Cách tìm công thức của số hạng tổng quát đơn giản, dễ hiểu nhất
1. Giới thiệu công thức của số hạng tổng quát
Công thức của số hạng tổng quát là 1 biểu thức đại số biểu thị số hạng thứ n của 1 dãy số. Công
thức này có thể được sử dụng để tính giá trị của bất kỳ số hạng nào trong dãy số.
Công thức của số hạng tổng quát được ký hiệu là an . an là 1 biểu thức đại số biểu thị số hạng thứ n của dãy số.
Việc tìm công thức của số hạng tổng quát có nhiều ứng dụng trong đời sống khoa học. Ví dụ,
trong toán học, công thức này có thể được sử dụng để tính tổng của 1 dãy số, tính giới hạn của 1
dãy số,... Trong vật lý, công thức này có thể được sử dụng để tính dao động của 1 vật, tính sóng,...
2. Các phương pháp tìm công thức của số hạng tổng quát
Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm công thức của số hạng tổng quát. Các phương pháp phổ biến nhất bao gồm:
2.1. Phương pháp quy nạp toán học
Phương pháp quy nạp toán học là 1 phương pháp chứng minh toán học dựa trên giả thiết.
Phương pháp này có thể được sử dụng để tìm công thức của số hạng tổng quát của 1 dãy số.
- Bước 1: Giả thiết. Đầu tiên, chúng ta giả sử đã tìm ra công thức của số hạng tổng quát của dãy
số. Công thức này được ký hiệu là an
- Bước 2: Chứng minh. Sử dụng giả thiết này để chứng minh rằng công thức đó đúng cho mọi số hạng n. Bắt đầu với số hạng thứ nhất và tiếp tục
với các số hạng tiếp theo.
- Bước 3: Kết luận. Nếu chứng minh rằng công thức đó đúng cho mọi số hạng n, thì có thể kết luận rằng công thức đó là công thức của số hạng tổng quát của dãy số.
Lưu ý khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học:
+ Khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học, cần lưu ý rằng giả thuyết phải đúng cho mọi số hạng n.
+ Khi chứng minh rằng công thức thỏa mãn cho số hạng n + 1, cần sử dụng công thức đã tìm
được cho số hạng thứ n.
+ Nếu không thể chứng minh rằng công thức thỏa mãn cho số hạng n +1, thì công thức đó
không phải là công thức của số hạng tổng quát của dãy số. Ví dụ minh họa:
Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9, ... Gỉa thuyết: Công thức của số hạng tổng quát của dãy số lầ an = 2n -1. Chứng minh: Từ giả thuyết, ta có: a1 = 2(1) -1 = 1 a2 = 2(2) -1 =3 a3 = 2(3) -1 =5 a4 = 2(4) -1 = 7 a5 = 2(5) -1 = 9
Như vậy, công thức an = 2n -1 thỏa mãn cho các số hạng đầu tiên của dãy số.
Để chứng minh rằng công thức này đúng cho mọi số hạng n, ta giả sử rằng công thức này đúng cho số hạng n.
Từ giả thuyết này, ta có: an = 2n - 1
Từ công thức này ta có: an = 2n -1 cũng thỏa mãn cho số hạng n + 1
Vì vậy, công thức an = 2n -1 là công thức của số hạng tổng quát của dãy số.
2.2. Phương pháp truy hồi
Phương pháp truy hồi là 1 phương pháp tìm công thức của số hạng tổng quát dựa trên việc sử
dụng 1 hệ thức truy hồi để xác định mối quan hệ giữa các số hạng liền kề của dãy số. Hệ thức
truy hồi là 1 phương trình biểu thị mối quan hệ giữa số hạng thứ n của dãy số và các số hạng đứng trước nó.
- Bước 1: Xác định hệ thức truy hồi. Hệ thức truy hồi thường có dạng sau: an = a(n-1) + c (trong đó c là 1 hằng số)
- Bước 2: Giải hệ thức truy hồi. Sau khi đã xác định hệ thức truy hồi, tiến hành giải hệ thức này
để tìm giá trị của an
- Bước 3: Kiểm tra lại kết quả. Cần kiểm tra lại để đảm bảo kết quả đúng cho mọi số hạng n.
Lưu ý: Phương pháp này có thể không hiệu quả cho các dãy số có quy luật lặp lại phức tạp. Ví dụ minh họa 1:
Xét dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13,... Hệ thức truy hồi của dãy số này là an = a(n-1) + 3
Giải hệ này ta được an = 3n -2
Kiểm tra lại kết quả, ta thấy: a1 = 3.1 - 2 = 1 a2 = 3.2 - 2 = 4 a3 = 3.3 - 2 = 7
Kết quả tìm được là đúng cho mọi số hạng n. Ví dụ minh họa 2:
Xét dãy số sau: 2, 4, 8, 16, 32,... Hệ thức truy hồi của dãy số này là: an = 2n
Kiểm tra lại kết quả, ta thấy: a1 = 21 = 2 a2 = 22 = 4 a3 = 23 = 8 ...
Kết quả tìm được là đúng cho mọi số hạng n.
2.3. Phương pháp hệ thức truy hồi
Phương pháp hệ thức truy hồi là 1 phương pháp tìm công thức của số hạng tổng quát của 1 dãy
số dựa trên việc sử dụng 1 hệ thức truy hồi để xác định mối quan hệ giữa các số hạng liền kề của dãy số.
- Bước 1: Xác định hệ thức truy hồi. Hệ thức truy hồi là 1 phương trình biểu thị mối quan hệ
giữa số hạng thứ n của dãy số với các số hạng liền kề.
- Bước 2: Giải hệ thức truy hồi. Sau khi đã xác định được hệ thức truy hồi, cần giải hệ thức truy
hồi để tìm công thức của số hạng tổng quát.
+ Trong trường hợp đơn giản, hệ thức truy hồi có thể được giải bằng phương pháp quy nạp toán học.
+ Trong trường hợp phức tạp hơn, có thể sử dụng các phương pháp khác như phương pháp đại
số, phương pháp lượng giác,...
- Bước 3: Kiểm tra lại kết quả. Sau khi tìm được công thức của số hạng tổng quát, cần kiểm tra
lại kết quả bằng cách thay vào các số hạng cụ thể của dãy số.
Lưu ý: Phương pháp này có thể được sử dụng để tìm công thức của số hạng tổng quát cho các dãy số phức tạp. Ví dụ minh họa:
Xét dãy số sau: 1, 2, 4, 8, 16,...Hệ thức truy hồi của dãy số này là: an = 2a(n-1)
Giải hệ thức truy hồi này, ta có: an = 2n Kiểm tra kết quả: a1 = 21 = 2 a2 = 22 = 4 a3 = 23 = 8 a4 = 24 = 16
Kết quả phù hợp với dãy số đã cho.
2.4. Phương pháp phân tích định thức
Phương pháp phân tích định thức là phương pháp tìm công thức của số hạng tổng quát của 1 dãy
số bằng cách sử dụng định thức. Phương pháp này thường được sử dụng cho các dãy số phức tạp.
- Bước 1: Xác định hệ thức truy hồi. Hệ thức truy hồi là 1 biểu thức đại số biểu thị mối quan hệ
giữa các số hạng liền kề của dãy số.
- Bước 2: Tạo ma trận. Từ hệ thức truy hồi, ta có thể tạo ra 1 ma trận. Mỗi hàng của ma trận đại
diện cho 1 số hạng của dãy số.
- Bước 3: Tính định thức của ma trận. Định thức này sẽ là công thức của số hạng tổng quát của dãy số.
Lưu ý: Phương pháp phân tích định thức có thể áp dụng cho ma trận vuông bất kỳ.
2.5. Phương pháp tổng quát
Phương pháp tổng quát của cách tìm công thức của số hạng tổng quát là phương pháp dựa trên
việc tìm ra mối quan hệ giữa các số hạng trong dãy số. Phương pháp này có thể áp dụng cho cả
dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số lặp.
- Bước 1: Tính vài số hạng đầu của dãy số.
- Bước 2: Tìm ra mối quan hệ giữa các số hạng.
- Bước 3: Lập công thức của số hạng tổng quát. Ví dụ minh họa:
Cho dãy số (u ) với các số hạng đầu là 2, 6, 18, 54, ... n
Số hạng thứ nhất là 2
Số hạng thứ 2 = 3 * số hạng thứ nhất = 3 * 2 = 6
Số hạng thứ 3 = 3 * số hạng thứ hai = 3 * 6 = 18 ...
Ta thấy số hạng thứ hai bằng 3 lần số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba bằng 3 lần số hạng thứ hai,...
Vậy mối quan hệ giữa các số hạng là: un = 3un-1
Ta thấy số hạng thứ nhất là 2, và công thức của số hạng thứ hai là 3u . Vậy, công thức của số n-1
hạng tổng quát là:un = 3un-1 + 2