-
Thông tin
-
Hỏi đáp
Các dạng toán hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 thường gặp
Tài liệu Các dạng toán hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 thường gặp, gồm 46 trang, hướng dẫn cách giải các dạng toán chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác môn Toán 10 thường gặp.Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác (KNTT) 12 tài liệu
Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
103
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ChûúngGIẢI 3 TAM GIÁC
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Baâi
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA 1 GÓC TỪ 0◦ ĐẾN 180◦ 1
A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1.
Giá trị lượng giác của một góc
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là
nửa đường tròn đơn vị. c Định nghĩa 1.1.
Với mỗi góc α (0◦ ≤ α ≤ 180◦) ta xác định được một điểm M y
duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ’ xOM = α và giả
sử điểm M có tọa độ M (x 1 0; y0). M y0 α x0 x −1 O 1 Khi đó ta có định nghĩa
○ sin của góc α là y0, kí hiệu sin α = y0.
○ cô-sin của góc α là x0, kí hiệu là cos α = x0. y y ○ 0 0 tang của góc α là
(x0 ̸= 0), kí hiệu là tan α = . x0 x0 x x ○ 0 0 cô-tang của góc α là
(y0 ̸= 0), kí hiệu là cot α = . y0 y0
Các số sin α, cos α, tan α, cot α được gọi chung là các giá trị lượng giác của góc α. CHÚ Ý L
a) Từ định nghĩa trên, ta có sin α ○ tan α = , với α ̸= 90◦. cos α cos α ○ cot α =
, với α ̸= 0◦ và α ̸= 180◦. sin α 1 ○ tan α =
, với α ̸∈ {0◦, 90◦, 180◦}. cot α
b) Nếu α là góc tù thì cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0.
c) Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ 103/418 103/418 104
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ √ √ 1 2 3 sin α 0 1 0 2 2 2 √ √ 3 2 1 cos α 1 0 −1 2 2 2 √3 √ tan α 0 1 3 || 0 3 √ √ 3 cot α || 3 1 0 || 3 VÍ DỤ 1
Tính các giá trị lượng giác của góc 150◦. BÀI GIẢI
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ’ xOM = 150◦. Gọi y
N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy. 1 Vì ’ xOM = 150◦ nên ÷ M ON = 30◦. M N
Trong tam giác vuông M ON , ta có sin M ÷ M ON = = M N ,⇒ OM P 1 M N = sin 30◦ = . 2 150◦ √ 1 √ 3 x −1N O 1 Từ đó, ta có OP = M N = và ON = OM 2 − M N 2 = . 2 2 √ Ç å 3 1
Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là − ; . 2 2 √ 1 3 1 √
Theo định nghĩa, ta có sin 150◦ = ; cos 150◦ = − ; tan 150◦ = − √ ; cot 135◦ = − 3. □ 2 2 3 2.
Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Ở lớp dưới ta đã biết hai góc phụ nhau thì các tỷ số lượng giác của chúng có mối liên hệ
○ sin (90◦ − α) = cos α;
○ tan (90◦ − α) = cot α;
○ cos (90◦ − α) = sin α;
○ cot (90◦ − α) = tan α.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu về mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của y hai góc bù nhau . 1
Với mỗi góc α (với 0◦ ≤ α ≤ 180◦): góc α và góc 180◦ − α là hai góc N M bù nhau. y0
Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung M N song song với trục Ox. 180◦ − α Đặt ’ xOM = α. Ta có ’ xON = 180◦ − α.
Giả sử M (x0; y0). Vì xN = −xM = −x0 và yN = yM = y0 nên ta có α các tính chất sau: −x x0 x −1 0 O 1
Với mỗi góc α thỏa mãn 0◦ ≤ α ≤ 180◦, ta luôn có
○ sin (180◦ − α) = sin α;
○ cos (180◦ − α) = − cos α;
○ tan (180◦ − α) = − tan α (α ̸= 90◦);
○ cot (180◦ − α) = − cot α (α ̸= 0◦ và α ̸= 180◦). 104/418 104/418 105
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác VÍ DỤ 2
Tính các giá trị lượng giác của các góc 120◦, 135◦ và 150◦. BÀI GIẢI
Do các góc 120◦, 135◦, 150◦ tương ứng bù với các góc 60◦, 45◦, 30◦ nên từ bảng giá trị lượng giác ở trên,
ta có bảng giá trị lượng giác sau α 120◦ 135◦ 150◦ √ √ 3 2 1 sin α 2 2 √ 2 √ 1 2 3 cos α − − − 2 2 2 √ √ 3 tan α − 3 −1 − √ 3 3 √ cot α − −1 − 3 3 □ B – CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác
Sử dụng các công thức cơ bản ở phần lý thuyết để tính ra các giá trị lượng giác.
Cần chú ý dấu của các giá trị lượng giác khi tính. 1. Ví dụ minh họa
c Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của góc 135◦. Lời giải.
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ’ xOM = 135◦. Gọi N , P y
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy. 1 Vì ’ xOM = 135◦ nên ÷ M ON = 45◦ và ÷
M OP = 45◦. Do đó các tam giác M P
M ON , M OP là vuông cân với cạnh huyền OM = 1. √2 Từ đó, ta có ON = OP = . 2 √ √ 135◦ Ç å 2 2 x −1
Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là − ; . N O 1 2 2 √ √ 2 2
Theo định nghĩa, ta có sin 135◦ = ; cos 135◦ = − ; tan 135◦ = −1; cot 135◦ = −1. □ 2 2 1
c Ví dụ 2. Cho sin α = . Tính cos α, tan α, cot α biết 0◦ < α < 90◦. 4 Lời giải.
Ta có sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 − sin2 α. 1 1 15 Với sin α = thì cos2 α = 1 − = . 4 16 16 √15
Vì 0◦ < α < 90◦ nên cos α = . 16 √ sin α 15 cos α √ Từ đó suy ra tan α = = , cot α = 15. □ cos α 15 sin α 105/418 105/418 106
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ 1
c Ví dụ 3. Cho cos α = − . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. 3 Lời giải.
Ta có sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin2 α = 1 − cos2 α. 1 1 8 Với cos α = − thì sin2 α = 1 − = . 3 9 9 √ 2 2
Vì sin α luôn dương nên sin α = . 3 √ sin α √ cos α 2 Từ đó suy ra tan α = = −2 2, cot α = = − . □ cos α sin α 4
c Ví dụ 4. Cho tan x = 2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x. Lời giải. 1 1
Trước hết, ta có tan x. cot x = 1 ⇒ cot x = = . tan x 2 1 1 1 1 Mặt khác, 1 + tan2 x = ⇒ cos2 x = = = . cos2 x 1 + tan2 x 1 + 22 5 √5
Vì tan x và cos x cùng dấu nên cos x = . 5 √ 1 4 2 5
Áp dụng công thức sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − = . Từ đó suy ra sin x = . □ 5 5 5
c Ví dụ 5. Cho cot x = −3. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x. Lời giải. 1 1
Trước hết ta có tan x. cot x = 1 ⇒ tan x = = − . cot x 3 √ 1 1 1 10 Mặt khác 1 + cot2 x = ⇒ sin2 x = = . Suy ra sin x = . sin2 x 1 + (−3)2 10 10 √ cos x −3 10 Do cot x = ⇒ cos x = sin x. cot x = . □ sin x 10 2. Bài tập rèn luyện 2
c Bài 1. Cho cos α = − . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. 3 Lời giải. √ √ √ 5 5 2 5 Đáp số: sin α = , tan α = − , cot α = − . □ 3 2 5 3
c Bài 2. Cho sin x = . Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x biết 90◦ < x < 180◦. 4 Lời giải. √ √ √ 7 3 7 7 Đáp số: cos x = − , tan x = − , cot x = − □ 4 7 3 √ c Bài 3. Cho tan α =
2. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. Lời giải. √ √ √ 2 3 6 Đáp số: cot α = , cos α = , sin α = . □ 2 3 3 106/418 106/418 107
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác √3
c Bài 4. Cho cot β = −
. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc β. 2 Lời giải. √ √ √ 2 3 2 7 21 Đáp số: tan β = − , sin β = , cos β = − . □ 3 7 7 1
c Bài 5. Cho tan 180◦ − a = − . Tính các giá trị lượng giác của góc a. 2 Lời giải. √ 1 2 5 5 Đáp số: tan a = , cot a = 2, cos a = , sin a = . □ 2 5 5 √5
c Bài 6. Cho cos 180◦ − α =
. Tính các giá trị còn lại của góc α. 3 Lời giải. √ √ √ 5 2 2 5 5 Đáp số: cos α = − , sin α = , tan α = − , cot α = − □ 3 3 5 2 2
c Bài 7. Cho sin 180◦ − α =
với 0◦ < α < 90◦. Tính các giá trị lượng giác của góc α. 5 Lời giải. √ √ √ 2 21 2 21 21 Đáp số: sin α = , cos α = , tan α = , cot α = . □ 5 5 21 2
Dạng 2. Tính giá trị các biểu thức lượng giác.
Từ giả thiết đề cho (thường là giá trị của góc hay một giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức về
dạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính.
Cần chú ý điều kiện áp dụng (nếu có). 1. Ví dụ minh họa
c Ví dụ 6. Tính A = a cos 60◦ + 2a tan 45◦ − 3a sin 30◦. Lời giải. 1 1 Ta có A = a + 2a − .3a = a. □ 2 2
c Ví dụ 7. Cho x = 30◦. Tính A = sin 2x − 3 cos x. Lời giải. √ √ 3 3 √
A = sin 2.(30◦) − 3 cos 30◦ = sin 60◦ − 3 cos 30◦ = − 3 = − 3. □ 2 2 1
c Ví dụ 8. Cho cos x = . Tính giá trị biểu thức P = 4 sin2 x + cos2 x = 1. 3 Lời giải. 107/418 107/418 108
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ Å 1 ã2 11
Ta có P = 4 1 − cos2 x + cos2 x = 4 − 3 cos2 x = 4 − 3 = . □ 3 3 3 sin x + cos x
c Ví dụ 9. Cho tan x = 2. Tính A = . sin x − cos x Lời giải. sin x cos x 3 + 3 tan x + 1 Ta có A = cos x cos x = = 7. □ sin x cos x tan x − 1 − cos x cos x 2 cot x − tan x
c Ví dụ 10. Cho sin x = . Tính B = . 3 cot x + tan x Lời giải. cos x sin x sin2 x − cos2 x − 1 Ta có B = sin x cos x = sin x cos x = 2 sin2 x − 1 = − . □ cos x sin x sin2 x + cos2 x 9 + sin x cos x sin x cos x 2. Bài tập rèn luyện c Bài 8. Tính
a. A = tan 10◦. tan 20◦ . . . tan 80◦.
