Chuyên Đề Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Ôn Thi Tốt Nghiệp Giải Chi Tiết
Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt. Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng20. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho. Một rạp xiếc có 35 dãy ghế, dãy đầu tiên có 18 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 4 ghế. Hỏi rạp xiếc có tất cả bao nhiêu ghế? Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!
Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 278 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết ①. Định nghĩa
Dãy số u là cấp số cộng nếu u u
d với n 2, d là số không đổi. n n n 1
. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng, d u u với n 2 . n n 1
. Nếu d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đồi.
②. Số hạng tổng quát
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d , ta có: n 1
u u n 1 d với n 2 n 1
③. Tổng n số hạng đầu
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d . n 1 u u n
2u n 1 d n 1 1 n
Đặt S u u u , ta có: S hoặc S n 1 2 n n 2 n 2 Phần 2: Bài tập
Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Trong các dãy số u với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? n
A. u 3n .
B. u 1 3n .
C. u 3n 1. D. 2 u 3 n . n n n n
Câu 2: Cho cấp số cộng 1 u
biết u ;u 26 . Công sai d của cấp số cộng đó là: n 1 8 3 A. 11 . B. 10 . C. 3 . D. 3 . 3 3 10 11
Câu 3: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là: A. 7;12;17 . B. 6;10;14 . C. 8;13;18. D. 6;12;18.
Câu 4: Cho cấp số cộng u biết u u 19 . Giá trị của u u là: n 5 7 2 10 A. 38. B. 29. C. 12. D. 19.
Câu 5: Cho u là cấp số cộng có số hạng đầu u 2 , công sai d 5
. Tổng 10 số hạng đầu của cấp n 1 số cộng đó là: Trang 1 A. 410 . B. 205 . C. 245. D. 230 .
Câu 6: Cho a,b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết a b c 15 . Giá
trị của b bằng A. 10 . B. 8 . C. 5 . D. 6 .
Câu 7: Bốn số x, 2, y, 6 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 6
; y 3. B. x 5
; y 3 . C. x 6
; y 2 . D. x 5 ; y 2 . Câu 8: Cho hai số 3
và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số
cộng có công sai d 2. Tìm n.
A. n 12. B. n 13. C. n 14. D. n 15.
Câu 9: Tìm công sai d của cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu u = 10 và số hạng cuối u = 50 1 21
A. d 3. B. d 2 .
C. d 4 . D. d 2 .
Câu 10: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u 1 u 3 A. u . B. u . n 1 : n 1
: u u 2, n 1 u 2u 1, n 1 n 1 n n 1 n
C. u : 1; 3 ; 6 ; 10; 15; . D. u
1; 1; 1; 1; 1; . n : n
Câu 11: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai d
của cấp số cộng đã cho A. d 5 .
B. d 4. C. d 4 . D. d 5.
Câu 12: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u 5
và công sai d 3. Số 100 là số hạng thứ mấy n 1 của cấp số cộng? A. 15. B. 20. C. 35. D. 36.
Câu 13: Cho tam giác ABC , biết ba góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 0
25 . Tìm hai góc còn lại. A. 0 0 65 ; 90 . B. 0 0 60 ; 90 . C. 0 0 60 ; 95 . D. 0 0 75 ; 80 .
Câu 14: Xác định số hạng đầu u u 5u u 2u 5
1 và công sai d của cấp số cộng u có 9 2 và 13 6 n
A. u 3, d 4
B. u 3, d 5
C. u 4, d 5
D. u 4, d 3 1 1 1 1
Câu 15: Cho dãy số hữu hạn u ;u ;u ;u ;u theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, biết tổng của chúng 1 2 3 4 5
bằng 20. Tìm số hạng u . 3 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. u
3u u 2 1
Câu 16: Cho cấp số cộng u thỏa mãn 5 3 2
. Tính S u u ... u . n 3u 2u 3 4 4 5 30 7 4 A. S 1286 . B. S 1222 . C. S 1276 . D. S 1242 .
Câu 17: Cho (u ) là cấp số cộng có u u 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n 3 13 Trang 2 A. 630 . B. 800. C. 600 . D. 570.
Câu 18: Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn 2
a bc . Tính S 2ln a ln b ln c . a a A. S 2 ln .
B. S 2ln .
C. S 0 .
D. S 1. bc bc
Câu 19: Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung vào
ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này
quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình
kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng
xu giảm đi 100 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng? A. 54. B. 50. C. 49 . D. 55 .
Câu 20: Cho cấp số cộng u với u 8 , công sai d 2
. Số hạng đầu của cấp số cộng đã cho n 2 bằng A. -4. B. 10. C. 6. D. -10. u 2
Câu 21: Cho dãy số U xác định bởi 1 Tính u ? n * 10 u
u 5, n N n 1 n A. 57 . B. 62 . C. 47 . D. 52 .
Câu 22: Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31. B. 30. C. 29 . D. 28 .
Câu 23: Cho cấp số cộng u và gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S 77 và n n 7
S 192 . Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng đó 12 n
A. u 5 4n .
B. u 3 2n .
C. u 2 3n .
D. u 4 5n . n n n n
Câu 24: Biết các số 1 2 3
C ; C ; C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với Tìm n. n n n n 3. A. n 5. B. n 7. C. n 9. D. n 11.
Dạng 2: Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: Cho dãy số hữu hạn gồm các số hạng: 1
;2;5;8;11;14;17 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Dãy số đã cho là không phải cấp số cộng. Trang 3 b) Số hạng u 1 1
c) Nếu dãy số đã cho là một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng là d 2
b) Tổng tất cả số hạng của dãy số bằng 56 3 1
Câu 2: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u , công sai d
. Xác định tính đúng, sai của các n 1 2 2 khẳng định sau: n
a) Công thức cho số hạng tổng quát u 1 n 3
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho 15 c)
một số hạng của cấp số cộng đã cho 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng u bằng 2620 n
Câu 5: Cho cấp số cộng u , biết rằng: u 3
,u 27 , Xác định tính đúng, sai của các khẳng định n 1 6 sau:
a) Công sai của cấp số cộng bằng 7
b) Số hạng u 501 85
c) Số hạng u 52 10
d) Tổng của 85 số hạng đầu S 21165 85 u u 26
Câu 9: Cho cấp số cộng u có công sai d 0 thoả mãn 1 7
. Xác định tính đúng, sai của n 2 2 u u 466 2 6 các khẳng định sau:
a) Số hạng u 25 1 b) Công sai d 3 c) Số hạng u 11 10 d) Số hạng u 8067 2024
Câu 13: Cho dãy số (𝑢𝑛)𝑐𝑜́ tổng 𝑛 số hạng đầu được tinh bơi công thức 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 4𝑛.
a) Số hạng đầu 𝑢1 = −2, số hạng thứ hai 𝑢2 = 2.
b) Vơi 𝑛 ≥ 2 thi 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 4𝑛 − 6.
c) Dãy số (𝑢𝑛 ) là một cấp số cộng có công sai là -6.
d) Tống 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢6 + ⋯ + 𝑢100 là 5000. Trang 4 3 1
Câu 15: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u , công sai d . Khi đó: n 1 2 2 n
a) Công thức cho số hạng tổng quát u 1 n 3
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho 15 c)
một số hạng của cấp số cộng đã cho 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng u bằng 2620 n
Câu 17: Cho cấp số cộng u , gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S 77 và S 192 . n n 7 12 Khi đó: a) Số hạng u 5 1
b) Tổng u u 14 1 3
c) Công sai của cấp số cộng bằng 3
d) Số hạng u 25 11
Câu 21: Cho dãy số (𝑢𝑛) biết 𝑢1 = 1, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 vói 𝑛 ∈ N∗. Đặt 𝑣 với 𝑛 ∈ N∗. 1−2𝑢 𝑛 = 𝑢𝑛+2 𝑛 𝑢𝑛 a) 𝑣1 = 3.
b) Dã̃y số ( 𝑣𝑛 ) là một cấp số cộng có công sai 𝑑 = 4.
c) Công thúc của số hạng tổng quát 𝑣𝑛1à𝑣𝑛 = 7 − 4𝑛.
d) Công thức của số hạng tồng quát 𝑢𝑛 là 𝑢𝑛 = 2 . 7−4𝑛
Câu 26: Một người đi làm với mức lương khởi điểm 24 triệu đồng/tháng cho quý đầu tiên. Mỗi quý
tiếp theo, tiền lương của nhân viên này được tăng thêm 1, 5 triệu đồng. Xác định tính đúng,
sai của các mệnh đề sau:
a) Số tiền lương nhận được ở quý đầu tiên là 24 triệu đồng/tháng.
b) Số tiền lương mỗi quý nhận được tạo thành một cấp số cộng.
c) Từ năm thứ ba, số tiền lương nhận được mỗi quý không nhỏ hơn 40 triệu đồng/tháng.
d) Sau 5 năm làm việc, tổng số tiền lương nhân viên đó nhận được là 755 triệu đồng.
Câu 30: Một người lên kế hoạch tập chạy bộ như sau: Ngày thứ nhất, người đó chạy 2 km, cứ mỗi
ngày kế tiếp, người đó chạy nhiều hơn 200 m so với ngày trước đó cho đến khi đạt được
mức ôn định 10km một ngày. Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Quãng đường chạy được ở ngày thứ hai là 2, 2 km.
b) Quãng đường chạy được ở ngày thứ mười là 4 km.
c) Để đạt được mức chạy ổn định 10km một ngày, người đó cần ít nhất 38 ngày.
d) Tổng quãng đường người đó chạy được sau 60 ngày là 436 km. Trang 5
Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1: Cho cấp số cộng u biết u 3 và u 23
. Tính tổng 16 số hạng đầu của cấp số cộng? n 3 8
Câu 2: Trong một hội chợ hàng tiêu dùng. Một công ty sữa muốn xếp 400 hộp sữa thành các hàng theo
số lượng 1, 3 , 5 …từ trên xuống ( số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp
như mô hình). Tính số hộp sữa hàng cuối cùng
Câu 3: Một rạp xiếc có 20 hàng ghế, hàng ghế đầu có 15ghế, hàng ghế thứ hai có 16ghế, hàng ghế
thứ ba có 17 ghế và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Trong một buổi diến xiếc rạp đã bán
hết vé biết mỗi vé tương ứng một ghế ngồi, giá mỗi vé là 50 nghìn đồng. Tính số tiền mà
rạp xiếc thu được sau buổi diễn theo đơn vị triệu đồng
Câu 4: Một đội khoan giếng đưa ra giá khoan tính như sau: Mét đầu tiên có giá 200 nghìn đồng, mỗi
mét tiếp theo có giá cao hơn 40 nghìn đồng so với mét trước đó. Máy khoan tối đa được
chiều sâu 50 m. Giá khoan ở mét thứ mười là bao nhiêu( đơn vị nghìn đồng)?
Câu 5: Cho cấp số cộng u có u 15
và u 60 . Tổng của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng n 5 20 đó là bao nhiêu?
Câu 6: Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài
đó có 2040 chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiên có 10 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ
ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?
Câu 7: Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng u biết rằng: u 2u 0 và S 14 n 1 1 5 4
Câu 8: Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1
cây, hàng thứ hai có 2 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó
1 cây. Hỏi tổng số hàng cây trong khu vườn bằng bao nhiêu? Trang 6
Câu 9: Một rạp xiếc có 35 dãy ghế, dãy đầu tiên có 18 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 4 ghế. Hỏi
rạp xiếc có tất cả bao nhiêu ghế?
Câu 10: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước đến để
khoan giếng nước. Biết giá của một mét khoan đầu tiên là 75000 đồng, kể từ mét khoan thứ
hai giá của mỗi mét khoan tăng lên 6000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần
phải khoan sâu xuống 80 m mới có nước. Vậy phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?
Câu 11: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc,., lượt
trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.
Câu 12: Cho dãy số u với u 4n 3 . Chứng minh rằng u là một cấp số cộng. Xác định số n n n
hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát u dưới dạng 1 n
u u (n 1)d . n 1
Câu 13: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của
chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Câu 14: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số
của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.
Câu 15: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu
số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?
Dạng 4: Câu hỏi tự luận Trang 7
Câu 1: Cho cấp số cộng u biết số hạng đầu u 2
, công sai d 5. Hỏi 646 là tổng bao nhiêu số hạng đầu n 1 của cấp số cộng?
Câu 2: Cho dãy số u với u 2
n 3. Chứng minh rằng u là một cấp số cộng. Xác định số n n n
hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.
Câu 3: Cho cấp số cộng u biết u 15 và u 27
. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng? n 4 7
Câu 4: Anh Hùng nhận lời mời làm việc cho một doanh nghiệp với mức lương khởi điểm cho năm
đầu là 40000 đô la. Sau mỗi năm tiền lương sẽ được tăng thêm 2000 đô la. Hỏi sau bao
nhiêu năm làm việc tổng số tiền lương anh nhận được là 490000 đô la
Câu 5: Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2, 4 m ở đáy và rộng 1, 2 m ở đỉnh (hình vẽ bên dưới).
Các viên gạch hình vuông có kích thước 10 cm 1
0 cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở
phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên
gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó? u
u u 36
Câu 6: Cho cấp số cộng u , thoả mãn 2 4 6
. Tìm công sai d của cấp số cộng u , n n u u 54 2 3 biết d 4.
Câu 7: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông
được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng
hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?
Câu 8: Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá
của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng
cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh
toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng?
Câu 9: Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi
điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao
nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?
Câu 10: Một ngôi nhà hình kim tự tháp (có gạch nâu ốp bên ngoài) được bao quanh bởi rất nhiều cây
cối và là nơi tuyệt vời để nghỉ mát mùa hè; ngôi nhà có chiều dài, chiều rộng là 6,8 m , chiều
cao là 2,72 m . Khi xây dựng ngôi nhà, người chủ đã tính toán số viên gạch nâu hình hộp Trang 8
chữ nhật cần ốp tường; biết hàng trên ít hơn hàng dưới 1 viên, hàng trên cùng là 1 viên, kích
thước viên gạch nâu hình hộp chữ nhật là 0, 2 m 0,08 m 1 m . Hãy dự tính số viên gạch nâu
ốp tường cả bốn mặt của ngôi nhà.
Câu 11: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng
thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy. Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít
nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Câu 12: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là
100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu
đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Trong các dãy số u với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? n
A. u 3n .
B. u 1 3n .
C. u 3n 1. D. 2 u 3 n . n n n n Lời giải Chọn B
Câu 2: Cho cấp số cộng 1 u
biết u ;u 26 . Công sai d của cấp số cộng đó là: n 1 8 3 A. 11 . B. 10 . C. 3 . D. 3 . 3 3 10 11 Lời giải Chọn A
Câu 3: Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là: A. 7;12;17 . B. 6;10;14 . C. 8;13;18. D. 6;12;18. Lời giải Chọn A Trang 9
Câu 4: Cho cấp số cộng u biết u u 19 . Giá trị của u u là: n 5 7 2 10 A. 38. B. 29. C. 12. D. 19. Lời giải Chọn D
Câu 5: Cho u là cấp số cộng có số hạng đầu u 2 , công sai d 5
. Tổng 10 số hạng đầu của cấp n 1 số cộng đó là: A. 410 . B. 205 . C. 245. D. 230 . Lời giải Chọn B
Câu 6: Cho a,b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết a b c 15 . Giá
trị của b bằng A. 10 . B. 8 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn C
a, b, c theo thứ tự là cấp số cộng và a b c 15 3b 15 b 5 .
Câu 7: Bốn số x, 2, y, 6 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. x 6 ; y 3. B. x 5 ; y 3 . C. x 6 ; y 2 . D. x 5 ; y 2 . Lời giải Chọn C
Ta có bốn số x, 2
, y, 6 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: x y 4 x 6 . 2y 2 6 y 2 Câu 8: Cho hai số 3
và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số
cộng có công sai d 2. Tìm n. A. n 12. B. n 13. C. n 14. D. n 15. Lời giải Chọn A
Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có n + 2 số hạng với u = - 3, u = 23. 1 n+ 2 Khi đó u - u 23- (- ) 3 u = u + n + d Û n + = n = = Û n = ¾ ¾ ® A n+ ( ) + 2 1 1 1 13 12 2 1 d 2
Câu 9: Tìm công sai d của cấp số cộng hữu hạn biết số hạng đầu u = 10 và số hạng cuối u = 50 . 1 21 Trang 10 A. d 3. B. d 2 . C. d 4 . D. d 2 . Lời giải Chọn B
Ta có u = u + 20d u - u - 21 1 21 1 Þ d = 50 10 = = 2 . 20 20
Câu 10: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u 1 u 3 A. u . B. u . n 1 : n 1
: u u 2, n 1 u 2u 1, n 1 n 1 n n 1 n
C. u : 1; 3 ; 6 ; 10; 15; . D. u
1; 1; 1; 1; 1; . n : n Lời giải Chọn A
Dãy số ở đáp án A thỏa u
u 2 với mọi n 1 nên là cấp số cộng. n 1 n
Câu 11: Một cấp số cộng gồm 5 số hạng. Hiệu số hạng đầu và số hạng cuối bằng 20 . Tìm công sai d
của cấp số cộng đã cho A. d 5 .
B. d 4. C. d 4 . D. d 5. Lời giải Chọn C
Gọi năm số hạng của cấp số cộng đã cho là: u ;u ;u ;u ;u . 1 2 3 4 5
Theo đề bài ta có: u u 20 u (u 4d) 20 d 5 1 5 1 1
Câu 12: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u 5
và công sai d 3. Số 100 là số hạng thứ mấy n 1 của cấp số cộng? A. 15. B. 20. C. 35. D. 36. Lời giải Chọn D
Ta có: u u n 1 d 100 5
n 1 .3 100 3n 8 n 36. n 1
Câu 13: Cho tam giác ABC , biết ba góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 0
25 . Tìm hai góc còn lại. A. 0 0 65 ; 90 . B. 0 0 60 ; 90 . C. 0 0 60 ; 95 . D. 0 0 75 ; 80 . Lời giải Chọn C u u d
Giả sử ba góc tam giác lập thành cấp số cộng là 2 1
u ; u ; u với d là công 1 2 3
u u 2d 3 1 Trang 11 sai.
Ta có: u u d u 2d 0 0 0
180 3u 3d 180 u d 60 . 1 1 1 1 1
Suy ra số hạng thứ hai của cấp số cộng là 0 u 60 . 2 Xét các trường hợp: ▪ Nếu 0 0 0
u 25 d 35 u 95 . 1 3
Khi đó cấp số cộng là 0 0 0 25 ;60 ; 95 . 0 0 u 2d 25 u 95 ▪ Nếu 0 0 1 1
u 25 u 2d 25 3 1 0 0 u d 60 d 35 1
Khi đó cấp số cộng là 0 0 0 95 ;60 ; 25 .
Vậy hai góc còn lại của tam giác có số đo là: 0 0 60 ; 95 .
Câu 14: Xác định số hạng đầu u u 5u u 2u 5
1 và công sai d của cấp số cộng u có 9 2 và 13 6 n
A. u 3, d 4
B. u 3, d 5
C. u 4, d 5
D. u 4, d 3 1 1 1 1 Lời giải Chọn A u 5u 4
u 3d 0 u 3 9 2 1 1 u 2u 5 u 2d 5 d 4 13 6 1
Câu 15: Cho dãy số hữu hạn u ;u ;u ;u ;u theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, biết tổng của 1 2 3 4 5
chúng bằng 20. Tìm số hạng u . 3 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A
Ta có: u u u u u 20 5u 20 u 4. 1 2 3 4 5 3 3 u
3u u 2 1
Câu 16: Cho cấp số cộng u thỏa mãn 5 3 2
. Tính S u u ... u . n 3u 2u 3 4 4 5 30 7 4 A. S 1286 . B. S 1222 . C. S 1276 . D. S 1242 . Lời giải Chọn D u
3u u 2 1
3u 9d 2 1 u 2
Vì u là CSC nên 5 3 2 1 1 n 3u 2u 3 4 u 12d 3 4 d 3 7 4 1 Trang 12
S u u ... u S u 3d u 4d ... u 29d S 27u 432d 1 242 4 5 30 1 1 1 1
Câu 17: Cho (u ) là cấp số cộng có u u 80 . Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng n 3 13 A. 630 . B. 800. C. 600 . D. 570. Lời giải Chọn C
Gọi u , d lần lượt là số hạng đầu và công sai. 1
Ta có u u 80 u 2d u 12d 80 2u 14d 80 . 3 13 1 1 1
Tổng 15 số hạng đầu tiên: 15 15 S (2u 14d ) .80 600 . 15 1 2 2
Câu 18: Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn 2
a bc . Tính S 2ln a ln b ln c . a a A. S 2 ln . B. S 2ln .
C. S 0 .
D. S 1. bc bc Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 2 ln ln ln ln ln ln ln ln a S a b c a b c a bc ln bc 2 2 Mà 2 a a
a bc nên S ln ln ln1 0 . 2 bc a
Câu 19: Litva sẽ tham gia vào cộng đồng chung châu Âu sử dụng đồng Euro là đồng tiền chung vào
ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước này
quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình
kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng
xu giảm đi 100 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng? A. 54 . B. 50 . C. 49 . D. 55 . Lời giải Chọn B Trang 13 Gọi * u (n
) số đồng xu tầng thứ n . Theo đề bài ta có u
là cấp số cộng có u 4901, n n 1 công sai d 100 và S 122550 . n n n 1 n n 1
Ta có S nu
d 122550 4901n . 1 00 n 1 2 2 n 50 2
122550 4901n 50n 50n 2 50
n 4951n 122550 0 2451 . n l 50
Vậy mô hình kim tự tháp có tổng cộng 50 tầng.
Câu 20: Cho cấp số cộng u với u 8 , công sai d 2
. Số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng n 2 A. -4. B. 10. C. 6. D. -10. Lời giải Chọn B
Nếu u là cấp số cộng với công sai d thì u u d, n ,n 2. n n n 1
Do đó u u d
u u d 8 2 10 . 2 1 1 2 u 2
Câu 21: Cho dãy số U xác định bởi 1 Tính u ? n * 10 u
u 5, n N n 1 n A. 57 . B. 62 . C. 47 . D. 52 . Lời giải: Chọn C
Cách 1 : Dùng casio 570VN
B1 : Nhập vào máy tính “2”=>SHIFT=>STO=>A
B2: Nhập B A5: A B
B3: Ấn CALC rồi bấm liên tiếp dấu “=” cho kết quả u 47 . 10 u 2 Cách 2 : Từ 1 . * u
u 5, n N n 1 n Ta có u
u 5 nên dãy U là một cấp số cộng với công sai d 5 nên n n 1 n
u u 9d 2 45 47 . 10 1
Câu 22: Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31. B. 30 . C. 29 . D. 28 . Lời giải Chọn B
Cách trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng
u với số u là số cây ở hàng thứ n và u 1 và công sai d 1. n n 1 Trang 14 n n 1 n 30
Tổng số cây trồng được là: S 465 465 2
n n 930 0 . n 2 n 31 l
Như vậy số hàng cây trong khu vườn là 30 .
Câu 23: Cho cấp số cộng u và gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S 77 và n n 7
S 192 . Tìm số hạng tổng quát u của cấp số cộng đó 12 n
A. u 5 4n .
B. u 3 2n .
C. u 2 3n .
D. u 4 5n . n n n n Lời giải Chọn B
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u và công sai d . 1 7.6.d 7u 77 1 S 77
7u 21d 77 u 5 Ta có: 7 2 1 1 . S 192 12.11.d
12u 66d 192 d 2 12 1 12u 192 1 2
Khi đó: u u n 1 d 5 2 n 1 3 2n. n 1
Câu 24: Biết các số 1 2 3
C ; C ; C theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n 3. Tìm n. n n n A. n 5. B. n 7. C. n 9. D. n 11. Lời giải Chọn B Ba số 1 2 3
C ; C ; C theo thứ tự u , u , u lập thành cấp số cộng nên n n n 1 2 3 (n- ) 2 (n - ) 1 n (n- ) 1 n 1 3 2
u + u = 2u Û C + C = 2C n ³ 3 Û n + = 2. 1 3 2 n n n ( ) 6 2 2 n - 3n + 2 én = 2 2 Û 1+
= n - 1 Û n - 9n + 14 Û ê Û n = 7(n ³ ) 3 . 6 ên = 7 ë
Dạng 2: Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 1: Cho dãy số hữu hạn gồm các số hạng: 1
;2;5;8;11;14;17 . Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Dãy số đã cho là không phải cấp số cộng. b) Số hạng u 1 1
c) Nếu dãy số đã cho là một cấp số cộng thì công sai của cấp số cộng là d 2
b) Tổng tất cả số hạng của dãy số bằng 56 Lời giải Trang 15
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng a) Đặt: u 1
;u 2;u 5;u 8;u 11;u 14;u 17 . 1 2 3 4 5 6 7
Ta có: u u u u u u u u u u u u 3. 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6
Vậy dãy số hưu hạn đã cho là một cấp số cộng.
b) Công sai cấp số cộng là d 3.
n2u (n 1)d 1 7[2( 1) 6.3] Với u 1
,n 7,d 3 thì S 56 . 1 n 2 2 3 1
Câu 2: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u , công sai d
. Xác định tính đúng, sai của các n 1 2 2 khẳng định sau: n
a) Công thức cho số hạng tổng quát u 1 n 3
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho 15 c)
một số hạng của cấp số cộng đã cho 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng u bằng 2620 n Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai 3 1 n
a) Ta có: u u (n 1)d
(n 1) 1 . n 1 2 2 2 n b) Xét * 5 1 n 8
; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho. 2 15 n 11 15 c) Xét * 1 n ; suy ra
không là một số hạng của cấp số cộng đã cho. 4 2 2 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: 3 1 100 2 (100 1) 2 2 S 2625. 100 2
Câu 3: Cho cấp số cộng u , biết rằng: u 3
,u 27 , Xác định tính đúng, sai của các khẳng định n 1 6 sau:
a) Công sai của cấp số cộng bằng 7
b) Số hạng u 501 85 Trang 16
c) Số hạng u 52 10
d) Tổng của 85 số hạng đầu S 21165 85 Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng
Ta có: u u 5d 27 3
5d d 6 . 6 1
Vậy u u (n 1)d 3
(n 1)6 9 6n n 1 85 85 S 2u 84d [2 ( 3 ) 846] 21165 85 1 2 2 u u 26
Câu 4: Cho cấp số cộng u có công sai d 0 thoả mãn 1 7
. Xác định tính đúng, sai của n 2 2 u u 466 2 6 các khẳng định sau:
a) Số hạng u 25 1 b) Công sai d 3 c) Số hạng u 11 10 d) Số hạng u 8067 2024 Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng u u
2u 6d 26 26 1 1 7 Ta có: 2 2 u u 466
u d u d 2 6 5 466 1 2 1 2 u 13 3d (1) 1 u
d 2 u 5d 2 466 (2) 1 1
Thay (1) vào (2), ta được: 2 2 2
(13 2d) (13 2d) 466 8d 338 466 d 4 d 4
Vì d 0 nên ta nhận d 4
, khi đó u 25 1
Ta có: u u (n 1)d 25 (n 1)( 4 ) 29 4n . n 1
Câu 5: Cho dãy số (𝑢𝑛)𝑐𝑜́ tổng 𝑛 số hạng đầu được tinh bơi công thức 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 4𝑛.
a) Số hạng đầu 𝑢1 = −2, số hạng thứ hai 𝑢2 = 2.
b) Vơi 𝑛 ≥ 2 thi 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 4𝑛 − 6. Trang 17
c) Dãy số (u 𝑢𝑛 ) là một cấp số cộng có công sai là -6.
d) Tống 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢6 + ⋯ + 𝑢100 là 5000. Lời giải
Ta có: 𝑆1 = 𝑢1 = −2; 𝑆2 = 𝑢1 + 𝑢2 = 0. Do đó, 𝑢2 = 𝑆2 − 𝑆1 = 2.
+Vói 𝑛 ≥ 2 thi 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = (2𝑛2 − 4𝑛) − [2(𝑛 − 1)2 − 4(𝑛 − 1)] = 4𝑛 − 6.
𝑢𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 4𝑛 − 6. Do đo, 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 = 4𝑛 − 6 − [4(𝑛 − 1) − 6] = 4 voí 𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ≥ 2.
Vậy (𝑢𝑛) là một cấp số cộng có công sai là 4.
Các số 𝑢2, 𝑢4, 𝑢6, … , 𝑢100 lâp thành cấp số cọng có số hạng đầu 𝑢2 = 2, công sai 𝑑′ = 2𝑑 =
8, 𝑢100 = 4.100 − 6 = 394.
Ta có, 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢6 + ⋯ + 𝑢100 là tổng của 50 số hạng. Vây ( 𝑢 𝑢2+𝑢100)⋅50
2 + 𝑢4 + 𝑢6 + ⋯ + 𝑢100 = = 9900. 2
Đáp án: a) Đ, 𝐛)Đ, c) 𝐒, d) 𝐒. 3 1
Câu 6: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u , công sai d . Khi đó: n 1 2 2 n
a) Công thức cho số hạng tổng quát u 1 n 3
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho 15 c)
một số hạng của cấp số cộng đã cho 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng u bằng 2620 n Lời giải
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai 3 1 n
a) Ta có: u u (n 1)d
(n 1) 1 . n 1 2 2 2 n b) Xét * 5 1 n 8
; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho. 2 15 n 11 15 c) Xét * 1 n ; suy ra
không là một số hạng của cấp số cộng đã cho. 4 2 2 4 Trang 18
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: 3 1 100 2 (100 1) 2 2 S 2625. 100 2
Câu 7: Cho cấp số cộng u , gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết S 77 và S 192 . n n 7 12 Khi đó: a) Số hạng u 5 1
b) Tổng u u 14 1 3
c) Công sai của cấp số cộng bằng 3
d) Số hạng u 25 11 Lời giải
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Gọi d là công sai của cấp số cộng. 7
2u 6d 77 1 S 77
7u 21d 77 u 5 Ta có: 7 2 1 1 . S 192 12
12u 66d 192 d 2 12 2u 11d 1 192 1 2
Khi đó: u u (n 1)d 5 2(n 1) 3 2n . n 1
Câu 8: Cho dãy số (𝑢𝑛) biết 𝑢1 = 1, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 vói 𝑛 ∈ N∗. Đặt 𝑣 với 𝑛 ∈ N∗. 1−2𝑢 𝑛 = 𝑢𝑛+2 𝑛 𝑢𝑛 a) 𝑣1 = 3.
b) Dã̃y số ( 𝑣𝑛 ) là một cấp số cộng có công sai 𝑑 = 4.
c) Công thúc của số hạng tổng quát 𝑣𝑛1à𝑣𝑛 = 7 − 4𝑛.
d) Công thức của số hạng tồng quát 𝑢𝑛 là 𝑢𝑛 = 2 . 7−4𝑛 Lời giải Ta có: 𝑣1 = 𝑢1+2 = 3. 𝑢1
Theo già thiết, ta có 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+2 = 1 + 2 nên 𝑣 . 𝑢 𝑛+1 = 1 + 2 𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛+1
Do, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 nên 1 = 1−2𝑢𝑛 = 1 − 2. Suy ra 𝑣 − 2). 1−2𝑢 𝑛+1 = 1 + 2 ( 1 𝑛 𝑢𝑛+1 𝑢𝑛 𝑢𝑛 𝑢𝑛
Khi đó, 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 = 1 + 2 − 4 − (1 + 2 ) = −4 với mọi 𝑛 ∈ N∗. 𝑢′𝑛 𝑢𝑛 Trang 19
Vậy đãy số (𝑣𝑛) là một cấp số cộng có số hạng đầu 𝑣1 = 3, công sai 𝑑 = −4.
Ta có: 𝑣𝑛 = 𝑣1 + (𝑛 − 1)𝑑 = 3 + (𝑛 − 1)(−4) = 7 − 4𝑛.
Từ 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+2 suy ra 𝑢 = 2 = 1 . 𝑢 𝑛 = 2 𝑛 𝑣𝑛−1 7−4𝑛−1 3−2𝑛
Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) 𝐒.
Câu 9: Một người đi làm với mức lương khởi điểm 24 triệu đồng/tháng cho quý đầu tiên. Mỗi quý
tiếp theo, tiền lương của nhân viên này được tăng thêm 1, 5 triệu đồng. Xác định tính đúng,
sai của các mệnh đề sau:
a) Số tiền lương nhận được ở quý đầu tiên là 24 triệu đồng/tháng.
b) Số tiền lương mỗi quý nhận được tạo thành một cấp số cộng.
c) Từ năm thứ ba, số tiền lương nhận được mỗi quý không nhỏ hơn 40 triệu đồng/tháng.
d) Sau 5 năm làm việc, tổng số tiền lương nhân viên đó nhận được là 755 triệu đồng. Lời giải a) b) c) d) Đúng Đúng Sai Sai
a) Theo giả thiết, mức lương khởi điểm quý đầu tiên là u 24 triệu đồng. 1
b) Do mỗi quý tiếp theo, tiền lương của nhân viên này được tăng thêm 1, 5 triệu đồng nên
tiền lương của nhân viên này nhận mỗi quý là một cấp số cộng có công sai d 1,5 triệu đồng.
c) Số tiền lương nhận được ở quý thứ 9 (bắt đầu năm thứ ba) là
u u 8d 24 8.1,5 36 triệu đồng. 9 1
d) Sau 5 năm làm việc( 20 quý), tổng số lương nhân viên này nhận được là 20 S
2u 19d 765 triệu đồng. 20 1 2
Câu 10: Một người lên kế hoạch tập chạy bộ như sau: Ngày thứ nhất, người đó chạy 2 km, cứ mỗi
ngày kế tiếp, người đó chạy nhiều hơn 200 m so với ngày trước đó cho đến khi đạt được
mức ôn định 10km một ngày. Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) Quãng đường chạy được ở ngày thứ hai là 2, 2 km.
b) Quãng đường chạy được ở ngày thứ mười là 4 km.
c) Để đạt được mức chạy ổn định 10km một ngày, người đó cần ít nhất 38 ngày.
d) Tổng quãng đường người đó chạy được sau 60 ngày là 436 km. Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
a) Theo giả thiết, quãng đường chạy được ở ngày thứ hai là 2 0, 2 2, 2 km. Trang 20