Tài liệu ôn tập: Xác định công thức tổng quát của dãy số truy hồi môn Toán lớp 11

Xác định công thức tổng quát của dãy số truy hồi Trang 1
XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT TENS CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI
A. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI 𝑢
Dạng 1: Xác định được CTTQ của dãy (𝑢 1
𝑛): {𝑢𝑛 = 𝑎𝑢𝑛−1 + 𝑏 ∀𝑛 ≥ 2.
 Ví dụ 1. Xác định số hạng tổng quát của dãy (𝑢𝑛) được xác định bởi:
𝑢1 = −2, 𝑢𝑛 = 3𝑢𝑛−1 − 1 ∀𝑛 ≥ 2. 𝑢
Dạng 2: Xác định CTTQ của dãy (𝑢 1
𝑛): {𝑢𝑛 = 𝑎𝑢𝑛−1 + 𝑓(𝑛) ∀𝑛 ≥ 2, trong dó 𝑓(𝑛) là một đa thức bậc 𝑘 theo 𝑛.
 Ví dụ 2. Xác định CTTQ của dãy (𝑢𝑛) được xác định : 𝑢1 = 2; 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 + 3𝑛 − 1. 𝑢
 Ví dụ 3. Cho dãy số (𝑢 1 = 2 𝑛): { . Tìm CTTQ của dãy (𝑢 𝑢 𝑛).
𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 2𝑛 + 1 𝑢
Dạng 3: Xác định CTTQ của dãy (𝑢 1 𝑛): { .
𝑢𝑛 = 𝑎. 𝑢𝑛−1 + 𝑏. 𝛼𝑛 ∀𝑛 ≥ 2 𝑢
 Ví dụ 4. Cho dãy số (𝑢 1 = 1 𝑛): { .Tìm CTTQ của dãy (𝑢 𝑢 𝑛).
𝑛 = 3𝑢𝑛−1 + 2𝑛; 𝑛 = 2,3, … 𝑢
Dạng 4: Để xác định CTTQ của dãy (𝑢 1 = 𝑝 𝑛): { , trong đó
𝑢𝑛 = 𝑎. 𝑢𝑛−1 + 𝑏. 𝛼𝑛 + 𝑓(𝑛); ∀𝑛 ≥ 2
𝑓(𝑛) là đa thức theo 𝑛 bậc 𝑘. 𝑢
 Ví dụ 5. Tìm CTTQ của dãy (𝑢 1 = 1 𝑛): { .
𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 + 3𝑛 − 𝑛; ∀𝑛 ≥ 2 𝑢
Dạng 5: Để xác định CTTQ của dãy (𝑢 0; 𝑢1
𝑛): {𝑢𝑛 − 𝑎. 𝑢𝑛−1 + 𝑏. 𝑢𝑛−2 = 0 ∀𝑛 ≥ 2, trong đó
𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số thực khác không; 𝑎2 − 4𝑏 ≥ 0. 𝑢
 Ví dụ 6. Xác định CTTQ của dãy(𝑢 0 = −1; 𝑢1 = 3 𝑛): { ∀𝑛 ≥ 2.
𝑢𝑛 = 5𝑢𝑛−1 − 6𝑢𝑛−2 Trang 2
► Team Tens | Khóa học chinh phục Toán 11 – 2k9 | Website: tenschool.vn
B. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI
Để chứng minh mệnh đề chứa biến 𝑢(𝑛) đúng với mọi số nguyên dương 𝑛 ( bằng phương pháp
quy nạp), ta thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: (bước cơ sở hay bước khởi đầu): Kiểm tra 𝑢(𝑛) đúng với 𝑛 = 1.
Bước 2: (bước quy nạp): Giả sử 𝑢(𝑛)đúng với 𝑛 = 𝑘(𝑘 ≥ 1, 𝑘 ∈ ℕ) ta chứng minh 𝑢(𝑛) đúng với 𝑛 = 𝑘 + 1.
Bước 3: Kết luận: 𝑢(𝑛) đúng với mọi số nguyên dương 𝑛 . 𝑥
 Ví dụ 7. Cho dãy số (𝑥 1 = √2 𝑛) như sau: { , ∀𝑛 = 1,2, … 𝑥𝑛+1 = √2 + 𝑥𝑛 a) Tính 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3.
b) Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ 𝑛). C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( 𝑢𝑛 ) được xác định bởi :
a) 𝑢1 = 1, 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 − 2 ∀𝑛 ≥ 2;
b) 𝑢1 = 3, 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 ∀𝑛 ≥ 2;
c) 𝑢1 = 2, 𝑢𝑛 = 3𝑢𝑛−1 + 2 ∀𝑛 ≥ 2;
d) 𝑢1 = −2, 𝑢𝑛 = 3𝑢𝑛−1 − 1 ∀𝑛 ≥ 2; 1 u e) 𝑢 n 1 = , 𝑢 ∀𝑛 ≥ 2; 2 𝑛+1 = 2u + 3 n
f) 𝑢1 = 2, 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 3𝑛 − 1 ∀𝑛 ≥ 1;
g) 𝑢1 = 3, 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 3.4𝑛 ∀𝑛 ≥ 2;
h) 𝑢1 = 5, 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 3.2𝑛 + 𝑛2. 𝑢 2. Cho dãy số (𝑢 0 = 1; 𝑢1 = 2
𝑛) được xác định bởi : {
∀𝑛 ≥ 1. Hãy xác định CTTQ của
𝑢𝑛+1 = 4𝑢𝑛 + 𝑢𝑛−1 dãy (𝑢𝑛). 𝑢
3. Xác định CTTQ của dãy: (𝑢 0 = 1; 𝑢1 = 3 𝑛): { ∀𝑛 = 2,3, …
𝑢𝑛 − 4𝑢𝑛−1 + 4𝑢𝑛−2 = 0
Xác định công thức tổng quát của dãy số truy hồi Trang 3 1 𝑢 4. Cho dãy (𝑢 1 = 𝑛): { 2
. Xác định CTTQ của dãy (𝑢𝑛). 𝑢 2
𝑛 = 2𝑢𝑛−1 − 1 ∀𝑛 ≥ 2 3
5. Xác định CTTQ của dãy số 𝑢 (𝑢 1 = 𝑛): { 2 , ∀𝑛 ≥ 2. 𝑢 3
𝑛 = 4𝑢𝑛−1 − 3𝑢𝑛−1 1 𝑢 1 = 2
6. Tìm CTTQ của dãy số (𝑢𝑛): . 2 2 − 2 1− u 𝑢 n 1 − 𝑛 = ∀𝑛 ≥ 2 { 2
Document Outline

• A. SỬ DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI
• B. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ TRUY HỒI
• C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN