Các dạng toán về giới hạn của dãy số (giải chi tiết)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (u n u
n ) có giới hạn là 0 khi
dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn n
một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu lim u = 0 hay u ® 0 khi n ® +¥ . n n n®+¥
Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: 1 - lim
= 0 với k là một số nguyên dương; k n®+¥ n - lim n
q = 0 nếu | q |< 1; n®+¥
- Nếu u £ v với mọi n ³ 1 và lim v = 0 thì lim u = 0. n n n n n®+¥ n®+¥
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (u n
n ) có giới hạn là số thực a khi
dần tới dương vô cực nếu lim (u - a = lim u = a u ® a n ® +¥ n ) 0, kí hiệu hay khi . n n®+¥ n n®+¥
2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
a) Nếu limu = a và limv = b thì n n
∑ lim(u + v = a + b
∑ lim(u - v = a- b n n ) n n ) u Ê ˆ Á ˜ a
∑ lim(u .v = a b ∑ lim n Á ˜ = b π 0 n n ) . Á ˜ (nếu ). v Á ˜ Ë ¯ b n Ï li Ô m u = a ÏÔ b) Nếu Ô n lim u = a Ì thì Ô n Ì . u Ô ≥ 0," n Ô Ó Ô n a Ô ≥ 0 Ó
3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cấp số nhân vô hạn (u q q < 1 n ) có công bội , với
được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u1
S = u + u + u + º + u + º = q < 1 . 1 2 3 n ( ) 1- q
4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ
• Ta nói dãy số (u +¥ n ® +¥ u
n ) có giới hạn là khi , nếu
có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ n
một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: limu = +¥ hay u ® +¥ khi n ® + . ¥ n n • Dãy số (u -¥ n ® +¥ li ( m u - = +¥ n )
n ) có giới hạn là khi , nếu .
Kí hiệu: limu = -¥ hay u ® -¥ khi n ® + . ¥ n n
Nhận xét: limu = +¥ Û li u - = -¥ n ( m n ) .
Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim k
n = +¥ với k nguyên dương; Trang 1 b) lim n
q = +¥ nếu q > 1.
Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây: u
a) Nếu limu = a và limv = ±¥ thì lim n = 0. n n vn u
b) Nếu limu = a > 0, limv = 0 và v > 0, n
" > 0 thì lim n = + . ¥ n n n vn
c) Nếu limu = +¥ và limv = a > 0 thì limu .v = + . ¥ n n n n
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giới hạn hữu tỉ 1. Phương pháp
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức và mẫu thức cho luỹ thửa cao nhất của k n
, với k là bậc cao nhất ở mẫu, rồi áp dụng các quy tắc tinh giới hạn.
Chú ý : Cho P( ) n , Q(n
) lần lượt là các đa thức bậc ,
m k theo biến n : P(x) m m- 1 = a n + a n
+ L + a n + a a =/ 0 m m- 1 1 0 ( m ) Q(n) k k- 1 = b n + b n
+ L + b n + b b =/ 0 k k- 1 1 0 ( k ) P(n) m P(n) m Khi đó a n a n lim = lim m , viết tắt m :
, ta có các trường hợp sau : Q(n) k b n Q(n) k b n k k P(n)
Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) thì lim = 0. Q(n) P(n)
Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( a m = k ) thì lim m = . Q(n) bk P(n) Ï + Ô • khi a b > 0
Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) thì lim Ô m k = Ì .
Q(n) Ô- • khi a b < 0 Ô Ó m k
Để ý rằng nếu P( ) n , Q(n
) có chứa « căn » thì ta vẫn tính được bậc của nó. Cụ thể 1 m k k 4
n tì có bậc là . Ví dụ n có bậc là 3 4
, n có bậc là ,... n 2 3
Trong các bài sau ta có thể dùng dấu hiệu trên để chỉ ra kết quả một cách nhanh chóng !
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3 3n - 2 5n +1 Ví dụ 1. Tính lim . 3 2n + 2 6n + 4n + 5 2 Ví dụ 2: Tính n + 2n lim 3 n + 3n - 1 7 2 Ví dụ 3: Tính n + n lim 3 n + 3n - 1 Trang 2
Ví dụ 4: Cho dãy số (u 2n + b u = b (un ) n ) với
trong đó là tham số thực. Để dãy số có giới hạn hữu n 5n + 3
hạn, giá trị của b bằng bào nhiêu 2
Ví dụ 5: Cho dãy số (u 4n + n + 2 u = . 2 a n ) với
Để dãy số đã cho có giới hạn bằng , giá trị của bằng n 2 an + 5 bao nhiêu ( 2 n + 2n)( 3 2n + ) 1 (4n + 5)
Ví dụ 6: Tính giới hạn L = lim . ( 4 n - 3n - ) 1 ( 2 3n - 7)
Dạng 2. Dãy số chứa căn thức 1. Phương pháp
§ Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. A - B lˆ ÙÔ ng lie‚n hie‰ p la¯: A + B A - B lˆ ÙÔ ng lie‚n hie‰ p la¯: A + B A - B lˆ ÙÔ ng lie‚n hie‰ p la¯: A + B 3 æ 3 2 3 2 A B lˆ ÙÔ ng lie‚n hie‰ p la¯:ç A B A B ö - + + ÷ è ø 3 æ 3 2 3 2 A B lˆ ÙÔ ng lie‚n hie‰ p la¯:ç A B A B ö + - + ÷ è ø
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Tính æ 2 2 limç n 7 n 5 ö + - + ÷ è ø Ví dụ 2. Tính ( 2
lim n - n + 1- n ) Ví dụ 3. Tính 3 2 3 lim
n - n + n ( )
Ví dụ 4. Tính lim È n Í ( n 1 n)˘ + - ˙ Î ˚
Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa hàm mũ 1. Phương pháp u
Trong tính giới hạn lim n mà u ;v là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho n
a với a là cơ số lớn v n n n
nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim n
q = 0 với q <1.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n n 1 3 - 2.5 + Ví dụ 1: Tính lim n 1 2 + + 5n n n 1 3 4.2 + - - 3 Ví dụ 2: Tính lim 3.2n + 4n (- )n 5n+1 1 2 Ví dụ 3: Tính lim 5n+2 3 n n 1 3 4.2 + - - 3 Ví dụ 4: Tính lim . n n 3.2 + 4 Trang 3 2
Ví dụ 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của an - 1 1 a thuộc (0;20 ) sao cho lim 3+ - là một số nguyên. 2 3 + n 2n
Dạng 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1. Phương pháp
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q <1.
ü Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (un) u1 S = u + u + ... + u + ... = 1 2 n 1- q
ü Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 n a a a 1 2 3 a X = N,a a a ...a ... = N + + + + ... + + ... 1 2 3 n 2 3 n 10 10 10 10
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng n- 1 1 1 æ 1 ö 1
Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1, - , , - ,...,ç- ,... ÷ 2 4 8 è 2 ø
Ví dụ 2: Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 0,212121... (chu kỳ là 21). Tìm a dưới dạng phân số. Ví dụ 3: Tổng S 1 0,9 0,9 0,9 ... 0,9 ... n ( )2 ( )3 ( )n- = + + + + +
1 + có kết quả bằng bao nhiêu?
Ví dụ 4: Cho = + + 2 + 3 S 1 q q q + ..., q < 1 T = 1+ Q + 2 Q + 3 Q + ..., Q < 1 E = 1+ qQ + 2 2 q Q + 3 3 q Q + ...
Biểu thị biểu thức E theo S,T 1
Ví dụ 5: Tìm số hạng U của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S = 4; q = . 1 2
Ví dụ 6: Tìm công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết S = 6 - ; U = 3 - . 1
Dạng 5: Phương pháp sai phân và quy nạp tính giới hạn 1. Phương pháp
1) Dạng tồng các phân số. 1 1 1 Ví Dụ: A = + +…+ , n ³ 2, n Î N 2.3 3.4 n(n +1) 1 1 1 Ta phân tích : = - .(1) k(k +1) k k +1
Để tính A ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng
2) Dạng tích các phân số: 2 2 2 -1 3 -1 Ví dụ: B = × , … n ³ 2,n Î N 2 2 2 3 2 k -1 k -1 k Ta phân tích: = : .(2) 2 k k k +1 Trang 4
Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức:
a) Mỗi đơn thức ở dạng tích:
Ví dụ: C = 1.2.3 + 2.3.4 +…99.100.101 Ta tách:
4k(k +1)(k + 2) : 4 = k(k +1)(k + 2)[(k + 3) - (k -1)] , k ³1, k Î N
= (-(k -1)k(k +1)(k + 2) + k(k +1)(k + 2)(k + 3)) : 4 (3)
Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính được dễ dàng
Ví dụ: D = 3.5.7 + 5.7.9 +…+ (2n +1)(2n + 3)(2n + 5),n ³1,nÎ N
Ta tách: (2k +1)(2k + 3)(2k + 5) = (2k +1)(2k + 3)(2k + 5)[(2k + 7) - (2k +1)]:8
= ((2k +1)(2k + 3)(2k + 5)(2k + 7) - (2k -1)(2k +1)(2k + 3) (2k + 5)) :8 (4)
Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3,, n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng
4 ) Đơn thức dạng lũy thừa Ví Dụ: Tính 3 3 3
E =1 + 2 +…+ n , nÎ N.n ³1
Ta dùng hẳng đẳng thức : 3 3 2
(x +1) = x + 3x + 3x + . 1 3 3 2
x =1 2 =1 …+ 3.1 + 3.1+1 3 3 2 x = 2 3 = 2 × 3 + ×2 + 3×2 +1 … 3 3 2
x = n (n +1) = n …+ 3× n + 3×n +1 Cộng vế theo vế 3 3 + - = ( 2 2 2 (n 1) 1
3 1 + 2 +…+ n )+3(1+ 2+3+… n … ) + n 3n(n +1) 3 2 n + 3n + 3n = 3E + + n 2 æ 3×n(n +1) 3 2 + + 3 2 ö 2n 3n n 3E = n + 3n + 3n - + n = ç ÷ è 2 ø 2 Þ
n(n +1)(2n +1) E = 6
Ngoài ra ta có thể dự đoán được số hạng tổng quát, có thể kết hợp quy nạp để khẳng đinh.
Có thể ùng vòng lặp MTCT để giải quyết các bài toán này.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 1 1 1 Ví dụ 1: Cho u = + + ... + . Tính lim u n 1.2 2.3 n(n + ) 1 n 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho u = + + + ... + . Tính lim u n 3.5 5.7 7.9 (2n - )1(2n + )1 n 1 + 2 + 3 + ... + n Ví dụ 3: lim bằng bao nhiêu? 2 2n éæ 1 öæ 1 ö æ 1 öù
Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim êç1- ÷ç1- ÷...ç1- ÷ú. 2 2 2 ëè 2 øè 3 ø è n øû Trang 5 ìU = 2 1 ï
Ví dụ 5: Tìm giới hạn của dãy: í + . U 1 n * ïU = ; n Ε n 1 + î 2 ìU = 2
Ví dụ 6: Tìm giới hạn của dãy: ï 1 í . * ïU = 2 + U ; nÎ î • n 1 + n ìU = 3 1 ï
Ví dụ 7: Tìm giới hạn của dãy: í 1 æ 3 ö . * U = ï ç U + ÷; nΕ n 1 + ç n 2 U ÷ î è n ø Trang 6