Chương 2: Các dạng tín hiệu trong hệ thống thông tin vô tuyến số môn Kỹ thuật thông tin vô tuyến | Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông

lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng Chương 2
DẠNG TÍN HIỆU TRONG HỆ THỐNG THÔNG TIN VÔ TUYẾN SỐ
2.1. GIỚI THIỆU CHUNG
2.1.1. Các chủ đề được trình bầy trong chương
• Các dạng hàm tín hiệu
• Hàm tương quan và mật độ phổ công suất
• Các kiểu tín hiệu ngẫu nhiên
• Các tín hiệu nhị phân băng gốc và băng thông
• Ảnh hưởng của hạn chế băng thông và định lý Nyquist
• Ảnh hưởng của đặc tính đường truyền 2.1.2. Hướng dẫn
• Học kỹ các tư liệu đựơc trình bầy trong chương
• Tham khảo thêm [1],[2], [3], [8]
2.1.3. Mục đích chương
• Hiểu được cách sử dụng các hàm để biểu diễn tín hiệu trong truyền dẫn vô tuyến số
• Hiểu được ảnh hưởng của kênh truyền lên chất lượng truyền dẫn vô tuyến số
2.2. CÁC DẠNG HÀM TÍN HIỆU
Các hàm tín hiệu có thể chia thành các lọai hàm trên cơ sở sau:
1) thay đổi các giá trị theo thời gian
2) mức độ có thể mô tả hoặc dự đoán tính cách của hàm
3) thời gian tồn tại hàm
4) các hàm có kiểu năng lượng hay kiểu công suất
Loại một được chia thành các hàm sau:
• Tương tự: là môt hàm liên tục nhận các giá trị dương, không hoặc âm.
Thay đổi xẩy ra từ từ và tốc độ thay đổi hữu hạn.
• Số: là môt hàm nhận một tập hữu hạn các giá trị dương, không hay âm.
Thay đổi giá trị tức thì và tốc độ thay đổi vô hạn ở thời điểm thay đổi, còn
ở các thời điểm khác bằng không. Hàm số thường được sử dụng trong
viễn thông là hàm nhị phận: chỉ có hai trạng thái: 1 và 0. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Loại hai được chia theo mức độ rõ ràng thể hiện tính cách của hàm:
• Tất định: ở mọi thời điểm hàm tất định thể hiện giá trị (gồm cả không)
liên quan đến các thời điểm lân cận ở mức độ rõ ràng để có thể biểu diễn
giá trị này một cách chính xác.
• Xác suất: hàm có giá trị tương lai được mô tả ở các thuật ngữ thống kê.
Đối với hàm này, khi ta biết trước một tập gía trị của nó trong quá khứ, ta
vẫn không thể biết chắc chắn giá trị của nó ở một thời điểm nhất định
trong tương lai cũng như cho trước một giá trị nào đó ta không thể nói
chắc chắn thời điểm tương lai sẽ xẩy ra giá trị này. Các giá trị tương lai
chỉ được ước tính bằng thống kê liên quan đến các giá trị quá khứ và với
giả thiết rằng tính cách tương lai của nó có liên hệ với quá khứ. Một nhóm
quan trọng của các hàm xác suất là các hàm ngẫu nhiên.
• Ngẫu nhiên: là hàm xác suất có các giá trị giới hạn ở một dải cho trước.
Trong một khoảng thời gian dài mỗi giá trị trong dải này sẽ xẩy ra với tần
suất như các giá trị khác.
Loại ba được phân chia theo thời gian tồn tại của hàm:
• Quá độ: hàm chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian hữu hạn
• Vô tận: hàm tồn tại ở mọi thời điểm. Để mô tả hoạt động của một hệ
thống thông tin trong trạng thái ổn định. Một nhóm của hàm này là hàm tuần hoàn.
• Tuần hoàn: hàm vô tận có các giá trị được lặp ở các khoảng quy định.
Loại bốn được phân chia thành hàm kiểu năng lượng và kiểu công suất:
Để tiện xét các hàm này ta sẽ coi rằng hàm s(t) được đo bằng các đơn vị
tín hiệu (dòng điện hoặc điện áp) ở điện trở 1 , công suất được đo bằng Watt
còn năng lượng bằng Joule.
• Hàm kiểu năng lượng: Hàm tín hiệu xác định s(t) được coi là một hàm
tín hiệu kiểu năng lượng nếu năng lượng của nó hữu hạn, nghĩa là: (2.1)
• Hàm kiểu công suất: hàm tín hiệu s(t) được gọi là hàm tín hiệu công suất
nếu năng lượng của nó vô hạn nhưng công suất trung bình hữu hạn, nghĩa là: (2.2)
Như vậy hàm tín hiệu kiểu năng lượng sẽ có công suất bằng không.
Đối với tín hiệu tuần hoàn sp(t), việc lấy trung bình trên một chu kỳ (T1) cũng
giống như lấy trung bình trên toàn bộ thời gian nên: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng (2.3)
Lưu ý rằng mọi tín hiệu tuần hoàn đều là tín hiệu công suất. Chẳng hạn
tín hiệu U(t)-U(t-10) trong đó U(t)=0 khi t<0 và U(t)=1 khi t≥0 và e-2tU(t) là tín
hiệu năng lượng. Các sóng hàm sin, chữ nhật và các tín hiệu không đổi là các tín
hiệu công suất. Một số tín hiệu như etU(t) và tU(t) không phải là tín hiệu năng
lượng cũng như tín hiệu công suất.
2.3. HÀM TỰ TƯƠNG QUAN VÀ MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT
Đối với một tín hiệu tất định kiểu công suất s(t), hàm tự tương quan (ACF:
Autocorrelation Function) chuẩn hóa được xác định như sau: (2.4)
trong đó s*(t) ký hiệu cho phiên bản phức liên hợp của s(t)
Về ý nghĩa hàm tự tương quan đánh giá mức độ giống nhau giữa tín hiệu và phiên
bản dịch thời gian của chính nó: t+ . Nếu s(t) là một thực thì biểu thức dưới tích
phân trong phương trình (2.4) đựơc thay bằng s(t)s(t+ ). Mục đích của ta là xét
tín hiệu thực tế vì thế tín hiệu giá trị thực được sử dụng. Nếu s(t) là một hàm tuần
hoàn có chu kỳ là T thì ta có thể thực hiện lấy trung bình phương trình (2.4) trên một chu kỳ, ta được: (2.5)
trong đó là một hằng số bất kỳ. Lưu ý rằng hàm (t) trong phương trình trên
cũng là một hàm tuần hoàn.
Mật đổ phổ công suất (PSD:Power spectral Density) của s(t) được định
nghĩa như biến đổi Fourier của hàm tự tương quan như sau: (2.6)
Vì thế hàm tự tương quan của biến đổi Fourier ngược của PSD sẽ là: (2.7)
Cặp phương trình (2.6) và (2.7) được gọi là tương quan Wiener-Khichine. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
PSD cho ta biết công suất trung bình của tín hiệu ở vùng tần số. Công suất
của một băng tần được xác định bởi diện tích của PSD ở băng tần này. Chẳng
hạn công suất trung bình trong băng tần từ f1 đến f2 là:
(trong vùng tần số được trình bầy cho cả giá trị dương lẫn âm).
Nếu s(t) là một hàm tuần hoàn có chu kỳ T, thì (f) chỉ chứa các hàm xung ,
kim (Dirac) ở các tần số 0,
, …, nghĩa là công suất trung bình chỉ xuất
hiện tại các thành phần một chiều và các thành phần hài.
Công suất trung bình của một tín hiệu bằng giá trị trung bình hàm tự tương
quan của tín hiệu này tại =0. Cũng có thể nhận được công suất này bằng cách lấy tích phân PSD: (2.8)
Đối với các tín hiệu năng lượng tất định ta có thể định nghĩa hàm tự tương quan như sau: (2.9)
Bình phương biến đổi Fourier của tín hiệu s(t) được gọi là mật độ phổ
năng lượng (ESD: Energy spectral density) và được ký hiệu là |S(f)|2, trong đó
S(f) là biến đổi Fourier của s(t). Biến đổi Fourier của hàm tự tương quan
cũng là mật độ phổ năng lượng của tín hiệu s(t). Mật độ phổ
năng lượng cho ta biết năng lượng của một tín hiệu được phân bố ở vùng tần số
như thế nào. Năng lượng của một tín hiệu bằng tích phân của mật độ phổ năng lượng: (2.10)
2.4. CÁC TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN
Một tín hiệu ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) X(t) là tập hợp các biến
ngẫu nhiên được đánh chỉ số theo t. Nếu ta cố định t, chẳng hạn t=t1, thì X(t1)
chính là một biến ngẫu nhiên. Sự thể hiện thống kê của các biến ngẫu nhiên có
thể được trình bầy bằng hàm mật độ xác suất (pdf: Probability density function)
liên hợp của chúng và sự thể hiện của một quá trình ngẫu nhiên có thể được trình
bầy bằng các hàm mật độ xác suất (pdf: Probability Density Function) liên hợp lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
tại các thời điểm khác nhau. Tuy nhiên trong thực tế ta không cần biết pdf liên
hợp mà chỉ cần biết thống kê bậc 1 (trung bình) và thống kê bậc 2 (hàm tự tương quan) là đủ.
Trung bình của một quá trình ngẫu nhiên X(t) là kỳ vọng (trung bình tập hợp) của X(t): (2.11)
trong đó pX(t)(x) là pdf của X(t) tại thời điểm t.
Có thể định nghĩa hàm tự tương quan của một tín hiệu ngẫu nhiên giống
như trường hợp của một tín hiệu được xác định ở phần trước nếu thay thế lấy
trung bình bằng kỳ vọng. Khi này hàm tự tương quan cuả một quá trình ngẫu nhiên sẽ là: X(t,t+ )=E[X(t)X(t+ )] (2.12)
trong đó E[.] biểu thị kỳ vọng và pX(t)X(t+ )(x1,x2) là pdf liên hợp của X(t) và X(t+ ).
Nếu trung bình X(t) và hàm tự tương quan X(t,t+ ) không phụ thuộc thời
gian thì ta nói rằng X(t) là một quá trình dừng nghĩa rộng (WSS: Wide sense
stationary). Trong trường hợp này ta có thể bỏ qua biến ngẫu nhiên t và sử dụng X( ) cho hàm ngẫu nhiên.
Đối với quá trình WSS, PSD (ký hiệu là X(f)) được xác định như là biến đổi
Fourier cuả X( ) theo Winner- Khichine, nghĩa là: (2.13) (2.14)
và công suất trung bình là: (2.15)
Đối với một tín hiệu có thành phần một chiều và các thành phần tuần hoàn
thì PSD có hàm Dirac tại tần số không (một chiều) và các tần số tương ứng với
các thành phần tuần hoàn. Hàm Dirac hay hàm xung kim đơn vị tại thời điểm t0
có thể được xác định theo hai điều kiên sau: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng (t-t0)=0, nếu t t0 và nếu a(2.16)
Lưu ý rằng biến đổi Fourier A (t-t0) là Ae-2 fto và biến đổi Fourier A là
A (t). Đê làm thí dụ ta xét PSD chứa các hàm Dirac sau đây:
X(f)=e-|f|+0,2. (f)+0,3 (f-fc)+0,3 (f+fc), W/Hz
Giá trị trung bình thành phần một chiều của X(t) là diện tích của hàm
Dirac tại tần số f=0 là 0,2W. Công suất trung bình cuả các thành phần fc là
2 0,3=0,6W. Thành phần e-|f| tương ứng với thành phần không tuần hoàn của X(t).
Công suất tổng trung bình là: 0,2+0,6+ =2,8W
2.5. CÁC TÍN HIỆU NHỊ PHÂN BĂNG GỐC
Luồng số cần truyền trong các đường truyền dẫn cuả mạng viễn thông
thường được trình bầy ở dạng nhị phân (hay cơ hai) bằng chuỗi nhị phân nhận
hai giá trị A và -A. Đây là chuỗi bit ngẫu nhiên với xác suất xuất hiện bit A và -
A là bằng nhau và bằng 1/2. Chuỗi bit này được gọi là chuỗi nhị phân ngẫu nhiên
băng gốc. Để truyền được vào không gian chuỗi nhị phân băng gốc phải đựơc
điều chế. Tín hiệu nhị phân sau điều chế đựơc gọi là tín hiệu nhị phân băng thông.
