Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 140 trang trình bày các dạng toán trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4 – Giới hạn, với các chủ đề: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục, sau mỗi phần đều có bài tập trắc nghiệm và tự luận giới hạn có lời giải chi tiết.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số
có giới hạn là khi dần tới dương vô cực, nếu
có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ
ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hay khi Định nghĩa 2 Ta nói dãy số có giới hạn là (hay dần tới ) khi nếu Kí hiệu: hay khi
2. Một vài giới hạn đặc biệt a) với nguyên dương; b) nếu c) Nếu ( là hằng số) thì
Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là .
II – ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí 1 a) Nếu và thì (nếu ). b) Nếu thì
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
III – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn có công bội , với
được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
IV – GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Định nghĩa Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu
có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ
một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: hay khi Dãy số có giới hạn là khi , nếu . Kí hiệu: hay khi Nhận xét:
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau a) với nguyên dương; b) nếu . 3. Định lí 2 a) Nếu và thì . b) Nếu , và thì c) Nếu và thì
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Để chứng minh
ta chứng minh với mọi số
nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số sao cho . Để chứng minh ta chứng minh . Để chứng minh
ta chứng minh với mọi số
lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên sao cho . Để chứng minh ta chứng minh .
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: n + 2 2 n − 1 1 1 − 2n 1. lim = 1 lim = lim = −2 n + 1 2. 2 3. 2n + 1 2 2 n + 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u ) : u = (− n n n 1) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: 2 n + 1 2 − n 1. lim = +∞ lim = −∞ n 2. n
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Chứng minh rằng: 1 1 2 sin n 1. lim = 0 lim 0 (k *) lim 0 n + 1 2. = k ∈ 3. = n n + 2 − 2 1 n
4. lim(2n + 1) = +∞ 5. lim = −∞ n
Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau 2 cosn + sin n n + 1 1. lim = 0 lim = 0 lim = 0 n + 1 2. 2 3. n + 1 n + 2 3 3n + n 2 − n 4. lim = +∞ lim = −∞ 2 5. . n n + 1
Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau : 2n + 1 2n + 3 2 n + 1 1. A = lim B = lim C = lim n − 2 2. 2 3. n + 1 n + 1 .
Bài 4 Tìm các giới hạn sau n − 2 n nsin n − 2 3n 1. A = lim B = lim 2n 2. 2 n 1 4n + 1 3. C = lim D = lim 2 4. . n + 2 n + 7 2 n + 3n + 2
Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u ) : u = (− n n n 1) n không có giới hạn.
Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau: n a n 1. lim = 0 lim a 1 a 0 n! 2. = với > Bài 7
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 x + x + ... + x 1. Nếu dãy số (x 1 2 n
n ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình n
cũng có giới hạn là a . 1 2 *
2. Dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện 1 < x < 1
2 và xn+ = 1+ x − x ,∀n∈ 1 n n . 2
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm lim x Vấ n .
n đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. Khi tìm
ta thường chia cả tử và mẫu cho
, trong đó là bậc lớn nhất của tử và mẫu. Khi tìm trong đó
ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn.
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : n 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 1 + 2 + ... + n − n 1. A = lim B = lim 2 2. 2n + 1 3 2 1 + 2 2 + ... + 2 n + 2n
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : 1 1 1 1. C = lim 1 − 1 − ... 1 − 2 2 2 3 2 n 1 1 1 1 2. D = lim + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : n+1 n+ 4 − 1 5 n+2 n− 4.3 − 1 2.7 1. A = lim B = lim n 2. 4 + n 5 n n+ 4 + 1 7 1 1 1
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C = lim 1 − 1 − ... 1 − 2 2 2 3 2 n
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm các giới hạn sau : 2 2n + 3n + 1 2 n + 2n 1. A = lim B = lim 2 2. 3n − n + 2 n − 2 3n + 1 ( 4 2 2n + 1) (n + 2)9 2 n + 1 − 3 3 3n + 2 3. C = lim D = lim 17 4. n + 1 4 4 2n + n + 2 − n
Bài 2 Tìm các giới hạn sau : 2 3 3 2
1. A = lim n + 6n − n
2. B = lim n + 9n − n n 3.2 − n 3 2 3 3 2 3. C = lim D = lim n + 2n − n + 2n n 4. . +1 n+ 2 + 1 3
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 2
1. A = lim n + 2n + 2 + n
2. B = lim 2n + 1 − n 4 3 3n + 1 − n k a n + ... + a n + k 1 a0 3. C = lim 4. D = lim 4 2n + 3n + 1 + n p b n + ... + b n + p 1 b0
(Trong đó k,p là các số nguyên dương; a b ≠ k p 0 ) . 3 2
5. A = lim (n − 2n + 1)
6. B = lim n + n − 1 + n k k−1 7. C = lim (a n + k ak− n + ... + 1 a0 ) với a ≠ k 0 3 3
8. D = lim 2n − n + 1 3 3n + n − 1 (n − 7 2) (2n + 3 1) 9. E = lim 10. F = lim (2n − 1)(n + 2 3) 2 (n + 5 2) 2 3 2 3
11. H = lim n + n + 1 − n
12. M = lim 1 − n − 8n + 2n 2 3 3
13. N = lim 4n + 1 − 8n + n 3 3 2 2
14. K = lim n + n − 1 − 3 4n + n + 1 + 5n .
Bài 4. Tìm các giới hạn sau 2n + 1 2 4n + 3n + 1 1. A = lim B = lim 1 − 3n 2. (3n − 2 1) 3 n + 1 3 n − 2 3n + 2 3. C = lim 4. D = lim n(2n + 2 1) 4 n + 3 4n + 1 3 n + 2n + 1 4 4 n − 2n + 1 + 2n 5. E = lim F = lim n + 2 6. 3 3 3n + n − n 2 3 3 2
7. M = lim n + 6n − n
8. N = lim n + 3n + 1 − n 3 n n 3 2 3.2 − 3
9. H = lim n 8n + n − 4n + 3 10. K = lim . n+1 n+ 2 + 1 3
Bài 5 Tìm các giới hạn sau 3 2n + sin 2n − 1 n n! 1. A = lim B lim 3 2. = n + 1 3 n + 2n n 3.3 + n 4 n + 1 3. C = lim D = lim n+1 n+ 4. 3 + 1 4 2 2 n ( 3n + 2 − 2 3n − 1) 2
5. E = lim( n + n + 1 − 2n)
6. F = lim ( n + 1 + n) k p 2 2 2
7. H = lim( n + 1 − n − 1)
8. K = lim n n + 1 − n .
Bài 6. Tìm giới hạn của các dãy số sau 1 1 1 1. u = + + ... + n 2 1 + 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 (n + 3 1) 1 + 3 2 + ... + 3 n 2. u = n 3 3n + n + 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 n(n + 1) 3. u = (1 − )(1 − ).. (1 − n ) T = n 1 T 2 T n T trong đó 2 . 3 2 − 3 1 3 − 3 1 n − 1 n 2k − 1 4. u = n . .... u = n ∑ 3 5. 2 + 3 1 3 + 3 1 n + 1 k k=1 2 n 2 n n 6. u = q + 2q + ... + n
nq với q < 1 7. u = n ∑ 2 k=1 n + k
Bài 7 Tìm các giới hạn sau: k k− a .n + 1 k ak− n + ...+ a n + 1 1 a0 1. A = lim a b 0 p p− với ≠ b .n + 1 k p p bp− n + ...+ b n + 1 1 b0 3 6 n + n + 1 − 4 4 n + 2n − 1 2. B = lim (2n + 2 3) 2
3. C = lim 4n + n + 1 − 2n 2 3 3 2
4. D = lim n + n + 1 − 2 n + n − 1 + n Bài 8 1 + a + 2 a + ... + n a
1. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn I = lim . 1 + b + 2 b + ... + n b 1 2
2. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x = 1 ,xn+ = x + x ∀ , n ≥ 1 n n 1 2 Đặ 1 1 1 t S = + + n + lim S x . + 1 x + 1 x + 1 2 n 1 . Tính n 1 2 k
3. Cho dãy (xk ) được xác định như sau: x = + + ... + k 2! 3! (k + 1)! n n n n
Tìm lim un với u = x + x + ... + n 1 2 x2011 . u = 2011 0 3 u 4. Cho dãy số (u n
n ) được xác định bởi: 1 u . Tìm lim n+ = u + 1 n 2 n . un
5. Cho dãy số (un ) xác định bởi : u = n + 2 − 2 n + 1 + n n .Đặt S = u + u + n 1 2 + un . Tìm lim Sn . u = 1; 1 u
6. Cho dãy (un ) xác định như sau: 2 u . Tìm lim∑ n n u u . n+ = u + n+1 1 n 2010 4n + 1 n
7. Cho dãy số (un ) với u = n (s ) s = n ∑u lim s n . Dãy được cho bởi . Tìm . 2 n i n i=1 u = 3 1
8. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u (u + 2 1) − 8
.Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn n n un+ = , (n ≥ 1,n ∈ N) 1 5 n u − 2 tại: lim ∑ i . →∞ 2 n i=1 u + i 1 2 u 2010 Bài 9 Cho dãy số (u n n ) xác định như sau: u = 1 2 và un+ = + 1 un n 1,2,3,... 2011 2011 với =
1. Chứng minh (un ) là dãy số tăng và không bị chặn trên.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n u 2. Tính lim ∑ i n→+∞i=1 ui+ − 1 1 . Bài 10.
1. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau: x = 1,x = 2,x + = x + + x ,∀n ≥ 1 2 n 2 n 1 n 1 .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. 1 n
2. Cho dãy số (u ) : u = 1 + n n
(u ) có giới hạn hữu hạn. n . Chứng minh rằng dãy n u = 2 1 2
3. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u − u + n n 3 u n+ = , ∀ n = 1 1,2,.... 2 u + u + n n 1
Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
4. Cho dãy số (un ) thỏa: u + u + ≥ n n 1
2un+2 và dãy (un) bị chặn. Chứng minh rằng dãy (un) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó. u = 1,u = 5 0 1
5. Cho dãy (un ) được xác định bởi: 2 u
. Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới n+ + u + 6 n 1 n un+ = 2 3 hạn đó. u = 1 1 6. Cho dãy số (u 2 n ) thỏa mãn: u + 4u + n n 1 (u ) u . Chứng minh dãy số
n có giới hạn hữu hạn. Tìm giới n+ = ,n ≥ 1 1 2 u + u + n n 1 hạn đó. x = 1;x = 1 2 2
7. Cho dãy số (xn ) sao cho
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn trên. xn+ = 4x + 1 n 3xn−1 2
Bài 11. Cho dãy số (xn ) xác định như sau: x = 0 2011, xn+ = ; ∀n = 1 0,1,2,... 1 + 2 xn 1. Đặt u = x ,∀n = n 2n
1,2,3,... Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn.
2. Chứng minh rằng dãy (xn ) cũng có giới hạn hữu hạn.
Bài 12. Tìm lim un biết:
n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 1 + 2 + ... + n − n 1. u = n u = lim 2 2. 2n + 1 n 3 2 1 + 2 2 + ... + 2 n + 2n 1 1 1 3. u = + + ... + n 2 1 + 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 1 1 1 n(n + 1) 4. u = (1 − )(1 − ).. (1 − n ) T = n 1 T 2 T n T trong đó 2 . 3 2 − 3 1 3 − 3 1 n − 1 n 2k − 1 5. u = n . .... u = n ∑ 3 6. 2 + 3 1 3 + 3 1 n + 1 k k=1 2 n 2 n n 7. u = q + 2q + ... + n nq với q < 1 8. u = n ∑ 2 k=1 n + k n 1 9. u = n ∑ 10. u = n 2 2... 2 . = 2 k 1 n + k n dau can 3 3
Bài 13. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn x = 2n + a 8n + ∀ 1 n ∈ n
N , a là số thực cho trước.
1. Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 x = α 1
Bài 14. Cho số thực α và xét dãy số (xn ) với ( ∈ * n ). 2 xn+ = x − 2x + 1 n n 2
1. Với α ∈(1;2) . Chứng minh 1 < x < n 2 với mọi ∈ * n
và (xn ) là dãy số giảm.
2. Với α ∈[1; +∞ ). Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (xn ) . Bài 15. 4 4 8
1. Gọi (un ) là dãy số xác định bởi u = ; u + = − + 1 n 1 3un lim u 9 9 9 . Tìm n .
2. Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f (4x) ≥ 4 + 4 12f (3x) − 9f (4x) . 4
Chứng minh: f (x) ≥ u ∀n ∈ n
;x∈ . Từ đó hãy suy ra f (x) ≥ 3 . x = a;y = b;z = c 1 1 1
3. Cho các dãy số (xn ),(yn ),(zn ) được xác định như sau: yn− + 1 zn−1 zn− + 1 xn−1 xn− + 1 yn− x = ,y = ,z = 1 n n n 2 2 2 a + b + c
Chứng minh rằng các dãy trên cùng hội tụ về giá trị 3 . x = a 1
5. Cho a > 2 và dãy số (xn ) với 2 n + 3 . 2xn+ = 3x + 1 n n a) Chứng minh : x > n 1 , với ∈ * n
b)Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 16. 3 a = a = 1 2 2
1. Dãy số (an ) được xác định bởi :
. Chứng minh rằng dãy số (an) hội tụ và tìm giới hạn 2 an+ = , ∀ n = 2,3,4.. 1 a + n an−1 của dãy số đó. u = 1 1 n 1
2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau .Đặt v = n ∑ un u +
+ = u (u + 1)(u + 2)(u + 3) + 1; n = 1 n n n n 1,2,. i=1 i 2 . Tìm lim vn . 1 x = 1 2 n 1 3. Cho dãy (xn ) :
. Chứng minh rằng dãy (yn) xác định bởi y = n ∑ có giới 1 2 2 x = i=1 x n xn− + 1 4xn− + 1 xn−1 , ∀ n ≥ 2 i 2
hạn và tìm giới hạn đó.
4. Cho a, b ∈ ,(a, b) = 1; n ∈{ab + 1,ab + 2, }
... . Kí hiệu nr là số cặp số (u,v)∈ × sao cho n = au + bv . Chứng r minh rằng n 1 lim = n→∞ n ab . Bài 17. (2 + cos2α)x + 2 cos α n n 1 1. Cho dãy (x ) : x = n 1 1; xn+ = 1 y = n ∑ ∀n ≥ 1
(2 − 2cos2α)x + 2 − cos2α trong đó α là số thực. Đặt n i= 2x + 1 i 1 . Tìm α
để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. Cho c là một số thực dương. Dãy (xn ) được xây dựng như sau: x + = c − c + x , n = n 1 n
0,1,2.. nếu các biểu thức
dưới dấu căn không âm. Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x ∈ 0
(0;c) , dãy (xn) xác định với mọi n
và tồn tại giới hạn hữu hạn.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Vấn đề 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 2 A. 2. B. 1. C. . D. 0. 3 sin 5n
Câu 1. Kết quả của giới hạn lim 2 bằng: 3n 3 3n 2n 1
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim là: 4 4n 2n 1 5 A. 2. B. 3. C. 0. D. . 3 2 3 A. . B. 0. C. . D. . 7 4
Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn k để k 1 n 2 n cos n n 1 1
Câu 11. Giá trị của giới hạn lim bằng: lim n . n 2 2n 2 3 A. 0. B. 1. C. 4. D. Vô số. A. . B. 2. C. 1. D. 0. 2
3sin n 4 cos n
Câu 3. Kết quả của giới hạn lim bằng: 1 n 1
Câu 12. Cho hai dãy số u v u
n và n có n và n 1 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. 2 v v . n
Khi đó lim n có giá trị bằng: n 2 un n cos 2n
Câu 4. Kết quả của giới hạn lim 5 bằng: 2 n 1 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. 1 an 4 A. 4. B. . C. 5. D. 4.
Câu 13. Cho dãy số u u n với n
trong đó a là tham 4 5n 3
số thực. Để dãy số un có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: n
Câu 5. Kết quả của giới hạn 2 3 limn sin 2n là: 5
A. a 10. B. a 8. C. a 6. D. a 4. A. . B. 2. C. 0. D. . 2n b
Câu 14. Cho dãy số u u n với n
trong đó b là tham 5n 3 1n
số thực. Để dãy số un có giới hạn hữu hạn, giá trị của b là:
Câu 6. Giá trị của giới hạn lim4 bằng: n 1
A. b là một số thực tùy ý. B. b 2. A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. C. không tồn tại . b D. b 5. 1 n
Câu 7. Cho hai dãy số u v u 2
n và n có n và 2 n 1 n n 5
Câu 15. Tính giới hạn L lim . 2 2n 1 1 v . lim u v n Khi đó n
n có giá trị bằng: 2 n 2 3 1 A. L . B. L . C. L 2. D. L 1. 2 2 A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 2 3 4n n 2 u .
Câu 8. Giá trị của giới hạn lim là:
Câu 16. Cho dãy số un với n Để dãy số đã 2 2 4n 2n 1 an 5
cho có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: 3 A. . B. . C. 0. D. 1. 4
A. a 4. B. a 4. C. a 3. D. a 2. 2 n 2n 2 3 n 3n
Câu 9. Giá trị của giới hạn lim bằng:
Câu 17. Tính giới hạn L lim . 3 n 3n 1 3 2n 5n 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 1 1 3 2n 3n 2 4 2n 3n
A. L . B. L . C. L . D. L 0. lim . lim . 2 5 2 C. D. 2 2n 1 4 2 2n n
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để 1
Câu 26. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 2 4 5n 3an 3 L lim 0. 1a 4 n 2n 1 2 n 2n 4 3 n 2n 1 A. u . u . n B. 2 n 3 2
A. a 0;a 1.
B. 0 a 1. 3n 5 3n 2n 1 2 3 n 3n 2 n 2n 5 C. u . D. u .
C. a 0; a 1.
D. 0 a 1. n 3 2 9n n 1 n 3 3n 4n 2 3 2n n 2 3n 1
Câu 27. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?
Câu 19. Tính giới hạn L lim . 2n 1 4 n 7 2 1 n 2 n 2 A. u . u . n B. 5n 5 n 3 5n 5n 3
A. L . B. L 1. C. L 3. D. L . 2 2 n 2n 1 2n C. u . . n D. 2 2 5n 5n 5n 5n 2 n 2n 3 2n 1 4n 5
Câu 20. Tính giới hạn L lim . 4 n 3n 1 2 3n 7
Câu 28. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 3 8 1 2n n 2n 1 A. L 0. B. L 1. C. L . D. L . A. . B. u . n 3 2 5n 5n 3 n 2n 2 3 2 4 n 1 2n 3n n 2n u .
Câu 21. Tính giới hạn L lim . C. u . D. n 2 3 n 3 n 8 n 2n 5n 1 2 1 1
Câu 29. Tính giới hạn L lim3n 5n 3 . A. L . B. L 1. C. L . D. L . 2 8 A. L 3. B. L .
C. L 5. D. L . 3 n 2n
Câu 22. Kết quả của giới hạn lim là: 2 13n
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc
khoảng 10;10 để L
n 2a 3 lim 5 3 2 n . 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 A. 19. B. 3. C. 5. D. 10. 3 2n 3n
Câu 31. Tính giới hạn 4 2
lim 3n 4n n 1 .
Câu 23. Kết quả của giới hạn lim là: 2 4n 2n 1 A. L 7. B. L .
C. L 3. D. L . 3 5 A. . B. . C. 0 D. . 4 7 2 n
Câu 32. Cho dãy số u
u 2 2 ... 2 . n với n 4 3n n
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Câu 24. Kết quả của giới hạn lim là: 4n 5 2 A. lim u . B. lim u . 3 n n 1 2 A. 0. B. . C. . D. . 4 C. lim u . u n
D. Không tồn tại lim . n
Câu 25. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 1 3 n 3 3 2n 2 2n 3 1 ... 2 2 2 A. lim . B. lim . lim 2
Câu 33. Giá trị của giới hạn bằng: 2n 1 3 2n 4 2 n 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 1 A. . B. 1. C. . D. . C. lim u . D. lim u 1. 8 2 4 n 2 n 1 2 n 1
Câu 41. Cho dãy số có giới hạn un xác định bởi
Câu 34. Giá trị của giới hạn lim ... bằng: 2 2 2 n n n u 2 1 u 1 . Tính lim u . n 1 1 n u , n 1 n 1 A. 0. B. . C. . D. 1. 2 3 2 A. lim u 1. B. lim u 0. C. lim u 2. D n n n
1 3 5 2n 1
Câu 35. Giá trị của giới hạn lim 2 3n 4 2 9n n 1
Câu 42. Kết quả của giới hạn lim bằng: bằng: 4n 2 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 2 3 3 3 A. . B. . C. 0. D. 3. 3 4 1 1 1 2 n 2n 1
Câu 36. Giá trị của giới hạn lim ... là: lim
Câu 43. Kết quả của giới hạn bằng: 1.2 2.3 nn 1 4 3n 2 1 2 1 3 1 A. . B. 1. C. 0. D. . . . . . 2 A. B. C. D. 3 2 3 2 Câu 37. Giá trị của giới hạn 2n 3 lim 1 1 1
Câu 44. Kết quả của giới hạn là: lim ... 2n 5 bằng: 1.3 3.5 2n 1 2n 1 5 5 A. . B. . C. . D. 1. 1 1 2 7 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 4 n 1 4
Câu 45. Kết quả của giới hạn lim bằng: 1 1 1 n 1 n
Câu 38. Giá trị của giới hạn lim ...... 1.4 2.5 nn 3 1 bằng: A. 1. B. 0. C. 1. D. . 2 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 2 n n 1
Câu 46. Biết rằng lim a sin . b Tính 2 n n 2 4 2 2 2 1 2 ... n 3 3
Câu 39. Giá trị của giới hạn lim bằng:
S a b . n 2 n 1 A. S 1. B. S 8. C. S 0. D. S 1. 1 1 A. 4. B. 1. C. . D. . 2 3 10
Câu 47. Kết quả của giới hạn lim là: 4 2 n n 1
Câu 40. Cho dãy số có giới hạn un xác định bởi A. . B. 10. C. 0. D. . 1 u n 2 . u 2n 2 1 Tính lim . n
Câu 48. Kết quả của giới hạn limn 1 là: u , n 1 4 2 n n 1 n 1 2 u n A. . B. 1. C. 0. D. .
A. lim u 1. u n B. lim 0. n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 3 2 an 5n 7 A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Câu 49. Biết rằng lim
b 3 c với , a b, c là 2 3n n 2
Câu 59. Giá trị của giới hạn 2 lim
n 2n 3 n là: a c
các tham số. Tính giá trị của biểu thức P . 3 b A. 1. B. 0. C. 1. D. . 1 1
A. P 3. B. P . C. P 2. D. P . 3 2
Câu 60. Cho dãy số u
u n an n n với 2 2 5 1 n ,
trong đó a là tham số thực. Tìm a để lim u 1. n
Câu 50. Kết quả của giới hạn 5 5 2
lim 200 3n 2n là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. A. . B. 1. C. 0. D. .
Câu 61. Giá trị của giới hạn lim3 3 3 3
n 1 n 2 bằng:
Vấn đề 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 51. Giá trị của giới hạn lim n 5 n 1 bằng: A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 3 2 3 lim A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Câu 62. Giá trị của giới hạn
n n n là:
Câu 52. Giá trị của giới hạn 2 lim
n n 1 n là: 1 A. . B. . C. 0. D. 1. 3 1 A. . B. 0. C. 1. D. . 3 3 2 2
Câu 63. Giá trị của giới hạn lim n 2n n bằng:
Câu 53. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 1 3n 2 là: 1 2 A. . B. . C. 0. D. 1. 3 3 A. 2. B. 0. C. . D. .
Câu 64. Giá trị của giới hạn lim n
n1 n1 là:
Câu 54. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n n 2n là: A. 1. B. . C. 0. D. 1. A. 1. B. 2. C. 4. D. .
Câu 65. Giá trị của giới hạn lim n
n1 n bằng:
Câu 55. Có bao nhiêu giá trị của a để 2 2 2 lim
n a n n a 2n 1 0. 1 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 3 4 A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 66. Giá trị của giới hạn n 2 2 lim
n 1 n 3 bằng: Câu 56. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
2n n 1 2n 3n 2 là: A. 1. B. 2. C. 4. D. . 2
Câu 67. Giá trị của giới hạn n 2 2 lim
n n 1 n n 6 A. 0. B. . C. . D. . 2 là:
Câu 57. Giá trị của giới hạn 2 2 lim
n 2n 1 2n n là: 7
A. 7 1. B. 3. C. . D. . 2 A. 1. B. 1 2. C. . D. . 1
Câu 68. Giá trị của giới hạn lim là:
Câu 58. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa 2
n 2 n 4 2 2 lim
n 8n n a 0 . A. 1. B. 0. C. . D. .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2
9n n n 2
Câu 78. Kết quả của giới hạn 4 n 1
lim 3 .2 5.3n là:
Câu 69. Giá trị của giới hạn lim là: 3n 2 2 1 . . A. 1. B. 0. C. 3. D. . A. B. 1. C. . D. 3 3 1 n n 1
Câu 70. Giá trị của giới hạn lim là: 3 4.2 3 3 3 n 1 n
Câu 79. Kết quả của giới hạn lim là: 3.2 4n n A. 2. B. 0. C. . D. . A. 0. B. 1. C. . D. .
Vấn đề 3. DÃY SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA n 1 2 3n 10
Câu 80. Kết quả của giới hạn lim là: 2 3n n 2 n2 2 5 2 3 A. . B. . C. . D. .
Câu 71. Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n 2.5n 3 2 25 5 5
Câu 81. Tìm tất cả giá trị nguyên của a thuộc 0;2018 để A. . B. . C. 1. D. . 2 2 2 n n 1 4 2 1 4 lim .
3n 4na 1024 n n 1 3 2.5
Câu 72. Kết quả của giới hạn lim bằng: n 1 2 5n A. 2007. B. 2008. C. 2017. D. 2016. A. 15. B. 10. C. 10. D. 15. 2 n 2n 1 n
Câu 82. Kết quả của giới hạn lim bằng: n n n 1 3 4.2 3 3n 1 3
Câu 73. Kết quả của giới hạn lim là: 3.2n 4n 2 1 1 A. . B. 1. C. . D. . A. 0. B. 1. C. . D. . 3 3 3 3n 1 n
Câu 74. Kết quả của giới hạn lim bằng: 3n 1 cos 3n 2n 2.3n 1
Câu 83. Kết quả của giới hạn lim bằng: n 1 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 3 A. . B. 3. C. 5. D. 1. 2 Câu 75. Biết rằng
Câu 84. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc 0;20 sao n 5 n 1 2 1 2 2n 3 a 5 lim c với , a b, c . 2 n an 1 1 n 1 2 n 1 5.2 5 3 b cho lim 3 là một số nguyên. 2 3 n 2n
Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
S a b c . A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. A. S 26.
B. S 30. C. S 21. D. S 31.
Câu 85. Kết quả của giới hạn lim 2.3n n 2 là: n n 2 3 2 n
Câu 76. Kết quả của giới hạn lim là: n n 2n2 3 3 2 A. 0. B. 2. C. 3. D. . 1 1 A. 1. B. . C. . D. .
Vấn đề 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ 3 4 HẠN n
Câu 77. Kết quả của giới hạn lim 3n 5 là:
Câu 86. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 2 , tổng của 9
ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
. Số hạng đầu u 4 1 A. 3. B. 5. C. . D. .
của cấp số nhân đó là:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 9 1 A. u 3. u 4. u . u 5. S . S x 1 B. 1 C. 1 D. C. D. 2 tan . 2 1 2 1 sin x 1 1 1 Câu 95. Thu gọn 2 3
S 1 tan tan tan với
Câu 87. Tính tổng S 9 3 1 . 3 3 9 3n 0 . 4 27 A. S
. B. S 14. C. S 16. D. S 15. 2 1 cos A. S . B. S . 1 tan 1 1 1 1 2 sin
Câu 88. Tính tổng S 2 1 4 . 2 4 8 2n tan 1 C. S . D. 2 S tan .
A. S 2 1. B. S 2. C. S 2 2. D. S . 1 tan 2 Câu 96. Cho ,
m n là các số thực thuộc 1; 1 và các biểu thức: 2 4 2n
Câu 89. Tính tổng S 1 . 3 9 3n 2 3
M 1 m m m A. S 3.
B. S 4. C. S 5. D. S 6. 2 3
N 1 n n n 1 1 1 n 1 1 2 2 3 3
Câu 90. Tổng của cấp số nhân vô hạn , , ,..., ,... A 1 mn m n m n n 1 2 6 18 2.3 bằng:
Khẳng định nào dưới đây đúng? 3 8 2 3 MN MN A. . B. . C. . D. . A. A . B. A . 4 3 3 8 M N 1 M N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Câu 91. Tính tổng S C. A . D. A . ... . ... 2 3 4 9
2n 3n M N MN M N MN 2 3 1
Câu 97. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu A. 1. B. . C. . D. . 3 4 2 a
diễn bởi phân số tối giản
. Tính tổng T a . b b
Câu 92. Giá trị của giới hạn 2
1 a a ... n a A. 17. B. 68. C. 133. D. 137. lim
a 1, b 1 bằng: 2 n
1 b b ... b
Câu 98. Số thập phân vô hạn tuần hoàn A 0,353535... được 1b 1a a A. 0. B. . C. .
D. Không tồn tại. biểu diễn bởi phân số tối giản . Tính T . ab 1a 1b b Câu 93. Rút gọn A. 3456. B. 3465. C. 3645. D. 3546. 2 4 6 2 S 1 cos cos cos cos n x x x x với B cos x 1.
Câu 99. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 5,231231... được a
biểu diễn bởi phân số tối giản
. Tính T a . b A. 2 S sin x. B. 2 S cos x. b 1 1 A. 1409. B. 1490. C. 1049. D. 1940. C. S . D. S . 2 sin x 2 cos x
Câu 100. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323 được Câu 94. Rút gọn a
biểu diễn bởi phân số tối giản
. Khẳng định nào dưới đây 2 4 6 n 2 1 sin sin sin 1 .sin n S x x x x b với đúng? sin x 1. A. 15 a b 2 . B. 14 a b 2 . A. 2 S sin x. B. 2 S cos x.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 C. 13 a b 2 . D. 12 a b 2 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: n + 2 2 n − 1 1 1 − 2n 1. lim = 1 lim = lim = −2 n 3. + 1 2. 2 2n + 1 2 2 n + 1 Lời giải. 1
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 1 a , ta có: n + 2 1 1 − 1 = < < a n n n + 1 n + 1 n + a 1 với ∀ > a n + 2 n + 2 Suy ra lim − 1 = 0 ⇒ lim = 1 n + 1 n + 1 . 3
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 1 a , ta có: 2 n − 1 1 3 3 − = < < a n n 2 với ∀ > 2n + 2 1 2 n + 2 1 n + a a 1 2 n − 2 1 1 n − 1 1 Suy ra lim − = 0 ⇒ lim = 2 . 2n + 2 1 2 2n + 1 2 9
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 1 2 , ta có: a 1 − 2n 1 − 2n + 2 2 n + 1 1 − 2n + 2(n + 1) 3 3 + 2 = < = < < a với ∀n > n . 2 a n + 2 1 n + 2 1 n + 2 1 n + 1 2 n + a 1 1 − 2n 1 − 2n Suy ra lim + 2 = 0 ⇒ lim = −2 . 2 n + 2 1 n + 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u ) : u = (− n n n 1) không có giới hạn. Lời giải. Ta có: u
= 1 ⇒ lim u = 1; u + = −1⇒ lim u + = − 2n 2n 2n 1 2n 1 1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: 2 n + 1 2 − n 1. lim = +∞ lim = −∞ n 2. n Lời giải.
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có: 2 n + 1 M + 2 2 M − 4
> M ⇔ n − Mn + 1 > 0 ⇔ n > n 2 2 M + M − 4 2 n + 1 Ta chọn n = 0 > M, ∀ n > n 2 thì ta có: 0 n 2 Do đó: n + 1 lim = +∞ n .
2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 2 n − 2 M + M + 8
> M ⇔ n − M n − 2 > 0 ⇔ n > n 2 2 2 M + M + 8 n − 2 Ta chọn n = 0 > M, ∀ n > n 2 thì ta có: 0 n Do đó: 2 − n lim = −∞ . n
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng: 1 1 2 sin n 1. lim = 0 lim 0 (k *) lim 0 n ∈ 3. = + 1 2. = k n n + 2 − 2 1 n
4. lim(2n + 1) = +∞ 5. lim = −∞ n
Bài 2 Chứng minh các giới hạn sau 2 cosn + sin n n + 1 1. lim = 0 lim = 0 lim = 0 n 3. + 1 2. 2 n + 1 n + 2 3 3n + n 2 − n 4. lim = +∞ lim = −∞ 2 5. . n n + 1
Bài 3 Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau : 2n + 1 2n + 3 2 n + 1 1. A = lim B = lim C = lim n 3. − 2 2. 2 n + 1 n + 1 .
Bài 4 Tìm các giới hạn sau n − 2 n nsin n − 2 3n 1. A = lim B = lim 2n 2. 2 n 1 4n + 1 3. C = lim D = lim 2 4. . n + 2 n + 7 2 n + 3n + 2
Bài 5 Chứng minh rằng dãy số (u ) : u = (− n n n 1) n không có giới hạn.
Bài 6 Chứng minh các giới hạn sau: n a n 1. lim = 0 lim a 1 a 0 n! 2. = với > Bài 7 x + x + ... + x 1 2 n
1. Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình n
cũng có giới hạn là a .
2. Dãy số (xn ) thỏa mãn điều kiện 1 < x < 1 2 và 1 2 * xn+ = 1+ x − x ,∀n∈ 1 n n . lim x 2
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm n . ĐÁP ÁN Bài 1 : 1 1 1 1
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 1 a n n lim 0 a ta có < < ∀ > n + 1 n + a a 1 nên có = n + 1 . 1 1 1 1
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > k a a n n lim 0 a ta có < < ∀ > a k k nên có = . n n k a n 1 2 sin n 1 1 2 sin n
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 2 a n n lim 0 a ta có < < < ∀ > n + 2 n + 2 n + a a 2 nên có = n + 2 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 M − 1
4. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n > M 2 Ta có: 2n + 1 > 2n
+ 1 > M ∀n > n ⇒ lim(2n + 1) = +∞ M M . 2 n − M 1
5. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa > M n M M + 2 M + 4 ⇔ n > M 2 . 2 n − 2 1 n − 1 Ta có: > M ∀n > n ⇒ lim = +∞ M n n − 2 1 n Vậy lim = −∞ n . Bài 2 2
1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n = − 1 + a 1 a 2 2 Suy ra < a ∀n > n ⇒ lim = 0 n + a 1 n + 1 . cosn + sin n 2 1 cosn + sin n 2. Ta có < lim = 0 ⇒ lim = 0 2 2 mà n n 2 2 n n + 1 1
3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n = − 1 + a 1 2 a n + 1 1 n + 1 Ta có: < < a ∀n > n ⇒ lim = 0 n . + 2 n + a 1 n + 2 M
4. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta chọn n = + M 1 3 3 3n + n 1 Ta có: = 3n + > M ∀n > nM 2 n n 3 3n + n Vậy lim = +∞ 2 . n 1 2
5. Với mọi M > 0 lớn tùy ý , ta chọn n > + 3 − M 1 a n − 2 3 Ta có: = n + 1 − > 1 + n − 3 > ∀ M n > n 1 + n n + M 1 2 − n Suy ra lim = −∞ . n + 1 Bài 3 5
1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > + 2 > a 2 a 2n + 1 5 5 Ta có: − 2 = < < a ∀n > n n − 2 n − 2 n − a a 2 Vậy A = 2 . 2n + 3
2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n a a thỏa < a 2 n + a 1 1 + 2 a − 4a + 13 ⇔ n > a a
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2n + 3 Ta có:
< a ∀n > n ⇒ B = 0 . n + a 2 1 1
3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n > − a 1 a 2 n + 1 n + 2 1 Ta có: − 1 < − 1 < < a ∀n > n n + 1 n + 1 n + a a 1 Vậy C = 1 . Bài 4 1 1. A = B 3 C 0 D 4
2 2. = − 3. = 4. = . Bài 5 Ta có: u
= 2n → +∞; u + = −(2n + 1) → −∞ 2n 2n 1
Do đó dãy số đã cho không có giới hạn. Bài 6
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m + 1 > a . Khi đó với mọi n > m + 1 m n− n a a a a a a a a m Ta có: 0 < = . ... . ... < . n! 1 2 m m + 1 n m! m + 1 n− m a n a Mà lim = 0 lim 0 m . Từ đó suy ra: = + 1 n! .
2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm n • n n
Giả sử a > 1 . Khi đó: a 1 a 1 n a 1 ( ) = + − > ( − ) n a n Suy ra: 0 < a − 1 < → 0 lim a 1 n nên = • 1 1 n Với 0 < a < 1 thì > 1 ⇒ n lim = 1 ⇒ lim a = 1 a a . n
Tóm lại ta luôn có: lim a = 1 với a > 0 . Bài 7
1. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a = 0 . ε u + u + ... + 1 2 un ε 0
Với mọi ε > 0 tồn tại n ∈ * 0
sao cho với mọi n ≥ n0 thì u < n < 2 và n 2 . u + u + ... + u u + ... + + + + 1 2 n 1 u u u ... u n 1 2 n n 0 0 Từ đó ta có : + ≤ + n n n ε (n − n0 ) ε < + < ε ∀n ≥ N 2 n 2 . u + ... + u Suy ra: 1 n lim = 0 n .
2. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: 1 x − 2 < ,∀n ≥ n 3 n . 2
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với n = 3 . 1
Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 3 , tức là x − 2 < n n . 2 Khi đó ta có: 1
x + − 2 = x − 2 2 − 2 − n 1 n xn 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 ≤ x − n 2 ( 2 − x + 2 − n 2 2 ) 2 1 1 1 1 < x − 2 < = n . n n+1 2 2 2 2
Do đó bất đẳng thức đúng đến n + 1. 1 Mặt khác do lim = 0 lim x − 2 = 0 ⇒ lim x = 2 n
nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có ( n ) . 2 n
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số f : → thỏa: f(x) − f(y) ≤ q. x − y với mọi x, y ∈ và q ∈ (0;1) . Khi đó dãy số (un ) được xác định bởi u = c; u = f(u − ), ∀n = 0 n n 1
2,3,... có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình f(x) = x .
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình f(x) = x có nghiệm là 2 nên ta mới đi chứng minh lim x = n 2 .
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : n 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 1 + 2 + ... + n − n 1. A = lim B = lim 2 2. 2n + 1 3 2 1 + 2 2 + ... + 2 n + 2n Lời giải. 1. Ta có: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2n 1 n 2 n 1 1 Suy ra A = lim = lim = 2 . 2n + 1 2 + 1 2 2 n n(n + 1)
2. Ta có: 1 + 2 + ... + n = 2 ; 2 2 2 n(n + 1)(2n + 1) 1 + 2 + ... + n = 6 2 1 n 1 + n(n + 1) n − − 1 n n − 1 2 2 2 Suy ra : B = lim = lim = . n(n + 1)(2n + 3 1) 3 1 1 + 1 2n n 1 + 2 + 3 + 2 6 3 n n 3 + 2n 6
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : 1 1 1 1. C = lim 1 − 1 − ... 1 − 2 2 2 3 2 n 1 1 1 1 2. D = lim + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Lời giải. 1 (k − 1)(k + 1) 1. Ta có: 1 − = 2 2 nên suy ra k k 1 1
1 1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + 1 1 − 1 − ... 1 − = . ... = 2 2 2 3 2 n 2 2 2 2 3 n 2n n + 1 1 Do vậy C = lim = 2n 2 . 1 1 1 2. Ta có = − k(k + 1) k k + 1 nên suy ra
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 1 1 + + + ... + = 1 − 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n + 1 1 Vậy D = lim 1 − = 1 n + 1 .
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : n+1 n+ 4 − 1 5 n+2 n− 4.3 − 1 2.7 1. A = lim B = lim n 2. 4 + n 5 n n+ 4 + 1 7 Lời giải. 4 n 4 − 5 n n 5 4
1. Chia cả tử và mẫu cho 5 ta có: A = lim = −5 ( do lim = 0 4 n 5 ). + 1 5 4 n − 2 36 7 7 2 2. Ta có: B = lim = − . n 49 4 + 7 7 1 1 1
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C = lim 1 − 1 − ... 1 − 2 2 2 3 2 n
Lời giải. 1 (k−1)(k+1) Ta có: 1 − = 2 2 nên suy ra k k 1 1
1 1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + 1 1 − 1 − ... 1 − = . ... = 2 2 2 3 2 n 2 2 2 2 3 n 2n n + 1 1 Do vậy C = lim = 2n 2 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các giới hạn sau : 2 2n + 3n + 1 2 n + 2n 1. A = lim B = lim 2 2. 3n − n + 2 n − 2 3n + 1 ( 4 2 2n + 1) (n + 2)9 2 n + 1 − 3 3 3n + 2 3. C = lim D = lim 17 4. n + 1 4 4 2n + n + 2 − n
Bài 2 Tìm các giới hạn sau : 2 3 3 2
1. A = lim n + 6n − n
2. B = lim n + 9n − n n 3.2 − n 3 2 3 3 2 3. C = lim D = lim n + 2n − n + 2n n+1 n+ 4. . 2 + 1 3
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 2 2
1. A = lim n + 2n + 2 + n
2. B = lim 2n + 1 − n 4 3 3n + 1 − n k a n + ... + a n + a 3. C = lim 4. D = k 1 0 lim 4 2n + 3n + 1 + n p b n + ... + b n + p 1 b0
(Trong đó k,p là các số nguyên dương; a b ≠ k p 0 ) . 3 2
5. A = lim (n − 2n + 1)
6. B = lim n + n − 1 + n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 k k−1 7. C = lim (a n + k ak− n + ...+ 1 a0 ) với a ≠ k 0 3 3
8. D = lim 2n − n + 1 3 3n + n − 1 (n − 7 2) (2n + 3 1) 9. E = lim 10. F = lim (2n − 1)(n + 2 3) 2 (n + 5 2) 2 3 2 3
11. H = lim n + n + 1 − n
12. M = lim 1 − n − 8n + 2n 2 3 3
13. N = lim 4n + 1 − 8n + n 3 3 2 2
14. K = lim n + n − 1 − 3 4n + n + 1 + 5n .
Bài 4. Tìm các giới hạn sau 2n + 1 2 4n + 3n + 1 1. A = lim B = lim 1 − 3n 2. (3n − 2 1) 3 n + 1 3 n − 2 3n + 2 3. C = lim 4. D = lim n(2n + 2 1) 4 n + 3 4n + 1 3 n + 2n + 1 4 4 n − 2n + 1 + 2n 5. E = lim F = lim n + 2 6. 3 3 3n + n − n 2 3 3 2
7. M = lim n + 6n − n
8. N = lim n + 3n + 1 − n n n 3 3 2 3.2 − 3
9. H = lim n 8n + n − 4n + 3 10. K = lim . n+1 n+ 2 + 1 3
Bài 5 Tìm các giới hạn sau 3 2n + sin 2n − 1 n n! 1. A = lim B lim 3 2. = n + 1 3 n + 2n n 3.3 + n 4 n + 1 3. C = lim D = lim n+1 n+ 4. 3 + 1 4 2 2 n ( 3n + 2 − 2 3n − 1) 2
5. E = lim( n + n + 1 − 2n)
6. F = lim ( n + 1 + n) k p 2 2 2
7. H = lim( n + 1 − n − 1)
8. K = lim n n + 1 − n .
Bài 6. Tìm giới hạn của các dãy số sau 1 1 1 1. u = + + ... + n 2 1 + 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 (n + 3 1) 1 + 3 2 + ... + 3 n 2. u = n 3 3n + n + 2 1 1 1 n(n 1) 3. u = (1 − )(1 − ).. (1 − n ) T 1 T 2 T n T trong đó + = n 2 . 3 2 − 3 1 3 − 3 1 n − 1 n 2k − 1 4. u = n . .... u = n ∑ 3 5. 2 + 3 1 3 + 3 1 n + 1 k k=1 2 n 2 n n 6. u = q + 2q + ... + n
nq với q < 1 7. u = n ∑ 2 k=1 n + k
Bài 7 Tìm các giới hạn sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 k k− a .n + 1 k ak− n + ...+ a n + a 1. A = 1 1 0 lim a b 0 p p với ≠ − b .n + 1 k p p bp− n + ... + b n + 1 1 b0 3 6 n + n + 1 − 4 4 n + 2n − 1 2. B = lim (2n + 2 3) 2
3. C = lim 4n + n + 1 − 2n 2 3 3 2
4. D = lim n + n + 1 − 2 n + n − 1 + n Bài 8
1. Cho các số thực a,b thỏa a < 1; b < 1 . Tìm giới hạn 1 + a + 2 a + ... + n a I = lim . 1 + b + 2 b + ... + n b 1 2
2. Cho dãy số (xn ) xác định bởi x = 1 ,xn+ = x + x ,∀n ≥ 1 n n 1 2 Đặ 1 1 1 t S = + + n + lim S x . + 1 x + 1 x + 1 2 n 1 . Tính n 1 2 k
3. Cho dãy (xk ) được xác định như sau: x = + + ... + k 2! 3! (k + 1)! n n n n
Tìm lim un với u = x + x + ... + n 1 2 x2011 . u = 2011 0 3 u 4. Cho dãy số (u n
n ) được xác định bởi: 1 u . Tìm lim n+ = u + 1 n 2 n . un
5. Cho dãy số (un ) xác định bởi : u = n + 2 − 2 n + 1 + n n . Đặt S = u + u + n 1 2 + un . Tìm lim Sn . u = 1; 1 u
6. Cho dãy (un ) xác định như sau: 2 u . Tìm lim∑ n n u u . n+ = u + n+1 1 n 2010 4n + 1 n
7. Cho dãy số (un ) với u = n (s ) s = n ∑u lim s n . Dãy được cho bởi . Tìm . 2 n i n i=1 u = 3 1
8. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u (u + 2 1) − 8 . n n un+ = , (n ≥ 1,n ∈ N) 1 5 n u − 2
Xét sự hội tụ và tính giới hạn sau nếu tồn tại: lim ∑ i . →∞ 2 n i=1 u + i 1
Bài 9 Cho dãy số (un ) xác định như sau: u = 1 2 và 2 un 2010 un+ = + 1 un n 1,2,3,... 2011 2011 với =
1. Chứng minh (un ) là dãy số tăng và không bị chặn trên. n ui 2. Tính lim ∑ n→+∞i=1 ui+ − 1 1 . Bài 10.
1. Cho dãy số (xn ) được xác định như sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
x = 1,x = 2,x + = x + + x ,∀n ≥ 1 2 n 2 n 1 n 1 .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó. 1 n
2. Cho dãy số (u ) : u = 1 + n n
(u ) có giới hạn hữu hạn. n . Chứng minh rằng dãy n u = 2 1 2
3. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u − u + n n 3 u n+ = , ∀ n = 1 1,2,.... 2 u + u + n n 1
Chứng minh rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
4. Cho dãy số (un ) thỏa: u + u + ≥ n n 1
2un+2 và dãy (un) bị chặn. Chứng minh rằng dãy (un) tồn tại giới hạn hữu và tìm giới hạn đó. u = 1,u = 5 0 1
5. Cho dãy (un ) được xác định bởi: 2 u
. Chứng minh rằng dãy (u ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới n+ + u + 6 n 1 n un+ = 2 3 hạn đó. u = 1 1 6. Cho dãy số (u 2 n ) thỏa mãn: u + 4u + n n 1 (u ) u . Chứng minh dãy số
n có giới hạn hữu hạn. Tìm giới n+ = ,n ≥ 1 1 2 u + u + n n 1 hạn đó. x = 1;x = 1 2 2
7. Cho dãy số (xn ) sao cho
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn trên. xn+ = 4x + 1 n 3xn−1
Bài 11. Cho dãy số (xn ) xác định như sau: 2 x = 0 2011, xn+ = ; ∀n = 1 0,1,2,... 1 + 2 xn 1. Đặt u = x ,∀n = n 2n
1,2,3,... Chứng minh dãy (un) có giới hạn hữu hạn.
2. Chứng minh rằng dãy (xn ) cũng có giới hạn hữu hạn.
Bài 12. Tìm lim un biết:
n. 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) 1 + 2 + ... + n − n 1. u = n u = lim 2 2. 2n + 1 n 3 2 1 + 2 2 + ... + 2 n + 2n 1 1 1 3. u = + + ... + n 2 1 + 2 3 2 + 2 3 (n + 1) n + n n + 1 1 1 1 n(n 1) 4. u = (1 − )(1 − ).. (1 − n ) T 1 T 2 T n T trong đó + = n 2 . 3 2 − 3 1 3 − 3 1 n − 1 n 2k − 1 5. u = n . .... u = n ∑ 3 6. 2 + 3 1 3 + 3 1 n + 1 k k=1 2 n 2 n n 7. u = q + 2q + ... + n nq với q < 1 8. u = n ∑ 2 k=1 n + k n 1 9. u = n ∑ 10. u = n 2 2... 2 . = 2 k 1 n + k n dau can 3 3
Bài 13. Cho dãy số (xn ) thỏa mãn x = 2n + a 8n + ∀ 1 n ∈ n
N , a là số thực cho trước.
1. Tìm điều kiện của a để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm điều kiện của a sao cho dãy số trên là dãy số tăng.
Bài 14. Cho số thực α và xét dãy số (xn ) với
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 x = α 1 ( ∈ * n ). 2 xn+ = x − 2x + 1 n n 2
1. Với α ∈(1;2) . Chứng minh 1 < x < n 2 với mọi ∈ * n
và (xn ) là dãy số giảm.
2. Với α ∈[1; +∞ ). Tùy vào giá trị của α , tìm giới hạn của (xn ) . Bài 15. 4 4 8
1. Gọi (un ) là dãy số xác định bởi u = ; u + = − + 1 n 1 3un lim u 9 9 9 . Tìm n .
2. Giả sử f(x) là hàm số được xác định trên tập số thực R và thỏa mãn bất phương trình: 9f (4x) ≥ 4 + 4 12f (3x) − 9f (4x) . 4
Chứng minh: f (x) ≥ u ∀n ∈ n
;x∈ . Từ đó hãy suy ra f (x) ≥ 3 .
3. Cho các dãy số (xn ),(yn ),(zn ) được xác định như sau: x = a;y = b;z = c 1 1 1 yn− + 1 zn−1 zn− + 1 xn−1 xn− + 1 yn− x = ,y = ,z = 1 n n n 2 2 2 a + b + c
Chứng minh rằng các dãy trên cùng hội tụ về giá trị 3 . x = a 1
5. Cho a > 2 và dãy số (xn ) với 2 n + 3 . 2xn+ = 3x + 1 n n a) Chứng minh : x > n 1 , với ∈ * n
b)Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 16. 3 a = a = 1 2 2
1. Dãy số (an ) được xác định bởi :
. Chứng minh rằng dãy số (an) hội tụ và tìm giới hạn 2 an+ = , ∀ n = 2,3,4.. 1 a + n an−1 của dãy số đó.
2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau u = 1 1 .
un+ = u (u + 1)(u + 2)(u + 3) + 1; n = 1 n n n n 1,2,. n Đặt 1 v = n ∑ lim v . i= u + 1 i 2 . Tìm n 1 x = 1 2 n 1 3. Cho dãy (xn ) :
. Chứng minh rằng dãy (yn) xác định bởi y = n ∑ có giới 1 2 2 x = i=1 x n xn− + 1 4xn− + 1 xn−1 , ∀ n ≥ 2 i 2
hạn và tìm giới hạn đó.
4. Cho a, b ∈ ,(a, b) = 1; n ∈{ab + 1,ab + 2, }
... . Kí hiệu nr là số cặp số (u,v)∈ × sao cho n = au + bv . Chứng r minh rằng n 1 lim = n→∞ n ab . Bài 17. (2 + cos2α)x + 2 cos α n 1 1. Cho dãy (x ) : x = n n 1 1; xn+ = 1 y = n ∑ ∀n ≥ 1
(2 − 2cos2α)x + 2 − cos2 trong đó α là số thực. Đặt α n i= 2x + 1 i 1 . Tìm α
để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
2. Cho c là một số thực dương. Dãy (xn ) được xây dựng như sau: x + = c − c + x , n = n 1 n
0,1,2.. nếu các biểu thức
dưới dấu căn không âm. Tìm tất cả các giá trị của c , để với mọi giá trị ban đầu x ∈ 0
(0;c) , dãy (xn) xác định với mọi n
và tồn tại giới hạn hữu hạn. ĐÁP ÁN Bài 1 + 3 + 1 2 2 n n 2 1. Ta có: A = lim = . − 1 + 2 3 3 2 n n 2 n + n 1 + 1 n n 1 2. Ta có: B = lim = lim = 2 n 3n 1 1 1 − − + 1 − 3 + 3 2 n n 8 n (2 + 1 4 9 ) .n (1 + 2 9 ) (2 + 1 4 ) .(1 + 2 9 ) 2 2 n n n n 3. Ta có: C = lim = lim 17 + 1 + 1 n (1 ) 1 17 17 n n Suy ra C = 16 . 1 2 n 1 + − 3 3 + 2 3 n n 1− 3 3 4. Ta có: D = lim = . 4 1 2 2 − 1 n 4 2 + + − 1 3 4 n n Bài 2 2 n + 6n − 2 2 n
1. Ta có A = lim n + 6n − n = lim 2 n + 6n + n 6n 6 = lim = lim = 3 2 n + 6n + n 1 + 6 + 1 n 3 3 2
2. Ta có: B = lim n + 9n − n 2 9n = lim 3 ( 2 3 n + 2 9n ) + 3 3 n n + 2 9n + 2 n 9 = lim = 3 . 9 2 3 + + + 9 1 1 + 1 n n 2 n 3. − n n 1 3.2 − 3 3 1 3. Ta có: C = lim = lim = − n +1 n+ 2 + 1 3 2 n 3 2. + 3 3 2 3 3 2
4. Ta có: D = lim n + 2n − n − lim n + 2n − n 2 2n 2n = lim − lim 2 n + 2n + 3 3 n (n + 2 2 2n ) + 3 3 n n + 2 2n + 2 n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 2 1 = lim − lim = . 2 2 2 3 1 + + 1 (1 + 2 3 ) + 3 1 + + 1 n n n Bài 3 2 2
1. Ta có A = lim n 1 + + + 1 = +∞ 2 n n 2 2 Do lim n = +∞; lim 1 + + + 1 = 2 2 . n n 1
2. Ta có: B = lim n 2 + − 1 = +∞ n 2
3. Chia cả tử và mẫu cho n ta có được 3 1 1 4 + − 5 8 n n n C = lim = 0 . + 3 + 1 + 1 2 3 4 n n n
4. Ta xét ba trường hợp sau • k
k > p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có: ak− a a + 1 + ... + 0 k k +∞ if a b > n n 0 D = lim = k p b . b −∞ if a b < p 0 0 + ... + k p p−k k n n • k
k = p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có: ak− a a + 1 + ... + 0 k k n a = n D lim = k b b . b + ... + 0 k k k n ak a + ... + 0 p−k p • p n n
k < p . Chia cả tử và mẫu cho n : D = lim = 0 b . b + ... + 0 p p n 3 1 1 5.Ta có: A = lim n 1 − + = +∞ 2 3 n n 6. B = +∞ k ak− a 1 0 +∞ khi a > k 0 7. C = lim n a + + ... + k = k n n −∞ khi a < k 0 8. D = +∞ + 1 − 1 3 2 3 n n 3 9.Ta có: E = lim = 1 3 2 2 2 − 1 + n n 2 7 1 3 1 − 2 + n n 10. Ta có: F = lim = 8 5 5 1 + 2 n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 + 1 n + 1 n 1 11. Ta có: H = lim = lim = 2 n + n + 1 + n 1 1 2 1 + + + 1 2 n n 1 − 2 n 1 12. Ta có: M = lim = − 3 − 2 − 3 2 − 3 − 2 − 3 + 2 12 (1 n 8n ) 2n 1 n 8n 4n 2 3 3
13. Ta có: N = lim 4n + 1 − 2n − lim 8n + n − 2n 2 1
Mà: lim 4n + 1 − 2n = lim = 0 2 4n + 1 + 2n 3 2 n lim 8n + n − 2n = lim = 0 3 2 (8n + 2 n) + 3 2 2n 8n + n + 2 4n Vậy N = 0 . 3 3 2 2
14. Ta có: K = lim n + n − 1 − n − 3lim 4n + n + 1 − 2n 3 3 2 1 2 1
Mà: lim n + n − 1 − n = lim 4n + n + 1 − 2n = 3 ; 4 Do đó: 1 3 5 K = − = − 3 4 12 Bài 4. 2 4 1 1. A = − B C D 0 3 2. = 9 3. = 4 4. = 3 6n 5. E = +∞ 6. F = M lim 3 3 7. = = 3 − 1 2 n + 6n + n 2 3n + 1 8. N = lim = 1. 3 3 (n + 2 3n + 2 1) + 3 3 n. n + 2 3n + 1 + 2 n 3 3 2 2
9. H = lim n 8n + n − 2n − lim n 4n + 3 − 2n = − 3 2 n 3 − 1 3 1 10. K = lim = − . n 3 2 2 + 3 3 Bài 5. sin 2n − + 1 2 3 n 1. A = lim = 2 + 1 1 3 n n n n n! n n 2. Ta có: < = → 0 ⇒ B = 0 3 n + 3 2n n + 3 2n n + 2n 1 2 3 3. C = D E F 2 4.
= 3 5. = −∞ 6. = +∞
7. Xét các trường hợp
TH1: k > p ⇒ H = −∞
TH 2: k < p ⇒ H = +∞
TH 3: k = p ⇒ H = 0 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 8. K = 2 . Bài 6 1 1 1 1. Ta có: = − (k + 1) k + k k + 1 k k + 1 1 Suy ra u = 1 − ⇒ lim u = n 1 n + n 1 + 2 3 3 3 n(n 1)
2. Ta có: 1 + 2 + ... + n = 3 n(n + 2 1) 1 Suy ra u = ⇒ lim u = n . 3(3n + n + n 3 2) 9 1 2 (k − 1)(k + 2) 3. Ta có: 1 − = 1 − = T k(k + 1) k(k + k 1) 1 n + 2 1 Suy ra u = . ⇒ lim u = n n 3 n 3 . 3 k − 1 (k − 2 1)(k + k + 1) 4. Ta có = 3 k + 1 (k + 1)[(k − 2 1) + (k − 1) + 1] 2 2 n + n + 1 2 Suy ra ⇒ u = . ⇒ lim u = n 3 (n − n 1)n 3 1 1 1 1 1 2n − 1 5. Ta có: u − u = + + + ... + − n n 2 n− 1 n+ 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2n + 1 ⇒ u = − ⇒ lim u = n 3 + n n 1 2 2 . 2 2 3 n n+1
6. Ta có: u − qu = q + q + q + ... + q − n n nq 1 − n q n+ q ⇒ (1 − q)u = q − 1 n nq lim u = 1 . − q . Suy ra n (1− q)2 n n −n −1 7. Ta có: n ≤ u ≤ n ⇒ ≤ u − 1 ≤ n + n n n + 1 n + n 2 2 2 2 1 n + 1 n ⇒ u − 1 ≤ → 0 ⇒ lim u = n 1 . n + n 2 1 Bài 7
1. Ta chia làm các trường hợp sau k
TH 1: n = k , chia cả tử và mẫu cho n , ta được ak− a a + 1 + ... + 0 k k n a = n A lim = k b . p− b b b + 1 + ...+ 0 p p k n n k
TH 2: k > p , chia cả tử và mẫu cho n , ta được ak− a a + 1 + ... + 0 k k +∞ khi a b > n n 0 A = lim = k p b p bp− b −∞ khi a b < 1 0 0 + + ... + k p k−p k−p+1 k n n n p
TH 3: k < p , chia cả tử và mẫu cho n , ta được
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 ak ak− a + 1 + ... + 0 p−k p−k+1 p = n n n A lim = 0 b . p− b b + 1 + ...+ 0 p p n n 2
2. Chia cả tử và mẫu cho n ta có được: 1 1 2 1 3 1 + + − 4 1 + − 5 6 3 4 n n n n 1 − 4 3 B = lim = = − . 3 2 4 4 2 + n 1 + 1 n + 1 n 1 3. Ta có: C = lim = lim = 2 4n + n + 1 + 2n 1 1 4 4 + + + 2 2 n n 2 3 3 2
4. Ta có: D = lim n + n + 1 − n − 2 lim n + n − 1 − n 2 n + 1
Mà: lim n + n + 1 − n = lim 2 n + n + 1 + n + 1 1 n 1 = lim = 1 1 2 1 + + + 1 2 n n 2 3 3 2 n − 1
lim n + n − 1 − n = lim 3 3 (n + 2 n − 2 1) + 3 3 n. n + 2 n − 1 + 2 n − 1 1 2 n 1 = lim = 1 1 2 3 3 + − + 1 1 1 3 1 + − + 1 4 6 n n 3 n n 1 2 1 Vậy D = − = − 2 3 6 . Bài 8 1. 2 n
Ta có 1,a,a ,...,a là một cấp số nhân công bội a n+ 2 n 1 − 1 a 1 + a + a + ... + a = 1−a n+ − 1 2 n 1 b
Tương tự 1 + b + b + ... + b = 1− b n+ 1 − 1 a 1 − a 1 − b Suy ra lim I = lim = n + 1 − 1 b 1 − a 1 − b n 1 n 1 ( Vì a < 1, b < 1 + + ⇒ lima = lim b = 0 ).
2. Từ công thức truy hồi ta có: x + > x , ∀ n = n 1 n 1,2,...
Nên dãy (xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy (xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim x = n x 2
Với x là nghiệm của phương trình : x = x + x ⇔ x = 0 < 1 x vô lí
Do đó dãy (xn) không bị chặn, hay limx = +∞ n .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 1 Mặt khác: = = − x + x (x + 1) x x + n 1 n n n n 1 1 1 1 Suy ra: = − x + n 1 xn x n+1 1 1 1 1 Dẫn tới: S = − = 2 − ⇒ lim S = 2 − lim = n n 2 1 x xn+1 xn+1 x n+1 k 1 1 1 3. Ta có: = − x 1 (k + 1)! k! (k + 1)! nên = − k (k + 1)! 1 1 Suy ra x − k xk+ = − < 0 ⇒ x < 1 k xk+ (k + 2)! (k + 1 1)! n n n n n Mà: x < x + x + ... + x < 2011 1 2 2011 2011x2011 n 1 Mặt khác: lim x = lim 2011x = x = 1 − 2011 2011 2011 2012! 1 Vậy lim u = 1 − n 2012! .
4. Ta thấy u > 0, ∀ n n 3 3 3 1 Ta có: un+ = u + 3 + + 1 n 3 6 (1) un un 3 3 3 3 Suy ra: u > n un− + 3 ⇒ u > u + 1 n 0 3n (2) 3 3 1 1 3 1 1
Từ (1) và (2), suy ra: un+ < u + 3 + + < u + 3 + + 1 n u + 3n ( n 3 2 2 3 3n 0 + 9n u0 3n) n n Do đó: 3 1 1 1 1 u < 3 u + 3n + n 0 ∑ + ∑ 2 3 (3) k=1 k 9 k=1 k n 1 1 1 1 1 Lại có: ∑ < 1 + + + ... + = 2 − < 2 2 k= k 1.2 2.3 (n − 1 1)n n n n 1 1 ∑ ≤ n ∑ < 2n 2 k=1 k k=1 k 3 3 3 2 2n
Nên: u + 3n < u < u + 3n + + 0 n 0 9 3 3 3 3 u u u 2 2 Hay 3 + 0 < n < 3 + 0 + + n n n 9n . 3 n 3 u Vậy n lim = 3 n .
5. Ta có: u = ( n + 2 − n + 1) − ( n + 1 − n n ) 1 1 = − n + 2 + n + 1 n + 1 + n −1 1 Nên S = − ⇒ lim S = 1 − n 2 2 + 1 n + 2 + n + n 1 2 u u − u u 6. Ta có n n+1 n n un+ − u = ⇔ = 1 n 2010 un+1.un 2010u n+1 u 1 1 ⇔ n = 2010. − un+1 un u n+1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u 1 1 1 Ta có ∑ n = 2010( − ) = 2010(1 − ) un+1 u1 un+1 u n+1
Mặt khác ta chứng minh được: lim u = +∞ n . u Nên lim(∑ u ) = 2010 u . n+1 4n + 9
7. Bằng quy nạp ta chứng minh được: s = 9 − n n 2 n Mà lim = 0 ⇒ lim s = n 9 n . 2
8. Ta chứng minh được: u ≥ 3; ∀n ∈ * n , do đó (u + 2 2) (u − n n 2) un+ − u = > 1 n 0 5 Từ đó thấy (un ) tăng.
Giả sử (un ) bị chặn, khi đó tồn tại giới gạn hữu hạn, giả sử lim u = n a và ta có: a(a + 2 1) − 8 a = ⇔ 3 a + 2
2a − 4a − 8 = 0 ⇔ a = ±2 5 (loại) Do đó lim u = +∞ n u (u + 2 1) − 8 u − 2 1 1 Ta lại thấy rằng: n n u n n+ = 1 ⇒ = − ,∀n ∈ * 5 2 u + 1 u + 2 u 2 n n n+ + 1 n u − 2 1 1 1 Vì vậy nên: lim ∑ i = lim − = . →∞ 2 n n→∞ i=1 u + 1 u + 2 u 2 5 i 1 n+ + 1 Bài 9
1. Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh được : u > 1, ∀ n = n 1,2,. . Ta có: u = 2 > 1 1 1 2010
Giả sử u > 1 ⇒ u + > + = n n 1 1 2011 2011 Do đó: u > 1, ∀ n = 2 n
1,2,. . . Do u > 1 ⇒ u > n n un u 2010 Nên n un+ > + u = 1 n un (u ) 2011 2011 , suy ra dãy n là dãy tăng
Giả sử dãy (un ) bị chặn trên, khi đó tồn tại lim u = x > n 1 2 x 2010 Suy ra: x = + x ⇒ x = 0 2011 2011 (vô lí). Từ đó ta có: lim u = +∞ n 2. Ta có: 1 2 1 un+ −1 = (u + 2010u − 2011) = (u − 1)(u + 1 n n n n 2011) 2011 2011 1 2011 1 1 Suy ra: = ( − ) u + − 1 2012 u − 1 u + n 1 n n 2011 (1) un 2011 u u 2011 1 2011 = n ( − n ) = ( + )
un+ −1 2012 u −1 u + 2011 2012 u −1 u + 1 n n n n 2011 1 1 2012 1 Mà từ (1) ⇒ = − . u + 2011 u − 1 2011 u + − k k k 1 1 u 1 1 Do đó: n = 2012( − ) un+ −1 u − 1 n 1 un+ − 1 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n n n+1 u 1 1 1 1 ⇒ ∑ k = 2012(∑ − ∑ ) = 2012( − ) k=1 uk+ − 1 1 k= u − 1 k 1 k= u − 1 u − 2 k 1 1 un+ − 1 1 n uk 1 1 Vậy lim ∑ = lim 2012( − ) = 2012 k=1 uk+ − 1 u − 1 1 1 un+ − 1 1 . Bài 10.
1. • Bằng quy nạy ta chứng minh: x < 4, ∀ n n (1) Ta có: = < 1 x
1 4 nên (1) đúng với n = 1 Giả sử x < 4, ∀ k ≤ k n , khi đó: x + = x + x − < 4 + 4 = n 1 n n 1 4
Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n .
• Ta chứng minh dãy (xn) là dãy tăng Ta có: x < 1
x2 . Giả sử x > x − ∀ , k ≤ k k 1 n , khi đó:
x + − x = x − x − > 0 ⇒ x + > n 1 n n n 2 n 1 xn
Từ đó suy ra dãy (xn ) hội tụ. Đặt lim x = x > n
0 , ta có x là nghiệm của phương trình : x = x + x ⇒ x = 4 Vậy lim x = n 4 .
2. Ta chứng minh dãy (un ) tăng và bị chặn trên n+ 1 n 1 1
• Chứng minh dãy (un) tăng, tức là: 1+ > 1 + n + 1 n (1)
Áp dụng BĐT Cô si cho n số gồm + + 1 + + + 1 1 (1 ) . . (1 ) n n 1 1 1 + n + ≥ (1 + ) ⇒ 1 + ≥ (1 + n n 1 n 1 ) n + 1 n n + 1 n n+ 1 1 1 n Suy ra: 1 + ≥ 1 + ⇒ un+ > u (u ) là dãy tăng. n + 1 n , dãy 1 n n
• Chứng minh dãy (un) bị chặn trên bởi 3. 1 k 2 n n Ta chứng minh: 1 + < + + 1 ,1 ≤ k ≤ n (2). Thật vậy: n 2 k k 1 1 1 * Với k = 1 ⇒ VT(2) = 1 + <
+ + 1 = VP(2) . Nên (2) đúng vớ k 1 2 n i = . n n
* Giải sử (2) đúng với k = p, 1 ≤ p ≤ n − 1 , tức là: 1 p 2 p p 1 + < + + 1 (3). n 2 n n
Ta chứng minh (2) đúng với k = p + 1 , tức là p+ 1 1 (p + 2 1) p + 1 1 + < + + 1 (4). n 2 n n p+1 p 2 1 1 1 p p 1 Thật vậy: 1 + = 1 + . 1 + < + + 1 1 + n n n 2 n n n 2 2 p p + p p + 2 1 p p + p p + 1 = + + + 1 ≤ + + + 1 3 2 2 2 n n n n n n 2 p + 2p + 1 p + 1 (p + 2 1) p + 1 < + + 1 = + + 1 2 2 . n n n n
Do vậy (2) được chứng minh.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 n Từ (2) ta suy ra 1 + < 3 ⇒ u < 3, ∀ n (u ) bị chặn trên n , suy ra dãy n n
Vì dãy (un ) tăng và bị chặn trên nên dãy (un ) có giới hạn hữu hạn. 2 x − x + 3 u = 1 2
3. Xét hàm số f(x) = 2 , ta có: x + x + 1 un+ = 1 f(un) 5 2(x − 2)(x − 4) − 2 x − 3x + 1 f(x) − = ; f(x) − 2 = 2 7 x + x + 2 1 x + x + 1 5
Từ đó ta chứng minh được: ≤ u ≤ 2, ∀ n = n 1,2,... 7 5 Với mọi x , x ∈ ;2 ;x ≠ 1 2 x 7 , ta có: 1 2 f(x ) − f(x )
2 (x − 1)(x − 1) − 3 1 2 1 2 5 = < 0, ∀ x ,x ∈ 1 2 ; 2 x − 2 x (x + x + 2 1 2 1)(x + x + 1) 7 1 1 2 2 5
Nên hàm f là hàm nghịch biến trên ;2 7 137 Mà u = 2 >
= u ⇒ f(u ) < f(u ) ⇒ u < 1 3 1 3 2 u4 109 …..
