CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CHƯƠNG 3:
PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Automatic Control Systems 1
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ Nội dung
3.1 Hàm truyền đạt tần số
3.2 Đồ thị trong miền tần số – Đồ thị Nyquist – Đồ thi Bode
Automatic Control Systems 2
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Xét một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) có hàm truyền đạt G(s)
Hàm truyền đạt tần số G(jω): tỉ số giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín
hiệu vào biến thiên theo qui luật điều hòa.
r(t) = Rsinωt y(t) G(s)
Phân tích đáp ứng của hệ thống ở trạng thái xác lập, bằng cách thay s=jω G 
j   G(s) |s j
G j  R 
e G j j I 
m G j G j G   j 2 2 1  Im ( G G j 
j   ReG(  j   I  m G( 
j  ,   G  j   
 tan R eG(j  
Automatic Control Systems 3
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Định lý: Nếu hệ thống tất cả các cực của G(s) có phần thực âm và với tín hiệu vào r(t) =
Rsinωt, thì đáp ứng đầu ra y(t) ở trạng thái xác lập có dạng
r(t) = Rsinωt y(t)
y (t)  G    s
 jRsint ,  G( j) G(s) Chứng minh:  R Vì
r (t )  R sint  R(s)  Lr (t  )  2 2 s  R Do đó Y(s)  G(s)R(s)  G(s) 2 2 s  
Giả thiết G(s) chỉ có n điểm cực s = 1, 2, …, i, i
n, khi đó Y(s) có thể được biểu diễn như sau: n R G  (s) a1 a2 bi Y(s)      2 2 s   s  j s  j s  s j j i 1  i
Automatic Control Systems 4
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Chứng minh: (cond’t) n  y(t) 1
 L Y(s 
)  a e jt  a e jt   b esit  y (t)  y (t) 1 2 i s t i 1 
Nếu tất cả các điểm cực si có phần thực âm. Do đó: n s ti
lim yt (t)  lim  ibe  0 t  t  i 1 
Đáp ứng ở trạng thái xác lập:  j t  j t y  s (t)  a1e  a2e
Trong đó a1 và a2 được xác định bởi RG(s)
Nếu G(s) có k điểm cực bội s a      j, thì 1  R s j G j, s2  k n  2 2 j j 1 s jt s  sit  j y t ( )  b t e b e t   j  i RG s (  ) j1 ik 1 a    2  R s j  G j 2 2 s  s  j   2 j  lim  yt t (t)  0
Automatic Control Systems 5
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Chứng minh: (cond’t) Giả sử G  
j   G   j  j e  G  
j   G   j   j e
G( j) R
G( j) R   j  j  a   e , a  e 1 2 j 2 2 j
jt  
 jt   e  e
 y (t)  G(  j ) R  G(  j ) R sin s t  2 j
Automatic Control Systems 6
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Ex. 3.1. Tìm môđun hàm truyền đạt tần số của một hệ thống biết hàm truyền đạt là 10
G(s)  s 1
và tín hiệu vào u(t) = sin(10πt+π/2).
Automatic Control Systems 7
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.1 Đáp ứng tần số
Ex. 3.2. Tìm hàm đáp ứng tần số ở trạng thái xác lập của hệ thống sau 10 1 0. s2 1
Phương trình đáp ứng tần số
G  j  Gs 10 10   s j 1 0.1j2 2
1 j0.2  0.01   G  j 10 j 2    5 j  5e  1  0 1 j2 1  
 y (t)  G( j) R sin  s  t
     25sin 10t     2 
Automatic Control Systems 8
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số của hệ thống: () () = =  với ()
Biên độ và pha lần lượt là:   = ;              = −    
Automatic Control Systems 9
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Đỉnh cộng hưởng Mr và tần số cộng hưởng r (Resonant Peak)
Đỉnh cộng hưởng M : là giá trị lớn nhất của biên độ |M(jω)|. r
Tần số cộng hưởng  : tần số tại vị trí đỉnh cộng hưởng. r
Automatic Control Systems 10
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Đỉnh cộng hưởng Mr và tần số cộng hưởng r (Resonant Peak)
Mr tương ứng độ quá điều chỉnh trong miền thời gian, thể hiện tính
ổn định tương đối của hệ thống.
Thực nghiệm: giá trị M mong muốn: 1 < M < 1.5 r r
Automatic Control Systems 11
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Độ rộng băng thông BW (Band Width )
Độ rộng băng thông BW là tần số mà tại đó biên độ |M(jω)| giảm
xuống 70,7% hoặc 3dB so với giá trị tần số không.
Automatic Control Systems 12
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Độ rộng băng thông BW (Band Width )
Độ rộng băng thông lớn tương ứng với thời gian tăng (t ) nhanh r
Độ rộng băng thông thể hiện tính lọc nhiễu của hệ thống.
Automatic Control Systems 13
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.2. Các đặc trưng của đáp ứng tần số
Đặc tính tần số của khâu dao động bậc 2
Trong miền giá trị ζ > 0.707 Mr = 1 r = 0
Automatic Control Systems 14
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị trong miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Đồ thị cực của hàm G(jω) là đồ thị của biên độ của G(jω)
theo góc pha của G(jω) trong hệ tọa độ cực với   , 0  
Phát họa (bằng tay) đồ thị cực •
Điểm xuất phát của đồ thị tại điểm ω = 0 H. Nyquist (1889-1976) •
Đồ thị kết thúc tại điểm ω = ∞ •
Đồ thị cắt trục thực tại điểm ứng với Im{G(jω)} = 0 •
Đồ thị cắt trục ảo tại điểm ứng với Re{G(jω)} = 0 •
Tính toán |G(jω)| và ϕ tại các giá trị đặc biệt của ω nếu cần thiết
Automatic Control Systems 15
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị trong miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Ex. 3.2. Xây dựng đồ thị cực của hệ thống có hàm truyền đạt 1
G(s)  1Ts Ta có 1 1 jT 1 T 1 G( j)     j   1  jT 1  2 2 2 T 1 T  1 T  1  2 T Trong đó  Im ( ) 1 G j   1  tan
  tan T   Im G( j  )
Automatic Control Systems 16
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị trong miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist) Ex. 3.2. (cond’t) 1 1  •
Điêm thứ nhất tại ω = 0: G( j)   ,
1    tan 0  0 1 0 1 1  •
Điểm thứ hai tại ω = ∞: G( j)   , 0    tan  0  9  0 1  • I  m G( j  )  0    0 and   . •  Re G( j  )  0     0   4  5 •
Điểm thứ 3 tại ω = 1/T: G  1 1 1/ 2 G(  j )   , 1 1 2 1   tan    0 1  45 Matlab num = [1]; G = tf(num,den);
Note: Hàm nyquist cung cấp một đồ thị cực đầy den = [T 1]; nyquist(G);
đủ, ứng với ω thay đổi từ - ∞ to +∞
Automatic Control Systems 17
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Đồ thị cực cũng có thể được xây dựng bằng cách xác định phần thực của G(jω)
(i.e., Re{G(jω)}) và phần ảo của G(jω) (i.e., Im{G(jω)}) theo ω trong mặt
phẳng phức của G(jω).
Automatic Control Systems 18
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist) 10
Ex. 3.3. Xây dựng đồ thị cực của hàm truyền đạt G( )
s  ss 1 10 10 10  G(  j )  G( ) s  j s  j  j   j      1 2   1  2    1 • Tại ω = 0:  Re G(  j  )   , 10 I  m G(  j  )   • Tại ω = ∞:
ReG( j) , 0 I 
m G( j) 0 • Tại ω = 1:  Re G(  j  )   , 5 I  m G(  j  )  5
Automatic Control Systems 19
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị trong miền tần số
3.3.1 Đồ thị cực (Nyquist) 5
Ex. 3.4. Xây dựng đồ thị cực của hàm truyền đạt
G(s)  4 2s 5s 1 5 5  20 2  25
 G( j)  G(s)     j s   j  4 2   j5 1 16 4  17 2  1 16 4  17 2  1 • Tại ω = 0:  Re G( j  )  , 5 I  m G( j  )  0
• Tại ω = ∞:ReG( j) , 0 I 
m G( j) 0 5 • R  e G(  j  )  0     0.5  I  m G(  j  )  2  20 ImG • Tại ω = 0.1:
ReG( j) 4.1 -1 0 ω = ∞ ω = 0 ReG
ImG( j) 2  13 . 5 ω = 1 • Tại ω = 1: -2 ω = 0.5 R  e ( G  j  ω = 0.1 )  0 4 . 4  Im G(  j  )   . 0 735
Automatic Control Systems 20
CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
3.3 Đồ thị miền tần số 3.3.2 Đồ thị Bode
Đồ thị Bode của G(jω) bao gồm 2 đồ thị:
• Đồ thị biên độ: Đồ thị của L(ω) = 20log|G(jω)| (dB) theo
logω (logarithm cơ số 10 trong Matlab) hoặc ω
• Đồ thị góc pha: Đồ thị của () G( j) (degree) theo logω hoặc ω
Automatic Control Systems 21