Chuyên đề bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 10 KNTTvCS

Tài liệu gồm 89 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình SGK Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTvCS), có đáp án và lời giải chi tiết.

106 53 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (KNTT)

Môn: Toán 10

Thông tin:

89 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 51
BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai Nn
,
x
y
có dạng tổng quát là

1ax by c
;;ax by c ax by c ax by c  
trong đó
,,abc
là những số thực đã cho,
a
và
b
không đồng thời bằng
0,
x
và
y
là các Nn
số.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một Nn, các bất phương trình bậc nhất hai Nn thường có vô
số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

1
được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của
bất phương trình
ax by c
như sau (tương tự cho bất phương trình
ax by c
)
- Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ
,Oxy
vẽ đường thẳng :
.ax by c
- Bước 2. Lấy một điểm

000
;
M
xy
không thuộc
(ta thường lấy gốc tọa độ
O
)
- Bước 3. Tính
00
ax by và so sánh
00
ax by với
.c
- Bước 4. Kết luận
Nếu
00
ax by c
thì nửa mặt phẳng bờ chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
.ax by c
Nếu
00
ax by c thì nửa mặt phẳng bờ
không chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
.ax by c
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình
00
ax by c bỏ đi đường thẳng
ax by c
là miền nghiệm
của bất phương trình
00
.ax by c
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a)
23 6xy
; b)
2
20xy
; c)
2
21
x
y
.
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a)
3 2 300xy
; b)
7200xy
.
CHƯƠNG
II
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
LÝ THUYẾT.
I
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 52
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng
sau:
Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)
Phí tính theo quãng đường di
chuyển (nghìn đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu
900 8
Thứ Bảy và Chủ nhật
1500
10
a) Gọi
và
y
lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa
và
y
sao cho tổng số tiền
ông An phải trả không quá
14 triệu đồng.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 53
BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một Nn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai Nn
,
xy
mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ
bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai Nn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai Nn.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 Nn ta làm nư sau:
- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách
gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
- Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn
và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy
hoạch tuyến tính.
2.4.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a)
0
0;
x
y
b)
2
0
1;
xy
yx


c)
0
0;
xyz
y

d)
2
2
23
431.
xy
xy


2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a)
1
0
0;
yx
x
y

b)
0
0
24;
x
y
xy

c)
0
5
0.
x
xy
xy


2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600
đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và
1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử
gia đình đó mua
x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình
rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho
x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu
diễn
F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 54
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1:
Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
23xy
.
Câu 2:
Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
320xy
.
Câu 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
32(2 5) 2(1 )
xy
x
.
Câu 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

13 13 2xy.
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1:
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
36
4
.
0
0
xy
xy
x
y


Câu 2: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
23
2
xy
xy
yx



.
Câu 3: Tìm trị lớn nhất của biểu thức
;2Fxy x y , với điều kiện
0102
01
0
40
yx
yx
x
y
.
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Bài
toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
()
,Txy ax by=+
với
(
)
;
x
y
nghiệm đúng
một hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm
S là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của
F
tương ứng với
(
)
;
x
y
là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
· Giá trị lớn nhất của
F
là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
· Giá trị nhỏ nhất của
F
là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Câu 1: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích
800
m
2
. N ếu trồng đậu thì cần
20
công và
thu
3.000.000 đồng trên 100m
2
nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100
m
2
. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng
số công không quá
180
.
Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm
trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng.
Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong
tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 55
Câu 3:
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm
I
và
I
I
.
Mỗi sản phNm
I
bán lãi
500
nghìn đồng, mỗi sản phNm
I
I
bán lãi
400
nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm
I
thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong
1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm
I
I
thì Chiến phải làm việc trong
2
giờ, Bình phải làm
việc trong
6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
180
giờ và Bình không thể làm việc quá
220
giờ. Tính số
tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.
Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa
800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và
400
đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất
1, 6
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là
160
nghìn đồng, một kg thịt lợn là
110
nghìn đồng. Gọi
x
,
y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm
x
,
y
để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích
8ha
. Trên diện tích mỗi
ha
, nếu
trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu
ha
để thu được nhiều tiền
nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 56
Câu 1: Bất phương trình

3–2 – 1 0xyx
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
–2 –2 0xy
. B.
5–2–2 0xy
. C.
5–2–1 0xy
. D.
4–2–2 0xy
.
Câu 2: Cho bất phương trình

314 253xyx
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định
đúng?
A. Điểm

0;0O
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm

2; 2B
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm

4; 2C
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm

5;3D
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 3: Cho bất phương trình

322 5 21xy x
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Điểm

3; 4A 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm

2; 5B 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm

1; 6C 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm

0;0O
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 4: Cặp số

1; – 1
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
–3 0xy
. B.
–– 0xy
. C.
310xy
. D.
––3–1 0xy
.
Câu 5: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình

–2 – 3xy y
?
A.

4; –4
. B.

2;1
. C.

–1; –2
. D.

4; 4
.
Câu 6: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình

52 10xy
?
A.

0;1
. B.

1; 3
. C.

–1;1
. D.

–1;0
.
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
2
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 57
C.
D.
Câu 8: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 58
C.
D.
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
C.
D.
Câu 11: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
6
82
3
93
y
xy
yx
yx
là phần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?
A.
0;0
. B.
1; 2
. C.
2;1
. D.

8; 4
.
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 59
Câu 12:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
23
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
2;1
. B.
0;0
. C.
1;1
. D.

3; 4
.
Câu 13: Trong các cặp số sau, tìm cặp số không là nghiệm của hệ bất phương trình
0232
02
yx
yx
A.
0;0
. B.
1; 1
. C.

1;1
. D.

1; 1
.
Câu 14: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2310
540
xy
xy


?
A.

1; 4
. B.

2; 4
. C.
0;0
. D.

3; 4
.
Câu 15: Cho hệ bất phương trình
0
4
2
3
)1(2
01
32
x
y
x
yx
.
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm

2;1A
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm

0; 0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm

1; 1C
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm

3; 4D
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 16: Cho hệ bất phương trình:
2510
250
10
xy
xy
xy



.
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm

0; 0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm
1; 0B
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm
0; 2C
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm

0; 2D
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 17: Điểm

0;0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
A.
360
240


xy
xy
.
B.
360
240


xy
xy
.
C.
360
240


xy
xy
.
D.
360
240


xy
xy
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 60
Câu 18:
Cho hệ bất phương trình


3
211
2
43 22
xy
xy


có tập nghiệm
S
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
;1
4
S




.
B.
;|43 2Sxyxy
.
C. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là
đường thẳng
43 2xy
.
D. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là đường thẳng
43 2xy
.
Câu 19:
Cho hệ
235(1)
3
5(2)
2
xy
xy


. Gọi
1
S
là tập nghiệm của bất phương trình (1),
2
S
là tập nghiệm của
bất phương trình (2) và
S
là tập nghiệm của hệ thì
A.
12
SS
. B.
21
SS
. C.
2
SS
. D.
1
SS
.
Câu 20: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong bốn hệ A, B, C, D?
A.
0
32 6
y
xy

.
B.
0
32 6
y
xy

.
C.
0
32 6
x
xy

.
D.
0
32 6
x
xy

.
Câu 21: Miền tam giác
A
BC
kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ A, B, C, D?
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 61
A.
0
5410
5410
y
xy
xy


. B.
0
4510
5410
x
xy
xy


. C.
0
5410
4510
x
xy
xy


. D.
0
5410
4510
x
xy
xy


.
Câu 22: Cho hệ bất phương trình
2
3515
0
0
xy
xy
x
y


. Mệnh đề nào sau đây là
sai?
A. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền
tứ giác
A
BCO
kể cả các cạnh với
0;3A
,
25 9
;
88
B



,

2; 0C
và

0; 0O
.
B. Đường thẳng
:
x
ym
có giao điểm với tứ giác
A
BCO
kể cả khi
17
1
4
m
.
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là
17
4
.
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là.
A.
min 1
F
khi
2, 3xy
. B.
min 2
F
khi
0, 2xy
.
C.
min 3F
khi
1, 4xy
. D.
min 0F
khi
0, 0xy
.
Câu 24: Biểu thức
F
yx
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
0
5
22
22
x
yx
yx
yx
tại điểm
()
;Sxy
có toạ độ
là
A.
4;1
. B.

3;1
. C.
2;1
. D.
1; 1
.
O
C
B
5
2
2
A
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 62
Câu 25:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

;2
F
xy x y
, với điều kiện
02
02
0
50
yx
yx
x
y
là
A.
12
. B.
10
. C.
8
. D.
6
.
Câu 26: Biểu thức
Lyx
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


, đạt giá trị lớn
nhất là
a
và đạt giá trị nhỏ nhất là
b
. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
25
8
a
và
2b 
. B.
2a
và
11
12
b 
. C.
3a
và
0b
. D.
3a
và
9
8
b
.
Câu 27: Cho các giá trị
,
x
y
thỏa mãn điều kiện
20
210
320
xy
xy
xy



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
32Txy
.
A.
19
. B.
25
. C.
14
. D. Không tồn tại.
Câu 28: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 đi
ểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A.
5
lít nước cam và
4
lít nước táo. B.
6
lít nước cam và
5
lít nước táo.
C.
4
lít nước cam và
5
lít nước táo. D.
4
lít nước cam và
6
lít nước táo.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 63
Câu 29:
Một xưởng sản xuất hai loại sản phNm
● Mỗi kg sản phNm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phNm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phNm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A. 30kg loại I và 40 kg loại II. B. 20 kg loại I và 40 kg loại II.
C. 30kg loại I và 20 kg loại II. D. 25 kg loại I và 45 kg loại II.
Câu 30: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin
A
và
B
đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả
A
lẫn
B
và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin
A
và không quá 500 đơn vị vitamin
B
. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin
B
không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin
A
. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin
A
có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin
B
có giá 7,5
đồng.
A.
600
đơn vị Vitamin
A
,
400
đơn vị Vitamin
.B
B.
600
đơn vị Vitamin
A
,
300
đơn vị Vitamin
.B
C.
500
đơn vị Vitamin
A
,
500
đơn vị Vitamin
.B
D.
100
đơn vị Vitamin
A
,
300
đơn vị Vitamin
.B
Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B
1
, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B
1
, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp B
1
, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số
hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B
1
tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là
1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một
20x 
tấm, cắt theo cách hai
300
tấm.
B. Cắt theo cách một
150
tấm, cắt theo cách hai
100
tấm.
C. Cắt theo cách một
50
tấm, cắt theo cách hai
300
tấm.
D. Cắt theo cách một
100
tấm, cắt theo cách hai
200
tấm.
Câu 32: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phNm
A
và sản phNm
B
trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phNm
A
lãi
4
triệu đồng người ta sử
dụng máy
I
trong
1
giờ, máy
II
trong
2
giờ và máy
III
trong
3
giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phNm
B
lãi được
3
triệu đồng người ta sử dụng máy
I
trong
6
giờ, máy
I
I
trong
3
giờ
và máy
I
II
trong
2
giờ. Biết rằng máy
I
chỉ hoạt động không quá
36
giờ, máy hai hoạt động
không quá
23
giờ và máy
I
II
hoạt động không quá
27
giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà
máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất
9
tấn sản phNm
A
và không sản xuất sản phNm
.B
B. Sản xuất
7
tấn sản phNm
A
và
3
tấn sản phNm
.B
C. Sản xuất
10
3
tấn sản phNm
A
và
49
9
tấn sản phNm
.B
D. Sản xuất
6
tấn sản phNm
B
và không sản xuất sản phNm
.
A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 1
BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai Nn
,
x
y
có dạng tổng quát là

1ax by c
;;ax by c ax by c ax by c  
trong đó
,,abc
là những số thực đã cho,
a
và
b
không đồng thời bằng
0,
x
và
y
là các Nn
số.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một Nn, các bất phương trình bậc nhất hai Nn thường có vô
số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

1
được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của
bất phương trình
ax by c
như sau (tương tự cho bất phương trình
ax by c
)
- Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ
,Oxy
vẽ đường thẳng :
.ax by c
- Bước 2. Lấy một điểm

000
;
M
xy
không thuộc (ta thường lấy gốc tọa độ
O
)
- Bước 3. Tính
00
ax by và so sánh
00
ax by với
.c
- Bước 4. Kết luận
Nếu
00
ax by c thì nửa mặt phẳng bờ chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
.ax by c
Nếu
00
ax by c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa
0
M
là miền nghiệm của
00
.ax by c
Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình
00
ax by c bỏ đi đường thẳng
ax by c
là miền nghiệm
của bất phương trình
00
.ax by c
CHƯƠNG
II
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
LÝ THUYẾT.
I
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 2
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a)
23 6xy
; b)
2
20xy; c)
2
21xy.
Lời giải
Bất phương trình bậc nhất hai Nn là
23 6xy
và
2
2040.xy xy 
Bất phương trình
2
21xykhông phải là bất phương trình bậc nhất hai Nn vì chứa
2
x
.
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a)
3 2 300xy
; b)
7200xy
.
Lời giải
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
3 2 300xy
Bước 1: Vẽ đường thẳng
:3 2 300 0dx y
.
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ

0;0O
và tính
3.0 2.0 300
(vô lí).
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
d
không chứa gốc toạ độ và kể
đường thẳng
d
.
Biểudiễnmiềnnghiệmcủabấtphươngtrình
7200xy
Bước 1: Vẽ đường thẳng
7200xy
.
Bước 2: Ta lấy điểm

0
1;1M
và tính
7.1 20.1 0
(vô lí).
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
d
không chứa điểm
,M
không
kể đường thẳng
d
.
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 3
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)
Phí tính theo quãng đường di
chuyển (nghìn đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu
900
8
Thứ Bảy và Chủ nhật
1500
10
a) Gọi
x
và
y
lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa
x
và
y
sao cho tổng số tiền
ông An phải trả không quá
14
triệu đồng.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
Gọi
x
và
y
lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần (điều kiện
0, 0xy
)
Số tiền ông An phải trả từ thứ
2
đến thứ
6
là
5.900 8 4500 8xx
(nghìn đồng)
Số tiền ông An phải trả hai ngày cuối tuần là
2.1500 10 3000 10yy
(nghìn đồng)
Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá
14
triệu đồng nên ta có

4500 8 3000 10 14000 4 5 3250xy xy
(nghìn đồng)
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai Nn này được xác định như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng
: 4 5 3250 0dx y
.
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ

0;0O
và tính
0 2 0 0 3250
.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ
d
chứa gốc toạ độ, kể đường
thẳng
.d
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 4
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 5
BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một Nn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai Nn
,
x
y
mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ
bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai Nn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai Nn.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 Nn ta làm nư sau:
- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách
gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
- Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn
và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy
hoạch tuyến tính.
2.4.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a)
0
0;
x
y
b)
2
0
1;
xy
yx


c)
0
0;
xyz
y

d)
2
2
23
431.
xy
xy


Lời giải
a)
0
0;
x
y
d)
2
2
23
431.
xy
xy


2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a)
1
0
0;
yx
x
y

b)
0
0
24;
x
y
xy

c)
0
5
0.
x
xy
xy


Lời giải
a)
1
0
0;
yx
x
y

HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 6
Bước 1: Vẽ đường thẳng

1
:1dxy
Vì
000 1
nên tọa độ điểm

0;0O
không thỏa mãn bất phương trình
1xy
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình
1xy
là nửa mặt phẳng bờ
1
d
không chứa gốc tọa độ
O
không kể đường thẳng
1
d .
Bước 2: Vẽ đường thẳng

2
:0dx
Vì
10
nên tọa độ điểm

1; 0
thỏa bất phương trình
0x
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
0x
là nửa mặt phẳng bờ
Oy
chứa điểm

1; 0
không kể bờ
Oy
.
Bước 3: Vẽ đường thẳng

3
:0dy
Vì
10
nên tọa độ điểm

0, 1
thỏa bất phương trình
0y
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
0y
là nửa mặt phẳng bờ
Ox
chứa điểm

0; 1
không kể bờ
Ox
.
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.
b)
0
0
24;
x
y
xy

Bước 1: Vẽ đường thẳng

1
:0dx
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 7
Vì
10
nên tọa độ điểm
1; 0
thỏa bất phương trình
0x
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
0x
là nửa mặt phẳng bờ
Oy
và đường
thẳng
0x
chứa điểm
1; 0
.
Bước 2: Vẽ đường thẳng
2
:0dy
Vì
10 nên tọa độ điểm
0,1 thỏa bất phương trình
0y
Do đó miền nghiệm của bất phương trình
0y
là nửa mặt phẳng bờ Ox và đường
thẳng
0y
chứa điểm
0;1 .
Bước 3: Vẽ đường thẳng

3
:2 4dxy
Vì
2.0 0 0 4
nên tọa độ điểm
0;0O
thỏa mãn bất phương trình
24xy
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình
24xy
là nửa mặt phẳng bờ
3
d và
đường thẳng
24xy
chứa gốc tọa độ
O
.
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.
2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam
thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị
protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình
đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thị
t lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình
rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu
diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Lời giải
a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x
kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện:
01,6x
và
01,1y
.
Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều
kiện tương ứng là
800 600 900xy
và
200 400 400xy
Hay
86 9xy
và
22xy
Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, ta có hệ bất phương trình sau:
01,6
01,1
86 9
22
x
y
xy
xy




Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:



1
2
3
4
:1,6
:1,1
:8 6 9
:22
dx
dy
dxy
dxy


CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 8
Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD
(kể cả biên).
b)
250 160Fxy
(nghìn đồng)
c)

;Fxy
đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

23
0,3;1,1AddA
, ta có

0,3;1,1 250.0,3 160.0,1 91F 
(nghìn đồng)

12
1, 6;1, 1Bd d B
, ta có

1,6;1,1 250.1,6 160.1,1 576F 
(nghìn đồng)

14
1, 6; 0, 2Cd d C
, ta có

1,6;0,2 250.1,6 160.0,2 432F 
(nghìn đồng)

34
0,6;0, 7Dd d D
, ta có

0,6;0,7 250.0,6 160.0,7 262F 
(nghìn đồng)
Vậy gia đình đó cần mua
0,3
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
23xy
.
Lời giải
Vẽ đường thẳng
:2 3.xy
Lấy gốc tọa độ

0;0 ,O
ta thấy
O
và có
2.0 0 3
nên nửa mặt phẳng bờ
chứa gốc tọa
độ
O
là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).
Câu 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
320xy
.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 9
Lời giải
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:3 2 0.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d
không chứa điểm

0;0 .
Câu 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
32(2 5) 2(1 )xy x
.
Lời giải
Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành
34110.xy
Ta vẽ đường thẳng

:3 4 11 0.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ

d
) không chứa điểm

0;0 .
Câu 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

13 13 2xy.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 10
Trước hết, ta vẽ đường thẳng


:1 3 1 3 2.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d
không chứa điểm

0;0 .
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình
36
4
.
0
0
xy
xy
x
y


Lời giải
Vẽ các đường thẳng


1
2
2
2
:3 6
:4
:0
:0
dxy
dxy
dx Oy
dy Ox


Vì điểm

0
1;1M
có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các
nửa mặt phẳng bờ

1
,d

2
,d

3
,d

4
d
không chứa điểm
0
.M Miền không bị tô đậm (hình
tứ giác
OCIA
kể cả bốn cạnh
,, ,AI IC CO OA
) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 11
Câu 2: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
23
2
xy
xy
yx



.
Lời giải
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:30dxy

2
:2 3dxy

3
:2dxy
Ta thấy

1;0
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

1;0
thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 3: Tìm trị lớn nhất của biểu thức

;2Fxy x y
, với điều kiện
0102
01
0
40
yx
yx
x
y
.
Lời giải
Vẽ đường thẳng
1
:10dxy
, đường thẳng
1
d
qua hai điểm

0; 1
và

1; 0
.
Vẽ đường thẳng
2
:2100dx y
, đường thẳng
2
d
qua hai điểm

0;5
và

2; 4
.
Vẽ đường thẳng
3
:4dy
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 12
Miền nghiệm là ngũ giác
ABCOE
với

4;3 , 2; 4 , 0; 4 , 1; 0ABC E
.
Ta có:

4;3 10F
,

2;4 10F
,

0;4 8F
,

1; 0 1F
,

0;0 0F
.
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức

;2Fxy x y
bằng
10
.
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
()
,Txy ax by=+
với
()
;xy
nghiệm đúng
một hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm
S
là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của
F
tương ứng với
()
;xy
là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
·
Giá trị lớn nhất của
F
là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
·
Giá trị nhỏ nhất của
F
là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Câu 1: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích
800
m
2
. Nếu trồng đậu thì cần
20
công và
thu
3.000.000
đồng trên
100
m
2
nếu trồng cà thì cần
30
công và thu
4.000.000
đồng trên
100
m
2
. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng
số công không quá
180
.
Lời giải
Gọi
x
là số
00x
m
2
đất trồng đậu,
y
là số
00y
m
2
đất trồng cà. Điều kiện
0x
,
0y
.
Số tiền thu được là
34Txy
triệu đồng.
Theo bài ra ta có
8
20 30 180
0
0
xy
xy
x
y


8
2318
0
0
xy
xy
x
y


Đồ thị:
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 13
Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh
0;6A
,
6; 2B
,
8; 0C
,
0;0O
.
Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm
trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng.
Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong
tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng?
Lời giải
Gọi
,xy
là số vòng tay và vòng đeo cổ trong tuần An làm được.
Theo giả thiết ta có
40 80 400
015
04
xy
x
y



Bài toán trở thành tìm nghiệm
,
x
y để
46Lxy
nhỏ nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là tam giác
A
BC
với

0;50 , 10;0 , 2; 4ABC
kể cả
miền trong tam giác đó.
Tình giá trị của biểu thức
46Lxy
tại tất cả các đỉnh của tam giác
A
BC
ta thấy L nhỏ nhất
khi
2, 4xy
.
Vậy số giờ tối thiểu trong tuần An cần dung là
4.2 6.4 32L 
Câu 3: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm
I
và
I
I
.
Mỗi sản phNm
I
bán lãi
500
nghìn đồng, mỗi sản phNm
I
I
bán lãi
400
nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm
I
thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong
1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm
I
I
thì Chiến phải làm việc trong
2
giờ, Bình phải làm
việc trong
6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
180
giờ và Bình không thể làm việc quá
220
giờ. Tính số
tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.
Lời giải
Gọi
x
,
y
lần lượt là số sản phNm loại
I
và loại
I
I
được sản xuất ra. Điều kiện
x
,
y
nguyên
dương.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 14
Ta có hệ bất phương trình sau:
32180
6220
0
0
xy
xy
x
y


Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
0,5 0, 4Txy
(triệu đồng).
Ta thấy
T
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm
A
,
B
,
C
. Vì
C
có tọa độ không nguyên
nên loại.
Tại
60; 0A
thì
30T
triệu đồng.
Tại
40; 30B thì
32T
triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là
32
triệu đồng.
Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa
800
đơn vị protein và
200
đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa
600
đơn
vị protein và
400
đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất
1, 6
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là
160
nghìn đồng, một kg thịt lợn là
110
nghìn đồng. Gọi
x
,
y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm
x
,
y
để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Lời giải
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là
160. 110.
x
y
với
x
,
y
thỏa mãn:
01,6
01,1
x
y


.
Số đơn vị protein gia đình có là
0,8. 0,6. 0,9xy 86 9xy

1
d
.
Số đơn vị lipit gia đình có là
0,2. 0, 4. 0, 4 2 2xy xy
2
d
.
Bài toán trở thành: Tìm
,
xy
thỏa mãn hệ bất phương trình
01,6
01,1
86 9
22
x
y
xy
xy




sao cho
160. 110.Txy
nhỏ nhất.
x
y
B
90
A
O
C
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 15
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm
1, 6;1,1A
;
1, 6; 0, 2B
;
0,6;0, 7C
;
0,3;1,1D
.
Nhận xét:
377TA
nghìn,
278TB
nghìn,
173TC
nghìn,
169TD
nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
0,6x
và
0,7y
.
Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích
8ha
. Trên diện tích mỗi
ha
, nếu
trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu
ha
để thu được nhiều tiền
nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.
Lời giải
Gọi
,
xy
lần lượt là số
ha
trồng dứa và củ đậu.
Có
08;08xy
;
8xy
;
20 30 180 2 3 18xy xy
.
Số tiền thu được là
,34Txy x y.
Ta có hệ
08
08
8
2318
x
y
xy
xy




O
x
y
A
B
C
D
12
1
2
1, 6x
1,1y
22xy
869xy
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 16
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác
OABC
với

0;6 , 6; 2 , 0;8ABC
.
Khi đó
,Txy
đạt cực đại tại một trong các đỉnh của
OABC
.
Có
0,0 0;0;6 24;6;2 26;8;0 24TT T T
.
Vậy cần trồng 6
ha
dứa và 2
ha
củ đậu.
Câu 1:
Bất phương trình
3–2 – 1 0xyx
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
–2 –2 0xy
. B.
5–2–2 0xy
. C.
5–2–1 0xy
. D.
4–2–2 0xy
.
Lời giải
Chọn B

3–2 – 1 0 3 2 2 2 0 5 2 2 0xyx xyx xy
.
Câu 2: Cho bất phương trình

314 253
x
yx
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định
đúng?
A. Điểm

0;0O
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm
2; 2B
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm
4; 2C
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm
5;3D
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Lời giải
Chọn A
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy

00
;0;0xy
là nghiệm của bất phương trình đã cho.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 17
Câu 3:
Cho bất phương trình
322 5 21
x
yx
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Điểm
3; 4A 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm
2; 5B 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm

1; 6C 
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm
0;0O
thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Lời giải
Chọn D
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy

00
;0;0xy
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 4: Cặp số
1; –1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
–3 0xy
. B.
–– 0xy
. C.
310xy
. D.
––3–1 0xy
.
Lời giải
Chọn C
,31
f
xy x y
. Thay

1, 1 1 3 1 1 0f 
.
Câu 5: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình
–2 – 3xy y ?
A.
4; –4
. B.

2;1
. C.

–1;–2
. D.

4; 4
.
Lời giải
Chọn D
–2 – 3 2 3 2 3 *xy y xy y x 
Thay các đáp án vào bpt

*
để kiểm tra
Câu 6: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình
52 10xy ?
A.
0;1
. B.
1; 3
. C.
–1;1
. D.
–1;0
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
52 10xy
5220xy
; ta thay từng đáp án vào bất phương trình, cặp
1; 3
không thỏa mãn bất phương trình vì
5.1 2.3 2 0
là sai. Vậy chọn B.
Câu 7:
Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 18
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:3 2 6.dxy
Ta thấy

0;0
là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng bờ

d
chứa điểm

0;0 .
Câu 8: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
O
x
y
2
3
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 19
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thẳng
:3 2 6.dxy
Ta thấy
0;0
không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng (không kể bờ

d
) không chứa điểm

0;0 .
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 20
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:3 2 6.dxy
Ta thấy

0;0
không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng (không kể bờ

d
) không chứa điểm
0;0 .
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
O
x
y
2
3
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 21
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Trước hết, ta vẽ đường thẳng
:3 2 6.dxy
Ta thấy

0;0
là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng (không kể bờ

d
) chứa điểm

0;0 .
Câu 11: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
6
82
3
93
y
xy
yx
yx
là phần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?
A.
0;0
. B.
1; 2
. C.
2;1
. D.

8; 4
.
Lời giải
O
x
2
3
y
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 22
Chọn D
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa hệ bất phương trình trên.
Câu 12: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
23
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
2;1
. B.
0;0
. C.
1;1
. D.

3; 4
.
Lời giải
Chọn
A
Nhận xét: chỉ có điểm
2;1
thỏa mãn hệ.
Câu 13: Trong các cặp số sau, tìm cặp số không là nghiệm của hệ bất phương trình
0232
02
yx
yx
A.
0;0
. B.
1; 1
. C.

1;1
. D.

1; 1
.
Lời giải
Chọn C
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào không thỏa hệ bất phương
trình
trên với mọi x.
Câu 14: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2310
540
xy
xy


?
A.

1; 4
. B.

2; 4
. C.
0;0
. D.
3; 4
.
Lời giải
Chọn C
Nhận xét: chỉ có điểm
0;0
không thỏa mãn hệ.
Câu 15: Cho hệ bất phương trình
0
4
2
3
)1(2
01
32
x
y
x
yx
.
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm

2;1A
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm

0; 0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 23
C.
Điểm
1; 1C
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm

3; 4D
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Lời giải
Chọn A
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy
00
;2;1xy
là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 16: Cho hệ bất phương trình
01
052
0152
yx
yx
yx
.
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm

0; 0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm
1; 0B
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm
0; 2C
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm

0; 2D
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Lời giải
Chọn C
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy

00
;0;2xy 
là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 17: Điểm

0;0O
thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
A.
360
240


xy
xy
.
B.
360
240


xy
xy
.
C.
360
240


xy
xy
.
D.
360
240


xy
xy
.
Lời giải
Chọn C
Thay
0; 0xy
vào từng đáp án ta được:
360 60
24040
xy
xy





(loại
A. );
360 60
24040
xy
xy





( Loại
B. )
360 60
24040
xy
xy





(thỏa mãn). Vậy chọn
C.
Câu 18:
Cho hệ bất phương trình


3
211
2
43 22
xy
xy


có tập nghiệm
S
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
1
;1
4
S




.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 24
B.


;|43 2Sxyxy
.
C. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là
đường thẳng
43 2xy
.
D. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là đường thẳng
43 2xy
.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
3
:2 1
2
dxy

2
:4 3 2dxy
Thử trực tiếp ta thấy

0;0
là nghiệm của bất phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm
của bất phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của hệ bất
phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng

:4 3 2.dxy
Câu 19: Cho hệ
235(1)
3
5(2)
2
xy
xy


. Gọi
1
S
là tập nghiệm của bất phương trình (1),
2
S
là tập nghiệm của
bất phương trình (2) và
S
là tập nghiệm của hệ thì
A.
12
SS
. B.
21
SS
. C.
2
SS
. D.
1
SS
.
Lời giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
:2 3 5dxy

2
3
:5
2
dx y
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 25
Ta thấy

0;0
là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 20: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong bốn hệ A, B, C, D?
A.
0
32 6
y
xy

. B.
0
32 6
y
xy

. C.
0
32 6
x
xy

. D.
0
32 6
x
xy

.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng

1
:0dy
và đường thẳng

2
:3 2 6.dxy
Miền nghiệm gồm phần
y
nhận giá trị dương.
Lại có

0;0
thỏa mãn bất phương trình
32 6.xy
Câu 21: Miền tam giác
ABC
kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ A, B, C, D?
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 26
A.
0
5410
5410
y
xy
xy


. B.
0
4510
5410
x
xy
xy


. C.
0
5410
4510
x
xy
xy


. D.
0
5410
4510
x
xy
xy


.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng:

1
:0dx
2
:4 5 10dxy

3
:5 4 10dxy
Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị
x
dương (kể cả bờ

1
d
).
Lại có
0;0
là nghiệm của cả hai bất phương trình
4510xy
và
5 4 10.xy
Câu 22: Cho hệ bất phương trình
2
3515
0
0
xy
xy
x
y


. Mệnh đề nào sau đây là
sai?
A. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền
tứ giác
A
BCO
kể cả các cạnh với

0;3A
,
25 9
;
88
B



,

2; 0C
và

0; 0O
.
B. Đường thẳng
:
x
ym
có giao điểm với tứ giác
A
BCO
kể cả khi
17
1
4
m
.
O
C
B
5
2
2
A
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 27
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là
17
4
.
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

1
:2dxy

2
:3 5 15dxy

3
:0dx

4
:0dy
Fyx
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là.
A.
min 1F
khi
2, 3xy
. B.
min 2F
khi
0, 2xy
.
C.
min 3F
khi
1, 4xy
. D.
min 0F
khi
0, 0xy
.
Lời giải
Chọn A
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
22
24
5
yx
yx
xy



trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 28
Nhận thấy biết thức
Fyx
chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm
,AB
hoặc
C
.
Ta có:
 
413; 2; 321FA FB FC 
.
Vậy
min 1F
khi
2, 3xy
.
Câu 24: Biểu thức
Fyx
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
0
5
22
22
x
yx
yx
yx
tại điểm
()
;Sxy
có toạ độ
là
A.

4;1
. B.

3;1
. C.

2;1
. D.

1;1
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Thử máy tínhTa dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa
hệ bất phương trình trên loại được đáp án D.
Ta lần lượt tính hiệu
Fyx
và
min 3F 
tại
4,x 1y
.
Cách 2: Tự luận:
Tọa độ
78
;
33
A



,
22
;
33
B



,

4;1C
. Giá trị
F
lần lượt tại toạ độ các điểm
,,BC A
là
41
,3;
33

. Suy ra
min 3F =-
tại
()
4;1 .
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 29
Câu 25:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

;2
F
xy x y
, với điều kiện
02
02
0
50
yx
yx
x
y
là
A.
12
. B.
10
. C.
8
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Vẽ các đường thẳng
1
:5dy
;
2
:20dxy
;
3
:20dxy
;
:0; :0Ox y Oy x
.
Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại

0;5A
Vì điểm

0
2;1M
có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng
bờ
123
,,, ,dddOxOy
không chứa điểm
0
M
. Miền không bị tô đậm là đa giác
A
BCD
kể cả các
cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho.
Kí hiệu
() ; 2
A
AA A
FA F x y x y
, ta có
() 10,() 4,() 2;() 3FA FB FC FD  
,
10432
.
Giá trị lớn nhất cần tìm là
10
.
Câu 26: Biểu thức
Lyx
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


, đạt giá trị
lớn nhất là
a
và đạt giá trị nhỏ nhất là
b
. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
25
8
a
và
2b 
. B.
2a
và
11
12
b 
. C.
3a
và
0b
. D.
3a
và
9
8
b
.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
6
4
2
2
4
5
d
3
d
2
d
1
B
A
D
C
O
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 30

1
:2 3 6 0dxy

2
:0dx

3
:2 3 1 0dxy
Ta thấy

0;0
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba
miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).
Miền nghiệm là hình tam giác
ABC
(kể cả biên), với

0;2 ,A
75
;,
46
B



1
0; .
3
C



Vậy ta có
20 2,a 
57 11
.
64 12
b 
Câu 27: Cho các giá trị
,xy
thỏa mãn điều kiện
20
210
320
xy
xy
xy



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
32Txy
.
A.
19
. B.
25
. C.
14
. D. Không tồn tại.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 31
Chọn B
Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong tam giác
A
BC
(Kể cả đường biên) trong đó
1; 1A
,

2; 4B
,

3; 5C
.
Giá trị lớn nhất của
32Txy
đạt được tại các đỉnh của tam giác
A
BC .
Do
1;1 3 .1 2 .1 5
A
TT
,
2; 4 3.2 2.4 14
B
TT
và
3; 5 3.3 2.5 25
C
TT
nên
giá
trị lớn nhất của
32Txy
là 25 đạt được khi 3x và
5y
.
Câu 28: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 đi
ểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A.
5
lít nước cam và
4
lít nước táo. B.
6
lít nước cam và
5
lít nước táo.
C.
4
lít nước cam và 5 lít nước táo. D.
4
lít nước cam và 6 lít nước táo.
Lời giải
Chọn C
Giả sử
,
x
y
lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Suy ra
30 10
x
y
là số gam đường cần dùng;
xy
là số lít nước cần dùng;
4
x
y
là số gam hương liệu cần dùng.
Theo giả thiết ta có
00
00
30 10 210 3 21.
99
424 424
xx
yy
xy xy
xy xy
xy xy









 

 


*
Số điểm thưởng nhận được sẽ là
60 80 .Pxy
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
với
,
x
y
thỏa mãn

*
.
Câu 29: Một xưởng sản xuất hai loại sản phNm
● Mỗi kg sản phNm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phNm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phNm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A.
30
kg loại I và
40
kg loại II. B.
20
kg loại I và
40
kg loại II.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 32
C.
30
kg loại I và
20
kg loại II. D.
25
kg loại I và
45
kg loại II.
Lời giải
Chọn B
Gọi
0, 0 kgxy
lần lượt là số sản phNm loại I và loại II cần sản xuất.
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng:
2 4 200.xy
Tổng số giờ làm việc:
30 15 1200.xy
Lợi nhuận tạo thành:
40 30Lxy
(nghìn).
Thực chất của bài toán này là phải tìm
0,x
0y
thoả mãn hệ
24200
30 15 1200
xy
xy


sao cho
40 30Lxy
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 30: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin
A
và
B
đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả
A
lẫn
B
và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin
A
và không quá 500 đơn vị vitamin
B
. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin
B
không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin
A
. Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin
A
có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin
B
có giá 7,5
đồng.
A.
600
đơn vị Vitamin
A
,
400
đơn vị Vitamin
.B
B.
600
đơn vị Vitamin
A
,
300
đơn vị Vitamin
.B
C. 500 đơn vị Vitamin
A
, 500 đơn vị Vitamin .B
D. 100 đơn vị Vitamin
A
, 300 đơn vị Vitamin .B
Lời giải
Chọn D
Gọi
0, 0xy
lần lượt là số đơn vị vitamin
A
và
B
để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả
A
lẫn
B
nên ta có:
400 1000.xy
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin
A
và không quá 500 đơn vị vitamin
B
nên ta có:
600, 500.xy
Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin
B
không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin
A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin
A
nên ta có:
0,5 3 .
x
yx
Số tiền cần dùng mỗi ngày là:

,97,5.Txy x y
Bài toán trở thành: Tìm
0, 0xy
thỏa mãn hệ
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 33
0 600,0 500
400 1000
0,5 3
xy
xy
xy x



để

,97,5Txy x y
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B
1
, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B
1
, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
Cách thứ hai cắt được 2 hộp B
1
, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số
hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B
1
tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là
1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một 20x  tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một
100
tấm, cắt theo cách hai
200
tấm.
Lời giải
Chọn A
Gọi
0, 0xy
lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.
Bài toán đưa đến tìm
0, 0xy
thoả mãn hệ
3 2 900
31000
6900
xy
xy
xy



sao cho
Lxy
nhỏ nhất.
Câu 32: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phNm
A
và sản phNm
B
trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phNm
A
lãi
4
triệu đồng người ta sử
dụng máy
I
trong
1
giờ, máy
II
trong
2
giờ và máy
III
trong
3
giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phNm
B
lãi được
3
triệu đồng người ta sử dụng máy
I
trong
6
giờ, máy
I
I
trong
3
giờ
và máy
I
II
trong
2
giờ. Biết rằng máy
I
chỉ hoạt động không quá
36
giờ, máy hai hoạt động
không quá
23
giờ và máy
I
II
hoạt động không quá
27
giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà
máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất
9
tấn sản phNm
A
và không sản xuất sản phNm
.B
B. Sản xuất
7
tấn sản phNm
A
và
3
tấn sản phNm
.B
C. Sản xuất
10
3
tấn sản phNm
A
và
49
9
tấn sản phNm
.B
D. Sản xuất
6
tấn sản phNm
B
và không sản xuất sản phNm
.
A
Lời giải
Chọn B
Gọi
0, 0xy
(tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phNm
A
và sản phNm
.B
Ta có:
6
x
y
là thời gian hoạt động của máy
.
I
23
x
y
là thời gian hoạt động của máy
.
I
I
32
xy
là thời gian hoạt động của máy
.
I
II
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 34
Số tiền lãi của nhà máy:
43Tx
y

(triệu đồng).
Bài toán trở thành: Tìm
0, 0xy
thỏa mãn
636
23 23
32 27
xy
xy
xy



để
43Tx
y

đạt giá trị lớn
nhất.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 63
DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c
không được gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình
2310xy
trên hệ trục
Oxy
là đường thẳng
2310xy
.
C. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c
được gọi là miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình
ax by c
là tập rỗng.
Câu 2: Miền nghiệm của bất phương trình
22 2 21
x
yx là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.

4; 2
. D.

1; 1
.
Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình

314 253
x
yx
là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.

