Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ

Cách tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ 1. Vecto là gì?
Vecto là một khái niệm quan trọng trong toán học và vật lý, đó là một đại lượng có thể
được mô tả bởi hướng và độ lớn. Nó là một đối tượng có thể được biểu diễn bằng một mũi tên
trong không gian hai hoặc ba chiều và có thể di chuyển và quay theo các quy tắc cụ thể.
- Trong toán học, vecto được định nghĩa trong không gian vectơ. Một không gian vectơ
là một tập hợp các đối tượng có thể được cộng và nhân với một số thực. Các phép toán này
tuân theo một số quy tắc, bao gồm quy tắc cộng vectơ, nhân vectơ với một số và các tính chất
khác. Mỗi vectơ trong không gian vectơ có thể được biểu diễn bằng một tập hợp các thành
phần số học, ví dụ: vectơ hai chiều có thể được biểu diễn bằng cặp số thực (x, y), trong khi
vectơ ba chiều có thể được biểu diễn bằng bộ ba số thực (x, y, z).
- Vecto có thể được sử dụng để mô tả vị trí, tốc độ, gia tốc, lực, và nhiều khái niệm khác
trong vật lý. Ví dụ, trong vật lý cơ bản, vecto vị trí có thể được sử dụng để xác định vị trí của
một đối tượng trong không gian. Vecto tốc độ có thể được sử dụng để mô tả tốc độ và hướng
di chuyển của một đối tượng. Đối với các đại lượng như lực, vecto được sử dụng để biểu diễn
hướng và độ lớn của lực đó.
- Trong thực tế, vecto cũng được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau như đồ
họa máy tính, công nghệ thông tin, kỹ thuật, kinh tế học và thống kê. Trong đồ họa máy tính,
vecto được sử dụng để biểu diễn hình dạng và hướng của các đối tượng. Trong công nghệ thông
tin, vecto được sử dụng để mô tả và biểu diễn dữ liệu. Trong kỹ thuật, vecto được sử dụng để
mô phỏng và phân tích các hệ thống vật lý phức tạp.
Tổng quát, vecto là một khái niệm quan trọng trong toán học và vật lý, và có ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Việc hiểu và áp dụng công cụ này không chỉ giúp chúng ta nắm
bắt và mô phỏng các hiện tượng tự nhiên một cách chính xác, mà còn giúp chúng ta giải quyết
các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
2. Cách tính độ dài Vecto là gì?
Định nghĩa: mỗi vecto đều có một độ dài đó bằng là khoảng cách giữa hai điểm đầu và
điểm cuối của vecto đó. Độ dài của veco a được ký hiệu là:
Do đó đối với các vecto ,... thì ta có: = AB = BA = PQ = QP
- Phương pháp: muốn tính độ dài vecto ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto:
- Trong toạ độ : Cho ( a1; a2) Độ dài vecto: là =
Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ toạ độ: Áp dụng công thức:
Trong mặt phẳng toạ độ thì khoảng cách giữa hai điểm M (xM; yM) và N(xN; yN) là: MN = =
3. Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ?
Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ là một khái niệm quan trọng trong toán học
và hình học. Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, chúng ta cần xác định trước hệ tọa độ và cách
tính khoảng cách giữa hai điểm trong đó.
- Hệ tọa độ được sử dụng phổ biến nhất là hệ tọa độ Descartes, được đặt theo tên của nhà
toán học nổi tiếng René Descartes. Hệ tọa độ Descartes bao gồm hai trục đối xứng với nhau,
một trục ngang được gọi là trục hoành (OX) và một trục đứng được gọi là trục tung (OY). Điểm
gốc O nằm ở giao điểm của hai trục này.
- Để tính khoảng cách giữa hai điểm A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂) trong hệ tọa độ Descartes,
chúng ta sử dụng công thức khoảng cách Euclid:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Trong đó, (x₁, y₁) và (x₂, y₂) lần lượt là tọa độ của hai điểm A và B trên trục hoành và trục
tung. Dấu căn bậc hai (√) biểu thị phép tính căn bậc hai của tổng các bình phương.
- Công thức trên dựa trên định lý Pythagoras, một định lý quan trọng trong hình học. Nó
cho phép chúng ta tính toán khoảng cách giữa hai điểm trong không gian hai chiều.
Ví dụ, giả sử chúng ta có hai điểm A(2, 3) và B(5, 7). Áp dụng công thức khoảng cách Euclid, ta có:
d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(2, 3) và B(5, 7) là 5 đơn vị.
Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ không chỉ có ý nghĩa trong toán học mà còn
được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật lý, địa lý, và công nghệ thông
tin. Nó là một khái niệm cơ bản và quan trọng giúp chúng ta đo lường và xác định vị trí và
khoảng cách trong không gian hai chiều.
4. Một số bài tập vi dụ
Bài tập 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2) và B(-3, 5). Giải:
d = √((-3 - 1)² + (5 - 2)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2) và B(-3, 5) là 5 đơn vị.
Bài tập 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(0, 0) và B(8, 6). Giải:
d = √((8 - 0)² + (6 - 0)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(0, 0) và B(8, 6) là 10 đơn vị.
Bài tập 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(4, -2) và B(-1, -5). Giải:
d = √((-1 - 4)² + (-5 - (-2))²) = √((-5)² + (-3)²) = √(25 + 9) = √34
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(4, -2) và B(-1, -5) là √34 đơn vị.
Những bài tập này giúp bạn làm quen với việc tính toán khoảng cách giữa hai điểm trong
hệ tọa độ Descartes. Bạn có thể tạo thêm các bài tập tương tự với các tọa độ khác để rèn kỹ
năng tính toán và làm quen với khái niệm khoảng cách trong không gian hai chiều.
Bài tập 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(-2, 3) và B(4, -1). Giải:
d = √((4 - (-2))² + (-1 - 3)²) = √((4 + 2)² + (-1 - 3)²) = √(6² + (-4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(-2, 3) và B(4, -1) là 2√13 đơn vị.
Bài tập 5: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(5, -4) và B(-6, 1). Giải:
d = √((-6 - 5)² + (1 - (-4))²) = √((-11)² + (1 + 4)²) = √(121 + 25) = √146
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(5, -4) và B(-6, 1) là √146 đơn vị.
Bài tập 6: Tính khoảng cách giữa hai điểm A(3, -5) và B(3, 4). Giải:
Khi hai điểm có cùng hoành độ (x) như trong trường hợp này, khoảng cách giữa chúng chỉ phụ thuộc vào trục tung (y).
Vì vậy, khoảng cách giữa A và B là |y₂ - y₁|, trong trường hợp này là |4 - (-5)| = |9| = 9.
Do đó, khoảng cách giữa hai điểm A(3, -5) và B(3, 4) là 9 đơn vị.
Các bài tập trên giúp bạn thực hành tính toán khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ.
Bạn có thể thay đổi các tọa độ và tạo thêm bài tập để nâng cao kỹ năng tính toán của mình và
làm quen với khái niệm khoảng cách trong không gian hai chiều.
Bài tập 7: cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam
giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a. chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành, suy ra vecto HA + vecto HB + vecto HC = 2 vecto HO
b. chứng minh vecto OA + vecto OB + vecto OC = vecto OH
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. chứng minh vecto OH = 3 vecto OG. từ đó có
kết luận gì về ba điểm O, H, G
Bài tập 8: cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng 2a, BD = 2a, gọi I là trung điểm của OC
a. tính độ dài các vecto BO + vecto BC - 2 vecto CI , vecto AB - vecto BC
b. tìm M trên CD sao cho vecto MO + vecto MC + 2 vecto IA có độ dài ngắn nhất
Bài tập 9: cho tam giác ABC
a. xác định điểm M sao cho vecto AM = vecto BC
b. xác định điểm N sao cho vecto BN = -2 vecto AC
Bài tập 10: cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 4CI = 6BI. Gọi F là
điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 10 FB = 4 FC
a. phân tích vecto AI, vecto AF theo vecto AB, vecto AC
b. gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. tính độ dài của vecto AG theo vecto AI và vecto AF