'  MA' MQ '  a . 3 2 6 6 6 A'Q ' D 'Q 1 Vậy   . AA' DD ' 6
Câu 28. Chọn D D C O A B O1 F E
Xét tam giác ACE có ,
O O lần lượt là trung điểm của AC , AE . 1
Suy ra OO là đường trung bình trong tam giác ACE OO // EC . 1 1
Tương tự, OO là đường trung bình của tam giác BFD nên OO // FD . 1 1
Vậy OO //  BEC  , OO //  AFD và OO //  EFC  . Chú ý rằng:  EFC    EFM  . 1 1 1
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN S I A B O D C Câu 29.
A đúng vì IO // SA IO // SAD .
C đúng vì IO // SA IO // SAB .
D đúng vì  I D
B   SAC   IO .
B sai vì mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tam giác IBD . S R P Q D A N I C K B M Câu 30.
Trong  ABCD , kẻ đường thẳng qua M và song song với BD cắt BC, CD, CA tại K , N, I .
Trong SCD , kẻ đường thẳng qua N và song song với SC cắt SD tại P .
Trong SCB , kẻ đường thẳng qua K và song song với SC cắt SB tại Q .
Trong SAC  , kẻ đường thẳng qua I và song song với SC cắt SA tại R .
Thiết diện là ngũ giác KNPRQ .
Câu 31. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A M D B P N C   //AB   Ta có
      ABC   MN với MN //AB và N BC .
AB   ABC    //AD   Ta có
      ADC   MP với MP//AD và P CD .
AD   ADC 
   BCD  NP .
Do đó thiết diện của   với tứ diện ABCD là hình tam giác MNP .
Câu 32. Chọn D
Trong tam giác SAC có O là trung điểm AC , I là trung điểm SC nên IO / / SA
IO song song với hai mặt phẳng SAB và SAD.
Mặt phẳng  IBD cắt SAC  theo giao tuyến I . O
Mặt phẳng  IBD cắt SBC  theo giao tuyến BI , cắt SCD theo giao tuyến ID , cắt  ABCD
theo giao tuyến BD  thiết diện tạo bởi mặt phẳng  IBD và hình chóp S.ABCD là tam giác IB . D Vậy đáp án D sai.
Câu 33. Chọn C S I A B O D C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mặt phẳng SAC  có I,O lần lượt là trung điểm của SC, SA nên IO // S . A IO //  SAB Suy ra  . IO //  SAD 
Hai mặt phẳng SAC  và  IBD có hai điểm chung là O, I nên giao tuyến của hai mặt phẳng là I . O
Thiết diện của mặt phẳng  IBD cắt hình chóp S.ABCD chính là tam giác IB . D
Câu 34.
B. Tam giác MNI.
C. Hình bình hành MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
D. Hình Thang MNIK với K là một điểm trên cạnh AD mà IK//AB Chọn D Hình vẽ: S M N A B K I D C
Ta xét ba mặt phẳng (MNI), (SAB), (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến song song.
MNI   SAB  MN
SAB  ABCD  AB 1 mµ MN//= AB 2
 MNI   ABCD theo giao tuyến là một đường thẳng đi qua I và song song với AB, sẽ cắt AD
tại một điểm K: IK//=AB
Vậy thiết diện cần tìm là: Hình thanh MNIK với K là điểm trên cạnh AD mà IK//AB.
Câu 35. Chọn D
P là mặt phẳng qua H , song song với CD và SB nên  P cắt  ABCD theo giao tuyến qua
H song song CD cắt BC, AD lần lượt tại F , E ;  P cắt SBC  theo giao tuyến FI // SB (
I SC );  P cắt SCD theo giao tuyến JI // CD ( J SD ).
Khi đó thiết diện tạo bởi  P và hình chóp S.ABCD là hình thang vì JI // FE , FI // SB , JE // SA
nên FI không song song với JE .
Câu 36. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A M B D N P C
  và  ABC  có M chung,
  song song với AB , AB   ABC .
     ABC   M ,
x Mx / / AB và Mx BC N .
  và  ACD có M chung,
  song song với AD , AD   ACD
     ACD  My, My / / AD và My CD P .
Ta có     ABC   MN .
    ACD  MP .
  BCD  NP .
Thiết diện của   với tứ diện ABCD là tam giác MNP .
Câu 37. Chọn A S M G A B D C
Do BC // AD nên mặt phẳng  ADM  và SBC có giao tuyến là đường thẳng MG song song với BC
Thiết diện là hình thang AMGD .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M F E I A D O B C Câu 38.
Gọi O AC BD , I SO AM . Trong mặt phẳng SBD qua I kẻ EF / /BD , khi đó ta có
AEMF     là mặt phẳng chứa AM và song song với BD . Do đó thiết diện của hình chóp bị
cắt bởi mặt phẳng   là tứ giác AEMF . FE // BD Ta có: 
FE  SAC   FE AM .
BD  SAC   Mặt khác ta có:
* AC  2a SA nên tam giác SAC vuông cân tại A , suy ra AM a 2 . 2 4a
* I là trọng tâm tam giác SAC , mà EF // BD nên tính được EF BD  . 3 3 2 1 2a 2
Tứ giác AEMF có hai đường chéo FE AM nên SFE.AM  . AEMF 2 3 A a G P I F N M L B D H Q E J d C Câu 39.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     // CD  
Ta có CD   ICD
 giao tuyến của   với  ICD là đường thẳng qua M và M    ICD 
song song với CD cắt IC tại L và ID tại N .     // AB  
AB   JA B
 giao tuyến của   với  JA
B là đường thẳng qua M và song song M     JA   B
với AB cắt JA tại P và JB tại Q .     // AB  
Ta có AB   ABC  EF// AB (1) L    ABC      // AB  
Tương tự AB   ABD  H // G AB (2). N     ABD 
Từ (1) và (2)  EF// // HG AB (3)     // CD  
Ta có CD   ACD  // FG CD (4) P    ACD      // CD  
Tương tự CD   BCD
EH // CD (5) Q    BCD 
Từ (4) và (5)  F //
G EH // CD (6).
Từ (3) và (6), suy ra EFGH là hình bình hành. Mà AB CD nên EFGH là hình chữ nhật. LN IN
Xét tam giác ICD có: LN // CD   . CD ID IN IM
Xét tam giác ICD có: MN // JD   . ID IJ LN IM 1 1 b Do đó    LN CD  . CD IJ 3 3 3 PQ JM 2 2 2a Tương tự    PQ AB  . AB JI 3 3 3 2ab Vậy SP . Q LN  . EFGH 9
Câu 40. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A P Q B D N M C
MQ//NP//AB
Xét tứ giác MNPQ có 
MN //PQ//CD
MNPQ là hình bình hành.
Mặt khác, AB CD MQ MN .