b. B = cot 20◦ + cot 40◦ + · · · + cot 140◦ + cot 160◦. Lời giải. Hướng dẫn:
a. Ta có: tan 10◦ = cot 80◦, tan 20◦ = cot 70◦, tan 30◦ = cot 60◦, tan 40◦ = cot 50◦. Do đó, ta tính được A = 1.
b. Ta có: cot 20◦ = − cot 160◦, cot 40◦ = − cot 140◦, . . . nên ta tính được B = 0. □ sin a − 2 cos a
c Bài 9. Cho cot a = −3. Tính A = . 3 cos a + 2 sin a Lời giải. Đáp số: A = −1. □ sin3 a + 2 cos2 a. sin a
c Bài 10. Biết tan a = 2. Tính B = . cot a. sin3 a − 2 cos a Lời giải. Đáp số: B = 6 □ 3 2 tan α + cot α
c Bài 11. Cho cos α = . Tính C = . 4 4 tan α − 3 cot α Lời giải. Đáp số: C = 23 □ 108/418 108/418 109
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác 1
c Bài 12. Biết sin x + cos x = . Tính D = sin x. cos x. 3 Lời giải. 1 Hướng dẫn: Ta có
= (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin x cos x. Từ đó suy ra sin x. cos x = 9 4 − . □ 9
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng linh hoạt các công thức cở bản, các phép biến đổi đại số và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
để rút gọn và chứng minh. 1. Ví dụ minh họa a = sin x c Ví dụ 11. Cho
b = cos x sin x . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1 c = cos x cos y Lời giải. Ta có:
a2 + b2 + c2 = sin2 x + cos2 x(1 − cos2 y) + cos2 x cos2 y
= sin2 x + cos2 x − cos2 x cos2 y + cos2 x cos2 y = 1. □
c Ví dụ 12. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x.
b) cos4 x − sin4 x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1.
c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x. 1 1 d) + = 1. 1 + tan x 1 + cot x Lời giải.
a) Ta có sin4 x + cos4 x = sin2 x2 + cos2 x2 = sin2 x + cos2 x2 − 2 sin2 x cos2 x
Do sin2 x + cos2 x = 1 nên ta suy ra sin4 x + cos4 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x.
b) cos4 x − sin4 x = cos2 x2 − sin2 x2 = cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = cos2 x − sin2 x
Do sin2 x + cos2 x = 1 nên cos2 x − sin2 x = cos2 x + sin2 x − 2 sin2 x = 1 − 2 sin2 x
Tương tự ta có cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1. sin2 x Å 1 ã 1 − cos2 x c) tan2 x − sin2 x = − sin2 x = sin2 x − 1 = sin2 x = tan2 x sin2 x cos2 x cos2 x cos2 x 1 1 1 + tan x + 1 + cot x d) Ta có + = . 1 + tan x 1 + cot x (1 + tan x) (1 + cot x)
Mặt khác (1 + tan x) (1 + cot x) = 1 + tan x cot x + tan x + cot x = 2 + tan x + cot x. 1 1 2 + tan x + cot x Từ đó suy ra + = = 1. 1 + tan x 1 + cot x 2 + tan x + cot x □ 109/418 109/418 110
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦
c Ví dụ 13. Cho A, B, C là các góc của tam giác. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin (A + B) = sin C. b) cos (A + B) + cos C = 0. A + B C c) sin = cos . 2 2
d) tan (A − B + C) = − tan 2B. Lời giải.
Do A, B, C là các góc của tam giác nên ta có A + B + C = 180◦.
a) Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ − C.
Từ đó suy ra sin (A + B) = sin (180◦ − C) = sin C.
b) Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ A + B = 180◦ − C.
Từ đó suy ra cos (A + B) = cos (180◦ − C) = − cos C ⇒ cos (A + B) + cos C = 0. A + B 180◦ − C C
c) Ta có A + B + C = 180◦ ⇔ = = 90◦ − . 2 2 2 A + B Å C ã C Từ đó suy ra sin = sin 90◦ − = cos . 2 2 2
d) Ta có tan (A − B + C) = tan (A + B + C − 2B) = tan (180◦ − 2B) = − tan 2B. □
c Ví dụ 14. Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x.
a) A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x 1 − sin6 x 3 tan2 x b) B = − cos6 x cos2 x Lời giải. a) Ta có:
A = sin8 x + sin6 x cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x
= sin6 x sin2 x + cos2 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x
= sin6 x + sin4 x cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x
= sin4 x sin2 x + cos2 x + sin2 x cos2 x + cos2 x
= sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x
= sin2 x sin2 x + cos2 x + cos2 x = sin2 x + cos2 x = 1. 110/418 110/418 111
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác b) Điều kiện cos x ̸= 0. 1 − sin6 x 3 tan2 x B = − cos6 x cos2 x 1 − sin6 x 3 sin2 x = − cos6 x cos4 x 1 − sin6 x 3 sin2 x cos2 x = − cos6 x cos6 x
1 − sin6 x − 3 sin2 x cos2 x = cos6 x
1 − sin2 x3 + 3 sin2 x(1 − sin2 x) − 3 sin2 x cos2 x = cos6 x
cos2 x3 + 3 sin2 x cos2 x − 3 sin2 x cos2 x = cos6 x cos6 x = cos6 x = 1. □
c Ví dụ 15. Tìm m để biểu thức P = sin6 x + cos6 x − m sin4 x + cos4 x có giá trị không phụ thuộc vào x. Lời giải. Ta có:
sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x2 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − 2 sin2 x cos2 x.
sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x3 − 3 sin2 x cos2 x(sin2 x + cos2 x) = 1 − 3 sin2 x cos2 x.
Từ đó suy ra P = 1 − 3 sin2 x cos2 x − m 1 − 2 sin2 x cos2 x = 1 − m + (2m − 3) sin2 x cos2 x. 3
Do đó P có giá trị không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi 2m − 3 = 0 ⇔ m = . □ 2 sin4 x cos4 x 1
c Ví dụ 16. Cho a, b là các số dương và thỏa mãn hệ thức + = . Chứng minh rằng a b a + b sin2018 x cos2012 x 1 + = . a1008 b1008 (a + b)1008 Lời giải. Ta có: Ç å sin4 x cos4 x 1 sin4 x cos4 x + = ⇔ (a + b) + = 1 a b a + b a b Ç å sin4 x cos4 x ⇔ (a + b) + = sin2 x + cos2 x2 a b a b ⇔ cos4 x + sin4 x − 2 sin2 x cos2 x = 0 b a Ç… å2 b … a ⇔ cos2 x − sin2 x = 0 a b … b … a ⇔ cos2 x = sin2 x a b sin2 x cos2 x ⇔ = a b sin2 x cos2 x 1 Từ đó suy ra = = > 0. a b a + b 111/418 111/418 112
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ ® ® 1 sin2 x = at sin2018 x = a1009t1009 Đặt t = ⇒ , do đó ta có . a + b cos2 x = bt cos2018 x = b1009t1009 sin2018 x cos2012 x a1009t1009 b1009t1009 1 Vậy + = + = (a + b)t1009 = . □ a1008 b1008 a1008 b1008 (a + b)1008 2. Bài tập rèn luyện
c Bài 13. Cho A = sin α, B = cos α sin β, C = cos α cos β sin γ, D = cos α cos β cos γ. Chứng minh rằng A2 + B2 + C2 + D2 = 1.
c Bài 14. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau: 1 + sin2 x a) = 1 + 2 tan2 x. 1 − sin2 x cos x 1 b) + tan x = . 1 + sin x cos x
c) tan2 x − sin2 x = tan2 x sin2 x.
c Bài 15. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) A = sin4 x(3 − sin2 x) + cos4 x(3 − 2 cos2 x).
b) B = 3 sin8 x − cos8 x + 4 cos6 x − sin6 x + 6 sin4 x.
c) C = sin8 x + cos8 x + 6 sin4 x cos4 x + 4 sin2 x cos2 x sin4 x + cos4 x .
c Bài 16. Tìm m đển biểu thức P = sin6 x + cos6 x + m sin6 x + cos6 x + 2 sin2 2x không phụ thuộc vào x Lời giải. 5 − m
Sử dụng các hằng đẳng thức rút gọn biểu thức P ta được P = 1 + m + sin2 2x 4
Từ đó suy ra P không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi m = 5. □ 3 π
c Bài 17. Cho f (x) = sin6 x + sin2 2x + cos6 x. Tính f . 4 2017 Lời giải. π
Rút gọn f (x) ta có f (x) = 1 ∀x ∈ R, từ đó suy ra f = 1. □ 2017
C – BÀI TẬP TỔNG HỢP
c Bài 18. Cho cos a + 2 sin a = 0. Tính các giá trị lượng giác của góc a. Lời giải. sin α 1
Hướng dẫn: cos α + 2 sin α = 0 ⇔ = − . Từ đó ta được cos α 2√ √ 1 2 5 5
Đáp số: tan a = − , cot a = −2, cos a = − , sin a = . □ 2 5 2 112/418 112/418 113
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác 7
c Bài 19. Cho cos4 x − sin4 x = . Tính các giá trị lượng giác của góc x biết x là góc tù. 8 Lời giải. 7 7 7
Hướng dẫn: cos4 x − sin4 x =
⇔ cos2 x − sin2 x cos2 x + sin2 x = ⇔ cos2 x − sin2 x = (1). Ta lại có 8 8 8 sin2 x + cos2 x = 1
(2). Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta tìm được các giá trị sin x và cos x. √ √ 15 1 15 √ Đáp số: cos x = − , sin x = , tan x = − , cot x = − 15. □ 4 4 15
c Bài 20. Tính C = sin2 10◦ + sin2 20◦ + · · · + sin2 170◦ + sin2 180◦. Lời giải.
Hướng dẫn: sin 10◦ = sin 170◦, sin 20◦ = sin 160◦, . . . , suy ra C = 2 sin2 10◦ + sin2 20◦ + · · · + sin2 80◦ + sin2 90◦.
Mặt khác ta có sin 80◦ = cos 10◦, sin 70◦ = cos 20◦, . . . , có 4 cặp như vậy nên ta tính được C = 5. □ 3
c Bài 21. Cho sin x + cos x = . Tính sin4 x + cos4 x. 4 Lời giải. 9 −7 Trước hết ta có
= (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 sin x cos x, suy ra sin x. cos x = . 16 32
sin4 x + cos4 x = sin4 x + 2 sin2 x cos2 x + cos4 x − 2 sin2 x cos2 x
= sin2 x + cos2 x2 − 2(sin x cos x)2 Å −7 ã2 463 = 1 − 2 = 32 512 □ 7
c Bài 22. Cho sin4 x + 3 cos4 x = . Tính cos4 x + 3 sin4 x. 4 Lời giải. Ta có 7 7 sin4 x + 3 cos4 x =
⇐⇒ 1 − cos2 x2 + 3 cos4 x = 4 4 3
⇐⇒ 4 cos4 x − 2 cos2 x − = 0 4 3 ⇐⇒ cos2 x = 4 từ đó ta được
cos4 x + 3 sin4 x = cos4 x + 3 1 − cos2 x2 9 Å 3 ã2 3 = + 3 1 − = 16 4 4 □
c Bài 23. Cho 2 sin x sin y − 3 cos x cos y = 0. Chứng minh rằng: 1 1 5 + = . 2 sin2 x + 3 cos2 x 2 sin2 y + 3 cos2 y 6 Lời giải. 3
Từ giả thiết suy ra 2 tan x = 3 cot y ⇔ tan y = . 2 tan x
Biến đổi vế trái đẳng thức cần chứng minh theo tan x, tan y ta suy ra điều phải chứng minh. □ 113/418 113/418 114
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ 2 sin α cos α − sin α
c Bài 24. Cho 6 cos2 α + cos α − 2 = 0. Biết A =
= a + b tan α với a, b ∈ Q. Tính giá 2 cos α − 1
trị của biểu thức a + b. Lời giải. 1
Điều kiện 2 cos α − 1 ̸= 0 ⇔ cos α ̸= . 2 1 cos α =
Ta có 6 cos2 α + cos α − 2 = 0 ⇔ 2 2 cos α = − 3 1 2 Do cos α ̸= nên cos α = − . 2 3 2 sin α cos α − sin α sin α 2 Mặt khác A = = sin α = cos α. = − tan α 2 cos α − 1 cos α 3 a = 0 2 Từ đó suy ra 2 ⇒ a + b = − . □ 3 b = − 3
D – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
c Câu 1. Giá trị cos 45◦ + sin 45◦ bằng bao nhiêu? √ √ A 1. B 2. C 3. D 0. Lời giải. √ 2 cos 45◦ =
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 2 √2 sin 45◦ = √ 2 ⇒ cos 45◦ + sin 45◦ = 2. Chọn đáp án B □
c Câu 2. Giá trị của tan 30◦ + cot 30◦ bằng bao nhiêu? √ 4 1 + 3 2 A √ . B . C √ . D 2. 3 3 3 Lời giải. 1 √ tan 30◦ =
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 3 √ cot 30◦ = 3 4
⇒ tan 30◦ + cot 30◦ = √ . 3 Chọn đáp án A □
c Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng? √ √ 3 3 1 √ A sin 150◦ = − . B cos 150◦ = .
C tan 150◦ = − √ . D cot 150◦ = 3. 2 2 3 Lời giải.
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 1 tan 150◦ = − √ . 3 Chọn đáp án C □ 114/418 114/418 115
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
c Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos 30◦ cos 60◦ − sin 30◦ sin 60◦. √ √ 3 A P = 3. B P = . C P = 1. D P = 0. 2 Lời giải. ® sin 30◦ = cos 60◦
Vì 30◦ và 60◦ là hai góc phụ nhau nên . sin 60◦ = cos 30◦
⇒ P = cos 30◦ cos 60◦ − sin 30◦ sin 60◦ = cos 30◦ cos 60◦ − cos 60◦ cos 30◦ = 0. Chọn đáp án D □
c Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30◦ cos 60◦ + sin 60◦ cos 30◦ √ √ A P = 1. B P = 0. C P = 3. D P = − 3. Lời giải. ® sin 30◦ = cos 60◦
Vì 30◦ và 60◦ là hai góc phụ nhau nên . sin 60◦ = cos 30◦
⇒ P = sin 30◦ cos 60◦ + sin 60◦ cos 30◦ = cos2 60◦ + sin2 60◦ = 1. Chọn đáp án A □
c Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? √
A sin 45◦ + cos 45◦ = 2.
B sin 30◦ + cos 60◦ = 1.
C sin 60◦ + cos 150◦ = 0.
D sin 120◦ + cos 30◦ = 0. Lời giải. √ 3 cos 30◦ =
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được 2 √ . 3 sin 120◦ = √ 2 ⇒ cos 30◦ + sin 120◦ = 3. Chọn đáp án D □
c Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A sin 0◦ + cos 0◦ = 0.
B sin 90◦ + cos 90◦ = 1. √3 + 1
C sin 180◦ + cos 180◦ = −1.
D sin 60◦ + cos 60◦ = . 2 Lời giải. ® cos 0◦ = 1
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được . sin 0◦ = 0 ⇒ cos 0◦ + sin 0◦ = 1. Chọn đáp án A □
c Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A cos 45◦ = sin 45◦.
B cos 45◦ = sin 135◦.
C cos 30◦ = sin 120◦.
D sin 60◦ = cos 120◦. Lời giải. 1 cos 120◦ = − 2
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được √ . 3 sin 60◦ = 2 Chọn đáp án D □ 115/418 115/418 116
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦
c Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc “
B = 30◦ Khẳng định nào sau đây là sai? √ 1 3 1 1 A cos B = √ . B sin C = . C cos C = . D sin B = . 3 2 2 2 Lời giải. Từ giả thiết suy ra “ C = 60◦
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được √3 cos B = cos 30◦ = . 2 Chọn đáp án A □
c Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH. Khẳng định nào sau đây là đúng? √ √ 3 1 3 1 A sin √ ’ BAH = . B cos ’ BAH = . C sin ’ ABC = . D sin ’ AHC = . 2 3 2 2 Lời giải. 1 sin ’ BAH = 2 Ta có √ ’ BAH = 30◦ ⇒ . 3 cos ’ BAH = 2 √3 Ta có ’ ABC = 60◦ ⇒ sin ’ ABC = . 2 Chọn đáp án C □
c Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A sin(180◦ − α) = − cos α.
B sin(180◦ − α) = − sin α.
C sin(180◦ − α) = sin α.
D sin(180◦ − α) = cos α. Lời giải.
Hai góc bù nhau α và (180◦ − α) thì cho có giá trị của sin bằng nhau. Chọn đáp án C □
c Câu 12. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A sin α = sin β. B cos α = − cos β. C tan α = − tan β. D cot α = cot β. Lời giải.
Hai góc bù nhau α và β thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn lại thì đối nhau. Chọn đáp án D □
c Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30◦ cos 15◦ + sin 150◦ cos 165◦. 3 1 A P = − . B P = 0. C P = . D P = 1. 4 2 Lời giải.
Hai góc 30◦ và 150◦ bù nhau nên sin 30◦ = sin 150◦;
Hai góc 15◦ và 165◦ bù nhau nên cos 15◦ = − cos 165◦.
Do đó P = sin 30◦ cos 15◦ + sin 150◦ cos 165◦ = sin 150◦ · (− cos 165◦) + sin 150◦ cos 165◦ = 0 Chọn đáp án B □
c Câu 14. Cho hai góc α và β với α + β = 180◦. Tính giá trị của biểu thức
P = cos α cos β − sin β sin α. 116/418 116/418 117
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác A P = 0. B P = 1. C P = −1. D P = 2. Lời giải.
Hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β.
Do đó P = cos α cos β − sin β sin α = − cos2 α − sin2 α = −(sin2 α + cos2 α) = −1. Chọn đáp án C □
c Câu 15. Cho tam giác ABC. Tính P = sin A · cos(B + C) + cos A · sin(B + C). A P = 0. B P = 1. C P = −1. D P = 2. Lời giải. Giả sử b A = α; “ B + “ C = β.
Biểu thức trở thành P = sin α cos β + cos α sin β. Trong tam giác ABC, có b A + “ B + “
C = 180◦ ⇒ α + β = 180◦.
Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β.
Do đó, P = sin α cos β + cos α sin β = − sin α cos α + cos α sin α = 0. Chọn đáp án A □
c Câu 16. Cho tam giác ABC. Tính P = cos A · cos(B + C) − sin A · sin(B + C). A P = 0. B P = 1. C P = −1. D P = 2. Lời giải. Giả sử b A = α; “ B + “ C = β.
Biểu thức trở thành P = cos α cos β − sin α sin β. Trong tam giác ABC có b A + “ B + “
C = 180◦ ⇒ α + β = 180◦.
Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β.
Do đó P = cos α cos β − sin α sin β = − cos2 α − sin2 α = −(sin2 α + cos2 α) = −1. Chọn đáp án C □
c Câu 17. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A sin α = − cos β. B cos α = sin β. C tan α = cot β. D cot α = tan β. Lời giải.
Hai góc nhọn α và β phụ nhau thì sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β; cot α = tan β. Chọn đáp án A □
c Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin2 15◦ + cos2 20◦ + sin2 75◦ + cos2 110◦. A S = 0. B S = 1. C S = 2. D S = 4. Lời giải.
Hai góc 15◦ và 75◦ phụ nhau nên sin 75◦ = cos 15◦.
