194 trang 17 lượt tải

Chuyên đề Bất đẳng thức Holder - Tài liệu tổng hợp

33

Một Số Kí Hiệu Về Tổng Và Tích . BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER .. MỘT SỐ KỸ THUẬT THƯỜNG SỬ DỤNG 1️⃣ MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU 2️⃣ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN 3️⃣ MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO 4️⃣ KỸ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ 5️⃣ NÂNG CAO KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER . BẤT ĐẲNG THỨC RADON. Tài liệu được sưu tầm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem !

Môn: Tài liệu Tổng hợp 2.3 K tài liệu

Trường: Tài liệu khác 2.5 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Phạm Thị Huyền

5 tháng trước
Danh sách Quiz
/194
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 3
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
MỤC LỤC
Mt S Kí Hiu V Tng Và Tích
..................................................................................................4
BTĐNG THC HOLDER
..........................................................................................................5
MT S K THUTTHNG S DNG
.....................................................................................8
1. MT S BÀI TOÁN M ĐU
..............................................................................................8
2. MT S BÀITOÁNCBN
.............................................................................................20
3. MT S BÀI TOÁN NÂNG CAO
........................................................................................58
4. K THUTĐI BIN S
.................................................................................................115
5. NÂNG CAO K THUT S DNG BTĐNG THC HOLDER
....................................146
BTĐNG THC RADON
........................................................................................................175
BẢN QUYỀN THUỘC VỀ LOVETOAN.WORDPRESS.COM
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 4
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
cyc
- Tng hoán v.
- Vi 3 bin
, ,a b c
:
3 3 3 3
cyc
a b a b b c c a
= + +
.
- Vi 4 bin :
3 3 3 3 3
cyc
a b a b b c c d d a= + + +
.
sym
- Tngđi xng.
- Vi 3 bin
, ,a b c
:
sym
ab ab bc ca= + +
.
- Vi 4 bin :
sym
ab ab ac ad bc bd cd= + + + + +
.
cyc
- Tích hoán v.
- Vi 3 bin
, ,a b c
:
( ) ( )( )( )
cyc
a b a b b c c a
+ = + + +
.
- Vi 4 bin :
( ) ( )( )( )( )
cyc
a b a b b c c d d a
+ = + + + +
.
sym
- Tíchđi xng.
- Vi 3 bin
, ,a b c
:
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( )( )( )( )( )
sym
a b a b b c c a b a c b a c
+ = + + + + + +
.
- Vi 4 bin :
( ) ( )( )( )( )( )( )
sym
a b a b a c a d b c b d c d
+ = + + + + + +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 5
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
Đị
nh lý 1.1.
Cho các s dng
ij
a (
1, , 1,i m j n= =
). Khiđó,ta có:
1 1
1 1
m
m m
n n
m
ij ij
j j
i i
a a
= =
= =
.
(1.1)
Ch
ứ
ng minh.
Áp dng btđng thc AM GM
-
ta có:
1 11 21 1
11 21
11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2
...
...
... ... ... ( ... )( ... )...( ... )
m m
m
n n m m mn n n m m mn
a a a a
a a
m
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
2 12 22 2
12 22
11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2
...
...
... ... ... ( ... )( ... )...( ... )
m m
m
n n m m mn n n m m mn
a a a a
a a
m
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
…
1 2 1 2
11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2
...
...
... ... ... ( ... )( ... )...( ... )
n n mn n n mn
m
n n m m mn n n m m mn
a a a a a a
m
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
.
Cngtngng v vi v các btđng thctr ên,tathuđc Định lý 1.1.
Đng thc xy ra khi và ch khi
111 21
11 12 1 21 22 2 1 2
...
... ... ...
m
n n m m mn
aa a
a a a a a a a a a
= = =
+ + + + + + + + +
2
12 22
11 12 1 21 22 2 1 2
...
... ... ...
m
n n m m mn
a
a a
a a a a a a a a a
= = =
+ + + + + + + + +
…
1 2
11 12 1 21 22 2 1 2
...
... ... ...
n n mn
n n m m mn
a a a
a a a a a a a a a
= = =
+ + + + + + + + +
.
Định lý 1.2. Cho các s dng
ij
x ( ). Khiđóvi
0
i
k
(
1,i n
" =
) tha mãn
1
1
n
i
i
k
=
=
, ta có:
1 1
1 1
j
j
k
n n
m m
k
ij ij
j j
i i
x x
= =
= =
.
(1.2)
Chứng minh.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 6
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
Gi s
1
1
m
ij
j
x
=
=
(
1,i n
=
),khiđóbtđng thc cn chng minh tr thành
1
1
1
j
n
m
k
ij
j
i
x
=
=
.
S dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
j
n
m m n n m n m n
k
ij i ij i ij j ij i
j j i i j i j i
i
x k x k x k x k
= = = = = = = =
=
= = = =
.
Đnhlýđc chng minh .
Một số trường hợp đặc biệt thường gặp của bấtđẳng thức
Holder
.
Vi thì ta có:
.
(1.3)
Đng thc xy ra khi và ch khi .
a b c
m n p
= =
a b c
x y z
= =
.
Và khi thì ta có:
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3
( )( ) ( )a b c m n p am bn cp+ + + + + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
m n p
= = .
(Btđng thc
Chrystal
).
Cho các s dng
ij
a (
1, , 1,i m j n
= =
).
Khiđótacó:
11 12 1 21 22 2 1 2
1 ... 1 ... ... 1 ...
n n m m mn
a a a a a a a a a
+ + + + + + + + + + + +
11 21 1 12 22 2 1 2
1 ... ... ... ...
m
m m m
m m n n mn
a a a a a a a a a
+ + + +
.
(1.4)
Đng thc xy ra khi và ch khi
11 21 1 12 22 2 1 2
: :...: : :...: ... : :...: 1
m m n n mn
a a a a a a a a a
= = = =
.
Cho .Khiđótacóbtđng thc:
3 3 3 3
( )
3( )
a b c a b c
x y z x y z
+ +
+ +
+ +
.
(1.5)
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 7
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
Đng thc xy ra khi và ch khi .
(Btđng thc
Radon
).
Cho
, 0
k k
a x
>
(
1,k n
" =
) và .Khiđótacó :
1
1
1
1
1
p
n
k
p
n
k
k
p
p
n
k
k
k
k
x
x
a
a
+
+
=
=
=
.
(1.6)
Đng thc xy ra khi và ch khi
1 2
1 2
...
n
n
xx x
a a a
= = =
.
Bnđc xem thêm
Ph
ầ
n 3
v btđng thc
Radon
.
. Cho và hai s tha mãn
1 1
1
p q
+ = .
Chng minh hoc ph đnh btđng thc sau:
1 1
( ) ( ) max( , , ) max( , , ) max( , , )
p p p q q q
p q
a b c x y z ax by cz ay bz cx az bx cy+ + + + + +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 8
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
K thut tham s hóa-cân bng h s.
Ví dụ 2.1. Cho
, , 0x y z
. Tìm
3 3 3
min P x y z= + +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
3
3 3
1 1
1 2 2 3 3 1
2 3
P
+ + + +
3
3
3 3
3 3 3
1 1
1 2 2 3 3 1
2 3
x y z
= + + + + + +
3
2 3 36x y z + + =
.
3 3 3
36
36 4 3 9 2 1 81 3 16 2
P x y z
= + +
+ + + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
2 3
a
x
a b c
=
+ +
2 3
b
y
a b c
=
+ +
2 3
c
z
a b c
=
+ +
vi
1
2
a
=
1
3
b
=
1c
=
.
Vy,
36
min
36 4 3 9 2 1 81 3 16 2
P
=
+ + + +
.
Nhận xét 2.1. Ýtng giibàitoántrênnhsau:
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
( )
( )( )
amx bny cpz
P x y z
a b c m n p
+ +
= + +
+ + + +
.
Ta hãy chn saochođiu kin đc tn dng tritđ.Dođó,theocácht
nhiên nht, ta có th chn tha mãn
1
2 3 1
am bn cp
= = = .Đng thi, du bng ca btđng
thc
Holder
cũngphi xy ra, tc là
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 9
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
x y z
a b c
= =
x y z
m n p
= =
2 3 2 3 1
2 3 2 3 2 3
x y z x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + +
2 3
a
x
a b c
=
+ +
2 3
b
y
a b c
=
+ +
2 3
c
z
a b c
=
+ +
2 2 2
2 3
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c a b c a b c
= =
+ + + + + +
2 3
a
x
a b c
=
+ +
2 3
b
y
a b c
=
+ +
2 3
c
z
a b c
=
+ +
.
T đâytachnđc
1
2
a =
1
3
b
=
1c
=
2 2m
=
3 3n
=
1p
=
.
Ví dụ 2.2. Cho tha mãn . Tìm
4 4 4
min 2 3P x y z= + +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
4 4
4
4 4 4
3
3
3
3
3 3
3 3
3 3 3
2 3 2 3
1 1
1 1 1 1
1
2 1 3 1
2 3
2 3 2 3
x y z
+ + + +
+ +
+ + + +
4
3 3
3
16
12
3
3
3
3
3 33 3
3
3
3 3 3 3
2 3
1 1
1 1 1 1
1 1
1
2 1 3 1
1
2 3
2 3 2 3
2 3
x y z
+ + =
+ +
+ + + +
+ +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 10
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
16
12
3
3
3
3
4 4
4
3 3
3
3
3
3
3 3
3 3
3
1 1
1
3
2 3
3
1 1
1
2 3
3 3 3
2 3
1 1
1 1 1 1
1
2 1 3 1
2 3
2 3 2 3
P
+ +
=
+ +
+ +
+ +
+ + + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
3
3
3
1 1
1
2 3
x
=
+ +
3
3
3
3
1 1
2 1
2 3
y
=
+ +

3
3
3
3
1 1
3 1
2 3
z
=
+ +
.
Nhận xét 2.2. Ta có Bài toán Tổng quát cho bài toán trên.
Cho
,m n Z
+
, các hng s dng
1 2
, ,...,
n
a a a
và các s
1 2
, ,..., 0
n
x x x
>
tha mãn
1
n
i
i
x n
=
=
.
Tìm:
1
min
n
m
i i
i
P a x
=
=
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
1
1
1 1
1 1
1
1 1 1
1
1 1
.
m
m
n
m
n n
n n
n n n
j j
j j
m
i i i i i
m
n
i i i
in
i
n n
a a
a a x a x
a
a
-
-
- -
= =
-
= = =
-
1
1
1
1
.
1
m n
m
n
i
n
i
n
j
j
n
x
a
+ -
=
-
=
=
1
1
1
1
m n
m
n
n
j
j
n
n
a
-
-
=
=
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 11
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
1
m n
m
n
n
n
j
j
m n
n
n
j
j
m n
n
n
n
j
j
n
n
i
i
n
j
j
n
n
a
n
P
n
a
a
n
a
a
-
-
=
- -
-
=
- -
-
=
-
=
-
=
=
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
j
j
i
n
n
i
n
i
n
j
j
n
a
n
x
a
a
a
-
=
-
-
-
=
= =
(
1,i n
" =
).
Ví dụ 2.3. Cho tha mãn
2 2
2 2 3 4x y x xy y
+ + + + =
. Chng minh rng:
3
2
5
32 1
3
x y
-
.
Michael Rozenberg
Lời giải.
Ta vit gi thit li thành
2
2
2 2 2 20
2
x
y
+ + + =
.
Áp dng btđng thc
AM GM
-
và btđng thc
Holder
ta có:
2 2 2 4
2 2 2
3
20 2 2 2 2 2 2 3 2 . 2
2 2 2 2
x x x x
y y y
= + + + = + + + + + + +
2
3
3
3 . . 2.2.2
2 2
x x
y
+
2
2
3
3 2
4
x y
= +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 12
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
3
2
5
32 1
3
x y
-
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
5 5
( , ) 4 1 ,2 1
3 3
x y
= - -
.
BÀI T
Ậ
P
1.
Cho
1997 1997 1997
3x y z+ + =
. Tìm max
2 2 2
F x y z
= + +
.
THTT 241
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
1997
1997 2
2 1997 1997 1995 1997 1997
1997
1995
.1.1.1.....1 3 . 3x x x x
= =
.
2
3x
.
Đng thc xy ra khi và ch khi .

2.
Cho và ,
m n
tha mãn
m m n n
x y x y+ = +
. Chng minh rng:
.
Lời giải.
Vi luôn tn ti các dãy s hu t
,
n n
a b
sao cho
lim , lim
k k
k k
a m b n
+ +
= =
.
Dođótacn chng minh
vi
k k k k
a a b b
x y x y+ = +
(
*
k N"
).
Hay ta chng minh
.
Vi và
,m n Q
+
,
m n
tha mãn
m m n n
x y x y+ = +
.
Đt
,
A C
m n
B D
= =
(
, , ,A B C D Z
+
,
gcd , gcd , 1A B C D
= =
).
Không mt tính tng quát, gi s
m n
>
DA BC
>
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
A
A
x y x y
+ = +
A
B B
A A
B B
A A
A
x y
= +
... . 1 1 1 1 ... 1 1
A A A A A A
B B B B B B
A
A B
B
x y x y x y
-
+ + + + + +
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 13
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
2 .
B
A A
A B
B B
A
x y
-
= +
2 .
B
DA BC
A A
A B
B B
DA BC
A
x y
-
-
-
= +
2 .
B
DA
C C
D D
A B
A DA BC
BC
A A
B B
x y
x y
-
-
+
=
+
2 .
B
DA
BC BC
A A
B B
DA DA
A B
DA BC
BC
A
A A
B B
x y
x y
-
-
+
=
+
... . 1 1 1 1 ... 1 1
2 .
