Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến – Nguyễn Minh Tuấn

Bất đẳng thức một biến tuy không phải là một phần toán khó như bất đẳng thức hai biến và ba biến nhưng tuy nhiên đây cũng là một phần toán khá hay và quan trọng đối với học sinh. Ta thường bắt gặp những bài bất đẳng thức một biến này khi đang giải phương trình, hệ phương trình vô tỷ mà cần chứng minh phần còn lại vô nghiệm. Hay là một bài bất đẳng thức 3 biến ta đã đưa về một bất đẳng thức 1 biến mà còn loay hoay chưa biết xử ló thế nào? Vì thế nên trong bài viết này tôi sẽ giúp các bạn giải quyết được một phần nào những câu hỏi đó!

67 34 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

NGUYỄN MINH TUƦN

Chứng minh bất đẳng

thức một biến



󰇛













󰇜





󰇧















󰇨



 Các bài toán được chọn lọc từ nhiều diễn đàn nổi tiếng

 Sưu tầm nhiều cách chứng minh hay

TƢP CHÍ OLYMPIC

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 1

MC LC

LI GII THIU2

PHN 1. CÁC BÀI TOÁN BNG THC 1 BIN3

I. CÁC BÀI TOÁN. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3

II. HƢỚNG DẪN GIƦI. ---------------------------------------------------------------------------------------- 5

PHN 2. PH LC  MT S CÁCH CHNG MINH BNG THC

MT BIN KHÔNG CH26

I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4. --------------------------------------------------------------------------------- 26

1. Sử dụng tính chất tam thức bậc 2. ------------------------------------------------------------------- 26

2. Sử dụng đƥo hàm. --------------------------------------------------------------------------------------- 27

II. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 6 -------------------------------------------------------------------------------- 28

III. CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DÒNG MÁY ĐẶC BIỆT. --------------------------- 29

IV. CHỨNG MINH TRÊN KHOƦNG. ------------------------------------------------------------------- 31

V. CHỨNG MINH TRÊN ĐOƤN ------------------------------------------------------------------------- 33

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 2



Bất đẳng thức một biến tuy khïng phải là một phần toán khî như bất đẳng thức một biến và hai biến

nhưng tuy nhiên đây cũng là một phần toán khá hay và quan trọng đối với học sinh. Ta thường bắt

gặp những bài bất đẳng thức một biến này khi đang giải phương trënh, hệ phương trënh vï tỷ mà cần

chứng minh phần cín lại vï nghiệm. Hay là một bài bất đẳng thức 3 biến ta đã đưa về một bất đẳng

thức 1 biến mà cín loay hoay chưa biết xử ló thế nào? Vë thế nên trong bài viết này tïi sẽ giòp các bạn

giải quyết được một phần nào những câu hỏi đî! Bên cạnh đî cñng với sự phát triển của cïng cụ là

máy tình điện tử trong sáng tạo các phương pháp giải toán, tïi cũng sẽ giới thiệu cho bạn đọc một số

các cách giải toán bằng máy tình CASIO hay VINACAL, nhưng tuy nhiên chỉ là những định hướng

cơ bản thïi tránh gây lạm dụng cïng cụ này quá sẽ làm mất đi những vẻ đẹp của bài toán, chòng ta

khïng học cách bấm máy mà, mà chòng ta học để sáng tạo cách bấm máy và cách tư duy cần thiết cho

một bài toán. Trong bài viết nhỏ này tïi cũng đã sưu tầm được kha khá những cách chứng minh hay

từ nguồn tài nguyên Internet và các anh chị trên các diễn đàn toán, đồng thời cũng tham khảo cách

làm của một số thầy cï, những cuốn sách tham khảo hay. Mà tiêu biểu là:

1. Anh Bñi Thế Việt – Sinh viên đại học FPT

Facbook: https://www.facebook.com/viet.alexander.7

2. Anh Lâm Hữu Minh – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội.

Facebook: https://www.facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST

3. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh.

Facebook: https://www.facebook.com/tien.la.7161

Bài viết tuy đã được mënh chỉnh sửa khá nhiều nhưng khïng thể tránh khỏi những thiếu xît được, mọi

người cî đîng gîp gë thë gửi qua mënh qua địa chỉ:



 Facebook: https://www.facebook.com/minhtuanblog

 Fanpage:

 Tạp chì Olympic: https://www.facebook.com/tapchiolympic.vn/

 Blog toán học – Kinh nghiệm học toán: https://www.facebook.com/DXH.Mathematical/

 Email: tuangenk@gmail.com

 Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/

Cuối cñng xin cảm ơn mọi người đã bỏ thời gian theo dði bài viết của mënh!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 3



Trong phần này tïi sẽ giới thiệu tới các bạn một số cách chứng minh bất đẳng thức 1 biến cả bằng tay

khïng với kết hợp với một chòt CASIO, trong đî cî một số bài toán khá là phức tạp cî thể sẽ khïng

giòp ìch được nhiều cho lắm, nhưng tïi vẫn đưa vào để mọi người cñng tham khảo cách làm và sáng

tạo thêm một số cách giải hay khác!

I. CÁC BÀI TOÁN.

Bài 1: GiƧi phƣơng trënh:

   

        

x 8x 16 x 3 3x 1 2 x 7x 2 0

Bài 2: GiƧi phƣơng trënh:





 

         

2 2 2 3 2

x x 1 x 1 x x 6 2x 2x 9x 2

Bài 3: GiƧi phƣơng trënh:

       

5 4 3 2

x 7x 12x x 3x 6 12 6 5x 0

Bài 4: Chứng minh rằng:

   





        



   



20x x 1 20 x 1 9

f x 4 x 1 x 1 1 0 x 1;

5x 1 2 9 5x 2

Bài 5: Chứng minh rằng:

 





  

        

   

5x 5x 10 2x 6

f x x 5 0 x 2;

x 7 3 x 2 2

Bài 6: Chứng minh rằng:

 





     





   



    

   

   

x 1 x 1

f x 2 3 0 x ;1

2 x 3x 1

1 x 3 2x 1 3

3 2 3

Bài 7: Chứng minh rằng:

   

             

4 3 2

x 2x 3x 6x 7 x 2 2x 5 x 1 4x 2 0 x

Bài 8: Chứng minh rằng:

 







      



   

x 1 2x 1

f x 2 0 x 3;

x 3 1 x 5 3

Bài 9: Chứng minh rằng:

 

      

f x x 1 x 3x 1 2x 10

vï nghiệm.

Bài 10: Chứng minh rằng:

 







       



   

x 1 x 3 x 11

f x 0 x 3;

x 1 1 x 3 3

Bài 11: Chứng minh rằng:

 







      



   

x 1 2x 1 19

f x 0 x 2 ;

x 1 2 x 2 1

Bài 12: Chứng minh rằng:

 

   





      



   



4 x 1 3 x 2

2 2 4

f x x 0 x ;

5 2 5

x 2 3 x 4 8

Bài 13: Chứng minh rằng:

 





       





     



x 1 2x 1 1

f x 3 0 x ;

8x 5 x 2 6x 2 x 1

Bài 14: GiƧi phƣơng trënh:

    

9x 32x 5 18 4 3x 0

Bài 15: GiƧi phƣơng trënh:







  

1 1 x 1

2x 3 x 4

x 2x 5 1

Bài 16: Chứng minh rằng:

 

  

                

4 3 2 6 5 4 2 2

f x x x 2 3x x x x x 1 3x 3x 3x 3x x 2 x 3 0 x 1

Bài 17: GiƧi hệ phƣơng trënh:

 

   

 



















    





4 x x 1

2x 1

y y 3

x 3y 11 2 xy x 2 x 2

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 4

Bài 18: Chứng minh rằng:

 





         









  

3x 1 6 1

f x x x 4 0 x ;

3x 1 2

3x 2x 3 2

Bài 29: Chứng minh rằng:

 

   

   

      

         

4 2 2 4 2 2

2 x x 1 4 x x 1

f x x 2x 0 x 0

x x 4 x x 2 x 20x 4 x 2x 2

Bài 20: GiƧi phƣơng trënh:

 

          

5 4 3 2 4 6

x 5x 2x 2x 4x 8 x 1 x x 2 0

Bài 21: GiƧi phƣơng trënh:





       

2 2 2

1 x x 1 x x 1 1 x x 2

Bài 22: Cho 3 số

a,b,c 0

. Chứng minh rằng:

 

2 2 2

3 3 3

a b c

3 a b c 2abc 11





   





Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 5

II 



   

        

x 8x 16 x 3 3x 1 2 x 7x 2 0

Nguyễn Minh Tuấn



 Bài này cî rất nhiều cách giƧi khác nhau nhƣng ta cứ liên hợp rồi chứng minh vï

nghiệm xem sao.

 Ta có:

   

    

 

  

     

 

   

        

           

   

     

   













    



   



x 8x 16 x 3 3x 1 2 x 7x 2 0

x 4 x 1 x 3 3x 1 2 2 x 7x 2 3 0

3 x 3 x 1 7 2 x x 1

x 4 x 1 0

3x 1 2 7x 2 3

3 x 3 7 2 x

f x x 4 0

3x 1 2 7x 2 3

 Nhiệm vụ là chứng minh

 

   

f x 0 x

 Với

 



  



   





  



3 x 3 0

x 3 2 x 0

3x 1 2 5

. Khi đî cî:

 

     

 

     

    



3 x 3 7 2 x 2x 29 7x 2 29x 157

f x x 4

7x 2 3

5 7x 2 3

1. Với

 

  

157

x f x 0

2. Với



157

thì

 

  

   

     

28x 21x 15225x 22967 157

f x 0 x

5 7x 2 3 2x 29 7x 2 29x 157

 Với









x ; 2

ta có:









  





2 x 0

7x 2 3 7

. Khi đî ta cî:

 

   

    

  

    

     

3 x 3 6 3x 1 12 3 x 3

6 3x 1 21 3x

f x 6 0

3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2

 Với

 

x 2; 3

, ta có:

 



  









  



3 x 3 0

2 x 0

7x 2 3 7

. Khi đî tƣơng tự nhƣ trên ta cî:

 

   

    

  

    

     

3 x 3 6 3x 1 12 3 x 3

6 3x 1 21 3x

f x 6 0

3x 1 2 3x 1 2 3x 1 2

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn!.



 Ngoài cách nhƣ trên ta vẫn cî thể tinh ó nhîm nhƣ sau:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 6

 

       

 

   

        

       

   

  



   

3 x 3 7 2 x 7 2 x 3 x 3

f x x 4 x x 4

3x 1 2 7x 2 3 7x 2 3 3x 1 2

x 8 3x 1 x 25

x 7x 2 4x 14

2 7x 2 3 2 3x 1 2

 Khi đî thìch dñng đƥo hàm hay dñng bất phƣơng trënh phụ thë tñy, tïi sẽ dñng đƥo

hàm.

 Đặt

 

   



   





    





f x x 7x 2 4x 14

g x x 8 3x 1 x 25

- Ta có:

 

    

    



8 7x 2 21x 4 280 275968

f' x 0 0 x

882

2 7x 2

 

f ' x

đổi dấu từ

   

  

khi qua

280 275968

882

nên đƥt cực tiểu tƥi

280 275968

882

 





   





280 275968

f x f 12,99 0

882

- Chứng minh tƣơng tự ta cũng suy ra

 

g x 0

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!







 

         

2 2 2 3 2

x x 1 x 1 x x 6 2x 2x 9x 2

Đoàn Chì Dũng



 Ta có:





 





 





 

         

               



  

      



     



2 2 2 3 2

2 2 2 2 2

x x 1 x 1 x x 6 2x 2x 9x 2

x x 1 x x 1 2 x 1 x x 6 3 2x 5 x x 3 0

x x 1 x 1

x x 3 2x 5 0

x x 1 2 x x 6 3

 Đặt

 

  

   

     

x x 1 x 1

f x 2x 5

x x 1 2 x x 6 3

 Chò ó rằng:









  











  



x x 1

x x 1 2

x x 6 3

 Khi đî dñng lim ta tëm đƣợc







   



  







   



  



x x 1 3

a lim x

x x 1 2

x 1 7

b lim x

x x 6 3

 Ta có:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 7

 









     

   

    

  

     

2 x x 1 3 2x x x 1

x x 1 3 3 x x 1

x x 1 2

2 x x 1 2 2 x x 1 2

 









   



    

  

     

2 x 1 7 2x x 1

x 1 7 7 x 1

x x 6 3

2 x x 6 3 2 x x 6 3

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



       

5 4 3 2

x 7x 12x x 3x 6 12 6 5x 0

Nguyễn Minh Tuấn



 Ta có:

 

   

 

       

         











      







5 4 3 2

4 3 2

x 7x 12x x 3x 6 12 6 5x 0

x 1 x 8x 20x 21x 18 12 6 5x 1 0

f x x 3 x 5x 5x 6 0

6 5x 1

 Để ó thấy:

1. Với





 



     





x ;x 3; f x 0

. Với

thỏa mãn

   

0 0 0

x 5x 5x 6 0

2. Với

 



x x ; 3

ta có:

   

 

   

      



  

60 300

g x g' x 0 g x g x 9

6 5x 1

2 6 5x 6 5x 1

- Khi đî:

 



      





13 39

f x x 4x 1 2 x 0

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



   





        



   



20x x 1 20 x 1 9

f x 4 x 1 x 1 1 0 x 1;

5x 1 2 9 5x 2



 Để ó thấy:

1. Do









x 1;

nên



     



20 x 1

9 5x 2 4 5 x 1

9 5x 2

2. Khi đî

     



       



20x x 1

f x g x 4 x 1 x 1 5 x 1 1

5x 1 2

3. Lƥi cî:

 

   

 

      



   







x 1 1 2 5x 1 x 1 5x 1 2

g x 0 x 1;

5x 1 2

4. Nên

 



  





f x 0 x 1;

( đpcm). Xong!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 8



 Bài này nhën hënh thức khá khủng bố, trïng cî vẻ rối rắm nhƣng khá là đơn giƧn.

1. Đầu tiên ta thấy cî quá nhiều căn trong bài, điều này làm ta nƧy ra ó tƣởng đánh

giá bớt 1 căn đi để đƣa về dƥng đơn giƧn hơn.

2. Hai là bài này là một bài khïng đƣợc chặt cho lắm vàcác biểu thức trong căn ở bậc

nhấtnên nƧy ra ó tƣởng đánh giá với 1 hằng số nào đî.

3. Ba là thấy trong bài cî 2 phân thức nên sẽ thử đánh giá một em xem sao, tïi sẽ

chọn cái thứ 2.

 Dễ thấy



     



20 x 1

9 5x 2 4 5 x 1

9 5x 2

. Lòc này bài toán chỉ cín 2 căn. Dñng

MODE 7

nhận thấy

 

f x 1

. Điều này chẳng khác nào cho ta biết phƣơng trënh:

 



     



20x x 1

4 x 1 x 1 5 x 1 0

5x 1 2

cî nghiệm kép. Mà may mắn thay ta lƥi ròt

đƣợc

x1

ra, lòc này chỉ là giƧi phƣơng trënh 1 căn cî nghiệm kép



(tự tëm nhé)

và 1 nghiệm

x1

(khïng quan tâm) quá dễ dàng, sử dụng liên hợp ngƣợc hoặc chia

căn cho nhanh là sẽ ra!

 Ta đƣợc:

 

   



      



x 1 1 2 5x 1 x 1

20x x 1

4 x 1 x 1 5 x 1 0

5x 1 2

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



 





  

        

   

5x 5x 10 2x 6

f x x 5 0 x 2;

x 7 3 x 2 2



 Hƣớng làm vẫn nhƣ bài trƣớc, ta sẽ đánh giá 2 cái mẫu đƣợc:

    x 7 3 5 3 5

và

  x 2 2 2

 Khi đî:

   

  

     

5x 5x 10 2x 6

f x g x x 5 0

 Nên

   





     f x g x 0 x 2;

(đpcm). Xong!



 Bài này khïng cî cái gë để nîi hết, trong căn chứa đa thức bậc nhất nên ta sẽ đánh giá

với 1 hằng số nào đî và là xong!

 Ngoài ra nếu thìch DAC thë cứ việc dñng thử nhé! Ngoài cách này ra cín cî một cách

khác.

 Ta có:

 











      



   



5 x x 2

2 x 3

f x x x 2 x 3

x 7 3 x 2 2

 

   



         

   



   



   

5 2 9

x x 2 1 x 3 1 0 x 1;

x 7 3 x 2 2

 Đến đây dựa vào điều kiện tự giƧi thìch nhé!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 9



 





     





   



    

   

   

x 1 x 1

f x 2 3 0 x ;1

2 x 3x 1

1 x 3 2x 1 3

3 2 3



 Nhận thấy

 



   





g x 1 x 3

nghịch biến trên







nên

   



g x g 1

 





  





3x 1

v x 2x 1 3

đồng biến trên







nên

 









v x v

 Khi đî

 



   

x 1 x

f x 2 3 0

 Vậy ta cî điều phƧi chứng minh.



 Bài này khïng cî gë phƧi bàn cƧ. Do dƣới mẫu đang cî căn chứa đa thức bậc nhất nên

ta sẽ đánh giá từng căn với một hằng số, nếu khïng đánh giá đƣợc nhƣ vậy thë dñng

DAC khïng cî gë khî cƧ.

 Ở trên tïi trënh bày hơi tắt, đáng lẽ phƧi cî phần chứng minh đƥo hàm mang 1 dấu

nữa, nhƣng thïi thời gian cî hƥn mong thïng cƧm .



   

             

4 3 2

x 2x 3x 6x 7 x 2 2x 5 x 1 4x 2 0 x



 Với

x2

ta cî 2 bổ đề sau (tự chứng minh nhé):



  







  





2x 5 x

4x 2 x

.Khi đî ta cî:

 

   

           

   

   

4 3 2 2

9 16 6 1 4 427

f x x 2x x x 9,9 x x x 0

10 5 5 2 5 50

 Với











x ; 2

ta có:















2x 5 2

4x 2 4

. Khi đî:

   

        

4 3 2 2 2

f x x 2x 3x 7 x x 1 2x 7 0

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



 Ở trên tïi cî nêu lên 2 bổ đề mà nhiều ngƣời đọc sẽ chẳng hiểu đƣợc kiếm đâu ra. Sau

đây tïi xin trënh bày các bƣớc làm.

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 10

1. Dễ kiểm tra thấy

 

f x 0

nên nî sẽ cî giá trị nhỏ nhất, việc của ta là tëm đƣợc khi

bằng bao nhiêu thë đƥt cực tiểu. Rð ràng nghiệm của phƣơng trënh

 

f' x 0

chính là

giá trị cần tëm do đî ta sẽ giƧi phƣơng trënh

 

f' x 0

, ta đƣợc:

 



          



3x 3 6x 4

f' x 4x 6x 6x 6 0 x x 0,3100436394

2x 5 4x 2

2. Việc làm tiếp theo là tëm nhân tử chứa nghiệm



, ta sẽ dñng phìm

. Nhân

tử cî dƥng

  2x 5 ax b

. Với

 





  







   



a 2x 5

b 2x 5 a

. Do kết quƧ lẻ nên ta sẽ tëm

một số gần nî và phƧi đẹp và thay vào phƣơng trënh đầu phƧi thỏa mãn. Với lì do đî

chọn

















. Tƣơng tự cho căn cín lƥi ta đƣợc nhân tử

  

4x 2 x

3. Để ó thấy



  







  





2x 5 x

4x 2 x

, mà

 

f x 0

nên cần chia làm 2 trƣờng hợp mới đánh giá

đƣợc . Đến đî chỉ việc đánh giá phƣơng trënh bậc 4 là xong!.



 







      



   

x 1 2x 1

f x 2 0 x 3;

x 3 1 x 5 3



 Ta có:





  



       



  

4 3 28x 144x 189

x 3 x 0 x 3;

6 6 x 3 8x 3

 Khi đî:

 





    



   



  



12 10x x 5 16x 28x 33

x 1 2x 1

f x 2

x 5 3

8x 3 x 5 3

 Để ó thấy :

 

    

12 10x x 5 16x 28x 33



        





2 2 2

5 23

2 x 5 x 1 16 x 5 x 33x 12



        





23 23 66 222

16 x 5 x 33x 12 x 0 x

4 4 23 23

3. Vậy

 

f x 0

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 11



 Đầu tiên ta sẽ tëm điểm rơi của bài toán chình là nghiệm của đƥo hàm. Ta cî:

 









     

     

     

2 2 2 2

x 3 x 3 6 x 5 x 10

f' x 0 x A 2,677764402

x 3 x 3 1 x 5 x 5 3

 Tëm 2 nhân tử chứa điểm rơi bằng cách sử dụng phìm

. Ta sẽ đƣa về 1 căn và sử

dụng nhân tử liên quan tới



vë điều kiện gắn chặt với con căn này. Nhân tử cî

dƥng nhƣ giƧi phƣơng trënh vï tỷ là

  

x 3 ax b

+ Ta có

 













  





a f x

b f x ax

. Áp dụng vào bài ta cî







      

a x 3 1.311...

dx 3

Vốn dĩ cî thể lấy em



là vë ta đang cần một số đẹp để tiện biến đổi và đây cũng là bài

toán chặt nhƣng khïng phƧi chặt xìt cổ do

 

f A 0,188421028

. Ngoài nếu thìch làm chặt

nữa ta cî thể lấy là





13 59

a ;a ...

10 4

Đối với bài chặt hơn nữa thë ta cần phƧi làm nhƣ

vậy chứ cín bài này thë khïng cần, chỉ vậy là đủ!

+ Cî tiếp

 

    

b f x ax 1.528191379

. Lòc này nhận thấy là

  

x 3 x

đòng chiều ta cần do bài toán cần chứng minh lớn hơn 0 và tử đang lớn hơn 0. Nếu nhân

tử chƣa đòng nhƣ ta cần thë ta cần phƧi làm trín hệ số tự do làm sao cho đòng chiều dấu

chòng ta cần.

 Đến đây mới chỉ đi qua

chặng đƣờng, cín một phần nữa là chứng minh phần sau

chứa một căn lớn hơn 0 bằng SOS.

 Tëm điểm rơi của biểu thức

   

     

g x 12 10x x 5 16x 28x 33

. Ta có:

 

    

    



32x 28 x 5 20x 12x 50

g' x 0 x x 1,961407277

 Nhận thấy ta cần tëm nhân tử cî dƥng





     

x 5 ax b 2ax x 5 ...

Đằng trƣớc

đang cî



10x x 5

nên tìm

thỏa mãn khi ta lấy

 





   

g x x 5 ax b

phƧi triệt

tiêu đƣợc

10x

. Với lì do trên ta sẽ chọn

   

a 5 b

. Từ đî cî nhân tử là



  





x 5 5x

. Nhƣng tuy nhiên nhân tử chƣa thỏa mãn do thay vào bị âm và ta

nâng hệ số trƣớc căn lên 2. Với cách làm tƣơng tự ta cî nhân tử sẽ là



  





2 x 5 x 1

. Đến đây khïng cín gë phƧi bàn nhé!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 12



 

      

f x x 1 x 3x 1 2x 10

vï nghiệm.

Bñi Thế Việt



 Dñng Casio nhận thấy

 





   





f x 0 x 5;

và

 





   





f x 0 x ;

 Trƣờng hợp 1: Xét











x 5;

1. Để ó thấy:

 









       



















         











    















          









x 1 x x x 0 x 5;

5 x 3

3 7 3 5

x 3x 1 x 0 x 5;

2 2 2

4 x 3x 1 x

1 7 1 3 5

2x 10 x 2x 10 2 0 x 5;

2 2 4 2

2. Do đî

 

      

3 7 1 7

f x x x x 0

2 2 2 2

 Trƣờng hợp 2:





 





1. Để ó thấy











    

     

4 2 4 2

x 1 x 1 0

x 1 x 1 x 1 x 1

2. Khi đî :

 

     

        

     

5x 10 2 x 3x 1 2x 10

f x x 1 x 3x 1 2x 10 0

x 1 x 3x 1 2x 10

 Vậy phƣơng trënh

 

f x 0

vï nghiệm. (đpcm). Xong!



 Bài này phƣơng pháp giống hệt với bài 4. Ta cũng sẽ đi tëm điểm rơi của bài toán.

 Do thấy

 

luïn dƣơng trên











và luôn âm trên















;

nên ta sẽ

chia làm 2 trƣờng hợp.

 Đối với trƣờng hợp 1 thë khïng cî gë phƧi bàn, nhƣng trƣờng hợp 2 thë cî điều phƧi

chú ý!

 Do trên















;

thë ta sẽ khïng tëm đƣợc nghiệm của đƥo hàm hay lòc này hàm

nghịch biến, nên ta sẽ khïng đi chứng minh đƥo hàm âm mà sẽ quy về đánh giá

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 13



với một

 

nào đî. Cái này hơi khî nhƣng chịu để ó















x 1 x

. Nếu nhƣ

  

x 1 x 1

thë thay vào thấy thỏa mãn. Vậy ta sẽ đi chứng minh

  

x 1 x 1

, đây khïng phƧi 1 câu khî, tïi cũng đã chứng minh rồi. Khi đî chỉ

việc liên hợp lên là cî điều cần chứng minh.



 







       



   

x 1 x 3 x 11

f x 0 x 3;

x 1 1 x 3 3



 Trƣờng hợp 1: Xét







x 3;3

1. Để ó thấy:

 









      







  











      





  



x 1 x 0 x 3; 3

x 1 x

3 x 2

x 3 2x 3 0 x 3;3

x 3 2x 3

2. Khi đî:

 





     



    



2 2 2

2x 14x 9 x 1 8x 8x 9

x 1 3 x x 11

2x 3 6

6x x 1 1

3. Để ó tiếp:

 



            



2 2 2 2

2x 14x 9 0 x 3;3 2x 14x 9 x 1 8x 8x 9 0

+ Nhân liên hợp ta đƣợc:

    

6 5 4 3 2

4x 56x 172x 180x 105x 108x

 





         











4 2 2

21 7299

x x 4x 13 x 43x 172x 108 110 x 0

44 88

4. Nên

 

      

2 2 2

2x 14x 9 x 1 8x 8x 9 0

 Trƣờng hợp 2: Xét





 x 3;

1. Nhận thấy



x 3 3 5

2. Khi đî

 





   



    



4x 37 x 1 34x 7

x 1 3 x x 11

5 3 6

x 1 1

30 x 1 1

3. Đặt

     

   

      



34 x 1 8x 37x 4

g x 4x 37 x 1 34x 7 g ' x

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 14

4. Để ó thấy

 













3 119

16 32

g' x 0

nên

 

đồng biến trên









. Suy ra

 

  g x g 3 15,9430585 0

 Vậy

 





   



f x 0 x 3;



 







      



   

x 1 2x 1 19

f x 0 x 2 ;

x 1 2 x 2 1

Bñi Thế Việt



 Dễ nhận thấy



x 1 x

. Khi đî ta luïn cî:

 





     



   





  

12x 31 x 2 14x 23x 17

x 1 2x 1 19

x 2 7

x 2 1

7 x 2 x 2 1

 Để ó thấy:

 



       





2 2 2

75 22 523 37

g x x 2 x x 23x 31 x 2

11 25 275 11

  

    

  

0.261129x 1.621612x 2.521284

x 2 1.123x 0.722 0

x 2 1.123x 0.722

3. Khi đî :

 

         

2 2 2

523 37 523 37

x 23x 31 x 2 x 23x 31 1.123x 0.422 0

275 11 275 11

4. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



 

   





      



   



4 x 1 3 x 2

2 2 4

f x x 0 x ;

5 2 5

x 2 3 x 4 8

Nguyễn Minh Tuấn



 Để ó thấy:





      





  

2139 9139

x 1.40448x

19 231 2 4

2500 15625

x 4 x 0 x ;

19 231

50 125 2 5

x 4 x

50 125

2. Khi đî

 





     



  

2 2 2

475x 24890x 11968 475x 8750x 12421 x 2

5 95x 2462 x 2 3

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 15

3. Có

 

  

  



1424x 17500x 14324x 17500

g' x 950x 24890

4. Nhận thấy

 

   



































  











;

min v x v 25561,75144

max u x u 25165, 00167 min v x

5. Nên

 

đồng biến trên







;

6. Từ đî cî

   

   

      







   

2 2 4

g x g 2.957051285 0 f x 0 x ;

2 2 5



 





       





     



x 1 2x 1 1

f x 3 0 x ;

8x 5 x 2 6x 2 x 1

Nguyễn Minh Tuấn



 Trƣờng hợp 1: Xét

x1

1. Khi đî

   

   

    

  

x 5x 4 3 8x 5

f x 0 x 1;

8x 5 x 2

 Trƣờng hợp 2: Xét









1. Khi đî



   





   





8x 5 x 2 3

6x 2 x 1

2. Nên ta có:

 

   

   

   



  

   

      

2 18 7

3 2x 1

x 1 2x 18x 7 25

f x 3 0

3 2 6 6 162

 Trƣờng hợp 3: Xét









x ;1

1. Khi đî



   





   





6x 2 x 1 5

8x 5 x 2 5.5

2. Nên

 



  



      





2 x 1

2x 1 10x 22x 144 1

f x 3 0 x ;1

11 5 55 2

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 16

 GiƧi phƣơng trënh:

    

9x 32x 5 18 4 3x 0

Lã Duy Tiến



 Ta có:

 

   

    



      

















     







9x 32x 5 18 4 3x 0

x 1 9x 9x 23x 23 0

4 3x 1

f x 9x 9x 23x 23 0 *

4 3x 1

 GiƧi

 

1. Dễ dàng nhận thấy với





x ; 1;



     









thë ta thấy

 

f x 0

2. Xét

x ' 1



  





, ta cî bổ đề sau:

1 19

4 3x x

  

(bƥn đọc tự chứng minh).

3. Khi đî:

 

4 3 2

54 45x 477x 317x 1219x 1644

f x 9x 9x 23x 23 0

1 19

5x 48

    

      





 Vậy

PT x 1



 Câu này mặc dñ mẫu chứa căn ở bậc nhất nhƣng ta khïng thể đánh giá đƣợc do



  

lim 4 3x

. Vë thế ta sẽ đƣa về bài toán giống với bài 4.

 Khi ta đƥo hàm tëm điểm rơi thë sẽ tëm đƣợc 3 nghiệm, nhiều bƥn sẽ khïng biết chọn

điểm rơi nào cho phñ hợp. Vậy khi gặp những trƣờng hợp thế này thë ta sẽ thë 3

nghiệm của

 

f ' x

vào, nghiệm nào làm

 

min thë ta sẽ chọn điểm rơi đî.

 Thứ 2 với việc tëm nhân tử, ta cî điểm rơi là khi thay vào

4 3x x



thë sẽ đƣợc kết quƧ là và nếu ai lấy là 3.5 thë bài toán sẽ sai

4 3x x 0

   

sẽ ngƣợc chiều với bài toán. Nếu lấy khoƧng thë vẫn

chƣa đƣợc do sẽ bị dƣơng ở một vài giá trị. Mặt khác bài này khïng đƣợc chặt cho lắm

nên ta sẽ lấy hẳn lên và kiểm tra bằng MODE 7 cî thể thấy luïn âm và thay vào

thấy

 

f x 0

cho nên đây là nhân tử cần tëm. Bƥn đọc cî thể lấy một số khác đẹp hơn!

x x 1 350561897,

3 512830189.

3 6 3 7, ; ,

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 17

 Việc chứng minh

 

4 3 2

g x 45x 477x 317x 1219x 1644 0      

nhën cî vẻ khî nhƣng

rất dễ, ta sẽ tách nhƣ sau:

   

g x x 45x 477 317x 1219x 1644     

, cî thể thấy

rằng với

x ' 1



  





thì

45x 477 0

317x 1219x 1644 0







  





   



Từ đî suy ra

 

g x 0

. Và thế là hết bài!









  

1 1 x 1

2x 3 x 4

x 2x 5 1



 Do

x1

là nghiệm của phƣơng trënh nên ta tiến hành liên hợp.

 







  

   





  







   



    

  















  



    

  



1 1 x 1

2x 3 x 4

x 2x 5 1

x 4 2x 3 x 1

2x 3 x 4

x 2x 5 1

x 1 1

x 1 0

2x 3 x 4 2x 3 x 4

x 2x 5 1

x 1 1

f x 0

2x 3 x 4 2x 3 x 4

x 2x 5 1

 Xét

 

  x 1;

. Ta có:

 



    

  

x 1 3

x 2x 5 1 0

x 2x 5 1

. Nên bài toán luïn đòng.

 Xét



  







x ; 1

 Để ó thấy:

     

        2x 3 x 4 x 4 2x 3 2x 3 x 4 3

2. Khi đî

 





 

       



     

x 2x 5 2x 5x 3 x 4 3x 2

x 2x 5 1 2x 3 x 4 3

 

   

 



            





x 2x 5 2x 5x 3 x 4 3x 2 2x 3 x 1 x 4

 







3x 9

u' x 0

nên

 

đồng biến trên









 





    





3 6 10

u x u 0

5. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 18



 

  

4 3 2 6 5 4 2 2

f x x x 2 3x x x x x 1 3x 3x 3x 3x x 2 x 3 0 x 1                

Diễn đàn k2pi.net



 Đặt

 



  





     





4 3 2

y x 2 y 3

z x x x x 1 z 5

 Khi đî:

 

  

 

  



      

   

2 2 2 2

3 y x z

f x xy 3xz 3x z y x 3 0

xy 3xz 3x z y x 3

 Để ó thấy:

 

     

      

     

8 7 6 5 4

2 4 3 2

x x x x x x 2

x 2 x x x x x 1

           

         

8 7 6 5 4

g x x 1 9 x 1 36 x 1 84 x 1 126 x 1

     

       

125 x 1 80 x 1 29 x 1 2 0

3. Nên

 

g x 0 x 1

. Vậy dấu

""

khïng thể xƧy ra.

4. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



 

   

 



















    





4 x x 1

2x 1

y y 3

x 3y 11 2 xy x 2 x 2



 ĐKXĐ:

 

     

2x y 1 0; x 1;1 ; 1 2x y 0

 Ta có:

 



    





2x 1

1 f 2x 1 f y

2x 1 3

Xét

 

liên tục trên . Có

 

  



f ' t 0 t

t 3 t 3

. Nên

 

đồng biến trên .

Khi đî phƣơng trënh

 

    f 2x 1 f y y 2x 1

Thế vào phƣơng trënh

 

ta đƣợc:

 

   

4 3 2

6x 8x 2 2x 2

Đặt

 

    

4 3 2

f x 6x 8x 2 2x 2

 Để ó thấy:

 



         





2 4 3 2 2 2

25 3

f x 5 2x 2 5x 8x x 2x 2 x

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 19

 



    





g x 2x 2 x

   



    







10 1

g' x x 20x 24x 2 x.h x .

2x 2 2x 2

 

  





120x 96x 84x 48

h' x

2x 2 2x 2

 



   





4 292

v' x 360 x 0

15 5

. Suy ra phƣơng trënh

 

h' x 0

cî tối đa 1 nghiệm là

  

  

6784 2338848 6784 2338848

125 625 125 625

15 6

   

   

min h x h x 1.31 0

. Khi đî phƣơng trënh

   

 

   g' x 0 x 0 h x 0

Mặt khác ta lƥi cî:

 

   

 





     











lim g x

g x 0 x f x 0

25 20 2

g 0 0

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Bài 18

 





         









  

3x 1 6 1

f x x x 4 0 x ;

3x 1 2

3x 2x 3 2



 Ta có:







      



6x 2 1

3x 2x 3 ' 0 0 x

2 3x 2x 3

. Suy ra

  

3x 2x 3

 Khi đî:

 

     



     



7x 13x 26 3x 1 14x 26x 10

6x 2 6

f x x x 4

3x 1 2

7 3x 1 2

 Để ó thấy:

+) Với









x ;0

thì



  







     









4x 26x 10 0

13 559

7x 13x 26 7 x 0

14 28

. Do đî cî điều phƧi chứng minh.

+) Với

x0

thì:

 









        



13 501

21 x

14 28

7x 13x 26 3x 1 7x 13x 26 f x 0

7 3x 1 2

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 20

Bài 19

 

   

   

      

         

4 2 2 4 2 2

2 x x 1 4 x x 1

f x x 2x 0 x 0

x x 4 x x 2 x 20x 4 x 2x 2

Nguyễn Minh Tuấn



 Với



  









    









  





x 20x 4 8

x 0; x x 4 3

x x 1 0

Khi đî:

 

   

   

   

   

2 x x 1 4 x x 1

f x x 2x

x x 5 x 2x 10

  

     

        

     

     



   

2 2 2

4 4 2 2

1 7 5 15

x x x 12x x x 38 x 620

2 6 3 19

x x 5 x 2x 10

 Với











    





    





4 2 2

x x 1 0

1 5 14

x x x 4

x 20x 4 x 5x

Khi đî:

 

   

           

  

   

   

   

            



   

6 5 4 3 2

2 x x 1 4 x x 1

f x x 2x

24 3

x x 2x 7x

40 x 1 260 x 1 537 x 1 761 x 1 389 x 1 281 x 1 690

5x 5x 24 8x 28x 3

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!



Nhiều bƥn sẽ đặt ra cấu hỏi vì sao lƥi đánh

giá đƣợc

    

4 2 2

x 20x 4 x 5x

. Đơn

giƧn vë:

+ Ta đang cần đƣa về chứng minh

    

4 2 2

x 20x 4 x ax b

với





để

đƣa về phƣơng trënh đa thức. Lƥi cî



a 20

nên sẽ lấy 5.

+ Do hàm đang nghịch biến nên điểm rơi sẽ

là





. Cî thể kiểm tra bằng Mode 7

hoặc cî đồ thị của hàm

 

y f x

nhƣ sau:

(

)

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 21

Cî thể thấy điểm









1 5 1 5

A ; f

đang nằm ở phần đi xuống của đồ thị nên

 

sẽ

nghịch biến. Do đî nhân tử là

    

4 2 2

x 20x 4 x 5x

. Phần cín lƥi khïng phƧi nîi

nhiều!

Bài 20

 

          

5 4 3 2 4 6

x 5x 2x 2x 4x 8 x 1 x x 2 0

Nguyễn Minh Tuấn



 Ta có:

 

  

   





  

 

  

 

  

 

          

          

      

     

   



    



     



   



       



  

  

5 4 3 2 4 6

3 4 6

4 4 3 2

4 4 3

x 5x 2x 2x 4x 8 x 1 x x 2 0

x 1 x 2 x 2 x 1 x x 2 2x 4 0

x 1 x 1 x 2 x x 3x 5x 7

x 1 x 2 x 2 0

x x 2 2x 4

x 1 x x 3x 5x 7

x 1 x 2 x 2 0

x x 2 2x 4

x 1 x 2 0 x 1 x 2

x 1 x x 3x

f x x 2

 













   



5x 7

x x 2 2x 4

 Đặt

   

        

g x x x 2 g ' x 6x 1 0 x

 

g' x

đổi dấu khi qua

nên

 

đƥt cực tiểu tƥi

 



   





g x g 1, 41 0

 Đặt

 

    

h x x x 2 2x 4

1. Với

 

   x 2 h x 0

2. Với

 

            

6 6 3 2

x 2 x x 2 x x h x x x 2 0

 Khi đî cî:

 

        



   

    



   

3 3 4 3 2

x 2 x 2 2x 4 x x 3x 5x 7

x x 2 2x 4

9 83

3 x x 0,75 x 1, 5

2 16

x x 2 2x 4

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 22

Bài 21





       

2 2 2

1 x x 1 x x 1 1 x x 2

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 – Anh Sơn 2 – Nghệ An.



