Tứ diện đều 1. Tứ diện
 Tứ diện là hình có bốn đỉnh, thường được kí hiệu A, B, C, D. Bất kì điểm nào trong
số các điểm trên được gọi là đỉnh, mặt tam giác đối diện với đỉnh đó được gọi là đáy.
 Ví dụ: Chọn A là đỉnh thì (BCD) là mặt đáy. 2. Tứ diện đều
 Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là tam giác đều.
 Tứ diện đều là một hình chóp tam giác đều.
 Hình chóp tam giác đều có thêm điều kiện cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.
3. Tính chất tứ diện đều
- Tứ diện đều có các tính chất như sau:
+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.
+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông
góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
4. Cách vẽ tứ diện đều
Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.
Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ
đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.
5. Thể tích tứ diện đều
- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:
+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của
diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: V=13.SBCD.AH
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba
tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: V=13.B.h
6. Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. từ A kẻ AH là đường cao của hình chóp A.BCD, H
thuộc (BCD) thì H sẽ là tâm của tam giác đều BCD. Suy ra
 Chiều cao của hình chóp A.BCD đều cạnh a là h=AH=a63
 Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là V=a3212
4. Bài tập tính thể tích khối tứ diện đều
Câu 1: Khối chóp tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng: A.a33 B.a3612 C.a3212 D.a3312
Câu 2: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là: A. 4 mặt phẳng B. 6 mặt phẳng C. 8 mặt phẳng D. 10 mặt phẳng
Câu 3: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành:
A. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều.
B. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều.
C. Các đỉnh của một hình bát diện đều.
D. Các đỉnh của một hình tứ diện.
Câu 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp 2 lần
cạnh đáy. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. A.V=11a34 B.V=13a312 C.V=11a312 D.V=11a36
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên bằng a216.
Tính thể tích khối chóp S.ABC. A.V=3a36 B.V=3a38 C.V=3a312 D.V=3a324
Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD.
tính thể tích của khối chóp A.GBC. A.V=4 B.V=5 C.V=3 D.V=6
Câu 7: Cho tứ diện đều ABCD có canh 2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a A.V=13a3 B.V=2a33 A.V=22a33 A.V=2a33
Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có canh
2a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a A.V=2a33 B.2a33 C.V=a33 D.V=4a33
Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD có thể tích bằng 1. Tìm độ dài các cạnh của tứ diện A. 23 B. 32 C. 62 D. 623 Bài tập tự luận
Bài 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết: a) cạnh AB = 4 cm b) cạnh CD = 6 cm c) cạnh BD = 3 cm Hướng dẫn giải
a) Vì là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên thể tích là
Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = 5 cm. Hỏi thế tích bằng bao nhiêub) Vì là tứ diện
đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên thể tích là
c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên thể tích
Bài 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào. Lời giải:
Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC).
Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt
đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.
Bài 3: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.
Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh
và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.
Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính góc giữa AB và CD?
Bài 5: Cho ABCD là tứ diện đều, cạnh a. Kéo dài BC 1 đoạn CE = a. Kéo dài BD 1 đoạn
DF = a. M là trung điểm của AB.
a. Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF).
b. Tính diện tích của thiết diện theo a.