Chứng minh c ng thức NEWTON LEIBNIZ
Trước hết ,t i sẽ nŒu ra một số định l ,t nh chất cần dùng để chứng minh,đồng thời sẽ nhắc lại định
nghĩa tích phân xác định sao cho phø hợp với kiến thức của học sinh cấp 3
Ta đi vào định nghĩa tích phân xác định
Cho h m số f(x) liŒn tục trŒn [ ] .Ta giả sử rằng trên đoạn này thì đồ thị sẽ nằm ph a trŒn trục ho nh .
Vậy c u hỏi đặt ra ở đây là làm thế nào để t ch diện t ch của miền tạo bởi y=f(x) ,x=a,x=b v trục ho nh?
Trước hết ,trên đoạn [ ],ta sẽ chia đoạn này thành n đoạn con(n ,trong đó mỗi đoạn con có độ
d i l ,khi đó ,ta sẽ có các điểm chia chạy từ a đến b .Gọi các điểm chia n y l (i 0 ) v thỏa mãn điều kiện =a+ i
Qua các điểm chia ,ta kẻ đường thẳng vu ng g c với trục ho nh ,lœc n y sẽ tạo ra cÆc h nh chữ nhật c
chiểu rộng l v chiều d i l f( ).Gọi diện t ch miền cần tính là S.Khi đó S sẽ xấp xỉ tổng diện t
ch cÆc h nh chữ nhật,tức l : ) S (
Mặt khác,khi ta chia thành đoạn c ng nhỏ(tức n tiến ra dương vô cùng) thì các hình chữ nhật sẽ được coi
gần như là đoạn thẳng,tức l miền cần t nh diện tích khi đó sẽ được phủ kín,đồng nghĩa với việc tổng
diện t ch cÆc h nh chữ nhật sẽ bằng diện t ch của hình ban đầu.Do đó ta có: )) S=
Nếu giới hạn n y tồn tại th ta gọi n l t ch ph n cận từ a đến b của f(x) ,k hiệu l T
nh chất của tích phân xác định 1. dx =0 2. dx = - dx
3. dx + dx = dx ( c nằm giữa a v b) 4 . k dx = dx (k 0)
CÆc t nh chất 1,2,4 th bạn đọc dễ d ng chứng minh được bằng cÆch dựa v o định nghĩa,tính chất 3 th
t i sẽ chứng minh ở cuối b i sau khi chứng minh xong c ng thức newton Leibniz Trước khi đi vào công
thức newton Leibniz ,ta sẽ nhắc đến định l sau :
Cho f(x) liŒn tục trên đoạn [ ].Khi đó tồn tại c thuộc vào đoạn n y sao cho f’(c) = (định l lagrange) C ng thức newton Leibniz:
Cho f(x) liŒn tục trŒn [ ].giả sử F(x) l nguyŒn h m của f(x).Khi đó ta có dx = F(b)-F(a) Chứng minh
Trước hết,ta chia đoạn này thành n đoạn con có độ d i bằng nhau,trong đó điểm chia thỏa mªn =a+
Theo định nghĩa tích phân xác định ,ta c dx = ∑
Do f(x) liŒn tục trên đoạn [ ] nŒn n liŒn tục trên các đoạn con. Theo định l
lagrange th tồn tại ( sao cho f( )=
Do n +∞ nŒn độ dài đoạn [ ] tiến dần về 0 .Do đó f( ) f( ).Dẫn đến : dx = ∑ = F(b)-F(a) đpcm Chứng minh t nh chất 3 dx =F(c)- F(a) dx= F(b)-F(c) Do đó
dx + dx = F(c) – F(a) + F(b)-F(c)=F(b)- F(a)= dx