Cấp số nhân là gì? Công bội là gì? Công thức cấp số nhân và bài tập
1. Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?
- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số không đổi đó được gọi là công bội.
- Nếu (Un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
+ q > 1 => Cấp số nhân là dãy số tăng
+ q = 1 => Cấp số nhân là dãy số không đổi
+ 0 < q < 1 => Cấp số nhân là dãy số giảm
+ q = 0 => Cấp số nhân có dạng U1, 0, 0...
+ q < 0 => Cấp số nhân là dãy không tăng, không giảm
Ví dụ: Chứng minh rằng: dãy số hữu hạn sau là một sấp số nhân: Hướng dẫn giải
Vậy dãy số cho ở đề bài là cấp số nhân, q = -1/4 < 0
=> Dãy số này là dãy số không tăng, không giảm
2. Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân (Un) có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức:
Ví dụ: Cho cấp số nhân (Un) với U1 = 3, q = -1/2 a. Tính U2020
b. Hỏi -3/512 là số hạng thứ mấy? Hướng dẫn giải a. U2020 = U1 . q^2019 = 3 . (-1/2)^2019 b. Un = U1 . q^(n-1) ⇔ -3/512 = 3.(-1/2)^(n-1) ⇔ -1/512 = (-1/2)^(n-1) ⇔ (-1/2)^9 = (-1/2)^(n-1) => 9 = n -1 => n =10
Vậy số hạng thứ 10 là số -3/512
Ví dụ 2: Tế bào E coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20p lại phân đôi một lần.
a. Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?
b. Nếu có 10^5 tế bào sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? Hướng dẫn giải q=2
a. Sau lần phân bảo đầu tiền: U1 = 2 tế bào Sau 10 lần thì sẽ có:
U10 = U1 . q^9 = 2 . 2^9 = 1024 tế bào
b. 2 giờ = 120 phút => 6 lần
Sau 1 lần phân bào sẽ có: U1 = 2. 10^5 tế bào
Sau 6 lần phân bào sẽ có: U6 = u1. q^5 = 2. 10^5 . 2^5 = 2^6 . 10^5 tế bào
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
- Trong cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó. 5. Câu hỏi ôn tập
Câu 1. Cho dãy số: -1; 1; -1; 1; -1; ...Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân
B. Số hạng tổng quát Un = 1^n = 1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = -1, q = -1
D. Số hạng tổng quát un = (-1)^2n
Câu 2. Cho cấp số nhân Un với U1 = 3, q = -1/2. Số 222 là số hạng thứ mấy của Un? A. Số hạng thứ 11 B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9
D. Không là số hạng cua cấp số đã cho
Câu 3. Dãy số Un có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội? Biết Un = 2n? A. q = 3 B. q = 2 C. q = 4 D. q thuộc tập rỗng
Câu 4. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội: Un = 2^n A. q = 3 B. q = 2 C. q = 4 D. q thuộc tập rỗng
Câu 5. Mệnh đề nào dưới dây là sai?
A. dãy số 1; -2; 4; -8; 16; -32; 64 là một cấp số nhân
B. Dãy số 7; 0;0;0... là một cấp số nhân
C. Dãy số (Un): Un = n . 6^(n+1) là một cấp số nhân
D. Dãy số (Vn): (Vn) = (-1) . 3^2n là một cấp số nhân
Câu 6. Cho cấp số nhân (Un) với u1 = 3, q = -2. Số 192 là số hạng thứ mấy của (Un)? A. số hạng thứ 5 B. số hạng thứ 6 C. số hạng thứ 7
D. Không là số hạng của cấp số đã cho
Câu 7. Cho cấp số nhân (Un) với U1 = -1; q = -1/10. Số là số hạng thứ mấy của (Un)? A. Số hạng thứ 103 B. Số hạng thứ 104 C. Số hạng thứ 105
D. không là số hạng của cấp số đã cho
Câu 8. Xét xem dãy số sau đây có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội: Un = 3n -1 A. q = 3 B. q = 2 C. q = 4 D. q thuộc tập rỗng
Câu 9. Cho cấp số nhân (Un) có U1 = 3 và 15U1 - 4U2 + U3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13
của cấp số nhân đã cho? A. 12288 B. 49152 C. 24567 D. 3072
Câu 10. Tìm tất cả các gái trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân bệt lập thành
một cấp số nhân: x3 - 7x2 + 2(m2 + 60). -8 = 0 A. m = -7 B. m = 1 C. m = -1 hoặc m = 7 D. m = 1 hoặc m = -7
Câu 11. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là: A. 720 B. 81 C. 64 D. 56
Câu 12. Ba số x, y và z theo thứ tự lập hành một cấp số nhân với công bội q khác 1. Đồng thời, các
số x, 2y và 3z theo thứ tự lập thành một cấp số công với công sai khác 0. Tìm giá trị của q? A. q = 1/3 B. q=1/9 C. q=-1/3 D. q=-3
Câu 13. Cho cấp số nhân (Un) thỏa mãn:
a. Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên
b. Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên
c. Tim số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên
d. Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân Hướng dẫn giải
a. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có:
Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên, ta được q = 2 Suy ra:
Vậy, cấp số nhân có tổng số hạng đầu tiên là U1 = 3 và công bội q = 2
b. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
c. Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: U15 = 3 . 2^14 = 49152
d. Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:
Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.
Câu 14. Các số 5x-y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số lập thành cấp số nhân. Tìm x và y Hướng dẫn giải
Ta có các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng
⇔ 2(2x + 3y) = 5x - y + x + 2y ⇔ 4x + 6y = 6x + y ⇔ 2x = 5y
Các số lập thành cấp số nhân: Thay (1) vào (2) ta được:
Câu 15. Cho cấp số nhân (Un)
a. Un có số hạng tổng quát là: Un = Tính S15?
b. Un có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng tất cả các
số hạng của cấp số nhân. Hướng dẫn giải
a. Un có số hạng tổng quát là: Un = thì u1 = 2 và q = -3
Tổng 15 số hạng đầu tiền của cấp số nhân là:
b. Số hạng đầu tiên u1 = 18
Số hạng thứ hai u2 = 54 => u1 . q = 54 => q = 3 Số hạng cuối Un = 39366
Câu 16. Tính tổng sau: Hướng dẫn giải
Câu 17. Cho ba số a, b và c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: . Áp dụng và tìm ba số
liên tiếp của một cấp số nhân biết rằng tổng của chúng bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 189. Hướng dẫn giải
Từ giả thiết ba số a, b và c lập thành một cấp số nhân, ta được ac = b^2 Khi đó:
Áp dụng: Với ba số a, b và c lập thành một cấp số nhân, biết rằng a + b + c = 21 và , suy ra:
Vậy, ba số cần tìm là 3, 6, 12