19 trang 51 lượt tải

Các dạng toán về giới hạn dãy số 11 (có lời giải)

101

Các dạng toán về giới hạn dãy số 11 có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file PDF gồm 17 trang giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT) 78 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thùy Dương (H)

1 năm trước
Danh sách Quiz
/19
Chứng minh dãy số có giới hạn là 0
Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
Cách 2: Sử dụng các định lí sau:
Nếu k là số thực dương thì .
Với hai dãy số và , nếu với mọi n và thì .
Nếu thì .
. Ví dụ minh họa:
Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn là 0.
a). b). c). d).
Lời giải
a). Với mỗi số dương tùy ý, cho trước, ta có
. Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì
với mọi số tự nhiên ta đều có . Vậy .
b). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một
số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .
c). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là
một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .
d). Ta có . Vì . Từ đó
suy ra .
Trang 1
Ví dụ ➊
CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11
Dạng ➀
Dùng định nghĩa chứng minh dãy số có giới
hạn L.
Phương pháp:
Chứng minh .
. Ví dụ minh họa:
Chứng minh:
a). b). c).
.
Lời giải
a). gọi . ta có .
Vì nên suy ra .
b). Gọi . ta có
.
Vì nên . Do đó .
c). Gọi . ta có
. Vì nên . Do đó .
Tìm giới hạn của dãy có giới hạn hữu hạn:
Phương pháp:
DẠNG 1: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó
Trang 2
Ví dụ ➊
Dạng
➁
Dạng
➂
là hai đa thức của n).
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho với là lũy thừa có số mũ lớn nhất
của và ( hoặc rút là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và
ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.
DẠNG 2: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó
là các biểu thức chứa căn của n).
DẠNG 3: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó
là các biểu thức chứa hàm mũ ,…. Chia cả tử và mẫu
cho với a là cơ số lớn nhất ).
DẠNG 4@: Nhân lượng liên hợp:
PHƯƠNG PHÁPQ: Sử dụng các công thứcQnhân lượng liên hợp sau:
.
.
.
DẠNG 5@: TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:
PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số và . Nếu
và thì .
Trang 3
DẠNG 6: được xác định bởi một công thức truy hồi.
Phương pháp:
Tìm công thức tổng quát của theo n, sau đó tìm .
Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và
bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi
để tìm giới hạn.
DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:
. Ví dụ minh họa:
Tìm giới hạn của dãy biết:
a). b). c).
d). e). f).
Lời giải
a). Ta thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho
được:
. Ta có và nên
.
b). Dễ dàng thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của
cho được:
. Ta có ,
và . Do đó .
c). Có , ,
và . Từ đó .
Trang 4
Ví dụ ➊
.
. Vì
, , và . Nên .
d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu .
Ta có , và
. Từ đó . Vì
và . Do đó .
e). . Ta có , ,
và .
Từ đó , mà , . Do đó
.
f). . Mà ,
.
Tìm giới hạn của dãy biết:
Trang 5
Ví dụ ➋
a). b).
c). d).
Lời giải
a). . Vì có
và . Nên .
b). . Vì có
và .
Từ đó có .
c). Ta có
. Vì có
và . Từ đó suy ra .
d). Ta có
Trang 6
. Vì có và . Nên
.
Tìm giới hạn của dãy biết:
a). b). c).
d). e). f).
Lời giải
a).Ta có . Ta có và . Nên
.
b). Ta có . Ta có và
. Do đó .
c). Ta có
. Ta có và .
Do đó .
Trang 7
Ví dụ ➌
d). Ta có . Vì ,
và . Do đó .
e). Ta có : , mà
và . Do đó .
f). Ta có
. Vì và nên
.
Tìm giới hạn của dãy biết:
a). b).
c). d).
e). .
.
f).
Lời giải
a). Ta có . Và có
và .
Trang 8
Ví dụ
Do đó , vì và . Nên
.
b). . Ta
có và . Từ đó suy ra
, vì và . Nên
.
c).
. Ta có . Do đó
, ta có . Nên
d).
.
Trang 9
Ta có . Do đó
. Vì
và . Nên .
e).
Tính
Tính
(1)
Có
Nên
.
Từ đó suy ra .
f).
Trang 10
Tính .
Tính
Do đó .
Tìm các giới hạn sau:
a). b).
c). d).
Lời giải
a). Ta có và
.
Do đó .
b).
Ta có
Trang 11
Ví dụ
và
.
Do đó .
c). .
Tính
Và
.
Do đó .
d).
Trang 12
Tính
.
Tính
(1)
Có
Do đó .
Tính
.
Từ đó suy ra .
Tìm giới hạn của dãy biết:
a). b).
c). d).
e). f).
Trang 13
Ví dụ
g). h).
Lời giải
a). Ta có . Từ đó
.
Nên .
b). Ta có
. Từ đó
, có . Do đó
.
c). ta có . Do đó
.
Nên .
d). .
Ta có dãy số là một cấp số cộng với công sai và số
hạng tổng quát , nên tổng
của dãy số trên là . Từ đó có
và từ đó suy ra .
Trang 14
e). . Ta có tổng (được chứng minh
bằng phương pháp quy nạp). Nên vì do đó
.
f). Ta có (Chứng minh dựa vào nguyên
lý quy nạp). Do đó .
g). Ta có ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Do đó
. Vì nên .
h). Ta có .
Do đó có
nên .
Tìm giới hạn của dãy biết:
a). b).
c). d). .
Lời giải
Trang 15
Ví dụ
a). Ta có . Từ đó ta có:
.
Do đó . Mà do đó .
b). Ta có:
…………………
.
Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế ta được .
Mà và . Từ đó suy ra .
c). Rõ ràng do đó . Có
.
Do đó ta có thì . Mà và nên . Từ
đó suy ra .
d). Dễ dàng chứng minh .Áp dụng với
đượcQ:
Trang 16
(1) và
(2).
Từ (1) và (2) suy ra . Mà và
do đó .
Cho dãy số xác định như sau:
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số ?
Lời giải
Ta có và
Do đó: ...
Suy ra:
Vậy
(Cô si)
Mặt khác . Vậy
Tìm giới hạn của dãy biết:
Trang 17
Ví dụ
Ví dụ
a). b). c).
d). e). f). .
Lời giải
a). Ta có . Có nên và
. Từ đó suy ra .
b). Ta có . Vì nên
và . Từ đó suy ra .
c). Ta có . Vì ,
và nên và có . Từ đó suy ra
.
d). Ta có . Vì nên
ngoài ra . Từ đó có .
e). Ta có . Vì mà nên
do đó (1). Ngoài ra (2). Từ (1) và (2) suy ra
.
f). Ta có
Trang 18
. Ta có và
do đó (1). Ngoài ra có (2).
Từ (1) và (2) suy ra .
Trang 19

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11

⯎

Dạng ➀

Chứng minh dãy số có giới hạn là 0

⯎ Phương pháp:

🔿Cách 1: Áp dụng định nghĩa.

🔿Cách 2: Sử dụng các định lí sau:

Nếu k là số thực dương thì .

Với hai dãy số và , nếu với mọi n và thì .

Nếu thì .

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Chứng minh các dãy số sau đây có giới hạn là 0.

a). b). c). d).

🞔 Lời giải

a). Với mỗi số dương tùy ý, cho trước, ta có . Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên ta đều có . Vậy .

b). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .

c). Ta có thì .Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì ” ta được . Từ đó suy ra .

d). Ta có . Vì . Từ đó suy ra .

⯎

Dạng ➁

Dùng định nghĩa chứng minh dãy số có giới hạn L.

⯎ Phương pháp:

Chứng minh .

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Chứng minh:

a). b). c). .

🞔 Lời giải

a). gọi . ta có .

Vì nên suy ra .

b). Gọi . ta có .

Vì nên . Do đó .

c). Gọi . ta có . Vì nên . Do đó .

⯎

Dạng ➂

Tìm giới hạn của dãy có giới hạn hữu hạn:

⯎ Phương pháp:

🔿DẠNG 1: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là hai đa thức của n).

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho với là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và ( hoặc rút là lũy thừa có số mũ lớn nhất của và ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.

🔿DẠNG 2: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là các biểu thức chứa căn của n).

🔿DẠNG 3: là một phân thức hữu tỉ dạng ( trong đó là các biểu thức chứa hàm mũ ,…. Chia cả tử và mẫu cho với a là cơ số lớn nhất ).

🔿DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:

PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:

.

.

.

🔿DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:

PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số và . Nếu và thì .

🔿DẠNG 6: được xác định bởi một công thức truy hồi.

Phương pháp:

Tìm công thức tổng quát của theo n, sau đó tìm .

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.

🔿DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:

🗵. Ví dụ minh họa:

🞜

Ví dụ ➊

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f).

🞔 Lời giải

a). Ta thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho được:

. Ta có và nên .

b). Dễ dàng thấy là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của cho được:

. Ta có , và . Do đó .

c). Có , , và . Từ đó .. . Vì , , và . Nên .

d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu .

Ta có , và . Từ đó . Vì và . Do đó .

e). . Ta có , , và .

Từ đó , mà , . Do đó .

f). . Mà , .

🞜

Ví dụ ➋

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

🞔 Lời giải

a). . Vì có và . Nên .

b). . Vì có và .

Từ đó có .

c). Ta có . Vì có và . Từ đó suy ra .

d). Ta có

. Vì có và . Nên .

🞜

Ví dụ ➌

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f).

🞔 Lời giải

a).Ta có . Ta có và . Nên .

b). Ta có . Ta có và . Do đó .

c). Ta có

. Ta có và .

Do đó .

d). Ta có . Vì , và . Do đó .

e). Ta có : , mà và . Do đó .

f). Ta có . Vì và nên .

🞜

Ví dụ ❹

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

e). .. f).

🞔 Lời giải

a). Ta có . Và có và .

Do đó , vì và . Nên .

b). . Ta có và . Từ đó suy ra , vì và . Nên .

c). . Ta có . Do đó , ta có . Nên

d).

.

Ta có . Do đó . Vì và . Nên .

e).

Tính

Tính

(1)

Có

Nên

.

Từ đó suy ra .

f).

Tính .

Tính

Do đó .

🞜

Ví dụ ❺

Tìm các giới hạn sau:

a). b).

c). d).

🞔 Lời giải

a). Ta có và

.

Do đó .

b).

Ta có

và .

Do đó .

c). .

Tính

Và .

Do đó .

d).

Tính

.

Tính

(1)

Có

Do đó .

Tính

.

Từ đó suy ra .

🞜

Ví dụ ❻

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d).

e). f).

g). h).

🞔 Lời giải

a). Ta có . Từ đó .

Nên .

b). Ta có . Từ đó , có . Do đó .

c). ta có . Do đó .

Nên .

d). .

Ta có dãy số là một cấp số cộng với công sai và số hạng tổng quát , nên tổng của dãy số trên là . Từ đó có và từ đó suy ra .

e). . Ta có tổng (được chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Nên vì do đó .

f). Ta có (Chứng minh dựa vào nguyên lý quy nạp). Do đó .

g). Ta có ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Do đó

. Vì nên .

h). Ta có .

Do đó có nên .

🞜

Ví dụ ❼

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b).

c). d). .

🞔 Lời giải

a). Ta có . Từ đó ta có:

.

Do đó . Mà do đó .

b). Ta có:

…………………

.

Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế ta được .

Mà và . Từ đó suy ra .

c). Rõ ràng do đó. Có

.

Do đó ta có thì . Mà và nên . Từ đó suy ra .

d). Dễ dàng chứng minh .Áp dụng với được :

(1) và

(2).

Từ (1) và (2) suy ra . Mà và do đó .

🞜

Ví dụ ❽

Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số ?

🞔 Lời giải

Ta có và

Do đó: ...

Suy ra:

Vậy

(Cô si)

Mặt khác . Vậy

🞜

Ví dụ ❻

Tìm giới hạn của dãy biết:

a). b). c).

d). e). f). .

🞔 Lời giải

a). Ta có . Có nên và . Từ đó suy ra .

b). Ta có . Vì nên và . Từ đó suy ra .

c). Ta có . Vì , và nên và có . Từ đó suy ra .

d). Ta có . Vì nên ngoài ra . Từ đó có .

e). Ta có . Vì mà nên do đó (1). Ngoài ra (2). Từ (1) và (2) suy ra .

f). Ta có

. Ta có và do đó (1). Ngoài ra có (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Tài liệu liên quan: