Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
a) Sử dụng định nghĩa
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Phương pháp:
Bước 1: Tính: AB = (c - a; d - b) (vectơ chỉ phương của đường thẳng d)
Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: n = (b - d; c - a)
Bước 3: Phương trình đường thẳng d: (b - d).(x - a) + (c - a).(y - b) = 0
b) Sử dụng phương trình tổng quát
Bài toán: Cho hai điểm A(a, b), B(c, d). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B. Phương pháp:
Bước 1: Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng d là y = mx + n (*)
Bước 2: Thay tọa độ A, B vào phương trình tổng quát ta thu được hệ phương trình ẩn m, n
b = am + n; d = cm + n => (m; n) = (?; ?)
Thay m, n vừa tìm được vào phương trình (*) ta suy ra phương trình cần tìm.
2. Bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Bài 1: Cho hàm số y =    
Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4x + 1    
Bài 2: Cho đường thẳng AB với A(-2, 3) và B(4, -1). Hãy tìm phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
Bài 3: Cho phương trình tổng quát của đường thẳng là 2x - 3y + 6 = 0. Tìm vị trí của các điểm cắt
của đường thẳng với trục hoành và trục tung. Bài 4: Cho Parabol (P): y =
. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và
B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A ( -2; 0; 3) và B (1; 1; 5). Tìm mệnh đề sai?
A. Phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiể
B. Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Đường thẳng d đi qua điểm H( - 5; -1; 1)
D. Đường thẳng d đi qua điểm K( -11; -3; -3)
Bài 6: Cho tam giác ABC có A(2; -1; 3), B(0; 5; 3), C(2; 1; 4). Chọn mệnh đề sai về phương trình đường trung tuyến CN
A. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc
của đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0;0) và A(-1; 2; -4)?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu D. Tất cả sai
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A (2; 3; 5); B ( 0; -1; -3) và C ( 4; -1;
-3). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Viết phương trình đường thẳng MN?
A. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
B. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
C. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
D. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
3. Hướng dẫn giải bài tập viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Lời giải chi tiết: Bài 1. Cách giải:
Ta có : Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Hàm số có hai cực trị =>     > 0 => m khác 3    
Để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = -4 x+1 thì hệ số góc của
đường thẳng đó phải bằng -4
Áp dụng công thức tính nhanh ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu Bài 2.
Để tìm phương trình tổng quát của đường thẳng, ta có thể sử dụng hệ số góc của đường thẳng:
Độ dốc của đường thẳng AB: m = = = -0.5
Vì A(-2, 3) là một điểm trên đường thẳng AB, ta có thể sử dụng điểm này để tìm hệ số b của đường thẳng:
y = mx + b => 3 = -0.5 (-2) + b => b = 2
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: y = -0.5x + 2, hoặc có thể viết lại dưới dạng tổng quát: 0.5x + y - 2 = 0. Bài 3
Để tìm vị trí của điểm cắt trục hoành và trục tung, ta có thể đặt x = 0 và y = 0 tương ứng vào
phương trình tổng quát của đường thẳng:
Điểm cắt trục tung: x = 0, 2x - 3y + 6 = 0 => y = 2
Điểm cắt trục hoành: y = 0, 2x - 3y + 6 = 0 => x = 3
Vậy đường thẳng có điểm cắt trục tung là (0, 2) và điểm cắt trục hoành là (3, 0). Bài 4:
Với bài toán này chúng ta chưa biết được tọa độ của A và B là như nào. Tuy nhiên bài toán lại cho
A và B thuộc (P) và có hoành độ rồi. Chúng ta cần đi tìm tung độ của điểm A và B là xong.
Tìm tọa độ của A và B:
Vì A có hoành độ bằng -1 và thuộc (P) nên ta có tung độ y = => A (1; −1
Vì B có hoành độ bằng 2 và thuộc (P) nên ta có tung độ y = => B (2; −4)
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng d: y = ax+b. Vì đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên ta có:
- 1 = 1.a + b; - 4 = a.2 + b => a = -3; b = 2
Thay a = -3 và b = 2 vào phương trình đường thẳng d thì d là: y = −3x + 2 Vậy phương trình đường
thẳng đi qua 2 điểm A và B là: y = −3x + 2 Bài 5:
Ta có: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Đường thẳng d đi qua A và B nên vectơ chỉ phương của d là u→= Cách viết phương trình đường
thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Vậy phương trình tham số của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Phương trình chính tắc của d là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Cho t = - 1 ta được điểm H ( -5; -1; 1) thuộc đường thẳng d.
Cho t = -3 ta được điểm M ( -11;- 3; - 3) thuộc đường thẳng d Chọn A. Bài 6:
Trung điểm A của AB là N(1;2 ;3)
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu=>vectơ chỉ phương của CN là u→ =(1; -1;1)
Vậy phương trình tham số của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Phương trình chính tắc của CN là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Do vecto u→ (-1;1; -1)là vecto chỉ phương của đường thẳng CN nên vecto v→ (-1; 1; -1) cũng là
vecto chỉ phương của đường thẳng CN.
=> Đường thẳng CN cũng có phương trình chính tắc là: Cách viết phương trình đường thẳng đi
qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu Chọn D Bài 7:
Đường thẳng OA đi qua hai điểm O và A nên có vectơ chỉ phương Cách viết phương trình đường
thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Vậy phương trình chính tắc của AB là: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu Chọn B Bài 8:
+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu => M( 1; 1; 1).
+ Tương tự do N là trung điểm của AC nên tọa độ N ( 3; 1; 1)
+ Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; 1) và có vecto chỉ phương Cách viết phương trình đường thẳng
đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu làm vecto chỉ phươn
=> Phương trình tham số của đường thẳng d: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đơn giản, dễ hiểu
Đường thẳng d không có phương trình chính tắc. Chọn A.