B
A A A A A A
B B B B B B
DA BC
A B
BC
DA BC
BC
A
A A
B B
x y x y x y
x y
-
-
-
+ + + + + +
+
2 .
2 .
B
BC
A A
DA BC
B B
A B
A DA BC
BC
A A
B B
x y
x y
-
-
-
+
=
+
2
=
.
Đng thc xy ra khi và ch khi .
3.
Cho
3 3
1x y+ =
. Tìm .
4.
Cho
. Tìm .
5.
Cho
3a b c
+ + =
. Tìm .
6.
Cho
thamãncácđiu kin:
k
+
0 a b c d
<
1 2
3
d
a b c
+ +
2
2
d
b c
+
.
Chng minh rng:
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 14
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
L
ờ
i gi
ả
i.
S dng phép nhóm
Abel
ta d thy:
2 1
2 1 . . .
k k k
k k k k k
d
d c b a
c b a
+ + = + +
2 1 2
. . .
k k k k k k
k k k k k
d d d
c b b a a
c b c a b c
= - + - + + + +
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
1
1 2 1 2
3 3
k k k k
k k
d d
a b c a b c
-
+ + + +
1 2
3
k k k
d
a b c
+ +
.
1
2 2
2 2
k k k
k k
d d
b c b c
-
+ +
2
2
k k
d
b c
+
.
Suy ra
2 1 2
. . .
k k k k k k
k k k k k
d d d
c b b a a
c b c a b c
- + - + + + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
1a
=
2b
=
1c d
= =
.
Lưuý
2.1.
Ta nhc li v phép nhóm
Abel
.
Cho 2 dãy s dng
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
x x x y y y
.
Đt
1
i
i j
j
S y
=
=
(
1,i n
=
.Khiđó:
1
1 1
n n
i i i i i
i i
x y x x S
+
= =
= -
(Quyc
1 1n
x x
+
=
).
Ví d
ụ
2.4.
Cho . Chng minh rng:
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
AM GM
-
và btđng thc
Holder
ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
6
3 . .x xy y x xy y z y yz zx x z+ + + + + + + +
3
3 2 2 2 2 2 2
3 3
6
3 . . . . . . 3x z zx xy y x y yz z xy yz zx
+ + = + + .
Đng thc xy ra khi và ch khi .
BÀI T
Ậ
P
7.
Cho . Chng minh rng:
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2
abc a b c
a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 15
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
L
ờ
i gi
ả
i.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3 3 2
2 2 2
6
2 2 2 2 2
6 6
a a a
a
b c b c a
= =
+ +
.
Ta chng minh
2
2
6 2
a
abc a
. Tht vy,
2
2
2
3 .
6 6 6 2
a
bc abc a
ca ab
=
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
8.
Cho . Chng minh rng:
3 3 3
3
1 1 1abc a b c ab bc ca
+ + + + + +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
3
1 a ab c
+ +
.
Hay ta cn chng minh btđng thc
abc c bc ca
+ +
1 1 0c a b
- -
.
Điu này hinnhiênđúngvìtheonguyên lí
Dirichlet
, trong 3 s luôn có ít nht 2
s cùng nh hnhoc bng 0 hoc cùng lnhnhoc bng 0 . Không mt tính tng quát, gi s đó
là 2 s
1a
-
và
1b
-
, suy ra .
Đng thc xy ra khi và ch khi
1a b c
= = =
.
9.
Cho . Chng minh rng:
1 16
81
a a b b c c
abc
+ + + +
.
Đng thc xy ra khi nào ?
10.
Cho tha mãn . Chng minh rng:
3 3 32 2 2 2 2 2
12a b c b c a c a b
+ + + + +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
3
3
. . 2a b c a a b c a a b c a a
+ = + + =
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
2a b c
= = =
.
Ví dụ 2.5. Cho . Chng minh rng:
3 3 3 2
27
8
a b c
b c c a a b a b c
+ +
+ + + + +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
2
3
27
8
a a
a
b c
b c
+
+
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 16
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
3 2
27
8
a
b c
a
+
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
BÀI T
Ậ
P
11.
Cho . Chng minh rng:
2
1 1 1 27
2
a b c b c a c a b
a b c
+ +
+ + +
+ +
.
12.
Cho . Chng minh rng:
2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ +
+ +
+ + +
.
13.
Cho . Chng minh rng:
3 3 3
2 2 2
3
8 3
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
+ +
.
Lời giải.
Ta chng minh btđng thc
3
3 2
8 27
a b
a b
+
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
3
3
2
3
1. . 3a b a ab a bc=
.
Bài toán quy v chng minh
8 9
a bc
a b
+
.
(2.1)
Áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
9
8 8 8 9
a bc
a bc
a bc abc a bc
a b
-
-
+
= =
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
Lưuý2.2. Btđng thc (2.1) bài toán trên:
Cho .Khiđó ta có:
. . .
2 2 2 3 3
a b b c c a a b c ab bc ca
+ + + + + + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
hoc và các hoán v.
Đâylà1kt qu ht sc quen thuchayđc s dng khi gii toán.
14.
Cho . Chng minh rng:
4 4 4
4 4 4
4
3 3 3 108a b c a b c
+ + + + + + +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 17
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
Ví dụ 2.6. Cho . Chng minh rng:
3
3
2
8 . . 3
2 3
ab a b a b c
a a ab abc
a b
+ + +
+ + +
+
.
Lời giải.
Ta chng minh
3
3
3
2
8 . . 27
2 3
ab a b a b c
a a ab abc
a b
+ + +
+ + +
+
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
3
3
27
3 3 3 3 3 3 3 3 3
a a a a ab b a b c
a ab abc
+ + + + + + + +
.
Vy ta cn chng minh
3
3
2
8 . . 9
2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
ab a b a b c a a a a ab b a b c
a
a b
+ + +
+ + + + + + +
+
.
3
2
8 . 243
2
ab a b
a ab b
a b
+
+ + +
+
.
Tht vy, áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
3
3
2
2
8 . 3 3 .
2 2
a ab b
ab a b a b
a b a b
+ +
+ +
+ = + +
+ +
2
27.9. .
2
a ab b
a b
a b
+ +
+
+
243 a ab b
= + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
Ví dụ 2.7. Cho . Chng minh rng:
3
9
2
9
6
3 4
2
a a b
bc
a b a b c
a b c
+
+
+ + +
+ +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
và btđng thc
AM GM
-
ta có:
3
3
9
2
9
6
3
2
a a b
bc
a b a b c
a b c
+
+ =
+ + +
+ +
3
2 2 2
3
9 9 9
2 2 2
9 9 9
2 2 2 2 3
1. . 1. . 1. . 1. .
4 4 4
a b a b a b
a a a b c
a b a b a b a b a b c
a b c a b c a b c
+ + +
= + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 18
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
3
2 2 2
3 3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2 2
9 9 9
2 2 2 2 3
1. . 1. . 1. . 1. .
