Chương 4: Ánh xạ tuyến tính | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội
Hai không gian hữu hạn chiều trên trường K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Môn: Đại số các nhóm ngành chuẩn (THH)
Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHƯƠNG 4 7/11/2014
THS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK 1
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa.
a. Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường
K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất:
(i ) f (u v ) f (u) f (v )
(ii ) f (ku) kf (u)
với u,v V ,k K
+ Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến
tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành
(iii ) f (ku lv ) kf (u ) lf (v )
với u,v V ,k ,l K b. Các ví dụ.
VD1. Ánh xạ không f : V
W , f ( v ) , v V W là ánh xạ tuyến tính.
VD2. Ánh xạ đồng nhất
Id : V V V
v Id (v ) v V
là một toán tử tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD3. Ánh xạ đạo hàm
D : P [ x ] P [ x ] n n1
p D( p ) p' là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với f , g P [ x ] , k , l ta có n
D(k. f l.g) (k. f l.g)' k. f ' l.g ' kD( f ) lD(g)
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD4. Ánh xạ f : 3 2
f (x , x , x ) (x 2x , x x ) 1 2 3 1 2 2 3 là ánh xạ tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Thật vậy, với x ( x , x , x ) , y ( y , y , y ) 3 , k 1 2 3 1 2 3 ta có
f (x y) f (x y , x y , x y ) 1 1 2 2 3 3
((x y ) 2(x y ),(x y ) (x y )) 1 1 2 2 2 2 3 3
((x 2x ) ( y 2 y ),(x x ) ( y y )) 1 2 1 2 2 3 2 3
(x 2x , x x ) ( y 2 y , y y ) 1 2 2 3 1 2 2 3
f (x) f ( y)
f (kx) f (kx , kx ,kx ) (kx 2kx , kx kx ) 1 2 3 1 2 2 3
(k(x 2x ), k (x x )) k(x 2x , x x ) 1 2 2 3 1 2 2 3 kf (x)
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ f : M
( K ) M ( K ) n p m p X AX là ánh xạ tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.2. Các phép toán
a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→W. Khi đó,
các ánh xạ ψ,φ: V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x),
φ(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∈K,x∈V.
cũng là ánh xạ tuyến tính.
b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt
f: V→W, g: W→U. Khi đó, các ánh xạ h:V→U,
h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính.
§1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu.
a. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V→W gọi là đơn
cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng
cấu với nhau, kí hiệu: V W
b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên
trường K đều đẳng cấu với Kn .
§1. Ánh xạ tuyến tính
1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính.
Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W giữa các không gian vectơ.
- Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi 1 Ker(f)={v V|f(v)= }=f ({ }) W W
- Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi Im(f)={f(u)|u V}=f(V)
§1: Ánh xạ tuyến tính
Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V
Im(f) là không gian con của W. c/m:….
Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f)
hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f)
Mđ 2. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và
V=span(S) thì f(V)=span(f(S)). c/m: ….
§1: Ánh xạ tuyến tính
Mđ 3. Axtt f: V→W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m:….
Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV=n thì dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n c/m: ….
Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường
K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau
§1: Ánh xạ tuyến tính
VD 1. Cho ánh xạ tuyến tínhf 3 3 : xác định bởi f (
x , x , x ) (x 2x , x x , x x x ) 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính.
b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f ) §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian
vec tơ hữu hạn chiều f: V→W. G/s B = {v , v , V 1 2
…,v } và B = {u , u ,…, u } lần lượt là cơ sở m W 1 2 n
của V và W (dimV=m, dimW=n).
Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của
vectơ f(v ) đối với cơ sở B gọi là ma trận của j W
ánh xạ f đối với cặp cơ sở B và B : V W A [ f(v )] [f(v )] ... [f(v )] 1 W B 2 W B m W B
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
NX: i) A là ma trận cỡ nxm. ii) [u u
... u ]A=[ f (v ) f (v ) ... f (v )] 1 2 n 1 2 m MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 2 xđ bởi
f (x , x , x ) (x 2x , x x ) 1 2 3 1 2 2 3
a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v =(1;0;0), 1
v =(1;1;2), v =(1;2;3)} và B’={u =(1;0), u =(1;1)} 2 3 1 2
VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P [x] →P [x], 3 2
D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : P [ x ] P [ x ] 3 2
có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 3 4 5 A 2 4 0 1 3 5 1 2 a) Xác định 2 3 f (a bx cx dx )
b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
2.2 Công thức tọa độ.
Cho f: V →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận
A đối với cặp cơ sở B và B . Khi đó, với mọi V W vecto u V , ta có [f (u)] [ A u] B B W V
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 P [ x ] 2
Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận
đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1 A 2 1 2 3 2 1
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính
VD2. (Đề 1_ Hè 2009)
Cho toán tử tuyến tính f 3 3 : thỏa mãn: f (1;2;0) ( 1
;4;7), f (0;1;2) ( 1
;3;7), f (1;1;1) (0; 4;6)
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 b) Tìm vecto v 3
sao cho f (v) = (-1;7;13) VD3. (Đề 2_ Hè 2009) Tương tự VD2 với
f (1;2;0) (1;5;5), f (0;1;2) (1; 4;5), f (1;1;1) (0; 4;6)