Do đó, MNPQ là hình chữ nhật. MQ CM
Vì MQ//AB nên 
x MQ  . x AB  6x . AB CB
Theo giả thiết MC  .
x BC BM  1 xBC . MN BM
Vì MN //CD nên 
 1 x MN  1 x.CD  61 x . CD BC
Diên tích hình chữ nhật MNPQ là 2
x 1 x SMN.MQ  6  x x xx   . MNPQ 1 .6 36. .1  36 9    2  1 Ta có S
 9 khi x  1 x x MNPQ 2
Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC . F B N C M A D I K B' P C' A' Q D' E Câu 41.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  3 
* Gọi I là điểm thuộc AB sao cho AI
AB , gọi K là trung điểm của DD . Ta có: 2 MI //DB 
  P  MIK MK //CD 
* Gọi E MK C D
 , F MK CC .
* Gọi P IE B C  ,
Q IE AD , N PF BC .
* Thiết diện của hình hộp ABC . D A BCD
  cắt bởi mặt phẳng  P là ngũ giác MNPQK .
Câu 42. Giả sử một mặt phẳng song song với AB và CD cắt tứ diện ABCD theo một thiết diện là hình
MK // AB // IN
thoi MNIK như hình vẽ trên. Khi đó ta có: MN // CD // IK . MK KICách 1: MK CKMK AC AK     AB AC   6 AC
Theo định lí Ta – lét ta có:    KI AKKI AK     CD AC   8 AC MK AK MK KI MK MK 7 24   1   1   1 
MK  1  MK  . 6 AC 6 8 6 8 24 7 24
Vậy hình thoi có cạnh bằng . 7 Cách 2: MK CK    AB AC MK MK CK AK
Theo định lí Ta-lét ta có:      KI AKAB CD AC AC   CD AC MK MK AK KC 7MK AC 24       1  MK  . 6 8 AC 24 AC 7 A M P B Q D N C Câu 43.
Trong mặt phẳng  ACD ,từ M kẻ MP // CD P AC  .
Trong mặt phẳng  BCD ,từ M kẻ NQ // CD Q BD .
Khi đó ta có MPNQ là thiết diện của mặt phẳng  P và tứ diện ABCD . MP // CDNQ // CD   Ta có  1 (1);  2 (2). MP CDNQ CD   3  3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 NQ // MP  Từ (1) và (2) ta có  1 . MP NQ   2
Vậy MPNQ là hình thang có đáy lớn bằng hai lần đáy nhỏ. Câu 44. Chọn B
Xác định thiết diện:
( ) qua G, song song với CD  
( )  ( BCD)  HI (giao tuyến đi qua G và song song CD, H B , C I CD )
Tương tự ta được ( )  (ABD)  IJ(JI / / A ) B
( )  (ACD)  JN(JN / /CD)
( )  (ABC)  HN
Vậy ( ) là (HNJI) BG BI 2
Vì G là trọng tâm tam giác BCD mà IG / /CD nên   BM BC 3 BI AJ 2
Mặt khác IJ song song AB nên   BC AD 3 AK AJ 2 2
Lại có JK song song DM (vì K AM, M CD ) nên   . Vậy AK AM AM AD 3 3
Câu 45. Chọn D S I A D O B C
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD  I là trung điểm của AC và BD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   P   //SA
  P SAC   OI BD   P
Khi đó OI / /SA và I là trung điểm của SC
P SBC  BI và P SCD  ID
Vậy thiết diện là tam giác BDI
Câu 46. Chọn B Ta có  IB D
  và ABCD có I là một điểm chung. B D
    IBD 
BD   ABCD   IBD   ABCD  IJ //BD J AD  B D  //BD
Thiết diện là hình thang IJD B   . Câu 47. Lờigiải Chọn D
Ta có M là một điểm thuộc đoạn SB với M khác S và B .
M   ADM   SBC  
AD   ADM  Suy ra 
  ADM   SBC   Mx // BC // AD . BC   SBC  AD // BC
Gọi N Mx SC thì  ADM  cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AMND . Vì MN // AD
và MN với AD không bằng nhau nên tứ giác AMND là hình thang.
Câu 48. Chọn D S G H F D A P B C N M
+ Mặt phẳng P qua M và song song với hai đường thẳng SC, BD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  
P  ABCD  Mx / /B ,
D Mx BC N, Mx CD  . P
PSBC Ny / /SC, Ny SB F.
PSCD Pt / /SC, Pt SD H. Trong SA
B : MF SA G . +  
P ABCD  N . P   P SC D PH.
PSA D H . G   P SA B GF.
PSBC FN.
Vậy P cắt hình chóp theo thiết diện là ngũ giác NPHGF.
Câu 49. Chọn A S N M D A Q O P B CM  
   SAD 
    SAD  MN //AD N SD   1 .
  //AD; AD   SAD  N  
   SCD 
    SCD  NP//SC P CD .
  //SC; SC   SCD  P  
    ABCD 
     ABCD  PQ//AD Q AB 2 .   // ; AD AD    ABCD 
   SAB  MQ Từ  
1 2 suy ra MN //PQ//AD  thiết diện MNPQ là hình thang.
Câu 50. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S E F G A B I J D C AB CD
Từ giả thiết suy ra IJ // AB // CD , IJ  . 2
Xét 2 mặt phẳng (IJG), (SAB) có G là điểm chung ⇒ giao tuyến của chúng là đường thẳng EF
đi qua G , EF // AB // CD // IJ với E SA , F SB .
Nối các đoạn thẳng EI , FJ ta được thiết diện là tứ giác EFJI , là hình thang vì EF // IJ . 2
Vì G là trọng tâm của tam giác SAB và EF // AB nên theo định lí Ta – lét ta có: EF AB 3 AB CD 2AB
Nên để thiết diện là hình bình hành ta cần: EF IJ    AB  3CD 2 3
Câu 51. Chọn B A K Q M B P D N C
Ta có AB / /MN ( Vì MN là đường trung bình của ABC ),
AB  MNP, MN  MNP  AB / / MNP.
Lại có AB   ABD , do đó MNP   ABD  PQ Q AD sao cho: PQ / / AB / /MN
MNP  ABC  MN,MNP  BCD  NP,MNP  ACD  MQ .
Vậy thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là hình thang MNPQ ( vì MN / /PQ )
Mặt khác các tam giác ACD, BCD đều và bằng nhau nên MQ NP MNPQ là hình thang cân.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 PQ 2 KP 2 MN
AB  3a; PQ AB  2 . a Ta có  , PQ / /MN  
mà N là trung điểm 2 3 MN 3 KN 3
của CB P là trọng tâm tam giác BCK D là trung điểm của CK CK  12 . a 1 a 117 2 2 NP
CK CN  2CK.CN.cos 60  . 3 3 2
MN PQ a 457
Chiều cao của hình thang MNPQ là 2 h NP   .    2  6 2 MN PQ 5a 457 S  .h  . TD 2 12
Câu 52. Chọn B
P // SA MQ // SA ; P // AB MN // AB ;
P // AB  P // CD PQ // CD PQ // MN
Tứ giác MNPQ là hình thang. PN CNP // S ;
A P // AB   P // SAB  PN // SB   . SB CB MQ DM MQ // SA   . SA DA DM CN PN QM MN // AB    
PN QM MNPQ là hình thang cân. DA CB SB SA MQ DM a x MQ // SA   
MQ  2 a xSA DA a PQ SQ AM x PQ // CD      PQ x CD SD AD a ME DM a x EN BN AM x
Gọi E MN BD   
ME  3a x ;     EN x AB DA a CD BC AB a
MN ME EN  3a  2x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Hình thang cân MNPQ có đường tròn nội tiếp  MN PQ MQ NP (Tính chất tiếp tuyến) a
 3a  2x x  4 a x  x  3 7a a 4a 1 1 MN  ; PQ  ;QM   MF MN PQ a 3 3 3 2 2 2 16a a 7 2 2 2  QF MQ MF   a  9 3 1 a 7
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình thang MNPQ là R QF  2 6
Câu 53. Chọn C A E I J B K J L K C E D L I
Gọi K   P  BD , L   P  BC , E   P  CD .
Vì  P / / AB nên IL / / AB , JK / / AB . Do đó thiết diện là hình thang IJKL và L là trung điểm KD JD 1
cạnh BC , nên ta có   . KB JA 2
Xét tam giác ACD có I , J , E thẳng hàng. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt ta có: ED IC JA ED 1 . .  1  
D là trung điểm EC . EC IA JD EC 2
Dễ thấy hai tam giác ECI và ECL bằng nhau theo trường hợp c-g-c.
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ICE ta có: 2 13a a 13 2 2 2
EI EC IC  2EC.IC.cos 60 
EL EI  . 4 2 2 51
Áp dụng công thức Hê-rông cho tam giác ELI ta có: Sp p x p y a ELI     2 16
EI EL IL 2 13 1 13 a Với p  
a , x EI EL
a , y IL  . 2 4 2 2 2
Hai tam giác ELI và tam giác EKJ đồng dạng với nhau theo tỉ số k  nên 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2  2  5 51 Do đó: 2 SSSSSa . IJKL ELI EKJ ELI    3 ELI  144
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1H2-4 MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 3
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................... 5
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ................................................................................................................................ 7
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 7
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .................................................................................................................. 9
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ............................................................................................................................. 15 PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
(DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
( ) đều song song với mặt phẳng ( ) .
B. Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( ) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đều song song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) .
C. Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt mặt phẳng
( ) và ( ) thì ( ) và ( ) song song với nhau.
D. Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song
song với mặt phẳng cho trước đó. Câu 2.
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
A. Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng  . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a chứa M
và song song với  .
B. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng   chứa a và song song với . b
C. Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng  . Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng   chứa điểm
M và song song với  .
D. Cho đường thẳng a và mặt phẳng   song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt
phẳng   chứa a và song song với  . Câu 3.
Cho hai mặt phẳng P và Q song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Đường thẳng d  P và d  Q thì d//d .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A P và song song với Q đều nằm trong P .
C. Nếu đường thẳng  cắt P thì  cũng cắt Q .
D. Nếu đường thẳng a  Q thì / a / P . Câu 4.
Cho hai mặt phẳng phân biệt  P và Q ; đường thẳng a   P;b  Q . Tìm khẳng định sai trong các mệnh đề sau.
A. Nếu  P / / Q thì a / /b .
B. Nếu  P / / Q thì b / /  P .
C. Nếu  P / / Q thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
D. Nếu  P / / Q thì a / / QCâu 5.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng khác thì chúng song song với nhau.
B. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó đồng quy.
C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong  P .
D. Cho hai đường thẳng a , b nằm trong mặt phẳng  P và hai đường thẳng a , b nằm trong mặt
phẳng Q . Khi đó, nếu a // a ; b // b thì  P // Q . Câu 6.
Trong không gian, cho đường thẳng a và hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu (P) và (Q) cùng cắt a thì (P) song song với (Q).
B. Nếu (P) và (Q) cùng song song với a thì (P) song song với (Q).
C. Nếu (P) song song với (Q ) và a nằm trong mp (P) thì a song song với (Q).
D. Nếu (P) song song với (Q ) và a cắt (P) thì a song song với (Q). Câu 7.
(HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A. Vô số. B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 8.
(THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình lăng trụ AB .
CD A' B 'C ' D ' . Tìm mệnh
đề sai trong các mệnh đề sau
A. mp AA' B ' B song song với mpCC ' D' D .
B. Diện tích hai mặt bên bất ki bằng nhau.
C. AA ' song song với CC ' .
D. Hai mặt phẳng đáy song song với nhau. Câu 9.
(THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
- Nếu a mp P và mp P // mp Q thì a // mp Q .  I
- Nếu a mp P , b mp Q và mp P // mp Q thì a // b .  II
- Nếu a // mp P , a // mp Q và mp P  mp Q  c thì c // a .  III
A. Chỉ  I  .
B.I  và  III  .
C.I  và  II  .
D. Cả  I  ,  II  và  III  .
Câu 10. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.
D. Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau.
Câu 11. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Trong không gian cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với
nhau. Khẳng định nào sau đây sai?
A. d  (P) và d '  (Q) thì d // d’.
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A  (P) và song song với (Q) đều nằm trong (Q).
C. Nếu đường thẳng a nằm trong (Q) thì a // (P).
D. Nếu đường thẳng  cắt (P) thì  cắt (Q).
Câu 12. (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đường thẳng a    và đường
thẳng b     . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.   / /     a / /    và b / /  .
B. a / /b    / /  .
C. a và b chéo nhau.
D.   / /     a / / . b
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 13. (Sở GD và ĐT Cần Thơ - 2017-2018) Cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.ACD //  A CB
  . B.ABB A   // CDD C   .
C.BDA //  D BC
  . D.BA D
  //  ADC .
Câu 14. Cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Mặt phẳng  AB D
  song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
A.BCA . B.BC D   . C.A CC
  . D.BDA .
Câu 15. (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Cho hình hộp ABC . D AB CD
  . Mặt phẳng  AB D   song
song với mặt phẳng nào sau đây?
A.BAC . B.C BD   .
C.BDA .
D.ACD .
Câu 16. Cho hình hộp ABCD. 
A BCD có các cạnh bên AA ,
BB ,CC , D
D . Khẳng định nào sai?
A. BBDC là một tứ giác đều. B.B
A D và  ADC cắt nhau. C.
A BCD là hình bình hành. D.A
A BB //  D
D CC  .
Câu 17. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình lăng trụ
ABC .AB C
  . Gọi I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC  , AB C   . Mặt phẳng nào
sau đây song song với  IJK  ? A.BC A   . B.AA B   . C.BB C   . D.CC A   .
Câu 18. (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SD và AB .
Khẳng định nào sau đây đúng?
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A.NMP // SBD .
B.NOM  cắt OPM  .
C.MON  //  SBC  .
D.PON    MNP  NP .
Câu 19. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình
hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung điểm ,
SA SD . Mặt phẳng OMN  song song với mặt phẳng nào sau đây? A.SBC  . B.SCD .
C.ABCD . D.SAB .
Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  . Gọi H là trung điểm của AB . Mặt phẳng  AHC song song với
đường thẳng nào sau đây?
A. BA.
B. BB. C. BC .
D. CB.
Câu 21. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình bình hành ABCD . Qua A , B , C , D lần lượt vẽ các
nửa đường thẳng Ax , By , Cz , Dt ở cùng phía so với mặt phẳng  ABCD , song song với nhau
và không nằm trong  ABCD . Một mặt phẳng  P cắt Ax , By , Cz , Dt tương ứng tại A , B ,
C , D sao cho AA  3 , BB  5 , CC  4 . Tính DD . A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 12 .
Câu 22. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình thang đáy AD và BC . Gọi M là trọng tâm tam giác SAD , N là điểm thuộc đoạn AC sao NC PC cho NA
, P là điểm thuộc đoạn CD sao cho PD
. Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng? 2 2
A. Giao tuyến của hai mặt phẳng SBC  và MNP là một đường thẳng song song với BC .
B. MN cắt SBC  .
C.MNP // SAD .
D. MN // SBC  và MNP // SBC
Câu 23. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có tâm lần
lượt là O và O , không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M là trung điểm AB , xét các khẳng định
I  : ADF  //  BCE  ; II  :MOO //  ADF  ; III  :MOO // BCE  ; IV  : ACE  //  BDF  .
Những khẳng định nào đúng?
A.I  .
B.I ,II .
C.I ,II ,III  .
D.I ,II ,III ,IV  .
Câu 24. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm
di động trên đoạn AB . Qua M vẽ mặt phẳng   song song với SBC  . Gọi N , P , Q lần lượt
là giao của mặt phẳng   với các đường thẳng CD , SD , SA . Tập hợp các giao điểm I của hai
đường thẳng MQ và NP là
A. Đoạn thẳng song song với AB .
B. Tập hợp rỗng.
C. Đường thẳng song song với AB .
D. Nửa đường thẳng.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AB // CD và AB  2CD . Gọi O là giao điểm của SE SF 2
AC và BD . Lấy E thuộc cạnh SA , F thuộc cạnh SC sao cho   (tham khảo hình vẽ SA SC 3 dưới đây).
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi   là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng  BEF  . Gọi P là giao điểm của SD với   . SP Tính tỉ số . SD SP 3 SP 7 SP 7 SP 6 A.  . B.  . C.  . D.  . SD 7 SD 3 SD 6 SD 7
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Câu 26. Cho hình lập phương AB . CD AB CD
  . Mặt phẳng  P chứa BD và song song với mặt phẳng  AB D
  cắt hình lập phương theo thiết diện là.
A. Một tam giác đều.
B. Một tam giác thường.
C. Một hình chữ nhật.
D. Một hình bình hành.
Câu 27. Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  cạnh a . Mặt phẳng   qua AC và song song với BB .
Tính chu vi thiết diện của hình lập phương ABC . D AB CD
  khi cắt bởi mặt phẳng   .
A. 2 1 2  a . B. 3 a . C. 2 a 2 .
D. 1 2  a
Câu 28. (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều SABC . Gọi I là trung điểm của
đoạn AB , M là điểm di động trên đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng   song song với SIC  .
Thiết diện tạo bởi   với tứ diện SABC là. A. hình bình hành.
B. tam giác cân tại M . C. tam giác đều. D. hình thoi.
Câu 29. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm
di động trên đoạn A .
B Qua M vẽ mặt phẳng   song song với SBC  . Thiết diện tạo bởi  
và hình chóp S.ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác.
B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình vuông.
Câu 30. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB , M là điểm di động trên
đoạn AI . Qua M vẽ mặt phẳng   song song với SIC . Tính chu vi của thiết diện tạo bởi  
với tứ diện SABC , biết AM x .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. 2x 1 3.
B. 3x 1 3 .
C. Không tính được.
D. x 1 3 . AB 1
Câu 31. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.AB C
  có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A và có  AB 2 S
. Khi đó tỉ số diện tích ABC  bằng S ABC   1 1 A. 4 . B. . C. . D. 2 . 2 4 
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB AC  4, BAC  30 . Mặt phẳng
P song song với  ABC cắt đoạn SA tại M sao cho SM  2MA. Diện tích thiết diện của  P
và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu? 14 25 16 A. 1. B. . C. . D. . 9 9 9
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M , N lần lượt là trung điểm của A ,
B CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi   đi qua MN và song song với mặt phẳng
SAD .Thiết diện là hình gì? A. Hình thang
B. Hình bình hành C. Tứ giác D. Tam giác
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC a, BD b . Tam giác
SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng   di động song song với mặt phẳng SBD và đi qua điểm
I trên đoạn AC và AI x 0  x a . Thiết diện của hình chóp cắt bởi   là hình gì?
A. Hình bình hành B. Tam giác C. Tứ giác D. Hình thanG
Câu 35. Cho hình hộp ABC . D
A BCD . Gọi M là trung điểm của AB . Mặt phẳng  
MA C cắt hình hộp ABCD. 
A BCD theo thiết diện là hình gì? A. Hình thang.
B. Hình ngũ giác.
C. Hình lục giác.
D. Hình tam giác.
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC  2 , hai đáy AB  6 ,
CD  4 . Mặt phẳng P song song với  ABCD và cắt cạnh SA tại M sao cho SA  3SM . Diện
tích thiết diện của  P và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu? 5 3 2 3 7 3 A. . B. . C. 2 . D. . 9 3 9
Câu 37. Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a . Xét tứ diện AB 'CD ' . Cắt tứ diện đó bằng mặt
phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng  ABC  . Tính diện tích của thiết diện thu được.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 a 2 2a 2 a 2 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4
Câu 38. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
mặt bên SAB là tam giác vuông tại A , SA a 3 , SB  2a . Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho
AM  2MD . Gọi  P là mặt phẳng qua M và song song với SAB . Tính diện tích thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P . 2 5a 3 2 5a 3 2 4a 3 2 4a 3 A. . B. . C. . D. . 18 6 9 3
Câu 39. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCDA' B'C ' D ' có AB  , a BC  ,
b CC '  c . Gọi ,
O O' lần lượt là tâm của ABCD và A' B'C ' D ' . Gọi   là mặt phẳng
đi qua O' và song song với hai đường thẳng A' D và D 'O . Dựng thiết diện của hình hộp chữ nhật
ABCDA' B'C ' D ' khi cắt bởi mặt phẳng   . Tìm điều kiện của , a ,
b c sao cho thiết diện là hình thoi có một góc bằng 0 60 . 1 1 1
A. a b c .
B. a b c .
C. a c b .
D. b c a . 3 3 3
Câu 40. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thang cân ( AD || BC ), BC  2a , AB AD DC a , với a  0 . Mặt bên SBC là tam giác
đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết hai đường thẳng S D và AC vuông góc nhau, M
là điểm thuộc đoạn OD ( M khác O và D ), MD x , x  0 . Mặt phẳng   qua M và song
song với hai đường thẳng SD và AC , cắt khối chóp S.ABCD theo một thiết diện. Tìm x để diện
tích thiết diện đó là lớn nhất? a 3 a 3 A. x  .
B. x a 3 . C. x  .
D. x a. 4 2
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn A Lý thuyết. Câu 2. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng  . Khi đó có vô số đường thẳng chứa M và song song với
 . Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua M và song song với  . Do đó đáp án A là sai. Câu 3. Chọn A
Nếu P và Q song song với nhau và đường thẳng d  P , d  Q thì d,d có thể chéo
nhau. Nên khẳng định A là sai. Câu 4. Chọn A
Đáp án A sai vì khi cho hai mặt phẳng phân biệt  P và Q ; đường thẳng a   P;b  Q
thì a và b có thể chéo nhau Câu 5. Chọn C
Đáp án A sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
Đáp án B sai vì ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó
hoặc đồng quy hoặc đôi một song song hoặc trùng nhau (lý thuyết).
Đáp án C đúng. Ta chọn mặt phẳng   chứa a và cắt mặt phẳng  P theo giao tuyến d thì
d   P và a // d (Hình 1).
Đáp án D sai vì ta có thể lấy hai mặt phẳng  P và Q thỏa a , b nằm trong mặt phẳng  P ; a
, b nằm trong mặt phẳng Q với a // b // a // b mà hai mặt phẳng  P và Q cắt nhau (Hình 2). Câu 6.
Chọn C. Câu 7. Chọn A a c b
Gọi hai đường thẳng chéo nhau là a và b , c là đường thẳng song song với a và cắt b .
Gọi mặt phẳng    b, c  . Do a//c a//  
Giải sử mặt phẳng    //   mà b     b//  
Mặt khác a//    a//   . Có vô số mặt phẳng    //  
nên có vô số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau. Câu 8. Chọn B
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C D B A C' D' A' B' Câu 9. Câu hỏi lý thuyết.
Câu 10. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau có thể trùng nhau.
Câu 11. Đáp án A sai vì d và d’ có thể chéo nhau.
Câu 12. Chọn A
- Do   / /   và a    nên a / /   .
- Tương tự, do   / /   và b     nên b / /  .
DẠNG 2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 13. Chọn D D' C' B' A' C D A B Ta có  BA D
    BCA D
  và  ADC    ABCD . Mà  BCA D
   ABCD  BC , suy ra  BAD //  ADCsai. Câu 14. Lời giải Chọn B Do ADC B
  là hình bình hành nên AB//DC , và ABC D
  là hình bình hành nên AD//BC nên
ABD // BC D   .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 15. Ta có B D
 //BD ; AD//C B    AB D   // C BD   .
Câu 16. Chọn A
Câu A, C đúng do tính chất của hình hộp.  B A
D    B
A DC ; ADC   ADC  B   B
A D  ADC  ON . Câu B đúng.
Do B BDC nên BBDC không phải là tứ giác.
Câu 17. Chọn C A' C' P B' K N J A C I M B AI AJ 2
Do I , J , K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC , ACC  nên   nên IJ //MN . AM AN 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
IJ //  BCC B  
Tương tự IK //  BCC B  
  IJK  //  BCC B  
Hay  IJK  //  BB C   .
Câu 18. Chọn C S M N A D P O B C
Xét hai mặt phẳng MON  và SBC  .
Ta có: OM // SC và ON // SB .
Mà BS SC C và OM ON O .
Do đó MON  // SBC  . S M N A D O B C Câu 19.
Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm AC, BD .
Do đó: MO / /SC MO / /  SBC
Và NO / /SB NO / / SBC
Suy ra: OMN  / / SBC  .
Câu 20. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A C M B A' C' H B'
Gọi M là trung điểm của AB suy ra MB  AH MB   AHC .   1
Vì MH là đường trung bình của hình bình hành ABB A
  suy ra MH song song và bằng BB nên
MH song song và bằng CC  MHC C
 là hình hình hành  MC HC  MC   AHC . 2 Từ  
1 và 2 , suy ra  B M
C    AHC  B C
   AHC . Câu 21.
Do  P cắt mặt phẳng  Ax, By theo giao tuyến AB ; cắt mặt phẳng Cz, Dt  theo giao tuyến C D
  , mà hai mặt phẳng  Ax, By và Cz, Dt  song song nên AB//C D   .
Tương tự có AD//B C
  nên AB CD
  là hình bình hành.
Gọi O , O lần lượt là tâm ABCD và AB CD
  . Dễ dàng có OO là đường trung bình của hai hình AA  CCBB  DD thang AAC C  và BB DD  nên OO   . 2 2
Từ đó ta có DD  2 .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M R D A P N B C Câu 22. NC NA   Ta có  2 
NP // AD // BC   1 . PCPD    2
M  SAD  MNP . Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và MNP là đường thẳng d
qua M song song với BC và MN .
Gọi R là giao điểm của d với SD . DR DP 1 Dễ thấy:    PR // SC 2 . DS DC 3 Từ  
1 và 2 suy ra: MNP // SBC  và MN // SBC  . F E O' M A B O D C Câu 23. AD//BC
Xét hai mặt phẳng  ADF  và  BCE  có : 
nên  I  : ADF  //  BCE  là đúng. AF //BE   AD//MO
Xét hai mặt phẳng  ADF  và MOO có : 
nên  II  :MOO //  ADF  là đúng. AF //MO 
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vì  I  : ADF  //  BCE  đúng và  II  :MOO //  ADF  đúng nên theo tính chất bắc cầu ta có
III  :MOO // BCE  đúng.
Xét mặt phẳng  ABCD có AC BD O nên hai mặt phẳng  ACE  và BDF  có điểm O
chung vì vậy không song song nên  IV  : ACE  //  BDF  sai.
Câu 24. Chọn A I T S Q P A M B O D N C
Lần lượt lấy các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN BC , NP SC ,
PQ AD . Suy ra    MNPQ và    SBC  . I , S   SCD
Vì I MQ NP  
I nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng I , S   SAB 
M B I S
SAB và SCD . Khi 
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST là hình bình hành.
M A I T
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB .
Câu 25. Chọn D SE SF 2 Vì  
nên đường thẳng EF // AC . Mà EF   BEF  , AC   BEF  nên AC song SA SC 3
song với mặt phẳng  BEF  .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vì AC qua O và song song với mặt phẳng  BEF  nên AC    .
Trong SAC  , gọi I SO EF , trong SBD , gọi N BI SD . Suy ra N là giao điểm của
đường thẳng SD với mặt phẳng  BEF  .
Hai mặt phẳng song song  BEF  và   bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là  SCD theo hai giao
tuyến lần lượt là FN và Ct nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là Ct // FN .
Trong  SCD , Ct cắt SD tại P . Khi đó P là giao điểm của SD với   . BO AB BO 2
Trong hình thang ABCD , do AB // CD và AB  2CD nên   2   . OD CD BD 3 SE SI 2 IS
Trong tam giác SAC , có EF // AC nên     2 . SA SO 3 IO NS BD IO NS BO IS 2 4
Xét tam giác SOD với cát tuyến NIB , ta có: . .  1   .  .2  . ND BO IS ND BD IO 3 3 SN 4 Suy ra:  (1). SD 7 SN SF 2 Lại có:  
(Do CP // FN ) (2). SP SC 3 SP 6 Từ (1) và (2) suy ra  . SD 7
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN
Câu 26. Chọn A
Do BC song song với AD , DC song song với AB ' nên thiết diện cần tìm là tam giác đều BDC
Câu 27. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta dễ dàng dựng được thiết diện là tứ ACC A
  . Tứ giác ACC A
  là hình chữ nhật có chiều dài là
AC a 2 và chiều rộng AA  a .
Khi đó chu vi thiết diện của hình lập phương ABC . D AB CD
  khi cắt bởi mặt phẳng   là
P  2. AC AA  21 2 a . Câu 28.
Qua M vẽ MP//IC , P AC , MN //SI , N SA . MN MP Ta có 
và SI IC nên suy ra MN MP thiết diện là tam giác cân tại M . SI IC
Câu 29. Chọn C
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S Q P A M B O D N C
Lần lượt lấy các điểm N , P , Q thuộc các cạnh CD , SD , SA thỏa MN BC , NP SC ,
PQ AD . Suy ra    MNPQ và    SBC  .
Theo cách dựng trên thì thiết diện là hình thang.
Câu 30. Chọn A S N P A C M I B AM 2x
Để ý hai tam giác MNP và SIC đồng dạng với tỉ số  AI a C 2x 2x 2x a 3 a 3  MNP    C
SI IC SC     a   x  . MNP   2    3 1 C a a a 2 2 SIC  
Câu 31. Chọn C A C B A' C' B'
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Hình chóp cụt ABC.AB C
  có hai mặt đáy là hai mặt phẳng song song nên tam giác ABC đồng 1 .A . B AC S AB AC 1 dạng tam giác A BC   suy ra ABC 2   .  . S 1
ABAC 4 A BC  
.AB .AC 2
Câu 32. Chọn D S N M A C P B 1 1
Diện tích tam giác ABC là  S  . .
AB AC.sin BAC  .4.4.sin 30  4 . ABC 2 2
Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng  P và các cạnh S , B SC . SM SN SP 2
Vì  P //  ABC  nên theoo định lí Talet, ta có    . SA SB SC 3
Khi đó  P cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác 2 2  2  16
ABC theo tỉ số k  . Vậy 2 Sk .S  .4    . 3 MNPABC  3  9
Câu 33. Chọn A S K H A B M D N CM  
SAB    Ta có 
 SAB     MK S , A K SB .
SAB  SAD    SA
N  SCD     Tương tự 
     SAD
 SCD     NH SD, H SC . 
SCDSAD   SD
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dễ thấy HK     SBC . Thiết diện là tứ giác MNHK
Ba mặt phẳng  ABCD,SBC  và   đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN, HK, BC ,
mà MN BC MN HK . Vậy thiết diện là một hình thang.
Câu 34. Chọn B S P K A M B N I H O I D L C
Trường hợp 1. Xét I thuộc đoạn OA
I      ABD  Ta có 
     SBD 
ABDSBD   BD
     ABD  MN BD, I MN .
N      SAD  Tương tự 
     SBD
 SAD     NP S , D P SN . 
SADSBD   SD
Thiết diện là tam giác MNP . 
    SBD  Do 
SAB   SBD  SB MP SB . Hai tam giác MNP và BDS có các cặp cạnh tương ứng 
SAB    MP
song song nên chúng đồng dạng, mà BDS đều nên tam giác MNP đều.
Trường hợp 2. Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp 1 ta được thiết diện là tam giác đều
HKL như hv .
Câu 35. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mặt phẳng  ABB 
A  , AM cắt BB tại I 1 Do MB//  A B ;  MB  
A B nên B là trung điểm BI và M là trung điểm của IA . 2
Gọi N là giao điểm của BC và CI . Do BN // 
B C và B là trung điểm BI nên N là trung điểm của CI . Suy ra: tam giác I
A C có MN là đường trung bình.
Ta có mặt phẳng M
A C cắt hình hộp ABC . D
A BCD theo thiết diện là tứ giác  A MNC có MN //  A C
Vậy thiết diện là hình thang  A MNC . Cách khác:
 ABCD //  
A BCD  Ta có:  
A CM    
A BCD  
A C  Mx// 
A C , M là trung điểm của AB nên Mx cắt BC  
A CM    ABCD   Mx
tại trung điểm N .Thiết diện là tứ giác 
A CNM .
Câu 36. Chọn A S O P M N D C D C A B A H K B
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D, C trên AB
AH BK; CD HK
ABCD là hình thang cân    BK  1 .
AH HK BK AB
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tam giác BCK vuông tại K , có 2 2 2 2 CK
BC BK  2 1  3 . AB CD 4  6
Suy ra diện tích hình thang ABCD là SCK.  3.  5 3 . ABCD 2 2 Gọi N, ,
P Q lần lượt là giao điểm của  P và các cạnh S , B SC, SD . MN NP PQ QM 1
Vì  P //  ABCD nên theo định lí Talet, ta có     . AB BC CD AD 3 5 3
Khi đó  P cắt hình chóp theo thiết diện MNPQ có diện tích 2 Sk .S  . MNPQ ABCD 9
Câu 37. Chọn C
Cách xác định mặt phẳng thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và
song song với mặt phẳng  ABC  với tứ diện AB 'CD ' :
Trong  ACC ' A' kẻ đường thẳng qua O và song song với AC , cắt AA' tại trung điểm I
Trong  ABB ' A' kẻ đường thẳng quan I song song với AB , cắt AB ' tại trung điểm J .
Trong  B ' AC kẻ đường thẳng qua J song song với AC , cắt B 'C tại trung điểm K .
Trong  B 'CD ' kẻ đường thẳng qua K song song với B ' D ' , cắt D 'C tại trung điểm L .
Trong  D ' AC  kẻ đường thẳng qua L song song với AC , cắt AD ' tại trung điểm M .
Mặt phẳng vừa tạo thành song song với  ABC  và tạo với tứ diện AB 'CD ' thiết diện là hình bình hành MJKL . Ta có
JM / / B ' D ' 
 Tứ giác MJKL là hình chữ nhật.
ML / / A'C '  2 a SJM ML B D A C a  . MJKL  2 1 1 1 . ' '. ' ' . 2 2 2 4 2
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S Q A P M D
Câu 38. B C N Ta có:   P   // SAB   P
   ABCD  MN    
và MN // PQ // AB (1)
M AD, M   P  P
  SCD  PQ    P   // SAB   P
  SAD  MQMQ // SA     và 
M AD, M   P  P
  SBC  NPNP // SB
Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA AB MN MQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra  P cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại M và Q . Mặt khác MQ DM DQ 1 DQ 1
MQ // SA     MQ SA và  . SA DA DS 3 DS 3 PQ SQ 2
PQ // CD    PQ AB , với 2 2 AB
SB SA a CD SD 3 1 1 SA  2AB  2 5a 3 Khi đó S  .
MQ PQ MN S  .  AB S  . MNPQ     2 MNPQ 2 3 MNPQ  3  18
Câu 39. Chọn D
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi E là tâm hình chữ nhật DCC D
  , F là trung điểm OC . Trên  ABC
D , gọi G BF CD . Trên CDD C
  , gọi H GE C D   . Trên  A BCD
  , gọi G BF CD . D O  //  BKHG Khi đó, 
nên thiết diện tạo thành là tứ giác BKHG . AD//  BKHG 
Theo đề BKHG là hình thoi có một góc 0 6 0 nên ta có: HK HG  A BCD    CDD C
   b c     . 0  BKH 120 0  BKH 120  2 a a 2 Dễ thấy: CG  2 2 2
BG BC C G b  . 3 9 Trong BKO có: 2 2 2 0
BO   KB KO   2 KB.KO .  cos120 1 1  1 2 2 2   BG BG  2B . G B . G  7 7  a    2  BG 2  b  . 4 2    2  4 4 9   2 7  a  1 Trong BOO có: 2 2 2
BO  BO OO 2  b      2 2 a b  2  c 4 9 4   2     aa b c 7 1 2   b   a 0 , b 0    2 2 a b  2
b    b  . 4 9 4   3 a
Vậy b c  . 3
Câu 40. Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Trong mpSB
D kẻ đường thẳng qua M song song với S D , cắt cạnh SB tại H .
Trong mp ABCD kẻ đường thẳng qua M song song với AC , cắt các cạnh DA và DC lần lượt
tại E và F . Trong mpSD
A kẻ đường thẳng qua E song song với S D , cắt cạnh SA tại I .
Trong mpSDC kẻ đường thẳng qua F song song với S D , cắt cạnh SC tại G .
Khi đó thiết diện của khối chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng   là ngũ giác EFGHI .
Dễ thấy ABCD là nửa lục giác đều có tâm là trung điểm K của BC . Do đó ADCK và ABND là
hình thoi nên AC KD . Mặt khác AC SD nên AC  SK
D AC SK .
Lại có SK BC (vì S
BC đều), suy ra SK   ABC
D SK KD .
Ta có IG là giao tuyến của   với  SAC , mà AC ||   , suy ra IG || AC .
Mặt khác H M || SD và SD AC , suy ra HM IG và HM EF và IGFE là hình chữ nhật. 1
Diện tích thiết diện EFGHI bằng s SSIG.NM IG.HN . EFGI HGI 2
Ta có AK K D AD a nên AKD đều. 2 a 3 a 3
Mà BD AK , AC KD nên O là trọng tâm tam giác ADK . Suy ra OD  .  . 3 2 3
A C B D a
3 ( BAC vuông tại A , do KA KB KC ). 2 2
SD SK KD  2a. DM EF DM x Ta có   EF  .AC  .a 3  3x . DO AC DO a 3 3 a 3  x GF CF OM OM 3    GF  .SD
.2a  2a  2 3x . SD CD OD OD a 3 3 HM BM BM a 3  x 6a  2x 3   HM  .SD  .2a  . SD BD BD a 3 3 6a  2x 3 4x 3
Suy ra HN HM NM HN GF
 2a 2 3x  . 3 3
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 1 4x 3  a 3  3a 3 Vậy s  .
.3x  2a  2 3x 2 .3x  4 
3x  6ax   3  2x    . 2 3  2  4   2 3a 3 a 3 a 3 Suy ra s
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x   x  . 4 2 4
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
PHÉP CHIẾU SONG SONG 1H2-5 PHẦN A. CÂU HỎI Câu 1:
Qua phép chiếu song song, tính chất nào không được bảo toàn? A. Chéo nhau. B. Đồng qui. C. Song song. D. Thẳng hàng. Câu 2:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng.
B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi
thứ tự của ba điểm đó.
D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. Câu 3:
Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  , qua phép chiếu song song đường thẳng CC , mặt phẳng chiếu  A BC
  biến M thành M  . Trong đó M là trung điểm của BC . Chọn mệnh đề đúng?
A. M  là trung điểm của AB .
B. M  là trung điểm của B C   .
C. M  là trung điểm của A C   .
D. Cả ba đáp án trên đều sai. Câu 4:
Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  , gọi I , I  lần lượt là trung điểm của AB , AB . Qua phép chiếu
song song đường thẳng AI  , mặt phẳng chiếu  A BC
  biến I thành ? A. A . B. B . C. C . D. I  . Câu 5:
Cho tam giác ABC ở trong mặt phẳng   và phương l . Biết hình chiếu (theo phương l ) của
tam giác ABC lên mặt phẳng  P là một đoạn thẳng. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.   //  P .
B.     P .
C.   // l hoặc   l . D. A, B, C đều sai. Câu 6:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình tam giác.
B. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một đoạn thẳng.
C. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một hình chóp cụt.
D. Hình chiếu song song của một hình chóp cụt có thể là một điểm. Câu 7:
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
B. Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu của nó.
C. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
D. Một tam giác bất kỳ đều có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân. Câu 8:
Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành.
A. Ba đường thẳng đôi một song song với nhau.
B. Một đường thẳng.
C. Thành hai đường thẳng song song.
D. Cả ba trường hợp trên. Câu 9:
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hình chiếu song song của hình lập phương ABC . D A BCD
  theo phương AA lên mặt phẳng
ABCD là hình bình hành.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
B. Hình chiếu song song của hình lập phương ABC . D A BCD   theo
phương AA lên mặt phẳng  ABCD là hình vuông.
C. Hình chiếu song song của hình lập phương ABC . D A BCD
  theo phương AA lên mặt phẳng
ABCD là hình thoi.
D. Hình chiếu song song của hình lập phương ABC . D A BCD
  theo phương AA lên mặt phẳng
ABCD là một tam giác.
Câu 10: Hình chiếu của hình vuông không thể là hình nào trong các hình sau? A. Hình vuông. B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi.
Câu 11: Trong các mện đề sau mệnh đề nào sai:
A. Một đường thẳng luôn cắt hình chiếu của nó.
B. Một tam giác bất kỳ đề có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác cân.
C. Một đường thẳng có thể song song với hình chiếu của nó.
D. Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
Câu 12: Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu  P tại điểm A thì hình chiếu của a sẽ là: A. Điểm A .
B. Trùng với phương chiếu.
C. Đường thẳng đi qua A .
D. Đường thẳng đi qua A hoặc chính A .
Câu 13: Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hình biểu diễn của tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác đều là:
A. Giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác ABC .
B. Giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC .
C. Giao điểm của hai đường đường cao của tam giác ABC .
D. Giao điểm của hai đường phân giác của tam giác ABC .
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của SC . Hình chiếu song
song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng SAD là điểm nào sau đây? A. S .
B. Trung điểm của SD . C. A . D. D .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Hình chiếu song song của điểm A theo
phương AB lên mặt phẳng SBC  là điểm nào sau đây? A. S .
B. Trung điểm của BC . C. B . D. C .
Câu 16: Cho lăng trụ ABC.AB C
  . Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó hình chiếu song song của
điểm M lên  AA B
  theo phương chiếu CB là
A. Trung điểm BC .
B. Trung điểm AB . C. Điểm A . D. Điểm B .
Câu 17: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BC 
D . Gọi O AC BD và  O  
A C  B 
D . Điểm M , N
lần lượt là trung điểm của AB và C .
D Qua phép chiếu song song theo phương A O lên mặt
phẳng  ABCD thì hình chiếu của tam giác CMN là
A. Đoạn thẳng MN . B. Điểm O .
C. Tam giác CMN .
D. Đoạn thẳng BD .
Câu 18: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' . Xác định các điểm M , N tương ứng trên các đoạn AC ', B ' D ' MA
sao cho MN song song với BA ' và tính tỉ số . MC ' A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 19: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và CC ' .
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
a) Xác định đường thẳng  đi qua M đồng thời cắt AN và A ' B . IM
b) Gọi I , J lần lượt là giao điểm của  với AN và A ' B . Hãy tính tỉ số . IJ A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
Câu 20: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.AB C
  , gọi M , N , P lần lượt là tâm của các mặt bên  ABB A   , BCC B
  và  ACC A
  . Qua phép chiếu song song đường thẳng BC và mặt phẳng chiếu  AB C
  khi đó hình chiếu của điểm P ?
A. Trung điểm của AN . B. Trung điểm của AM .
C. Trung điểm của B N
 . D. Trung điểm của B M  .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO Câu 1: Chọn A.
Do hai đường thẳng qua phép chiếu song song ảnh của chúng sẽ cùng thuộc một mặt phẳng.
Suy ra tính chất chéo nhau không được bảo toàn. Câu 2: Chọn B.
Tính chất của phép chiếu song song.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc
trùng nhau. Suy ra B sai : Chúng có thể trùng nhau. Câu 3: Chọn B.
Ta có phép chiếu song song đường thẳng CC , biến C thành C , biến B thành B .
Do M là trung điểm của BC suy ra M  là trung điểm của B C   . Câu 4: Chọn B. A B AI //B I    I Ta có   AIB I
  là hình bình hành. AI B I   C
Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng
AI  , mặt phẳng chiếu  A' B 'C ' biến điểm I thành điểm B . ABI Câu 5: Chọn C. C
Phương án A: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là một tam giác trên mặt phẳng  P .
Phương án B: Hình chiếu của tam giác ABC vẫn là tam giác ABC .
Phương án C: Khi phương chiếu l song song hoặc được chứa trong mặt phẳng   . Thì
hình chiếu của tam giác là đoạn thẳng trên mặt phẳng  P . Nếu giao tuyến của hai mặt
phẳng   và  P là một trong ba cạnh của tam giác ABC . Câu 6: Chọn A.
Qua phép chiếu song song chỉ có thể biến hình chóp cụt thành một đa giác.
Loại B - chỉ là một đoạn thẳng.
Loại C - phép chiếu song song không thể là một khối đa diện.
Loại D - chỉ là một điểm.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Chọn A - hình chiếu là một đa giác. Câu 7: Chọn C.
Phương án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Phương án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.
Phương án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.
Phương án D: Đúng - tính chất phép chiếu song song. Câu 8: Chọn D.
Tính chất phép chiếu song song. Câu 9: Chọn B.
Qua phép chiếu song song đường thẳng AA lên mặt phẳng  ABCD sẽ biến A thành A , biến
B thành B , biến C thành C , biến D thành D . Nên hình chiếu song song của hình lập phương ABC . D AB CD   là hình vuông.
Câu 10: Chọn C.
Tính chất của phép chiếu song song.
Câu 11: Chọn A.
Khi mặt phẳng chiếu song song với đường thẳng đã cho thì đường thẳng đó song song với hình chiếu của nó.
Câu 12: Chọn D.
Nếu phương chiếu song song hoặc trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là điểm A .
Nếu phương chiếu không song song hoặc không trùng với đường thẳng a thì hình chiếu là
đường thẳng đi qua điểm A .
Câu 13: Chọn B.
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực.
Câu 14: Chọn B.
Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu song song đường thẳng AB lên mặt phẳng SAD .
Suy ra MN //AB MN //CD . Do M là trung điểm của SC N là trung điểm của SD .
Câu 15: Chọn C.
Do AB  SBC    
A suy ra hình chiếu song song của điểm A theo phương AB lên mặt phẳng
SBC là điểm B .
Câu 16: Chọn B
Gọi N là trung điểm của AB . Ta có: MN // CB .
Vậy hình chiếu song song của điểm M lên  AA B
  theo phương chiếu CB là điểm N .
Câu 17: Chọn A
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A' D' O' B' C' A D M N O B C Ta có: 
O C  AO và OC  AO nên tứ giác OCOA là hình bình hành  OA  CO .
Do đó hình chiếu của điểm 
O qua phép chiếu song song theo phương 
O A lên mặt phẳng
ABCD là điểm . O
Mặt khác điểm M và N thuộc mặt phẳng  ABCD nên hình chiếu của M và N qua phép
chiếu song song theo phương 
O A lên mặt phẳng  ABCD lần lượt là điểm M và N.
Vậy qua phép chiếu song song theo phương A
O lên mặt phẳng  ABCD thì hình chiếu của tam
giác CMN là đoạn thẳng MN . Câu 18: Lời giải
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng
A' B 'C ' D' theo phương chiếu BA' . Ta có
N là ảnh của M hay M chính là giao điểm
của B ' D ' và ảnh AC ' qua phép chiếu này. Do
đó ta xác định M , N như sau: A K D
Trên A ' B ' kéo dài lấy điểm K sao cho
A ' K B ' A ' thì ABA ' K là hình bình hành
nên AK / /BA' suy ra K là ảnh của A trên
AC ' qua phép chiếu song song.
Gọi N B ' D ' KC '. Đường thẳng qua N và B D' A' C
song song với AK cắt AC ' tại M . Ta có
M , N là các điểm cần xác định. N
Theo định lí Thales, ta có M MA NK KB '    2 . MC ' NC ' C ' D ' B' C' Câu 19: Lời giải
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
a) Giả sử đã dựng được đường thẳng  cắt cả
AN và BA ' . Gọi I , J lần lượt là giao điểm B' C'
của  với AN và BA ' .
Xét phép chiếu song song lên  ABCD theo A' D'
phương chiếu A ' B . Khi đó ba điểm J , I , M
lần lượt có hình chiếu là B, I ', M . Do J , I , M N
thẳng hàng nên B, I ', M cũng thẳng hàng. Gọi J Δ
N ' là hình chiếu của N thì An ' là hình chiếu I N' của AN . Vì B C
I AN I ' AN '  I '  BM AN ' . I'
Từ phân tích trên suy ra cách dựng: M A D
- Lấy I '  AN ' BM .
- Trong  ANN ' dựng II '  NN ' ( đã có NN '  CD ' ) cắt AN tại I .
- Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng.
a) Ta có MC CN ' suy ra MN '  CD AB . Do đó I ' là trung điểm của BM . Mặt khác IM
II '  JB nên II ' là đường trung bình của tam giác MBJ , suy ra IM IJ   1. IJ Câu 20: Chọn A.
Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
Document Outline

  • 1569383408_[NBV]-1H2-1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.pdf
  • 1569408907_[NBV]-1H2-2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.pdf
  • 1569471792_[NBV]-1H2-3 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.pdf
  • 1569475311_[NBV]-1H2-4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.pdf
  • 1569476784_[NBV]-1H2-5 PHÉP CHIẾU SONG SONG.pdf