Từ đó ta chứng minh được dãy (u2n ) là dãy tăng và dãy (u2n+1) là dãy số giảm. Cả hai dãy này cũng bị chặn nên hai dãy 4 4
này tồn tại giới hạn: lim u = x, lim u + = 2n 2n 1 y với x,y ∈ ;2 u u 1). 5 (Do > 4 5 và + > 2n 1 u = 2n f(u2n− ) x = 1 f(y) Vì ⇒
⇒ x − y = f(y) − f(x) ⇔ x + f(x) = y + f(y) ⇔ x = y u2n+ = f(u ) y = 1 2n f(x) 4
(Do hàm số g(x) = x + f(x) đồng biến trên ;2 5 ) 3
Thay x = y vào hệ ta có: x = f(x) ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1
Vậy dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và lim u = n 1. 4. Xét dãy (v ) : v = n n
max{un ,un+1} , ta có dãy (vn) bị chặn
Từ giả thiết ta suy ra: max{u ,u + } ≥ u + ⇒ max{u ,u + } ≥ n n 1 n 2 n n 1 max{un+1,un+2}
Do đó dãy (vn) là dãy số giảm, từ đó suy ra tồn tại limv = n l Ta chứng minh: lim u = n l . ε ε ε Vì lim v = n
l nên với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại n ∈ 0
* sao cho: v − l < ⇔ l − < v < l + ∀ , n > n n n0 3 3 3 Với mọi k ε > n + 0
1 ta có: v − = max{u − ,u } < l + k 1 k 1 k 3 ε Suy ra u − < l + k 1 3 (*)
Ta xét các trường hợp sau: ε ε ε ε
• u > l − ⇒ l − < u ≤ v < l + ⇒ u − l < k k k k 3 3 3 3 . ε ε • u ≤ l − k u > l − 3 , suy ra k+1 3 Khi đó: ε ε u ≥ k 2uk+ − 1 uk− > 2 l − − l + = l − ε 1 3 3 Dẫn tới: ε
l − ε < u ≤ v < l + < l + ε ⇒ u − l < ε k k k 3 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Vậy lim u = n l . a = 1 0
5 • Xét dãy số (a ) : a + 2 n a + 6 n n an+ = ∀ , n ∈ 1 3 Ta chứng minh 0 < a < n 2 và (an) là dãy tăng
Thật vậy: Ta có 0 < a < 0 2 a + 2 a + 6 Giả sử 0 < a < 2 ⇒ 2 a + 6 < 2 2 ⇒ 0 < n n < n n 2 3 Hay 0 < a + < n 1 2 Khi đó: a < 2 n
an+ ⇔ 2a < a + 6 ⇔ 0 < a < 1 n n n 2 (đúng)
Từ đó ta kết luận được lima = n x và x thỏa: x + 2 x + 6 x = ⇒ x = 2 ⇒ lima = n 2 3 .
Tiếp theo ta chứng minh: a ≤ n min{u 2n ,u2n+1} Ta có: a = 1 ≤ 0 min{u0 ,u1}
Giả sử: a < min{u ,u + } ⇒ a < u ,a < n 2n 2n 1 n 2n n u2n+1 u + 2 u + 6 a + 2 a + 6 Khi đó: 2n+1 2n n n u2n+ = > = 2 an+1 3 3 2 2 u2n+ + 2 u2n+ + 1 6 an+ + a + 1 n 6 u2n+ = > > 3 an+1 3 3
Vậy khẳng định vừa nêu đã được chứng minh. b = 5 0 • Xét dãy số (b ) : b + 2 n b + 6 n n bn+ = ∀ , n ∈ 1 3
Tương tự ta chứng minh được dãy (bn) giảm và bị chặn dưới bởi 2 và lim b = n 2 . Đồng thời b ≥ n max{u2n ,u2n+1}. a < u < b
Từ đó ta suy ra được: n 2n n ⇒ lim u = 2n lim u2n+ = 2 a < 1 n u2n+ < 1 b n Vậy lim u = n 2 .
6. Ta thấy u > 0,∀ n n và từ: 2 u + 4u + 1 3u (u − 2 n n n n 1) un+ = = 1 + = 2 − 1 2 , u + u + 2 1 u + u + 2 1 u + u + n n n n n n 1 ta có: 1 < u < 2,∀ n n . 2 x + 4x + 1 Xét hàm số: f(x) = ,x∈(1;2) 1;2 2
ta chứng minh được hàm f nghịch biến trên ( ). x + x + 1 u = 1 1
Dãy số đó cho có thể viết dưới dạng: un+ = f(u ),n ≥ 1 n 1
Ta thấy: u = 1 < u ⇒ f(u ) > 1 3 1 f(u3)
⇒ u < u ⇒ f(u ) < f(u ) ⇒ u < 2 4 2 4 3 u5 .
Tiến hành tương tự, suy ra: u < u < u < 1 3 5
.... suy ra dãy u2n+1 tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn, giả sử là α ∈ 1;2 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u > u > u > 2 4 6
... suy ra dãy u2n giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn, giả sử là β∈1;2 . u2n+ = 1 f(u2n) α = β f( ) Ta có: u2n+ = 2
f(u2n+1) .Chuyển qua giới hạn, ta có: β = f(α ) . β2 + β 4 + 1 α2 + 4α + 1 ⇒ α − β = β f( ) − f(α) ⇔ α − β = − β2 + β + 1 α2 + α + 1 β α ⇔ α − β = 3 − 2 2
β + β + 1 α + α + 1 3(α − β)(αβ − 1)
⇔ α − β = (α2 +α+1) β2 ( + β + 1) α − β = 0
⇔ 3(αβ−1)=(α2 +α+1) β2 ( + β + 1)
Ta thấy phương trình thứ hai không có giá trị α,β∈ 1; 2 thỏa mãn α = β = t .
Do đó, lim u2n+ = lim u = t , hai dãy con đó có cùng giới hạn là t. →+∞ 1 →+∞ 2n n n 2 t + 4t + 1 3
Ta thấy, t phải thỏa mãn đẳng thức: t = ⇔ t − 3t = 1 2 (*). t + t + 1
Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm t ≤ 2 . Đặt t = 2cos ϕ ϕ ∈ , 0;2π
, thay vào phương trình (*) ở trên: 3 1 π 2π
8cos ϕ − 6cosϕ = 1 ⇔ cos ϕ 3 = ⇔ ϕ = ± + k 2 9 3 . π 5π 7π π 5π 7π Do ϕ ∈ 0; 2π nên: ϕ = ; ; , tương ứ t = 2cos ;2cos ;2cos 9 9 9
ng với các nghiệm của (*) là: 9 9 9 .
Phương trình (*) đó có đủ 3 nghiệm nên nó không có nghiệm t > 2 . π
Trong các nghiệm này, chỉ có t = 2 cos ∈ 1; 2 9
thỏa mãn và đây cũng chính là giới hạn cần tìm. Vậy dãy số u π
n có giới hạn hữu hạn và lim u = 2 cos →+∞ n n 9 .
7. Trước hết ta chứng minh x < 7,∀n ∈ * n theo qui nạp Ta có = < 1 x
1 7 nên khẳng định đúng khi n = 1.
Giả sử khẳng định đúng đến một số tự nhiên n > 1 , suy ra x − < n 1
7 và x < 7 ⇒ x + = 4x + 3x − < n n 1 n n 1 7 .
Khẳng định được chứng minh. Xét dãy y = 1; y + = 1 n 1
7yn . Dễ dàng chứng minh được (yn) tăng và bị chặn trên bởi 7 . Từ đó tìm được lim y = n 7.
Tiếp theo ta chứng minh y ≤ min{x − ; x }; n = n 2n 1 2n 1,2,... .
Hiển nhiên khẳng định đúng khi n = 1 .
giả sử khẳng định đúng đến n > 1 , tức là: y ≤ x − ; y ≤ n 2n 1 n x2n ⇒ y + = 7y ≤ 4x + 3x − = n 1 n 2n 2n 1 x2n+1và
x + = 4x + + 3x ≥ 4y + + 3y ≥ 7y = 2n 2 2n 1 2n n 1 n n yn+1 (do y + > n 1 yn ) suy ra y + ≤ n 1 min{x2n+1;x2n} .
Vậy khẳng định được chứng minh. y < x < n 2n 7 Từ đó suy ra: ⇒ lim x = 2n lim x2n+ = 7 y < 1 n x2n+ < 1 7 Vậy lim x = n 7 . Bài 11.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 2 2 2(1 x ) 1. Xét hàm số f(x) , g(x) f (f(x)) + = = = 1 + 2 x (1 + 2 2 x ) + 4 Ta có: u = g(u − ), u + = 2n 2n 2 2n 1 g(u2n−1) Ta chứng minh được: x < 1 < x + ∀ 2n 2n 1 , n (1) 2 1 Ta có: x = = < 1 < 2011 = 2 x 1 + 1 2011 1006 2 2 Giả sử x − < 1 < 2n 2 x2n−1 , ta có: x = < 2n 1, x2n+ = > 1 1 + 1 2 2 x2n− 1 + 1 x2n Vậy (1) đúng. Mặt khác: u − u − = g(u − ) − 2n 2n 2 2n 2 u2n−2 (2) (x − 3 2 1) (x + x + 2) Mà: g(x) − x = − (3) (1 + 2 2 x ) + 4
Từ (1), (2),(3) ta suy ra được dãy (u ) : u = n n
x2n là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 nên dãy (un) có giới hạn.
2. Theo chứng minh trên ta có dãy (x2n ) hội tụ tới l1
Tương tự ta cũng chứng minh được dãy (x2n+1) cũng hội tụ tới giá trị l2 . u = 2n g(u2n−2) Vì
l ,l là nghiệm của phương trình u2n+ = 1 g(u2n−1) nên 1 2
g(x) − x = 0 ⇔ x = 1 , do đó: l = l = 1 2 1
Vậy dãy (xn ) hội tụ và lim x = n 1. Bài 12. 1 1. Ta có: + + + + − = 2 1 3 5 ... 2n 1 n nên lim u = n 2 n(n + 1) 2 2 2 n(n + 1)(2n + 1)
2. Ta có: 1 + 2 + ... + n = 1 + 2 + ... + n = 2 và 6 3 6 Nên lim u = n 2 1 1 1 3. Ta có: = − (k + 1) k + k k + 1 k k + 1 1 Suy ra u = 1 − ⇒ lim u = n 1 n + n 1 1 2 (k − 1)(k + 2) 4. Ta có: 1 − = 1 − = T k(k + 1) k(k + k 1) 1 n + 2 1 Suy ra u = . ⇒ lim u = n n 3 n 3 . 3 k − 1 (k − 2 1)(k + k + 1) 5. Ta có = 3 k + 1 (k + 1)[(k − 2 1) + (k − 1) + 1] 2 2 n + n + 1 2 Suy ra u = . ⇒ lim u = n 3 (n − n 1)n 3 1 1 1 1 1 2n − 1 6. Ta có: u − u = + + + ... + − n n 2 n− 1 n+ 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2n + 1 ⇒ u = − ⇒ lim u = n 3 + n n 1 2 2 . 2 2 3 n n+1
7. Ta có: u − qu = q + q + q + ... + q − n n nq
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 − n q n+ q ⇒ (1 − q)u = q − 1 n nq lim u = 1 . − q . Suy ra n (1− q)2 n n −n −1 8. Ta có: n ≤ u ≤ n ⇒ ≤ u − 1 ≤ n + n n n + 1 n + n 2 2 2 2 1 n + 1 n ⇒ u − 1 ≤ → 0 ⇒ lim u = n 1 . n + n 2 1 1 1 1 9. Ta có: < < , k = 1,2,...,n 2 n + 2 n n + 2 k n + 1 n n Suy ra < u < n 2 n + 2 n n + 1 n n Mà lim = lim = 1 nên suy ra lim u = 1. 2 n n + 2 n n + 1 1 1 1 n 1+ +...+ − 1 2 2 n 2 2 2 10. Ta có: u = 2 = n 2 , 1 n − 1 2 nên lim u = lim 2 = n 2 . Bài 13.
1. • Nếu a ≥ 0 thì ta có: lim x = +∞ n a < 0 • Nếu a ≠ − 1 thì : 1 +∞ khi a > −1 lim x = lim n 2 + 2a3 1 + = n 3 −∞ 8n khi a < − 1
• Nếu a = −1 ta có: lim x = n 0
Vậy a = −1 là giá trị cần tìm.
2. Dãy số (xn ) là dãy số tăng ⇔ x + ≥ x ∀ n 1 n , n ⇔ + 3 2 a 8(n + 3 1) + 1 ≥ 3 3 a. 8n + 1 2 ⇔ a ≥ (1) 3 3 8n + 1 − 3 8(n + 3 1) + 1 2 2 Ta có: < −1 và lim = −1 3 3 8n + 1 − 3 8(n + 3 1) + 1 3 3 8n + 1 − 3 8(n + 3 1) + 1
Nên (*) đúng với mọi n ⇔ a ≥ −1. Bài 14. 2
1. Xét hàm số f(x) = x − 2x + 2. , ta có 1 < f(x) < 2, ∀ x∈(1;2)
Vậy x = α ∈(1; 2) => x ∈(1; 2),∀n ∈ * 1 n
(chứng minh bằng quy nạp)
Lại có x + − x = (x − 1)(x − 2) < n 1 n n n 0 (Do x ∈ n (1;2))
Nên dãy (xn ) là dãy giảm nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
2. • Nếu α = 1 ⇒ x = 1,∀n ∈ n * ⇒ lim x = n 1
• Nếu α = 2 ⇒ x = 2,∀n ∈ n * ⇒ lim x = n 2
• Nếu α ∈(1; 2) ⇒ (xn ) là dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn . Gọi L = lim x ⇒ L = 2 L − 2L + 2 ⇔ L = 1(n),L = n 2(l)
• Nếu α > 2 ,ta chứng minh được x > 2,∀ n n và (xn) tăng.
Khi đó giả sử xn bị chặn trên thì dãy sẽ có giới hạn là L = 1,L = 2 (cả hai giá trị này đều loại do xn tăng và > 1 x 2 ).
Vậy trường hợp này lim x = +∞ n .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 15. 4 8 4 8
1. Ta có 0 < u < u ⇒ u = − + 3u < − + 3u = 1 2 3 1 2 u3 9 9 9 9
nên dãy (un ) là dãy tăng. 4
Dễ dàng chứng minh được u < ,∀n ∈ * n 3 . 4
Từ đó tính được lim u = n 3 . * 4 4 8
2. Để chứng minh f(x) ≥ u ,∀n ∈ n
,∀x∈ ta cần chứng minh f(x) ≥ f(x) 3f(ax) 9 và ≥ − + 9 9 .
Thật vậy, từ 9f(4x) ≥ 4 + 4 12f(3x) − 9f(4x) ,∀x ∈ ⇒ ≥ ∀ ∈ 4 9f(4x) 4, x ⇒ f(x) ≥ 9 (1)
Lại có 9f(4x) − 4 ≥ 4 12f(3x) − 9f(4x) 2 ⇒ + 2 (9f(4x) 4) ≥ (8 3f(3x)) 4 8 4 8 3 ⇒ f(4x) ≥ − + 3f(3x) ⇒ f(x) ≥ − + 3f( x) 9 9 9 9 4 (2)
Bây giờ ta chứng minh f(x) ≥ u ,∀n ∈ n
* ,∀x∈ theo qui nạp. • 4
n = 1 , thì theo (1)có f(x) ≥ = u1 9 nên khẳng định đúng.
• Giả sử f(x) ≥ un , và ∀x∈ thì theo (2)ta có 4 8 3 4 8 f(x) ≥ − + 3f( x) ≥ − + 3u = n un+1 9 9 4 9 9 theo qui nạp ta có đpcm. * 4 Từ f(x) ≥ u ,∀n ∈ n
,x∈ lấy giới hạn hai vế khi n → +∞ thu được f(x) ≥ ,∀x∈ . 3
3. Ta có x + + y + + z + = x + y + z = ... = a + b + n 1 n 1 n 1 n n n c 1 1 n mặt khác xn+ − 1
yn+ = (− )(x − y ) = ... = (− ) (a − 1 n n b) 2 2 ⇒ lim(x − y ) = n n 0
Tương tự ta có lim(y − z ) = 0,lim(z − x ) = n n n n 0 a + b + c x + y + z Ta lại có x − = x − n n n n n 3 3 x − y x − n n n zn = + 3 3 a + b + c x − y x − n n n zn Từ đó ta có 0 ≤ x − ≤ + n 3 3 3 a + b + c ⇒ lim x = →∞ n n 3 . Từ đó ta có đpcm. 2 3
4. Ta chứng minh x > 1 + n n ∀ ∈ * n 2 2 Ta có = > 1 x a
4 nên khẳng định đúng với n = 1 3 Giả sử x > 1 + k k n k với mọi ≤ 2 1 2 3 1 12 3
Ta có: xn+ = (3x + 1 + ) > (4 + ) > 1 + 1 n 4 n 4 n n + 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Theo nguyên lí quy nạp khẳng định trên được chứng minh. 2
a) Theo chứng minh trên suy ra x > 1 ⇒ x > n n 1. 1 2 3 1 2 2 b) Ta có: x − n xn+ = x − 3x + 1 + > x − 3x + x = 1 n n n n n 0 2 n 2
Nên dãy (xn ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên (xn ) có giới hạn hữu hạn. Đặt lim x = n x ta có x là nghiệm của phương trình = 2 2x 3x + 1 ⇔ x = 1 . Bài 16. 1. Ta xét hai dãy : M = n
max{an ,an+1,an+2,an+3} và m = n min{an ,an+1,an+2,an+3}
Ta chứng minh {Mn} là dãy số giảm và {mn} là dãy số tăng.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh a + ≤ n 4 max{an+1,an+3}. Thật vật nếu a 2 + ≥ n 4 an+3 thì ≥ a + a + + n 3 n 3 a n+2 Suy ra : 2 ≥ (a + + n 3 an+2)an+3 . Khi đó: 2 2 2 an+ = − 1 an+ = − − 2 an+ + 2 an+4 an+3 an+3 an+ + 2 a n+3 an+ = 2 2. − an+ + 2 an+ ≥ 4 an+4 (an+ + 3 an+2)a n+3 Từ đây suy ra M + = n 1
an+1 hoặc an+2 hoặc an+3 và rõ ràng khi đó
M = max{a ,a + ,a + ,a + } > n n n 1 n 2 n 3 Mn+1 .
Do đó dãy {Mn} là dãy giảm.
Tương tự ta chứng minh được dãy {mn} tăng.
Hai dãy số này đều bị chặn nên hội tụ.
Cuối cùng, ta chỉ còn cần chứng minh hai giới hạn bằng nhau.
Suy ra dãy (an ) hội tụ và lim a = n 1. 2 2 2 2
2. Ta có: un+ = (u + 3u )(u + 3u + 2) + 1 = (u + 3u + 1 n n n n n n 1) 2 = u + 3u + n n 1 1 1 1
Suy ra: un+ + 1 = (u + 1)(u + 2) ⇒ = − 1 n n un+ + 1 u + 1 u + 1 n n 2 1 1 1 Suy ra: = − u + 2 u + 1 u + + n n n 1 1 n 1 1 Do đó, suy ra: 1 1 1 1 v = n ∑ − = − = − i= u + 1 i 1 ui+ + 1 u + 1 1 1 un+ + 1 1 2 un+ + 1 1 2
Mặt khác, từ un+ = u + 3u + 1 n n 1 ta suy ra: u + > n n 1 3 . 1 1 Nên lim = 0 lim v u + + n 1 1 . Vậy = n 2 . 2 1 2 1 xn− + 1 3xn−1 3. Ta có: x − n xn− = 1 xn− + 1 4xn− − 1 xn−1 = > 0 2 2 2 xn− + 1 4xn− + 1 xn−1
Nên dãy (xn ) là dãy tăng.
Giả sử dãy (xn ) bị chặn trên, suy ra tồn tại lim x = x > n 0 Ta có phương trình: 1 2
x = x + 4x + x ⇔ x = 0 2 (vô lí)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Do vậy, ta có được: lim x = +∞ n .
Từ công thức truy hồi, ta có được: (2x − 2 2 2 n xn− ) = 1 xn− + 1 4xn− ⇔ x = (x + 1 n n 1)xn−1 1 x + 1 1 1 1 1 1 Dẫn tới: = n = + ⇒ = − n 2 2 2 2 x với ∀ ≥ n−1 x x x x x x n n n n n−1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: y = + n − + − + ... + − = 6 − 2 x x x x x x x x 1 1 2 2 3 n−1 n n 1 Mà lim x = +∞ ⇒ lim = n 0 x n Vậy lim y = n 6 .
4. Xét phương trình au + bv = n (1).
Gọi (u0 ,v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên dương khác (u0 ,v0 ) của (1). Ta có au + bv = n,au + bv = 0 0
n suy ra a(u − u ) + b(v − v ) = 0 0
0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho v − 1 u = u + kb,v = v − 0 0
ka . Do v là số nguyên dương nên v − ka ≥ 1 ⇔ k ≤ 0 0 a . (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1. Do đó v − 1 n u 1 r = n 0 + 1 = − 0 − + 1 a ab b a . n u0 1 n u0 1
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: − − ≤ r ≤ − − + n 1. ab b a ab b a 1 u0 1 n r 1 u0 1 1 Từ đó suy ra : − − ≤ ≤ − − + . ab nb na n ab nb na n r 1
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay n lim = n→∞ n ab . Bài 17. 2 1 2sin α 1 1 1 1 2 1. Ta có = + ⇒ = + (1 − )sin α 2x n n 1 n+ + 1 3 3(2x + 1 n 1) − 2x + n 1 3 3 n n n 1 1 1 ⇒ y = n ∑ = ∑ + 2 sin α (1 ) i ∑ − i−1 i= 2x + 1 i 1 i=1 3 i=1 3 1 1 3 1 2 = (1 − ) + [n − (1 − )]sin α n n 2 3 2 3 1 Vì lim = 0 (y ) sin 0 k n nên dãy
có giới hạn hữu hạn ⇔ α = ⇔ α = π 3 n Khi đó 1 lim y = n 2 . 2. Ta có 1
x xác định khi c > c + x ⇔ c(c − 1) > x ⇒ c(c − 1) ≥ c ⇒ c ≥ 0 0 2
Ta chứng minh với c > 2 thì dãy (xn ) hoàn toàn xác định. c > 2 Vì
⇒ x + c < 2c < c ⇒ c − c + x > 0 ⇒ x x < 0 0 1 0 c xác định.
Giả sử xk được xác định. Khi đó 0 < x < c < c ⇒ c + x < 2c < k k c Suy ra c − c + x > 0 ⇒ k xk+1 xác định. 2
Gọi a > 0 là nghiệm của phương trình : x + x + 1 − c = 0 . Ta chứng minh: lim x = n a . Thật vậy:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 c − c + x − 2 a a + 1 − c + n xn xn+ − a = = 1 c − c + x + a c − c + x + n n a (a + 2 1) − (c + xn) x − a x − n n a < a(a +1+ c + xn ) < = a(a + 1 + c) c − 1 + a c x − 1 a Suy ra: xn+ − a < 1 ( n c − 1 + a c ) 1
Do c − 1 + a c > 1 ⇒ lim = 0 ( n . c − 1 + a c ) Do đó −1 + 4c − 3 lim x = a = n 2 .
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM sin 5n 1 1 sin 5n n Câu 1. Ta có 0 , mà lim 0 nên lim 0, do đó sin 5 lim 2 2. Chọn A. 3n n n 3n 3n
Nhận xét : Có thể dùng MTCT để tính (có thể chính xác hoặc gần đúng) giới hạn như sau (các bài sau có thể làm tương tự) : sin 5X Nhập 2. 3X
Bấm CALC và nhập 9999999999 (một số dòng MTCT khi bấm nhiều số « 9 » thì nó báo lỗi, khi đó ta cần bấm ít số « 9 » hơn.
Bấm « = » ta được kết quả (có thể gần đúng), sau đó chọn đáp án có giá trị gần đúng với kết quả hiện trên MTCT.
n 2 n sin 2n 1 n sin 2n Câu 2. Ta có . 2n 2 n k 1 n cos Điề n
u kiện bài toán trở thành lim 0. n 1 Ta có lim cos
cos 0 1 nên bài toán trở thành tìm k sao cho n k k 1 n k 2 lim lim n
0 1 0 k 2 *
không tồn tại k (do k nguyên dương và chẵn). Chọn A. k ,k3 n 2 l
3sin n 4 cos n 7 7
3sin n 4 cos n Câu 3. Ta có 0 0 lim 0. Chọn B. n 1 n 1 n n 1 Câu 4. Ta có n cos 2n n 1 n cos 2n n cos 2n 0 0 lim 0 lim 5 5. Chọn C. 2 2 2 2 n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 sin n Câu 5. Ta có 2 3 3 limn sin
2n lim n . 2. Vì 5 n 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 3 li m n li m n 1 sin n 3 1 sin n 1 1 sin n lim n . 2 . 0 . 0 lim . 2 2 0 n 5 n 5 n n 5 Chọn A. n n n 1 1 1 1 1 Câu 6. Ta có 0 0 lim 0 lim4 4. n 1 n 1 n n 1 n 1 Chọn C. 1 1 0 u 0 n 2 n 1 n Câu 7. Ta có
limu lim v 0
lim u v n n n n 0. 1 1 0 v 0 n 2 n 2 n Chọn B.
Chú ý : Cho Pn, Qn lần lượt là các đa thức bậc ,
m k theo biến n : Px m m 1
a n a n a n a a 0 m m 1 1 0 m Qn k k 1
b n b n b n b b 0 k k 1 1 0 k Pn m Pn m Khi đó a n a n lim m , viết tắt m
, ta có các trường hợp sau : Qn lim k b n Qn k b n k k Pn
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim Qn 0. Pn a
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim m Qn . bk Pn khi a b 0
Nếu « bậc tử » « bậc mẫu ( m k ) thì lim m k Qn . khi a b 0 m k
Để ý rằng nếu Pn, Qn có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể m k n tì có bậc k 1 4 là
. Ví dụ n có bậc là 3 4 , n có bậc là ,... n 2 3
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng ! 3 2 3 0 Câu 8. Ta có lim lim n 0. Chọn C. 2 4n 2n 1 2 1 4 4 2 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 1 2 2 2 n 2n 0 Câu 9. Ta có lim lim n n 0. Chọn D. 3 n 3n 1 3 1 1 1 2 3 n n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 3 2 1 3 2 4 3n 2n 1 0 Câu 10. Ta có lim lim n n
n 0. Chọn B. 4 4n 2n 1 2 1 4 4 3 4 n n
Giải nhanh : Dạng « bậc tử » « bậc mẫu » nên kết quả bằng 0. 1 1 2 n n 1 n n 0 Câu 11. Ta có lim lim 0. Chọn D. n 2 2 1 1 2 n n n 1 n n 1 Giải nhanh : 0. 2 n 2 n n 1 1 v n 1 1
Câu 12. Ta có lim n lim lim
n 1. Chọn A. u n 2 2 1 n 1 n n 1 n Giải nhanh : 1. n 2 n 4 a an 4 a Câu 13. Ta có lim lim lim n u . Khi đó n 5n 3 3 5 5 n a lim u 2
2 a 10 Chọn A. n 5 an 4 an a Giải nhanh : 2
a 10. 5n 3 5n 5 b 2 2n b 2 Câu 14. Ta có lim lim lim n u b Chọn A. n 5n 3 3 5 5 n 2n b 2n 2 Giải nhanh : với mọi b . 5n 3 5n 5 1 5 2 1 2 n n 5 1 Câu 15. Ta có lim lim n n L Chọn B. 2 2n 1 1 2 2 2 n 2 2 n n 5 n 1 Giải nhanh: . 2 2 2n 1 2n 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 2 2 4 2 4n n 2 4 Câu 16. 2 lim lim lim n n u a
a Chọn D. n 0 2. 2 an 5 5 a a 2 n 2 2 4n n 2 4n 4 Giải nhanh : 2
a 2. 2 2 an 5 an a 1 2 3 3 n 3n 3 Câu 17. lim lim n L Chọn A. 3 2n 5n 2 5 2 2 2 2 3 n n 2 3 3 n 3n 3n 3 Giải nhanh: . 3 3 2n 5n 2 2n 2 5 2 4 3a 2 5n 3an 3 n a a 0
Câu 18. L lim lim 0 . Chọn C. 1a 4 n 2n 1 1a 2 1 1 a a 1 3 4 n n Câu 19. Ta có 2 1 2 1 n n 2n n 3n 3 2 3 2 1 . 3 1 3 2 2 2 2 1 n n n n 1.3 3 L lim lim lim . 2n 1 4 n 7 1 7 1 7 4 2.1 2 n2 .n 1 2 1 4 4 n n n n Chọn A. 3
2n n 2 3n 3 2 1 n .3n 3 Giải nhanh: . 2n 1 4 n 7 4 2 . n n 2 2 1 5 2 n 2n 3 2n 14n 1 2 4 3 5 n n n 1.2.4 8
Câu 20. L lim lim . 4 n 3n 1 2 3n 7 3 1 7 1.3 3 1 3 3 4 2 n n n Chọn C.
2n 2n 3 2n 1 4n 2 3 5 n .2n .4n 8 Giải nhanh: . 4 n 3n 1 2 3n 7 4 2 n .3n 3 1 1 3 3 n 1 n 1
Câu 21. L lim lim 1 Chọn B. 3 3 n 8 8 1 3 1 n 3 3 n 1 n Giải nhanh: 1. 3 3 n 8 n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 3 2 n 1 3 2 1 2 n 2n n Câu 22. lim lim lim . n n . Ta có 2 13n 1 1 2 n 3 3 2 2 n n li m n 2 2 3 1 2 n 2 1 n n 2 1 im lim . n n Chọn C. 2 li m 0 13n 1 1 3 3 2 3 n 2 n 3 3 n 2n n 1 Giải nhanh : n . 2 2 13n 3n 3 2 3 2 n 3 3 2 3 2 2n 3n n Câu 23. lim lim lim . n n . Ta có 2 4n 2n 1 2 1 2 1 2 n 4 4 2 2 n n n n li m n 2 2 3 3 2 2n 3 3 n n 2 3 im lim . n . n Chọn B. 2 li m 0 4n 2n 1 2 1 2 1 4 4 2 4 n n 2 n n 3 3 2n 3n 3n 3 Giải nhanh : .n . 2 2 4n 2n 1 4n 4 3 4 3 n 1 4 3 1 3 3n n n Câu 24. 3 lim lim lim . n n . Ta có 4n 5 5 5 n4 4 n n 3 li m n 3 4 1 3 3 3 1 n n 3 n 3 1 lim llim n . . Chọn C. li m n 0 4n 5 5 4 5 4 4 n n 4 4 3n n n 1 Giải nhanh : 3 .n . 4n 5 4n 4
Câu 25. Theo dấu hiệu ở đã nêu ở phần Chú ý trên thì ta chọn giới hạn nào rơi vào trường hợp « bậc tử » « bậc mẫu » ! 3 3 2n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 2.2 4 0. 2 2n 1 m k 2 2n 3 lim
0 : « bậc tử » « bậc mẫu ». Chọn B. 3 2n 4 3 2n 3n lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b n k 3 . 2 0. 2 2n 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 4 2n 3n 3 3 a 3 3 lim
: « bậc tử » « bậc mẫu » và m . 4 2 2n n 2 2 b 2 2 k
Câu 26. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 0. Chọn C. m k 2 3 n 3n 3 1 lim u lim . n 3 2 9n n 1 9 3
Câu 27. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » « bậc mẫu » với a b 0. Chọn A. m k li m n 1 2 1 1 2 1 n lim lim lim . n u n vì 1 2 a 1 . n n 5n 5 5 li m m 0 5 5 b 5 n 5 k n
Các đáp án còn lại đều rơi vào trường hợp « bậc tử » « bậc mẫu » nên cho kết quả hữa hạn.
Câu 28. Ta chọn đáp án dạng « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 0. Chọn C. m k 2 4 2n 3n u
: « bậc tử » « bậc mẫu » và a b 3.2 6 0 limu . n 2 3 n 2n m k n khi a 0 Chú ý : (i) lim m m 1 n a n a n
a n a . m n 1 1 0 khi a 0 n
(ii) Giả sử q max q : i 1; 2; m thì i a khi q 1 0 lim . n n n
a q a q a q a
khi a 0, q 1. m m 1 1 0
khi a 0, q1
Ta dùng « dấu hiệu nhanh » này để đưa ra kết quả nhanh chóng cho các bài sau. 2 lim n 5 3
Câu 29. L lim 2
3n 5n 2 3 lim n 2 vì 5 3 . Chọn D. 2 n n li m 2 2 0 2 n n Giải nhanh : 2 2
3n 5n 3 3n . 5
Câu 30. Ta có lim 5n 3 2 a 2 3 n 3
lim n 3 2
a 2 2 n 5 lim 3 2 a 2 2
a 2 0 2 a 2 a 1; 0; 1. Chọn B. 2 a ,a 10;10 n Câu 31. Ta có 4 lim n lim 4 1 1 4 2
3n 4n n 4 1 lim n 3 vì 4 1 1 . 2 3 4 n n n li m 3 3 0 2 3 4 n n n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Chọn D. Giải nhanh : 4 2 4
3n 4n n 1 3n . 2 n
Câu 32. Vì 2, 2 , , 2 lập thành cấp số nhân có u 2 q nên 1 n 1 2 n a 2 2 0 u 2. u vì . Chọn C. n 2 2 2 1 lim n 1 2 q 2 1 1 3 n 1 1 nn 1 Câu 33. Ta có
1 ... 1 2 n . . Do đó 2 2 2 2 2 2 1 3 n 1 ... 2 n n 1 2 2 2 lim lim
(“bậc tử” “bậc mẫu”). Chọn D. 2 2 n 1 4n 4 4 1 2 n 1 1 1 n 1 1 n 2 1 n n Câu 34. Ta có ...
1 2 n 1 . . Do đó 2 2 2 2 2 2 n n n n n 2 2n 2 1 2 n 1 n n 1 lim ... lim . Chọn C. 2 2 2 2 n n n 2n 2
n1 2n 1
Câu 35. Ta có 1 3 5 2n 2 1 n nên 2 1
352n 2 1 n 1 lim lim Chọn B. 2 2 3n 4 3n 4 3 Câu 36. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim ... nn lim 1 lim 1 1. 1.2 2.3 1 2 2 3 n n 1 n 1 Chọn B. 1 1 1 1 Câu 37. Với mọi * k thì , do đó 2k 1 2k 1 2 2k 1 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim ...
n n lim 1 1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 . 2 2n 1 2 Chọn A. Câu 38. Ta có
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ......
nn 1 1.4 2.5 3 3 4 2 5 3 6 n n 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 n 4 5 6 n 3 1 1 1 1 1 1 1 3 2 3 n 1 n 2 n 3 1 11 1 1 1 3 6 n 1 n 2 n 3 Do đó 1 1 1 1 11 1 1 1 11 lim ...... Chọn A. nn lim . 1.4 2.5 3 3 6 n 1 n 2 n 3 8 3 2
2n 3n n nn 1 2n 1
Câu 39. Đặt Pn thì ta có 6 6 2 2 2 2
1 2 3 n P2 P 1 P
3 P2Pn
1 Pn nn 1 2n
Pn P 3 1 1 6 2 2 2 1 2 ... n nn 1 2n Do đó 3 2 1 lim Chọn D. n lim . 2 n 1 6n 2 n 1 6 3
Câu 40. Giả sử lim u a thì ta có n a 2 1 1 a 2 a lim u lim
a 1. Chọn D. n 1 2 u 2 a a a
a a n 2 2 1 2 1 0
Câu 41. Giả sử lim u a thì ta có n u 1 a 1 a lim u lim n a 1 Chọn A. n 1 2 2 1 1 9 2 2 9n n 1 n n 3 Câu 42. lim lim Chọn B. 4n 2 2 4 4 n 2 2 9n n 1 9n 3 Giải nhanh: . 4n 2 4n 4 2 1 2 1 2 n 2n 1 1 Câu 43. lim lim n n Chọn C. 4 3n 2 2 3 3 4 n 2 2 n 2n 1 n 1 Giải nhanh : . 4 4 3n 2 3n 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 34 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 2 2n 3 n 2 Câu 44. lim lim 1.Chọn D. 5 2n 5 2 2 n 2n 3 2n Giải nhanh: 1. 2n 5 2n 1 1 4 2 n 1 4 n n n 0 Câu 45. lim lim 0 Chọn B. n 1 n 1 1 1 1 2 n n n 1 4 n 1 Giải nhanh: 0. n 1 n n n 1 2 1 1 2 n n 1 n 1 1 Câu 46. Ta có lim lim 2 2 sin 2 n n 2 1 2 1 4 1 n n a 2 2 S 8 Chọn B. b 0 10 2 10 0 Câu 47. lim lim n 0.Chọn C. 4 2 n n 1 1 1 1 1 2 4 n n 10 10 10 Giải nhanh: 0. 2 4 2 4 1 n n n n 2n 2 2n 3 1
Câu 48. limn 1 lim
0 (“bậc tử” “bậc mẫu”). Chọn C. 4 2 4 2 n n 1 n n 1 2n 2 2n 2
Giải nhanh: n 1 . n 0. 4 2 4 n n 1 n n 5 7 3 a 3 3 2 3 3 3 an 5n 7 n n b a Câu 49. Ta có lim lim 3 2 3n n 2 1 2 3 3 3 2 n n b 3 a 1 b 3 c 3 P . Chọn B. 3 c 0 Câu 50. Ta có li m n 200 2 5 5 2 5
lim 200 3n 2n lim n 3 vì 200 2 . 5 3 n n 5 5 lim 3 3 0 5 3 n n
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Chọn D. Giải nhanh: 5 5 2 5 5 5
200 3n 2n 3n 3.n .
Câu 51. n 5 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n 4 lim 5 1 lim 0 Chọn A.
n 5 n 1 Câu 52. 2 2
n n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 1 n lim 1 1 1 2 1 lim lim n n n n Chọn A. 2
n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n n 1 n 1 Giải nhanh : 2
n n 1 n . 2 2 2
n n 1 n n n 1 2 Câu 53. lim 2 2
n 1 3n 2 lim n 1 3 vì 2 2 n n 1 2 lim n , lim 1 3
1 3 0. Chọn C. 2 2 n n Giải nhanh : 2 2 2 2
n 1 3n 2 n 3n 1 3n . Câu 54. 2 2 2 2
n 2n n 2n n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim 4 4 2 2
n 2n n 2n lim lim 2. Chọn B. 2 2
n 2n n 2n 2 2 1 1 n n 4n 4n Giải nhanh : 2 2
n 2n n 2n 2. 2 2 2 2
n 2n n 2n n n Câu 55. 2 2 2
n a n n a 2 2
2 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp: 2
a a 2 n 1 Ta có lim 2 2 2
n a n n a 2n 1 lim 2 2
n n n 1 2 1 a a 2 2 n a a 2 a 1 lim 0 . Chọn B. 1 1 2 b 2 1 1 2 n n Câu 56. 2 2 2 2
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 0
nhân lượng liên hợp :
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n lim 2 1 2 2
2n n 1 2n 3n 2 lim 2 2
2n n 1 2n 3n 2 1 2 1 lim n . 1 1 3 2 2 2 2 2 2 n n n n Chọn B. Giải nhanh : 2n 1 2n 1 2 2
2n n 1 2n 3n 2 . 2 2 2 2
2n n 1 2n 3n 2 2n 2n 2 Câu 57. Giải nhanh : 2 2 2 2
n 2n 1 2n n n 2n 1 2n . 2 1 1 Cụ thể : lim 2 2
n 2n 1 2n n lim . n 1 2 vì 2 n n n 2 1 1 lim n , lim 1 2 1 2 0 Chọn C. 2 n n n Câu 58. Nếu 2 2 2
n 8n n a n n 0
nhân lượng liên hợp : 2 2 2a 8 n 2a 8 Ta có lim 2 2
n 8n n a lim lim 2
n n n 1 1 1 n 2
a 4 0 a 2. Chọn B. Câu 59. 2 2
n 2n 3 n n n 0
nhân lượng liên hợp : 3 n lim 2 2 3 2 2 3 lim lim n n n n 1 Chọn A. 2
n 2n 3 n 2 3 1 1 2 n n 2n 3 2n Giải nhanh : 2
n 2n 3 n 1. 2 2
n 2n 3 n n n Câu 60. 2 2 2 2
n an 5 n 1 n n 0
nhân lượng liên hợp : an
1 limu lim n an n n 4 2 2 5 1 lim 2 2
n an 5 n 1 4 a a lim n a 2. a 5 1 2 1 1 2 2 n n n Chọn C. Giải nhanh :
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 37 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 an 4 an a 2 2
1 n an 5 n 1
a 2. 2 2 2 2 2
n an 5 n 1 n n Câu 61. 3 3 3 3 3 3 3 3
n 1 n 2 n n 0
nhân lượng liên hợp : lim 1 3 3 3 3
n 1 n 2 lim 0. Chọn C. 3 n 2 3 3 3 3 3 3 1
n 1. n 2 3 n 2 Câu 62. 3 2 3 3 3
n n n n n 0
nhân lượng liên hợp : n
lim n n n 2 1 1 3 2 3 lim lim . 2 3 n n 2 2 3 2 3 2 3 3
n n n n 1 1 3 3 1 1 1 n n Chọn A. 2 2 n n 1 Giải nhanh : 3 2 3
n n n . 2 3 2 3 6 3 3 2 3 2 3 2 3 3 n n n n n n
n n n n Câu 63. 3 3 2 3 3
n 2n n n n 0
nhân lượng liên hợp : n
lim n 2n n 2 2 2 2 3 3 2 lim lim . 3 2 n 2n 2 2 3 3 2 2 3 3 .
n n 2n n 2 2 3 3 1 1 1 n n Chọn B. 2 2 2n 2n 2 Giải nhanh : 3 3 2
n 2n n . 3 2 2 3 6 3 3 2 3 3 2 2 3 3 n . 2 . 2 n n n n n n n n n
Câu 64. n n 1 n
1 n n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n n 2 n 2 lim 1 1 lim lim 1 Chọn D.
n 1 n 1 1 1 1 1 n n n n
Giải nhanh : n n n 2 2 1 1 1.
n 1 n 1 n n
Câu 65. n n 1 n n n n 0
nhân lượng liên hợp :
n n n n 1 1 lim 1 lim lim Chọn B. n 1 n 1 2 1 1 n n n
Giải nhanh : n n n 1 1 . n 1 n n n 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 38 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 66. n 2 2
n n n 2 2 1 3
n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 4 4 2 2
n 1 n 3 lim lim 2 Chọn B. 2 2
n 1 n 3 1 3 1 1 2 2 n n 4n 4n
Giải nhanh : n 2 2
n 1 n 3 2. 2 2 2 2
n 1 n 3 n n Câu 67. n 2 2
n n n n n 2 2 1 6
n n 0
nhân lượng liên hợp : n lim n 7 2 2
n n 1 n n 6 lim 2 2
n n 1 n n 6 7 7 lim . 1 1 1 6 2 1 1 2 2 n n n n Chọn C. 7n 7n 7
Giải nhanh : n 2 2
n n 1 n n 6 . 2 2 2 2 2
n n 1 n n 6 n n Câu 68. 2 2 2
n 2 n 4 n n 0
nhân lượng liên hợp : 1 1 lim lim 1 2 4 2 2 n 2 n 4 lim . n 1 1 2 2 2 2 2 2 4 n n n n 1 2 4 vì lim n , lim 1 1 1 0 Chọn C. 2 2 2 n n Giải nhanh : 1 1 1 2 2 n 2 n 4 2 2 n n n . 2 2 2
n 2 n 4 Câu 69. 2 2
9n n n 2 9n 3n 0 giải nhanh : 2 2
9n n n 2 9n 1 Chọn A. 3n 2 3n 1 1 2 9 2 2
9n n n 2 n n n 9 Cụ thể : lim lim 1. 3n 2 2 3 3 n Câu 70. 3 3 3 3
n 1 n n n 0
nhân lượng liên hợp :
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 39 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 lim 1 3 3
n 1 n lim 0 Chọn B. 3 n 2 3 3 3 2 1
n n 1 n n2 n2 2 5 5 25
Câu 71. Giải nhanh : Chọn A. 3n 2.5n 2.5n 2 n 1 2 25 n2 2 5 5 25 Cụ thể : lim lim . 3n 2.5n n 3 2 2 5 n n 1 n 1 3 2.5 2.5
Câu 72. Giải nhanh : 10 Chọn B. n 1 2 5n 5n n 3 10 n n 1 3 2.5 5 Cụ thể : lim lim 10. n 1 2 5n n 2 2. 1 5 n n 1 n 3 4.2 3 3n 3
Câu 73. Giải nhanh : 0. Chọn A. 3.2n 4n 4n 4 n n n 3 1 1 8. 3. n n 1 3 4.2 3 4 2 4 0 Cụ thể : lim lim 0. 3.2n 4n n 1 1 3. 1 2 3n 1 3n 1
Câu 74. Giải nhanh : Chọn B. 2n 2.3n 1 2.3n 2 n 1 1 3n 1 3 1 Cụ thể : lim lim . 2n 2.3n 1 n n 2 1 2 2 3 3
Câu 75. Giải nhanh : n n n 1 a 1 5 2 1 2 n 5 2 3 2 2n 1 5 2 2 b 5. n n 5.2n 5 1 2 n 1 3 5 1 2 n 5 5 c 2 Vậy 2 2 2
S 1 5 2 30. Chọn B. 2 n 1 n n 5 3 n 1 12. 2 1 2 2 2 2n 3 5 5 n Cụ thể : lim lim n n n 5.2n 5 1 2 n 1 1 3 2 1 1 5. 5 . 2 5 5 n 1 5 2 2. 5 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 40 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n n 2 3 2 n n
3n 4n 4n 1 Câu 76. Giải nhanh: Chọn D. n n 2n2 3 3 2 3 n
3n 4.4n 4.4n 4 n n 3 1 n n 2 3 2 n 4 4 1 Cụ thể : lim lim . n n 2n2 3 3 2 n n 3 4 3. 3. 4 4 4 n
Câu 77. Giải nhanh : Vì 3 5 nên 3n 5 3n . Chọn D. li m3n n n n n 5
Cụ thể : lim 3 5 lim 3 1 n vì . 5 3 li m1 1 0 3
Câu 78. Giải nhanh : 4 n 1
3 .2 5.3n 5.3n 5 0. Chọn C. li m3n n n n n 2 Cụ thể : lim 4 1 3 .2 5.3 lim3 162.
5 vì n 2 . 3 l im 162.
5 5 0 3 n n 1 n 3 4.2 3 3n 3
Câu 79. Giải nhanh : 0. Chọn A. 3.2 4n 4n n 4 n n 1 1 n n n n 1 3 4.2 3 8.3 3 3 4.2 3 Cụ thể : 0 24. 0 lim 0. 3.2n 4n 4n 4 3.2n 4n n 0 n n n 1 n 2 n n n k n 3 3 2 Câu 80. Ta có 2 C 2 C . Khi đó: n n k 6 6 n 0 2 2 n 2n n lim n 1 2 n 2 3. 10. n 1 2 3n 10 2n 2n 2 n lim lim . vì n 1 . 2 2 2 3. 10. 3n n 2 n 1 2 n 3 2 2 2 2 n n lim 0 1 2 3 3 2 n n Chọn A. n n 1 4 2 4n 1 1
Câu 81. Giải nhanh: 4 a 10 4
2 1024 2 a 10. n n2 3 4 4na 2a 1024
Mà a 0;2018 và a nên a 10;2017 có 2008 giá trị . a Chọn B. 1 n 1 2. n n 1 4 2 2 1 1 1 Cụ thể : 4 lim lim . 4
3n 4na 3 n 4a a 2 2 2a a 4 4
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 41 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 n n n 2n 2 1 n 2n 1 Câu 82. Ta có lim lim lim . Ta có 3n1 3n 3n 1 3n 2 1 2 n 2n n 1 li m lim 3n 1 1 2 3 n n 2n 1 1 3 lim . n Chọn C. 3n1 3n 3 n n 1 n 1 1 0 0 lim 0 3n 3 3n n n 3n 1 cos 3n 3n 1 cos 3n Câu 83. lim lim . Ta có : n 1 n 1 n 3n 3 li m 3 n 1 1 n 3n 1 cos 3n lim 3. n n 1 cos 3n 1 1 cos 3n n 1 0 0 lim 0 n 1 n 1 n 1 Chọn B. 1 2 a 2 an 1 lim lim n a 2 2 3 n 3 an 1 1 Câu 84. Ta có 1 2 lim 3 3 a. 2 n 3 n 2n 1 1 n lim lim 0 2n 2 a 0;20, a Ta có a 1;6;1 3 . Chọn B. a 3 n n n n 1
Câu 85. Ta có lim 2.3 n 2 lim 3 . 2 2. . Vì 3n 3 lim 3n li m 3n n n n 2 n 0 0 lim 0 n , n 2 3 C n n n n n n 1 1 1 3 lim 2 2. 2 0 3n 3 2 n 1 lim 0 3
do đó lim 2.3n n 2 . Chọn D.
Câu 86. Gọi q là công bội của cấp số nhân, ta có :
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 42 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 u 1 1 2 u 2 1q q 1 1 q 2 . Chọn A. 3 1 q 9 2 9 3 1 q 1 S u . u 2 1 3 4 1 3 1 1 q 4 2 Câu 87. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 27
S 9 3 1 9 1 9 . n 3 2 4 n 1 3 9 3 3 3 3 3 1
2 1 1
CSN lvh: u q 3 1 1, 3 Chọn A. Câu 88. Ta có 1 1 1 1 1
S 2 1 2 2 2. Chọn C. 2 4 8 2n 1
1 1 CSN lvh: u q 2 1 1, 2 Câu 89. Ta có 2 n 2 4 2n 2 2 2 1
S 1 1 3. Chọn A. 3 9 3n 3 3 3 2
1 2 3 CSN lvh: 1 u 1, q 3 Câu 90. Ta có : n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
S 1 . Chon D. n 1 2 n 1 2 6 18 2.3 2 3 3 3
2 1 8 1 1 CSN lvh:u q 3 1 1, 3 Câu 91. Ta có 1 1 1 1 1 1 S ... ... 2 3 4 9 2n 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 . 2 4 2n
3 9 3n 1 1
2 2 1 1 1 1 CSN lvh: 2 3 1 u q CSN lvh: 1 u q 2 3 Chọn D. Câu 92. Ta có 2 1 ... n a a
a là tổng n 1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là a , nên 1. a n n 1 1 n 1 1 2 a
1 a a ... a . 1a 1a 1 1 n b n 1 n 2 1 1 Tương tự b
: 1 b b ... b . 1b 1b
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 43 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 n 1 1a 2 n n 1 Do đó
1 a a ... a 1 1 a b 1a 1b lim lim lim .
a 1, b 1 . 2 n n 1 n 1
1 b b ... b 1b 1a 1b 1a 1b Chọn B. Câu 93. Ta có n 1 1 2 4 6 2
S 1 cos x cos x cos x cos x .
Chọn C. 2 2 1 cos x sin x 2 CSN lvh: 1 u 1, q cos x Câu 94. Ta có n n 1 2 4 6
S 1sin x sin x sin x 2 1 .sin x . 2
Chọn C. 1 sin x 2 CSN lvh: 1 u 1, q sin x
Câu 95. Ta có tan 0;
1 với mọi 0; , do đó 4 1 cos cos 2 3
S 1 tan tan tan .
Chọn B. 1 tan sin cos CSN lvh: 1 u 1, q tan 2 sin 4 1 1 M m 1 1 m M Câu 96. Ta có , khi đó 1 1 N n 1 1 n N 1 1 MN A . Chọn A. 1 mn 1 1 M N 1 1 1 1 M N Câu 97. Ta có 2 3
0,5111 0,510 10 10n Dãy số 2 3
10 ;10 ;...;10n ;... là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng 2 u 10 , q 1 công bội bằng 1 10 nên 2 u 10 1 1 S . 1 1q 110 90 46 23 a 23
Vậy 0,5111... 0,5 S T
a b 68. Chọn B. 90 45 b 45 Câu 98. Ta có 35 2 35 35 35 a 35 10
A 0, 353535... 0, 35 0, 0035 ... ... T 3465. . 2 4 10 10 1 99 b 99 1 2 10 Chọn B. Câu 99. Ta có
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 44 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
B 5, 231231... 5 0, 231 0, 000231... 231 3 231 231 231 1742 a 1742 10 5 ... 5 5 T 1409 3 6 10 10 1 999 333 b 333 1 3 10 Chọn A. Câu 100. Ta có 1 1 1
0,17232323 0,17 23 4 6 8 10 10 10 1 17 17 23 1706 853 10000 23. . 100 1 100 100.99 9900 4950 1100 a 853 12 13
2 T 4097 2 . b 4950 Chọn D.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 45 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
2. GIÔÙI HAÏN C UÛA HAØM SOÁ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên Ta nói hàm số có giới hạn là số khi dần tới nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: hay khi Nhận xét: với là hằng số.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 a) Giả sử và . Khi đó: (nếu ). b) Nếu và , thì và
3. Giới hạn một bên Định nghĩa 2 Cho hàm số xác định trên Số
được gọi là giới hạn bên phải của hàm số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: Cho hàm số xác định trên Số
được gọi là giới hạn bên trái của hàm số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: Định lí 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
II – GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa 3 a) Cho hàm số xác định trên Ta nói hàm số
có giới hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: b) Cho hàm số xác định trên Ta nói hàm số có giới hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: Chú ý: a) Với
là hằng số và nguyên dương, ta luôn có:
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi vẫn còn đúng khi hoặc .
III – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số xác định trên Ta nói hàm số có giới hạn là khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có Kí hiệu: Nhận xét:
2. Một vài giới hạn đặc biệt a) với nguyên dương. b)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của Tùy ý
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề 1. Tìm giới h ạn bằng định nghĩa
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa : 3 1. A x − 1 x + 2 − 2 3x + = 2
lim(3x + x + 1) 2. B = lim 3. C = lim 4. 2 D = lim x→1 x→1 x − 1 x→2 x − 2 x→+∞ x − 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn: 1. 1 f(x) = sin khi x → 0 2. = 5
f(x) cos 2x khi x → −∞ . x
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu lim f(x) = 0 thì lim f(x) = 0 . x→x0 x→x0
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa 1. x + 1 lim 2. lim ( 3 x x + 3 − + 1) 3. 2 lim x→1 x − 2 x→2 x→1 x − 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 4. x + 3 lim 5. 2x − x + 1 lim . 6. 3x + 2 lim x→+∞ x − 2 x→−∞ x + 2 x→1 2x − 1 7. x + 4 − 2 lim 8. 4x − 3 lim 9. 3x − 1 lim x→0 2x + → x − x 1 1 − → x − x 2 2
Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn : 1. 1 f(x) = sin khi x → 0
2. f(x) = cosx khi x → +∞ x
Bài 3 Bằng định nghĩa hãy tìm các giới hạn sau 2 2 1. 2x + x − 3 lim 2. x + 1 lim 3. 3x lim x→1 x − 1 → (2 − x)4 x 2 →+∞ 2 x 2x + 1 2 2 4. lim ( 2 x x − 4 x + 3x + + x − 1) 5. lim 6. 2 lim . x→−∞ − → ( 4 x 2 x + 1)(2 − x) − x→− x + 1 1
Bài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn 1. 1 f(x) = cos khi x → 0
2. f(x) = sin 2x khi x → +∞ 2 x
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số Bài toán 01: Tìm biết xác định tại . Phương pháp: * Nếu
là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng * Nếu
cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 2 1. sin 2x + 3cosx + x lim 2. x + 3 − 2x lim → 2x + 2 x 0 cos 3x → 3 x 2 x + 6 + 2x − 1
Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? 2 x + 3x + 1 khi x < 1 1. f(x) = 2 x + 2 khi x → 1 ; 3x + 2 khi x ≥ 1 3 2 2x + 3x + 1 khi x ≥ 0 2. f(x) = khi x → 0 − 2 x + 3x + 2 khi x < 0
Ví dụ 3. Tim m để các hàm số: 2 x + mx + 2m + 1 khi x ≥ 0 1. x + = 1 f(x)
có giới hạn khi x → 0 . 2x + 3m − 1 khi x < 0 1− x + 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 x + x − 2 + mx + 1 khi x < 2. 1 f(x) = 1− x
có giới hạn khi x → 1 . 3mx + 2m −1 khi x ≥ 1
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau: 2 1. x − x + 1 A 2tan x + 1 = lim 2. B = lim x→1 x + 1 π sin x + x 1 →6 3 3 3. x + 2 − x + 1 C 7x + 1 + 1 = lim 4. D = lim . x→0 3x + 1 x→1 x − 2
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 2 1. x + 1 A sin 2x − 3cosx = lim 2. B = lim →− 2 x 2 x + x + 4 π x tan x →6 2 3 3. 2x − x + 1 − 2x + 3 C 3x + 1 − = lim 4. 2 D = lim → 2 x 1 3x − 2 → 3 x 1 3x + 1 − 2
Bài 3 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 3 2 1. 3x − 5x + 4 khi x ≥ = 1 f(x) khi x → 1 3x − 1 khi x < 1 3 x − 8 2. khi x > = 2 f(x) x − 2 tại x → 2 . 2x + 1 khi x ≤ 2
Bài 4 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 2 1. 3x − 5x + 1 khi x ≥ = 1 f(x) tại x = 1. −3x + 2 khi x < 1 3 x − 8 2. khi x > = 2 f(x) x − 2 tại x = 2 . 2x + 1 khi x ≤ 2 Bài 5 2 x + ax + 1 khi x > 2
1. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2 f(x) = . 2 2x − x + 1 khi x ≤ 2 2 5ax + 3x + 2a + 1 khi x ≥ 0
2. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 f(x) = . 1 + x + 2 x + x + 2 khi x < 0
Bài 6 Tìm a để hàm số 2 5ax + 3x + 2a + 1 khi x ≥ 0 1. f(x) =
có giới hạn tại x → 0 1 + x + 2 x + x + 2 khi x < 0 2 x + ax + 1 khi x > 1 2. f(x) =
có giới hạn khi x → 1 . 2 2x − x + 3a khi x ≤ 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài toán 02. Tìm trong đó .
Dạng này ta gọi là dạng vô định .
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức có nghiệm thì ta có : . *Nếu và
là các đa thức thì ta phân tích và . Khi đó
, nếu giới hạn này có dạng thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm
thì ta luôn có sự phân tích . * Nếu và
là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi
phân tích các đa thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. 2. 3. * Nếu và
là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu thì ta phân tích: .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: , trong đó .
* Một đẳng thức cần lưu ý: .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: n 5 3 2 1. x − 1 A = lim 2. x − 5x + 2x + 6x − 4 B = lim x→1 x − 1 → 3 x − 2 x 1 x − x + 1
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: n m 2 3 1. (1 + mx) − (1 + nx) (1 + 2x) (1 + 3x) − C 1 = lim 2. D = lim → 2 x 0 x x→0 x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 3 1. 2x − 1 − x A = lim 2. 3x + 2 − x B = lim → 2 x 1 x − 1 x→2 3x − 2 − 2
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 3 4 1. 2x − 1 − 1 B
2x − 1. 3x − 2. 4x − 3 − 1 = lim 2. C = lim x→1 x − 1 x→1 x − 1
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: 3 3 1. 7x + 1 − 5x − 1 A x + 2 − x + = lim 2. 20 B = lim x→1 x − 1 → 4 x 7 x + 9 − 2
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm các gới hạn sau : 3 2 4 2 1. x − 3x + 2 A x − 5x + 4 = lim 2. B = lim → 2 x 1 x − 4x + 3 → 3 x 2 x − 8 3 4 3. (1 + 3x) − (1 − 4x) C (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − = lim 4. 1 D = lim . x→0 x x→0 x
Bài 2 Tìm các gới hạn sau : n n 1. x − 1 1 + ax − A 1 = lim (m,n ∈ *) 2. B = lim (n ∈ *,a ≠ 0) → m x 0 x − 1 x→0 x n 1 + α 3 x 1 + β 4 x 1 + γx − 1 3. 1 + ax − 1 A = lim
với ab ≠ 0 4. B = lim với αβγ ≠ 0 . → m x 0 1 + bx − 1 x→0 x
Bài 3 Tìm các gới hạn sau : 2 4 1. 2x − 5x + 2 2x + 3 − A x − 3x + 2 x = lim 2. B = lim 3. C = lim → 3 x 2 x − 3x − 2 → 3 x 1 x + 2x − 3 → 2 x 3 x − 4x + 3 3 3 (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1 4. x + 1 − 1 D 4x − 1 − x + 2 = lim 5. E = lim 6. F = lim → 4 x 0 2x + 1 − 1 → 4 x 7 2x + 2 − 2 x→0 x 3 m n 7. 1 + 4x − 1 + 6x 1 + ax − 1 + M bx = lim 8. N = lim → 2 x 0 x x→0 x m n (1 3 + mx)n − (1+ nx)m (1− x)(1− x)...(1−n x) 9. 1 + ax 1 + bx − 1 G = lim 10. V = lim 11. K = lim x→0 x → 2 x 0 x (1− x)n− → 1 x 1 2 n 2 n
1 + x + x − 1 + x − x 12. L = lim x→0 x
Bài 4 Tìm các gới hạn sau : 2 4 2 1. 2x − 5x + 2 2x + 3 − A x − 3x + 2 3 = lim 2. B = lim 3. C = lim → 3 x 2 x − 8 → 3 x 1 x + 2x − 3 → 2 x 3 x − 4x + 3 3 3
n (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1 4. x + 1 − 1 D 4x − 1 − x + 2 = lim 5. E = lim 6. F = lim x→0 2x + 1 − 1 → 4 x 7 2x + 2 − 2 x→0 x 3 m n (1+ mx)n −(1+ nx)m 7. 1 + 4x − 1 + 6x M 1 + ax − 1 + bx = lim 8. N = lim 9. V = lim x→0 1 − cos3x x→0 1 + x − 1 → 1 + 2x − 3 x 0 1 + 3x (1− x)(1−3 x)...(1−n x) 10. K = lim ( . n 1 x 1 1 − 2 x ) − →
Bài 5 Tìm các giới hạn sau 3 1. 4x + 1 − 2x + 1 A = lim 2. 4x + 5 − 3 B = lim x→0 x → 3 x 1 5x + 3 − 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 4 3 3. 2x + 3 + 2 + 3x C x − x + 2 = lim 4. D = lim . x→−1 x + 2 − 1 → x − 3 x 2 3x + 2
Bài 6 Tìm các giới hạn sau 3 3 1. 1 + 2x − 1 + 3x A 5 + 4x − 7 + 6x = lim 2. B = lim → 2 x 0 x →− 3 x + 2 x 1 x − x − 1 Bài toán 03: Tìm f(x) B = lim
, trong đó f(x),g(x) → ∞ , dạng này ta còn gọi là dạng vô x→±∞ g(x)
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: * 2k lim x = +∞ ; 2k+1 lim x = +∞ (−∞) . x→+∞ x→+∞ (x→−∞) (x→−∞) k * lim = 0 (n > 0; k ≠ 0) . →+∞ n x x (x→−∞) * k
lim f(x) = +∞ (−∞) ⇔ lim = 0 (k ≠ 0) . x→x x→x 0 0 f(x)
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 4 2 1. (4x + 1) (2x + 1) A 4x − 3x + 4 + 3x = lim 2. B = lim →+∞ (3 + 7 x 2x) x→−∞ 2 x + x + 1 − x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 2 2 2 1. 2x + 1 − x + 1 3x − 2 + x + A 1 = lim 2. B = lim x→+∞ 2x + 2 x→−∞ 2 x + 1 − 1
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 2 3 4 6 1. 2x − 3x + 2 C 1 + x + x = lim 2. D = lim 3. E = 2 lim ( x − x + 1 − x) x→+∞ 5x + 2 x + 1 x→−∞ 1+ 3 x + 4 x x→+∞ 4. F = 2 lim x( 4x + 1 − x) 5. M = 2 lim ( x + 3x + 1 − 2 x − x + 1) 6. 3 3 N = lim 8x + 2x − 2x x→−∞ x→±∞ x→+∞ 7. 4 4 2 H = lim 2 2
16x + 3x + 1 − 4x + 2
8. K = lim x + 1 + x − x − 2x x→+∞ x→+∞
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 2 n a x + ... + a x + a 1. 3x + 5x + 1 A = lim 2. 0 n− B = 1 n lim (a b ≠ 0) . →+∞ 2 x 2x + x + 1 →+∞ b x + ... + 0 0 m x 0 bm− x + 1 bm
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 3 3 2 2 1. 3x + 1 − 2x + x + 1 A x x + 1 − 2x + 1 = lim 2. B = lim . x→−∞ 4 4 4x + 2 x→+∞ 3 3 2x − 2 + 1
Bài 4 Tìm các giới hạn sau: 3 4 2 1. (2x + 1) (x + 2) A 4x − 3x + 4 − 2x = lim 2. B = lim →+∞ (3 − 7 x 2x) x→−∞ 2 x + x + 1 − x 2 3 4 6 3. 2x + 3x + 2 C 1 + x + x = lim 4. D = lim . x→+∞ 5x − 2 x + 1 x→−∞ 1+ 3 x + 4 x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Bài 5 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 3 3 A = lim 2
x + x + 1 − 2x + x − 1
2. B = lim x − x + x + 1 x→+∞ x→−∞ 3. 2 C = lim 3 3 2 2 4x + x + 1 − 2x
4. D = lim x + x + 1 + x + x + 1 . x→+∞ x→−∞
Bài 6 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 2
A = lim x + x + 1 − 2 x − x + x x→+∞ 2. B = 2 lim x( x + 2x − 2 2 x + x + x) x→+∞
Bài 7 Tìm các giới hạn sau n a x + ... + a x + a 2 3 3 1. 0 n− A 4x + x + 8x + x − 1 = 1 n lim , (a b ≠ 0) 2. B = lim →+∞ b x + ... + 0 0 m x x→+∞ 4 4 0 bm− x + 1 bm x + 3 2 3 3 2 3. 4x − 2 + x + 1 C x x + 1 + 2x + 1 = lim 4. D = lim . x→−∞ 2 x + 1 − x x→+∞ 3 3 2x + x + 1 + x
Bài toán 04: Dạng vô định: và Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: A = 3 3 lim ( x − 2 3x + 2 x − 2x) x→−∞
Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau: B = 2 lim x( x + 2x − 2 2 x + x + x) x→+∞
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 A = lim 2
x − x + 1 − x
2. B = lim 2x + 4x − x + 1 x→+∞ x→−∞ 3. C = n
lim [ (x + a )(x + a )...(x + a ) − x] →+∞ 1 2 n x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 1. A = 2
lim ( x − x + 1 − x) 2. B = 2 lim x( 4x + 1 − x) x→+∞ x→−∞ 3. C = 2 lim ( x − x + 1 − 2 x + x + 1) 4. D = 3 3 lim ( 8x + 2x − 2x) x→±∞ x→+∞ 5. E = 4 4 lim ( 16x + 3x + 1 − 2 4x + 2)
6. F = lim (x − 3 1 − 3 x ) . x→+∞ x→−∞
Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: , từ đây suy ra . Nếu và .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 3 1. cosx − cosx A 1 + 2x − 1 + 3x = lim 2. B = lim → 2 x 0 sin x x→0 1 − cos2x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 1. 1 A = 3 lim x sin 2. B = lim (2sinx + 3 cos x)( x +1 − x) → 2 x 0 x x→+∞
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Tìm giới hạn sau: 1 − cosax A = lim → 2 x 0 x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 1. 1 + sin mx − cosmx A 1 − cosx.cos2x.cos3x = lim 2. B = lim . x→0 1 + sin nx − cos nx → 2 x 0 x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 1. 1 − cos2x A cos2x − cos3x = lim 2. B = lim x→0 3x 2sin x→0 x(sin 3x − sin 4x) 2 2 2 3. tan 2x C = lim 4. x D = lim → 1 − 3 x 0 cos2x x→0 1 + xsin 3x − cos 2x
Bài 4 Tìm các giới hạn sau: m 1. sin(πx ) A π = lim.
2. B = lim( − x)tan x → sin(π n x 1 x ) π x 2 →2 3. α 1 C = lim x sin α ( > 0)
4. D = lim (sin x + 1 − sin x) x→0 x x→+∞
Bài 5. Tìm các giới hạn sau 3 2 1. cos3x − cos4x A 1 − 1 + 2sin 2x sin 2x = lim 2. B = lim 3. C = lim x→0 cos 5x − cos 6x x→0 sin 3x → 3 cos x − 4 x 0 cosx π 4 1 − sin( cosx) 4. sin 2x D 3sin x + 2cosx = lim 5. = 2 E lim 6. F = lim → 4 x 0 sin 3x x→0 sin(tan x) x→+∞ x + 1 + x m m n 7. cosax − cos bx H 1 − cosax = lim 8. M = lim . → 2 x 0 sin x → 2 x 0 x
Bài 6. Tìm các giới hạn sau 3 2 1. cos3x − cos4x A 1 − 1 + 2sin 2x sin 2x = lim 2. B = lim 3. C = lim x→0 cos 5x − cos 6x x→0 sin 3x → 3 cos x − 4 x 0 cosx π 4 1 − sin( cosx) 4. sin 2x D 3sin x + 2cosx = lim 5. = 2 E lim 6. F = lim → 4 x 0 sin 3x x→0 sin(tan x) x→+∞ x + 1 + x m m 3 7. cosax − cos bx H 1 + 3x − 1 + 2x = lim 8. M = lim . → 2 x 0 sin x x→0 1 − cos2x
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Vấn đề 1. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠ
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Câu 1. Giá trị của giới hạn lim 2
3x 7x 1 1 là: 3 2
3x 4 3x 2 x 2
Câu 10. Giá trị của giới hạn lim là: x 2 x 1 A. 37. B. 38. C. 39. D. 40. A. 3 . B. 2 . C. 0. D. .
Câu 2. Giá trị của giới hạn 2 lim x 4 là: 2 3 x 3 A.
Vấn đề 2. GIỚI HẠN MỘT BÊN 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 11. Kết quả của giới hạn x 15 lim là:
Câu 3. Giá trị của giới hạn 1 2 lim x sin là: x 2 x 2 x 0 2 A. . B. . C. 15 . D. 1. A. 1 sin . B. . C. . D. 0. 2 2 2 x 2
Câu 4. Giá trị của giới hạn x 3
Câu 12. Kết quả của giới hạn lim là: lim là: 3 x 2 x 2
x 1 x 2 A. . B. . A. 1. B. 2. C. 2. D. 3 . 2 C. 15 .
D. Không xác định. 2 3
Câu 5. Giá trị của giới hạn x x lim là:
x 2x 1 4 1 x 3 3x 6
Câu 13. Kết quả của giới hạn lim là: x 2 x 2 A. 1. B. 2. C. 0. D. 3 . 2 A. . B. 3.
Câu 6. Giá trị của giới hạn x 1 lim là: C. .
D. Không xác định. 4
x 1 x x 3
Câu 14. Kết quả của giới hạn 2 x lim là: A. 3 2 . B. 2 . C. 3 . D. 2 .
x 2 2x 5x 2 2 3 2 3 A. . B. . C. 1 . D. 1. 2 3 3
Câu 7. Giá trị của giới hạn 3x 1 x lim là: x 1 x 1 2
Câu 15. Kết quả của giới hạn x 13x 30 lim là: A. 3 x 3 2 . B. 1 . C. 1 . D. 3 . x 3 x 5 2 2 2 2 2 A. 2. B. 2. C. 0. D. 2 .
Câu 8. Giá trị của giới hạn 9x x lim là: 15 x 2x 1 4 3 x 3 2x víi 1 x A. 1
Câu 16. Cho hàm số f x 1 x . Khi đó . B. 5. C. 1 . D. 5. 5 5 2 3x 1 víi x 1
lim f x là: 2
Câu 9. Giá trị của giới hạn x x 1 x 1 3 lim là: 2 x 2 x 2x A. . B. 2. C. 4. D. . A. 1 . B. 1 . C. 1. D. 1. 4 2 3 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 x 1 A. B. . C. 3 3 1. D. . víi 1 x 3 3 1.
Câu 17. Cho hàm số f x 1 x . Khi đó 2x2 víi 1 x
Câu 25. Giá trị của giới hạn x là: 2 lim 4x 7x 2x x
lim f x là: x 1 A. 4. B. . C. 6. D. . A. . B. 1. C. 0. D. 1.
Vấn đề 4. DẠNG VÔ ĐỊNH 0 2 0 Câu 18. Cho hàm số víi f x x 3 x 2 . Khi đó x 1 víi x 2 3 x 8
lim f x là:
Câu 26. Giá trị của giới hạn lim là: 2 x 2 x 2 x 4 A. 1. B. 0. A. 0. B. . C. 1. D. Không tồn tại. C. 3.
D. Không xác định. 5 x 1 Câu 19. Cho hàm số víi f x x 2 3 x 2
. Tìm a Câu 27. Giá trị của giới hạn lim là: ax 3 1 víi x 2 x 1 x 1
để tồn tại lim f x. x 2 A. 3 . B. 3. C. 5 . D. 5. 5 5 3 3 A. a 1. B. a 2. C. a 3. D. a 4. 3 Câu 28. Biết rằng 2x 6 3 Tính 2 2 2 lim a 3 . b a b .
x 2x 3 víi x 3 2 x 3 3 x Câu 20. Cho hàm số f x 1 víi x 3. Khẳng 2 3 2x víi x 3 A. 10. B. 25. C. 5. D. 13.
định nào dưới đây sai? 2
Câu 29. Giá trị của giới hạn x x 6 lim là: A. 2 x 3
lim f x 6. B. Không tồn tại x 3 lim f x. x x3 x3 A. 1. B. 2 . C. 5. D. 3. 3 3 3 5
C. lim f x 6.
D. lim f x 15. x3 x3
Câu 30. Giá trị của giới hạn 3 x lim là:
Vấn đề 3. GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC x 3 3 27 x
Câu 21. Giá trị của giới hạn 3
lim x x 1 là: x A. 1. B. 0. C. 5. D. 3. 3 3 5 A. 1. B. . C. 0. D. . 2 21 x 7 21 12x
Câu 31. Giá trị của giới hạn lim là:
Câu 22. Giá trị của giới hạn 3 2
lim x 2x 3 x là: x 0 x x 21 21 21 21 A. 0. B. . C. 1. D. . A. 2 2 2 12 . B. . C. . D. . 7 9 5 7
Câu 23. Giá trị của giới hạn 2 lim
x 1 x là: x 2
Câu 32. Giá trị của giới hạn
x x x lim là: 2 x 0 x A. 0. B. . C. 2 1. D. . A. 0. B. . C. 1. D. .
Câu 23. Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
3x 1 x 2 là: x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 A. 2. B. 1. C. 2. D. .
Câu 33. Giá trị của giới hạn x 1 lim là: x 1 3 4x 4 2 2
Câu 42. Kết quả của giới hạn
4x 2x 1 2 x lim là: A. 1. B. 0. C. 1. D. . x 2
9x 3x 2x 3
Câu 34. Giá trị của giới hạn
2 1 x 8 x lim là: A. 1 . B. . C. . D. 1 . x 0 x 5 5 A. 5 2 . B. 13. C. 11. D. 13 .
4x 2x 1 2 x 6 12 12 12
Câu 43. Biết rằng L lim 0 là x 2
ax 3x bx Câu 35. Biết rằng
b 0, a b 5
và hữu hạn (với a,b là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng.
3 ax 1 1bx lim
2 . Khẳng định nào dưới đây sai? x 0 x A. a 0. B. 3 L C. 3 L D. b 0. A. a b b a 1 a 3. B. b 1. C. 2 2 a b 10.
D. a b 0. 3 3 2
Câu 44. Kết quả của giới hạn x 2x 1 lim là: x 2 2x 1
Vấn đề 5. DẠNG VÔ ĐỊNH A. 2 . B. 0. C. 2 . D. 1. 2 2 2
Câu 36. Kết quả của giới hạn 2x 5x 3 lim là: 2
x x 6x 3
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của a để 2 lim 2x 1 ax x A. 2. B. . C. 3. D. 2 . là . 3 2
A. a 2. B. a 2. C. a 2. D. a 2.
Câu 37. Kết quả của giới hạn 2x 5x 3 lim là: 2 x x 6x 3
Vấn đề 6. DẠNG VÔ ĐỊNH A. 2. B. . C. . D. 2 .
Câu 46. Giá trị của giới hạn 3 2
lim 2x x là: x 3 2
Câu 38. Kết quả của giới hạn 2x 7x 11 lim là: 6 5
x 3x 2x 5 A. 1. B. . C. 1. D. . A. 2. B. . C. 0. D. .
Câu 47. Giá trị của giới hạn 1 1 lim là: 2
x 2 x 2 x 4
Câu 39. Kết quả của giới hạn 2x 3 lim là: x 2 x 1 x A. . B. . C. 0. D. 1. A. 2. B. . C. 3. D. 1 . Câu 48. Biết rằng a b
a b 4 và lim hữu 3 x 1
1 x 1 x
2ax 3 Câu 40. Biết rằng
có giới hạn là khi hạn. Tính giới hạn b a L lim . 2 x 1 x 3 x 1 1 x 1 x
x (với a là tham số). Tính giá trị nhỏ nhất của 2 A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.
P a 2a 4.
A. P 1. B. P 3. C. P 4. D. P 5. Câu 49. Giá trị của giới hạn 2 lim
1 2x x là: min min min min x 2
Câu 41. Kết quả của giới hạn 4x x 1 A. 0. B. . C. 2 1. D. . lim là: x x 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Câu 50. Giá trị của giới hạn là: A. 0. B. . C. 1. D. . 2 lim x 1 x x
Vấn đề 7. DẠNG VÔ ĐỊNH 0. A. 0. B. . C. 1 . D. . 2
Câu 56. Kết quả của giới hạn 1 lim x 1 là: x 0 x Câu 51. Biết rằng Tính 2 lim 5x 2x
x 5 a 5 .b x S 5a . b A. . B. 1. C. 0. D. . A. S 1.
B. S 1. C. S 5.
D. S 5. Câu 57. Kết quả của giới hạn x lim x 2 là: 2 x 2 x 4
Câu 52. Giá trị của giới hạn là: 2 2 lim x 3x x 4x x A. 1. B. . C. 0. D. . A. 7 . B. 1 . C. . D. . 2x 1 2 2
Câu 58. Kết quả của giới hạn lim x là: 3 2 x 3x x 2
Câu 53. Giá trị của giới hạn 3 3 2 lim
3x 1 x 2 là: x A. 2 . B. 6 . C. . D. . 3 3
A. 3 3 1. B. .
C. 3 3 1. D. .
Câu 59. Kết quả của giới hạn 1 2
lim x sin x là:
Câu 54. Giá trị của giới hạn là: 2 x 0 x 2 3 3 2 lim x x x x x A. 0 . B. 1 . C. . D. . A. 5 . B. . C. 1. D. . 6
Câu 60. Kết quả của giới hạn x lim là: 3 x 1 2
Câu 55. Giá trị của giới hạn 3 3 lim
2x 1 2x 1 là: x 1 x 1 x A. 3. B. . C. 0. D. .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 GIỚI HẠN HÀM SỐ
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa : 3 1. A x − 1 = 2 lim(3x + x + 1) 2. B = lim x→1 x→1 x − 1 3. x + 2 − 2 C 3x + = lim 4. 2 D = lim x→2 x − 2 x→+∞ x − 1 Lời giải.
1. Với mọi dãy (xn) mà limx = n 1 ta có: A = lim( 2 3x + x + n n 1) = 3 +1+1 = 5
2. Với mọi dãy (xn) mà limx = n 1 và x ≠ ∀ n 1 n ta có: (x − 2 1)(x + x + 1) B = n n n lim = lim( 2 x + x + n n 1) = 3 . x − n 1
3. Với mọi dãy (xn) mà limx = n 2 và x ≠ 2 ∀ n n ta có: x + 2 − 2 (x − 2) 1 1 B = n lim = n lim lim xn 2 (x − 2) x 2 2 x 2 2 4 n ( + + n ) = = − + + n
4. Với mọi dãy (xn) mà limx = +∞ n ta có: + 2 3 3x + 2 x D = n lim = n lim = 3 . x − n 1 1 − 1 xn
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn: 1. 1 f(x) = sin khi x → 0 2. = 5
f(x) cos 2x khi x → −∞ . x Lời giải. 1. Xét hai dãy 1 1 (x ) : x = ,(y ) : y = n n n n π 2 π 2 (n ) + n2π 2 Ta có: lim x = lim y = n n
0 và lim f(x ) = 1; lim f(y ) = n n 0 .
Nên hàm số không có giới hạn khi x → 0 .
2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: π x = π n ; y = + π n n n 4
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu lim f(x) = 0 thì lim f(x) = 0 . x→x0 x→x0 Lời giải.
Với mọi dãy (x ) : lim x = n n
x0 ta có: lim f(x ) = 0 ⇒ limf(x ) = n n 0 ⇒ lim f(x) = 0 . x→x0
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1. x + 1 lim 2. lim ( 3 x x + 3 − + 1) 3. 2 lim x→1 x − 2 x→2 x→1 x − 1 2 4. x + 3 lim 5. 2x − x + 1 lim . 6. 3x + 2 lim x→+∞ x − 2 x→−∞ x + 2 x→1 2x − 1 7. x + 4 − 2 lim 8. 4x − 3 lim 9. 3x − 1 lim x→0 2x + → x − x 1 1 − → x − x 2 2
Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn : 1. 1 f(x) = sin khi x → 0
2. f(x) = cosx khi x → +∞ x
Bài 3 Bằng định nghĩa hãy tìm các giới hạn sau 2 2 1. 2x + x − 3 lim 2. x + 1 lim 3. 3x lim x→1 x − 1 → (2 − x)4 x 2 →+∞ 2 x 2x + 1 2 2 4. lim ( 2 x x − 4 x + 3x + + x − 1) 5. lim 6. 2 lim . x→−∞ − → ( 4 x 2 x + 1)(2 − x) − x→− x + 1 1
Bài 4 Chứng minh rằng các hàm số sau không có giới hạn 1. 1 f(x) = cos khi x → 0
2. f(x) = sin 2x khi x → +∞ 2 x ĐÁP ÁN Bài 1 x + 1
1. Với mọi dãy (x ) : lim x = n n n 1 ta có: lim = −2 x − n 2 Vậy x + 1 lim = −2 . x→1 x − 2 2. lim ( 3 x x + 3 − + 1) = 9 3. 2 1 lim = x→2 x→1 x − 1 4 2 4. x + 3 lim 2x − x + 1 = 1 5. lim = −∞ . x→+∞ x − 2 x→−∞ x + 2
6. Với mọi dãy (x ) : lim x = n n 2 ta có: 3x + 2 3x + 2 3.1+ 2 lim = n lim = = 5 x→1 2x − 1 2x − 1 2.1 − n 1
7. Với mọi dãy (x ) : lim x = n n 0 ta có: x + 4 − 2 x + 4 − 2 x lim = n lim = n lim x→0 2x 2xn 2xn ( x + 4 + n 2) 1 1 = lim . 2( x 4 2) = + + 8 n
8. Với mọi dãy (x ) : x > 1, ∀ n n n và lim x = n 1 ta có: 4x − 3 4x − 3 lim = n lim = +∞ . + x→ x − 1 x − 1 n 1
9. Với mọi dãy (x ) : x < 2, ∀ n n n và lim x = n 2 ta có: 3x − 1 3x − 1 lim = n lim = −∞ . − x→ x − 2 x − 2 n 2 Bài 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1. Xét hai dãy số 1 1 x = ,y = ⇒ lim x = lim y = n 0 π + π n 2n π n n + π 2n 2
Mà lim f(x ) = lim sin(π + 2 π n ) = n 0 π lim f(y ) = lim sin( + 2 π n ) = n 1 2 Suy ra lim f(x ) ≠ n lim f(yn)
Vậy hàm số f không có giới hạn khi x → 0 . 2. Xét hai dãy π x = 2 π n ,y = + π n ⇒ lim x = lim y = +∞ n n n n 2
Mà lim f(x ) = lim cos(2 π n ) = n 1 π lim f(y ) = lim cos( + π n ) = n 0 2 Suy ra lim f(x ) ≠ n lim f(yn)
Vậy hàm số f không có giới hạn khi x → +∞ . Bài 3
1. Với mọi dãy (x ) : lim x = n n 1 ta có: 2 2x + x − 2 3 2x + x − 3 lim = n n lim = lim(2x + n 3) = 5 . x→1 x − 1 x − n 1 2. Đáp số: x + 1 lim = +∞ → (2 − x)4 x 2 2 3. Đáp số: 3x 3 lim = →+∞ 2 x 2x + 1 2 4. Đáp số: lim ( 2 x + x − 1) = +∞ x→−∞ 2 5. Đáp số: x − 4 lim = 0 − → ( 4 x 2 x + 1)(2 − x) 2 6. Do − x x + 3x +
→ −1 ⇒ x + 1 = −(x + 1) . Đáp số: 2 lim = −1. − x→− x + 1 1 Bài 4 1. Xét hai dãy (x 1 1
n ),(yn ) xác định bởi x = ,y = n π n 2n π + π n 2 Ta có: lim x = lim y = n n 0
Nhưng: lim f(x ) = 1; lim f(y ) = n n
0 nên hàm số f không có giới hạn khi x → 0 .
2. Tương tự như bài trên
Băng cách xét hai dãy: (x ) : x = π n n n và π (y ) : y = + π n n n . 4
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số
Bài toán 01: Tìm lim f(x) biết f(x) xác định tại x . x→x 0 0 Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f(x0)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 2 1. sin 2x + 3cosx + x lim 2. x + 3 − 2x lim → 2x + 2 x 0 cos 3x → 3 x 2 x + 6 + 2x − 1 Lời giải. 1. Ta có:
sin 2x + 3cosx + x sin0 + 3cos0 + 0 lim = = 3 → 2x + 2 cos 3x 2.0 + 2 x 0 cos 0 2 2 2. Ta có: x + 3 − 2x 2 + 3 − 2.2 7 − 4 lim = = . → 3 x + 6 + 2x − 3 x 2 1 2 + 6 + 2.2 − 1 5
Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? 2 x + 3x + 1 khi x < 1 1. f(x) = 2 x + 2 khi x → 1 ; 3x + 2 khi x ≥ 1 3 2 2x + 3x + 1 khi x ≥ 0 2. f(x) = khi x → 0 − 2 x + 3x + 2 khi x < 0 Lời giải. 1. Ta có: 3x + 2 5 lim f(x) = lim = . + + x→1 x→1 3 3 2 x + 3x + 1 5 5 lim f(x) = lim = ⇒ lim f(x) = lim f(x) = . − − 2 x 2 3 + − x→1 x→1 + x→1 x→1 3 Vậy 5 lim f(x) = . x→1 3 2. Ta có: lim f(x) = 2 lim (2x + 3x + 1) = 1. + + x→0 x→0 lim f(x) = lim (− 2
x + 3x + 2) = 2 ⇒ lim f(x) ≠ lim f(x) . − − + − x→0 x→0 x→0 x→0
Vậy hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 0 .
Ví dụ 3. Tim m để các hàm số: 2 x + mx + 2m + 1 khi x ≥ 0 1. x + = 1 f(x)
có giới hạn khi x → 0 . 2x + 3m − 1 khi x < 0 1− x + 2 2 x + x − 2 + mx + 1 khi x < 2. 1 f(x) = 1− x
có giới hạn khi x → 1 . 3mx + 2m −1 khi x ≥ 1 Lời giải. 2 1. Ta có: x + mx + 2m + 1 lim f(x) = lim = 2m + 1 + + x→0 x→ x + 0 1 2x + 3m − 1 3m − 1 lim f(x) = lim = − − x→0 x→0 1 − x + 2 3
Hàm số có giới hạn khi x → 0 khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) + − x→0 x→0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3m − 1 4 ⇔ 2m + 1 = ⇔ m = − . 3 3
2. Ta có: lim f(x) = lim (3mx + 2m − 1) = 5m − 1 + + x→1 x→1 2 x + x − 2 lim f(x) = lim + mx + 1 − − x→1 x→1 1 − x
= lim (−(x + 2) 1− x + mx +1) = m +1 − x→1
Hàm số có giới hạn khi x → 1 khi và chỉ khi lim f(x) = lim f(x) + − x→1 x→1 1
⇔ 5m − 1 = m + 1 ⇔ m = . 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm giới hạn các hàm số sau: 2 1. x − x + 1 A 2tan x + 1 = lim 2. B = lim x→1 x + 1 π sin x + x 1 →6 3 3 3. x + 2 − x + 1 C 7x + 1 + 1 = lim 4. D = lim . x→0 3x + 1 x→1 x − 2
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 2 1. x + 1 A sin 2x − 3cosx = lim 2. B = lim →− 2 x 2 x + x + 4 π x tan x →6 2 3 3. 2x − x + 1 − 2x + 3 C 3x + 1 − = lim 4. 2 D = lim → 2 x 1 3x − 2 → 3 x 1 3x + 1 − 2
Bài 3 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 3 2 1. 3x − 5x + 4 khi x ≥ = 1 f(x) khi x → 1 3x − 1 khi x < 1 3 x − 8 2. khi x > = 2 f(x) x − 2 tại x → 2 . 2x + 1 khi x ≤ 2
Bài 4 Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó ? 2 1. 3x − 5x + 1 khi x ≥ = 1 f(x) tại x = 1. −3x + 2 khi x < 1 3 x − 8 2. khi x > = 2 f(x) x − 2 tại x = 2 . 2x + 1 khi x ≤ 2 Bài 5
1. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2 2 x + ax + 1 khi x > 2 f(x) = . 2 2x − x + 1 khi x ≤ 2
2. Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x = 0 2 5ax + 3x + 2a + 1 khi x ≥ 0 f(x) = . 1 + x + 2 x + x + 2 khi x < 0
Bài 6 Tìm a để hàm số
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 5ax + 3x + 2a + 1 khi x ≥ 0 1. f(x) =
có giới hạn tại x → 0 1 + x + 2 x + x + 2 khi x < 0 2 x + ax + 1 khi x > 1 2. f(x) =
có giới hạn khi x → 1 . 2 2x − x + 3a khi x ≤ 1 Bài 1 2 1. Ta có: x − x + 1 1 − 1 + 1 1 A = lim = = . x→1 x + 1 1 + 1 2 π 2tan + 1 2.Ta có 2tan x + 1 6 4 3 + 6 B = lim = = . π sin x + 1 π x 9 → sin + 1 6 6 3 3.Ta có: x + 2 − x + 1 C = lim = 3 2 + 1 . x→0 3x + 1 3 3 4. Ta có: 7x + 1 + 1 8 + 1 D = lim = = −3 . x→1 x − 2 1 − 2 Bài 2 1. −1 A 3 3 9 = 2. B = − 3. = − 3 C 2 5 4. D = 0 6 4 2 Bài 3
1. Ta có: lim f(x) = lim ( 3 3x − 2 5x + 4) = 2 + + x→1 x→1
lim f(x) = lim (3x − 1) = 2 − − x→1 x→1 Suy ra lim f(x) = 2 . x→1 3 2. Ta có: x − 8 lim f(x) = lim = lim ( 2 x + 2x + 4) = 12 + + x − 2 + x→2 x→2 x→2 lim f(x) = lim (2x + 1) = 5 − − x→2 x→2
Do đó không tồn tại giới hạn của f khi x → 2 . Bài 4
1. Ta có: lim f(x) = lim f(x) = −1 = lim f(x) + − x→ → → 1 x 1 x 1
2. Ta có lim f(x) = 12 ≠ 5 = lim f(x) + − x→2 x→2
Hàm số không có giới hạn khi x → 2 . Bài 5 1. Ta có: lim f(x) = 2 lim (x + ax + 2) = 2a + 6 . + + x→2 x→2 lim f(x) = 2 lim (2x − x + 1) = 7 . − − x→2 x→2
Hàm số có giới hạn khi x → 2 ⇔ lim f(x) = lim f(x) + − x→2 x→2 1 1
⇔ 2a + 6 = 7 ⇔ a = . Vậy a = là giá trị cần tìm. 2 2 2. Ta có 2
lim f(x) = 2a + 1 = 1 + 2 = lim f(x) ⇒ a = . + − x→0 x→0 2 Bài 6
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
1. Ta có: lim f(x) = lim ( 2 5ax + 3x + 2a + 1) = 2a +1 + + x→0 x→0 2
lim f(x) = lim 1+ x + x + x + 2 = 1+ 2 − − x→0 x→ 0 Vậy 2 2a + 1 = 1 + 2 ⇔ a = . 2 2. Ta có: lim f(x) = 2 lim (x + ax + 2) = a + 3 . + + x→1 x→1 lim f(x) = 2
lim (2x − x + 3a) = 3a + 1 . − − x→1 x→1
Hàm số có giới hạn khi x → 1 ⇔ lim f(x) = lim f(x) + − x→1 x→1
⇔ a + 3 = 3a + 1 ⇔ a = 1 . Vậy a = 1 là giá trị cần tìm. Bài toán 02. Tìm f(x) A = lim
trong đó f(x ) = g(x ) = 0 . x→x 0 0 0 g(x)
Dạng này ta gọi là dạng vô định 0 . 0
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có : f(x) = (x − x0) 1f(x). f (x)
*Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x − x0) 1f(x) vàg(x) = (x − x0)g1(x) . Khi đó A = 1 lim , x→x0 g1(x)
nếu giới hạn này có dạng 0 thì ta tiếp tục quá trình như trên. 0
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2 ax + bx+c có hai nghiệm 1
x ,x2 thì ta luôn có sự phân tích 2
ax + bx + c = a(x − x )(x − 1 x2) .
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên. Các lượng liên hợp:
1. ( a − b)( a + b) = a − b 2. 3 ± 3 3 2 3 ( a b)( a ab + 3 2 b ) = a − b 3. n n n n−1 n n−2 n n− ( a − b)( a + a b + ... + 1 b ) = a − b
* Nếu f(x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n m
u(x), v(x) → c thì ta phân tích: n − m = n − − m u(x)
v(x) ( u(x) c) ( v(x) − c) .
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n − m = n − − m u(x)
v(x) ( u(x) m(x)) ( v(x) − m(x)) , trong đó m(x) → c .
* Một đẳng thức cần lưu ý: n n n−1 n−2 n−2 n− − = − + + + + 1 a b (a b)(a a b ... ab b ) . Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: n 5 3 2 1. x − 1 A = lim 2. x − 5x + 2x + 6x − 4 B = lim x→1 x − 1 → 3 x − 2 x 1 x − x + 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Lời giải. 1. Ta có: n n−1 n− − = − + 2 x 1 (x 1)(x x + . . + x + 1) n Suy ra: x − 1 n−1 n− = x + 2 x + ... + x + 1 x − 1 Do đó: A = lim ( n−1 n− x + 2 x + ... + x + 1) = n . x→1
2. Ta có: 5 − 3 + 2 + − = − 2 + 2 x 5x 2x 6x 4 (x 1) (x 2)(x − 2) 3 − 2 − + = − 2 x x x 1 (x 1) (x + 1) 2 Do đó: (x + 2)(x − 2) 3 B = lim = − . x→1 x + 1 2
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: n m 2 3 1. (1 + mx) − (1 + nx) (1 + 2x) (1 + 3x) − C 1 = lim 2. D = lim → 2 x 0 x x→0 x Lời giải. 2 2 1. Ta có: n m n(n − 1)x (1 + mx) = 1 + mnx + + 3 3 m x .A 2 Với 3 4 A C mxC ... (mx) − = + + + n 3 n n n Cn ( nx) 2 m n m(m − 2 1)x 1 + = 1 + mnx + + 3 3 n x B 2 Với 3 4 B C nxC . . (nx) − = + + + m 3 m m m Cm 2 2 Do đó: m n(n − 1) − n m(m − 1) C = lim + x( 3 m A − 3 n B) x→0 2 2 2
m n(n − 1) − n m(m − 1) mn(n − m) = = . 2 2 ( ) ( ) ( 2 2 3 1 2x )(1 3x)3 + + − + + − 1 1 2x 1 3x 1 2. Ta có: = + x x 2 (1 + 2x) − 1 + = (1+ 2x)2 (9 + 27x + 2 27x ) −(4 + 4x) x Suy ra: D lim (1 2x)2 2 (9 27x 27x ) = + + + − (4 + 4x) = 5 x→0
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 3 1. 2x − 1 − x A = lim 2. 3x + 2 − x B = lim → 2 x 1 x − 1 x→2 3x − 2 − 2 Lời giải. 2 1. Ta có: 2x − 1 − x A −(x − 1) = lim = lim = 0
x→1 (x − 1)(x + 1)( 2x − 1 + x) x→1(x + 1)( 2x − 1 + x) 3 2. Ta có: (3x + 2 − x )( 3x − 2 + 2) B = lim x→2 3(x − 3 2)( (3x + 2 2) + 3 2 3x + 2 + 4) 2 −(x + 2x + 1)( 3x − 2 + 2) = lim = −1 . x→2 3 3( (3x + 2 2) + 3 2 3x + 2 + 4)
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3 3 4 1. 2x − 1 − 1 B
2x − 1. 3x − 2. 4x − 3 − 1 = lim 2. C = lim x→1 x − 1 x→1 x − 1 Lời giải. 3 1. Đặt t 2t + 1 − 1 2 = x − 1 ta có: B = lim = t→0 t 3 2. Ta có: − 3 − 4 − − = − 3 − (4 2x 1. 3x 2. 4x 3 1 2x 1. 3x 2 4x − 3 − 1) + + − (3
2x 1 3x − 2 − 1) + 2x −1 −1 3 4 Mà: 2x − 1 − 1 3x − 2 − 1 4x − 3 − 1 lim = lim = lim = 1 x→1 x − 1 x→1 x − 1 x→1 x − 1
Nên ta có: C = 1 + 1 + 1 = 3 .
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: 3 3 1. 7x + 1 − 5x − 1 A x + 2 − x + = lim 2. 20 B = lim x→1 x − 1 → 4 x 7 x + 9 − 2 Lời giải. 3 1. Ta có:
7x + 1 − 2 − ( 5x − 1 − 2) A = lim x→1 x − 1 3 7x + 1 − 2 5x − 1 − 2 = lim − lim = I − J x→1 x − 1 x→1 x − 1 7(x − 1) I = lim x→1 (x − 3 1)( (7x − 2 1) + 3 2 7x − 1 + 4) 7 7 = lim = . x→1 3 − 2 + 3 − + 12 (7x 1) 2 7x 1 4 5(x − 1) 5 5 J = lim = lim =
x→1 (x − 1)( 5x − 1 + 1) x→1 5x − 1 + 1 3 Vậy 2 A = − . 3 x + 2 − 3 3 x + 20 − 3 3 − 2. Ta có: x + 2 − x + 20 x − 7 x − = = 7 B lim lim → 4 → x + 9 − 4 x 7 x 7 2 x + 9 − 2 x − 7 Mà: x + 2 − 3 1 1 lim = lim = x→7 x − 7 x→7 x + 2 + 3 6 3 x + 20 − 3 1 1 lim = lim = → x − 7 → 3 ( x + 2 20) + 3 x 7 x 7 3 x + 20 + 9 27 4 x + 9 − 2 1 1 lim = lim = . → x − 7 → 4 ( x + 3 9) + 4 2( x + 2 9) + 4 x 7 x 7 4 x + 9 + 8 32 1 − 1 Vậy 6 27 112 B = = . 1 27 32
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các gới hạn sau :
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3 2 4 2 1. x − 3x + 2 A x − 5x + 4 = lim 2. B = lim → 2 x 1 x − 4x + 3 → 3 x 2 x − 8 3 4 3. (1 + 3x) − (1 − 4x) C (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − = lim 4. 1 D = lim . x→0 x x→0 x
Bài 2 Tìm các gới hạn sau : n n 1. x − 1 A 1 + ax − 1 = lim (m,n ∈ *) 2. B = lim (n ∈ *,a ≠ 0) → m x 0 x − 1 x→0 x n 1 + α 3 x 1 + β 4 x 1 + γx − 1 3. 1 + ax − 1 A = lim
với ab ≠ 0 4. B = lim với αβγ ≠ 0 . → m x 0 1 + bx − 1 x→0 x
Bài 3 Tìm các gới hạn sau : 2 4 1. 2x − 5x + 2 A x − 3x + 2 = lim 2. B = lim → 3 x 2 x − 3x − 2 → 3 x 1 x + 2x − 3 3 3. 2x + 3 − x C x + 1 − = lim 4. 1 D = lim → 2 x 3 x − 4x + 3 → 4 x 0 2x + 1 − 1 3 (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1 5. 4x − 1 − x + 2 E = lim 6. F = lim → 4 x 7 2x + 2 − 2 x→0 x 3 m n 7. 1 + 4x − 1 + 6x 1 + ax − 1 + M bx = lim 8. N = lim → 2 x 0 x x→0 x m n (1+ mx)n −(1+ nx)m 9. 1 + ax 1 + bx − 1 G = lim 10. V = lim x→0 x → 2 x 0 x (1− x)(1−3 x)...(1−n x) 11. K = lim (1− x)n− → 1 x 1 2 n 2 n
1 + x + x − 1 + x − x 12. L = lim x→0 x
Bài 4 Tìm các gới hạn sau : 2 4 2 1. 2x − 5x + 2 A x − 3x + 2 = lim 2. B = lim → 3 x 2 x − 8 → 3 x 1 x + 2x − 3 3 3. 2x + 3 − 3 C = lim 4. x + 1 − 1 D = lim → 2 x 3 x − 4x + 3 x→0 2x + 1 − 1 3
n (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1 5. 4x − 1 − x + 2 E = lim 6. F = lim → 4 x 7 2x + 2 − 2 x→0 x 3 m n 7. 1 + 4x − 1 + 6x M 1 + ax − 1 + bx = lim 8. N = lim x→0 1 − cos3x x→0 1 + x − 1 (1+ mx)n −(1+ nx)m (1− x)(1−3 x)...(1−n x) 9. V = lim 10. K = lim . → 1 + 2x − 3 x 0 1 + 3x ( n 1 x 1 1 − 2 x ) − →
Bài 5 Tìm các giới hạn sau 3 1. 4x + 1 − 2x + 1 A = lim 2. 4x + 5 − 3 B = lim x→0 x → 3 x 1 5x + 3 − 2 4 3 3. 2x + 3 + 2 + 3x C x − x + 2 = lim 4. D = lim . x→−1 x + 2 − 1 → x − 3 x 2 3x + 2
Bài 6 Tìm các giới hạn sau
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3 3 1. 1 + 2x − 1 + 3x A 5 + 4x − 7 + 6x = lim 2. B = lim → 2 x 0 x →− 3 x + 2 x 1 x − x − 1 Bài 1 3 2 2 1. Ta có: x − 3x + 2 (x − 1)(x − 2x − 2) A = lim = lim → 2 x 1 x→ x − 4x + 1 3 (x − 1)(x − 3) 2 x − 2x − 2 3 = lim = . x→1 x − 3 2 4 2 2 2 2. Ta có: x − 5x + 4 (x − 1)(x − 4) B = lim = lim → 3 → x − 3 8 x − 3 x 2 x 2 2 2 2 (x − 1)(x − 2)(x + 2) (x − 1)(x + = lim 2) = lim = 1 . → (x − 2 x 2 2)(x + 2x + 4) → 2 x 2 x + 2x + 4 3 4 3. Ta có: (1 + 3x) − (1 − 4x) C = lim x→0 x 3 4 (1 + 3x) − 1 (1 − 4x) − 1 = lim − lim x→0 x x→0 x 2 2 3x[(1 + 3x) + (1 + 3x) + 1]
−4x(2 − 4x)[(1 − 4x) + 1] = lim − lim x→0 x x→0 x = lim 3[(1 + 2
3x) + (1 + 3x) + 1] + lim 4(2 − 4x)[(1 − 2 4x) + 1] = 25 x→0 x→0 3 2 4.Ta có: (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 6x + 11x + 6x D = lim = lim = 6 . x→0 x x→0 x Bài 2 n−1 n−2 1. Ta có: (x − 1)(x + x + . . + x + 1) A = lim m−1 m− → (x − 1)(x + 2 x 0 x + . . + x + 1) n−1 n−2 x + x + ... + x + 1 n = lim = . m−1 m− → x + 2 x 0 x + ... + x + 1 m
2. Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: n n n−1 n n− ( 1 + ax − 1)( (1 + ax) + (1 + 2 ax) + ... + n 1 + ax + 1) B = lim x→0 n n−1 n n− x( (1 + ax) + (1 + 2 ax) + ... + n 1 + ax + 1) a a B = lim = . x→0 n n−1 n n− + + + 2 + + n + + n (1 ax) (1 ax) ... 1 ax 1
Cách 2: Đặt ẩn phụ n Đặt − = n t 1 t 1 + ax ⇒ x = và x → 0 ⇔ t → 1 a t − 1 t − 1 a ⇒ B = a lim = a lim = . n n− → → t − 1 (t − 1 1)(t + n t 1 t 1 t + . . + t + 1) n
3. Áp dụng bài toán trên ta có: n 1+ ax − 1 x a m am A = lim .lim = . = . → x → m x 0 x 0 1 + bx − 1 n b bn 4. Ta có: + α 3 + β 4 1 x 1 x 1 + γx − 1 = = + α 3 + β 4 1 x 1 x( 1 + γx − 1) + 1 + α 3
x(( 1 + βx − 1) + ( 1 + αx − 1) 4 1+ γx − 3 1 1 + βx − 1 B = lim( 1 + α 3 x 1 + βx) + lim 1 + αx x→0 x x→0 x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1 + αx − 1 + lim x→0 x γ β α B = + + 4 3 2 Bài 3. 1. Ta có: (x − 2)(2x − 1) 1 A = lim = → (x − 2 x 2 2)(x + 2x + 1) 3 3 2 2. Ta có: (x − 1)(x + x + x − 2) 1 B = lim = → (x − 2 x 1 1)(x + x + 3) 5 3. Ta có: −(x − 3)(x + 1) −1 C = lim =
x→3 (x − 3)(x − 1)( 2x + 3 + x) 3 4 3 4 2 4
x (2x + 1) + (2x + 1) + 2x + 1 + 1 4. Ta có: 2 D = lim = x→0 3 2 3 3 2x (x + 1) + x + 1 + 1 3 3 5. Ta có: 4x − 1 − x + 2 4x − 1 − 3 x + 2 − 3 E = lim = lim − lim = A − B → 4 → 4 → 2x + 2 − 2 2x + 2 − 4 x 7 x 7 x 7 2 2x + 2 − 2 2(4 2x 2 2)4 3 (2x 2)2 + + + + 4 4x − 1 − 3 64 A = lim = lim = → 4 x 7 x→ 2x + 2 − 7 2 3 ( 27 4x − 1)2 3 + 3 4x − 1 + 9 (4 2x 2 2)4(2x 2)2 + + + + 4 x + 2 − 3 8 B = lim = lim = → 4 x 7 x→ 2x + 2 − 7 2 2( x + 2 + 3) 3 64 8 −8 E = A − B = − = 27 3 27 6. Ta có: 9 F = 2 3 7. Ta có: 4x + 1 − (2x + 1) 1 + 6x − (2x + 1) M = lim − lim = 0 → 2 → 2 x 0 x 0 x x m n 8. Ta có: 1 + ax − 1 1 + bx − 1 a b N = lim − lim = − x→0 x x→0 x m n m 1+ ax (n 1+ bx −1) m 9. Ta có: 1 + ax − 1 b a G = lim + lim = + x→0 x x→0 x n m m n 10. Ta có: (1 + nx) − (1 + mnx) (1 + mx) − (1 + mnx) V = lim − lim → 2 → 2 x 0 x 0 x x mn(n − m) = . 2 11. Ta có: 1 1 K = lim = . x→1 3 2 3 n n− + + + 1 + + n! (1 x)( x x 1)...( x ... 1) n n 2 2 1 + x + x − 1 1+ x + x + 1 12. L = lim = 2n . → 2 n x 0 x 1+ x + x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Bài 4 1. Ta có: (2x − 1)(x − 2) 1 A = lim = → (x − 2 x 2 2)(x + 2x + 4) 4 2 2 2. Ta có: (x − 1)(x − 2) 2 B = lim = − → (x − 2 x 1 1)(x + x + 3) 5 3. Ta có: 2(x − 3) 1 C = lim =
x→3 (x − 1)(x − 3)( 2x + 3 + 3) 6 x( 2x +1 +1) 4.Ta có: 1 D = lim = x→0 3 2 3 (x + 1) + x + 1 + 3 2x 1 3 5. Ta có: 4x − 1 − 3 x + 2 − 3 x − 7 E = lim − lim lim → x − 7 → x − 7 → 4 x 7 x 7 x 7 2x + 2 − 2 3 Mà: 4x − 1 − 3 4(x − 7) 4 lim = lim = x→7 x − 7 x→7 3 2 3 − (4x − 1) + 3 4x − 1 + 27 (x 7) 9 x + 2 − 3 1 x − 7 lim = ; lim = 16 → x − 7 6 → 4 x 7 x 7 2x + 2 − 2 Do đó: 4 1 8 E = 16 − = − . 27 6 27 6. Đặt = n y
(2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) ⇒ y → 1 khi x → 0 n y − 1 Và: (2x + 1)(3x + 1)(4x + 1) − 1 lim = lim = 9 x→0 x x→0 x n y − Do đó: 1 9 F = lim = x→0 ( n−1 n− + 2 + + + ) n x y y ... y 1 3 2 7. Ta có: 1 + 4x − 1 + 6x x 2 4 M = lim . = 2. = . → 2 x 0 x 1 − cos3x 9 9 m 1+ ax − n 1 1 + bx − 8. Ta có: 1 x N = lim − . x→0 x x 1 + x − 1 a b 2(an − bm) = − .2 = . m n mn (1 mx)n m + − 2 1 9. Ta có: (1 + nx) − 1 x V = lim − → 2 2 x x 1 + 2x − 3 x 0 1 + 3x mn(n − m) = .2 = mn(n − m) . 2 10. Ta có: 1 1 K = lim = . x→1 3 2 3 n n− + + + 1 + + n! (1 x)( x x 1)...( x ... 1) Bài 5 3 1. Ta có: 4x + 1 − 1 2x + 1 − 1 A = lim − lim x→0 x x→0 x Mà: 4x + 1 − 1 4x 4 lim = lim = lim = 2 x→0 x
x→0 x( 4x +1 +1) x→0 4x +1 +1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 3 2x + 1 −1 2x 2 lim = lim = x→0 x x→0 3 2 3 (2x + 1) + 2x + 1 + 3 x 1 Vậy 2 4 A = 2 − = . 3 3
Chú ý: Ta có thể sử dụng kết quả ở ý 1 ví dụ 6.15 để tìm giới hạn trên như sau: 4x + 1 − 3 1 2x + 1 − 1 4 2 4 A = lim − lim = − = . x→0 x x→0 x 2 3 3 3 2 3
4(x − 1) (5x + 3) + 2 5x + 3 + 4 2. Ta có: B = lim x→1 5(x − 1) 4x + 5 + 3 3 2 3 4 (5x + 3) + 2 5x + 3 + 4 2 = lim = . x→1 5( 4x + 5 + 3) 5 4 3 3. Ta có: 2x + 3 − 1 3x + 2 + 1 C = lim − lim x→−1
x + 2 − 1 x→−1 x + 2 − 1 4 2(x + 1) + 1 − 3 1 −3(x + 1) + 1 − 1 2 x + 1 x + − 1 4 1 = lim − lim = − = 3 x→−1 (x + 1) + 1 − 1 x→−1 (x + 1) + 1 − 1 1 1 + + 2 2 x 1 x 1 ( 2x x 2) 2 3 3 2 − − x + x. 3x + 2 + (3x + 2) 4. Ta có: D = lim x→2 3 (x − 3x − 2)(x + x + 2) 2 3 3 2 x + x. 3x + 2 + (3x + 2) = lim = 1 . x→2 (x + 1)(x + x + 2) Bài 6 3 1. Cách 1: Đặt 3 t − 1 t = 3x + 1 ⇒ x = và x → 0 ⇔ t → 1 3 3 t − 3 1 t + + − 2 1 t − t Nên = 3 = 3 A lim 9lim → 2 3 t→ 1 (t − 2 2 1) (t + t + 2 t 1 − 1) t 1 3 3 2 t − 3t + 2 = 3lim t→1 3 2 2 2 t + − + + 2 (t 1) (t t 1) + t 3 2 (t − 1) (t + 2) = 3lim t→1 3 2 2 2 t + − + + 2 (t 1) (t t 1) + t 3 t + 2 1 = 3lim = . t→1 3 2 2 2 t + + + 2 (t t 1) + t 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Cách 2: Ta có: 1 + 2x − (1 + 3 x) 1 + 3x − (1 + x) A = lim − lim → 2 → 2 x 0 x 0 x x −1 −3 − x = lim − lim
x→0 1 + 2x + 1 + x x→0 3 (1+ 2 3x) + (1 + 3 x) 1 + 3x + (1 + 2 x) Do đó: 1 A = . 2 3 2. Ta có: 5 + 4x − 7 + 6x B = lim →− (x +1)2 x 1 (x −1) Đặt t = x + 1 . Khi đó: 5 + 4x − 3 7 + 6x 1 + 4t − 3 1 + 6t lim = lim →− (x +1)2 → 2 x 1 t 0 t 1 + 4t − (2t + 3 1) 1 + 6t − (2t + 1) = lim − lim → 2 → 2 x 0 t 0 t t −4 −8t − 12 = lim − lim = 2 .
t→0 1 + 4t + 2t + 1 t→0 3 (1+ 2 6t) + (2t + 3 1) (1 + 2 6t) + (2t + 2 1) Do đó: B = −1. Bài toán 03: Tìm f(x) B = lim
, trong đó f(x),g(x) → ∞ , dạng này ta còn gọi là dạng vô định ∞ . x→±∞ g(x) ∞
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: * 2k lim x = +∞ ; 2k+1 lim x = +∞ (−∞) . x→+∞ x→+∞ (x→−∞) (x→−∞) * k lim = 0 (n > 0; k ≠ 0) . →+∞ n x x (x→−∞) * k
lim f(x) = +∞ (−∞) ⇔ lim = 0 (k ≠ 0) . x→x x→x 0 0 f(x) Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 4 2 1. (4x + 1) (2x + 1) A 4x − 3x + 4 + 3x = lim 2. B = lim →+∞ (3 + 7 x 2x) x→−∞ 2 x + x + 1 − x Lời giải. 1 3 1 4 4 + 2 + x x 1. Ta có: A = lim = 8 →+∞ 3 7 x + 2 x − − 3 + 4 4 + 3 2 2. Ta có: x x 1 B = lim = x→−∞ 1 1 2 − 1 + + − 1 2 x x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 2 2 1. 2x + 1 − x + 1 3x − 2 + x + A 1 = lim 2. B = lim x→+∞ 2x + 2 x→−∞ 2 x + 1 − 1 Lời giải. + 1 − + 1 + 1 − + 1 x 2 x 1 2 1 2 2 2 2 1. Ta có: x x x x 2 − 1 A = lim = lim = . x→+∞ 2 x→+∞ + + 2 2 x(2 ) 2 x x − 2 + 1 + 1 − − 2 − 1 + 1 x 3 x 3 2 2 2 2 x x x x x 2. Ta có: = = x B lim lim = 3 x→−∞ x→−∞ 1 1 1 1 x 1 + − − 1 + − 2 2 x x x x
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 2 3 4 6 1. 2x − 3x + 2 C 1 + x + x = lim 2. D = lim x→+∞ 5x + 2 x + 1 x→−∞ 1+ 3 x + 4 x 3. E = 2 lim ( x − x + 1 − x) 4. F = 2 lim x( 4x + 1 − x) x→+∞ x→−∞ 5. M = 2 lim ( x + 3x + 1 − 2 x − x + 1) 6. 3 3 N = lim 8x + 2x − 2x x→±∞ x→+∞ 7. 4 4 2
H = lim 16x + 3x + 1 − 4x + 2 x→+∞ 7. 2 2
K = lim x + 1 + x − x − 2x x→+∞
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 2 n a x + ... + a x + a 1. 3x + 5x + 1 A = lim 2. 0 n− B = 1 n lim (a b ≠ 0) . →+∞ 2 x 2x + x + 1 →+∞ b x + ... + 0 0 m x 0 bm− x + 1 bm
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 3 3 2 2 1. 3x + 1 − 2x + x + 1 A x x + 1 − 2x + 1 = lim 2. B = lim . x→−∞ 4 4 4x + 2 x→+∞ 3 3 2x − 2 + 1
Bài 4 Tìm các giới hạn sau: 3 4 2 1. (2x + 1) (x + 2) A 4x − 3x + 4 − 2x = lim 2. B = lim →+∞ (3 − 7 x 2x) x→−∞ 2 x + x + 1 − x 2 3 4 6 3. 2x + 3x + 2 C 1 + x + x = lim 4. D = lim . x→+∞ 5x − 2 x + 1 x→−∞ 1+ 3 x + 4 x
Bài 5 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 3 3 A = lim 2
x + x + 1 − 2x + x − 1
2. B = lim x − x + x + 1 x→+∞ x→−∞ 3. 2 C = lim 3 3 2 2 4x + x + 1 − 2x
4. D = lim x + x + 1 + x + x + 1 . x→+∞ x→−∞
Bài 6 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 2
A = lim x + x + 1 − 2 x − x + x x→+∞ 2. B = 2 lim x( x + 2x − 2 2 x + x + x) x→+∞
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Bài 7 Tìm các giới hạn sau n a x + ... + a x + a 1. 0 n− A = 1 n lim , (a b ≠ 0) →+∞ b x + ... + 0 0 m x 0 bm− x + 1 bm 2 3 3 2. 4x + x + 8x + x − 1 B = lim x→+∞ 4 4 x + 3 2 3 3 2 3. 4x − 2 + x + 1 C x x + 1 + 2x + 1 = lim 4. D = lim . x→−∞ 2 x + 1 − x x→+∞ 3 3 2x + x + 1 + x Bài 1 − + 2 2 3 2 1. Ta có: x 2 − 3 C = lim = x→+∞ 1 6 5 + 1 + 2 x 2 1 1 x 3 + + 1 6 2 2. Ta có: = x x D lim = 1 x→−∞ 2 1 + 1 x + 1 4 2 x x 3. Ta có: −x + 1 1 E = lim = − x→+∞ 2 − + + 2 x x 1 x 4. Ta có: 1 F = 2 lim x − 4 + − 1 = −∞ →−∞ 2 x x 4x 2 khi x → +∞ 5. Ta có: M = lim = x→±∞ 2 2 −2 khi x → −∞ x + 3x + 1 + x − x + 1 6. Ta có: 2x N = lim = 0 x→+∞ 3 3 (8x + 2 2x) + 3 3 2x 8x + 2x + 2 4x 4 2 7. Ta có: 16x + 3x + 1 − (4x + 2) H = lim x→+∞ 4 4 16x + 3x + 1 + 2 4x + 2 4 2 2 16x + 3x + 1 − (4x + 2) = lim x→+∞ 4 4 2 4 2
16x + 3x + 1 + 4x + 2 16x + 3x + 1 + 4x + 2 2 −16x + 3x − 3 = lim x→+∞ 4 4 2 4 2
16x + 3x + 1 + 4x + 2 16x + 3x + 1 + 4x + 2 Suy ra H = 0 . − 2 2x − x + 1 + 2 2 (x + 2 1)(x − x) 8. Ta có: K = lim x→+∞ 2 x + 1 + 2 x − x + 2x 2 4 4(x − 3 x + 2 x − x) − ( 2 2x + x − 1) = lim x→+∞ 2 2 2 2 2
x + 1 + x − x + 2x 2 (x + 1)(x − x) + 2x + x − 1 2 4 4(x − 3 x + 2 x − x) − ( 2 2x + x − 1) = lim x→+∞ 2 2 2 2 2
x + 1 + x − x + 2x 2 (x + 1)(x − x) + 2x + x − 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 − 3 8x + 2 7x − 2x − 1 1 = lim = − x→+∞ 2 2 2 2 2 2
x + 1 + x − x + 2x 2 (x + 1)(x − x) + 2x + x − 1 Bài 2 2 + 5 + 1 + 5 + 1 x (3 ) 3 2 2 1. Ta có: x x x x 3 A = lim = lim = x→+∞ 2 1 1 x→+∞ + + + 1 + 1 2 x (2 ) 2 2 2 x x x x n a1 an− a x (a + + ... + 1 + n 0 ) n−1 n 2. Ta có: = x x x B lim x→+∞ m 1 b bm− b x (b + + ... + 1 + m 0 ) m−1 m x x x a1 an− a a + + ... + 1 + n 0 n−1 n x a * Nếu = ⇒ = x x m n B lim = 0 . x→+∞ 1 b bm− b b b + + ... + 1 + m 0 0 m−1 m x x x a1 an− a a + + ... + 1 + n 0 n−1 n * Nếu > ⇒ = x x x m n B lim = 0 x→+∞ m−n 1 b bm− b x (b + + ... + 1 + m 0 ) m−1 m x x x
( Vì tử → a0 , mẫu→ 0 ). * Nếu m < n n−m a1 an− a x (a + + ... + 1 + n 0 ) n−1 n x x x +∞ khi a .b > 0 ⇒ B = lim = 0 0 . x→+∞ 1 b bm−1 bm −∞ khi a b < 0 b + + ... + + 0 0 0 m−1 m x x x Bài 3 1 1 1 x3 3 + + x 2 + + 3 2 3 1. Ta có: x x x 3 + 2 A = lim = − . x→−∞ − 2 2 x4 4 + 4 x 2 + 1 − 2 + 1 + 1 − 2 + 1 x ( 1 ) x( 1 ) 2 2 2 2 2. x x x x x = = x B lim = +∞ x→+∞ 2 1 2 1 x(3 2 − + ) 3 2 − + 3 3 x x x x
(do tử → +∞ , mẫu → 3 2 ). Bài 4. 1 3 2 4 2 + 1 + 3 4 − 4 − + − 2 x x 2 1. 1 A x = lim = − 2. = x B lim = 2 →+∞ 7 x 16 3 x→−∞ 1 1 − 2 − 1 + + − x x 2 x x + + 2 2 3 1 1 3 + + 1 2 6 2 3. x 2 + 3 C = lim = 4. = x x D lim = −1 . x→+∞ 1 4 x→−∞ 5 − 1 + − + 1 + 1 1 2 x 4 x x Bài 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1. Ta có: 1 1 1 1 A = lim x 1 + + − x3 2 + − →+∞ 2 2 3 x x x x x 1 1 1 1 = lim x 1 + + − 3 2 + − = −∞ →+∞ 2 2 3 x x x x x 2. Ta có: 1 1 1 1 B = lim x − x 1 + + = lim x1 + 1 + + = −∞ →−∞ 2 x →−∞ 2 x x x x x 1 x 1 + 3. Ta có: x + 1 x C = lim = lim x→+∞ 2 x→+∞ 4x + x + 1 + 2x x 4 + 1 + 1 + 2x 2 x x + 1 1 x 1 = lim = . x→+∞ 1 1 2 4 + + + 2 2 x x 4. Ta có: 3 3 2 2
D = lim x + x + 1 − x + lim x + x + 1 + x = M + N x→−∞ x→−∞ 2 x + 1 1 M = lim = x→−∞ 3 3 + 2 + 2 + 3 3 + 2 + + 2 3 (x x 1) x. x x 1 x 1 + 1 x + 1 x 1 N = lim = lim = − x→−∞ 2 x→−∞ x + x + 1 − x 1 1 2 − 1 + + − 1 2 x x Do đó: 1 1 1 B = − = − . 3 2 6 2 2 x + x + 1 + x − 2 4(x − x) Bài 6 Ta có: 2 2 x + x + 1 − 2 x − x + x = 2 x + x + 1 + 2 2 x − x + x 2 2 2x x + x + 1 + 1 + 5x − 2x = 2 x + x + 1 + 2 2 x − x + x 2 2x x + x + 1 − x 1 + 5x = + 2 x + x + 1 + 2 2 x − x + 2 x x + x + 1 + 2 2 x − x + x 2x(x + 1) = + 2 2 2
x + x + 1 + 2 x − x + x x + x + 1 + x 1 + 5x + . 2 x + x + 1 + 2 2 x − x + x + 2 2 Do đó: = x A lim + x→+∞ 1 1 1 1 1 1 + + + 2 1 − + 1 1 + + + 1 2 2 x x x x x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 1 + 5 x 1 5 3 + lim = + = x→+∞ 1 1 1 4 4 2 1 + + + 2 1 − + 1 2 x x x 2 2 2 2. Ta có: 2 2
2x + 2x + 2x x + 2x − 4x − 4x x + 2x − 2 x + x + x = 2 x + 2x + 2 2 x + x + x 2 x + 2x − x − 1 = 2x 2 x + 2x + 2 2 x + x + x −2x = . 2 ( x + 2x + 2 2 x + x + 2 x)( x + 2x + x + 1) 2 Nên −2x B = lim x→+∞ 2 ( x + 2x + 2 2 x + x + 2 x)( x + 2x + x + 1) −2 1 = lim = − . x→+∞ 2 1 2 1 4
( 1 + + 2 1 + + 1)( 1 + + 1 + ) x x x x Bài 7 n a1 an− a x (a + + ... + 1 + n 0 ) n−1 n 1. Ta có: = x x x A lim x→+∞ m 1 b bm− b x (b + + ... + 1 + m 0 ) m−1 m x x x a1 an− a a + + ... + 1 + n 0 n−1 n x a • Nếu = ⇒ = x x m n B lim = 0 . x→+∞ 1 b bm− b b b + + ... + 1 + m 0 0 m−1 m x x x a1 an− a a + + ... + 1 + n 0 n−1 n • Nếu > ⇒ = x x x m n B lim = 0 x→+∞ m−n 1 b bm− b x (b + + ... + 1 + m 0 ) m−1 m x x x
( Vì tử → a0 , mẫu → 0 ). • Nếu m < n , ta có: n−m a1 an− a x (a + + ... + 1 + n 0 ) n−1 n x x x +∞ khi a .b > 0 B = lim = 0 0 . x→+∞ 1 b bm−1 bm −∞ khi a b < 0 b + + ... + + 0 0 0 m−1 m x x x + 1 + 1 1 1 1 1 x 4 x.3 8 + − 4 + + 3 8 + − 2 3 2 3 2. Ta có: x x x x = = x x B lim lim = 4 . x→+∞ 3 x→+∞ 3 x 4 1 + 4 1 + 4 4 x x − 2 + 1 2 1 x 4 x 3 1 + − 4 − − 3 1 + 2 3 2 3 3. Ta có: x x x x 3 C = lim = lim = x→−∞ 1 x→−∞ 1 2 x 1 + − x − 1 + + 1 2 2 x x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 1 2 1 x 1 + + + 2 2 x x x 4. Ta có: D = lim = +∞ . x→+∞ 2 2 1 1 1 x 3 + + + 3 5 6 x x x x
Bài toán 04: Dạng vô định: ∞ − ∞ và ∞ 0. Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng ∞ . ∞ Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: A = 3 3 lim ( x − 2 3x + 2 x − 2x) x→−∞ Lời giải. Ta có: 3 3 − 2 + 2 − = 3 3 − 2 − + 2 x 3x x 2x ( x 3x x) ( x − 2x + x) 2 −3x −2x = + 3 3 (x − 2 2 3x ) + 3 3 x x − 2 3x + 2 2 x x − 2x − x −3 −2 ⇒ A = lim + lim = 0 . x→−∞ 3 3 x→−∞ − 2 3 + 3 − + − − 2 (1 ) 1 1 1 − 1 x x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau: B = 2 lim x( x + 2x − 2 2 x + x + x) x→+∞ Lời giải. 2 2 2 Ta có: 2 2
2x + 2x + 2x x + 2x − 4x − 4x x + 2x − 2 x + x + x = 2 x + 2x + 2 2 x + x + x 2 x + 2x − x − 1 = 2x 2 x + 2x + 2 2 x + x + x −2x = . 2 ( x + 2x + 2 2 x + x + 2 x)( x + 2x + x + 1) 2 −2x ⇒ B = lim x→+∞ 2 ( x + 2x + 2 2 x + x + 2 x)( x + 2x + x + 1) −2 1 B = lim = − . x→+∞ 2 1 2 1 4
( 1 + + 2 1 + + 1)( 1 + + 1 + ) x x x x
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm các giới hạn sau: 1. 2 A = lim 2
x − x + 1 − x
2. B = lim 2x + 4x − x + 1 x→+∞ x→−∞ 3. C = n
lim [ (x + a )(x + a )...(x + a ) − x] →+∞ 1 2 n x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 1. A = 2
lim ( x − x + 1 − x) 2. B = 2 lim x( 4x + 1 − x) x→+∞ x→−∞ 3. C = 2 lim ( x − x + 1 − 2 x + x + 1) 4. D = 3 3 lim ( 8x + 2x − 2x) x→±∞ x→+∞
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 5. E = 4 4 lim ( 16x + 3x + 1 − 2 4x + 2)
6. F = lim (x − 3 1 − 3 x ) . x→+∞ x→−∞ Bài 1 2 2 1. Ta có:
( x − x + 1 − x)( x − x + 1 + x) A = lim x→+∞ 2 x − x + 1 + x 2 2 x − x + 1 − x −x + 1 1 = lim = lim = − . x→+∞ 2 x→+∞ − + + 2 − + + 2 x x 1 x x x 1 x 2 2 2.
(2x − 4x − x + 1)(2x + 4x − x + 1) B = lim x→−∞ 2x − 2 4x − x + 1 x + 1 1 = lim = . x→−∞ − 2 − + 4 2x 4x x 1
3. Đặt y = n (x − a )(x − a )...(x − 1 2 an) n n n n n−1 n−1 n− y − x ⇒ − = − + + + 1 y x (y x)(y y x ... x ) ⇒ y − x = n−1 n−1 n− y + y x + ... + 1 x n y − n x ⇒ lim (y − x) = lim n−1 n−2 n− →+∞ →+∞ y + y x + ... + 1 x x x n y − n x n−1 ⇒ = x C lim . n−1 n−1 n− →+∞ y + y x + ... + 1 x x n−1 x n n y x b b b Mà − lim
= lim (a + a + ... + a + 2 + 3 + ... + n ) − 1 2 n n 1 2 n− →+∞ →+∞ 1 x x x x x x = a + a + ... + 1 2 an . k n− − 1 k y x n−1 n−2 n− y + y x + ... + 1 x lim = 1 ∀ k = 0,...,n − 1 ⇒ lim = n . n− →+∞ 1 x x n− →+∞ 1 x x a + a + ... + a Vậy C = 1 2 n . n Bài 2 1. −x + 1 1 A = lim = − x→+∞ 2 − + + 2 x x 1 x 2. B = −∞ 3. 2 2 −2x
lim x − x + 1 − x + x + 1 = lim = −1 x→+∞ x→+∞ 2 x − x + 1 + 2 x + x + 1 2 2 −2x
lim x − x + 1 − x + x + 1 = lim = 1. x→−∞ x→−∞ 2 x − x + 1 + 2 x + x + 1 4. 2x D = lim = 0 x→+∞ 3 3 (8x + 2 2x) + 3 3 2x (8x + 2x) + 2 4x 5. 4 4 2
E = lim 16x + 3x + 1 − 2x + lim 4x + 2 − 2x = 0 x→+∞ x→+∞ 6. F = −∞ .
Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác Phương pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 22 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 • sin x x lim tan x x = lim = 1, từ đây suy ra lim = lim = 1 . x→0 x x→0 sin x x→0 x x→0 tan x • Nếu sin u(x) lim u(x) tan u(x) = 0 ⇒ lim = 1 và lim = 1 . x→x x→x 0 0 u(x) x→x0 u(x) Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 3 1. cosx − cosx A 1 + 2x − 1 + 3x = lim 2. B = lim → 2 x 0 sin x x→0 1 − cos2x Lời giải. 2 3 2 1. Ta có: cosx − 1 x 1 − cosx x A = lim + lim . → 2 2 → 2 2 x 0 x 0 x sin x x sin x Mà: cosx − 1 cosx − 1 1 1 lim = lim . = − → 2 → 2 x 0 x 0 x x cosx + 1 4 1 − 3 cosx 1 − cosx 1 1 lim = lim . = x→ 2 0 x→ 2 0 3 2 x x cos x + 3 cosx + 6 1 Do đó: 1 1 1 A = − + = − . 4 6 12 1 + 2x − 3 1 + 3x 2 2. Ta có: = x B lim x→0 1 − cos2x 2 x 3 3 Mà: 1 + 2x − 1 + 3x 1 + 2x − (1 + x) (x + 1) − 1 + 3x lim = lim + lim → 2 → 2 → 2 x 0 x 0 x 0 x x x −1 x + 3 = lim + lim
x→0 1 + 2x + x + 1 x→0 (x + 2 1) + (x + 3 1) 1 + 3x + 3 (1+ 3x)2 1 1 = − + 1 = . 2 2 1 − cos2x 1 − cos2x 1 lim = lim . = 1 → 2 → 2 x 0 x 0 x x 1 + cos2x Vậy 1 B = . 2
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 1. 1 A = 3 lim x sin 2. B = lim (2sinx + 3 cos x)( x +1 − x) → 2 x 0 x x→+∞ Lời giải. 1. Ta có: 1 0 ≤ 3 x sin ≤ 3 x 2 x Mà 3 1 1 lim x = 0 ⇒ 3 lim x sin = 0 ⇒ 3 lim x sin = 0 → → 2 → 2 x 0 x 0 x 0 x x Vậy A = 0 . 3 2. Ta có: 2sin x + cos x B = lim x→+∞ x + 1 + x 2 Mà: 2sin x + cos x 3 0 ≤ ≤ → 0 khi x → +∞ . x + 1 + x x + 1 + x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 23 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Do đó: B = 0 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm giới hạn sau: 1 − cosax A = lim → 2 x 0 x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau: 1. 1 + sin mx − cosmx A 1 − cosx.cos2x.cos3x = lim 2. B = lim . x→0 1 + sin nx − cos nx → 2 x 0 x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau: 1. 1 − cos2x A cos2x − cos3x = lim 2. B = lim x→0 3x 2sin x→0 x(sin 3x − sin 4x) 2 2 2 3. tan 2x C = lim 4. x D = lim → 1 − 3 x 0 cos2x x→0 1 + xsin 3x − cos 2x
Bài 4 Tìm các giới hạn sau: m 1. sin(πx ) A π = lim.
2. B = lim( − x)tan x → sin(π n x 1 x ) π x 2 →2 3. α 1 C = lim x sin α ( > 0)
4. D = lim (sin x + 1 − sin x) x→0 x x→+∞
Bài 5. Tìm các giới hạn sau 3 1. cos3x − cos4x A 1 − 1 + 2sin 2x = lim 2. B = lim x→0 cos 5x − cos 6x x→0 sin 3x 2 4 3. sin 2x C = lim 4. sin 2x D = lim → 3 cos x − 4 x 0 cosx → 4 x 0 sin 3x π 1 − sin( cosx) 5. 3sin x + 2cosx = 2 E lim 6. F = lim x→0 sin(tan x) x→+∞ x + 1 + x m m n 7. cosax − cos bx H 1 − cosax = lim 8. M = lim . → 2 x 0 sin x → 2 x 0 x
Bài 6. Tìm các giới hạn sau 3 1. cos3x − cos4x A 1 − 1 + 2sin 2x = lim 2. B = lim x→0 cos 5x − cos 6x x→0 sin 3x 2 4 3. sin 2x C = lim 4. sin 2x D = lim → 3 cos x − 4 x 0 cosx → 4 x 0 sin 3x π 1 − sin( cosx) 5. 3sin x + 2cosx = 2 E lim 6. F = lim x→0 sin(tan x) x→+∞ x + 1 + x m m 3 7. cosax − cos bx H 1 + 3x − 1 + 2x = lim 8. M = lim . → 2 x 0 sin x x→0 1 − cos2x ax ax 2 2 2sin sin Bài 1 Ta có: 2 a 2 a A = lim = lim = . → 2 x 0 x 2 x→0 ax 2 2 Bài 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 24 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 mx + mx mx 2sin 2sin cos
1. Ta có: 1 + sin mx − cosmx = 2 2 2 1 + sin nx − cosnx 2 nx 2sin + nx nx 2sin cos 2 2 2 mx nx mx + mx sin sin cos m = 2 2 2 2 . . n mx nx nx sin sin + nx cos 2 2 2 2 mx nx mx + mx sin sin cos m 2 2 2 2 m A = lim .lim .lim = . n x→0 mx x→0 nx x→0 nx + nx n sin sin cos 2 2 2 2 2. Ta có:
1 − cosx.cos2x.cos3x 1 − cosx + cosxcos2x(1 − cos3x) + cosx(1 − cos2x) = 2 x 2 x 1 − cosx 1 − cos3x 1 − cos2x = + cosx.cos2x + cosx 2 2 2 x x x 1 − cosx 1 − cos3x 1 − cos2x B = lim + lim cosx.cos2x + lim cosx = 3 → 2 → 2 → 2 x 0 x 0 x 0 x x x Bài 3 3x 2 sin 1. Ta có: sin x sin x 3 = = 2 2 A lim lim x( ) . lim = 0 . x→0 3x x→0 x 2 x→0 3x sin 2 2 5x x 5x 2sin sin sin 2. 2 2 5 2 1 5 B = lim = − lim( . ).lim = . x→0 7x x x→0 2 5x x→ − 0 7x 2 2xcos sin cos 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3. tan 2x tan 2x(1 + cos2x + cos 2x) C = lim = lim → 3 x 0 x→ 1 − 0 cos2x 1 − cos2x 2 tan 2x(1 + 3 cos2x + 3 2 cos 2x) = lim → 2 x 0 2sin x tan 2x x = 2 2 2 lim( ) .( ) (1 + 3 cos2x + 3 2 cos 2x). x→0 2x sin x ⇒ C = 6 . 4. Ta có: 1 D = lim x→0 1 + xsin 3x − cos 2x 2 x Mà : 1 + xsin 3x − cos2x 1 + xsin 3x − 1 1 − cos2x lim = lim + lim → 2 → 2 → 2 x 0 x 0 x 0 x x x sin 3x 1 7 = 3 lim( . ) + 2 = . x→0 3x 1 + xsin 3x + 1 2 Vậy: 7 D = . 2 Bài 4 1. Ta có: sin π(1 − m x ) sin π(1 − m x ) π(1 − n x ) 1 − n x A = lim = lim .lim .lim → n → m → n → sin π(1 − x ) π(1 − x ) sin π(1 − x ) 1 − m x 1 x 1 x 1 x 1 x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 25 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 n n−1 n−2 1 − x (1 − x)(x + x + . . + 1) n = lim = lim = . m m−1 m− → → 1 − x (1 − x)(x + 2 x 1 x 1 x + . . + 1) m π − x 2. Ta có: π sin x = − = 2 B lim( x) lim . lim sin x = 1 . π 2 cosx π π π x→ x→ sin( − x) x→ 2 2 2 2 3. Ta có: α 1 α 0 ≤|x sin < | x . Mà α lim x = 0 x x→0
Nên theo nguyên lí kẹp ⇒ A = 39 0 .
4. Trước hết ta có: sin x < x ∀x > 0 Ta có: x + 1 − x x + 1 + x sin x + 1 − sin x = 2sin .cos 2 2 1 < x + 1 + x Mà 1 lim = 0 nên D = 0 . x→+∞ x + 1 + x Bài 5. 7x x sin sin 1. Ta có: 2 2 7 A = lim = x→0 11x x 11 sin sin 2 2 2. Ta có −2sin 2x 4 B = lim = − x→0 3 3 2 9
sin 3x1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x) 2 sin 2x 2 3. Ta có: = x C lim = −96 → 3 cos x − 1 1 − 4 x 0 + cosx 2 2 x x 4. Ta có: 16 D = 81 π 1 − sin cosx 2 5. = tan x E lim = 0 x→0 sin(tan x) tan x 3sin x + 2cosx 6. Ta có: 1 0 ≤ < → 0 khi x → +∞ x + 1 + x x + 1 + x Vậy F = 0 . m cosax − 1 1− n + cos bx 2 2 7. Ta có: x x b a H = lim = − → 2 x 0 sin x 2n 2m 2 x 8. Ta có: 1 − cosax 1 − n cosax = n n 2 n n− 1 + cosax + ( cosax) + ... + 1 ( cosax) 1 − cosax 1 ⇒ M = lim lim a 1 a = . = . 2 n n 2 n n− x→0 x→0 x 1 + cosax + ( cosax) + ... + 1 ( cosax) 2 n 2n Bài 6.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 26 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 7x x sin sin 1. Ta có: 2 2 7 A = lim = x→0 11x x 11 sin sin 2 2 2. Ta có −2sin 2x 4 B = lim = − x→0 3 3 2 9
sin 3x1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x) 2 sin 2x 2 3. Ta có: = x C lim = −96 → 3 cos x − 1 1 − 4 x 0 + cosx 2 2 x x 4 4 4. Ta có:
sin 2x 3x 16 16 D = lim . . =
x→0 2x sin 3x 81 81 π 1 − sin cosx 2 5. Ta có: = tan x E lim x→0 sin(tan x) tan x Mà sin(tan x) lim = 1; x→0 tan x 2 x π sin 2 2 2sin π π − − − 2 1 sin cosx 1 cos (1 cosx) 2 2 lim = lim = lim x→0 tan x x→0 tan x x→0 tan x 2 x π sin 2 2 sin 2 x 2 sin π 2 x = lim .x. = 0 4 x→0 π 2 x x 2 tan x sin ( ) 2 2 2 Do đó: E = 0 . 3sin x + 2cosx 6. Ta có: 1 0 ≤ < → 0 khi x → +∞ x + 1 + x x + 1 + x Vậy F = 0 . m cosax − 1 1− n + cos bx 2 2 7. Ta có: x x b a H = lim = − → 2 x 0 sin x 2n 2m 2 x 3 3x + 1 − 2x + 1 −1 2 8. Ta có: x 2 1 M = lim = = − . x→0 1 − cos2x 2 4 2 x ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM Câu 1. lim 2 3x 7x 2
11 3.2 7.2 11 37 Chọn A. x2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 27 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 2. lim x 4 32 2 4 1 Chọn B. x 3 Câu 3. Ta có 1 1 2 lim x sin 0.sin 0 Chọn D. x0 2 2 x 3 2 2 Câu 4. 1 3 lim 2 Chọn B. 3 x x 2 3 1 1 2 3 3 Câu 5. x x 11 lim 0 Chọn C.
x 2x 1 4 x 3 2.1 1 4 1 1 3 Câu 6. Ta có x 1 1 1 2 lim Chọn D. 4
x1 x x 3 113 3 2 Câu 7. Ta có 3x 1 x 3 1 1 3 lim Chọn A. x1 x 1 11 2 2 2 Câu 8. 9x x 9.3 3 1 lim Chọn C. x 2x 1 4 x 3 2.3 1 4 3 3 3 5 2 2 Câu 9. x x 1 2 2 1 1 3 lim Chọn B. 2 2 x2 x 2x 2 2.2 2 3 2 3 Câu 10. Ta có:
3x 4 3x 2 12 4 6 2 0 lim 0 Chọn C. x2 x 1 3 3 lim x 15 13 0 Câu 11. Vì x 2 x 15 Chọn A. lim x2 lim . x2
0 & x 2 0, x 2 x 2 x2
lim x 2 2 0 Câu 12. x 2 x 2 lim . Chọn B. x2
lim x 2 0 & x 2 0, x 2 x 2 x2
Câu 13. Ta có x 2 x 2 với mọi x 2, do đó : 3x 6 3 x 2 3x 2 lim lim lim lim 3 3 Chọn B. x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Câu 14. Ta có 2 x 2 x 1 1 lim lim lim . Chọn C. 2 x 2 x 2 2x 5x 2
2 x12x x 2 12x 3
Câu 15. Ta có x 3 0 với mọi x 3, nên: 2 x 13x 30 x 3 x 10 x 3. x 10 333 7 lim lim lim 0 . x3 x 3 2 x x3 5 x 3 2 x x3 2 5 x 5 2 3 5 Chọn C.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 28 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
Câu 16. lim f x 2 2
lim 3x 1 3.1 1 2 Chọn B. x 1 x 1 lim 2 x 2 1 2 Câu 17. f x x 1 lim lim vì x 1 . Chọn A. x 1 x 1 1 x
lim1 x 0 & 1 x 0 x 1 x 1
lim f x lim 2 x 3 1
Câu 18. Ta có x2 x2
lim f x lim f x 1 lim f x 1.
lim f x lim x x2 x2 x2 1 1 x2 x2 Chọn C.
lim f x lim ax 1 2a 1 Câu 19. Ta có x2 x2 .
lim f x lim x 2 3 3 x2 x2
Khi đó lim f x tồn tại lim f x lim f x 2a1 3 a 2. Chọn B. x2 x2 x2
lim f x lim x x 2 2 3 6
Câu 20. Ta có x3 x3
lim f x lim f x
lim f x lim x x x 2 3 2 3 3 15 x3 x3
không tồn tại giới hạn khi x 3.
Vậy chỉ có khẳng định C sai. Chọn C. 3 lim x x Câu 21. lim 1 1 3 x x 3 1 lim x 1 vì . Chọn D. 2 3 1 1 x x x x lim 1 1 0 2 3 x x x Giải nhanh: 3
x x 3 1 1 x khi x . Câu 22. Ta có lim 3 2 3 2
x 2x 3 x lim 3 2
x 2x 3x 3 lim x 1 . Chọn B. 2 x x x x x Giải nhanh: 3 3 2
x 2x 3 x x khi x . Câu 23. Giải nhanh: 2 2 x :
x 1 x x x 2x . Chọn B.
Đặt x làm nhân tử chung: lim x x lim 1 2
x 1 x lim x 1 1 vì . 2 1 x x x lim 1 1 2 0 2 x 2 x Câu 23. Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x x x x x 3 : 3 1 2 3 3 1 x . Chọn B.
Đặt x làm nhân tử chung:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 29 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 lim x x lim 1 2 3 3 2
3x 1 x 2 3 lim x 3 1 vì . 3 2 1 2 x x x x 3 3 lim 3 1 3 1 0 3 2 x x x
Câu 25. Giải nhanh: x x 2
x x x x 2 x x 2 : 4 7 2 4 2 4x . Chọn D. Đặt 2
x làm nhân tử chung: 2 lim x x lim x vì . 7 2 4x 7x 2x 2 lim x 4 2 7 x x x lim 4 2 4 0 x x 3 2 2 Câu 26. Ta có x 8
(x 2)(x 2x 4) x 2x 4 12 lim lim lim 3 2 x 2 x 2 x 2 x 4
(x 2)(x 2) x 2 4 Chọn C. x 1 x 1 4 3 2 5
x x x x 4 3 2 1 Câu 27.
x x x x 1 5 lim lim lim . 3 x x 1 x x 1 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x 1 3 Chọn D. 2 2 3 3
x 3 2x 3x 3 2 2 3 x 3x x 3 Câu 28. Ta có lim lim lim 2 x 3 x 3 3 x
3x 3 x x 3 3 x
2 32 3. 33 18 a 3 2 2 a b . Chọn A. 3 3 3 3 10 2 3 b 1 2 x x 6 x 3 x 2 Câu 29. x 2 32 5 lim lim lim . Chọn C. 2 x 3 x 3 x 3x x x x 3 3 x 3 3
Câu 30. Ta có 3 x 0 với mọi x 3, do đó: 3 x 3 x lim lim x 3 3 x 3 27 x 3 x 2
9 3x x 3 x 33 lim 0. Chọn B. x 3 2 2 9 3x x 9 3.3 3 Câu 31. Ta có 2 21 x 7 21 12x 2 21
x 7 12x 1 21 2 lim lim lim x . Chọn A. x 0 x 0 x 0 x x 7
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 30 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018
x x x 2 2
x x x Câu 32. Ta có 1 lim lim lim 2 x 0 x 0 2 x x 2
x x x x 0 2
x x x vì 1 0 ; lim và 2
x x x 0 với mọi x 0. Chọn D. 2x x x 0 x 0 (x 1) x x x 1 3 4 4 2 4 4 4 3 2 3 Câu 33. Ta có lim lim x 1 3 x 1 4x 4 2
4x 483 2 3 x x 1 34x42 3
2 4x 4 4 12 lim 1. Chọn C. x 1 3 2 3 x x 12 4 1 3 3 Câu 34. Ta có
2 1 x 8 x 2 1 x 2 2 8 x lim lim x 0 x 0 x x x 2 1 1 13 lim 1 . Chọn B. x 0 3 x 1 1 3 4 2 8 x 8 x2 12 12 3 3 Câu 35. Ta có
ax 1 1bx
ax 1 1 1 1bx lim lim x 0 x 0 x x x ax bx lim
x 0 3 2 3 x1 1 1 1 1 x x x x a b a b lim 2.
x 0 3 2 3 1 1 1 1 1 x x x 3 2 a b 5 a b 5
Vậy ta được: a b
a 3, b 2 Chọn A. 2 2
a 3b 12 3 2 5 3 2 2 2 Câu 36. Ta có 2x 5x 3 lim lim x
x 2 . Chọn D. 2
x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 2 2 Giải nhanh : khi 2x 5x 3 2x x thì : 2. 2 2 x 6x 3 x 5 3 3 2 2 3 Câu 37. Ta có: 2x 5x 3 lim lim . x x x . Chọn C. 2
x x 6x 3 x 6 3 1 2 x x 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x 5x 3 2x x thì : 2x . 2 2 x 6x 3 x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 31 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 7 11 3 2 3 4 6 Câu 38. Ta có: 2x 7x 11 0 lim lim x x
x 0. Chọn C. 6 5
x 3x 2x 5 x 2 5 3 3 6 x x 3 2 3 Giải nhanh : khi 2x 7x 11 2x 2 1 x thì : . 0. 6 5 6 3 3x 2x 5 3x 3 x
Câu 39. Khi x thì 2 2 2
x x
x 1 x x x x x 2x 0 3 2 2x 3
chia cả tử và mẫu cho x , ta được lim lim x 1 . x 2 x 1 x x 1 1 1 2 x Chọn D.
Câu 40. Khi x thì 2 2 2 x x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp:
2ax 3 Ta có lim lim
2ax 3 x x x a x x 3 1 2 1 2 lim 2 1 1 . 2 2 x 1 x x x x 2 lim x x
2ax 3 Vì lim 1 x 2 lim 1 1 4 0 x 1 x 2 x x 3 lim 2a
2a 0 a 2 . x x Giải nhanh : ta có 2x 3 x 2 x 1 x
ax 2x x ax 2 2 3 1 2 .
x x 22ax a 2 . Khi đó 2
P a 2a 4 a 2
1 3 3, P 3 a 1 2 P 3. Chọn B. in m 2 2
Câu 41. Giải nhanh: khi 4x x 1 4x 2x x 2. Chọn C. x 1 x x 1 1 2 4 2 Cụ thể: 4x x 1 x x 4 lim lim 2. x x 1 x 1 1 1 x
Câu 42. Giải nhanh : khi 2 2
4x 2x 1 2 x 4x x 2x x 1 x . Chọn D. 2 2
9x 3x 2x 9x 2 3 x x 2x 5
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 32 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 1 2 2 4 1 2 Cụ thể :
4x 2x 1 2 x x x x 1 lim lim . x 2 9x 3x 2 x x 3 5 9 2 x
Câu 43. Ta phải có 2
ax 3x 0 trên ;
a 0. Ta có 2 2 x
4x 2x 1 2 x 4x x 3x 0. 2
Như vậy xem như “tử” là một đa thức bậc 1. Khi đó
4x 2x 1 2 x lim 0 khi và chỉ khi 2
ax 3x bx là đa x 2
ax 3x bx thức bậc 1. Ta có 2 2
ax 3x bx ax bx a bx
a b 0. 2
Khi đó 4x 2x 1 2 x 3x 3
L 0 b a 0 b a. 2
ax 3x bx
a bx b a Chọn B. 3 3 2 3 3
Câu 44. Giải nhanh: x 2x 1 x x 1 x . Chọn C. 2 2 2x 1 2x 2x 2 2 1 3 1 3 3 2 3 Cụ thể: x 2x 1 x x 1 lim lim . x 2 2x 1 x 1 2 2 2 x Câu 45. Giải nhanh: 2 2 x
2x 1 ax 2x x
2x ax a 2x a 2 0 a 2. Chọn B. Cụ thể: vì 1
lim x nên lim x ax x a x 2 2 1 lim 2 x 2 x x 1 lim 2 a
a 2 0 a 2. 2 x x
Câu 46. Giải nhanh : 3 2 3 x
2x x 2x . Chọn D. 3 lim x x Cụ thể: lim 1 3 2 2x x 3 lim x 2 vì . 1 x x x lim 2 2 0 x x Câu 47. Ta có 1 1 x 2 1 x 1 lim lim lim 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 Vì lim x 1 3 0; lim và 2
x 4 0 với mọi x 2;2. Chọn A. 2 x 4 0 x 2 x 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 33 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 2 2 Câu 48. Ta có a b
a ax ax b
a ax ax b lim lim lim . 3 3 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 1 1 1 1 x x Khi đó a b lim hữu hạn 2 1 . a 1 .
a 1 b 0 2a b 1. 3 x 1
1 x 1 x a b 4 a 1 Vậy ta có a b L lim 3 x 1 2a b 1 b 3
1 x 1 x 2 x x 2 x 2 lim lim 1 . Chọn C.
x 1 x 2 1 1 x x 2 x 1 1 x x Câu 49. Ta có lim 1 2
1 2x x lim x 2 1 2 x x x Vì 1 lim x ; lim 2 1
2 1 0. Chọn B. 2 x
x x Giải nhanh : 2 2 x
1 2x x 2x x 2x x 2 1 x . Câu 50. 2 2 x
x 1 x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp. Giải nhanh: 1 1 1 2 x
x 1 x 0. Chọn A. 2 2 x 1 2 x x x x 1 Cụ thể: lim x x x x 1 0 2 1 lim lim 0. x 2 x 1 x x 1 2 1 1 2 x Câu 51. 2 2 x
5x 2x x 5 5x x 5 5x x 5 0
Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 x
5x 2x x 5 2x 2x 2x 1 . 2 2
5x 2x x 5 5x x 5 2 5x 5 Cụ thể: Ta có x lim
x x x x 2 2 5 2 5 lim x 2
5x 2x x 5 1 2 2 1 1 a lim 5
5 S 1. Chọn A. x 2 2 5 5 5 5 5 b 0 x Câu 52. Khi 2 2 2 2 x
x 3x x 4x x x 0
Nhân lượng liên hợp:
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 34 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Giải nhanh: 2 2 x
x 3x x 4x x x x 1 . Chọn B. 2 2 2 2
x 3x x 4 2 x x x x 2 Cụ thể: 2 2 lim x 3x x 4x x x 1 1 lim lim . x 2 2
x 3x x 4 x x 3 4 2 1 1 x x Câu 53. Giải nhanh: 3 3 2 3 3 2 x
x x x x 3 3 1 2 3 3 1 x . Chọn D. Cụ thể: lim 3 1 2 3 2
3x 1 x 2 3 lim x 3 1 3 2 x x x x Vì 1 2 3 3 lim x , lim 3 1 3 1 0. 3 2 x x x x Câu 54. Khi 2 3 3 2 2 3 3 x
x x x x x x x x 0
Nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 2 3 3 2 2 3 3 2 x x x x x x x
x x x 2 2 x x x x 2 2 3 x 1 x 1 3 3 2 2 2 3 3 6 6 3 1 x x
x x x x x x x x 1 1 5
x . Chọn A. 2 3 6 Cụ thể: 2 3 3 2 x x x x 2 3 3 2 lim lim x x x x x x x x 2 x x 1 1 5 lim . x 2 2 3 x 1 x
x x x 1 3 2 3 6 3 x 2 3 1 Câu 55. 3 3 3 3 x
2x 1 2x 1 2x 2x 0
nhân lượng liên hợp: Giải nhanh: 3 3
2x 1 2x 1 2 2 2 0. Chọn A. 3 2x 2 3
1 4x 1 2x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1
4x 4x 4x 3 4x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 35 Tµi liÖu to¸n 10 n¨m häc 2018 Cụ thể: lim 2 3 3
2x 1 2x 1 lim 0. x x 2x 2 3 1 2x 1 2x 1 2x 2 3 3 1 Câu 56. Ta có 1 lim x 1
limx
1 0 1 1. Chọn B. x 0 x 0 x Câu 57. Ta có x x x 2. x 0. 2 lim 2 lim 0 . Chọn C. 2 x 2 x 2 x 4 x 2 2
Câu 58. Giải nhanh: 2x 1 2x 6 1 6 1 6 x x x. .x. .x. . Chọn B. 3 2 2 2 3x x 2 3x 3 3 x x 3 1 2 2x 1 x x 2 2 1 Cụ thể: 6 lim lim lim x x . 3 2 3 2 x 3x x 2 x 3x x 2 x 1 2 3 3 3 x x Câu 59. Ta có 1 2
lim x sin x lim
2x sinx 1 1. Chọn B. 2 x 0 x 0 x Câu 60. Với x
x 1;0 thì x 1 0 và 0 . x 1 Do đó x x lim 3 x 1 lim x 1 2x x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x lim x 1 . Chọn C. 2x x 1 0 x 1 x 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 36 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3. HÀM S Ố LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1 Cho hàm số
xác định trên khoảng và Hàm số
được gọi là liên tục tại nếu
II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa 2 Hàm số
được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số
được gọi là liên tục trên đoạn
nếu nó liên tục trên khoảng và
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Hàm số liên tục trên khoảng
Hàm số không liên tục trên khoảng
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử và
là hai hàm số liên tục tại điểm . Khi đó: a) Các hàm số , và liên tục tại ; b) Hàm số liên tục tại nếu Định lí 3 Nếu hàm số liên tục trên đoạn và
thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất
một nghiệm nằm trong khoảng .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp:
Tìm giới hạn của hàm số khi và tính Nếu tồn tại thì ta so sánh với . Chú ý
1. Nếu hàm số liên tục tại thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. . 3. Hàm số liên tục tại . 4. Hàm số liên tục tại điểm khi và chỉ khi .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Chú ý Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi . Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3 3 x − 27 khi x ≠ 3 x − 3 2 khi x < 3 1. f (x) = x − x − 6 2. f (x) = 2x + 3 − 3 10 khi x = 2 3 (x − 1) khi x ≥ 3 3
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra 2 x − x − 2 2 x + 1 khi x ≠ 1 1. f(x) = tại điểm x = 1 2. khi x ≠ − = 1 f(x) 2 khi x = 0 x + 1 1 1 khi x = − 1
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2 3 4x − 4 x − 2 5x + 4 2 khi x ≠ 2 khi x < 2 1. f (x) = x − 2 2. f (x) = 3 x − 8 a khi x = 2 2 ax + x + 1 khi x ≥ 2
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm chỉ ra x − 2 khi x ≠ 4 x − 4 1. f(x) = tại x = 4 1 khi x = 4 4 2 x − 3x + 2 + 2 khi x > 1 2. f(x) = x − 1 tại x = 1 2 3x + x − 1 khi x ≤ 1 πx cos khi x ≤ 1 3. f (x) = 2 tại x = 1 và x = −1. x − 1 khi x > 1
Bài 2. Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0 . 2x + 1 − 1 3 2x + 8 − 2 1. f(x) = f(x) = x(x + 1) 2. 3x + 4 − 2
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra x + x + 2 khi x > −1 1. f(x) = x + 1 tại x = − 0 1 2x + 3 khi x ≤ − 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 + + 3 x 1 x − 1 khi x ≠ 0 2. f(x) = x tại x = 0 0 2 khi x = 0 3 x −1 khi x ≠ 1 x − 1 3. f(x) = tại x = 0 1 1 khi x = 1 3 2 x − x − 2 + 2x khi x > 2 4. f(x) = x − 2 tại x = 0 2 2 x − x + 3 khi x ≤ 2
Bài 4. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra x 2a khi x 0 1. f (x) + < = tại x = 0 2 x + x + 1 khi x ≥ 0 4x + 1 − 1 khi x ≠ 0 2. f(x) = 2 ax + (2a + 1)x tại x = 0 3 khi x = 0 3x + 1 − 2 khi x > 1 2 x − 1 3. f(x) = tại x = 1 . 2 a(x − 2) khi x ≤ 1 x − 3
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm
chia của các khoảng đó.
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số: x − 1 + 2
1. f(x) = tan 2x + cos x 2. f(x) = 2 x − 3x + 2 2 a (x − 2) khi x < 2
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số f (x) = x + 2 − 2
liên tục trên . (1−a)x khi x ≥ 2
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Xác định tính liên tục của hàm số sau trên x + 2 2 1. f(x) = f(x) 3x 1 f(x) 2sin x 3tan 2x 2 2. = − 3. = + x − x − 6
Bài 2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên 3 2 x − 1 x − 5x + 6 khi x > 1 khi x < 2 x − 1 1. f (x) = 3 2x − 16 2. f(x) = 3 2 − x khi x ≥ 1 − x + 2 2 khi x ≤ 1 x + 2
Bài 3 Xét tính liên tục hàm số sau trên
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 x − 3x + 2 khi x ≠ 1 2x + 1 − 1 khix ≠ 0 1. f (x) = x − 1 2. f (x) = x a khi x = 1 0 khi x = 0 2x + 1 khi x ≤ 0 2 3 2x + x + 1 khi x ≤ 1
3. f(x) = (x − 1) khi 0 < x < 2 4. f(x) = . 3x − 1 khi x > 1 x − 1 khi x ≥ 2
Bài 4. Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên 3 − 2 x 3x + 2x π khi x(x − 2) ≠ 0 sin x khi x ≤ x(x − 2) 2 1. f (x) = f(x) = a khi x = 2 π 2. . ax + b khi x > b khi x = 0 2
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau liên tục trên 3 x − 2 + 2x − 1 khi x ≠ 1 1. f(x) = x − 1 3m − 2 khi x = 1 x + 1 − 1 khi x > 0 2. f(x) = x 2 2x + 3m + 1 khi x ≤ 0 2x − 4 + 3 khi x ≥ 2 3. f(x) = x + 1 . khi x < 2 2 x − 2mx + 3m + 2
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp :
Để chứng minh phương trình
có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số liên
tục trên D và có hai số sao cho .
Để chứng minh phương trình
có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số liên tục trên D
và tồn tại k khoảng rời nhau
(i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho .
1. caùc ví duï minh hoïa
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm. 5 3 1. x + 3x + 1 = 0
2. x + 2x = 4 + 3 3 − 2x
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm : 7 5 2 1. x + 3x − 1 = 0
2. x sin x + x cos x + 1 = 0 5 3 2 2
Ví dụ 3. x + 2x + 15x + 14x + 2 = 3x + x + 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt
1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt 3 3 1. x − 3x + 1 = 0 2. 2x + 6 1 − x = 3
Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n 3 1 1
1. m (x − 1) (x + 2) + 2x + 3 = 0 2. − = m cosx sin x
3. m (x − a)(x − c) + n (x − b)(x − d) = 0 ( a ≤ b ≤ c ≤ d ).
Bài 3 Cho m > 0 và a, b,c là ba số thực bất kỳ thoả mãn
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 a b c + + = 0 2 ax bx c 0 m luôn có nghiệm. + 2 m + 1 m
. Chứng minh rằng phương trình + + =
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình : 4 3 2
1. x + x − 3x + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (−1;1) 5 3
2. x − 5x + 4x − 1 = 0 có năm nghiệm thuộc khoảng (−2; 3)
3. a (x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = 0 ; a, b,c > 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 5
4. (1 − m )x − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m 2 3 4
5. m .(x − 2) + m(x − 1) .(x − 2) + 3x − 4 = 0 có nghiệm với mọi m . a b c
Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: < < 2 n m; mp n và + + = 0 m n p
. Chứng minh rằng phương trình : = 2
f(x) ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Bài 6.
1. Cho hàm số f :0; 1 → 0;
1 liên tục.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c∈ 0; 1 sao cho f (c) = c . f(x) 2. Cho hàm số f :[ ∞
0;+ ) → [0;+∞) liên tục và lim = L < 1 c 0 sao cho x→+∞ x
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số ≥ f(c) = c .
3. Tìm tất cả các hàm số f : → liên tục tại x = 0 thỏa: f(3x) = f(x) .
4. Cho hàm số f : 0; 1 → 0; 1 liên tục trên 0; 1 và thỏa f(0) = f(1) . 1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình f(x) − f(x + ) = 0 0;1 n
luôn có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . Bài 7.
1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x ; x ;...; x ∈ a; b 1 2 n
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c ∈ a; b
sao cho nf(c) = f(x ) + f(x ) + . . + 1 2 f(xn) .
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0 < α < β < 1 sao cho α = α2 cos và β tanβ = 1 .
1ii. Baøi taäp traéc nghieäm töï luyeän
Câu 4. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 3; 3 với
Vấn đề 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
x 3 3 x f x
với x 0 . Tính f 0 . x
Câu 1. Hàm số f x 1 3 x liên tục trên: x 4 2 3 3 A. . B. . C. 1. D. 0. 3 3 A. 4;3. B. 4; 3 .
Câu 5. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 4; C. 4;3. D. ;
43;. x
với f x
với x 0 . Tính f 0 . x 4 2 3
x x cos x sin x
Câu 2. Hàm số f x liên tục trên: 2 sin x 3 A. 0. B. 2. C. 4. D. 1. 3 A. 1; 1 . B. 1;5. C. ; .
Vấn đề 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM D. . 2
Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
Câu 3. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên với 2
x x 2 f x khi 2 x 2 x x 2 liên tục tại 2.
f x x 3x 2 với mọi x 1. Tính f 1 . m khi 2 x x 1 A. 2. B. 1. C. 0. D. 1. A. m 0. B. m 1. C. m 2. D. m 3.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số A. m .
B. m .
C. m 1. D. m 1. 3 2
x x 2x 2 khi 1 x f x x 1 x sin x liên tục tại 1.
Câu 13. Biết rằng lim
1. Tìm giá trị thực của tham số m 3 x m khi 1 x x 0 x 1 cos x khi x A. m 0. B. m 2. C. m 4. D. m 6. để
hàm số f x x 2 x liên tục tại . m khi x
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số k để hàm số x 1 1 1 khi 1 x y f x A. m
. B. m .
C. m . D. m . x 1 x liên tục tại 1. 2 2 2 2 k 1 khi 1 x 3 khi x 1 1 1 4 A. k . B. k 2.
C. k . D. k 0. x x 2 2
Câu 14. Hàm số f x
khi x 1, x 0 liên tục 2 x x 1 khi x 0 3 x khi x 3
Câu 9. Biết rằng hàm số f x x 1 2 tại: liên m khi x 3
A. mọi điểm trừ x 0, x 1. B. mọi điểm x .
tục tại x 3 (với m là tham số). Khẳng định nào dưới đây đúng?
C. mọi điểm trừ x 1.
D. mọi điểm trừ x 0.
A. m 3;0. B. m 3. Câu 15. Số
điểm gián đoạn của hàm số 0 ,5 khi x 1
C. m 0; 5 .
D. m 5;.
xx 1
f x
khi x 1, x 1 là: 2 x 1
Câu 10. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số 1 khi x 1 1 2 x sin khi 0 x f x x x liên tục tại 0. A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. m khi 0 x
Vấn đề 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT
A. m 2; 1 . B. m 2. KHOẢNG
C. m 1;7.
D. m 7;.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số 2 2 m x khi 2 x f x liên tục trên ? sin x 1m x khi 2 x Câu 11. Biết rằng lim 1. Hàm số x0 x tan x A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. khi 0 x f x x
liên tục trên khoảng nào sau đây? 0 khi 0 x x khi x 0;4
Câu 17. Biết rằng hàm số f x tục trên 1
m khi x 4;6 A. 0; . B. ; . 0;6.
Khẳng định nào sau đây đúng? 2 4 A. m 2.
B. 2 m 3. C. 3 m 5. D. m 5. C. ; . D. ; . 4 4
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số 2
x 3x 2 sin x khi x 1
Câu 12. Biết rằng lim
1. Tìm giá trị thực của tham số m f x x 1 x0 x liên tục trên . sin x a khi x 1 khi 1 x để
hàm số f x x 1 x liên tục tại 1. m khi 1 x A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 x 1
D. f x gián đoạn tại x 1. khi 1 x
Câu 19. Biết rằng f x x 1 liên tục trên đoạn a khi 1 x
Câu 24. Tìm các khoảng liên tục của hàm số 0; 1 x
(với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá trị a cos khi 1 x f x 2
. Mệnh đề nào sau đây là sai? là đúng? x1 khi 1 x
A. a là một số nguyên.
B. a là một số vô tỉ.
A. Hàm số liên tục tại x 1 . C. a 5.
D. a 0.
B. Hàm số liên tục trên các khoảng , 1 ; 1;. Câu 20.
Xét tính liên tục của hàm số x 1
C. Hàm số liên tục tại x 1 . khi 1 x f x 2 x 1 .
Khẳng định nào dưới đây 2x khi 1 x
D. Hàm số liên tục trên khoảng 1, 1 . đúng?
Câu 25. Hàm số f x có đồ y
A. f x không liên tục trên .
thị như hình bên không liên 3
tục tại điểm có hoành độ là
B. f x không liên tục trên 0;2. bao nhiêu? 1 x A. x 0.
C. f x gián đoạn tại x 1. O 1 2 B. x 1.
D. f x liên tục trên . C. x 2.
Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số 2
x 5x 6 D. x 3. f x khi x 3
4x 3 x x liên tục tại 3 . 2 2 x 1 a x khi x 3 khi 1 x , x 0 x
Câu 26. Cho hàm số f x 0 khi 0 x . Hàm 2 2 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 x khi 1 x
Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số số f x liên tục tại: 3 3x 2 2 khi 2 x
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 0 . f x x 2 x liên tục tại 2. 1 2 a x khi 2 x
C. mọi điểm trừ x 1 . 4
D. mọi điểm trừ x 0 và x 1 . A. a 3. a 0. max B. max 2 x 1 C. a 1. a 2. max D. max
khi x 3, x 1 x 1 f x 4 khi x 1
Câu 23. Xét tính liên tục của hàm số Câu 27. Cho hàm số . Hàm 1 cos x khi 0 x
x 1 khi x 3 f x .
Khẳng định nào sau đây đúng? x 1 khi 0 x
số f x liên tục tại:
A. f x liên tục tại x 0.
A. mọi điểm thuộc .
B. mọi điểm trừ x 1 .
B. f x liên tục trên ; 1 .
C. mọi điểm trừ x 3 .
C. f x không liên tục trên .
D. mọi điểm trừ x 1 và x 3 .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Câu 28. Số
điểm gián đoạn của hàm số D. Phương trình f x 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 2
x khi x 0 1 hx 2 3; .
x 1 khi 0 x 2 là: 2 3
x 1 khi x 2
Câu 32. Cho phương trình 4 2
2x 5x x 1 0. Mệnh đề nào A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. sau đây là đúng?
Câu 29. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 1; 1 . 2
x x khi 1 x f x 2 khi x 1 x
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng 2;0. liên tục tại 1 . 2 m x 1 khi 1 x
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng 2; 1 .
A. S 1. B. S 0. C. S 1. D. S 2.
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2.
x cos x khi x 0 2 x Câu 33. Cho hàm số 3
f (x) x 3x 1 . Số nghiệm của phương
Câu 30. Cho hàm số f x
khi 0 x 1. Hàm số 1 x
trình f x 0 trên là: 3 x khi x 1
f x liên tục tại: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 34. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 sao cho
A. mọi điểm thuộc x .
B. mọi điểm trừ x 0. f
1 2 , f 4 7 . Có thể nói gì về số nghiệm của phương
C. mọi điểm trừ x 1.
D. mọi điểm trừ x 0; 1
x . trình f x5 trên đoạn [1;4]:
Vấn đề 5. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm. TRÊN MỘT KHOẢNG
C. Có đúng một nghiệm.
D. Có đúng hai nghiệm.
Câu 31. Cho hàm số f x 3
4x 4x 1. Mệnh đề nào sau Câu 35. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đây là sai? khoảng 10;10 để phương trình 3 2
A. Hàm số đã cho liên tục trên .
x 3x 2m 2x m 3 0 có ba nghiệm phân biệt x , x , x
x 1 x x 1 2 3 thỏa mãn 1 2 3 ?
B. Phương trình f x 0 không có nghiệm trên khoảng ; 1 . A. 19. B. 18. C. 4. D. 3.
C. Phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng 2;0.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3 3 x − 27 khi x ≠ 3 x − 3 khi x < 3 1. f (x) = 2 x − x − 6 2. f (x) = 2x + 3 − 3 10 khi x = 2 3 (x − 1) khi x ≥ 3 3 Lời giải.
1. Hàm số xác định trên 3 2 Ta có 10 f(3) x − 27 (x − 3)(x + 3x + = và 9) lim f(x) = lim = lim 3 → → 2 x 3 x 3 x→ x − x − 3 6 (x − 3)(x + 2) 2 x + 3x + 9 27 = lim = ≠ f(3) . x→3 x + 2 5
Vậy hàm số không liên tục tại x = 3 .
2. Ta có f(3) = 4 và lim f(x) x − 3 2x + 3 + 3 = lim (x − 2 1) = 4 ; lim f(x) = lim = lim = 3 ≠ lim f(x) + + x→3 x→3 − − − 2x 3 3 2 + x→3 x→3 + − x→3 x→3
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3 .
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra 2 1. x + 1 khi x ≠ = 1 f(x) tại điểm x = 0 1 2 khi x = 1 2 x − x − 2 2. khi x ≠ − = 1 f(x) x + 1 1 khi x = − 1 Lời giải.
1. Ta có f(1) = 2 và lim f(x) = 2 lim(x + 1) = 2 = f(1) x→1 x→1
Vậy hàm số liên tục tại điểm x = 1. 2. Ta có f(−1) = 1 (x + 1)(x − 2) lim f(x) = lim = lim (2 − x) = 3 + + x + 1 + x→−1 x→−1 x→−1 (x + 1)(x − 2) lim f(x) = lim
= lim (x − 2) = −3 ≠ lim f(x) − − x + 1 − + x→−1 x→−1 x→−1 x→−1
Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → −1 .
Vậy hàm số gián đoạn tại x = −1.
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2 3 4x − 2 4 x − 2 5x + 4 khi x < 2 1. ( ) khi x ≠ = 2 f x x − 2 2. f (x) = 3 x − 8 a khi x = 2 2 ax + x + 1 khi x ≥ 2 Lời giải.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 1. Ta có f(2) 4x − 2 4 1 = a và lim f(x) = lim = lim = x→2 x→2 x − 2 x→2 3 2 + 3 + 3 (4x) 2 4x 4
Hàm số liên tục tại điểm 1
x = 2 ⇔ lim f(x) = f(2) ⇔ a = . x→2 3 4 2 2 2. Ta có : x − 5x + 4 (x − 1)(x + 2) lim f(x) = lim = lim = 1 − − 3 − 2 x→2 x→2 x − 8 x→2 x + 2x + 4 lim f(x) = lim ( 2 ax + x + 1) = 4a + 3 = f(2) + + x→2 x→2
Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔ lim f(x) = lim f(x) = f(2) + − x→2 x→2 1 ⇔ 4a + 3 = 1 ⇔ a = − . 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm chỉ ra x − 2 khi x ≠ 4 1. x − = 4 f(x) tại x = 4 1 khi x = 4 4 2 x − 3x + 2 + 2 khi x > 1 2. f(x) = x − 1 tại x = 1 2 3x + x − 1 khi x ≤ 1 πx cos khi x ≤ 1 3. f (x) = 2 tại x = 1và x = −1. x − 1 khi x > 1
Bài 2. Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0 . 3 1. 2x + 1 − 1 f(x) = 2. 2x + 8 − 2 f(x) = x(x + 1) 3x + 4 − 2
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra x + x + 2 1. khi x > − = 1 f(x) x + 1 tại x = − 0 1 2x + 3 khi x ≤ − 1 + + 3 x 1 x − 1 2. khi x ≠ = 0 f(x) x tại x = 0 0 2 khi x = 0 3 x −1 khi x ≠ 1 3. x − = 1 f(x) tại x = 0 1 1 khi x = 1 3 2 x − x − 2 + 2x khi x > 2 4. f(x) = x − 2 tại x = 0 2 2 x − x + 3 khi x ≤ 2
Bài 4. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra x 2a khi x 0 1. f (x) + < = tại x = 0 2 x + x + 1 khi x ≥ 0
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 4x + 1 − 1 khi x ≠ 0 2. f(x) = 2 ax + (2a + 1)x tại x = 0 3 khi x = 0 3x + 1 − 2 khi x > 1 2 3. x − = 1 f(x) tại x = 1. 2 a(x − 2) khi x ≤ 1 x − 3 Bài 1 1. Ta có : x − 2 1 1 lim f(x) = lim = lim = = f(4) x→4 x→4 x − 4 x→4 x + 2 4
Hàm số liên tục tại điểm x = 4 . (x − 1)(x − 2) 2. lim f(x) = lim + 2 = 2 + + x→1 x→1 x − 1 lim f(x) = lim ( 2
3x + x − 1) = 3 ≠ lim f(x) − − + x→1 x→1 x→1
Hàm số không liên tục tại x = 1.
3. Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm x = −1. Bài 2. 1. Ta có : 2x + 1 − 1 2x lim f(x) = lim = lim = 1 x→0 x→0 x(x + 1) x→0 x(x + 1)( 2x +1 +1) Vậy ta chọn f(0) = 1 2( 3x + 4 + 2) 2. Ta có : 2 lim f(x) = lim = x→0 x→0 3 2 3 9
3 (2x + 8) + 2. 2x + 8 + 4 Vậy ta chọn 2 f(0) = . 9 Bài 3.
1. Ta có: f(−1) = 1 và lim f(x) = lim (2x + 3) = 1 − − x→−1 x→−1 x + x + 2 2 x − x − 2 lim f(x) = lim = lim + + x + 1 + x→−1 x→−1 x→−1 (x + 1)(x − x + 2) x − 2 3 lim = + x→−1 x − x + 2 2 Suy ra lim f(x) ≠ lim f(x) + − x→−1 x→−1
Vậy hàm số không liên tục tại x = − 0 1 . 2. Ta có: f(0) = 2 3 3 x + 1 + x − 1 1 + x − 1 lim f(x) = lim = lim 1 + x→0 x→0 x x→0 x 1 = lim 1+ = 2 = f(0) → 1 − 3 x 0 x − 1 + x − 1
Vậy hàm số liên tục tại x = 0 . 3 3. Ta có : x − 1 1 1 lim f(x) = lim = lim = = f(1) x→1 x→4 x − 1 x→4 3 2 + 3 + 3 x x 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 3 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Hàm số liên tục tại điểm x = 1. (x + 1)(x − 2)
4. Ta có : lim f(x) = lim + 2x = 4 + + x→2 x→2 x − 2 lim f(x) = lim ( 2 x − x + 3) = 5 ≠ lim f(x) − − + x→2 x→2 x→2
Hàm số không liên tục tại x = 0 2 . Bài 4. 1. Ta có : lim f(x) = 2 lim (x + x + 1) = 1 + + x→0 x→0 lim f(x) = lim (x + 2a) = 2a − − x→0 x→0
Suy ra hàm số liên tục tại 1 x = 0 ⇔ a = . 2 2. Ta có : 4x + 1 − 1 lim f(x) = lim x→0 x→0 x(ax + 2a + 1) 4 2 = lim = x→0 (ax 2a 1)( 4x 1 1) 2a + + + + + 1 Hàm số liên tục tại 2 1 x = 0 ⇔ = 3 ⇔ a = − . 2a + 1 6 3. Ta có : 3x + 1 − 2 3 lim f(x) = lim = + + 2 x→1 x→1 x − 1 8 2 a(x − 2) a lim f(x) = lim = − − x→1 x→ x − 1 3 2
Suy ra hàm số liên tục tại a 3 3 x = 1 ⇔ = ⇒ a = . 2 8 4
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó. Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số: 1. f(x) x 1 2 = tan 2x + cosx 2. − + f(x) = 2 x − 3x + 2 Lời giải. 1. TXĐ: π π D = \ + k ,k∈ 4 2
Vậy hàm số liên tục trên D x − 1 ≥ 0 x > 1
2. Điều kiện xác định: ⇔ 2 x − 3x + 2 ≠ 0 x ≠ 2
Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2;+∞). 2 a (x − 2)
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số ( ) khi x < = 2 f x x + 2 − 2
liên tục trên . (1−a)x khi x ≥ 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 4 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Lời giải.
Hàm số xác định trên
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có lim f(x) = lim (1 − a)x = 2(1 − a) = f(2) + + x→2 x→2 2 a (x − 2) lim f(x) = lim = 2 lim a ( x + 2 + 2) = 2 4a − − − x→2 x→2 x + 2 − 2 x→2
Hàm số liên tục trên ⇔ hàm số liên tục tại x = 2 1 ⇔ lim f(x) = lim f(x) ⇔ 2
4a = 2(1 − a) ⇔ a = −1,a = . − + x→2 x→2 2 Vậy 1
a = −1,a = là những giá trị cần tìm. 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Xác định tính liên tục của hàm số sau trên 1. x + 2 f(x) = 2. = 2 f(x) 3x − 1
3. f(x) = 2sin x + 3tan 2x 2 x − x − 6
Bài 2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên 3 2 x − x 1 − 5x + 6 khi x > 1 1. ( ) khi x < 2 f x = 3 x − 1 2x − 16 2. f(x) = 3 2 − x khi x ≥ 1 − x + 2 2 khi x ≤ 1 x + 2
Bài 3 Xét tính liên tục hàm số sau trên 2 x − 3x + 2 khi x ≠ 1 2x + 1 − 1 1. f (x) = khi x ≠ 0 x − 1 2. f (x) = x a khi x = 1 0 khi x = 0 2x + 1 khi x ≤ 0 2 2x + x + 1 khi x ≤ 1 3. f(x) = (x − 3
1) khi 0 < x < 2 4. f(x) = . 3x − 1 khi x > 1 x − 1 khi x ≥ 2
Bài 4. Xác định a,b để các hàm số sau liên tục trên 3 − 2 x 3x + 2x π khi x(x − 2) ≠ 0 sin x khi x ≤ x(x − 2) 1. ( ) = 2 f x
2. f(x) = a khi x = 2 . π ax + b khi x > b khi x = 0 2
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau liên tục trên 3 x − 2 + 2x −1 1. khi x ≠ = 1 f(x) x − 1 3m − 2 khi x = 1 x + 1 − 1 khi x > 0 2. f(x) = x 2 2x + 3m + 1 khi x ≤ 0 2x − 4 + 3 khi x ≥ 2 3. f(x) = x + 1 . khi x < 2 2 x − 2mx + 3m + 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 5 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 1
1. TXĐ : D = \{3;− } 2
Ta có hàm số liên tục tại mọi x∈ D và hàm số gián đoạn tại x = −2,x = 3 1 1
2. TXĐ : D = −∞;− ∪ ;+∞ 3 3 1 1
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x∈−∞;− ∪ ;+∞ 3 3 1 lim f(x) 1 = 0 = f −
⇒ hàm số liên tục trái tại x = − − 1 3 3 x→− 3 1 lim f(x) 1 = 0 = f
⇒ hàm số liên tục phải tại x = + 1 3 3 x→ 3 1 1
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x∈− ; . 3 3 3. TXĐ : π π D = \ + k ,k∈ 4 2
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm π π x = + k ,k ∈ . 4 2 Bài 2 1. TXĐ : D = 2 • Với x − 5x + 6 x < 2 ⇒ f(x) = ⇒ hàm số liên tục 3 2x − 16
• Với x > 2 ⇒ f(x) = 2 − x ⇒ hàm số liên tục
• Tại x = 2 ta có : f(2) = 0
lim f(x) = lim (2 − x) = 0 ; + + x→2 x→2 (x − 2)(x − 3) 1 lim f(x) = lim = − ≠ lim f(x) − − 2 2(x 2)(x 2x 4) 24 + x→2 x→2 − + + x→2
Hàm số không liên tục tại x = 2 .
2. Hàm số xác định với mọi x thuộc • Với 1 − x + 2 x < 1 ⇒ f(x) = ⇒ hàm số liên tục x + 2 3 • Với x − 1 x > 1 ⇒ f(x) = ⇒ hàm số liên tục x − 1 • Tại x 2 = 1 ta có : f(1) = 3 3 x −1 (x − 1)( x + 1) 2 lim f(x) = lim = lim = ; + + + → → x − 1 → (x − 3 2 x 1 x 1 x 1 1)( x + 3 x + 3 1) 1 − x + 2 2 lim f(x) = lim = = lim f(x) = f(1) − − x + 2 3 + x→2 x→1 x→1
Hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên . Bài 3.
1. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 1 và gián đoạn tại x = 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 6 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
2. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 0 và gián đoạn tại x = 0
3. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 và gián đoạn tại x = 2
4. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ ±1 và gián đoạn tại x = ±1. Bài 4. π a + b =1 2
1. Hàm số liên tục trên 2 a = ⇔ ⇔ π π − a + b = −1 b = 0 2 a = 1
2. Hàm số liên tục trên ⇔ . b = − 1 Bài 5. 3 1. Với x x 2 2x 1 ≠ 1 ta có − + − f(x) =
nên hàm số liên tục trên khoảng \{ } 1 x − 1
Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1 Ta có: f(1) = 3m − 2 3 x − 2 + 2x −1 lim f(x) = lim x→1 x→1 x − 1 3 x + x − 2 = lim 1 + x→1 2 3 3 2
(x − 1)x − x x − 2 + (x − 2) 2 x + x + 2 = lim 1 + = 2 x→1 2 3 3 2 x − x x − 2 + (x − 2)
Nên hàm số liên tục tại 4
x = 1 ⇔ 3m − 2 = 2 ⇔ m = 3 Vậy 4
m = là những giá trị cần tìm. 3 2. • Với x x 1 1 > 0 ta có + − f(x) =
nên hàm số liên tục trên (0;+∞) x • Với x < 0 ta có = 2
f(x) 2x + 3m + 1 nên hàm số liên tục trên (−∞;0) .
Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0 Ta có: f(0) = 3m + 1 x + 1 − 1 1 1 lim f(x) = lim = lim = + + x + x→0 x→0 x→0 x + 1 + 1 2 lim f(x) = lim ( 2 2x + 3m + 1) = 3m +1 − − x→0 x→0
Do đó hàm số liên tục tại 1 1
x = 0 ⇔ 3m + 1 = ⇔ m = − 2 6 Vậy 1
m = − thì hàm số liên tục trên . 6
3. Với x > 2 ta có hàm số liên tục.
Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng (−∞;2) và liên tục tại x = 2 .
• Hàm số liên tục trên (−∞;2) khi và chỉ khi tam thức = 2
g(x) x − 2mx + 3m + 2 ≠ 0, ∀ x ≤ 2 2
TH 1: ∆' = m − 3m − 2 ≤ 0 3 − 17 3 + 17 ⇔ ≤ m ≤ g(2) = −m + 6 ≠ 0 2 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 7 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 2 m − 3m − 2 > 0 ∆' = 2 m − 3m − 2 > 0 TH 2: ⇔ m > 2 x = m − ∆' > 1 2 ∆' < (m − 2 2) 3 + 17 m > 3 + 17 ⇔ ⇔ < 2 m < 6 2 m < 6
Nên 3 − 17 ≤ m < 6 (*) thì g(x) ≠ 0, ∀ x ≤ 2 2
• lim f(x) = lim ( 2x − 4 + 3) = 3 + + x→2 x→2 x + 1 3 lim f(x) = lim = − − 2 x→2 x→2 x − 2mx + 3m + 2 6 − m Hàm số liên tục tại 3 x = 2 ⇔ = 3 ⇔ m = 5 (thỏa (*)) 6 − m
Vậy m = 5 là những giá trị cần tìm.
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp :
• Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục
trên D và có hai số a,b∈ D sao cho f(a).f(b) < 0 .
• Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và
tồn tại k khoảng rời nhau (ai;ai+1) (i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho f(a ).f(a + ) < i i 1 0 . Các ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm. 1. 5 x + 3x + 1 = 0 2. 3
x + 2x = 4 + 3 3 − 2x Lời giải. 1. Xét hàm số = 5
f(x) x + 3x + 1 là hàm liên tục trên
Mặt khác: f(−1) = −1,f(0) = 1 ⇒ f(−1).f(0) = −1 < 0
Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1;0) .
Giả sử phương trình có hai nghiệm 1 x ,x2 .
Khi đó: f(x ) − f(x ) = 0 ⇔ ( 5 x − 5 1 2 1 x2 ) + 3(x − 1 x2 ) = 0 ⇔ (x − 1 x 2 )( 4 x + 3 x x + 2 2 x x + 3 x x + 4 x + 1 1 2 1 2 1 2 2 3) = 0 (1)
A 2 2 Do 2 1 1 2 1 A = x + x x + x x + x + 2 2 x x + 3 > 1 1 2 1 2 2 0 2 4 1 2 2 Nên (1) ⇔ x = 1 x2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm. 2. Điều kiện: 3 x ≤ 2 Phương trình ⇔ 3
x + 2x − 3 3 − 2x − 4 = 0 Xét hàm số 3 = 3
f(x) x + 2x − 3 3 − 2x − 4 liên tục trên −∞ ; 2
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 8 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 19 3 f(0) = −4 − 3 3 < 0, f = > 0 ⇒ f(0).f < 0 2 8 2
Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm 1 x ,x2 Khi đó: f(x ) − f(x ) = 1 2 0 ⇔ ( 3 x − 3 1 x2 ) + 2(x −
1 x2 ) − 3( 3 − 2x − 3 − 1 2x2 ) = 0 6 ⇔ (x − 1 x2 ) 2 x + x x + 2 x + 2 + = 0 1 1 2 2 3 − 2x + 3 − 1 2x2
B ⇔ x = 1 x2 x 2 2 3x (Vì 6 B = x + 2 1 + 2 + 2 + > 0 ) 2 4 3 − 2x + 3 − 1 2x2
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm : 1. 7 + 5 x 3x − 1 = 0 2. 2
x sin x + xcosx + 1 = 0 Lời giải. 1. Ta có hàm số = 7 + 5 f(x) x
3x − 1 liên tục trên R và f(0).f(1) = −3 < 0
Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) . 2. Ta có hàm số = 2
f(x) x sin x + xcosx + 1 liên tục trên R và f(0).f(π) = −π < 0 . Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm thuộc (0;π) . Ví dụ 3. 5 + 3 + 2 + + = 2 x 2x 15x
14x 2 3x + x + 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với 2 5 + 3 + 2 + + = ( 2 x 2x 15x 14x 2 3x + x + 1) ⇔ 5 − 4 − 3 + 2 x 9x 4x 18x + 12x + 1 = 0 (1) Hàm số = 5 − 4 − 3 + 2 f(x) x 9x 4x
18x + 12x + 1 liên tục trên Ta có: 1 19
f(−2) = −95 < 0,f(−1) = 1 > 0,f − = − < 0 2 32
f(0) = 1 > 0,f(2) = −47 < 0,f(10) = 7921 > 0
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng ( 2; 1) 1 1 − − , −1; − , − ;0 ( , 0;2) ( , 2;10) 2 2
Mặt khác f(x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt 1. 3 x − 3x + 1 = 0 2. + 3 2x 6 1 − x = 3
Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n 1. ( 1 1 − )3
m x 1 (x + 2) + 2x + 3 = 0 2. − = m cosx sin x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 9 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
3. m(x − a)(x − c) + n(x − b)(x − d) = 0 ( a ≤ b ≤ c ≤ d ).
Bài 3 Cho m > 0 và a,b,c là ba số thực bất kỳ thoả mãn a b c + +
= 0 . Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm. m + 2 m + 1 m
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình : 1. 4 + 3 − 2 x x
3x + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (−1;1) 2. 5 − 3 x
5x + 4x − 1 = 0 có năm nghiệm thuộc khoảng (−2;3)
3. a(x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = 0 ; a,b,c > 0 có hai nghiệm phân biệt. 4. − 2 5
(1 m )x − 3x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m 5. 2 − + − 3 − 4
m .(x 2) m(x 1) .(x 2) + 3x − 4 = 0 có nghiệm với mọi m .
Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: a b c < < 2 n m; mp n và
+ + = 0 . Chứng minh rằng phương m n p trình : = 2
f(x) ax + bx + c = 0 luôn có nghiệm. Bài 6.
1. Cho hàm số f:0; 1 → 0;
1 liên tục.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c ∈ 0; 1 sao cho f (c) = c . 2. Cho hàm số f:[ f(x) ∞
0;+ ) → [0;+∞) liên tục và lim
= L < 1 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số c ≥ 0 sao x→+∞ x cho f(c) = c .
3. Tìm tất cả các hàm số f : → liên tục tại x = 0 thỏa: f(3x) = f(x) .
4. Cho hàm số f : 0; 1 → 0; 1 liên tục trên 0; 1 và thỏa f(0) = f(1) .
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình 1
f(x) − f(x + ) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc n đoạn 0; 1 . Bài 7.
1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x ;x ;...;x ∈ a; b 1 2 n
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c ∈ a; b
sao cho nf(c) = f(x ) + f(x ) + . . + 1 2 f(xn) .
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0 < α < β < 1 sao cho α = α2 cos và βtanβ = 1 . Bài 1 1. Xét hàm số = 3
f(x) x − 3x + 1 , ta có hàm số liên tục trên R và
f(−2) = −1 ; f(0) = 1 ; f(1) = −1 ;f(2) = 3
⇒ f(−2).f(0) = −1 < 0 ,f(0).f(1) = −1 < 0,f(1).f(2) = −3 < 0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng (−2;0),(0;1),(1;2) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm. 2. Phương trình ⇔ − = 3 − ⇔ − 3 2x 3 6 x 1 (2x 3) − 216(x − 1) = 0 Xét hàm số = − 3
f(x) (2x 3) − 216(x − 1) , ta có hàm số liên tục trên R và
f(−4) = −251,f(0) = 189,f(1) = −1,f(7) = 35
Suy ra ⇒ f(−4).f(0) < 0 ,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < 0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng (−4;0),(0;1),(1;7) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 10 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 Bài 2 1. Ta có hàm số = ( − )3
f(x) m x 1 (x + 2) + 2x + 3 liên tục trên R và
f(1).f(−2) = −5 < 0 ⇒ phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;1) 2. Điều kiện : π x ≠ k ,k ∈ 2
Xét hàm số f(x) = sin x − cosx − m sin xcosx ,liên tục trên π 0; và 2 π
f(0).f( ) = −1 < 0 do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm 2 π π x ∈ 0; ⇒ x ≠ 0 k 2 0 2
Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
3. Hàm số f(x) = m(x − a)(x − c) + n(x − b)(x − d) liên tục trên R và = 2
f(a).f(c) n (a − b)(a − d)(c − b)(c − d) ≤ 0 ⇒ phuowngt rình đã cho có ít nhất một nghiệm. Bài 3 Đặt = 2 f(x) ax + bx + c
• c = 0 ⇒ f(x) = 0 có nghiệm x = 0 • c ≠ 0 ta có m + 1 −c f(0) = c;f = m + 2 m (m + 2) + − 2 m 1 c ⇒ f(0).f =
0 , suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm. m 2 m (m 2) < + +
Bài 4. Gọi f(x) là vế trái của các phương trình
1. Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên và f(1).f(−1) = −3 < 0
Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (−1;1) .
2. Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên và 3 f(−2)f(− ) < 0; 2 3 1 1
f(− )f(−1) < 0;f(−1).f( ) < 0;f( )f(1) < 0;f(1)f(3) < 0 2 2 2
Nên ta có điều phải chứng minh.
3. Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên và = − − − − 2 f(a)f(b)f(c) abc (a b)(b c)(c a) < 0
Nên ta có điều phải chứng minh.
4. Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên và lim f(x). lim f(x) < 0 x→−∞ x→+∞
Nên ta có điều phải chứng minh.
5. Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên và f(1).f(2) < 0
Nên ta có điều phải chứng minh. 2 Bài 5 Ta xét n n n f( ) = a + b + c . 2 m m m 2 Mặt khác từ : a b c + + = 0 m n n 1 m ⇒ a. + b + c + c( − ) = 0 m n p 2 2 n m m 2 p n 2 m n n − pm n pm − 2 n pm − 2 n ⇔ f( ) + c. = 0 ⇔ f( ) = c = f(0) 2 2 n m pn m pm pm * Xét c = 0
Nếu a = 0 ⇒ b = 0 ⇒ f(x) là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 11 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Nếu a ≠ 0 , từ giả thiết b n ⇒ − =
< 1 và f(x) = x(ax + b) = 0 a m b ⇔ x = − ∈(0;1) a n pm − 2 * Xét c n ≠ 0 , ta có: f .f(0) n = 2 f (0) <
0 ⇒ f(x) có nghiệm x∈(0; ) ⊂ (0;1) . m pm m Bài 6.
1. Xét hàm số g(x) = f(x) − x ,ta có y = g(x) liên tục trên 0;
1 và g(0)g(1) < 0 nên tồn tại c ∈ 0; 1 : g(c) = 0 ⇔ f(c) = c .
2. • Nếu f(0) = 0 thì ta chọn c = 0 . • Nếu f(0) > 0 .
Xét hàm số g(x) = f(x) − x , ta có hàm g liên tục trên [0;+∞) và g(0) > 0 Vì f(x) lim f(a)
= L < 1 nên tồn tại số a > 0 sao cho < 1 ⇒ g(a) < 0 x→+∞ x a
⇒ g(0).g(a) < 0 nên tồn tại số thực c ∈(0;a) sao cho g(c) = 0 Hay là f(c) = c . x x x 3. Ta có: f(x) = f = f = ... = f 3 2 3 n 3 Cho x n → ∞ ⇒ → 0, ∀ x n 3 Suy ra: f(x) = f(0) = a, ∀ x∈ Vậy f là hàm hằng. 4. Xét hàm số 1 g(x) n 1 = f x + −
f(x) , ta có g là hàm liên tục trên − 0; n n n−1 n− k
1 k + 1 k Và ∑ g = ∑ f −
f = f(1) − f(0) = 0 k=0 n k=0 n n i j
Suy ra tồn tại hai chỉ số i, j∈{0,1,...,n − }
1 sao cho : g .g < 0 n n Hay phương trình : 1
g(x) = 0 ⇔ f(x) − f(x + ) = 0 có nghiệm trên 0; 1 . n Bài 7.
1. Xét hàm số : g(x) = nf(x) − f(x ) − f(x ) − . . − 1 2
f(xn) liên tục trên [a ;b].
Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó tồn tại α,β∈ a,b sao cho f(α) = m, β f( ) = M ⇒ g(α).g β ( ) < 0 . 2. Hàm số : = − 2
f(x) cosx x liên tục trên và f(0).f(1) = 1(cos1 − 1) < 0
Suy ra ∃α ∈(0;1) : f(α) = 0 hay α = α2 cos
Mặt khác hàm số y = cosx là hàm nghịch biến trên (0;1) , hàm = 2
y x là hàm đồng biến trên (0;1) nên α là số duy nhất.
Hàm số g(x) = xtan x − 1 liên tục trên (0;1) và f(0).f(1) = −1(tan1− 1) < 0 , đồng thời hàm số g(x) đồng biến trên
(0;1) nên tồn tại duy nhất số thực β∈(0;1) sao cho βtanβ − 1 = 0 .
Vì sin x < x ∀x > 0 nên sinα g(α) = − 1 < 0 = f β ( ) ⇒ α < β . α ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 12 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 3 x 0 x 4 Câu 1. Điều kiện: TXD D 4; 3
hàm số liên tục trên 4;
3 . Xét tại x 3, ta có x 4 0 x 3 f x 1 1 lim lim 3 x f 3
Hàm số liên tục trái tại x 3. x3 x3 x 4 7
Vậy hàm số liên tục trên 4; 3 . Chọn C.
Câu 2. Vì 2sin x 3 0 với mọi TXD x D
Hàm số liên tục trên . Chọn D.
Câu 3. Vì f x liên tục trên nên suy ra 2 f f x x 3x 2 1 lim lim
limx2 1. Chọn D. x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 4. Vì f x liên tục trên 3; 3 nên suy ra f f x x 3 3 x 2 1 0 lim lim lim . Chọn B. x0 x0 x0 x
x 3 3 x 3
Câu 5. Vì f x liên tục trên 4; nên suy ra x
f 0 lim f x lim
lim x 4 2 4. Chọn C. x0 x0 x0 x 4 2
Câu 6. Tập xác định: D , chứa x 2 . Theo giả thiết thì ta phải có 2
m f f x x x 2 2 lim lim limx 1 3. Chọn D. x2 x2 x2 x 2
Câu 7. Hàm số xác định với mọi x . Theo giả thiết ta phải có
x x x x 1 2 3 2 x 2 2 2
3 m f
1 lim f x lim lim lim 2
x 2 3 m 0. Chọn A. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 8. Hàm số f x có TXĐ: D 0;. Điều kiện bài toán tương đương với
Ta có: k y x 1 1 1 1 1 1 lim y lim lim
k . Chọn C. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2
Câu 9. Hàm số f x có tập xác định là 1;. Theo giả thiết ta phải có 3 x 3 x x1 2 m f
3 lim f x lim lim
lim x 1 2 4. x3 x3 x3 x3 x 1 2 x 3 Chọn B.
Câu 10. Với mọi x 0 ta có
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 13 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 0 f x 1 2 2
x sin x 0 khi x 0
lim f x 0. x x0
Theo giải thiết ta phải có: m f 0 lim f x 0. Chọn C. x0 Câu 11. Tập xác định: 3
3
D k | k
k; k ; 2 k 2 2 2 2 2 2 Ta có f x tan x sin x 1 1 lim lim lim . 1. 1
0 f 0
f x không liên tục tại x 0. Chọn A. x0 x0 x0 x x cos x cos 0
Câu 12. Tập xác định D .
Điều kiện bài toán tương đương với f x sin x m f 1 lim lim x 1 x 1 x 1
sin x
sin x 1
sin x 1 lim lim lim . * . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Đặt t x
1 thì t 0 khi x 1. Do đó (*) trở thành: sin t m lim . . Chọn A. t0 t
Câu 13. Hàm số xác định với mọi x . Điều kiện củz bài toán trở thành: 2 x x x 2 2 2 sin sin 2 cos
m f f x 1 cos x 2 2 1 2 2 2 lim lim lim lim lim * x
x 2
x 2 x 2
2 x x x x x 2 2 2 Đặt x 1 sin t 1 1 t
0 khi x 1. Khi đó (*) trở thành: 2 m lim .1 . 2 2 t0 2 t 2 2 Chọn C.
Câu 14. Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ;
1 ,1;0 và 0; .
(i) Xét tại x 1, ta có x x 1 2 4 x x x x 1
lim f x lim lim lim 2
x x 1 3 f 1 . 2 x1 x1 x1 x x xx x1 1
hàm số y f x liên tục tại x 1.
(ii) Xét tại x 0 , ta có x x 1 2 4 x x x x 1
lim f x lim lim lim 2
x x 1 1 f 0 . 2 x0 x0 x0 x x xx x0 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 14 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
hàm số y f x liên tục tại x 0 . Chọn B.
Câu 15. Hàm số y f x có TXĐ D . x x 1
Hàm số f x
liên tục trên mỗi khoảng ; 1 , 1; 1 và 1; . 2 x 1 xx 1
(i) Xét tại x 1, ta có f x x 1 lim lim lim f 1
Hàm số liên tục tại x 1. 2 x1 x1 x1 x 1 x 1 2 xx f x 1 x lim lim lim 2
(ii) Xét tại x 1, ta có x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 y f x x Hàm số gián đoạn tại 1 . Chọn B. x x f x 1 x lim lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 16. TXĐ: D . Hàm số liên tục trên mỗi khoảng ; 2; 2; .
Khi đó f x liên tục trên f x liên tục tại x 2
lim f x f 2 lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 x 2 f 2 2 4m m 1
Ta có lim f x lim 1mx 21m * 2
4m 21m 1 . x 2 x 2 m f x 2 2 2 2 lim
lim m x 4m x2 x 2 Chọn A.
Câu 17. Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng 0;4 và 4;6 . Khi đó hàm số liên tục trên đoạn 0;6 khi và chỉ khi hàm số
liên tục tại x 4, x 0, x 6 .
lim f x f 0 x0
Tức là ta cần có lim f x f 6 . * x 6 lim f
x lim f x f 4 x4 x 4 lim f
x lim x 0 x 0 x 0 ;
f 0 0 0
lim f x lim 1m1m x 6 x 6 ;
f 6 1 m lim f
x lim x 2 x4 x 4 li
m f x lim 1 m 1 m; x 4 x 4
f 41m
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 15 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Khi đó * trở thành 1m 2 m 1 2. Chọn A.
Câu 18. Hàm số f x liên tục trên ;
1 và 1;. Khi đó hàm số đã cho liên tục trên khi và chỉ khi nó liê tục tại
x 1, tức là ta cần có
lim f x f
1 lim f x lim f x f 1 . * x 1 x 1 x 1 x 2 khi 1 x
lim f x lim 2 x 1
Ta có f x x 1 x 1 a khi 1 x * a
không tỏa mãn với mọi . Vậy không tồn tại lim
f x lim x 2 1 2 x khi 1 x x 1 x 1
giá trị a thỏa yêu cầu. Chọn C.
Câu 19. Hàm số xác định và liên tục trên 0;
1 . Khi đó f x liên tục trên 0;
1 khi và chỉ khi lim f x f 1 . * x 1 f 1 a Ta có 2 * x a 4. Chọn A. f x 1 lim lim lim x 1 x 1 4 x 1 x 1 x 1 x 1
Câu 20. Dễ thấy hàm số liên tục trên ; 1 và 1;.
f 12
Ta có lim f x lim 2x 2 f x x liên tục tại 1. x 1 x 1 f x x 1 lim lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1
Vậy hàm số f x liên tục trên . Chọn D.
Câu 21. Điều kiện bài toán trở thành: lim f x lim f x f 3 . * x 3 x 3 f 2 3 13a 2
x 2 4x 3 5 6 x x x
Ta có lim f x lim lim 3 x 3 x 3 x 3 4x 3 x 1 x
lim f x lim 2 1 a x 3 1 3a . x3 x 3 * 2 2 a a . Chọn A. min 3 3
Câu 22. Ta cần có lim f x lim f x f 2. * x 2 x 2 f 2 7 2 2a 4 3 3x 2 2 1
Ta có lim f x lim
* a 1 a 1. max Chọn C. x 2 x 2 x 2 4
lim f x 1 7 2 2 lim a x 2a x 2 x 2 4 4
Câu 23. Hàm số xác định với mọi x .
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 16 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
Ta có f x liên tục trên ;
0 và 0;.
f 01
Mặt khác lim f x lim 1cos x1cos0 0 f x x gián đoạn tại 0. x 0 x 0
lim f x lim x1 011 x0 x 0 Chọn C.
Câu 24. Ta có f x liên tục trên ; 1 , 1; 1 , 1;. f 1 cos 0 Ta có 2 f x x gián đoạn tại 1. Chọn A. lim f
x lim x 1 2 x 1 x 1 f 1 cos 0 2
Ta có lim f x lim x 1 0 f x x liên tục tại 1. x 1 x 1 x
lim f x lim cos 0 x 1 x 1 2
Câu 25. Dễ thấy tại điểm có hoành độ x 1 đồ thị của hàm số bị '' đứt '' nên hàm số không liên tục tại đó.
Cụ thể: lim f x 0 3 lim f x nên f x gián đoạn tại x 1. Chọn B. x 1 x 1
Câu 26. Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0; 1 và 1; .
f 00 2 x
Ta có lim f x lim lim x 0 f x x liên tục tại 0. x 0 x 0 x 0 x 2 x
lim f x lim lim x 0 x0 x 0 x 0 x
f 11 2 x
Ta có lim f x lim lim x 1 f x x liên tục tại 1. x 1 x 1 x 1 x
lim f x lim x 1 x 1 x 1
Vậy hàm số y f x liên tục trên . Chọn A.
Câu 27. Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y f x liên tục trên mỗi khoảng ; 1 ,1; 3 và 3;.
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 17 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 f 1 4 Ta có 2 1 f x x x gián đoạn tại 1.
lim f x lim limx 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 f 3 2 Ta có 2 1 f x x x gián đoạn tại 3.
lim f x lim lim x 1 4 x 3 x 3 x 1 x 3 Chọn D.
Câu 28. Hàm số y hx có TXĐ: D .
Dễ thấy hàm số y hx liên tục trên mỗi khoảng ;
0,0;2 và 2; . h 01 Ta có f x x không liên tục tại 0 . lim hx lim 2x 0 x 0 x 0 h 25
Ta có lim hx lim
liên tục tại x 2 . 2 x 1 5 f x x2 x 2 lim h
x lim 3x 1 5 x2 x 2 Chọn A.
Câu 29. Hàm số xác định với mọi x .
Điều kiện bài toán trở thành lim f x lim f x f 1 . * x 1 x 1
f 12
Ta có lim f x lim 2 m x 2 1 m 1 * 2 m 1 2 x 1 x 1 lim
f x lim 2 x x 2 x 1 x 1 m 1 S 0. Chọn B.
Câu 30. Hàm số y f x có TXĐ: D .
Dễ thấy f x liên tục trên mỗi khoảng ; 0,0; 1 và 1; .
f 00
Ta có lim f x lim x cos x 0 f x x liên tục tại 0 . x 0 x 0 2 x
lim f x lim 0 x0 x 0 1 x
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 18 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
f 11 2 x 1
Ta có lim f x lim f x x không liên tục tại 1 . x 1 x 1 1 x 2
lim f x 3 lim x 1 x 1 x 1 Chọn C.
Câu 31. (i) Hàm f x là hàm đa thức nên liên tục trên A đúng. f 1 1 0 (ii) Ta có
f x
có nghiệm x trên 2; 1 , mà 1 f 0 2 23 0 2;
1 2;0 ; 1 B sai và C đúng Chọn B.
f 0 1 0 (iii) Ta có
f x 0 1 1
có nghiệm x thuộc 1
0; . Kết hợp với (1) suy ra f x 0 có các nghiệm x , x 2 1 2 f 0 2 2 2 thỏa: 1
3 x 1 0 x D đúng. 1 2 2
Câu 32. Hàm số f x 4 2
2x 5x x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Ta có f 01 (i) f
1 . f 0 0
f x
có ít nhất một nghiệm x thuộc 1;0. 1 f 0 1 3 f 01 (ii)
f 0. f 1 0
f x
có ít nhất một nghiệm x thuộc 0; 1 . 2 f 0 1 1 f 1 1 (iii) f
1 . f 2 0
f x 1;2 .
có ít nhất một nghiệm x thuộc 3 f 0 2 15
Vậy phương trình f x 0 đã cho có các nghiệm x , x , x thỏa 1 2 3
1 x 0 x 1 x 2 Chọn D. 1 2 3
Câu 33. Hàm số f x 3
x 3x 1 là hàm đa thức có tập xác định là nên liên tục trên . Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng 2; 1 , 1;0, 0;2. Ta có
f 2 3
f 2 f 1 0 1 2;1 .
có ít nhất một nghiệm thuộc f 1 1 f 1 1 f 1 f 0 0 1 1;0 .
có ít nhất một nghiệm thuộc f 0 1
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 19 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018 f 21
f 2 f 0 0 1 0;2 .
có ít nhất một nghiệm thuộc f 0 1
Như vậy phương trình
1 có ít nhất ba thuộc khoảng 2;2 . Tuy nhiên phương trình f x 0 là phương trình bậc ba có
nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f x 0 có đúng nghiệm trên . Chọn D.
Cách CASIO. (i) Chọn MODE 7 (chức năng TABLE) và nhập: 3
F ( X ) X 3X 1.
(ii) Ấn “=” và tiếp tục nhập: Start 5 (có thể chọn số nhỏ hơn).
End 5 (có thể chọn số lớn hơn).
Step1 (có thể nhỏ hơn, ví dụ 1 ). 2
(iii) Ấn “=” ta được bảng sau:
Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a và b a b sao cho tương ứng bên cột F(X ) nhận các giá trị trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm ;
a b . Có bao nhiêu cặp số a, b như thế sao cho khác khoảng ;
a b rời nhau thì phương trình f x 0 có bấy nhiêu nghiệm.
Câu 34. Ta có f x 5 f x5 0 . Đặt gx f x5. Khi đó g 1 f 1 5 2 5 3 g 1 g 4 0.
g 4 f 45 7 5 2
Vậy phương trình gx 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 1;4 hay phương trình f x 5 có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng 1;4. Chọn B.
Câu 35. Xét hàm số f x 3 2
x 3x 2m 2x m 3 liên tục trên .
● Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x , x , x
x 1 x x
f x x x x x x x 1 2 3 sao cho 1 2 3 . Khi đó . 1 2 3 Ta có f
1 1 x 1 x 1 x 0 (do x 1 x x ). 1 2 3 1 2 3 Mà f 1 m 5 nên suy ra m
5 0 m 5.
● Thử lại: Với m 5 , ta có
▪ lim f x nên tồn tại a 1 sao cho f a 0 . 1 x
▪ Do m 5 nên f 1 m 5 0 . 2
▪ f 0 m3 0 . 3
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 20 Tµi liÖu to¸n 11 n¨m häc 2018
▪ lim f x nên tồn tại b 0 sao cho f b 0 . 4 x Từ
1 và 2 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; 1 ; Từ 2 và
3 , suy ra phương trình có nghiệm
thuộc khoảng 1;0 ; Từ
3 và 4 , suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;.
Vậy khi m 5 thỏa mãn m
m 9;8;7;6 . Chọn C. m 10;10
Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 21
Document Outline
- BÀI 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ
- BÀI 1. ĐÁP ÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ
- BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
- BÀI 2. ĐÁP SỐ GIỚI HẠN HÀM SỐ
- BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
- BÀI 3. ĐÁP ÁN HÀM SỐ LIÊN TỤC