Ta có thể biểu diễn tín hiệu nhị phân ngẫu nhiên băng gốc ở dạng sau: (2.17)
trong đó T là độ rộng một bit, Ak là các biến độc lập được phân bố đồng dạng
(i.i.d: indipendent identically distributed) nhận các giá trị A và có xác suất như
nhau (bằng 1/2), là một biến ngẫu nhiên được phân bố đều từ 0 đến T.
Biến ngẫu nhiên này làm cho tín hiệu ngẫu nhiên X(t) trở thành WSS. pT(t)
là hàm xung chữ nhật đơn vị đựơc xác định như sau: (2.18)
Biến đổi Fourier của pT(t) là TSinc(fT).e-j fT trong đó Sinc(x)= sin( x)/( x).
Lưu ý rằng diện tích dưới hàm Sinc(x) cũng như diện tích dưới hàm
Sinc2(x) đều bằng một, nghĩa là: (2.19) lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Một thực hiện hay đường mẫu của tín hiệu X(t) được cho trên hình 2.1.
Hình 2.1. Một thực hiện của tín hiệu nhị phân ngẫu nhiên băng gốc X(t)
Có thể xác định hàm tương quan của X(t) như sau: (2.20)
trong đó T( ) có biến đổi Fourier là TSinc2(fT). Lưu ý rằng X(t) là một tín hiệu
ngẫu nhiên có giá trị thực nên X( ) đối xứng so với .
Phương trình (2.19) cho thấy rằng X(t) và X(t+ ) có mức độ giống nhau
nhất khi =0; chúng có mức độ giống nhau nhất định khi 0< của bit X(t) giống X(t+ ). Chẳng hạn khi =0 và 0< 0T, vì tại mọi thời điểm giá
trị của X(t) độc lập với X(t+ ) do chúng ở các đoạn bit khác nhau.
Thực hiện biến đổi Fourier phương trình (2.20) ta được PSD:
(2.21) Hàm tự tương quan và PSD
của X(t) được cho trên hình 2.2. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Hình 2.2. Hàm tự tương quan và PSD của tín hiệu ngẫu nhiên nhị phân X(t)
Lưu ý rằng các giá trị bằng không đầu tiên xẩy ra tại f= 1/T và cực đại là
A2T tại f=0. Không phụ thuộc vào T, là công suất
trung bình của X(t). PSD nhận được cho thấy rằng công suất trung bình trải rộng
trên băng tần nếu T nhỏ (tương ứng với tốc độ bit cao của tín hiệu X(t)); nó tập
trung trên một băng tần hẹp nếu T lớn (tương ứng với tốc độ bit thấp của tín hiệu X(t)).
2.6. TÍN HIỆU BĂNG THÔNG
Bây giờ ta đi xét phiên bản điều chế của tín hiệu ngẫu nhiên nhị phân X(t)
nói trên, để vậy ta nhân X(t) với một hàm sin như sau: Y(t)=X(t)cos(2 fct+ ) (2.22)
trong đó fc được gọi là tần số sóng mang và là góc pha ngẫu nhiên có phân bố
đều trong dải [0,2 ] và không phụ thuộc vào X(t). Pha ngẫu nhiên cần thiết để
biến Y(t) thành WSS. Ta có thể biểu diễn hàm tự tương quan và PSD của Y(t) như sau: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng (2.23) (2.24) Khi
X(t) là quá trình nhị phân ngẫu
nhiên được cho bởi phương trình (2.18), ta được: (2.25) (2.26)
Dạng của các hàm trên được vẽ trên hình 2.3.
Hình 2.3. Hàm tự tương quan và PSD của tín hiệu nhi phân X(t) được điều chế
Như thấy trên hình vẽ, Phổ được tập trung tại các tần số . Nếu sử dụng
độ rộng băng tần là độ rộng giới hạn tại hai giá trị không đầu tiên của PSD thì độ
rộng phổ của Y(t) bằng 2/T (lưu ý độ rộng băng tần trong vi ba số thường được
sử dụng là độ rộng băng Nyquist, trong trường hợp này độ rộng băng Nyquist
bằng 1/T). Công suất trung bình của Y(t) là và bằng một nửa công
suất trung bình của X(T). Trên hình 2.3 ta sử dụng fc=4/T. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
2.7. ẢNH HƯỞNG CỦA HẠN CHẾ BĂNG THÔNG VÀ ĐỊNH LÝ NYQUIST
Như ta đã xét ở 2.4, Các dẫy xung nhị phân ngẫu nhiên với độ rộng T và
biên độ A (lưỡng cực) có vô hạn các thành phần tần số. Tuy nhiên trong các
đường truyền dẫn thực tế băng tần bị hạn chế, vì thế xung thu được có dạng mở
rộng ở đáy. Phần mở rộng này chồng lấn lên các xung phía trước và phía sau gây
ảnh hưởng cho việc phân biệt các xung. Ảnh hưởng này được gọi là nhiễu giữa
các ký hiệu (ISI: Intersymbol Interference).
Có thể trình bầy sự hạn chễ băng tần bằng hàm truyền đạt của bộ lọc thông
thấp lý tưởng như ở hình 2.4. Nếu ta đưa một xung kim (t) vào bộ lọc này thì
phổ của tín hiệu nhận được ở đầu ra sẽ có dạng hàm chữ nhật sau: H(f) = (2.27)
trong đó f0 là tần số cắt.
Biến đổi Fourier ngược cho biểu thức trên ta được đáp ứng đầu ra: h(t) = 2f0Sinc(2f0t) (2.28)
trong đó Sinc(x)=sin( x)/( x).
Hình 2.4 b cho ta thấy dạng của đáp ứng này. Ngọai trừ giá trị đỉnh tại trung
tâm, các điểm không xuất hiện ở mọi thời điểm kT0 =k , trong đó k là số
nguyên dương khác không. Khoảng cách T0 được gọi là khoảng Nyquist.
Nếu ta phát đi một dẫy xung kim cách nhau T(t) cách nhau một khoảng
Nyquist, thì có thể tránh được nhiễu giao thoa giữa các ký hiệu (nếu tiến hành
phân biệt các xung này tại các thời điểm kT0 của các xung thu) (hình 2.4c).
Nếu khoảng cách giữa các xung kim T nhỏ hơn khoảng cách Nyquist T0,
thì sự chồng lấn của các xung này làm ta không thể phân biệt được chúng. Nói
một cách khác độ rộng băng tần cần thiết để phân biệt các xung (các ký hiệu) có
tốc độ ký hiệu R bằng 1/T phải bằng 2f0= , nghĩa là:
f0= 1/2T=R/2 (giới hạn độ rộng băng tần Nyquist) (2.29) lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Định lý Nyquist thứ nhất
Trong thực tế rất khó thực hiện được bộ lọc thông thấp lý tưởng như nói ở
trên. Vì vậy để đạt được điều kiện cần thiết của bộ lọc trong đường truyền dẫn
thực tế, ta áp dụng định lý Nyquist thứ nhất sau đây:
Ngay cả khi xếp chồng đặc tính đối xứng kiểu hàm lẻ ứng với tần số cắt f0 với
đặc tính của bộ lọc thông thấp lý tưởng thì điểm cắt (điểm 0) với trục của đáp
ứng xung kim vẫn không thay đổi.
Các đặc tính của bộ lọc thoả mãn định lý thứ nhất của Nyquist thường
được sử dụng có dạng như ở hình 2.5 đựơc gọi là hàm phổ dốc (Roll off) và có
thể được biểu thị bằng hàm truyền đạt Roll(f) sau đây: Roll(f)= (2.30)
trong đó được gọi là hệ số độ dốc (Roll-off factor).
Xung kim là xung có dạng hàm Delta hay Dirac. Xung này có đáy bằng không
đỉnh bằng vô hạn và diện tích bằng một.
Hình 2.4. Hàm truyền đạt của bộ lọc thông thấp lý tưởng và các đáp ứng
đầu ra của nó khi đầu vào là một xung kim đơn hay một dẫy xung kim chu kỳ T lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Phần nghiêng của Roll(f) có thể chuyển thành các đặc tính Cosin bình phương như sau: Roll (f) = (2.31)
Do vậy Roll(f) cũng được gọi là đặc tính dốc cosin.
Ngoài ra ta cũng có thể trình bầy phần nghiêng nói trên ở dạng hàm cosin tăng sau đây: Roll(f) = (2.32)
Vì thế Roll (f) cũng còn được gọi là đặc tính dốc cosin tăng.
Đáp ứng xung kim h(t) của bộ lọc có đặc tính dốc cosin có thể được biểu
diễn bằng biến đổi Fourier ngược sau đây: h(t) = (2.33)
Có thể biểu diễn Roll(f) và h(t) như ở hình 2.5. Trong đó được sử dụng
như là một thông số và được gọi là thừa số dốc.
Hình 2.5. Các đặc tính của bộ lọc dốc cosin. a) Đặc tính dốc cosin,
b) Đáp ứng xung kim
Khi này băng thông tối thiểu cần hiết để phân biệt các xung hay băng
thông Nyquist trong đường truyền dẫn băng gốc được xác định theo công thức sau: BN = f0(1+ ) = R(1+ )/2 (2.34) lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Trong đó R là tốc độ ký hiệu, là đọ dóc bộ lọc.
Đối với đường truyền dẫn băng thông ( vô tuyến chẳng hạn), băng thông
Nyquist được xác định theo công thức sau: BN = f0(1+ ) = R(1+ ) [Hz] (2.35)
trong đó R là tốc độ truyền dẫn hay tốc độ ký hiệu được định nghĩa là số trạng
thái hay số ký hiệu được truyền trên đường truyền dẫn trong thời gian môt giây.
Tùy thuộc vào hệ thống truyền dẫn, mỗi trạng thái hay ký hiệu này có thể truyền
đồng thời nhiều bit. Quan hệ giữa tốc độ ký hiệu và tốc độ bit được xác định như sau: R=Rb/k
trong đó k là số bit trên một ký hiệu.
2.8. ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC ĐẶC TÍNH ĐƯỜNG TRUYỀN
2.8.1. Nhiễu, tạp âm, tỷ số tín hiệu trên tạp âm và tỷ số bit lỗi
Ở các đường truyền dẫn thực tế, các bản tin thường bị nhiễu và tạp âm đi kèm
vì thế ở đầu ra của máy thu tín hiệu bị méo so với tín hiệu ở đầu vào máy phát.
1. Các nguồn nhiễu và tạp âm
Các nguồn nhiễu bao gồm:
* Các tín hiệu thu được ở máy thu như:
- sóng điều chế khác gây nhiễu với tín hiệu hữu ích
- các tín hiệu do các hiện tượng thiên nhiên hoặc xung tạo ra như: tia chớp,hay
các nguồn xung nhân tạo như các hệ thống đánh tia lửa điện của ô tô
- truyền sóng nhiều tia ở vi ba số
* Các tín hiệu thể hiện xử lý bị lỗi hay xấp xỉ hoá như:
- các tín hiệu sinh ra khi xử lý tín hiệu để truyền dẫn dẫn đến phát đi một
tínhiệu khác với tín hiệu mà người phát định phát
- các tín hiệu sinh ra khi tách sóng và kết cấu lại tín hiệu ở phía thu.
Các nguồn tạp âm bao gồm
- chuyển động ngẫu nhiên của các điện tử, ion, hay các lỗ trong các vật
liệucấu thành thiết bị thu - phát xạ ngân hà lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
2. Tỷ số tín hiệu trên tạp âm
Tỷ số tín hiệu trên tạp âm (SNR: Signal to noise ratio) là tỷ số giữa công suất
của tín hiệu bản tin với công suất của tín hiệu tạp âm, nghĩa là:
SNR = Công suất tín hiêu(S) Công suất tạp âm (N)
Do dải giá trị của SNR rất rộng, nên thường log10 của tỷ số này được sử
dụng. Đơn vị được sử dụng khi này được gọi là Bel (B). Thông thường để tiện
lợi người ta sử dụng deciBel hay Bel 10-1, nên:
(SNR)dB = 10log10(S/N) dB (deciBel) (2.36)
Có thể mở rộng khái niệm tỷ số tín hiệu trên tạp âm cho các tỷ số được
biểu thị ở đơn vị tín hiệu. 3. Tạp âm trắng
Khi không thể xét riêng các nguồn tạp âm, ta có thể coi rằng chúng tạo ra một
tín hiệu ngẫu nhiên duy nhất với phân bố đều công suất ở mọi tần số. Tương tự
như ánh sáng trắng (chứa tất cả các tần số nhìn thấy được), tín hiệu này được gọi là tạp âm trắng.
Tạp âm trắng là một hàm mẫu n(t) của một quá trình ngẫu nhiên dừng nghĩa
rộng N(t) với mật độ phổ công suất N((f) bằng N0/2 W/Hz, nghĩa là: N(f) = N0/2 (2.37)
và hàm tự tương quan X( ) là: N( ) = (2.38)
Đồ thị biểu diễn các đại lượng trên được cho ở nửa trên của hình 2.6.
Tạp âm trắng có thuộc tính là các mẫu khác nhau không tương quan với
nhau và nếu hàm mật độ xác suất của phổ biên độ là Gauss (chuẩn) thì chúng
độc lập thống kê với nhau.
Do mật độ phổ không đổi ở tất cả các tần số, tín hiệu này có công suất vô hạn, nghĩa là: = = (2.39) lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Vậy tạp âm trắng là một tín hiệu không thể thực hiện được. Tuy nhiên tất
cả các hệ thống thực tế đều là thông thấp hay băng thông và ta chỉ cần xét tạp âm
trong dải tần hoạt động của các tín hiệu này. Vì thế tạp âm băng hạn chế là khái niệm hữu dụng hơn.
Tạp âm băng hạn chế: là tạp âm có mật độ công suất không đổi ở dải tần hạn chế, nghĩa là: (2.40)
Hình 2.6. Các hàm tự tương quan và mật độ phổ công suất
của tạp âm trắng và tạp âm băng thông hạn chế Khi này: N( ) = N0WSinc(2W ) (2.41)
nghĩa là, hàm tự tương quan là một hàm Sincx= [sin( x)]/( x). Đồ thị biểu diễn
các đại lượng trên được cho nửa dưới của ở hình 2.6.
4. Tạp âm trắng Gauss cộng (AWGN)
Ta có thể trình bầy tạp âm nhiệt như là một quá trình ngẫu nhiên Gauss trung
bình không. Một quá trình ngẫu nhiên Gauss X(t) là hàm thống kê phụ thuộc
vào thời gian có giá trị x tại mọi thời điểm t được đặc trưng thống kê bởi hàm
mật độ xác suất (PDF: Probability Density Function) sau: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng (2.42)
trong đó X là biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình X=0, x là giá trị mẫu của
biến ngẫu nhiên và là lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X bằng .
Tạp âm xẩy ra ở nhiều hệ thống thông tin có thể mô hình như là tạp âm trắng
có phân bố Gauss. Vì mẫu của các tạp âm này không tương quan và hoàn toàn
độc lập với nhau, nên chúng thường được gọi là tạp âm Gauss trắng cộng
(AWGN: Additive White Gaussian Noise). Từ "cộng" có nghiã là tạp âm ảnh
hưởng độc lập lên từng ký hiệu được truyền hay đơn giản tạp âm được xếp chồng
hay cộng với tín hiệu bản tin.
Hàm phân bố xác suất FX(x) cho ta xác suất điện áp tạp âm thấp hơn mức x: (2.43)
trong đó erf là hàm lỗi được xác định như sau: ; z = (2.44)
Các hàm mật độ và phân bố xác suất của tạp âm Gauss được vẽ ở hình 2.7. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Hình 2.7. Hàm phân bố xác suất và mật độ xác suất của tạp âm Gauss
Hình 2.8 cho thấy quan hệ giữa điện áp tạp âm và hàm mật độ xác suất của nó. lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng
Hình 2.8. Điện áp tạp âm Gauss và hàm mật độ xác suất
Từ hình các hình 2.7 và 2.8 ta thấy mật độ xác suất lớn nhất khi điên áp tạp
âm bằng 0 và giảm dần khi điện áp này có giá trị âm và dương càng lớn, tiến tới
không khi điện áp tạp âm tiến tới - và + . Tích của mật độ xác suất với dx:
fX(x)dx cho ta xác suất xuất hiện điện áp tạp âm tại dải giá trị x và x+dx. Hàm
phân bố xác suất cho ta xác suất xuất hiện điện áp nhỏ hơn một giá trị x cho trước: FX(x) = P(X x).
2.8.2. Tạp âm và các quyết định nhị phân
Tạp âm làm hỏng tín hiêu hữu ích và có thể tạo ra sai lỗi khi thực hiện quyết
định trên cơ sở biên độ của tín hiệu thu. Giả sử rằng ta có một chuỗi các xung số
lưỡng cực [được ký hiệu là sp(t)] có các mức là 0 tương ứng với +A và 1 tương
ứng với -A. Sau khi điều điều chế và phát trên đường truyền dẫn bị tác động bởi
tạp âm trắng Gauss cộng như đã xét ở trên, dạng sóng y(t) quan sát được ở phía
thu sau giải điều chế sẽ là một biến ngẫu nhiên mới gồm sp(t) và
tín hiệu tạp âm x(t), nghiã là: y(t) = s (2.45) p(t) +x(t) hay (2.46)
Do x(t) là hàm mẫu của quá trình tạp âm ngẫu nhiên, nó có thể cộng vào
hay trừ đi tín hiệu hữu ích gây ra sự không chắc chắn về quyết định mức nào
đang có mặt. Để xác định xác suất lỗi, ta định nghĩa ngưỡng quyết định, u, như sau: khi y(t) là
Xác suất y(t) = u rất nhỏ và ta sẽ bỏ qua nó. Nếu x(t1) được phân bố Gauss
với trung bình không và giá trị trung bình bình phương là:
thì biến Y(t1) cũng sẽ là một biến ngẫu nhiên có phân bố Gauss với trung bình
bằng không và phương sai là 2=N0/2 (N0 là mật đọ phổ công suất tạp âm) và ta
có thế viết hàm PDF của y(t) khi phát 1 trong trường hợp này như sau: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng fY(y|1) = (2.47)
và hàm PDF của y(t) khi phát 0 là: fy(y|0) = (2.48)
Hình 2.9 cho thấy vị trí trương đối của các hàm trên.
Các vùng tô đậm dưới đường cong thể hiện các trường hợp nhận dạng sai.
Xác suất phát 1 quyết định nhầm 0 (xác suất lỗi bit 1): (2.49)
Vùng tô đậm dưới đường cong biểu thị các trường hợp thu sai
Hình 2.9. Các hàm mật độ xác suất tín hiệu thu có điều kiện khi phát bit 0
(A) và bit 1 (-A) với quyết định tại u và xác suất phát 0, nhưng
quyết định nhầm 1 (xác suất lỗi bit 0): (2.50)
Khảo sát cho thấy các bit 1 và 0 có cùng xác suất, nên ngưỡng quyết định tốt
nhất ở vị trí u = 0 để hai chỉ thị sai đồng xác suất. Nếu P0 và P1 là xác suất phát
đi các bit không và 1, thì: lOMoAR cPSD| 58737056 TS. Nguyễn Phạm Anh Dũng P0 = P1 = 1/2
và tổng xác suất sai là:
Pe = P0Pe(0) + P1Pe(1)= (1/2)[ Pe(0) + Pe(1)] (2.51)
trong đó P0 = P1 = 1/2, Pe(0) = Pe(1). Vì thế ta có thể viết (2.52) Nếu đặt z =
, ta được phương trình (2.52) ở dạng sau: hay Pe = (2.53)
trong đó hàm Q(.) là hàm có dạng tích phân chỉ có thể xác định được bằng
phương pháp số. Giá trị hàm này đựơc cho trong phụ lục 1.
2.8.3. Méo dạng sóng do đặc tuyến tần số của đường truyền
Các đặc tính pha tần
Ta hãy xét ảnh hưởng của các đặc tuyến pha - tần số trong đường truyền dẫn
lên dạng sóng xung. Giả sử tín hiệu S(t) là dẫy xung chữ nhật đơn cực RZ (tỉ lệ
chiếm = 50%) nhận giá trị biên độ A chu kỳ T và và độ rộng xung tW=1/2T,
Triển khai S(t) theo chuỗi Fourier ta được: (2.54) Trong đó
, n là số nguyên lớn hơn hoặc bằng không
Như ta thấy từ phương trình (2.54), S(t) có thể được trình bầy bằng thành phần
một chiều, thành phần sóng cơ bản phụ thuộc vào tần số lặp xung và thành phần
hài cao bậc n. Trong đường truyền dẫn thực tế, các thành phần hài bậc cao không
được phát do giới hạn băng tần. Và nếu thời gian trễ tương đối giữa mỗi thành
phần tần số là khác nhau, dạng sóng xung thu được bị méo thành dạng sóng khác so với tín hiệu gốc.