Các dạng toán và bài tập giới hạn và liên tục – Nguyễn Trọng
Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN Mục lục
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ................................................................................................. 1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................... 2
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................... 3
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................... 22
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ .............................................................................................. 25
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT .................................................................................................. 25
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ............................................................................................. 26
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ..................................................................................................... 70
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ...................................................................................................... 113
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................................................ 113
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ........................................................................................... 114
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN ................................................................................................... 138
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV .................................................................................................. 139
A. BÀI TẬP .......................................................................................................................... 139
B. LỜI GIẢI.......................................................................................................................... 145 1
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0 ). Ta nói dãy số (u có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý n )
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số
dương đó. Khi đó ta viết lim u = 0 hay limu = 0 hay u → 0 khi n → + . n n n n→+
Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a ). Ta nói dãy số (u có giới hạn là số thực a nếu lim(u − a = . Khi n ) 0 n )
đó ta viết lim u = a hay limu = a hay u → a khi n → + . Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là n n n n→+
dãy số có giới hạn hữu hạn.
Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).
1. Ta nói dãy số (u có giới hạn là + khi n → + nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, n ) n
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu: limu = + hay u → + khi n → + . n n
2. Dãy số (u có giới hạn là − khi n → + nếu lim( u − = + . n ) n )
Ký hiệu: limu = − hay u → − khi n → + . n n
GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Các giới hạn đặc biệt
Các giới hạn đặc biệt • 1 • k * = + lim n , (k ). lim = 0, k . k ( * ) n • n = • lim q 0, (q )1. lim n q = 0, ( q ) 1 .
• limC = C , (C )
Định lí 1. Nếu limu = a và limv = b thì Định lí 2. n n
• lim(u v = a b .
• Nếu limu = a và limv = thì n n ) n n • u
lim(u v = a b . n = . n n ) lim 0 vn • u a lim n = (b 0).
• Nếu limu = a 0 và limv = 0 và v b n n n • u
Nếu u 0, n
và limu = a thì a 0 v 0, n
thì lim n = + . n n n vn và lim u = a . n
• Nếu limu = + và limv = a 0 thì n n
lim(u v = + . n n )
Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số (u ),(v ), w . Lúc đó, nếu u v w , n và n n ( n ) n n n
limu = lim w = a , a
thì limv = a . n n ( ) n
Định nghĩa 4. Cấp số nhân (u có công bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu q 1. n )
Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u có công bội q . Với mỗi * n
, đặt S = u + u + ...+ u . Lúc n ) 1 2 n đó: u1 lim S = n (4 ) .1 1 − q
Định nghĩa 5. Giới hạn ( )
4.1 được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u và được ký hiệu là n ) 2
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
S = u + u + ... + u 1 2 n Như vậy: u1 S = lim S = , q n ( )1 1 − q
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP P (n)
Dạng 1. Tính giới hạn L = lim
với P(n),Q(n) là các đa thức. Q (n) Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức: • * = + • c lim k n (k ). = ( * lim 0, k , c . k ) n limu = − = + • n
lim(u v = − . n n ) • limu n
lim(u v = + . lim v = a 0 n n ) n lim v = a 0 n limu = − = + • n
lim(u v = + . n n ) • limu n
lim(u v = − . lim v = a 0 n n ) n limv = a 0 n VÍ DỤ 2 4n n 1
Ví dụ 1. Tính giới hạn L lim . ĐS: L = 2 2 3 2n Lời giải 1 1 2 1 1 n 4 − − − − 2 4 2 n n 4 − 0 − 0 Ta có = lim = lim n n L = = 2 . 3 3 + 2 0 2 n + 2 + 2 2 2 n n P (n)
Nhận xét: Nếu bậc tử P (n) bằng bậc mẫu Q(n) thì lim
= (Hệ số bậc cao nhất của tử) Q (n)
(Hệ số bậc cao nhất của mẫu). 5 4 2 2n n 4n 1
Ví dụ 2. Tính giới hạn L lim . ĐS: 128 L = 4 6 2 20n 2n n 1 5 Lời giải 5 4 1 2 2 n 2 − n 4 − n n Ta có L = lim 4 3 1 6 2 20n n 2 − + 2 n n 3
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 5 4 5 4 1 2 1 2 10 4 n 2 − n 4 − 2 − 4 − n n n n (2−0)5 (4−0)4 128 = lim = lim = lim = 4 4 3 1 3 1 20(2 − 0 + 0)4 5 6 8 20n n 2 − + 20 2 − + 2 2 n n n n
Nhận xét: Với bài toán có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau đó áp dụ n ng công thức ( . ) n = . n a b
a b và tính toán như các bài trước. 2 n − n + 3
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim . ĐS: L = 0 3 n + 2n Lời giải 1 3 2 1 3 n 1− + − + 2 1 2 n n 1 1− 0 + 0 Ta có = lim = lim . n n L = 0. = 0 2 n 2 + 3 1 0 n 1+ 1+ 2 2 n n P(n)
Nhận xét: Nếu bậc tử P (n) nhỏ hơn bậc mẫu Q (n) thì L = lim = 0 Q(n) 3 2n −11n +1
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = lim . ĐS: L = + 2 n − 2 Lời giải 11 1 3 11 1 n 2 − + − + 3 2 3 n n = lim = lim . n n L n = + 2 2 2 n 1− 1− 2 2 n n 11 1 2 − + 3
(vì lim n = + và lim n n = 2 0 ). 2 1− 2 n P(n)
Nhận xét: - Nếu bậc tử P (n) lớn hơn bậc mẫu Q (n) thì L = lim = . Q(n)
- Để biết là + hay − ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng
dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thông thường, sẽ để dấu = và xét dấu
sẽ điền vào sau.
- Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. 1+ 3 + 5 + 7 + (2n +1)
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = lim . ĐS: 1 L = 2 3n + 4 3 Lời giải
Xét cấp số cộng 1,3,5, 7,9,..., 2n +1 có số hạng đầu tiên u = 1 công sai d = 2 và số hạng cuối 1
cùng là u = 2n +1ta có: m
u + (m −1)d = 2n +1 1+ 2(m −1) = 2n +1 m = n +1. 1 4
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Vậy cấp số cộng có n +1 số hạng. Suy ra tổng m n +1 2 S = 1+ 3 + 5 + 7 +
+ 2n +1= (u + u ) =
(1+ 2n +1) = n + 2n +1 1 2 m 2 2 1 2 2 1 n 1 2 2 1 2 n 2n 1 n n 1 0 0 1 Vì thế lim lim lim n n L . 2 3n 4 4 4 2 3 0 3 n 3 3 2 2 n n
Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng: u
− u = d , với d là công sai. k 1 + k
u = u + n −1 d , với d là công sai. n 1 ( ) u u 2u , k 2 . k 1 k 1 k n S u u u u u . n 1 2 n 1 2 n 1 1 1 1 1
Ví dụ 6. Tính giới hạn L = lim + + + + + ĐS: L = 1 n (n + ) . 1.2 2.3 3.4 4.5 1 Lời giải 1 1 1 Số hạng tổng quát = − ;( k
=1,2,..., n) do đó k(k+1) k k +1 1 1 1 1 1 1 1 1 L = lim 1− + − + − + − + − 2 2 3 3 4 4 n n +1 1 n 1 1 = lim 1− = lim = lim = =1 n +1 n +1 1 1+ 0 1+ n 1 a b 1 1
Nhận xét: Phân tích = + a = =1;b = = 1 − k (k + ) 1 k k + với 1 k + . 1 k k =0 k = 1 −
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính giới hạn sau: 2 3n n 5 3 n n 3 a) L lim ; b) L lim ; 2 2n 1 3 3 2n 3n 1 2 9 3 4 6n 2n 1 2n 1 n 2 c) L lim ; d) L lim ; 3 2 5n n n n 1 17 n 1 2 3 3 2 2n 1 3 4n 2 3n 1 2n 5 9n 4 e) L lim ; f) L lim ; 3 2 4 4n 2 2 n 3 2 2n 4 2n 1 2n 7 5
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 n 2 n 1 g) L lim . 2 2 n 1 2n 3
Bài 2. Tính giới hạn sau: 3 2 7n + 2n +1 7n + 3 a) L = lim ; b) L = lim ; 4 3
n + 5n + n 2 3 2n + 3n + 4 2 n + 4n − 5 3 2 2 − n + 3n + 4 c) L = lim ; d) L = lim ; 3 2 3n + n + 7 4 3
n + 4n + n 2 2 − n + n + 2 e) L = lim . 4 3n + 5
Bài 3. Tính giới hạn sau: 3 n − 5n + 3 4 3 2
5n − n + 5n + 3 a) L = lim ; b) L = lim ; 2 3n + n −1 2 3 n − 3n −1 4 2 3n + 2n −1 5 4
3n − 2n + 2n + 7 c) L = lim ; d) L = lim ; 3 n + 2n + 9 4 3 2 6
− n + 2n + n −1
Bài 4. Tính giới hạn sau: 1+ 2 + 3 + ... + n
1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − ) 1 a) L = lim ; b) L = lim ; 2 3n +1 2 n + 3n +1 1+ 2 + 3 + ... + n
5 + 9 +13 + ... + (4n − 3) c) L = lim ; d) L = lim ; 2 2n − n + 9 2 3n + 5n −1
1− 2 + 3 − 4 + ... + (2n − ) 1 − 2n 1 1 1 1 e) L = lim ; f) L = lim[ + + +...+ ]; 2n +1 1.3 2.4 3.5 n (n + 2) 1 1 1 1 g) L = lim[ + + +...+ ] ; 1.3 3.5 5.7 (2n− ) 1 (2n + ) 1 1 1 1 1 h) L = lim[ + + +...+ ] . 1.3 3.5 5.7 (2n− ) 1 (2n + ) 1 LỜI GIẢI 1 5 2 1 5 n 3 2 2 3 2 3n n 5 n n 3 0 0 3 Bài 1. a) lim lim lim n n L . 2 2n 1 1 1 2 2 0 2 n 2 2 2 2 n n 6
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 3 3 n 1 1 3 3 2 3 1 n n 3 n n 2 3 1 b) L lim lim lim n n . 2 3 2n 3n 1 2 1 2 1 3 3 n 3 3 3 n n 3 n n 2 1 3 2 1 n 6 3 3 2 3 6 2 3 6n 2n 1 6n 2n 1 n n 3 c) lim lim lim lim n n L . 3 2 3 2 5n n n n 1 4n n n 1 1 1 1 3 2 n 4 4 2 2 n n n n 2 9 2 9 1 2 1 2 8 9 2 9 4 n 2 n 1 2 1 4 4 2n 1 n 2 n n n n d) L lim lim lim 17 n 1 1 1 17 n 1 1 17 17 n n 2 9 (2 + 0) .(1+ 0) = lim = 4 . 1+ 0 2 2 1 3 1 3 ( n − n − − − 2n − ) 1 (3− 4n ) 2 3 2 3 2 4 2 4 3 3 n n n n e) L = lim = = ( 4n + 2) lim lim 3 (2 − n)2 3 2 3 2 2 1 2 1 3 2 n 4 + n 2 − 4 + 2 − n n n n 2 2 0 0 4 1 lim . 3 2 4 0 2 0 4 (3n − )3 1 (2n + 5)2 2 (9n+ 4) f) L = lim ( 2n − 4)4 ( 3 2n + ) 1 ( 2 2n − 7) 3 2 3 2 1 5 4 2 1 5 4 n 3 − n 2 + n 9 + 3 − 2 + 9 + 2 n n n 2 n n n L = lim = lim 4 4 4 1 7 4 1 7 4 3 2 n 2 − n 2 + n 2 − 2 − 2 + 2 − 3 2 n n n 3 2 n n n 3 2 3 0 2 0 9 0 243 lim . 4 2 0 2 0 2 0 16 3 3 ( n + n − + − n + 2) 2 1 2 1 (n− ) 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 n n n n g) L = lim = lim = lim ( n + ) 1 (2n + 3)2 2 2 2 1 3 1 3 4 n 1+ n 2 + 1+ 2 + 2 2 n n n n 3 1 0 1 0 1 lim . 2 1 0 2 0 4 7
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 1 3 2 1 n 7 + + + + 3 2 3 7 7n + 2n +1 n n 3 1 Bài 2. a) L = lim = lim = lim . n n = 0 4 3
n + 5n + n 5 1 n 5 1 4 n 1+ + 1+ + 3 n n 3 n n 2 1 7 1 3 (Vì lim 0; và lim n n 7 ). n 5 1 1 3 n n 3 3 n 7 7 7n 3 n 1 b) L lim lim lim . n 0 2 3 2n 3n 4 2 2 4 n 2 4 3 n 3 3 3 3 n n n n 3 7 1 7 (Vì lim 0 và lim n ). 2 n 2 4 3 3 3 n n 4 5 2 n 1+ − 4 5 + − 2 2 1 n + 4n − 5 n n 2 1 c) L = lim = lim = lim . n n = 0 3 2 3n + n + 7 1 7 n 1 7 3 n 3 + + 3 + + 3 n n 3 n n 4 5 1+ − 1 2 1 (Vì n n lim = 0 và lim = ). n 1 7 3 3 + + 3 n n 3 4 3 n 2 − + + 3 2 2 − n + 3n + 4 3 n n d) L = lim = lim 4 3 n + 4n + n 4 1 4 n 1+ + 3 n n 3 4 3 4 2 2 3 1 1 3 lim . n n 0 (Vì lim 0 và n n lim 2 ). n 4 1 4 1 1 n 1 3 n n 3 n n 1 2 2 1 2 n 2 − + + − + + 2 2 2 − n + n + 2 2 2 n n 1 e) L = lim = lim = lim . n n = 0. 4 3n + 5 2 5 n 5 4 n 3 + 3 + 4 4 n n 1 2 2 1 2 2 (Vì lim 0 và lim n n ). 2 n 5 3 3 4 n 8
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 5 3 3 5 3 n 1− + − + 3 2 3 1 − + 2 3 n 5n 3 n n Bài 3. a) = lim = lim = lim . n n L n = + 2 3n + n −1 1 1 1 1 2 n 3 + − 3+ − 2 2 n n n n 5 3 1− + 2 3 1
(Vì lim n = + và lim n n = ). 1 1 3 3 + − 2 n n 1 5 3 4 1 5 3 n 5 − + + − + + 4 3 2 2 4 5 − + + 2 4 5n n 5n 3 n n n b) = lim = lim = lim . n n n L n = − . 2 3 n − 3n −1 1 1 1 1 3 n − 3 − − 3− 3 3 n n n n 1 5 3 5 − + + 2 4 5
(Vì lim n = + và lim n n
n = − ). 1 1 3 − 3− 3 n n 2 1 4 2 1 n 3 + − + − 4 2 2 4 3 + − 2 4 3n 2n 1 n n c) = lim = lim = lim . n n L n = + . 3 n + 2n + 9 2 9 2 9 3 n 1+ + 1+ + 2 3 2 3 n n n n 2 1 3 + − 2 4
(Vì lim n = + và lim n n = 3). 2 9 1+ + 2 3 n n 2 2 7 5 2 2 7 n 3 − + + − + + 5 4 4 5 3 − + + 4 5 3n 2n 2n 7 n n n d) = lim = lim = lim . n n n L n = − . 4 3 2 6
− n + 2n + n −1 2 1 1 2 1 1 4 n 6 − + + − 6 − + + − 2 4 2 4 n n n n n n 2 2 7 3 + + + 4 5 1
(Vì lim n = + và lim n n n = − ). 2 1 1 2 6 − + + − 2 4 n n n n (n + ) 2 1 n + n Bài 4.
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1+ 2 + 3 + ... + n = = 2 2 2 + 2 1 2 1+ 2 + 3 + ... + n n + 2 1 Do đó = lim = lim = lim n L = . 2 2 3n +1 6n + 2 2 6 6 + 2 n (1+ 2n−1 )n
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − ) ( ) 2 1 = = n 2 9
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − ) 2 1 Do đó n 1 L = lim = lim = lim =1. 2 2 n + 3n +1 n + 3n +1 3 1 1+ + 2 n n n (n + ) 2 1 n + n
c) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 1+ 2 + 3 + ... + n = = 2 2 1 + 2 1 1+ 2 + 3 + ... + n n + n 1 Do đó = lim = lim = lim n L = . 2 2 2n − n + 9 4n − 2n +18 2 18 4 4 − + 2 n n
d) Xét cấp số cộng với u = 5; d = 4 1 + n − n − u = 5+ n −
= n − + + + + n − = = n − n − n−
( 2)4 4 3 5 9 13 ... (4 3) (5 4 3)( ) 1 2 2 1 1 2 1 1 − −
5 + 9 +13 + ... + (4n − 3) 2 2 2 2n − n −1 2 Do đó = lim = lim = lim n n L = . 2 2 3n + 5n −1 3n + 5n −1 5 1 3 3 + − 2 n n e) Ta có
1− 2 + 3 − 4 + ... + (2n − )
1 − 2n = (1− 2) + (3 − 4) + ... + ((2n − ) 1 − 2n) = (− ) 1 + (− ) 1 + ... + (− ) 1 = −n
1− 2 + 3 − 4 + ... + (2n − ) 1 − 2n − − Do đó n 1 1 L = lim = lim = lim = − . 2n +1 2n +1 1 2 2 + n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f) Ta có + + +...+ = − + − + + − n (n + ) ... 1.3 2.4 3.5 2 2 1 3 2 4 n n + 2 1 1 1 1 3 1 1 = 1+ − − = − − 2 2 n +1 n + 2 4 2n + 2 2n + 4 1 1 1 1 3 1 1 3 Do đó L = lim[ + + +...+ ]=lim − − = . 1.3 2.4 3.5 n (n + 2)
4 2n + 2 2n + 4 4 g) Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +...+ ( = − + − + + − = − n − )( n + ) ... 1 1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 2 1 3 3 5 2n −1 2n +1 2 2n +1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó L = lim[ + + +...+ ( − = .
n − )( n + ) ]= lim[ 1 ] 1.3 3.5 5.7 2 1 2 1 2 2n +1 2 1 1 1 1 h) Ta có + + +...+ 1.4 4.7 7.10 (3n−2)(3n+ ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1− + − + − +...+ + = 1− . 3 4 4 7 7 10 3n − 2 3n +1 3 3n +1 10
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC P (n)
Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim
với P (n),Q (n) là các hàm mũ n a . Q (n) Phương pháp giải: Áp dụng lim n
q = 0 với q 1 .
Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả và mẫu cho n
a với a là cơ số lớn nhất.
Công thức mũ cần nhớ m − a m+n m = . n a
a a và m n a = . n a VÍ DỤ n n+2 − + Ví dụ 1. 1 3 4.5
Tính giới hạn L = lim . ĐS: L = 20 n 1 + n+2 n 1 2 + 3 + 5 + Lời giải
Chia cả tử và mẫu cho 5n , ta có n n 1 3n 1 3 − +100 − +100 5n 5n 5 5 0 − 0 +100 L = lim = lim = = 20. 2n 3n n n 2 3 0 + 0 + 5 2. + 9. + 5 + + n n 2. 9. 5 5 5 5 5
Nhận xét: Ta chia cho n
a với a là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt
đối nhỏ hơn 1 để áp dụng công thức lim n
q = 0 với q 1 . 2 3 n + + + + + Ví dụ 2. 1 2 2 2 ... 2
Tính giới hạn L = lim . ĐS: 2 L = 5.2n +1 5 Lời giải Xét cấp số nhân 2 3
1, 2, 2 , 2 ,..., 2n có số hạng đầu tiên u = 1 , công bội q = 2 và có số hạng tổng 1 quát n m 1 u 2 u q − =
= 2n m −1= n m = n +1. m 1
Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là: m n 1 q −1 2 + −1 + n 1 S = u = = 2 −1. m 1 q −1 2 −1 Suy ra n 1 2 − n 1 2 + −1 2 2 − 0 2 L = lim = lim = = . 5.2n +1 n 1 5 + 0 5 5 + 2
Nhận xét: Các công thức cần nhớ về cấp số nhân 11
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC u n q −1 1
1. k+ = q ( q là công bội).
2. S = u + u + ... + u = u . . u n 1 2 n 1 q −1 k 1 3. n u u q − = . 2 4. u .u
= u với k 2 . n 1 k 1 + k 1 − k
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Tính các giới hạn sau: n n 1 4.3 5 + + n+2 n 1 4 + 6 + a) L = lim . ĐS: L = 5. b) L = lim . L = . 3.2n + 5n n 1 − n+3 5 + ĐS: 1 2.6 72 n n−2 n+2 2 − 3 + 3.5 n n n+2 2 − 3 + 5 c) L = lim . ĐS: L =15 . d) L = lim . L = . n 1 − n+2 n 1 2 + 3 + 5 + n 1 + n+2 n 1 + 2 + 3 + ĐS: 5 5 ( )n n 1 n 3 4.5 + − − 2n + ( 5 − ) e) L = lim . L = − . f) L = lim . ĐS: 1 L = . 2.4n + ĐS: 20 3.5n 3 n 2.3n + 3.( 5 − ) 3 (− )n 5n 1 1 .2 + g) L = lim . ĐS: L = 0 . 5n+2 3 Bài 2. Tính các giới hạn sau: 2 3 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2n a) L = lim . L = . 2 3 1+ 3 + 3 + 3 + ... + ĐS: 0 3n 1 1 1 1+ + +...+ n b) 2 4 2 L = lim . ĐS: 4 L = . 1 1 1 1+ + +...+ 3 3 9 3n LỜI GIẢI n 3 4. + 5 n n 1 4.3 5 + + 5 0 + 5 Bài 1. a) L = lim = lim = = 5. 3.2n + 5n n 2 0 +1 3. +1 5 n 2 16. + 6 n+2 n 1 4 + 6 + 3 0 + 6 1 b) L = lim = lim = = . n 1 − n+3 5 + 2.6 n 1 5 0 + 432 72 . + 432 5 6 n n 2 1 3 − . + 75 n n−2 n+2 2 − 3 + 3.5 5 9 5 0 − 0 + 75 c) L = lim = lim = =15 . n 1 − n+2 n 1 2 + 3 + 5 + n n 1 2 3 0 + 0 + 5 . + 9. + 5 2 5 5 12
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC n n 2 3 − + 25 n n n+2 2 − 3 + 5 5 5 0 − 0 + 25 d) L = lim = lim = = 5. n 1 + n+2 n 1 2 + 3 + 5 + n n 2 3 0 + 0 + 5 2. + 9. + 5 5 5 n 3 ( − − n 3 − ) n+ 20 1 − 4.5 5 0 − 20 20 e) L = lim = lim = = − . 2.4n + 3.5n n 4 0 + 3 3 2. + 3 5 n 2 n n 1 2 5 5 0 1 1 f) L lim lim . n n 2.3n 3. 5 3 0 3 3 2. 3 5 n n 1 32 (− ) − n n+ .2. 5 1 1 .2 243 243 0 g) L = lim = lim = = 0 . 5n+2 3 9 9 Bài 2.
a) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có n 1 + − n 2 1 2 3 n 1 1+ 2 + 2 + 2 + ... + 2 = = 2 + −1 2 −1 n 1 + n 1 + − − n 3 1 3 1 2 3 1+ 3 + 3 + 3 + ... + 3 = = 3 −1 2 n n 2 1 2. − n 1 2 + −1 2.2n −1 3 3 0 − 0 Do đó L = lim = 2.lim = 2.lim = 2. = 0. n 1 3 + −1 3.3n −1 n 1 3 − 0 3 − 2 3
b) Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có n 1 + 1 −1 n 1 1 1 2 1+ + +...+ = = − − n ( 2) 1 1 . 1 2 4 2 1 2 2 −1 2 n 1 + 1 −1 n 1 1 1 3 3 1 1 1+ + +...+ = = − . −1 3 9 3n 1 2 3 3 −1 3 n ( 2 − ) 1 1 . −1 1 .0 −1 2 2 4 4 Do đó 2 L = lim = . = . n 3 1 3 3 1 1 .0 −1 − . −1 3 2 3 3 13
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
Phương pháp giải: Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim k n = .
Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng .0
+ ) là sau khi rút n có mũ cao trong căn và nhóm thừa
số, xuất hiện số 0 . Chẳng hạn:
- Tính giới hạn dãy 2 u =
n + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có 2
n là lũy thừa cao nhất và n
ta quan tâm đến nó, những hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem 2 u =
n − n = n − n = 0 n
nên cần liên hợp.
- Tính giới hạn dãy 2 u =
2n + 3n + 5 − n : biểu thức trong căn có 2
2n là lũy thừa cao nhất n nên nháp 2
2n − n = n 2 − n = n ( 2 − )
1 , có 2 −1 0 nên ta không cần liên hợp mà rút ra giải trực tiếp. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn L = ( 2 lim
2n + 3n + 5 − n). ĐS: L = + . Lời giải 2
2n + 3n + 5 3 5 3 5 Ta có: 2
L = lim n
− n = lim n 2 + +
− n = limn 2 + + −1 2 n 2 2 n n n n 3 5
Vì lim n = + và lim 2 + + −1 = 2 −1 0 nên L . 2 n n
Ví dụ 2. Tính giới hạn L = ( 2 lim
9n + 3n − 4 − 3n + 20). ĐS: 41 L = . 2 Lời giải 3n 4 Ta có: 2 L lim 20 lim 9n 3n 4 3n 20 lim 2 9n 3n 4 3n 4 n 3 4 3 n 20 lim 20 lim n 3 4 3 4 n 9 3n 9 3 2 n n 2 n n 3 0 41 20 . 9 0 0 3 2 (a −b )(a +b) 2 2 = a − b
Cần nhớ : Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào HĐT ( . a b ) ( 2 2 a ab + b ) 3 3 = a b − + ➢ a b a b a − b = . 3 3 a + b = . a + b 3 2 3 3 2
a − ab + b 2 − 3 a − b ➢ a b a − b =
. 3 a − b = . a + b 3 2 3 2
a + ab + b 14
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC − 3 + ➢ a b a b 3 3 a − b =
. 3 a + b = . 3 2 3 3 2
a + ab + b 3 2 3 2
a − ab + b
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = (3 3 lim
n + 2 − n ) ĐS: L = 0 . Lời giải n 2 n 2 Ta có: L lim lim 2 2 2 3 3 3 3 n 2 n 2 n n 2 2 2 3 3 3 3 n 1 n 1 n n n n 2 3 2 2 n 0 lim lim 0 . 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 n 1 1 1 1 1 1 n n n n − Cần nhớ: a b 3 3 a − b = . 3 2 3 3 2
a + ab + b
Ví dụ 4. Tính giới hạn L = im l (3 3 2
8n + 3n − 2 + 5 − 2n) . ĐS: 21 L = . 4 Lời giải Ta có: 3 3 2 L l m i 8n 3n 2 5 2n 3 3 2 lim5 lim 8n 3n 2 2n 3 2 3 8n 3n 2 8n 3 3 2 5 lim 8n 3n 2 2n 5 lim 2 3 3 2 3 3 2 2 8n 3n 2 8n 3n 2 2n 4n 2 3n 2 5 lim 2 3 2 3 2 3 3 2 3 n 8 n 8 .2n 4n 3 3 n n n n 2 3 2 3 21 5 lim n 5 . 2 3 2 3 2 4 4 4 4 3 3 8 8 2 4 2 3 n n n n 3 − Cần nhớ: a b 3 a − b =
. Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất: 3 2 3 2
a + a b + b
➢ lim(u + v ) = limu + lim v . n n n n
➢ limC = C với C là hằng số C .
Ví dụ 5. Tính giới hạn L = l ( 2 3 3 2 im
n + n +1 − n + n ) . ĐS: 1 L = . 6 15
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Ta có: L = l ( 2 3 3 2 im
n + n +1 − n + n ) ( 2 =
n + n + − n) + ( 3 3 2 lim 1
n − n + n ) =
( 2n +n+ −n)+ ( 3 3 2 lim 1
lim n − n + n ) 3 + +1− n − ( 3 2 2 2 n + n n n n ) = lim + lim
n + n +1 + n
n + n n + n + ( n + n )2 2 2 3 3 2 3 3 2 2 n +1 −n = lim + lim
n + n +1 + n
n + n n + n + ( n + n )2 2 2 3 3 2 3 3 2 1 1+ 1 n − = + 1 1 1 lim = − = . 2 1 1 2 3 6 1 1 1 1 + + + 2 + 3 3 1 1+ + 1 n n + n n
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Tính các giới hạn sau: 2 9n n 1 3 a) L lim . ĐS: 4n 2 4 2 4n n 1 n 1 b) L lim . ĐS: 2 9n 3n 3 4 2n 3n 2 2 c) L lim . ĐS: 2 2n n 3 2 2n 1 n 3 2 1 d) L lim . ĐS: 4n 5 2 2 3 3 2 4n 1 8n 2n 3 4 e) L lim . ĐS: L 2 4 4 16n 4n n 1 3 3 6 3 n 7n 5n 8 f) L lim . ĐS: L n 2 1 + 4 + 7 ++ (3 +1) g) = lim n L . ĐS: L = 0 2 4
2n + n + 2n +1 Bài 2.
Tính các giới hạn sau: 16
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC a) 2 L lim 4n n 1 9n . ĐS: b) 2 2 L lim 9n 2n 1 4n 1 . ĐS: 1 c) 2 2 L lim 4n n 4n 2 . ĐS: 4 21 d) 2 L lim n n 1 n 10 ĐS: 2 53 e) 2 L lim n 3n 5 n 25 . ĐS: 2 f) 2 4 L lim n 2019 n 3n 1 . ĐS: L 2019 g) 2 L lim 3n 5 9n 1 . ĐS: L 5 1 h) 2 2 L lim n n 1 n 2 . ĐS: L 2 Bài 3. Tính các giới hạn sau: a) 3 3 L lim n 4 n 1 . ĐS: L 0 25 b) 3 3 2 L lim 8n 3n 4 2n 6 . ĐS: L 4 c) 3 3 L lim 2n n n 1 . ĐS: L 1 d) 3 3 L lim n n n 2 . ĐS: L 2 5 e) 3 3 2 L lim n 2n n 1 . ĐS: L 3 1 f) 4 2 3 6 L lim n n n 1 . ĐS: L 2 1 g) 2 3 3 2 L lim n n 1 n n . ĐS: L 6 Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1 f) 4 2 3 6 L lim n n n 1 . ĐS: L 2 1 g) 2 3 3 2 L lim n n 1 n n . ĐS: L 6 17
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI 1 1 2 1 1 n 9 − + − + 2 2 n 9 2 9n − n +1 n n Bài 1. a) n n L = lim = lim = lim 4n − 2 2 2 n 4 − n 4 − n n 1 1 9 2 n n 9 0 0 3 lim . 2 4 0 4 4 n 1 1 − + − 2 4 1
4n − n +1 − n 2 4 − 0 + 0 −1 1 b) L = lim n n = lim = = . 2 9n + 3n 3 9 + 0 3 9 + n 3 2 3 2 2 + − + − 4 n 2 2 2n + 3n − 2 3 4 3 4 n n 2 + 0 − 0 2 c) L = lim n n = lim = = = lim 2 2n − n + 3 1 3 1 3 − + . 2 2 0 0 2 n 2 − + 2 − + 2 n n 2 n n 1 3 1 3 n 2 + − 1+ 2 + − 1+ 2n +1 − n + 3 n n n n 2 −1 d) L = lim = lim = lim = . 4n − 5 5 5 2 n. 4 − 4 − n n 1 2 3 2 3 − + 3 n 4 n 8 + − 2 3 3 2 2 3
4n −1 + 8n + 2n − 3 n n n e) L = lim = lim 2 4 4
16n + 4n − n +1 4 1 2 4 + − 4 n 16 n 1+ 4 n n 1 2 3 1 2 3 3 3 n 4 − + n 8 + − 4 − + 8 + − 2 3 2 3 n n n n n n = 2 + 2 4 lim = lim = = . 4 1 4 1 4 −1 3 4 4 n 16 + − n 1+ 16 + − 1+ 4 4 n n n n 7 5 8 6 7 5 8 3 n 1− + − 2 3 n . 1− − + 3 6 3 3 5 6
n − 7n − 5n + 8 n n n 3 5 6 n n n f) L = lim = lim = lim n + 2 n + 2 2 . n 1+ n 7 5 8 7 5 8 3 1− − + 3 1− − + 3 5 6 n n n 3 5 6 = lim n n n . n = + lim =1). 2
(Vì lim n = + và 2 1+ 1+ n n 18
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1 + 4 + 7 ++ (3n +1) (n +1) (3n + 2) g) L = lim = lim 2 4
2n + n + 2n +1 2 ( 2 4
2n + n + 2n +1 ) 3 5 2 4 n + + 2 3 + 5 + 2 2 3 4 = lim n n n n n = lim 2 4
2 2n + 2 n + 2n +1 2 1 2 4 2 2n + 2 n 1+ + 3 4 n n 3 5 2 3 5 2 2 n 2 3 4 2 3 4 n n n n n n 0 lim lim 0 . 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2n 2n 1 2 2 2 1 3 4 3 4 n n n n 1 1 1 1 Bài 2. a) L = lim ( 2
4n + n +1 − 9n) 2 = lim n 4 + + − 9n = limn 4 + + − 9n 2 2 n n n n 1 1 1 1 lim . n 4 + + − 9
(Vì lim n = + và lim 4 + + −9 = 7 − 0 ). 2 n n 2 n n 2 1 1 b) L = lim ( 2 2
9n + 2n −1 − 4n +1) = limn 9 + − − 4 + = + 2 2 n n n 2 1 1
(Vì lim n = + và lim 9 + − − 4 + =1 0 ). 2 2 n n n ( 2 4n + n) − ( 2 4n + 2) n − 2 c) L = ( 2 2 lim
4n + n − 4n + 2 ) = lim = lim 2 2
4n + n + 4n + 2 2 2
4n + n + 4n + 2 2 1− − = 1 0 1 lim n = = . 1 2 4 + 0 + 4 + 0 4 4 + + 4 + 2 n n d) 2 L lim n n 1 n 10 2 lim10 lim n n 1 n 1 1 n 1 1 0 1 21 10 lim 10 lim n 10 10 . 2 n n 1 n 1 1 1 0 0 1 2 2 1 1 2 n n e) 2 L lim n 3n 5 n 25 2 lim 25 lim n 3n 5 n 19
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 5 2 2 n 3n 5 n 3 3n 5 25 lim 25 lim 25 lim n 2 n 3n 5 n 2 n 3n 5 n 3 5 1 1 2 n n 3 0 53 25 . 1 0 0 1 2 f) 2 4 L lim n 2019 n 3n 1 2 4 lim2019 lim n n 3n 1 4 4 n n 3n 1 3n 1 2019 lim 2019 lim 2 4 n n 3n 1 2 4 n n 3n 1 3 1 2 0 0 2019 lim n n 2019 2019 0 2019 . 3 1 1 1 0 0 1 1 3 4 n n g) 2 L lim 3n 5 9n 1 2 lim 3n 9n 1 lim5 2 2 9n 9n 1 1 lim lim5 lim lim5 0 5 5. 2 3n 9n 1 2 3n 9n 1 h) 2 2 L lim n n 1 n 2 2 2 n n 1 n 2 n 1 1 lim lim lim . 2 2 n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 1 2 2 1 1 2 2 n n 3 Bài 3. a) L = (3 3 lim
n + 4 − n +1 ) = lim (n + 4)2 3 + (n + 4).(n + ) 1 + (n + )2 3 3 1 3 = lim 2 2 4 4 1 1 2 2 2 3 + + 3 3 n . 1 n . 1+ . 1+ − n . 1+ n n n n 3 = lim = 0. 2 2 4 4 1 1 3 2 3 + + 3 3 n 1 1+ . 1+ + 1+ n n n n b) 3 3 2 L lim 8n 3n 4 2n 6 3 3 2 lim 8n 3n 4 2n 6 2 3n 4 3 3 2 6 lim 8n 3n 4 2n 6 lim 2 3 2 3 3 2 2 3 8n 3n 4 2 . n 8n 3n 4 4n 4 3 2 1 25 6 lim n 6 . 2 3 4 3 4 4 4 3 3 8 2. 8 4 3 3 n n n n 20
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC c) L = (3 3 lim
2n − n + n − ) 1 = (3 3 lim
2n − n + n − ) 1 = − + lim ( 3 3 1
2n − n + n) 2 2n = 1 − + lim = − 1 n + lim = 1 − + 0 = 1 − . ( 3 2n − n )2 3 3 2 3
− n 2n − 2n + 2 n 2 2 3 3 −1 − −1 +1 2 2 n n d) 3 3 L lim n n n 2 3 3 lim n n n 2 3 3 2 lim n n n 1 n 2 lim 2 lim n 2 0 2 . 2 2 3 3 3 2 3 n n . n n n n 1 1 3 3 1 1 1 2 2 n n e) 3 3 2 L lim n 2n n 1 3 3 2 lim n 2n n 1 3 3 2 1 lim n 2n n 2 2n 2 1 lim 1 lim 2 3 2 3 3 2 2 2 3 n 2n . n 2n 2n n 2 2 3 3 1 1 1 n n 2 5 1 . 3 3 Bài 4. a) 4 2 3 6 L lim n n n 1 4 2 2 3 6 2 lim n n n n 1 n 4 2 2 3 6 2 lim n n n lim n 1 n 4 2 4 6 6 n n n n 1 n lim lim 4 2 2 2 6 2 3 6 4 n n n 3 n 1 n n 1 n 2 n 1 1 1 lim lim lim 0 . 4 2 2 2 6 2 3 6 4 n n n 3 n 1 n n 1 n 1 2 1 1 2 n b) 2 3 3 2 L lim n n 1 n n 2 3 3 2 lim n n 1 n n n n 3 3 2 2 2 1 n n n n n n lim 2 2 2 3 3 2 3 3 2 n n 1 n n n n n n n 2 n 1 n lim 2 2 2 3 3 2 3 3 2 n n 1 n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 lim n . 2 1 1 1 1 2 3 6 1 1 3 3 2 1 1 1 n n n n 21
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 2n − 3n +1 2 5n − n + 3 1) lim . ĐS: 2 . 2) lim . ĐS: 5 . 2 5n + 3 5 2 2n + 3n −1 2 3 n − n + 3 3 2 8n − 2n +1 3) lim . ĐS: 1 . 4) lim . ĐS: 4 . 2 3 2n + 3n −1 3 2 3 1− 3n + 2n 3 ( 2n +2) 3 6n − 2n +1 (3−n)+ 2n 5) lim . ĐS: 6 . 6) lim . ĐS: 1 − . 3 2n − n ( 2 n + n − ) 1 ( 2 3n + 2)(5 − n) 3 ( 2 9 2n − )2 1 ( 3 3 − 4n ) ( 4 2n + ) 1 (n + 2) 7) lim − ( . ĐS: 1 . 8) lim . ĐS: 4 . 17
4n + 2)3 (2 − n)2 4 n +1 (n +2)(n− )2 2 1 4 2 4n − n +1 9) lim − ( . ĐS: 1 . 10) lim . ĐS: 2 . n + ) 1 (2n + 3)3 8 (2n + ) 1 (3 − n)( 2 n + 2) ( 3 5
n + 2)3 (3 − n) (n + 2) (3− n) 11) lim ( . ĐS: 1 − . 12) lim . ĐS: 1 − . 3
3n + 2)(5 − n)2 2 3
(3n +2n+ )1 (5−n)2 2 27 1 1 3 2 n n 13) lim − . ĐS: 0 . 14) lim − . ĐS: 1 . 2 2 n + 2n 2n + 3 2
2n −1 2n +1 4 Bài 2. Tính các giới hạn sau 2n + 4n 3.2n − 5n 1) lim . ĐS: 1. 2) lim . ĐS: 1 − . 4n − 3n 5.4n + 6.5n 6 4n + 2.3n 1+ 2.3n 3) lim . ĐS: + . 4) lim . ĐS: 2 . 5 + 3n 5 + 3n n n 1 4.3 5 + + n+2 n 1 4 + 6 + 5) lim . ĐS: 5 . 6) lim . ĐS: 1 . 3.2n + 5n n 1 − n+3 5 + 2.6 72 ( )n n 1 3 4.5 + − − − + 20 n n n 2 2 − 3 + 4.5 7) lim . 8) lim . ĐS: 20 . 2.4n + . ĐS: 3.5n 3 n 1 + n+2 n 1 2 + 3 + 5 + n n n+2 n 2 − 3 + 5 2n + ( 5 − ) 1 9) lim . ĐS: 5 . 10) lim . ĐS: . n 1 + n+2 n 1 2 + 3 + 5 + n 2.3n + 3.( 5 − ) 3 9n +1 2 n + n +1 11) lim . ĐS: 1. 12) lim . ĐS: 0 . 3n −1 .3n n 22
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC (− )n 5n 1 1 .2 + ( n 5 − ) + 4n 13) lim . ĐS: 0 . 14) lim . ĐS: 0 . 5n+2 3 ( n+ 7 − ) 1 n 1 + 4 + n 2n 1 4 + 2.2 + 1 − 3 − 2n + 5n 1 − 15) lim . ĐS: . 16) lim . ĐS: . 2(n+ ) 1 5.2 + 3n 4 3n − 2.5n 2
2n + 3n − 4n − − 1 n 1 n 2 4 + 2.3 − 4 1 17) lim . ĐS: . 18) lim .ĐS: − . n n 1 + n 1 2 + 3 + 4 + + + 4 n n 1 n 1 2 + 3 + 4 64 ( n 3 − ) −5n − + 1 − n n 1 n 2 3 .2 + 3 1 19) lim ( . ĐS: . 20) lim . ĐS: . n− n+2 n 1 + 3 − ) 2 n 1 + 5 + + 2 5 3 + 6 12 Bài 3. Tính các giới hạn sau: 2 4n n 1 n 1 2n 1 n 3 2 1 1) lim . ĐS: . 2) lim . ĐS: . 2 9n 3n 3 4n 5 2 2 3 3 2 4n 1 8n 2n 3 4 2 3 3 n n n 3n 3) lim . ĐS: . 4) lim . ĐS: 1. 2 4 4 16n 4n n 1 3 4 4 16n 1 5) 2 lim 3n n 5 n . ĐS: . 6) 3 3 2 lim 8n n n 2 n . ĐS: . Bài 4.
Tính các giới hạn sau: 1 1 1) ( 2 lim
n + n +1 − n) . ĐS: . 2) ( 2 2 lim
4n + n − 4n + 2 ). ĐS: . 2 4 3 3 3) ( 2 lim
n + 3n + 5 − n) . ĐS: . 4) ( 2 lim
4n + 3n − 2n) . ĐS: . 2 4 1 − 5) lim n 2 2 + − +
( n +1 − n ) . ĐS: + . 6) lim n ( n 1 n 2 ) . ĐS: . 2 7 7) ( 2 lim
n + 2n − n + 3). ĐS: 4 . 8) ( 2 lim
4n + 3n +1 − 2n + ) 1 . ĐS: . 4 5 9) ( 2 lim
9n + 3n − 4 − 3n + 2) . ĐS: . 10) ( 2 4
lim 1+ n − n + 3n +1) . ĐS: 1. 2 11) (3 3 lim
n + 2 − n ) . ĐS: 0 . 12) (3 3 2 lim
n + 3n − n). ĐS: 1. 13) (3 3 lim
n − n + n + 2). ĐS: 2 . 14) (3 3 lim
2n − n + n − ) 1 . ĐS: 1 − . 5 − 10 15) (3 3 2 lim
n − 2n − n − ) 1 . ĐS: . 16) (3 3 2 lim
8n + 4n + 2 − 2n + 3). ĐS: . 3 3 23
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 5. Tính các giới hạn sau: 2 5 8 3n 1 3 1) lim . ĐS: . 2 4n 1 8 1 4 7 3n 1 2) lim . ĐS: 0 . 2 4 2n n 2n 1 2 4 2n 2 3) lim . ĐS: . 3.2n 1 3 1 1 1 4) lim . ĐS: 1. 1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 n 1 n 24
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).
Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x f 0 và
là một hàm số xác định trên tập hợp
(a;b) \x f L x x x
0 . Ta nói rằng hàm số
có giới hạn là số thực khi
dần đến 0 (hoặc tại điểm 0 ) nếu
với mọi dãy số ( x
(a;b) \x lim x = x
lim f ( x = L n ) 0 n ) trong tập hợp mà n 0 ta đều có .
Khi đó ta viết lim f (x) = L hoặc f ( x) → L khi x → x0 . x→x0
Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực
L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số ( x (a;+) lim x = + n ) trong khoảng mà n ta đều có
lim f ( x = L n ) .
Khi đó ta viết lim f ( x) = L hoặc f ( x) → L khi x → + . x→+
GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Giới hạn đặc biệt
Giới hạn đặc biệt 1) lim x = x c 0 . = + = x→ lim k x lim 0 0 x 1) . 2) . x→+ x k → x
2) lim c = c (c ) . x→ 1 1 0 x 3) lim = − . 4) lim = + . − + x 0 → x x 0 → x
+ khi k 2 k k ( 0) 5) lim x = x→−
− khi k 2 Định lí Định lí 1
Nếu lim f ( x) = L và lim g ( x) = M thì
Nếu lim f ( x) = L 0 và lim f ( x) = thì x→x x→x x→x x→x 0 0 0 0 1) lim f
( x) g ( x) = L M . + khi .
L lim g ( x) 0 x→ x→x 0 x lim f
( x).g ( x) 0 = . x→x0 − khi . L lim g (x) 2) lim f
( x).g ( x) = . L M . 0 x→x x→ 0 0 x f ( x)
Nếu lim g ( x) = 0 thì L 3) lim = với M 0 . x→x0 x→ 0 x g ( x) M f ( x) + khi . L g (x) 0 =
Nếu f ( x) 0 và lim f ( x) = L thì lim .
x→x0 g ( x) − khi . L g (x) x→x 0 0
lim f ( x) = L và lim
f ( x) = L . x→ → 0 x x 0 x
Giới hạn một bên i
l m f ( x) = L lim f ( x) = lim f ( x) = L . x + − → → → 0 x x 0 x x 0 x 25
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 0
Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng
, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức. 0 Phương pháp giải:
Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng
chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định. VÍ DỤ 2 2x + 3x −14 11
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = . 2 x→2 x − 4 4 Lời giải 7 − + 2 2(x 2)(x ) 2x + 3x −14 2x + 7 11 Ta có 2 A = lim = lim = lim = 2 x→2 x→2 x→2 x − 4 (x− 2)(x+ 2) x + 2 4 ! Cần nhớ: 2
f (x) = ax + bx + c = a ( x − x x − x x , x 1 ) ( 2 ) với 1
2 là 2 nghiệm của phương trình
f ( x) = 0 . Học sinh thường quên nhân thêm a . 3 2
2x − 5x − 2x − 3 11
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = . 3 2
x→2 4x −13x + 4x − 3 17 Lời giải − − − (x −3)( 2 3 2 2x + x x x x + ) 2 1 2 5 2 3 2x + x +1 11 A = lim = lim = lim = 3 2 x→
4x −13x + 4x − 3 x→ (x −3)( 2 3 3 4x − x + ) 2 x 3 1
→ 4x − x +1 17
Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau: Phân tích 3 2
2x − 5x − 2x − 3 thành tích số: 3 2
x − x − x − = (x − )( 2 2 5 2 3 3 2x + x + ) 1 Phân tích 3 2
4x −13x + 4x − 3 thành tích số: 3 2
x − x + x − = (x − )( 2 4 13 4 3 3 4x − x + ) 1 . 100 x − 2x +1 49
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = . 50 x 1 → x − 2x +1 24 Lời giải 26
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC − + − − − x ( 99 100 100 x − ) 1 − ( x x x x x x − ) 1 2 1 ( ) ( 1) Ta có A = lim = lim = lim 50 50 x→ x − 2x +1 x→
(x − x) − (x −1) x→ x ( 49 1 1 1 x − ) 1 − ( x − ) 1 x ( x − ) 1 ( 98 97 96
x + x + x + .... + x + ) 1 − ( x − ) 1 = lim x→ x ( x − ) 1 ( 48 47 46 1 x + x + x +....+ x + ) 1 − ( x − ) 1 (x − ) 1 ( 99 98 97 2
x + x + x + .... + x + x − ) 1 = lim x→ ( x − ) 1 ( 49 48 47 2 1
x + x + x + .... + x + x − ) 1 ( 99 98 97 2
x + x + x + .... + x + x − ) 1 98 49 = lim = = x→ ( 49 48 47 2 1
x + x + x + .... + x + x − ) 1 48 24 − −
!Cần nhớ: Hằng đẳng thức n
x − = ( x − )( n 1 n 2 2 1 1 x + x
+ ....+ x + x + ) 1 .
Chứng minh: Xét cấp số nhân 2 3 1 1, , , ,...., n x x x x − có n = = số hạng và u 1, q . x 1 Khi đó n − q −1 n x − n 1 2 1
S = 1+ x + x + ... + x = u =1. n
x −1= x −
+ x + x + + x − n ( ) 1 ( 2 n 1 1 ... . 1 ) q −1 x −1
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 x − 3x + 2 1 2 x −1 2 1) A = lim . ĐS: A = . 2) A = lim . ĐS: A = . 2 x→2 x − 4 4 2 x 1 → x + 3x − 4 5 2 x − 7x +12 1 2 x − 9x + 20 1 3) A = lim . ĐS: A = − . 4) A = lim . ĐS: A = . 2 x 3 → x − 9 6 2 x 5 → x − 5x 5 2 3x −10x + 3 2 x + 2x − 3 4 5) A = lim . ĐS: A = 8 . 6) A = lim . ĐS: A = . 2 x 3 → x − 5x + 6 2 x 1
→ 2x − x −1 3 4 x −16 x − 2 x − 3 4 7) A = lim . ĐS: A = 16 − . 8) A = lim .ĐS: A = − . 2 x 2
→− x + 6x + 8 x 1
→ x − 5 x + 4 3 3 x − 8 3 x + 8 12 9) A = lim . ĐS: A = 12 . 10) A = lim . ĐS: A = . 2
x→2 x − 3x + 2 2 x 2
→− x +11x +18 7 Bài 2. Tính các giới hạn sau: 3 2
2x − 5x + 2x +1 3 x − 3x + 2 1 1) A = lim . ĐS: A = −1 . 2) A = lim . ĐS: A = . 2 x 1 → x −1 4 x 1 → x − 4x + 3 2 3 2
2x + 5x + 4x +1 1 4 3
x − x − x +1 3 3) A = lim . ĐS: A = . 4) A = lim . ĐS: A = − . 3 2 x 1 →−
x + x − x −1 2 3 2 x 1
→ x − 5x + 7x − 3 2 27
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2
2x − 3x + x + 9 + 7 3 18 +19 3 5) A = lim . ĐS: A = . 2 x→− 3 3 − x 6 3 2
x − 5x + 3x + 9 6) A = lim . ĐS: A = 0 . 4 2 x 3 → x − 8x − 9 3 1− x 3 1 12 1 7) A = lim . ĐS: A = . 8) A = lim − . ĐS: A = . 4 2 3 x 1 → x − 4x + 3 4
x→2 x − 2 x − 8 2 1 1 9) A = lim + . ĐS: A = 2 − . 2 2
x→2 x − 3x − 2
x − 5x − 6 1 1 1 10) A = lim − . ĐS: A = . 2 3 x 1
→ x + x − 2 x −1 9 Bài 3. Tính các giới hạn sau: 20 x − 2x +1 8 50 x −1 1) A = lim . ĐS: A = . 2) A = lim . ĐS: A = 50 − . 30 x 1 → x − 2x +1 14 2 x 1 → x − 3x + 2 n
x − nx + n −1 2 n − n 3) A = lim
(Với n là số nguyên). ĐS: A = . x→ (x − )2 1 1 2 n 1 x + − (n + ) 1 x + n n (n + ) 1 4) A = lim . ĐS: A = . x→ (x − )2 1 1 2 2 3
x + x + x + ... n + x − n n (n + ) 1 5) A = lim
( m, n là số nguyên) . ĐS: A = . 2 3 1
→ x + x + x + ... m x + x − m m (m + ) 1 m n m − n 6) A = lim − . ĐS: A = . 1 → 1 m − x 1 n x − x 2 LỜI GIẢI 2 x − 3x + 2 (x − ) 1 ( x − 2) x −1 1 Bài 1. 1) Ta có A = lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x −2)(x + 2) x→2 x + 2 4 2 x −1 (x − ) 1 ( x + ) 1 x +1 2 2) Ta có A = lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 x + 3x − 4 → ( x − ) 1 ( x + 4) x 1 → x + 4 5 2 x − 7x +12 (x −3)(x −4) x − 4 1 3) Ta có A = lim = lim = lim = − . 2 x 3 → x 3 x − 9
→ ( x − 3)( x + 3) x 3 → x + 3 6 2 x − 9x + 20 (x −4)(x −5) x − 4 1 4) Ta có A = lim = lim = lim = . 2 x 5 → x 5 x − 5x → x ( x − 5) x 5 → x 5 2 3x −10x + 3 (3x − ) 1 ( x − 3) 3x −1 5) Ta có A = lim = lim = lim = 8 . 2 x 3 → x 3 x − 5x + 6
→ ( x − 2)( x − 3) x 3 → x − 2 28
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x + 2x − 3 (x − ) 1 ( x + 3) x + 3 4 6) Ta có A = lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 2x − x −1 → ( x − ) 1 (2x + ) x 1 1 → 2x +1 3 x −
(x −2)(x + 2)( 2x + 4) (x −2)( 2 4 x + 4 16 ) 7) Ta có A = lim = lim = lim = 1 − 6 . 2 x→ 2 − x→ 2 x + 6x + 8 − (x + 2)(x + 4) x→ 2 − (x + 4) − + + x − x − ( x )1( x 3) ( x 3 2 3 ) 4 8) Ta có A = lim = lim = lim = − . x 1 → x 1 x − 5 x + 4 → ( x − ) 1 ( x − 4) x 1 → ( x − 4) 3 x −
(x −2)( 2x +2x +4) ( 2 3 x + 2x + 4 8 ) 9) Ta có A = lim = lim = lim =12 . 2 x→2 x→2 x − 3x + 2 (x −2)(x − ) x→2 1 (x − ) 1
! Cần nhớ: Hằng đẳng thức 3 3 + = ( + )( 2 2 a b a b
a − ab + b ) và 3 3 − = ( − )( 2 2 a b a b
a + ab + b ) . x +
(x + 2)( 2x −2x+ 4) ( 2 3 x − 2x + 4 8 ) 12 10) Ta có A = lim = lim = lim = . 2 x→ 2 − x→ 2 x +11x +18 − (x + 2)(x +9) x→ 2 − (x +9) 7 − + + (x − ) 1 ( 2 3 2 2x − 3x x x x − ) 2 1 2 5 2 1 2x − 3x −1 Bài 2. 1) A = lim = lim = lim = 1 − . 2 x 1 → x 1 x −1 → (x − ) 1 ( x + ) x 1 1 → x +1 x − 3x + 2 (x − )2 3 1 ( x + 2) x + 2 1 2) A = lim = lim = lim = . 4 x→ x − 4x + 3 x→ ( x − )2 1 ( x + 2x + 3) 2 2 1 1 x 1 → x + 2x + 3 2
2x + 5x + 4x +1 (x + )2 3 2 1 (2x + ) 1 2x +1 1 3) A = lim = lim = lim = . 3 2 x→ 1 − x→ 1
x + x − x −1 − (x + )2 1 ( x − ) x→ 1 1 − x −1 2 − − + (x − )2 1 ( 2 4 3 x + x x x x + ) 2 1 1 x + x +1 3 4) A = lim = lim = lim = − . 3 2 x 1 → x 1
x − 5x + 7x − 3 → (x − )2 1 ( x − 3) x 1 → x − 3 2 + − + + +
x − x + x + + (x 3) ( 2 3 2 2x (3 2 3)x 7 3 3 2 3 9 7 3 ) 5) Ta có A = lim = lim − 2 − x→− 3 x→− 3 3 x (x+ 3)( 3−x) 2
2x −(3+2 3)x+7+3 3 18+19 3 lim = − = . x→− 3 3 − x 6
x − 5x + 3x + 9 (x − ) 1 ( x − 3)2 3 2 (x − ) 1 ( x − 3) 6) Ta có A = lim = lim = lim = 0 . 4 2 x→ x − 8x − 9 x→
(x −3)(x +3)( 2x + )1 x→ (x+3)( 2 3 3 3 x + ) 1 − (x − ) 1 ( 2 −x − x − ) 1 ( 2 3 −x − x x − ) 1 1 3 7) Ta có A = lim = lim = lim = . 4 2 x→ x − 4x + 3 x→ ( x − ) 1 ( 3 2
x + x − 3x − 3) x→ ( 3 2 1 1 1
x + x − 3x − 3) 4 29
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 1 12 x −12x +16 8) Ta có A = lim − = lim 3 x→ x − 2 x − 8 x→ (x −2)( 3 2 2 x − 8)
(x + 4)(x − 2)2 x + 4 1 = lim = lim = . x→
(x − 2)2 (x + 2x + 4) 2 2 2
x→2 x + 2x + 4 2 2 2 1 1
x − 5x − 6 + x − 3x − 2 9) Ta có A = lim + = lim 2 2
x→ x − 3x − 2 x − 5x − 6 x→
( 2x −3x−2)( 2 2 2 x − 5x − 6) 2( x − 2)2 2 = lim = lim = 2 − . x→ (x −2)2 2
(x −3)(x − ) x→2 1 (x −3)(x − ) 1 3 2 3 2 1 1
x −1− x − x + 2
x − x − x +1 10) Ta có A = lim − = lim = lim 2 3
x→ x + x − 2 x −1 x→
( 2x + x−2)( 3x − )1 x→ ( 2x + x−2)( 3 1 1 1 x − ) 1 (x − )2 1 ( x + ) 1 x +1 1 = lim = lim = . x→ ( x − )2 1 ( x + 2)( 2 1 x + x + ) x 1 1 → ( x + 2)( 2 x + x + ) 1 9 20 x − 2x +1
x − x − ( x − ) 1 x ( 19 20 x − ) 1 − ( x − ) 1 Bài 3. 1) Ta có A = lim = lim = lim 30 30 x→ x − 2x +1 x→
x − x − ( x − ) 1 x→ x ( 29 1 1 1 x − ) 1 − ( x − ) 1 x ( x − ) 1 ( 18 17
x + x + ... + x + ) 1 − ( x − ) 1 (x − ) 1 ( 19 18
x + x + ... + x − ) 1 = lim = x→ x ( x − ) 1 ( lim 28 27
x + x + ... + x + ) 1 − ( x − ) 1 x→ ( x − ) 1 ( 29 28 1 1
x + x + ... + x − ) 1 ( 19 18
x + x + ... + x − ) 1 18 9 = lim = = . x→ ( 29 28 1
x + x + ... + x − ) 1 28 24 x − (x − ) 1 ( 49 48 50
x + x + ... + x+ ) 49 48 1 1
x + x + ... + x+1 2) Ta có A = lim = lim = lim = 5 − 0 2 x 1 → x 1 x − 3x + 2 → (x − ) 1 ( x − 2) x 1 → x − 2 − + − ( n n x − ) 1 − n ( x x nx n − ) 1 1 3) Ta có A = lim = x→ (x − ) lim 2 1 x→ (x − )2 1 1 1 (x − ) 1 ( n 1 − n−2 x + x +...+ x+ )
1 − n ( x − ) 1 = lim x→ (x − )2 1 1 (x − ) 1 ( n 1 − n−2 x + x +...+ x+1− n) n 1 − n−2 x + x +...+ x+1− n = lim = lim x→ (x − )2 1 x 1 1 → x −1 n 1 − n−2 2 x −1+ x
−1+...+ x −1+ x −1 = lim x 1 → x −1 (x − ) 1 ( n−2 n−3 x + x +...+ x+ ) 1 + ( x − ) 1 ( n−3 n−4 x + x + ...+ x+ ) 1 + ... + ( x − ) 1 = lim x 1 → x −1 = n − n lim ( n−2 n−3 x + x +...+ x+ ) 1 + ( n−3 n−4 x + x +...+ x+ )
1 + ... +1 = (n − ) + (n − ) 2 1 2 + ... +1 = x 1 → 2 . 30
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC + + x − (n + ) n n n 1 x + n ( 1 1 x
− x) − n(x − ) 1 x (x − )
1 − n ( x − ) 1 4) Ta có A = lim = = x→ (x − ) lim lim 2 1 x→ (x − )2 1 x→ (x − )2 1 1 1 1 x ( x − ) 1 ( n 1 − n−2 x + x +...+ x+ )
1 − n ( x − ) 1 (x − ) 1 ( n n 1
x + x − + ... + x− n) = lim = x→ (x − ) lim 2 1 x→ (x − )2 1 1 1 n n 1 − 2 n n 1 − 2 x + x
+...+ x + x − n x −1+ x
−1+...+ x −1+ x −1 = lim = lim x 1 → x 1 x −1 → x −1 (x − ) 1 ( n 1 − n−2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( x − ) 1 ( n−2 n−3 x + x + ...+ x+ ) 1 + ... + ( x − ) 1 = lim x 1 → x −1
= lim ( n 1− n−2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( n−2 n−3 x + x +...+ x+ ) 1 + ... +1 x 1 → +
= n + (n − ) + (n − ) n (n ) 1 1 2 + ... +1 = . 2 2 3 n n n 1 − 2
x + x + x + ... + x − n x −1+ x
−1+...+ x −1+ x −1 5) Ta có A = lim = lim 2 3 m m m 1 − 2 x 1 → x 1
x + x + x + ... + x − m → x −1+ x
−1+...+ x −1+ x −1 (x − ) 1 ( n 1 − n−2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( x − ) 1 ( n−2 n−3 x + x +...+ x+ ) 1 + ... + ( x − ) 1 = lim − − − − x→ ( x − ) 1 ( m 1 m 2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( x − ) 1 ( m 2 m 3 1 x + x +...+ x+ ) 1 + ... + ( x − ) 1 ( n 1− n−2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( n−2 n−3 x + x +...+ x+ ) 1 + ... +1 = lim − − − − x→ ( m 1 m 2 x + x +...+ x+ ) 1 + ( m 2 m 3 1 x + x +...+ x+ ) 1 + ... +1 n + (n − ) 1 + (n − 2) + ...+1 n (n + ) 1 = lim = . x 1 → m + (m − ) 1 + (m − 2) + ...+1 m (m + ) 1 m n m 1 n 1 6) Ta có A = lim − = lim − − − 1 m n → 1 1− x 1− x → 1 m − x 1− x 1 n x x − x 1− x m 1 n 1 = lim − − lim − 1 m → 1 1− x 1− x → 1 n x x − x 1− x m − ( 2 m 1
1+ x + x + ... + x − ) (1− x)+( 2 1− x − m )+...+( m 1 1− x 1 ) Và lim − = lim = lim 1 m → 1 m → 1 1− x 1− x 1− x → 1− xm x x x (1− x) 1 + (1+ x) +....+ ( 2 m−2
1+ x + x + ... + x ) = lim − x→ (1− x)( 2 m 1 1
1+ x + x + ... + x ) 1+ (1+ x) + .... + ( 2 m−2
1+ x + x + ... + x
) 1+2+3+...+m−1 m−1 = lim = = 2 m 1 − x 1 →
1+ x + x + ... + x m 2 n 1 n −1 Tương tự ta có lim − = 1 → 1 n x − x 1− x 2 m n
m −1 n −1 m − n Vậy lim − = − = . 1 → 1 m − x 1 n x − x 2 2 2 31
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 0
Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng , trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức. 0 Phương pháp giải:
Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định. VÍ DỤ 3 − x + 3 1
Ví dụ 1. Tính giới hạn B = lim . Đs: B = − . x→6 x − 6 6 Lời giải − + + + − x + (3 x 3)(3 x 3 3 3 ) Ta có: B = lim = lim x→6 x→6 x − 6 (x −6)(3+ x+3) 9 − ( x + 3) 6 − x 1 − 1 − 1 = lim = lim = lim = = −
x→6 ( x − 6)(3+ x + 3) x→6 (x − 6)(3+ x + 3) x→6 3+ x + 3 3+ 6 + 3 6
3 3x + 2 − 5x − 6
Ví dụ 2. Tính giới hạn E = lim . Đs: E = 1 − . x→2 x − 2 Lời giải 3 3x 2 2 2 5x 6 3 3x 2 2 2 5x 6 Ta có E lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 A B 3 3x 2 2 3x 2 8 A lim lim x 2 x 2 2 x 2 3 3 x 2 3x 2 2. 3x 2 4 3 x 2 3 1 lim lim x 2 2 x 2 2 3 3 3 3 4 x 2 3x 2 2. 3x 2 4 3x 2 2. 3x 2 4 2 5x 6 4 5x 6 5 2 x B lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 5x 6 x 2 2 5x 6 5 5 lim x 2 x 2 2 5x 6 4 1 5 Suy ra E A B 1 . 4 4 3 5x − 3 + 2 5
Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim . Đs: L = . x 1 →− x +1 12 Lời giải 32
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 5x 3 2 5x 3 8 Ta có: L lim lim x 1 x 1 2 x 1 3 3 x 1 5x 3 2. 5x 3 4 5 x 1 5 5 lim lim . x 1 2 x 1 2 3 3 3 3 12 x 1 5x 3 2. 5x 3 4 5x 3 2. 5x 3 4
3 3x + 2 − 3x − 2 1 −
Ví dụ 4. Tính giới hạn E = lim . Đs: E = . x→2 x − 2 2 Lời giải 3 3x 2 2 3x 2 2 3 3x 2 2 3x 2 2 Ta có E lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 3x 2 8 3x 2 4 lim lim x 2 2 x 2 3 3 x 2 3x 2 2 x 2 3x 2 2. 3x 2 4 3 x 2 3 x 2 lim lim x 2 2 x 2 3 3 x 2 3x 2 2 x 2 3x 2 2. 3x 2 4 3 3 1 3 1 lim lim . x 2 2 x 2 3 3 3x 2 2 4 4 2 3x 2 2. 3x 2 4 3
1+ 2x. 1+ 4x −1
Ví dụ 5. Tính giới hạn F = 7 lim . Đs: F = . x→0 x 3 Lời giải 3 3 1 2x. 1 4x 1 1 2x 1 1 2x. 1 4x 1 F lim lim x 0 x 0 x x 3 1 2x. 1 4x 1 1 2x 1 lim lim x 0 x 0 x x 1 2x. 1 4x 1 1 2x 1 lim lim x 0 2 x 0 3 3 x 1 2x 1 x 1 4x 1 4x 1 4. 1 2x 2 4 7 lim lim 1 . x 0 2 x 0 3 3 1 2x 1 3 3 1 4x 1 4x 1
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Tính các giới hạn sau: 33
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 8 2 4 x x 2 1 1) B lim . Đs: B 6 2) B lim . Đs: B x 8 3 x 1 x 1 x 1 4 2 2x 3x x 1 x 2 2 1 3) B lim . Đs: B 4) B lim . Đs: B x 3 2x 6 4 2 x 2 x 4 16 2 3x 2 3 x 3 1 5) B lim . Đs: B 6) B lim . Đs: B 2 x 2 x 4 16 2 x 9 9x x 54 x 2 2 1 7 2x x 2 1 7) B lim . Đs: B 8) B lim . Đs: B 2 x 2 2x x 10 36 2 x 1 x 1 3 2 2x 5 2x x 8 5 9) B lim . Đs: B 2 x 1 x 3x 2 2 Bài 2.
Tính các giới hạn sau: 3x 1 x 3 x 3 2 3 1) B lim . Đs: B 3 2) B lim . Đs: B x 1 x 8 3 x 1 4x 5 3x 6 2 x 2 2x 1 x 1 3x 5 3) B lim . Đs: B 4) B lim . Đs: B 3 x 2 x 1 3 x 4 x 3 2x 3 x 6 2 x x 2 1 x 4 4x 3 1 5) B lim . Đs: B 0 6) B lim . Đs: B 1 4 x 1 x x x 1 x 1 2 2x 1 2x 5 2 5 7) B lim . Đs: B x 2 2 x 1 x 3 3 Bài 3.
Tính các giới hạn sau: x 9 x 16 7 7 1) L lim . Đs: B x 0 x 24 2x 2 5x 4 5 4 2) L lim . Đs: B x 1 x 1 3 2 x 6 2x 2 8 5 3) L lim . Đs: L x 3 x 3 6 2 2x x 1 x 8 4) L lim . Đs: L 8 x 2 x 2 5x 4 2x 3 x 84 74 5) L lim . Đs: L x 6 x 6 3 34
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 4x 1 6x 1 6) L lim . Đs: L 5 x 0 x 4x 3 2x 1 3x 1 5 7) L lim . Đs: L 2 x 0 x 2x 1 2 3x 7 4 x 3 2 2x 1 17 8) L lim . Đs: L 2 x 1 x 2x 1 16 4x 4 9 6x 5 5 9) L lim . Đs: L 2 x 0 x 12 2 6x 3 2x 5x 11 10) L lim . Đs: L 2 x 1 x 1 6 Bài 4.
Tính các giới hạn sau: 3 4x 2 1 3 1 1 x 1 1) L lim . Đs: L 2) L lim . Đs: L x 2 x 2 3 x 0 x 3 3 2 x 1 2 1 3 x 7 2 1 3) L lim . Đs: L 4) L lim . Đs: L x 3 x 3 2 x 1 x 1 6 3 x 2 5 3 x 1 5) L lim . Đs: L 6) L lim . Đs: L 1 x 8 2x 9 5 12 3 x 1 x 2 1 3 3 10 2x x 1 3 3 8x 11 x 7 7 7) L lim . Đs: L 8) L lim . Đs: L 2 2 x 1 x 3x 2 2 x 2 x 3x 2 54 3 3 2 x 7 x 3 1 9) L lim . Đs: L x 1 x 1 4 3 2 1 x 8 x 11 10) L lim . Đs: L x 0 x 12 3 2 2x 4x 11 x 7 5 11) L lim . Đs: L 2 x 2 x 4 72 3 4 x. 8 3x 4 12) L lim . Đs: L 1 2 x 0 x x Bài 5.
Tính các giới hạn sau: n 1 ax 1 a 1) F lim . Đs: x 0 x n 35
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC n 1 m ax 1 bx a b 2) F lim . Đs: x 0 x n m n 1 ax 1 am 3) F lim (ab 0). Đs: x 0 m 1 bx 1 bn n 1 m ax 1 bx a b 4) F lim . Đs: 2 x 0 1 x 1 n m LỜI GIẢI x 8 3 x 1 x 8 3 x 1 x 8 Bài 1. 1) B lim lim lim x 8 x 8 x 8 3 x 1 3 x 1 3 x 1 9 x 1 x 8 3 x 1 lim lim 3 x 1 6 . x 8 x 8 8 x 2 2 2 4 x x 2 4 x x 2 4 x x 2 2) B lim lim x 1 x 1 2 x 1 x 1 4 x x 2 2 4 x x 4 x x 1 x 1 lim lim lim . x 1 2 x 1 2 x 1 2 4 x 1 4 x x 2 x 1 4 x x 2 4 x x 2 2 2 2 2x 3x x 2x 3 2 3 x x x x x 3) B lim lim x 3 x 3 2 2x 6 2x 6 2x 3x x x x 3 x 1 lim lim . x 3 2 x 3 2 4 2 x 3 2x 3x x 2 2x 3x x x 2 2 x 2 2 x 2 2 4) B lim lim 2 x 2 x 2 2 x 4 x 4 x 2 2 x 2 1 1 lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 16 2 3x 2 2 3x 2 2 3x 2 4 3x 2 5) B lim lim lim 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 4 x 4 2 3x 2 x 4 2 3x 2 3 2 x 3 3 lim lim . x 2 x 2 x 2 x 2 2 3x 2 x 2 2 3x 2 16 36
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 3 x 3 x 3 x 9 1 1 6) B lim lim lim lim . 2 x 9 x 9 2 x 9 9x x 9x x x 3 x 9 x x 3 x 9 x x 3 54 x 2 2 x 2 1 1 7) B lim lim lim . 2 x 2 x 2 2x x 10 x 2 2x 5 x 2 2 x 2 2x 5 x 2 2 36 2 7 2x x 2 7 2x x 2 2 x 2x 3 8) B lim lim lim 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 7 2x 2 x x 1 2 x 1 7 2x 2 x x 1 3 x 3 x 1 lim lim . x 1 x 1 x 1 7 2x 2 x x 1 x 1 7 2x 2 x 3 2 2 2 2x 5 2x x 8 2x 5 2x x 8 9) B lim lim 2 x 1 x 1 2 2 x 3x 2 x 3x 2 2x 5 2x x 8 2 2x 19x 17 x 1 2x 17 lim lim x 1 2 2 x 1 2 x 3x 2 2x 5 2x x 8 x 1 x 2 2x 5 2x x 8 2x 17 5 lim . x 1 2 2 x 2 2x 5 2x x 8 2 x 1 x 8 3 2 x 8 3 3x 1 x 3 Bài 2. 1) B lim lim lim 3 x 1 x 1 x 1 x 8 3 x 1 3x 1 x 3 3x 1 x 3 x 3 2 x 1 4x 5 3x 6 2) B lim lim x 1 4x 5 3x 6 x 1 x 1 x 3 2 4x 5 3x 6 3 lim . x 1 x 3 2 2 x 2 2x 2 x x 1 3 x x 1 3 x 1 3) B lim lim lim . x 2 x 1 3 x x 2 2 x 2 x 2 2x x 2 2 x 2 2x 4 x 1 3x 5 2 3 x 2x 3 x 6 4) B lim lim x 3 2x 3 x 6 x 3 x 3 x 1 3x 5 2 2x 3 x 6 lim 3 . x 3 x 1 3x 5 2 2 x x 2 1 x x x 2 1 x 5) B lim lim 4 x 1 x x x 1 2 2 x x 1 x x 2 x x 2 1 x 37
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x 1 x 1 lim lim x 1 2 2 x x 1 x x 2 x x 2 1 x x 1 2 2 x x x 2 x x 2 1 x 0 . 4 4x 3 1 4 x 1 6) B lim lim x 1 x 1 x 1 3 2 4 4 4 x 1 4x 3 4x 3 4x 3 1 4 lim 1 . x 1 3 2 4 4 4 4x 3 4x 3 4x 3 1 2 2 2 2x 2x 4 x 1 x 3 2x 1 2x 5 7) B lim lim x 2 2 x 1 x 3 x 2 2 2 x x 2 2x 1 2x 5 2 2 x 1 x 3 2 5 lim . x 2 2 2x 1 2x 5 3 x 9 x 16 7 x 9 3 x 9 4 Bài 3. 1) L lim lim x 0 x x 0 x x x x 9 3 x 16 4 1 1 7 lim lim . x 0 x x 0 x 9 3 x 16 4 24 2x 2 5x 4 5 2x 2 2 5x 4 3 2) L lim lim x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 5 x 1 2x 2 2 5x 4 3 2 5 4 lim lim . x 1 x 1 x 1 2x 2 2 5x 4 3 3 2 x 6 2x 2 8 2 x 6 6 2x 2 2 3) L lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 x 6 9 2x 2 4 x 3 x 3 2 2 2 x 6 3 2x 2 2 x 6 3 2x 2 2 lim lim x 3 x 3 x 3 x 3 2 2 5 lim . x 3 x 6 3 2x 2 2 6 38
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2 2 2x x 1 x 8 2x x 1 x 2 x 4 4) L lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 2 2 4x 4 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 1 x 2 x 1 x lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim x 2 x 2 8 . x 2 2 x 1 x 5x 4 2x 3 x 84 5x 4 2x 3 3 5x 4 16x 96 5) L lim lim x 6 x 6 x 6 x 6 2 x 6 5x 4 2x 3 3 16 x 6 5x 4 16 x 6 lim 2x 3 3 lim x 6 x 6 x 6 x 6 10x 8 74 lim 16 . x 6 2x 3 3 3 1 4x 1 6x 1 2 24x 10x 1 1 2 24x 10x 1 1 6) L lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 2 x 24x 10x 1 1 x 24x 10 24x 10 lim lim 5 . x 0 2 x 24x 10x 1 1 x 0 2 24x 10x 1 1 4x 3 2x 1 3x 1 2x 1 x 4x 3 2x 1 7) L lim lim 2 2 2 x 1 x 2x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 2x 1 x 4x 3 2x 1 lim 2 2 x 1 x 1 2x 1 x x 1 4x 3 2x 1 1 4 5 lim . x 1 2x 1 x 4x 3 2x 1 2 3x 7 4 x 3 2 2x 1 4 x 3 x 7 2 2x 1 2x 8) L lim lim 2 2 x 1 x 2x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 16x 48 x 14x 49 4 2x 1 4x x 1 4 x 1 x 7 4 x 3 2x 2 2x 1 x 7 4 x 3 2x 2 2x 1 lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 1 4 17 lim . x 1 x 7 4 x 3 2x 2 2x 1 16 39
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 4x 4 9 6x 5 4x 4 x 2 9 6x x 3 9) L lim lim 2 x 0 x 2 x 0 x 2 2 4x 4 x 4x 4 9 6x x 6x 9 2 2 x x 4x 4 x 2 9 6x x 3 x 2 4x 3 9 6x x 3 lim lim 2 x 0 x 2 x 0 x 1 1 5 lim . x 0 x 2 4x 4 9 6x x 3 12 2 2 6x 3 2x 5x 2 x 2x 1 6x 3 10) L lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 2 2 6x 3 x 4x 4 2 x 1 2 x 1 2 x 1 6x 3 x 2 6x 3 x 2 lim lim 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 1 11 lim 2 . x 1 6x 3 x 2 6 3 4x 2 4x 8 4 1 Bài 4. 1) L lim lim lim . x 2 x 2 x 2 3 2 3 x 2 3 2 3 x 2 16x 2 4x 4 16x 2 4x 4 3 3 1 1 x 1 1 x 1 1 2) L lim lim lim . x 0 x x 0 2 x 0 2 3 3 3 x 1 1 x 1 x 3 3 1 1 x 1 x 3 2 x 1 2 2 x 9 3) L lim lim x 3 x 3 x 3 2 2 3 2 3 x 3 x 1 2 x 1 4 x 3 1 lim . x 3 2 2 3 2 2 3 x 1 2 x 1 4 3 x 7 2 x 1 4) L lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2 3 3 . x 7 2 x 7 4 x 1 x 1 1 lim . x 1 2 3 3 x 7 2 x 7 4 6 x 8 3 x 2 3 2 3 2x 9 5 5 5) L lim x 2 x 4 lim lim . x 8 2x 9 5 x 8 2x 16 x 8 3 2 3 2 x 2 x 4 12 2x 9 5 40
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 1 2 3 3 3 x 1 3 2 3 x 2 x 2 1 6) x x 1 L lim lim lim 1 . 3 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 3 2 3 x x 1 2 3 3 x 2 x 2 1 3 3 3 3 10 2x x 1 10 2x 2 x 1 7) L lim lim 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 1 x 2 3 2x 2 x 1 2 3 3 3 3 10 2x 2 10 2x 4 lim x 1 x 1 x 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 2 3 3 3 3 10 2x 2 10 2x 4 lim x 1 x 1 x 2 2 2 x x 1 1 2 3 3 3 3 10 2x 2 10 2x 4 3 lim . x 1 x 2 2 3 8x 11 x 7 3 8x 11 3 x 7 3 8) L lim lim lim 2 x 2 x 3x 2 2 x 2 x 3x 2 2 x 2 x 3x 2 8x 11 27 x 7 9 lim lim x 2 2 x 2 3 3 x 1 x 2 8x 11 3 8x 11 9 x 1 x 2 x 7 3 8 1 8 1 7 lim lim . x 2 2 x 2 3 3 x 1 8x 11 3 8x 11 9 x 1 x 7 3 27 7 54 3 3 2 3 3 2 x 7 x 3 x 7 2 x 3 2 9) L lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x 7 8 x 3 4 lim lim x 1 2 x 1 2 3 3 3 3 x 1 x 3 2 x 1 x 7 2 x 7 4 3 2 x 1 x 1 lim lim x 1 2 x 1 2 3 3 3 3 x 1 x 3 2 x 1 x 7 2 x 7 4 2 x x 1 x 1 1 1 1 lim lim . x 1 2 x 1 2 3 3 3 4 2 4 3 x 3 2 x 7 2 x 7 4 41
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 3 2 1 x 8 x 2 1 x 2 8 x 2 10) L lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x 4 1 x 4 8 x 8 lim lim x 0 x 0 2 x 2 1 x 2 3 3 x 8 x 2 8 x 4 4 1 1 11 lim lim 1 . x 0 x 0 2 2 1 x 2 3 3 12 12 8 x 2 8 x 4 3 2 3 2 2x 4x 11 x 7 2x 4x 11 3 x 7 3 11) L lim lim lim 2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 x 4 3 2 2x 4x 11 27 x 7 9 lim lim x 2 2 x 2 2 2 2 3 2 3 x 4 x 7 3 x 4 2x 4x 11 3 2x 4x 11 9 2 x 2 x 4 x 2 lim lim x 2 2 x 2 2 2 2 3 2 3 x 4 x 7 3 x 4 2x 4x 11 3 2x 4x 11 9 2 x 4 1 lim lim x 2 2 x 2 2 3 2 3 x 2 x 7 3 x 2 2x 4x 11 3 2x 4x 11 9 1 1 5 9 24 72 3 3 4 x. 8 3x 2 2 4 x 4 4 x. 8 3x 4 12) L lim lim 2 2 x 0 x 0 x x x x 3 4 x. 8 3x 2 2 4 x 4 lim lim 2 2 x 0 x 0 x x x x 4 x. 8 3x 8 2 4 x 4 lim lim x 0 2 x 0 3 3 x x 1 4 x 2 x x 1 8 3x 2 8 3x 4) 4 x.3 2 lim lim x 0 2 x 0 3 3 x 1 4 x 2 x 1 8 3x 2 8 3x 4 1 1 1. 2 2 n 1 ax 1 1 ax 1 Bài 5. 1) F lim lim x 0 x 0 n 1 n 2 x n x 1 n ax 1 ax ... n 1 ax 1 a a lim . x 0 n 1 n 2 n 1 n 1 ... n 1 1 n ax ax ax n 1 ax 1 m n m 1 bx 1 1 ax 1 bx 2) F lim lim x 0 x 0 x x 42
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC n 1 ax 1 m 1 bx 1 a b lim lim . x 0 x 0 x x n m n 1 ax 1 n 1 ax 1 1 3) F lim lim . x 0 m x 0 1 bx 1 m x 1 bx 1 x n 1 ax 1 a m 1 bx 1 b Xét A lim ; B lim x 0 x n x 0 x m a 1 am F . . n b bn m n 1 ax 1 m n m 1 bx 1 1 ax 1 bx 4) F lim lim x 0 x 0 1 x 1 1 x 1 n 1 ax 1 m 1 bx 1 lim lim x 0 x 0 1 x 1 1 x 1 n 1 ax 1 m x 1 bx 1 x lim . lim . x 0 x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 n 1 ax 1 a Ta có A lim x 0 x n m 1 bx 1 b x 1 x 1 x B lim C lim lim lim 1 x 1 2 x 0 x m x 0 x 0 x 0 1 x 1 1 x 1 a b a b F .2 .2 2 . n m n m
Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x → . Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → + 1. lim k x = + x→+
+ khi k = 2l 2. lim k x = x→−
− khi k = 2l +1 c 3. lim = 0 (c hằng số) k x→+ x
- Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử
và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.
- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài
căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân
biệt khi x → + hoặc x → − 43
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = ( 3 2
lim −x − 6x + 9x + ) 1 . Đs: . x→+ Lời giải 6 9 1 6 9 1 3 A lim x 1 (vì 3 lim x và lim 1 1 ). 2 3 x x x x x 2 3 x x x x 3 x 3x 1 1
Ví dụ 2. Tính giới hạn B lim . Đs: . 2 3 x 2 6x 6x 6 Lời giải 3 1 3 3 1 x 1 2 3 1 2 3 x x 1 0 0 1 lim lim x x B . x 2 6 x 2 6 3 0 0 6 6 x 6 6 3 3 x x x x
Ví dụ 2. Tính giới hạn 2 C lim x x 1 2x . Đs: . x Lời giải 1 1 1 1 2
C = lim x 1+ + + 2x = lim x 1+ + + 2x 2 2 x→− x x x →− x x 1 1 1 1 = lim −x 1+ + + 2x
= lim x2 − 1+ + = − 2 2 x→− x x x →− x x 1 1 (Vì lim x và lim 2 1 2 1 1 0 ). x 2 x x x
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) 3 2 A lim x 3x 2 . Đs: . 2) 3 2 A lim x 3x 1 . Đs: . x x 3) 4 2 A lim x 2x 1 . Đs: . 4) 4 2 A lim x 2x 3 . Đs: . x x 5) 4 2 A lim x x 6 . Đs: . x Bài 2. Tính các giới hạn sau: 1 8x 1) B lim . Đs: B 4 . x 2x 1 x 2 2) B lim . Đs: B 1. x x 1 44
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 4 3 2x 7x 15 3) B lim . Đs: B 2 . 4 x x 1 3 2x 3x 4 4) B lim . Đs: B 2 . 3 2 x x x 1 2 3x x 7 5) B lim . Đs: B 0 . 3 x 2x 1 3 2 x x 2 6) B lim . Đs: B . 2 x 3x 4 3x 2 9 3 4 4x 3 2x 1 7) B lim . Đs: B 8 . 7 x 2 2x 20 30 30 2x 3 3x 2 3 8) B lim . Đs: B . 50 x 1 2x 2 2 3x x 3 9) B lim . Đs: B . x x 4 3 2x 2x 3 10) B lim . Đs: B . x 5 x Bài 3. Tính các giới hạn sau: 17 1) 2 C lim x 3x 2 x 10 . Đs: . x 2 4 2 2x x 1 2) C lim . Đs: . x 1 2x 3) 2 C lim 4x 4x 1 2x 13 . Đs: 14. x 9 4) 2 C lim x x x 5 . Đs: . x 2 5) 2 C lim 2x 1 x . Đs: . x 6) 2 C lim x 4x x 2021 . Đs: 2019 . x 1 7) 2 2 C lim x x x 1 . Đs: . x 2 2 x 3 8) C lim . Đs: -2. x 2 x x 5 45
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 9) 4 2 2 C lim 4x 3x 1 2x . Đs: . x 4 2 x x 2x 1 10) C lim . Đs: . x 2x 3 2 3 11) 2 C lim x x 1 x 1 . Đs: . x 2 2 x x x 12) C lim . Đs: 2 . x x 10 1 13) 2 2 C lim 4x 9x 21 4x 7x 13 . Đs: x 2 2 2 4x x 3x 7x 1 14) C lim . Đs: 1. 2 x 2 2x 1 . x 3x 15) 2 C lim 4x 4x 1 2x 3 . Đs: 4 x 3 x 16) C lim x 1 . Đs: -1 3 x 5 3x x 43 17) 2 C lim 16x 3x 4x 5 . Đs: x 8 3 2x x 18) C lim x . Đs: 2 5 2 x x x 3 5 19) 2 C lim x 3 x x 1 . Đs: x 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau: 3 2x x 1) lim . x . Đs: 2 . 5 2 x x x 3 2 x 3 2) lim . Đs: 2. x 2 x x 5 2 x x 2 3x 1 3) lim . Đs: 4. x 2 4x 1 1 x 4 2 2 2x x x x 3 2 1 4) lim Đs: . x x 5 2x 2 46
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2x 1 3 4x x 5 8 5) lim . Đs: . x 2 1 3x 2 9x x 10 3 2 3 3 3 x 1 1 8x 1 6) lim . Đs: . x 6x 9 6 2 2x 1 x 3 2 7) lim . Đs: . 2 x x 5x 5 2 x 4x 3x 1 1 8) lim . Đs: x 2 9x x 3 5x 3 4 2x 1 9) lim . Đs: 1. x 2 2 x x x x 8x 3 10) lim . Đs: 2. x 2 6x 4x x 3 2 x 1 7x 2 11) lim . Đs: 1 . x 2 x 3x 2 5x 3 x 2 1 2x 12) lim . Đs: 1 . x 1 x Bài 5. Tính các giới hạn sau: 2 1) lim x x x . Đs: . x 2 2) lim x 4x x . Đs: 2 . x 3) lim x 2 x 2 . Đs: 0. x 1 2 2 4) lim x x x 1 . Đs: . x 2 2 5) lim x 4x 1 x 2 . Đs: 0. x 5 2 6) lim x 3x 5 x 1 . Đs: . x 2 1 3 3 2 7) lim 27x x 3x . Đs: . x 27 1 2 8) lim 2x 4x 2x 1 . Đs: . x 2 47
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 9) lim 2x 3 4x 4x 3 . Đs: 4 . x 3 4 2 2 10) lim 4x 3x 1 2x . Đs: . x 4 19 2 11) lim 4x 3x 1 2x 4 . Đs: . x 4 2 12) lim 4x 4x 1 2x 3 . Đs: 4 . x 3 2 3 x 4x x 16 13) lim . Đs: . x 2 2x 4x 3x 9 3 3 14) lim 8x 1 2x 1 . Đs: 1 . x LỜI GIẢI 3 2 3 2 Bài 1. 1) 3 A lim x 1 , (vì 3 lim x và lim 1 1 0 ). 3 x x x x 3 x x x 3 1 3 1 2) 3 3 A lim x 1 , ì v lim x à v lim 1 1 0 . 3 3 x x x x x x x 2 1 2 1 3) 4 4 A lim x 1 , ì v lim x à v lim 1 1 0 . 2 4 2 4 x x x x x x x 2 3 2 3 4) 4 4 A lim x 1 , ì v lim x à v lim 1 1 0 . 2 4 2 4 x x x x x x x 1 6 1 6 5) 4 4 A lim x 1 , ì v lim x à v lim 1 1 0 . 2 4 2 4 x x x x x x x 1 1 x 8 8 1 8x x 0 8 Bài 2. 1) lim lim lim x B 4 . x 2x 1 x 1 x 1 2 0 x 2 2 x x 2 2 x 1 1 x 2 x 1 0 2) lim lim lim x B 1. x x 1 x 1 x 1 1 0 x 1 1 x x 7 15 4 7 15 x 2 4 3 4 2 4 2x 7x 15 x x 2 0 0 3) lim lim lim x x B 2 . 4 x x 1 x 1 x 1 4 1 0 x 1 1 4 4 x x 48
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 4 3 4 3 x 2 2 3 2 3 2 3 2x 3x 4 x x x x 2 0 0 4) B lim lim lim 2 . 3 2 x x x 1 x 1 1 x 1 1 3 1 0 0 x 1 1 3 3 x x x x 3 1 7 3 1 7 3 x 2 3x x 7 2 3 2 3 x x x x x x 0 0 0 5) B lim lim lim 0 . 3 x 2x 1 x 1 x 1 3 2 0 x 2 2 3 3 x x 3 2 x x 2 x 2x 4 6) B lim lim 2 x 3x 4 3x 2 2 x 3x 4 3x 2 4 4 3 x 2 2 x x 2 0 2 lim lim x 4 2 x 4 2 3 3 0 3 0 9 x 3 3 3 3 2 2 x x x x 3 4 3 1 3 4 4 2 3 4 4x 3 2x 1 x x 4 0 2 0 7) B lim lim 8 . 7 7 7 x 2 2x x 3 2 0 2 x 20 30 3 2 20 30 2 3 20 30 30 2x 3 3x 2 x x 2 0 3 0 3 8) B lim lim . 50 50 50 x 1 2x x 1 2 0 2 2 x 1 3 2 1 3 x 3 2 3 3x x 3 2 2 x x 9) B lim lim lim . x x x , x x 4 x 4 x 4 x 1 1 x x 1 3 3 2 ì lim à lim x x v x v 3 . x x 4 1 x 2 3 3 2 3 x 2 3 2 2x 2x 3 2 3 2 3 x x 10) B lim 2 lim lim . x x x , x 5 x x 5 x 5 x 1 1 x x 2 3 2 2 3 2 ì lim à lim x x v x v 2 . x x 5 1 x 49
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 3. 1) 2 C lim x 3x 2 x 10 2 10 lim x 3x 2 x x x 3x 2 3x 2 10 lim 10 lim x 2 x 3x 2 x x 2 x 3x 2 x 2 3 3 17 10 lim x 10 . x 3 2 2 2 1 1 2 x x 1 1 1 1 2 4 2 x 2 2 2x x 1 2 4 2 4 2) C lim x x x x lim lim x , x 1 2x x 1 x 1 x 2 2 x x 1 1 2 2 4 x x 2 ì v lim x à v lim 0 x x 1 2 2 x 3) 2 C lim 4x 4x 1 2x 13 2 13 lim 4x 4x 1 2x x x 2 2 4x 4x 1 4x 4x 1 13 lim 13 lim x 2 4x 4x 1 2x x 4 1 2 x 4 2x 2 x x 1 1 x 4 x 4 x x 13 lim 13 lim x 4 1 x 4 1 x 4 2x x 4 2x 2 x x 2 x x 1 4 13 lim x 14 x 4 1 4 2 2 x x 1 1 4) 2 C lim x x x 5 5 lim x 1 x 5 lim x 1 1 x x x x x 1 1 1 1 9 5 lim x x 5 lim . x 1 x 1 2 1 1 1 1 x x 50
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 1 5) 2 C lim 2x 1 x lim x 2 x lim x 1 2 , x 2 2 x x x x 1 ì v lim 1 2 1 2 0 à v lim x . 2 x x x 4 4 6) 2 C lim x 4x x 2021 2021 lim x 1 x 2021 lim x 1 1 x x x x x 4 1 1 4 4 2021 lim x x 2021 lim 2021 2019 . x 4 x 4 2 1 1 1 1 x x x 1 7) 2 2 C lim x x x 1 lim x x 2 2 x x x 1 x 1 x 1 lim lim x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 2 x x x x 1 1 1 lim x x 1 1 2 1 1 2 x x 2 x 3 2 x 3 2 x 3 2 0 8) C lim lim lim x x 2 . x 2 x x 5 x 1 5 x 1 5 1 0 0 x 1 1 2 2 x x x x 3 1 9) 4 2 2 C lim 4x 3x 1 2x 2 2 lim x 4 2x x 2 4 x x x 3 1 1 4 4 3 2 4 2 3 2 lim x x lim x x . x 3 1 x 3 1 4 4 2 4 2 2 4 2 4 x x x x 1 x 1 2x 2 x x 2x x 10) C lim lim x 2x 3 x 2x 3 1 1 x 1 2 1 2 x x 1 2 1 lim lim . x 3 x 3 2 2 x 2 2 x x 51
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 1 11) 2 C lim x x 1 x 1 1 lim x 1 x x 2 x x x 1 1 1 1 1 1 2 1 lim x 1 1 1 lim x x x 2 x x x x 1 1 1 1 2 x x 1 1 1 3 1 lim x 1 . x 1 1 2 2 1 1 2 x x 1 x 1 2 x x 1 1 x x x x x x 1 1 12) C lim lim lim 2 . x x 10 x x 10 x 10 1 1 x 9 21 7 13 13) 2 2 C lim 4x 9x 21 4x 7x 13 lim x 4 x 4 x 2 2 x x x x x 9 21 7 13 34 4 4 2 2 2 2 1 lim x x x x x lim x . x 9 21 7 13 x 9 21 7 13 2 2 2 4 4 4 4 2 2 x x x x 2 2 x x x x 2 2 4x x 3x 7x 1 14) C lim 2 x 2 2x 1 . x 3x 4 x 3 7 1 4 x 3 7 1 3 x 2 3 2 3 x x x x x x x x 4 lim lim 1 2 2 2 x 1 3 x 1 3 2 .1 2 x 2 . x 1 2 . 1 x x x x 4 1 15) 2 C lim 4x 4x 1 2x 3 3 lim x 4 2x x 2 x x x 4 1 1 4 4 4 2 4 3 lim x x x 3 lim x 3 4 . x 4 1 x 4 1 4 4 2 4 2 2 x x 2 x x 3 x 16) C lim x 1 3 x 5 3x x 52
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 3 1 1 1 1 0 1 lim 1 x lim 1 x x 1. 1 . x x 5 3 x x 5 3 2 0 0 1 x 1 1 3 2 2 x x x x 17) 2 C lim 16x 3x 4x 5 x 3 3 5 lim x 16 4x 5 lim x 16 4 x x x x 3 16 16 3 3 3 43 5 lim x x 5 lim 5 5 . x 3 x 3 4 4 8 8 16 4 16 4 x x 1 3 1 x 2 3 2 2x x 2 2 x 18) x C lim x lim x lim 2. 5 2 x x x 3 x 1 3 x 1 3 5 x 1 1 3 5 3 5 x x x x 1 1 19) 2 C lim x 3 x x 1 3 lim x x 1 x 2 x x x 1 1 1 1 1 1 2 3 lim x 1 1 3 lim x x x 2 x x x x 1 1 1 1 2 x x 1 1 1 5 3 lim x 3 . x 1 1 2 2 1 1 2 x x Bài 4. 1 3 3 2x 2x x x 2x x 1) lim . lim . . lim 1 . x x x 2 . 5 2 2 5 2 x x x 3 x x x x 3 x 1 3 x 2 4 x x 3 2 2 x 3 2x 3 2) lim lim lim x 2 . x 2 x x 5 x 1 5 x 1 5 x 1 1 2 2 x x x x 53
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 2 1 2 1 2 x 1 3x 1 1 3 2 2 x x 2 3x 1 x x x x x 1 3 3) lim lim lim 4 . x 2 4x 1 1 x x 1 x 1 1 2 1 x 4 1 x 4 1 2 2 x x x 1 3 1 3 2 2 4 2 2 x 2 x 1 2 1 2 2 2x x x x 3 x x x x 2 1 4) lim lim lim . x x 5 2 x x 5 x 5 2 2 x 2 2 x x 1 5 1 1 5 2 2x 1 3x 4 2 3 4 2 2 2x 1 3 4x x 5 x x x x x 8 5) lim lim lim . x 2 1 3x 2 9x x 10 x 1 10 x 1 1 10 3 1 3x 2x 9 3 2 9 2 2 x x x x x 1 1 1 1 2 3 3 3x 1 x 8 3 1 8 2 3 2 3 3 x 1 1 8x x x x x 1 6) lim lim lim . x 6x 9 x 6x 9 x 9 6 6 x 3 1 3 2x 1 x 1 2 1 1 2 2x 1 x 3 x x x 2 7) lim lim lim . 2 2 x x 5 x x x 5 x x 1 5 5 x 3 1 3 1 2 x x 4 1 4 2 2 x 4x 3x 1 x x x x 1 8) lim lim lim . x 2 9x x 3 5x 3 x 1 3 x 1 3 3 4 x 9 5x 3 9 5 2 2 x x x x x 1 2 2x 1 2x 1 2 9) lim lim lim x 1 . x 2 2 x x x x x 1 1 x 1 1 2 x 1 x 1 1 1 x x x x 3 8 8x 3 8x 3 10) lim lim lim x 2 . x 2 6x 4x x 3 x 1 3 x 1 3 6x x 4 6 4 2 2 x x x x 1 1 2 2 x 1 7x 2 1 7 2 2 x 1 7x 2 11) x x x lim lim lim 1 . x 2 x 3x 2 5x 3 x 3 2 x 3 2 3 x 1 5x 3 x 1 5 2 2 x x x x x 1 2 1 2 x 2x 1 2 2 2 x 2 1 2x 12) x x x x lim lim lim 1 . x 1 x x 1 x x 1 1 x 54
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 5. 1 1 2 1) lim x x x lim x 1 x lim x 1 1 . x x x x x 1 ì V lim x à v lim 1 1 2 . x x x 2 2 x 4x x 4x 2 2) lim x 4x x lim lim 2 . x x 2 x 4 x x x 4 x 1 1 x x 2 x 2 4 3) lim x 2 x 2 lim lim 0 . x x x 2 x 2 x 2 2 x 1 1 x x 4 1 1 ì V lim 0 à v lim . x x x 2 2 2 1 1 x x 2 2 x x x 1 x 1 2 2 4) lim x x x 1 lim lim x x 2 2 x x x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 x x 1 1 1 lim x . x 1 1 2 1 1 2 x x 2 2 x 4x 1 x 2 3 2 5) lim x 4x 1 x 2 lim lim x x 2 x 4x 1 x 2 x 4 1 x 1 x 2 2 x x 3 lim 0 . x 4 1 2 x 1 1 2 x x x 2 2 x 3x 5 x 1 5x 4 2 6) lim x 3x 5 x 1 lim lim x x 2 x 3x 5 x 1 x 3 5 x 1 x 1 2 x x 4 5 5 lim x . x 3 5 1 2 1 1 2 x x x 55
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 3 27x x 27x 3 3 2 7) lim 27x x 3x lim 2 x x 3 3 2 3 3 2 2 27x x 3x 27x x 9x 2 x 1 1 lim lim . 2 2 x x 27 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 x 27 3x 27 9x 27 3 27 9 x x x x 2 2 4x 4x 2x 1 2x 1 2 8) lim 2x 4x 2x 1 lim lim x x 2 2x 4x 2x 1 x 2 1 2x x 4 2 x x 1 2 1 lim x . x 2 1 2 2 4 2 x x 2 2 2x 3 4x 4x 3 16x 6 2 9) lim 2x 3 4x 4x 3 lim lim x x 2 x 2 2x 3 4x 4x 3 2x 3 4x 4x 3 6 16 16x 6 lim lim x 4 x 4 3 x 3 4 3 2x 3 x 4 2 4 2 2 x x x x x 4 2 4 2 4x 3x 1 4x 3x 1 4 2 2 10) lim 4x 3x 1 2x lim lim x x 4 2 2 4x 3x 1 2 x x 3 1 2 2 x 4 2x 2 4 x x 1 3 2 3 lim x . x 3 1 4 4 2 2 4 x x 2 2 4x 3x 1 2x 4 19x 15 2 11) lim 4x 3x 1 2x 4 lim lim x x 2 4x 3x 1 2x 4 x 3 1 x 4 2x 4 2 x x 15 19 19 lim x . x 3 1 4 4 4 2 2 x x x 2 2 4x 4x 1 2x 3 16x 8 2 12) lim 4x 4x 1 2x 3 lim lim x x 2 4x 4x 1 2x 3 x 4 1 x 4 2x 3 2 x x 56
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 8 16 lim x 4 . x 4 1 3 4 2 2 x x x 3 2 3 3 2 3 2 x 4x x x 4x x 2x 4x 3x 13) lim lim . 2 2 2 x 2 x 4x 4x 3x 2 3 2 3 3 2 3 2x 4x 3x x x 4x x 4x x 3 2 4 4 x 16 lim . . 2 x 3 9 4 4 3 3 1 1 1 x x 3 3 8x 1 2x 1 14) 3 3 lim 8x 1 2x 1 lim 2 x x 2 3 3 3 3 8x 1 2x 1 8x 1 2x 1 6 2 2 12 12x 6x 2 2 lim lim x x 1. 2 2 x 2 x 2 3 3 3 3 8x 1 2x 1 8x 1 2x 1 1 1 1 1 3 3 8 2 8 2 3 3 x x x x
Dạng 4. Giới hạn một bên x x+ → hoặc x x− → . 0 0 Phương pháp giải:
- Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số
Chú ý: x → x+ x x x − x 0 0 0 0
x → x− x x x − x 0 0 0 0 VÍ DỤ 2x − 3
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim . Đs: . − + x 1 → x −1 Lời giải lim 2x 3 1 0 x 1 2x 3 Vì lim x 1 0 A lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x −15
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim . Đs: . − + x→2 x − 2 Lời giải 57
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC lim x 15 13 0 x 2 x 15 Vì lim x 2 0 A lim . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0 2 − x
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim . Đs: . − − x 3 → 3 − x Lời giải
lim (2 − x) = −1 0 − x→3 2 − x
Vì lim (3 − x) = 0 A = lim = − . − − x→3 x→3 3 − x
x → 3− x 3 3 − x 0 x +1
Ví dụ 4. Tính giới hạn A = lim . Đs: + x→2 2x − . + 4 Lời giải lim (x + ) 1 = 3 0 + x→2 x +1
Vì lim (2x − 4) = 0 A = lim = + . + + x→2 x→2 2x − 4
x → 2+ x 2 2x − 4 0 x − 5
Ví dụ 5. Tính giới hạn A = lim . Đs: . − − x→ (x −4)2 4 Lời giải lim (x −5) = 1 − 0 − x→4 − 2 x 5
Vì lim ( x − 4) = 0 A = lim = − . − − x→ x→ (x − 4)2 4 4 x → 4− (x − 4)2 0 3x − 8
Ví dụ 6. Tính giới hạn A = lim . Đs: . + − x→ (3− x)2 3 Lời giải
lim (3x −8) =1 0 − x→3 − 2 3x 8
Vì lim (3 − x) = 0 A = lim = + . − − x→ x→ (3− x)2 3 3 x → 3− (3− x)2 0 2 + − Ví dụ 7. 2x 5x 3
Tính giới hạn A = lim . Đs: . − + x ( → − ) (x +3)2 3 Lời giải 58
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2x + 5x − 3 (2x − ) 1 ( x + 3) 2x −1 Ta có lim = lim = lim + + + x ( → − ) (x +3)2 x→(− ) (x +3)2 3 3 x→( 3 − ) x + 3 lim (2x − ) 1 = 7 − 0 + x→( 3−) 2 2x + 5x − 3
Vì lim ( x + 3) = 0 A = lim = − . + + x→(− ) x→(− ) (x +3)2 3 3 + x → ( 3 − ) x 3 − x + 3 0 1 1
Ví dụ 8. Tính giới hạn A = lim − . Đs: . − − 2
x→2 x − 2 x − 4 Lời giải 1 1 x +1 Ta có: A = lim − = lim − 2 − x→2 − − x→2 x 2 x 4 (x − 2)(x + 2) lim (x + ) 1 = 3 0 − x→2 1 1
Vì lim ( x − 2)( x + 2) = 0 A = lim − = − . − − 2 x→2 x→2
x − 2 x − 4
x → 2− x 2
(x − 2)(x + 2) 0 2 − x 1
Ví dụ 9. Tính giới hạn B = lim . Đs: − . − 2 x→2 2x − 5x + 2 3 Lời giải −
Vì x → 2 x 2 2 − x = 2 − x − − Do đó 2 x 1 1 B = lim = lim = − . − −
x→2 ( x − 2)(2x − ) x→2 1 2x −1 3 x − 3 1
Ví dụ 10. Tính giới hạn B = lim . Đs: . + x 3 → 5x −15 5 Lời giải Vì x 3+ →
x 3 x − 3 = x − 3 − Do đó x 3 1 1 B = lim = lim = . − − x 3 → 5( x − 3) x 3 → 5 5
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau: x −1 1 1) A = lim . Đs: − . − 3 x 1 → 2x + x − 3 7 x − 2 2) B = lim .
Đs: Không tồn tại. x→2 x − 2 59
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − 9 3) C = lim .
Đs: Không tồn tại. x→3 x − 3 Bài 2. Tính các giới hạn sau: 2
2x − 2x + x −1 x + 3 7 1) C = lim . Đs: . − 2 x 1 → x − 2x +1 4 x − 2 2) C = lim . Đs: 2. − − x→2 x −1 −1 2 x − 7x +12 1 3) D = lim . Đs: . − → 2 x 3 9 − x 6 2 x − 5x + 6 1 4) D = lim . Đs: . − → 2 x 2 4 − x 2 1− x + x −1 5) D = lim . Đs: 1. − → 2 3 x 1 x − x x + 5
6) D = lim (1− x) . Đs: 0. + 3 2 x 1 → x + 2x − 3 3 x − 3x + 2 3 7) D = lim . Đs: . − 2 x 1 → x − 5x + 4 3 4 2 5
x −6x − x khi x 1 Bài 3.
1) Tính giới hạn C = lim f ( x) với f ( x) = . Đs: −2 x 1 → 3 x −3x khi x 1 x − 3 khi x 1
2) Tính giới hạn C = lim f ( x) với f ( x) = . Đs: −2 . x 1 → 2 1
− 7x + 2 khi x 1 3x − 2 khi x 2 −
3) Tính giới hạn C = lim f ( x) với f ( x) = x +1 . Đs:8 . x 2 →−
x +10 khi x 2 − 3 x +1 khi x 1 − Bài 4.
Tìm m để hàm số f ( x) = x +1
có giới hạn tại x = 1. − 2 2
mx − x + m khi x 1 −
Đs: m =1 hoặc m = 2 − . 60
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI x −1 Bài 1. 1) A = lim . − 3 x 1 → 2x + x − 3 −
Vì x →1 x 1 x −1 = − ( x − ) 1 . −(x − ) − Do đó 1 1 1 A = lim = lim = − . − − x→ (x − ) 1 ( 2 1 2x + 2x + 3) 2 x 1 → 2x + 2x + 3 7 x − 2 2) B = lim . x→2 x − 2 −(x − 2) −
+) Vì x → 2 x 2 x − 2 = − ( x − 2) nên lim = lim (− ) 1 = 1 − . − − x→2 − x→2 x 2 + x − 2
+) Vì x → 2 x 2 x − 2 = x − 2 nên lim = lim1=1 . − − x→2 − x→2 x 2 x − 2 x − 2 x − 2 Suy ra lim lim
nên không tồn tại giới hạn của B = lim . − + x→2 − x→2 x 2 x − 2 x→2 x − 2 2 x − 9 3) C = lim . x→3 x − 3 x − 3 . x + 3 Ta có C = lim . Do đó: x 3 → x − 3 2 x − 9 (x −3). x +3 +) lim = lim = lim x + 3 = 6. + + + x→3 − x→3 − x→3 x 3 x 3 2 x − 9
−(x −3). x + 3 +) lim = lim = lim − + = − − − − ( x 3 ) 6. x→3 − x→3 − x→3 x 3 x 3 2 x − 9
Suy ra giới hạn của C = lim không tồn tại. x→3 x − 3 2
2x − 2x + x −1 x + 3 Bài 2. 1) C = lim . − 2 x 1 → x − 2x +1 −
Vì x → 1 x −1 0 x −1 = − ( x − ) 1 . Do đó 2x ( x − ) 1 − ( x − ) 2 1 x + 3 2x − x + 3 4x − x − 3 C = lim = lim = lim − − − x→ (x − )2 1 x 1 → − x 1 1 x 1 → (x − ) 1 (2x + x + 3) (x − ) 1 (4x + 3) 4x + 3 7 = lim = lim = . − − x 1 → (x − )
1 (2x + x + 3) x 1 → 2x + x + 3 4 x − 2 2) C = lim . − x→2 x −1 −1 61
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC −
Vì x → 2 x − 2 0 x − 2 = − ( x − 2) . Do đó:
−(x − 2)( x −1+ ) 1 C = lim = lim − − + = − − − − − ( x 1 )1 2. x→2 (x ) x→2 1 1 2 x − 7x +12 3) D = lim . − → 2 x 3 9 − x (x −3)(x −4) 3 − x. 4 − x 4 − x 1 Ta có D = lim = lim = lim = . − − − x 3 →
(3− x)(3+ x) x 3 → x 3 3 − x. 3 + x → 3 + x 6 2 x − 5x + 6 4) D = lim . − → 2 x 2 4 − x (x −2)(x −3) 2 − x. 3 − x 3 − x 1 Ta có D = lim = lim = lim = . − − − x→2
(2− x)(2+ x) x→2 x→2 2 − x. 2 + x 2 + x 2 1− x + x −1 5) D = lim . − → 2 3 x 1 x − x
1− x − (1− x)
1− x − (1− x)2 1− 1− x Ta có D = lim = lim = lim =1. − → 2 − − x 1 x (1− x) x 1 → x 1 x 1− x → x x + 5
6) D = lim (1− x) . + 3 2 x 1 → x + 2x − 3 ( x − )2 1 ( x + 5) (x − ) 1 ( x + 5) Ta có D = lim − = lim − = 0. + + x→ (x − ) 1 ( 2 1 x + 3x + 3) 2 x 1 → x + 3x + 3 3 x − 3x + 2 7) D = lim . − 2 x 1 → x − 5x + 4 (x − )2 1 ( x + 2) (1− x) x + 2 x + 2 3 Ta có D = lim = lim = lim = . − − − x 1 → (x − ) 1 ( x − 4) x 1 → (x − ) 1 ( x − 4) x 1 → 4 − x 3 Bài 3. 1) Ta có:
+) lim f ( x) = lim ( 3 x − 3x = − − − ) 2. x 1 → x 1 →
+) lim f ( x) = lim ( 4 2
5x − 6x − x = − − = − + + ) 5 6 1 2. x 1 → x 1 →
+) Vì lim f ( x) = lim f ( x) = 2
− nên hàm số f (x) có giới hạn tại x =1 và − + x 1 → x 1 → lim f ( x) = 2 − . x 1 → 62
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2) Ta có:
+) lim f ( x) = lim ( x − 3) = 2 − . − − x 1 → x 1 →
+) lim f ( x) = lim − x + = − + + → x→ ( 2 1 7 2 2. x 1 1 )
+) Vì lim f ( x) = lim f ( x) = 2
− nên C = lim f (x) = 2 − . − + x 1 → x 1 → x 1 → 3) Ta có: 3x − 2
+) lim f ( x) = lim = 8. − − x ( → 2 − ) x ( → 2 − ) x +1
+) lim f ( x) = lim ( x +10) = 8. + + x ( → 2 − ) x ( → 2 − )
+)Vì lim f ( x) = lim f ( x) = 8 nên C = lim f ( x) = 8. − + x ( → 2 − ) x ( → 2 − ) x 2 →− Bài 4. Ta có: 3 x +1
+) lim f ( x) = lim = lim − + = − − − ( 2 x x )1 3. x→(− ) 1 x→(− ) 1 x +1 x→(− ) 1
+) lim f ( x) = lim − + = + + + + ( 2 2 mx x m ) 2 m m 1. x ( → − ) 1 x→(− ) 1
+) Để hàm số có giới hạn tại x = 1 − thì m =1 2 2
3 = m + m +1 m + m − 2 = 0 . m = 2 −
Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác Phương pháp giải:
- Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số
- Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác sin x - Lưu ý: lim 1 x 0 x VÍ DỤ 2sin x −1 1
Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = − . 2 − x→ 4 cos x 3 2 6 Lời giải 2sin x −1 2sin x −1 2sin x −1 1 − 1 Ta có: A = lim = lim = lim = lim = − . 2 − − − − + x→ 4 cos x 3 x→ 4( 2 1 sin x) 2 3 x→ 1 4sin x x→ 1 2sin x 2 6 6 6 6 2 sin x −1 1
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = − . 2 − x→ 2 cos x 1 2 4 63
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải 2 sin x −1 2 sin x −1 2 sin x −1 1 − 1 Ta có: A = lim = lim = lim = lim = − . 2 − − − − + x→ 2 cos x 1 x→ 2( 2 1 sin x) 2 1 x→ 1 2sin x x→ 1 2 sin x 2 4 4 4 4 cos 4x −1
Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = 0. x 0 → sin 4x Lời giải 2 2 2 2 cos 4x −1
cos 2x − sin 2x − cos 2x − sin 2x Ta có: A = lim = lim x 0 → x 0 sin 4x → 2sin 2x cos 2x 2 2 − sin 2x −sin 2x = lim = lim = 0. x 0 → x 0 2sin 2x cos 2x → cos 2x
1− sin 2x − cos 2x
Ví dụ 4. Tính giới hạn A = lim . Đs: A = − x 0 → 1+ sin 2x − 1. cos 2x Lời giải − −
1− 2sin x cos x − ( 2 2 cos x − sin 1 sin 2 cos 2 x x x ) Ta có: A = lim = lim .
x→ 1+ sin 2x − cos 2 x x
→ 1+ 2sin x cos x − ( 2 2 0 0 cos x − sin x) 2
2sin x − 2sin x cos x
2sin x (sin x − cos x) sin x − cos x = lim = lim = lim = 1 − . 2 x→0 x→0
2sin x + 2sin x cos x
2sin x (sin x + cos x)
x→0 sin x + cos x
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1+ sin 2x − cos 2x sin 2x 1) A = lim . Đs: A = 1. − 2) A = lim . Đs: A = 1. − x 0
→ 1− sin 2x − cos 2x x 0
→ 1− sin 2x − cos 2x
sin 7x − sin 5x
sin 5x − sin 3x 3) A = lim . Đs: A = 2. 4) A = lim . Đs: A = 2. x 0 → sin x x 0 → sin x 1− cos x 5) A = lim . Đs: A = 0. x 0 → sin x
cos 3x + 2 cos 2x + 2 2 3 6) A = lim . Đs: A = . x→ sin 3x 3 3
1+ sin 2x + cos 2x 7) A = lim . Đs: A = 2. x→ cos x 2 Bài 2. Tính các giới hạn sau: 2 1− cos ax a sin 5x 1) B = lim . Đs: B = . 2) B = lim . Đs: B = 5. x 0 → 1− cosbx b x 0 → x 64
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC sin 5 . x sin 3 . x sin x 1 1− cos x 1 3) B = lim . Đs: B = . 4) B = lim . Đs: B = . 3 x 0 → 45x 3 2 x 0 → x 2 1− cos 5x 25 1− cosa x 2 a 5) B = lim . Đs: B = . 6) B = lim . Đs: B = . x 0 → 1− cos3x 9 2 x 0 → x 2 2 1− cos 2x sin x − tan x 1 7) B = lim . Đs: B = 4 . 8) B = lim
. Đs: B = − . x 0 → x sin x 3 x 0 → x 2 tan x − sin x 1 3 1− cos x 3 9) B = lim . Đs: B = . 10) B = lim . Đs: B = . 3 x 0 → sin x 2 x→0 x sin x 2 Bài 3. Tính các giới hạn sau: ( cos8x − ) 2 1 sin 3x 1− 2x +1 1 − 1) B = lim . Đs: B = 48 − . 2) B = lim . Đs: B = . 4 x→0 3.x x→0 sin 2x 2 1− cos cos 2x 3 3 1− cos x 1 3) B = lim . Đs: B = . 4) B = lim . Đs: B = . 2 x→0 x 2 2 x→0 tan x 6 3 tanx −1 1 5) B = lim . Đs: B = . 2 − x→ 2sin x 1 3 4
1+ tan x − 1+ sin x 1 1− cos x 6) B = lim . Đs: B = . 7) B = lim . Đs: B = 2 . 3 x→0 x 4 x→ (1− 1−x)2 0 2 1+ x − cos x
1− 2x +1 + sin x 8) B = lim . Đs: B = 1. 9) B = lim . Đs: B = 0 . 2 x→0 x x→0
3x + 4 − 2 − x 3 2 2x +1 − x +1 10) B = lim . Đs: 1. x→0 sin x
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 1
1) C = lim tan 2x tan − x . Đs: C = x→ 4 2 4 1+ cos x 1 2) C = lim Đs: C = x → ( x − ) . 2 2 sin ( x − ) 1 1 − 3) C = lim . Đs: C = . 2 x → x − 4x + 3 2 sin x − sin a 4) C = lim . Đs: C = cos . a x→a x − a 65
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI + −
1+ 2sin x cos x − ( 2 2 cos x − sin 1 sin 2 cos 2 x x x ) Bài 1. 1) A = lim = lim
x→ 1− sin 2x − cos 2 x x
→ 1− 2sin x cos x − ( . 2 2 0 0 cos x − sin x) 2
2sin x + 2sin x cos x
2sin x (sin x + cos x) sin x + cos x = lim = lim = lim = 1 − . 2 x→0 x→0
2sin x − 2sin x cos x
2sin x (sin x − cos x)
x→0 sin x − cos x sin 2x 2sin x cos x 2) A = lim = lim
x→ 1− sin 2x − cos 2 x x
→ 1− 2sin x cos x − ( . 2 2 0 0 cos x − sin x) 2sin x cos x 2sin x cos x cos x = lim = lim = lim = 1 − . 2 x→0 x→0
2sin x − 2sin x cos x
2sin x (sin x − cos x)
x→0 sin x − cos x
sin 7x − sin 5x 2cos 6 . x sin x 3) A = lim = lim = lim2cos6x = 2 . x 0 → x 0 → x 0 sin x sin x →
sin 5x − sin 3x 2cos 4 . x sin x 4) A = lim = lim = lim2cos 4x = 2. x 0 → x 0 → x 0 sin x sin x → x x 2 2sin sin 1− cos x 5) 2 2 A = lim = lim = lim = 0. x→0 x→0 x x x x→0 sin x 2sin .cos cos 2 2 2 3 + +
4 cos x − 3cos x + 2( 2 2 cos x − sin x x x )+2 cos 3 2 cos 2 2 6) A = lim = lim 3 − x→ sin 3x x→ 3sin x 4sin x 3 3 − + cos x ( 2 3 2 4 cos x − 3 + 4 cos 4 cos 3cos 4 cos x x x x ) = lim = − − − x→ sin x ( lim 2 3 4sin x) x→ sin x 3 4 ( 2 1 cos x 3 3 )
cos x (2cos x + )2 1 − 4 cos x
(2cos x +3)(2cos x − ) 1
cos x (2cos x + 3) 2 3 = lim = lim = lim = . 2 − − + + x→ sin x 4 cos x 1 x→ sin x (2cos x ) 1 (2cos x ) 1 x→ sin x (2cos x ) 1 3 3 3 3 2
1+ sin 2x + cos 2x
2 cos x + 2sin x cos x 7) A = lim = lim x→ cos x x→ cos x 2 2
2 cos x (cos x + sin x) = lim
= lim 2(cos x + sin x) = 2. x→ cos x x→ 2 2 2 ax ax bx 2 2 2sin sin 1− cos ax a a Bài 2. 1) 2 2 2 A = lim = lim = lim . . = . x→0 x→0 − bx bx x→0 1 cos b ax bx 2 b 2sin sin 2 2 2 66
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ax bx sin (Vì 2 lim =1 và 2 lim =1). x→0 ax x→0 bx sin 2 2 sin 5x sin 5x sin 5x 2) B = lim = lim 5. = 5 . (Vì lim =1). x→0 x→0 x 5x x 0 → 5x sin 5 . x sin 3 . x sin x
sin 5x sin 3x sin x 1 1 3) B = lim = lim . . . = 3 x→0 x→0 45x 5x 3x x 3 3 sin 5x sin 3x sin x (Vì lim =1, lim =1, lim =1). x 0 → 5x x 0 → 3x x 0 → x x x 2 2sin 2 sin 1− cos x 1 4) 2 B = lim = lim = , (vì 2 lim =1. 2 2 2 x→0 x→0 x x 2 x→0 x .4 2 2 2 5x 3 5 x x 2 2 sin . 2sin 1− cos 5x 2 = = = 2 25 25 5) 2 B lim lim lim . = 2 x→0 x→0 1− cos 3x 3x x→0 2 5x 3x 9 9 2 2sin .sin 2 2 2 2 5x 3x 2 sin 2 (Vì 2 lim =1 và lim =1). 2 x→0 5x x→0 3x 2 sin 2 2 ax ax 2 2sin 2 2 2 sin 1− cosa x a a 6) = = 2 B lim lim . = , (vì 2 lim =1). 2 2 2 x→0 x→0 x ax 4 2 x→0 ax 2 2 2 2 2 sin 2x 4sin . x cos x sin x sinx 7) 2 B = lim = lim = lim .4 cos x = 4 , (vì lim =1). x→0 x→0 x→0 . x sin x . x sin x x x 0 → x sin x sin x − sin x − tan x sin .
x cos x − sin x 8) cos = lim = lim x B = lim 3 3 3 x→0 x→0 x→0 x x x cos x x − x ( − x) 2 sin sin 1 cos 2 − sin x 2 − 1 = = 2 − lim lim . . = . 3 2 x→0 x→0 x cos x x x 4 cos x 2 2 67
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 2 sin sinx 2 (vì lim =1và lim =1). 2 x 0 → x x→0 x 2 sin x −sin x tan x − sin x sin x − sin . x cos x 9) cos = lim = lim x B = lim 3 3 3 x→0 x→0 x→0 sin x sin x sin x cos x x 2 2sin 1− cos x 1 1 2 = lim = lim = lim = 2 x→0 x→0 x x x x→0 sin x .cos x 2 2 2 2 4.sin .cos .cos x cos .cos x 2 2 2 ( − )( + + ) x 2 2sin ( 2 2 1+ cos x + cos 1 cos 1 cos cos x x x x ) 10) 2 B = lim = lim x→0 x→0 x sin x x x 2 . x sin .cos 2 2 x x sin 2 sin
1+ cos x + cos x 3 2 = lim . = , (vì 2 lim =1). x→0 x x 2 x→0 x 2 cos 2 2 2 ( cos8x − ) 2 1 sin 3x (cos8x − ) 2 2 2 1 sin 3x 2 − sin 4xsin 3x Bài 3. 1) B = lim = lim = lim 4 x→0 x→0 4 3x 3x ( cos8x + ) x→0 4 1 3x ( cos8x + ) 1 2 2
sin 4x sin3x 9 − 6 = lim . . = 4 − 8
x→0 4x 3x cos8x +1 1− 2x +1 2x 1 − 1 2) B = lim = lim . = − x→0 x→0 sin 2x
sin 2x 1+ 2x +1 2 2 − − 1− cos ( 2 2 1− 2 sin 1 cos cos 2 1 cos cos 2 x x x x x ) 3) B = lim = lim = lim 2 x→0 x→0 2 x
x (1+ cos x cos 2x ) x→0 2
x (1+ cos x cos 2x ) 2 2 2
sin x + cos x − cos x ( 2 1− 2sin x) 2 2 2
sin x + 2sin x cos x = lim = lim x→0 2
x (1+ cos x cos 2x ) x→0 2
x (1+ cos x cos 2x ) 2 2 sinx 1+ 2 cos x 3 = lim . = .
x→0 x 1+ cos x cos 2x 2 3 1− cos x 1− cos x 4) B = lim = lim 2 2 x→0 x→0 tan x
sin x 1+ cos x + cos x 2 ( 3 3 2 ) cos x 68
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 2 2 4sin cos x 2 cos x 1 2 = lim = lim = . x→0 x x → x 2 2 ( x 3 2 + x + x ) 0 3 2 ( 3 3 2 + x + x ) 6 2sin cos 1 cos cos 2 cos 1 cos cos x 2 2 3 tanx −1 tan x −1 5) B = lim = lim 2 − x→ 2 sin x 1 x→ ( 2 2
sin x − cos x)( 3 2 3 tan x + tan x +1 4 4 ) sin x − cos x 1 1 cos = lim x = = x→ ( lim . 2 2 x − x)( 3 2 3 x + x + ) x→ x ( x + x)( 3 2 3 3 sin cos tan tan 1 cos sin cos tan x + tan x +1 4 4 )
1+ tan x − 1+ sin x tan x − sin x 6) B = lim = lim 3 x→0 x→0 3 x
x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) x 2 2 sin x sin
sin x − sin x cos x 2 = lim = lim x→0 3
x cos x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) x→0 3
x cos x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) 2 x sin sin x 2 1 2 = lim . . = x→0 x x
4( 1+ tan x + 1+ sin x ) 4 2 x x 2 sin − (1+ 1−x) 2 2 sin 2(1+ 1− 1 cos x x )2 2 7) 2 2 B = lim = = = . x→ ( → → − − x ) lim lim . 2 2 2 0 x 0 x 0 x x 4 1 1 2 2 2 2 2 2 1+ x − cos x 1+ x − cos x x + sin x 8) B = lim = lim = lim 2 x→0 x→0 2 x → x ( 2
1+ x + cos x) x 0 2 x ( 2 1+ x + cos x) 2 sin x 1 1 1 1 = lim . + = + =1. 2 x→0 2 2 x + + + + 2 2 1 x cos x 1 x cos x
1− 2x +1 + sin x 1− 2x +1 sin x 9) B = lim = lim + lim x→0 x→0 x→0
3x + 4 − 2 − x
3x + 4 − 2 − x
3x + 4 − 2 − x 2
− x( 3x + 4 + 2+ x)
sin x ( 3x + 4 + 2 + x) = lim + lim x→0 ( 2
−x − x)(1+ 2x +1) x→0 −x(x + ) 1 2
− ( 3x + 4 + 2+ x)
sin x 3x + 4 + 2 + x = lim + lim .
x→0 (−x − )
1 (1+ 2x +1) x→0 x −x −1 = 4 − 4 = 0. 69
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 3 2 3 2 2x +1 − x +1
2x +1 −1+1− x +1 2x +1 −1 1− x +1 10) B = lim = lim = lim + lim x→0 x→0 x→0 x→0 sin x sin x sin x sin x 2 2x −x = lim + lim =1.
x→0 sin x ( 2x +1 + ) x→0 1
sin x 1+ x +1 + ( x + )2 3 2 2 3 1 Bài 4.
1) C = lim tan 2x tan − x x→ 4 4
Đặt t = x − , vì x → t → 0. Khi đó: 4 4 C = t + − t = ( t t ) cos 2t 1 lim tan 2 ( 1) tan lim cot 2 tan = lim = . 2 t →0 t →0 t →0 2 2 cos t 2 1+ cos x 2) C = lim x → ( x − )2
Đặt t = x − , vì x → t → 0. Khi đó: t 2 2 sin 1− cos t 1 2 C = lim = lim = . 2 2 t →0 t →0 t t 2 sin ( x − ) 1 3) C = lim 2 x → x − 4x + 3
Đặt t = x − , vì x →1 t → 0. Khi đó: sin ( x − ) 1 sin ( x − ) 1 sint 1 C = lim = lim = lim = − . 2 x → x − 4x + 3 x → ( x − ) 1 ( x − 3)
t→0 t (t − 2) 2 sin x − sin a 4) C = lim x→a x − a
Đặt t = x − a . vì x → a t → 0. Khi đó: t + 2a t (t + a) 2 cos .sin sin − sin a 2 2 C = lim = lim = cos a . t→0 t→0 t t 2. 2
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Tính các giới hạn sau: x − 3 2 x + 2x −15 1. lim . ĐS: 1 2. lim . ĐS : 8 2 x 3
→ x − x − 6 5 x 3 → x − 3 x + 3 2 x − 3x + 2 3. lim ĐS: 1 4. lim . ĐS: 1 . 2 x 3
→− x + 2x − 3 4 2 x→2 x − 4 4 70
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x + 3x + 2 − 2 x − 7x +12 5. lim . ĐS: 1 6. lim . ĐS: 1 − . 2 x 2 →− 4 − x 4 2 x 3 → x − 9 6 2 x −1 2 x + x − 6 7. lim . ĐS: 2 8. lim . ĐS: 5 . 2 x 1 → x + 3x − 4 5 2 x→2 x − 4 4 2 2x + 3x −14 2 x − 9 9. lim . ĐS: 11. 10. l im . ĐS: 3 2 x→2 x − 4 4 2 x 3 → x − 4x + 3 2 3x − x −10 2 x − 5x 11. lim . ĐS: 11 . 12. lim . ĐS: 1 . 2
x→2 4x + x −18 7 2 x 5 → x − 25 2 2 4 − x 2 4 − x − 13. lim . ĐS: 2 14. lim . ĐS: 4 . 2
x→2 2x −10x +12 2
x→2 2x − x − 6 7 2 x − 5x + 6 2 x − 9x + 20 15. lim . ĐS: 1 . 16. lim . ĐS: 1 . 2 x 3 → x − 3x 3 2 x 5 → x − 5x 5 2 3x −10x + 3 2 x + 2x − 3 17. lim . ĐS: 8 18. lim . ĐS: 4 2 x 3 → x − 5x + 6 2 x 3
→ 2x − x −1 3 2
x − 5x + 6x 4 x −16 19. lim . ĐS: 1 − . 20. lim . ĐS: 16. − 2 x 3 → 9 − x 2 2 x 2
→− x + 6x + 8 3 8 − x 3 8 + x 21. lim . ĐS: 12 22. lim . ĐS: 12 . 2
x→2 x − 5x + 6 2 x 2
→− x +11x +18 7 2
x − x − 2 + 2 − 3 x − 8 23. lim . ĐS: 2 2 1. 24. lim . ĐS: 12. 3 2 x→ 2 x − 2 2 6
x→2 x − 3x + 2 3 x + 2 2 (x + )3 1 −1 25. lim . ĐS: 3 2 − . 26. lim . ĐS: 3. 2 x→− 2 x − 2 2 x→0 x (x + )3 1 − 27 4 x − 27x 27. lim . ĐS: 27. 28. lim . ĐS: 9. x→0 x 2 x 3
→ 2x − 3x − 9 3 2
x − 5x +10x − 8 3 2
2x − 5x + 2x +1 29. lim . ĐS: 2. 30. lim . ĐS: 1. − x→2 x − 2 2 x 1 → x −1 3 x − 2x − 4 3 2
x + 3x + 2x 31. lim . ĐS: 5 . 32. lim . ĐS: 2 − . 2 x→2 x − 4 2 2 x 2 →− x − x − 6 5 2 2x − x −10 3 2
x − x − x +1 33. lim . ĐS: 9 − . 34. lim . ĐS: 2. 3 x 2 →− x − x + 6 11 2 x 1 → x − 2x +1 2 x − 4 3 2
x − 2x − x + 2 3 35. lim . ĐS: 4 . 36. lim . ĐS: . 3
x→2 x − 3x − 2 9 2 x→2 x − 4 4 2 x + 3x − 4 3 2
3x − 4x − 2x + 3 37. lim . ĐS: 5 38. lim . ĐS: 1 − 3 2 x 1 → 2x + x − 3 8 2 x 1 → 3x − 2x −1 4 71
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2
x + x − 5x − 2 3 2x − 5x + 3 39. lim ĐS: 11 40. lim ĐS: -1 2 x→2 x − 3x + 2 2 x 1 → x − 3x + 2 2 x − 2x − 8 3 1− x 41. lim ĐS: 6 − . 42. lim ĐS: 3 . 3 2 x 2
→− 3x + 4x − x + 6 19 4 2 x 1 → x − 4x + 3 4 3 2
x − 5x + 3x + 9 3 2
6x − 5x + 4x −1 43. lim ĐS: 0 . 44. lim ĐS: 2 . 4 2 x 3 → x − 8x − 9 4 2 1 + − x→ 9x 8x 1 5 3 x + 2 x − 3 3 x − 3x + 2 45. lim ĐS: 4 − . 46. lim ĐS: 1 . x 1
→ x − 5 x + 4 3 4 x 1 → x − 4x + 3 2 5 4
x − 2x + x − 2 4 3
x − x − x +1 47. lim ĐS: 17 . 48. lim ĐS: 3 − . 2 x→2 x − 4 4 3 2 x 1
→ x − 5x + 7x − 3 2 3 2
2x − 5x − 2x − 3 3 2
2x + 5x + 4x +1 49. lim ĐS: 11 . 50. lim ĐS: 1 . 3 2 x 3
→ 4x −13x + 4x − 3 17 3 2 x 1 →−
x + x − x −1 2 3 2
2x − 5x − 2x − 3 3 2 3 x − 2 x +1 51. lim ĐS: 11 . 52. lim ĐS: 1 . 3 2 x 3
→ 4x −12x + 4x −12 20 2 x 1 → (x −1) 9 4 3 2
2x + 8x + 7x − 4x − 4 3 2
2x − 3x + x + 9 + 7 3 53. lim ĐS: 7 − . 54. lim ĐS: 7 3 3 2 x 2 →−
3x +14x + 20x + 8 4 2 x→− 3 3 − x 6 4 3 2
x − 5x + 9x − 7x + 2 5 4 3 2
x + x + x + x + x − 5 55. lim ĐS: 0 . 56. lim ĐS: 15 . 4 3 2 x 1 →
x − 3x + x + 3x − 2 2 x 1 → x −1 2 1 2 1 12 57. lim − ĐS: 1 . 58. lim − ĐS: 1 . 2 x 1
→ x −1 x −1 2 3
x→2 x − 2 x − 8 2 1 1
2x − 3 x − 26 59. lim + ĐS: −2 . 60. lim − ĐS: 7 . 2 2
x→2 x − 3x + 2 x − 5x + 6 2 x 2 →− x + 2 4 − x 2 1 1
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) −1 61. lim − ĐS: 2 . 62. lim ĐS: 6 . 2 3 x 1
→ x + x − 2 x −1 9 x 0 → x n x −1 n
x − nx + n −1 n − n − 63. lim ĐS: n . 64. lim ĐS: ( 2)( 1) . 1 m x→ x −1 m 2 x 1 → (x −1) 2 100 x − 2x +1 2 x + x + ... n + x − n n n + 65. lim ĐS: 2 . 66. lim ĐS: ( 1) . 50 x 1 → x − 2x +1 x 1 → x −1 2 Lời giải x − 3 x − 3 1 1 1. lim = lim = lim = . 2 x 3 → x 3 x − x − 6
→ ( x + 2)( x − 3) x 3 → x + 2 5 2 x + 2x −15 (x −3)(x +5) 2. lim = lim = lim( x + 5) = 8 x 3 → x 3 → x 3 x − 3 x − 3 → 72
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x + 3 x + 3 3. lim = lim 2 x 3
→− x + 2x − 3 x 3
→− ( x + 3)( x − ) 1 2 x − 3x + 2 (x − ) 1 ( x − 2) 1 1 x −1 1 4. lim = lim = lim = . = lim = . 2 x→2 x − 4
x→2 ( x − 2)( x + 2) x 3 →− x −1 4 x→2 x + 2 4 2 x + 3x + 2 (x + ) 1 ( x + 2) x +1 1 5. lim = lim = lim = − . 2 x→ 2 − x→ 2 4 − x
− (2 − x)(2 + x) x→ 2 − 2 − x 4 2 x − 7x +12 (x −3)(x −4) x − 4 1 6. lim = lim = lim = − . 2 x 3 → x 3 x − 9
→ ( x − 3)( x + 3) x 3 → x + 3 6 2 x −1 (x − ) 1 ( x + ) 1 x +1 2 7. lim = lim = lim = 2 x 1 → x 1 x + 3x − 4 → ( x − ) 1 ( x + 4) x 1 → x + 4 5 2 x + x − 6 (x −2)(x +3) x + 3 5 8. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x −2)(x + 2) x→2 x + 2 4 2 2x + 3x −14 (x −2)(2x +7) 2x + 7 11 9. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x −2)(x + 2) x→2 x + 2 4 2 x − 9 (x −3)(x +3) x + 3 10. l im = lim = lim = 3. 2 x 3 → x 3 x − 4x + 3
→ ( x − 3)( x − ) x 3 1 → x −1 2 3x − x −10 (x −2)(3x +5) 3x + 5 11 11. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 4x + x −18
(x −2)(4x +9) x→2 4x +9 17 2 x − 5x x ( x − 5) x 1 12. lim = lim = lim = . 2 x 5 → x 5 x − 25
→ ( x − 5)( x + 5) x 5 → x + 5 2 2 4 − x (2− x)(2+ x) −x − 2 13. lim = lim = lim = 2. 2 x→2 x→2 2x −10x +12
2( x − 2)( x − 3) x→2 2 ( x − 3) 2 4 − x (2− x)(2+ x) −x − 2 4 − 14. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 2x − x − 6
(x − 2)(2x +3) x→2 2x +3 7 2 x − 5x + 6 (x −2)(x −3) x − 2 1 15. lim = lim = lim = . 2 x 3 → x 3 x − 3x → x ( x − 2) x 3 → 2 3 2 x − 9x + 20 (x −4)(x −5) x − 4 1 16. lim = lim = lim = . 2 x 5 → x 5 x − 5x → x ( x − 5) x 5 → x 5 2 x − 5x + 6
(x −3)(3x − ) 1 3x −1 17. lim = lim = lim = 8. 2 x 3 → x 3 x − 3x
→ ( x − 2)( x − 3) x 3 → x − 2 2 x + 2x − 3 (x − ) 1 ( x + 3) x + 3 18. lim = lim = lim = 4. 2 x 3 → x 3 2x − x −1 → ( x − ) 1 (2x − ) x 3 1 → 2x −1 73
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2
x − 5x + 6x
x ( x − 2)( x − 3) x ( x − 2) 1 19. lim = lim = lim = − 2 x 3 → x 3 9 − x →
(3− x)(3+ x) x 3 → −x − 3 2 x −
( 2x +4)(x−2)(x+2) ( 2 4 x + 4)( x − 2 16 ) 20. lim = lim = lim = 1 − 6 2 x→ 2 − x→ 2 x + 6x + 8 − (x + 2)(4+ x) x→ 2 − x + 4 3 2 8 − x
(2− x)(4+2x+ x ) 21. lim = lim 2
x→2 x − 5x + 6 x→2 (x −2)(x −3) + −( 2 x + 2x + 4) x (x + 2)( 2 3 x − 2x + 4 8 ) 22. lim = lim = lim = 12. 2 x→ 2 − x→ 2 x +11x +18 − (x + 2)(x +9) x→2 x − 3 2 x − 2x + 4 12 = lim = . x 2 →− x + 9 7 2 − − + x − x − + (x 2)(x 1 2 2 2 ) x −1+ 2 2 2 −1 23. lim = lim = lim = . 3 x→ x − 2 2 x→ (x− 2)( 2 2 2 x + 2x + 2) 2 x→ 2 x + 2x + 2 6 x − (x −2)( 2 3 x + 2x + 4 8 ) 2 x + 2x + 4 24. lim = lim = lim =12. 2 x→2 x→2 x − 3x + 2 (x − ) 1 ( x − 2) x→2 x −1 − − + x + (x 2)( 2 3 x 2x 2 2 2 ) 2 x − 2x + 2 3 2 25. lim = lim = lim = − . 2 x→− 2 x→− 2 x − 2
(x− 2)(x+ 2) x→− 2 x− 2 2 (x + )3 3 2 1 −1
x + 3x + 3x 26. lim = lim = lim( 2
x + 3x + 3) = 3. x→0 x→0 x→0 x x ( + + + + x + ) x − (x 3)2 3 3( x 3) 9 1 27 2 27. lim = lim
= lim ( x + 3) + 3( x + 3) + 9 = 27. x→0 x→0 x→0 x x − x x x
(x −3)( 2x +3x+9) x ( 2 4 x + 3x + 9 27 ) 28. lim = lim = lim = 9. 2 x 3 → x 3 2x − 3x − 9 → (x −3)(2x +3) x 3 → 2x + 3 x − x + x − (x − 2)( 2 3 2 x − 3x + 4 5 10 8 ) 29. lim = lim = lim ( 2
x − 3x + 4) = 2. x→2 x→2 x→2 x − 2 x − 2 − + + (x − ) 1 ( 2 3 2 2x − 3x x x x − ) 2 1 2 5 2 1 2x − 3x −1 30 lim = lim = lim = 1 − . 2 x 1 → x 1 x −1 → (x − ) 1 ( x + ) x 1 1 → x +1 x − x − (x −2)( 2 3 x + 2x + 2 2 4 ) 2 x + 2x + 2 5 31. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4 (x −2)(x + 2) x→2 x + 2 2 3 2
x + 3x + 2x x ( x + ) 1 ( x + 2) x ( x + ) 1 2 32. lim = lim = lim = − . 2 x→ 2 − x→ 2 x − x − 6 −
(x + 2)(x −3) x→ 2− x −3 5 74
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2x − x −10 (x + 2)(2x −5) 2x + 5 9 33. lim = lim = lim = − . 3 x→− x − x + 6
x→− ( x + 2)( 2 2 2 x − 2x + 3) 2 x→ 2 − x − 2x + 3 11
x − x − x +1 (x − )2 3 2 1 ( x + ) 1 34. lim . = lim = lim x +1 = 2. 2 2 ( ) x 1 → x 1 x − 2x +1 → (x − ) x 1 1 → 2 x − 4 (x −2)(x + 2) x + 2 4 35. lim = lim = lim = . 3 x→2 x→2 x − 3x − 2
(x −2)(x + )2 x→2 1 (x + )2 1 9 − − + (x −2)( 2 3 2 x x x x − ) 2 1 2 2 x −1 3 36. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x −2)(x + 2) x→2 x + 2 4 2 x + 3x − 4 (x −1)(x + 4) x + 4 5 37. lim = lim = lim = 3 2 2 2 x 1 → x 1 → x 1 2x + x − 3
(x −1)(2x + 3x + 3) → 2x + 3x + 3 8 3 2 2 2
3x − 4x − 2x + 3
(x −1)(3x − x − 3) 3x − x − 3 1 38 lim = lim = lim = − 2 x 1 → x 1 → x 1 3x − 2x −1 (x −1)(3x +1) → 3x +1 4 3 2 2 2
x + x − 5x − 2
(x − 2)(x + 3x +1) x + 3x +1 39. lim = lim = lim =11. 2 x→2 x→2 x→2 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) x −1 3 2 2 2x − 5x + 3
(x −1)(2x + 2x − 3) 2x + 2x − 3 40. lim = lim = lim = 1 − . 2 x 1 → x 1 → x 1 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) → x − 2 2 x − 2x − 8 (x + 2)(x − 4) x − 4 6 41. lim = lim = lim = − . 3 2 2 2 x→ 2 − x→ 2 − x→ 2
3x + 4x − x + 6
(x + 2)(3x − 2x + 3)
− 3x − 2x + 3 19 3 2 2 1− x
(x −1)(−x − x −1) −x − x −1 3 42. lim = lim = lim = . 4 2 3 2 3 2 x 1 → x 1 → x 1 x − 4x + 3
(x −1)(x + x − 3x − 3)
→ x + x − 3x − 3 4 3 2 2 2
x − 5x + 3x + 9
(x − 3)(x − 2x − 3) x − 2x − 3 43. lim = lim = lim = 0 . 4 2 3 2 3 2 x 3 → x 3 → x 3 x − 8x − 9
(x − 3)(x + 3x + x + 3)
→ x + 3x + x + 3 3 2 2 2
6x − 5x + 4x −1
(3x −1)(2x − x +1) 2x − x +1 2 44. lim = lim = lim = . 4 2 3 2 3 2 1 1 1 + − − + + + + + + x→ 9x 8x 1 x→ (3x 1)(3x x 3x 1) x→ 3x x 3x 1 5 3 3 3 x + 2 x − 3
( x −1)( x + 3) x + 3 4 45. lim = lim = lim = − . x 1 → x 1 → x 1 x − 5 x + 4
( x −1)( x − 4) → x − 4 3 3 2 x − 3x + 2
(x + 2)(x − 2x +1) x + 2 1 46. lim = lim = lim = . 4 2 2 2 x 1 → x 1 → x 1 x − 4x + 3
(x − 2x +1)(x + 2x + 3) → x + 2x + 3 2 5 4 4 4
x − 2x + x − 2 (x − 2)(x +1) x +1 17 47. lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x→2 x − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2 4 4 3 2 2 2
x − x − x +1
(x − 2x +1)(x + x +1) x + x +1 3 48. lim = lim = lim = − . 3 2 2 x 1 → x 1 → x 1
x − 5x + 7x − 3
(x − 2x +1)(x − 3) → x − 3 2 75
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 2 2
2x − 5x − 2x − 3
(x − 3)(2x + x +1) 2x + x +1 11 49. lim = lim = lim = . 3 2 2 2 x 3 → x 3 → x 3
4x −13x + 4x − 3
(x − 3)(4x − x +1)
→ 4x − x +1 17 3 2 2
2x + 5x + 4x +1
(2x +1)(x + 2x +1) 2x +1 1 50. lim = lim = lim = . 3 2 2 x→ 1 − x→ 1 − x→ 1
x + x − x −1
(x −1)(x + 2x +1) − x −1 2 3 2 2 2
2x − 5x − 2x − 3
(x − 3)(2x + x +1) 2x + x +1 11 51. lim = lim = lim = . 3 2 2 2 x 3 → x 3 → x 3
4x −12x + 4x −12 4(x − 3)(x +1) → 4(x +1) 20 3 2 3 3 2 x − 2 x +1 ( x −1) 1 1 52. lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 → 3 2 3 2 3 2 x 1 → 3 2 3 2 (x −1) − + + + + 9 ( x 1) ( x x 1) ( x x 1) 4 3 2 2 2 2
2x + 8x + 7x − 4x − 4
(2x −1)(x + 4x + 4) 2x −1 7 53. lim = lim = lim = − . 3 2 2 x→ 2 − x→ 2 − x→ 2
3x +14x + 20x + 8
(3x + 2)(x + 4x + 4) − 3x + 2 4 3 2 2
2x − 3x + x + 9 + 7 3
(x + 3)(2x − (3 − 2 3)x + 7 − 3 3) 54. lim = lim 2 x→− 3 x→− 3 3 − x
( 3 − x)( 3 + x) 2
2x − (3 − 2 3)x + 7 − 3 3 7 3 = lim = x→− 3 3 − x 6 4 3 2 3
x − 5x + 9x − 7x + 2
(x −1) (x − 2) x −1 55. lim = lim = lim = 0. 4 3 2 2 x 1 → x 1 → x 1
x − 3x + x + 3x − 2
(x −1) (x − 2)(x +1) → x +1 5 4 3 2 4 3 2
x + x + x + x + x − 5
(x −1)(x + 2x + 3x + 4x + 5) 56. lim = lim 2 x 1 → x 1 x −1 → (x −1)(x +1) 4 3 2
x + 2x + 3x + 4x + 5 15 = lim = . x 1 → x +1 2 1 2 x −1 1 1 57. lim − = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 → x 1
x −1 x −1 (x −1)(x +1) → x +1 2 1 12 (x − 2)(x + 4) x + 4 1 58. lim − = lim = lim = . 3 2 2 x→2 x→2 x→2
x − 2 x −8
(x − 2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 2 1 1 2(x − 2) 2 59. lim + = lim = lim = 2 − . 2 2 x→2 x→2 x→2
x − 3x + 2 x − 5x + 6
(x − 2)(x − 3)(x −1)
(x − 3)(x −1)
2x − 3 x − 26
2(x − 5)(x + 2) 2(x − 5) 7 60. lim − = lim = lim = . 2 x→ 2 − x→ 2 − x→ 2 x + 2 4 − x (x − 2)(x + 2) − x − 2 2 1 1 (x −1)(x +1) x +1 2 61. lim − = lim = lim = . 2 3 2 2 x 1 → x 1 → x 1
x + x − 2 x −1
(x −1)(x + 2)(x + x +1)
→ (x + 2)(x + x +1) 9 2
(1+ x)(1+ 2x)(1+ 3x) −1
x(6x +11x + 6) 62. lim = lim = lim( 2
6x +11x + 6) = 6 . x 0 → x 0 → x 0 x x → n n 1 − n−2 n 1 − n−2 x −1 (x −1)(x + x +...+ x +1) x + x +...+ x +1 n 63. lim = lim = lim = . m m 1 − m−2 m 1 − m−2 x 1 → x 1 → x 1 x −1 (x −1)(x + x +...+ x +1) → x + x +...+ x +1 m 76
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC n n 1 − n−2
x − nx + n −1 (x −1)(x + x
+...+ x +1) − n(x −1) 64. lim = lim 2 2 x 1 → x 1 (x −1) → (x −1) n 1 − n−2 2 (x −1) + (x
−1) +...+ (x −1) + (x −1) = lim x 1 → x −1 = lim( n−2 n−3 n−3 n−4 (x
+ x +...+ x +1) + (x + x +...+ x +1) +...+ ) 1 x 1 →
(n − 2)(n −1)
= (n − 2) + (n −3) +...+ 2 +1= 2 100 x − 2x +1 99 98
(x −1)(x + x + ... + x +1) − (x −1) 99 98
x + x + ... + x 49 65. lim . = lim = lim = 50 x 1 → x − 2x +1 49 48 x 1
→ (x −1)(x + x + ... + x +1) − (x −1) 49 48 x 1
→ x + x + ...+ x 24 2 n 2
x + x + ... + x − n
(x −1) + (x −1) + ...+ ( n x −1) 66. lim = lim x 1 → x 1 x −1 → x −1 n 1 − n−2
(x −1) + (x −1)(x +1) + ... + (x −1)(x + x +...+ x +1) = lim x 1 → x −1 n n + n 1 − n−2
= lim(1+ (x +1) +...+ (x + x +...+ x + ( 1) 1)) = 1+ 2 + 3 + ... + n = x 1 → 2 Bài 2.
Tính các giới hạn sau: x + 3 − 2 x + 2 1. lim . 2. lim ĐS: 2 x 1 → x − ĐS: 1 1 4 x 2 →− x + 3 −1 3 − x + 3 x − 8 3. lim − . 4. lim ĐS: 6 − . x→6 x − ĐS: 1 6 6 x 8 → 3 − x +1 2 4 + x + x − 2 2
x − 3x − x 5. lim ĐS: 1 − . 6. lim ĐS: 1 . x 1 →− x +1 4 x 3 → 2x − 6 4 x + 2 − 2 2 − 3x − 2 7. lim . 8. lim − . 2 x→2 x − ĐS: 1 4 16 2 x→2 x − ĐS: 3 4 16 2 x − 9 x − 3 9. lim ĐS: 24. 10. lim − . 2 x 3 → x +1 − 2 x→9 9x − ĐS: 1 x 54 2 x − 49 2x − x + 3 11. lim ĐS: 56 − . 12. lim . 2
x→7 2 − x − 3 x 1 → x − ĐS: 7 1 8 x − 3 + 2x 2 x − x 13. lim . 14. lim ĐS: . 2 x→3 x − ĐS: 2 3x 9 x 1 → 2 2x − x −1 4x +1 − 3 3x − 3 − 3 15. lim . 16. lim . 2 x→2 x − ĐS: 1 2x 3 2 x→4 x − ĐS: 1 4x 8 x + 2 − 2 2 x − 3x + 2 17. lim . 18. lim ĐS: 2 . 2
x→2 2x + x − ĐS: 1 10 4 x→2 x −1 −1 77
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − 3x − 4 3x +1 − 2 19. lim ĐS: 30 . 20. lim . 2 x→4 x + 5 − 3 x 1 → x + x − ĐS: 1 2 4 x −1 2 3x − 3(x +1) 21. lim . 22. lim ĐS: 12 − . 2 x 1 → x − ĐS: 1 1 4 x→2 3 − 4x +1 3 x +1 −1 x + 2 23. lim ĐS: 0 . 24. lim ĐS: 1 − . 2 x→0 x + x x 2 →− 3 1− x − 3 2 2 2x − x −1 2x + 5 + x − 5 25. lim ĐS: 0 . 26. lim . 2 2 x 1 → x − x x→2 x − ĐS: 2 2x 3 2 x − x
x − 2 + 7 − 2x 27. lim ĐS: 3 . 28. lim . 2 x 1 → 2x + 7 + x − 4 4 x 1 →− x − ĐS: 1 1 6 2
2x + 5 − 2x + x + 8
5x − 6 − x + 2 29. lim ĐS: 5 . 30. lim 2 x 1 →− x + 3x + 2 → − ĐS: 1. 2 x 2 x 2 3x + 3 2 2
x − 2x + 6 − x + 2x − 6 31. lim ĐS: 6 . 32. lim ĐS: 1 − . x 1 →− 3 + 2x − x + 2 2 x 3 → x − 4x + 3 3 2
x + x + 2 − 1− x 2 − x + 2 33. lim ĐS: 0 . 34. lim ĐS: 3 − . 4 x 1 →− x + 4 x→2 x + 7 − 3 2 3 − x 3x +1 − x + 3 35. lim ĐS: 2 − . 36. lim ĐS: 3 . x→9 x − 5 − 2 3 x 1 → x + 8 − 3 x + 2 − 2x x + 3 − 2 37. lim ĐS: 1 − . 38. lim ĐS: 3 . x→2
x −1 − 3 − x 4 x 1 →
4x + 5 − 3x + 6 2
x +1 − 3x − 5 2 2x +1 − 2x + 5 39. lim ĐS: 3 − . 40. lim ĐS: 2 5 . x→3 2x + 3 − x + 6 x→2 2 x +1 − x + 3 3 x −1 4 4x + 3 −1 41. lim ĐS: 4 − . 42. lim 2 x 1 →
x + 3 + x − 3x 3 x 1 → x − ĐS: 1. 1 4 3 2
x −1 + x − 3x + x + 3 43. lim ĐS: 1. x→2 2x − 2 Lời giải x + 3 − 2
( x + 3 − 2)( x + 3 + 2) 1 1 1. Ta có lim = lim = lim = . x 1 → x 1 → x 1 x −1
(x −1)( x + 3 + 2) → x + 3 + 2 4 x + 2
(x + 2)( x + 3 +1) 2. Ta có lim = lim = lim( x + 3 +1) = 2 . x→ 2 − x→ 2 − x→ 2 x + 3 −1
( x + 3 −1)( x + 3 +1) − 78
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 − x + 3 (3 − x + 3)(3 + x + 3) 1 − 1 3. Ta có lim = lim = lim = − x→6 x→6 x→6 x − 6 (x − 6)(3 + x + 3) 3 + x + 3 6 x − 8
(x − 8)(3 + x +1) 3 + x +1 4. Ta có lim = lim = lim = 6 − . x 8 → x 8 → x 8 3 − x +1 (3 − x +1)(3 + x +1) → 1 − 2 4 + x + x − 2 x(x +1) x 1 5. Ta có lim = lim = lim = − . x→ 1 − x→ 1 − 2 x→ 1 − 2 x +1 + + + − + + − 4 (x 1)( 4 x x 2) 4 x x 2 2 2 2
2x − 3x − x
( 2x − 3x − x)( 2x − 3x + x) 6. Ta có lim = lim x 3 → x 3 → 2 2x − 6
(2x − 6)( 2x − 3x + x) x(x − 3) x 1 = lim = lim = . x→3 2 x→3 2 − − + − + 4 2(x 3)( 2x 3x x) 2( 2x 3x x) 2 + x − 2 x − 2 1 1 7. Ta có lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x→2 x − 4
(x − 2)(x + 2)( 2 + x − 2)
(x + 2)( 2 + x − 2) 16 2 − 3x − 2 3(2 − x) 3 3 8. Ta có lim = lim = lim = − . 2 x→2 x→2 x→2 x − 4
(x − 2)(x + 2)(2 + 3x − 2)
(x + 2)(2 + 3x − 2) 16 2 x − 9
(x + 3)(x − 3)( x +1 + 2) 9. Ta có lim = lim
= lim (x + 3)( x +1 + 2) = 24 . x 3 → x 3 → x 3 x +1 − 2
( x +1 − 2)( x +1 + 2) → x − 3 x − 9 1 − 1 10. Ta có lim = lim = lim = − . 2 x 9 → x 9 → x 9 9x − x
x(9 − x)( x + 3) → x( x + 3) 54 2 x − 49
(x − 7)(x + 7)(2 + x − 3) 11. Ta có lim = lim x→7 x→7 2 − x − 3 (2 − x − 3)(2 + x − 3)
(x − 7)(x + 7)(2 + x − 3) = lim
= −lim(x + 7)(2 + x − 3) = 5 − 6 x→7 x→7 7 − x 2 2x − x + 3 4x − x − 3 4x + 3 7 12. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 → x 1 x −1
(x −1)(x +1)(2x + x + 3)
→ (x +1)(2x + x + 3) 8 2 x − 3 + 2x x − 2x − 3 x +1 2 13. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 3 → x 3 → x 3 x − 3x
x(x − 3)(x + 3 + 2x )
→ x(x + 3 + 2x) 9 2 2 2 x − x
x(x −1)( 2x − x +1)
x( 2x − x +1) 14. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 1 → 2 x 1 → x 1 − − −x + 2x −1 → −(x −1) 2x x 1 4x +1 − 3 4(x − 2) 4 1 15. Ta có lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x→2 x − 2x
x(x − 2)( 4x +1 + 3) x( 4x +1 + 3) 3 3x − 3 − 3 3(x − 4) 3 1 16. Ta có lim = lim = lim = . 2 x→4 x→4 x→4 x − 4x
x(x − 4)( 3x − 3 + 3) x( 3x − 3 + 3) 8 79
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x + 2 − 2
( x + 2 − 2)( x + 2 + 2) x − 2 17. Ta có lim = lim = lim 2 x→2 x→2 x→2 2x + x −10
(x − 2)(2x − 5)( x + 2 + 2)
(2x − 5)(x − 2)( x + 2 + 2) 1 1 = lim = −
x→2 (2x − 5)( x + 2 + 2) 4 2 x − 3x + 2
(x −1)(x − 2)( x −1 +1) 18. Ta có lim = lim
= lim(x −1)( x −1 +1) = 2 . x→2 x→2 x→2 x −1 −1
( x −1 −1)( x −1 +1) 2 x − 3x − 4
(x +1)(x − 4)( x + 5 + 3) 19. Ta có lim = lim
= lim(x +1)( x + 5 + 3) = 30 . x→4 x→4 x→4 x + 5 − 3 x − 4 3x +1 − 2 3(x −1) 3 1 20. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 → x 1 x + x − 2
(x −1)(x + 2)( 3x +1 + 2)
→ (x + 2)( 3x +1 + 2) 4 x −1 x −1 1 1 21. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 1 → x 1 → x 1 x −1
(x +1)(x −1)( x +1)
→ (x +1)( x +1) 4 2 3x − 4(x +1)
(x − 2)(3x + 2)(3 + 4x +1)
(x − 2)(3x + 2)(3 + 4x +1) 22. Ta có lim = lim = lim x→2 x→2 3 − 4x +1
(3 − 4x +1)(3 + 4x +1) x→2 4(2 − x)
(3x + 2)(3 + 4x +1) = lim = 1 − 2 . x→2 4 3 3 2 x +1 −1 x x 23. Ta có lim = lim = lim = 0 2 x→0 x→0 3 x→0 3 x + x
x(x +1)( x +1 +1) (x +1)( x +1 +1) . 3 3 x + 2
(x + 2)( 1− x + 3) 1− x + 3 1 24. Ta có lim = lim = lim = . 2 2 x→ 2 − 3 x→ 2 − x→−2 − −
−(x + 2)(x − 2x + 4)
−(x − 2x + 4) 2 1 x 3 2 2 2x − x −1 ( − x −1) −(x −1) 25. Ta có lim = lim = lim = 0 2 x 1 → x 1 → 2 x 1 → 2 x − x
x(x −1)( 2x − x +1)
x( 2x − x +1) 2 2x + 5 + x − 5 −x +12x − 20 26. Ta có lim = lim 2 x→2 x→2 x − 2x
x(x − 2)( 2x + 5 − (x + 5))
−(x − 2)(x −10) −(x −10) 2 = lim = lim = x→2 x→2
x(x − 2)( 2x + 5 − (x + 5))
x( 2x + 5 − (x + 5)) 3 2 x − x
x(x −1)( 2x + 7 − (x − 4)
x( 2x + 7 − (x − 4) 3 27. Ta có lim = lim = lim = 2 x 1 → x 1 → x 1 2x + 7 + x − 4 −x +10x − 9 → −(x − 9) 4 2
x − 2 + 7 − 2x x − 2x − 3 28. Ta có lim = lim 2 x→ 1 − x→ 1 x −1
− (x −1)(x +1)((x − 2) − 7 − 2x) x + 3 1 = lim = x 1
→− (x −1)((x − 2) − 7 − 2x) 6 80
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2
2x + 5 − 2x + x + 8 2x +17 5 29. Ta có lim = lim = 2 x→ 1 − x→ 1 − 2 x + 3x + 2 + + + + + 2 (x 2)((2x 5) 2x x 8)
5x − 6 − x + 2 4(x − 2) 4 30. Ta có lim = lim = lim =1. x→2 x→2 x→2 x − 2
(x − 2)( 5x − 6 + x + 2) ( 5x − 6 + x + 2) 3x + 3
3(x +1)( 3 + 2x + x + 2) 31. Ta có lim = lim
= lim 3( 3+ 2x + x + 2) = 6. x→ 1 − x→ 1 3 + 2x − x + 2 − x +1 x 1 →− 2 2
x − 2x + 6 − x + 2x − 6 4 − 1 32. Ta có lim = lim = . 2 x 3 → x 3 → 2 2 x − 4x + 3 − − + + + − 3 (x 1)( x 2x 6 x 2x 6) 2
x + x + 2 − 1− x x +1 33. Ta có lim = lim = 0. 4 x→ 1 − x→ 1 − 2 2 x + x
x(x − x +1)( x + x + 2 + 1− x ) 2 − x + 2 x + 7 + 3 3 34. Ta có lim = −lim = − . x→2 x→2 x + 7 − 3 2 + x + 2 2 3 − x x − 5 + 2 2 35. Ta có lim = −lim = − . x→9 x→9 x − 5 − 2 3 + x 3 3x +1 − x + 3 2( x + 8 + 3) 36. Ta có lim = lim = 3. x 1 → x 1 x + 8 − 3 → 3x +1 + x + 3 x + 2 − 2x x −1 + 3 − x 1 37. Ta có lim = lim = − . x→2 x→2
x −1 − 3 − x x + 2 + 2x 4 x + 3 − 2 4x + 5 + 3x + 6 3 38. Ta có lim = lim = . x 1 → x 1
4x + 5 − 3x + 6 → x + 3 + 2 2 x +1 − 3x + 5 2x + 3 + x + 6 39. Ta có lim = 2 − lim = 3 − . x→3 x→3 2x + 3 − x + 6 x +1 + 3x + 5 2 2 2x +1 − 2x + 5 x +1 + x + 3 2 5 40. Ta có lim = lim 2 = . x→2 2 x→2 2 + − + + + + 3 x 1 x 3 2x 1 2x 5 2 x −1
x + 3 − (x − 3x) 4 41. Ta có lim = lim = − . 2 3 2 x 1 → x 1
x + 3 + x − 3x
→ −x + 5x − 4x − 3 3 4 4x − 3 −1 4 42. Ta có lim = lim =1. x 1 → x 1 → 3 2 − 4 4 4 x 1
(4x − 3) + (4x − 3) + 4x − 3 +1 4 3 2
x −1 + x − 3x + x + 3 43. Ta có lim =1. x→2 2x − 2 81
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 3.
Tính các giới hạn sau: 3 4x − 2 3 5x − 3 + 2 1. lim . 2. lim . x→2 x − . ĐS: 1 2 3 x 1 →− x + ĐS: 5 1 12 3 1− 1− x 3 2 − 5x + 3 3. lim . 4. lim − . 2 x→0 x + ĐS: 1 x 3 x 1 → x − ĐS: 5 1 12 x − 3 x −1 5. lim ĐS: 2 . 6. lim ĐS: 3 . x→3 3 2 x −1 − 2 → 3 x 1 1+ x − 2 3 5x − 4 − x x −1 7. lim . 8. lim ĐS: 3 . 2 x 1 → 2x − x − ĐS: 2 1 9 → 3 x 1 x −1 3 x − 27 3 x + 5 − 2 9. lim ĐS: 54 . 10. lim . x→3 3 2 3 x +1− 4x + 28
x→3 x + x − ĐS: 1 30 336 3 3 10 + 2x + x −1 3 x −1 2 11. lim . ĐS: 3 . 12. lim ĐS: . 2 x 1 →− x + 3x + 2 2 x 1 → 2 x + 3 + − 2 3 x −1 2 x + 3 − 2 13. lim . ĐS: 6 . 14. lim ĐS: 3 − . → 3 x 1 x + 7 − 2 →− 3 x 1 x +1 2 3 3 2x −1 − x 3 x −1 15. lim . ĐS: 2 . 16. lim ĐS: 1. x 1 → x −1 3 x 1 → 2 x − 2 +1 3 x −1 3 3 x + 2 + x 17. lim . ĐS: 1. 18. lim − . → 3 x 1 4x + 4 − 2 2 x 1 →− x − ĐS: 1 1 3 3 3 x + 9 + 2x − 6 3 3 19 − x + 2 19. lim . 20. lim ĐS: 27 − . 3 x 1 → x + . ĐS: 1 1 12 x 3 → 4x − 3 − 3 8 3 3 1+ x − 1− x 3 2x −1 −1 21. lim − . 22. lim . 2 x→0 x − . ĐS: 1 4x 6 3 x 1 → x − ĐS: 2 1 9 3 3x + 2 − x 3 x +1 −1 23. lim . ĐS: 1 − . 24. lim ĐS: 2 . x→2 3x − 2 − 2 → 4 x 0 2x +1 −1 3 Lời giải 3 4x − 2 4 1 1) Ta có lim = lim = . x→2 x→2 3 2 3 x − 2 + + 3 16x 2 4x 4 3 5x − 3 + 2 5 5 2) Ta có lim = lim = . x→ 1 − x→ 1 x +1 − 3 ( x − )2 3 12 5 3 − 2 5x − 3 + 4 3 1− 1− x 1 1 3) Ta có lim = lim = . 2 x→0 x→0 x + x
(x + )( + −x + ( −x)2 3 3 ) 3 1 1 1 1 82
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 − 5x + 3 5 − 5 4) Ta có lim = lim = − . x 1 → x 1 x −1 → 3 3 + x + + ( x + )2 12 4 2 5 3 5 3 − + − + x − ( 2x )2 3 2 3 1 2 x 1 4 3 5) Ta có lim = lim = 2. x→3 3 2 x→3 − − x + 3 x 1 2 x −1 2 6) Ta có lim = lim 1− x − 2 + x − 2 = 3. → 3 x 1 x 1 → + − ( 3 3 ( ) ) 1 x 2 3 2 5x − 4 − x −x − x + 4 2 7) Ta có lim = lim = . 2 x 1 → x 1 2x − x −1
→ ( x + )(3 ( x− )2 3 + x − + ) 9 2 1 5 4 5 4 4 x −1 8) Ta có lim = lim x + x + = x→ x→ ( 3 2 3 1 3. 3 1 1 ) x −1 3 x − 27 9) Ta có lim x→3 3 2 x +1− 4x + 28 ( x − 3)( 2
x + 3x + 9) ( x + ) 1 + ( x + ) 2 1 4x + 28 + ( 2 3 4x + 28)2 2 3 = lim x→ (x −3)( 2 3 x + 2x + 9) ( 2
x + 3x + 9) ( x + ) 1 + ( x + ) 2 1 4x + 28 + ( 2 3 4x + 28)2 2 3 = lim = 72. 2 x→3 x + 2x + 9 3 x + 5 − 2 1 1 10) Ta có lim = lim = . 3 x 3 → x 3 x + x − 30 → ( x + x + ) 3 (x+ )2 2 3 336 3 10 5 + x + 5 + 4 3 3 10 + 2x + x −1 3 2
3x − 3x + 3x + 9 11) Ta có lim = lim 2 x 1 →− x + 3x + 2 x 1 →− ( x + ) 1 ( x + 2) ( 3
10 + 2x )2 + ( x − ) 3 3 1
10 + 2x + ( x − )2 3 1 2 3x − 6x + 9 3 = lim = . x 1 →− ( x + 2) ( 3
10 + 2x )2 + ( x − ) 3 2 3 1
10 + 2x + ( x − )2 3 1 3 2 x −1 x + 3 + 2 2 12) Ta có lim = lim = . x 1 → 2 x 1 x → + − (x + )(3 2 3 x + x + ) 3 3 2 1 1 3 x −1 (x + 7)2 3 + 2 x + 7 + 4 13) Ta có lim = lim = 6. → 3 x 1 x 1 x + 7 − 2 → x +1 (x − ) 1 + − (3 2 3 2 x − x + x )1 3 2 3 14) Ta có lim = lim = − . →− 3 x 1 x→ 1 − 2 x +1 + + 2 x 3 2 83
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 3 2x −1 − x x +1 2 15) Ta có lim = lim = . x 1 → x 1 x −1 → (2x − )2 1 + x(2x − ) 3 2 3 3 3 1 + x 3 3 x −1 (x −2)2 3 − x − 2 +1 16) Ta có lim = lim =1. → 3 x 1 x 1 → 3 2 3 x − 2 +1 x + x +1 3 3 x −1 (4x + 4)2 3 + 2 4x + 4 + 4 17) Ta có lim = lim =1. → 3 x 1 x 1 4x + 4 − 2 → 4 ( 3 2 3 x + x + ) 1 3 3 x + 2 + x 2 1 18) Ta có lim = lim = − . 2 x→ 1 − x→ 1 x −1 − ( x − ) 1
(x + 2)2 − x(x + 2) 3 2 3 3 3 + x 3 3 x + 9 + 2x − 6 19) Ta có lim 3 x 1 →− x +1 3 1 = lim = . x 1 →− ( x − x + ) 1 (x +9)2 2 3
− (x + 9)(2x − 6) + (2x + 6)2 2 3 3 − + − + − x + ( 2 3 3 9 3x x )( 4x 3 3 19 2 ) 27 20) Ta có lim = lim = − . x→3 x→3 4x − 3 − 3 4 − ( 3 19 − x )2 3 3 8 3 − 2 19 − x + 4 3 3 1+ x − 1− x 2 1 21) Ta có lim = lim = − . 2 x→0 x→0 x − 4x ( x − )
( + x)2 + − x + ( − x)2 3 2 3 3 6 4 1 1 1 3 2x −1 −1 2 2 22) Ta có lim = lim = . 3 x 1 → x 1 x −1 → (
x + x + ) 3 ( x − )2 2 3 9 1 2 1 + 2x −1 +1 − + − + x + − x (x )2 3 1 ( 3x 2 2 3 2 ) 23) Ta có lim = lim = 1 − . x→2 x→2 3x − 2 − 2 3 3 (3x + 2)2 3 2
+ x 3x + 2 + x + + + + x + − (4 3 2x 1 )1( 2x 1 )1 1 1 2 24) Ta có lim = lim = . → 4 x 0 x→0 2x +1 −1 3 2 (x + )2 3 3 1 + x +1 +1 Bài 4.
Tính các giới hạn sau: x + 9 + x +16 − 7
2x + 2 + 5x + 4 − 5 1) lim . ĐS: 7 2) lim . ĐS: 4 x→0 x 24 x 1 → x −1 3
2 x + 6 + 2x − 2 − 8 2 x +1 + x + 4 − 4 3) lim . ĐS: 5 4) lim . ĐS: 5 x→3 x − 3 6 x→0 x 4 84
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x x + 2 + x + 7 − 7 2
2x x −1 + x − 8 5) lim . ĐS: 8 6) lim . ĐS: 8 x→2 x − 2 3 x→2 x − 2
(5x −4) 2x −3 + x −84 3 1+ 2x − 1+ 3x 7) lim . ĐS: 74 8) lim . ĐS: 0 x→6 x − 6 3 x→0 x 3 3 2 x + 7 − x + 3
3 8x +11 − x + 7 9) lim . ĐS: 1 − 10) lim . ĐS: 7 x 1 → x −1 4 2 x→2 x − 3x + 2 54 3
2 1+ x − 8 − x 3 2 3x + 5 − x + 3 11) lim . ĐS: 13 12) lim . ĐS: 1 x→0 x 12 x 1 → x −1 4 3 2
x + 7 − 5 − x
3 3x + 2 − 3x − 2 13) lim . ĐS: 7 14) lim . ĐS: 1 − x 1 → x −1 12 x→2 x − 2 2
3 3x + 2 − 5x − 6 3 2
2x + 4x +11 − x + 7 15) lim . ĐS: 1 − 16) lim . ĐS: 5 . x→2 x − 2 2 x→2 x − 4 72 3 3 2
5 − x − x + 7 3 3
3 4x − 24 + x + 2 − 8 2x − 3 17) lim . ĐS: 11 − 18) lim . ĐS: 17 − 2 x 1 → x −1 24 2 x→2 4 − x 16 3 2
3x − 2 − 4x − x − 2 3
x 2x −1 + 3x − 2 − 2 19) lim . ĐS: 5 20) lim . ĐS: 3 2 x 1 → x − 3x + 2 6 2 x 1 → x −1 2 3 2 4 1+ x − 1− 2x 3 4 x + 6 − 7x + 2 21) lim . ĐS: 1 22) lim . ĐS: 13 − 2 x→0 x + x 2 x→2 x − 2 96
1+ 4x. 1+ 6x −1 3
1+ 2x. 1+ 4x −1 23) lim . ĐS: 5 24) lim . ĐS: 7 x→0 x x→0 x 3 3
3x +1. 2 − x − 2 3
4 + x. 8 + 3x − 4 25) lim . ĐS: 1 26) lim . ĐS:1 x 1 → x −1 12 2 x→0 x + x
4x + 4 + 9 − 6x − 5 3 1+ 2x − 1+ 3x 27) lim . ĐS: 5 − 28) lim . ĐS: 1 2 x→0 x 12 2 x→0 x 2 2
6x + 3 + 2x − 5x
4x − 3 + 2x −1 − 3x +1 29) lim ĐS: 11 30) lim . ĐS: 5 − . 2 x→ (x − ) . 2 1 1 6 x 1 → x − 2x +1 2 3
− x − 7 + 4 x + 3 + 2 2x −1 2 x − 4x + 4 31) lim . ĐS: 17 − 32) lim . ĐS: 8 2 x 1 → x − 2x +1 16 x→2 2
2x + 8 − 2 2x − 3 + x − 4 9 3 2 6x + 2 − 2 x 2 3 2
2x − 6x + 5 − 3x − 9x + 7 33) lim . 34) lim ĐS: 1 3 2 2 x 1 →
x − x − x + ĐS: 1 1 8 x→2 (x − 2) 2 3 1+ 2x − 1+ 3x 3 1+ 4x − 1+ 6x 35) lim . ĐS: 1 36) lim . ĐS: 2 2 x→0 x 2 2 x→0 x 85
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải x + 9 + x +16 − 7 1) I = lim . x→0 x x + 9 −3 x +16 − 4 Ta có I = lim + x→0 x x
( x+9 −3)( x+9 +3) ( x+16 −4)( x+16 + 4) = lim + x→0 x ( x+9 +3) x ( x +16 + 4) x + 9 − 9 x +16 −16 x x = lim + = lim + x→0 x
( x + 9 + 3) x( x +16 + 4) x→0 x
( x + 9 + 3) x ( x +16 + 4) 1 1 1 1 7 = lim + = + = .
x→0 x + 9 + 3 x +16 + 4 6 8 24
2x + 2 + 5x + 4 − 5 2) I = lim . x 1 → x −1 2x + 2 − 2 5x + 4 − 3 Ta có I = lim + x 1 → x −1 x −1
( 2x+ 2 −2)( 2x+2 +2) ( 5x+4 −3)( 5x+4 +3) = lim + x 1 → (x − )1 ( 2x+2 +2) (x − ) 1 ( 5x + 4 + 3) 2x + 2 − 4 5x + 4 − 9 = lim + x 1 → (x − ) 1
( 2x+2 +2) (x− )1( 5x+4 +3) 2 ( x − ) 1 5( x − ) 1 = lim + x 1 → (x − ) 1
( 2x+2 +2) (x− )1( 5x+4 +3) 2 5 2 5 4 = lim + = + = . x 1 → 2x + 2 + 2 5x + 4 + 3 4 6 3
2 x + 6 + 2x − 2 − 8 3) I = lim . x→3 x − 3 2 x + 6 −6 2x − 2 − 2 Ta có I = lim + x 3 → x − 3 x − 3
2( x+6 −3)( x+6 +3) ( 2x−2 −2)( 2x−2 +2) = lim + x→3 (x −3) ( x+6 +3)
(x −3)( 2x−2 +2) 2( x + 6 − 9) 2x − 2 − 4 = lim +
x→3 ( x − 3)
( x+6 +3) (x−3)( 2x−2 +2) 86
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2( x − 3) 2 ( x − 3) = lim +
x→3 ( x − 3)
( x+6 +3) (x−3)( 2x−2 +2) 2 2 2 2 5 = lim + = + = .
x→3 x + 6 + 3 2x − 2 + 2 6 4 6 2 x +1 + x + 4 − 4 4) I = lim . x→0 x 2 x +1 − 2 x + 4 − 2 Ta có I = lim + x→0 x x
2( x+1− )1( x+1+ )1 ( x+ 4 −2)( x+4 +2) = lim + x→0 x ( x+1+ )1 x ( x + 4 + 2) 2 ( x +1− ) 1 x + 4 − 4 = 2 1 2 1 5 lim + = lim + = + = x→0 x x→0 + + + + ( x +1 + ) 1
x ( x + 4 + 2) x 1 1 x 4 2 2 4 4 x x + 2 + x + 7 − 7 5) I = lim . x→2 x − 2
(x −2) x + 2 + 2 x + 2 −4+ x +7 −3 2 x + 2 − 4 x + 7 − 3 Ta có I = lim = lim x + 2 + + x→2 x − 2 x→2 x − 2 x − 2
2( x+ 2 −2)( x+2 +2) ( x+7 −3)( x+7 +3) = 2 + lim + x→2 (x − 2) ( x+2 +2)
(x − 2)( x+7 +3) 2 1 2 1 8 = 2 + lim + = 2 + + = .
x→2 x + 2 + 2 x + 7 + 3 4 6 3 2
2x x −1 + x − 8 6) I = lim . x→2 x − 2 2( x − 2) 2
x −1 + 4 x −1 − 4 + x − 4 2 4 x −1 − 4 x − 4 Ta có I = lim = lim 2 x −1 + + x→2 x − 2 x→2 x − 2 x − 2
4( x−1− )1( x−1+ )1 ( x − 2)( x + 2) 4 ( x −1− ) 1 = 2 + lim + = 2 + lim + x + 2 x→2
(x − 2)( x+1+ ) x→2 1 x − 2
(x − 2)( x+1+ )1 4 4 = 2 + lim + x + 2 = 2 + + 4 = 8.
x→2 x −1 +1 2
(5x −4) 2x −3 + x −84 7) I = lim . x→6 x − 6
(5x −30) 2x −3 + 26 2x −3 −78+ x −6 Ta có I = lim x→6 x − 6 ( − − − − x ) 26 x ( 2x 3 3 5 6 2 3 ) x−6 = lim + + x→6 x − 6 x − 6 x − 6 87
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
26 ( 2x − 3 − 3)( 2x − 3 + 3) = lim 5 2x − 3 + +1 x→6 (x −6) ( 2x−3+3) 26(2x − 3 − 9) 26.2( x − 6) =15 + lim +1=15 + lim +1
x→6 ( x − 6)( 2x −3 + 3)
x→6 ( x − 6)( 2x −3 + 3) 52 52 74 =15+ lim +1=15+ +1= . x 6 → 2x − 3 + 3 6 3 3 1+ 2x − 1+ 3x 8) I = lim . x→0 x 3 3
1+ 2x −1+1− 1+ 3x
1+ 2x −1 1− 1+ 3x Ta có I = lim = lim + x→0 x→0 x x x ( + − )( + + ) (
1− 1+ 3x )(1+ 1+3x + (1+3 1 2 1 1 2 1 x x x )2 3 3 3 ) = lim + x→0 x ( 1+2x + )1
x (1+ 1+3x + (1+3x)2 3 3 ) 1+ 2x −1 1− (1+ 3x) 2 3 − = lim + = lim + x→0 x ( 1+ 2x + ) 1 → + + x ( 3 x 3
1+ 1+ 3x + (1+ 3x)2 ) 0 3 1 2x 1 3
1+ 1+ 3x + (1+ 3x)2 2 3 − = + = 0. 2 3 3 3 2 x + 7 − x + 3 9) I = lim . x 1 → x −1 3 3 2
x + 7 − 2 + 2 − x + 3 3 3 2 x 7 2 2 x 3 + − − + Ta có I = lim = lim + x 1 → x −1 x 1 → x −1 x −1 ( 3 x + 7 − 2) ( 3 x + 7)2 3 3 3 3 + 2 x + 7 + 4 ( 2 2 − x + 3 )( 2 2 + x + 3 ) = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 3 x + )2 3 3 + x + + (x )1 ( 2 3 2 x 3 1 7 2 7 4 ) + − 4 − + x ( 2 3 x 3 7 8 ) = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 3 x + )2 3 3 + x + + (x )1 ( 2 3 2 x 3 1 7 2 7 4 ) 3 2 x −1 1− x = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 3 x + )2 3 3 + x + + (x )1 ( 2 3 2 x 3 1 7 2 7 4 ) 2 x + x +1 x +1 3 2 1 = lim − = − = − . x 1 → ( 3x + )2 2 3 3 + + 12 4 4 3 2 x 3 7 + 2 x + 7 + 4 88
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3 8x +11 − x + 7 10) I = lim . 2 x→2 x − 3x + 2 3 3
8x +11 − 3 + 3 − x + 7
8x +11 −3 3− x + 7 Ta có I = lim = lim + 2 2 2 x→2 x→2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 (
8x +11 − 3)( 3 (8x +1 )2 3 3 1
+ 3 8x +11 + 9) (3− x+7)(3+ x+7) = lim +
x→2 (x − x + )(3 ( x+ )2 2 3 + x +
+ ) ( 2x −3x+2)(3+ x+7 3 2 8 11 3 8 11 9 ) 8x +11− 27 9 − ( x + 7) = lim +
x→2 (x − x + )(3 ( x+ )2 2 3 + x +
+ ) ( 2x −3x+2)(3+ x+7 3 2 8 11 3 8 11 9 ) 8( x − 2) 2 − x = lim +
x→2 (x − )(x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x− )1(x−2)(3+ x+7 1 2 8 11 3 8 11 9 ) 8 1 8 1 7 = lim − = − = .
x→2 (x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x− )1(3+ x+7 1 8 11 3 8 11 9 ) 27 6 54 3
2 1+ x − 8 − x 11) I = lim . x→0 x 3 3
2 1+ x − 2 + 2 − 8 − x
2 1+ x − 2 2 − 8− x Ta có I = lim = lim + x→0 x→0 x x x ( + − )( + + ) (
2 − 8 − x )(4+ 2 8− x + (8 2 1 1 1 1 − x x x )2 3 3 3 ) = lim + x→0 x ( 1+ x + )1
x (4+ 2 8− x + (8− x)2 3 3 ) 2(1+ x − ) 1 8 − (8 − x) = lim + x→0 x ( 1+ x + ) 1
x (4+ 2 8− x + (8− x)2 3 3 ) 2 1 2 1 13 lim = + = + = . x→0 + + 3 1 x 1 3
4 + 2 8 − x + (8 − x)2 2 12 12 3 2 3x + 5 − x + 3 12) I = lim . x 1 → x − 1 89
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 3 2 3x 5 2 2 x 3 3x 5 2 2 x 3 + − + − + + − − + Ta có I = lim = lim + x 1 → x 1 x −1 → x −1 x −1 ( 2 3x + 5 − 2) ( 2 3x + 5)2 3 3 2 3 + 2 3x + 5 + 4
(2 − x + 3)(2 + x + 3) = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 2 x + )2 3 2 3 (x ) 1 + x + + (2 x 3 1 3 5 2 3 5 4 ) 2 3x + 5 − 8 4 − ( x + 3) = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 2 x + )2 3 2 3 (x )1 + x + + (2 x 3 1 3 5 2 3 5 4 ) 3( 2 x − ) 1 1− x = lim + x 1 → ( − + + x − ) ( 2 x + )2 3 2 3 (x )1 + x + + (2 x 3 1 3 5 2 3 5 4 ) 3( x + ) 1 1 6 1 1 = lim − = − = . x 1 → ( 2 + + 3x + 5)2 3 2 2 x 3 12 4 4 3 + 2 3x + 5 + 4 3 2
x + 7 − 5 − x 13) I = lim . x 1 → x −1 3 2 3 2 x 7 2 2 5 x x 7 2 2 5 x + − + − − + − − − Ta có I = lim = lim + x 1 → x 1 x −1 → x −1 x −1 (
x + 7 − 2)( 3 (x + 7)2 3 3 + 2 x + 7 + 4) ( 2 2 − 5 − x )( 2 2 + 5 − x ) = lim + x 1 → (x − )
1 ( 3 (x + 7)2 + 2 x + 7 + 4) (x − ) 1 ( 2 3 2 + 5 − x ) + − 4 − ( 2 5 7 8 − x x ) = lim + x 1 → (x − )
1 ( 3 (x + 7)2 + 2 x + 7 + 4) (x − ) 1 ( 2 3 2 + 5 − x ) 2 x −1 x −1 = lim + x 1 → (x − )
1 ( 3 (x + 7)2 + 2 x + 7 + 4) (x − ) 1 ( 2 3 2 + 5 − x ) 1 x +1 1 2 7 lim = + = + = . x 1 → 3 ( x + 7)2 2 3 + + + + − 12 4 12 2 x 7 4 2 5 x
3 3x + 2 − 3x − 2 14) I = lim . x→2 x − 2 90
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 3
3x + 2 − 2 + 2 − 3x − 2
3x + 2 − 2 2 − 3x − 2 Ta có I = lim = lim + x→2 x→2 x − 2 x − 2 x − 2 (
3x + 2 − 2)( 3 (3x + 2)2 3 3
+ 2 3x + 2 + 4) (2− 3x−2)(2+ 3x−2) = lim + x→2
(x − )(3 ( x+ )2 3 + x + + )
(x − 2)(2+ 3x−2 2 3 2 2 3 2 4 ) 3x + 2 − 8 4 − (3x − 2) = lim +
x→2 (x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x−2)(2+ 3x−2 2 3 2 2 3 2 4 ) 3( x − 2) 6 − 3x = lim +
x→2 (x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x−2)(2+ 3x−2 2 3 2 2 3 2 4 ) 3 3 3 3 − 1 lim = − = + = − . x→2 + − 3 (3x + 2)2 3 2 3x 2 12 4 2 + 2 3x + 2 + 4
3 3x + 2 − 5x − 6 15) I = lim . x→2 x − 2 3 3
3x + 2 − 2 + 2 − 5x − 6
3x + 2 − 2 2 − 5x −6 Ta có I = lim = lim + x→2 x→2 x − 2 x − 2 x − 2 (
3x + 2 − 2)( 3 (3x + 2)2 3 3
+ 2 3x + 2 + 4) (2− 5x−6)(2+ 5x−6) = lim + x→2
(x − )(3 ( x+ )2 3 + x + + )
(x − 2)(2+ 5x−6 2 3 2 2 3 2 4 ) 3x + 2 − 8 4 − (5x − 6) = lim +
x→2 (x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x−2)(2+ 5x−6 2 3 2 2 3 2 4 ) 3( x − 2) 10 − 5x = lim +
x→2 (x − )(3 ( x+ )2 3 + x +
+ ) (x−2)(2+ 5x−6 2 3 2 2 3 2 4 ) 3 5 3 5 − lim = − = + = −1. x→2 + − 3 (3x + 2)2 3 2 5x 6 12 4 + 2 3x + 2 + 4 3 2
2x + 4x +11 − x + 7 16) I = lim . 2 x→2 x − 4 3 2 3 2 2x 4x 11 3 3 x 7 2x 4x 11 3 3 x 7 + + − + − + + + − − + Ta có I = lim = lim + 2 2 2 x→2 x→2 x − 4 x − 4 x − 4 91
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( 2
2x + 4x +11 − 3) ( 2 2x + 4x + )2 3 3 2 3 11
+ 3 2x + 4x +11 + 9
(3− x + 7 )(3+ x + 7 ) = lim + x→2 ( 2 − + + x − ) ( 2 x + x + )2 3 2 3 + x + x + + ( 2x 4)(3 x 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 ) 2
2x + 4x +11− 27 9 − ( x + 7) = lim + x→2 ( 2 − + + x − ) ( 2 x + x + )2 3 2 3 + x + x + + ( 2x 4)(3 x 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 ) 2 2x + 4x −16 2 − x = lim + x→2 ( 2 − + + x − ) ( 2 x + x + )2 3 2 3 + x + x + + ( 2x 4)(3 x 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 ) 2 ( x 2)( x 4) − + 2 − x = lim + x→2 ( 2 − + + x − ) ( 2 x + x + )2 3 2 3 + x + x + + ( 2x 4)(3 x 7 4 2 4 11 3 2 4 11 9 ) 2 ( x 4) + 1 12 1 − 5 = lim − = + = . x→2 ( + + + x + 2) ( 2 2x + 4x + )2 3 2 x 2 3 x 7 108 24 72 3 ( ) 11
+ 3 2x + 4x +11 + 9 ( ) 3 3 2
5 − x − x + 7 17) I = lim . 2 x 1 → x −1 3 3 2 3 3 2 5 x 2 2 x 7 5 x 2 2 x 7 − − + − + − − − + Ta có I = lim = lim + 2 2 2 x 1 → x 1 x −1 → x −1 x −1 (
− x − )( − x + ) ( 2 2 − x + 7 ) 2 4 + 2 x + 7 + ( 2 3 3 3 x + 7 5 2 5 2 )2 3 3 = lim + x 1 → ( 2x − )1( 3 5 − x + 2) ( 2 x − ) 3 2 1 4 + 2 x + 7 + ( 2 3 x + 7)2 − − 8 − + x ( 2 3 x 7 5 4 ) = lim + x 1 → ( 2 x − ) 1 ( 3 5 − x + 2) ( 2 x − ) 3 2 1 4 + 2 x + 7 + ( 2 3 x + 7)2 92
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 1− x 1− x = lim + x 1 → ( 2 x − ) 1 ( 3 5 − x + 2) ( 2 x − ) 3 2 1 4 + 2 x + 7 + ( 2 3 x + 7)2 − ( 2 x + x + ) 1 1 − 3 1 − 11 = lim + = − + = − . x 1 → (x + )( 3 − x + ) 3 2 4 + 2 x + 7 + ( 2 8 12 24 1 5 2 3 x + 7)2 3 3
3 4x − 24 + x + 2 − 8 2x − 3 18) I = lim . 2 x→2 4 − x 3 3
3 4x − 24 − 6 + x + 2 − 2 + 8 − 8 2x − 3 Ta có I = lim 2 x→2 4 − x 3 3 3 4x − 24 − 6 x + 2 − 2 8 − 8 2x − 3 = lim + lim + lim 2 2 2 x→2 x→2 x→2 4 − x 4 − x 4 − x 1 I I2 I3 3( 3 4x − 24 − 2) 2 3 3 3 3 3 2
4x − 24 + 4x − 24.2 + 2 3 3 3 4x − 24 − 6 I = lim = lim 1 2 x→2 4 − x x→ ( 2 4 − x ) 2 2 3 3 3 3 2
4x − 24 + 4x − 24.2 + 2 3( 3 4x − 24 − 8) = lim x→ ( 2 4 − x )( 3 4x − 24 )2 2 3 3 3 2 + 4x − 24.2 + 2 3.4( 3 x − 8) = lim x→ ( 2 4 − x )( 3 4x − 24 )2 2 3 3 3 2 + 4x − 24.2 + 2 12( x − 2)( 2 x + 2x + 4) = lim x→ (
2 − x)(2 + x)( 3 4x − 24 )2 2 3 3 3 2 + 4x − 24.2 + 2 1 − 2( 2 x + 2x + 4) = 144 lim = − = 3 − . x→ ( 48 2 + x)( 3 4x − 24 )2 2 3 3 3 2 + 4x − 24.2 + 2
( x+2 −2)( x+2 +2) x + 2 − 2 (x + 2−4) I = lim = lim = lim 2 2 x→2 4 − x x→2 ( 2
4 − x )( x + 2 + 2)
x→2 (2 − x)(2 + x)( x + 2 + 2) 1 − 1 = lim = − x→
(2+ x)( x+2 +2) 16 93
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
8(1− 2x − 3)(1+ 2x − 3) 8 − 8 2x − 3 8(1− (2x − 3)) I = lim = lim = lim 3 2 x→2 4 − x x→2 ( 2
4 − x )(1+ 2x − 3)
x→2 (2 + x)(2 − x) 8.2(2 − x) = 16 16 lim = lim = = 2
x→2 (2 − x)(2 + x)(1+ 2x + 3)
x→2 (2 + x)(1+ 1+ 2x −3) 8 1 17 I = 3 − − + 2 = − . 16 16 Bài 5.
Tính các giới hạn sau: 1 ( 3
lim 2x − 3x) ĐS: + 2. ( 3 2
lim x − 3x + 2) ĐS: − x→+ x→− 3. ( 3 2
lim −x − 6x + 9x + ) 1 ĐS: − 4. ( 3
lim −x + 3x − ) 1 ĐS: + x→+ x→− 5. ( 4 2 lim x − 2x + ) 1 ĐS: + 6. ( 4 2
lim x − 8x +10) ĐS: + x→+ x→− 7. ( 4 2
lim −x + 2x + ) 3 ĐS: − 8. ( 4 2
lim −x − x + 6) ĐS: − x→+ x→− 9. 2 lim
x − 3x + 4 ĐS: + 10. + + ĐS: + →− ( 2 lim 2x 1 x x ) x→ 11. + + + ĐS: − 12. + + − ĐS: + →+ ( 2 lim 4x x 1 x x ) →− ( 2 lim x x 1 2x x ) 13. lim + − + ĐS: − →+ ( x 1 9x 1) x 14. lim + + +
ĐS: không tồn tại giới hạn →− ( 16x 7 9x 3 ) x Lời giải 1. I = ( 3 lim 2x − 3x) x→+ 3 3 Ta có I = ( 3 lim 2x − 3x) 3 = lim x 2 − = + . (vì 3
lim x = + và lim 2 − = 2 0 ) x→+ 2 x→+ x x→+ 2 x→+ x 2. I = ( 3 2
lim x − 3x + 2) . x→− 3 2 Ta có I = ( 3 2
lim x − 3x + 2) 3 = lim x 1− + = − . (vì 3 lim x = − và x→− 3 x→− x x x→− 3 2 lim 1− + =1 ). 3 x→− x x 3. I = ( 3 2
lim −x − 6x + 9x + ) 1 . x→+ 6 9 1 Ta có 3 I = lim x 1 − − + + = − . 2 3 x→+ x x x 6 9 1 (vì 3 lim x = + và lim 1 − − + + = 1 − 0 ). x→+ 2 3 x→+ x x x 4. I = ( 3
lim −x + 3x − ) 1 x→− 94
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 1 3 1 Ta có 3 I = lim x 1 − + − = + . (vì 3 lim x = − và lim 1 − + − = 1 − 0 ). 2 3 x→− x x x→− 2 3 x→− x x 5. I = ( 4 2 lim x − 2x + ) 1 x→+ 2 1 2 1 Ta có 4 I = lim x 1− + = + . (vì 4
lim x = + và lim 1− + =1 0 ). 2 4 x→+ x x x→+ 2 4 x→+ x x 6. I = ( 4 2
lim x − 8x +10) x→− 8 10 8 10 Ta có 4 I = lim x 1− + =1 0 (vì 4
lim x = + và lim 1− + =1 0 ) 2 4 x→− x x x→− 2 4 x→− x x 7. I = ( 4 2
lim −x + 2x + ) 3 x→+ 2 3 2 3 Ta có 4 I = lim x 1 − + + = − . ( vì 4 lim x = + và lim 1 − + + = 1 − 0 ). 2 4 x→+ x x x→+ 2 4 x→+ x x 8. I = ( 4 2
lim −x − x + 6) x→− 1 6 1 6 Ta có 4 I = lim x 1 − − + = − . (vì 4 lim x = + và lim 1 − − + = 1 − ) 2 4 x→− x x x→− 2 4 x→− x x 9. 2 I = lim x − 3x + 4 . x→ 3 4 3 4 Ta có 2 I = lim x 1− + = lim x 1− + = + . 2 x→ x x 2 x→ x x 3 4
(vì lim x = + và lim 1− + = 1 0 ). x→ 2 x→ x x 10. I = + + →− ( 2 lim 2x 1 x x ) 1 Ta có I = + + = lim x− 2 + +1 = + . →− ( 2 lim 2x 1 x x ) 2 x→− x 1
(vì lim x = − và lim − 2 + +1 = − 2 +1 0 ). x→− 2 x→− x 1 1 11. I = + + + = lim x− 1+ + + 2 = − . →− ( 2 lim x x 1 2x x ) 2 x→− x x 1 1
(vì lim x = − , lim − 1+ + + 2 =1 0 ). x→− 2 x→− x x 1 1 12. I = + + − = lim x 4 + + −1 = + →+ ( 2 lim 4x x 1 x x ) 2 x→+ x x 1 1
(vì lim x = + , = lim 4 + + −1 =1 0 ). x→+ 2 x→+ x x 13. I = lim + − + 1 1
= lim x 1+ − 9 + = − . →+ ( x 1 9x 1) x x→+ x x 1 1 (vì lim x = + , = lim x 1+ − 9 + = − ). x→+ x→+ x x 95
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 14. I = lim + + + →− ( 16x 7 9x 3 ) x 1
Tập xác định của hàm số f ( x) = 16x + 7 + 9x + 3 là D = − ; + . 3
Ta có khi x → − hàm số f ( x) = 16x + 7 + 9x + 3 không xác định. Do đó lim + + + không tồn tại. →− ( 16x 7 9x 3 ) x Bài 6.
Tính các giới hạn sau: x + 2 2x 1. lim . ĐS: 1 2. lim . ĐS: 2 x→+ x −1 x→− x +1 1− x 3x − 2 3. lim .ĐS: 1 − 4. lim . ĐS: 3 x→+ 2x −1 2 x→− x +1 3 3x ( 2 2x − ) 2x + 3x − 4 1 5. lim . ĐS: −2 6. lim . ĐS: 6 3 2
x→+ −x − x +1
x→+ (5x − ) 1 ( 2 x + 2x) 5 4 3 ( 2 4x + ) 2x + 7x −15 1 (7x − ) 1 7. lim . ĐS: 2 8. lim . ĐS: 0 4 x→− x +1 x→+ ( 3 2x − ) 1 ( x + 3) ( 4 3 x − )2 1 (5x + 2)2 (x + ) 1 (1− 2x) 9. lim . ĐS: 25 10. lim .ĐS: 1 − 5 x→− (3x + )4 1 81
x→− (2x + 2) ( 2 x + 3) 4 (x +2)2 2 (x + 2)
(x + 2)3 (1− x)4 11. lim . ĐS: − 12. lim . ĐS: 1 − x→− ( 5 2x + ) 1 (1− x)2 2 x→− (1−2x) 2x 32 3 2 x x 2 3x − x + 7 13. lim − . ĐS: 2 14. lim .ĐS: 0 2
x→− 3x − 4 3x + 2 9 3 x→− 2x −1 3 ( 2 4x + ) x + 2x + 2 1 (7x − ) 1 15. lim ĐS: 0 16. lim ĐS: 0 4
x→+ 2x + x + 3 x→+ ( 3 2x − ) 1 ( x + 3) ( 2 4x + ) 1 (2x + 3) 3 x + 2x + 2 17. lim ĐS: − 18. lim ĐS: + 2 x→− x − 6x +1 2
x→+ 2x + x + 3 4 3
x + 2x + x + 2 4 3
x + 2x + x + 2 19. lim ĐS: − 20. lim ĐS: − 3 x→− 2x + x + 3 2 3 x→+ 2x − x 4 3 x − x +11 4 2 2x + x −1 21. lim ĐS: + 22. lim ĐS: + x→+ 2x − 7 x→+ 1− 2x 4 x − x 5 3 2x + x −1 23. lim ĐS: + 24. lim 3 ĐS: 1 x→+ 1− 2x x→+ ( 2 2x − ) 1 ( 3 x + x) 3 3 x + x +1 4 2 2x + x −1 25. lim ĐS: 1 26. lim ĐS: − x→+ 2x +1 x→+ 1− 2x 96
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải 2 2 x 1+ 1+ x + 2 x x 1. I = lim = lim = lim =1. x→+ x −1 x→+ 1 x→+ 1 x 1− 1− x x 2x 2x 2 2. I = lim lim = lim = 2 .
x→− x +1 x→− 1 x→− 1 x 1+ 1+ x x 1 x −1 1 −1 1− x x 1 3. I = lim = lim = lim x = − . x→+ 2x −1 x→+ 1 x→+ 1 2 x 2 − 2 − x x 2 2 x 3 − 3 − 3x − 2 x x 4. I = lim = lim = lim = 3. x→− x +1 x→− 1 x→− 1 x 1+ 1+ x x 3 4 3 4 3 x 2 + − 2 + − 3 2x + 3x − 4 2 3 x x 2 3 x x 5. I = lim = lim lim = 2 − . 3 2
x→+ −x − x +1 x→+ 1 1 x→+ 1 1 3 x 1 − − + 1 − − + 3 x x 3 x x 1 1 2 3 . x x 2 − 3 2 − 2 x 2 x 6 6. I = lim = lim = . x→+ 1 2 x→+ 1 2 2 5 x 5 − x 1+ 5 − 1+ x x x x 7 15 7 15 4 x 2 + − 2 + − 4 3 2x + 7x −15 4 x x 4 x x 7. I = lim = lim = lim = 2 . 4 x→− x +1 x→− 1 x→− 1 4 x 1+ 1+ 4 x 4 x ( 1 1 1 1 2 + − + − 2 x 4 x 7 4 x 7 4x + ) 1 (7x − ) 1 2 x x 2 x x 8. I = lim = lim = lim = 0. x→+ ( 3 2x − ) 1 ( x + 3) x→+ 1 3 x→+ 1 3 3 x 2 − x 1+ 2 − x 1+ 3 x x 3 x x 2 2 2 2 1 2 1 2 ( 2 2 x 1− x 5 + 1− 5 + x − )2 1 (5x + 2)2 x x x x 25 9. I = lim = lim = lim = . x→− ( 4 4 3x + )4 1 x→− 1 x→− 1 81 4 x 3 + 3 + x x 4 3 4 3 1 1 1 1 ( 4 3 x 1+ x − 2 1+ − 2 x + )4 1 (1− 2x)3 x x x x 1 10. I = lim = lim = lim = − . x→− ( 5 5 2x + 2)5 ( 2 x + 3) x→− 2 3 x→− 2 3 4 5 2 x 2 + x 1+ 2 + 1+ 2 x x 2 x x 97
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2 ( 2 2 2 2 4 + + + + x + 2)2 2 (x + 2) x 1 x 1 . x 1 1 2 x x 2 x x 11. I = lim = lim = lim = − x→− ( 2 2 2x + ) 1 (1− x)2 2 x→− 1 1 x→− 1 1 2 2 x 2 + x −1 2 + −1 2 x x 2 x x 2 2 2 1+ 1+ 2 x x 1
(vì lim x = − , lim = 0 ). x→− 2 x→− 1 1 2 2 + −1 2 x x 3 4 3 4 2 1 2 1 ( 3 4 x 1+ x −1 1+ −1
x + 2)3 (1− x)4 x x x x 1 12. I = lim = lim = lim = − . x→− ( 5 5 1− 2x)5 2 x x→− 1 x→− 1 32 5 2 x − 2 .x − 2 x x 3 2 x x 13. I = lim − . 2
x→− 3x − 4 3x + 2 3 2 3 2 2 x x
x (3x + 2) − x (3x − 4) 3 2 2x + 4x Ta có I = lim − = lim = lim 2
x→− 3x − 4 3x + 2 x→− ( 2
3x − 4)(3x + 2) x→− ( 2
3x − 4)(3x + 2) 4 4 3 x 2 + 2 + x = x 2 lim = lim = . x→− 4 2 x→− 4 2 2 9 x 3 − x 3 + 3 − 3 + x x x x 3 1 7 3 1 7 2 x − + − + 2 3x − x + 7 2 x x x 2 x x x 14. I = lim = lim lim = 0 . 3 x→− 2x −1 x→− 1 x→− 1 3 x 2 − 2 − 3 x 3 x Bài 7.
Tính các giới hạn sau: 2x − 3 x −15 1. lim . ĐS: − 2. lim . ĐS: − + + x 1 → x −1 x→2 x − 2 2 − x x − 5 3. lim . ĐS: + 4. lim . ĐS: − − − x 3 → 3 − x x→ (x − 4)2 4 3 − x +1 3x −1 5. lim . ĐS: + 6. lim . ĐS: − − − x→2 x − 2 x 1 → x −1 6 − 5x x +1 7. lim . ĐS: − 8. lim . ĐS: + + + x→2 4x − 8 x→2 2x − 4 x − 3 7x −1 9. lim . ĐS: 1 10. lim .ĐS: − + − x 3 → 5x −15 5 x ( → − ) 3 x + 3 2 − x x −1 11. lim . ĐS: 1 12. lim . ĐS: 1 − 2 + 3 x→2 2x − 5x + 2 3 x 1 → 2x + x − 3 7 2 x −1 x − 3x + 2 13. lim . ĐS: 1 − 14. lim .ĐS: 1 − 3 + x 1 → 2x + x − 3 7 x→2 x − 2 98
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − 9 x − 4 15. lim lim ĐS: không tồn tại x→3 x − ĐS: không tồn tại 16. 3 2
x→4 x + x − 20 x − 2 x − 3 17. lim ĐS: 2 18. lim ĐS: 4 − − − x→2 x −1 −1 x 3 → 5x −11 − 2 5 2 x − 2 x − 25 19. lim ĐS: 3 − 20. lim ĐS: 30 − − 3 − x→2 x −1 −1 3 x→5 x − 4 −1 3x − 8 3 x + 25 − 3 21. lim ĐS: + 22. lim ĐS: 1 + 2 x→ (3− x)2 3 x→2 x − x − 2 81 3x + 2 x + x 23. lim ĐS: + 24. lim ĐS: 1 − + → 2 + x 2 4x −16 x→0 x − x 2 4 − x x + 2 x 25. lim ĐS: 0 26. lim ĐS: −2 + + x→2 2 − x x→0 x − x (x + 2)(x + ) 1 2 x − 6x + 9 27. lim ĐS: 1 28. lim ĐS: 1 − + − 2 x→(− ) 1 x +1 − x −1 x 3 → x − 9 6 2 x − 4x + 3 2 x + 3x + 2 29. lim ĐS: − 30. lim ĐS: 0 − 2 + x 1 → −x + 6x − 5 x→(− ) 5 4 1 x + x x x 31. lim ( x − 2) lim + + ( 3 x )1 + 2 2 x→2 x − ĐS: 0 32. 4 x ( → − ) 1 x − ĐS: 0 1 x + 5 x 1− x 33. lim (1− x) lim ĐS: 1 + 2 − x 1 → x + 2x − ĐS: 0 34. 3 x 1 → 2 1− x +1− x 2 1− x 2 2x + 5x − 3 35. lim 2x ĐS: 0 36. lim ĐS: − + + 2 x→0 x x ( → 3 − ) (x +3) 1 1 3 x − 3x + 2 37. lim − ĐS: − 38. lim ĐS: 3 − − 2 − 2
x→2 x − 2 x − 4 x 1 → x − 5x + 4 5 Lời giải lim (2x −3) = 1 − + x 1 → 2x − 3 1 lim
= − vì lim (x − ) 1 = 0 . + + x 1 → x −1 x 1 →
x −1 0, x →1+ lim (x −15) = 13 − + x→2 x −15 2. lim
= − vì lim (x − 2) = 0 . + + x→2 x − 2 x→2
x − 2 0, x → 2+ lim (2 − x) = −1 − x→3 2 − x 3. lim
= + vì lim (3− x) = 0 . − − x 3 → 3 − x x→3 3
− x 0, x → 3− 99
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC lim (x −5) = 1 − − x→4 x − 5 2 4. lim
= − vì lim (x − 4) = 0 . − − x→ (x −4)2 4 x→4 (x−4 )2 0, x → 4− lim ( 3 − x + ) 1 = 5 − − x→2 3 − x +1 5. lim
= + vì lim (x − 2) = 0 . − − x→2 x − 2 x→2
x − 2 0, x → 2− lim (3x − ) 1 = 2 − x 1 → 3x −1 6. lim
= − vì lim (x − ) 1 = 0 . − − x 1 → x −1 x 1 →
x −1 0, x →1− lim (6 − 5x) = 4 − + x→2 6 − 5x 7. lim
= − vì lim (4x −8) = 0 . + + x→2 4x − 8 x→2
4x − 8 0, x → 2+ lim (x + ) 1 = 3 + x→2 x +1 8. lim
= + vì lim (2x − 4) = 0 . + + x→2 2x − 4 x→2
2x − 4 0, x → 2+ x − 3 x − 3 1 1 9. Do x 3+
→ nên x − 3 = x − 3 suy ra lim = lim = lim = . + + + x 3 → − x 3 5x 15 → 5x −15 x 3 → 5 5 lim (7x − ) 1 = 22 − − x→( 3−) 7x −1 10. lim = − lim x + 3 = 0 . − − x ( → − ) 3 x + vì 3 x→( 3 − ) −
x +3 0, x → (−3) 2 − x 2 − x 11. Do x 2−
→ nên 2 − x = 2 − x suy ra lim = lim − 2 − x→2 − + x→2 2x 5x 2 (2x − ) 1 ( x − 2) 1 1 = lim = . − x→2 2x −1 3 x −1 x −1 12. Do x 1+
→ nên x −1 = x −1 suy ra lim = lim + 3 + x→ 2x + x − 3 x→ (x − ) 1 ( 2 1 1 2x + 2x + 3) 1 1 lim = . + 2 x 1 → 2x + 2x + 3 7 x −1 1− x 13. Do x 1−
→ nên x −1 =1− x suy ra lim = lim − 3 − x→ 2x + x − 3 x→ (x − ) 1 ( 2 1 1 2x + 2x + 3) 1 − 1 lim = − . − 2 x 1 → 2x + 2x + 3 7 14. Ta có 2
x − 3x + 2 = ( x − )
1 ( x − 2) , do x 2+ → nên 2
x − 3x + 2 0 , suy ra 2 x − 3x + 2 (x − ) 1 ( x − 2) lim = lim = lim (x − ) 1 = 1 + + + x→2 − x→2 − . x→2 x 2 x 2 100
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − 9 (x +3)(x −3) 15. Ta có lim = lim x→3 x→3 x − 3 x − 3 2 x − 9 (x +3)(x −3) TH1: x 3 ta có lim = lim = lim (x + 3) = 6 + + + x→3 − x→3 − . x→3 x 3 x 3 2 x − 9
−(x + 3)(x − 3) TH2: x 3 ta có lim = lim = lim (−x −3) = 6 − − − − x→3 − x→3 − . x→3 x 3 x 3 2 2 x − 9 x − 9 2 x − 9 Do lim lim lim + − x→3 − x→3 x 3 x − nên không tồn tại 3 x→3 x − . 3 x − 4 x − 4 16. Ta có lim = lim 2 x→4 x→4 x + x − 20 (x − 4)(x +5) x − 4 x − 4 1 1
TH1: x 4 , ta có lim = lim = lim = + 2 + + x→4 x→4 x + x − 20
(x −4)(x +5) x→4 x +5 9 x − 4 x − 4 1 − 1 −
TH2: x 4 , ta có lim = lim = lim = + 2 − − x→4 x→4 x + x − 20
(4− x)(x +5) x→4 x +5 9 x − 4 x − 4 x − 4 Do lim lim nên không tồn tại lim . + 2 − x→4 x + x − 20 2 x→4 x + x − 20 2
x→4 x + x − 20 x − 2
(x − 2)( x−1+ )1 17. Do x 2−
→ nên x − 2 = 2 − x suy ra lim = lim − − x→2 x −1 −1 x→2 x −1−1 lim − + = . − ( x 1 )1 2 x→2 x − 3
(3− x)( 5x−11+2) 18. Do x 3−
→ nên x − 2 = 3 − x suy ra lim = lim − − x 3 → 5x −11 − 2 x 3 → 5x −11− 4 −( 5x −11+ 2) 4 = lim = − . − x 3 → 5 5 (2− x)( 2 3 3 x −1 + x −1 + ) x − 2 1 19. Do x 2−
→ nên x − 2 = 2 − x suy ra lim = lim − 3 − x→2 x −1 −1 x→2 x −1−1 = lim − − + − + = − . − → ( ( 2 3 3 x 1 x 1 1 3 x 2 ) 2 x − 25 20. Ta có 2
x − 25 = ( x − 5)( x + 5) , do x 5− → nên 2
x − 25 0 , suy ra lim− 3 x→5 x − 4 −1 (25− x )( 2 2 3 3 x − 4 + x − 4 + ) 1 = 2 lim = lim − + − + − + = − . − ( (5 x)) → (3 3 x 4 x 4 1 30 x 5 ) − x→5 x − 4 −1 lim (3x −8) =1 + x→3 3x − 8 2 21. lim
= + , vì lim (3− x) = 0 . + + x→ (3− x)2 3 x→3 (3−x )2 0, x → 3+ 101
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 x + 25 − 3 x + 25 − 27 22. Ta có lim = lim 2 x→2 x − x − 2 x→ (x −2)(x + ) 1 ( 2 2 3 3
x + 25 + 3 x + 25 + 9) 1 1 = lim = . x→ (x + )( 2 2 3 3 x + + x + + ) 81 1 25 3 25 9 lim (3x + 2) = 8 + x→2 3x + 2 23. lim = + , vì 2 lim 4x −16 = 0 . + → 2 + x 2 4x −16 x→2 2
4x −16 0, x → 2+ x ( x + ) x + x 1 x +1 24. lim = lim = lim = 1 − . + + + x→0 x − x x→0
x ( x − ) x→0 1 x −1 2 4 − x (2− x)(2+ x) 25. lim = lim
= lim 2 − x (2 + x) = 0 . + + + x→2 2 − x x→2 x→2 2 − x x ( x + 2) x + 2 x x + 2 26. lim = lim = lim = 2 − . + + + x→0 x − x x→0
x ( x − ) x→0 1 x −1 (x + 2)(x + ) 1 x + 2 x +1 x + 2 27. Ta có lim = lim = lim =1. + + + x→(− ) 1 x +1 − x −1 x→(− ) 1
x +1 (1− x +1) x→(− )1 1− x +1 28. Ta có − x − x + = (x − )2 2 6 9 3
= x −3 , do x → 3 nên 2
x − 6x + 9 = 3 − x , suy ra 2 x − 6x + 9 2 x − 6x + 9 3 − x 1 − 1 lim = lim = lim = lim = − − 2 − 2 − − x 3 → x − 9 x 3 → − x 3 x 9 →
(x −3)(x +3) x 3 → x + . 3 6 29. Do x 1−
→ nên x −1 0 , từ đó ta có 2 x − 4x + 3
(x − )1(x −3) 1− x 3 − x 3 − x lim = lim = lim = lim − 2 − − − x 1 → −x + 6x − 5 x 1 → −(x − ) 1 ( x − 5) x 1 → −(x − ) 1 ( x − 5) x 1 →
1− x ( x − 5) 1 3 − x = lim . = − . − x 1 → 1− x x − 5 3 − x 2 1 vì lim = − và lim = + . − − x 1 → x − 5 4 x 1 → 1− x 2 x + 3x + 2 (x + )1(x + 2) x +1 ( x + 2) 30. lim = lim = lim = 0 . + + 2 + 2 x→(− ) 5 4 1 x + x x ( → − ) 1 x x +1 x→(− ) 1 x x x x ( x − 2) 31. lim ( x − 2) = lim (x − 2) = lim = 0 + 2 + + x→2 x − 4 x→2
(x − 2)(x + 2) x→2 x + . 2 x x 32. Ta có lim + = lim (x + ) 1 − + + ( 2x x )1 + ( 3 x )1 x ( → − ) 2 1 x −1 x ( → − ) 1 (x − ) 1 ( x + ) 1 x x + = lim − + = . + ( 1 2 x x ) ( ) 1 0 x ( → − ) 1 x −1 33. Do x 1+
→ nên 1− x 0 , vì thế ta có 102
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 + − ( + (x +5)(x − ) (x 5)(x ) − 1 1 x) x 5 lim 1 = lim = lim = 0 . + 2 + + x 1 → x + 2x − 3 x 1 → (x − ) 1 ( x + 3) → + x 1 x 3 x 1− x x 1− x x 1 34. lim = lim = lim = . − − − x 1 → x 1 2 1− x +1− x →
1− x (2 + 1− x ) x 1 → 2 + 1− x 2 2 1− x x (1− x) 35. lim 2x = lim 2
= lim 2 x(1− x) = 0. + + + x→0 x x→0 x x→0 2 2x + 5x − 3 (2x − ) 1 ( x + 3) 2x −1 36. lim = lim = lim = − . + + 2 + x ( → − ) (x +3)2 3 x ( → 3 − ) (x +3) x ( → 3 − ) x + 3 1 1 x + 2 −1 x +1 1 37. lim − = lim = lim . = − . − 2 − −
x→2 x − 2 x − 4
x→2 ( x − 2)( x + 2)
x→2 x + 2 x − 2 38. Do x 1−
→ nên x −1 0 , suy ra (x − )2 1
= x −1 =1− x nên ta có 2 3 x − 3x + 2 (x + 2)(x − ) 1 (1− x) x + 2 − x + 2 3 lim = lim = lim = lim = − . − 2 − − − x 1 → x − 5x + 4 x 1 → (x − ) 1 ( x + 4) x 1 → ( x − ) 1 ( x + 4) x 1 → x + 4 5 Bài 8.
Tính các giới hạn sau: sin 5x tan 2x 1) lim . ĐS: 5 2) lim . ĐS: 2 x 0 → x x 0 → 3x 3 1− cos x sin 5 . x sin 3 . x sin x 3) lim . ĐS: 1 4) lim . ĐS: 1 2 x 0 → x 2 3 x 0 → 45x 3 1− cos 5x 2 1− cos 2x 5) lim 6) lim . ĐS: 4 x 0 → 1− cos3x x 0 → . x sin x x sin ax 1− cos ax 2 a 7) lim (a 0). ĐS: 2 8) lim . ĐS: x 0 → 1− cos ax a x 0 → 1− cosbx 2 b 1− cos x 2 a sin x − tan x 9) lim ; a 0 ĐS: 10) lim ĐS: 1 − 2 ( ) x 0 → x 2 3 x 0 → x 2 tan x − sin x sin x − sin a 11) lim . ĐS: 1 12) lim . ĐS: cos a 3 x 0 → sin x 2 x→a x − a cos x − cos b 1− 2x +1 − 13) lim ĐS: −sin b 14) lim ĐS: 1 x b → x − b x→0 sin 2x 2
cos (a + x) − cos(a − x) tan x − tan c 1 15) lim ĐS: 2 − sin a 16) lim ĐS: x 0 → x x c → x − c 2 cos c 3 1− cos x 2 2 sin x − sin a a 17) lim ĐS: 3 18) lim ĐS: sin 2 x→0 x sin x 2 2 2 x→a x − a 2a
cos x − cos x 2 2 − 3 x + 8 19) lim ĐS: 20) lim ĐS:12 2 x 0 → x 2 x 2 →− tan ( x + 2) 103
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1− cos x cos 2x cos 3x
sin (a + 2x) − 2sin (a + x) + sin a 21) lim . ĐS:1422) lim . ĐS: − sin ( ) x 0 → 1− cos x 2 x 0 → x sin ax + tan bx
cos 3x − cos 5x cos 7x 23) lim
;(a + b 0) ĐS: 1 24) lim ĐS: 33 − x→0 (a + b)x 2 x 0 → x 2
cos ax − cos bx cos cx 2 2 2
b − a − c
sin (a + x) − sin (a − x) 25) lim . ĐS: 26) lim ĐS: 3 cos a x 0 → 1− cos x 2
x→0 tan(a + x) − tan(a − x) 3 2 2x +1 − x +1 2
sin 2x − sin x sin 4x 27) lim . ĐS: 1 28) lim ĐS: 6 x→0 sin x 4 x 0 → x cos x sin x − sin 2x 29) lim . ĐS: 1 30) lim ĐS: -1 →− → x + x 0 x 2 2 x x 1− sin 2 2 2 1+ x − cos x
1+ tan x − 1+ sin x 31) lim . ĐS: 1 32) lim ĐS: 1 2 x→0 x 3 x→0 x 4
1− cos 5x cos 7x x + 3 − 2 33) lim . ĐS: 37 34) lim 2 x 0 → sin 11x 121 x 1 → tan(x − ĐS: 1 1) 4 1+ cos x sin(x −1) 35) lim ĐS: 1 36) lim ĐS: 1 − x → ( 2 x − ) . 2 2 x 1 → x − 4x + 3 2 2 x +1 − cos 2x
1− cos x cos 2x 37) lim . ĐS: 5 38) lim ĐS: 3 2 x→0 x 2 2 x→0 x 2 Lời giải. sin 5x sin 5x 1) lim = lim 5 = 5 . x→0 x→0 x 5x tan 2x 2 tan 2x 2 2) lim = lim = . x→0 x→0 3x 3 2x 3 2 x 2 2 sin x sin 1− cos x 2 1 1 3) 2 lim = lim = lim 2 = . 2 2 x→0 x→0 x→0 x x 4 x 2 2
sin 5x sin 3x sin x
1 sin 5x sin 3x sin x 1 4) lim = lim = . 3 x→0 x→0 45x 3 5x 3x x 3 2 2 5x 5x 3x 2 2sin sin 1− cos 5x 25 4 25 5) 2 2 2 lim = lim = lim = . x→0 x→0 1− cos 3x 3x x→0 4 5x 9 3x 2 9 2sin sin 2 2 2 104
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2 2 1− cos 2x sin 2x 4sin x cos x sin x 6) 2 lim = lim = lim = lim 4cos x = 4 . x→0 x→0 x→0 x→0 x sin x x sin x x x 2 ax x sin ax x sin ax 1 sin ax 4 2 7) 2 lim = lim = lim a = . 2 x→0 x→0 − ax ax x→0 1 cos ax a ax 2 2 a 2sin sin 2 2 2 2 ax ax bx 2 2sin 2 sin 2 1− cos ax a 4 a 8) 2 2 2 lim = lim = lim = . 2 2 x→0 x→0 − bx bx x→0 1 cos ax b bx 2 4 b 2sin sin 2 2 2 2 ax ax 2 2sin 2 sin 2 1− cos ax a a 9) 2 2 lim = lim = lim 2 = . 2 2 x→0 x→0 x→0 x x 4 ax 2 2 sin x − tan x
sin x (cos x − ) 1 10) Ta có lim = lim 3 3 x 0 → x 0 x → x cos x 2 x x 2 2 − sin xsin sin 2 sin x 1 1 2 2 = lim = lim − = − . 3 x→0 x→0 x cos x cos x x 4 x 2 2 tan x − sin x
sin x (1− cos x) 1 1 11) lim = lim = lim = . 3 x→ sin x x
→ cos x sin x ( 2 0 0 1− cos x) x→0 cos x (1+ cos x) 2 x + a x − a x − a 2 cos sin sin sin x − sin a x + a 12) Ta có 2 2 lim = lim 2 = limcos = cos . a x→a − − → x − a x→a x a x a x a 2 2 x + b x − b x − b 2 − sin sin sin cos x − cos b x + b 13) Ta có 2 2 lim = lim 2 = lim−sin = −sin . b x→b x→b x − b x − b x→b 2 x − b 2 1− 2x +1 1− 2x −1 1 2x 1 14) Ta có lim = lim = lim − = − . x→0 x→0 sin 2x
sin 2x (1+ 2x +1)
x→0 1+ 2x +1 sin 2x 2
a + x + a − x
a + x − a + x 2 − sin sin
cos(a + x) − cos(a − x) 15) Ta có 2 2 lim = lim x→0 x→0 x x sin x = lim 2 − sin a = 2 − sin . a x→0 x 105
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC tan x − tan c sin ( x − c)
sin (x − c) 1 1 16) lim = lim = = x→c x→c x − c (x −c) lim 2 cos x cos x→c c x − c cos x cos c cos . c − (1−cos x)( 2 3 1+ cos x + cos 1 cos x x ) 17) Ta có lim = lim x→0 x→0 x sin x x sin x x x 2 2sin ( 2
1+ cos x + cos x) 2 sin
1+ cos x + cos x 1 3 2 2 = lim = lim = . x→0 x x x→0 x 2 x 2 2x sin cos cos 2 2 2 2 1− cos 2x 1− cos 2a − 2 2 sin x − sin a 18) Ta có 2 2 lim = lim 2 2 x→a x→a x − a
(x −a)(x + a)
cos 2a − cos 2x 2
− sin (a + x)sin(a − x) = lim = lim
x→a 2(x − a)(x + a) x→a
2(x − a)(x + a)
sin(a + x) sin(a − x) sin 2a = lim = . x→a x + a a − x 2a
( + ) x ( − ) x 2 − sin sin
cos x − cos x 19) Ta có 2 2 lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x ( + ) x ( − ) x sin sin 2 2 + 2 − 2 − = lim 2 − = . x→0 2 ( + ) x 2 ( − ) x 2 2 2 x + 8 (x + 2)( 2 3 x − 2x + 4) x + 2 20) Ta có lim = lim = lim ( 2 x − 2x + 4) ( ) =12. x→ 2
− tan ( x + 2) x→ 2 − x→ 2 tan(x + 2) − tan(x + 2)
1− cos x cos 2x cos 3x
1− cos x + cos x(1− cos 2 )
x + cos x cos 2 ( x 1− cos 3 ) x 21) Ta có lim = lim x 0 → x 0 1− cos x → 1− cos x 3x 2 2 2sin 2sin x 2 = lim1+ cos x + cos x cos 2x x→0 x x 2 2 2sin 2sin 2 2 2 2 2 x 3x x 2 sin sin x 2 2 2 = lim1+ 4cos x
+ 9cos x cos 2x =1+ 4 + 9 =14. x→0 x x 3x x sin sin sin 2 2 2
sin (a + 2x) − 2sin(a + x) + sin a
2sin (a + x)cos x − 2sin (a + x) 22) Ta có lim = lim 2 2 x 0 → x 0 x → x 106
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 4
− sin (a + x) 2 sin
2 sin(a + x)(cos x −1) 2 = lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x 2 x sin = − ( a + x) 1 2 lim 4 sin = −sin . a x→0 4 x 2 sin ax tan bx sin ax tan bx ax + bx a b sin ax + tan bx a + b 23) Ta có lim = lim ax bx = lim ax bx = =1. x→0 x→0 x→0 (a + b)x (a + b)x a + b a + b
cos 3x − cos 5x cos 7x
cos 3x − cos 5x + cos 5x − cos 5x cos 7x 24) Ta có lim = lim 2 2 x 0 → x 0 x → x 7x 2
2 sin 4x sin x − 2 cos 5x sin
2 sin 4x sin x + cos 5x(1− cos 7x) 2 = lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x 2 7x sin sin 4x sin x 49 49 33 2 = lim8 − 2 cos5x = 8 − = − . x→0 4x x 4 7x 2 2 2
cos ax − cos bx cos cx
cos ax − cos bx + cos bx − cos bx cos cx 25) Ta có lim = lim 2 2 x 0 → x 0 x → x (a + b)x (b−a)x (a + b)x (b−a)x cx 2 2sin sin
+ cosbx(1− coscx) 2sin sin − 2cosbxsin 2 2 2 2 2 = lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x (a + b)x (b − a) 2 x cx 2 2 sin sin 2 sin 2 2 2 2 2 2 b − a 2 2 c 2 b − a c
b − a − c = lim 2 − 2 cosbx = − = . x→0 4 (a + b)x
(b − a) x 4 cx 2 2 2 2 2 2
sin(a + x) − sin(a − x) 2 cos a sin x 26) Ta có lim = lim
x→0 tan (a + x) − tan (a − x) x→0 sin 2x
cos (a + x) cos (a − x)
cos a cos (a + x)cos(a − x) 3 = lim = cos a x 0 → cos x 107
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2 3 2 2x +1 − x +1
2x +1 −1+1− x +1 27) Ta có lim = lim x→0 x→0 cos x sin x 2 2x −x + 2x +1 +1 2 1+ x +1 + ( 2 x +1)2 3 3 = lim x→0 sin x 2x x − 2x +1 +1 2 1+ x +1 + ( 2 x +1)2 3 3 = lim =1. x→0 sin x x 2
sin 2x − sin x sin 4x
sin 2x (sin 2x − 2sin x cos 2x) 28) Ta có lim = lim 4 4 x 0 → x 0 x → x 3x x x x ( x − x)
4 sin 2x sin x sin sin 2 sin 2 sin cos cos 2 2 2 = lim = lim 4 4 x→0 x→0 x x 3x x sin sin
3 sin 2x sin x 2 2 = lim4 = 6. x→0 2 2x x 3x x 2 2 sin x + cos x 2 29) lim = lim =1. →− →− x x + + 2 x 2 x 2 2 sin x − sin 2x
sin x (1− 2cos x)
sin x 1− 2cos x 30) lim = lim = lim = 1 − . x→0 x→0 x→0 x 2 x cos x x cos x x 1− 2sin 2 2 2 1+ x − cos x
1+ x −1+1− cos x 2
1 x 1 1 cos x + − − 31) Ta có lim = lim = lim + 2 2 x→0 x→0 x x 2 2 x→0 x x 2 x x 2 2 2sin sin 1+ x −1 = 1 1 1 1 + 2 = lim + = + = 1 . x→ ( → 1+ + ) 2 lim 2 0 2 2 1 x x x x 0 2 + + 2 x 2 x 1 2 1 2
1+ tan x − 1+ sin x
1+ tan x −1− sin x 32) lim = lim 3 x→0 x→0 3 x
x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) x 2
sin x (1− cos x) 2sin x sin = lim 2 = lim x→0 3
x cos x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) x→0 3
x cos x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) 108
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x sin 2 sin x 1 1 2 = lim = .
x→0 cos x ( 1+ tan x + 1+ sin x ) x 4 x 4 2 5x 7x 2 2 2sin 2 cos 5x sin
1− cos 5x cos 7x
1− cos 5x + cos 5x (1− cos 7x) 33) lim = lim 2 2 = lim + 2 2 2 2 x 0 → x 0 sin 11x → sin 11x x→0 sin 11x sin 11x 2 2 5x 7x 2 2 sin sin 25 11x 49 11 2 2 x = 25 49 37 lim + cos 5x = + = . x→0 242 5x sin11x 242 7x sin11x 242 242 121 2 2 x + 3 − 2 x + 3 − 4 1 x −1 1 34) lim = lim = lim = . x 1 → tan ( x − ) x 1 1 → tan ( x − ) 1 ( x + 3 + 2) x 1 → x + 3 + 2 tan (x − ) 1 4 2 x − x − x 2 2 2 cos 2sin sin 1+ cos x 2 1 2 1 35) 2 lim = = lim = lim = . 2 x → ( → → − − x − ) lim 2 x → (x − )2 x ( ) x 2 x x 2 2 sin ( x − ) 1 sin ( x − ) 1 sin (x − ) 1 1 1 36) lim = lim = lim . = − . 2 x 1 → x 1 x − 4x + 3 → ( x − ) 1 ( x − 3) x 1 → x −1 x − 3 2 2 2 x +1 − cos 2x
x +1 −1+1− cos 2x 37) lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x 2 2 2
x 1 1 1 cos2x + − − x +1−1 2sin x = lim + = lim + 2 2 x→ x x x → ( +1+ ) 2 0 0 2 2 1 x x x 2 1 sin x 1 5 = lim + 2 = + 2 = . x→0 2 + + x 2 2 x 1 1
1− cos x + cos x − (1− cos2 1 cos cos 2 x x x ) 38) lim = lim 2 2 x→0 x→0 x x x − 1− cos x x ( x ) 2 2sin cos 1 cos 2
cos x (1− cos 2x) 2 = lim + = lim + 2 2 2 x→0 x→0 2 x x x
x (1+ cos 2x ) 109
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x x 2 sin sin 1 1 sin x 1 3 2 2 = lim = lim = +1 = x→0 2 2
x (1+ cos 2x ) x→0 2
1+ cos 2x x 2 2 Bài 9.
Tính các giới hạn sau: cos 3x − cos x 1− 2sin x 1) lim ĐS: 1 2) lim ĐS: 1 x 0
→ cos5x − cos x 3 2 − x→ 4 cos x 3 2 6
1+ sin 2x + cos 2x
sin 7x − sin 5x 3) lim ĐS: 24) lim ĐS: 2 x 0 → x→ cos x sin x 2 2 − 2 cos x 3 1− cos x 5) lim ĐS: 2 lim ĐS: 1 6) → → x x 0 sin x 6 4 sin x − 4 3 sin x − cos x 7) lim ĐS: 2 − 8) lim tan 2 . x tan − x ĐS: 1 x→ sin 3x 3 x→ 4 3 4
cos 3x + 2 cos 2x + 2 3 tan x −1 9) lim ĐS: 2 3 10) lim ĐS: 1 − 2 − x→ sin 3x 3 x→ 2sin x 1 12 3 3 Lời giải sin x cos 3x − cos x 2 − sin 2xsin x sin x 1 1) lim = lim = lim = lim x = . x→0 x→0 x→0 x→0 cos 5x − cos x 2 − sin 3xsin 2x sin 3x sin 3x 3 3 3x 1− 2sin x 1− 2sin x 1 1 2) lim = lim = lim = . 2 2 − − + x→ 4 cos x 3 x→ 1 4sin x x→ 1 2sin x 2 6 6 6 2
1+ sin 2x + cos 2x 2 cos x + sin 2x 3) lim = lim
= lim (2cos x + 2sin x) = 2 . x→ cos x x→ cos x x→ 2 2 2
sin 7x − sin 5x 2cos 6x sin x 4) lim = lim = lim2cos6x = 2 . x 0 → x 0 → x 0 sin x sin x → 2 2 − cos x 2 cos − cos x 2 − 2 cos x 2 4 5) lim = lim = lim → → → x x x 4 sin x − 4 sin x − 4 sin x − 4 4 4 x x x 4 − sin + sin − 2sin + 8 2 8 2 = 8 2 lim = lim = 2 → → x x x x x 4 2 sin − cos − 4 cos − 2 8 2 8 2 8 110
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1− cos x (1−cos x) 2 3 cos x 6) lim = lim 2 x→0 x→0 tan x 2 3 3 2
sin x 1+ cos x + cos x 2 cos x 1 = lim = x→0 ( + x) 3 3 2 6 1 cos
1+ cos x + cos x 2sin 3 x − 3 2sin x − sin 3 x −
sin x − 3 cos x 3 3 2 7) lim = lim = = = − . − + → → → − − − → x x x ( x ) lim lim sin 3 sin 3 x x x 3 sin 3 3 3 3 3 3 3 sin 3 x − 3 3 − 3 x − 3
2 tan x 1− tan x 2 tan x 8) lim tan 2x tan − x = lim = lim =1 . 2 − + x→ 4 x→
1 tan x 1 tan x x→ (1+ tan x)2 4 4 4 3 2
cos 3x + 2 cos 2x + 2
4 cos x − 3cos x + 4 cos x 9) lim = lim 3 − x→ sin 3x x→ 3sin x 4sin x 3 3 ( cos x − cos
(2cos x + 3)cos x 2 cos x − )
1 (2cos x + 3)cos x = 3 lim = lim x→ 2sin x + 3
2sin x − 3 sin x x→ 3 3 ( )( ) 3 x −sin +
(2cos x + 3)cos x 2 6 2 3 = lim = → x x 3 3 cos +
(2sin x + 3)sin x 2 6 tan x −1 (tan x − ) 2 3 1 cos x 10) lim = lim 2 − x→ 2sin x 1 x→
(1−tan x).( tanx)2 2 3 3 + + 4 4 tan x 1 2 −cos x = 1 lim = − . x→ (1+ tan x) 12 ( tan x )2 3 3 + + 4 tan x 1 Bài 10.
Tính các giới hạn sau: cos 4x −1
1+ sin 2x − cos 2x 1) lim ĐS: 0 2) lim ĐS: 1 − x 0 → sin 4x x 0
→ 1− sin 2x − cos 2x sin 2x 1− cos x 3) lim ĐS: 1 − 4) lim ĐS: 0 x 0
→ 1− sin 2x − cos 2x x 0 → sin x
sin 5x − sin 3x 1 1 5) lim ĐS: 2 6) lim − ĐS: 0 x 0 → sin x x→0 sin x tan x 111
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC sin − x 2 sin x −1 2 6 2 3 7) lim ĐS: − 8) lim ĐS: 2 − − x→ 2 cos x 1 4 x→ 1 2sin x 3 4 6 sin − x 4 2 9) lim ĐS: 2 lim − cot x ĐS: 0 − 10) x→0 x→ 1 2 sin x sin 2x 4 112
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số liên tục tại 1 điểm
– Giả sử hàm số f ( x) xác định trên khoảng (a;b) và x ;
a b . Hàm số y = f ( x) gọi là liên 0 ( )
tục tại điểm x nếu lim f ( x) = f ( x . 0 ) 0 x→x0
– Hàm số không liên tục tại điểm x gọi là gián đoạn tại x . 0 0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số f ( x) liên tục trên khoảng (a;b) . Ta nói rằng hàm số y = f ( x) liên tục trên
khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
– Hàm số y = f ( x) gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
lim f ( x) = f (a), lim f ( x) = f (b) . + − x→a x b → Nhận xét:
– Nếu hai hàm f ( x) và g ( x) liên tục tại điểm x thì các hàm số f ( x) g ( x) , f ( x).g ( x) , 0 .
c f ( x) (với c là hằng số) đều liên tục tại điểm x . 0
– Hàm số đa thức liên tục trên
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
3. Tính chất của hàm số liên tục
– Định lý về giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a;b. Nếu f (a) f (b) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f (a), f (b) tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) thoả mãn f (c) = M .
– Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;bvà M là một số thực nằm giữa f (a), f (b)
thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại ít nhất một điểm có hoành độ c (a;b) .
– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f (a). f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c (a;b) sao cho f (c) = 0 . Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a;b và
f (a). f (b) 0 thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) ”.
+ Vận dụng trong tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a;b và
f (a). f (b) 0 thì đồ thị của hàm số y = f ( x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c (a;b) ”. 113
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x khi f ( x = lim f x hoặc f ( x = lim f x = lim f x 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( ) 0 x→x − + → → 0 x 0 x x 0 x VÍ DỤ 2 x − 3x + 2 khi x 2
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 2 tại điểm x = 2 . 0 4x − 7 khi x = 2
ĐS: Liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (2) = 4.2 − 7 = 1 0 2 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) lim f (x) = lim = lim =1 x→2 x→2 x→2 x − 2 x − 2
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2. 0 x→2 x + 3 − 2 khi x 1 −
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số x 1 f (x) = tại điểm x = 1. 0 1 khi x = 1 3
ĐS: Không liên tục Lời giải 1
Ta có f (x ) = f (1) = . 0 3 x + 3 − 2 x −1 1 1 lim f (x) = lim = lim = lim = x 1 → x 1 → x 1 → x 1 x −1
(x −1)( x + 3 + 2) → x + 3 + 2 4
Suy ra f (1) lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 1 (hay gián đoạn tại 0 x 1 → điểm x = 1 ). 0 2
x −3x + 3 khi x 2
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 1 − 2x −3 tại điểm x = 2 0 khi x 2 2 − x ĐS: Liên tục 114
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Ta có 2
f (x ) = f (2) = 2 − 3.2 + 3 = 1 0 2
lim f (x) = lim (x − 3x + 3) = 1 − − x→2 x→2 1− 2x − 3 1− 2x + 3 2 lim f (x) = lim = lim = lim =1 + + + + x→2 x→2 − x→2 x→2 2 x
(2 − x)(1+ 2x − 3) 1+ 2x − 3
Suy ra f (2) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2 . − + 0 x→2 x→2 2 x −9 khi x 3
Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x +1 − 2 tại điểm x = 3 . 0 2x+12 khi x 3
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (3) = 18 0 2 x − 9
(x − 3)(x + 3)( x +1 + 2)
lim f (x) = lim (2x +12) = 18 lim f (x) = lim = lim − − + + + x→3 x→3 x→3 x→3 x→3 x +1 − 2 x − 3
= lim(x +3)( x +1 + 2) = 24 + x 3 →
Suy ra f (3) = lim f (x) lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 3 . − + 0 x→3 x→3
x +1− x + 3 khi x 1 x −1 3
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =
khi x = 1 tại điểm x = 1. 4 0 3 2
3x − 6x −3x + 6 khi x 1 2
3x −14x +11 ĐS: Liên tục Lời giải 3
Ta có f (x ) = f (1) = 0 4 3 2 2 2
3x − 6x − 3x + 6
(x −1)(3x − 3x − 6) 3x − 3x − 6 3 lim f (x) = lim = lim = lim = − − 2 − − x 1 → x 1 → − + x 1 → − − x 1 3x 14x 11 (x 1)(3x 11) → 3x −11 4 2 x +1− x + 3
(x −1) − (x + 3) x + 2 3 lim f (x) = lim = lim = lim = + + + + x 1 → x 1 → − x 1 → x 1 x 1
(x −1)(x +1+ x + 3) → x +1+ x + 3 4
Suy ra f (1) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1. − + 0 x 1 → x 1 → 115
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2cos5 .
x cos 3x − cos 8x −1 khi x 0
Ví dụ 6. Xét tính liên tục của hàm số 4 2 f (x) = x + x tại điểm x = 0 . 0 2 khi x = 0
ĐS: Không liên tục Lời giải
Ta có f (x ) = f (0) = 2 0 2cos 5 .
x cos 3x − cos8x −1
cos8x + cos 2x − cos8x −1 lim f (x) = lim = lim 4 2 4 2 x 0 → x 0 → x 0 x + x → x + x 2 2 cos 2x −1 2 − sin x sinx 2 − = lim = lim = lim . = 2 − 4 2 2 2 2 x→0 x→0 x→0 x + x x (x +1)
x x +1
Suy ra f (0) lim f (x) nên hàm số f (x) không liên tục tại điểm x = 0 (hay gián đoạn tại 0 x→0 điểm x = 0 ). 0 3 2
x + 2x − 5x − 6 khi x 2 3 x − 4x
Ví dụ 7. Tìm a để hàm số f (x) =
liên tục tại điểm x = 2. 0 1 (a + x) khi x = 2 8 ĐS: a =13 Lời giải 1
Ta có f (2) = (a + 2) 8 3 2 2 2
x + 2x − 5x − 6
(x − 2)(x + 4x + 3) x + 4x + 3 15 lim f (x) = lim = lim = lim = 3 x→2 x→2 x→2 x→2 x − 4x
x(x − 2)(x + 2) x(x + 2) 8 1 15
Hàm số liên tục tại điểm x = 2 f (2) = lim f (x) (a+ 2) = a =13. 0 x 2 → 8 8 2 2(x − 4) khi x 2
Ví dụ 8. Tìm m để hàm số f (x) = x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 . 0
m + 2 + m −10x khi x 2 ĐS: m = 2 Lời giải
Ta có f (2) = m + 2 + m − 20 2 3(x − 4)
3(x − 2)(x + 2)( x + 2 + x) lim = lim = lim + + + 2 x→2 x→2 x→2 x + 2 − x x + 2 − x
3(x − 2)(x + 2)( x + 2 + x)
3(x + 2)( x + 2 + x) = lim = lim = 1 − 6 + + x→2 − + − x→2 (x 1)(x 2) −(x +1)
lim = lim( m + 2 + m −10 )
x = m + 2 + m − 20 − − x 2 → x 2 → 116
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Hàm số f (x) liên tục tại điểm
x = 2 lim f ( ) x = lim f ( )
x = f (2) m + 2 + m − 20 = 1 − 6 0 + − x 2 → x 2 → m 4 m 4
m + 2 = 4 − m m = 2 2
m − 9m +14 = 0
m = 2 m = 7
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: 2 x −3 −1 khi x 2 1. f (x) = x − 2 tại điểm x = 2 . Đs: Liên tục 0 2x − 2 khi x = 2 2 3
2 − 7x + 5x − x khi x 2 2. 2 f (x) = x − 3x + 2
tại điểm x = 2 . Đs: Liên tục 0 1 khi x = 2 2 x + 3x + 2 khi x 1 −
3. f (x) = −x −1 tại điểm x = 1 − . Đs: Liên tục 0 2 x + 2x khi x = 1 − Bài 2.
Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra: 2
3x − 2x −1 khi x 1 1. f (x) = x −1 tại điểm x = 1. Đs: Liên tục 0 2x + 2 khi x 1 2
x + 2x − 3 khi x 1 2 x + x − 2
2. y = f (x) = tại điểm x = 1.
Đs: Không liên tục 0 x +1 + 7 khi x 1 3 3
x − 3x − 4 khi x 4
3. f (x) = x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . Đs: Liên tục 0 4 − x + 46 khi x 4 Bài 3.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra: 3 2
x − 5x + 7x − 3 khi x 1 1. 2 f (x) = x −1 tại điểm x = 1. Đs: 1 m = − 0 2 2m +1 khi x = 1 117
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1+ x − 1− x khi x 0 2. ( ) x f x =
liên tục tại điểm x = 0 . Đs: 1 m = 0 4 − x 5 5 − m + khi x = 0 x + 2 3 6 + x − 2 khi x 2
3. f ( x) = x − 2
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: 47 m = 0 12
2x − m khi x = 2 3 12x − 4 − 2 khi x 1
4. f ( x) = x −1
liên tục tại điểm x = 1. Đs: m = 1 − 0 2 2
m x + 8 + 2mx khi x =1 Bài 4.
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra: 3 x −8 khi x 2 29 1. 2
f (x) = 2x − x − 6 tại điểm x = 2 . Đs: m = − 0 7 mx +10 khi x 2 2x −1 −1 khi x 1 3 2. f ( x) 2
= x + 2x −3
liên tục tại điểm x = 1. Đs: m = − 0 4
x + m khi x 1 2
2x − 7x + 6 khi x 2 3 3. m để − f ( x) x 2 =
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: m = − 0 1− x 4 m + khi x 2 x + 2 2
3x −3+ x −1 5x + 4 khi x 1 2 4. − + f ( x) x 2x 1 =
liên tục tại điểm x = 1.
Đs: m = 1 hoặc m = 2 0 1 2 m +
x − 3m khi x 1 3 7 −3x − 4 khi x 3 − − − 5. ( ) 2 1 x f x =
liên tục tại điểm x = 3 − .
Đs: m = 0 hoặc m = 6 0 3 2 m − 2mx − khi x 3 − 2 3 − x khi x 3 2 5 − x +16
6. f ( x) =
liên tục tại điểm x = 3 . Đs: m = 5 − hoặc m =1 0
m (x + m + )1 khi x 3 3 ( 2 3 x − 4) khi x 2
7. f ( x) = x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 . Đs: m = 2 0
m + 2 + m −10x khi x 2 118
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI 2 x −3 −1 khi x 2 Bài 1.
1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 2 tại điểm x = 2 . 0 2x − 2 khi x = 2
Ta có f (x ) = f (2) = 2 0 2 2 x − 3 −1 x − 4 x + 2 lim f (x) = lim = lim = lim = 2 x→2 x→2 x→2 2 x→2 2 x − 2
(x − 2)( x − 3 +1) x − 3 +1
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2. 0 x→2 2 3
2 − 7x + 5x − x khi x 2
2. Xét tinh liên tục của hàm số 2 f (x) = x − 3x + 2 tại điểm x = 2 . 0 1 khi x = 2
Ta có f (x ) = f (2) = 1 0 2 3 2 2
2 − 7x + 5x − x
(x − 2)(−x + 3x −1) −x + 3x −1 lim f (x) = lim = lim = lim =1 2 x→2 x→2 x→2 x→2 x − 3x + 2
(x − 2)(x −1) x −1
Suy ra f (2) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2 . 0 x→2 2 x + 3x + 2 khi x 1 −
3. Xét tinh liên tục của hàm số f (x) = −x −1 tại điểm x = 1 − . 0 2 x + 2x khi x = 1 −
Ta có f (x ) = f ( 1 − ) = 1 − 0 2 x + 3x + 2 (x +1)(x + 2) x + 2 lim f (x) = lim = lim = lim = 1 − x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 − x→ 1 −x −1 −(x +1) − 1 − Suy ra f ( 1
− ) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1 − . 0 x 1 →− 3
x − 3x − 4 khi x 4 Bài 2.
1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . 0 4 − x + 46 khi x 4
Ta có f (x ) = f (4) = 30 0
lim f (x) = lim ( 4 − x + 46) = 30 − − x→4 x→4 2 x − 3x − 4
(x − 4)(x +1)( x + 5 + 3) lim f (x) = lim = lim
= lim(x +1)( x + 5 + 3) = 30 + + + + x→4 x→4 x→4 + − − x→4 x 5 3 x 4
Suy ra f (4) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 4 . − + 0 x→4 x→4 2
3x − 2x −1 khi x 1
2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x −1 tại điểm x = 1. 0 2x + 2 khi x 1 119
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Ta có f (x ) = f (1) = 4 0 2 3x − 2x −1 (x −1)(3x +1)
lim f (x) = lim(2x + 2) = 4 lim f (x) = lim = lim = lim(3x +1) = 4 + + − − − − x 1 → x 1 → x 1 → x 1 → − x 1 → − x 1 x 1 x 1 →
Suy ra f (1) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1. + − 0 x 1 → x 1 → 2
x + 2x − 3 khi x 1 2 x + x − 2
3. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = tại điểm x = 1. 0 x +1 + 7 khi x 1 3 2 + 7
Ta có f (x ) = f (1) = 0 3 x +1 + 7 2 + 7 lim f (x) = lim = − − x 1 → x 1 → 3 3 2 x + 2x − 3 (x −1)(x + 3) x + 3 4 lim f (x) = lim = lim = lim = + + 2 + + x 1 → x 1 → + − x 1 → − + x 1 x x 2 (x 1)(x 2) → x + 2 3
Suy ra f (1) = lim f (x) lim f (x) nên hàm số f (x) x = 1. − +
không liên tục tại điểm 0 x 1 → x 1 → 3
x − 3x − 4 khi x 4
4. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x + 5 − 3 tại điểm x = 4 . 0 4 − x + 46 khi x 4
Ta có f (x ) = f (4) = 30 0
lim f (x) = lim ( 4 − x + 46) = 30 − − x→4 x→4 2 x − 3x − 4
(x − 4)(x +1)( x + 5 + 3) lim f (x) = lim = lim
= lim(x +1)( x + 5 + 3) = 30 + + + + x→4 x→4 x→4 + − − x→4 x 5 3 x 4
Suy ra f (4) = lim f (x) = lim f (x) nên hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 4 . − + 0 x→4 x→4 3 2
x − 5x + 7x − 3 khi x 1 Bài 3.
1. Tìm m để hàm số 2 f (x) = x −1
tại điểm x = 1. 0 2m +1 khi x = 1
Ta có f (x ) = f (1) = 2m +1 0 3 2 2
x − 5x + 7x − 3 (x −1) (x− 3) (x −1)(x + 3) lim f (x) = lim = lim = lim = 0 2 x 1 → x 1 → x 1 → x 1 x −1 (x −1)(x+1) → x +1 1
Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 1 lim f (x) = f (1) 2m +1 = 0 m = − . 0 x 1 → 2 120
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1+ x − 1− x khi x 0
2. Tìm m để hàm số ( ) x f x =
liên tục tại điểm x = 0 . 0 4 − x 5 − m + khi x = 0 x + 2 Ta có: f (0) = 5 − m + 2 + − − f ( x) 1 x 1 x 2x 2 lim = lim = lim = lim =1 x→0 x→0 x→0 x
x ( 1+ x + 1− x ) x→0 1+ x + 1− x 1
Hàm số liên tục tại điểm x = 0 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (0) 5
− m + 2 =1 m = 0 x 0 → 5 1 Vậy m = . 5 3 6 + x − 2 khi x 2
3. Tìm m để hàm số f ( x) = x − 2
liên tục tại điểm x = 2 . 0
2x−m khi x = 2
Ta có f (2) = 4 − m + − − f ( x) 3 6 x 2 x 2 1 1 lim = lim = lim = lim = x→2 x→2 x→2 x − 2 ( x→
x − 2)( 3 (6+ x)2 3 + 2 6 + x + 4) 2 3 ( + x)2 3 12 6 + 2 6 + x + 4 1 47
Hàm số liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (2) 4 − m = m = 0 x→2 12 12 47 Vậy m = . 12 3 12x − 4 − 2 khi x 1
4. Tìm m để f ( x) = x −1
liên tục tại điểm x = 1. 0 2 2
m x + 8 + 2mx khi x =1 Ta có f ( ) 2 1 = m + 8 + 2m x − − x − lim f ( x) 3 12 4 2 12( ) 1 = lim = lim x 1 → x 1 → x 1 x −1 → (x − ) 1 ( 3 (12x −4)2 3 + 2 12x − 4 + 4) 12 = lim =1 x 1 → 3 (12x − 4)2 3 + 2 12x − 4 + 4
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi lim f ( x) = f ( ) 2
1 m + 8 + 2m = 1 0 x 1 → 121
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 m 1 2 1 − 2m 0 m
m = − m = − m + 8 = (1−2m) 2 1 1 2 2 2 3
− m + 4m + 7 = 0 7 m = 3 Vậy m = 1 − . 3 x −8 khi x 2 Bài 4.
1. Tìm m để hàm số 2
f (x) = 2x − x − 6 tại điểm x = 2 . 0 mx +10 khi x 2
Ta có f (x ) = f (2) = 2m +10 0
lim f (x) = lim (m x +10) = 2m +10 − − x→2 x→2 3 2 2 x − 8
(x − 2)(x + 2x + 4) x + 2x + 4 12 lim f (x) = lim = lim = lim = + + 2 + + x→2 x→2 − − x→2 − + x→2 2x x 6 (x 2)(2 x 3) 2x + 3 7
Hàm số f (x) liên tục tại điểm 12 29
x = 2 lim f (x) = lim f (x) = f (2) 2m +10 = m = − 0 + − x→2 x→2 7 7 2x −1 −1 khi x 1
2. Tìm m để f ( x) 2
= x + 2x −3
liên tục tại điểm x = 1. 0
x+m khi x 1 Ta có f ( ) 1 = 1+ m − − − f ( x) 2x 1 1 2 ( x ) 1 2 1 lim = lim = lim = lim = + + 2 + + x 1 → x 1 → + − x 1 x 2x 3 → (x − )
1 ( x + 3)( 2x −1 + ) x 1 1 →
(x +3)( 2x−1+ )1 4
lim f ( x) = lim ( x + m) =1+ m − − x 1 → x 1 →
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi 0 f ( x) =
f ( x) = f ( ) 1 3 lim lim 1 1+ m = m = − + − x 1 → x 1 → 4 4 3 Vậy m = − . 4 2
2x − 7x + 6 khi x 2 −
3. Tìm m để f ( x) x 2 =
liên tục tại điểm x = 2 . 0 1− x m + khi x 2 x + 2 Ta có f ( ) 1 2 = m − 4 − f ( x) 1 x 1 lim = lim m + = m − + + x→2 x→2 x + 2 4 122
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − x + x − x − − x − x − lim f ( x) 2 7 6 ( 2)(2 3) ( 2)(2 3) = lim = lim = lim − − − − x→2 x→2 − x→2 − x→2 x 2 x 2 x − 2 = lim ( 2 − x + 3) = 1 − − x→2
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 − khi và chỉ khi 0 f ( x) =
f ( x) = f ( ) 1 3 lim lim 2 m − = 1 − m = − + − x→2 x→2 4 4 3 Vậy m = − . 4 2
3x −3+ x −1 5x + 4 khi x 1 2
4. Tìm m để − + f ( x) x 2x 1 =
liên tục tại điểm x = 1. 0 1 2 m +
x − 3m khi x 1 3 1 Ta có f ( ) 2 1 = m + −3m 3 lim f ( x) 1 1 2 2
= lim m + x − 3m = m + − 3m + + x 1 → x 1 → 3 3 − + − + (x − )1 − + x x x ( 2 2 3 5x 4 3 3 1 5 4 ) lim f ( x) = lim = lim − − 2 − x 1 → x 1 → − + x 1 x 2x 1 → (x − )2 1 (x − ) 1 ( 2 3 − 5x + 4 ) 2 3 − 5x + 4 = lim = − − x→ (x − ) lim 2 1 x 1 1 → x −1 5 − (x − ) 1 ( x + ) 1 5 − (x + ) 1 5 = lim = lim = − − − x 1 → (x − ) 1 ( 2 3 + 5x + 4 ) → 2 x 1 + + 3 3 5x 4
Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi 0 m =
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( ) 1 5 1 2 2 1 m +
− 3m = − m − 3m + 2 = 0 + − x 1 → x 1 → 3 3 m = 2
Vậy m = 1 hoặc m = 2 . 7 −3x − 4 khi x 3 − − −
5. Tìm m để ( ) 2 1 x f x =
liên tục tại điểm x = 3 − . 0 3 2 m − 2mx − khi x 3 − 2 3 Ta có f ( 3 − ) 2 = m + 6m − 2 lim f ( x) 3 3 2 2
= lim m − 2mx − = m + 6m − − − x→ 3 − x→ 3 − 2 2 123
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 − − −
(x +3)(2+ 1− x) 3 − (2+ 1− 7 3 4 x x ) f ( x) 3 lim = lim = lim = lim = − + + + + x→ 3 − x→ 3 − x→ 3 2 − 1− x −
(x +3)( 7−3x +4) x→ 3− 7−3x +4 2
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 − khi và chỉ khi 0 m =
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( 3 − ) 3 3 0 2 2
m + 6m − = − m + 6m = 0 + − x→ 3 − x→ 3 − 2 2 m = 6 −
Vậy m = 0 hoặc m = 6 − . 3 − x khi x 3 2 5 − x +16
6. Tìm m để f ( x) =
liên tục tại điểm x = 3 . 0
m (x + m + )1 khi x 3 3 m Ta có f (3) = (4+ m). 3 m m lim f ( x) = lim (x +m+ ) 1 = (4+ m) . − − x 3 → x 3 → 3 3 (3− x) + + − x ( 2 5 x 16 3 ) + + f ( x) 2 5 x 16 5 lim = lim = lim = lim = . + + → → 2 + + x 3 x 3 x→3 − x + (3− x)(3+ x) x→3 3 + x 3 5 16
Hàm số liên tục tại điểm x = 3 khi và chỉ khi 0 m 5 m =1
lim f ( x) = lim f ( x) = f (3) (4+ m) 2
= m + 4m − 5 = 0 + − x 3 → x 3 → 3 3 m = 5 − Vậy m = 5 − hoặc m =1. ( 2 3 x − 4) khi x 2
7. Tìm m để f ( x) = x + 2 − x
liên tục tại điểm x = 2 . 0
m + 2 + m −10x khi x 2
Ta có f (2) = m + 2 + m − 20 .
lim f ( x) = lim + + − = + + − . − − ( m 2 m 10x) m 2 m 20 x→2 x→2 3( 2 x − 4)
3( x − 2)( x + 2)( x + 2 + x) lim f ( x) = lim = lim + + + x→2 x→2 x→2 x + 2 − x
−(x − 2)(x + ) 1
3( x + 2)( x + 2 + x) = lim = 1 − 6 . + x→2 −(x + ) 1
Hàm số liên tục tại điểm x = 2 khi và chỉ khi 0 − f ( x) =
f ( x) = f ( ) 4 m 0 lim lim
2 m + 2 = 4 − m − + x→ x→ m + 2 = (4−m)2 2 2 124
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m 4 m 4
m = 2 m = 2. 2
m − 9m +14 = 0 m = 7 Vậy m = 2 .
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3 x + 27 khi x 3 − 2 2x + 5x −3 Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = tại điểm x = 3
− . ĐS: K liên tục. 0 4 + x khi x = 3 − 5 2 2 − x + 8 khi x 2 − Bài 2.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = 1− 4x − 3 tại điểm x = 2
− . ĐS: Liên tục. 0 5 x − 2 khi x 2 − 2 x − 9 khi x 3 Bài 3.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x +1 − 2
tại điểm x = 3 . ĐS: Không liên tục. 0
2x+12 khi x 3 2 x − 4 khi x 2
x − 7x −10 Bài 4.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 2 . ĐS: Liên tục. 0 8x − hi x = 2 3 ( x − )2 5 + 3 khi x 5 Bài 5.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x − 5
tại điểm x = 5 . ĐS: Liên tục. 0 khi x 5 2x −1 − 3 2 x + x −12 khi x 3 x −3 Bài 6.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 3 . ĐS: Liên tục. 2 0 x + 5 khi x = 3 x −1 4x + 5 −5 khi x 5 − Bài 7.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) x 5 =
tại điểm x = 5 . ĐS: Liên tục. 0 2x khi x 5 25
3x +1 − 5− x khi x 1 Bài 8.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 3 2 = 2
− x + 3x − x
tại điểm x = 1. ĐS: Liên tục. 0 2 − x +1 khi x 1
x 2 − x − 4 khi x 2 x − 5x + 6 Bài 9.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 2 =
khi x 2 tại điểm x = 2 . ĐS: Liên tục. 0 x + 2 − 2 4 − khi x = 2 125
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x − 3x + 2 khi x 1
Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x + 8 − 3
tại điểm x = 1. ĐS: Liên tục. 0
x 1− x − 6 khi x 1 3 2x + x − 3 khi x 1 3 x −1
Bài 11. Tìm m để hàm số f ( x) =
liên tục tại điểm x = 1. ĐS: m = 2 . 0 ( 2 m − ) 2 1 x + 4 khi x 1 x + 2 4 2
x − 6x − 27 khi x 3 −
Bài 12. Tìm m để hàm số f ( x) 3 2
= x + 3x + x + 3
liên tục tại điểm x = 3 − . ĐS: 10 m = . 0 3 mx + 3 khi x = −3 3 x − 27 khi x 3
Bài 13. Tìm m để hàm số f ( x) 2
= 2x − 4x − 6
liên tục tại điểm x = 3 . ĐS: 37 m = − . 0 24 mx + 8 khi x 3 x − 2 khi x 2
Bài 14. Tìm m để hàm số f ( x) = x + 2 − 2
liên tục tại điểm x = 2 . ĐS: m = 2 . 0 x+2m khi x = 2 2 x − 25 khi x 5
Bài 15. Tìm m để hàm số f ( x) 2
= x − 4x −5
liên tục tại điểm x = 5 . ĐS: 15 m = . 0 ( 3 x − 5 )2 2 + m khi x 5
_DẠNG 2. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải:
Hàm số liên tục tại điểm x = x khi f ( x = lim f x hoặc f ( x = lim f x = lim f x 0 ) ( ) ( ) 0 ) ( ) 0 x→x − + → → 0 x 0 x x 0 x VÍ DỤ 3
2x + x + 3 khi x 1 − 3 x +1
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = trên . 7 khi x = 1 − 3 ĐS: Liên tục trên . Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D = . 126
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2x + x + 3 + Xét x 1 − thì f (x) 3 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng 3 x +1 (−;− ) 1 và ( 1;
− + ) mà nó xác định.
+ Xét tính liên tục của hàm số f ( x) tại x = 1 − x + x + (x + ) 1 ( 2 3 2x − 2x + 3 2 3 ) 2 2x − 2x + 3 7
Ta có lim f ( x) = lim = lim = lim = . 3 x→− x→− x +1 x→− (x + ) 1 ( 2 1 1 1 x − x + ) 2 x→ 1 1 − x − x +1 3 f (− ) 7 1 = . 3
Suy ra lim f ( x) = f (− )
1 nên hàm số đã cho liên tục tại x = 1 − . 0 x 1 →−
+ Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 2 x − 4x + 3 khi x 1
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x −1 trên . − 5 − x khi x 1 ĐS: Liên tục trên . Lời giải
+ Tập xác định của hàm số là D = . 2 x − 4x + 3
+ Với mọi x 1; + , lim f ( x) = lim
= f (x Suy ra hàm số đã cho liên tục trên 0 ) 0 ( ) x→ → − 0 x x 0 x x 1 . khoảng (1; + ) .
+ Với mọi x −;1 , ta có lim f ( x) = lim − − = − − = Suy ra hàm số đã → → ( 5 x ) 5 x f x 0 ( 0) 0 ( ) x 0 x x 0 x .
cho liên tục trên khoảng (− ) ;1 .
+ Xét tính liên tục của hàm số tại x =1 f ( ) 1 = − 5 −1 = 2 .
- lim f ( x) = lim (− 5 − − x = − . − − ) 2 x 1 → x 1 → x −1 x − 3 - lim f ( x) ( )( ) = lim = lim (x −3) = 2 − . + + + x 1 → x 1 → − x 1 x 1 →
Suy ra lim f ( x) = lim f ( x) = f ( )
1 nên hàm số đã cho liên tục tại x =1 . − + x 1 → x 1 →
Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 127
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x + x − 6 khi x 2
Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f ( x) = x + 2 − 3x − 2 liên tục trên . ĐS: a = 11 − . ( 2x −3 )2 + a khi x 2 Lời giải Với x (−;2) ta có: x + x − 6 - f ( x ) 2 0 0 = . 0
x + 2 − 3x − 2 0 0 2 2
- lim f ( x) = lim (2x − 3) + a = (2x − 3 + a 0 ) . x→ → 0 x x 0 x
Suy ra lim f ( x) = f ( x nên hàm số liên tục trên khoảng (−; 2) . 0 ) x→x0 Với x (2;+ ) ta có
- f ( x ) = (2x − 3)2 + a . 0 0 2 2
- lim f ( x) = lim (2x − 3) + a = (2x − 3 + a 0 ) . x→ → 0 x x 0 x
Suy ra lim f ( x) = f ( x nên hàm số liên tục trên khoảng (2; + ) . 0 ) x→x0 Lại có:
- f (2) = 1+ a . x + x − 6 - lim f ( x) 2 = lim = 1 − 0 . + + x→2 x→2
x + 2 − 3x − 2
- lim f ( x) = lim (
2x −3)2 + a =1+ a − − . x→2 x→2
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f ( x) = lim f ( x) = f (2) 1 − 0 =1+ a . + − x→2 x→2 Suy ra a = 11
− là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG 3 2
2x + 6x + x + 3 khi x 3 − Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x + 3 trên . 1 9 khi x = 3 − Lời giải
Tập xác định của hàm số là D = . 128
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
x + x + x + - Xét x 3 − thì f (x) 3 2 2 6 3 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng x + 3 (−;−3) và ( 3;
− + ) mà nó xác định.
- Xét tính liên tục của hàm số f ( x) tại x = 3 − + + + (x +3)( 2 3 2 2x x x x + ) f ( x) 1 2 6 3 lim = lim = lim = lim ( 2 2x + ) 1 = 19 x→( 3 − ) x→( 3 − ) x→ − (−3) x→ + . (−3) x 3 x 3
Suy ra lim f ( x) = f ( 3
− ) nên hàm số đã cho liên tục tại x = 3 − . x ( → 3 − )
Vậy hàm số đã cho liên tục trên . 2 x − 5x + 6 khi x 2 Bài 2.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 3 = 2x −16 trên . 2− x khi x 2 Lời giải Tập xác định D = . 2 x − 5x + 6
- Với mọi x − ; 2 , lim f x = lim = f x . 0 ( ) ( ) 3 ( 0) x→ → − 0 x x 0 x 2x 16
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng (−; 2) .
- Với mọi x 2; + , lim f x = lim 2 − x = 2 − x = f x . 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( 0) x→x x→x 0 0
Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng (2; + ) .
- Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 f (2) = 0 . 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3 x − 3 1 lim f ( x) ( )( ) = lim = lim = lim = − − − 3 − − x→ x→ 2x −16 x→ 2( x − 2)( 2
x + 2x + 4) x→ 2( 2 2 2 2 2 x + 2x + 4) 24
lim f ( x) = lim (2 − x) = 0 . + + x→2 x→2
Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2 . 2
2x − x −3 khi x 1 − Bài 3.
Tìm a để f ( x) 3 2
= x + x + x +1 liên tục trên . 3 a khi x = 1 − Lời giải 2x − x − 3
Ta có với x 1 thif f ( x) 2 =
là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng 3 2
x + x + x +1
khoảng mà nó xác định. Lại có 129
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC - f (− ) 3 1 = a . 2 2x − x − 3 x +1 2x − 3 2x − 3 5 - lim f ( x) ( )( ) = lim = lim = lim = − . 3 2 x→−
x→− x + x + x +1 x→− (x + ) 1 ( 2 1 1 1 x + ) 2 x→ 1 1 − x + 1 + 2
Khi đó hàm số liên tục trên
thì sẽ liên tục tại x = 1 − khi và chỉ khi
lim f ( x) = f (− ) 5 3 1 a == − . x 1 →− 2 5 Suy ra 3 a = − là giá trị cần tìm. 2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 3 x −1 khi x 1 x −1 Bài 1.
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = liên tục trên .
1− x + 2 khi x 1 x + 2 2 x + 5x khi x 0 Bài 2.
Tìm m để f ( x) = x −1 −1 liên tục trên . m+2 khi x 0 2 x −1 khi x 1 − Bài 3.
Tìm m để f ( x) 3 2
= x + x + x +1 liên tục trên . cosm khi x = 1 − 3
x − 2 + 2x −1 khi x 1 Bài 4.
Tìm m để f ( x) = x −1 liên tục trên . 3 m − 2 khi x = 1 x +1 −1 khi x 0 Bài 5.
Tìm m để f ( x) = x liên tục trên . 2
2x + 3m +1 khi x 0
_DẠNG 3. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số
f ( x) liên tục trên D và có hai số a ,b D sao cho f (a). f (b) 0 .
- Để chứng minh phương trình f ( x) = 0 có k nghiệm trên D , ta chứng minh hàm số f ( x) liên tục
trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a ; a
với i =1; 2;...; k nằm trong D sao cho i i 1 + )
f (a ). f (a 0 . i i 1 + )
Chú ý: Hàm số đã thức liên tục trên
. Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên 130
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
từng khoảng xác định của chúng.
Khi hàm số đã liên tục trên
rồi, sẽ lieent ục trên mỗi khoảng (a ; a mà ta cần tìm. i i 1 + ) VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh phương trình 3 2
4x − 8x +1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( 1; − 2) . Lời giải - Đặt f ( x) 3 2
= 4x − 8x +1 và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra liên tục trên −1;2. f (− ) 1 = 1 − 1 - Ta có f (− ) 1 . f (2) = 1 − 1 0 x 1 − ;2 : f x = 0 , 0 ( ) ( 0) f (2) =1
Nghĩa là phương trnhf f ( x) 3 2
= 4x − 8x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 1; − 2) .
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình 3
x − 3x +1 có đúng ba nghiệm phân biệt. Lời giải Đặt f ( x) 3
= x − 3x +1 và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên các đoạn 2 − ;0;0 ;1 ;1; 2 . f (− ) 1 = 1 − - Ta có f ( 2
− ). f (0) = − phương trình f (x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất f ( ) 1 0 0 = 1
một nghiệm thuộc khoảng ( 2 − ;0) . (1) f (0) =1 - Ta có
f (0). f ( ) = − phương trình f (x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất một f ( ) 1 1 0 1 = 1 −
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2) f ( ) 1 = 1 − - Ta có f ( )
1 . f (2) = − phương trình f ( x) 3
= x − 3x +1 = 0 có ít nhất f ( ) 3 0 2 = 3
một nghiệm thuộc khoảng (1; 2) . (3) Từ ( )
1 , (2),(3) suy ra phương trình có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng (−2;0) , (0; )
1 , (1; 2) . Mà f ( x) là đa thức bậc ba nên phương trình f ( x) = 0 có tối đa ba nghiệm. Suy
ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm phân biệt.
Chú ý: Với sự hỗ trợ của chức năng mode 7 trong casio, ta dễ dàng tìm được các khoảng (−2;0), (0; )
1 , (1; 2) như trên. Công việc còn lại là trình bày sao cho đúng ngôn ngữ.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình 3
x + x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 − . Lời giải 131
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Đặt f ( x) 3
= x + x +1, vì f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn 1; − 0. f (− ) 1 = 1 − Ta có f (− )
1 . f (0) = − phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm f ( ) 1 0 0 = 1 thuộc khoảng ( 1; − 0) .
Suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 − .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình 3 2
x + 5x − 2 = 0 có ít nhất hai nghiệm. Lời giải Đặt f ( x) 3 2
= x + 5x − 2 , f ( x) là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn 1; − 0 ; 0; 1 f (− ) 1 = 2 - Ta có f (− )
1 . f (0) = − phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm f ( ) 4 0 0 = 2 − thuộc khoảng ( 1; − 0) . (1) f (0) = 2 − - Tương tự f (− )
1 . f (0) = − phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một f ( ) 8 0 1 = 4
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2) Từ ( )
1 và ( 2) ta suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 4 3
4x + 2x − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm. Lời giải Đặt f ( x) 4 3
= 4x + 2x − x − 3 , f ( x) là hàm đa thức trên , suy ra hàm số liên tục trên đoạn 1; − 0, 0; 1 . f (− ) 1 = 4 - Ta có f (− ) 1 . f (0) = −
phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm f ( ) 12 0 0 = 3 − thuộc khoảng ( 1; − 0) . (1) f (0) = 3 − - Tương tự f (− )
1 . f (0) = − phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một f ( ) 6 0 1 = 2
nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . (2) Từ ( )
1 và ( 2) ta suy ra phương trình f ( x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m . Lời giải 132
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Đặt f ( x) = ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên
f ( x) liên tục trên đoạn 1; − 0. f (− ) 2 1 = m +1 Ta có f (− )
1 . f (0) 0 x 1 − ;0 : f x = 0 . 0 ( ) ( 0) f (0) = 1 −
Do đó phương trình f ( x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m (đpcm).
Chú ý: Đối với bài toán chứa tham số m , ta chọn khoảng (a;b) sao cho tại vị trí a và b triệt
tiêu đi m hoặc là biểu thức luôn dương hoặc luôn âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán.
Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức a 0 2
ax + bx + c 0, x . 0 a 0 2
ax + bx + c 0, x . 0
Ví dụ 7. Chứng minh rằng phương trình 4 2
x + mx − 2mx −1 = 0 có nghiệm với mọi m . Lời giải Đặt f ( x) 4 2
= x + mx − 2mx −1 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên f ( x) liên tục trên đoạn 0;2 . f (0) = 1 − Ta có f (− ) 1 . f (2) = −
phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m . f ( ) 15 2 = 15
Ví dụ 8. Chứng minh rằng phương trình m ( x − 2)( x − 3) + 2m − 5 = 0 có nghiệm với mọi m . Lời giải
Đặt f ( x) = m( x − 2)( x − 3) 2x − 5 và f ( x) là hàm đa thức liên tục trên f ( x) liên tục trên đoạn 2;3. f (2) = 1 − Ta có
f (2). f (3) = − phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m . f ( ) 1 3 = 1
Ví dụ 9. Chứng minh phương trình ( x − a)( x − b) + ( x − b)( x − c) + ( x − c)( x − a) = 0 có ít nhất một
nghiệm với mọi số thực a , b , c . Lời giải
Đặt f ( x) = ( x − a)( x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a). Vì f ( x) là hàm đa thức nên sẽ liên tục trên
. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử a b c .
- Nếu a = b hoặc b = c thì f (b) = (b − a)(b − c) , suy ra phương trình có nghiệm x = . b 133
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f
(a) = (a − b)(a − c) 0
- Nếu a b c thì
f (a). f (b) 0. Do đó phương trình có ít f
(b) = (b − a)(b − c) 0
nhất một nghiệm trong khoảng (a;b) .
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm (đpcm).
Ví dụ 10. Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0 . Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . Lời giải Đặt ( ) 2
f x = ax + bx + c và f ( x) là hàm đa thức nên liên tục trên .
2a + 3b + 6c = 0
- Ta có f (0) = c và có 2 4 2 2 = + + = . ( c c f a b c
2a + 3b + 6c) − = − 3 9 3 3 3 3 2 2
- Nếu c = 0 thì f = 0
, suy ra phương trình có nghiệm x = (0; ) 1 . 3 3 c
- Nếu c 0 thì ta có f ( ) 2 2 0 . f = − 0 3 3 2
f ( x) = 0 có nghiệm x = a 0; (0 ) ;1 . 3
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 .
Ví dụ 11. Cho hàm số f ( x) 3 2
= x − 3x −1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x 3;4 . Không 0 ( )
tính f ( 5 36) và f ( 5 1+ 36 ) , chứng minh rằng 5 x 1+ 36 . 0 Lời giải Ta có: f (3) 3 2 = 3 −3.3 −1 = 1
− f (3).f (4)=− . f (4) 15 0 3 2 = 4 −3.4 −1 =15
Suy ra phương trình có nghiệm x 3; 4 . 0 ( ) 3 Ta có f ( x) 3 2
= x − 3x −1 = (x − ) 1 − 3( x − ) 1 − 3 .
Vì x là nghiệm của phương trình f ( x) = 0 nên ta có f ( x = 0 0 ) 0 ( x − )3
1 − 3 x −1 − 3 = 0 . 0 ( 0 )
Đặt = x −1 và x 3;4 2;3 . Khi đó, ta có 0 ( ) ( ) 0 3 3
−3 −3 = 0 = 3 + 3 2. 9 = 6 6 5 5
36 36 36 .
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 3 = 3 = 1 (2;3) .
Do đó, dấu “ = ” không xảy ra, tức là ta luôn có 5 5 5
36 x −1 36 x 1+ 36. 0 0
Suy ra điều phải chứng minh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1.
Chứng minh phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. 134
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 2.
Chứng minh phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Bài 3.
Chứng minh phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm với mọi m . Bài 4.
Chứng minh phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 5.
Chứng minh phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 6.
Chứng minh phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 7.
Chứng minh rằng phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất ba nghiệm. Bài 8.
Cho và thỏa mãn 0 . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm 2 10 2 2
sin + sin − − 10 sin x − x = . + a b c Bài 9. Chứng minh rằng nếu + +
= 0 , (k n m 0) và 2
km n thì phương trình k n m 2
ax + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . LỜI GIẢI Bài 1.
Đặt f ( x) = ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1, f ( x) liên tục với mọi x . Có:
f (− ) = (m + ) (− )3 − m (− )2 2 2 − (− ) 2 2 3 1 . 3 2 . 3 4. 3 + m +1 = 4 − 4m −14 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 0
1 .0 − 2m .0 − 4.0 + m +1 = m +1 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 1
1 .1 − 2m .1 − 4.1+ m +1 = 2 − 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 2
1 .2 − 2m .2 − 4.2 + m +1 = m +1 0 . Ta thấy f ( 3 − ). f (0) 0 ; f (0). f ( ) 1 0 ; f ( ) 1 . f (2) 0 nên phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−3;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) . Vậy phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Bài 2.
Đặt f ( x) = ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m , f ( x) liên tục trên .
Trường hợp 1: m = 0, ta có phương trình 5
x −16x = 0 có nghiệm x 0; 2 .
Vậy với m = 0 thì phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: m 0 , ta có:
f (− ) = ( − m)(− )5 + m (− )2 2 1 2 9 2 −16.( 2
− ) − m = 67m ;
f ( ) = ( − m) 5 2 0 1 .0 + 9 .
m 0 −16.0 − m = −m ;
f ( ) = ( − m) 5 2 2 1 .2 + 9 .
m 2 −16.2 − m = 3 − m .
Ta thấy f (− ) f ( ) 2 2 . 0 = 67
− m 0, f ( ) f ( ) 2 0 . 2 = 3
− m 0 với mọi m 0 . 135
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) ,
ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; 2) .
Vậy phương trình ( − m) 5 2 1
x + 9mx −16x − m = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt. Bài 3. Đặt ( ) = ( 2 − + ) 2 3 n f x m m x
− 2x − 4 , f ( x) liên tục trên . 2n Xét
(− ) = ( 2 − + )(− ) − (− )− = ( 2 2 3 2 2. 2 4 − + 3).4n f m m m m 0 . Xét ( ) = ( 2 − + ) 2 0 3 .0 n f m m − 2.0 − 4 = 4 − 0 . Ta thấy f ( 2
− ). f (0) 0 với mọi m 0 .
Suy ra phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) .
Vậy phương trình ( 2 − + ) 2 3 n m m x
− 2x − 4 = 0 có ít nhất một nghiệm âm. Bài 4.
Trường hợp 1: m = 0, ta có phương trình 3
x − x = 0 luôn có nghiệm x = 0 ; x = 1 .
Trường hợp 2: m 0 .
Đặt f ( x) = ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m , f ( x) liên tục với mọi x . Có:
f (− ) = ( m + )(− )3 1 4 1 1 − (m + ) 1 (− ) 1 + m = 2 − m ;
f ( ) = ( m + ) 3 0 4 1 .0 − (m + ) 1 .0 + m = m .
Ta thấy f (− ) f ( ) 2 1 . 0 = 2
− m 0 nên phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( 1; − 0) .
Vậy phương trình ( m + ) 3 4 1 x − (m + )
1 x + m = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 5.
Đặt f ( x) = (m − )(x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3, f (x) liên tục với mọi x . 2001 2002 Xét f (− ) = ( 3 2 m − ) 1 ( 2 − ) −1 ( 2 − )+ 2 + 2. ( 2 − ) +3 = 1 − .
Xét f ( ) = (m − )( − )( + )2002 3 2001 1 1 1 1 1 2 + 2.1+ 3 = 5 . Ta thấy f ( 2 − ). f ( ) 1 = 1 − .5 = 5
− 0 với mọi m .
Suy ra phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2; ) 1 .
Vậy phương trình (m − )( x − )(x + )2002 3 2001 1 1 2
+ 2x + 3 = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 6.
Đặt f ( x) = ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1, f ( x) liên tục với mọi x . Có:
f (− ) = (m + ) (− )3 − m (− )2 2 2 − (− ) 2 2 3 1 . 3 2 . 3 4. 3 + m +1 = 4 − 4m −14 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 0
1 .0 − 2m .0 − 4.0 + m +1 = m +1 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 1
1 .1 − 2m .1 − 4.1+ m +1 = 2 − 0 ; f ( ) = ( 2 m + ) 3 2 2 2 2 2
1 .2 − 2m .2 − 4.2 + m +1 = m +1 0 . 136
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Ta thấy f ( 3
− ). f (0) 0 , f (0). f ( ) 1 0 , f ( )
1 . f (2) 0 . Suy ra phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−3;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) . Vậy phương trình ( 2 m + ) 3 2 2 2
1 x − 2m x − 4x + m +1 = 0 có ba nghiệm phân biệt. Bài 7.
Đặt f ( x) = m( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1, f ( x) liên tục với mọi x . Có:
f (− ) = m(− − ) (
− )3 − (− ) +(− )3 2 2 1 2 4. 2 2 −3.( 2 − )+1= 1 − ;
f ( ) = m ( − )( 3 − ) 3 0 0 1 0 4.0 + 0 − 3.0 +1 = 1;
f ( ) = m( − )( 3 − ) 3 1 1 1 1 4.1 +1 − 3.1+1 = 1 − ;
f ( ) = m ( − )( 3 − ) 3 2 2 1 2 4.2 + 2 − 3.2 +1 = 1. Ta thấy f ( 2 − ). f (0) 0 , f (0). f ( ) 1 0 , f ( ) 1 . f (2) 0 nên phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (−2;0) , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0; )
1 , ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2) .
Vậy phương trình m ( x − )( 3 x − x) 3 1 4
+ x − 3x +1 = 0 có ít nhất ba nghiệm.
sin + sin − − Bài 8. Đặt f (x) 2 10 2 2 10
= sin x − x −
, hàm số f ( x) liên tục trên . +
Ta có lim f ( x) = + nên tồn tại m 0 sao cho f (m) 0 . x→−
Mà lim f ( x) = − nên tồn tại M 0 sao cho f (M ) 0 . x→+
Do đó, hàm số f ( x) liên tục trên m; M và f (m). f (M ) 0 nên phương trình f ( x) = 0 có nghiệm. Bài 9. Xét phương trình 2
ax + bx + c = 0 ( ) 1 . Đặt ( ) 2
f x = ax + bx + c thì f ( x) liên tục trên . 2 n n n
Ta có f (0) = c ; f = . a + . b + c . 2 k k k n
n a b c n n a b c Suy ra f ( ) 2 2 2 2 0 . f = c + + + c 1− = c 1− (do + + = 0 ). k k k n m km km k n m 2 n n n Vì 2 c 0 ; 2
n km 0 1, do đó f ( ) 2 2 0 . f = c 1− 0 . km k km
- Với c = 0 phương trình đã cho trở thành 2
ax + bx = 0 . Suy ra x = 0 hoặc ax + b = 0 ( 2) . a b c
+ Nếu a = 0 thì từ c = a = 0 và điều kiện + +
= 0 suy ra b = 0. Khi đó phương trình (2) k n m có nghiệm là x
, suy ra phương trình ( )
1 có nghiệm x (0; ) 1 . 137
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC a b c
+ Nếu a 0 thì b 0 (vì nếu b = 0 , c = 0 thì từ điều kiện + +
= 0 suy ra a = 0 ), suy ra k n m phương trình ( b a b c
2) có nghiệm x = − . Khi đó từ điều kiện + +
= 0 ; k n m 0 và a k n m b n
c = 0 suy ra x = − = (0; )
1 . Do đó phương trình ( )
1 có nghiệm x (0; ) 1 . a k 2 n n n - Với 1− = 0 f = 0 là nghiệm thuộc (0; ) 1 . km k k 2 n n n
- Với c 0 và 1−
0 f (0). f 0
thì f ( x) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0; . Mà km k k n n 0; (0 ) ;1 (vì 0
1) nên phương trình ( )
1 có nghiệm x (0; ) 1 . k k Vậy phương trình ( )
1 luôn có nghiệm x (0; ) 1 .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1.
Chứng minh rằng phương trình 4 3 2
x − x − 2x −15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương. ĐS: ( 1; − 0) ; (3;4) . Bài 2.
Chứng minh rằng phương trình 3 2
x + 4x − 2 = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−4; ) 1 . ĐS: 7 1 1 4; − − ; 1; − − ; ;1 . 2 2 2 Bài 3.
Chứng minh rằng phương trình 5 3
x − 5x + 4x −1 = 0 có đúng năm nghiệm. ĐS: 3 3 1 1 2; − − ; − ; 1 − ; 1; − ; ;1 ; (1;3) . 2 2 2 2 138
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV A. BÀI TẬP Bài 1.
(HKII - THPT Lương Văn Can)
1) Tính các giới hạn sau x + 2 − 2 2 4x + 3x +1 a) lim . b) lim . 2 x→2 x − 4 x→+ x −1 2
3x − 2x −1 khi x 1
2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x −1 tại x = 1. 0 2x + 2 khi x 1 Bài 2.
(HKII - THPT Sương Nguyệt Anh)
1) Tính các giới hạn sau 2 2x − x −10 a) lim . b) + − + . →− ( 2 lim 3x x 2x 3 x ) 3 x 2 →− x − x + 6 2 x −3 −1 khi x 2
2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x − 2 tại x = 2 . 0 2x − 2 khi x = 2 Bài 3.
(HKII – THPT Bùi Thị Xuân)
1. Tính các giới hạn sau 3 2
6x − 5x + 4x −1 a) lim . ĐS: 2 . b)
x + x + + x + ĐS: 1 . x→− ( 2 lim 9 3 1 3 )1 4 2 1 + − x→ 9x 8x 1 5 2 3 a + b khi x = 1
2x + 5x − 7
2. Tìm a,b để hàm số f ( x) 2 =
khi x 1 liên tục tại x = 1. ĐS: a = 1 − 0,b =19 x −1 0 2
x + 2bx + 3a khi x 1
3. Chứng minh rằng phương trình ( 2 m − m + )( 2 3 2
x − 3x + 2) + (3 − 2x)(3 − 2m) = 0 có nghiệm với mọi m . Bài 4.
(HKII – THPT Nguyễn Hữu Huân)
1. Tính các giới hạn sau x −1 3 2
x + 3x + 2x − a) lim . ĐS: 1 . b) lim ĐS: 2 . 2 x 1 → x −1 4 2 x 2 →− x − x − 6 5 2 x − 3x + 2 khi x 1
2. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x −1
tại x = 1. ĐS: liên tục 0 1 − khi x = 1 Bài 5.
(HKII – THPT Hermann Gmeiner)
1. Tính các giới hạn sau 139
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3 2
x − x − x +1 3 1− x − 3 a) lim . ĐS: 2 . b) lim ĐS: −2 . 2 x 1 → x − 2x +1 x 2 →− x + 2 x − 5 c) lim . ĐS: − . d) + + + ĐS: 1 − . →− ( 2 lim x x 1 x x ) − x→ (x − 4)2 4 2 x khi x 0 1 − 1− x
2. Tìm a để hàm số f ( x) =
liên tục tại x = 0 . ĐS: a = 3. 0 4 − x a −5+ khi x 0 x +1 Bài 6.
(HKII – THPT Hoàng Hoa Thám) 2
x + 2x + 3x − 1. Tính giới hạn sau lim . ĐS: 2 . x→− 2 4x +1 − x + 2 3 2
ax + 2x khi x 1
2. Tìm a để hàm số f ( x) = 4 − x
liên tục tại x = 1. ĐS: a = 1 − . 0 a − 5 + khi x 1 x +1
3. Chứng minh rằng phương trình 4 3 2
x − x − 2x −15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm dương và một nghiệm âm. Bài 7.
(HKII – THPT Hàn Thuyên)
1. Tính các giới hạn sau x − 3 (3x + ) 2 1 2x − 3 a) lim . ĐS: 1 . b) lim 2 2 x 3 → x + 2x −15 8 x→− 3 − x + ĐS: 2 . x x −1 khi x 1 −
2. Tìm m để hàm số ( ) 7 7x f x =
liên tục tại x = 1. ĐS: 3 m = . 0 x 7 m − khi x 1 2 Bài 8.
(HKII – THPT Hùng Vương) 3 2
4x − 7x +19x −16 1. Tính giới hạn sau lim . ĐS: 17 . 2 x 1 → 5x − 8x + 3 2 2 4 − x khi x 2
2. Tìm m để hàm số f ( x) = x + 2 −1
liên tục tại x = 2 . ĐS: m = 4 . 0 2x−m khi x 2
3. Chứng minh rằng phương trình ( 2 m − m + ) 2015 4 x
− 2x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm với
mọi giá trị của tham số m . Bài 9.
(HKII – THPT Hưng Đạo)
1. Tính các giới hạn sau 5 − 6x x − 3 a). lim . ĐS: 3 − . b). lim . ĐS: − . x→+ 3 + 2x + x→2 x − 2 140
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC c). ( 3
lim 3x − 2x ) ĐS: + . x→− 2 x + 3x − 4 khi x 1
2. Tìm m để hàm số f ( x) 3 = x −1
liên tục tại x = 1. ĐS: 5 m = . 0 3 m khi x = 1
Bài 10. (HKII – THPT Bà Điểm)
1) Tính các giới hạn sau 2 x − 3x + 2 a) lim . ĐS: 1 b) + − − . ĐS: 1 →+ ( 2 2 lim x x x x x ) 2 x→2 x − 4 4 ( x − )2 5 + 3 khi x 5
2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x) = x − 5
tại điểm x = 5 ĐS: liên tục. 0 khi x 5 2x −1 − 3 2 x − 5x + 6 khi x 3
3) Tìm m để hàm số f ( x) = x − 3
liên tục tại điểm x = 3 . 0
2mx +1 khi x = 3 Bài 11.
(HKII-THPT Bình Tân) x + 2 − 2 khi x 2 −
1) Tìm m để hàm số f ( x) x 2 = . 1
mx + khi x 2 4
2) Chứng minh rằng phương trình ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của tham số m . Bài 12. (HKII-THPT Củ Chi)
1) Tính các giới hạn sau 2 3n − n + 9 (1−3n) (n + )2 3 2 1 a) lim . ĐS: 3 − b) lim . ĐS: 9 − 2 1− 2n 2 7 3n − 2 c) − + − + . ĐS: 5 − →− ( 2 lim x 3 x x 1 x ) 2 2 x − 4 khi x 2
x− 7x−10
2) Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 2 . ĐS: liên tục 0 8
− x khi x = 2 3
3) Chứng minh rằng phương trình 4 2
4x + 2x − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 13. (HKII-THPT Đinh Thiện Lý)
1) Tính các giới hạn sau 3n + 2 3n − 6n a) A = lim . ĐS: 0 b) B = lim . ĐS: − 4 3
n + 2n − 5n + 2 4n + 3 3 2
2x − 5x − 2x − 3 c) C = lim ĐS: 11 d) D = + + − ĐS: 1 →+ ( 2 lim 4x x 1 2x x ) 2 x 3 → x − 9 3 4 141
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 − x khi x 2
2) Cho hàm số f ( x) = x + 7 − 3 .
2ax+3 khi x 2
a) Khi a =1, xét tính liên tục của hàm số tại x = 2 . ĐS: Không liên tục 9
b) Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 2 . ĐS: a = − 4
3) Chứng minh rằng phương trình 5 4
x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt.
Bài 14. (HKII- THPT Lý Tự Trọng)
1) Tính các giới hạn sau x − 5 2 x + 5 − 3 a) lim . ĐS: 0 b) lim . ĐS: 2 − x 5 → x − 5 x 2 →− x + 2 3 2 x − 4x + 3 khi x 3
2) Tìm a để hàm số f ( x) = 3 − x
liên tục tại điểm x = 3 . ĐS: 7 a = − 0 12
4ax + 5 khi x = 3
3) Chứng minh rằng phương trình 5 4 3
5x − 3x + 4x − 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài 15. (HKII-THPT Lê Quý Đôn) x + 3 − 2 khi x 1
1) Tìm giá trị của a để hàm số f ( x) 2 = 2x −3x +1
liên tục tại x = 1. ĐS: 27 a = 0 8 2
− a + 7 khi x 1
2) Chứng minh phương trình ( 2 m − m + ) 3 3
3 x + 2x − 3 = 0 có nghiệm với mọi m .
Bài 16. (HKII – THPT Chuyên Nguyễn Thượng Hiền) 1) Tính giới hạn sau 1 tan x − sin x 1 a) + − + . ĐS: − b) lim . ĐS: →− ( 2 2 lim x x x 1 x ) 2 3 x 0 → 4x 8 1− x khi x 1
2) Tìm tham số m để hàm số f ( x) = x + 8 − 3
liên tục tại x = 1. ĐS: m = 1 − và 0 2 2
m x + 7m khi m 1 m = 6 −
3) Chứng minh phương trình 14 mx − ( 2 m + ) 15 3
7 x − 5 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi m . Bài 17. (HKII – THPT An Lạc)
Tính các giới hạn sau 2 4x + 5x − 26 3 a) lim . ĐS: 84 − b)
x − x + x − . ĐS: − x→− ( 2 lim 4 2 )1 x→2 2
x − x + x − 2 4 3 2
x − x + 2x − 2 khi x 1
Tìm m để hàm số f ( x) 3 = 1− x
liên tục tại điểm x = 1. ĐS: m = 2 − 0 2 4mx + 6x +1 khi x = 1 142
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài 18.
(HKII – THPT Nam Kỳ Khỏi Nghĩa)
Tính các giới hạn sau 3 2
x − 5x + 3x + 9 2 2 x +1 − 4x +1 a) lim . ĐS: 0 b) lim . ĐS: 1 − 4 2 x 3 → x − 8x − 9 x→− 3 − x 3
x − 4x + 3 khi x 1 2 x − 4x + 3
Tìm m để hàm số f ( x) =
liên tục tại điểm x = 1 ĐS: m = 2 0 1 mx khi x = 1 4
Bài 19. (HKII – THPT Nguyễn Chí Thanh).
Tính các giới hạn sau 3 2
x − 3x − 9x + 2 a) lim . ĐS: 3 3 x 2 →− x − 7x − 6 b) − − − − . ĐS: 0 →+ ( 2 lim 2x 1 4x 4x 3 x ) 2 x − 5x + 6 khi x 3
Tìm a để hàm số f ( x) = x + 6 − 3
liên tục tại điểm x = 3 . ĐS: a =1 0 ax+3 khi x 3 Bài 20.
(HKII – THPT Nguyễn An Ninh).
Tính các giới hạn sau 3 2
2x + 3x − 8x −12 a) lim . ĐS: 4 − 2 x 2 →− x − x − 6 5 b) + + + . ĐS: 1 − →− ( 2 lim 2x 4x x 5 x ) 4 2 x + 7 − 4 khi x 3
Tìm m để hàm số f ( x) = x − 3
liên tục tại điểm x = 3 . ĐS: 9 m = 0 8 x − 2m khi x = 3
Bài 21. (HKII – THPT Nguyễn Du).
Tính các giới hạn sau 2 x − 5x + 6 a) lim . ĐS: 1 − 3 2
x→2 x − 3x + 7x −10 7 b) x + + − →− ( 2 lim x 1 x x ). ĐS: 12 2 x +3 − 2 khi x 1 −
Tìm m để hàm số f ( x) x 1 =
liên tục tại điểm x = 1. ĐS: m = 1 0 1 2 m x − khi x = 1 2 143
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Bài 22. (HKII – THPT Mạc ĐĨnh Chi).
Tính các giới hạn sau
2.3n − 3.7n + 4 a) lim . ĐS: − 3.2n + 4 2 x x 4 2 − + − b) lim . ĐS: 1 − 2 x→0 x + x 4 c) + + + + . ĐS: 1 →− ( 2 lim 3x 1 9x 3x 4 x ) 2 4x + 5 − 5 khi x 5 −
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) x 5 =
tại x = 5 . ĐS: liên tục 0 2x khi x 5 25 Bài 23.
(HKII – THPT Gia Định).
Tính các giới hạn sau 4 3
2x − 6x + x − 3 a) lim . ĐS: 55 2 x 3 → 4x −11x − 3 13 3
7x +8. 9x − 28 −12 b) lim . ĐS: 17 3 2 x→4
x − 4x + 2x − 8 54 3
12x + 4 − 36x + 8 c) lim . ĐS: 3 − 3 2 x→0 2x −12x 16 d) (3 3 2 lim
64x − 4x − 4x + . ĐS: 11 →+ )1 x 12
x +1− x + 3 khi x 1 x −1 3
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
khi x = 1 tại x = 1. ĐS: liên tục 4 0 3 2
3x − 6x −3x + 6 khi x 1 2
3x −14x +11 Bài 24.
(HKII – Nguyễn Hiền).
Tính các giới hạn sau 4 2 9x − 82x + 9 a) lim . ĐS: 80 3 x 3 → 2x − 54 9 (2x +3) 2x + 4 b) lim . ĐS: 1 − x→− (2x +5)2 2 144
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3x +1 − 5− x khi x 1
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 3 2 = 2
− x + 3x − x
tại điểm x = 1. ĐS: liên 0 2 − x +1 khi x 1 tục
Bài 25. (HKII – THPT Nguyễn Hữu Cảnh).
Tính các giới hạn sau 2 2x − 3x +1 a) lim . ĐS: 1 − 2 x 1
→ 4 − 3x − x 5 x − 6 − x b) lim . ĐS: 5 − 2
x→2 −x + 3x − 2 4 x +1 − 2 khi x 3 x − 3
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 3 . ĐS: liên tục x − 2 0 khi x 3 4
Bài 26. (HKII – THPT Nguyễn Thái Bình). 2
x + x −12 khi x 3 − x 3
Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =
tại điểm x = 3 . ĐS: liên tục 2 x + 5 khi x = 3 x −1
Chứng minh phương trình ( 2
m + m + )( x − ) 2 3
2 + x + 2x − 4 = 0 có nghiệm m .
Bài 27. (HKII – THPT Tây Hạnh).
Tính các giới hạn sau 3 2
x − 5x + 6x a) lim . ĐS: 1 − 2 x 3 → 9 − x 2 b) − + . ĐS: 1 →− ( 2 lim 4x x 2x x ) 4 m( 2 m − 3) khi x = 2
Tìm m để hàm số f ( x) = x − 2
liên tục tại x = 2 .ĐS: m = 1 và 0 khi x 2
5 − 2x − 3− x m = 2 −
Chứng minh phương trình 4 3 2
5x + 3x − 6x − x +1 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( 1 − ) ;1 . B. LỜI GIẢI Bài 1. 1) 145
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x + 2 − 2 1 1 a) Ta có lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x + 2)( x+ 2 + 2) 16 3 1 + + 2 x 4 2 4x + 3x +1 x x b) Ta có lim = lim = 2 . x→+ x −1 x→+ 1 x 1− x 2) Ta có: +) f ( ) 1 = 4 .
+) lim f ( x) = lim (2x + 2) = 4 . + + x 1 → x 1 → 2 3x − 2x −1
+) lim f ( x) = lim = lim (3x + ) 1 = 4 . − − − x 1 → x 1 → − x 1 x 1 →
Suy ra lim f ( x) = lim f ( x) = f ( )
1 , nên hàm số đã cho liên tục tại x = 1. − + 0 x 1 → x 1 → Bài 2. 1) Tính: 2 2x − x −10 (x + 2)(2x −5) 2x − 5 9 a) lim = lim = lim = − . 3 x→− x − x + 6
x→− ( x + 2)( 2 2 2 x − 2x + 3) 2 x→ 2 − x − 2x + 3 11 8x + 2x − 3 b) lim x + x − x + = x→− (3 2 3 ) 2 2 lim x→− 2
3x − x − 2x + 3 2 3 2 x 8 + − 2 x x = lim = − . x→− 2 3 x 3 + 1− + 2 x x 2. Ta có - f (2) = 2 . x − 3 −1 x + 2 - lim f ( x) 2 = lim = lim = 2 . x→2 x→2 x→2 2 x − 2 x − 3 +1 Bài 3. 1. − + − (3x − ) 1 ( 2 3 2 2x − x x x x + ) 2 1 6 5 4 1 2x − x +1 2 a ) Ta có lim = lim = lim = 4 2 + − − + + + + + + x→ 9x 8x 1 x→ (3x ) 1 ( 3 2 1 1 3x x 3x ) 3 2 1 1 x→ 3x x 3x 1 5 3 3 3 3 − x b) Ta có lim
x + x + + x + = x→− ( 2 9 3 1 3 )1 lim x→− 3 1 1 x − 9 + + − 3− 2 x x x 3 − 1 = lim = x→− 3 1 1 2 − 9 + + − 3− 2 x x x 2. Ta có f ( ) 1 = a + b .
- lim f ( x) = lim + + = + + . − − ( 2 x
2bx 3a) 3a 2b 1 x 1 → x 1 → 146
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 2x + 5x − 7
- lim f ( x) = lim = lim (2x + 7) = 9 . + + + x 1 → x 1 → − x 1 x 1 →
Hàm số f ( x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi 0 + + = = − f ( x) =
f ( x) = f ( ) 3a 2b 1 9 a 10 lim lim 1 − + x 1 → x 1 → a + b = 9 b =19
3. Ta có hàm số f ( x) = ( 2 m − m + )( 2 3 2
x − 3x + 2) + (3 − 2x)(3 − 2m) liên tục trên .
Mặt khác f ( ) f ( ) = ( − m)( m − ) = −( m − )2 1 2 3 2 2 3 2 3 . 3 - Nếu m = thì f ( )
1 f (2) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1; x = 2. 2 3 - Nếu m thì f ( )
1 f (2) 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm 2 thuộc khoảng (1; 2) . Vây phương trình ( 2 m − m + )( 2 3 2
x − 3x + 2) + (3 − 2x)(3 − 2m) = 0 luôn có nghiệm với mọi m . x −1 1 1 Bài 4. 1. a) Ta có lim = lim = . 2 x 1 → x 1 x −1 → ( x + ) 1 ( x + ) 1 4 3 2
x + 3x + 2x x ( x + ) 1 ( x + 2) x ( x + ) 1 2 b) Ta có lim = lim = lim = − . 2 x→ 2 − x→ 2 x − x − 6 −
(x + 2)(x −3) x→ 2− x −3 5 2. Ta có - f ( ) 1 = 1 − . 2 x − 3x + 2
- lim f ( x) = lim = lim(x − 2) = 1 − . x 1 → x 1 → x 1 x −1 →
Suy ra lim f ( x) = f ( )
1 nên hàm số đã cho liên tục tại x = 1. 0 x 1 →
x − x − x +1 (x − )2 3 2 1 ( x + ) 1 Bài 5. 1. a) Ta có lim = lim = lim x +1 = 2. 2 2 ( ) x 1 → x 1 x − 2x +1 → (x − ) x 1 1 → − x − −( 3 x + 8) −( 2 3 x − 2x + 4 1 3 ) b) Ta có lim = lim = lim = 2 − . x→ 2 − x→ 2 x + 2 − ( →− x + 2)( 3 1− x + 3) x 2 3 1− x + 3 lim (x −5) = 1 − 0 − x→4 − 2 x 5
c) Ta có lim ( x − 4) = 0 lim = − . − − x→ x→ (x − 4)2 4 4 ( x − 4 )2 0 khi x 4 147
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 x +1 x +1 x 1 d) Ta có lim
x + x + + x = = lim = − x→− ( 2 1 ) lim x→− 2
x + x +1 − x x→− 1 2 x − x +1+ −1 x 2) Ta có
- f (0) = a −1. x (1+ 1− x x )
- lim f ( x) = lim = lim = 2 . − − − x→0 x→0 x→0 1− 1− x x 4 − x
- lim f ( x) = lim a − 5 + = a −1 . + + x→0 x→0 x +1
Hàm số f ( x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi. 0
lim f ( x) = lim f ( x) = f (0) a −1 = 2 a = 3 . − + x→0 x→0 2 x − 1+ + 3 2
x + 2x + 3x x 2 Bài 6. 1. Ta có lim = lim = − . x→− 2 4x +1 − x + 2 x→− 1 2 3 x − 4 + −1+ 2 x x 2. Ta có - f ( ) 1 = 1.
- lim f ( x) = lim + = + . − − ( 2 ax 2x) a 2 x 1 → x 1 →
- lim f ( x) = lim cos( x − ) 1 = 1. + + x 1 → x 1 →
Hàm số f ( x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi. 0
lim f ( x) = lim f ( x) = f ( )
1 a + 2 = 1 a = 1 − . − + x 1 → x 1 →
3. Ta có hàm số f ( x) 4 3 2
= x − x − 2x −15x − 25 liên tục trên . Mặt khác f (0) = 2 − 5 0 . ( 4 3 2
lim x − x − 2x −15x − 25) = + . x→− ( 4 3 2
lim x − x − 2x −15x − 25) = + . x→+ Vậy phương trình 4 3 2
x − x − 2x −15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ;
− 0) và có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;+) . Do đó phương trình 4 3 2
x − x − 2x −15x − 25 = 0 có ít nhất một nghiệm dương và một nghiệm âm. x − 3 x − 3 1 1 Bài 7. 1) a) Ta có lim = lim = lim = 2 x 3 → x 3 x + 2x −15
→ ( x − 3)( x + 5) x 3 → x + . 5 8 148
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1 3 1 3 ( x + −x − + − − 3x + ) 3 2 3 2 2 2 2 1 2x − 3 x x x x b) Ta có lim = lim = lim = 2 . 2 x→− 3 x − x + x →− 1 x→− 1 2 x 3 − + 3 − + x x 2) Ta có - f ( ) 1 1 = m − . 2 1 − 1
- lim f ( x) = lim = − x 1 → x 1 → 7( x + ) 1 14
Hàm số f ( x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi. 0 −
f ( x) = f ( ) 1 1 3 lim 1 m − = − m = . x 1 → 2 14 7 x − x + x − (x − ) 1 ( 2 3 2 4x − 3x +16 4 7 19 16 ) 2 4x − 3x +16 17 Bài 8. 1. Ta có lim = lim = lim = . 2 x 1 → 5x − 8x + 3 x→− (x − ) 1 (5x − 3) x→− 5x − 3 2 2. Ta có
- f (2) = 4 − m .
- lim f ( x) = lim (2x − m) = 4 − m . − − x→2 x→2 4 − x - lim f ( x) 2 = lim = 0 . + + x→2 x→2 x + 2 −1
Hàm số f ( x) liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi. 0
lim f ( x) = lim f ( x) = f (2) 4 − m = 0 m = 4 . − + x→2 x→2
3. Ta có hàm số f ( x) 4 3 2
= x − x − 2x −15x − 25 liên tục trên .
Mặt khác f (0) =1 0 . lim f ( x) 2 1 2015 2 = lim x m − m + 4 − x + = − . (Vì 2
m − m + 4 0 với mọi 2014 2015 x→− x→− x x m ) ( 4 3 2
lim x − x − 2x −15x − 25) = + . x→+ Vậy phương trình ( 2 m − m + ) 2015 4 x
− 2x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( ;
− 0) (nghiệm âm) với mọi giá trị của tham số m . 5 x − 6 5 − 6x x Bài 9. 1) a. Ta có lim = lim = 3 − . x→+ 3 + 2 x x →+ 3 x + 2 x 149
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
lim (x − 3) = −1 0 + x→2 x − 3 b. Ta có lim
= − vì lim ( x − 2) = 0 . + + x→2 x − 2 x→2
x − 2 0 khi x 2 3 c. Ta có lim ( 3 3x − 2x ) 3 = lim x − 2 = + . 2 x→− x→− x 2) Ta có: f ( ) 1 = m + − − + + f ( x) 2 x 3x 4 (x ) 1 ( x 4) x 4 5 lim = lim = lim = lim = . 3 x→ x→ x −1 x→ ( x − ) 1 ( 2 1 1 1 x + x + ) 2 x 1 1 → x + x +1 3 Hàm số 5
f ( x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi lim f ( x) = f ( ) 1 m = . 0 x 1 → 3 2 x − 3x + 2 (x −2)(x − ) 1 x −1 1
Bài 10. 1) a. Ta có lim = lim = lim = . 2 x→2 x→2 x − 4
(x −2)(x + 2) x→2 x + 2 4 2x 2x b. Ta có lim \
x + x − x − x = = = . x→+ ( 2 2 ) lim lim 1 x→+ 2 2 x
x + x + x − x →+ 1 1 x 1+ + 1− x x 2) Ta có 2
f (5) = 3 , lim f ( x) = lim − + = , − − → → ( x 5) 3) 3 x 5 x 5 − − + x − (x 5)( 2x 1 3 5 ) lim f ( x) = lim = lim = 3. + + + x→5 x→5 x→5 2x −1 − 3 2 ( x − 5)
Suy ra lim f ( x) = lim f ( x) = f (5) nên hàm số đã cho liên tục tại x = 5 . − + 0 x 5 → x 5 → 2 x − 5x + 6 x − 3 x − 2
3) Ta có: f (3) = 6m +1, lim f ( x) ( )( ) = lim = lim =1. x 3 → x 3 → x 3 x − 3 → x − 3
Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi và chỉ khi lim f ( x) = f (3) 6m +1 = 1 m = 0 . 0 x 3 → x + 2 − 2
Bài 11. 1) Ta có f ( ) 1 2 = 2m +
; lim f ( x) = lim = 4 + + x→2
x→2 ( x − 2)( x + 2 + 2) + − f ( x) x 2 2 1 1 lim = lim = lim = . + + + x→2
x→2 ( x − 2)( x + 2 + 2) x→2 x + 2 + 2 4 1 1
Hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 2 khi 2m + = m = 0 . 0 4 4
2) Đặt f ( x) = ( 2 − m ) 5 1
x − 3x −1. Ta có, f ( ) = − f (− ) 2 0 1, 1 = m +1 . 150
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Suy ra, f ( ) f (− ) 2 0 .
1 = −m −1 0, m
. Mặt khác, vì f ( x) là hàm số đa thức liên tục trên
nên f ( x) liên tục trên 1
− ;0 . Do đó, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng
(−1;0) với mọi giá trị của m . Vậy ta có đpcm. Bài 12. 1) Tính các giới hạn 1 9 − + 2 3 2 3n − n + 9 3 − 0 + 0 3 a) lim = lim n n = = − . 2 1− 2n 1 0 − 2 2 2 n − 2 3 2 1 1 ( − + 1− 3n) ( 2 n + )2 3 3 1 2 1 n n (0−3)3 (1+ 0)2 b) lim = lim = = 9 − . 7 3n − 2 2 3 − 0 3 − 7 n 2 2 x − 3 − x − x +1
c) lim x − + x − x + = x→− ( 2 3 1) ( ) ( ) lim x→− 2
x − 3 − x − x +1 5 − x + 8 = lim x→− 1 1
x − 3 − x 1− + 2 x x 8 5 − + 5 = lim x = − . x→− 3 1 1 2 1− + 1− + 2 x x x 2) Ta có f ( ) 16 2 = − . 3 − + − + + − x − ( 2 2 x 4)(x 7x 10 )
(x 2)(x 7x 10 4 ) 16 lim = lim = lim = − . 2 x→2 x→2 x→2 x − 7x −10 x − 7x +10 x − 5 3
Ta thấy f (2) = lim f ( x) . Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 2 . 0 x→2 3) Đặt f ( x) 4 2
= 4x + 2x − x − 3. Ta có, f (− ) 1 = 4, f (0) = 3 − , f ( ) 1 = 2 . Suy ra, f (− ) 1 . f (0) = 1
− 2 0, f (0). f ( ) 1 = 6 − 0 .
Vì f ( x) là hàm số đa thức liên tục trên
nên f ( x) liên tục trên các đoạn 1 − ;0 và 0; 1 .
Do đó, phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (−1;0) và (1;0) .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm. Bài 13. 1) Tính các giới hạn 3 2 + 3 4 3n + 2 a) = lim = lim n n A = 0 . 4 3
n + 2n − 5n + 2 2 5 2 1+ − + 3 4 n n n n 1 −1 3n − 6n 2 b) B = lim = lim = − . 4n + 3 n 2 3 + 3 6n 151
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC − − − (x −3)( 2 3 2 2x + x x x x + ) 2 1 2 5 2 3 2x + x +1 11 c) C = lim = lim = lim = . 2 x 3 → x 3 x − 9 → (x −3)(x +3) x 3 → x + 3 3 1 1+
4x + x +1− 4x 1 d) = lim x D
x + x + − x = = = . x→+ ( 4 1 2 ) 2 2 2 lim lim x→+ 2 4x + x +1 + 2 x x →+ 1 1 4 4 + + + 2 2 x x 2 − x khi x 2
2) y = f ( x) = x + 7 − 3 .
2ax+3 khi x 2 2 − x khi x 2
a) Khi a =1, ta được y = f ( x) = x + 7 − 3 .
2x+3 khi x 2 Ta thấy f (2) = 7 .
lim f ( x) = lim (2x + 3) = 7 . − − x→2 x→2 − + + − x (2 x)( x 7 3 2 ) lim f ( x) = lim = lim = lim − + − = − . + + + + ( x 7 3) 6 x→2 x→2 x→2 + − + − x→2 x 7 3 x 7 9
Vì lim f ( x) lim f ( x) nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 2 . − + x→2 x→2
b) Ta có f (2) = lim f ( x) = 4a + 3 . − x→2 lim f ( x) = 6 − . + x→2
Do đó hàm số đã cho liên tục tại 9
x = 2 khi 4a + 3 = 6 − a = − . 4 3) Đặt f ( x) 5 4
= x − 3x + 5x − 2 . Ta có, f (0) = 2 − , f ( ) 1 = 1, f (2) = 8 − , f (3) =13 .
Suy ra, f (0). f ( ) 1 = 2 − 0, f ( ) 1 . f (2) = 8
− 0, f (2). f (3) = 1 − 04 0 .
Mặt khác, vì f ( x) là hàm đa thức liên tục trên nên f ( x) liên tục trên các đoạn 0 ;1 ,1; 2,2,
3 .Do đó, phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên các khoảng (0 ) ;1 , (1; 2),(2;3) .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm. Bài 14. 1) Tìm các giới hạn x − 5 a) lim =0. x 5 → x − 5 2 2 x + 5 − 3 x + 5 − 9 x − 2 2 b) lim = lim = lim = − . x→ 2 − x→ 2 x + 2 − ( →− x + 2)( 2 x + 5 + 3) x 2 2 + + 3 x 5 3
2) Ta có f (3) = 12a + 5. x − x + x − x − lim f ( x) 2 4 3 ( 3)( ) 1 = lim = lim = lim(−x + ) 1 = 2 − . x 3 → x 3 → x 3 → x 3 3 − x 3 − x →
Hàm số đã cho liên tục tại điểm 7
x = 3 khi 12a + 5 = 2 − a = − . 0 12 152
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3) Đặt f ( x) 5 4 3
= x − 3x + 4x − 5 . Ta có, f (0) = 5 − , f ( ) 1 = 1.
Suy ra, f (0). f ( ) 1 = 5 − 0 .
Mặt khác, vì f ( x) là hàm đa thức liên tục trên nên f ( x) liên tục trên các đoạn 0; 1 .Do
đó, phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên các khoảng (0; ) 1 .
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; ) 1 . Vậy ta có dpcm. Bài 15. Ta có f ( ) 1 = 2 − a + 7
lim f ( x) = lim ( 2 − a + 7) = 2 − a + 7 + + x 1 → x 1 → + − + − f ( x) x 3 2 x 3 4 1 1 lim = lim − lim = lim = . − − 2 − − x 1 → x 1 → − + x 1 2x 3x 1 →
(x − 2)(2x − )
1 ( x + 3 + 2) x 1 → (2x − ) 1 ( x + 3 + 2) 4 1 27 27
Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi 2
− a + 7 = a = . Vậy a = là giá trị cần tìm. 0 4 8 8
Đặt f ( x) = ( 2 m − m + ) 3 3
3 x + 2x − 3 = 0 . 2 3
Ta có f (0) = −3 , f (2) 2
= 8m − 24m + 25 = 8 m − + 7 0 m
. Suy ra f (0) f (2) 0 m . 2
Mặt khác, vì f ( x) là hàm đa thức liên tục trên
nên f ( x) liên tục trên đoạn 0; 2 .
Do đó phương trình f ( x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2) với mọi m . Vậy ta có đpcm. Bài 16. Tính các giới hạn
x + x − x −1 x −1 a) lim
x + x − x + = = lim x→− ( 1) 2 2 2 2 lim x→− 2 2 x + x + x +1 x→− 1 1 x 1+ + x 1+ 2 x x 1 1− 1 = lim x = − . x→− 1 1 2 − 1+ − 1+ 2 x x sin x − x sin x 2 sin .2 x sin tan x − sin x
sin x (1− cos x) b) cos lim = lim x = lim 2 = lim 3 3 3 x→0 x→0 x→0 4x 4x cos .4 x x 3 x→0 cos .4 x x x 2 sin 1 sin x 1 2 lim . . = = 2
x→0 8 cos x x x 8 2 Ta có 153
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !
ĐS>_11_CHƯƠNG 4_GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f ( ) 2 1 = m + 7m
lim f ( x) = lim ( 2 2 m x + 7mx) 2 = m + 7m − − x 1 → x 1 → − + + − x (1 x)( x 8 3 1 ) lim f ( x) = lim = lim = lim − + − = − + + + + ( x 8 3) 6 x 1 → x 1 → x 1 → + − + − x 1 x 8 3 x 8 9 → m = 1 −
Do đó, hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi 2 2 m + 7m = 6
− m + 7m + 6 = 0 . 0 m = 6 − Vậy m = 1 − ,m = 6
− là các giá trị cần tìm.
Đặt f ( x) 14 = mx − ( 2 m + ) 15 3 7 x − 5 . 2 1 7 Ta có f (0) = 5 − , f (− ) 2 2
1 = 3m + m + 2 = 2m + m + + 0 m . Suy ra 2 4 f (− ) 1 f (0) 0 m .
Mặt khác, vì f ( x) là hàm số đa thức liên tục trên
nên liên tục trên đoạn 1 − ;0 .
Do đó phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (−1;0) .
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm với mọi m . 154
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt !