CÂU HỎI, ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1

CÂU HỎI, ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
MÔN: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1
CÂU HỎI, ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
MÔN: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
CÂU HỎI VÀ BÀI TҰP CHѬƠNG 1 Bài 1.1 Cho tín hiệu tương tự ( ) t t t t x a
π π π 100 cos 300 sin 10 50 cos 3 − + =
Hãy xác định tốc độ lҩy mẫu Nyquist đối với tín hiệu này? Bài 1.2 Cho tín hiệu ( ) t t x a π 100 cos 3 =
a) Xác định tốc độ lҩy mẫu nhỏ nhҩt cҫn thiết để khôi phục tín hiệu ban đҫu.
b) Giả sử tín hiệu được lҩy mẫu tại tốc độ 200 = s
F Hz. Tín hiệu rời rạc nào sẽ có được sau lҩy mẫu? Bài 1.3
Tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị u(n) và dãy xung đơn vị ( ) n δ Bài 1.4
Tương tự bài trên tìm quan hệ biểu diễn dãy chữ nhật rect N
(n) theo dãy nhảy đơn vị u(n). Bài 1.5
Hãy biểu diễn dãy ( ) 1 n δ + Bài 1.6
Xác định x(n) = u(n-5)-u(n-2) Bài 1.7
Xác định n ng lượng cӫa chuỗi ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 3 0 2 1 2 n n n x n Bài 1.8
Hãy xác định n ng lượng cӫa tín hiệu ( ) n j Ae n x 0 ω = Bài 1.9
Xác định công suҩt trung bình cӫa tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) 2 Bài 1.10
Xác định công suҩt trung bình cӫa tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Bài 1.11
Hãy xác định công suҩt trung bình cӫa tín hiệu ( ) n j Ae n x 0 ω = Bài 1.12
áp ӭng xung và đҫu vào cӫa một hệ TTBB là: ( ) 1 n 1 2 n 0 h n 1 n 1 1 n 2 0 = − ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ − = ⎪ ≠ ⎪ ⎩ n ( ) 1 n 0 2 n 1 x n 3 n 2 1 n 3 0 = ⎧ ⎪ = ⎪ ⎪ = = ⎨ ⎪ = ⎪ ≠ ⎪ ⎩ n
Hãy xác định đáp ӭng ra y(n) cӫa hệ. Bài 1.13
Tương tự như bài trên hãy tính phép chập x 3 (n) = x 1 (n)*x 2 (n) với: a) x 1 (n) = 1 0 3 0 n n n ⎧ − ≥ ⎪ ⎨ ⎪ ≠ ⎩ ; x 2 (n) = rect 2 (n-1). b) x 1
(n) = ( ) 1 n δ + + ( ) 2 n δ − ; x 2 (n) = rect 3 (n). Bài 1.14
Cho HTTT bҩt biến có h(n) và x(n) như sau: ( ) 0 0 n a n h n n ⎧ ≥ = ⎨ ≠ ⎩ ( ) 0 0 n b n x n n ⎧ ≥ = ⎨ ≠ ⎩
0 < a < 1, 0 < b < 1, a ≠ b. Tìm tín hiệu ra (đáp ӭng ra)? Bài 1.15
Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: a) ( ) ( ) n nx n y = b) ( ) ( ) n x n y 2 = Bài 1.16
Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: a) ( ) ( ) 2 n x n y = b) ( ) ( ) B n Ax n y + = 3 Bài 1.17
Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không:
a) ( ) ( ) ( ) 1 − − = n x n x n y b) ( ) ( ) n ax n y = Bài 1.18
Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không:
a) ( ) ( ) ( ) 4 3 + + = n x n x n y ; b) ( ) ( ) 2 n x n y = ; c) ( ) ( ) n x n y 2 = ; d) ( ) ( ) n x n y − = Bài 1.19
Xét tính ổn định cӫa hệ thống có đáp ӭng xung h(n) = rect N (n). Bài 1.20
Xác định khoảng giá trị cӫa a và b để cho hệ TT BB có đáp ӭng xung ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 0 n b n a n h n n là ổn định. Bài 1.21.
Hãy tìm đáp ӭng xung h(n) cӫa một hệ thống số được cho bởi sơ đồ sau đây: x(n) ( ) 2 h n ( ) 3 h n y(n) ( ) 1 h n Bài 1.22
Cho một hệ thống tuyến tính bҩt biến được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 4
1 2 4 y n b x n b x n b x n b x n = + − + − + −
Hãy biểu diễn hệ thống đó. Bài 1.23
Hãy biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu ( ) ( ) n x n y 2 = , ở đây ( ) n x là tín hiệu được mô tả như sau:. 4 Bài 1.24
Hãy xác định nghiệm riêng cӫa phương trình sai phân. ( ) ) ( ) 2 ( ) 1 ( 6 1 6 5
n x n y n y n y + − − − =
khi hàm cưỡng bӭc đҫu vào ( ) 0 , 2 ≥ = n n x n
và bằng không với n khác. Bài 1.25
Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau
y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + x(n-2)
Với điều kiện đҫu y(-1) = y(-2) = 0 và x(n) = 5 n Bài 1.26 Cho x(n) = rect 3 (n)
Hãy xác định hàm tự tương quan R xx (n). Bài 1.27
Hãy cho biết cách nào sau đây biểu diễn tổng quát một tín hiệu rời rạc bҩt k x(n)? a) ( ) ( ) ( ) k x n x n n k δ +∞ =−∞ = − ∑ b) 0 ( ) ( ) ( ) k x n x k n k δ +∞ = = − ∑ c) ( ) ( ) ( ) k x n x k n k δ +∞ =−∞ = − ∑ d) ( ) ( ) ( ) k x n x n k n δ +∞ =−∞ = − ∑ Bài 1.28
Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ӭng xung h(n) nào sau đây là hệ thống nhân quả:
a) h(n) = u(n+1) b) h(n) = -u(n-1)
c) h(n) = -u(-n-1) d) h(n) = -u(n+1) Bài 1.29
Phép chập làm nhiệm vụ nào sau đây:
a) Phân tích một tín hiệu ở miền rời rạc b) Xác định đáp ӭng ra cӫa hệ thống -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n ( ) n x 4 5
c) Xác định công suҩt cӫa tín hiệu d) Xác định n ng lượng tín hiệu Bài 1.30
Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mô tả hệ thống rời rạc nào sau đây:
a) Hệ thống tuyến tính bҩt biến. b) Hệ thống tuyến tính.
c) Hệ thống ổn định. d) Hệ thống bҩt biến. ĐÁP ÁN CHѬƠNG I Bài 1.1.
Do 2. f ω π = , tín hiệu trên có các tҫn số thành phҫn sau: 25 1 = F Hz, 150 2 = F Hz, 50 3 = F Hz Như vậy, 150 max
= F Hz và theo định lý lҩy mẫu ta có: max 2 300 s F F ≥ = Hz
Tốc độ lҩy mẫu Nyquist là max 2 F F N = . Do đó, 300 = N F Hz. Bài 1.2
a) Tҫn số cӫa tín hiệu tương tự là 50 = F Hz. Vì thế, tốc độ lҩy mẫu tối thiểu cҫn thiết để
khôi phục tín hiệu, tránh hiện tượng chồng mẫu là 100 = s F Hz.
b) Nếu tín hiệu được lҩy mẫu tại 200 = s
F Hz thì tín hiệu rời rạc có dạng
( ) ( ) ( ) n n n x 2 cos 3 200 100 cos 3 π π = = Bài 1.3
Theo định ngh a dãy nhảy đơn vị u(n) và dãy xung đơn vị ( ) n δ ta có: ( ) ( ) n k u n k δ =−∞ = ∑ Bài 1.5 Ta có: ( ) 1 1 0 1 1 0 0 n n n n δ + = → = − ⎧ + = ⎨ ≠ ⎩ 1 -1 0 ( ) 1 n δ + n 1 -2 6 Bài 1.6
Ta xác định u(n-2) và u(n-5) sau đó thực hiện phép trừ thu được kết quả x(n) = u(n-5)-u(n-2) = rect 3 (n-2) 1 0 n 4 1 2 ( ) 3 ( ) 2 x n rect n = − 2 3 5 Bài 1.7 Theo định ngh a ( ) ( ) ( ) 24 35 8 9 3 4 1 2 3 1 4 1 1 2 0 2 2 1 2 1 1 1 3 = − + = + − = + = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = − −∞ = ∞ = ∞ −∞ = n n n n n n n n x E
Vì n ng lượng E là hữu hạn nên tín hiệu x(n) là tín hiệu n ng lượng. Bài 1.8
Đáp số: N ng lượng cӫa tín hiệu bằng vô hạn. Chú ý 0 2 2 2 0 0 [ os ( ) sin ( )] j n Ae A c n n A ω ω ω = + = Bài 1.9
Xác định công suҩt trung bình cӫa tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Giải Ta có: ( ) 2 1 1 2 1 1 lim 1 2 1 lim 1 2 1 lim 0 2 = + + = + + = + = ∞ → ∞ → = ∞ → ∑ N N N N n u N P N N N n N
Do đó, tín hiệu nhảy bậc đơn vị là một tín hiệu công suҩt. 7 Bài 1.10 Ta có: ( ) 2 1 1 2 1 1 lim 1 2 1 lim 1 2 1 lim 0 2 = + + = + + = + = ∞ → ∞ → = ∞ → ∑ N N N N n u N P N N N n N
Do đó, tín hiệu nhảy bậc đơn vị là một tín hiệu công suҩt. Bài 1.11 P= 2 1 lim 2 1 N N n N A N →∞ =− + ∑ =A 2 Bài 1.12
Ta sẽ thực hiện phép chập bằng đồ thị: đổi sang biến k, giữ nguyên x(k), lҩy đối xӭng h(k)
qua trục tung thu được h(-k), sau đó dịch chuyển h(-k) theo từng mẫu để tính lҫn lượt các giá trị
cӫa y(n) cụ thể như hình sau:
Dịch chuyển h(-k) ta có và tính tương tự ta có....y(-2)=0, y(-1)=1, y(0)=4, y(1)=8, y(2)=8,
y(3)=3....cuối cùng ta thu được kết quả: ( ) 0
, 0, 0,1, 4, 8, 8, 3, 2, 1, 0, 0, y n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = − − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ JJG … … Bài 1.14 Lҩy đối xӭng h(k) thu được h(-k) Nhân, cộng x(k) và h(-k) k 2 3 2 ( ) k h k -1 0 1 2 3 4 3 ( ) k x -2 -1 0 1 2 k 2 3 2 ( ) k h − y(0) = 1.2 + 2.1 = 4 -1 0 1 2 3 4 8
Nhận xét: Hệ thống nhân quả h(n) và x(n) đều nhân quả ( ) ( ) 1 0 0 . n n k k n k n k k y n b a a b a − − = = = = ∑ ∑ Có dạng: 1 0 1 1 n n k k x x x + = − = − ∑ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 . 0 1 . 0 0 n n b a a n y n b a n + − − ⎧ − ⎪ ≥ ⎪ = ⎨ − ⎪ < ⎪ ⎩ Bài 1.15 a)
i với các chuỗi xung đҫu vào ( ) n x 1 và ( ) n x 2
, tín hiệu ra tương ӭng là: ( ) ( ) n nx n y 1 1 = ( ) ( ) n nx n y 2 2 =
Liên hợp tuyến tính hai tín hiệu vào sẽ sinh ra một tín hiệu ra là: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) n nx a n nx a
n x a n x a n n x a n x a H n y 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 3 + = + = + =
Trong khi đó liên hợp hai tín hiệu ra y 1 y 2 tạo nên tín hiệu ra:
( ) ( ) ( ) ( ) n nx a n nx a n y a n y a 2 2 1 1 2 2 1 1 + = +
So sánh 2 phương trình ta suy ra hệ là tuyến tính. b)
u ra cӫa hệ là bình phương cӫa đҫu vào, (Các thiết bị điện thường có qui luật như thế
và gọi là thiết bị bậc 2).
áp ӭng cӫa hệ đối với hai tín hiệu vào riêng rẽ là: ( ) ( ) n x n y 2 1 1 = ( ) ( ) n x n y 2 2 2 =
áp ӭng cӫa hệ với liên hợp tuyến tính hai tín hiệu là: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) n x a n x n x a a n x a n x a n x a n x a n x a H n y 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 3 2 + + + = + = + =
Ngược lại, nếu hệ tuyến tính, nó sẽ tạo ra liên hợp tuyến tính từ hai tín hiệu, tӭc là:
( ) ( ) ( ) ( ) n x a n x a n y a n y a 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 + = +
Vì tín hiệu ra cӫa hệ như đã cho không bằng nhau nên hệ là không tuyến tính. Bài 1.16 9 a) Hệ tuyến tính b) Hệ không tuyến tính. Bài 1.17
Các hệ thuộc phҫn a), b) rõ ràng là nhân quả vì đҫu ra chỉ phụ thuộc hiện tại và quá khӭ cӫa đҫu vào. Bài 1.18
Các hệ ở phҫn a), b) và c) là không nhân quả vì đҫu ra phụ thuộc cả vào giá trị tương lai cӫa
đҫu vào. Hệ d) c ng không nhân quả vì nếu lựa chọn 1 − = n thì ( ) ( ) 1 1 x y = − . Như vậy đҫu ra taị
1 − = n , nó nằm cách hai đơn vị thời gian về phía tương lai. Bài 1.19 ( ) 1 1 n S h n N ∞ =−∞ = = ∑ 1 0 ( 1 ) N n N − = = = ∑ → Hệ ổn định Bài 1.20
Hệ này không phải là nhân quả. iều kiện ổn định là : ∑ ∑ ∑ ∞ = − −∞ = ∞ −∞ = + = 0 1 ) ( n n n n n b a n h
Ta xác định được rằng tổng thӭ nhҩt là hội tụ với 1 < a , tổng thӭ hai có thể được biến đổi như sau: ( ) β β β β β − = + + + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = = ∑ ∑ ∞ = − −∞ = 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 … … b b b b b n n n n
ở đây b 1 = β phải nhỏ hơn đơn vị để chuỗi hội tụ . Bởi vậy, hệ là ổn định nếu cả 1 < a
và 1 > b đều thoả mãn. Bài 1.21.