4; 2
. C.
2; 2
. D.
5; 3
.
Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình
322 5 21
x
yx
là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
A.
3; 4 . B.
2; 5 . C.
1; 6 . D.
0; 0 .
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình
415329
x
yx là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.
1; 1
. D.
2; 5
.
Câu 6: Miền nghiệm của bất phương trình

32 34 1 3
x
yxy
là phần mặt phẳng chứa điểm
nào trong các điểm sau?
A.
3; 0
. B.
3;1
. C.
1; 1
. D.
0; 0
.
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình
529227 xxy
là phần mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.

2;1
. B.
2; 3
. C.
2; 1
. D.
0; 0
.
Câu 8: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
21
x
y
?
A.

2;1
. B.
3; 7
. C.
0;1
. D.
0; 0
.
CHƯƠNG
II
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 64
Câu 9: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
45 0xy
?
A.
5; 0
. B.

2;1
. C.
1; 3
. D.
0; 0
.
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
A.
2530xyz
. B.
2
3240xx
. C.
2
253xy. D.
235xy
.
Câu 11: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình
230xy
?
A.
1; 3Q 
. B.
3
1;
2
M



. C.
1;1N
. D.
3
1;
2
P



.
Câu 12: Miền nghiệm của bất phương trình
320xy
không chứa điểm nào sau đây?
A.
1; 2A
. B.
2;1B
. C.
1
1;
2
C



. D.
3;1D
.
Câu 13: Miền nghiệm của bất phương trình
32(2 5) 2(1 )
x
yx
không chứa điểm nào sau đây?
A.
1; 2A 
. B.
12
;
11 11
B




. C.
0; 3C
. D.
4;0D
.
Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình
21
x
y
không chứa điểm nào sau đây?
A.
1;1 .A
B.
2;2B
. C.
3;3C
. D.

1; 1D 
.
Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình

13 13 2xy
chứa điểm nào sau đây?
A.
1; 1A . B.
1; 1B . C.
1;1C . D.

3; 3D
.
Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình
22 1 2 4xyx
chứa điểm nào sau đây?
A.
1;1 .A B.
1;5 .B C.
4;3 .C D.
0;4 .D
Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình
22220xy
chứa điểm nào sau đây?
A.
1;1 .A B.
1;0B . C.
2; 2C
.
D.
2; 2 .D
Câu 18: Cho bất phương trình
24 5xy
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A.
1; 1 S
. B.
1;1 0 S
. C.
1; 1 S
. D.
1; 5 S
.
Câu 19: Cho bất phương trình
250xy
có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.
2; 2 S
. B.
1; 3 S
. C.
2; 2 S
. D.
2; 4 S
.
Câu 20: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 65
C.
D.
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
C.
D.
Câu 22: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 66
C.
D.
Câu 23: Cho bất phương trình
2320xy
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 1 S
. B.
2
;0
2
S




. C.

1; 2 S
. D.
1; 0 S
.
Câu 24: Cặp số
(; ) 2;3xy
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
43
x
y
. B.
–
370xy
. C.
2–3–1 0xy
. D.
–
0xy
.
Câu 25: Cặp số

00
;
x
y
nào là nghiệm của bất phương trình
33 4xy
.
A.

00
;2;2xy 
. B.

00
;5;1xy
. C.

00
;4;0xy 
. D.

00
;2;1xy
.
DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 26:
Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình
20
2320
xy
xy


là
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.

1; 1
. D.

1; 1
.
Câu 27: Câu nào sau đây đúng?.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
23
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
2;1
. B.
0; 0
. C.
1; 1
. D.

3; 4
.
Câu 28: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2310
540
xy
xy


?
A.

1; 4
. B.

2; 4
. C.
0; 0
. D.

3; 4
.
Câu 29: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2510
250
10
xy
xy
xy



?
A.
0; 0
. B.
1; 0
. C.
0; 2
. D.

0; 2
.
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 67
Câu 30: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
0
330
50
xy
xy
xy



là phần mặt phẳng chứa điểm
A.

5; 3
. B.

0; 0
. C.

1; 1
. D.

2; 2
.
Câu 31: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
39
3
28
6
xy
xy
yx
y



là phần mặt phẳng chứa điểm
A.

0; 0
. B.

1; 2
. C.

2;1
. D.

8; 4
.
Câu 32: Cho hệ bất phương trình
0
25 0
xy
xy


có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A.

1; 1 S
. B.

1; 1 S
. C.
1
1;
2
S




. D.
12
;
25
S




.
Câu 33: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
36
3
28
4
xy
xy
yx
y



là phần mặt phẳng chứa điểm:
A.

2;1
. B.

6; 4
. C.

0; 0
. D.

1; 2
.
Câu 34: Miền tam giác
ABC
kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ bất phương trình dưới đây?
A.
0
5410
5410
y
xy
xy


. B.
0
5410
4510
x
xy
xy


. C.
0
4510
5410
x
xy
xy


. D.
0
5410
4510
x
xy
xy


.
Câu 35: Cho hệ bất phương trình
0
310
x
xy

có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 1 S
. B.

1; 3 S
. C.

1; 5 S
. D.

4; 3 S
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 68
Câu 36:
Cho hệ bất phương trình
0
310
x
xy

có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 2 S
. B.
2;0 S
. C.
1; 3 S
. D.

3;0 S
.
Câu 37: Cho hệ bất phương trình
3
1
10
2
xy
xy


có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng ?
A.

1; 2 S
. B.
2;1 S
. C.

5; 6 S
. D. S .
Câu 38: Cho hệ bất phương trình
3
21
2
43 2
x
y
xy


có tập nghiệm
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A.
1
;1
4
S




.
B.
;|4 3 2Sxyxy
.
C. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là
đường thẳng
43 2xy
.
D. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là đường thẳng
43 2xy
.
Câu 39:
Cho hệ
23 5(1)
3
5(2)
2
xy
xy


. Gọi
1
S
là tập nghiệm của bất phương trình,
2
S
là tập nghiệm của bất
phương trình và
S
là tập nghiệm của hệ thì
A.
12
SS
. B.
21
SS
. C.
2
SS
. D.
1
SS
.
Câu 40: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong bốn hệ A, B, C, D?
A.
0
32 6
y
xy

.
B.
0
32 6
y
xy

.
C.
0
32 6
x
xy

.
D.
0
32 6
x
xy

.
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 69
Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
20
32
3
xy
xy
yx



chứa điểm nào sau đây?
A.

1;0A
. B.

2;3B
. C.

0; 1C
. D.

1;0 .D
Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


chứa điểm nào sau đây?
A.

1; 2 .A
B.

0;2B
. C.

1;3C
. D.
1
0; .
3
D



Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
210
350
x
x


chứa điểm nào sau đây?
A. Không có. B.
5
;2 .
3
B



C.

3;1.C
D.
1
;10
2
D



.
Câu 44: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
2310
y
xy


chứa điểm nào sau đây?
A.

3;4A
. B.

4;3B
. C.

7;4C
. D.

4;4 .D
Câu 45: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
20
32
xy
xy


không chứa điểm nào sau đây?
A.

1;0 .A
B.

1; 0 .B
C.

3;4C
. D.

0;3 .D
Câu 46: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
3260
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


không chứa điểm nào sau đây?
A.

2; 2A
. B.

3;0 .B
C.

1; 1 .C
D.

2; 3 .D
Câu 47: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
0
33
5
xy
xy
xy



không chứa điểm nào sau đây?
A.

3;2 .A
B.

6;3 .B
C.

6;4 .C
D.

5;4 .D
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 70
Câu 48: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
23
2
xy
xy
yx



không chứa điểm nào sau đây?
A.

0;1.A
B.

1;1 .B
C.

3;0 .C
D.

3;1.D
DẠNG 3. TÌM GIÁ TRN NHỎ NHẤT- GIÁ TRN LỚN NHẤT
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Fyx
trên miền xác định bởi hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là
A.
min 1F
khi
2x
,
3y
. B.
min 2F
khi
0x
,
2y
.
C.
min 3F
khi
1x
,
4y
. D.
min 0F
khi
0x
,
0y
.
Câu 50: Giá trị nhỏ nhất của biết thức
Fyx
trên miền xác định bởi hệ
22
2
54
xy
xy
xy



là
A.
min 3F 
khi
1, 2xy
. B.
min 0F
khi
0, 0xy
.
C.
min 2F 
khi
42
,
33
xy
. D.
min 8F
khi
2, 6xy
.
Câu 51: Cho hệ bất phương trình
2
3515
0
0
xy
xy
x
y


. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền
tứ giác
ABCO
kể cả các cạnh với

0; 3A
,
25 9
;
88
B



,

2; 0C
và

0; 0O
.
B. Đường thẳng
: xym
có giao điểm với tứ giác
ABCO
kể cả khi
17
1
4
m
.
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là
17
4
.
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 71
Câu 52:
Giá trị lớn nhất của biết thức
;2
F
xy x y
với điều kiện
04
0
10
2100
y
x
xy
xy



là
A.
6
. B.
8
. C.
10
. D.
12
.
Câu 53: Giá trị nhỏ nhất của biết thức
;2
F
xy x y
với điều kiện
05
0
20
20
y
x
xy
xy



là
A.
10
. B.
12
. C.
8
. D.
6
.
Câu 54: Biểu thức
–
F
yx
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
22
22
5
0
xy
xy
xy
x



tại điểm

;Sxy
có toạ độ
là
A.
4;1
. B.

3;1
. C.
2;1
. D.
1; 1
.
Câu 55: Biểu thức
Lyx
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


, đạt giá trị
lớn nhất là
a
và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
25
8
a
và
2b 
. B.
2a
và
11
12
b 
. C.
3a
và
0b
. D.
3a
và
9
8
b
.
DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Câu 56:
Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa
24
g
hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế
1
lít nước cam cần 30 g đường,
1
lít nước và
1
g hương liệu; pha chế
1
lít nước táo cần
10
g đường,
1
lít nước và
4
g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được
60
điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được
80
điểm thưởng. Đội
A pha chế được
a
lít nước cam và
b
lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số
ab
là
A.
1
. B.
3
. C.
1
. D.
6
.
Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích
2
800 m . N ếu trồng đậu trên diện tích
2
100 m thì cần
20
công làm và thu được
3000000
đồng. N ếu trồng cà thì trên diện tích
2
100 m
cần
30
công làm và thu được
4000000
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao
nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá
180
công. Hãy chọn phương
án đúng nhất trong các phương án sau:
A.
Trồng
2
600 m đậu;
2
200 m cà. B. Trồng
2
500 m đậu;
2
300 m cà.
C.
Trồng
2
400 m đậu;
2
200 m cà. D. Trồng
2
200 m đậu;
2
600 m cà.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 72
Câu 58:
Một công ty TN HH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phNm mới của
công ty) cần thuê xe để chở trên
140
người và trên
9
tấn hàng. N ơi thuê chỉ có hai loại xe
A
và
B
. Trong đó xe loại A có
10
chiếc, xe loại
B
có
9
chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê
với giá
4 triệu, loại
B
giá
3
triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển
là thấp nhất. Biết rằng xe
A
chỉ chở tối đa
20
người và
0, 6
tấn hàng. Xe
B
chở tối đa
10
người và
1, 5
tấn hàng.
A. 4 xe
A
và
5
xe
B
. B.
5
xe
A
và
6
xe
B
.
C.
5
xe
A
và
4
xe
B
. D.
6
xe
A
và
4
xe
B
.
Câu 59: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
,
x
y lần
lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà
vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính
22
x
y
A.
22
1, 3xy
. B.
22
2,6xy
. C.
22
1, 09xy
. D.
22
0,58xy
.
Câu 60: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng
lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số
trứng trong giỏ
B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả
trứng lành là
55
84
. Tìm số trứng lành trong giỏ A.
A.
6. B. 14. C. 11. D. 10.
Câu 61: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và
210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt
loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần
30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 đ
iểm thưởng,
mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội
trong cuộc thi là bao nhiêu?
A.
540
. B.
600
. C.
640
. D.
720
.
Câu 62: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm
I
và
I
I
.
Mỗi sản phNm
I
bán lãi
500
nghìn đồng, mỗi sản phNm
I
I
bán lãi
400
nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm
I
thì Chiến phải làm việc trong
3
giờ, Bình phải làm việc trong
1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm
I
I
thì Chiến phải làm việc trong
2
giờ, Bình phải làm
việc trong
6
giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
180
giờ và Bình không thể làm việc quá
220
giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
A.
32
triệu đồng. B.
35
triệu đồng. C.
14
triệu đồng. D.
30
triệu đồng.
Câu 63: Một gia đình cần ít nhất
900
đơn vị protein và
400
đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa
800
đơn vị protein và
200
đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa
600
đơn
vị protein và
400
đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất
1, 6
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là
160
nghìn đồng, một kg thịt lợn là
110
nghìn đồng. Gọi
x
,
y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm
x
,
y
để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A.
0, 3x
và
1, 1y
. B.
0, 3x
và
0, 7y
. C.
0, 6x
và
0, 7y
. D.
1, 6x
và
0, 2y
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 1
DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c
không được gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình
2310xy
trên hệ trục
Oxy
là đường thẳng
2310xy
.
C. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c
được gọi là miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình
ax by c
là tập rỗng.
Lời giải
Chọn C
Câu 2: Miền nghiệm của bất phương trình
22 2 21
x
yx
là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.

4; 2
. D.

1; 1
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
22 2 21
x
yx
22 422
x
yx 24xy
.
Dễ thấy tại điểm
4; 2
ta có:
4 2.2 8 4
.
Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình

314 253
x
yx
là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.

4; 2
. C.
2; 2
. D.
5; 3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
314 253
x
yx
334853
x
yx 2480xy
240xy
Dễ thấy tại điểm
0; 0
ta có:
02.04 40
.
Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình
322 5 21
x
yx
là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
CHƯƠNG
II
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 2
A.
3; 4
. B.
2; 5
. C.
1; 6
. D.
0; 0
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:

322 5 21
x
yx
34 10 22
x
yx 3480xy
.
Dễ thấy tại điểm
0; 0
ta có:
3.0 4.0 8 0
.
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình
415329
x
yx
là nửa mặt phẳng chứa điểm nào
trong các điểm sau?
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.
1; 1
. D.
2; 5
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:

415329
x
yx
4451529
x
yx 25100xy
.
Dễ thấy tại điểm
2; 5
ta có:
2.2 5.5 10 0
.
Câu 6: Miền nghiệm của bất phương trình

32 34 1 3
x
yxy
là phần mặt phẳng chứa điểm
nào trong các điểm sau?
A.
3; 0
. B.
3;1
. C.
1; 1
. D.
0; 0
.
Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số
1; 1
thỏa bất phương trình.
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình
529227 xxy
là phần mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau?
A.

2;1
. B.
2; 3
. C.
2; 1
. D.
0; 0
.
Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số
2;3
không thỏa bất phương trình.
Câu 8: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
21
x
y
?
A.

2;1
. B.
3; 7
. C.
0;1
. D.
0; 0
.
Lời giải
ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số
0;1
không thỏa bất phương trình.
Câu 9: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình
45 0xy
?
A.
5; 0
. B.

2;1
. C.
1; 3
. D.
0; 0
.
Lời giải
ChọnB.
Ta thay cặp số

2;1
vào bất phương trình
45 0xy
được
2450
đo dó cặp số

2;1
không là nghiệm của bất phương trình
45 0xy
.
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 3
A.
2530xyz
. B.
2
3240xx
. C.
2
253xy. D.
23 5xy
.
Lời giải
Chọn D
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai Nn.
Câu 11: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình
230xy
?
A.

1; 3Q 
. B.
3
1;
2
M



. C.

1;1N
. D.
3
1;
2
P



.
Lời giải
Chọn B
Tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình
230xy
là nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng
230xy
và không chứa gốc tọa độ.
Từ đó ta có điểm
3
1;
2
M



thuộc miền nghiệm của bất phương trình
230xy
.
Câu 12: Miền nghiệm của bất phương trình
320xy
không chứa điểm nào sau đây?
A.

1;2A
. B.

2;1B
. C.
1
1;
2
C



. D.

3;1D
.
Lời giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:3 2 0.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d
không chứa điểm

0;0 .
Câu 13: Miền nghiệm của bất phương trình
32(2 5) 2(1 )xy x
không chứa điểm nào sau đây?
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 4
A.

1; 2A 
. B.
12
;
11 11
B




. C.

0; 3C
. D.

4;0D
.
Lời giải
Chọn B
Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành
34110.xy
Ta vẽ đường thẳng

:3 4 11 0.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm

0;0 .
Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình
21xy
không chứa điểm nào sau đây?
A.

1;1 .A
B.

2;2B
. C.

3;3C
. D.

1; 1D 
.
Lời giải
Chọn D
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:2 1.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm

0;0 .
Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình

13 13 2xy chứa điểm nào sau đây?
A.

1; 1A
. B.

1; 1B 
. C.

1;1C
. D.

3; 3D .
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 5
Trước hết, ta vẽ đường thẳng


:1 3 1 3 2.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d
không chứa điểm

0;0 .
Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình

22 1 2 4xyx
chứa điểm nào sau đây?
A.

1;1 .A
B.

1;5 .B
C.

4;3 .C
D.

0;4 .D
Lời giải
Chọn B
Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành
280.xy
Vẽ đường thẳng

:280.dxy
Ta thấy

0;0
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không chứa điểm

0;0 .
Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình
22220xy
chứa điểm nào sau đây?
A.

1;1 .A
B.

1;0B
. C.

2; 2C . D.

2; 2 .D
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 6
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:2 2 2 2 0.dx y
Ta thấy

0;0
là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ

d
chứa điểm

0;0 .
Câu 18: Cho bất phương trình
24 5xy
có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A.

1; 1 S
. B.

1; 10 S
. C.

1; 1 S
. D.

1; 5 S
.
Lời giải
ChọnC.
Ta thấy

1; 1
thỏa mãn hệ phương trình do đó

1; 1
là một cặp nghiệm của hệ phương trình.
Câu 19: Cho bất phương trình
250xy
có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.

2; 2 S
. B.

1; 3 S
. C.

2; 2 S
. D.

2; 4 S
.
Lời giải
Chọn A
Ta thấy

2; 2 S
vì
22.250
.
Câu 20: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 7
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Trước hết, ta vẽ đường thẳng
:3 2 6.dxy
Ta thấy
0;0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền
nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ

d chứa điểm
0;0 .
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 8
Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thẳng

:3 2 6.dxy
Ta thấy
0;0
không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng không chứa điểm
0;0 .
Câu 22: Miền nghiệm của bất phương trình
32 6xy
là
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
O
x
2
3
y
O
x
y
2
3
O
x
y
2
3
O
2
3
y
x
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 9
Trước hết, ta vẽ đường thẳng
:3 2 6.dxy
Ta thấy

0;0
là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng chứa điểm

0;0 .
Câu 23: Cho bất phương trình
2320xy
có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 1 S
. B.
2
;0
2
S




. C.

1; 2 S
. D.
1; 0 S
.
Lời giải
ChọnB.
Ta thấy
2
;0
2
S




vì
2
2. 3.0 2 0
2

.
Câu 24: Cặp số
(; ) 2;3xy
là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A.
43
x
y
. B.
–
370xy
. C.
2–3–1 0xy
. D.
–
0xy
.
Lời giải
Chọn D
Ta có 23 10 nên Chọn D
Câu 25:
Cặp số

00
;
x
y
nào là nghiệm của bất phương trình
33 4xy
.
A.

00
;2;2xy 
. B.

00
;5;1xy
. C.

00
;4;0xy 
. D.

00
;2;1xy
.
Lời giải
Chọn B
Thế các cặp số

00
;
x
y
vào bất phương trình:

00
;2;2xy 
33 4 323.24xy

00
;5;1xy
33 4 3.53.14xy

00
;4;0xy 

33 4 3.43.04xy
O
x
2
3
y
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 10

00
;2;1xy
33 4 3.23.14xy
.
DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 26:
Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình
20
2320
xy
xy


là
A.
0; 0
. B.
1; 1
. C.

1; 1
. D.

1; 1
.
Lời giải
ChọnC.
Ta thay cặp số

1;1
vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
Câu 27: Câu nào sau đây đúng?.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
10
23
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
2;1
. B.
0; 0
. C.
1; 1
. D.

3; 4
.
Lời giải
Chọn A
N hận xét: chỉ có điểm
2;1
thỏa mãn hệ.
Câu 28: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2310
540
xy
xy


?
A.

1; 4
. B.

2; 4
. C.
0; 0
. D.
3; 4
.
Lời giải
ChọnC.
N hận xét: chỉ có điểm
0; 0
không thỏa mãn hệ.
Câu 29: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình
2510
250
10
xy
xy
xy



?
A.
0; 0
. B.
1; 0
. C.
0; 2
. D.

0; 2
.
Lời giải
ChọnC.
N hận xét: chỉ có điểm
0; 2
thỏa mãn hệ.
Câu 30:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
0
330
50
xy
xy
xy



là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
5; 3
. B.
0; 0
. C.

1; 1
. D.
2; 2
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 11
Lời giải
Chọn A
N hận xét: chỉ có điểm
5; 3
thỏa mãn hệ.
Câu 31:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
39
3
28
6
xy
xy
yx
y



là phần mặt phẳng chứa điểm
A.
0; 0
. B.
1; 2
. C.
2;1
. D.

8; 4
.
Lời giải
ChọnD.
N hận xét: chỉ có cặp số

8; 4
thỏa bất phương trình
39xy
.
Câu 32: Cho hệ bất phương trình
0
25 0
xy
xy


có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A.
1; 1 S
. B.
1; 1 S
. C.
1
1;
2
S




. D.
12
;
25
S




.
Lời giải
Chọn C
Thế đáp án, chỉ có
1
1;
2
xy
thỏa mãn hệ bất phương trình
chọn C
Câu 33:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình
36
3
28
4
xy
xy
yx
y



là phần mặt phẳng chứa điểm:
A.

2;1
. B.
6; 4
. C.
0; 0
. D.

1; 2
.
Lời giải
Chọn A
N hận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm
có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế
6; 4xy
vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng:
22 6; 6 1; 8 2; 4 4
. Vậy ta chọn đáp án
B
.
Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3.
Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3.
Câu 34: Miền tam giác
A
BC
kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ bất phương trình dưới đây?
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 12
A.
0
5410
5410
y
xy
xy


. B.
0
5410
4510
x
xy
xy


. C.
0
4510
5410
x
xy
xy


. D.
0
5410
4510
x
xy
xy


.
Lời giải
Chọn D
Cạnh
AC
có phương trình
0x
và cạnh
AC
nằm trong miền nghiệm nên
0x
là một bất
phương trình của hệ.
Cạnh
AB
qua hai điểm
5
;0
2



và

0; 2
nên có phương trình:
14510
5
2
2
xy
xy
.
Vậy hệ bất phương trình cần tìm là
0
5410
4510
x
xy
xy


.
Câu 35: Cho hệ bất phương trình
0
310
x
xy

có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 1 S
. B.

1; 3 S
. C.

1; 5 S
. D.

4; 3 S
.
Lời giải
ChọnC.
Ta thấy

1; 5 S
vì
10
.
Câu 36: Cho hệ bất phương trình
0
310
x
xy

có tập nghiệm là
S
. Khẳng định nào sau đây là
khẳng định đúng?
A.

1; 2 S
. B.

2;0 S
. C.

1; 3 S
. D.

3;0 S
.
Lời giải
ChọnD.
Ta thấy

3;0 S
vì
30
33.010

.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 13
Câu 37: Cho hệ bất phương trình
3
1
10
2
xy
xy


có tập nghiệm
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng ?
A.

1; 2 S
. B.

2;1 S
. C.

5; 6 S
. D.
S 
.
Lời giải
Chọn D
Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình.
Câu 38: Cho hệ bất phương trình
3
21
2
43 2
xy
xy


có tập nghiệm
S
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng ?
A.
1
;1
4
S




.
B.


;|4 3 2Sxyxy
.
C. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là
đường thẳng
43 2xy
.
D. Biểu diễn hình học của
S
là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ
d
, với
d
là là đường thẳng
43 2xy
.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
3
:2 1
2
dxy

2
:4 3 2dxy
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 14
Thử trực tiếp ta thấy

0;0
là nghiệm của phương trình nhưng không phải là nghiệm của
phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình
chính là các điểm thuộc đường thẳng

:4 3 2.dxy
Câu 39: Cho hệ
23 5(1)
3
5(2)
2
xy
xy


. Gọi
1
S
là tập nghiệm của bất phương trình,
2
S
là tập nghiệm của bất
phương trình và
S
là tập nghiệm của hệ thì
A.
12
SS
. B.
21
SS
. C.
2
SS
. D.
1
SS
.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
:2 3 5dxy

2
3
:5
2
dx y
Ta thấy

0;0
là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 40: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào
trong bốn hệ A, B, C, D?
O
2
3
y
x
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 15
A.
0
32 6
y
xy

. B.
0
32 6
y
xy

. C.
0
32 6
x
xy

. D.
0
32 6
x
xy

.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng

1
:0dy
và đường thẳng
2
:3 2 6.dxy
Miền nghiệm gồm phần
y
nhận giá trị dương.
Lại có
0;0
thỏa mãn bất phương trình
32 6.xy
Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
20
32
3
xy
xy
yx



chứa điểm nào sau đây?
A.

1;0A
. B.
2;3B
. C.
0; 1C
. D.

1;0 .D
Lời giải
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
1
:20dx y

2
:3 2dxy
3
:3dyx
Ta thấy

0;1
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

0;1
thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


chứa điểm nào sau đây?
A.
1; 2 .A
B.
0;2B
. C.
1;3C
. D.
1
0; .
3
D



Lời giải
Chọn D
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 16
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:2 3 6 0dxy

2
:0dx

3
:2 3 1 0dxy
Ta thấy

1;1
là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm

1;1
thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
210
350
x
x


chứa điểm nào sau đây?
A. Không có. B.
5
;2 .
3
B



C.

3;1.C
D.
1
;10
2
D



.
Lời giải
Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
:2 1 0dx

2
:3 5 0dx
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 17
Ta thấy

1;0
là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

1;0
không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt
phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.
Câu 44: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
2310
y
xy


chứa điểm nào sau đây?
A.

3;4A
. B.

4;3B
. C.

7;4C
. D.

4;4 .D
Lời giải
Chọn C
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

1
:3 0dy

2
:2 3 1 0dxy
Ta thấy

6;4
là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

6;4
thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 45: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
20
32
xy
xy


không chứa điểm nào sau đây?
A.

1;0 .A
B.

1; 0 .B
C.

3;4C
. D.

0;3 .D
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 18

1
:20dx y

2
:3 2dxy
Ta thấy

0;1
là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

0;1
thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 46: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
3260
3
2( 1) 4
2
0
xy
y
x
x


không chứa điểm nào sau đây?
A.

2; 2A
. B.

3;0 .B
C.

1; 1 .C
D.

2; 3 .D
Lời giải
Chọn C
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:3 2 6 0dxy

2
:4 3 12 0dxy

3
:0dx
Ta thấy

2; 1
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

2; 1
thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 47: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
0
33
5
xy
xy
xy



không chứa điểm nào sau đây?
A.

3;2 .A
B.

6;3 .B
C.

6;4 .C
D.

5;4 .D
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 19
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:0dxy

2
:3 3dxy

3
:5dxy
Ta thấy

5;3
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

5;3
thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 48: Miền nghiệm của hệ bất phương trình
30
23
2
xy
xy
yx



không chứa điểm nào sau đây?
A.

0;1.A
B.

1;1 .B
C.

3;0 .C
D.

3;1.D
Lời giải
Chọn C
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:30dxy

2
:2 3dxy

3
:2dxy
Ta thấy

1; 0
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm

1; 0
thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 20
DẠNG 3. TÌM GIÁ TRN NHỎ NHẤT- GIÁ TRN LỚN NHẤT
Câu 49:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
F
yx
trên miền xác định bởi hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là
A.
min 1
F
khi 2x ,
3y
. B.
min 2
F
khi 0x ,
2y
.
C.
min 3F
khi
1
x
,
4y
. D.
min 0F
khi
0x
,
0y
.
Lời giải
Chọn A
Miền nghiệm của hệ
22
24
5
yx
yx
xy



là miền trong của tam giác
A
BC
kể cả biên
Ta thấy
F
yx
đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm
A
,
B
,
C
.
Tại

0; 2A
thì
2
F
.
Tại

1; 4B
thì
3F
Tại

2; 3A
thì
1
F
.
Vậy
min 1
F
khi
2x
,
3y
.
Câu 50: Giá trị nhỏ nhất của biết thức
F
yx
trên miền xác định bởi hệ
22
2
54
xy
xy
xy



là
A.
min 3F 
khi
1, 2xy
. B.
min 0F
khi
0, 0xy
.
C.
min 2
F

khi
42
,
33
xy
. D.
min 8F
khi
2, 6xy
.
Lời giải
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 21
Chọn C
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
22
2
54
xy
xy
xy



trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Giá trị nhỏ nhất của biết thức
Fyx
chỉ đạt được tại các điểm

42 17
2; 6 , ; , ;
33 33
AC B





.
Ta có:
 
8; 2; 2FA FB FC
.
Vậy
min 2F 
khi
42
,
33
xy
.
Câu 51: Cho hệ bất phương trình
2
3515
0
0
xy
xy
x
y


. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
, biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền
tứ giác
ABCO
kể cả các cạnh với

0; 3A
,
25 9
;
88
B



,

2; 0C
và

0; 0O
.
B. Đường thẳng
: xym
có giao điểm với tứ giác
ABCO
kể cả khi
17
1
4
m
.
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là
17
4
.
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
Lời giải
Chọn B
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 22
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

1
:2dxy

2
:3 5 15dxy

3
:0dx

4
:0dy
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
Câu 52: Giá trị lớn nhất của biết thức

;2Fxy x y
với điều kiện
04
0
10
2100
y
x
xy
xy



là
A.
6
. B.
8
. C.
10
. D.
12
.
Lời giải
Chọn C
Vẽ đường thẳng
1
:10dxy
, đường thẳng
1
d
qua hai điểm

0; 1
và

1; 0
.
Vẽ đường thẳng
2
:2100dx y
, đường thẳng
2
d
qua hai điểm

0; 5
và

2; 4
.
Vẽ đường thẳng
3
:4dy
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 23
Miền nghiệm là ngũ giác
A
BCOE với
4; 3 , 2; 4 , 0; 4 , 1; 0ABC E
.
Ta có:
4; 3 10F
,
2; 4 10F
,

0; 4 8F
,

1; 0 1F
,

0; 0 0F
.
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức
;2Fxy x y
bằng 10 .
Câu 53: Giá trị nhỏ nhất của biết thức
;2Fxy x y
với điều kiện
05
0
20
20
y
x
xy
xy



là
A. 10 . B.
12
. C. 8 . D. 6 .
Lời giải
Chọn A
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình
05
0
20
20
y
x
xy
xy



trên hệ trục tọa độ như dưới đây:.
N hận thấy biết thức
F
yx
chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm
,,
A
BC
hoặc
D
.
Ta có:
7253; 2510FA FB
.
22 4, 220 2FC FD 
.
Vậy
min 10F  khi
0, 5xy
.
Câu 54: Biểu thức
–
F
yx
đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện
22
22
5
0
xy
xy
xy
x



tại điểm

;Sxy
có toạ độ
là
A.
4;1
. B.

3;1
. C.
2;1
. D.
1; 1
.
Lời giải
Chọn A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 24
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình
22
22
5
0
xy
xy
xy
x



trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
N hận thấy biết thức
Fyx
chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm
,AB
hoặc
C
.
Chỉ

4;1C
có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.
Vậy
min 3F 
khi
4, 1xy
.
Câu 55: Biểu thức
Lyx
, với
x
và
y
thõa mãn hệ bất phương trình
2360
0
2310
xy
x
xy


, đạt giá trị
lớn nhất là
a
và đạt giá trị nhỏ nhất là
b
. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A.
25
8
a
và
2b 
. B.
2a
và
11
12
b 
. C.
3a
và
0b
. D.
3a
và
9
8
b
.
Lời giải
Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

1
:2 3 6 0dxy

2
:0dx

3
:2 3 1 0dxy
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 25
Ta thấy

0;0
là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba
miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm là hình tam giác
A
BC , với
0;2 ,A
75
;,
46
B



1
0; .
3
C



Vậy ta có
20 2,a 
57 11
.
64 12
b 
DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Câu 56:
Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa
24
g
hương liệu,
9
lít nước và
210
g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế
1
lít nước cam cần
30
g đường,
1
lít nước và
1
g hương liệu; pha chế
1
lít nước táo cần
10
g đường,
1
lít nước và
4
g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được
60
điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được
80
điểm thưởng. Đội
A pha chế được
a
lít nước cam và
b
lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số
ab
là
A.
1
. B.
3
. C.
1
. D.
6
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
,
x
y
lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế

0; 0xy
.
Để pha chế
x
lít nước cam cần
30
x
g đường,
x
lít nước và
x
g hương liệu.
Để pha chế
y
lít nước táo cần
10y
g đường,
y
lít nước và
4 y
g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

30 10 210
9
*
424
0; 0
xy
xy
xy
xy




.
Số điểm đạt được khi pha
x
lít nước cam và
y
lít nước táo là

, y 60 80
M
xxy
. Bài toán
trở thành tìm
,
x
y
để
,
M
xy
đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ

*
trên mặt phẳng tọa độ như sau:
x
+
y
=9
x
y
E
D≡O
C
B
A
30x + 10y = 210
x+4y=24
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 26
Miền nghiệm là ngũ giác
A
BCDE
.
Tọa độ các điểm:
4;5A
,

6;3B
,
7;0C
,
0;0D
,
0;6E
.
,
M
xy
sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ
các điểm vào biểu thức
,
M
xy
ta được:

4;5 640M
;

6;3 600M
,
7;0 420M
,
0;0 0M
,
0;6 480M
.
Vậy giá trị lớn nhất của
;
M
xy
bằng
640
khi 4; 5xy 4; 5 1ab ab .
Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích
2
800 m . N ếu trồng đậu trên diện tích
2
100 m thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. N ếu trồng cà thì trên diện tích
2
100 m
cần
30
công làm và thu được
4000000
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao
nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá
180
công. Hãy chọn phương
án đúng nhất trong các phương án sau:
A. Trồng
2
600 m đậu;
2
200 m cà. B. Trồng
2
500 m đậu;
2
300 m cà.
C. Trồng
2
400 m đậu;
2
200 m cà. D. Trồng
2
200 m đậu;
2
600 m cà.
Lời giải
Chọn A
Giả sử diện tích trồng đậu là
x
;suy ra diện tích trồng cà là
8
x
Ta có thu nhập thu được là

3 4 8 .10000 10000 32Sx x x x



đồng.
Tổng số công là
20 30 8 10 240xxx
Theo giả thiết có
10 240 180 6xx
Mà hàm số
Sx là hàm nghịch biến trên
nên
Sx đạt giá trị lớn nhất khi 6x .
Do đó trồng
2
600 m đậu,
2
200 m cà.
Câu 58: Một công ty TN HH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phNm mới của
công ty) cần thuê xe để chở trên
140
người và trên
9
tấn hàng. N ơi thuê chỉ có hai loại xe A
và
B
. Trong đó xe loại
A
có
10
chiếc, xe loại
B
có
9
chiếc. Một chiếc xe loại
A
cho thuê
với giá
4 triệu, loại
B
giá
3
triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển
là thấp nhất. Biết rằng xe
A
chỉ chở tối đa
20
người và 0,6 tấn hàng. Xe
B
chở tối đa
10
người và
1, 5 tấn hàng.
A.
4
xe
A
và
5
xe
B
. B.
5
xe
A
và
6
xe
B
.
C.
5
xe
A
và 4 xe
B
. D.
6
xe
A
và 4 xe
B
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
x
là số xe loại
A
010;xx
,
y
là số xe loại
B
09;yy
. Khi đó tổng chi
phí thuê xe là
43Tx
y
.
Xe
A
chở tối đa
20
người, xe
B
chở tối đa
10
người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được
là
20 10
xy
.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 27
Xe
A
chở được
0, 6
tấn hàng, xe
B
chở được
1, 5
tấn hàng nên tổng lượng hàng
2
xe chở
được là
0, 6 1,5xy
.
Theo giả thiết, ta có
010
09
20 10 140
0, 6 1, 5 9
x
y
xy
xy





*
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình

*
là tứ giác
ABCD
kể cả miền trong của tứ
giác.
Biểu thức
43Txy

đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác
ABCD
.
Tại các đỉnh
 
5
10; 2 ; 10;9 ; ;9 ; 5; 4
2
ABC D



, ta thấy
T
đạt giá trị nhỏ nhất tại
5
4
x
y
.
Khi đó
min
32T
.
Câu 59: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
,xy
lần
lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà
vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính
22
xy
A.
22
1, 3xy
. B.
22
2,6xy
. C.
22
1, 09xy
. D.
22
0,58xy
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
01,6x
;
01,1y
Khi đó số protein có được là
800 600xy
và số lipit có được là
200 400xy
Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên
điều kiện tương ứng là:
800 600 900 à 200 400 400xy vxy
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 28
86 9à 2 2xy vxy
01,6
01,1
86 9
22
x
y
xy
xy




Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm
của tứ giác ABCD
Chi phí để mua
x
kg thịt bò và
y
kg thịt
lợn là
160 110Tx
y

Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD
Tại A:
160.0,6 110.0,7 173T 
Tại B:
160.1,6 110.0,2 278T 
Tại C:
160.1,6 110.1,1 377T 
Tại D:
160.0,3 110.1,1 169T 
Vậy T đạt GTNN khi
0,3 ; 1,1xy
22 2 2
0,3 1,1 1,3xy
.
Câu 60: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng
lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số
trứng trong giỏ
B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả
trứng lành là
55
84
. Tìm số trứng lành trong giỏ A.
A. 6. B. 14. C. 11. D. 10.
Lời giải
Chọn C
Gọi
a
là số trứng lành,
b
là số trứng hỏng trong giỏ A.
Gọi
x
là số trứng lành,
y
là số trứng hỏng trong giỏ B.
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 29
Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành:
55
..
84
ax
abx y

Do đó:




2
.55
14
84
11
6
20
5
.55
100
2
ax
ab
abx y
a
xy
abx y
x
ax
abx y
abx y











.
Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.
Câu 61: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và
210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt
loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần
30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 đ
iểm thưởng,
mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội
trong cuộc thi là bao nhiêu?
A.
540
. B.
600
. C.
640
. D.
720
.
Lời giải
Chọn C
Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật
liệu ban đầu mà mỗi đội được cung cấp:
10 30 210 3 210
424 424
99
,0 ,0
xy xy
xy xy
xy xy
xy xy



 


 




Điểm thưởng đạt được:
80 60Px
y

Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P trong miền D được cho bởi hệ điều kiện
Biến đổi biểu thức
80 60 80 60 0Pxy xyP
đây là họ đường thẳng Δ trong hệ tọa
độ Oxy
Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới:
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 30
Giá trị lớn nhất của P ứng với đường thẳng Δ đi qua điểm
(5; 4)A
, suy ra:
max
80.5 60.4 0 640PP P
.
Câu 62:
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm
I
và
I
I
.
Mỗi sản phNm
I
bán lãi
500
nghìn đồng, mỗi sản phNm
I
I
bán lãi
400
nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm
I
thì Chiến phải làm việc trong
3
giờ, Bình phải làm việc trong
1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm
I
I
thì Chiến phải làm việc trong
2
giờ, Bình phải làm
việc trong
6
giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá
180
giờ và Bình không thể làm việc quá
220
giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
A.
32
triệu đồng. B.
35
triệu đồng. C.
14
triệu đồng. D.
30
triệu đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi
x
,
y
lần lượt là số sản phNm loại
I
và loại
I
I
được sản xuất ra. Điều kiện
x
,
y
nguyên
dương.
Ta có hệ bất phương trình sau:
32180
6 220
0
0
xy
xy
x
y


Miền nghiệm của hệ trên là
x
y
B
90
A
O
C
x
y
O
5
6
9
4
3
6
7
9
Δ
(P)
A
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 31
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là
0,5 0, 4Tx
y

.
Ta thấy
T
đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm
A
,
B
,
C
. Vì
C
có tọa độ không nguyên
nên loại.
Tại

60; 0A
thì
30T
triệu đồng.
Tại
40; 30B
thì
32T
triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là
32
triệu đồng.
Câu 63: Một gia đình cần ít nhất
900
đơn vị protein và
400
đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa
800
đơn vị protein và
200
đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa
600
đơn
vị protein và
400
đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất
1, 6
kg thịt bò và
1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là
160
nghìn đồng, một kg thịt lợn là
110
nghìn đồng. Gọi
x
,
y
lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm
x
,
y
để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A.
0, 3x
và
1, 1y
. B.
0, 3x
và
0, 7y
. C.
0, 6x
và
0, 7y
. D.
1, 6x
và
0, 2y
.
Lời giải
Chọn A
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là
160. 110.
x
y
với
x
,
y
thỏa mãn:
01,6
01,1
x
y


.
Số đơn vị protein gia đình có là
0,8. 0, 6. 0,9xy 86 9xy
1
d .
Số đơn vị lipit gia đình có là
0, 2. 0, 4. 0, 4 2 2xy xy

2
d .
Bài toán trở thành: Tìm
,
xy
thỏa mãn hệ bất phương trình
01,6
01,1
86 9
22
x
y
xy
xy




sao cho
160. 110.Txy
nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm
1, 6;1, 1A
;
1, 6; 0, 2B
;
0, 6; 0, 7C
;
0,3;1,1D
.
O
x
y
A
B
C
D
12
1
2
1, 6x
1, 1y
22xy
86 9xy
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Page 32
N hận xét:
377TA
nghìn,
278TB
nghìn,
173TC
nghìn,
169TD
nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
0, 6x
và
0, 7y
.
| 1/89
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NG
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC ƯƠ II NHẤT HAI ẨN CH
BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LÝ THUYẾT. I
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai Nn x, y có dạng tổng quát là
ax by c  
1 ax by  ;
c ax by  ;
c ax by c
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các Nn số.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một Nn, các bất phương trình bậc nhất hai Nn thường có vô
số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình   1
được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của
bất phương trình ax by c như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c )
- Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax by  . c
- Bước 2. Lấy một điểm M x ; y không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O ) 0  0 0 
- Bước 3. Tính ax by và so sánh ax by với . c 0 0 0 0
- Bước 4. Kết luận
Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M là miền nghiệm của ax by  . c 0 0 0 0 0
Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M là miền nghiệm của ax by  . c 0 0 0 0 0 Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình ax by c bỏ đi đường thẳng ax by c là miền nghiệm 0 0
của bất phương trình ax by  . c 0 0
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 1
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a) 2x  3y  6 ; b) 2
2 x y  0 ; c) 2 2x y  1.
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a) 3x  2y  300 ; b)
7x  20y  0 . Page 51
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau: Phí cố định
Phí tính theo quãng đường di
chuyển (nghìn đồng/kilômét) (nghìn đồng/ngày)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu 900 8 Thứ Bảy và Chủ nhật 1500 10
a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền
ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ. Page 52
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một Nn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai Nn x, y mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ
bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai Nn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai Nn.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 Nn ta làm nư sau:
- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách
gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
- Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn
và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. HỆ THỐNG BÀI TẬP II .
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 1
2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn?  x  0 2 x y  0
x y z  0 2  2
x y  3 a)  b)  c)  d)  y  0;
y x 1;  y  0; 2
4 x  3y 1.
2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
y x  1   x  0  x  0    a)  x  0 b)  y  0
c)  x y  5 y  0;    2x y  4;  x y  0. 
2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600
đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và
1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử
gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình
rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu
diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất. Page 53
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x y  3 .
Câu 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 3x y  2  0 .
Câu 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x  3  2(2 y  5)  2(1 x) .
Câu 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 1 3 x 1 3 y  2 .
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
3x y  6  x y  4
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  . x  0  y  0
x  3y  0 
Câu 2: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình x  2y  3  . y x  2   0  y  4   x  0
Câu 3: Tìm trị lớn nhất của biểu thức F  ;
x y  x  2y , với điều kiện  .
x y 1  0
x  2y 10  0
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T (x, y)= ax +by với (x; y) nghiệm đúng
một hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm S là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
· Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
· Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Câu 1: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và
thu 3.000.000 đồng trên 100 m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100
m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180 .
Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm
trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng.
Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong
tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng? Page 54
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Câu 3: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm I và II .
Mỗi sản phNm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phNm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm
việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số
tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng.
Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8ha . Trên diện tích mỗi ha , nếu
trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền
nhất, biết rằng tổng số công không quá 180. Page 55
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 2
Câu 1: Bất phương trình 3x – 2 y – x  
1  0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. x – 2 y – 2  0 .
B. 5x – 2 y – 2  0 .
C. 5x – 2 y –1  0 .
D. 4x – 2 y – 2  0 .
Câu 2: Cho bất phương trình 3 x  
1  4 y  2  5x  3. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm O0;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm B  2;
 2 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm C  4;
 2 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm D  5;
 3 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 3: Cho bất phương trình x  3  22y  5  21 x . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Điểm A 3;  4
  thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm B 2;  5
  thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm C  1;
 6 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm O0;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 4: Cặp số 1; – 
1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x y – 3  0 .
B. – x – y  0 .
C. x  3y 1  0 .
D. – x – 3y –1  0 .
Câu 5: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình –2 x – y  y  3? A. 4; –4 . B. 2;  1 . C. –1;–2 . D.  4;  4 .
Câu 6: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 5x  2 y   1  0 ? A. 0;  1 . B. 1;3 . C. –1;  1 . D. –1;0 .
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2  O O x Page 56
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 2  3 C. D. O x 3 2  O x
Câu 8: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x Page 57
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 2 3 O x C. D. 3 2  O x
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x
3x y  9 
x y  3
Câu 11: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?
2y  8  x  y  6 A. 0;  0 . B. 1;2 . C. 2;  1 . D. 8;4 . Page 58
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN x y  1 0  2 3   3y
Câu 12: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 là phần mặt phẳng chứa điểm 2   x  0  A. 2;  1 . B. 0;  0 . C. 1;  1 . D. 3;4 .
Câu 13: Trong các cặp số sau, tìm cặp số không là nghiệm của hệ bất phương trình
x y  2  0 
2x  3y  2  0 A. 0;  0 . B. 1;  1 . C.  1;   1 . D.  1;    1 .
2x  3y 1  0
Câu 14: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?
 5x y  4  0 A.  1  ;4 . B.  2;  4 . C. 0;  0 . D.  3;  4.  x y   1  0 2 3  3y
Câu 15: Cho hệ bất phương trình  ( 2 x  ) 1   4 .  2  x  0 
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm A2; 
1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm C 1; 
1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. D. Điểm  D 3; 
4 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
2x 5y 1  0 
Câu 16: Cho hệ bất phương trình:  2x y  5  0 .
x y 1 0 
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm B1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm C0; 
2 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm D 0;2 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Câu 17: Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
x  3y  6  0
x  3y  6  0
x  3y  6  0
x  3y  6  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
2x y  4  0
2x y  4  0
2x y  4  0
2x y  4  0 Page 59
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN  3
2x y  1   1
Câu 18: Cho hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm S . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
4x  3y  2  2  1  A.  ; 1  S   .  4  B. S  
 ;x y|4x3y  2.
C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y  2 .
D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d
là là đường thẳng 4 x  3 y  2 .
2x  3y  5 (1)  Câu 19: Cho hệ  3
. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình (1), S là tập nghiệm của
x y  5 (2)  1 2  2
bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S S .
B. S S . C. S S .
D. S S . 1 2 2 1 2 1
Câu 20: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y 3 2 x Oy  0  y  0 x  0 x  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
3x  2 y  6
3x  2 y  6
3x  2y  6
3x  2 y  6
Câu 21: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? Page 60
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN 2 A B O 5 x 2 Cy  0 x  0 x  0 x  0     A. 5
x 4y 10. B. 4
x 5y 10. C. 5
x 4y 10. D. 5
x 4y 10. 5  x4y 10     5x  4y 10  4x 5y 10  4x 5y 10  x y  2 3 
x  5y 15
Câu 22: Cho hệ bất phương trình 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? x  0  y  0
A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền  25 9
tứ giác ABCO kể cả các cạnh với  A 0;  3 , B ;   , C2;  0 và  O 0;  0 .  8 8
B. Đường thẳng  : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi 17 1  m  . 4
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 17 . 4
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
y  2x  2 
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ 2y x  4 là.
x y  5  A. min 1
F  khi x  2, y  3 . B. min 2
F  khi x  0, 2 y  . C. min 3
F  khi x  1, y  4 . D. min 0
F  khi x  0, 0 y  .
 2x y  2 
x  2y  2
Câu 24: Biểu thức F y x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S( ; x ) y có toạ độ
x y  5  x  0 là A. 4;  1 . B. 3;  1 . C. 2;  1 . D. 1;  1 . Page 61
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN  0  y  5   x  0
Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ;
x y  x2y , với điều kiện  là
x y  2  0
x y  2  0 A. 12  . B. 10  . C. 8  . D. 6  .
2x  3y  6  0 
Câu 26: Biểu thức L y x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình x  0 , đạt giá trị lớn
2x 3y 1 0 
nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 25  a  và b  2 . B. a  2 và 11 b  
. C. a  3 và b  0 . D. a  3 và 9 b  . 8 12 8
x y  2  0 
Câu 27: Cho các giá trị ,
x y thỏa mãn điều kiện 2x y 1 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3
xy 2  0 
T  3x  2 y . A. 19 . B. 25. C. 14.
D. Không tồn tại.
Câu 28: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.
B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.
D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo. Page 62
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Câu 29: Một xưởng sản xuất hai loại sản phNm
● Mỗi kg sản phNm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phNm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phNm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A. 30kg loại I và 40 kg loại II.
B. 20kg loại I và 40 kg loại II.
C. 30kg loại I và 20 kg loại II.
D. 25kg loại I và 45 kg loại II.
Câu 30: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A
lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin
B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.
A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin . B
B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin . B
C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin . B
D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin . B
Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
 Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
 Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số
hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là
1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một x  2  0 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm.
Câu 32: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phNm A và sản phNm
B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phNm A lãi 4 triệu đồng người ta sử
dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phNm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ
và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động
không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà
máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất 9 tấn sản phNm A và không sản xuất sản phNm . B
B. Sản xuất 7 tấn sản phNm A và 3 tấn sản phNm . B 10 49 C. Sản xuất
tấn sản phNm A và tấn sản phNm . B 3 9
D. Sản xuất 6 tấn sản phNm B và không sản xuất sản phNm . A Page 63
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NG
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC ƯƠ II NHẤT HAI ẨN CH
BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LÝ THUYẾT. I
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bất phương trình bậc nhất hai Nn x, y có dạng tổng quát là
ax by c  
1 ax by  ;
c ax by  ;
c ax by c
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các Nn số.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Cũng như bất phương trình bậc nhất một Nn, các bất phương trình bậc nhất hai Nn thường có vô
số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình   1
được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của
bất phương trình ax by c như sau (tương tự cho bất phương trình ax by c )
- Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng  : ax by  . c
- Bước 2. Lấy một điểm M x ; y không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ O ) 0  0 0 
- Bước 3. Tính ax by và so sánh ax by với . c 0 0 0 0
- Bước 4. Kết luận
Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M là miền nghiệm của ax by  . c 0 0 0 0 0
Nếu ax by c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M là miền nghiệm của ax by  . c 0 0 0 0 0 Chú ý:
Miền nghiệm của bất phương trình ax by c bỏ đi đường thẳng ax by c là miền nghiệm 0 0
của bất phương trình ax by  . c 0 0 Page 1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 1
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
a) 2x  3y  6 ; b) 2
2 x y  0 ; c) 2 2x y  1. Lời giải
Bất phương trình bậc nhất hai Nn là 2x  3y  6 và 2
2 x y  0  4x y  0. Bất phương trình 2
2x y  1không phải là bất phương trình bậc nhất hai Nn vì chứa 2 x .
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a) 3x  2y  300 ; b)
7x  20y  0 . Lời giải
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 3x  2y  300
Bước 1: Vẽ đường thẳng d : 3x  2y  300  0 .
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O 0;0 và tính 3.0  2.0  300(vô lí).
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc toạ độ và kể đường thẳng d .
 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 7x  20y  0
Bước 1: Vẽ đường thẳng 7x  20y  0 .
Bước 2: Ta lấy điểm M 1;1 và tính 7.1 20.1  0 (vô lí). 0  
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M , không
kể đường thẳng d . Page 2
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau: Phí cố định
Phí tính theo quãng đường di
chuyển (nghìn đồng/kilômét) (nghìn đồng/ngày)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu 900 8 Thứ Bảy và Chủ nhật 1500 10
a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền
ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diển miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong
hai ngày cuối tuần (điều kiện x  0, y  0)
Số tiền ông An phải trả từ thứ 2 đến thứ 6 là 5.900  8x  4500  8x (nghìn đồng)
Số tiền ông An phải trả hai ngày cuối tuần là 2.1500 10y  3000 10y (nghìn đồng)
Vì đề bài yêu cầu tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng nên ta có
4500 8x  3000 10y 14000  4x  5y  3250 (nghìn đồng)
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai Nn này được xác định như sau:
Bước 1: Vẽ đường thẳng d : 4x  5y  3250  0 .
Bước 2: Ta lấy gốc toạ độ O 0;0 và tính 0  20  0  3250 .
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ, kể đường thẳng d . Page 3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Page 4
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Tương tự hệ bất phương trình một Nn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai Nn x, y mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ
bất phương trình đã cho.
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai Nn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất
phương trình bậc nhất hai Nn.
II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 Nn ta làm nư sau:
- Trong cùng hệ toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách
gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
- Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
III. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn
và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA. 1
2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn?  x  0 2 x y  0
x y z  0 2  2
x y  3 a)  b)  c)  d)  y  0;
y x 1;  y  0; 2
4 x  3y 1.
Lời giải x  0 2  2
x y  3 a) d)  y  0; 2
4 x  3y 1.
2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
y x  1   x  0  x  0    a)  x  0 b)  y  0 c)
x y  5 y  0;    2x y  4;  x y  0. 
Lời giải
y x  1   a) x  0 y  0;  Page 5
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Bước 1: Vẽ đường thẳng d : x y  1  1  Vì 0   0  0  1
 nên tọa độ điểm O0;0 không thỏa mãn bất phương trình
x y  1
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x y  1 là nửa mặt phẳng bờ d 1
không chứa gốc tọa độ O không kể đường thẳng d . 1
Bước 2: Vẽ đường thẳng d : x  0 2 
Vì 1  0 nên tọa độ điểm 1;0 thỏa bất phương trình x  0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm
1;0 không kể bờ Oy .
Bước 3: Vẽ đường thẳng d : y  0 3  Vì 1
  0 nên tọa độ điểm 0,  1
 thỏa bất phương trình y  0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình y  0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm 0; 1
 không kể bờ Ox .
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.  x  0  b) y  0
2x y  4; 
Bước 1: Vẽ đường thẳng d : x  0 1  Page 6
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Vì 1  0 nên tọa độ điểm 1;0 thỏa bất phương trình x  0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường
thẳng x  0 chứa điểm 1;0 .
Bước 2: Vẽ đường thẳng d : y  0 2 
Vì 1  0 nên tọa độ điểm 0, 
1 thỏa bất phương trình y  0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình y  0 là nửa mặt phẳng bờ Ox và đường
thẳng y  0chứa điểm 0;  1 .
Bước 3: Vẽ đường thẳng d : 2x y  4 3 
Vì 2.0  0  0  4 nên tọa độ điểm O0;0 thỏa mãn bất phương trình 2x y  4
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2x y  4 là nửa mặt phẳng bờ d và 3
đường thẳng 2x y  4 chứa gốc tọa độ O .
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.
2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam
thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị
protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình
đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình
rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu
diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Lời giải
a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x
kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện:
0  x  1, 6 và 0  y  1,1.
Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là
800x  600 y  900 và 200x  400 y  400
Hay 8x  6 y  9 và x  2 y  2
Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, ta có hệ bất phương trình sau: 0  x 1,6  0  y 1,1  8x  6y  9 
 x  2y  2
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: d : x 1,6 1  d : y 1,1 2  
d :8x  6y  9 3 
d : x  2y  2 4  Page 7
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên).
b) F  250x 160 y (nghìn đồng) c) F  ;
x y đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Ad d A 0,3;1,1 , ta có F 0,3;1, 
1  250.0,3 160.0,1  91(nghìn đồng) 2   3  
B d d B 1,6;1,1 , ta có F 1,6;1, 
1  250.1,6 160.1,1  576 (nghìn đồng) 1   2  
C d d C 1,6;0,2 , ta có F 1,6;0,2  250.1,6 160.0,2  432 (nghìn đồng) 1   4  
D d d D 0,6;0,7 , ta có F 0,6;0,7  250.0,6 160.0,7  262 (nghìn đồng) 3   4  
Vậy gia đình đó cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN LIÊN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x y  3 .
Lời giải
Vẽ đường thẳng  : 2x y  3.
Lấy gốc tọa độ O0;0, ta thấy O và có 2.0  0  3 nên nửa mặt phẳng bờ  chứa gốc tọa
độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).
Câu 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 3x y  2  0 . Page 8
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Lời giải
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 3
x y  2  0.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d  không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình x  3  2(2y  5)  2(1 x) . Lời giải
Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3x  4 y 11  0.
Ta vẽ đường thẳng d  :3x  4y 11  0.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ d  ) không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 1 3 x 1 3 y  2 . Lời giải Page 9
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 1 3 x 1 3 y  2.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d  không chứa điểm 0 ; 0.
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3
x y  6  x y  4
Câu 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  . x  0  y  0
Lời giải Vẽ các đường thẳng
d : 3x y  6 1
d : x y  4 2 d : x  0 Oy 2   d : y  0 Ox 2  
Vì điểm M 1;1 có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các 0  
nửa mặt phẳng bờ d , d , d , d không chứa điểm M . Miền không bị tô đậm (hình 4  3  2  1  0
tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho. Page 10
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
x  3y  0 
Câu 2: Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình x  2y  3  . y x  2  Lời giải
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d : x 3y  0 1 
d : x  2y  3  2 
d : x y  2 3  Ta thấy  1
 ; 0 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  1  ; 0 thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.  0  y  4   x  0
Câu 3: Tìm trị lớn nhất của biểu thức F  ;
x y  x  2y , với điều kiện  .
x y 1  0
x  2y 10  0 Lời giải
Vẽ đường thẳng d : x y 1  0 , đường thẳng d qua hai điểm 0;  1 và 1;0 . 1 1
Vẽ đường thẳng d : x  2 y 10  0 , đường thẳng d qua hai điểm 0;5 và 2;4 . 2 2
Vẽ đường thẳng d : y  4 . 3 Page 11
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A4;3, B2;4,C 0;4, E 1;0 .
Ta có: F 4;3 10 , F 2;4 10, F 0;4  8 , F 1;0 1, F 0;0  0 .
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y bằng 10 .
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức T (x, y)= ax +by với (x; y) nghiệm đúng
một hệ bất phương trình bậc nhất hai Nn cho trước.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền
nghiệm S là đa giác.
Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ của các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Kết luận:
· Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.
· Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
Câu 1: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800 m2. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và
thu 3.000.000 đồng trên 100 m2 nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4.000.000 đồng trên 100
m2. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180 . Lời giải
Gọi x là số x00 m2 đất trồng đậu, y là số y00 m2 đất trồng cà. Điều kiện x  0 , y  0 .
Số tiền thu được là T  3x  4 y triệu đồng. x y  8 x y  8  
20x  30y  180
2x  3y  18 Theo bài ra ta có    x  0  x  0  y  0 y  0 Đồ thị: Page 12
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Dựa đồ thị ta có tọa độ các đỉnh A0;6 , B6;2 , C 8;0 , O0;0 .
Câu 2: Bạn An kinh doanh hai mặt hàng handmade là vòng tay và vòng đeo cổ. Mỗi vòng tay làm
trong 4 giờ, bán được 40 ngàn đồng. Mỗi vòng đeo cổ làm trong 6 giờ, bán được 80 ngàn đồng.
Mỗi tuần bạn An bán được không quá 15 vòng tay và 4 vòng đeo cổ. Tính số giờ tối thiểu trong
tuần An cần dùng để bán được ít nhất 400 ngàn đồng? Lời giải
Gọi x, y   là số vòng tay và vòng đeo cổ trong tuần An làm được.
40x  80y  400 
Theo giả thiết ta có 0  x 15 0  y  4 
Bài toán trở thành tìm nghiệm  x, y để L  4x  6y nhỏ nhất.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là tam giác ABC với A0;50, B10;0,C 2;4 kể cả miền trong tam giác đó.
Tình giá trị của biểu thức L  4x  6 y tại tất cả các đỉnh của tam giác ABC ta thấy L nhỏ nhất
khi x  2, y  4 .
Vậy số giờ tối thiểu trong tuần An cần dung là L  4.2  6.4  32
Câu 3: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm I và II .
Mỗi sản phNm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phNm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm
việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số
tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng. Lời giải
Gọi x , y lần lượt là số sản phNm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương. Page 13
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN 3
x  2y 180 
x  6y  220
Ta có hệ bất phương trình sau:  x  0  y  0
Miền nghiệm của hệ trên là y 90 B C x O A
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T  0,5x  0, 4 y (triệu đồng).
Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại. Tại A60; 0
 thì T  30 triệu đồng. Tại B40; 3
0 thì T  32 triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1, 6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn? Lời giải 0   x 1,6
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x 110.y với x , y thỏa mãn:  . 0   y 1,1
Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x  0, 6.y  0,9  8x  6 y  9 d . 1 
Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x  0, 4.y  0, 4  x  2 y  2 d . 2  0  x  1,6  0  y  1,1
Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8x  6 y  9 
x  2y  2
T  160.x 110.y nhỏ nhất. Page 14
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y x 1  ,6 2 D A y 1  ,1 1 C B O 1 2 x x2y 2 8x6y 9
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A1,6;1, 
1 ; B 1,6;0,2 ; C 0,6;0,7 ; D 0,3;1,  1 .
Nhận xét: T A  377 nghìn, T B  278 nghìn, T C 173 nghìn, T D 169 nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
x  0, 6 và y  0, 7 .
Câu 5: Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8ha . Trên diện tích mỗi ha , nếu
trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu
đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền
nhất, biết rằng tổng số công không quá 180. Lời giải Gọi ,
x y lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu.
Có 0  x  8;0  y  8 ; x y  8 ; 20x  30y 180  2x  3y 18 .
Số tiền thu được là T x, y  3x  4y . 0  x  8  0  y  8 Ta có hệ  x y  8 
2x 3y 18 Page 15
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC với A0;6, B 6;2,C 0;8 .
Khi đó T x, y đạt cực đại tại một trong các đỉnh của OABC .
Có T 0,0  0;T 0;6  24;T 6;2  26;T 8;0  24 .
Vậy cần trồng 6 ha dứa và 2 ha củ đậu.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Bất phương trình 3x – 2 y – x  
1  0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A. x – 2 y – 2  0 .
B. 5x – 2 y – 2  0 .
C. 5x – 2 y –1  0 .
D. 4x – 2 y – 2  0 . Lời giải Chọn B
3x – 2 y – x  
1  0  3x  2y  2x  2  0  5x  2y  2  0 .
Câu 2: Cho bất phương trình 3 x  
1  4 y  2  5x  3. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm O0;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm B  2;
 2 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm C  4;
 2 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm D  5;
 3 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Lời giải Chọn A
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy
x ; y  0;0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0 0    Page 16
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Câu 3: Cho bất phương trình x  3  22y  5  21 x . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Điểm A 3;  4
  thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
B. Điểm B  2;  5
  thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
C. Điểm C  1;
 6 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
D. Điểm O0;0 thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho. Lời giải Chọn D
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào bất phương trình đã cho, ta thấy
x ; y  0;0 0 0   
không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Câu 4: Cặp số 1; – 
1 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. x y – 3  0 .
B. – x – y  0 .
C. x  3y 1  0 .
D. – x – 3y –1  0 . Lời giải Chọn C
f x, y  x  3y 1. Thay f 1,  1  1 3 1  1   0 .
Câu 5: Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình –2 x – y  y  3? A. 4; –4 . B. 2;  1 . C. –1;–2 . D.  4;  4 . Lời giải Chọn D
–2 x – y  y  3  2
x y  3  y  2x  3  *
Thay các đáp án vào bpt   * để kiểm tra
Câu 6: Cặp số nào sau đây không là nghiệm của bất phương trình 5x  2 y   1  0 ? A. 0;  1 . B. 1;3 . C. –1  ;1 . D. –1;0 . Lời giải Chọn B
Ta có 5x  2 y  
1  0  5x  2 y  2  0 ; ta thay từng đáp án vào bất phương trình, cặp 1;3
không thỏa mãn bất phương trình vì 5.1 2.3 2  0 là sai. Vậy chọn B.
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là Page 17
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Chọn C y 3 2 O x
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d :3x 2y  6  .
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng bờ d  chứa điểm 0 ;  0 .
Câu 8: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là Page 18
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Chọn A y 3 2 x O
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  :3x  2y  6.
Ta thấy 0 ; 0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng (không kể bờ d  ) không chứa điểm 0 ;  0 .
Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là Page 19
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Chọn B y 3 2 O x
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d :3x2y  6  .
Ta thấy 0 ; 0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng (không kể bờ d  ) không chứa điểm 0 ;  0 .
Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là Page 20
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Chọn D y  2 O x 3
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  :3x  2y  6  .
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng (không kể bờ d  ) chứa điểm 0 ;  0 .
3x y  9 
x y  3
Câu 11: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm nào sau đây?
2y  8  x  y  6 A. 0;  0 . B. 1;2 . C. 2;  1 . D. 8;4 . Lời giải Page 21
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn D
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa hệ bất phương trình trên.  x y  1 0  2 3   3y
Câu 12: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 là phần mặt phẳng chứa điểm 2   x  0  A. 2;  1 . B. 0;  0 . C. 1;  1 . D. 3;4 . Lời giải Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm 2;  1 thỏa mãn hệ.
Câu 13: Trong các cặp số sau, tìm cặp số không là nghiệm của hệ bất phương trình
x y  2  0 
2x  3y  2  0 A. 0;  0 . B. 1;  1 . C.  1;   1 . D.  1;    1 . Lời giải Chọn C
Ta dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào không thỏa hệ bất phương trình trên với mọi x.
2x  3y 1  0
Câu 14: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?
 5x y  4  0 A.  1  ;4 . B.  2;  4 . C. 0;  0 . D.  3;  4. Lời giải Chọn C
Nhận xét: chỉ có điểm 0;  0 không thỏa mãn hệ.  x y   1  0 2 3  3y
Câu 15: Cho hệ bất phương trình  ( 2 x  ) 1   4 .  2  x  0 
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. Điểm A2; 
1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Page 22
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
C. Điểm C 1; 
1 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. D. Điểm  D 3; 
4 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Lời giải Chọn A
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy x ;y  2;1 0 0   
là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Câu 16: Cho hệ bất phương trình
2x  5y 1  0 
 2x y  5  0 . 
x y 1  0
Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
B. Điểm B1;0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
C. Điểm C0; 
2 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
D. Điểm D 0;2 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Lời giải Chọn C
Lần lượt thay toạ độ điểm ở mỗi phương án vào hệ bất phương trình đã cho, ta thấy x ;y  0; 2
 là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 0 0    Câu 17: Điểm  O 0; 
0 thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?
x  3y  6  0
x  3y  6  0
x  3y  6  0
x  3y  6  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
2x y  4  0
2x y  4  0
2x y  4  0
2x y  4  0 Lời giải Chọn C
Thay x  0; y  0 vào từng đáp án ta được:
x  3y  6  0 6  0
x  3y  6  0 6  0    (loại A. );    ( Loại B. )
2x y  4  0 4  0
2x y  4  0 4  0
x  3y  6  0 6  0   
(thỏa mãn). Vậy chọn C.
2x y  4  0 4  0  3
2x y  1   1
Câu 18: Cho hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm S . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
4x  3y  2  2  1  A.  ; 1  S   .  4  Page 23
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN B. S  
 ;x y|4x3y  2.
C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y  2 .
D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d
là là đường thẳng 4 x  3 y  2 . Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  3 d : 2 x y  1 1  2
d :4x3y  2 2 
Thử trực tiếp ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm
của bất phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của hệ bất
phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng d  : 4x 3y  2.
2x  3y  5 (1)  Câu 19: Cho hệ  3
. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình (1), S là tập nghiệm của
x y  5 (2)  1 2  2
bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S S .
B. S S . C. S S .
D. S S . 1 2 2 1 2 1 Lời giải Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
d :2x3y  5 1   3 d : x y  5 2  2 Page 24
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 20: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y 3 2 x Oy  0  y  0 x  0 x  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
3x  2 y  6
3x  2 y  6
3x  2 y  6
3x  2 y  6 Lời giải Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng d : y  0 và đường thẳng 1 
d :3x2y 6. 2 
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.
Lại có 0 ; 0 thỏa mãn bất phương trình 3x  2 y  6.
Câu 21: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? Page 25
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN 2 A B O 5 x 2 Cy  0 x  0 x  0 x  0     A. 5
x 4y 10. B. 4
x 5y 10. C. 5
x 4y 10. D. 5
x 4y 10. 5  x4y 10     5x  4y 10  4x 5y 10  4x 5y 10  Lời giải Chọn C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị gồm các đường thẳng: d : x  0 1 
d :4x5y 10 2 
d :5x4y 10 3 
Miền nghiệm gần phần mặt phẳng nhận giá trị x dương (kể cả bờ d ). 1 
Lại có 0 ; 0 là nghiệm của cả hai bất phương trình 4 x  5 y  10 và 5x  4 y  10. x y  2 3 
x  5y 15
Câu 22: Cho hệ bất phương trình 
. Mệnh đề nào sau đây là sai? x  0  y  0
A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền  25 9
tứ giác ABCO kể cả các cạnh với  A 0;  3 , B ;  , C2;  0 và  O 0;  0 .  8 8
B. Đường thẳng  : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi 17 1  m  . 4 Page 26
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 17 . 4
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0. Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:
d : xy  2 1 
d :3x5y 15 2  d : x  0 3  d : y  0 4 
F y x
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
y  2x  2 
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của biết thức trên miền xác định bởi hệ 2y x  4 là.
x y  5  A. min 1
F  khi x  2, y  3 . B. min 2
F  khi x  0, 2 y  . C. min 3
F  khi x  1, y  4 . D. min 0
F  khi x  0, 0 y  . Lời giải Chọn A
y  2x  2 
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình 2y x  4 trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
x y  5  Page 27
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Nhận thấy biết thức F y x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm , A B hoặc C . Ta có: F  
A  41 3;F B  2;FC  32 1. Vậy min 1
F  khi x  2, y  3 .
 2x y  2 
x  2y  2
Câu 24: Biểu thức F y x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S( ; x ) y có toạ độ
x y  5  x  0 là A. 4;  1 . B. 3;  1 . C. 2;  1 . D. 1;  1 . Lời giải Chọn A
Cách 1: Thử máy tínhTa dùng máy tính lần lượt kiểm tra các đáp án để xem đáp án nào thỏa
hệ bất phương trình trên loại được đáp án D.
Ta lần lượt tính hiệu F y x và min F  3
 tại x  4, y  1 .
Cách 2: Tự luận:  7 8  2 2  Tọa độ A ;   , B ;   , C4; 
1 . Giá trị F lần lượt tại toạ độ các điểm B,C, A là  3 3  3 3  4 1
 , 3; . Suy ra min F 3 =- tại (4; ) 1 . 3 3 Page 28
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN  0  y  5   x  0
Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ;
x y  x2y , với điều kiện  là
x y  2  0
x y  2  0 A. 12  . B. 10  . C. 8  . D. 6  . Lời giải Chọn B 6 A D d1 4 d3 B 2 d2 C 5 O 2 4
Vẽ các đường thẳng d : y 5 1 ;
d : xy20 d : xy20 2 ; 3 ; Ox : y
0; Oy : x  0 .
Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại  A 0;  5
Vì điểm M 2;1 có toạ độ thoả mãn tất cả các bất pt trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng 0  
bờ d ,d ,d ,O , x Oy M 1 2 3 không chứa điểm
0 . Miền không bị tô đậm là đa giác ABCD kể cả các
cạnh (hình bên) là miền nghiệm của hệ pt đã cho. Kí hiệu F( )
A F x ; y   x  2y , ta có A A A A
F ( A)  10, F (B)  4, F (C )  2; F (D)  3 , 1  0  4   3   2.
Giá trị lớn nhất cần tìm là 10  .
2x  3y  6  0 
Câu 26: Biểu thức L y x , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình x  0 , đạt giá trị
2x 3y 1 0 
lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 25  a  và b  2 . B. a  2 và 11 b  
. C. a  3 và b  0 . D. a  3 và 9 b  . 8 12 8 Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng: Page 29
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
d :2x3y6  0 1  d : x  0 2 
d :2x3y 1 0 3 
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba
miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).  7 5   1
Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với A0 ; 2, B ; ,   C 0 ;  .    4 6   3
Vậy ta có a  2  0  5 7 11 2, b     . 6 4 12
x y  2  0 
Câu 27: Cho các giá trị ,
x y thỏa mãn điều kiện 2x y 1 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3
xy 2  0 
T  3x  2 y . A. 19 . B. 25. C. 14.
D. Không tồn tại. Lời giải Page 30
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn B
Miền nghiệm của hệ đã cho là miền trong tam giác ABC (Kể cả đường biên) trong đó A1;  1 , B2;  4 ,C3;  5 .
Giá trị lớn nhất của T  3x  2 y đạt được tại các đỉnh của tam giác ABC .
Do T T 1; 
1  3.1 2.1 5, T T    và T T    nên C 3; 5 3.3 2.5 25 B 2;4 3.2 2.4 14 A giá
trị lớn nhất của T  3x  2 y là 25 đạt được khi x  3 và y  5 .
Câu 28: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng.
Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?
A. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.
B. 6 lít nước cam và 5 lít nước táo.
C. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo.
D. 4 lít nước cam và 6 lít nước táo. Lời giải Chọn C Giả sử ,
x y lần lượt là số lít nước cam và số lít nước táo mà mỗi đội cần pha chế.
Suy ra 30 x  10 y là số gam đường cần dùng;
x y là số lít nước cần dùng;
x  4 y là số gam hương liệu cần dùng. x  0 x  0 y 0   y  0     Theo giả thiết ta có 30
x 10y  210  3
x y  21. * x y 9    x y  9  
x  4y  24 
x  4y  24 
Số điểm thưởng nhận được sẽ là P  60x  80 y.
Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với ,
x y thỏa mãn * .
Câu 29: Một xưởng sản xuất hai loại sản phNm
● Mỗi kg sản phNm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
● Mỗi kg sản phNm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.
Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phNm bao nhiêu
để có mức lời cao nhất?
A. 30kg loại I và 40 kg loại II.
B. 20kg loại I và 40 kg loại II. Page 31
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
C. 30kg loại I và 20 kg loại II.
D. 25kg loại I và 45 kg loại II. Lời giải Chọn B Gọi x  0, 0 y  
kg lần lượt là số sản phNm loại I và loại II cần sản xuất.
Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: 2 x  4 y  200.
Tổng số giờ làm việc: 30x  15 y  1200.
Lợi nhuận tạo thành: L  40 x  30 y (nghìn).
Thực chất của bài toán này là phải tìm x  0, y  0 thoả mãn hệ
2x  4y  200 
sao cho L  40 x  30 y đạt giá trị lớn nhất. 3
 0x  15y  1200
Câu 30: Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại Vitamin A và B đã thu
được kết quả như sau: Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin cả A
lẫn B và có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin
B . Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị
vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A và không nhiều hơn ba lần số đơn vị
vitamin A . Tính số đơn vị vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho chi phí
rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị vitamin A có giá 9 đồng và mỗi đơn vị vitamin B có giá 7,5 đồng.
A. 600 đơn vị Vitamin A , 400 đơn vị Vitamin . B
B. 600 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin . B
C. 500 đơn vị Vitamin A , 500 đơn vị Vitamin . B
D. 100 đơn vị Vitamin A , 300 đơn vị Vitamin . B Lời giải Chọn D Gọi x  0, 0
y  lần lượt là số đơn vị vitamin A và B để một người cần dùng trong một ngày.
Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có:
400  x y  1000.
Hàng ngày, tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B
nên ta có: x  600, 50 y  0.
Mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị vitamin B không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin A
và không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có: 0, 5 x y  3x.
Số tiền cần dùng mỗi ngày là: T  ,
x y  9x 7,5 . y
Bài toán trở thành: Tìm x  0, 0 y  thỏa mãn hệ Page 32
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
0  x  600,0  y  500 
400  x y 1000 để T  ,
x y 9x7,5y đạt giá trị nhỏ nhất.
0,5x y  3x
Câu 31: Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy: đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng
"Quy sâm đại bổ hoàn". Để sản xuất các loại hộp này, công ty dùng các tấm bìa có kích thước
giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau.
 Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm.
 Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số
hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là
1000 hộp. Cần phương án sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất?
A. Cắt theo cách một x  2  0 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
B. Cắt theo cách một 150 tấm, cắt theo cách hai 100 tấm.
C. Cắt theo cách một 50 tấm, cắt theo cách hai 300 tấm.
D. Cắt theo cách một 100 tấm, cắt theo cách hai 200 tấm. Lời giải Chọn A Gọi x  0, 0
y  lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai. 3
x  2y  900 
Bài toán đưa đến tìm x  0, 0
y  thoả mãn hệ x  3y  1000 sao cho L x y nhỏ nhất. 6
x y  900 
Câu 32: Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phNm A và sản phNm
B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phNm A lãi 4 triệu đồng người ta sử
dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn
sản phNm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ
và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động
không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà
máy để tiền lãi được nhiều nhất.
A. Sản xuất 9 tấn sản phNm A và không sản xuất sản phNm . B
B. Sản xuất 7 tấn sản phNm A và 3 tấn sản phNm . B 10 49 C. Sản xuất
tấn sản phNm A và tấn sản phNm . B 3 9
D. Sản xuất 6 tấn sản phNm B và không sản xuất sản phNm . A Lời giải Chọn B Gọi x  0, 0
y  (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phNm A và sản phNm . B Ta có:
x  6y là thời gian hoạt động của máy I.
2x  3y là thời gian hoạt động của máy II.
3x  2y là thời gian hoạt động của máy III. Page 33
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Số tiền lãi của nhà máy: T  4x  3y (triệu đồng).
x  6y  36 
Bài toán trở thành: Tìm x  0, 0
y  thỏa mãn 2x  3y  23 để T  4x 3y đạt giá trị lớn
3x  2y  27  nhất. Page 34
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NG
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC ƯƠ II NHẤT HAI ẨN CH
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c không được gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x  3y 1 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng
2x 3y 1  0 .
C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c được gọi là miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình ax by c là tập rỗng.
Câu 2: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2 y  2  21 x là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B. 1;  1 . C. 4;2 . D. 1;  1  .
Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  
1  4 y  2  5x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B.  4;  2 . C.  2;  2 . D.  5;  3 .
Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình x  3  22y  5  21 x là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A.  3;  4   . B.  2;  5   . C. 1;6 . D. 0;0 .
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình 4 x  
1  5 y  3  2x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B. 1;  1 . C.  1  ;  1 . D. 2;5 .
Câu 6: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  3  4 x  
1  y  3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 3;0 . B. 3;  1 . C. 1;  1 . D. 0;0 .
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình 5 x  2 9  2x  2y  7 là phần mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau? A.  2;   1 . B. 2;3. C. 2;  1  . D. 0;0 .
Câu 8: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x y  1? A.  2;   1 . B. 3; 7  . C. 0;  1 . D. 0;0 . Page 63
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Câu 9: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5 0 ? A.  5;  0. B.  2;   1 . C. 1; 3   . D. 0;0 .
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai Nn?
A. 2x  5y  3z  0 . B. 2
3x  2x  4  0 . C. 2
2x  5y  3 .
D. 2x  3y  5.
Câu 11: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x y  3  0 ?  3   3  A. Q 1  ; 3   . B. M 1;   . C. N 1;  1 . D. P 1;   .  2   2 
Câu 12: Miền nghiệm của bất phương trình 3x y  2  0 không chứa điểm nào sau đây?  1 
A. A1 ; 2 . B. B 2 ;  1 . C. C 1 ;   . D. D3 ;  1 .  2 
Câu 13: Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2(2 y  5)  2(1 x) không chứa điểm nào sau đây?  1 2  A. A 1  ;  2 . B. B  ;    .
C. C 0 ; 3 . D. D 4  ; 0.  11 11
Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 2x y  1 không chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 2 ; 2 .
C. C 3 ; 3. D. D 1  ;   1 .
Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình 1 3 x 1 3 y  2 chứa điểm nào sau đây?
A. A1 ;   1 . B. B  1  ;   1 . C. C  1  ;  1 .
D. D  3 ; 3.
Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2 y  
1  2x  4 chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 1 ; 5.
C. C 4 ; 3.
D. D0 ; 4.
Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 2x  2y  2  2  0 chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 1 ; 0 .
C. C  2 ; 2 .
D. D  2 ;  2.
Câu 18: Cho bất phương trình 2x  4 y  5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 1;  1  S .
B. 1;10 S . C. 1;  1  S .
D. 1;5 S .
Câu 19: Cho bất phương trình x  2 y  5  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. 2;2 S .
B. 1;3 S . C.  2;  2S . D.  2;  4S .
Câu 20: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x Page 64
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 2 3 O x C. D. 3 2  O x
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x
Câu 22: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x Page 65
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 2 3 O x C. D. 3 2  O x
Câu 23: Cho bất phương trình 2
x  3y  2  0có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?   A. 1;  1 S . B. 2  ; 0   S . C. 1;  2 S . D. 1;  0 S .  2    Câu 24: Cặp số ( ; x ) y  2; 
3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. 4 x  3 y .
B. x – 3y  7  0 .
C. 2 x – 3 y – 1  0 .
D. x – y  0 .
Câu 25: Cặp số x ; y nào là nghiệm của bất phương trình . 0 0 
3 x  3 y  4
A. x ; y  2  ;2 .
B. x ; y  5;1 .
C. x ; y  4
 ;0 . D. x ; y  2;1 . 0 0    0 0    0 0    0 0   
DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
x y  2  0
Câu 26: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình  là
2x  3y  2  0 A. 0;  0 . B. 1;  1 . C.  1;   1 . D.  1  ; 1.
Câu 27: Câu nào sau đây đúng?.  x y  1 0  2 3   3y
Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 là phần mặt phẳng chứa điểm 2   x  0  A. 2;  1 . B. 0;  0 . C. 1;  1 . D. 3;4 .
2x  3y 1  0
Câu 28: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?
 5x y  4  0 A.  1  ;4 . B.  2;  4 . C. 0;  0 . D.  3;  4.
2x  5y 1  0 
Câu 29: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2x y  5  0 ?
x y 1 0  A. 0;  0 . B. 1;0 . C. 0; 2   . D. 0;  2 . Page 66
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
x y  0 
Câu 30: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x 3y  3  0 là phần mặt phẳng chứa điểm
xy 5  0  A. 5;  3 . B. 0;  0 . C. 1;  1  . D.  2;  2 .
3x y  9  x y  3
Câu 31: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y  8  x  y  6 A. 0;  0 . B. 1;2 . C. 2;  1 . D. 8;4. x y  0
Câu 32: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
2x  5y  0 định đúng?  1   1 2  A. 1;  1 S . B.  1  ;  1 S . C. 1; S   . D.  ; S   .  2   2 5 
3x y  6
x y 3
Câu 33: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm: 2 y  8  x  y  4 A. 2;  1 . B. 6;  4 . C. 0;  0 . D. 1;2 .
Câu 34: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ bất phương trình dưới đây? y  0 x  0 x  0 x  0     A. 5
x 4y 10. B. 5
x 4y 10. C. 4
x 5y 10. D. 5
x 4y 10. 5  x4y 10     4x 5y 10  5x  4y 10  4x 5y 10   x  0
Câu 35: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
 x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A. 1;  1 S .
B. 1; 3 S .
C. 1; 5  S .
D. 4; 3  S . Page 67
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN x  0
Câu 36: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A.  1  ;2S .
B.  2;0 S .
C. 1; 3 S .
D.  3;0 S . x y  3 
Câu 37: Cho hệ bất phương trình  1
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
1 x y  0  2 định đúng ? A. 1;  2 S . B. 2;  1 S . C. 5; 6  S . D. S   .  3 2x y 1
Câu 38: Cho hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
4x 3y  2 đúng ?  1  A.  ; 1  S   .  4  B. S  
 ;x y|4x3y  2.
C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y  2 .
D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d
là là đường thẳng 4 x  3 y  2 .
2x  3y  5 (1)  Câu 39: Cho hệ  3
. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình, S là tập nghiệm của bất
x y  5 (2)  1 2  2
phương trình và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S S .
B. S S .
C. S S .
D. S S . 1 2 2 1 2 1
Câu 40: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y 3 2 x Oy  0  y  0 x  0 x  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
3x  2 y  6
3x  2 y  6
3x  2y  6
3x  2 y  6 Page 68
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
x  2y  0 
Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  2
 chứa điểm nào sau đây? y x  3 
A. A1 ; 0 . B. B 2  ;  3 .
C. C0 ;   1 . D. D 1  ; 0.
2x  3y  6  0 
Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  0
chứa điểm nào sau đây?
2x 3y 1 0   1 A. A 1;  2 . B. B0 ;  2 . C. C 1  ;  3 . D. D 0 ;  .    3 2x 1  0
Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây? 3x  5  0  5   1  A. Không có. B. B ; 2 .   C. C 3  ;  1 . D. D ; 10   .  3   2  3  y  0
Câu 44: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây?
2x  3y 1  0
A. A3 ; 4 . B. B4 ;  3 . C. C7 ;  4 .
D. D4 ; 4.
x  2y  0
Câu 45: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
không chứa điểm nào sau đây?
x  3y  2 A. A 1;  0. B. B1;  0 . C. C 3  ; 4.
D. D0 ; 3. 3
x  2y  6  0  3y
Câu 46: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 không chứa điểm nào sau đây? 2  x  0  A. A 2 ;   2 .
B. B 3 ; 0.
C. C1;   1 .
D. D2 ;   3 . x y  0 
Câu 47: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  3
 không chứa điểm nào sau đây? x y  5 
A. A3 ; 2.
B. B 6 ; 3.
C. C 6 ; 4.
D. D5 ; 4. Page 69
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
x  3y  0 
Câu 48: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  2y  3
 không chứa điểm nào sau đây? y x  2  A. A0 ;  1 . B. B 1  ;  1 . C. C  3  ; 0. D. D 3  ;  1 .
DẠNG 3. TÌM GIÁ TRN NHỎ NHẤT- GIÁ TRN LỚN NHẤT
y  2x  2 
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F y x trên miền xác định bởi hệ 2y x  4 là
x y  5 
A. min F 1 khi x  2 , y  3 .
B. min F  2 khi x  0 , y  2 .
C. min F  3 khi x  1 , y  4 .
D. min F  0 khi x  0 , y  0 .
 2x y  2 
Câu 50: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F y x trên miền xác định bởi hệ  x y  2 là 5
x y  4   A. min 3
F   khi x  1, y  2 .
B. min F  0 khi x  0, y  0 . C. min 2 F   khi 4 2 x  , y   . D. min 8
F  khi x  2, y  6 . 3 3 x y  2 3 
x  5y 15
Câu 51: Cho hệ bất phương trình 
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? x  0  y  0
A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền  25 9
tứ giác ABCO kể cả các cạnh với  A 0;  3 , B ;   , C2;  0 và  O 0;  0 .  8 8
B. Đường thẳng  : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi 17 1  m  . 4
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 17 . 4
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0. Page 70
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN  0  y  4   x  0
Câu 52: Giá trị lớn nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y với điều kiện  là
x y 1  0 
x  2y 10  0 A. 6. B. 8. C. 10 . D. 12.  0  y  5   x  0
Câu 53: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y với điều kiện  là
x y  2  0 
xy2 0 A. 10  . B. 12. C. 8  . D. 6  .
2x y  2 
x  2y  2
Câu 54: Biểu thức F y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S ; x y có toạ độ x y  5   x  0 là A. 4;  1 . B. 3;  1 . C. 2;  1 . D. 1;  1 .
2x  3y  6  0 
Câu 55: Biểu thức L y x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình x  0 , đạt giá trị
2x 3y 1 0 
lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 25  a  và b  2 . B. a  2 và 11 b  
. C. a  3 và b  0 . D. a  3 và 9 b  . 8 12 8
DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Câu 56: Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1
lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội
A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a b là A. 1. B. 3. C. 1  . D. 6  .
Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 2
800 m . N ếu trồng đậu trên diện tích 2
100 m thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. N ếu trồng cà thì trên diện tích 2 100 m
cần 30 công làm và thu được 4000000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao
nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy chọn phương
án đúng nhất trong các phương án sau: A. Trồng 2 600 m đậu; 2 200 m cà. B. Trồng 2 500 m đậu; 2 300 m cà. C. Trồng 2 400 m đậu; 2 200 m cà. D. Trồng 2 200 m đậu; 2 600 m cà. Page 71
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Câu 58: Một công ty TN HH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phNm mới của
công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. N ơi thuê chỉ có hai loại xe A
và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê
với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển
là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.
A. 4 xe A và 5 xe B . B. 5 xe A và 6 xe B .
C. 5 xe A và 4 xe B . D. 6 xe A và 4 xe B .
Câu 59: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần
lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà
vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính 2 2 x y A. 2 2 x y 1,3. B. 2 2
x y  2,6 . C. 2 2
x y 1,09 . D. 2 2
x y  0,58.
Câu 60: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng
lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ
B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả 55 trứng lành là
. Tìm số trứng lành trong giỏ A. 84 A. 6. B. 14. C. 11. D. 10.
Câu 61: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và
210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt
loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần
30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng,
mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội
trong cuộc thi là bao nhiêu? A. 540 . B. 600 . C. 640 . D. 720 .
Câu 62: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm I và II .
Mỗi sản phNm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phNm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm
việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng.
Câu 63: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A. x  0,3 và y 1,1. B. x  0,3 và y  0,7 . C. x  0,6 và y  0,7 . D. x  1,6 và y  0,2 . Page 72
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NG
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC ƯƠ II NHẤT HAI ẨN CH
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. TÌM NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c không được gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x  3y 1 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng
2x 3y 1  0 .
C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình
ax by c được gọi là miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình ax by c là tập rỗng. Lời giải Chọn C
Câu 2: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2 y  2  21 x là nửa mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B. 1;  1 . C. 4;2 . D. 1;  1  . Lời giải Chọn C
Ta có: x  2  2 y  2  21 x  x  2  2y  4  2  2x x  2y  4 .
Dễ thấy tại điểm 4;2 ta có: 4  2.2  8  4 .
Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình 3 x  
1  4 y  2  5x  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B.  4;  2 . C.  2;  2 . D.  5;  3 . Lời giải Chọn A Ta có: 3 x  
1  4 y  2  5x  3  3x  3  4y  8  5x  3  2x  4y  8  0
x  2 y  4  0
Dễ thấy tại điểm 0;0 ta có: 0  2.0  4  4  0 .
Câu 4: Miền nghiệm của bất phương trình x  3  22y  5  21 x là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? Page 1
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN A.  3;  4   . B.  2;  5   . C. 1;6 . D. 0;0 . Lời giải Chọn D
Ta có: x  3  22y  5  21 x  x  3  4y 10  2  2x  3x  4y  8  0 .
Dễ thấy tại điểm 0;0 ta có: 3.0  4.0  8  0 .
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình 4 x  
1  5 y  3  2x  9 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 0;0 . B. 1;  1 . C.  1  ;  1 . D. 2;5 . Lời giải Chọn D Ta có: 4 x  
1  5 y  3  2x  9  4x  4  5y 15  2x  9  2x  5y 10  0 .
Dễ thấy tại điểm 2;5 ta có: 2.2  5.5 10  0 .
Câu 6: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  3  4 x  
1  y  3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm sau? A. 3;0 . B. 3;  1 . C. 1;  1 . D. 0;0 . Lời giải ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số 1; 
1 thỏa bất phương trình.
Câu 7: Miền nghiệm của bất phương trình 5 x  2 9  2x  2y  7 là phần mặt phẳng không chứa
điểm nào trong các điểm sau? A.  2;   1 . B. 2;3. C. 2;  1  . D. 0;0 . Lời giải ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số 2;3 không thỏa bất phương trình.
Câu 8: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x y  1? A.  2;   1 . B. 3; 7  . C. 0;  1 . D. 0;0 . Lời giải ChọnC.
Nhận xét: chỉ có cặp số 0; 
1 không thỏa bất phương trình.
Câu 9: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5 0 ? A.  5;  0. B.  2;   1 . C. 1; 3   . D. 0;0 . Lời giải ChọnB. Ta thay cặp số  2;  
1 vào bất phương trình x  4 y  5 0 được 2
  4  5  0 đo dó cặp số  2;  
1 không là nghiệm của bất phương trình x  4 y  5 0 .
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai Nn? Page 2
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
A. 2x  5y  3z  0 . B. 2
3x  2x  4  0 . C. 2
2x  5y  3 .
D. 2x  3y  5. Lời giải Chọn D
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai Nn.
Câu 11: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x y  3  0 ?  3   3  A. Q 1  ; 3   . B. M 1;   . C. N 1;  1 . D. P 1;   .  2   2  Lời giải Chọn B
Tập hợp các điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình 2x y  3  0 là nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng 2x y  3  0 và không chứa gốc tọa độ.  3 
Từ đó ta có điểm M 1; 
 thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x y 3  0.  2 
Câu 12: Miền nghiệm của bất phương trình 3x y  2  0 không chứa điểm nào sau đây?  1 
A. A1 ; 2 . B. B 2 ;  1 . C. C 1 ;   . D. D3 ;  1 .  2  Lời giải Chọn A
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 3
x y  2  0.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d  không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 13: Miền nghiệm của bất phương trình x  3  2(2 y  5)  2(1 x) không chứa điểm nào sau đây? Page 3
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN  1 2  A. A 1  ;  2 . B. B  ;    .
C. C 0 ; 3 . D. D 4  ; 0 .  11 11 Lời giải Chọn B
Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3x  4 y 11  0.
Ta vẽ đường thẳng d  :3x  4y 11  0.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 2x y  1 không chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 2 ; 2 .
C. C 3 ; 3. D. D 1  ;   1 . Lời giải Chọn D
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 2x y 1.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình 1 3 x 1 3 y  2 chứa điểm nào sau đây?
A. A1 ;   1 . B. B  1  ;   1 . C. C  1  ;  1 .
D. D  3 ; 3. Lời giải Chọn A Page 4
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 1 3 x 1 3 y  2.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d  không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình x  2  2 y  
1  2x  4 chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 1 ; 5.
C. C 4 ; 3.
D. D0 ; 4. Lời giải Chọn B
Đầu tiên ta thu gọn bất phương trình đã cho về thành x  2 y  8  0.
Vẽ đường thẳng d  : x  2y 8  0.
Ta thấy 0 ; 0 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không chứa điểm 0 ; 0.
Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 2x  2y  2  2  0 chứa điểm nào sau đây? A. A1 ;  1 .
B. B 1 ; 0 .
C. C  2 ; 2 .
D. D  2 ;  2. Lời giải Chọn A Page 5
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 2x  2y  2  2  0.
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d  chứa điểm 0 ; 0.
Câu 18: Cho bất phương trình 2x  4 y  5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. 1;  1  S .
B. 1;10 S . C. 1;  1  S .
D. 1;5 S . Lời giải ChọnC. Ta thấy 1;  1
 thỏa mãn hệ phương trình do đó 1;  1
 là một cặp nghiệm của hệ phương trình.
Câu 19: Cho bất phương trình x  2 y  5  0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. 2;2 S .
B. 1;3 S . C.  2;  2S . D.  2;  4S . Lời giải Chọn A
Ta thấy 2;2 S vì 2  2.2  5  0 .
Câu 20: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x Page 6
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y y 2 3 O x C. D. 3 2  O x Lời giải y Chọn C 3
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  :3x  2y  6  .
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền 2  O x
nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d  chứa điểm 0 ; 0.
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2  3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Page 7
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn A y 3 2 x O
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  : 3x  2y  6.
Ta thấy 0 ; 0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm
là nửa mặt phẳng không chứa điểm 0 ;  0 .
Câu 22: Miền nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  6 là y y 3 3 A. B. 2 x 2 O O x y y 2 3 O x C. D. 3 2 O x Lời giải Chọn D Page 8
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y  2 O x 3
Trước hết, ta vẽ đường thẳng d  :3x  2y  6  .
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt
phẳng chứa điểm 0 ;  0 .
Câu 23: Cho bất phương trình 2
x  3y  2  0có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?   A. 1;  1 S . B. 2  ; 0   S . C. 1;  2 S . D. 1;  0 S .  2    Lời giải ChọnB.   2 Ta thấy 2  ; 0   S vì 2.   3.0  2  0.  2    2 Câu 24: Cặp số ( ; x ) y  2; 
3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
A. 4 x  3 y .
B. x – 3y  7  0 .
C. 2 x – 3 y – 1  0 .
D. x – y  0 . Lời giải Chọn D Ta có 2 3  1
  0 nên Chọn D
Câu 25: Cặp số x ; y nào là nghiệm của bất phương trình . 0 0 
3 x  3 y  4
A. x ; y  2  ;2 .
B. x ; y  5;1 .
C. x ; y  4
 ;0 . D. x ; y  2;1 . 0 0    0 0    0 0    0 0    Lời giải Chọn B
Thế các cặp số x ; y vào bất phương trình: 0 0  x ;y  2
 ;2 3x3y  4 3 2   3.2  4 0 0    x ;y  5;1 0 0 
   3x  3y  4  3.5  3.1  4 x ;y  4
 ;0  3x 3y  4  3. 4   3.0  4 0 0    Page 9
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN x ;y  2;1 . 0 0 
   3x  3y  4  3.2  3.1 4
DẠNG 2. TÌM MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
x y  2  0
Câu 26: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình  là
2x  3y  2  0 A. 0;  0 . B. 1;  1 . C.  1;   1 . D.  1  ; 1. Lời giải ChọnC. Ta thay cặp số  1;  
1 vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
Câu 27: Câu nào sau đây đúng?.  x y  1 0  2 3   3y
Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 là phần mặt phẳng chứa điểm 2   x  0  A. 2;  1 . B. 0;  0 . C. 1;  1 . D. 3;4 . Lời giải Chọn A
N hận xét: chỉ có điểm 2;  1 thỏa mãn hệ.
2x  3y 1  0
Câu 28: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  ?
 5x y  4  0 A.  1  ;4 . B.  2;  4 . C. 0;  0 . D.  3;  4. Lời giải ChọnC.
N hận xét: chỉ có điểm 0;  0 không thỏa mãn hệ.
2x  5y 1  0 
Câu 29: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  2x y  5  0 ?
x y 1 0  A. 0;  0 . B. 1;0 . C. 0; 2   . D. 0;  2 . Lời giải ChọnC.
N hận xét: chỉ có điểm 0; 2
  thỏa mãn hệ.
x y  0 
Câu 30: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x 3y  3  0 là phần mặt phẳng chứa điểm
xy 5  0  A. 5;  3 . B. 0;  0 . C. 1;   1 . D.  2;  2 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Lời giải Chọn A
N hận xét: chỉ có điểm 5;  3 thỏa mãn hệ.
3x y  9  x y  3
Câu 31: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm 2 y  8  x  y  6 A. 0;  0 . B. 1;2 . C. 2;  1 . D. 8;4 . Lời giải ChọnD.
N hận xét: chỉ có cặp số 8;4 thỏa bất phương trình 3x y  9 . x y  0
Câu 32: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
2x  5y  0 định đúng?  1   1 2  A. 1;  1 S . B.  1  ;  1 S . C. 1; S   . D.  ; S   .  2   2 5  Lời giải Chọn C Thế đáp án, chỉ có 1
x  1; y   thỏa mãn hệ bất phương trình  chọn C 2
3x y  6
x y 3
Câu 33: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
là phần mặt phẳng chứa điểm: 2 y  8  x  y  4 A. 2;  1 . B. 6;  4 . C. 0;  0 . D. 1;2 . Lời giải Chọn A
N hận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm
có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế x  6; y  4 vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng:
22  6; 6  1; 8  2; 4  4 . Vậy ta chọn đáp án B .
Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3.
Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3.
Câu 34: Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong
bốn hệ bất phương trình dưới đây? Page 11
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y  0 x  0 x  0 x  0     A. 5
x 4y 10. B. 5
x 4y 10. C. 4
x 5y 10. D. 5
x 4y 10. 5  x4y 10     4x 5y 10  5x  4y 10  4x 5y 10  Lời giải Chọn D
Cạnh AC có phương trình x  0 và cạnh AC nằm trong miền nghiệm nên x  0 là một bất phương trình của hệ.  5 
Cạnh AB qua hai điểm ; 0   và 0; 
2 nên có phương trình: x y
  1  4x  5y  10 .  2  5 2 2 x  0 
Vậy hệ bất phương trình cần tìm là 5
x 4y 10. 4  x5y 10   x  0
Câu 35: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
 x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A. 1;  1 S .
B. 1; 3 S .
C. 1; 5  S .
D. 4; 3  S . Lời giải ChọnC.
Ta thấy 1; 5  S vì 1  0 .  x  0
Câu 36: Cho hệ bất phương trình 
có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là
x  3 y  1  0 khẳng định đúng? A.  1  ;2S .
B.  2;0 S .
C. 1; 3 S .
D.  3;0 S . Lời giải ChọnD.  3  0
Ta thấy  3;0 S vì  .  3  3.0 1  0 Page 12
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN x y  3 
Câu 37: Cho hệ bất phương trình  1
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng
1 x y  0  2 định đúng ? A. 1;  2 S . B. 2;  1 S . C. 5; 6  S . D. S   . Lời giải Chọn D
Vì không có điểm nào thỏa hệ bất phương trình.  3 2x y 1
Câu 38: Cho hệ bất phương trình  2
có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
4x 3y  2 đúng ?  1  A.  ; 1  S   .  4  B. S  
 ;x y|4x3y  2.
C. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d là là
đường thẳng 4 x  3 y  2 .
D. Biểu diễn hình học của S là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ d , với d
là là đường thẳng 4 x  3 y  2 . Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:  3 d : 2 x y  1 1  2
d :4x3y  2 2  Page 13
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Thử trực tiếp ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của phương trình nhưng không phải là nghiệm của
phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình
chính là các điểm thuộc đường thẳng d  : 4x 3y  2.
2x  3y  5 (1)  Câu 39: Cho hệ  3
. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình, S là tập nghiệm của bất
x y  5 (2)  1 2  2
phương trình và S là tập nghiệm của hệ thì
A. S S .
B. S S .
C. S S .
D. S S . 1 2 2 1 2 1 Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
d :2x3y  5 1   3 d : x y  5 2  2
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Câu 40: Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D? y 3 2 x O Page 14
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y  0  y  0 x  0 x  0 A.  . B.  . C.  . D.  .
3x  2 y  6
3x  2 y  6
3x  2y  6
3x  2 y  6 Lời giải Chọn A
Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng d : y  0 và đường thẳng 1 
d :3x2y 6. 2 
Miền nghiệm gồm phần y nhận giá trị dương.
Lại có 0 ; 0 thỏa mãn bất phương trình 3x  2 y  6.
x  2y  0 
Câu 41: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  2
 chứa điểm nào sau đây? y x  3 
A. A1 ; 0 . B. B 2  ;  3 .
C. C0 ;   1 . D. D 1  ; 0. Lời giải Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d : x2y  0 1 
d : x3y  2  2 
d : yx 3 3  Ta thấy 0 ; 
1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 0 ;  1 thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
2x  3y  6  0 
Câu 42: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  0
chứa điểm nào sau đây?
2x 3y 1 0   1 A. A 1;  2 . B. B0 ;  2 . C. C 1  ;  3 . D. D 0 ;  .    3 Lời giải Chọn D Page 15
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d :2x3y6  0 1  d : x  0 2 
d :2x3y 1 0 3  Ta thấy 1; 
1 là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm 1;  1 thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ. 2x 1  0
Câu 43: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây? 3x  5  0  5   1  A. Không có. B. B ; 2 .   C. C 3  ;  1 . D. D ; 10   .  3   2  Lời giải Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: d :2x 1   0 1  d : 3  x 5  0 2  Page 16
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Ta thấy 1 ; 0 là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 1 ; 0
không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt
phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình. 3  y  0
Câu 44: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
chứa điểm nào sau đây?
2x  3y 1  0
A. A3 ; 4 . B. B4 ;  3 . C. C7 ;  4 .
D. D4 ; 4. Lời giải Chọn C
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
d :3 y  0 1 
d :2x3y1 0 2 
Ta thấy 6 ; 4 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 6 ; 4 thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
x  2y  0
Câu 45: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 
không chứa điểm nào sau đây?
x  3y  2 A. A 1;  0. B. B1;  0 . C. C 3  ;  4 .
D. D0 ; 3. Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng: Page 17
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
d : x2y  0 1 
d : x3y  2  2  Ta thấy 0 ; 
1 là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 0 ;  1 thuộc cả
hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không
bị gạch là miền nghiệm của hệ. 3
x  2y  6  0  3y
Câu 46: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 
 4 không chứa điểm nào sau đây? 2  x  0  A. A 2 ;   2 .
B. B 3 ; 0.
C. C1;   1 .
D. D2 ;   3 . Lời giải Chọn C
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d :3x2y6  0 1 
d :4x3y12  0 2  d : x  0 3  Ta thấy 2 ;  
1 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 2 ;   1 thuộc
cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ. x y  0 
Câu 47: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  3y  3
 không chứa điểm nào sau đây? x y  5 
A. A3 ; 2.
B. B 6 ; 3.
C. C 6 ; 4.
D. D5 ; 4. Lời giải Chọn A Page 18
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d : xy  0 1 
d : x3y  3  2 
d : xy 5 3 
Ta thấy 5 ; 3 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm 5 ; 3 thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ.
x  3y  0 
Câu 48: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x  2y  3
 không chứa điểm nào sau đây? y x  2  A. A0 ;  1 . B. B 1  ;  1 . C. C  3  ; 0. D. D 3  ;  1 . Lời giải Chọn C
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d : x3y  0 1 
d : x2y  3  2 
d : xy  2 3  Ta thấy  1; 
0 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm  1;  0 thuộc cả
ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ miền không thích hợp, miền không
bị gạch là miền nghiệm của hệ. Page 19
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
DẠNG 3. TÌM GIÁ TRN NHỎ NHẤT- GIÁ TRN LỚN NHẤT
y  2x  2 
Câu 49: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F y x trên miền xác định bởi hệ 2y x  4 là
x y  5 
A. min F 1 khi x  2 , y  3 .
B. min F  2 khi x  0 , y  2 .
C. min F  3 khi x  1 , y  4 .
D. min F  0 khi x  0 , y  0 . Lời giải Chọn A
y  2x  2 
Miền nghiệm của hệ 2y x  4 là miền trong của tam giác ABC kể cả biên
x y  5 
Ta thấy F y x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Tại  A 0;  2 thì F 2. Tại B1;  4 thì F  3 Tại  A 2;  3 thì F 1.
Vậy min F 1 khi x  2 , y  3 .
 2x y  2 
Câu 50: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F y x trên miền xác định bởi hệ  x y  2 là 5
x y  4   A. min 3
F   khi x  1, y  2 .
B. min F  0 khi x  0, y  0 . C. min 2 F   khi 4 2 x  , y   . D. min 8
F  khi x  2, y  6 . 3 3 Lời giải Page 20
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN Chọn C
 2x y  2 
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình  x y  2 trên hệ trục tọa độ như dưới đây: 5
x y  4  
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F y x chỉ đạt được tại các điểm       A  4 2 1 7 2;6 ,C ; , B ;     .  3 3   3 3  Ta có: F  
A  8; F B  2
 ;F C  2  . Vậy min 2 F   khi 4 2 x  , y   . 3 3 x y  2 3 
x  5y 15
Câu 51: Cho hệ bất phương trình 
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? x  0  y  0
A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền  25 9
tứ giác ABCO kể cả các cạnh với  A 0;  3 , B ;   , C2;  0 và  O 0;  0 .  8 8
B. Đường thẳng  : x y m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi 17 1  m  . 4
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x y , với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 17 . 4
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0. Lời giải Chọn B Page 21
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:
d : xy  2 1 
d :3x5y 15 2  d : x  0 3  d : y  0 4 
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.  0  y  4   x  0
Câu 52: Giá trị lớn nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y với điều kiện  là
x y 1  0 
x  2y 10  0 A. 6. B. 8. C. 10 . D. 12. Lời giải Chọn C
Vẽ đường thẳng d : x y  1  0 , đường thẳng d qua hai điểm 0;  1 và 1;0 . 1 1
Vẽ đường thẳng d : x  2 y  1 0  0 , đường thẳng d qua hai điểm 0;5 và 2;  4 . 2 2
Vẽ đường thẳng d : y  4 . 3 Page 22
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A4; 
3 , B2;4,C0;4, E1;0 . Ta có: F 4; 
3 10 , F 2;4 10, F 0;4  8, F1; 
0 1, F 0;0  0.
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y bằng 10.  0  y  5   x  0
Câu 53: Giá trị nhỏ nhất của biết thức F  ;
x y  x  2y với điều kiện  là
x y  2  0 
xy2  0 A. 10  . B. 12. C. 8  . D. 6  . Lời giải Chọn A  0  y  5   x  0
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình 
trên hệ trục tọa độ như dưới đây:.
x y  2  0 
xy2  0
N hận thấy biết thức F y x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B,C hoặc D . Ta có: F   A  7  25  3
 ;F B  2  5  1  0. F C  2  2  4
 ,F D  220  2. Vậy min 10
F   khi x  0, y  5 .
2x y  2 
x  2y  2
Câu 54: Biểu thức F y – x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện  tại điểm S ; x y có toạ độ x y  5   x  0 là A. 4;  1 . B. 3;  1 . C. 2;  1 . D. 1;  1 . Lời giải Chọn A Page 23
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
2x y  2 
x  2y  2
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình 
trên hệ trục tọa độ như dưới đây: x y  5   x  0
N hận thấy biết thức F y x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm , A B hoặc C . Chỉ C4; 
1 có tọa độ nguyên nên thỏa mãn. Vậy min 3
F   khi x  4, y  1 .
2x  3y  6  0 
Câu 55: Biểu thức L y x , với x và y thõa mãn hệ bất phương trình x  0 , đạt giá trị
2x 3y 1 0 
lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. 25  a  và b  2 . B. a  2 và 11 b  
. C. a  3 và b  0 . D. a  3 và 9 b  . 8 12 8 Lời giải Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
d :2x3y6  0 1  d : x  0 2 
d :2x3y 1 0 3  Page 24
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Ta thấy 0 ; 0 là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba
miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền
không bị gạch là miền nghiệm của hệ.  7 5   1
Miền nghiệm là hình tam giác ABC , với A0 ; 2, B ; ,   C 0 ;  .    4 6   3
Vậy ta có a  2  0  5 7 11 2, b     . 6 4 12
DẠNG 4. ÁP DỤNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN
Câu 56: Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và
210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1
lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu.
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội
A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a b là A. 1. B. 3. C. 1  . D. 6  . Lời giải Chọn C Gọi ,
x y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế x 0; y   0 .
Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x g hương liệu.
Để pha chế y lít nước táo cần 10y g đường, y lít nước và 4 y g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
30x 10y  210  x y  9  *. x  4y  24 
x  0; y  0
Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M x, y  60x  80y . Bài toán
trở thành tìm x, y để M x, y đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ  
* trên mặt phẳng tọa độ như sau:
x+y=9 y E A x+4y=24 B D≡O x C 30x + 10y = 210 Page 25
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Miền nghiệm là ngũ giác ABCDE .
Tọa độ các điểm: A4;5 , B6;3 , C 7;0 , D0;0 , E 0;6 .
M x, y sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ
các điểm vào biểu thức M x, y ta được:
M 4;5  640; M 6;3  600 , M 7;0  420 , M 0;0  0 , M 0;6  480 .
Vậy giá trị lớn nhất của M x; y bằng 640 khi x  4; y  5  a  4; b  5  a b  1.
Câu 57: Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 2
800 m . N ếu trồng đậu trên diện tích 2
100 m thì cần 20 công làm và thu được 3000000 đồng. N ếu trồng cà thì trên diện tích 2 100 m
cần 30 công làm và thu được 4000000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao
nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy chọn phương
án đúng nhất trong các phương án sau: A. Trồng 2 600 m đậu; 2 200 m cà. B. Trồng 2 500 m đậu; 2 300 m cà. C. Trồng 2 400 m đậu; 2 200 m cà. D. Trồng 2 200 m đậu; 2 600 m cà. Lời giải Chọn A
Giả sử diện tích trồng đậu là x ;suy ra diện tích trồng cà là 8  x
Ta có thu nhập thu được là S x  3x  4 
8 x.10000 10000 
x 32 đồng.
Tổng số công là 20x  308  x  1  0x  240 Theo giả thiết có 10
x  240 180  x  6
Mà hàm số S x là hàm nghịch biến trên  nên S x đạt giá trị lớn nhất khi x  6 . Do đó trồng 2 600 m đậu, 2 200 m cà.
Câu 58: Một công ty TN HH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phNm mới của
công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. N ơi thuê chỉ có hai loại xe A
và B . Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê
với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển
là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.
A. 4 xe A và 5 xe B . B. 5 xe A và 6 xe B .
C. 5 xe A và 4 xe B . D. 6 xe A và 4 xe B . Lời giải Chọn D
Gọi x là số xe loại A 0  x 10; x  , y là số xe loại B 0  y  9; y  . Khi đó tổng chi
phí thuê xe là T  4x  3y .
Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được
là 20x 10 y . Page 26
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Xe A chở được 0, 6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở
được là 0, 6x 1,5y . 0  x 10  0  y  9 Theo giả thiết, ta có  *
20x 10y  140 
0,6x 1,5y  9
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình * là tứ giác ABCD kể cả miền trong của tứ giác.
Biểu thức T  4x  3y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD .  5  x  5
Tại các đỉnh A10;2; B 10;9;C ;9 ; D  
5;4, ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất tại  .  2   y  4 Khi đó T  32 . min
Câu 59: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg
thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần
lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà
vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính 2 2 x y A. 2 2 x y 1,3. B. 2 2
x y  2,6 . C. 2 2
x y 1,09 . D. 2 2
x y  0,58. Lời giải Chọn A
Điều kiện: 0  x  1,6 ; 0  y  1,1
Khi đó số protein có được là 800x  600 y và số lipit có được là 200x  400 y
Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên
điều kiện tương ứng là: 800x  600 y  900 và 200x  400 y  400 Page 27
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
 8x  6 y  9 và x  2 y  2 0  x 1,6  0  y 1,1  8x  6y  9 
x  2y  2
Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm của tứ giác ABCD
Chi phí để mua x kg thịt bò và y kg thịt
lợn là T  160x 110 y
Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD
Tại A: T  160.0,6 110.0,7  173
Tại B: T  160.1,6 110.0,2  278
Tại C: T  160.1,6 110.1,1  377
Tại D: T  160.0,3 110.1,1  169
Vậy T đạt GTN N khi x  0,3 ; y  1,1 2 2 2 2
x y  0,3 1,1 1,3.
Câu 60: Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng
lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ
B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả 55 trứng lành là
. Tìm số trứng lành trong giỏ A. 84 A. 6. B. 14. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn C
Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A.
Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B. Page 28
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành: a x 55 .  .
a b x y 84   . a x55  
a b x y84 a b 14   a 11
Do đó: a b x y  20
 x y  6   .   x  5 2       .ax a b x y   55
a bx y  100      2 
Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.
Câu 61: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và
210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt
loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần
30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng,
mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội
trong cuộc thi là bao nhiêu? A. 540 . B. 600 . C. 640 . D. 720 . Lời giải Chọn C
Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật 10
x  30y  210
x  3y  210   4x y 24   
 4x y  24
liệu ban đầu mà mỗi đội được cung cấp:    x y  9 x y  9    x , y  0
 x, y  0
Điểm thưởng đạt được: P  80x  60 y
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P trong miền D được cho bởi hệ điều kiện
Biến đổi biểu thức P  80x  60 y  80x  60 y P  0 đây là họ đường thẳng Δ trong hệ tọa độ Oxy
Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới: Page 29
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN y 9 7 6 4 A 6 O 5 3 9 x Δ(P)
Giá trị lớn nhất của P ứng với đường thẳng Δ đi qua điểm (5 A ; 4) , suy ra:
80.5 60.4  P  0  P  640  P . max
Câu 62: Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phNm I và II .
Mỗi sản phNm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phNm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản
xuất được một sản phNm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1
giờ. Để sản xuất được một sản phNm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm
việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phNm. Biết rằng trong một
tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền
lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là. A. 32 triệu đồng. B. 35 triệu đồng. C. 14 triệu đồng. D. 30 triệu đồng. Lời giải Chọn A
Gọi x , y lần lượt là số sản phNm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x , y nguyên dương. 3
x  2y 180 
x  6y  220
Ta có hệ bất phương trình sau:  x  0  y  0
Miền nghiệm của hệ trên là y 90 B C x O A Page 30
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T  0,5x  0, 4y .
Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A , B , C . Vì C có tọa độ không nguyên nên loại. Tại A60; 0
 thì T  30 triệu đồng. Tại B40; 3
0 thì T  32 triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
Câu 63: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi
kiogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn
vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1
kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi
x , y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x , y để tổng số tiền họ
phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
A. x  0,3 và y 1,1. B. x  0,3 và y  0,7 . C. x  0,6 và y  0,7 . D. x  1,6 và y  0,2 . Lời giải Chọn A 0  x 1,6
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160.x 110.y với x , y thỏa mãn:  . 0  y 1,1
Số đơn vị protein gia đình có là 0,8.x  0,6.y  0,9  8x  6y  9 d . 1 
Số đơn vị lipit gia đình có là 0, 2.x  0, 4.y  0, 4  x  2y  2 d . 2  0  x  1,6  0  y  1,1
Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình  sao cho 8x  6 y  9 
x  2y  2
T 160.x 110.y nhỏ nhất. y x 1  ,6 2 D A y 1  ,1 1 C B O 1 2 x x2y 2 8x6y 9
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A1,6;1, 
1 ; B 1,6;0,2 ; C 0,6;0,7 ; D 0,3;1,  1 . Page 31
CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN 10 – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
N hận xét: T A  377 nghìn, T B  278 nghìn, T C 173 nghìn, T D 169 nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì
x  0,6 và y  0,7 . Page 32
Document Outline

  • 002.03,4.1_TOAN-10_B3,4_C2_BPT-HBPT-BAC-NHAT-2-AN_TU-LUAN_DE_TR62
  • 002.03,4.1_TOAN-10_B3,4_C2_BPT-HBPT-BAC-NHAT-2-AN_TU-LUAN_HDG
  • 002.03,4.2_TOAN-10_B3,4_C2_BPT-HBPT-BAC-NHAT-2-AN_TRAC-NGHIEM_DE_TR72
  • 002.03,4.2_TOAN-10_B3,4_C2_BPT-HBPT-BAC-NHAT-2-AN_TRAC-NGHIEM_HDG