Chương 4: Ánh xạ tuyến tính | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

CHƯƠNG 4 7/11/2014
THS. NGUYỄN HẢI SƠN - ĐHBK 1
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.1 Định nghĩa.
a. Định nghĩa. Cho V và W là 2 KGVT trên trường
K. Ánh xạ f :V→W là một ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn 2 tính chất:
(i ) f (u  v )  f (u)  f (v )
(ii ) f (ku)  kf (u)
với u,v V ,k  K
+ Ánh xạ tuyến tính f :V→V gọi là toán tử tuyến
tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
NX: Ta có thể gộp (i) và (ii) thành
(iii ) f (ku  lv )  kf (u )  lf (v )
với u,v V ,k ,l  K b. Các ví dụ.
VD1. Ánh xạ không f : V 
W , f ( v )   ,  v V W là ánh xạ tuyến tính.
VD2. Ánh xạ đồng nhất
Id : V  V V
v  Id (v )  v V
là một toán tử tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
VD3. Ánh xạ đạo hàm
D : P [ x ]  P [ x ] n n1
p  D( p )  p' là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với  f , g  P [ x ] , k , l   ta có n
D(k. f  l.g)  (k. f  l.g)'  k. f ' l.g '  kD( f )  lD(g)
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
VD4. Ánh xạ f : 3   2 
f (x , x , x )  (x  2x , x  x ) 1 2 3 1 2 2 3 là ánh xạ tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  Thật vậy, với  x  ( x , x , x ) , y  ( y , y , y )   3 , k   1 2 3 1 2 3 ta có
f (x  y)  f (x  y , x  y , x  y ) 1 1 2 2 3 3
 ((x  y )  2(x  y ),(x  y )  (x  y )) 1 1 2 2 2 2 3 3
 ((x  2x )  ( y  2 y ),(x  x )  ( y  y )) 1 2 1 2 2 3 2 3
 (x  2x , x  x )  ( y  2 y , y  y ) 1 2 2 3 1 2 2 3
 f (x)  f ( y)
f (kx)  f (kx , kx ,kx )  (kx  2kx , kx  kx ) 1 2 3 1 2 2 3
 (k(x  2x ), k (x  x ))  k(x  2x , x  x ) 1 2 2 3 1 2 2 3  kf (x)
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
VD5. Với A là một ma trận cỡ mxn bất kì, ánh xạ f : M
( K )  M ( K )  n p  m p X  AX là ánh xạ tuyến tính.
§1: KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  1.2. Các phép toán
a. ĐL1. Cho các ánh xạ tuyến tính f,g: V→W. Khi đó,
các ánh xạ ψ,φ: V→W xác định bởi ψ(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x),
φ(x)=(kf)(x)=k.f(x) , k∈K,x∈V.
cũng là ánh xạ tuyến tính.
b. ĐL2. Cho các ánh xạ tuyến tính giữa các K-kgvt
f: V→W, g: W→U. Khi đó, các ánh xạ h:V→U,
h(x)=g(f(x)) hợp thành của f và g cũng là ánh xạ tuyến tính.
§1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 
1.3 Đơn cấu - toàn cấu - đẳng cấu.
a. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính f:V→W gọi là đơn
cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Trường hợp f là đẳng cấu, ta nói V và W là đẳng
cấu với nhau, kí hiệu: V  W
b. Định lý. Mọi không gian vectơ n chiều trên
trường K đều đẳng cấu với Kn .
§1. Ánh xạ tuyến tính 
1.4 Hạt nhân-Ảnh-Hạng của ánh xạ tuyến tính.
Đn1. Cho ánh xạ tuyến tính f:V→W giữa các không gian vectơ.
- Hạt nhân của f , kí hiệu là Ker(f) xác định bởi 1 Ker(f)={v V|f(v)= }=f    ({ }) W W
- Ảnh của f, kí hiệu Im(f) xác định bởi Im(f)={f(u)|u  V}=f(V)
§1: Ánh xạ tuyến tính 
Mđ 1. Ker(f) là không gian con của V
Im(f) là không gian con của W. c/m:….
Đn2: Hạng của ánh xạ tuyến tính f, kí hiệu r(f)
hay rank(f), là số chiều của Im(f) r(f) = dimIm(f)
Mđ 2. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và
V=span(S) thì f(V)=span(f(S)). c/m: ….
§1: Ánh xạ tuyến tính 
Mđ 3. Axtt f: V→W là đơn cấu khi và chỉ khi Ker(f)={θ} c/m:….
Mđ 4. Nếu f: V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV=n thì dimIm(f) + dimKer(f) = dimV=n c/m: ….
Hq. Hai không gian hữu hạn chiều trên trường
K đẳng cấu khi và chỉ khi số chiều của chúng bằng nhau
§1: Ánh xạ tuyến tính 
VD 1. Cho ánh xạ tuyến tínhf  3   3 : xác định bởi f (
x , x , x )  (x  2x , x  x , x  x  x ) 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3
a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính.
b) Tìm số chiều và một cơ sở của Im(f ) và Ker(f )  §2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§2: MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH  2.1 Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính giữa các không gian
vec tơ hữu hạn chiều f: V→W. G/s B = {v , v , V 1 2
…,v } và B = {u , u ,…, u } lần lượt là cơ sở m W 1 2 n
của V và W (dimV=m, dimW=n).
Ma trận A có cột j là ma trận tọa độ của
vectơ f(v ) đối với cơ sở B gọi là ma trận của j W
ánh xạ f đối với cặp cơ sở B và B : V W A  [  f(v )] [f(v )] ... [f(v )]  1  W B 2 W B m W B 
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
NX: i) A là ma trận cỡ nxm. ii) [u u
... u ]A=[ f (v ) f (v ) ... f (v )] 1 2 n 1 2 m MĐ 1. r(A)=r(f)=dimIm(f)
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2   xđ bởi
f (x , x , x )  (x  2x , x  x ) 1 2 3 1 2 2 3
a)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
b)Tìm mtr của f đối với cặp cơ sở B={v =(1;0;0), 1
v =(1;1;2), v =(1;2;3)} và B’={u =(1;0), u =(1;1)} 2 3 1 2
VD2. Tìm ma trận của ánh xạ D:P [x] →P [x], 3 2
D(p)=p’ đối với cặp cơ sở chính tắc E={1, x, x2, x3} và E’={1, x , x2}
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
VD 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : P [ x ]  P [ x ] 3 2
có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 3 4 5   A  2 4 0 1   3 5 1 2   a) Xác định   2  3 f (a bx cx dx )
b) Xác định cơ sở và số chiều của Im(f) và Kerf
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
2.2 Công thức tọa độ.
Cho f: V →W là ánh xạ tuyến tính có ma trận
A đối với cặp cơ sở B và B . Khi đó, với mọi V W vecto u  V , ta có [f (u)]  [ A u] B B W V
VD1. Cho ánh xạ tuyến tính f :  3  P [ x ] 2
Xác định f(v) với v=(1;2;3) biết f có ma trận
đối với cặp cơ sở chính tắc là 1 0 1   A 2 1 2     3 2 1   
§2: Ma trận của ánh xạ tuyến tính 
VD2. (Đề 1_ Hè 2009)
Cho toán tử tuyến tính f  3  3 :  thỏa mãn: f (1;2;0)  ( 1
 ;4;7), f (0;1;2)  ( 1
 ;3;7), f (1;1;1)  (0; 4;6)
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3  b) Tìm vecto v  3 
sao cho f (v) = (-1;7;13) VD3. (Đề 2_ Hè 2009) Tương tự VD2 với
f (1;2;0)  (1;5;5), f (0;1;2)  (1; 4;5), f (1;1;1)  (0; 4;6)