Hai góc 20◦ và 110◦ hơn kém nhau 90◦ nên cos 110◦ = − sin 20◦. Do đó, S
= sin2 15◦ + cos2 20◦ + sin2 75◦ + cos2 110◦ = sin2 15◦ + cos2 20 + cos2 15◦ + (− sin 20◦)2 =
(sin2 15◦ + cos2 15◦) + (sin2 20◦ + cos2 20◦) = 2. Chọn đáp án C □ 117/418 117/418 118
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦
c Câu 19. Cho hai góc α và β với α + β = 90◦. Tính giá trị của biểu thức
P = sin α cos β + sin β cos α. A P = 0. B P = 1. C P = −1. D P = 2. Lời giải.
Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β; cos α = sin β.
Do đó, P = sin α cos β + sin β cos α = sin2 α + cos2 α = 1. Chọn đáp án B □
c Câu 20. Cho hai góc α và β với α+β = 90◦. Tính giá trị của biểu thức P = cos α cos β −sin β sin α. A P = 0. B P = 1. C P = −1. D P = 2. Lời giải.
Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β; cos α = sin β.
Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = cos α sin α − cos α sin α = 0. Chọn đáp án A □
c Câu 21. Cho α là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng? A sin α < 0. B cos α > 0. C tan α < 0. D cot α > 0. Lời giải. Chọn đáp án C □
c Câu 22. Cho hai góc nhọn α và β trong đó α < β. Khẳng định nào sau đây là sai? A cos α < cos β. B sin α < sin β. C cot α > cot β.
D tan α + tan β > 0. Lời giải. Chọn đáp án A □
c Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?
A cos 75◦ > cos 50◦.
B sin 80◦ > sin 50◦.
C tan 45◦ < tan 60◦.
D cos 30◦ = sin 60◦. Lời giải.
Trong khoảng từ 0◦ đến 90◦, khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn đáp án A □
c Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?
A sin 90◦ < sin 100◦.
B cos 95◦ > cos 100◦.
C tan 85◦ < tan 125◦.
D cos 145◦ > cos 125◦. Lời giải.
Trong khoảng từ 90◦ đến 180◦, khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm Chọn đáp án B □
c Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?
A sin 90◦ < sin 150◦.
B sin 90◦15′ < sin 90◦30′.
C cos 90◦30′ > cos 100◦.
D cos 150◦ > cos 120◦. Lời giải.
Trong khoảng từ 90◦ đến 180◦, khi giá trị của góc tăng thì: 118/418 118/418 119
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm. Chọn đáp án C □
c Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1? α α 1 α α 1 A cos2 + sin2 = . B cos2 + sin2 = . 2 2 2 3 3 3 α α 1 α α C cos2 + sin2 = . D 5(cos2 + sin2 ) = 5. 4 4 4 5 5 Lời giải. α α
Từ biểu thức cos2 α + sin2 α = 1 ta suy ra cos2 + sin2 = 1. 5 5 α α Do đó ta có 5 cos2 + sin2 = 5. 5 5 Chọn đáp án D □ α 3 α α c Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3 sin2 + 5 cos2 bằng bao nhiêu? 3 5 3 3 105 107 109 111 A P = . B P = . C P = . D P = . 25 25 25 25 Lời giải. α α α α 16 Ta có biểu thức sin2 + cos2 = 1 ⇔ cos2 = 1 − sin2 = . 3 3 3 3 25 α α 3 2 16 107 Do đó ta có P = 3 sin2 + 5 cos2 = 3 · ( ) + 5 · = . 3 3 5 25 25 Chọn đáp án B □ 6 sin α − 7 cos α
c Câu 28. Cho biết tan α = −3. Giá trị của P = bằng bao nhiêu? 6 cos α + 7 sin α 4 5 4 5 A P = . B P = . C P = − . D P = − . 3 3 3 3 Lời giải. sin α 6 sin α − 7 cos α 6 − 7 6 tan α − 7 5 Ta có P = = cos α = = . 6 cos α + 7 sin α sin α 6 + 7 tan α 3 6 + 7 cos α Chọn đáp án B □ 2 cot α + 3 tan α
c Câu 29. Cho biết cos α = − . Giá trị của P = bằng bao nhiêu? 3 2 cot α + tan α 19 19 25 25 A P = − . B P = . C P = . D P = − . 13 13 13 13 Lời giải. 5
Ta có biểu thức sin2 α + cos2 α = 1 ⇔ sin2 α = 1 − cos2 α = . 9 Å ã2 cos α sin α 2 5 − + 3 · cot α + 3 tan α + 3 cos2 α + 3 sin2 α 3 9 19 Ta có P = = sin α cos α = = = . 2 cot α + tan α cos α sin α 2 cos2 α + sin2 α Å ã2 13 2 + 2 5 2 · − + sin α cos α 3 9 Chọn đáp án B □
c Câu 30. Cho biết cot α = 5. Giá trị của P = 2 cos2 α + 5 sin α cos α + 1 bằng bao nhiêu? 119/418 119/418 120
1. Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0◦ đến 180◦ 10 100 5 101 A P = . B P = . C P = 26. D P = . 26 26 0 26 Lời giải. Ta có Å cos2 α cos α 1 ã P =
2 cos2 α + 5 sin α cos α + 1 = sin2 α 2 + 5 + sin2 α sin α sin2 α 1 3 cot2 α + 5 cot α + 1 101 =
(2 cot2 α + 5 cot α + 1 + cot2 α) = = . 1 + cot2 α cot2 α + 1 26 Chọn đáp án D □
c Câu 31. Cho biết 3 cos α − sin α = 1, 0◦ < α < 90◦. Giá trị của tan α bằng 4 3 4 5 A tan α = . B tan α = . C tan α = . D tan α = . 3 4 5 4 Lời giải.
Ta có 3 cos α − sin α = 1 ⇔ 3 cos α = sin α + 1 ⇒ 9 cos2 α = (sin α + 1)2 ⇔ 9 cos2 α = sin2 α + 2 sin α + 1 ⇔ sin α = −1
9(1 − sin2 α) = sin2 α + 2 sin α + 1 ⇔ 10 sin2 α + 2 sin α − 8 = 0 ⇔ 4 sin α = . 5
○ sin α = −1: không thỏa mãn vì 0◦ < α < 90◦ 4 3 sin α 4 ○ sin α = ⇒ cos α = ⇒ tan α = = . 5 5 cos α 3 Chọn đáp án A □ √
c Câu 32. Cho biết 2 cos α +
2 sin α = 2, 0◦ < α < 90◦. Tính giá trị của cot α √ √ √ √ 5 3 2 2 A cot α = . B cot α = . C cot α = . D cot α = . 4 4 4 2 Lời giải. √ √ Ta có 2 cos α + 2 sin α = 2 ⇔
2 sin α = 2 − 2 cos α ⇒ 2 sin2 α = (2 − 2 cos α)2.
⇔ 2 sin2 α = 4 − 8 cos α + 4 cos2 α ⇔ 2(1 − cos2 α) = 4 − 8 cos α + 4 cos2 α cos α = 1
⇔ 6 cos2 α − 8 cos α + 2 = 0 ⇔ 1 cos α = . 3
○ cos α = 1: không thỏa mãn vì 0◦ < α < 90◦. √ √ 1 2 2 cos α 2 ○ cos α = ⇒ sin α = ⇒ cot α = = . 3 3 sin α 4 Chọn đáp án C □
c Câu 33. Cho biết sin α + cos α = a. Tính giá trị của sin α cos α. A sin α cos α = a2. B sin α cos α = 2a. a2 − 1 a2 − 11 C sin α cos α = . D sin α cos α = . 2 2 Lời giải.
Ta có sin α + cos α = a ⇒ (sin α + cos α)2 = a2 a2 − 1
⇔ 1 + 2 sin α cos α = a2 ⇔ sin α cos α = . 2 Chọn đáp án C □ 120/418 120/418 121
Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác 1 √
c Câu 34. Cho biết cos α + sin α = . Giá trị của P =
tan2 α + cot2 α bằng bao nhiêu? 3 5 7 9 11 A P = . B P = . C P = . D P = . 4 4 4 4 Lời giải. 1 1 Ta có cos α + sin α = ⇒ (cos α + sin α)2 = 3 9 1 4 ⇔ 1 + 2 sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − . 9 9 Ta có Å ã2 p » sin α cos α P = tan2 α + cot2 α =
(tan α + cot α)2 − 2 tan α cot α = + − 2 cos α sin α Ã Ç å2 sin2 α + cos2 α Å 1 ã2 Å 9 ã2 7 = − 2 = − 2 = − − 2 = . sin α cos α sin α cos α 4 4 Chọn đáp án B □ 1 c p
Câu 35. Cho biết sin α − cos α = √ . Giá trị của P =
sin4α + cos4α bằng bao nhiêu? 5 √ √ √ √ 15 17 19 21 A P = . B P = . C P = . D P = . 5 5 5 5 Lời giải. 1 1
Ta có sin α − cos α = √ ⇒ (sin α − cos α)2 = 5 5 1 2 ⇔ 1 − 2 sin α cos α = ⇔ sin α cos α = . 5 5 Ta có p » P = sin4α + cos4α =
(sin2 α + cos2 α)2 − 2 sin2 α cos2 α √ » 17 = 1 − 2(sin α cos α)2 = . 5 Chọn đáp án B □ 121/418 121/418 122
2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Baâi 2
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định lý Cô-sin
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. A
• a2 = b2 + c2 − 2bc · cos A. c
• b2 = c2 + a2 − 2ca · cos B. b
• c2 = a2 + b2 − 2ab · cos C. B a C 2. Định lý Sin
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn A ngoại tiếp. Ta có a b c = = = 2R sin A sin B sin C c b
Ghi nhớ: Tỉ lệ "cạnh chia sin góc đối" thì bằng nhau. I R B a C 3.
Công thức tính độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A A, B, C. Ta có b2 + c2 a2 ma • m2 − b a = . 2 4 c a2 + c2 b2 • m2 = − . b m 2 4 b mc B a C a2 + b2 c2 • m2 − c = . 2 4 4.
Công thức tính diện tích tam giác
Gọi S là diện tích tam giác ABC. Ta có 1 1 1
○ S = a · ha = b · hb = c · hc, 2 2 2 1 1 1
○ S = bc sin A = ca sin B = ab sin C, 2 2 2 abc ○ S = , 4R ○ S = p · r,
○ S = pp(p − a)(p − b)(p − c). 122/418 122/418