 Ta có:





 

       

           

  



  

        

2 2 2

2 2 2 2

1 x x 1 x x 1 1 x x 2

1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 2 0

x 1 2x x 2

1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 2

 





   



        



2 2 2 2

2x x 2 x

x 1 0

x x 1 x x 1 x x 2 1 x x 1

 Để ó thấy:







           

2 2 2

21 2 3

1 x x 1 x x 1 1 x x 2 0 x 0

 Khi đî ta cî:

 

  





     

        



     

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2x x 2

f x 1

x x 1 x x 1 x x 2

2x x 2 x x 1 x x 1 x x 2

x x 1 x x 1 x x 2

  

 

        

     

      



     

2 2 2 2

2 2 2

2x x 2 x x 1 x x 1 x x 2

x x 1 x x 1 x x 2

2x 2x 3 2 x x 1 x x 2

x x 1 x x 1 x x 2

 

  





  







            

2 2 2 2 2 2

g x 0

2x 2x 3 2 x x 1 x x 2 x x 1 x x 1 x x 2

 Lƥi cî:

   



     

x x x 1 1 x

1 x x 1 1 x x 1

2. Xét bất phƣơng trënh:

    

x x 1 1 x 0

- Với

x1

bất phƣơng trënh luïn đòng.

- Với

x1

ta có:

      

x x 1 1 x 0 x 0

luïn đòng.

3. Do đî



  

1 x x 1

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 23

Bài 22: Cho 3 số

a,b,c 0

. Chứng minh rằng:

 

2 2 2

3 3 3

a b c

3 a b c 2abc 11





   







Đặt

 

2 2 2

3 3 2

a b c

f a,b,c 3 a b c 2abc 11





    





. Do

 

f a, b,c

là hàm thuần nhất bậc 3,

nên khïng mất tình tổng quát ta chuẩn hîa

2 2 2

a b c 3  

và giƧ sử

 

a min a,b,c

. Khi đî

ta cần chứng minh

 

3 3 3

f a,b,c 3 a b c 2abc 11 0     

Đặt

 

2 2 2 2 2 2

3 2 2

b c b c b c

f a, , 3 a 2 a b c 11

2 2 2



   

  



    

   



   



. Ta có:

 

     





 

2 2 2 2

3 3 2 2 2 2

b c b c 1

f a.b.c f a, , 3 2 b c b c 2 b c a b c

2 2 2







       











 





 





 





 

2 2 2 2

3 2 b c b c b c 2 b c 2bc a b c

3 b c 2 b c 2bc

. b c a

2 b c b c



        







  



  



  





 

a min a,b,c

nên

 

a 0;1

b c 2















. Khi đî ta cần phƧi chứng minh đƣợc:

 





 

3 b c 2 b c 2bc

g a,b, c a 0

2 b c b c

  

  

  

 





 





 

2 2 2 2

3 b c 2 b c 2bc 3 b c 2 b c 2bc

2 b c b c 2 b c b c

     

  

     

 

2 2 2 2

3b 3c 1 2 b c 6bc b c 5 2 b c b c 6bc

2 b c b c 2 b c b c

         



     

 

2 2 2 2

6bc

2 b c b c 6bc 2 b c b c

2 b c b c 2 b c b c





      

  

     

Vậy

 

2 2 2 2 2 2

b c b c 3 a 3 a

f a,b,c f a, , f a, ,

2 2 2 2

   

   



   

   

Ta có:

2 2 2 2

3 a 3 a 3 a 3 a

f a, , 3 a 2 2a. 11

2 2 2 2



   

   



   

   



   



Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 24

 

  

 

4 3 2

3 a 3 a

f a, t, t 0 3 a 2 2a. 11 0

3 3 a 3 3 a

3a a 3 a 11 0 9a 15 2a 4 a 1 0

3 a 2a 6a 14a 23

a 1 2a 4 0 *

2 3 a 5 3a 2







     







            





   

    







  









Đặt

   

 

2 4 3 2

g a 2a 4 2 3 a 2 5 3a 3 a 2a 6a 14a 23



         





 

3 2 2 4 3 2

2a 4a 6a 12 6 2a 3a 6a 6a 38a 29          

Ta cî bổ đề:

2 2 2

61 22 61 22 1734 2684 29

6 2a a 6 2a a a a 0

25 25 25 25 625 625 625



           





. Dễ

thấy bổ đề đòng với

 

a 0;1

Mặt khác

  

 

2a 4a 6a 12 2a 1 a a 3 12 0 a 0;1          

, nên ta đƣợc:

 

3 2 4 3 2

4 3 2 4 3 2 2

61 22

g a 2a 4a 6a 12 a 3a 6a 6a 38a 29

25 25

31a 184a 226a 1052a 7 31a 184a 215a 441a 1052a 7

25 25



          





          



 

 

4 3 2

31a 184a 215a 0 a 0;1

3 a 2a 6a 14a 23

441a 1052a 7 0 a 0;1 g a 0 2a 4 0

2 3 a 5 3a 2

2 3 a 5 3a 2 0





     



   



           







  









   









Vậy

 

luïn đòng



   

f a,t,t 0 f a,b, c 0  

Dấu “=” xƧy ra khi

a b c 1  

 Bây giờ vấn đề đặt ra là kiếm đâu ra cái bổ đề kia. Để làm đƣợc điều này ta sẽ dñng tiếp

tuyến để tëm ra nî dƣới sự giòp đỡ của CASIO. Nhƣng tuy nhiên làm sao ta cî thể đánh

giá đƣợc

6 2a ax b  

khi chƣa cî manh mối gë? Để giƧi quyết vấn đề này ta sẽ tëm

điểm rơi của bất đẳng thức đang cần chứng minh. Ta cî:

 

4 3 2

16a 24a 60a 72a 36

g' a 12a 18a 12a 38

6 2a

   

    



Phƣơng trënh

 

g' a 0

cî 1 nghiệm là :

X A 0,919459592

Bây giờ ta cần đánh giá đƣợc biểu thức trƣớc căn là

2a 4a 6a 12   

. Dễ thấy rằng:

  

2a 4a 6a 12 a 1 a a 3 12 0        

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 25

Vậy bây giờ cần chứng minh

6 2a ax b  

. Ta sẽ sử dụng phìm

Ta đƣợc

 

a 6 2X 0,8858596433



   

. Bây giờ ta sẽ lấy

làm sao cho bất đẳng thức

khïng bị đánh giá quá trội và vừa đồng thời là một số hữu tỷ đẹp vừa để về sau dễ đánh giá

hơn. Do đî mënh sẽ lấy

a 0,88



  

. Bây giờ cần tëm

,do đang cần chứng minh trên

đoƥn

 

0;1

nên ta sẽ dñng MODE 7 để tëm ra

MODE 7

với hàm

 

F X 6 2X X

  

trên

 

0;1

ta đƣợc:

Để ó thấy là

6 2x x 2, 449489742

  

. Bây giờ

ta sẽ chọn

là một số hữu tỷ vừa đẹp vừa gần số

2, 449

nhất. Ta sẽ chọn số

b 2, 44



, đồng thời

thay vào bài toán ta thấy nhân tử này thỏa mãn. Vậy

ta tëm đƣợc nhân tử là

22 61

6 2a a

25 25

  

Chò ó rằng chắc mấy bƥn khi tëm đƣợc a thë thay luïn

XA

vào để tëm ra b và tëm đƣợc

b 2,884982846

hiển nhiên là nhân tử này là sai. Đối với bài mà

chứng minh trên đoƥn thë ta thƣờng sẽ dñng MODE

7 để tëm ra b, cín những bài chứng minh trên

khoƧng

thë ta mới dñng cách thay trực tiếp nhân tử vào, nếu cî thời gian hãy thử chứng minh những

bài sau thë sẽ rð. Ngoài ra nếu giƧi phƣơng trënh đƥo hàm bằng 0 mà nhiều nghiệm thë ta

chọn nghiệm nào làm phƣơng trënh đầu min max

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 26

 



I. P

1. 

Nền tƧng: Ta sẽ phân tìch phƣơng trënh ban đầu thành

 



  





x m f x

trong đî

 

là

một tam thức bậc 2 luïn lớn hơn 0 với mọi

x



    

4 3 2

x x 3x x 7 0

  Đầu tiên ta biến đổi phƣơng trënh theo tham số m nhƣ sau:

 

    

   

         

   

   

4 3 2

2 2 2

x x 3x x 7 0

x 11

x m 2m x 1 m x 7 m 0

Nhiều bƥn sẽ đặt ra câu hỏi tƥi sao lƥi là



. Rất đơn giƧn, khi ta khai triển biểu thức









sẽ xuất hiện ngay

vì



2.x . x

. Hiểu rồi chứ, các bài khác cũng tách tƣơng

tự đƣợc nhƣ vậy, chỉ cî điều ta phƧi đƣa nî về dƥng tổng quát:

    

4 3 2

x 2ax bx cx d 0

thì

mới tách thành nhƣ trên.

  Ta tính



theo tham số m:

 



     





1 m 4 2m 7 m

  Ta thấy phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm thë phƣơng trënh

 



     





2m x 1 m x 7 m 0

PhƧi vï nghiệm. Để phƣơng trënh này vï nghiệm thë















2m 0

 Dùng

MODE 7

,nhập hàm sau vào máy:

   

 



    





F X 1 X 4 2X 7 X





Start 10

End 10

Step 1

Sau đî ta tëm các giá trị X làm

 

  

F X 0 & 2X 0

Nhën vào bƧng ta thấy rất nhiều giá trị làm

 

F X 0

, nhƣng

tuy nhiên ta phƧi chọn làm sao cho



2X 0

và đî phƧi là

một giá trị bé dễ ròt gọn. Với lì do nhƣ thế tïi sẽ chọn

X0

hay

m0

  Do biết

m0

nên phƣơng trënh sẽ trở thành:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 27



   

          

   

   

4 3 2 2

x 11 2 76

x x 3x x 7 0 x x 0

2 4 11 11

Nên phƣơng trënh vï nghiệm!

2. 

Ta xét phƣơng trënh tổng quát:

    

4 3 2

x ax bx cx d 0

  Đƥo hàm vế trái:

 

   

f' x 4x 3ax 2bx c

  GiƧi phƣơng trënh

 

f' x 0

. Nếu :

1. Phƣơng trënh cî 1 nghiệm thë đây là điểm rơi của bài toán.

2. Phƣơng trënh cî nhiều nghiệm thë thử xem nghiệm nào làm vế trái nhỏ nhất

  Tìm k sao cho:



        





4 3 2 2

x ax bx cx d x k 0 x

  

k x x

nhất.

Mục tiêu của phƣơng pháp này tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp ở trên nhƣng cî vài điểm tối ƣu

hơn.

  Sau khi ta tëm đƣợc k thë chỉ việc lấy :



           





4 3 2 2 2

x ax bx cx d x x k mx nx p 0 x

     

f x g x h x

mà trong đî

 















h x 0

g x 0

nên

 

f x 0

. Thế là xong bài!



 

     

f x x x x 2 0 x

  Đƥo hàm vế trái

 

  

f' x 4x 2x 1

  GiƧi phƣơng trënh

 

    

f' x 0 x x 0..8846461771

  Tìm k:

         

k x x 0.7825988 k 0.8

  Ta lấy:



         





4 2 2 2

x x x 2 x x x 1,36 0 x

Do đî phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm! Nhanh hơn chứ!



 

     

4 3 2

f x 2x x 2x x 3 0

  Đƥo hàm:

 

       

f' x 8x 3x 4x 1 x x 1

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 28

  Tìm

    

k x x

  Lấy

   



     





1 3 7

f x 2 x x x 1 1

4 4 8

. Xong!



 

     

4 3 2

f x 4x 2x 2x x 14 0

  Đƥo hàm

 

        

f' x 16x 6x 4x 1 0 x x 0,7909677904

  Tìm

    

k x x

  Lấy

 

   

       

   

   

1 1 7 4 87

f x 4 x x x 0 x

4 2 4 7 7

II. P

Ta xét phƣơng trënh tổng quát sau:

 

       

6 5 4 3 2

f x x ax bx cx dx ex f 0

 Ta sẽ thêm bớt biểu thức:



  





x x mx n

 Lấy

 



       





3 2 4

f x x x mx n b 2m x ...

 GiƧi phƣơng trënh

 

  

f' x 0 x x

thỏa mãn

   



min f x f x

 Tëm m thỏa mãn









  





b 2m 0

, thïng thƣờng ta sẽ cho

  

b 2m 1

 Tëm n thỏa mãn









   





0 0 0

x x mx n 0

 Khi tëm đƣợc m,n bài toán coi nhƣ đƣợc giƧi quyết!

Sau đây là 2 vì dụ để tëm hiểu rð cách làm.



 

      

6 5 4 2

f x x 2x x 4x 2x 1 0

 Ta có

 

         

5 4 3

f' x 6x 10x 4x 8x 2 0 x x 0,25219838

 Lấy

 

       

3 2 4

f x x x mx n 2 2m x ...

 Ta tëm m thỏa mãn

     

2 2m 1 m

 Ta tëm n thỏa mãn

      

0 0 0

x x x n 0 n

 Lấy

 

   

         

   

   

3 2 2 2

3 1 5 1 11 11

f x x x x x x x 0

2 4 4 2 16 16

 Vậy bài toán đã đƣợcgiƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 29



 

       

6 5 4 3 2

f x x 2x 2x 4x 8x 2x 12 0

 Ta có

 

          

5 4 3 2

f' x 6x 10x 8x 12x 16x 2 0 x x 0,115820665

 Lấy

 

       

3 2 4

f x x x mx n 3 2m x ...

 Ta tëm m thỏa mãn

     3 2m 1 m 2

 Ta tëm n thỏa mãn

      

0 0 0

x x 2x n 0 n

. Để ó thấy

 



f x 11,58 0

rất

nhiều nên đây là một bài toán khá lỏng lẻo. Do đî ta cî thể coi

n0

để tiện ròt gọn

bằng máy tình.

 Lấy

 

       

3 2 4 2

f x x x 2x x 4x 2x 12 0

 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn

 

Phương pháp này chỉ hữu ìch cho 2 díng máy VINACAL 570es PLUS II và CASIO 570VN – PLUS

bởi vë 2 díng máy này cî tình năng tình min max của 1 tam thức bậc 2. Đối với máy VINACAL thë ta

sẽ bấm

SHIFT 6 6

máy sẽ hiện lên như sau:

Còn máy CASIO VN thë tìch hợp trong chức năng giải phương trënh bậc 2.

 

Phƣơng pháp này sẽ dung tình chất cơ bƧn của tam thức bậc 2 nhƣ sau:Xét tam thức

 

  

f x ax bx c

thì ta luôn có

 





  





f x a x

2a 4a

. Tƣởng chừng đơn giƧn nhƣng lƥi

giúp ìch khá nhiều!

 



 

      

4 3 2

f x x 3x 3x x 0 x

4 16



2. Do tïi dñng máy VINACAL nên sẽ khởi động tình năng tëm min max.

3. Nhập vào máy

1 3 3

, máy sẽ cho ra kết quƧ:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 30

Vậy ta sẽ cî



    





4 3 2 2

3 3x

x 3x 3x x x

4. Tiếp tục nhập

  

3 3 3

4 4 16

ta lƥi đƣợc kết quƧ:

Vậy ta sẽ cî



   





3x 3 3 3 1

4 4 16 4 2

5. Vậy ta đƣợc

 

   

    

   

   

3 3 1

f x x x x 0

2 4 2

. Bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Nhanh chứ!. Đấy vẫn là bënh thƣờng ta sẽ chiến một vì dụ tiếp theo!



 

       

6 5 4 3 2

f x x 3x 3x x 2x x 1 0



1. Nhập 3 hệ số đầu vào máy ta sẽ đƣợc kết quƧ:

Vậy sẽ cî



    





6 5 4 4 4

x 3x 3x x x x

2. Nhập vào máy 3 hệ số tiếp theo sẽ đƣợc kết quƧ:

Vậy sẽ cî



    





4 3 2 2 2

3 3 2 5

x x 2x x x x

4 4 3 3

3. Nhập vào máy 3 hệ số cuối sẽ đƣợc kết quƧ:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 31

Vậy sẽ cî



    





5 5 3 17

x x 1 x

3 3 10 20

4. Vậy

 

     

        

     

     

2 2 2

3 3 2 5 3 17

f x x x x x x 0 x

2 4 3 3 10 20

Bây giờ sẽ chiến nốt vì dụ cuối cñng!



 

          

8 7 6 5 4 3 2

2 4 14 1

f x x x 3x x x 2x 3x x 0 x

3 3 3 3



Chỉ cần bấm máy khoƧng 1 phòt ta sẽ cî kết quƧ dƣới đây:

 

       

        

       

       

2 2 2 2

6 4 2

1 26 3 176 39 489 88 119

f x x x x x x x x

3 9 13 39 176 176 489 489

Tự làm nhé! Cuối cñng hãy thử sức với bài sau đây.

 Chứng minh:

 

             

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2

f x x 2x 18x 11x 18x 16x 22x 17x 31x 10x 20x 10x 21 0

 Chò ó rằng:

1. Nếu bạn nào khïng cî 2 díng máy trên thë vẫn cî thể tình được như trên nhưng mất thời

gian tính





2a 4a

2. Nếu bạn nào cî VINACAL hay VN PLUS thë đừng vội mừng, nhiều khi gặp phải những bài

hệ số xấu thë cũng phải tình tay thïi vë máy tình khïng hiển thị được, thế là bằng nhau. Tiêu

biểu là bài bên trên tïi cho, vui vẻ nhé.

IV. C

Đầu tiên xét dƥng tổng quát cho các bài toán cî điểm rơi khïng chặt.

GiƧ sử cần chứng minh phƣơng trình

 

f x 0

vï nghiệm trên



 



 b; ; ;a

. Ta sẽ

CALC

sao cho

   X a 1000; X b 1000

sau đî khai triển nhƣ bënh thƣờng. Để hiểu rð hơn ta sẽ

cñng chiến một vì dụ lấy .



 





        

4 3 2

f x 3x 2x 2x 10x 4 0 x 2;

1. Cách 1: Hàm số

 Ta có

   

       

3 2 2

f' x 12x 6x 4x 10 f '' x 36x 12x 4

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 32



 





















f '' x 0

 Lập bƧng biến thiên cho

 

f ' x

ta đƣợc:



15

15



 

f'' x







 

f ' x

83 5 5





83 5 5

Nhën vào bƧng biến thiên ta cî thể thấy phƣơng trënh

 

f' x 0

cî 1 nghiệm duy nhất thuộc

vào khoƧng

 

0,9; 0,8

   

  f' 0,9 .f' 0,8 0

. GiƧ vờ nghiệm đî là

  

x x 0,8997774777

Lƥi tiếp tục lập bƧng biến thiên cho

 

ta đƣợc.





 

f ' x





 



 

Nhën vào bƧng dễ thấy

 





   f x 0 x 2;

. Vậy là hết bài!

2. Cách 2: Nhóm thành tổng dựa vào điều kiện.

Ta dễ dàng nhận thấy

   x 2 x 2 0

nên nƧy ra ó tƣởng viết

 

dƣới dƥng :

         

        

4 3 2

f x a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 e

Và cïng việc này sẽ nhờ tới sự trợ giòp của thủ thuật CASIO.

 Ta sẽ

CALC X

sao cho

   X 2 1000 X 1002



CALC X 1002

ta đƣợc kết quƧ

 

  

3,022058 10 3 x 2

 Ghi vào sau

 

  

3 X 2 , CALC X 1002

ta đƣợc kết quƧ

 

  

2,205807 10 22 x 2

 Ghi vào sau

 

  

22 X 2 , CALC X 1002

ta đƣợc kết quƧ

 



58074048 58 x 2

 Ghi vào sau

 

  

58 X 2 , CALC X 1002

ta đƣợc kết quƧ

 

  74048 74 x 2 48

 Thử lƥi với

X

ta đƣợc kết quƧ là 0. Vậy kết quƧ luïn đòng

 Vậy

         





            

4 3 2

f x 3 x 2 22 x 2 58 x 2 74 x 2 48 0 x 2;

 Thế là bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 33



 

         

5 4 3 2

f x x x x 4x 6x 1 0 x 1



 Đòng nhƣ những bƣớc làm bên trên ta sẽ tách thành:

           

          

5 4 3 2

f x x 1 6 x 1 13 x 1 17 x 1 20 x 1 10

 Để ó thấy với

 

  









          











x 1 0

x 1 13 x 1 0 f x 0 x ; 1

20 x 1 0



 

          

7 6 5 4 3 2

f x x x x 2x 8x 8x 10x 2 0 x 1



 Do bài này bậc tƣơng đối cao nên ta sẽ cứ làm nhƣ bënh thƣờng và tëm các hệ số cín lƥi

bằng đồng nhất hệ số.

 Ta có:

                 

              

7 6 5 4 3 2

f x x 1 6 x 1 16 x 1 23 x 1 a x 1 b x 1 c x 1 f 1

 Lập hệ, cho x lần lƣợt bằng 1,2,3 sẽ tëm đƣợc a,b,c.

 Ta đƣợc:

               

              

7 6 5 4 3 2

f x x 1 6 x 1 16 x 1 23 x 1 25 x 1 20 x 1 16 x 1 7

 Bài toán đã đƣợc giƧi quyết

 

Ý tưởng của phương pháp này chình là phương pháp DAC – Phương pháp này đã cî trong cuốn “

Những viên kim cương trong bất đẳng thức – Trần Phương” bạn đọc cî thể tham khảo thêm!



 





         

5 4 3 2

f x x x 2x 2x 5x 3 0 x 1;



 Để ó thấy:

           

          

5 4 3 2

f x x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4

       





   

              



   

   





4 3 2

3x 1 1 7 9 58

4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 4 x x 0

2 5 20 7 175

3. Nên do đî

 





   f x 0 x 1;

(đpcm). Xong! Hết bài.



 Do ta đang cần chứng minh

 

f x 0 x 1

nên nƧy ra ó tƣởng tách thành:

         

         

5 4 3 2

x 1 a x 1 b x 1 c x 1 d x 1 e

 Để tách thành nhƣ vậy ta sẽ sử dụng máy tình cầm tay để giƧi quyết. Để ó thấy với

   x 1 x 1 0

nên ta sẽ nhập vào máy và

CALC

sao cho

   X 1 1000 X 1001

và

sử dụng kỹ thuật xấp xỉ nhƣ khai triển đa thức ta sẽ tách thành dƥng nhƣ trên. Cụ thể

các bƣớc làm nhƣ sau:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 34

1.1. Nhập vào máy biểu thức trên,

CALC X 1000

ta đƣợc kết quƧ là

 

  

1.0... 10 x 1

1.2. Ghi vào sau

 



CALC X 1000

ta đƣợc kết quƧ là

 

  

4.0... 10 4 x 1

1.3. Ghi vào sau

 



4 X 1

CALC X 1000

ta đƣợc kết quƧ

 

  

3.99... 10 4 x 1

1.4. Ghi vào sau

 



4 X 1

CALC X 1000

ta đƣợc kết quƧ

 

   

4003996 4 x 1

1.5. Ghi vào sau

 



4 X 1

CALC X 1000

ta đƣợc kết quƧ

 

    3996 4 x 1 4

1.6.Nhớ rằng để tëm hệ số tự do ta sẽ

CALC

giá trị mốc tức là 1 và đƣợc kết quƧ là 4.

 Vậy ta đƣợc kết quƧ

           

          

5 4 3 2

f x x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4

, thử lƥi

với

x

ta thấy kết quƧ luïn đòng. Đến đây vấn đề đặt ta là tất cƧ khïng phƧi dấu

""

nên ta cần phƧi xử ló thêm 1 bƣớc nữa. Thật may là biểu thức bậc 4 đằng sau luïn

dƣơng nên ta sẽ quy nî về bài toán chứng minh phƣơng trënh bậc 4 vï nghiệm với ẩn

y x 1

. Sử dụng thủ thuật SOS ta sẽ tách nî thành:

       

       





   

      



   

   





4 3 2

4 x 1 4 x 1 4 x 1 4 x 1 4

3x 1 1 7 9 58

4 x x 0

2 5 20 7 175

 Khi đî bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn!



Bài toán trên chỉ là dƥng đăc biệt do biểu thức

 

khá là lỏng. Vậy đối với những bài toán

chặt khác mà khi tách ra dƥng nhƣ trên toàn dấu

""

thë phƧi làm nhƣ thế nào? Sau đây sẽ là

cách giƧi quyết.

1.1. Thứ nhất ta sẽ cần nới rộng khoƧng cần chứng minh ta, cî nghĩa là nếu bài toán

cho

x1

thë ta sẽ chứng minh hẳn nî lớn hơn 0 với

x3

chẳng hƥn, sau đî sẽ

chứng minh nî lớn hơn 0 với

 

x 1;3

1.2. Để chứng minh

 

 

  f x 0 x 1;3

ta sẽ sử dụng kỹ thuật chia để trị DAC. ( Áp

dụng chứng minh vï nghiệm trên đoƥn).

1.3. Nội dung phƣơng pháp DAC: Bổ đề: Cho hàm số

 

f x, y

liên tục và xác định trên

   

D a;b a;b

Hàm số

 

f x, y

đồng biến theo

và nghịch biến theo

. Khi đî

nếu

 

f a,b 0

thì

 

f x,y f a,b 0

1.4. Chứng minh bổ đề:

+ Do hàm số đồng biến theo

xa

nên

   

 

f x,y f a,y 1

+ Do hàm số nghịch biến theo

yb

nên

 

  

f a,y f a,b 2

+ Từ

   

1 & 2

cî điều phƧi chứng minh.

Áp dụng

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 35

1. Đối với bài này ta cứ giƧ vờ tách nî dƣới dƥng

 

x3

ta sẽ đƣợc:

           

             

5 4 3 2

f x x 3 14 x 3 76 x 3 196 x 3 236 x 3 108 0 x 3

2. Xét

 

x 1;3

. Đây là điều quan trọng nhất. Do bổ đề xét tới hàm 2 biến nên ta sẽ

biến

 

thành hàm 2 biến dựa vào tình đồng biến nghịch biến. Ta cî:

2.1.

 

  

x ' 5x 0

Chỗ này đồng biến ta sẽ đặt là

2.2.

 

    

x ' 4x 0

Chỗ này nghịch biến nên đặt là y.

2.3. Tƣơng tự với các chỗ cín lƥi. Cuối cñng ta sẽ đặt

 

     

5 4 3 2

g x,y x y 2y 2y 5x 3

, hàm này chắc chắn đồng biến theo

và

nghịch biến theo

với

   

  x,y D 1;3 1;3

3. Sau khi đặt xong hàm

 

g x, y

ta cần phƧi chứng minh nî lớn hơn 0. Do bổ đề phát

biểu nếu

 

  f a,b 0 f x,y 0

thë nhiều ngƣời sẽ tƣơng luïn

x 1& y 3

nhƣng chớ trêu là nî âm choét ra do ta đánh giá quá mƥnh tay, và nhiều bƥn sẽ

nghĩ bổ đề sai, nhƣng hãy để ó rằng phƣơng pháp này cî tên chia để trị nên các

bƥn cần phƧi chia

       

   1;3 1;a a;b ... z;3

và xét từng khoƧng để khi thay 2

cận vào nî luïn dƣơng, hiểu chứ?. Để tëm các khoƧng kia phƧi sử dụng đến tài sƧn

quó báu là chiếc máy tình.

3.1. Nhập hàm

 

g x, y

vào máy:

    

5 4 3 2

X Y 2Y 2Y 5X 3

. Đầu tiên bấm

CALC

và nhập

X1

trƣớc do đây là cận nhỏ nhất, sau đî ta thử thay

Y3

vào thấy âm thë sẽ chuyển

Y2

thấy vẫn âm. Chuyển tiếp

xuống

1,5

thì

thấy vẫn âm, lòc này đừng hoƧng ta sẽ tëm đƣợc

Y 1,2

thì

 



369

g x, y 0

625

thế là đã tëm đƣợc 1 khoƧng đầu tiên.

3.2. Để tëm tiếp các khoƧng tiếp theo ta lƥi cho

X 1,2

và tëm Y. Cứ lặp lƥi quá

trënh trên ta sẽ chia đƣợc:

           

    1;3 1;1,2 1,2;1,3 1,3;1,39 1,39;1, 46 1,46;1,51

           

     1,51;1,56 1,56;1,6 1,6;1,64 1,64;1,67 1,67;1,7 1,7;1,73

             

     1,73;1,76 1,76;1,8 ; 1,8;1,84 1,84;1,88 1,88;1,93 1,93;1,99 1,99;2

Woa! Thật đẹp mắt. Lòc đến 2 là các bƥn sẽ gặp khî khăn do các khoƧng càng ngày càng hẹp.

Ta lƥi nƧy ó tƣởng chứng minh

 

  f x 0 x 2

. Ta sẽ đƣợc:

           

           

5 4 3 2

f x x 2 9 x 2 30 x 2 42 x 2 21 x 2 5 0

Vậy lời giƧi sơ lƣợc của bài này sẽ nhƣ sau:

1. Xét

x2

ta có

           

           

5 4 3 2

f x x 2 9 x 2 30 x 2 42 x 2 21 x 2 5 0

2. Xét

 

x 1;2

+ Ta cî bổ đề sau: Cho hàm số

 

f x, y

liên tục và xác định trên

   

D a;b a;b

Hàm số

 

f x, y

đồng biến theo

và nghịch biến theo

. Khi đî nếu

 

f a,b 0

thì

 

f x,y f a,b 0

+ Chứng minh:

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 36

- Do hàm số đồng biến theo

xa

nên

   

 

f x,y f a,y 1

- Do hàm số nghịch biến theo

yb

nên

 

  

f a,y f a,b 2

- Từ

   

1 & 2

cî điều phƧi chứng minh.

+ Xét hàm

 

     

5 4 3 2

g x,y x y 2y 2y 5x 3

   

f x g x,x

.Hàm số đồng biến theo

, nghịch biến theo

, liên tục trên

         

1;1,2 ; 1,2;1,3 ; 1,3;1,39 ; 1,39;1,46 ; 1, 46;1, 51

           

; 1,51;1,56 ; 1,56;1,6 ; 1,6;1,64 ; 1,64;1,67 ; 1,67;1,7 ; 1,7;1,73

           

; 1,51;1,56 ; 1,56;1,6 ; 1,6;1,64 ; 1,64;1,67 ; 1,67;1,7 ; 1,7;1,73

+ Lƥi cî

 

















369

g 1;1,2 0

625

...

g 1,99; 2 4,1579601 0

nên theo bổ đề ta sẽ cî

   

 

   

 



   







   



f x g x,x 0 x 1;1,2

...

f x g x,x 0 x 1,99; 2

Từ đî suy ra điều phƧi chứng minh!

* Lưu ó: Một điều đáng buồn là khi viết trong bài khïng được ghi “…” mà phải ghi hết ra để người ta

cïng nhận khïng sẽ bị bắt bẻ ngay lập tức. Nîi chung cách làm tổng quát bao giờ cũng dài hơn cách

làm dñng IQ mà . Sau đây là một số bài cî thể làm theo DAC.



 

       

8 5 2

f x x x x x 1 0 x



1. 

Ta luôn có:

 

   

          

   

   

8 5 2 4

1 3 2 2

f x x x x x 1 x x x 0

2 4 3 3

Từ đî suy ra điều phƧi chứng minh.

2. Cách 2: DAC

Nhën cách 1 cî vẻ rất ngắn gọn nhƣng sẽ nhiều bƥn cî thể khïng nhận thấy dấu hiệu tách

hằng đẳng thức thë ta vẫn cî thể làm nhƣ sau:

 Xét

x0

khi đî



lƥi cî





     















x x 1 x 0

nên cî điều phƧi chứng

minh.

 Xét

x1

khi đî

 

       

8 5 5 3 5 2

x x x x 1 x x 1 x x 1 0

ta cũng cî điều phƧi

chứng minh.

 Xét

 

x 0;1

đây là khâu quan trọng nhất. Cách làm DAC sẽ nhƣ sau:

+ Bƣớc 1: Phát biểu, chứng minh bï đề.

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 37

+ Bƣớc 2: Đặt hàm

 

g x, y

sao cho hợp lì đƧm bƧo luïn đòng theo bổ đề ( rất quan

trọng!). Để đặt hàm

 

g x, y

ta sẽ đƥo hàm từng biến một và xét tình đồng biến, nghịch

biến.Nhớ là chỗ nào đang đồng sẽ đặt là x, nghịch biến là y.

 Có:

 







   









   





x ' 8x 0

x ' 5x 0

x ' 2x 0

x ' 1 0

. Nên sẽ đặt hàm

 

    

8 5 2

g x, y x y x y 1

+ Chia để trị: Để chứng minh vï nghiệm đƣợc ta sẽ phƧi chia thành các khoƧng nhỏ

   

 

a;m ; m;n ;...; y;b

làm sao cho khi ta thay cận min bằng x và cận max bẳng y thë

 

g x,y 0

. Cïng việc này cî casio để hỗ trợ.

 Nhập vào máy

   

8 5 2

X Y X Y 1

. Ta sẽ

CALC X 0

trƣớc và thử cho với

Y0

luïn xem cî dƣơng khïng. Nhƣng tiếc là biểu thức bị âm do ta đã đánh giá quá trội,

và vë thế cần thu nhỏ khoƧng lƥi. Thử

CALC

tiếp và cho

Y 0,5

xem.Lần này đã

dƣơng, nhƣng ta cî thể nới rộng khoƧng hơn nữa thử cho

Y 0,7

lần này cũng dƣơng

nhƣng nếu nới rộng ra hơn nữa sẽ bị âm.Thế là đã tëm đƣợc một khoƧng. Ta sẽ lập lƥi

quá trënh trên với

X 0,7

và sẽ phƧi tëm Y. Lần lƣợt tëm đƣợc 2 khoƧng nữa là

   

0,7;0,9 & 0,9;1

+ Bƣớc 3: Lời giƧi:

- Viết lƥi bƣớc 1.

- Đặt

 

    

8 5 2

g x,y x y x y 1

liên tục trên các khoƧng

     

0;0,7 ; 0,7;0,9 ; 0,9;1

Đồng biến theo x, nghịch biến theo y, cî

   

f x g x,x

- Lƥi cî

     

 

     

 

     

 



      



      





      



g 0;0,7 ... 0 f x g x, x 0 x 0;0,7

g 0,7;0,9 ... 0 f x g x, x 0 x 0,7;0,9

g 0,9;1 ... 0 f x g x, x 0 x 0,9;1

- Suy ra điều phƧi chứng minh.

Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Hay chứ . Chiến 1 cái nữa nào!



 



          





6 5 4 2

1 1 4

f x x x x 2x x 0 x ;

10 9 3



Đây là 1 bài toán khá là chặt nên chắc chắn sẽ phƧi chia tƣơng đối nhiều khoƧng.

1. Xét









x ;0

. Đặt

 

      

6 5 4 2

g x,y x x x 2y x

. Ta sẽ chia đƣợc các khoƧng

là

   



    





; 0,1 ; 0,1; 0,05 ; 0,05;0

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 38

2. Xét









x 0;

. Đặt

 

      

6 5 4 2

g x,y y x y 2x x

. Ta sẽ chia đƣợc các khoƧng là

           







1;1,1 ; 1,1;1, 2 ; 1,2;1, 25 ; 1, 25;1,29 ; 1, 29;1, 31 ; 1,31;1,32 ; 1,32;

. Ghê chƣa!

Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!

 Áp dụng làm bài sau: Chứng minh rằng:

 

 

       

f x x 3x 6x 1 0 x 0,2;1,1

 Thử áp dụng cách làm trên làm các bài sau

Chứng minh rằng:

 



          





6 5 4 2

1 1 4

f x x x x 2x x 0 x ;

10 9 3

 

      

8 5 2

f x x x x x 1 0 x

( thử dñng DAC nhé).

  



          

5 4 3 2

f x x x x 4x 6x 1 0 x ; 1

 

          

7 6 5 4 3 2

f x x x x 2x 8x 8x 10x 2 0 x 1

 

 

       

f x x 3x 6x 1 0 x 0,2;1,1

Kết thòc phương pháp này ở đây, trong mục này tïi chỉ trënh bày cho các bạn một số cách bấm máy

thôi để xử ló các đa thức thïi, nếu muốn tëm hiểu thêm về cách chứng minh bất đẳng thức 2 hay 3 biến

bằng DAC thë hãy tham khảo thêm ở cuốn sách mà tïi đã nîi ở đầu mục nhé! Cảm ơn các bạn đã theo

dði bài viết!

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến

Page 39



1. Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học – Trần Phương

2. Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hñng

3. Bất đẳng thức – Định ló và áp dụng – Nguyễn Văn Mậu

4. Sáng tạo phương trënh, bất phương trënh, hệ phương trënh – Nguyễn Tài Chung

5. Bất đẳng thức đánh giá phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn

6. Vận dụng tình đơn điệu của hàm số giải phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn

7. Tài nguyễn Internet.

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/40

| | Tải xuống

Preview text:

NGUYỄN MINH TUƦN
C hứng min h bất đẳng
thức một biến
 Các bài toán được chọn lọc từ nhiều diễn đàn nổi tiếng
 Sưu tầm nhiều cách chứng minh hay ( ) √( )
TƢP CHÍ OLYMPIC
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến MỤC LỤC
LớI GIỚI THIỆU……………………………………………………………………...2
PHƨN 1. CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC 1 BIẾN………………………….3
I. CÁC BÀI TOÁN. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 3
II. HƢỚNG DẪN GIƦI. ---------------------------------------------------------------------------------------- 5
PHƨN 2. PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG THỨC
MỘT BIẾN KHÔNG CHỨA CĂN……………………………………………...…26
I. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4. --------------------------------------------------------------------------------- 26
1. Sử dụng tính chất tam thức bậc 2. ------------------------------------------------------------------- 26
2. Sử dụng đƥo hàm. --------------------------------------------------------------------------------------- 27
II. PHƢƠNG TRÌNH BẬC 6 -------------------------------------------------------------------------------- 28
III. CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DÒNG MÁY ĐẶC BIỆT. --------------------------- 29
IV. CHỨNG MINH TRÊN KHOƦNG. ------------------------------------------------------------------- 31
V. CHỨNG MINH TRÊN ĐOƤN ------------------------------------------------------------------------- 33 Page 1
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến LớI GIỚI THIỆU
Bất đẳng thức một biến tuy khïng phải là một phần toán khî như bất đẳng thức một biến và hai biến
nhưng tuy nhiên đây cũng là một phần toán khá hay và quan trọng đối với học sinh. Ta thường bắt
gặp những bài bất đẳng thức một biến này khi đang giải phương trënh, hệ phương trënh vï tỷ mà cần
chứng minh phần cín lại vï nghiệm. Hay là một bài bất đẳng thức 3 biến ta đã đưa về một bất đẳng
thức 1 biến mà cín loay hoay chưa biết xử ló thế nào? Vë thế nên trong bài viết này tïi sẽ giòp các bạn
giải quyết được một phần nào những câu hỏi đî! Bên cạnh đî cñng với sự phát triển của cïng cụ là
máy tình điện tử trong sáng tạo các phương pháp giải toán, tïi cũng sẽ giới thiệu cho bạn đọc một số
các cách giải toán bằng máy tình CASIO hay VINACAL, nhưng tuy nhiên chỉ là những định hướng
cơ bản thïi tránh gây lạm dụng cïng cụ này quá sẽ làm mất đi những vẻ đẹp của bài toán, chòng ta
khïng học cách bấm máy mà, mà chòng ta học để sáng tạo cách bấm máy và cách tư duy cần thiết cho
một bài toán. Trong bài viết nhỏ này tïi cũng đã sưu tầm được kha khá những cách chứng minh hay
từ nguồn tài nguyên Internet và các anh chị trên các diễn đàn toán, đồng thời cũng tham khảo cách
làm của một số thầy cï, những cuốn sách tham khảo hay. Mà tiêu biểu là:
1. Anh Bñi Thế Việt – Sinh viên đại học FPT
Facbook: https://www.facebook.com/viet.alexander.7
2. Anh Lâm Hữu Minh – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội.
Facebook: https://www.facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST
3. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh.
Facebook: https://www.facebook.com/tien.la.7161
Bài viết tuy đã được mënh chỉnh sửa khá nhiều nhưng khïng thể tránh khỏi những thiếu xît được, mọi
người cî đîng gîp gë thë gửi qua mënh qua địa chỉ:
NGUYỄN MINH TUƦN
 Facebook: https://www.facebook.com/minhtuanblog  Fanpage:
 Tạp chì Olympic: https://www.facebook.com/tapchiolympic.vn/
 Blog toán học – Kinh nghiệm học toán: https://www.facebook.com/DXH.Mathematical/
 Email: tuangenk@gmail.com
 Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/
Cuối cñng xin cảm ơn mọi người đã bỏ thời gian theo dði bài viết của mënh! Page 2
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
PHƨN 1. CÁC BÀI TOÁN BƦT ĐẲNG THỨC 1 BIẾN
Trong phần này tïi sẽ giới thiệu tới các bạn một số cách chứng minh bất đẳng thức 1 biến cả bằng tay
khïng với kết hợp với một chòt CASIO, trong đî cî một số bài toán khá là phức tạp cî thể sẽ khïng
giòp ìch được nhiều cho lắm, nhưng tïi vẫn đưa vào để mọi người cñng tham khảo cách làm và sáng
tạo thêm một số cách giải hay khác! I. CÁC BÀI TOÁN.
Bài 1: GiƧi phƣơng trënh: 2
x  8x  16 x  3 3x  1  2  x 7x  2  0 3
Bài 2: GiƧi phƣơng trënh:  2     2   2    3  2 x x 1 x 1 x x 6 2x 2x  9x  2
Bài 3: GiƧi phƣơng trënh: 5  4  3  2 x 7x 12x
x  3x  6  12 6  5x  0
Bài 4: Chứng minh rằng: f x 4x 1 20x x  1 20 x  1  9   x  1    1   0 x 1;  5x  1  2 9  5x  2  5 2
Bài 5: Chứng minh rằng:   2 5x  5x  10 2x      6 f x x 5   0 x2; x  7  3 x  2  2 Bài 6: Chứng minh rằng: f x x  1 x  1   2 3     0 x  ;1  2 x   3x  1  2  1  x  3  2x  1    3    3 2   3 
Bài 7: Chứng minh rằng: 4  3  2                 1 x 2x 3x 6x 7 x 2 2x 5 x 1 4x 2 0 x 2
Bài 8: Chứng minh rằng:   x  1 2x    1 f x  2   0 x  3; 2 2   x  3  1 x  5  3
Bài 9: Chứng minh rằng: f x  4 4 x  1  2
x  3x  1  2x  10 vï nghiệm.
Bài 10: Chứng minh rằng:   x  1 x    3  x  11 f x   0 x  3; 2 2   x  1  1 x  3  3 3 6
Bài 11: Chứng minh rằng:   x  1 2x    1  19 f x   0 x  2 ; 2 2   x  1  2 x  2  1 7 4 x  1 3 x 
Bài 12: Chứng minh rằng: f x    2 2  2 4    x    0 x  ;  2 x  2  2 3 x  4  8 5  2 5  3
Bài 13: Chứng minh rằng: f x x  1 2x  1  1     3   0 x  ;   8x  5  x  2 6x  2  x  1  3 
Bài 14: GiƧi phƣơng trënh: 4  2 9x
32x  5  18 4  3x  0 2
Bài 15: GiƧi phƣơng trënh: 1 1 x    1 2x  3 x  2 4 x  2x  5  1 Bài 16: Chứng minh rằng:     
4  3  2     6  5  4  2    2 f x x x 2 3x x x x x 1 3x 3x 3x 3x x 2 x  3   0 x  1 2x1 4 2x x1   1
Bài 17: GiƧi hệ phƣơng trënh:  2 y y  3   3
x 3y  11  2  xy  x  2x 2  Page 3
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 18: Chứng minh rằng: f x 2 3x  1 6  1   x  x  4     0 x  ; 2   3x  2x  3  2 3x  1  2  3  Bài 29: Chứng minh rằng: 2 2 x  x  1 4 2 x  x  1 f x    2 x  2x   0 x  0 4 x  2 x  4  2 x  x  4 2 x  2 20x  4  2 x  2x  2
Bài 20: GiƧi phƣơng trënh:  5  4  3  2     4   6 x 5x 2x 2x 4x 8 x 1 x  x  2  0
Bài 21: GiƧi phƣơng trënh:  2   2     2 1 x x 1 x x 1 1 x  x  2  3 2 2 2 Bài 22: Cho 3 số  a  b  c 
a,b,c  0 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3
a  b  c   2abc  11  3    Page 4
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến II. HƯỚNG DẪN GIƤI.
Bài 1: Giƥi phương trình: 2
x  8x  16 x  3 3x  1  2  x 7x  2  0 Nguyễn Minh Tuấn Giƥi
 Bài này cî rất nhiều cách giƧi khác nhau nhƣng ta cứ liên hợp rồi chứng minh vï nghiệm xem sao.  Ta có: 2
x  8x  16  x  3 3x  1  2  x 7x  2  0
 x  4x  1  x  3 3x  1  2 2  x 7x  2  3  0 3 x 3 x 1 7 2 x x 1  x  4x  1              0 3x  1  2 7x  2  3 x  1   fx 3x  3 7 2  x  x  4     0  3x  1  2 7x  2  3
 Nhiệm vụ là chứng minh       2 f x 0 x . 7 3x  3  0 
 Với x  3  2  x  0 . Khi đî cî:  3x1 2   5   3x  3 7 2  x
2x  29 7x  2 29x 157 f x  x  4    5 7x  2  3 5 7x  2  3 1. Với  157 x  f x  0 . 29 3 2 2. Với 28x  21x  15225x   157 22967 157 x thì f x    0 x  29
5 7x  2  3 2x  29 7x  2  29x 157 29 2  x  0  Với  2   x   ; 2 ta có:  . Khi đî ta cî:  7   7x  2  3   7   3x  3
6 3x  1  12  3x  3 6 3x  1  21      3x f x 6  0 3x  1  2 3x  1  2 3x  1  2 3x  3  0 
 Với x2;3, ta có: 2  x  0
. Khi đî tƣơng tự nhƣ trên ta cî:  7x2 3   7   3x  3
6 3x  1  12  3x  3 6 3x  1  21      3x f x 6  0 3x  1  2 3x  1  2 3x  1  2
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn!. Nhận xét
 Ngoài cách nhƣ trên ta vẫn cî thể tinh ó nhîm nhƣ sau: Page 5
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến f x 3x  3 7 2  x 1 7 2  x 1 3x  3  x  4    x   x  4  3x  1  2 7x  2  3 2 7x  2  3 2 3x  1  2
x 7x  2  4x  14 x  8 3x  1  x  25  2 7x 2 3    2  3x  1  2
 Khi đî thìch dñng đƥo hàm hay dñng bất phƣơng trënh phụ thë tñy, tïi sẽ dñng đƥo hàm.
fx  x 7x  2  4x 14  Đặt  .
gx  x  8 3x  1  x  25 8 7x 2 21x 4 280 275968 - Ta có: f'x       0   0  x  . f'x đổi dấu từ 2 7x  2 882
   khi qua 280  275968 nên đƥt cực tiểu tƥi 280  275968 882 882  f x  280  275968   f    12,99    0  882  -
Chứng minh tƣơng tự ta cũng suy ra gx  0 .
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! 3
Bài 2: Giƥi phương trình:  2     2   2    3  2 x x 1 x 1 x x 6 2x 2x  9x  2 Đoàn Chì Dũng Giƥi  Ta có:  3 2 x  x  1  2 x  1 2 x  x  6  3 2x  2 2x  9x  2   2 x  x  1 2 x  x  1  2 2 x  1 2
x  x  6  32x  5 2 x  x  3  0 2 2   2
x  x  3 x  x  1 x  1     2x  5  0  2 x  x  1  2 2 x  x  6  3  2 2  Đặt   x  x  1 x    1 f x  2x  5. 2 x  x  1  2 2 x  x  6  3  2 x  x  1  x   a 2
 Chò ó rằng:  x  x  1  2  . 2 x   1  x   b  2 x  x  6  3  2 x  x  a  1 lim  x   3  x 2 x x 1 2 2
 Khi đî dñng lim ta tëm đƣợc      2 x  b  1 lim  x   7  x  2 x  x  6  3 2  Ta có: Page 6
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến x  x  1 3 2 2
x  x  1  3  2x 2 2 x  x  2 1 1. 3 x  x     1 x 0 2 x x 1 2 2 2 2 x x 1 2  2 2x x 1 2           x  1 7 2 2
x  1  7  2x 2 2 x  2 1 2. 7 x     1 x 0 2 x x 6 3 2 2 2 x x 6 3  2 2x x 6 3          
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 3: Giƥi phương trình: 5  4  3  2 x 7x 12x
x  3x  6  12 6  5x  0 Nguyễn Minh Tuấn Giƥi  Ta có: 5 x  4 7x  3 12x  2
x  3x  6  12 6  5x  0  x  1 4 x  3 8x  2
20x  21x  18  12 6  5x 1  0 x  1 
       3  2    60 f x x 3 x 5x 5x 6  0  6  5x  1  Để ó thấy: 1. Với  6 x ; x 3; f x 0 . Với x thỏa mãn 3 x  2 5x  5x  6  0 0               5 0 0 0 0
2. Với xx ;3 ta có: 0  60 300 - g x   g'x  6 5x 1
2 6 5x  6 5x 1  0  g x g x 9 2     0        2 2 13 39 - Khi đî: f x  2 x 4x 1       2 x      0  4  8
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 4: Chứng minh rằng: f x 4x 1 20x x  1 20 x  1  9   x  1    1   0 x 1;  5x  1  2 9  5x  2  5 Giƥi  Để ó thấy: 1. Do  9  20 x 1 x  1;  nên  9  5x  2  4   5 x  1  5 9  5x  2 2. Khi đî       20x x       1 f x g x 4 x 1 x 1  5 x  1  1 5x  1  2  2 2
x  11 2 5x 1 x  1   5x 1  2 3. Lƥi cî: g x  9    5x 1 2   0 x 1; 2    5   4. Nên f x  9   
0 x 1;  ( đpcm). Xong!  5 Page 7
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến Hướng dẫn
 Bài này nhën hënh thức khá khủng bố, trïng cî vẻ rối rắm nhƣng khá là đơn giƧn.
1. Đầu tiên ta thấy cî quá nhiều căn trong bài, điều này làm ta nƧy ra ó tƣởng đánh
giá bớt 1 căn đi để đƣa về dƥng đơn giƧn hơn.
2. Hai là bài này là một bài khïng đƣợc chặt cho lắm vàcác biểu thức trong căn ở bậc
nhấtnên nƧy ra ó tƣởng đánh giá với 1 hằng số nào đî.
3. Ba là thấy trong bài cî 2 phân thức nên sẽ thử đánh giá một em xem sao, tïi sẽ chọn cái thứ 2.  Dễ thấy 20 x      1 9 5x 2 4
 5 x  1 . Lòc này bài toán chỉ cín 2 căn. Dñng 9  5x  2
MODE 7 nhận thấy f x  1 . Điều này chẳng khác nào cho ta biết phƣơng trënh:   20x x     1 4 x 1 x 1
 5 x  1  0 cî nghiệm kép. Mà may mắn thay ta lƥi ròt 5x  1  2
đƣợc x  1 ra, lòc này chỉ là giƧi phƣơng trënh 1 căn cî nghiệm kép  1 x (tự tëm nhé) 4
và 1 nghiệm x  1 (khïng quan tâm) quá dễ dàng, sử dụng liên hợp ngƣợc hoặc chia căn cho nhanh là sẽ ra!  2 x  1 20x x 1 12 5x1 x  1
 Ta đƣợc: 4x  1 x  1   5 x  1  1 2  5x 1 2  0 5x   2  
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 5: Chứng minh rằng: 2   2 5x  5x  10 2x      6 f x x 5   0 x2; x  7  3 x  2  2 Giƥi
 Hƣớng làm vẫn nhƣ bài trƣớc, ta sẽ đánh giá 2 cái mẫu đƣợc: x 7  3  5  3  5 và x  2  2  2 . 2  Khi đî:     2 5x  5x  10 2x       6 f x g x x 5  0 5 2
 Nên f x  gx  
0 x2; (đpcm). Xong! Hướng dẫn
 Bài này khïng cî cái gë để nîi hết, trong căn chứa đa thức bậc nhất nên ta sẽ đánh giá
với 1 hằng số nào đî và là xong!
 Ngoài ra nếu thìch DAC thë cứ việc dñng thử nhé! Ngoài cách này ra cín cî một cách khác.  5 x x 2 2 x 3 2  2        
 Ta có: f x  x  x  2    x  3   x  7  3   x  2  2     2x x 2 5  1 x 3 2   9       1    0 x     1;   x  7  3   x  2  2   5
 Đến đây dựa vào điều kiện tự giƧi thìch nhé! Page 8
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 6: Chứng minh rằng: f x x  1 x  1   2 3     0 x  ;1  2 x   3x  1  2  1  x  3  2x  1    3    3 2   3  Giƥi  Nhận thấy 1. 1 g x  2 x   1  x  3    nghịch biến trên  
;1 nên       3 g x g 1  3 2     2  6 2. 1 1 3 vx  3x  1   2x  1  3   đồng biến trên   ;1 nên vx    v     3     2   2  6  Khi đî   x   1  x f x  2 3  0 3 3 6 6
 Vậy ta cî điều phƧi chứng minh. Hướng dẫn
 Bài này khïng cî gë phƧi bàn cƧ. Do dƣới mẫu đang cî căn chứa đa thức bậc nhất nên
ta sẽ đánh giá từng căn với một hằng số, nếu khïng đánh giá đƣợc nhƣ vậy thë dñng DAC khïng cî gë khî cƧ.
 Ở trên tïi trënh bày hơi tắt, đáng lẽ phƧi cî phần chứng minh đƥo hàm mang 1 dấu
nữa, nhƣng thïi thời gian cî hƥn mong thïng cƧm .
Bài 7: Chứng minh rằng: 4  3  2                 1 x 2x 3x 6x 7 x 2 2x 5 x 1 4x 2 0 x 2 Giƥi  2x5  1 x 9   Với 
x  2 ta cî 2 bổ đề sau (tự chứng minh nhé):  2 4 .Khi đî ta cî:  4x  2  9 x  8  4 5 2 2   4 3 9 2 16  2 6  1  4             427 f x x 2x x x 9,9 x x x      0 10 5  5  2  5  50  2x  5  2  Với  1  x   ; 2  ta có:  . Khi đî:  2   4x  2   4          2 4 3 2 2  2 f x x 2x 3x 7 x x 1 2x  7  0
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Nhận xét.
 Ở trên tïi cî nêu lên 2 bổ đề mà nhiều ngƣời đọc sẽ chẳng hiểu đƣợc kiếm đâu ra. Sau
đây tïi xin trënh bày các bƣớc làm. Page 9
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
1. Dễ kiểm tra thấy f x  0 nên nî sẽ cî giá trị nhỏ nhất, việc của ta là tëm đƣợc khi x
bằng bao nhiêu thë đƥt cực tiểu. Rð ràng nghiệm của phƣơng trënh f'x  0 chính là
giá trị cần tëm do đî ta sẽ giƧi phƣơng trënh f'x  0, ta đƣợc:   3 2 3x  3 6x        4 f ' x 4x 6x 6x 6
 0  x  x  0,3100436394 2x  5 4x  0 2
2. Việc làm tiếp theo là tëm nhân tử chứa nghiệm x  x , ta sẽ dñng phìm d . Nhân 0 dx    d a  2x  5 
tử cî dƥng 2x  5  ax  b . Với  dx
xx . Do kết quƧ lẻ nên ta sẽ tëm 0 b   2x  5   a 0
một số gần nî và phƧi đẹp và thay vào phƣơng trënh đầu phƧi thỏa mãn. Với lì do đî a   1  chọn  9 8 
2 . Tƣơng tự cho căn cín lƥi ta đƣợc nhân tử 4x 2  x . b   9 4 5  4  2x5  1 x 9  3. Để ó thấy  2
4 , mà fx  0nên cần chia làm 2 trƣờng hợp mới đánh giá  4x  2  9 x  8  4 5
đƣợc . Đến đî chỉ việc đánh giá phƣơng trënh bậc 4 là xong!.
Bài 8: Chứng minh rằng:   x  1 2x    1 f x  2   0 x  3; 2 2   x  3  1 x  5  3 Giƥi 4 3  2 2 28x  144x   Ta có:     189 x 3 x 3 2 6 0 x 3; 2
6 x  3  8x  3        Khi đî: 2 2 f x x  1 2x  1
12 10x x  5  16x  28x  33    2  4 3 2 x  5  x   3 1
8x 3 2x 5 3 3 2  Để ó thấy : 1.    2   2 12 10x x 5 16x  28x  33  2 5 2  2 x  5  x  1  2 16 x  5  23 2 x  33x    12  2  4 2 2. 2 23 2 23  66         222 16 x 5 x 33x 12 x     0 x 4 4  23  23 3. Vậy f x  0 Page 10
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến Hướng dẫn
 Đầu tiên ta sẽ tëm điểm rơi của bài toán chình là nghiệm của đƥo hàm. Ta cî: 2 2   x  3  x  3 6 x  5  x   10 f ' x x 3  0 x A 2,677764402 2 x 3 1  2 2 x 5  2 x 5 3     2 2      
 Tëm 2 nhân tử chứa điểm rơi bằng cách sử dụng phìm d
. Ta sẽ đƣa về 1 căn và sử dx
dụng nhân tử liên quan tới 2
x  3 vë điều kiện gắn chặt với con căn này. Nhân tử cî
dƥng nhƣ giƧi phƣơng trënh vï tỷ là 2 x  3  ax  b. a   d   fx + Ta có dx d 2 4 x 
A . Áp dụng vào bài ta cî a  
 x 3 1.311... .  dx 3 b   fx  xA  ax
Vốn dĩ cî thể lấy em  4 là vë ta đang cần một số đẹp để tiện biến đổi và đây cũng là bài 3
toán chặt nhƣng khïng phƧi chặt xìt cổ do f A  0,188421028. Ngoài nếu thìch làm chặt nữa ta cî thể lấy là 13    59 a ;a
... Đối với bài chặt hơn nữa thë ta cần phƧi làm nhƣ 10 4
vậy chứ cín bài này thë khïng cần, chỉ vậy là đủ!
+ Cî tiếp         3 4 3 b f x ax 1.528191379 . Lòc này nhận thấy là 2 x  3  x  2 3 2
đòng chiều ta cần do bài toán cần chứng minh lớn hơn 0 và tử đang lớn hơn 0. Nếu nhân
tử chƣa đòng nhƣ ta cần thë ta cần phƧi làm trín hệ số tự do làm sao cho đòng chiều dấu chòng ta cần.
 Đến đây mới chỉ đi qua 2 chặng đƣờng, cín một phần nữa là chứng minh phần sau 3
chứa một căn lớn hơn 0 bằng SOS.
 Tëm điểm rơi của biểu thức       2   2 g x 12 10x x 5 16x  28x  33. Ta có: 2 2
  32x 28 x  5 20x 12x 50 g' x 
 0  x  x  1,961407277 x  0 2 5 2
 Nhận thấy ta cần tëm nhân tử cî dƥng  2      2 x 5 ax b
2ax x  5  ...Đằng trƣớc 2 đang cî  2
10x x  5 nên tìm a thỏa mãn khi ta lấy    2 g x
x  5  ax  b phƧi triệt
tiêu đƣợc 10x . Với lì do trên ta sẽ chọn     34 a 5 b
. Từ đî cî nhân tử là 5  34 2 2 x  5  5x  
 . Nhƣng tuy nhiên nhân tử chƣa thỏa mãn do thay vào bị âm và ta  5 
nâng hệ số trƣớc căn lên 2. Với cách làm tƣơng tự ta cî nhân tử sẽ là  5 2 2 2 x  5  x  
1 . Đến đây khïng cín gë phƧi bàn nhé!  2  Page 11
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 9: Chứng minh rằng: f x  4 4 x  1  2
x  3x  1  2x  10 vï nghiệm.
Bñi Thế Việt Giƥi  Dñng Casio nhận thấy 3  5 f x  3  5    0 x 5;  và f x     0 x  ; .  2   2   3  5 
 Trƣờng hợp 1: Xét x 5;  .  2  1. Để ó thấy:    4 4 4 4 3  5 
 x  1  x  x  x  0x  5;    2    3 7 5 x 3 2   2  3  5 
 x  3x  1  x     0 x  5;  2 2  2 3 7   4  x  3x  1  x   2      2 2    2
 2x  10  1 x  7  1  2x  10  2  3  5   0x 5;    2 2 4  2 
2. Do đî      3  7  1  7 f x x x x  0 2 2 2 2 3  5 
 Trƣờng hợp 2: x  ;   2  2 1. Để ó thấy 4 4 2      2x x 1 x 1  0 4 4 2 x 1 x 1 4 2 x 1 x 1        2. Khi đî : 2   2 2
5x  10  2 x  3x  1 2x          10 f x x 1 x 3x 1 2x 10  0 2 x  1  2 x  3x  1  2x  10
 Vậy phƣơng trënh f x  0 vï nghiệm. (đpcm). Xong! Hướng dẫn
 Bài này phƣơng pháp giống hệt với bài 4. Ta cũng sẽ đi tëm điểm rơi của bài toán.  3  5  3  5 
 Do thấy f x luïn dƣơng trên 5;  và luôn âm trên  ;  nên ta sẽ  2   2  chia làm 2 trƣờng hợp.
 Đối với trƣờng hợp 1 thë khïng cî gë phƧi bàn, nhƣng trƣờng hợp 2 thë cî điều phƧi chú ý! 3  5   Do trên 
;  thë ta sẽ khïng tëm đƣợc nghiệm của đƥo hàm hay lòc này hàm  2 
nghịch biến, nên ta sẽ khïng đi chứng minh đƥo hàm âm mà sẽ quy về đánh giá Page 12
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 4 4 x  1  x 4 4
x  1 với một g x nào đî. Cái này hơi khî nhƣng chịu để ó  . Nếu nhƣ  2 x  1   x 4 4 x  1  2
x  1 thë thay vào thấy thỏa mãn. Vậy ta sẽ đi chứng minh 4 4 x  1  2
x  1 , đây khïng phƧi 1 câu khî, tïi cũng đã chứng minh rồi. Khi đî chỉ
việc liên hợp lên là cî điều cần chứng minh.
Bài 10: Chứng minh rằng:   x  1 x    3  x  11 f x   0 x  3; 2 2   x  1  1 x  3  3 3 6 Giƥi
 Trƣờng hợp 1: Xét x  3;3   .  3   x 1  2     4 x 1 x   0 x  3; 3 2 1   1. Để ó thấy:  2 x  1  x   2   3x  22 2 x  3  2x  3   0x  3;3  2    x  3  2x  3 2. Khi đî: x  1 3  x x 11  2 2x  14x  9 2 2 f x x  1  8x  8x  9      x  1  1 2x 3 6 6x 2 x  1  1 2 3. Để ó tiếp: + 2          2    2   2 2x 14x 9 0 x 3;3 2x 14x 9 x 1 8x  8x 9    0
+ Nhân liên hợp ta đƣợc: 6  5  4  3  2 4x 56x 172x 180x 105x 108x  2 21 7299 x  4 x 4x 13 2 x  2 43x 172x 108           110 x       0   44   88  4. Nên  2    2   2 2x 14x 9 x 1 8x  8x  9  0
 Trƣờng hợp 2: Xét x3;. 1. Nhận thấy 2 x  3  3  5 x  1 3  x x 11 4x  2 37 x  1  34x  7 2. Khi đî f x        2 x  1  1 5 3 6 30 2 x  1  1 2 2 3. Đặt     2
  34 x 1 8x 37x         4 g x 4x 37 x 1 34x 7 g' x . 2 x  1 Page 13
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến  3 2 x   119 8  4. Để ó thấy    16   32 g ' x
 0 nên g x đồng biến trên    3; . Suy ra 2 x  1
g x  g  3  15,9430585  0 .  Vậy f x   0 x  3;  .
Bài 11: Chứng minh rằng:   x  1 2x    1  19 f x   0 x  2 ; 2 2   x  1  2 x  2  1 7 Bñi Thế Việt Giƥi  Dễ nhận thấy 2
x  1  x . Khi đî ta luïn cî: gx 2 2 f x x  1 2x  1
19 12x  31 x  2  14x  23x  17     x  2 2 x  2  1 7 7 x  2 2 x  2  1  Để ó thấy: 2 1.   75  2 22      523 2   37 g x x 2 x x 23x  2 31 x    2 11  25  275 11 2 2. 2 0.261129x  1.621612x      2.521284 x 2 1.123x 0.722  0 2 x  2  1.123x  0.722 3. Khi đî : 523 2   37  2   523 2   37 x 23x 31 x 2 x 23x
 311.123x  0.422  0 275 11 275 11
4. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 12: Chứng minh rằng: f x 4x  1 3x  2 2  2 4    x    0 x  ;  2 x  2  2 3 x  4  8 5  2 5  Nguyễn Minh Tuấn Giƥi  Để ó thấy: 2139 2   9139 x 1.40448x 19 231  2500 15625 2 4  1. 2 x  4  x     0 x  ;  50 125 2   19  231  2 5 x 4 x  50 125 gx 2
475x  24890x  11968   2 475x  8750x  12421 2 x  2 2. Khi đî f x  595x  2462 2 x  2  3 Page 14
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến ux 3 2 3. Có  
1424x  17500x  14324x     17500 g ' x 950x 24890 2 vx x  2  2 min vx    v   25561,75144  2 4    2  ;   
4. Nhận thấy  2 5  maxux  4   u  25165,00167    min v x  2 4  5 2 4  ;      ;   2 5  2 5  2 4
5. Nên g x đồng biến trên  ;  .  2 5   2   2 4
6. Từ đî cî g x  g
  2.957051285  0  f x   0 x  ;    .  2   2 5
Bài 13: Chứng minh rằng: 3 f x x  1 2x  1  1     3   0 x  ;   8x  5  x  2 6x  2  x  1  3  Nguyễn Minh Tuấn Giƥi
 Trƣờng hợp 1: Xét x  1 3
1. Khi đî   x  5x  4  3 8x   5 f x   0 x1; 8x  5  x  2  Trƣờng hợp 2: Xét  1 1  x   ;   3 2   8x  5  x  2  3 1. Khi đî  2  6x  2  x  1   3 2. Nên ta có:  1 3  1  2   18   7 3 3    
f x x  1 32x  1 2x  18x  7  3   8     3    25  0 3 2 6 6 162  Trƣờng hợp 3: Xét  1  x  ;1 2 
 6x  2  x  1  5
1. Khi đî  8x5x2   5.5  3   3 2 x 1 2. Nên f x 2x  1 10x  22x  144 1     3    0 x  ;1 11 5 55 2 
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Page 15
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Ví dụ 14: GiƧi phƣơng trënh: 4  2 9x
32x  5  18 4  3x  0 Lã Duy Tiến Giƥi  Ta có: 4 9x  2
32x  5  18 4  3x  0 x 1 54 3 2   
 9x  9x  23x  23    0  4  3x  1  x  1       54 f x  3 9x  2 9x  23x  23  0*  4  3x  1  GiƧi * :  
1. Dễ dàng nhận thấy với 23 x ;   1  ; 
thë ta thấy f x  0. 3     2. Xét 23 x  
' 1 , ta cî bổ đề sau: 1 19 4  3x  x 
(bƥn đọc tự chứng minh). 3   2 5 3. Khi đî: 4 3 2   54      3 2 45x 477x 317x 1219x 1644 f x 
 9x  9x  23x  23   0 1 19 5x  48 x  1  2 5  Vậy PT  x  1. Nhận xét
 Câu này mặc dñ mẫu chứa căn ở bậc nhất nhƣng ta khïng thể đánh giá đƣợc do
lim 4  3x  . Vë thế ta sẽ đƣa về bài toán giống với bài 4. x
 Khi ta đƥo hàm tëm điểm rơi thë sẽ tëm đƣợc 3 nghiệm, nhiều bƥn sẽ khïng biết chọn
điểm rơi nào cho phñ hợp. Vậy khi gặp những trƣờng hợp thế này thë ta sẽ thë 3
nghiệm của f'x vào, nghiệm nào làm f x min thë ta sẽ chọn điểm rơi đî.
 Thứ 2 với việc tëm nhân tử, ta cî điểm rơi là x x 1, 350561897 khi thay vào 0 1
4  3x  x thë sẽ đƣợc kết quƧ là 3 5
. 12830189 và nếu ai lấy là 3.5 thë bài toán sẽ sai 2 do 1 7
4  3x  x   0 sẽ ngƣợc chiều với bài toán. Nếu lấy khoƧng 3,6;3,7 thë vẫn 2 5
chƣa đƣợc do sẽ bị dƣơng ở một vài giá trị. Mặt khác bài này khïng đƣợc chặt cho lắm
nên ta sẽ lấy hẳn lên 19 và kiểm tra bằng MODE 7 cî thể thấy luïn âm và thay vào 5
thấy f x  0 cho nên đây là nhân tử cần tëm. Bƥn đọc cî thể lấy một số khác đẹp hơn! Page 16
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
 Việc chứng minh   4 3 2 g x  4
 5x  477x  317x  1219x  1644  0 nhën cî vẻ khî nhƣng
rất dễ, ta sẽ tách nhƣ sau:   3     2 g x x
45x 477  317x  1219x  1644 , cî thể thấy 3 x  0   rằng với 23  x   ' 1 thì  4  5x  477  0 3    2 3  17x  1219x  1644   0
Từ đî suy ra gx  0 . Và thế là hết bài! 2
Bài 15: Giƥi phương trình: 1 1 x    1 2x  3 x  2 4 x  2x  5  1 Giƥi
 Do x  1 là nghiệm của phƣơng trënh nên ta tiến hành liên hợp. 2 1 1 x    1 2x  3 x  2 4 x  2x  5  1 x  4  2x  2 3 x    1 2x  3 x  2 4 x  2x  5  1       x   1  1 x 1 0 2 x  2x  5  1 2x  3 x  
4  2x  3  x  4      x  0      x   1  1 f x 0 2 x  2x  5   1 2x 3 x 4  2x 3 x 4         x 1 3 2   2 
 Xét x1;. Ta có: x  2x  5  1 
 0 . Nên bài toán luïn đòng. 2 x  2x  5  1  Xét  3  x  ;   1 .  2   Để ó thấy:
1. 2x  3 x  4 x  4 2x  3  2x  3 x  4  3 2 x  2x  5   2
2x  5x  3 x  4  3x  2
2. Khi đî f x   2x 2x51 2x3 x43 3. 2  2   3 x 2x 5 2x 5x 3 x 4 3x 2 2x 3 x 1              x   4  2  ux 4.   3x   9 3  3  6 10 u' x
 0 nên ux đồng biến trên    ;1  ux   u      0 x  4    2   2  4
5. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Page 17
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 16: Chứng minh rằng:   4 3 2          6 5 4 2       2 f x x x 2 3x x x x x 1 3x 3x 3x 3x x 2 x  3  0 x   1 Diễn đàn k2pi.net Giƥi y  x  2 y   3 
 Đặt z 4x  3x  2x x  1 z  5  Khi đî: 2 2   3 y x z f x  xy  3xz   2 2 3x z  2 y  2 x  3      xy 3xz  0 2 2 2 3x z y  2 x 3       Để ó thấy: gx 8 x  7 x  6 x  5 x  4 2 4 3 2 x  x  2 1.
x  2  x x  x  x  x  1  x2  2 4 x x  3 x  2 x  x  1 8 7 6 5 4
2. g x  x  1  9x  1  36x  1  84x  1  126x  1    3    2 125 x 1
80 x 1  29x  1  2  0 3. Nên g x  
0 x  1 . Vậy dấu "  " khïng thể xƧy ra.
4. Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! 2x1 4 2x x1   1
Ví dụ 17: Giƥi hệ phương trình:  2 y y  3   3
x 3y  11  2  xy  x  2x 2  Giƥi  ĐKXĐ: 2      2 2x y 1 0; x 1;1 ; 1 2x y  0  Ta có:   2x   1 1  y
 f 2x  1  f y 2x 12  2 3 y  3 Xét 3
f t liên tục trên . Có f't  
0 t . Nên f t đồng biến trên . 2 t 3    2 t  3
Khi đî phƣơng trënh f 2x  1  f y  y  2x 1
Thế vào phƣơng trënh 2 ta đƣợc:      3 4 3 2 6x 8x 2 2x 2 Đặt         3 4 3 2 f x 6x 8x 2 2x 2  Để ó thấy: 2 1. f x 2 4 3 2 25  2 2 3 
 5 2x  2  5x  8x  x   2x  2  x    4  2  Page 18
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 2 g x  2 2 3    2x  2  x     2   10  2.    1 g' x x  2
20x  24x  2   x.hx.  2 2x  2  2 2x  2 3 2
3. h'x 120x 96x  84x  48 vx   2 2x  2 2 2x  2 2 4.    4     292 v' x 360 x   
0 . Suy ra phƣơng trënh h'x  0 cî tối đa 1 nghiệm là  15  5 6784 2338848 6784 2338848 3   3    4  125 625 125 625 x x0 15 6
 min hx  hx   1.31  0 . Khi đî phƣơng trënh g'x  0  x  0hx  0. 0 lim g x  
Mặt khác ta lƥi cî:     g x   0 x  f x  0 25 20 2 . g 0   0  4
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
Bài 18: Chứng minh rằng: f x 2 3x  1 6  1   x  x  4     0 x  ; 2   3x  2x  3  2 3x  1  2  3  Giƥi  Ta có:  2  6x      2    1 3 3x 2x 3 ' 0 0 x . Suy ra 2 3x  2x  3  . 2 2 3x  2x  3 3 2  Khi đî: 6x 2 6 7x 13x 26 3x 1 14x 26x 10 2   2    2 f x      x  x  4    7 3x  1  2 7  3x  1  2  Để ó thấy:  2 4x  26x  10  0 +) Với  1   x   ;0 thì  2
. Do đî cî điều phƧi chứng minh.  3  2  13  559
7x  13x  26  7 x      0   14  28  13 2 x   501 21  +) Với x  0 thì:  2  2    14          28 7x 13x 26 3x 1 7x 13x 26 f x  1 2  0 7 3x  
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn! Page 19
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 19: Chứng minh rằng: 2 2 x  x  1 4 2 x  x  1 f x    2 x  2x   0 x  0 4 x  2 x  4  2 x  x  4 2 x  2 20x  4  2 x  2x  2 Nguyễn Minh Tuấn Giƥi  4 x  2 20x  4  8   1 5   Với  x  0;    4 x  2 x  4  3  2   2 x  x  1   0  2 2 x  x  1 4 2 x  x  1 Khi đî: f x    2 x  2x 2 x  x  2 5 x  2x  10 4  1 2 4 2  7 2 5 2  15 2 x x   x  12x x   x  38 x         620  2   6  3  19    0 2 x x 5 2 x 2x 10        2 x  x  1  0  1   Với 5    14 x  4 x  2 x  4  2  5  4 x  2 20x  4  2 x  5x  11  4 Khi đî: 2  2 x  x  1 4 2 x  x  1 f x    2 x  2x 2   24 2   3 x x 2x 7x 5 4
40x  16  260x  15  537 x  14 761x  13  389x  12  281x  1  690   0 2 5x 5x 24 2 8x 28x 3     
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Nhận xét
Nhiều bƥn sẽ đặt ra cấu hỏi vì sao lƥi đánh 8 6 giá đƣợc 4  2   2   11 x 20x 4 x 5x . Đơn 4 4 giƧn vë: 2
+ Ta đang cần đƣa về chứng minh 15 10 5 5 10 15 A 4  2   2 2 x 20x 4 x  ax  b với   1 5 x để 2 4
đƣa về phƣơng trënh đa thức. Lƥi cî 2 a  20 6 nên sẽ lấy 5. 8
+ Do hàm đang nghịch biến nên điểm rơi sẽ 10 là   1 5 x
. Cî thể kiểm tra bằng Mode 7 12 2 y = f(x) 14
hoặc cî đồ thị của hàm y  f x nhƣ sau: Page 20
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến  1 5  1 5  Cî thể thấy điểm A ;f    
 đang nằm ở phần đi xuống của đồ thị nên f x sẽ  2  2 
nghịch biến. Do đî nhân tử là 4  2   2   11 x 20x 4 x 5x
. Phần cín lƥi khïng phƧi nîi 4 nhiều!
Bài 20: Giƥi phương trình:  5  4  3  2     4   6 x 5x 2x 2x 4x 8 x 1 x  x  2  0 Nguyễn Minh Tuấn Giƥi  Ta có:  5 x  4 5x  3 2x  2 2x  4x  8   4 x  1 6 x  x  2  0
 x  1x  2 3 x  2   4 x  1 6
x  x  2  2x  4  0 4 4 3 2 x 1 x 1 x 2 x x 3x 5x 7
 x  1x  2 3
x  2               0 6 x  x  2  2x  4  x 1 x x 3x 5x 7 3
 4   4  3  2   
 x  1x  2 x  2    0  6 x  x  2  2x  4   
x  1x  2  0  x  1 x  2    x 1 x x 3x2  5x  7 3  4   4 3 f x    x  2    0  6 x  x  2  2x  4  Đặt 1 g x  6
x  x  2  g'x  5 6x  1  0  x  1 5
. g'x đổi dấu khi qua 5 nên 6 6 1
g x đƥt cực tiểu tƥi 1 5 g x   
 g  5   1, 41  0. 6    6   Đặt    6 h x x  x  2  2x  4.
1. Với x  2  hx  0. 2. Với    6   
6   3      2 x 2 x x 2 x x h x x x  2  0  Khi đî cî: 3 x  2   3 x  22x  4 4 3 2  
 x  x  3x  5x  7 f x  6 x  x  2  2x  4    2  9   2 2  83 3 x x 0,75 x 1, 5  2 16  0 6 x  x  2  2x  4
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Page 21
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Bài 21: Giƥi phương trình:  2   2     2 1 x x 1 x x 1 1 x  x  2 
Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 – Anh Sơn 2 – Nghệ An. Giƥi  Ta có: 1  2 x x  1  2 x  x  1 1 2 x  x  2   1  2 x  x  1  2 x x  1  2 x  x  2 1 x  x  2  0 x  x x 1 2 2 2x  x  2    0 1  2 x  x  2 1 x x  1  2 x  x  2 1 x  x  2 2 2x  x  2 x  x  1      0  2 x x  1  2 x  x  2 1 x  x  2 1  2 x  x  1   Để ó thấy: 2 2  2  21          2 3 1 x x 1 x x 1 1 x x 2  0  x  0 4  Khi đî ta cî: 2   2x  x   2 f x 1 2 x x 1  2x x 1 2x x 2        2 2x  x  2  2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2  2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2 2 2x  x  2  2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2 2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2 2 2x  2x  3  2  2 x  x  1 2 x  x  2   g x 2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2    1 g x   0 2 2x  2x  3  2  2 x  x  1 2 x  x  2 2 x x  1   2 x  x  1 2 x  x  2  Lƥi cî: 2 1. x x  x  1  1    x
1 1 2x x1 1 2x x1 2. Xét bất phƣơng trënh: 2 x  x  1  1 x  0 -
Với x  1 bất phƣơng trënh luïn đòng. - Với x  1 ta có: 2
x  x  1  1 x  0  x  0 luïn đòng. 3. Do đî  x 1  0 . 1  2 x  x  1
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Page 22
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 3 2 2 2 Bài 22: Cho 3 số  a  b  c 
a,b,c  0 . Chứng minh rằng: 3 3 3 3
a  b  c   2abc  11  3    Chứng minh 3 2 2 2     Đặt     3 3 2    a b c f a,b,c 3 a b c  2abc  11 
. Do f a,b,c là hàm thuần nhất bậc 3, 3   
nên khïng mất tình tổng quát ta chuẩn hîa 2 2 2
a  b  c  3 và giƧ sử a  mina,b,  c . Khi đî ta cần chứng minh     3 3 3 f a,b,c
3 a  b  c   2abc 11  0 3 2 2 2 2  2 2         Đặt b c b c 3 b c f a, ,   3a  2     a 2 2 b  c   11  . Ta có: 2 2    2         2 2 2 2       b c b c 1 f a.b.c f a, ,   3  
 2b c  b c  2b c  ab c2 3 3 2 2 2 2          2 2 2    1 3
  2b c  b cb c 2b c  2bc ab c2 2 2 2 2           2  3 b c 2 b  c  2bc  1 2     2 2   .b c     2   2   a 2 2 b  c   b  c    a0;1 Do a  mina,b,  c nên 
. Khi đî ta cần phƧi chứng minh đƣợc: b  c  2 3b c 2 2 2 b  c   2bc g a,b,c    2 a 0 2 2 b  c   b  c 3b c 2 2 2 b  c   2bc 3b c 2 2 2 b  c   2bc    2 a 1 2 2 b  c   b  c 2  2 2 b  c   b  c 3b 3c1 2 2 2
b  c   6bc  b  c 5 2 2 2
b  c   b  c  6bc   2 2 2 b  c   b  c 2 2 2 b  c   b  c b  c2  2  6bc 2 2
b  c   b  c  6bc 2  2 2 b  c   b  c    2  0 2 2 b  c   b  c 2  2 2 b  c   b  c 2 2 2 2 2 2         Vậy   b c b c 3 a 3 a f a,b,c  f a, ,   f a, ,   2 2   2 2      3 2 2  2  2        Ta có: 3 a 3 a  3 3 a 3 a f a, ,   3a  2     2a.  11  2 2    2   2       Page 23
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 3  2  2       3 3 a 3 a
f a, t, t  0  3a  2     2a.  11  0   2   2     3 3a 3 3 3 a 3 2 2  3a 
 a3  a   11  0 
 9a  15  2a  4a  12 3 2  0 2 2    3 4 3 2
a  2a  6a  14a  23  2 
 a  1 2a  4     2  3 a  0* 3 2 5 3a 2         3 Đặt      2            4 3 2 g a 2a 4 2 3 a 2 5 3a
3 a  2a  6a  14a  23     3 2      2 4 3 2 2a 4a
6a 12 6  2a  3a  6a  6a  38a  29 2 Ta cî bổ đề: 2 61 22 2  61 22  1734 2 2684 29 6  2a   a  6  2a   a   a  a     0 . Dễ 25 25  25 25  625 625 625
thấy bổ đề đòng với a0;  1 . Mặt khác 3 2 2
 a  4a  6a  12  2a1aa  3 12  0 a  0;  1 , nên ta đƣợc:   g a   3 2 2
 a  4a  6a  12 61 22 4 3 2 
a  3a  6a  6a  38a    29  25 25  4 3 2 4 3 2 2 3
 1a  184a  226a  1052a  7 3
 1a  184a  215a  441a  1052a  7   25 25  4 3 2  3
 1a  184a  215a  0 a  0;1  3 4 3 2 a  2a  6a  14a  23 2  Do  4
 41a  1052a  7  0 a  0;1
 g a  0  2a  4   0 3            2  3a  2  2 3 3 a 5 3a 2 2     5  3a 2   0     
Vậy * luïn đòng  fa,t,t  0  f a,b,c  0
Dấu “=” xƧy ra khi a  b  c  1
 Bây giờ vấn đề đặt ra là kiếm đâu ra cái bổ đề kia. Để làm đƣợc điều này ta sẽ dñng tiếp
tuyến để tëm ra nî dƣới sự giòp đỡ của CASIO. Nhƣng tuy nhiên làm sao ta cî thể đánh giá đƣợc 2
6  2a  ax  b khi chƣa cî manh mối gë? Để giƧi quyết vấn đề này ta sẽ tëm
điểm rơi của bất đẳng thức đang cần chứng minh. Ta cî: 4 3 2     g'a 16a 24a 60a 72a 36 3 2   12a  18a  12a  38 2 6  2a
Phƣơng trënh g'a  0 cî 1 nghiệm là : X  A  0,919459592
Bây giờ ta cần đánh giá đƣợc biểu thức trƣớc căn là 3 2 2
 a  4a  6a  12 . Dễ thấy rằng: 3 2 2
 a  4a  6a  12  a1aa  3 12  0 Page 24
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Vậy bây giờ cần chứng minh 2
6  2a  ax  b . Ta sẽ sử dụng phìm d . dx Ta đƣợc d a   2 6  2X   0
 ,8858596433. Bây giờ ta sẽ lấy a làm sao cho bất đẳng thức dx XA
khïng bị đánh giá quá trội và vừa đồng thời là một số hữu tỷ đẹp vừa để về sau dễ đánh giá
hơn. Do đî mënh sẽ lấy 22  a  0  ,88 
. Bây giờ cần tëm b ,do đang cần chứng minh trên 25
đoƥn0;1 nên ta sẽ dñng MODE 7 để tëm ra b. MODE 7 với hàm   2 22 F X  6  2X  X 25 trên 0;1 ta đƣợc: Để ó thấy là 2 22 6  2x 
x  2, 449489742 . Bây giờ 25
ta sẽ chọn b là một số hữu tỷ vừa đẹp vừa gần số
2, 449 nhất. Ta sẽ chọn số 61 b  2, 44  , đồng thời 25
thay vào bài toán ta thấy nhân tử này thỏa mãn. Vậy
ta tëm đƣợc nhân tử là 2 22 61 6  2a  a  . 25 25
Chò ó rằng chắc mấy bƥn khi tëm đƣợc a thë thay luïn
X  A vào để tëm ra b và tëm đƣợc b  2,884982846 ,
hiển nhiên là nhân tử này là sai. Đối với bài mà
chứng minh trên đoƥn thë ta thƣờng sẽ dñng MODE
7 để tëm ra b, cín những bài chứng minh trên khoƧng
thë ta mới dñng cách thay trực tiếp nhân tử vào, nếu cî thời gian hãy thử chứng minh những
bài sau thë sẽ rð. Ngoài ra nếu giƧi phƣơng trënh đƥo hàm bằng 0 mà nhiều nghiệm thë ta
chọn nghiệm nào làm phƣơng trënh đầu min max Page 25
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
PHƨN 2. PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BƦT ĐẲNG
THỨC MỘT BIẾN KHÔNG CHỨA CĂN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4.
1. Sử dụng tính chƧt tam thức bậc 2. 2
Nền tƧng: Ta sẽ phân tìch phƣơng trënh ban đầu thành  2 ax  x   m   
f x trong đî f x là  2 
một tam thức bậc 2 luïn lớn hơn 0 với mọi x
Ví dụ: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 4  3  2 x x 3x  x  7  0
 Bước 1: Đầu tiên ta biến đổi phƣơng trënh theo tham số m nhƣ sau: 4 x  3 x  2 3x  x  7  0  x 2 2  11   x   m   2
2m x  1  mx  7  2 m      0  2   4 
Nhiều bƥn sẽ đặt ra câu hỏi tƥi sao lƥi là 2  x x
 m . Rất đơn giƧn, khi ta khai triển biểu thức 2  x 2 2 x x   
m  sẽ xuất hiện ngay 3 x vì 2 2.x .  3
x . Hiểu rồi chứ, các bài khác cũng tách tƣơng  2  2
tự đƣợc nhƣ vậy, chỉ cî điều ta phƧi đƣa nî về dƥng tổng quát: 4  3  2 x 2ax bx  cx  d  0 thì
mới tách thành nhƣ trên.
 Bước 2: Ta tính  theo tham số m: 1 m2  11      4  2m 7    2 m   4 
 Bước 3: Ta thấy phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm thë phƣơng trënh  11   2
2m x  1  mx  7  2 m    0  4    0
PhƧi vï nghiệm. Để phƣơng trënh này vï nghiệm thë 11 2m   0  4 
Dùng MODE 7 ,nhập hàm sau vào máy: FX 1 X2  11     4  2X 7    2 X   4  Start  10 End  10 Step  1
Sau đî ta tëm các giá trị X làm    11 F X 0 &  2X  0 4
Nhën vào bƧng ta thấy rất nhiều giá trị làm FX  0, nhƣng
tuy nhiên ta phƧi chọn làm sao cho 11  2X  0 và đî phƧi là 4
một giá trị bé dễ ròt gọn. Với lì do nhƣ thế tïi sẽ chọn X  0 hay m  0
 Bước 4: Do biết m  0 nên phƣơng trënh sẽ trở thành: Page 26
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 3 2  2 x 2 11  2 2 4           76 x x 3x x 7 0 x x      0  2  4  11  11 0x
Nên phƣơng trënh vï nghiệm! 2. Sử dụng đƣo hàm.
Ta xét phƣơng trënh tổng quát: 4  3  2 x ax bx  cx d  0
 Bước 1: Đƥo hàm vế trái:    3  2 f' x 4x 3ax  2bx  c
 Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f'x  0. Nếu :
1. Phƣơng trënh cî 1 nghiệm thë đây là điểm rơi của bài toán.
2. Phƣơng trënh cî nhiều nghiệm thë thử xem nghiệm nào làm vế trái nhỏ nhất
 Bước 3: Tìm k sao cho: 2 + 4 3 2  2 ax 
x  ax  bx  cx  d  x   k     0 x  2  +   2  a k x x nhất. 0 0 2
Mục tiêu của phƣơng pháp này tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp ở trên nhƣng cî vài điểm tối ƣu hơn.
 Bước 4: Sau khi ta tëm đƣợc k thë chỉ việc lấy : 3 2  2 a 2 4
x  ax  bx  cx  d  x  x  k  2 mx  nx  p     0 x  2  hx  0
Do f x gx  hx mà trong đî 
nên f x  0. Thế là xong bài! g x  0
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:    4  2 f x x x  x  2   0 x
 Bước 1: Đƥo hàm vế trái    3 f' x 4x  2x  1
 Bước 2: GiƧi phƣơng trënh f'x  0  x  x  0..8846461771 0  Bước 3: Tìm k:   2  a        4 k x x 0.7825988 k 0.8 0 0 2 5 2
 Bước 4: Ta lấy: 4 2  2 4  x  x  x  2  x   3 2 x  x  1,36     0 x  5  5
Do đî phƣơng trënh ban đầu vï nghiệm! Nhanh hơn chứ!
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :    4  3  2 f x 2x x 2x  x  3  0
 Bước 1: Đƥo hàm: f'x  3 8x  2
3x  4x  1  x  x  1 0 Page 27
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
 Bước 2: Tìm   2  a   3 k x x 0 0 2 4 2
 Bước 3: Lấy           2 2 1 3 7 f x 2 x x x 1    1. Xong!  4 4  8
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:    4  3  2 f x 4x 2x 2x  x  14  0
 Bước 1: Đƥo hàm f'x  3 16x  2
6x  4x  1  0  x  x  0,7909677904 0
 Bước 2: Tìm   2  a   1 k x x 0 0 2 2 2 2
 Bước 3: Lấy    2 1 1  7  4        87 f x 4 x x x       0 x  4 2  4  7  7 II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 6
Ta xét phƣơng trënh tổng quát sau:    6  5  4  3  2 f x x ax bx cx dx  ex  f  0 2
 Ta sẽ thêm bớt biểu thức:  3 a 2  x  x  mx   n   2  2 2  Lấy f x  3 a 2   a   x  x  mx  n     b   2m 4 x  ...  2   4 
 GiƧi phƣơng trënh f'x  0  x  x thỏa mãn min f x  f x0  0 m  2  Tëm m thỏa mãn  a  2
, thïng thƣờng ta sẽ cho b   2m  1  a b  2m   0 4  4 n 
 Tëm n thỏa mãn  3 x  a 2 x  mx  n   0  0 0 0 x
 Khi tëm đƣợc m,n bài toán coi nhƣ đƣợc giƧi quyết!
Sau đây là 2 vì dụ để tëm hiểu rð cách làm.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:    6  5  4  2 f x x 2x x 4x  2x  1  0  Ta có f'x  5 6x  4 10x  3
4x  8x  2  0  x  x  0,25219838 0
 Lấy       2 3 2     4 f x x x mx n 2 2m x ...
 Ta tëm m thỏa mãn       3 2 2m 1 m 2
 Ta tëm n thỏa mãn 3  2  3      1 x x x n 0 n 0 0 0 2 4 2 2  Lấy    3 2 3 1   2 5 1          11 2  11 f x x x x x x x      0  2 4   4 2  16 16
 Vậy bài toán đã đƣợcgiƧi quyết! Page 28
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:    6  5  4  3  2 f x x 2x 2x 4x 8x  2x  12  0  Ta có f'x  5 6x  4 10x  3 8x  2
12x  16x  2  0  x  x  0,115820665 0
 Lấy       2 3 2     4 f x x x mx n 3 2m x ...
 Ta tëm m thỏa mãn 3 2m  1  m  2
 Ta tëm n thỏa mãn 3  2       1 x x 2x n 0 n . Để ó thấy f x 11,58 0 rất 0    0 0 0 4
nhiều nên đây là một bài toán khá lỏng lẻo. Do đî ta cî thể coi n  0 để tiện ròt gọn bằng máy tình.
 Lấy      2 3 2  4  2 f x x x 2x x 4x  2x  12  0
 Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn
III. CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DÎNG MÁY ĐẶC BIỆT.
Phương pháp này chỉ hữu ìch cho 2 díng máy VINACAL 570es PLUS II và CASIO 570VN – PLUS
bởi vë 2 díng máy này cî tình năng tình min max của 1 tam thức bậc 2. Đối với máy VINACAL thë ta
sẽ bấm SHIFT 6 6 máy sẽ hiện lên như sau:
Còn máy CASIO VN thë tìch hợp trong chức năng giải phương trënh bậc 2.  Nội dung
Phƣơng pháp này sẽ dung tình chất cơ bƧn của tam thức bậc 2 nhƣ sau:Xét tam thức 2    2 f x
ax  bx  c thì ta luôn có f x  b    a x    
. Tƣởng chừng đơn giƧn nhƣng lƥi  2a  4a
giúp ìch khá nhiều!  Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:    4  3  2  3  3 f x x 3x 3x x   0 x 4 16 Giƥi 1.
2. Do tïi dñng máy VINACAL nên sẽ khởi động tình năng tëm min max.
3. Nhập vào máy 1  3  3  , máy sẽ cho ra kết quƧ: Page 29
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 2 2 Vậy ta sẽ cî 4 3 2 2  3     x   3x x 3x 3x x   .  2  4
4. Tiếp tục nhập 3  3  3  ta lƥi đƣợc kết quƧ: 4 4 16 2 2 Vậy ta sẽ cî 3x 3 3 3  1   x   x    . 4 4 16 4  2  2 2 5. Vậy ta đƣợc f x 2  3  3  1   x x   x      
0 . Bài toán đã đƣợc giƧi quyết!  2  4  2 
Nhanh chứ!. Đấy vẫn là bënh thƣờng ta sẽ chiến một vì dụ tiếp theo!
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:    6  5  4  3  2 f x x 3x 3x x 2x  x  1  0 Giƥi
1. Nhập 3 hệ số đầu vào máy ta sẽ đƣợc kết quƧ: 2 Vậy sẽ cî 6 5 4 4  3     x   3 x 3x 3x x   4 x  2  4
2. Nhập vào máy 3 hệ số tiếp theo sẽ đƣợc kết quƧ: 2 Vậy sẽ cî 3 4 3 2 3 2  2     x   5 x x 2x x   2 x 4 4  3  3
3. Nhập vào máy 3 hệ số cuối sẽ đƣợc kết quƧ: Page 30
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 2 Vậy sẽ cî 5 2 5  3     x   17 x x 1   3 3  10  20 2 2 2 4. Vậy   4  3  3 2  2  5  3         17 f x x x x x x         0 x .  2  4  3  3  10  20
Bây giờ sẽ chiến nốt vì dụ cuối cñng!
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:    8  2 7  6  4 5  14 4  3  2   1 f x x x 3x x x 2x 3x x   0 x 3 3 3 3 Giƥi
Chỉ cần bấm máy khoƧng 1 phòt ta sẽ cî kết quƧ dƣới đây: 2 2 2 2   6  1  26 4  3  176 2  39  489  88   x   x x   x x   x   119 f x x          3  9  13  39  176  176  489  489
Tự làm nhé! Cuối cñng hãy thử sức với bài sau đây.  Chứng minh:    12  11  10  9  8  7  6  5  4  3  2 f x x 2x 18x 11x 18x 16x 22x 17x 31x 10x 20x  10x  21  0  Chò ó rằng:
1. Nếu bạn nào khïng cî 2 díng máy trên thë vẫn cî thể tình được như trên nhưng mất thời gian tính   b & 2a 4a
2. Nếu bạn nào cî VINACAL hay VN PLUS thë đừng vội mừng, nhiều khi gặp phải những bài
hệ số xấu thë cũng phải tình tay thïi vë máy tình khïng hiển thị được, thế là bằng nhau. Tiêu
biểu là bài bên trên tïi cho, vui vẻ nhé.
IV. CHỨNG MINH TRÊN KHOƤNG.
Đầu tiên xét dƥng tổng quát cho các bài toán cî điểm rơi khïng chặt.
GiƧ sử cần chứng minh phƣơng trình f x  0 vï nghiệm trênb;; ;a. Ta sẽ CALC
sao cho X  a  1000; X  b  1000 sau đî khai triển nhƣ bënh thƣờng. Để hiểu rð hơn ta sẽ
cñng chiến một vì dụ lấy .
Ví dụ 1: Chứng minh rằng :    4  3  2 f x 3x 2x 2x  10x  4   0 x2;
1. Cách 1: Hàm số  Ta có    3  2       2 f' x 12x 6x 4x 10 f' x 36x 12x  4 Page 31
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến  1  5 x        6 f ' x 0  1  5 x   6
 Lập bƧng biến thiên cho f 'x ta đƣợc: 1  1   5 5  x 6 6 f ' x  0  0  83  5 5  9 f 'x 83   5 5 9
Nhën vào bƧng biến thiên ta cî thể thấy phƣơng trënh f'x  0 cî 1 nghiệm duy nhất thuộc
vào khoƧng 0,9;0,8 do f'0,9.f'0,8  0 . GiƧ vờ nghiệm đî là x  x  0,8997774777 . 0
Lƥi tiếp tục lập bƧng biến thiên cho f x ta đƣợc. x  x 2  0 f 'x  0     f x 48 f x0 
Nhën vào bƧng dễ thấy f x  
0 x2; . Vậy là hết bài!
2. Cách 2: Nhóm thành tổng dựa vào điều kiện.
Ta dễ dàng nhận thấy x  2  x  2  0 nên nƧy ra ó tƣởng viết f x dƣới dƥng :
     4    3    2 f x a x 2 b x 2 c x 2  dx  2  e
Và cïng việc này sẽ nhờ tới sự trợ giòp của thủ thuật CASIO.
 Ta sẽ CALC X sao cho X  2  1000  X  1002
 CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ     4 12 3,022058 10 3 x 2
 Ghi vào sau    4
3 X 2 , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ     3 10 2,205807 10 22 x 2
 Ghi vào sau    3
22 X 2 , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ    2 58074048 58 x 2
 Ghi vào sau    2
58 X 2 , CALC X  1002 ta đƣợc kết quƧ 74048  74x  2  48
 Thử lƥi với X   ta đƣợc kết quƧ là 0. Vậy kết quƧ luïn đòng
 Vậy      4    3    2 f x 3 x 2 22 x 2
58 x 2  74x  2  48   0 x2;
 Thế là bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Page 32
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:    5  4  3  2 f x x x x 4x  6x  1   0 x  1 Giƥi
 Đòng nhƣ những bƣớc làm bên trên ta sẽ tách thành:
     5    4    3    2 f x x 1 6 x 1 13 x 1
17 x 1  20x  1  10   x  15  0   Để ó thấy với 
x  1  13x  13  0  f x   0 x ;1 20x1   0 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:    7  6  5  4  3  2 f x x x x 2x 8x 8x  10x  2   0 x  1 Giƥi
 Do bài này bậc tƣơng đối cao nên ta sẽ cứ làm nhƣ bënh thƣờng và tëm các hệ số cín lƥi
bằng đồng nhất hệ số.  Ta có:
     7    6    5    4    3    2 f x x 1 6 x 1 16 x 1 23 x 1 a x 1
b x 1  cx 1  f 1
 Lập hệ, cho x lần lƣợt bằng 1,2,3 sẽ tëm đƣợc a,b,c.  Ta đƣợc:
     7    6    5    4    3    2 f x x 1 6 x 1 16 x 1 23 x 1 25 x 1 20 x 1  16x 1 7
 Bài toán đã đƣợc giƧi quyết
V. CHỨNG MINH TRÊN ĐOƢN
Ý tưởng của phương pháp này chình là phương pháp DAC – Phương pháp này đã cî trong cuốn “
Những viên kim cương trong bất đẳng thức – Trần Phương” bạn đọc cî thể tham khảo thêm!
Bài 1: Chứng minh rằng:    5  4  3  2 f x x x 2x 2x  5x  3   0 x1; Giƥi  Để ó thấy: 5 4 3 2
1. f x  x  1  4x  1  4x  1  4x  1  4 x  1  4  2 3x  1 1 2 7  9 2 4 3 2 58
2. 4 x  1  4x  1  4 x  1  4 x  1    4  4  x    x         0  2 5  20  7   175
3. Nên do đî f x  
0 x1; (đpcm). Xong! Hết bài. Hướng dẫn
 Do ta đang cần chứng minh f x  
0 x  1 nên nƧy ra ó tƣởng tách thành:
  5    4    3    2 x 1 a x 1 b x 1 c x 1  dx  1  e
 Để tách thành nhƣ vậy ta sẽ sử dụng máy tình cầm tay để giƧi quyết. Để ó thấy với
x  1  x 1  0 nên ta sẽ nhập vào máy và CALC sao cho X 1  1000  X  1001 và
sử dụng kỹ thuật xấp xỉ nhƣ khai triển đa thức ta sẽ tách thành dƥng nhƣ trên. Cụ thể các bƣớc làm nhƣ sau: Page 33
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
1.1. Nhập vào máy biểu thức trên, CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ là     5 15 1.0... 10 x 1 .
1.2. Ghi vào sau   5 X 1
CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ là     4 12 4.0... 10 4 x 1 .
1.3. Ghi vào sau    4 4 X 1
CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ     3 9 3.99... 10 4 x 1
1.4. Ghi vào sau    3 4 X 1
CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ      2 4003996 4 x 1
1.5. Ghi vào sau    2 4 X 1
CALC X  1000 ta đƣợc kết quƧ 3996  4x  1  4.
1.6.Nhớ rằng để tëm hệ số tự do ta sẽ CALC giá trị mốc tức là 1 và đƣợc kết quƧ là 4.
 Vậy ta đƣợc kết quƧ      5    4    3    2 f x x 1 4 x 1 4 x 1
4 x 1  4x  1  4 , thử lƥi
với x   ta thấy kết quƧ luïn đòng. Đến đây vấn đề đặt ta là tất cƧ khïng phƧi dấu
"  "nên ta cần phƧi xử ló thêm 1 bƣớc nữa. Thật may là biểu thức bậc 4 đằng sau luïn
dƣơng nên ta sẽ quy nî về bài toán chứng minh phƣơng trënh bậc 4 vï nghiệm với ẩn
y  x  1. Sử dụng thủ thuật SOS ta sẽ tách nî thành:
4x  14  4x  13  4x  12  4x  1  4  2 3x  2 2  1 1  7  9   58 4  x    x         0  2 5  20  7   175
 Khi đî bài toán đã đƣợc giƧi quyết hoàn toàn! Nhận xét
Bài toán trên chỉ là dƥng đăc biệt do biểu thức f xkhá là lỏng. Vậy đối với những bài toán
chặt khác mà khi tách ra dƥng nhƣ trên toàn dấu "" thë phƧi làm nhƣ thế nào? Sau đây sẽ là cách giƧi quyết.
1.1. Thứ nhất ta sẽ cần nới rộng khoƧng cần chứng minh ta, cî nghĩa là nếu bài toán
cho x  1 thë ta sẽ chứng minh hẳn nî lớn hơn 0 với x  3 chẳng hƥn, sau đî sẽ
chứng minh nî lớn hơn 0 với x1;3.
1.2. Để chứng minh f x  
0 x1;3 ta sẽ sử dụng kỹ thuật chia để trị DAC. ( Áp
dụng chứng minh vï nghiệm trên đoƥn).
1.3. Nội dung phƣơng pháp DAC: Bổ đề: Cho hàm số f x,yliên tục và xác định trên
D  a;ba;bHàm số f x, yđồng biến theo x và nghịch biến theo y . Khi đî
nếu f a,b  0 thì fx,y  f a,b  0.
1.4. Chứng minh bổ đề:
+ Do hàm số đồng biến theo x , x  a nên f x,y  f a,y1
+ Do hàm số nghịch biến theo y , y  b nên f a,y  f a,b2
+ Từ 1& 2 cî điều phƧi chứng minh. Áp dụng Page 34
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
1. Đối với bài này ta cứ giƧ vờ tách nî dƣới dƥng x  3 ta sẽ đƣợc:
     5    4    3    2 f x x 3 14 x 3 76 x 3
196 x 3  236x  3  108   0 x  3
2. Xét x1;3. Đây là điều quan trọng nhất. Do bổ đề xét tới hàm 2 biến nên ta sẽ
biến f x thành hàm 2 biến dựa vào tình đồng biến nghịch biến. Ta cî: 2.1. 5   4
x ' 5x  0  Chỗ này đồng biến ta sẽ đặt là x . 2.2. 4    3 x '
4x  0  Chỗ này nghịch biến nên đặt là y.
2.3. Tƣơng tự với các chỗ cín lƥi. Cuối cñng ta sẽ đặt
   5  4  3  2 g x, y x y 2y
2y  5x  3 , hàm này chắc chắn đồng biến theo x và
nghịch biến theo y với x,yD  1;31;3.
3. Sau khi đặt xong hàm gx,y ta cần phƧi chứng minh nî lớn hơn 0. Do bổ đề phát
biểu nếu f a,b  0  f x,y  0 thë nhiều ngƣời sẽ tƣơng luïn x  1& y  3,
nhƣng chớ trêu là nî âm choét ra do ta đánh giá quá mƥnh tay, và nhiều bƥn sẽ
nghĩ bổ đề sai, nhƣng hãy để ó rằng phƣơng pháp này cî tên chia để trị nên các
bƥn cần phƧi chia 1; 
3  1;aa;b...z;3 và xét từng khoƧng để khi thay 2
cận vào nî luïn dƣơng, hiểu chứ?. Để tëm các khoƧng kia phƧi sử dụng đến tài sƧn
quó báu là chiếc máy tình.
3.1. Nhập hàm gx,y vào máy: 5  4  3  2 X Y 2Y
2Y  5X  3. Đầu tiên bấm
CALC và nhập X  1 trƣớc do đây là cận nhỏ nhất, sau đî ta thử thay Y  3
vào thấy âm thë sẽ chuyển Y  2 thấy vẫn âm. Chuyển tiếp Y xuống 1,5 thì
thấy vẫn âm, lòc này đừng hoƧng ta sẽ tëm đƣợc 369
Y  1,2 thì g x, y   0 , 625
thế là đã tëm đƣợc 1 khoƧng đầu tiên.
3.2. Để tëm tiếp các khoƧng tiếp theo ta lƥi cho X  1,2 và tëm Y. Cứ lặp lƥi quá
trënh trên ta sẽ chia đƣợc: 1; 
3  1;1,21,2;1,31,3;1,391,39;1,461,46;1,5  1
1,51;1,561,56;1,61,6;1,641,64;1,671,67;1,71,7;1,7  3
1,73;1,761,76;1,8;1,8;1,841,84;1,881,88;1,9 
3 1,93;1,991,99;2.
Woa! Thật đẹp mắt. Lòc đến 2 là các bƥn sẽ gặp khî khăn do các khoƧng càng ngày càng hẹp.
Ta lƥi nƧy ó tƣởng chứng minh f x   0 x  2 . Ta sẽ đƣợc:
     5    4    3    2 f x x 2 9 x 2 30 x 2
42 x 2  21x  2  5  0
Vậy lời giƧi sơ lƣợc của bài này sẽ nhƣ sau:
1. Xét x  2 ta có      5    4    3    2 f x x 2 9 x 2 30 x 2
42 x 2  21x  2  5  0 2. Xét x1;2.
+ Ta cî bổ đề sau: Cho hàm số f x,yliên tục và xác định trên D  a;ba;bHàm số
f x, yđồng biến theo x và nghịch biến theo y . Khi đî nếu f a,b  0 thì
f x,y  f a,b  0. + Chứng minh: Page 35
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến -
Do hàm số đồng biến theo x , x  a nên f x,y  f a,y1 -
Do hàm số nghịch biến theo y , y  b nên f a,y  f a,b2 -
Từ 1&2 cî điều phƧi chứng minh. + Xét hàm    5  4  3  2 g x, y x y 2y
2y  5x  3  f x  gx,x .Hàm số đồng biến theo
x , nghịch biến theo y , liên tục trên
1;1,2;1,2;1,3;1,3;1,39;1,39;1,46;1,46;1,  51
;1,51;1,56;1,56;1,6;1,6;1,64;1,64;1,67;1,67;1,7;1,7;1,73
;1,51;1,56;1,56;1,6;1,6;1,64;1,64;1,67;1,67;1,7;1,7;1,73.     369 g 1;1, 2   0 625 + Lƥi cî  ...
nên theo bổ đề ta sẽ cî
g1,99;2  4,1579601   0 
f x  g x,x   0 x 1;1,2   ...
fx  gx,x   0 x   1,99;2
Từ đî suy ra điều phƧi chứng minh!
* Lưu ó: Một điều đáng buồn là khi viết trong bài khïng được ghi “…” mà phải ghi hết ra để người ta
cïng nhận khïng sẽ bị bắt bẻ ngay lập tức. Nîi chung cách làm tổng quát bao giờ cũng dài hơn cách
làm dñng IQ mà . Sau đây là một số bài cî thể làm theo DAC.
Bài 2: Chứng minh rằng:    8  5  2 f x x x x  x  1   0 x Giƥi
1. Cách 1: Tƣo dựng hằng đẳng thức 2 2 Ta luôn có:   8 5 2  4 1  3  2            2 f x x x x x 1 x x x      0  2  4  3  3
Từ đî suy ra điều phƧi chứng minh. 2. Cách 2: DAC
Nhën cách 1 cî vẻ rất ngắn gọn nhƣng sẽ nhiều bƥn cî thể khïng nhận thấy dấu hiệu tách
hằng đẳng thức thë ta vẫn cî thể làm nhƣ sau:  2  1 2 3 x  x  1  x    0
 Xét x  0 khi đî  5 x  0 lƥi cî     2  4
nên cî điều phƧi chứng  8 x   0 minh.
 Xét x  1 khi đî 8  5  5  3    5    2 x x x x 1
x x 1 x  x  1  0 ta cũng cî điều phƧi chứng minh.  Xét x0; 
1 đây là khâu quan trọng nhất. Cách làm DAC sẽ nhƣ sau:
+ Bƣớc 1: Phát biểu, chứng minh bï đề. Page 36
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến
+ Bƣớc 2: Đặt hàm gx,y sao cho hợp lì đƧm bƧo luïn đòng theo bổ đề ( rất quan
trọng!). Để đặt hàm gx,y ta sẽ đƥo hàm từng biến một và xét tình đồng biến, nghịch
biến.Nhớ là chỗ nào đang đồng sẽ đặt là x, nghịch biến là y.  8x' 7 8x  0
 5x'  4 5x  0  Có: 8 5 2 
. Nên sẽ đặt hàm gx,y  x  y  x  y  1.  2 x '  2x  0      x'  1  0
+ Chia để trị: Để chứng minh vï nghiệm đƣợc ta sẽ phƧi chia thành các khoƧng nhỏ
a;m;m;n;...;y;b làm sao cho khi ta thay cận min bằng x và cận max bẳng y thë
g x, y  0 . Cïng việc này cî casio để hỗ trợ.
 Nhập vào máy 8  5  2 X Y
X  Y  1 . Ta sẽ CALC X  0 trƣớc và thử cho với Y  0
luïn xem cî dƣơng khïng. Nhƣng tiếc là biểu thức bị âm do ta đã đánh giá quá trội,
và vë thế cần thu nhỏ khoƧng lƥi. Thử CALC tiếp và cho Y  0,5 xem.Lần này đã
dƣơng, nhƣng ta cî thể nới rộng khoƧng hơn nữa thử cho Y  0,7 lần này cũng dƣơng
nhƣng nếu nới rộng ra hơn nữa sẽ bị âm.Thế là đã tëm đƣợc một khoƧng. Ta sẽ lập lƥi
quá trënh trên với X  0,7 và sẽ phƧi tëm Y. Lần lƣợt tëm đƣợc 2 khoƧng nữa là 0,7;0,9&0,9;  1 . + Bƣớc 3: Lời giƧi: - Viết lƥi bƣớc 1. - Đặt    8  5  2 g x, y x y
x  y  1 liên tục trên các khoƧng 0;0,7;0,7;0,9;0,9;1.
Đồng biến theo x, nghịch biến theo y, cî f x  gx,x .
g 0;0,7  ...  0  f x  g x,x  0x0;0,7  -
Lƥi cî g0,7;0,9  ...  0  f x  g x,x  0x0,7;0,9 .
g0,9;1 ... 0  fx  gx,x  0x  0,9;1 -
Suy ra điều phƧi chứng minh.
Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết! Hay chứ . Chiến 1 cái nữa nào!
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f x 6 5 4 2 1  1 4
 x  x  x  2x  x    0 x   ;  10  9 3 Giƥi
Đây là 1 bài toán khá là chặt nên chắc chắn sẽ phƧi chia tƣơng đối nhiều khoƧng. 1. Xét  1  x  6 5 4 2 1 
;0 . Đặt gx,y  x  x  x  2y  x  . Ta sẽ chia đƣợc các khoƧng  9  10 là  1 
 ;0,1 ;0,1;0,05;0,05;0    9  Page 37
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến 2. Xét  4  x  6 5 4 2 1
0;  . Đặt g x, y  y  x  y  2x  x 
. Ta sẽ chia đƣợc các khoƧng là  3  10 1;1, 
1 ;1,1;1,2;1,2;1,25;1,25;1,29;1,29;1, 3  1 ;1,31;1,32  4 ; 1,32; . Ghê chƣa!  3
Vậy bài toán đã đƣợc giƧi quyết!
 Áp dụng làm bài sau: Chứng minh rằng:     4  2 f x x 3x  6x  1   0 x0,2;1,  1
 Thử áp dụng cách làm trên làm các bài sau Chứng minh rằng: 1. f x 6 5 4 2 1  1 4
 x  x  x  2x  x    0 x   ;  10  9 3 2.    8  5  2 f x x x x  x  1  
0 x ( thử dñng DAC nhé). 3.
   5  4  3  2 f x x x x 4x  6x  1   0 x;  1 4.
   7  6  5  4  3  2 f x x x x 2x 8x 8x  10x  2   0 x  1 5.     4  2 f x x 3x  6x  1   0 x0,2;1,  1
Kết thòc phương pháp này ở đây, trong mục này tïi chỉ trënh bày cho các bạn một số cách bấm máy
thôi để xử ló các đa thức thïi, nếu muốn tëm hiểu thêm về cách chứng minh bất đẳng thức 2 hay 3 biến
bằng DAC thë hãy tham khảo thêm ở cuốn sách mà tïi đã nîi ở đầu mục nhé! Cảm ơn các bạn đã theo dði bài viết! Page 38
Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến TÀI LIỆU THAM KHƤO
1. Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học – Trần Phương
2. Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hñng
3. Bất đẳng thức – Định ló và áp dụng – Nguyễn Văn Mậu
4. Sáng tạo phương trënh, bất phương trënh, hệ phương trënh – Nguyễn Tài Chung
5. Bất đẳng thức đánh giá phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn
6. Vận dụng tình đơn điệu của hàm số giải phương trënh vï tỷ - Nguyễn Minh Tuấn 7. Tài nguyễn Internet. Page 39
Document Outline

Pages from [Tạp chí Olympic] Bất đẳng thức một biến (1).pdf
[Tạp chí Olympic] Bất đẳng thức một biến.pdf
- LỜI GIỚI THIỆU
- Bất đẳng thức một biến tuy không phải là một phần toán khó như bất đẳng thức một biến và hai biến nhưng tuy nhiên đây cũng là một phần toán khá hay và quan trọng đối với học sinh. Ta thường bắt gặp những bài bất đẳng thức một biến này khi đang giải ph...
- 1. Anh Bùi Thế Việt – Sinh viên đại học FPT
- Facbook: https://www.facebook.com/viet.alexander.7
- 2. Anh Lâm Hữu Minh – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội.
- Facebook: https://www.facebook.com/lamhuuminh.KSTN.K60.HUST
- 3. Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh.
- Facebook: https://www.facebook.com/tien.la.7161
- Bài viết tuy đã được mình chỉnh sửa khá nhiều nhưng không thể tránh khỏi những thiếu xót được, mọi người có đóng góp gì thì gửi qua mình qua địa chỉ:
- NGUYỄN MINH TUẤN
- PHẦN 1. CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 1 BIẾN
  - I. CÁC BÀI TOÁN.
  - II. HƯỚNG DẪN GIẢI.
- PHẦN 2. PHỤ LỤC – MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT BIẾN KHÔNG CHỨA CĂN
  - I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4.
    - 1. Sử dụng tính chất tam thức bậc 2.
    - 2. Sử dụng đạo hàm.
  - II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 6
  - III. CÁCH PHÂN TÍCH RIÊNG CHO HAI DÒNG MÁY ĐẶC BIỆT.
  - IV. CHỨNG MINH TRÊN KHOẢNG.
  - V. CHỨNG MINH TRÊN ĐOẠN

Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức một biến – Nguyễn Minh Tuấn

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Chuyên đề một số phương pháp đếm trong các bài toán tổ hợp

Các dạng toán vectơ Toán 10 thường gặp

Các dạng toán mệnh đề và tập hợp Toán 10 thường gặp

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Hoàng Văn Thụ – Hà Nội

Đề cương giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2024 – 2025 trường THPT Xuân Đỉnh – Hà Nội