4 4 4
a b a b a b
a a a b c
a b a b a b a b a b c
a b c a b c a b c
+ + +
= + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
2
3
3
2
9
2 2 3
4 3 3
4
a b
a b c
a b a b a b c
a b c
+
+ +
+ + + +
+ +
3 3
2 2 3
4 1 1 1
2 2
a b a b
a b c
a b a b a b c a b c a b c
+ +
+ + + + + +
+ + + + + + + +
3
4
=
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
Nh
ậ
n xét 2.3.
Ta có
Bài toán T
ổ
ng quát
cho bài toán trên.
Cho
1 2
, ,..., 0
n
a a a
>
. Gi
1
n
n
n i
i
g a
=
=
.
Gi
1
k
i
i
k
a
A
k
=
=
(
1,k n
" =
). Gi
1
n
n
n i
i
G A
=
=
. Chng minh rng:
1
n n
n
n n
G g
n n
A G
+ +
.
IMO Shortlist 2004
Lời giải.
Đt
0
0A
=
. Và
1
1x
=
,
1k
k
k
A
x
A
-
=
( ).
Ta có:
2
2
2 1
1
2 3
...
n
i
n
n
n i
n
n
n
n
n n
A
G
x x x
A A
-
=
= =
.
1 1
1 1 1 1
1 1
1
n n n n
k k k
n k
n
n
n
n
k
k k k k
n k k k
kA k A k A
g a
k k k x
G A A A
- -
= = = =
- - -
= = = - = - -
.
Ta cn chng minh
2
2 1
2 3
1
... 1 1
n
n
n
n
n k
k
n x x x k k x n
-
=
+ - - +
.
. Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
2
2 1
2 3
1
... 1
n
n
n
n
n k
k
n x x x k k x
-
=
+ - - =
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 19
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
1 2 1 1 2 1 1 2 1
2 3 2 3 2 3
2
1. . ... 1. . ... ... 1. . ... 1. 1
n n n
n
n n n
n n n n n n n n n
n
n n n k
k
n
x x x x x x x x x k k x
- - -
=
= + + + + - -
1 2 1 1
2 2 3 3
1 2 3 2 ... 1 ... 1
k n
n n n n
n
k k n n
n nx x nx x nx k k x nx n n x
- -
+ + - + - + - - + - -
.
Áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
Vi ,
1
1 1
1 .1 1
k
k n k
n
n
k k k k
nx k k x n x k k x
-
- - +
+ - - = + - -
1n
= +
.
1 2 1 1
2 2 3 3
1 2 3 2 ... 1 ... 1 1
k n
n n n n
n
k k n n
n nx x nx x nx k k x nx n n x n
- -
+ + - + - + - - + - - +
.
. Áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
2
2
1
2 1 2 1
2
2 3 1 2 3
1 1
... 1 ... 1
n n
n n
n
n n
n
n n
n k n k
k k
n x x x k k x n x x x x k k x
+
- -
= =
+ - - = + - -
1
2 1
1
1 1
1 1
2
n n
k k
k k
n n
x k x k k x
n n
= =
+
+ - + - -
2 2
1 1 1 1
1 1
2 2
n n
k k
k k
n n
k x k x
n n
= =
+ +
= + - + - -
1n
= +
.
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 20
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
Trong phn này, ta s xét mt s dng toán áp dng btđng thc
Holder
đngin, mt s bài toán là
nhng kt qu quen thuc, mt s bàitoántrongcáckìthiOlympiccácnc và khu vc,cáckìthiIMO,…
Ví dụ 2.8. Cho tha mãn
2x y a b c
+ = + +
. Chng minh rng:
3 3
27ax by c abc+ +
.
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
2
3
3 3
1 1 1
1ax by c x y
a b c
+ + + + + +
.
3
3 3
2
1
1 1 1
x y
ax by c
a b c
+ +
+ +
+ +
3
2
2 1abc a b c
ab bc ca
+ + +
=
+ +
.
Nên ta cn chng minh
2
3
2 1 27a b c ab bc ca
+ + + + +
.
Áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
3
3
3
2 1 3 1. .a b c a b c a b c
+ + + + + + +
2
27 a b c= + +
2
27 ab bc ca + +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
1
3
a b c
= = =
và .
Ví dụ 2.9. Cho . Chng minh rng:
3
2
2
2 2 2 2 2 2
3
3
a ab b b bc c c ca a a b b c c a abc
+ + + + + + + + + -
.
Lời giải.
Btđng thctngđngvi
1
2
2
2 2
3
3
3
abc a ab b a b
+ + + +
.
3
2
2 2
3
2 2 2 2 2 2
1
a ab b
a b
a b c a b c
+ +
+
+
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 21
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
3
2
2
2 2
2 2
3
2 2 2 2 2 2
1 1
a ab b a b
a b
a ab b
a b c ab ab a b c
+ +
+
+
+ +
+ + = =
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
a b c
= =
.
Ví d
ụ
2.10.
Cho . Chng minh rng:
.
Vasile Cirtoaje-Gazeta Matematica
Lời giải.
Ta chng minh rng
4 4
4
4 3 2
, , , , , ,
2 1 1 1
a b c d a b c d
a abcd a
+ + +
.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
4
4
, , ,
1 1
a b c d
a abcd+ +
.
Dođó,tach cn chng minh rng
4 4
4 3 4 2
, , , , , ,
2 1 1 1
a b c d a b c d
a a a
+ + +
.
Ta s chng minh
4 4
3 4 2
2 1 1 1a a a
+ + +
.
Tht vy, áp dng bt đng thc ta có:
4
2
4 2 2 2
3 3 3 3
2
1
2 1 2 1 1 2 1 .
1
a
a a a a
a
+
+ = + + +
+
.
Btđng thc cn chngminhtngđngvi
2
2
3 4
2 1 1 1a a a
+ + +
4
1 0a
-
(Đúng).
Đng thc xy ra khi và ch khi
1a b c d
= = = =
.
Ví dụ 2.11. Cho
1 2 3
, ,..., 0
n
x x x
>
. Chng minh rng:
2
3 3
1
1 1
1
2 1
1
n
n n
n
k
n
k
k k
k
x
x
x
= =
+
+
+
.
Mihaly Bencze
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
ta có:
L Ư U H À N H N Ộ
I B
Ộ
| 22
Nguyn Quang Huy
K49THPTChuyênĐHSP
3
3 3 3
1 1
3
3
3
1 1 1
1 1 1
n n
n n n
n n
k k k
k k k
x x x
= = =
+ = + +
.
Bài toán quy v chng minh
2
3 3
3
3
1 1
1
2 1
1
n n
n
k
k
k k
k
x
x
x
= =
+
+
+
.
Ta s chng minh
2
3
3
3
1
2. 1
1
k
k
k
x
x
x
+
+
+
( ).
3
3 4
2 3 2
2 1 1 1 1 1
k k k k k k
x x x x x x
+ + + = - + +
.
Tht vy, áp dng btđng thc
AM GM
-
ta có:
4 2 2
2 2
1
1 1 . 1 . 1 . 4 1
4
k k k k k k k
x x x x x x x
- + + = + + - +
3
2 2
2
1 1 4 1
1
.
4 3
k k k k
x x x x
+ + + + - +
3
2
2 1
k
x
= +
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
1 2 3
... 1
n
x x x
= = = =
.
BÀI T
Ậ
P
15.
Cho tha mãn . Chng minh rng:
2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1 3 a b c
a b b c c a
+ + + + +
+ + +
.
Đng thc xy ra khi nào ?
Lời giải.
Áp dng btđng thc
Holder
và btđng thc
AM GM
-
ta có:
3
3
2
3
2 2 2 2
2 2
4 4 4
1 1 1 27 3
3
a b c
a b a b
a b
+ + + = + +
+ +
+
.
Đng thc xy ra khi và ch khi
1a b c
= = =
.
16.
Cho tha mãn
1abcd
=
. Chng minh rng:
4
4 4 4 4 4
1 1 1 1
4 1 1 1 1a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + +
.
Gabriel Dospinescu
Lời giải.
Ta chng minh
4
4
, , ,
, , ,
1
4 1
a b c d
a b c d
a a
a
+ +
.
Tht vy, áp dng btđng thc
Holder
ta có:

Tài liệu khác của Tài liệu khác

Preview text:

L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 3 MỤC LỤC
BẢN QUYỀN THUỘC VỀ LOVETOAN.WORDPRESS.COM
M t S Kí Hi u V T ng Và Tích ..................................................................................................4
B T Đ NG TH C HOLDER ..........................................................................................................5 M T S K THU T TH
NG S D NG.....................................................................................8
1. M T S BÀI TOÁN M Đ U ..............................................................................................8
2. M T S BÀI TOÁN C B N .............................................................................................20
3. M T S BÀI TOÁN NÂNG CAO ........................................................................................58
4. K THU T Đ I BI N S .................................................................................................115
5. NÂNG CAO K THU T S D NG B T Đ NG TH C HOLDER....................................146
B T Đ NG TH C RADON ........................................................................................................175
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 4 - T ng hoán v . cyc
- V i 3 bi n a, ,bc : 3 3 3 3
a b = a b + b c + c a . cyc - V i 4 bi n : 3 3 3 3 3
a b = a b + b c + c d + d a . cyc - T ng đ i x ng. sym
- V i 3 bi n a,b,c :
ab = ab + bc + ca . sym - V i 4 bi n :
ab = ab + ac + ad + bc + bd + cd . sym - Tích hoán v . cyc
- V i 3 bi n a,b,c : (a + )
b = (a + b)(b + c)(c + a) . cyc - V i 4 bi n :
(a + b) = (a + )
b (b + c)(c + d)(d + a) . cyc - Tích đ i x ng. sym
- V i 3 bi n a,b,c : 2 2 2 2 2 2 2 (a + ) b = (a + )
b (b + c)(c + a)(b + a)(c + )
b (a + c) . sym - V i 4 bi n : (a + ) b = (a + )
b (a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) . sym
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 5
Định lý 1.1. Cho các s d ng a (i =1, ,
m j = 1, n ). Khi đó, ta có: ij m m n n m m a a . ij ij i 1 = j 1 = j 1 = i 1 = (1.1)
Chứng minh.
Áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: a a a a a ...a 11 21 1 m 11 21 1 + +... m + m m
a + a + ...+ a
a + a + ... + a
a + a + ...+ a
(a + a + ... + a )(a + a + ... + a )...(a + a + ... + a ) 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn a a a a a ...a 12 22 m2 12 22 m2 + +...+ m m
a + a + ...+ a
a + a + ... + a
a + a + ...+ a
(a + a + ... + a )(a + a + ... + a )...(a + a + ... + a ) 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn … a a a a a ...a 1n 2n mn 1n 2 + +... n mn + mm
a + a + ...+ a
a + a + ... + a
a + a + ...+ a
(a + a + ... + a )(a + a + ... + a )...(a + a + ... + a ) 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn .
C ng t ng ng v v i v các b t đ ng th c trên, ta thu đ c Định lý 1.1. a a a 11 21 1 = = ... m =
a + a + ... + a
a + a + ... + a
a + a + ... + a 11 12 1n 21 22 2n 1 m m 2 mn a a a
Đ ng th c x y ra khi và ch khi 12 22 m2 = = ... =
a + a + ... + a
a + a + ... + a
a + a + ... + a 11 12 1n 21 22 2n 1 m m 2 mn … a a a 1n 2n = = ... mn =
a + a + ... + a
a + a + ... + a
a + a + ... + a 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn . n
Định lý 1.2. Cho các s d ng x (
). Khi đó v i k 0 ( i " =1, n ) th a mãn k = 1 , ta có: ij i i i 1 = k j n m m n k j x x . ij ij i 1 = j 1 = j 1 = i 1 = (1.2)
Chứng minh.
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 6 m Gi s
x = 1 ( i = 1, n ), khi đó b t đ ng th c c n ch ng minh tr thành ij j 1 = m n 1 k j x . ij j 1 = i 1 =
S d ng b t đ ng th c AM - GM ta có: m n m n n m n m n k j x k x = k x = k x = k = 1. ij i ij i ij j ij i j 1 = i 1 = j 1 = i 1 = i 1 = j 1 = i 1 = j 1 = i 1 = Đ nh lý đ c ch ng minh .
Một số trường hợp đặc biệt thường gặp của bất đẳng thức Holder . V i thì ta có: . (1.3)
Đ ng th c x y ra khi và ch khi . a b c = = m n p . a b c = = x y z Và khi thì ta có: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3
(a + b + c )(m + n + p )
(am + bn + cp ) .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a b c = = . m n p
(B t đ ng th c Chrystal ).
Cho các s d ng a (i =1, , m j =1, n ). ij Khi đó ta có:
1+ a + a + ...+ a
1+ a + a +...+ a
... 1+ a + a + ...+ a 11 12 1n 21 22 2n 1 m m2 mn m 1 m + a a ... m a
+ a a ...a +... m + a a ...a . 11 21 1 m 12 22 m2 1n 2n mn (1.4)
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a : a :...: a = a : a :...: a = ... = a : a :...: a =1. 11 21 1 m 12 22 m2 1n 2n mn Cho
. Khi đó ta có b t đ ng th c: 3 3 3 3 a b c
(a + b + c) + + . x y z
3(x + y + z) (1.5)
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 7
Đ ng th c x y ra khi và ch khi .
(B t đ ng th c Radon ).
Cho a , x > 0 ( k " =1, n ) và . Khi đó ta có: k k p 1 + n x n p 1 k x + k k 1 = . p p n a k 1 = k ak k 1 = (1.6)
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x x x 1 2 = = ... n = . a a a 1 2 n
B n đ c xem thêm Phần 3 v b t đ ng th c Radon . . Cho và hai s th a mãn 1 1 + =1. p q
Ch ng minh ho c ph đ nh b t đ ng th c sau: 1 1 ( p p p + + ) p ( q q q + + )q a b c x y z max(a ,
x by,cz) + max(ay,bz,cx) + max(az,bx,cy) .
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 8
K thu t tham s hóa-cân b ng h s . x, y, z 0
Ví dụ 2.1. Cho . Tìm 3 3 3
min P = x + y + z .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 3 3 3 1 1 + +1 2 2 + 3 3 +1 P 2 3 3 3 3 3 1 1 3 3 3 = + +1 2 2
+ 3 3 +1 x + y + z 2 3 3
2x + 3y + z = 36 . 36 3 3 3
P = x + y + z . 36 + 4 3 + 9 2 1+ 81 3 +16 2 a x = 1
2a + 3b + c a = 2
Đ ng th c x y ra khi và ch khi b y = v i 1 .
2a + 3b + c b = 3 c z = c = 1
2a + 3b + c V y, 36 min P = . 36 + 4 3 + 9 2 1+ 81 3 +16 2
Nhận xét 2.1. Ý t
ng gi i bài toán trên nh sau:
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3
(amx + bny + cpz) 3 3 3
P = x + y + z . 3 3 3 3 3 3
(a + b + c )(m + n + p ) Ta hãy ch n sao cho đi u ki n
đ c t n d ng tri t đ . Do đó, theo cách t nhiên nh t, ta có th ch n th a mãn am bn cp = =
=1. Đ ng th i, d u b ng c a b t đ ng 2 3 1
th c Holder cũng ph i x y ra, t c là
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 9 x y z = = a b c x y z = = m n p 2x 3y z
2x + 3y + z 1 = = = = 2a 3b c
2a + 3b + c
2a + 3b + c a
x = 2a +3b+c b y =
2a + 3b + c c
z = 2a +3b+c 2 2 2 2a 3b c = =
2a + 3b + c
2a + 3b + c
2a + 3b + c a
x = 2a +3b+c b y =
2a + 3b + c . c
z = 2a +3b+c 1 a = 2 1 b = 3 T đây ta ch n đ c . c = 1 m = 2 2 n = 3 3 p = 1
Ví dụ 2.2. Cho th a mãn . Tìm 4 4 4
min P = x + 2y + 3z .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 4 4 4 3 3 3 4 4 4
x + 2 y + 3z + 2 + 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1+ + 2 1+ + 3 1+ + 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 4 3 3 3 16 3 3 3 3 x + 2 y + 3 z = . 12 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1+ + 2 1+ + 3 1+ + 3 3 1+ + 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 10 16 3 12 3 1 1 1+ + 3 3 2 3 3 P = 3 . 3 4 4 4 1 1 1+ + 3 3 2 3 3 3 3 + 2 + 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1+ + 2 1+ + 3 1+ + 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 x = 1 1 1+ + 3 3 2 3 3 y =
Đ ng th c x y ra khi và ch khi 1 1 3 . 2 1+ + 3 3 2 3 3 z = 1 1 3 3 1+ + 3 3 2 3
Nhận xét 2.2. Ta có Bài toán Tổng quát cho bài toán trên. n Cho , m n Z + , các h ng s d
ng a ,a ,...,a và các s x , x ,..., x > 0 th a mãn x = n . 1 2 n 1 2 n i i 1 = n Tìm: min m P = a x . i i i 1 =
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: m 1 m - m n 1 - n n n 1 n 1 n n 1 - n n n 1 - j 1 = a j 1 = a j j a . m a x a x i m i i i i n 1 - i 1 = i 1 = i 1 = a n 1 - i ai m+n 1 - m n n = . x n 1 i i 1 = n 1 - j 1 = a j m n 1 - n m = n . n 1 n 1 - j 1 = a j
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 11 m n 1 - n m n n 1 n 1 - n j 1 = a j n P = m 1 - n 1 - n 1 n 1 n - j 1 = a j m 1 - n 1 - n 1 n n 1 - j 1 = a n j . n n 1 1 - i 1 = ai n 1 - j 1 = a j . n n 1 n 1 - j 1 = a
Đ ng th c x y ra khi và ch khi j n x = = ( i " =1,n ). i n 1 - n ai 1 n 1 - ai n 1 - j 1 = a j
Ví dụ 2.3. Cho th a mãn 2 2
x + y + 2x + 2xy + 3y = 4 . Ch ng minh r ng: 3 5 2 x y 32 -1 . 3 Michael Rozenberg
Lời giải. Ta vi t gi thi t l i thành 2 x 2 2 + 2 + y + 2 = 20 . 2
Áp d ng b t đ ng th c AM - GM và b t đ ng th c Holder ta có: 2 2 2 4 x 2 x x 2 x 2 3 20 = 2 + 2 + y + 2 = + 2 + + 2 + y + 2 3 + 2 . y + 2 2 2 2 2 2 x x 3 3 3 . .y + 2.2.2 2 2 2 2 x y 3 = 3 2 + . 4
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 12 3 5 2 x y 32 -1 . 3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi 5 5 ( , x y) = 4 -1 ,2 -1 . 3 3 BÀI TẬP 1. Cho . Tìm max 2 2 2
F = x + y + z . 1997 1997 1997 x + y + z = 3 THTT 241
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 1997 1997 2 2 1997 1997 1995 1997 1997 x = x x .1.1.1.....1 3 . x = 3 . 1997 1995 2 x 3 .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi . 2. Cho và
, m n th a mãn m m n n
x + y = x + y . Ch ng minh r ng: .
Lời giải. V i
luôn t n t i các dãy s h u t a , b sao cho n n lim a = ,
m lim b = n . k k k + k + Do đó ta c n ch ng minh v i ka k a k b k b
x + y = x + y ( * k " N ). Hay ta ch ng minh . V i và , m n
Q+ , m n th a mãn m m n n
x + y = x + y . Đ t A C m = , n = ( , A , B C, D Z + , gcd ,
A B = gcd C, D =1). B D
Không m t tính t ng quát, gi s m > n DA > BC .
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: A A x + y = x + y A B B A A B B A A A = x + y A A A A A A B B B B x + y x + y ... B B x + y . 1+1 1+1 ... 1+1 A A-B B
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 13 B A A
= 2A-B. B B A x + y B DA-BC A A = 2A- .B B B DA-BC A x + y B DA C C D D x + y = 2A- .B A DA-BC BC A A B B x + y B DA BC BC A A B B DA DA x + y
= 2A-B. DA-BC BC A A A B B x + y B A A A A A A B B B B x + y x + y ... B B x + y . 1+1 1+1 ... 1+1 DA-BC 2A-B. BC DA-BC BC A A A B B x + y B BC A A 2DA-BC. B B x + y = 2A-B. A DA-BC BC A A B B x + y = 2 .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi . 3. Cho . Tìm . 3 3 x + y = 1 4. Cho . Tìm . 5. Cho . Tìm .
a + b + c = 3 6. Cho th a mãn các đi u ki n: k + 0 < a b c d 1 2 d + + 3 . a b c 2 d + 2 b c Ch ng minh r ng: .
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 14
Lời giải.
S d ng phép nhóm Abel ta d th y: k k k d k k k k 2 k 1 d + 2 +1 = c . + b . + a . c b a k k k k k k d d d k k k k 2 k 1 2 = c -b . + b - a . + + a . + + . c b c a b c
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: k k k k k k k 1 2 d d d k 1 2 1 3 - + + + + 3k 1 2 + + 3 . a b c a b c a b c k k k k k 2 d d d k 2 1 2 - + + 2k 2 + 2 . b c b c b c Suy ra k k k k k k d d d k k k k 2 k 1 2 c - b . + b - a . + + a . + + c b c a b c . a = 1
Đ ng th c x y ra khi và ch khi b = 2 . c = d =1
Lưu ý 2.1. Ta nh c l i v phép nhóm Abel .
Cho 2 dãy s d ng x , x ,..., x , y , y ,..., y . 1 2 n 1 2 n i Đ t S =
y ( i = 1, n . Khi đó: i j j 1 = n n x y = x - x S (Quy c x = x ). i i i i 1 + i n 1 + 1 i 1 = i 1 =
Ví dụ 2.4. Cho . Ch ng minh r ng: .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c AM -GM và b t đ ng th c Holder ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 6
x + xy + y 3
x + xy + y . z + y + yz . zx + x + z 3 3 2 2 2 2 2 2 6 3 3 3
x .z .zx + .
xy y .x + y . . yz z
= 3 xy + yz + zx .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi . BÀI TẬP 7. Cho . Ch ng minh r ng: 6 6 6 a b c
abc a + b + c + + . 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b 2
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 15
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 3 2 2 2 2 6 a a a a = = . 2 2 2 2 2 b + c b + c 6 a 6 2 2 a abc a Ta ch ng minh . Th t v y, 6 2 2 2 2 a bc 3 c . a ab abc a = . 6 6 6 2
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c . 8. Cho . Ch ng minh r ng: 3 3 3 3 abc + 1+ a 1+ b 1+ c
ab + bc + ca .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 3 1+ a ab + c .
Hay ta c n ch ng minh b t đ ng th c abc + c bc + ca c a -1 b -1 0 .
Đi u này hi n nhiên đúng vì theo nguyên lí Dirichlet , trong 3 s luôn có ít nh t 2
s cùng nh h n ho c b ng 0 ho c cùng l n h n ho c b ng 0 . Không m t tính t ng quát, gi s đó
là 2 s a -1 và b -1, suy ra .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c =1. 9. Cho . Ch ng minh r ng:
a +1 a + b b + c c +16 abc . 81 Đ ng th c x y ra khi nào ? 10. Cho th a mãn . Ch ng minh r ng: 3 2 2 3 2 2 3 2 2
a b + c + b c + a + c a + b 12 .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b + c = .
a a . b + c a a b + c = 2 a a .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 2.
Ví dụ 2.5. Cho . Ch ng minh r ng: a b c 27 + + . 3 3 3 2 b + c c + a a + b
8 a + b + c
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 a 2 a 27 a . 3 b + c b + c 8
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 16 a 27 . 3 2 b + c 8 a
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c . BÀI TẬP 11. Cho . Ch ng minh r ng: 1 1 1 27 + + . 2 a b + c b c + a c a + b
2 a + b + c 12. Cho . Ch ng minh r ng: a b c a + b + c a + b + c . b + c c + a a + b 2 13. Cho . Ch ng minh r ng: 3 2 3 2 3 2
a + b b + c c + a
a b + b c + c a 3 . 8 3
Lời giải. 3 3 2 a b a + b Ta ch ng minh b t đ ng th c . 8 27
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 3 3 2 3 a b = 1. . a ab 3 a bc . Bài toán quy v ch ng minh a + b a bc . 8 9 (2.1)
Áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: a bc a bc a + b a bc abc - - 9 a bc = = . 8 8 8 9
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .
Lưu ý 2.2. B t đ ng th c (2.1) bài toán trên: Cho . Khi đó ta có:
a + b b + c c + a
a + b + c ab + bc + ca . . . . 2 2 2 3 3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c và các hoán v .
Đây là 1 k t qu h t s c quen thu c hay đ c s d ng khi gi i toán. 14. Cho . Ch ng minh r ng: 4 4 4 4 4 4 4
a + 3 + b + 3 + c + 3
108 a + b + c .
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 17
Ví dụ 2.6. Cho . Ch ng minh r ng: 2 ab
a + b a + b + c 3 3 8 + . a .
3 a + ab + abc . a + b 2 3
Lời giải. 3 3 Ta ch ng minh 2 ab
a + b a + b + c 3 8 + . a .
27 a + ab + abc . a + b 2 3
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 3 a a a a ab b a b c 3
a + ab + abc 27 + + + + + + . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 V y ta c n ch ng minh 3 2 ab
a + b a + b + c a a a a ab b a b c 3 8 + . a . 9 + + + + + + . a + b 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 ab a + b 8 + .
243 a + ab + b . a + b 2
Th t v y, áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: 3 3
2 a + ab + b 2 ab a + b a + b 8 + . = 3+ 3+ . a + b 2 a + b 2
2 a + ab + b a + b 27.9. . a + b 2
= 243 a + ab + b .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c.
Ví dụ 2.7. Cho . Ch ng minh r ng: 9a a + b 6bc 39 + 3 4 . 2
2 a + b + c
a + b a + b + c
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder và b t đ ng th c AM -GM ta có: 3 9a a + b 6bc 39 + 3 = 2
2 a + b + c
a + b a + b + c 3 2 2 2 2a 9 a + b 2a 9 a + b 2a 9 a + b 2b 3c 3 9 = 1. . 9 + 1. . 9 + 1. . + 1. . 2 2 2
a + b 4 a + b + c
a + b 4 a + b + c
a + b 4 a + b + c
a + b a + b + c
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 18 3 2 2 2 2a 9 a + b 2a 9 a + b 2a 9 a + b 2b 3c 3 3 = 1. .3 3 3 + 1. .3 3 3 3 + 1. .3 + 1. . 2 2 2 a + b
4 a + b + c a + b
4 a + b + c a + b
4 a + b + c
a + b a + b + c 2 2a 2b 9 a + b 3c 3 4 3 + 33 + 2 a + b a + b
4 a + b + c a + b + c 2a 2b 3 a + b 3 a + b 3c 4 1+1+ + 1+ + + a + b a + b
2 a + b + c
2 a + b + c a + b + c 3 = 4 .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .
Nhận xét 2.3. Ta có Bài toán Tổng quát cho bài toán trên. n
Cho a ,a ,...,a > 0 . G i n g = a . 1 2 n n i i 1 = k ai n G i i 1 A = = ( k " =1,n ). G i n G = A . Ch ng minh r ng: k k n i i 1 = G g n n n n + n +1. A G n n IMO Shortlist 2004
Lời giải. Đ t A
A = 0 . Và x = 1, k 1 x - = ( ). 0 1 k Ak Ta có: n Ai 2 G n 2 n i 1 2 n 1 = n - n = = x x ...x . n 2 3 n A A n n n n g a kA - k -1 n A k -1 n A n k k k 1 - k 1 - n n n n = = = k - =
k - k -1 x . k G A A A n k 1 = k k 1 = k k 1 = k k 1 = Ta c n ch ng minh n 2 2 n 1 n n x x ... - n x +
k - k -1 x n +1. 2 3 n k k 1 =
. Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: n 2 2 n 1 n n x x ... - n x +
k - k -1 x = 2 3 n k k 1 =
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 19 1 2 n 1 - 1 2 n 1 - 1 2 n 1 - n n n n = 1. n x . n x ... n x + 1. n x . n x ... n x +...+ 1. n x . n x ... n n x + 1.
k - k -1 x 2 3 n 2 3 n 2 3 n k k =2 n 1 2 k 1 - n 1 - n +1 n nx + 2 n - x nx + 3 - 2x ... n nx
+ k - k -1 x ... n n nx
+ n - n -1 x . 2 2 3 3 k k n n
Áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: V i , k 1 - k 1 - n-k 1 n nx k k 1 n x n x .1 + + - - =
+ k - k -1 x k k k k = n +1. 1 2 k 1 - n 1 - n +1 n nx + 2 n - x nx + 3 - 2x ... n nx
+ k - k -1 x ... n n nx
+ n - n -1 x n +1. 2 2 3 3 k k n n
. Áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: n n 1 n + n 2 2 2 1 n n- 2 n 1 n 2 n x x ... - n x +
k - k -1 x = n x x x ... n x +
k - k -1 x 2 3 n k 1 2 3 n k k 1 = k 1 = 1 n n +1 n n 1 x + k -1 x +
k - k -1 x 1 n 2 k k n k =2 k 1 = n n n +1 1 n +1 1 = + k -1 x + - k -1 x 2 k k n k n =2 2 k =2 = n +1.
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 20
Trong ph n này, ta s xét m t s d ng toán áp d ng b t đ ng th c Holder đ n gi n, m t s bài toán là
nh ng k t qu quen thu c, m t s bài toán trong các kì thi Olympic các n c và khu v c, các kì thi IMO,…
Ví dụ 2.8. Cho
th a mãn x + y = 2 a + b + c . Ch ng minh r ng: 3 3
ax + by + c 27abc .
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 2 1 1 1 3 3 3
ax + by + c + + x + y +1 . a b c 3 x + y +1 3 3
ax + by + c 2 1 1 1 + + a b c 3
abc 2 a + b + c +1 = . 2
ab + bc + ca 2 Nên ta c n ch ng minh 3
2 a + b + c +1 27
ab + bc + ca .
Áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: 3 3 3
2 a + b + c +1
3 1. a + b + c . a + b + c 2
= 27 a + b + c 2
27 ab + bc + ca .
Đ ng th c x y ra khi và ch khi 1
a = b = c = và . 3
Ví dụ 2.9. Cho . Ch ng minh r ng: 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3
a + ab + b
b + bc + c
c + ca + a
a + b b + c c + a - abc .
Lời giải.
B t đ ng th c t ng đ ng v i 1 2 2 2 2 3 3 3 abc +
a + ab + b a + b . 3 2 2 2
a + ab + b a + b 3 1+ . 2 2 2 2 2 2 a b c a b c
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có:
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 21 3 2 2 2 2 2 2
a + ab + b
a + ab + b a + b a + b 3 1+ 1+ = = . 2 2 2 2 2 2 a b c ab ab a b c
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .
Ví dụ 2.10. Cho . Ch ng minh r ng: .
Vasile Cirtoaje-Gazeta Matematica
Lời giải. Ta ch ng minh r ng 4 4 4 4 3 2 2 a +1 1+ abcd a +1 .
a,b,c,d
a,b,c,d
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có: 4 4 1+ a 1+ abcd .
a,b,c,d
Do đó, ta ch c n ch ng minh r ng 4 4 4 3 4 2 2 a +1 1+ a a +1 .
a,b,c,d
a,b,c,d Ta s ch ng minh 4 4 3 4 2 2 a +1 1+ a a +1 .
Th t v y, áp d ng b t đ ng th c ta có: 4 2 4 2 2 2 a +1 3 3 3 3 2 a +1 = 2 a +1 a +1 2 a +1 . . 2 a +1
B t đ ng th c c n ch ng minh t ng đ ng v i 2 2 3 4 2 a +1 a +1 1+ a 4 a -1 0 (Đúng).
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = d =1.
Ví dụ 2.11. Cho x , x ,..., x > 0 . Ch ng minh r ng: 1 2 3n n 3n 2 3n 1 + x n 1 2 k 1 n + x . 1 k + x k 1 = k k 1 = Mihaly Bencze
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder ta có:
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP
L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 22 n 3n 3n 1 3n 1 3n 3 n 3 n 3 1+ x = 1+ x 1+ x . k k k k 1 = k 1 = k 1 = 3n 2 3n + Bài toán quy v ch ng minh x n 1 k 3 3 2 1+ x . 1 k + x k 1 = k k 1 = Ta s ch ng minh 2 1+ x 3 k 3 3 2. 1+ x ( ). 1 k + xk 3 3 4 2 3 2 2 1+ x 1+ x 1+ x
= 1- x + x 1+ x . k k k k k k
Th t v y, áp d ng b t đ ng th c AM -GM ta có: 4 1 2 2 2 2 1- x + x 1+ x
= . 1+ x . 1+ x . 4 1- x + x k k k 4 k k k k 3 2 2 2 1+ x + 1+ x + 4 1- x + x 1 k k k k . 4 3 3 2 = 2 1+ x . k
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = x = ... = x =1. 1 2 3n BÀI TẬP 15. Cho th a mãn . Ch ng minh r ng: 4 4 4 2 1+ 1+ 1+
3 a + b + c . 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a Đ ng th c x y ra khi nào ?
Lời giải.
Áp d ng b t đ ng th c Holder và b t đ ng th c AM -GM ta có: 3 3 4 4 4 2 3 1+ 1+ 1+
= 27 3 a + b + c . 2 2 2 2 2 2 a + b a + b a + b 3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c =1. 16. Cho
th a mãn abcd =1. Ch ng minh r ng: 4 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4
a +1 b +1 c +1 d +1
a + b + c + d + + + + . a b c d Gabriel Dospinescu
Lời giải. Ta ch ng minh 1 4 4 a +1 a + . 4 a
a,b,c,d
a,b,c,d
Th t v y, áp d ng b t đ ng th c Holder ta có:
Nguy n Quang Huy K49 THPT Chuyên ĐHSP

Tài liệu liên quan: