Giới hạn hàm số trong toán cao cấp

Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN ∞ 𝟎 I.
Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng hoặc khi x→ x0 (∞)ta dùng quy tắc l'Hopital ∞ 𝟎 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử L=𝑙𝑖𝑚
=..... cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em!
đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 II.
Lý thuyết về các vô cùng bé và các vô cùng lớn:
+) vô cùng bé ( khi x→x0 ( x0≠ ∞) )
sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 khi u→ 0 𝑢2 1-𝑐𝑜𝑠2𝑢~ khi u→ 0 2
(1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 khi u→ 0 Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi tính giới hạn nếu x không tiến ra vô cùng thì ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô cùng bé .
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao. ( lim 𝑓(𝑥) =0 thì f(x) gọi là vcb) 𝑥→𝑥0 +) vô cùng lớn
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn: ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp. ( lim 𝑓(𝑥) =∞ thì f(x) gọi là vcl) 𝑥→∞ 𝑥100+𝑥50+1 VD : lim 𝑥→∞ 𝑥100+𝑥99+100
Phân tích : rõ dàng khi x→ ∞ khi tử số 𝑥100 tiến ra vô cùng nhanh nhất do đó ta gắt bỏ các thành phần
khác đi thì tử số tương đương với 𝑥100 , 𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố
tương đương với 𝑥100 𝑥100 Như vậy L= lim =1 𝑥→∞ 𝑥100 I.
Sử dụng cách diễn giải trên để xử lý các bài tập Câu 13 : tính giới hạn 3 −2 3 −2
L=lim √𝑐𝑜𝑠𝑥 √𝑐𝑜𝑠𝑥 =lim √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1 √𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
khi x→ 0 thì sinx~𝑥 và cosx-1~ − 𝑥2/2 do đó 1 1 𝑥2 𝑥2 2 3 2 3 2 (1− )3−1−[(1− ) −1] √ 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 1− − √1− ( √1− −1)−( √1− −1) 2 2 L=lim 2 2 lim 2 2 = lim 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 −1.𝑥2 −1.𝑥2 −1. −1. − − 1
Khi u→ 0 (1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 do đó L== lim 3.2 2.2 == lim 3.2 2.2 = 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 1 12 Câu 14 : tính giới hạn 1 𝑥2 (2𝑥)2 𝑥2 1.(2𝑥)2 1−𝑐𝑜𝑠𝑥
1−(𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1)√(𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+1) 1−(1− )[(1− )2−1+1] 1−(1− )(1− ) L=lim √𝑐𝑜𝑠2𝑥 =lim = lim 2 2 =lim 2 2.2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥2 1−(1− )(1−𝑥2) 𝟎 =lim 2
( đến đây có dạng => L’Hopital dùng 2 lần) 𝑥→0 𝑥2 𝟎
Em nhân ra rồi tính đạo hàm 2 lần nhé ,sau đó thay x=0 vào ta đc kết quả nhé! Câu 15 : tính giới hạn
1−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠3𝑥 L=lim 𝑥→0 1−𝑐𝑜𝑠𝑥
Sau khi biến đổi tích thành tổng ta được
1−𝑐𝑜𝑠6𝑥+1−𝑐𝑜𝑠4𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 L=lim 𝑥→0 4(1−𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑢2
Sử dụng 1-𝑐𝑜𝑠2𝑢~ khi u→ 0 ta được 2 (6𝑥)2 (4𝑥)2 (2𝑥)2 (6)2 (4)2 (2)2 + + + + L=lim 2 2 2 = lim 2 2 2 1 =14 𝑥→0 𝑥2 4. 𝑥→0 4. 2 2 Câu 16 : tính giới hạn 1
L= lim 𝑥2(1 − 𝑐𝑜𝑠 ) 𝑥→∞ 𝑥 1
Rõ dàng khi 𝑥 → ∞ thì → 0 do đó đủ điều kiện áp dụng vô cùng bé tương đương 𝑥 1 2 ( ) 1 1
Khi đó L= lim 𝑥2[ 𝑥 ] = lim = 𝑥→∞ 2 𝑥→∞ 2 2 Câu 17 : tính giới hạn 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 cos (𝑥− + ) −sinx (𝑥− ) − (𝑥− ) − (2)3 L= lim 2 2 2 2 3 = lim = lim = lim 2 = lim 1 =-∞
𝜋+ √(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)2 𝜋+ 3 𝜋 𝜋 𝜋+ 3 𝜋 𝜋+ 𝜋 𝜋+ 𝑥→ 𝑥→ √[1−sin (𝑥− + )]2 𝑥→ √[1−cos (𝑥− )]2 𝑥→ (𝑥− ) 2 2 𝑥→ 𝜋 3 2 2 2 2 2 2 2 [ ]^ (𝑥− ) 2 3 2 2
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp Câu 18 : tính giới hạn √1+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−1 L=lim 𝑥→0 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
Áp dụng sinx~𝑥 khi x→ 0 1 𝑥2 1 (1+𝑥2)2−1 1 L=lim =lim 2 = lim 2 = 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 1 2 Câu 19 : tính giới hạn
L=lim √1−𝑡𝑎𝑛𝑥−√1+𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥→0 𝑠𝑖𝑛2𝑥
Áp dụng tanx~𝑥 và sin2x~2 𝑥 khi x→ 0 (1−𝑥)−(1+𝑥) −1 −1
Ta được L=lim √1−𝑥−√1+𝑥 ( liên hợp )= lim =lim = 𝑥→0 2𝑥
𝑥→0 2𝑥(√1−𝑥+√1+𝑥) 𝑥→0 (√1−𝑥+√1+𝑥) 2 Câu20 : tính giới hạn 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 −2𝑥 𝜋
L=lim(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 −
) =lim[2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥 − + ) − ] =lim[ + ] 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥→ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→ 2 2 cos (𝑥− + ) 𝑥→ tan (𝑥− ) sin (𝑥− ) 2 2 2 2 2 2 2
Thay vô cùng bé tương đương 𝜋 −2𝑥 𝜋 −2(𝑥− ) =lim( + ) =lim[ 2 ] =lim −2 =-2 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥→ 𝑥− 𝑥− 𝑥→ 𝑥− 𝑥→ 2 2 2 2 2 2 Câu 21 : tính giới hạn ln (1+3𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥) L=lim 𝑥→0 𝑡𝑎𝑛2𝑥
Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0 Khi đó ln (1+3𝑥2) 3𝑥2 L=lim =lim = lim 3 = 3 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 𝑥2 𝑥→0 Câu 22: tính giới hạn ln(1+𝑥−3𝑥2) L=lim 𝑥→0 ln(1+3𝑥−4𝑥2)
Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp 𝑥−3𝑥2 1−3𝑥 1
Khi đó L=lim 3𝑥−4𝑥2 = lim 3−4𝑥 = 𝑥→0 𝑥→0 3 Câu 23: tính giới hạn ln (𝑥2−𝑥+1) L= lim 𝑥→∞ ln (𝑥10+𝑥5+1)
Thay vô cùng lớn tương đương
Tử số ~ ln(𝑥2) = 2𝑙𝑛𝑥
Mẫu số ~ ln(𝑥10) = 10𝑙𝑛𝑥 2𝑙𝑛𝑥 2 1 Khi đó L= lim = lim =
𝑥→∞ 10𝑙𝑛𝑥 𝑥→∞ 10 5 Câu 24: tính giới hạn ln (𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥)
ln (𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1+1) L=lim =lim
𝑥→0 ln (𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥) 𝑥→0 ln (𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥−1+1)
Vì cosax-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0 , tương tự cosbx-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0
Do đó áp dụng thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0 −(𝑎𝑥)2 −(𝑎)2 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1 𝑎2 Ta được L= lim =lim 2 =lim 2 =
𝑥→0 c𝑜𝑠𝑏𝑥−1 𝑥→0 −(𝑏𝑥)2 𝑥→0 −(𝑏)2 𝑏2 2 2 Câu 25: tính giới hạn 8𝑥−7𝑥 L=lim 𝑥→0 6𝑥−5𝑥 𝟎
(có dạng => L’Hopital dùng 1 lần) 𝟎
8𝑥𝑙𝑛8−7𝑥𝑙𝑛7 1.𝑙𝑛8−1.𝑙𝑛7 𝑙𝑛8−.𝑙𝑛7 L=lim = lim =lim
𝑥→0 6𝑥𝑙𝑛6−5𝑥𝑙𝑛5
𝑥→0 1.𝑙𝑛6−1.𝑙𝑛5 𝑥→0 𝑙𝑛6−.𝑙𝑛5 Câu 26: tính giới hạn 𝑥𝑥−1 L=lim 𝑥→1 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝟎
(có dạng => L’Hopital dùng 1 lần) 𝟎
Trước hết anh nói về cách tính đạo hàm của 𝑥𝑥
Đặt y=𝑥𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe 2 vế ) lny=xlnx 𝑦′
Bây giờ đạo hàm 2 vế ta được = (xlnx)’ = lnx+1 𝑦
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp
Do đó y’=y.(lnx+1)= 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥𝑥 )′ = 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) (𝑥𝑥−1)′ 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥+1)
Áp dụng L’Hopital L=lim =lim =lim𝑥𝑥 = 1 𝑥→1 (𝑥𝑙𝑛𝑥)′ 𝑥→1 (𝑙𝑛𝑥+1) 𝑥→1 Câu 27: tính giới hạn 1+𝑡𝑎𝑛𝑥 1 L=lim( )𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑥→0 1+𝑠𝑖𝑛𝑥
Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L= lim [𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) ( với x0 có thể bằng 1 số hoặc bằng vô cực ) 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥).ln [𝑓(𝑥)] Thì L=𝑒 lim 𝑥→𝑥0
=…………….. ( chú ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến 1 là dạng vô định )
Áp dụng Vào bài toán : trước hết ta thay vô cùng bé tương đương tanx~𝑥 và sinx~𝑥 khi x→ 0 1+𝑥 1 1 1+𝑥 .ln ( ) 𝟎 L=lim( )𝑥 =𝑒lim 𝑥→0𝑥
1+𝑥 (có dạng => L’Hopital dùng 1 lần) 𝑥→0 1+𝑥 𝟎 1+𝑥 1+𝑥 [ln( )]′ [ln( )]′ 1+𝑥 𝑜 1+𝑥 =𝑒 lim 𝑥→0 𝑥′ =𝑒 lim 𝑥→0 𝑥′ =𝑒 lim 𝑥→01=𝑒𝑜=1 Câu 28: tính giới hạn 1 1
L= lim (𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 )𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥
Trước hết ta thay vô cùng bé tương đương ta được : 1 1 1 1 1 1 1 𝑥.ln ( +1− 𝑥. ( − (1− ) L= lim ( + 1 − )𝑥 =𝑒 lim 𝑥→∞ 𝑥 2𝑥2) =𝑒 lim 𝑥→∞ 𝑥 2𝑥2) = 𝑒 lim 𝑥→∞ 2𝑥 = 𝑒1=e 𝑥→∞ 𝑥 2𝑥2 1 1 1 1 Vì ln ( + 1 − ) ~ − 𝑥 2𝑥2 𝑥 2𝑥2 Câu 29: tính giới hạn 1 L= lim (𝑐𝑜𝑠 )𝑥2 𝑥→∞ 𝑥
Trước hết thay vô cùng bé tương đương 1 1 1 .ln (1− .(− 1 L = lim (1 − )𝑥2 = 𝑒lim𝑥2 𝑥→∞ 2𝑥2) =𝑒lim𝑥2 𝑥→∞ 2𝑥2) = 𝑥→∞ 2𝑥2 √𝑒 1 1 Vì ln (1 − ) ~ − 2𝑥2 2𝑥2 Câu 30: tính giới hạn 𝑛 + 𝑛 L= lim ( √𝑎
√𝑏)𝑛 với (a , b >0) 𝑛→∞ 2
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Giới Hạn Hàm Số Trong Toán Cao Cấp 1 Đặt x= , x→ 0 khi đó 𝑛 𝑎𝑥+𝑏𝑥 1 1 𝑎𝑥+𝑏𝑥 .ln ( −1+1) L=lim( )𝑥 =𝑒lim 𝑥→0 𝑥 2 = 𝑥→0 2 1 𝑎𝑥+𝑏𝑥 𝑎𝑥+𝑏𝑥−2 (𝑎𝑥+𝑏𝑥−2)′ lim
𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎+𝑏𝑥𝑙𝑛𝑏 𝑙𝑛𝑎+𝑙𝑛𝑏 𝑒lim . ( −1) 𝑥→0 𝑥 2 =𝑒lim 𝑥→0 2𝑥 = 𝑒 𝑥→0 (2𝑥)′ =𝑒lim 𝑥→0 2 = 𝑒 2 =√𝑎 +√𝑏 Câu 31: tính giới hạn −2 −2 𝑥−1 −2 .ln (1+ ) .( ) 1 L= lim ( )𝑥 = lim (1 + )𝑥 =𝑒lim𝑥 𝑥→∞ 𝑥+1 =𝑒lim𝑥 𝑥→∞ 𝑥+1 = 𝑥→∞ 𝑥+1 𝑥→∞ 𝑥+1 𝑒2 Câu 32: tính giới hạn 1 2 2 1 1 1 1 1 2 .ln (1+ ) .( )
L= lim (𝑒𝑥 + )𝑥 = lim (𝑒𝑥 − 1 + 1 + )𝑥 = lim ( +1 + )𝑥 = lim (1 + )𝑥 =𝑒lim 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 =𝑒lim 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 =𝑒2 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 Câu 33: tính giới hạn 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
𝜋 𝑡𝑎𝑛2[2(𝑥− )+ ]
L=lim(𝑠𝑖𝑛2𝑥)𝑡𝑎𝑛22𝑥 =lim[𝑠𝑖𝑛2(𝑥 − + )𝑡𝑎𝑛22(𝑥− + ) 4 2 4 4 =lim sin [2 (𝑥 − ) + ] 𝜋 𝜋 𝜋 𝑥→ 𝑥→ 4 4 𝑥→ 4 2 4 4 4 1 𝜋 1 𝜋 𝜋 [2(𝑥− )]2 𝜋
=lim cos [2 (𝑥 − )]𝑡𝑎𝑛2[2(𝑥− )] [2(𝑥− )]2 4 ==lim[1 − 4 ] 4 𝜋 𝜋 𝑥→ 4 𝑥→ 2 4 4 𝜋 1 1 1 1
Đặt (𝑥 − ) = t thì L=lim[1 − 2𝑡2]4𝑡2 ==𝑒lim
𝑡→0 4𝑡2.ln (1−2𝑡2) = 𝑒lim 𝑡→0 4𝑡2.(−2𝑡2) = 4 𝑡→0 √𝑒 Câu 34: tính giới hạn 𝑥𝛼−2𝛼 L= lim 𝑥→2 𝑥𝛽−2𝛽 0
phân tích : rõ dàng khi thay x=2 vào L có dạng do đó thỏa mãn điều kiện L'Hopital 0 đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử khi đó L=
(viết cho vui thôi_ thi thì cứ băm luôn nhé :))
đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢 𝛼.𝑥𝛼−1−𝑜 𝛼 L=lim = . 𝑥𝛼−𝛽
𝑥→2 𝛽.𝑥𝛽−1−𝑜 𝛽
Kỹ Thuật Cơ Điện Tử 02 _K58 Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội