Chứng minh ma trận suy biến và ma trận khả nghịch | Toán Cao Cấp | Trường Đại học Thủy Lợi

BIẾN VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ề)

Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................

Câu 1 [Q884749782] Cho A_,B là các ma trận vuông cấp khả nghịch. Chứng minh rằng nếu n _{A + B} khả nghịch thì ^{−1 −1} cũng khả nghịch.

A + B

Câu 2 [Q775191769] Chứng minh rằng ma trận A vuông cấp n thoả mãn

^{k k−1}

akA + a_k−1A +...+a₁A + a₀E = 0(a₀ ≠ 0) thì ma trận khả nghịch và tìm ma trận nghịch ảo của nóA .

Câu 3 [Q463902904] Cho A_,B là các ma trận thực vuông cấp khác nhau và thoả mãn iều kiện n _A³ _{= B}³ và ^{2 2} Chứng minh rằng ma trận ^{2 2} suy biến.

A B = BA . A + B Câu 4 [Q420078489] Cho là ma trận vuông. Điều kiện ể A _A là ma trận ối xứng là A^′ _{= A;} iều kiện ể A là ma trận phản ối xứng là A^′ _{= −A.} Chứng minh rằng: a) Mọi ma trận phản ối xứng cấp lẻ ều suy biến.

1. Mọi ma trận vuông cấp lẻ thì A _{A − A}^′ suy biến.
2. Mọi ma trận vuông ều có thể phân tích thành tổng của một ma trận ối xứng và một ma trận phản ối xứng cùng cấp.
3. Nếu là ma trận phản ối xứng cấp lẻ thì A _{E − A} khả nghịch.
4. Mọi giá trị riêng của ma trận thực ối xứng ều là các số thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực phản ối xứng ều bằng 0 hoặc thuần ảo.

Câu 5 [Q274670397] Cho ma trận A vuông cấp thoả mãn n _2A³ _{− A = E.} Chứng minh rằng ma trận E _{+ 2A} khả nghịch và tìm ma trận nghịch ảo của nó.

Câu 6 [Q577023277] Cho A_,B là hai ma trận vuông cấp n _{≥ 2} thoả mãn A_{B + A + B = O.} Chứng minh rằng nếu A khả nghịch thì B khả nghịch.

Câu 7 [Q134708130] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A_{B + 2019A + 2020B = O.} Chứng minh

rằng các ma trận ^{A + 2020E} và ^{B + 2019E} khả nghịch.

Câu 8 [Q994907066] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp, có cấp là số lẻ thoả mãn A_{B = O.} Chứng minh rằng ít nhất một trong hai ma trận A _{+ A}^′ và B _{+ B}^′ suy biến.

Câu 9 [Q520644347] Cho A = (aij)n×n với aij = −1,∀i = j;aij ∈ {0,2019},∀i ≠ j. Chứng minh rằng ma trận A khả nghịch.

Câu 10 [Q348005830] Cho A_,B là hai ma trận vuông cấp thoả mãn n _A²⁰¹⁹ _{= O} và B_{(A − E) = A + 3E.} Chứng minh rằng ma trận B khả nghịch.

Câu 11 [Q366962072] Cho A_,B là hai ma trận vuông cấp thoả mãn n _A²⁰¹⁹ _{= O} và A _{+ 2019B = AB.} Chứng minh rằng ma trận B suy biến.

Câu 12 [Q273522021] Cho là ma trận vuông cấp A _n. Chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên m sao cho A^m _{= O} thì các ma trận E _{− A} và E _{+ A} khả nghịch.

Câu 13 [Q206185077] Cho A_,B là hai ma trận vuông cấp thoả mãn n _{AB = BA} và tồn tại các số nguyên dương ^m,p sao cho ^{Am = O,Bp = O.} Chứng minh rằng các ma trận ^{E − A − B} và ^{E + A + B} khả nghịch. Câu 14 [Q755163710] Cho A_,B là hai ma trận vuông thực cấp 2019 thoả mãn:

det(A) = det(A + B) = det(A + 2B) =...= det(A + 2019B) = 0.

Chứng minh rằng với mọi x,y ∈ R ta có det(xA + yB) = 0.

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI

Câu 15 [Q772233037] Cho ma trận A vuông cấp n_. Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương m thoả mãn ^m thì ma trận khả nghịch.

(A + E) = O A

Câu 16 [Q035411977] Cho ma trận vuông cấp thoả mãn A _{n A}²⁰¹⁹ _{= 2019A.} Chứng minh rằng ma trận A _{− E} khả nghịch.

Câu 17 [Q657564177] Cho hai ma trận A_,B vuông cùng cấp sao cho n _{E + AB} khả nghịch. Chứng minh rằng

^{E − BA} khả nghịch.

n

Câu 18 [Q144505346] Cho ma trận A = (aij)n×n với 0 ≤ aij < 1 và 0 < ∑ aij < 1,∀i,j = 1,2,...,n. Chứng i=1 minh rằng ma trận E _{− A} khả nghịch.

Câu 19 [Q734345863] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A²⁰¹⁹ _{= 0,AB = A + B.} Chứng minh rằng det(B) = 0.

Câu 20 [Q467231313] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn B²⁰²⁰ _{= 0,AB = 2A + 3B.} Chứng minh rằng det(A) = 0.

Câu 21 [Q637018104] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn B^k _{= 0,AB = A + B,(k ∈ N}^∗_). Chứng minh rằng det(A + B) = det(A).

Câu 22 [Q383488013] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A²⁰⁰⁸ _{= E,B}²⁰⁰⁹ _{= 0} và

^{AB + 4A + 2009B = 0.} Chứng minh rằng ^{(A + B)} là ma trận không suy biến.

Câu 23 [Q386315904] Cho A_,B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn A¹⁹⁹⁹ _{= E,B}²⁰⁰⁰ _{= E} và A_{B = BA.} Chứng minh rằng (_{A + B + E)} là ma trận không suy biến.

Câu 24 [Q681868868] Cho ma trận A vuông cấp thoả mãn n _A³ _{+ 13A}² _{+ 36A − 3E = 0.} Chứng minh rằng ma

trận X _{= A + 9E} khả nghịch và tìm ma trận nghịch ảo X⁻¹ của nó theo A_.

HƯỚNG DẪN

Câu 1 Có A(A−1 + B−1)B = AA−1B + AB−1B = EB + AE = B + A.

Do ó det(B + A) = det(A(A−1 + B−1)B) = det(A)det(A−1 + B−1)det(B).

Do det(A) ≠ 0;det(B) ≠ 0;det(A + B) ≠ 0 ⇒ det(A−1 + B−1) ≠ 0.Ta có iều phải chứng minh.

Câu 2 Có k k k−1 k−1 1 0 ^a k−1 ^ak−1 k−2 ^a1 a A + a A +...+a A = −a E ⇔ A(−A −...− E) = E. 0

A

−

k

a

0

a

0

k

−

2

a

k

−

1

a

Điều ó chứng tỏ ma trận khả nghịch và ^{−1 ak k−1 a1}

A A = − A − A −...− E. a0 a0 a0

Câu 3 Có (A2 + B2)(A + B) = A3 + A2B + B2A + B3 = 2A3 + 2B2A = 2(A2 + B2)A.

Giả sử ^{det(A B2) ≠ 0} khi ó ^{A + B = 2A ⇔ A = B} (mâu thuẫn với giả thiết).

2

+

Vậy det(A2 + B2) = 0.

Câu 5 Có (E + 2A)(aA2 + bA + cE) = 2aA3 + (a + 2b)A2 + (b + 2c)A + cE.

a = 1

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎧2a = 2 ⎪

⎪ 1

Ta sẽ chọn sao cho ^{3 2 3 b = −}

2

1

a,b,c 2aA + (a + 2b)A + (b + 2c)A = 2A − A ⇔ ⎨ ⇔ ⎨.

1. + 2b = 0

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

1. + 2c = −1

⎪

⎪

⎩

1. = −

4

Vậy ² 1 1 ³ 1 1 3

(E + 2A)(A − A − E) = 2A − A − E = E − E = E

2 4 4 4 4

4 2 2 1

⇔ (E + 2A)( A − A − E) = E.

3 3 3

Điều ó chứng tỏ ma trận khả nghịch và có ma trận nghịch ảo là ^{−1 4 2 2 1}

E + 2A A = A − A − E.

3 3 3

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI

Câu 6 Có biến ổi từ giả thiết có A⁻¹ như sau:

−1 −1 −1 −1

AB + A + B = O ⇒ A (AB + A + B) = O ⇔ A AB + A A + A B = O −1 −1 −1

⇔ B + E + A B = O ⇔ B(E + A ) = −E ⇒ det(B)det(E + A ) = det(−E).

Do ó det(B) ≠ 0;det(E + A−1) ≠ 0. Ta có iều phải chứng minh.

Câu 7 Có AB + 2019A + 2020B = O ⇔ (A + 2020E)(B + 2019E) = 2019.2020E.

Do ó det(A + 2020E).det(B + 2019E) = det(2019.2020E).

Suy ra det(A + 2020E) ≠ 0;det(B + 2019E) ≠ 0. Ta có iều phải chứng minh.

Câu 9 Theo ịnh nghĩa về ịnh thức có: ^{det(A) − (−1)n} chia hết cho ²⁰¹⁹ do ó ^{det(A) ≠ 0.}

Câu 10 Có B(A − E) = A + 3E ⇒ det(B)det(A − E) = det(A + 3E).

Ta cần chứng minh det(A − E) ≠ 0;det(A + 3E) ≠ 0.

Theo giả thiết có:

2019 2019 2019 2018 2017 2017 2018

−E = −E = A − E = (A − E)(A + EA +...+E A + E ).

Lấy ịnh thức hai vế có ^{det(A − E) ≠ 0.}

Tương tự có (3E)2019 = A2019 + (3E)2019 = (A + 3E)(A2018 − 3EA2017+...+(3E)2018).

Lấy ịnh thức hai vế có det(A + 3E) ≠ 0.

Câu 11 Có A2019 = O ⇒ (det(A))2019 = 0 ⇔ det(A) = 0.

Biến ổi 2019B = AB − A = A(B − E) ⇒ 2019n det(B) = det(A)det(B − E) = 0 ⇔ det(B) = 0.

Câu 12 Có E = Em = Em + Am = (E + A)(Em−1 − Em−2A+...+Am−1).

Lấy ịnh thức hai vế có ^{det(E + A) ≠ 0.}

Vì Am = 0 ⇒ A2m+1 = 0 ⇒ E = E2m+1 = E2m+1 − A2m+1 = (E − A)(E2m + E2m−1A+...+A2m).

Lấy ịnh thức hai vế có ^{det(E − A) ≠ 0.}

m+p

Câu 13 Có AB = BA nên (A + B)m+p = ∑ Cmk +pAm+p−kBk = O. k=1

Do ó theo câu 12 có ngay iều phải chứng minh.

Câu 14 Ta có P(t) = det(A + tB) là a thức bậc 2019 mà theo giả thiết có P(0) = P(1) =...= P(2019) = 0. Do

ó P_(t) là a thức bậc 2019 có 2020 nghiệm vì vậy P_{(t) = 0,∀t.}

Đặt Q(t) = det(tA + B) = t2019 det(A B) = t2019P t ≠ 0 ⇒ Q(t) = 0,∀t.

Nếu x = 0 ⇒ det(xA + yB) = det(yB) = y2019 det(B) = y2019Q(0) = 0.

Nếu x ≠ 0 ⇒ det(xA + yB) = x2019 det(A + xy B) = x2019P ( xy ) = 0.

Vậy với mọi x,y ∈ R ta có det(xA + yB) = 0.

Câu 16 Biến ổi giả thiết:

2019 2019 2019

A − 2019A = O ⇔ (A − E ) − 2019(A − E) = 2018E 2018 2017

⇔ (A − E)(A + A +...+A + E − 2019E) = 2018E 2018 2017

⇔ (A − E)(A + A +...+A − 2018E) = 2018E.

Lấy ịnh thức hai vế có ^{det(A − E) ≠ 0.}

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI

Câu 17 Theo bất ẳng thức về hạng của ma trận ta có:

r((E − BA)(E + AB)) + n ⩾ r(E + AB) + r(E − BA) = n + r(E − BA)

{ .

r((E − BA)(E + AB)) ⩽ r(E − BA)

Vậy r((E − BA)(E + BA)) = r(E − BA). Điều ó chứng tỏ E − BA khả nghịch.

x1

⎛ ⎞

Câu 18 Giả sử ngược lại ^x2 sao cho

⎜ ^⎟

det(E − A) = 0 ⇒ ∃X = ≠ 0 (E − A)X = 0.

⎜ ⎟

⎜ ⎟

...

⎝ ⎠ xn

Giả sử ^|x_k^{| = max{|x}_i^{|,i = 1,2,...,n} > 0.} Xét phương trình thứ của hệ phương trình thuần nhất trên có^k :

−E = 0 − E = A − E = (A − E)(A + EA +......+E A + E ) .

Lấy ịnh thức hai vế có

2018 2017 2017 2018 Kết hợp với

det(A − E)det(A + EA +......+E A + E ) = det(−E) ≠ 0 ⇒ det(A − E) ≠ 0.

(*) có det(B) = 0.

Câu 20 Có B2020 = 0 ⇒ det(B) = 0.

Biến ổi

n

2A = AB − 3B = (A − 3E)B ⇒ det(2A) = det(A − 3E)det(B) = 0 ⇒ 2 det(A) = 0 ⇒ det(A) = 0.

Câu 21 Có Bk = 0 ⇒ (detB)k = 0 ⇔ detB = 0.

Suy ra det(A + B) = det(AB) = detA.detB = 0.

Mặt khác AB = A + B ⇔ A(B − E) = B ⇒ det(A)det(B − E) = det(B) = 0(∗).

Mặt khác −E = 0 − Ek = Bk − Ek = (B − E)(Bk−1 + EBk−2+...+Ek−1).

Lấy ịnh thức hai vế có det(B − E)det(Bk−1 + EBk−2+...+Ek−1) = det(−E) ≠ 0 ⇒ det(B − E) ≠ 0. Kết

hợp với (*) có det(A) = 0.

Vậy det(A + B) = det(A) = 0.

Câu 24 Xét phép nhân ma trận (A + 9E)(aA2 + bA + cE) = aA3 + (9a + b)A2 + (9b + c)A + 9cE

a = 1 a = 1

⎧ ⎧

Ta tìm a,b,c sao cho aA3 + (9a + b)A2 + (9b + c)A = A3 + 13A2 + 36A ⇔ ⎨9a + b = 13 ⇔ ⎨ b = 4 (mục

⎩ ⎩

9b + c = 36 c = 0 ích ể dùng ược giả thiết bài cho)

1. 3 2 1 2 4 −1 1 2 4

⇒ (A + 9E)(A + 4A) = A + 13A + 36A = 3E ⇔ (A + 9E)( A + A) = E ⇒ (A + 9E) = A + A.

1. 3 3 3

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI