Chuyên đề cơ bản môn Toán 7 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 1)

Tài liệu gồm 96 trang, bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản chuyên đề môn Toán 7 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 1).

Chủ đề:
Môn:

Toán 7 2.1 K tài liệu

Thông tin:
96 trang 10 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề cơ bản môn Toán 7 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 1)

Tài liệu gồm 96 trang, bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập cơ bản chuyên đề môn Toán 7 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (tập 1).

54 27 lượt tải Tải xuống
CHƯƠNG I. SỐ HU TỈ.
Bài 1: TẬP HP CÁC SỐ HU TỈ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Khái niệm:
Ví dụ 1: Viết các s thập phân như
2,4
hay hn s
3
1
7
v phân s:
Ta có
24 12
2,4
10 5
−−
−= =
3 10
1
77
=
Khi đó hai phân số
12
5
10
7
được gi là s hu t.
Kết luận:
S hu t là s được viết dưới dng phân s
a
b
vi
, , 0.ab b∈≠
Tp hp các s hu t đưc kí hiu là
Chú ý:
Mi s hu t đều có mt s đối. S đối ca s hu t
a
b
là s hu t
.
a
b
Vì các s thập phân đã biết đều viết được dưới dng phân s thập phân nên chúng đều
là các s hu t. Tương tự cho các s t nhiên và s nguyên.
Ví dụ 2: Trong các s sau, s nào là s hu t:
1
5
3
10
21
6
0
3
1
8
0,12
2
15
Ta có
21
21
1
=
3 11
1
88
−=
12 3
0,12
100 25
=−=
22
15 15
−−
−=
Nên các s
13 3 2
; ; 0,001; 1 ; 0,12;
5 10 8 15
−−
−−
−−
đều là các s hu t.
S
6
0
không là s hu t vì có mẫu bằng
0.
Ví dụ 3: Tìm s đối ca các s hu t sau:
7
9
5
2
6
11
3
13
5
4
3
1
7
9,2
Các s trên có s đối ln lượt là
7
9
5
2
3
13
5
4
3
1
7
9,2
Ví dụ 4: Tìm s đối ca s hu t
0.
S đối ca s hu t
0
là s
0.
2) Biểu din shữu tỉ trên trục số.
Ví dụ 5: Biu din các s hu t
3; 2
trên trc s
Điểm
A
biểu din s
3
Điểm
B
biểu din s
2
B
A
-3
-2
-1
3
2
1
0
Ví dụ 6: Biu din các s hu t
35
;
23
trên trc s
S hu t
3
1, 5
2
=
hoc
31 1
11
22 2
= = +
S hu t
52 2
11
33 3
= =−−
Nên trên trc s ta ly đon t
1
đến
2
và chia đoạn đó thành
3
phn và ly
2
ln.
Kết luận:
Mi s hu t đều được biểu din trên trc s.
S hu t
a
b
có th được viết v s thp phân rồi biểu din trên trc s.
Trên trc s, mỗi điểm biu din s hu t
a
được gọi là điểm
.a
Chú ý:
Trên trc số, hai điểm biểu din hai s hu t đối nhau
a
b
a
b
nm v hai phía khác
nhau so với điểm
O
và có cùng khoảng cách đến
.O
3) Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho ba số hu t được biểu diễn bởi ba điểm
,,
ABC
trên trc s như trên hình vẽ. Hi
trong ba điểm đó, điểm nào ln nhất, điểm nào nh nht.
Ta có điểm
A
ln nht
Điểm
C
nh nht
CBA<<
Ví dụ 8: So sánh hai s hu t
5
8
7
8
Ta thy
57
57 .
88
<⇒<
Kết luận:
Ta có th so sánh hai s hu t bất kì bằng cách viết chúng dưới dng phân s ri so sánh.
Vi hai s hu t
,ab
bất kì ta luôn có
ab>
hoc
ab<
hoc
.ab=
Với ba số hu t
,,.abc
Nếu
ab
<
bc<
thì
abc<<
( tính chất bắc cu)
Trên trc s nếu
ab<
thì
a
nằm bên trái
.b
Chú ý:
S hu t dương là số hu t lớn hơn
0.
S hu t âm là s hu t nh hơn
0.
S
0
không là s hu t âm, cũng không là số hu t dương.
So sánh cùng t dương: Phân số nào có mu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn
C th: Nếu
mn>
thì
aa
mn
<
Thêm du âm: Khi ta thêm dáu âm vào hai vế ca một biểu thc so sánh thì ta di chiu
du so sánh
C th: Nếu
ac
bd
>
thì
ac
bd
<−
B. BÀI TẬP.
3
2
-5
3
-2
-1
2
1
0
C
B
A
0
Dạng 1: Nhận biết số hữu tỉ.
Bài 1: Trong các s sau, s nào là s hu t
1
4
12
6
6
5
7
0
3
0
6
5
Bài 2: Trong các s sau, s nào là s hu t
4
1
7
5
4
12
9,1
0,123
2,1
3
4
1, 2
3, 2
0,8
Bài 3: Điền du
,∈∈
/
để th hin các mi quan h sau
1)
4
.....
5
2)
3.....
3)
8
.....
4
4)
1
3 .....
2
5)
6
.....
19
6)
0
.....
10
7)
3
.....
0
8)
9.....
Bài 4: Điền du
,
∈∈
/
để th hin các mi quan h sau
1)
3
.....
4
2)
6
.....
2
3)
9
.....
3
4)
5
.....
6
5)
1
.....
2
6)
0
.....
6
7)
7
.....
7
8)
6.....
Bài 5: Viết các s sau v s hu t:
1)
1
1
6
2)
3
3
5
3)
1
7
2
4)
3
4
7
5)
0,2
6)
3, 2
7)
4,50
8)
1, 22
Bài 6: Viết các s sau v s hu t:
1)
0,1
5
2)
2,2
20
3)
4
2,1
4)
5
3,5
5)
3, 4
1, 7
6)
2,8
0,7
7)
4,9
7,0
8)
0,8
3, 2
Bài 7: Tìm s đối ca các s hu t sau:
3
8
7
12
6
11
5
3
4
9
0
10
0
20
Bài 8: Tìm s đối ca các s hu t sau:
3
5
7
1
4
4
8,8
2,3
1
5,1
5
2,2
2,3
3, 4
Dạng 2. Biểu din và so sánh các số hữu t
Bài 1: Biu din s hu t
35
; ; 2; 0
24
trên trc s.
Bài 2: Biu din s u tỉ
15
1;2;4;4,5
36
trên trc s.
Bài 3: Biu din s hu t
21
1 ; 3,2; 4; 5
33
−−
trên trc s.
Bài 4: Cho biết các điểm
,,ABC
trên trc s trong Hình 1 biểu din s hu t nào?
h 2
-1
N
H
M
0
h 1
A
B
C
1
0
Bài 5: Cho biết điểm
,,MNH
trên trc s trong Hình 2 biểu din s hu t nào?
Bài 6: So sánh các s hu t sau:
1)
3
4
5
4
2)
5
9
6
9
3)
2
7
2
9
4)
7
11
7
12
5)
5
2
6
1
3
6
6)
4
3
13
3
3
13
Bài 7: So sánh các s hu t sau:
1)
5
6
4
5
2)
5
8
3
4
3)
5
3
9
6
4)
9
10
4
5
5)
5
12
1
2
6)
7
4
31
18
Bài 8: So sánh các s hu t sau:
1)
11
12
15
14
2)
9
17
3
2
3)
7
6
6
7
4)
69
68
1
3
5)
28
6
5
6)
4
21
5
Bài 9: So sánh các s hu t sau:
1)
56
57
57
58
2)
15
16
19
20
3)
43
42
53
52
4)
29
14
31
15
5)
9
19
10
21
6)
14
17
21
24
Bài 10: So sánh các s hu t sau:
1)
1212
2323
12
23
2)
414141
676767
41
67
3)
5959
4242
59
42
4)
1010
2121
101010
212121
5)
333
666
444
888
6)
555
888
33
44
Bài 2: CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SHU T
A. LÝ THUYẾT.
1) Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
Ví dụ 1: Thc hin phép tính
1)
51 13
19 19
+
2)
5 11
66
3)
24
5 15
−−
1)
51 13 51 13
19 19 19
−+
+=
38
2.
19
= =
2)
( )
5 11
5 11
66 6
−−
−=
16 8
.
63
= =
3)
24 64
5 15 15 15
−− =
64102
.
15 15 3
−−
= = =
Ví dụ 2: Thc hin phép tính
1)
2
0,6
3
+
2)
( )
1
0,4
3
−−
3)
2
3,5
7



1)
262
0,6
3 10 3
+= +
3 2 9 10
5 3 15 15
=+= +
19
.
15
=
2)
( )
1 14
0,4
3 3 10
−− = +
12 5 6
3 5 15 15
=+= +
11
.
15
=
3)
2 35 2
3,5
7 10 7

−=+


7 2 49 4
2 7 14 14
=+= +
53
.
14
=
Kết luận:
Để cng, tr các s hu t ta thc hiện như cộng, tr các phân s.
Các tính chất cơ bản:
. Giao hoán:
abba
mmmm
+=+
. Kết hp:
abc a c b
mnm mm n

++ = + +


. Cng vi s
0:
00
aa
mm
+=+
. Cng vi s đối:
0
aa
bb

+− =


.
Trong tp hp
ta cũng có quy tắc du ngoặc tương tự như tập hp
.
Đối vi mt tng các s hu t, ta có th đổi ch các s hạng, đặt du ngoặc để nhóm các
s hng một cách tùy ý để tính toán cho thun li.
Ví dụ 3: Thc hin phép tính:
1)
3 3 10
13 2 13
−+
2)
4 37
773

−−


3)
3 11 9
4 8 12
+−
1)
3 3 10
13 2 13
−+
3 10 3
13 13 2
=+−
13 3 3 1
1.
13 2 2 2
= −=−=
2)
4 37
773

−−


437
773
=+−
77 7 4
1.
73 3 3
=−=−=
3)
3 11 9
4 8 12
+−
3 9 11
4 12 8
=−+
3 3 11 11
.
44 8 8
=−+ =
Ví dụ 4: Thc hin phép tính:
1)
15 5 3 18
12 13 12 13

+− +


2)
5 7 3 17
16 15 16 30

−−+


3)
1 1 19
6 6 4 12


−−+




1)
15 5 3 18
12 13 12 13

+− +


15 5 3 18
12 13 12 13
=+−−
15 3 5 18
12 12 13 13
=−+−
12 13
0.
12 13
=+=
2)
5 7 3 17
16 15 16 30

−−+


5 7 3 17
16 15 16 30
=−++
5 3 7 17
16 16 15 30
=+−+
8 14 17
16 30 30
=++
113
.
2 10 5
=+=
3)
1 1 19
6 6 4 12


−−+




1 11 9
6 6 4 12

= −−


111 9
6 6 4 12
=−++
13
1.
44
=+=
2) Nhân, chia hai số hu tỉ.
Ví dụ 5: Thc hin phép tính
1)
4 21
.
78
2)
17 4
:
15 3
3)
57
:
9 18
−−
1)
4 21 3
..
78 2
−−
=
2)
17 4 17 3 17
:..
15 3 15 4 20
= =
3)
5 7 5 18 10
:. .
9 18 9 7 7
−−
= =
Ví dụ 6: Thc hin phép tính
1)
( )
4
5.
15
2)
3
:6
25



3)
7
: ( 3,5)
11
1)
( )
4 5.4 4
5. .
15 15 3
−==
2)
3 31 1
:6 . .
25 25 6 50
−−

= =


3)
7 77
: ( 3,5) :
11 11 2
−−
−=
72 2
..
11 7 11
−−
= =
Kết luận:
Để nhân, chia các s hu t ta thc hiện như cng, tr các phân s.
Các tính chất cơ bản:
. Giao hoán
.
.
.
a b ab
m n mn
=
. Kết hp
..
.. ..
..
a b c abc a c b
mnd mnd mdn
= =
. Nhân vi s 1
.1 1.
a aa
m mm
= =
. Phân phối
.. .
ac bc c a b
md nd d m n

+= +


Nếu s hu t được cho dưới dng hn s, s thp phân thì ta có th viết chúng dưới dng
phân s ri tính hoc tính trc tiếp.
Ví dụ 7: Thc hin phép tính
1)
11 3 2 3
..
9 4 94
2)
11 19 19 5
..
8 3 38
−−
+
3)
3558 5
. .2
11 7 7 11 7
−−
++
1)
11 3 2 3
..
9 4 94
2)
11 19 19 5
..
8 3 38
−−
+
3)
3558 5
. .2
11 7 7 11 7
−−
++
3 11 2
49 9

=


33
.1 .
44
= =
19 11 5
38 8
−−

= +


(
)
19 16 19
. .2
38 3
= =
38
.
3
=
53 8 5
2
7 11 11 7
−−

= ++


( )
55
.1 2
77
= −+
55
2 2.
77
= ++ =
Ví dụ 8: Thc hin phép tính
1)
51 5 512
::
9 11 22 9 15 3

−+


2)
2 3 19 3 5 19
::
5 8 18 5 8 18
−−

+ ++


1)
51 5 512
::
9 11 22 9 15 3

−+


5 2 5 5 1 10
::
9 22 22 9 15 15

= −+


5 35 352255
::. .
9 22 9 5 9 3 9 3
−−
=+= +
5 22 5 5 27
. 5.
9 3 3 93
−−

= += =


2)
2 3 19 3 5 19
::
5 8 18 5 8 18
−−

+ ++


2 3 18 3 5 18
..
5 8 19 5 8 19
−−

=+ ++


18 2 3 3 5
19 5 8 5 8
−−

= ++ +


18 2 3 3 5 18
.0 0.
19 5 5 8 8 19
−−

= + ++ = =


B. BÀI TẬP.
Dạng 1: Tính đơn giản
Bài 1: Thc hin phép tính
1)
32
55
+
2)
43
77
3)
57
13 13
−−
+
4)
37
88

+−


5)
54
99
−−
6)
17 5
11 11
Bài 2: Thc hin phép tính
1)
11
34
+
2)
23
34
3)
32
53
4)
15
52
+
5)
12
45
+
6)
57
65
Bài 3: Thc hin phép tính
1)
15
12 4
2)
32
11 33
+
3)
25 61
7 21
+
4)
2 11
5 30
−−
+
5)
16 5
42 8
6)
15 1
12 4
Bài 4: Thc hin phép tính
1)
35
86
+
2)
27
15 10
3)
43
8 10
−−
+
4)
11
12 10
−−
5)
32
20 30
6)
45
12 18
−+
Bài 5: Thc hin phép tính
1)
3
2
4
+
2)
5
1
3
3)
1
1
5
−+
4)
6
1
5
−−
5)
3
3
7
−+
6)
6
2
7
−−
Bài 6: Thc hin phép tính
1)
32
21
53
2)
31
32
72
+
3)
11
32
24
−−
4)
11
23
24
−−
5)
13
42
2 10
−+
6)
11
67
76

−−


Bài 7: Thc hin phép tính
1)
26 3
7 21 14
+−
2)
7 3 17
2 4 12
+−
3)
1 12
1243
++
4)
1 48
3 5 15
+−
5)
2 32
346
++
6)
559
18 45 6
+−
Bài 8: Thc hin phép tính
1)
20 4
.
41 5
−−
2)
24 15
.
58
3)
4 17
.
34 24
4)
20 5
:
7 21
5)
8 12
:
57
−−
6)
12 1
:
21 6
Bài 9: Thc hin phép tính
1)
14
3.
9 21
2)
31
.2
42
3)
81
.1
15 4
4)
11 1
:1
15 10



5)
11
1: 2
55



6)
16
3 :1
7 49

−−


Bài 10: Thc hin phép tính
1)
4
4,5.
9



2)
4
2,4. 3
7



3)
15
0,2.
4
4)
( )
4
3,5 : 2
5

−−


5)
( )
5
:2
23
6)
1
1, 25 : 3
8



Bài 11: Thc hin phép tính
1)
14 3
4 15 4
−−
++
2)
2 17
3 3 15
++
3)
4 27
5 5 10

−−


4)
324
737
−+
5)
211
343
+−
6)
352
545
−+
Bài 12: Thc hin phép tính
1)
3 15 3
8 25 5
++
2)
3 18
5 25 20
+−
3)
4 27
5 7 10

−−


4)
10 13 1 7
3 10 6 10
+ −+
5)
13 8 22 4
35 24 35 3
++−
6)
1 5 11 5
6 13 12 13
−−
++ +
Bài 13: Thc hin phép tính
1)
3 1 17 3
72 7 2
+− +
2)
11 17 2 17
13 29 13 29
+++
3)
8 15 1 15
9 23 9 23
+ ++
4)
7 6 17 17
10 23 10 23
+++
5)
3 14 25 11
11 25 11 25
+++
6)
7 4 4 10
373 7
−−
+ −+
7)
5 4 17 41
12 37 12 37
++−
8)
11 5 13 36
24 41 24 41
−+
9)
3134
4
16 5 16 5
+− +
Bài 14: Thc hin phép tính
1)
15 1 19 4 3
34 3 34 3 7
++ +
2)
5 8 14 3 30
19 11 19 2 11
+ + +−
3)
11 5 7 8 10
25 13 17 13 17
−− −+
4)
13 6 38 35 1
25 41 25 41 2
+−+
5)
28 10 13 7
3
15 24 15 12
+−+
6)
3 4 1 1 17
2
4 21 4 2 21
+ +−+
Bài 15: Thc hin phép tính
1)
3 12 25
..
4 56
−−
2)
1 25 26
..
5 13 45
−−
3)
17 4 8
..
12 2 34
−−
4)
22 6 7
..
7 55 12
5)
1 15 38
..
6 19 45

−−


6)
15 7 12
..
4 15 5
−−



Bài 16: Thc hin phép tính
1)
5 7 11
. . .( 30)
11 15 5
 
 
 
2)
( )
7 5 15
. . . 32
15 8 7
3)
32 7 3
2. . .
21 4 8
−−
4)
( )
31
2.1.2,2
11 12
5)
( )
11
1 .1 . 5,1
17 24
6)
( )
13 5 25
. . . 64
25 32 13



Bài 17: Thc hin phép tính
1)
33 32
54 4 5

−+ +


2)
33 34
78 87

+ −− +


3)
25 31 7 3
27 42 27 42
−−

−−


4)
17 51
26 26
−−

+− +


5)
16 27 14 5
21 12 12 21

+−−


6)
13 15 10 1
23 4 23 4

+ +−


Bài 18: Thc hin phép tính
1)
2 42
6 24
5 95

−+


2)
3 53
7 25
5 75

−+


3)
2 42
8 34
7 97

−+


4)
2 21
8 45
9 92

−−


5)
4 34
21 1 7
11 5 11

−+


6)
3 43
11 2 5
13 7 13

−+


7)
47 4
63 4
9 11 9

+−


8)
83 8
72 4
9 13 9

+−


9)
57 5
62 4
79 7

+−


Bài 19: Thc hin phép tính
1)
1 1 19
6 6 4 12


−−+




2)
2 7 13
3 4 28


−+




3)
1 1 17
24 4 2 8


−−




4)
3 5 16
2 4 28


−+




5)
9 1 21
7 2 7 10


−−




6)
5 72 1
3 12 3 3


+− +




Bài 20: Thc hin phép tính
1)
11 94
76
53 53

−+ ++


2)
71 1
7 35
12 2 12

+ −+ +


3)
11 53 75
23 32 32
 
−−+
 
 
4)
29 35 29
74 7 4 47
 
−− +−−
 
 
5)
12 16 73
356
43 35 42
 
−+ −+
 
 
6)
21 53 75
653
32 32 32
 
−+ +− −+
 
 
7)
53 52 84
9 2 10
37 73 73
 
−+ + + −−
 
 
8)
92 35 29
8 63
47 74 47
 
−+ −+ +
 
 
Bài 21: Thc hin phép tính
1)
23 52
..
58 85
+
2)
25 32
..
32 43
3)
5 19 12 5
..
7 23 23 7
4)
7 11 7 5
..
2 6 26
5)
11 3 2 3
..
9 4 94
6)
3 13 3 8
..
7 5 75
+
7)
28 58
..
7 19 7 19
+
8)
23 3 17 3
..
15 8 15 8
9)
35 73
..
23 62
10)
7 16 7 3
..
15 13 15 13
+
11)
23 3 13 3
..
7 10 7 10
+
12)
11 19 19 5
..
8 3 38
−−
+
13)
23 163
..
3 11 9 11
−−
+
14)
5 3 13 3
..
9 11 18 11
−−
+
15)
2 5 11 5
..
13 3 13 3
−−
+
16)
9 5 17 5
..
13 17 13 17
−−
+
17)
7 4 57
..
15 9 9 15
−−
+
18)
32339
..
8 14 8 14
−−
Bài 22: Thc hin phép tính
1)
5 31 5 2 5
. .1
17 33 17 33 17
−−
++
2)
5358 5
. .2
7 11 7 11 7
−−

++


3)
9 23 1 9 9
..
10 11 11 10 10
−+
4)
58 58
. .1
4 15 16 15
+−
5)
19 14 25 19 3
. .4
34 43 4
−−
++
6)
1 3531
..
27 7 9 7 9
−−
−+
Bài 23: Thc hin phép tính
1)
10 8 7 10
..
11 9 18 11
+
2)
12 23 12 13
..
25 7 7 25
3)
3 16 2 3
..
7 15 15 7
4)
4 5 12 4
..
13 17 13 17
−−
+
5)
6 13 6 8
..
13 21 13 21
−−
+
6)
2 1 27
..
4 13 24 13
−−
Bài 24: Thc hin phép tính
1)
5151
.17 .47
6363
2)
4141
.19 .39
5353
3)
2 12 1
.15 .10
5 35 3
4)
3131
.13 .33
5454
5)
3131
.26 .44
4545
6)
4 343
.15 .2
13 41 13 41
7)
1 25 1 25
12 . 10 .
54 54
8)
12 12
43 . 13 .
43 43
−−
9)
31 31
16 . 13 .
53 53
−−
Bài 25: Thc hin phép tính
1)
14 14
35 : 45 :
65 65
−−
2)
55 45
4: 5:
97 97
−−
+
3)
72 22
.2 1 .
5 3 53
−−
4)
1 9 19
3: 3:
3 4 3 13
+
5)
12 12
: 4:
9 145 3 145
6)
14 14
19 : 39 :
33 33
7)
24 24
5 : 17 :
37 37
8)
45 45
22 : 7 :
79 79
9)
12 12
13 : 23 :
65 65
10)
23 23
16 : 28 :
75 75
−+
11)
13 13
2: 1:
45 4 5

−−


12)
23 23
16 : 28 :
75 75
−−
 
 
 
13)
17 27
17 : 3 :
33 33
−−
 
+
 
 
14)
55 45
4: 5:
97 97
 
−+
 
 
Bài 26: Thc hin phép tính
1)
321 311
..
734 734

−+ +


2)
51 1 2 51 3 7
..
61 4 5 61 4 5

−+ +


3)
15 4 12 7 9 12
..
11 13 17 11 13 17

+−


4)
94 1 9 5 7
..
5 9 18 5 36 12

−+


5)
15 3 1 15 11 7
..
12 24 12 12 6 8

−+


6)
15 4 12 7 9 12
..
11 13 17 11 13 17

+−


7)
355 465
..
7 11 3 7 11 3
−−

+ ++


8)
7 3 20 5 1 20
..
6 4 21 6 4 21

+−


9)
1 5 20 40 10 20
..
11 45 21 45 11 21

++


10)
7 1 11 5 4 11
..
2 3 23 2 3 23

+ −+


Bài 27: Thc hin phép tính
1)
2104 144
::
3 7 5 375
−−

+ ++


2)
32 5 11 5
::
4 3 11 4 3 11
−−

+ ++


3)
132 442
::
5 7 11 5 7 11

+ +− +


4)
3 1 5 10 13 5
::
7 12 6 7 12 6
−−

+ −+


5)
721 7 1 5
::
8 9 18 8 36 12

−+


6)
3113116
::
5 15 6 5 3 15
−−

−+


7)
100 3 7 23 9 7
::
123 4 12 123 5 15

++


Bài 28: Thc hin phép tính
1)
1 28 8 1 2
3 5. 2 4
2 3 19 19 2 3

+ −+


2)
1 19 1 19
7 2. 3 4.
3 2 23 3 2 23

+ −+


Dng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm
x
)
Bài 1: Tìm
x
biết:
1)
13
34
x +=
2)
13
57
x +=
3)
27
3 12
x
+=
4)
34
5 15
x +=
5)
34
45
x +=
6)
25
36
x +=
7)
13
12 8
x
+=
8)
1 11
12 12
x
+=
9)
25
79
x +=
10)
15
6 12
x+=
11)
45
73
x+=
12)
11
24
x+=
13)
24
37
x+=
14)
54
99
x−+=
15)
31
73
x
+=
Bài 2: Tìm
x
biết:
1)
31
42
x −=
2)
25
57
x −=
3)
25
36
x −=
4)
23
52
x −=
5)
13
24
x −=
6)
11
15 10
x −=
7)
12
23
x
−=
8)
21
54
x
−=
9)
32
53
x
−=
10)
41
73
x
−=
11)
72
53
x−=
12)
22
53
x−=
13)
23
74
x
−=
14)
23
15 10
x
−=
15)
35
8 12
x
−=
Bài 3: Tìm
x
biết:
1)
24
3 27
x =
2)
3 21
5 10
x
=
3)
35
.
7 21
x

=


4)
42
:
75
x
−−
=
5)
8 20
:
15 21
x
=
6)
5 20
:
7 35
x
=
7)
34
:
2 27
x
=
8)
12 26
:
13 27
x
=
9)
2 15
:
5 16
x
−−

=


Bài 4: Tìm
x
biết:
1)
13 3 5
20 5 6
x++=
2)
12 1
35 3
x

+=


3)
2 11
1
33
x+ +=
4)
3 17
5 4 10
x
−= +
5)
3 42
7 53
x
−−
−= +
6)
5 71
6 12 3
x
−−
−= +
7)
3 13
7 45
x

−=


8)
5 31
8 20 6
x
−−

−=


9)
73 3
12 5 4
x
−=
Bài 5: Tìm
x
biết:
1)
1 15
2 36
x

−+=


2)
3 14
4 25
x

−+ =


3)
5 11
6 36
x

−+=


4)
1 51
2 64
x

−− =


5)
17 7 7
6 64
x

−− =


6)
33 2
35 5 7
x

+=


7)
3 25
4 36
x

−− =


8)
1 15 3
2 64
x

−− =


9)
11 2 2
12 5 3
x

+=


10)
73 5
12 8 6
x

−=


11)
53 5
12 8 6
x

−=


12)
11 2 3
12 5 4
x
−−

−=


Bài 6: Tìm
x
biết:
1)
3 15
2 22
x +=
2)
3 24
5 35
x +=
3)
31
5
42
x
+=
4)
3 12
4 55
x −=
5)
3 13
4 27
x
−=
6)
2 12
5 33
x −=
7)
3 61
5 77
x
−=
8)
3 11 2
5 45
x −=
9)
22
1
53
x −=
10)
23 1 5
3 43
x −=
11)
115
4 39
x
−=
12)
3 21
5 75
x
−=
13)
1
25
2
x −=
14)
14
2
39
x −=
15)
37
3.
5 10
x
−=
16)
12 4
23 5
x+=
17)
35 7
42 2
x+=
18)
52 3
7 3 10
x
+=
19)
31 5
44 6
x
+=
20)
31 1
44 2
x
+=
21)
12 1
33 2
x+=
22)
52
1
33
x
−=
23)
81 2
99 3
x
−=
24)
45 1
33 2
x
−=
25)
73 1
44 2
x−=
26)
31 2
:
44 5
x+=
27)
21 3
:
33 5
x+=
28)
21 4
:
33 3
x+=
29)
41 2
:
53 3
x+=
30)
25 3
:
32 4
x+=
31)
31 3
:
7 7 14
x+=
32)
1 11 3
:
5 10 4
x+=
33)
11 1
:
32 5
x
+=
34)
31
:2
44
x
+=
35)
51
:2
66
x
−−
+=
36)
1 3 11
:
4 4 36
x
−=
Bài 7: Tìm
x
biết:
1)
12
3 0,6
5
x −=
2)
41
1, 25
32
x
−=
3)
11 5
0,25
12 6
x−+ =
4)
21
0,2
33
x+=
5)
15 3
1, 5 .
24
x−+ =
6)
51
46
11 11
x +=
7)
2 15
1
3 46
x −=
8)
11
2 9 20
44
x −=
9)
344
3
7 75
x
+=
Bài 8: Tìm
x
biết:
1)
( )
51 5
. 2. 1
84 4
x+ −=
2)
81
: 21
77 3
x

−=


3)
( )
11 1
5 .2 1
22 2
x +=
4)
( )
21
1: 5
54
x

−=


5)
31 1
0,5. : 1
72 7
x

−=


6)
( )
22
3 : 10
35
x

−=


Bài 9: Tìm
x
biết:
1)
12
20
23
xx

+ −=


2)
( )
1
412 0
3
xx

+ −+ =


3)
(
)
1
5 12 0
3
xx

−=


4)
( )
3
23 10
4
xx

+=


5)
( )
4
32 2 0
7
xx

+=


6)
(
)
3
57 3 0
7
xx

−=


7)
37 9
60
7 5 10
xx

−=


8)
1 7 63
:0
3 9 52
xx

−=


9)
2 41
0
3 92
xx

+=


Dạng 4. Tính tổng và tính biểu thức
Bài 1: Tính tng
1)
222 2
.....
1.3 3.5 5.7 99.101
A = + + ++
2)
444 4
.....
1.3 3.5 5.7 99.101
A = + + ++
3)
8 1 1 1 11
.....
9 72 56 42 6 2
A =−−−−−
4)
222 2
1 .....
3.5 5.7 7.9 63.65
A = −−
5)
6)
19 9 9
.....
19 19.29 29.39 1999.2009
A =+ + ++
Bài 2: Tính giá tr biểu thc
1)
222
212 213 214
333
212 213 214
B
+−
=
+−
2)
55 5
5
3 9 27
88 8
8
3 9 27
A
−+
=
−+
3)
422
50
13 15 17
844
100
13 15 17
B
−+
=
−+
4)
66 6
7 19 31
99 9
7 19 31
B
+−
=
−+
Bài 3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TNHIÊN CỦA MT SHU TỈ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Ví dụ 1: Viết các tích sau v dạng lũy thừa ri ch ra cơ số và s
1)
(
) (
)
( )
5. 5. 5
−−−
2)
3333
...
7777
3)
222
..
555
−−−
1)
( )
(
) (
) ( )
3
5. 5. 5 5−−−=
Cơ số
5,
s
3.
2)
4
3333 3
...
7777 7

=


Cơ số
3
,
7
s
4.
3)
3
222 2
..
555 5
−−−

=


Cơ số
2
,
5
s
3.
Kết luận:
Lũy thừa bậc
n
ca s hu t
x
kí hiu là
là tích ca
n
tha s
x
vi
, 1.nn∈>
Tng quát:
. . ....
n
x xxx x=
( n tha s
x
) vi
, , 1.xnn∈∈>
Đọc là
x
n
hoc
x
lũy thừa
n
x
gọi là cơ số,
n
gi là s .
Quy ước:
( )
01
1 0, .x x xx=≠=
Chú ý:
Lũy thừa ca một tích bằng tích các lũy thừa:
( )
..
n
nn
ab a b
=
Lũy thừa ca một thương bằng thương các lũy thừa:
( )
0.
n
n
n
aa
b
b
b

=


Ví dụ 2: Tính:
1)
2
4
7



2)
3
1
2



3)
2
1
1
4



1)
2
4 16
7 49

=


2)
3
11
28
−−

=


3)
22
1 5 25
1
4 4 16

= =


Ví dụ 3: Tính
1)
33
23
.
34



2)
22
67
:
18 3



3)
12
12
5
6
1)
33 3 3
2 3 23 1 1
.. .
343428
 
= = =
 
 
2)
22 2 2
6 7 67 1 1
:: .
18 3 18 3 7 49
 
= = =
 
 
3)
12
12
12
55
.
6
6

=


Ví dụ 4: Tách thành tích các lũy thừa
1)
( )
6
15
2)
( )
5
55
3)
( )
3
21
1)
(
) ( )
66
66
15 3.5 3 .5= =
2)
( ) ( )
55
55
55 5.11 5 .11= =
3)
( ) ( )
33
33
21 3.7 .3 .7= =
2) Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.
Quy tắc:
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta gi nguyên cơ số và cng hai s
..
m n mn
aa a
+
=
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác
0,
ta gi nguyên cơ số và tr s
:
m n mn
aa a
=
vi
0, .x mn≠≥
Chú ý:
Mọi lũy thừa có s mũ chẵn đều có kết qu dương
nn
aa
bb

−=


vi
n
là s chn.
Ví dụ 5: Tính:
1)
52
11
.
66



2)
53
11
:
22

−−


3)
42
33
:
77



1)
52 7
11 1
.
66 6
 
=
 
 
2)
53 2
11 1
:
22 2

−=


3)
42
33
:
77



42 2
33 3
:
77 7
 
= =
 
 
3) Lũy thừa của lũy thừa.
Quy tắc:
Khi tính lũy thừa ca một lũy thừa, ta gi nguyên cơ số và nhân hai s
(
)
.
n
m mn
aa=
Ví dụ 6: Tính
1)
( )
4
3
2
2)
( )
4
3
4
3)
2
4
2
5







1)
( )
4
3 3.4 12
2 22= =
2)
(
)
4
3 3.4 12
4 44−==
3)
2
48
22
.
55

 
=

 
 


B. BÀI TẬP.
Dạng 1: Thực hin phép tính
Bài 1: Thc hiện phép tính ( Tính lũy thừa)
1)
2
3
2



2)
3
2
3



3)
3
1
3



4)
2
3
4



5)
3
2
3



6)
2
2
5



7)
2
6
5



8)
1
1
2



9)
0
9
21



Bài 2: Thc hiện phép tính ( Tính lũy thừa)
1)
2
1
3
2



2)
2
1
2
5



3)
2
2
1
3



4)
2
3
2
5



5)
4
1
1
2



6)
2
2
1
5



7)
3
1
2
4



8)
1
3
1
4



9)
0
10
9
11



Bài 3: Thc hiện phép tính ( Tính lũy thừa)
1)
( )
3
0,3
2)
( )
2
0,5
3)
( )
2
1,1
4)
( )
2
1, 2
5)
2
1, 4
6)
2
3,5
7)
3
0,25
8)
3
0,8
9)
( )
0
0,987
Bài 4: Thc hiện phép tính ( Lũy thừa ca một tích, thương)
1)
88
89
.
34



2)
12 12
3 21
.
75



3)
55
4 26
.
13 5



4)
44
12 35
.
7 16



5)
13 13
6 49
.
7 18



6)
12 12
1 13
:
4 12



7)
44
10 5
:
36
−−



8)
19 19
4 12
:
7 35



9)
11 11
4 16
:
7 28



Bài 5: Thc hiện phép tính ( Lũy thừa ca một tích, thương)
1)
5
5
1
.5
5



2)
9
9
2
.5
5



3)
3
3
4
.3
9



4)
( )
2
4
3
.7
7



5)
( )
6
12
4
11 .
11



6)
( )
7
8
5
6.
6



Bài 6: Thc hiện phép tính ( Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số)
1)
78
33
.
55



2)
73
22
.
77



3)
56
66
.
55



4)
79
77
.
13 13
−−



5)
9 11
22
.
77

−−


6)
43
44
.
11 11


−−

7)
95
44
:
99



8)
11 7
55
:
99
 
 
 
9)
12 11
11 11
:
44
−−



10)
66
13 13
:
66



11)
7
33
:
55

−−


12)
75
22
:
13 13
−−



Bài 7: Thc hiện phép tính ( Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số)
1)
25
22
.
33



2)
74
66
.
55



3)
47
66
.
55



4)
11 8
44
.
99



5)
10 7
11
:
55



6)
82
33
:
88



7)
11 4
66
:
13 13



8)
13 13
44
:
99



9)
96
77
:
13 13



Bài 8: Thc hiện phép tính ( Lũy thừa của lũy thừa)
1)
99
0
3
5







2)
0
5
1
5







3)
5
2
3
7







4)
6
5
3
4







5)
3
2
2
3







6)
2
2
1
2







Bài 9: Thc hin phép tính
1)
3
4
15
5
2)
3
4
21
7
3)
3
5
55
11
4)
6
8
6
3
5)
( )
2
4
45
9
6)
4
5
26
13
Bài 10: Thc hiện phép tính ( Lũy thừa ca lũy thừa, lũy thừa ca mt tích)
1)
10
8
8
4
2)
23
10
4 .4
2
3)
25
20
8 .4
2
4)
73
52
2 .9
6 .8
5)
15 4
63
2 .9
6 .8
6)
73
32
2 .9
6 .8
7)
15 10
34 13
6 .9
3 .2
8)
2 11
23
9 .2
16 .6
9)
54
33
4 .9
8 .27
10)
43
52
27 .4
9 .8
11)
29 16
9 11
3 .4
27 .8
12)
20 35
37 12
4 .3
2 .27
13)
72
25
6 .4
9 .12
14)
23
32
15 .9
25 .27
15)
44
55
5 .20
25 .4
Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm
x
)
Bài 1: Tìm
x
biết:
1)
57
33
.
44
x
 
=
 
 
2)
24
22
.
33
x
 
=
 
 
3)
24
22
.
55
x
 
−=
 
 
4)
2
22
:
33
x

=


5)
3
11
:
22
x
−−

=


6)
78
99
:
55
x
−−

=


7)
10 8
55
:
99
x
−−
 
=
 
 
8)
24
11
:
33
x

−=


9)
54
44
:
55
x

=


Bài 2: Tìm
x
biết: ( Cùng s mũ)
1)
( )
3
1
1
8
x −=
2)
( )
3
27
3
64
x
−=
3)
( )
3
1
5
27
x −=
4)
(
)
2
4
4
9
x
−=
5)
(
)
2
1
5
16
x
−=
6)
(
)
2
4
1
49
x
+=
Bài 3: Tìm
x
biết: ( Cùng s mũ)
1)
3
1
8
2
x

−=


2)
3
1 27
28
x

−=


3)
3
18
3 27
x

−=


4)
3
18
3 27
x

−=


5)
3
51
28
x

−=


6)
3
18
8 125
x

−=


7)
2
11
2 16
x

+=


8)
2
39
2 16
x

−=


9)
2
51
6 36
x

−=


10)
2
29
5 16
x

+=


11)
2
1 16
12 9
x

+=


12)
2
41
7 49
x

−=


Bài 4: Tìm
x
biết: ( Cùng s mũ)
1)
(
)
3
8
21
27
x
−=
2)
( )
2
1
21
4
x −=
3)
( )
2
9
23
4
x−=
4)
( )
2
16
21
25
x
+=
5)
( )
2
36
51
49
x +=
6)
( )
2
2
3
34
4
x

−=


7)
2
24
1
39
x

−=


8)
2
31
7x
44

−=


9)
2
41 4
72 9
x

−=


10)
3
1
3. 81
2
x

−=


11)
3
1 27
2.
44
x

+=


12)
3
11
:3
2 81
x

+=


13)
2
24
1:
39
x

−=


14)
2
1 16
21
5 25
x

+=


15)
2
2 14
3
5 5 25
x

−=


Bài 5: Tìm
x
biết: ( Cùng cơ số)
1)
11
2 32
x

=


2)
7 49
5 25
x

=


3)
3 27
5 125
x

=


4)
39
24
x

−=


5)
4 16
9 81
x

=


6)
28
3 27
x
−−

=


Bài 6: Tìm
x
biết:
1)
21
11
28
x

=


2)
21
11
3 27
x+
−−

=


3)
52
22
33
x

=


4)
2. 1
3 27
4 64
x
−−

=


5)
31
11
3 81
x+

−=


6)
3. 4
6 36
7 49
x+

=


Bài 7*: Tìm
x
biết:
1)
32
114
3 3 27
xx++
 
+=
 
 
2)
41
1 19
2 2 32
xx++
 
+=
 
 
3)
21
2 2 20
3 3 27
xx++
 
+=
 
 
4)
11
3 3 117
2 2 16
xx−+
 
+=
 
 
5)
21
1 16
5 5 25
xx−−
 
+=
 
 
6)
32
2 2 10
7 7 49
xx−−
 
−=
 
 
Bài 8*: Tìm
x
biết:
1)
1 25
1 1 23
.3 .3 .3
7 2 14
xx++
+=
2)
3 15
4 4 4 .117
5 7 35
xx++
+=
3)
12
1 1 148
22
20 5 5
xx++

+=


4)
34
5 275
5 .5
62
xx
++
+=
Dạng 3: So sánh
Bài 1: So sánh
1)
3
5
2
2
5
3
2)
5
7
2
2
7
5
3)
0
300
3
2



và và
1
0
300



Bài 2: So sánh
1)
24
1
2



36
1
3



2)
50
1
5



75
1
3



3)
300
1
2



200
1
3



4)
30
1
16



20
1
8



5)
11
1
16



9
1
32



6)
6
1
32



7
1
16



Bài 3*: So sánh
75
88
33
P = +
75
97
33
Q
= +
Bài 4*: So sánh
14
15
14 1
14 1
A
+
=
+
15
16
14 1
14 1
B
+
=
+
Bài 5*: So sánh
20
19
17 1
17 1
M
+
=
+
17
16
17 1
17 1
N
+
=
+
Bài 4. THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH
QUY TẮC CHUYỂN VẾ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Thứ tthc hin các phép tính.
Quy tắc:
Với các biểu thc ch có cng, tr hoc nhân, chia ta thc hin các phép tính t trái qua
phi.
Với các biểu thc không có du ngoc ta tính lũy tha
nhân, chia
cng, tr.
Với các biểu thc có du ngoc, ta thc hin trong ngoặc trước, ngoài ngoc sau
(
)
[ ]
{ }
⇒⇒
Ví dụ 1: Thc hin phép tính
1)
43
31:
54
2)
2 8 5 14
:.
3 9 7 15
3)
35 3 2
. :2
48 4 3
+
1)
43
31:
54
9 4 12
3. 3
53 5
−−
=−=
27
.
5
=
2)
2 8 5 14
:.
3 9 7 15
29232
.
38 3 4 3
= −=−
1
.
12
=
3)
35 3 2
. :2
48 4 3
+
15 3 3 15 9
.
32 4 8 32 32
=+=+
24 3
.
32 4
= =
Ví dụ 2: Thc hin phép tính
1)
32 1
: 2 0, 25
55 4

+−


2)
1
1 1: 2 1: 1
2



+−






3)
155 19
1: .
48 3 4 4



+ −−






1)
32 1
: 2 0, 25
55 4

+−


3291
:
55 44

=+−


32 321
:2 .
55 552
=+=+
314
.
555
=+=
2)
1
1 1: 2 1: 1
2



+−






1
1 1: 2 1:
2


=−+




[ ]
{ }
1 1: 2 2=−+
13
1.
44

=−=


3)
155 19
1: .
48 3 4 4



+ −−






5 5 23 9
:.
4 8 12 4


= +




5 5 69
:
4 8 16

= +


5 79 5 16 20
: ..
4 16 4 79 79

= = =


2) Quy tắc chuyn vế.
Quy tắc:
Khi chuyn mt s hng t t vếy sang vế kia ca một đẳng thc, ta phải đổi du s
hạng đó, từ
""+
thành
""
và t
""
thành
" ".
+
Nếu
ab ba=⇒=
Nếu
ab acbc=+=+
Ví dụ 3: Tìm
x
biết:
1)
11
3
25
xx=−+
2)
11 5
42 6
xx+=
3)
3 13
1
2 25
xx−= =
1)
11
3
25
xx
=−+
11
3
25
xx⇒+ =+
3 16
25
x⇒=
16 3 32
:.
5 2 15
x⇒= =
2)
11 5
42 6
xx+=
1 51
2 64
xx
⇒− =
1 13
2 12
x
⇒=
13 1 13
:.
12 2 6
x
−−
⇒= =
3)
3 13
1
2 25
xx
−= =
31 3
1
22 5
xx
⇒−=+
88
2 :2
55
xx =⇒=
4
.
5
x⇒=
B. BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hin phép tính
Bài 1: Thc hin phép tính
1)
25 1
.
38 6
+
2)
2 1 10
.
3 57
+
3)
323
.
5 54
+
4)
234
.
3 49
+
5)
213
.
5 54
+
6)
234
.
3 49
+
7)
5 3 21
.
4 78
+
8)
7 27 1
.
12 7 18
9)
( )
31
.3
44
+−
10)
2 35 4
.
7 57 7
+−
11)
5 95 5
.
8 4 3 24
+−
12)
5 7 15 3
:
36 9 8 2
+−
13)
5 4 31
:
12 5 4 4
+−
14)
23 3 1
:
55 2 2

++


15)
2 53 1
:
3 34 4
−+
Bài 2: Thc hin phép tính
1)
2 13
4
3 24

−+


2)
1611
.
7723

+−


3)
15
.11 7
36

+−


4)
942
:1
10 5 5

−+


5)
31 12
:
22 43

−−


6)
3 2 17 3
:
4 3 24 4

+−


Bài 3: Thc hin phép tính
1)
2
12
12.
33

+


2)
2
15
18.
22

+


3)
2
27
15.
33

−−


4)
2
1 22
.3 :
3 93



5)
32
19 1
.
34 2



6)
2
31
1 :6
22

−−


7)
2
1
31
3: .6
29

+


Bài 4: Thc hin phép tính
1)
2
12 8
339

+− +


2)
2
51
3
22

+−


3)
3
1 8 26
3 9 27

+−


4)
02
1 42
2
7 93
 
+−
 
 
5)
2
1
1 1, 2
2

−+


6)
2
2
1 2,5
3

−−


Bài 5: Thc hin phép tính
1)
97
12 2 5
:
23 3 6

−+


2)
33 2
3 7 24
.:
7 6 33
 
+
 
 
3)
42
49 4 4
::
7 14 3 3

+


4)
21 19
4 22
1:
3 33
−−

+−


5)
53
546 3 3
.:
237 2 2

−+


6)
20 8 8
10 0
1 34
25 . . 2011
5 43

+−


7)
10 10
4
0
4
3 5 13
. 2014
53
39
 
−+
 
 
8)
( ) ( )
76
53
17 17
0,5 : 0,5 :
22

−−


Bài 6: Thc hin phép tính
1)
22
2
313
.4 : 2 2
424
 
−−
 
 
2)
2 33
2
3 13
.5 2 : 3
5 44

−−


3)
32
11 11
25. 2.
55 22
−−
 
+−
 
 
4)
320
111
4. 3. 2.
222
  
+−
  
  
5)
20
2
11 1
.4 .3
2 3 2020

++


6)
20
2 22
5. 2. 4.
5 55
 
+−+
 
 
7)
20
2 22
3. 2 4
3 33
−−
 
−+
 
 
8)
20
2 9 15
9. 2. 4.
327
−−

++


9)
3 23
2 32
4. 1
3 43

+−


10)
1 02
1 61
:2
3 72
−−
 
−+
 
 
11)
22
20
11 11
25. 9.
55 9 9
−−
 
+− +
 
 
12)
23 0
1 1 2015
.64
3 4 2016

+− +−


13)
( )
2
3
11 2 7 2
: 3 .7 9
33 3 9 3

+−


Bài 7: Thc hin phép tính
1)
1 1 19
6 6 4 12


−−+




2)
03
15 1 6 1 1 1
. . 2.
7 3 11 8 7 2


−−





3)
( )
0
2
3
2
11 1
2 3. 2 : :8
22
2

+−



4)
2
3 2: 1 3: 2 1: 3
13



++ −+






Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm
x
)
Bài 1: Tìm
x
biết:
1)
12 3
3.
35 4
x−+ =
2)
12 7 1
.
10 5 20 10
x
+ +=
3)
1 51
4 68
x

−− = +


4)
31 1
3
22 3
x =−+
Bài 2: Tìm
x
biết:
1)
115 5
:9
2 37 7
x

+=


2)
11 5 15 11
13 42 28 13
x

−=


3)
1 3 7 11
1 :3 :
5 5 4 48
x

−+ = +


4)
3 1 31
21
2 3 48
x

−− =


5)
34 2 3
:2 3 2
49 3 4
x

−− + =


6)
15 1 5
: 0,5
884 4
x

−=


7)
23 8 8
.
3 8 5 15
x

+ −=


8)
3
11 1 15 5
4 2 12 8
x


−+ =





Bài 3: Tìm
x
biết:
1)
2 23
1
3 55
xx−=
2)
1
23
2
xx−=+
3)
1 3 33
2 5 25
xx
+=
4)
51 3
2
23 2
xx +=
5)
2 21 1
3 52 3
xx−=
6)
1 11 3
. 2 3.
2 22 4
xx+=
7)
12
1, 5 2 1, 5
33
xx−=
8)
5 17
3
12 3 12
xx+=
9)
11 4
10
6 10 15
xxx+ +=
Bài 4: Tìm
x
biết:
1)
( )
12
10
35
xx+ +=
2)
( )
1 17
25
55
xx+ −=
3)
(
)
1
4 213
3
xx x
+ =−+
4)
( )
11 3
22
22 4
xx x+ −=
5)
11 25
34
22 36
xx

+− =


6)
( )
21 3 1
2. 1 5
33 2 2
xx

+=


7)
11 7 3 61
.
15 9 8 90 3
x
x

−+ =+


8)
( )
(
)
12
2 3 1 23
33
xx x

−=


CHƯƠNG II. SỐ THC
Bài 5. LÀM QUEN VỚI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN
A. LÝ THUYẾT.
1) Số thp phân hu hạn và số thp phân vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1:
a) Khi ta chuyn s hu t
12
5
thành s thp phân là
2,4
. Nhn thy s thp phân
2,4
ch
1
ch s
4
sau du
","
nên được gi là s thp phân hu hn.
b) Khi ta chuyn s hu t
5
3
thành s thp phân
1,666.....
. Nhn thy s thp phân
1,666.....
có vô s các ch s
6
sau du
","
nên gi là s thp phân vô hn tun hoàn vi chu kì là
6.
Kết luận:
S thp phân hu hn là s thp phân có hu hn các ch s sau du
","
S thp phân vô hn tun hoàn là s thp phân có vô s các s sau du
","
và các s đó
có tính chu kì ( lp li)
Mi s hu t đều được viết dưới dng s thp phân hu hn hoc vô hn tun hoàn.
Ví dụ 2: S hu t
7
33
được viết thành
( )
7
0,212121... 0, 21
33
= =
là s thp phân vô hn tun
hoàn vi chu kì
21.
Chú ý:
S hu t sau khi rút gn mà mẫu có ước nguyên t khác 2 và
5
thì viết được dưới dng
s thp phân vô hn tun hoàn.
Cách đổi mt s thp phân vô hn tun hoàn, ta da vào các biến đổi cơ bản sau
( )
1
0, 1
9
=
( )
1
0, 01
99
=
( )
1
0, 001
999
=
Ví dụ 3: Đưa các s thp phân sau v s hu t
1)
( )
1, 8
2)
( )
0, 23
3)
( )
2,0 2
1) Ta có
(
) ( ) ( )
1 17
1, 8 1 0, 8 1 8.0, 1 1 8.
99
=+ =+ =+=
2)
( ) ( )
1 23
0, 23 23.0, 01 23.
99 99
= = =
3)
( ) ( )
( )
( )
0, 2
1 1 1 91
2,0 2 2 0,0 2 2 2 .2.0, 1 2 .
10 10 5 9 45
=+ =+ =+ =+=
2) Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trưc.
Ví dụ 4: Làm tròn các s sau đến ch s hàng đơn vị
1)
12,3
2)
3, 6
3)
6,5
1)
12,3 12
2)
3, 6 4 ≈−
3)
6,5 7
Kết luận:
Khi làm tròn s đến một hàng nào đó, kết qu làm tròn có độ chính xác bng mt nửa đơn
v hàng làm tròn.
Ta có th s dng bng sau
Hàng làm tròn
Trăm
Chc
Đơn vị
Phn i
Phần trăm
Độ chính xác
50
5
0,5
0,05
0,005
Ta có th ước lượng kết qu các phép tính bng cách làm tròn ri thc hin tính toán.
Ví dụ 5: Ước lượng kết qu các phép tính sau bằng cách làm tròn đến hàng đơn vị
1)
5,34 6,9+
2)
12,78 8,8
3)
3,14 . 5,9
1)
5,34 6,9+
5 7 12≈+=
2)
12,78 8,8
13 9 4 −=
3)
3,14 . 5,9
3 . 6 18≈=
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Tìm hiểu sthp phân hu hạn và vô hạn tun hoàn
Bài 1: S dng chu kì, hãy viết gn các s thp phân sau
1)
3,999...
2)
2,212121...
3)
0,363636...
4)
4,343434...
5)
0,580580...
6)
6,1343434...
7)
0,62313131...
8)
0,123123123...
9)
1,2333...
10)
3,24545...
11)
1,525252...
12)
1,020202...
13)
6,676767...
14)
23,0232323...
15)
5,0212121...
16)
0,01919.....
Bài 2: Viết các s hu t sau v s thp phân ( hu hn)
1)
7
5
2)
13
2
3)
11
10
4)
21
50
5)
13
4
6)
13
5
7)
13
5
8)
3
2
9)
23
10
10)
7
20
11)
26
25
12)
8
25
Bài 3: Viết các s hu t sau v s thp phân ( vô hn tun hoàn)
1)
7
3
2)
11
3
3)
7
6
4)
15
7
5)
1
7
6)
9
7
7)
11
6
8)
5
3
9)
15
11
10)
9
13
11)
6
15
12)
31
30
Bài 4: Viết các s thp phân hu hn sau v s hu t
1)
1, 23
2)
4,3
3)
0,27
4)
0,45
5)
3, 08
6)
0,05
7)
0,06
8)
5,08
Bài 5: Viết các s thp phân vô hn tun hoàn sau v s hu t ( hoc hn s)
1)
( )
0, 3
2)
( )
1, 4
3)
( )
2, 5
4)
( )
3, 1
5)
( )
2, 2
6)
( )
1, 6
7)
( )
0, 8
8)
( )
9, 7
9)
( )
0, 01
10)
(
)
1, 02
11)
( )
2, 03
12)
( )
3, 05
13)
( )
1, 12
14)
( )
0, 32
15)
( )
2, 15
16)
( )
4, 36
17)
( )
0,0 12
18)
( )
1, 0 3
19)
( )
6,0 30
20)
( )
12,0 60
Dạng 2. Thực hin phép tính
Bài 1: Tính
1)
52
0,5
63
+−
2)
( )
( )
2
1, 6 1, 2
7

+ −−


3)
( )
53
0, 3
64
−+
4)
(
) (
)
2
0,3 1,3
7
−+
5)
27
3,5
11 2

+−


6)
( )
31
0,8 3
8 10

−+


Bài 2: Thc hin phép tính
1)
( )
13 1
14. . 2 :1, 3
44 4
2)
( )
122
. . 0, 6
233

−



3)
( ) ( )
11 5
.6, 3 6, 3 .
88

−+


4)
(
)
( )
55
.0,5 3 .0,5 3 1
4 16
+−
Bài 3: Thc hin phép tính
1)
(
)
3
2
1
27.2, 6 4
2

−−


2)
( )
3
8 26
0, 3
9 27
+−
3)
( ) ( )
0
2
3
2
11
2 3. 3 : 0, 3 :8
3
3


+−



4)
( )
3
0
15 1 1 1 1
. .0, 54 2 .
73 8 72

−−



Bài 4: Thc hin phép tính
1)
( )
( )
2
1 21 7
1 . 2, 6 2 .
2 53 5

−+−



2)
( )
2
3
2
19 3 2
4 .0, 6
5 10 75

−+


3)
( )
3
2
11
0, 6 .9 :
4 64



4)
( )
6
31 31 1
: 0,1 6 : 1
5 15 5 3 15

−−

−+





Dạng 3. So sánh
Bài 1: So sánh
1)
( )
4, 15
( )
4,1 15
2)
(
)
2,3 16
( )
2,33 16
3)
(
)
3, 23
( )
3, 2 23
4)
( )
0,0 15
(
)
0,00 15
Bài 2: So sánh
1)
( )
0, 15
0,15
2)
(
)
3, 33
3,33
3)
(
)
2, 23
2,233
4)
( )
1, 0 23
1,02322
Bài 3: So sánh
1)
( )
2, 34
( )
2,3 43
2)
( )
4, 03
( )
4,0 30
3)
( )
0, 14
( )
0,1 41
4)
( )
1, 17
( )
1,1 71
Bài 4: So sánh
1)
2
3
( )
0, 6
2)
4
9
(
)
0, 4
3)
( )
0,4 6
8
15
4)
5
12
( )
0,41 6
5)
8
3
( )
2, 3
6)
( )
0, 2
2
9
Dạng 4: Làm tròn số
Bài 1: Làm tròn các s sau với độ chính xác
0,5.
1)
6,6
2)
14,3
3)
9,4
4)
3,51
5)
0,19
6)
9,82
7)
7,505
8)
1,199
Bài 2: Làm tròn các s sau đến ch s hàng phn i.
1)
1,4545
2)
2,9393
3)
0,6464
4)
5,5151
5)
6,3838
6)
0,1919
7)
3,5454
8)
1,858
Bài 3: Làm tròn các s sau đến hàng phần trăm
1)
( )
2, 4
2)
( )
0, 7
3)
( )
5, 9
4)
(
)
3, 5
5)
(
)
4, 2
6)
( )
5, 6
7)
(
)
0, 8
8)
(
)
1, 5
Bài 4: Làm tròn các s sau đến hàng phần trăm
1)
(
)
0, 35
2)
( )
1, 97
3)
(
)
3, 45
4)
(
)
4, 29
5)
(
)
9, 13
6)
( )
0, 19
7)
( )
3, 78
8)
( )
9, 50
Bài 5: Ước lượng kết qu phép tính bằng cách làm tròn đến hàng đơn vị ri tính
1)
12,21 5,9
+
2)
4,99 5,1
3)
21,09 . 4,99
4)
6,881 3,222−−
5)
4,15 4,91−+
6)
20,08 : 4,92
Bài 6: Ước lượng kết qu phép tính bằng cách làm tròn đến hàng chc ri tính
1)
133 777+
2)
612 81+
3)
345 159+
4)
1458 642−+
5)
( )
1329 274−−
6)
6666 7777−−
Bài 7: Ước lượng kết qu phép tính bằng cách làm tròn đến độ chính xác
0,5
ri tính.
1)
( ) ( )
4, 65 9, 12+
2)
( ) (
)
8, 38 5, 38−+
3)
( ) ( )
7, 7 8, 4
4)
( ) (
)
4, 4 9 5,8 1−−
5)
( ) ( )
12, 7 . 3, 12
6)
( ) ( )
9, 49 : 5, 09−

Bài 6. SỐ VÔ TỈ, CĂN BẬC HAI SỐ HC
A. LÝ THUYẾT.
1) Số vô tỉ.
Ví dụ 1: Tìm s hu t
x
sao cho
.3xx=
Ta không th m được s hu t nào mà
2
3x =
Nhưng bằng máy tính, người ta tính đưc s đó là
1,73205080757.....
x =
S trên không phi s thp phân hu hn hay vô hn tun hoàn mà là s thp phân vô hn
không tuần hoàn nên được gi là s vô t.
Kết luận:
S vô t là s được viết dưi dng s thp phân vô hn không tun hoàn.
Tp hp các s vô t được kí hiu là
.
I
2) Căn bậc hai số hc.
Căn bậc hai s hc ca mt s
a
không âm, kí hiu là
a
là mt s
x
không âm sao cho
2
.
xa
=
Chú ý:
Căn bậc hai s hc ca mt s luôn có kết qu không âm ( tc
0
).
Ví dụ 2: Tính căn bậc hai s hc ca các s sau
1)
4
2)
9
3)
1
4)
100
1)
42=
2
24=
2)
93
=
2
39=
3)
11=
2
11=
4)
100 10=
2
10 100=
Ví dụ 3: Tính căn bậc hai s hc ca các s sau
1)
16
2)
0
3)
0,64
4)
25
49
1)
16 4−=
2)
00=
3)
0,64 0,8=
4)
25 5
49 7
−=
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Thực hin phép tính
Bài 1: Tính
1)
16
2)
36
3)
64
4)
91
5)
121
6)
144
7)
169
8)
196
9)
255
10)
400
11)
900
12)
25
Bài 2: Tính
1)
0,04
2)
0,09
3)
0,25
4)
0,36
5)
0,49
6)
1, 21
7)
2,25
8)
0,64
Bài 3: Tính
1)
2
1
2)
2
5
3)
2
13
4)
2
36
5)
( )
2
7
6)
( )
2
9
7)
( )
2
49
8)
( )
2
100
9)
( )
2
25−−
10)
( )
2
36−−
11)
( )
2
1−−
12)
2
0−−
Bài 4: Tính
1)
1
4
2)
25
49
3)
64
81
4)
100
9
5)
17 8
16
+
6)
36
100 36
7)
11
1
36
8)
1
2
4
+
Bài 5: Thc hin phép tính
1)
95
16
36
−+
2)
4
25 3
9
3)
4
0,36
3
+
4)
2
25 3
7
16 2
+−
5)
49
25 0,25
4
−+
6)
3 4 16
97
49
−+
7)
(
)
1
0,15 0,01
9
−− +
Bài 6: Thc hin phép tính
1)
16. 4 25 2 49
−+
2)
121. 225 81 3 9−−
3)
22
6 8 3 25
+−
4)
22
2 400 2 100 4 3 ++
5)
2
64.23 2. 23 144+−
6)
0,25 3. 0,49 1,44−+
7)
0
2
11
2 5.
39

+−


8)
0
2 19
: 20%
3 5 25

−− +


9)
2
2
11 1
2.
32
25 3

+−


10)
( )
2
4 121
25. 5. 3
15
225
+−
11)
( )
2
0
11 1
1 2 .3
24
16
+−
12)
( )
2
0
5 4 16
.0,16 : 2020
4 81 9

+−


13)
22
1
2. 5 3 64
4
−− +
14)
( )
2
22
7
36 15
3
4
68
−− +
+
15)
2
25 7 4 1
93
144
3

−+


16)
2
100 2 1
25%
3 144
6 64
++
+
17)
2
100 2 1
25%
3 144
6 64
++
+
18)
3 1 9 16
4 50%
16 256 5
25
+ ++
19)
( )
2
2
5
19 1
10 : 8 . 220
4 25 4
5 16
++
20)
( )
2
2
7
2 16 2
99 5 : 17 .
3 49 3
2
+−
21)
0
11 1 25
: 20%
91 7 49

−− +


22)
( )
2
0
5 14
.0,8 : 1234
4 81 9

+−


Bài 7: Thc hin phép tính
1)
1
1 1: 4 1: 1
4




+−








2)
( )
2
49 2 4
: 196 2 : 1
13 9 9



−−




3)
2
47 2 2 4
.2 1 .
53 5
9



4)
2
1 4 100 169 1 1
3. . :
3 9 3 3 16
9
+−
Bài 8: Thc hin phép tính
1)
2
2
225 1 1 6 3. 3
:1 .
45 4
64
3




−+







2)
41
3 : 1 27 :3 : 2 1: 3
1 19




+ + −+







3)
(
)
( )
2
2
7 1 43
0,5 0,75
5 10 2
2
A

−−


= + + +−





4)
(
) (
)
(
)
2
2019 2
3
. 16 2019 2020 10
4
A

= −−


5)
(
)
(
)
2
2
22
1 13
. 16 3 . 0,01 2 0,0 6
2 30
A

= +− +



Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm
x
)
Bài 1: Tìm
x
biết
1)
32 1
x−=
2)
3 1 40x +=
3)
23 7x−=
4)
21
54
x−=
5)
11
34
x
+=
6)
15
6 12
x+=
7)
3 24
5 35
x −=
8)
47
3
5 10
x
−=
9)
35
1
23
x−=
10)
3 17
5 4 10
x
−=+
11)
73 3
12 5 4
x
−− =
12)
1 11 3
:
5 10 4
x+=
13)
31 2
:
44 5
x+=
14)
25 3
:
32 4
x+=
Bài 2: Tìm
x
biết
1)
62x −=
2)
59x +=
3)
11x +=
4)
2 37x −=
5)
3 75x −=
6)
23 4x−=
7)
1
13
2
x−=
8)
1
56
5
x−=
9)
5
21
2
x
−=
10)
41
2
32
x −=
11)
51
63
x −=
12)
24
11 11
x −=
13)
44
:2
21 5
x
=
14)
3 13
4 27
x −=
15)
21 3
:
33 5
x+=
Bài 3: Tìm
x
biết
1)
( )
2
35x −=
2)
( )
2
39x−=
3)
( )
2
14x −=
4)
( )
2
12 13x +=
5)
( )
2
62
x
−=
6)
(
)
( )
22
43 1
x−=
7)
( )
2
1
4
2
x −=
8)
( )
2
2
13
3
x−=
9)
( )
2
6
51
7
x +=
10)
( )
2
3
34
4
x −=
11)
2
4
1
53
x

−=


12)
2
11
2
42
x

−=


Bài 4: Tìm
x
biết:
1)
( )( )
14 0xx −=
2)
( )( )
78 0xx +=
3)
( )( )
2 13 1 0xx +=
4)
( )
( )
4 10xx +=
5)
( )(
)
15 0
xx−−=
6)
( )( )
5 11 0xx−+ =
7)
( )
( )
2
1 70xx+ −=
8)
( )
2
30xx
−=
9)
(
)
(
)
2
45 0
xx
−− =
10)
1
30
24
x
x


+ −=




11)
(
)
3
10
2
xx

+ −=


12)
6
210
55
x
x


−=




Bài 5: Tìm
x
biết:
1)
( )
2
88x −=
2)
( )
2
44x −=
3)
( )
2
2 44 4x
−=
4)
( )
2
3 65 9x −=
5)
2
41 1 7
1: 1
9 16 2 9
x

−=


6)
2
15
2 2,7 : 0,9
9
4
x

+ +=


Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhnhất của biểu thức
Bài 1: Tìm giá tr nh nht ca các biu thc sau
1)
22
Ax= ++
2)
7 14Ax= −−
3)
36Ax= −+
4)
2 75Ax
= +−
5)
3
55
5
Ax= +−
6)
2
95
9
59
Ax= −+
7)
1
12 8
2
Ax=−+
8)
5 25
63
x
A
=−+
Bài 2: Tìm giá tr ln nht ca các biu thc sau
1)
99Bx= ++
2)
1 5 12Bx=−−
3)
1
4
4
Bx=
4)
17 6
55
Bx=−−
5)
52
3
232
x
B =−− +
6)
11
4
12 5 6
x
B =−−
7)
22
1
14
4
Bx
=−−
8)
2
2
31
9
4
2
Bx=−−
Bài 3: Tìm giá tr nh nht ca các biu thc sau
1)
5
3 15
C
x
=
−+
2)
7
44
C
x
=
+−
3)
( )
2
25
5 38
C
x
=
−−
4)
2
25 5
9 93
C
x
=
+−
Bài 7. TẬP HP CÁC SỐ THỰC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Khái niệm sthực và trục số thc.
Ví dụ 1: Chúng ta đã được hc v các s hu t và s vô t
Như vậy khi gp chung hai s đó lại vi nhau to thành mt tp hp gi là tp s thc.
Kết luận:
S hu t và s vô t được gi chung là s thc
Tp hp s thực được kí hiu là
.
Mi s thc
a
đều có
1
s đối là
.a
Trong tp hp s thc cũng có đầy đ các phép tính toán như trong tập s hu t.
Mi s thực đều được biu din bi
1
điểm trên trc s.
Ví dụ 1: Biu din s thc
5
trên trc s
Ta tách
22
51 2= +
khi đó trên trục số, độ dài
5
là đường chéo ca hình ch nht có
cnh
1
2
.
Ví dụ 2: Biu din s thc
3
trên trc s
Ta tách
(
)
2
2
31 2
= +
khi đó trên trục số, độ dài
3
là đường chéo ca hình ch nht có
cnh
1
2.
Ta tách
22
21 1= +
khi đó
2
là đường chéo ca hình ch nht có cnh
1
1.
2) Thứ tự trong tập hp sthc.
Các s thực đều được viết dưới dng s thp phân hu hn, vô hn tun hoàn hoc vô hn
không tun hoàn nên có th so sánh hai s thực như so sánh hai số thp phân.
Nếu
0
ab<<
thì
ab<
Vi s thc
0a <
ta nói a là s thc âm, còn
0a >
ta nói
a
là s thực dương.
Ví dụ 3: So sánh các s thc sau
1)
3
8
2)
4
17
3)
19
20
1)
398= >
38⇒>
2)
4 16 17= <
4 17⇒<
3)
19 20<
19 20.⇒− >−
3) Giá trị tuyệt đối của một số thc.
Ví dụ 4:
Trên trc s khong cách t s
3
đến s
0
3
đơn vị gi là giá tr tuyệt đối ca
3.
Trên trc s, khong cách t s
2
đến s
0
2
đơn vị gi là giá tr tuyệt đối ca
2.
Kí hiu
33=
2 2.
−=
Kết luận:
5
1
-1
1
0
1
2
1
0
1
-
3
2
1
0
2
3
-3
-2
-1
3
2
1
0
Khong cách t điểm
a
trên trc s đến gc
0
là giá tr tuyệt đối ca s
.
a
Kí hiu
.a
Tng quát:
( )
( )
( )
0
0
00
aa
a aa
a
>
=−<
=
Chú ý:
Giá tr tuyệt đối ca mt s luôn không âm. Nh nht bng
0
khi
0 0.=
Ví dụ 5: Tìm giá tr tuyệt đối ca các s sau
79
5; ; ; 15
62
−−
Giá tr tuyệt đối ca các s trên là
7 7 99
5 5. . . 15 15.
6 6 22
−= = = =
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Tìm hiểu về số thực
Bài 1: Điền du
hay
/
vào ch trng trong mi câu sau:
1
.....
7
5
.....
9
7
.....
12
2
.....
9
1,4981.....
7.....
12.....
4
.....
20
25.....
39
.....
5
4
.....
5
5
.....
19
3 8.....
7 5.....
1
.....
9
Bài 2: Điền du
hay
/
vào ch trng trong mi câu sau:
2 13.....
( )
1, 49 .....
( )
2, 8 10.....−−
3 7 1.....
6 4 0,2.....
2,431.....
.....
25
6
.....
13
7 11
.....
4
65
.....
5
( )
0, 02 7.....
1 2 13.....
5 2 16.....
11 4.....
5 9.....−−
( )
0, 2 2.....
Bài 3: Tìm s đối ca các s sau
4 12 6 15 5 7 23
; ;; ; ; ;
5 7 9 41
3 25 19
Bài 4: Tìm s đối ca các s sau
2 22
5 2 ; 8 3; 9 12; 2 5−− +
Bài 5: Tìm s đối các kết qu ca các phép tính sau
3 15 3
3 5; 7 2; 11 6; 9 13; ;
3
13
−−
+ −−
Bài 6: Biu din các s sau trên các trc s khác nhau.
1)
13
2)
22
3)
35
Dng 2. So sánh hai số thực
Bài 1: So sánh các s sau
1)
5
2
2)
35
6
3)
8
3
4)
17
4
5)
5
24
6)
7
50
7)
11
110
8)
81
9
Bài 2: So sánh các s sau
1)
1
5
1
6
2)
4
27
4
5
3)
4
121
4
120
4)
3
36
3
7
5)
9
2
1
16
6)
3
7
7
3
7)
5
8
8
5
8)
35
6
50
7
Bài 3: So sánh
1)
( )
3, 14
( )
3,1 41
2)
3,679
3,90
3)
2,950
3,001
4)
(
)
2 . 5, 1
( )
10, 2
5)
(
)
6, 02 . 7
42,15
6)
( )
3 . 3, 32
( )
9, 69
Dạng 3. Thực hin phép tính
Bài 1: Tính
1)
8
2)
12
3)
3, 02
4)
4
15
5)
5
30
6)
5
7)
0,29
8)
6
9)
5
15
10)
8
18
Bài 2: Tính
1)
3−−
2)
5−−
3)
1
3
4)
6
11
5)
12
14
6)
3 12
7)
55
8)
20 10
9)
52−−
10)
43+
Bài 3: Thc hin phép tính
1)
3 5 1 21
1
52 4 8
−+ +
2)
3 41 1
5324
−−
+ −+
3)
13
36 3
42
−+
4)
2
2 13 25
3 15 9
−−

−+


5)
1 25
0,81
6
36
+−
6)
2
31
3: . 36
29

−+


7)
02
16 1
:2
37 2
−−

−+


8)
3
2 49 7
:3
3 81 3

+ −−


9)
( )
0
25 2
5555
49 7
++
10)
( )
0
15
999
36 6
−− +
11)
3
4 1 37
.
9 2 78
−−

+−


12)
3
9 1 37
49 2 7 8

+ −−


13)
2
3 1 25
1:
4 6 144



14)
3
4 49
: 0,75
8 169



15)
99
91
4 16



16)
11 9 1
: 2,5. 3
3 25 3



17)
4
4 16
0,25. 2 :
9 25
18)
2
5 11
121 :
4 32

−−


19)
15 3 9
. 81
6 18 64
−− +
20)
( )
25 3
0,36. . 0, 3
16 4
+−
21)
( )
2
38
2 .36 .9
23
−+
Bài 4: Thc hin phép tính
1)
(
)
2
0
5 16
. 8 2019 .
8 25
−−
2)
2
0
16 2 1
5. : 2023
25 3 3

+−


3)
0
5 11 1 20
:
3 4 16 21
−−

+−


4)
3
25 1 1 3 7
.
64 4 2 7 12

+− +


5)
(
)
2
2
3 11 5
. 12
4 18 12

+−


6)
3
1 9 55
: 25
2 8 12 6
−−

+− +


7)
20
1 9 2 2222
.
3 4 3 555

−+


8)
2
25 1 1 3 7
.
64 4 2 7 12

+− +


9)
( )
2
2
31 1
:2 9 .
22 3

−−



10)
23 0
1 1 213
.64
3 4 216

+− +


11)
3 21 3 2 1
:
2 5 10 2 3 12


+ −− +



−−


12)
( )
100
0
1
5 31 5 2
..
17 33 17 33
99
++
−−
13)
98
16 2 2
: 2929
93 3

+ −−


14)
20
16 2 1 19
:4
25 5 5 20

+ −−


15)
(
)
2
0
2 9 4 16
. : 9876
3 16 81 9

+−


16)
( )
2020
391
2 . 1 9999
559
+− +
17)
2 36
34 25
5 7 35
+ ++
18)
21
22
1
1 11
25. 9.
559 9
−−

+− +


19)
6
3 11 3 1 1
: :1
5 15 6 5 3 15


−−
−+



−−


20)
2
4 9 1 13
0,75 .
25 5 3 4

+− +


21)
2
2 39 2
81
3 4 64 3


−+




22)
( )
2021
241
4 . 1 3636
334
+ +−
23)
(
)
2
91 3
0,5 .8 : 2
16 2 5
−+
24)
23
11 1
: 2 25 16
24 2
 
−− +
 
 
25)
0
1 3 13
10 : 8 : 4321
4 5 45
++
26)
( )
3
5
7 3 7 7 14
.. :
4 8 4 15 5
2

−−

++


27)
( )
2
0
5 4 16
.0,16 : 8822
4 81 9

+−


28)
5 49 2 14
: 25 1,12. 1 .
3 36 7 15

−−


29)
2 33
2
3 13
.5 : 3
5 44

−−


30)
2
2
1 3 13 1
.19 .39
2 34 3
2
−−

+−


31)
2
1 1 42
5. .
22 3
3

−−


32)
2
1 12
2 3:
2 95



+ −+




33)
2
1 27 16 4
. 3:
3 7 49 7


+−





34)
( )
2
11
6 3. : 0, 9
34


−+





35)
1 25 49 441
:
9 36 81 324

+−


36)
( )
3
1 11
25. 0, 4 1 : 2 .
28

−−



37)
144 23 12 13
..
7 25
5 25 49
38)
25 5 1 25
..
7 78
2 16
39)
2
9 16 3 2
..
8
225 4 4
53
40)
2
1 1 17
24 2
2 16
31


−−




+

41)
2
92 1 3
.2 2,25 : 2 1,2
64 3 5 2


+ + −−




42)
( )
2
113
1, 5 2 8 : 4 0, 25 2
224

+−


43)
( )
02
2
3
11 1
2 3. .4 2 : :8
22 2

+ +−



44)
( )
24
5
2
33
12 44 1 2 1,5 :
42

−− +


45)
2
1 15 3
1, 2 :1 1, 25
4 20 2 4


−− +




46)
3
24 2 2 1
. 2012 2012 :
9 9 7 7 21


+−




47)
( ) ( )
2
3 11
0,25 : 5 3
4 3 25

−− +



48)
2
4 1 1 11
: 0,75 1 .1
9 2 3 12


+− +





49)
( )
3
2
81 1
3 : .108 6 : 2,25
16 3

+− +


50)
22
1 16 1 2
96. 81. 1 .
2 923
−−

+ −−


51)
( )
2
35
10 7 5 4
..
9 11
121 2 81
+
+
52)
6
1 11 1 1
:1
21 8
256
2


+− +





53)
( )
( )
2
2
5
5 5 25
1
204 374
196
2 21
−−
54)
( )
2
2
1 48 25
9 3 14. 1
9 49 4
−− +
55)
( )
2
5 9 25 64
: 4,5 .
4 4 16 9

−−


56)
20
2 9 1 19 11
. : 49 .
5 25 5 20 15


−−





Dạng 4: Tìm giá trị chưa biết ( Tìm
x
biết)
Bài 1: Tìm
x
biết:
1)
1
0
3
x +=
2)
2
1
5
x −=
3)
31
42
x +=
4)
21
54
x −=
5)
13
32
x −=
6)
32
85
x−=
7)
31
0
43
x + −=
8)
31
0
44
x −=
9)
32
0
45
x +−=
10)
31
0
42
x +−=
11)
15
0
36
x +−=
12)
57
0
18 24
x−− =
13)
1
41
3
x + −=
14)
1
42
5
x + −=
15)
1
56
3
x + −=
16)
31
7
42
x
+=
17)
35
1
58
x ++=
18)
223
355
x +−=
19)
31
2
44
x
+ −=
20)
3 57
8 64
x−+=
21)
213
524
x
+=
22)
115
328
x +=
23)
152
263
x −=
24)
418
5 3 15
x +=
25)
112
233
x + −=
26)
1 12
4 35
x+−=
27)
2 17
5 22
x
−+=
28)
31
1
5 10
x
+− =
29)
1 15
3 33
x−=
30)
322
253
x +−=
31)
11
2,5
32
x
−=
32)
35 1
3
46 5
x + −=
33)
5 11
2
62 3
x
−−
+=
34)
21
0,5 1
52
x +− =
35)
11 1
55 5
x
−=
36)
21
6
52
x−=
37)
51
2
63
x−−=
38)
1 5 5 21
1.
4 6 76
x
−+ =
39)
18 1 3
54 5
x+=
Bài 2: Tìm
x
biết:
1)
3
33
2
x −=
2)
1
23
4
x +=
3)
1
42
4
x−=
4)
23
21
5 10
x −+ =
5)
32
21
43
x −=
6)
2 11
3
3 6 12
x −=
7)
1 11
2 63
x −=
8)
1 31
2 52
x +=
9)
33 3
444
x
−=
10)
3
14 1 9
2
x
−=
11)
2
17 4 9
3
x−− =
12)
1
52 3
2
x −=
13)
31
42
42
x −=
14)
12
31
23
x
+−=
15)
11
53 1
62
x
+=
16)
15 1
2
34 4
x−− =
17)
22 5
3
75 7
x
+− =
18)
12 11
23 23
x
−=
19)
12
21
23
x −− =
20)
21
53
36
x +=
21)
1 231
6 342
x +−=
22)
51
0,5 2
43
x−− =
23)
11 2
22
33 3
x +−=
24)
1 5 5 21
1.
4 6 76
x
−+ =
25)
21
:1
52 4
x
−=
26)
34 2
:
43 5
x −=
27)
88
:2 1
95
x
−=
28)
1
22 3
2
x −=
29)
11
20
28
x −=
30)
31 1 1
.
44 2 6
x −=
31)
32 2
.0
45 5
x −=
32)
51
32
63
x
−=
33)
41 1
:2 1
33 2
x −=
Bài 3: Tìm
x
biết:
1)
1 9 19 2
:
2 2 33
x
++=
2)
1 1 41
5 7 36
x −=−−
3)
22 1 2 1
15 3 3 5
x
+=−+
4)
2
12
1
63
x

−−=


5)
2
31
1
12 2
x

−− =


6)
2
73
1, 25
42
x

−+ =


7)
2
2
1
0,75 2 1
2
x

+=


8)
( )
21
0, 3
33
x −− =
9)
13
1, 25
22
x

−+ =


10)
3
1
2 5 .2
2
x −=
11)
53
2:
64
x +=
12)
53
:2
64
x

−=


13)
11
3. 5
22
x −=
14)
3 11
:
4 7 14
x
−=
15)
55 5
::
12 6 9
x

−− =


Bài 4: Tìm
x
biết:
1)
1
25 2
2
x −− =
2)
1
2 1 0,5
9
x
+− =
3)
111
294
x −− =
4)
2
31
0
4
3
x +− =
5)
3
14 1 9
2
x
−=
6)
21
53
36
x +=
7)
2
31
0
4
2
x −− =
8)
31
1
22
x
−=
9)
11
4 25%
42
x −− =
Bài 5: Tìm
x
biết:
1)
1 35
3. 0
2 46
xx


+− =




2)
(
)
2
1
16 0
2
xx

+ −=


3)
( )
3
2 35 0
4
xx

+− =


4)
(
)
2
1
2 . 40
2
xx

++ =


5)
2
11 1
1.0
34 4
xx


−− + =




6)
(
)
11
. 30
7 14
xx

−− =


Bài 6*: Tìm
,xy
biết:
1)
( )
2012
534 0xy++ =
2)
( )
2
2 2 10xy+ + −=
3)
( )
2
6 22 21 0xy+ +− =
4)
2 1 3 11 23
1, 5 0
324 6 3
xy−+ + + =
5)
12 8 11 5 0xy++
6)
( )
4
5 30xy y−−+ =
Dạng 5: Tìm giá trị nhnhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 1: Tìm giá tr nh nht ca biu thc sau
1)
31
59
Ax= −+
2)
32
32 3
x
A =−+
3)
15 19
19 15
Ax=++
4)
11
22
Ax
=++
5)
99 3
100 5
Ax= +−
6)
2
119 2 1
199
Ax= −+
7)
7 21
5 3 10
Ax= ++
8)
4 12
3 4 11
Ax= −−
9)
75
5
86
Ax= ++
10)
1 11
5
2 42
Ax=−+ +
11)
1 15 7
99 5 4 2
Ax
=+−
12)
6 53
2
11 8 5
Ax=++
Bài 2: Tìm giá tr ln nht ca biu thc sau
1)
1
9
10
Ax=−−
2)
5
2
3
Ax=−+
3)
22
10
35
x
A =−−
4)
42 3
34
x
A
=−−
5)
2021
2023
2022
Ax
= −+
6)
29 20 92
20 29 29
Ax=−−
7)
31
3
22
Ax= ++
8)
12
2
33
Ax
= −−
9)
11
1
65
Ax= + −−
10)
55
82
Ax=−−
11)
64
3
13 5 7
x
A =−−
12)
74 4
3
10 5 5
Ax
=−−
Bài 3: Tìm giá tr nh nht ca biu thc sau
1)
15
4 3 5 12
2
Bx y= −+ + +
2)
1 31
2 2 17
B x xy=++++−
3)
43 4
3
34 3
Bxy=−+ −+
4)
57 7 5 7
25
75 5 7 2
B xy=−+ +
5)
2
56
23
2 4 13
y
Bx x

= + + −− +


6)
2
3 12 9
7
10 9 10
y
Bx
−−
=+−
7)
3
12 11
57 46
Bx y= −+− +
8)
6
1
6
27 3
x
By

−−
= −−


Bài 4: Tìm giá tr ln nht ca biu thc sau
1)
7 8 10
3 33
Cx y
= −−−+
2)
1
11
3 99
x
C xy

= +−+


3)
32
13 1
10 5 6
x
Cy

=− −−


4)
13
6
44
x
C yx
−−
= +−
5)
2
13 1
1
32 4
x
C xy

= −−


6)
( )
6
2
31
99
14 5
Cx y= −−
CHƯƠNG III. GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 1. GÓC Ở VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT, TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Hai góc kề .
Ví dụ 1: Cho ba tia
,,Ox Oy Oz
như Hình
1.
Biết
,
Ox Oy
là hai tia đối nhau. Khi đó:
Hai góc
xOz
yOz
gọi là hai góc kề bù.
Kết luận:
Hai góc kề bù là hai góc có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
Hai góc kề bù có tổng s đo bằng
0
180
C thể:
0
180 .xOy yOz xOy+==
Chú ý:
Hai góc kề bù còn được hiểu là hai góc vừa k nhau, va b nhau.
Ví dụ 2: Ch ra các cặp góc kề bù có trong hình sau
Hình
2.
Hai góc
mAt
nAt
là hai góc kề bù.
Hình
3.
Hai góc
xOz
zOy
không là hai góc kề bù.
Hình
4.
Hai góc
aMc
bMc
là hai góc kề bù.
2) Hai góc đối đỉnh.
Ví dụ 3: Hai đường thng
'xx
cắt đường thng
'yy
như Hình
5.
Khi đó:
Hai góc
2
O
được gọi là hai góc đối đỉnh.
Kết luận:
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này
là tia đối một cạnh của góc kia.
Hai góc đối đỉnh có số đo bằng nhau.
C thể:
12
.OO=
Chú ý:
Góc
1
O
đối đỉnh với góc
2
O
thì ta cũng nói
1
O
2
O
đối đỉnh vi nhau.
Chúng ta không xét hai góc bẹt đối đỉnh
C thể: Hình
6.
Hai góc bẹt
2
O
chúng ta sẽ không
xét là hai góc đối đỉnh.
z
y
x
O
Hình 1
c
b
a
M
Hình 4
Hình 3
A
z
t
x
m
O
n
y
Hình 2
Hình 5
y
y'
x
x'
1
2
O
Hình 6
2
1
O
x
y
Ví dụ 4: Ch ra các cặp góc đối đỉnh có trong hình
Hình
7.
Hai góc
3
O
đối đỉnh, hai góc
2
O
4
O
đối đỉnh.
Hình
8.
Góc
aGc
đối đỉnh
bGd
, góc
bGc
đối đỉnh vi
aGd
.
Hình
9.
Không có cặp góc nào đối đỉnh.
3) Tia phân giác của một góc.
Ví dụ 5: Cho góc
xOy
và tia
Om
như Hình
10.
Biết rng tia
Om
chia
xOy
thành hai góc nhỏ
xOm
yOm
bằng nhau. Khi đó:
Tia
Om
được gọi là tia phân giác của góc
.xOy
Kết luận:
Tia nằm giữa hai cạnh và to với hai cạnh y hai góc bằng nhau là tia phân giác của góc
đó.
Khi
Om
là tia phân giác của
xOy
thì
.
2
xOy
xOm yOm
= =
Ví dụ 6: Cho
0
100 .xOy =
Tia
Oa
là tia phân giác của góc đó.
Tính
.xOa
Oa
là tia phân giác của góc
xOy
nên
0
0
100
50 .
22
xOy
xOa yOa= = = =
( Hình
11
)
Ví dụ 7: Cho
ABC
và tia
Bm
là tia phân giác của góc đó.
Tính
ABC
biết
0
37 .ABm =
Bm
là tia phân giác
ABC
nên
00
2. 2.37 74 .ABC ABm= = =
( Hình
12
)
Hình 9
N
1
M
d
c
Hình 8
4
3
2
O
G
Hình 7
1
1
a
b
Hình 10
m
x
y
O
Hình 11
a
x
y
O
C
B
A
m
37
0
Hình 12
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Nhận biết các góc kề bù, đối đỉnh và
Tia phân giác của một góc.
Bài 1: Cho biết các góc kề bù trong các hình sau
Bài 2: Cho Hình
16.
a) Góc
mOa
kề bù với góc nào?
b) Góc
bOm
kề bù với góc nào?
c) Hai góc
nOb
mOa
có kề bù với nhau không?
d) Hai góc
nOb
bOa
có kề bù với nhau không?
Bài 3: Cho Hình
17.
a) Góc
1
A
có kề bù với góc
2
A
không?
b) Góc
AMC
kề bù với góc nào?
Bài 4: Cho biết các góc đối đỉnh trong các hình sau
Bài 5: Cho Hình
21.
a) Góc
AGN
đối đỉnh với góc nào?
b) Góc
GNM
đối đỉnh với góc nào?
c) Hai góc
AMB
AMC
có đối đỉnh với nhau không?
d) Hai góc
NGM
NCM
có đối đỉnh với nhau không?
C
Hình 15
a
n
Hình 14
m
m
x
Hình 13
B
A
1
2
y
Hình 16
n
m
b
a
O
2
1
Hình 17
A
B
C
M
A
B
C
D
Hình 20
Hình 19
Hình 18
M
D
B
C
b
d
O
A
O
a
c
Hình 21
G
M
B
C
N
A
Bài 6: Cho Hình
22.
a) Ch ra các cp góc đối đỉnh có trong hình.
b) y ch ra hai góc kề bù tại đỉnh
.D
c) Góc
AED
kề bù với góc nào?
Bài 7: Cho Hình
23.
a) Góc
ABC
đối đỉnh với góc nào? kề bù với góc nào?
b) Góc
BCy
đối đỉnh với góc nào? kề bù với góc nào?
Bài 8: Tìm các tia phân giác có trong các hình sau
Bài 9: Cho Hình
27.
a)
BE
là tia phân giác của góc nào?
b)
DE
là tia phân giác của góc nào?
Dạng 2. Tính số đo góc
Bài 1: Cho Hình
28.
Biết
,Ox Oy
là hai tia đối nhau,
0
70 .yOm =
Tính
.xOm
Bài 2: Cho Hình
29.
Biết
nAt
mAt
là hai góc kề bù. Biết
0
50 .mAt
=
Tính
nAt
Bài 3: Cho Hình
30.
Biết
00
60 , 44 .aHc bHm= =
a) Tính
12
,.HH
b) Tính
,.bHc bHn
c) Tính
.mHc
Hình 22
E
D
C
B
A
x
Hình 23
n
m
C
B
A
y
x
x
Hình 29
50
0
Hình 28
m
t
n
O
A
y
m
x
70
0
Hình 26
29
0
K
I
H
G
Hình 25
63
0
Q
P
N
Hình 24
2
E
D
C
B
63
0
29
0
x
M
A
1
Hình 27
E
D
C
A
B
Hình 30
n
m
d
c
b
a
60
0
44
0
H
2
1
Bài 4: Cho Hình
31.
Biết
12
.HH=
a) Hai góc
12
,HH
là hai góc như thế nào?
b) Tính
1
.H
Bài 5: Cho Hình
32.
Biết
0
60 .aMd =
a) Tính
.bMd
b) Tính
.aMc
c) Tính
.dMc
Bài 6: Cho Hình
33.
Biết
0
35 .xAn =
a) Tính
.
yAm
b) Tính
.yAz
Bài 7: Cho Hình
34.
a) Tính
BEC
.xAy
b) Tính
.xAD
Bài 8: Cho Hình
35.
Biết
Ax
là tia phân giác
mAn
0
80 .
mAn =
Tính
.mAx
Bài 9: Cho
xAy
và tia
An
là tia phân giác của góc đó.
Biết
0
55 .xAn =
Tính
.xAy
( Hình
).
Bài 10: V hình theo yêu cầu
a) V
0
72 .xOy =
b) V tia
Om
là tia phân giác của
.xOy
c) Tính
.mOy
Bài 11: Cho tam giác
ABC
AD
là tia phân giác của góc
.A
Biết rng
0
36 .BAD =
Tính
.BAC
( Hình
)
Bài 12: Cho Hình
38.
Biết
00
60 , 120 .xOm xOn= =
a) Tính
.mOn
b)
Om
là tia phân giác của góc nào?
c)
On
là tia phân giác của góc nào?
Bài 13: Cho hai góc kề
,xOy yOz
sao cho
0
100 .xOy =
V tia
Ot
là phân giác
.
yOz
( Hình
39
).
a) Tính
.yOz
b) Ch ra rng
2
.
5
zOt xOy=
Bài 14: Cho Hình
40.
Biết
Mx
là tia phân giác của
Hình 37
36
0
D
C
B
A
Hình 33
35
0
m
n
A
y
x
z
Hình 34
x
y
E
D
C
B
45
0
135
0
A
x
A
n
m
Hình 35
Hình 36
n
x
m
60
0
O
y
Hình 38
n
x
m
60
0
O
y
Hình 31
m
n
H
1
x
2
Hình 32
d
c
b
M
a
60
0
Hình 39
z
t
x
100
0
O
y
x
c
.aMc
a) Tính
.aMc
b) Tính
.bMx
Bài 15: Cho hai góc kề
xOy
yOz
sao cho
0
80 .
xOy
=
Hai tia
,
On Om
lần lượt là hai tia phân giác của hai góc
xOy
yOz
( Hình
41
).
a) Tính
.yOz
b) Tính
.mOn
Bài 16: Cho
0
100 .aOb =
Oc
là tia phân giác của góc đó.
V hai tia
,Om On
lần lượt là tia phân giác của
,.aOc bOc
a) Tính
.aOc
b) Tính
.mOn
Bài 17: Cho Hình
43.
Biết
AD
là tia phân giác
,BAx
CD
là tia phân giác
,ACB
s đo
00
70 , 20 .BAC BDC= =
a) Tính
.ACB
b) Tính
12
,.AA
Hình 41
y
x
m
O
n
z
Hình 42
n
m
c
b
a
O
2
1
D
C
70
0
B
Hình 43
20
0
A
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT.
A. LÝ THUYẾT.
1) Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
Ví dụ 1: V hai đường thng
,ab
không trùng nhau.
V tiếp đường thng
c
cắt hai đường thng
,ab
ln
lượt tại hai điểm
,AB
( Hình
1
). Khi đó:
Các cặp góc so le trong gồm:
3
A
,
4
A
2
.B
Các cặp góc đồng v gm:
,
2
A
2
B
,
3
A
3
B
,
4
A
4
.B
Các cặp góc trong cùng phía gồm:
4
A
1
B
,
3
A
2
.B
Chú ý:
Các cặp góc so le trong, đồng v hay trong cùng phía chưa chắc đã bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình
2.
a) Hãy ch ra các cặp góc so le trong
b) y ch ra các cặp góc đồng v.
c) Góc
7
N
trong cùng phía với góc nào?
Góc
6
M
trong cùng phía với góc nào?
2) Dấu hiu nhn biết hai đường thẳng song song.
Nếu một đường thng
c
cắt hai đường thng phân bit
,ab
và trong các góc tạo thành có
một cặp góc so le trong bằng nhau hoc mt cặp góc đồng v bằng nhau thì hai đường
thng
a
b
song song vi nhau.
Ví dụ 3: Cho Hình
3
Hình
4.
Hình
3.
Nhn thy
AB=
,AB
là hai góc so le trong nên
.ab
Hình
4.
Nhn thy
CD=
,CD
là hai góc đồng v nên
.ab
Nhận xét:
Hai đường thng phân biệt cùng vuông góc với một đường thng
th ba thì chúng song song với nhau.
C thể:
Hình
5.
Ta thy
.
ac
ab
bc
B. BÀI TẬP.
Hình 1
1
2
3
4
4
3
2
B
c
b
A
a
1
Hình 2
8
6
7
4
3
1
N
2
5
M
y
x
d
Hình 4
a
b
c
c
b
D
C
B
A
a
Hình 3
Hình 5
c
b
a
Dạng 1. Nhận biết các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía
Bài 1: Cho Hình
6.
y ch ra
a) Các cặp góc so le trong
b) Các cặp góc trong cùng phía.
c) Góc
1
C
đồng v với góc nào?
Góc
7
D
đồng v với góc nào?
Bài 2: Cho Hình
7.
y ch ra
a) Các cặp góc so le trong
b) Các cặp góc đồng v
c) Các cặp góc trong cùng phía.
Bài 3: Cho Hình
8.
Hãy cho biết
a)
so le trong với góc nào?
b)
12
,DD
là hai góc gì?
c)
12
,DE
là hai góc gì?
d)
2
D
trong cùng phía với góc nào? so le trong với góc nào?
e)
2
B
đồng v với góc nào, trong cùng phía với góc nào?
Bài 4: Cho Hình
9.
a) Hãy ch ra các cặp góc so le trong có trong hình.
b) y ch ra các cặp góc trong cùng phía có trong hình
c) Hãy ch ra các cặp góc đồng v.
Bài 5: Cho Hình
10.
a) Ch ra góc so le trong với góc
,.BAn nAC
b) Ch ra góc trong cùng phía với
,.
B ACB
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song.
Bài 1: Cho Hình
11.
a)
11
,AB
là hai góc như thế nào?
b) Chng t đường thng
.ab
Bài 2: Cho Hình
12.
a) Cho biết
12
,CD
là hai góc gì?
b) Chng t
.mn
Hình 6
n
8
7
6
5
4
3
1
a
m
2
D
C
4
3
1
2
2
K
Hình 7
1
H
Hình 8
1
2
2
2
1
E
D
C
A
B
1
Hình 9
1
2
C
A
B
2
y
x
1
Hình 10
n
C
B
m
A
y
1
1
Hình 11
B
A
m
b
a
Hình 12
n
m
2
D
C
1
Bài 3: Cho Hình
13.
a) Chng t rng
.
DE AC
b) Chng t rng
.CB Mx
Bài 4: Cho Hình
14.
Biết
11
MB=
a) Chng t rng
.By MN
b) Chng t rng
.MN Cx
Bài 5: Cho Hình
15.
Chng t rng
.Am Bn
Bài 6: Cho Hình
16.
a)
HBM
KMC
là hai góc gì?
b) Chng t rng
.BH MK
Bài 7: Cho Hình
17.
a) Cho biết
2
A
1
M
là hai góc ở v trí như thế nào?
b) Hai góc
2
N
là hai góc gì?
c) Chng t rng
MD AH
d) Chng t rng
NE MD
Bài 8: Cho Hình
18.
Biết
AC
là tia phân giác
0
, 55 ,BAx C =
0
70 .A =
a) Tính
.
CAx
b) Chng t rng
.Ax BC
Bài 9: Cho Hình
19.
Biết
11
.
AM=
a) Chng t rng
AB MN
b) Chng t rng
.MN CD
Bài 10: Cho Hình
20.
a) Chng t rng
.Ax Om
b) Chng t rng
.Om By
Bài 11: Cho Hình
21.
a) Chng t rng
.AB CD
b) Chng t rng
.CD EF
Bài 12: Cho Hình
22.
a) Chng t rng
.Hm Ax
b) Chng t rng
.Ax Kn
Hình 15
m
n
A
B
1
110
0
70
0
Hình 16
K
H
M
C
B
A
1
2
2
1
Hình 17
E
D
N
M
H
C
B
A
Hình 18
x
C
B
55
0
A
70
0
Hình 21
F
E
D
C
B
A
Hình 13
48
0
48
0
x
M
E
D
C
B
A
Hình 14
y
x
1
1
M
N
C
B
A
1
1
N
M
D
C
B
A
Hình 19
Hình 20
x
y
m
B
O
A
36
0
36
0
Hình 22
1
m
n
K
A
H
1
x
1
Bài 3. TIÊN ĐỀ EUCLID
TÍNH CHÁT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT.
1) Tiên đề Euclid về đường thẳng song song.
Ví dụ 1: V đường thng
a
và một điểm
.Ma
/
V đường thng
b
đi qua
M
và song song vi
.
a
V tiếp đường thng
c
cũng đi qua
M
và song song vi
.a
Nhn thy rằng đưng thng
b
c
trùng nhau.
Kết luận:
Qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ một đường thng song song với đường
thẳng đó.
C thể:
Hình
1.
Ch có một đưng thẳng đi qua
M
và song song với đưng thng
.a
Ví dụ 2: Cho Hình
2.
Biết
AB m
.AC m
Chng t rng
,,B AC
thng hàng.
AB m
nên
,AB
nằm trên đường thng
đi qua
A
và song song vi
m
( )
1
AC m
nên
,AC
nằm trên đường thng
đi qua
A
và song song vi
m
( )
2
T
( ) ( )
1, 2
ta được ba điểm
,,
B AC
cùng nằm trên một đường thẳng nên chúng thẳng
hàng.
2) Tính chất của hai đường thẳng song song.
Ví dụ 3: Cho hai đưng thng
.ab
đường thng
c
cắt hai đường thng
a
b
lần lượt ti hai
điểm
A
.
B
( Hình
3
).
Nhn thy rằng khi đó
11
AB=
12
AB=
Kết luận:
Nếu một đường thng cắt hai đường thẳng song song thì:
. Hai góc so le trong bằng nhau.
. Hai góc đồng v bng nhau.
. Hai góc trong cùng phía bù nhau. ( tng bng
0
180
).
Nhận xét:
Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng
vuông góc với đường thẳng kia ( Hình
4
)
Nếu hai đường thng phân biệt cùng song song với một đường thng th ba thì chúng song
song vi nhau ( Hình
5
)
B. BÀI TẬP.
c
b
Hình 1
a
M
Hình 2
C
B
A
m
Hình 3
1
2
1
B
A
c
a
b
Hình 5
a
b
c
Hình 4
m
a
b
Dạng 1. Chứng minh ba đim thng hàng.
Bài 1: Cho Hình
6.
a) Chng t rng
.AM BC
b) Chng t rng
.AN BC
c) Chng t rằng ba điểm
,,M AN
thng hàng.
Bài 2: Cho Hình
7.
a) Chng t rng
.DE BC
b) Chng t rng
.EF BC
c) Chng t rằng ba điểm
,,
DEF
thng hàng.
Bài 3: Cho Hình
8.
a) Chng t rng
.KH AB
b) Ch ra
.KI AB
c) Chng t rằng ba điểm
,,HKI
thng hàng
Bài 4: Cho Hình
9.
a) Chng t rng
AE DC
b) Ch ra rng
.BA DC
c) Chng t rằng ba điểm
,,EAB
thng hàng.
Dạng 2. Tính giá trị các góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
Bài 1: Cho Hình
10.
Biết
DC AB
0
55 .
A =
Tính
1
.C
Bài 2: Cho Hình
11.
Biết
ab
0
60B =
. Tính
12
,.AA
Bài 3: Cho Hình
12.
Biết
.AB DC
00
70 , 115 .
DB= =
Tính
1
,.
AC
Bài 4: Cho Hình
13.
Biết
BH MK
0
57 .BIM =
a) Chng t rng
.BH AC
b) Tính
.IMK
Bài 5: Cho Hình
14.
Biết
Ax Mz
.By Mz
a) Tính
12
,.MM
b) Tính
.AMB
Hình 8
I
K
H
C
B
A
60
0
60
0
Hình 13
I
M
K
H
C
B
A
Hình 14
y
x
z
2
1
B
M
A
40
0
30
0
Hình 6
N
M
C
B
A
40
0
55
0
40
0
55
0
Hình 7
F
E
D
48
0
48
0
C
B
A
Hình 9
E
D
C
B
A
77
0
77
0
Hình 10
1
D
C
B
A
55
0
Hình 11
2
60
0
1
a
b
m
B
A
115
0
1
Hình 12
D
C
B
A
70
0
Bài 6: Cho Hình
15.
Biết
,.
Mx Az Ny Az∥∥
a) Tính
34
,.AA
b) Tính
.MAN
Bài 7: Cho Hình
16.
Biết
,.AB MN CD MN∥∥
a) Tính
12
,.MM
b) Tính
.AMC
Bài 8: Cho Hình
17.
Biết
,DC EF HG EF∥∥
0
110 .CEG
=
Tính
1
.
G
Bài 9: Cho Hình
18.
Biết
,MA xy NB xy∥∥
0
105 .
MHN =
a) Tính
1
.M
b) Tính
1
.N
Bài 10: Cho Hình
19.
Biết
,AB CD CD EF∥∥
a) Tính
ACD
.DCE
b) Tính
.ACE
c)
Bài 11: Cho Hình
20.
Biết
,
a AB
b AB
0
100 .MAN =
Tính
1
.N
Bài 12: Cho Hình
21.
Biết
,x zy z∥∥
0
120 .
CAD =
a) Tính
.DAz
b) Tính
1
.C
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Bài 1: Cho Hình
22.
Biết
ab
Ad
là phân giác
.aAc
a) Chng t rng
.ac
b) Tính
.
cAd
Bài 2: Cho Hình
23.
a) Chng t rng
.mn
b) Chng t rng
.AB n
Hình 22
d
c
B
A
a
b
D
C
Hình 23
B
n
m
A
3
4
Hình 15
x
z
y
N
A
M
55
0
45
0
Hình 16
2
1
D
N
B
C
M
A
70
0
60
0
Hình 17
1
H
G
F
E
D
C
70
0
D
F
E
C
B
A
150
0
110
0
Hình 19
Hình 18
1
1
y
x
B
A
H
N
M
65
0
Hình 20
b
a
B
1
N
M
A
120
0
Hình 21
1
x
z
y
D
C
A
40
0
Bài 3: Cho Hình
24.
a) Ch ra rng
.xy
b) Ch ra rng
.x CD
Bài 4: Cho Hình
25.
a) Tính
1
O
rồi chỉ ra
.
GK OH
b) Chng t rng
.OH HK
Bài 5: Cho Hình
26.
a) Tính
1
F
và chỉ ra
.
EM FN
b) Ch ra rng
.
EM MN
Bài 6: Cho Hình
27.
a) Tính
1
O
rồi chỉ ra
.AM OB
b) Chng t rng
.OB AB
Dạng 4. Tính giá trị góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
Bài 1: Cho Hình
28.
Biết
0
70 .
A =
a) Chng t rng
.ab
b) Tính
1
.B
Bài 2: Cho Hình
29.
Biết
0
60D =
a) Ch ra rng
.xy
b) Tính
1
.C
Bài 3: Cho Hình
30.
a) Ch ra rng
.mn
b) Tính
1
.D
Bài 4: Cho Hình
31.
a) Ch ra rng
.xy
b) Tính
1
.
N
Bài 5: Cho Hình
32.
a) Tính
1
.B
b) Ch ra rng
yz
rồi suy ra
.xz
Bài 6: Cho Hình
33.
a) Ch ra rng
ac
bc
rồi suy ra
.ab
b) Tính
1
.N
Bài 7: Cho Hình
34.
Biết
.ac
a) Ch ra
.ab
b) Tính
.AOB
Hình 24
D
C
N
M
y
x
Hình 25
1
105
0
75
0
H
G
O
K
Hình 26
1
F
E
N
M
60
0
120
0
Hình 27
1
N
M
O
B
A
45
0
45
0
Hình 29
1
60
0
D
C
y
x
z
Hình 28
1
B
A
a
b
c
70
0
Hình 30
1
58
0
D
C
B
A
n
m
Hình 32
C
D
B
m
y
x
z
A
39
0
1
Hình 31
a
1
M
N
x
y
130
0
Hình 33
Q
P
N
d
a
b
c
M
1
74
0
Hình 34
d
O
B
A
a
c
b
45
0
65
0
Bài 8: Cho Hình
35.
a) Ch ra
.
mn
b) Tính
1
.A
c) Tính
1
.C
Bài 9: Cho Hình
36.
Biết
yz
.yx
a) Ch ra rng
xz
rồi suy ra
.AO Oz
b) Tính
BOz
rồi suy ra
1
.O
Dạng 5. Vẽ thêm hình phụ để tính số đo góc.
Bài 1: Cho Hình
37.
Biết
.AB CD
Tính
.AOC
Bài 2: Cho Hình
38.
Biết
.AB CD
Tính
.BOD
Bài 3: Cho Hình
39.
Biết
.AB CD
Tính
.
BOC
Bài 4: Cho Hình
40.
Biết
.AB CD
Tính
.AOC
Bài 5: Cho Hình
41.
Biết
.AB MN
Tính
.AEM
Bài 6: Cho Hình
42.
Biết
.AB MN
Tính
.AHN
Bài 7: Cho Hình
43.
Biết
.AB MN
Tính
.AOM
Bài 8: Cho Hình
44.
Biết
.AB MN
Tính
1
.K
Bài 9: Cho Hình
45.
Biết
.AB MN
Tính
1
.G
Hình 37
O
D
C
B
A
30
0
45
0
Hình 38
O
D
C
B
A
36
0
41
0
Hình 35
1
2
1
64
0
72
0
a
C
B
A
m
n
Hình 36
1
O
B
x
z
y
A
140
0
Hình 39
D
C
O
A
B
50
0
70
0
Hình 40
145
0
45
0
A
B
D
C
O
x
Hình 41
E
N
M
B
A
40
0
130
0
Hình 42
M
N
H
B
A
125
0
75
0
Hình 43
N
M
O
B
A
150
0
130
0
Hình 44
K
40
0
N
M
H
B
A
1
Hình 45
1
G
K
N
M
H
B
A
35
0
Bài 10: Cho Hình
46.
Biết
Bx
là tia phân giác
góc
,ABC
Tia
My BC
My
là tia phân
giác góc
.CMx
a) Tính
1
.
M
b) Tính
ABC
rồi suy ra
.
ABM
Hình 46
2
1
y
M
C
B
A
45
0
x
Bài 4. ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Định lí. Giả th iết và kết luận của định lí.
Ví dụ 1: Với kết lun Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”. Đây được coi là một định lí.
Khi đó Hai góc đối đỉnh được gọi là gi thiết còn bằng nhau được gọi là kết luận của định lí đó.
Kết luận:
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết.
Mỗi định lí thường được viết dưới dạng: “ Nếu ..
( )
1
.. thì ..
( )
2
..” .
Trong đó: Phần ni dung
( )
1
là gi thiết của định lí còn phần
(
)
2
là kết luận của định lí.
Ví dụ 2: Với tính chất: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thng th ba thì
chúng song song với nhau”. Tính chất này là một định lí.
Khi đó ta sẽ viết gi thiết và kết luận cho định lí này như sau.
GT
,a mb m⊥⊥
KL
.
ab
2) Chứng minh đnh lí.
Ví dụ 3: Quay trở lại định lí ví d 2:
Gi s đường thng
a
vuông góc với
m
ti
M
b
vuông góc với
m
ti
Khi đó
0
90 .MN
= =
,MN
là hai góc đồng v ( Hình
2
)
Nên
.ab
Cách làm trên gọi là đi chứng minh một định lí.
Kết luận:
Chứng minh định lí là dùng lp luận để t gi thiết và những khẳng định đúng đã biết suy
ra kết luận của định lí.
Ví dụ 4: Cho định lí sau: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thng song
song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại ”.
a) V hình và viết gi thiết và kết luận cho định lí trên.
b) Chứng minh định lí trên.
a) Hình
3.
GT
,x ya x
KL
.ay
b)
xy
nên
MN=
( đồng vị) mà
00
90 90 .MN= ⇒=
Vy
.ay
Ví dụ 5: Cho
,xOy yOz
là hai góc kề bù, hai tia
,Om On
lần lượt là hai tia phân giác của hai góc
trên. Chứng minh rằng
.Om On
a) Viết gi thiết và kết luận cho bài toán trên.
b) Chứng minh bài toán trên.
m
b
a
Hình 2
M
N
N
M
a
Hình 3
x
y
Hình 1
a
b
m
a) Hình
4.
GT
,xOy yOz
kề bù.
,Om On
lần lượt là phân
giác
,.xOy yOz
KL
Chứng minh
0
90 .mOn =
b)
,xOy yOz
kề bù nên
0
180 .xOy yOz+=
,Om On
lần lượt là hai tia phân giác của hai góc
,.xOy yOz
Nên
1
2
mOy xOy=
1
.
2
nOy yOz
=
Khi đó
(
)
00
111 1
.180 90 .
222 2
mOn mOy nOy xOy yOz xOy yOz= += + = + = =
Vy
.
Om On
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
5.
Tính
1
.
M
a) Viết gi thiết và kết luận cho bài toán trên.
b) Chúng minh bài toán trên.
Bài 2: Cho Hình
6.
Biết
Am Bn
Hai tia phân giác của hai góc
,AB
cắt nhau ti
.O
Tính
.
AOB
a) Viết gi thiết và kết luận cho bài toán.
b) Chứng minh bài toán trên.
Bài 3: Cho Hình
7.
Chng t rằng ba điểm
,,
ABC
thng hàng.
a) Viết gi thiết và kết lun cho bài toán.
b) Chứng minh bài toán trên.
Bài 4: Cho Hình
8.
a) Chng minh rằng
.ab
b) Tính
1
.N
( có viết gi thiết và kết lun)
Bài 5: Cho Hình
9.
a) Chng minh
.MN Bx
b) Tính
1
.N
Bài 6: Cho Hình
10.
a) Chng minh
.MN BC
b) Tính
1
.N
Bài 7: Cho Hình
11.
Chứng minh rằng
.Am Bn
Bài 8: Cho Hình
12.
Biết
0
120 .DAB =
a) Chng minh rằng
.AB DC
1
1
44
0
B
A
m
n
x
y
z
O
Hình 4
40
0
40
0
60
0
120
0
1
n
m
B
G
A
x
Hình 5
60
0
N
M
A
B
1
O
n
m
B
A
Hình 6
Hình 9
1
M
C
B
N
A
x
136
0
Hình 7
N
M
C
B
43
0
43
0
A
Hình 8
M
N
a
b
c
106
0
2
1
Hình 10
1
N
M
C
B
A
43
0
b) Tính
1
.
A
c) Tính
2
C
ACB
rồi suy ra
.AD BC
Bài 9: Cho Hình
13.
Biết
0
, 71 .AO BD AOC =
a) Chng minh
.AB CD
b) Tính
.BDC
Bài 10: Cho Hình
14.
Biết
0
70 .
MON =
Chứng minh
.Ma Nb
Hình 13
41
0
O
C
D
B
A
30
0
Hình 14
b
a
M
O
25
0
35
0
N
1
CHƯƠNG IV. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Bài 1. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Tổng các góc trong một tam giác.
Ví dụ 1: V
,ΔABC
t đỉnh
A
v đường thng
.xy BC
( Hình
1
).
a) Chng minh rng
1
.AB=
b) Chng minh rng
3
.AC=
c) Chng minh rng
0
2
180 .A BC
++=
a)
1
xy BC A B⇒=
( so le trong).
b)
3
xy BC A C⇒=
( so le trong).
c) Khi đó
0
2 213
180 .A B C A A A xAy++= ++ = =
Kết luận:
Tổng ba góc trong một tam giác bng
0
180 .
Tam giác có ba góc đều là góc nhọn gi là tam giác nhn.
Tam giác có một góc tù thì gọi là tam giác tù.
Tam giác có một góc vuông thì gọi là tam giác vuông.
C th
ΔABC
vuông tại
,A
khi đó cạnh
BC
gi là cnh huyn, hai cnh
,
AB AC
gi là
hai cạnh góc vuông. ( Hình
2)
.
ΔABC
k bù với góc
C
nên
1
C
gọi là góc ngoài của tam giác.
C th:
ΔABC
1
C
là góc ngoài thì
1
.C AB= +
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính s đo
x
trong các hình sau:
x
Hình 4
C
B
A
45
0
72
0
Hình 1
3
2
1
y
x
C
B
A
Hình 5
C
B
A
x
74
0
64
0
C
B
A
Hình 6
125
0
x
25
0
Hình 8
C
B
A
60
0
x
x
Hình 9
x
x
C
B
A
Hình 2
C
B
A
Hình 3
C
B
A
1
Hình 7
31
0
C
B
A
2
Bài 2: Tìm s đo
x
trong các hình sau:
Bài 3: Tìm s đo
,xy
trong các hình sau:
Bài 4: Cho Hình
22.
Biết
AO
là tia phân giác góc
.BAD
.AOB AOD=
Chng minh rng
1
.BD=
Bài 5: Cho Hình
23.
Biết
12
,.B B AMB DMB= =
Chng minh rng
.MD BC
Hình 10
D
C
B
A
45
0
63
0
x
D
Hình 11
C
B
81
0
A
50
0
x
x
Hình 12
48
0
M
C
B
A
38
0
Hình 13
60
0
M
C
B
A
x
120
0
Hình 14
D
C
B
A
x
x
Hình 15
x
x
D
C
B
A
44
0
Hình 16
H
C
B
A
56
0
x
y
Hình 17
x
D
C
B
A
y
130
0
x
Hình 18
M
D
C
B
53
0
x
A
Hình 19
M
C
B
A
50
0
x
y
60
0
Hình 20
E
C
B
A
x
y
35
0
E
C
B
A
Hình 21
30
0
x
x
y
Hình 22
O
D
C
B
A
1
2
1
Hình 23
D
M
C
A
B
3
Bài 6: Cho Hình
24.
Biết
.MN BC
Tính s đo
x
trong hình.
Bài 7: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
K
.AH BC
( Hình
).
Chng minh rng
1
.
AC=
Bài 8: Cho
ΔABC
00
70 , 30 .ABC ACB= =
AD
là tia phân giác
,
BAC
k
.AH BC
( Hình
26
).
a) Tính
.BAC
b) Tính
ADB
.HAD
Bài 9: Cho
ΔABC
0
40 .BC= =
AD
là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh
A
( Hình
27
).
Chng minh rng
.AD BC
Bài 10: Cho
ΔABC
0
60 .AC= =
BE
là tia phân giác góc ngoài tại
.B
( Hình
).
Chng minh rng
.BE AC
Bài 11: Cho
ΔABC
00
80 , 40 .BC= =
,BO CO
lần lượt là hai tia phân giác
của hai góc
,.
BC
Tính
.BOC
( Hình
29
).
Bài 12: Cho
ΔABC
0
90 .A =
,BO CO
lần lượt là hai tia phân giác ca
,.
BC
Tính
.BOC
( Hình
30
).
Hình 24
130
0
N
M
C
B
A
114
0
x
Hình 25
C
H
B
A
1
2
30
0
Hình 26
C
D
H
B
A
Hình 27
40
0
D
C
B
A
40
0
Hình 28
60
0
D
E
C
B
A
60
0
Hình 29
O
C
B
A
Hình 30
O
C
B
A
4
Bài 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC.
A. LÝ THYẾT.
1) Hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho
ΔABC
ΔDEF
như Hình
1.
Nhn thy
ΔABC
ΔDEF
có ba cạnh bng nhau:
AB DE
=
,
AC DF
=
,
BC FE=
và ba góc bằng nhau:
AD=
,
BE=
,
CF
=
Nên hai
ΔABC
ΔDEF
gi là hai tam giác bng nhau.
Khi đó cạnh
AB
và cnh
DE
gi là hai cạnh tương ứng và
A
gọi là hai góc tương ứng.
Kết luận:
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cnh cạnh tương ứng bằng nhau, các góc
tương ứng bng nhau.
Kí hiu:
ΔABC ΔDEF
=
cn chú ý v th t các đnh khi kí hiu hai tam giác bng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình
2.
a) Chng minh
.CM=
b) Chng minh rng
.
ΔABC ΔDNM=
a)
ΔABC
0
180ABC++=
ΔDMN
0
180
DM N+ +=
Suy ra
ABC DM N++= + +
AD
CM
BN
=
⇒=
=
b) Xét
ΔABC
ΔDNM
có:
,,AB DN AC DM BC MN= = =
( gi thiết)
,A DB N= =
( gi thiết) và
CM=
( chng minh câu a)
Vy
.ΔABC ΔDNM=
2) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác.
Ví dụ 1: V
ΔABC
biết
6, 4, 5.BC cm AC cm AB cm= = =
V cnh
6.BC cm=
V cung tròn tâm
B
bán kính
5.cm
V tiếp cung tròn tâm
C
bán kính
4.cm
Hai cung tròn ct nhau tại điểm
A
Nối các điểm ta được
.ΔABC
( Hình
3).
Hình 1
D
F
E
C
B
A
Hình 2
N
M
D
C
B
A
4cm
5cm
B
C
B
C
6cm
A
A
6cm
Hình 3
B
C
C
B
6cm
6cm
5
Ví dụ 2: V thêm
ΔDEF
6, 4, 5.EF cm DF cm DE cm= = =
Làm ging ví d
1
ta được
ΔBEF
như Hình
4.
Cho nhn xét v
ΔABC
.
ΔDEF
Kết luận:
Nếu ba cnh ca tam giác này bng ba cnh ca tam giác kia thì hai tam giác y bng
nhau
Kí hiu:
(
)
..
ΔABC ΔDEF c c c=
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Xác định các yếu tố bằng nhau của hai tam giác
Bài 1: Cho
ΔABC ΔDEF
=
a) Hãy ch ra các cạnh tương ng bằng nhau. Các góc tương ứng bng nhau.
b) Nếu
7BC cm=
thì cạnh nào cũng bằng
7.
cm
Bài 2: Cho
.ΔABC ΔDMN=
Biết
0
6 , 60 , 4 .BC cm B AC cm= = =
a)
ΔDMN
có góc nào cũng có số đo bằng
0
60
b) Suy ra s đo cạnh nào ca
.
ΔDMN
Bài 3: Cho
.ΔABC ΔHIK
=
Biết
7, 8, 7.AB cm BC cm HK cm= = =
a) Cnh
AC
bng bao nhiêu
cm
?
b) Tính chu vi ca mi tam giác trên.
Bài 4: Cho
.
ΔABC ΔDMN
=
Biết
00
50 , 60AM= =
a) Tính
C
ca
ΔABC
b) Tính s đo các góc còn lại ca
.
ΔDMN
Bài 5: Cho
.ΔABD ΔHIK=
Biết
00
90 , 45 .BD= =
a) Tính s đo góc
A
ca
.ΔABC
b) Cho biết
ΔHIK
là tam giác gì?
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1: Cho Hình
5.
a) Chng minh
.ΔABC ΔABD=
b) Chng minh
12
.AA=
Bài 2: Cho Hình
6.
a) Chng minh
.
ΔAHB ΔAHC=
b) Chng minh
.BC=
c) Chng minh
.AH BC
Bài 3: Cho Hình
7.
a) Chng minh
.ΔANM ΔBNM=
b) Chng minh
MN
là tia phân giác
.AMB
Hình 6
H
C
B
A
2
Hình 5
D
C
A
1
B
Hình 7
N
M
A
B
Hình 4
D
6cm
F
E
5cm
4cm
6
Bài 4: Cho Hình
8.
a) Chng minh
.ΔABM ΔEDM=
b) Chng minh
.AB DE
Bài 5: Cho Hình
9.
a) Chng minh
ΔAMK ΔANK=
b) Chng minh
AK
là tia phân giác
.MAN
Bài 6: Cho Hình
10.
a) Chng minh
.ΔOAB ΔOCD=
b) Chng minh
.AB CD
Bài 7: Cho Hình
11.
a) Chng minh
.ΔABO ΔACO=
b) Chng minh
.ABO ACO=
Dạng 3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh
Bài 1: V
ΔABC
biết
4, 5, 3.AB cm AC cm BC cm= = =
Bài 2: V
ΔDEF
biết
6, 6, 6.AB cm BC cm AC cm= = =
Bài 3: v
ΔAMN
biết
5, 5, 4.AB cm AC cm BC cm
= = =
Bài 4: V
ΔABC
biết
6, 5, 4.BC cm AB cm AC cm= = =
Hình 8
M
E
D
B
A
Hình 9
K
x
y
A
M
N
Hình 10
O
D
C
B
A
Hình 11
C
B
A
O
7
Bài 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT.
1) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác
(
)
..
cgc
Ví dụ 1: V
0
60 .xAy =
Trên tia
Ax
ly đim
B
sao cho
5,AB cm=
trên tia
Ay
ly đim
C
sao cho
4.AC cm
=
Ni
B
vi
C
ta được
ΔABC
( Hình
1
).
Ví dụ 2: V thêm
ΔMNP
0
60 , 5 , 4
M MN cm MP cm= = =
Trong
ΔABC
thì
A
gọi là góc sen giữa hai cnh
,.AB AC
Trong
ΔMNP
thì
M
gọi là góc sen giữa hai cnh
,.
MP MN
Xét
ΔABC
ΔMNP
có:
4.
AC MP cm
= =
0
60 .AM= =
5.AB MN cm= =
Khi đó ta nói
ΔABC
bng
ΔPMN
theo trường hp cnh – góc – cnh.
Kết luận:
Nếu hai cạnh và góc sen giữa ca tam giác này bng hai cạnh và góc sẽ gia ca tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hp cnh – góc – cnh.
Ví dụ 3: Cho Hình
3.
a) Chng minh
.ΔAHB ΔAHC=
b) Chng minh
.BC=
a) Xét
ΔAHB
ΔAHC
có:
AH
là cnh chung
0
90 .AHB AHC
= =
HB HC=
( gi thiết)
Vy
( )
..ΔAHB ΔAHC c g c
=
b)
ΔAHB ΔAHC B C= ⇒=
( hai góc tương ứng)
2) Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác.
Ví dụ 4: V đoạn thng
4.BC cm=
V tia
Bx
sao cho
0
60 .CBx =
V tia
Cy
sao cho
0
50 .BCy =
tia
Bx
ct
Cy
ti
A
ta được
.ΔABC
( Hình
4
).
Ví dụ 5: V thêm
ΔDEF
00
4 , 60 , 50 .EF cm E F= = =
Trong
ΔABC
thì
BC
là cnh xen giữa hai góc
,.BC
Trong
ΔDEF
thì
EF
là cnh xen giữa hai góc
,.EF
Với hai tam giác có các yếu t như trên
Khi đó ta nói
ΔABC
bng
ΔDEF
theo trường hợp góc – cnh – góc.
B. BÀI TẬP.
4m
5m
C
B
60
0
Hình 1
A
y
x
M
Hình 2
60
0
N
P
5m
4m
Hình 3
H
C
B
A
50
0
Hình 4
A
C
B
x
y
4cm
60
0
60
0
50
0
4cm
E
F
D
Hình 5
8
Dạng 1. Vẽ tam giác theo yêu cầu bài toán.
Bài 1: V
ΔABC
biết
0
50 , 4 , 5 .A AB cm AC cm= = =
Bài 2: V
ΔABC
biết
0
90 , 6 , 3 .A AB cm AC cm
= = =
Bài 3: V
ΔDEF
biết
0
60 , 4 , 4 .D DE cm DF cm= = =
Bài 4: V
ΔDEF
biết
0
4 , 90 , 4 .EF cm E DE cm= = =
Bài 5: V
ΔABC
biết
00
50 , 60 , 4 .
B C BC cm
= = =
Bài 6: V
ΔAMN
biết
00
50 , 50 , 3 .M N MN cm= = =
Bài 7: V
ΔDEF
biết
00
60 , 60 , 4 .D E DE cm= = =
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Bài 1: Cho Hình
6.
a) Chng minh
.ΔAOM ΔBOM=
b) Chng minh
.MB MA
=
Bài 2: Cho Hình
7.
a) Chng minh
.ΔABM ΔACM=
b) Chng minh
.AM BC
Bài 3: Cho Hình
8.
a) Chng minh
ΔABN ΔABM=
b) Chng minh
AB
là phân giác
.NAM
Bài 4: Cho Hình
9.
a) Chng minh
.ΔHMN ΔKMN=
b) Chng minh
.MH MK=
Bài 5: Cho Hình
10.
a) Chng minh
.ΔAIN ΔBIM=
b) Chng minh
.ANI BMI=
Bài 6: Cho Hình
11.
a) Chng minh
.ΔOAB ΔODC=
b) Chng minh
.AB CD=
Bài 7: Cho Hình
12.
a) Chng minh
.ΔHDB ΔHEC=
b) Chng minh
.DBH ECH=
Hình 7
M
C
B
A
Hình 10
A
B
M
N
I
Hình 11
O
D
C
B
A
Hình 6
A
M
B
O
Hình 8
M
N
B
A
Hình 9
H
N
K
M
Hình 12
D
E
C
B
A
H
9
Bài 8: Cho
xOy
khác góc bẹt, trên tia
Ox
lấy điểm
,
A
Trên tia
Oy
lấy điểm
B
sao cho
.OA OB
=
V
Om
tia phân giác
.
xOy
Ly
M
bt kì trên tia
.Om
( Hình
13
)
a) Chng minh
.ΔAOM ΔBOM=
b) Chng minh
.
AM BM=
Bài 9: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
Trên cnh
BC
lấy điểm
E
sao cho
.
BE BA
=
Tia phân giác
B
ct
AC
.D
( Hình
14
)
a) So sánh
DA
.DE
b) Tính s đo
.
BED
Bài 10: Cho
ΔABC
vuông tại
A
2.BC AB
=
E
là trung
điểm ca
.BC
Tia phân giác
B
ct
AC
.
D
( Hình
15
)
a) Chng minh
DB
là phân giác
ADE
b) Chng minh
BD DC=
c) Tính
,BC
ca
.ΔABC
Bài 11: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
Tia phân giác góc
B
ct
AC
,
D
k
DE BC
. Chng minh
AB BE=
. ( Hình
16
)
Bài 12: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
K
BD
là tia phân giác
.
ABC
Trên cnh
BC
lấy điểm
E
sao cho
.
BE BA
=
Chng minh:
a)
.
ΔABD ΔEBD=
b)
,.DE AD DE BC=
c)
BD
là đường trung trc ca
.
AE
d) Trên tia đối ca tia
AB
ly đim
F
sao cho
.
AF CE=
Chứng minh ba điểm
,,FDE
thng hàng. ( Hình
17
)
Bài 13: Cho
ΔABC
nhọn có
.AB AC<
Phân giác ca
A
ct
BC
ti
.D
Trên
AC
ly đim
E
sao cho
.AE AB=
( Hình
18).
a) Chng minh
.ΔADB ΔADE=
b)
ED
ct
AB
ti
.
F
Chng minh
.AF AC=
c) Chng minh
.ΔDBF ΔDEC=
B
M
A
x
Hình 13
m
y
O
C
E
D
B
Hình 14
A
D
E
C
B
A
Hình 15
Hình 16
C
E
D
B
A
Hình 18
F
C
E
D
B
A
F
E
D
C
B
Hình 17
A
10
Bài 14: Cho
ΔABC
AB AC=
. Ly đim
E
trên
,AB
điểm
F
trên
AC
sao cho
AE AF=
. ( Hình
19).
a) Chng minh
BF CE
=
.ΔBEC ΔCFB=
b) Biết
BF
ct
CE
ti
.I
Cho biết
IE IF
=
.
Chng minh
.ΔIBE ΔICF=
Bài 15: Cho
ΔABC
AB AC=
. Trên các cnh
,AB AC
ly lần lượt các điểm
D
E
sao cho
AD AE
=
.
Gi
O
là giao điểm ca
BE
.CD
a) Chng minh
ABE ACD
=
. ( Hình
20).
b) Chng minh
,OD OE=
OB OC=
Bài 16: Cho
( )
0
90 ,ΔABC A <
AB AC=
. K
CE AB
(
)
E AB
. K
(
)
,
BD AC D AC⊥∈
. Gi
O
là giao điểm
ca
BD
.
CE
( Hình
21).
a) Chng minh
BD CE=
b) Chng minh
OE OD=
OB OC=
.
c) Chng minh
OA
là phân giác
BAC
Bài 17: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
Trên cnh
BC
lấy điểm
E
sao cho
.BA BE=
Tia phân giác ca
B
ct
AC
.D
( Hình
22).
a) Chng minh
.ΔABD ΔEBD=
b) K
( )
.AH BC H BC⊥∈
Chng minh
.AH DE
c) So sánh
ABC
.EDC
d) Gi
K
là giao điểm ca
ED
,BA
M
là trung điểm
ca
.KC
Chng minh
,,BDM
thng hàng.
Bài 18: Cho
ΔABC
biết
.AB AC
<
AE
là phân giác
BAC
.
Trên cnh
AC
lấy điểm
M
sao cho
.AM AB=
( Hình
23).
a) Chng minh
.ΔABE ΔAME=
b)
AE
ct
BM
ti
.I
Chng minh
.IB IM=
c) Trên tia đối ca tia
EM
lấy điểm
N
sao cho
.
EN EC=
Chng minh
.ΔENB ΔECM=
d) Chng minh
,,ABN
thng hàng.
Bài 19: Cho
ΔABC
AB AC<
và tia phân giác
A
ct
BC
ti
.D
Trên cnh
AC
lấy điểm
E
sao cho
AE AB=
. ( Hình
24).
a) Chng minh
DB DE=
.
b)
ABC
cần thêm điều kiện gì để
DE AC
.
B
A
C
D
E
O
Hình 20
Hình 19
I
F
E
C
A
B
Hình 21
O
E
D
C
B
A
Hình 22
H
M
D
K
C
E
B
A
Hình 23
I
N
E
M
C
B
A
Hình 24
K
D
E
C
B
A
11
c) Gi
AB
ct
ED
ti
.K
Chng minh
AKE ACB=
.
d) Chng minh
KBE CEB∆=
.
Bài 20: Cho
ΔABC
vuông tại
A
0
53B =
. Tính
.C
( Hình
25).
a) Trên cnh
BC
lấy điểm
D
sao cho
BD BA=
.
Tia phân giác
B
ct
AC
ti
.E
Chng minh
.ΔBEA ΔBED=
b) Qua
C
v đường thẳng vuông góc với
BE
ti
H
,
CH
ct
AB
ti
F
. Chng minh
BF BC=
.
c) Chng minh
ΔBAC ΔBDF
=
,,DEF
thng hàng.
Bài 21: Cho
ΔABC
vuông tại
A
.AB AC
<
Trên cnh
BC
ly
điểm
M
sao cho
.BA BM=
Gi
E
là trung điểm ca
.AM
a) Chng minh
.ΔABE ΔMBE=
( Hình
26).
b)
BE
ct
AC
ti
.K
Chng minh
.
KM BC
c) Qua
M
v đường thng song song vi
AC
ct
BK
ti
.F
Trên đoạn
KC
ly đim
Q
sao cho
.KQ MF=
Chng minh
.ABK QMC=
Bài 22: Cho
ΔABC
vuông tại
A
.
AB AC<
Trên cnh
BC
ly đim
K
sao cho
.
AB BK=
Gi
H
là trung điểm ca
.AK
Kéo dài
BH
ct
AC
ti
.I
( Hình
27).
a) Nếu
0
60 .ABC =
Tính
.ACB
b) Chng minh
.ΔABH ΔKBH=
suy ra
.
AK BI
c) Qua
K
k đường thng song song vi
AC
ct
,BH
AB
lần lượt ti
N
.D
Chng minh
KA
là tia phân giác
.IKD
Bài 23: Cho
ΔABC
vuông tại
Gi
M
là trung điểm ca
.AC
Trên tia
MB
lấy điểm
N
sao cho
M
là trung điểm ca
.BN
( Hình
28).
a) Chng minh
CN AC
CN AB=
b) Chng minh
AN BC=
.AN BC
Bài 24: Cho
,ΔABC
D
là trung điểm ca
,AB
E
là trung
điểm ca
.AC
V điểm
F
sao cho
E
là trung điểm ca
.
DF
a) Chng minh
.ΔAED ΔCEF
=
( Hình
29).
b) Chng minh
.DB CF=
c) Chng minh
.ΔBDC ΔFCD=
Bài 25: Cho
,ΔABC
gi
,MN
lần lượt là trung điểm
ca
AC
.AB
Trên tia đối ca tia
MB
NC
ly
tương ứng hai điểm
D
E
sao cho
,
MD MB NE NC= =
.
Hình 26
F
E
Q
K
M
C
B
A
Hình 27
D
N
H
I
K
C
B
A
Hình 25
H
F
E
D
C
B
A
Hình 29
F
E
D
C
B
A
Hình 28
M
N
B
C
A
Hình 30
D
E
M
N
C
B
A
12
a) Chng minh
.
AD AE
=
( Hình
30).
b) Chng minh
,,
AED
thng hàng.
Bài 26: Cho
,ΔABC
.AB AC=
Hai điểm
,MN
lần lượt
là trung điểm ca
,.AC AB
( Hình
31).
a) Chng minh
ΔABM ΔACN=
.ΔBMC ΔCNB=
b) Ly đim
,EF
sao cho
M
là trung điểm ca
,BE
N
là trung điểm ca
.CF
Chng minh
.
AE AF
=
c) Chng minh
,.MN BC MN EF∥∥
Bài 27: Cho
,ΔABC
E
là trung điểm ca
.BC
Lấy điểm
D
thuộc tia đối ca tia
EA
sao cho
ED EA=
. ( Hình
32).
a) Chng minh
.ΔAEB ΔDEC=
b) Chng minh
.AC BD
c) K
EI AC
.EK BD
Chng minh
.ΔAIE ΔDKE=
d) Chng minh
,,IEK
thng hàng.
Bài 28: Cho
ΔABC
M
là trung điểm ca
.BC
Trên tia đi
ca tia
MA
ly đim
D
sao cho
MD MA
=
. ( Hình
33).
a) Chng minh
.ΔAMC ΔDMB=
b) Chng minh
.AC BD
c) V
MH DB
ti
.H
Trên cnh
AC
ly đim
K
Sao cho
.AK DH
=
Chng minh
.ΔMHD ΔMKA
=
t đó suy ra
.MK AK
Bài 29: Cho
ΔABC
nhn, v
( )
,AH BC H BC⊥∈
.
V
HI AB
ti
,I
v
HK AC
ti
.K
Ly
,EF
sao cho
I
là trung điểm ca
HE
,
K
là trung điểm
ca
,HF
EF
ct
,AB AC
lần lượt ti
,.MN
( Hình
34).
a) Chng minh
MH ME
=
và chu vi
ΔMHN
bng
.EF
b) Nếu
0
60 .
BAC =
Tính các góc
.ΔAEF
Bài 30: Cho
ΔABC
vuông tại
A
0
60 .B =
V
AH
vuông
góc với
BC
ti
.H
Trên cnh
AC
ly đim
D
sao cho
AD AH=
. Gi
I
là trung điểm cnh
.HD
( Hình
35).
a) Chng minh
.ΔAHI ΔADI=
T đó suy ra
.AI HD
b) Tia
AI
ct
HC
ti
.K
Chng minh
ΔAHK ΔADK=
t đó suy ra
.AB KD
Bài 31: Cho
ΔABC
AB AC=
AB BC>
. Gi
M
là trung điểm
ca
.BC
( Hình
36).
a) Chng minh
.ΔABM ΔACM=
Hình 31
C
M
N
B
A
F
E
Hình 36
E
D
N
B
C
M
K
A
Hình 32
E
K
I
D
C
A
B
B
A
C
D
K
H
M
Hình 33
Hình 34
F
E
N
M
H
C
B
A
Hình 35
I
D
K
H
C
B
A
13
b) Trên cnh
AB
lấy điểm
,D
trên cnh
AC
ly đim
E
sao cho
.AD AE=
Chng minh
.
MD ME
=
c) Gi
N
là trung điểm ca
.BD
Trên tia đối ca
tia
NM
lấy điểm
K
sao cho
.NK NM=
Chng minh
,,KDE
thng hàng.
Bài 32: Cho
ΔABC
AB AC
<
.
M
là trung điểm ca
.BC
Trên tia
đối ca tia
MA
lấy điểm
D
sao cho
MD MA=
. ( Hình
37).
a) Chng minh
.ΔAMB ΔDMC=
b) Chng minh
.
AB CD
c) K
AH BC
ti
.H
Trên tia đối ca tia
HA
lấy điểm
E
sao cho
H
là trung điểm ca
.AE
Chng minh
.BA BE=
d) Chng minh
.BD CE=
Bài 33: Cho
.ΔABC
Gi
M
là trung điểm ca
.BC
Trên tia
AM
ly đim
D
sao cho
AM MD=
. ( Hình
38).
a) Chng minh
.
ΔAMB ΔDMC=
b) V
AH BC
ti
.H
Trên tia đối ca tia
HA
lấy điểm
E
sao cho
.
HE HA=
Chng minh
ΔHMA ΔHME=
.ME MD=
c) Chng minh
.DE BC
Bài 34: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC<
. Ly
E
là trung điểm
ca
.BC
Trên tia
AE
ly đim
D
sao cho
E
là trung điểm ca
.
AD
a) Chng minh
.ΔABE ΔDCE=
( Hình
39).
b) Chng minh
.AC BD
c) V
AH BC
. Trên tia
AH
lấy điểm
K
sao cho
H
là trung điểm ca
.AK
Chng minh
BD AC CK= =
.
d) Chng minh
DK AH
.
Bài 35: Cho
ΔABC
nhn. K
AK BC
( )
.
K BC
Trên tia đối
ca tia
KA
ly đim
D
sao cho
KD KA=
. ( Hình
40).
a) Chng minh
.ΔAKB ΔDKB
=
b) Chng minh
CB
là tia phân giác ca
ACD
.
c) Gi
H
là trung điểm ca
.BC
Trên tia
AH
lấy điểm
E
sao cho
H
là trung điểm ca
.AE
Chng minh
CE BD=
.
Bài 36: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC
<
. Ly
M
là trung điểm ca
.BC
Trên tia đi ca tia
MA
ly đim
E
sao cho
MA ME=
.
a) Chng minh
.BE AC
( Hình
41).
b) K
AH BC
ti
.H
V tia
Bx
sao cho
ABx
nhn tia
BC
làm tia phân giác. Tia
Bx
ct
AH
ti
.F
Hình 41
B
C
M
H
E
F
K
A
Hình 37
E
D
M
H
C
B
A
Hình 38
B
C
H
M
E
D
A
Hình 39
B
C
B
H
K
D
A
Hình 40
B
C
K
H
D
E
A
14
Chng minh
CE BF=
.
c) Tia
Bx
ct tia
CE
ti
K
, tia
CF
ct tia
BE
ti
.I
Chng minh
,,MIK
thng hàng.
Bài 37: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC
<
. V
( )
.AH BC H BC⊥∈
Trên
AH
ly đim
K
sao cho
H
là trung điểm ca
.AK
( Hình
42).
a) Chng minh
.ΔACH ΔKCH
=
b) Gi
E
là trung điểm ca
.BC
Trên tia
AE
lấy điểm
D
sao
cho
E
là trung điểm ca
.
AD
Chng minh
BD AC CK
= =
.
c) Chng minh
EH
là tia phân giác
AEK
.DK BC
d) Gi
I
là giao điểm ca
BD
,CK
N
là trung điểm ca
.KD
Chng minh
,,EIN
thng hàng.
Bài 38: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC<
. K
AH BC
.
Trên đoạn
HC
lấy điểm
D
sao cho
BH HD=
. ( Hình
43).
a) Chng minh
AB AD
=
.
b) Trên tia đối ca tia
HA
lấy điểm
E
sao cho
HE HA=
.
Chng minh
.AB ED
c) Tia
ED
ct
AC
ti
,I
tia
AD
ct
EC
ti
Chng minh
DI DK=
.
d) Chng minh
IK BC
.
Bài 39: Cho
ΔABC
có ba góc nhọn. K
BM AC
,
CN AB
.
Gi
H
là giao điểm ca
BM
.CN
Gi
O
là trung điểm ca
.BC
Trên tia đi ca tia
OH
lấy điểm
D
sao cho
O
là trung điểm ca
.
HD
a) So sánh
ABM
ACN
. ( Hình
44).
b) Chng minh
BD AB
.
c) m điều kin ca
ΔABC
để
BM CN=
.
d) Trên các đoạn
BH
CD
ly đim
E
F
sao cho
BE CF=
. Chng minh
,BC
HD
EF
đồng quy.
Bài 40: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC<
. Phân giác
A
ct
BC
ti
.D
V
BE AD
ti
.E
Tia
BE
ct
AC
ti
.F
( Hình
45).
a) Chng minh
.AB AF=
b) Qua
F
v đường thng song song vi
,
BC
ct
AE
ti
H
Ly đim
K
nm gia
D
C
sao cho
.FH DK=
Chng minh
DH KF=
.DH KF
c) Chng minh
.ABC C>
Bài 41: Cho
ΔABC
BC=
. K
AH BC
( )
H BC
. Trên
tia đối ca tia
BC
ly đim
.D
Trên tia đối ca tia
CB
ly đim
E
sao cho
BD CE=
. ( Hình
46).
Hình 43
E
K
D
I
H
C
B
A
Hình 44
C
B
N
H
O
E
F
D
M
A
Hình 42
J
D
N
E
H
K
C
B
A
Hình 45
E
C
F
K
H
D
B
A
Hình 46
O
D
E
K
I
H
C
B
A
15
a) Chng minh
AB AC=
.
b) Chng minh
.ΔABD ΔACE=
c) Chng minh
.ΔACD ΔABE=
d)
AH
là tia phân giác ca
DAE
. K
BK AD
,
CI AE
.
Chng minh
,,
AH BK CI
đồng quy.
Bài 42: Cho
ΔABC
AB AC=
. Gi
H
là trung điểm ca
.BC
Trên đoạn
BH
lấy điểm
,D
trên tia đối ca tia
CB
ly đim
E
sao cho
BD CE=
. ( Hình
47).
a) Chng minh
ΔABH ΔACH=
.AH BC
b) K
(
)
,DM BC M AB⊥∈
,EN BC
( )
N AC
,
MN
ct
BC
ti
.
I
Chng minh
DM EN=
.IM IN=
c) Đưng thng qua
I
và vuông góc với
MN
ct tia
AH
ti
.O
Chng minh
OC AN
.
Hình 47
B
D
H
O
N
E
I
C
M
A
16
Bài 4. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Ba trường hp bng nhau đã biết của tam giác vuông.
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình
1
).
Nếu mt cạnh góc vuông và góc nhọn k cnh y của tam giác vuông này bằng cạnh góc
vuông và góc nhọn k cnh y của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng
nhau ( Hình
2
).
Nếu cnh huyn và một góc nhọn của tam giác vuông y bng cnh huyền và góc nhọn
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( cnh huyn góc nhọn)
( Hình
3
).
Ví dụ 1: Cho Hình
4.
Xét
ΔAMN
ΔBMN
có:
0
90 .AB= =
NM
là cnh chung.
AMN BMN=
( gi thiết)
Vy
ΔAMN ΔBMN=
( cnh huyn – c nhọn)
2) Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Nếu cnh huyn và mt cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bng cnh huyn và mt cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai am giác vuông đó bằng nhau.
( cnh huyn – cạnh góc vuông) ( Hình
5
).
Ví dụ 2: Cho Hình
6.
Xét
ΔABD
ΔACD
có:
0
90 .BC= =
AD
là cnh chung.
AB AC=
( gi thiết)
Vy
ΔABD ΔACD=
( cnh huyn – cnh góc vuông).
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
7.
a) Chng minh
.ΔAHB ΔAHC=
b) Chng minh
H
là trung điểm
.BC
Hình 4
N
M
B
A
Hình 5
Hình 3
Hình 2
Hình 1
C
D
B
Hình 6
A
Hình 7
H
C
B
A
17
Bài 2: Cho Hình
8.
a) Chng minh
.ΔABH ΔABK=
b) Chng minh
.BH BK=
Bài 3: Cho Hình
9.
a) Chng minh
.ΔABO ΔCDO=
b) Chng minh
.
AD BC=
Bài 4: Cho Hình
10.
a) Chng minh
.ΔABD ΔHBD=
b) Chng minh
.ΔDBH ΔDCH=
c) Chng minh
.ΔABD ΔHCD=
Bài 5: Cho Hình
11.
a) Chng minh
.
ΔBDF ΔEDC=
b) Chng minh
.FC=
c) Chng minh
.ΔAEF ΔBAC=
Bài 6: Cho Hình
12.
a) Chng minh
.ΔHMB ΔHNC=
b) Chng minh
.ΔAHM ΔAHN=
Bài 7: Cho đoạn thng
,
AB
Qua
A
v đường thng
m AB
,
Qua
B
v đường thng
,n AB
Qua trung điểm
O
ca
AB
v
một đường thng ct
m
C
và ct
n
.D
So sánh
OC
.OD
( Hình
13).
Bài 8: Cho
ΔABC
vuông tại
A
AB AC
=
. Qua
A
k đường
thng
(
,BC
cùng phía đối vi
). K
,BD xy CE xy
⊥⊥
.
a) Chng minh
.
ΔBAD ΔACE
=
b) Chng minh
DE DB CE= +
.
( Hình
14).
Bài 9: Cho
ΔABC
vuông tại
.
A
Gi
M
là trung điểm ca
BC
AM BC
. ( Hình
15).
a) Chng minh
AB AC=
.
b) Qua
A
k đường thng
( )
d
sao cho
B
C
nằm cùng
phía vi
( )
d
. K
( )
BH d
ti
,H
k
( )
CK d
ti
Chng minh
.ΔAHB ΔCKA=
m
n
O
D
C
B
Hình 13
A
Hình 11
E
D
B
C
F
A
Hình 12
M
N
H
C
B
A
Hình 14
y
x
E
D
C
B
A
Hình 15
E
D
M
C
B
A
d
Hình 8
K
B
H
A
Hình 9
O
D
C
B
A
D
H
C
B
Hình 10
A
18
Bài 10: Cho
ΔABC
. Tia
Ax
đi qua trung điểm
M
ca
.BC
K
BE
CF
vuông góc với
Ax
( )
,E Ax F Ax∈∈
.
So sánh
BE
CF
. ( Hình
16).
Bài 11: Cho
ΔABC
E
là trung điểm ca
.BC
Ly
D
thuộc tia đối ca tia
EA
sao cho
ED EA=
. ( Hình
17).
a) Chng minh:
.ΔAEB ΔDEC
=
b) Chng minh:
.AC BD
c) K
( )
EI AC I AC⊥∈
,
( )
EK BD K AC⊥∈
Chng minh
.ΔAIE ΔDKE
=
d) Chng minh
,,
IEK
thng hàng.
Bài 12: Cho
ΔABC
AB AC<
.
M
là trung
điểm ca
.BC
Trên tia đối ca tia
MA
ly đim
I
sao cho
MA MI=
. ( Hình
18).
a) Chng minh
.ΔABM ΔICM=
b) Chng minh
.AB IC
c) K
BH
CK
vuông góc với
.
AI
Chng minh
BH CK
=
.
d)
BH
ct
AC
ti
,E CK
ct
BI
ti
.F
Chng minh
,,EMF
thng hàng.
Bài 13: Cho
ΔOAB
nhọn. Trên tia đối ca tia
OA
ly đim
C
sao cho
OC OA=
. Trên tia đối ca tia
OB
ly đim
D
sao cho
OD OB=
. ( Hình
19).
a) Chng minh
.
ΔOAB ΔOCD=
b) T
B
k
BH AC
, T
D
k
.DK AC
Chng minh
BH DK=
.
c) Trên tia
AB
ly đim
M
trên tia
DC
lấy điểm
N
sao cho
BM DN=
. Chng minh
,,MON
thng hàng.
Bài 14: Cho
ΔABC
nhn và
AB AC<
. Gi
M
là trung điểm
ca
.AB
Trên tia đối ca tia
MC
lấy điểm
N
sao cho
MN BC=
. ( Hình
20).
a) Chng minh
ΔAMN ΔBMC=
.AC BN
b) Gi
,EF
lần lượt là trung điểm ca
,
AC NB
Chng minh
AF BE=
.
c) Chng minh
M
là trung điểm ca
.EF
Hình 18
M
F
E
K
H
I
C
B
A
Hình 17
E
D
K
I
C
B
A
Hình 19
D
N
K
C
M
H
B
O
A
Hình 16
F
E
M
C
B
A
x
Hình 20
M
N
F
E
C
B
A
19
Bài 15: Cho
ΔMNP
nhọn. Có
Q
là trung điểm ca
.MP
Trên tia đi ca tia
QN
lấy điểm
K
sao cho
QK QN=
. ( Hình
21).
a) Chng minh
.
ΔMNQ ΔPKQ
=
b) Chng minh
.MN KP
c) Gi
E
là trung điểm của đoạn
,NP
đường thng
EQ
ct
MK
ti
.F
Chng minh
F
là trung điểm ca
.MK
Bài 16: Cho
ΔABC
AB AC=
.
M
là trung điểm ca
.BC
Chng minh
.ΔAMB ΔAMC
=
( Hình
22).
a) T
M
k
ME AB
MF AC
. Chng minh
AE AF=
.
b) Chng minh
.
EF BC
c) T
B
k đường thẳng vuông góc với
.AB
T
C
k đường
thẳng vuông góc với
.AC
Hai đường thng này ct nhau
ti
.N
Chng minh
,,
AM N
thng hàng.
Bài 17: Cho
ΔABC
nhọn có
AB AC=
.
H
là trung điểm ca
.BC
T
H
k
HE
vuông góc với
AB
ti
,E
HF
vuông góc với
AC
ti
.F
a) Chng minh
.ΔABH ΔACH=
( Hình
23).
b) Chng minh
.ΔAHE ΔAHF=
c) Gi
M
là giao điểm ca
AB
vi
HF
,
N
là giao điểm ca
AC
.HE
Chng minh
,ME NF MF NE= =
.
Hình 22
C
N
E
F
M
B
A
Hình 23
M
N
H
E
F
C
B
A
Hình 21
Q
F
K
E
P
N
A
20
Bài 5. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐON THẲNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho
ΔABC
có hai cạnh
.
AB AC
=
Khi đó
ΔABC
được gi là tam giác cân.
Kết luận:
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bng nhau.
C th: Hình
1.
ΔABC
cân tại đỉnh
A
.
Hai cnh
,AB AC
là hai cnh bên.
BC
là cạnh đáy.
Hai góc
,BC
là hai góc ở đáy.
Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Ngưc lại tam giác có hai góc bằng
nhau là tam giác cân.
C th: Hình
2.
ΔABC
BC=
nên là tam giác cân ti
.A
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bng nhau hoặc ba góc bằng nhau.
Tam giác cân có
1
góc bằng
0
60
là tam giác đều.
Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân tại góc vuông.
2) Đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ 2: Cho đoạn thng
.AB
M
là trung điểm ca
.
AB
Đường thng
( )
d
vuông góc với
AB
ti
.M
( Hình
3
).
Khi đó
( )
d
được gọi là đường trung trc của đoạn thng
.AB
Kết luận:
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thng ti trung điểm
Của nó được gọi là đường trung trc của đoạn thẳng đó.
Điểm nm trên đường trung trc của đoạn thng thì cách đều
Hai đầu mút của đon thẳng đó.
C th: Hình
4.
Điểm
( )
.O d OA OB
∈⇒=
Ngược lại điểm cách đều hai đầu mút ca một đoạn thng
thì nằm trên đường trung trc của đoạn thẳng đó.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình
5.
a)
ΔABC
là tam giác gì?
b) Tính
,.
AC
Bài 2: Cho Hình
6.
a)
ΔABC
là tam giác gì?
b) Tính
,.BC
Hình 5
C
B
A
65
0
Hình 1
C
B
A
A
B
C
Hình 2
Hình 3
(d)
M
B
A
O
A
B
M
(d)
Hình 4
Hình 6
C
B
A
50
0
21
Bài 3: Cho Hình
7.
a) Tính
.B
b)
ΔABC
là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình
8.
ΔABC
là tam giác gì?
Bài 5: Cho Hình
9.
ΔABC
là tam giác gì?
Bài 6: Cho Hình
10.
a) Chng minh
.ΔABC ΔABD=
b)
ΔACD
là tam giác gì?
Bài 7: Cho Hình
11.
a) Chng minh
.
ΔABM ΔACN=
b)
ΔAMN
là tam giác gì?
Bài 8: Cho
.ΔABC
Tia phân giác
B
ct
AC
.D
Trên tia đối ca tia
BA
ly đim
E
sao cho
BE BC=
. Chng minh
.BD EC
( Hình
12).
Bài 9: Cho
ΔABC
cân ti A, ly đim D thuc AC,
E thuc AB sao cho
AD AE=
. ( Hình
13).
a) So sánh
ABD
ACE
.
b) Gọi I là giao điểm ca BD và CE.
Khi đó
IBC
là tam giác gì? Vì sao?
Bài 10: Cho
ΔABC
cân ti
,A
ly đim
H
trên
AC
,
điểm
K
trên
AB
sao cho
AH AK=
. Gi
O
là giao
điểm ca
BH
.CK
( Hình
14).
a) Chng minh
ΔOBC
là tam giác cân.
b) Chng minh
.KH BC
Bài 11: Cho
ΔABC
cân ti
.A
Tia phân giác ca
ct cnh
,AC AB
lần lượt
D
E
. ( Hình
15).
a) Chng minh
ΔAED
cân.
b) Chng minh
.DE BC
c) Chng minh
BE ED DC= =
.
Bài 12: Cho
ΔABC
cân ti
.A
Tia phân giác
BAC
ct
BC
ti
.M
Đường thng qua
M
và vuông góc với AB ct AB tại H. Đường
thẳng qua M và vuông góc với AC ct AC ti K. ( Hình
16).
a) Chng minh
.ΔAMB ΔAMC=
Hình 7
45
0
C
B
A
Hình 8
C
B
A
60
0
Hình 9
C
B
A
120
0
Hình 10
D
C
B
A
Hình 11
M
N
C
B
A
Hình 12
E
C
D
B
A
Hình 13
I
E
D
C
B
A
Hình 14
H
K
C
B
O
A
Hình 15
E
D
O
C
B
A
Hình 16
C
M
K
H
B
A
22
b) Chng minh
.ΔAHM ΔAKM=
So sánh
,.AH AK
c) Chng minh
HK AM
.
Bài 13: Cho
ΔABC
cân ti
,A
v
BD AC
ti
,D
CE AB
ti
.E
Gi
I
là giao điểm ca
BD
.CE
( Hình
17).
a) Chng minh
BD CE=
EI DI=
.
b) Gi
H
là trung điểm ca
.BC
Chng minh
,,AI H
thng hàng.
Bài 14: Cho
ΔABC
cân ti
Gi
M
là trung điểm ca
.BC
a) Chng minh
.ΔABM ΔACM=
b) Trên cnh
AM
lấy điểm
K
bt k.
Chng minh
KB KC=
.
c) Tia
BK
ct cnh
AC
ti
,F
tia
CK
ct cnh
AB
ti
Chng minh
.EF BC
( Hình
18).
Bài 15: Cho
ΔABC
vuông tại
Trên cnh
BC
lấy điểm
D
sao cho
BD BA
=
. Tia phân giác ca
B
ct cnh
AC
.E
( Hình
19).
a) Chng minh
.
ΔBEA ΔBED=
b) Qua
C
v đường thẳng vuông góc với
BE
ti
.H
CH
cắt đường thng
AB
ti
F
. Chng minh
BF BC=
c) Chng minh
ΔBAC ΔBDF=
,,DEF
thng hàng.
Bài 16: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
Trên cnh
BC
lấy điểm
K
sao cho
BK BA=
.
M
là trung điểm ca
.AK
( Hình
20).
a) Chng minh
.
ΔAMB ΔKMB=
b) Đường thng
BM
cắt đường thng
AC
ti
.D
Chng minh
DK BC
.
c) Trên tia đối ca tia
AB
lấy điểm
H
sao cho
AH KC=
.
Chng minh
,,
HDK
thng hàng.
Bài 17: Cho
( )
.ΔABC AB AC<
Trên cnh
AC
lấy điểm
D
sao cho
AD AB=
. Gi
M
là trung điểm ca cnh
.BD
( Hình
21).
a) Chng minh
.
ΔABM ΔADM=
b) Chng minh
AM BD
.
c) Tia
AM
ct cnh
BC
ti
Chng minh
ABK ADK=
.
d) Trên tia đối ca tia
BA
lấy điểm
F
sao cho
BF DC=
.
Chng minh
,,FKD
thng hàng.
Bài 18: Cho
ΔABC
AB AC<
.
AE
là tia phân giác
BAC
( )
E BC
.
Trên cnh
AC
lấy điểm
M
sao cho
AM AB=
. ( Hình
22).
a) Chng minh
.ΔABE ΔAME=
Hình 18
C
F
K
M
B
E
A
Hình 19
F
H
C
B
D
E
A
Hình 20
H
M
K
D
C
B
A
Hình 22
C
M
E
I
N
B
A
Hình 21
F
D
M
K
C
B
A
Hình 17
H
I
E
D
C
B
A
23
b)
AE
ct
BM
ti
.I
Chng minh
I
là trung điểm ca
.
BM
c) Trên tia đối ca tia
EM
lấy điểm
N
sao cho
EN EC=
. Chng minh
.ΔENB ΔECM=
d) Chng minh
,,ABN
thng hàng.
Bài 19: Cho
ΔABC
vuông tại
K
AH
vuông góc với
( )
BC H BC
và tia phân giác
AD
ca
HAC
( )
D BC
. ( Hình
23).
a) Trên cnh
AC
lấy điểm
E
sao cho
AE AH=
.
Chng minh
ΔADH ΔADE
=
DE AC
.
b) Trên tia đối ca tia
HA
lấy điểm
F
sao cho
HF EC=
.
Chng minh
,,
FDE
thng hàng.
Bài 20: Cho
ΔDEF
vuông tại
,D
EK
là tia phân giác ca
DEF
( )
K DF
. Trên tia
EF
lấy điểm
H
sao cho
EH ED=
. ( Hình
24).
a) Chng minh
ΔEDK ΔEHK=
t đó suy ra
KH EF
.
b) T
H
k đường thẳng vuông góc với
DF
nó cắt
DF
ti
.
I
Chng minh
.
HI ED
Bài 21: Cho
ΔABC
cân ti
Gi
D
là trung điểm ca
.BC
( Hình
25).
a) Chng minh
ΔADB ΔADC=
suy ra
AD
là tia phân giác
BAC
.
b) Chng minh
AD BC
.
c) Trên cnh
AB
AC
ly lần lượt hai điểm
,MN
sao cho
AM AN=
. Gi
K
là giao điểm ca
AD
.
MN
Chng minh
AD MN
.
d) Gi
O
là trung điểm ca
,BM
trên tia đối ca tia
OD
ly đim
P
sao cho
OD OP=
. Chng minh
,,PM N
thng hàng.
Bài 22: Cho
ΔABC
cân ti
Gi
I
J
lần lượt là trung điểm ca
AB
.AC
( Hình
26).
a) Chng minh
.ΔABJ ΔACI=
b) Gi
O
là giao điểm ca
BJ
CI
.
c) Chng minh
ΔOBC
có hai góc bằng nhau.
.IJ BC
d) Ly đim
E
F
sao cho
I
J
lần lượt là trung
điểm ca
CE
.BF
Chng minh
A
là trung điểm
ca
.
EF
Bài 23: Cho
ΔABC
cân ti
Trên tia đối ca tia
BC
ly đim
.D
Trên tia đi ca tia
CB
lấy điểm
E
sao cho
BD CE=
.
Chng minh
ΔADE
là tam giác cân. ( Hình
27).
Hình 23
E
C
F
H
D
B
A
Hình 24
F
H
I
K
E
D
K
A
P
D
C
B
O
M
N
Hình 25
O
F
E
A
B
I
J
C
Hình 26
Hình 27
D
E
C
B
A
24
Bài 24: Cho
ΔABC
cân ti
,A
AM
là tia phân giác của góc
A
(
)
M BC
. Trên tia đối ca tia
BC
ly đim
D
.
Trên tia đi ca tia
CB
lấy điểm
E
sao cho
BD CE=
.
a) Chng minh
.ΔABM ΔACM=
( Hình
28).
b) Chng minh
AM BC
.
c) Chng minh
ADC AEB
=
.
Bài 25: Cho
ΔABC
cân ti
Trên cnh
BC
lấy 2 điểm
D
E
sao cho
BD CE=
. Ni
AD
.AE
( Hình
29).
a) Chng minh
ΔADE
cân.
b) Chng minh
.ΔABE ΔACD=
Bài 26: Cho
ΔABC
cân ti
Ly đim
I
là trung điểm ca
.BC
Trên tia
BC
lấy điểm
N
, trên tia
CB
lấy điểm
M
sao cho
CN BM
=
. Chng minh ( Hình
30).
a)
ABI ACI=
AI
là tia phân giác của góc
BAC
.
b)
AM AN=
.
c)
AI BC
.
d)
AI
là đường trung trc ca
.MN
Bài 27: Cho
ΔMNP
cân ti
.M
Gi
D
là trung điểm
của đoạn thng
.NP
( Hình
31).
a) Chng minh
.
ΔMND ΔMPD=
T đó suy ra
MD NP
.
b) Trên tia đối ca tia
NP
lấy điểm
E
và trên tia đối ca tia
PN
ly đim
F
sao cho
NE PF=
. Chng minh
ME MF=
.
c) Ly đim
I
bên trong
ΔMNP
sao cho
IN IP=
.
Chng minh
,,MID
thng hàng.
A
B
C
E
D
Hình 28
A
D
E
C
B
Hình 29
I
Hình 30
B
C
M
N
A
I
M
N
P
F
E
Hình 31
D
25
ÔN TẬP CHƯƠNG 4.
Bài 1: Cho
ΔABC
vuông tại
.
A
K
BD
là tia phân giác ca
ΔABC
(
)
.
D AC
Trên cnh
BC
lấy điểm
E
sao cho
BE BA=
.
a) Chng minh
.ΔABD ΔEBD=
b) Chng minh
DE AD
=
DE BC
.
c) Chng minh
BD
là đường trung trc ca
.AE
d) Trên tia đối ca tia
AB
lấy điểm
F
sao cho
AF CE=
.
Chng minh
,,DFE
thng hàng.
Bài 2: Cho
ΔABC
0
90A =
. Trên cnh
BC
lấy điểm
E
sao cho
BE BA
=
. Tia phân giác ca
B
ct
AC
ti
.D
a) Chng minh
ΔABD ΔEBD=
DE BC
.
b) Gi
F
là giao điểm ca
AB
.
DE
Chng minh
AF CE=
.
c) Gi
I
là trung điểm ca
.
CF
Chng minh
,,BDI
thng hàng.
d) Chng minh
BAE EAC ECA
= +
.
Bài 3: Cho góc nhọn
0
50xOy >
. Ly đim
A
trên tia
( )
Ox A O
và điểm
B
trên tia
Oy
sao cho
OA OB=
. Gi
H
là trung điểm ca
đoạn
.
AB
a) Chng minh
.ΔOAH ΔOBH
=
b) Trên tia
OH
ly đim
M
sao cho
OM OH>
.
Chng minh
AM MB=
.
c) Qua
M
k đường thng song song vi
AB
ct
Ox
ti
E
Oy
ti
.K
Chng minh
OH EK
OM
là đường trung trc ca
.EK
d) Gọi giao điểm ca
AK
vi
BE
.S
Chng minh
OS
là tia phân giác ca
xOy
.
Bài 4: Cho
ΔABC
AB AC<
. Tia phân giác
A
ct cnh
BC
ti
.I
Trên cnh
AC
lấy điểm
D
sao cho
AD AB=
.
a) Chng minh
BI ID=
.
b) Tia
DI
ct tia
AB
ti
.E
Chng minh
.ΔIBE ΔIDC=
c) Chng minh
.BD EC
d) Cho
2.ABC ACB=
. Chng minh
AB BI AC+=
.
Bài 5: Cho
ΔABC
cân ti
.A
V
AD
là phân giác góc
( )
.BAC D BC
a) Chng minh
.ΔABD ΔACD=
b) Chng minh
AD
là trung trc ca
.BC
c) V
DM AB
ti
.M
Trên cnh
AC
ly
N
sao cho
AN AM=
. Chng minh
ADM ΔADN=
F
C
E
D
B
A
F
I
C
B
E
D
A
A
E
M
H
B
K
S
x
O
y
C
I
B
E
D
A
B
C
K
E
M
N
D
A
26
DN AC
.
d) Gi
K
là trung điểm ca
.CN
Trên tia đối ca tia
KD
ly đim
E
sao cho
KE KD=
.
Chng minh
,,MNE
thng hàng.
Bài 6: Cho
ΔABC
vuông tại
,A
BD
là phân giác
( )
A.BD C
K
DE BC
ti
.
E
a) Chng minh
BA BE=
.
b) Chng minh
BD
là đường trung trc ca
.AE
c) K
Bx BD
(
Bx
nm trên na mt phng b
BD
không
chứa điểm
),A
trên tia
Bx
lấy điểm
H
sao cho
BH AE=
.
Chng minh
HE AC
.
d)
O
là trung điểm ca
.
BE
Chng minh
,,AOH
thng hàng.
Bài 7: Cho
ΔABC
vuông tại
A
AB AC>
. K
( )
.AH BC H BC⊥∈
Ly đim
D
thuộc tia đối ca tia
HA
sao cho
HD HA=
.
a) Chng minh rng
ΔCAH ΔCDH=
và tia
CB
là tia phân giác ca
ACD
.
b) Qua
D
k một đường thng song song vi
AC
ct
BC
ti
M
và ct
AB
ti
.K
Chng minh
ΔCHA ΔMHD=
AD
là đường trung trc ca
.
CM
c) K
BN AM
(
N
thuc tia
).AM
Chng minh
,,BND
thng hàng.
Bài 8: Cho
ΔABC
cân ti
.A
Trên cnh
BC
ly điểm
.
D
Trên tia đối ca tia
CB
ly đim
E
sao cho
BD CE=
. Các đường thẳng vuông góc với
BC
k t
D
E
ct
AB
AC
lần lượt
M
.N
Chng minh
a)
DM EN=
b) Đường thng
BC
ct
MN
tại điểm
I
trung điểm ca
.MN
K
( )
,
AH BC H BC⊥∈
. Đường thng vuông góc với
MN
ti
I
cắt đường thng
AH
ti
.O
Chng minh
ΔOAB ΔOAC=
.ΔOBM ΔOCN=
c)
OC AC
.
Bài 9: Cho
ΔABC
vuông tại
.A
Gi
M
là trung điểm ca
.BC
Phân giác
ABC
ct
AC
ti
.I
Biết
BI AM
ti
.H
a) Chng minh
IA IM=
.
b) Tính các góc của
.ΔBIC
c) Biết độ dài các cnh ca
ΔABC
là ba s nguyên dương
liên tiếp. Tính chu vi ca
ΔABC
d) Trên tia đối ca tia
HB
lấy điểm
K
sao cho
HK HB=
.
Chng minh
.ΔAIB ΔKIC=
C
D
E
O
B
H
A
N
B
K
C
H
M
D
A
E
C
N
I
H
O
D
M
B
A
B
M
K
C
I
H
A
27
Bài 10: Cho
ΔABC
cân ti
K tia phân giác
CD
(
)
.D AB
Qua
D
v đường thẳng vuông
góc với
CD
ct
BC
ti
F
và ct
CA
ti
,K
đường thng k qua
D
và song song vi
BC
ct
AC
ti
.E
Phân giác góc
BAC
ct
DE
ti
.M
Chng minh
a)
.
ΔCDF ΔCDK=
b)
,ΔDEC ΔDEK
là các tam giác cân.
c)
2.
CF BD
=
.
d)
1
4
MD CF=
.
Bài 11: Cho
ΔABC
AB AC
<
.
AD
là tia phân giác ca
BAC
.
Trên cnh
AC
lấy điểm
M
sao cho
AM AB=
.
a) Chng minh
.ΔABD ΔAMD=
b) Gi
I
là giao điểm ca
AD
.
BM
c) Chng minh
I
là trung điểm
BM
AI BM
.
d) Gi
K
là trung điểm ca
,
AM
trên tia đối ca tia
KB
ly đim
P
sao cho
KB KP=
. Chng minh
.MP AB
e) Trên tia đối ca tia
MP
lấy điểm
E
sao cho
MP ME=
.
Chng minh
,,AI E
thng hàng.
Bài 12: Cho
ΔABC
đều, Trên các cnh
,,AB BC CA
lần lượt
lấy ba điểm
,,DEF
sao cho
AD BE CF= =
.
Chng minh rng
ΔDEF
là tam giác đều.
Bài 13: Cho
ΔABC
AB BC<
. Trên tia
BA
lấy điểm
D
sao cho
BD BC=
. Tia phân giác
B
ct
AC
DC
lần lượt ti
E
.I
a) Chng minh
.ΔBEC ΔBED=
b) Chng minh
ID IC=
.
c) T
A
k
AH DC
ti
.H
Chng minh
.AH BI
Bài 14: Cho
ΔABC
AB BC<
. Trên tia
BA
lấy điểm
D
sao cho
BC BD=
. Tia phân giác
B
ct
AC
.E
Gi
K
là trung điểm ca
.DC
a) Chng minh
.ΔBED ΔBEC=
b) Chng minh
EK DC
.
c) Chng minh
,,BKE
thng hàng.
d) K
( )
,AH DC H DC⊥∈
.
ΔABC
cần thêm điều kin gì
để
0
45DAH =
.
C
F
M
D
E
K
B
A
C
A
P
D
E
I
K
B
A
C
B
E
I
H
D
A
A
D
H
K
E
B
C
C
B
F
D
E
A
1
CHƯƠNG V. THU THẬP VÀ BIỂU DIỄN DỮ LIỆU
Bài 1. THU THẬP VÀ PHÂN LOẠI DỮ LIỆU
A. LÝ THUYẾT.
1) Thu thập và phân loại dữ liệu.
Ví dụ 1: Cho các dãy d liu sau:
a) Các loi màu sc gồm có: Xanh, đ, cam, vàng, trắng, đen.
b) Các loi b nh ca USB:
8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128GGGG G
c) Các loi hc lc: Gii; Khá; Trung Bình; Yếu.
Nhn thy rng d liu câu b là d liệu liên quan đến s nên gi là s liệu.
Còn d liu câu a, c có d liu không phi là số.
Kết luận:
D liu có th là s liu hoc không phi là s liệu.
D liu là s liu còn gi là d liệu định lưng, d liu không phi là s gi là d liu
định tính.
Chú ý:
Trong d liu không phi là s có th chia thành hai loi nh, là d liu có th sp th t
và d liu không th sp th t
C th: D liu không th sp th t u a, d liu có th sp th t là câu c.
Ví dụ 2: Bn Thảo đã hỏi mt s bn trong lp v mt s câu hỏi và thu đưc kết qu như sau:
a) Tháng sinh ca bn là tháng my: tháng
3
, tháng
5
, tháng
7
, tháng
9
.
b) Quê ngoi ca bn đâu: Nội thành Hà Ni, Thái Bình, Ngoi thành Hà Nội, Hưng yên.
c) S yêu thích ca bn với môn Toán: Thích, Bình thường, Không thích.
d) Chiu cao ca bn:
1, 2 ; 1, 4 ; 1, 3 ; 1, 35 .mmm m
Khi đó:
D liu câu a và câu d là d liu số.
D liu câu b không phi là d liu s, d liu câu c không là d liu s và có th sp
th tự.
2) Tính đại diện của dữ liệu.
Để có th đưa ra các kết lun hp lí, d liệu thu được phải đảm bảo tính đại din cho toàn
b đối tượng đang được quan tâm.
Ví dụ 3: Kết qu điều tra v s lượng xe gửi trong
1
tun ca mt bãi gửi xe ô tô, xe máy được
cho bi bng sau:
Loại xe
Th
2
Th
3
Th
4
Th
5
Th
6
Th
7
CN
Ô tô
102
D liệu trên có đại din cho s lượng xe được gi trong mt tun ca bãi xe trên không?
2
D liệu trên không đại din cho s lượng xe mt tun của bãi xe trên, vì bãi xe trên bao
gm c xe máy và ô tô, nhưng dữ liu trên ch cho ta biết thông tin v xe ô tô.
Ví dụ 4: Kết qu điều tra v u sc sn phẩm bán được trong
1
tháng ti mt shop qun áo
được cho bi bng thng kê sau:
Màu sc
Đen
m bc
Xanh rêu
Ghi
Xanh dương
Qun
43
21
50
D liệu trên có đại din cho màu sc mặt hàng bán được ca shop quần áo không?
D liu trong bảng không đại din cho màu sc mặt hàng bán đưc ca shop quần áo. vì
trong shop có đủ c quần và áo, nhưng dữ liu trong bng ch cho thông tin v màu sc
ca quần bán được.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Hãy cho biết d liệu dưới đây là dữ liu s hay không là d liu số.
a) Danh sách mt s loại phương tiện: Xe máy, ô tô, máy bay, …..
b) Màu sc mt s màu sơn tưng: vàng, trắng, cam, xanh, …..
c) Chiu dài ca mt s máy bay dân dng:
73,9 ; 63 ; 66,89 ; .....mm m
Bài 2: Cho các dãy d liệu sau, đâu là dữ liu s, d liu nào có th sp th t đưc?
a) Áo trng, quần đen, giày thể thao, mũ trắng.
b)
50%; 30%; 17%; 3%.
c)
2 ;3 ;4 ;5 .hhhh
d) Vở, sách, bút, thước, cc ty.
Bài 3: Cho bng sau:
Tốc độ chy trung bình ca mt s loài động vt
Con vt
Tốc độ
( )
/km h
Tên loài điển hình
Chó sói
69
Sói bc cc
Nga vn
64
Nga vn chamman
Sơn dương
98
Sơn dương sumatra
Th
56
Th Angora
Trong bảng trên, đâu là dữ liu số, đâu là dữ liu không phi số.
Bài 4: Khi tìm hiu v vic hc thêm môn Toán ca mt s hc sinh trong lp, Yến thu v bng
thông tin sau
STT
Gi tính
Tui
Ý kiến
1
Nam
13
Thích
2
Nam
13
Không thích
3
N
13
Không thích
4
Nam
13
Không thích
5
N
13
Thích
6
N
13
Thích
3
Trong các loi d liu thng kê trên, d liu thng kê nào là s liệu?
Bài 5: S thích môn Toán ca các bn lp
7
A
được ghi bng sau:
S thích
Rt thích
Bình thường
Không thích
Bn nam
6
3
5
Bảng trên có đại din cho s thích môn Toán ca các bn lp
7A
Bài 6: Tìm hiu v n hc yêu thích ca các bn trong lp
7B
, cô giáo lp phiếu thu như bảng
sau và hc sinh s tích vào các môn mà hc sinh chọn.
Môn hc
Toán
Văn
Anh
Thích
Không thích
D liệu trên có đại din cho môn hc yêu thích ca các bn trong lp
7B
hay không?
Bài 7: Cô giáo ch nhim mun ly ý kiến ca các bn hc sinh lp
7A
v s thích hc môn
Toán ca lớp.
a) Em hãy cho biết đối tượng mà cô giáo mun ly ý kiến.
b) Trong các cách ly ý kiến sau, cách nào hp lý hơn:
Cách 1: Ly ý kiến ca các bn hc gii Toán ca lớp.
Cách 2: Ly ý kiến ca tt c các bn t I.
4
Bài 2. BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT TRÒN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Đọc và mô tả biu đhình quạt tròn.
Biểu đồ hình quạt tròn dùng để so sánh các phn trong toàn b d liu.
Trong biểu đồ hình qut tròn, mi phn là mt hình qut tròn, c hình tròn biu din toàn
b d liu ng với 100%.
Ví dụ 1: Biểu đồ Hình
1.
Cho biết các loại kem bán ra trong một ngày ca mt cửa hàng kem.
a) Em hãy ch ra các thành phn ca biểu đồ trên.
b) Trong biểu đồ, hình tròn được chia thành my
hình qut, mi hình qut biu din s liệu nào?
c) Em hãy lp bng thng kê t l các loại kem bán
được trong mt ngày ca cửa hàng đó.
a) Các thành phn trong biểu đồ Hình
1
gm có:
Tiêu đề: T l các loại kem bán được trong một ngày.
Hình tròn biu din d liu và Chú giải.
b) Trong biểu đồ hình tròn được chia thành
4
hình qut, mi hình qut biu din t l mt
loại kem được bán ra.
c) T biểu đồ hình tròn ta có bng thng kê sau
Kem sôcôla
Kem sữa da
Kem c quế
Kem đậu xanh
T l phần trăm
36%
25%
25%
14%
Nhận xét:
Mi
1%
ng vi mt góc
0
3, 6
m của hình tròn.
Phn hình qut ng vi mt nửa đường tròn là
50%
.
2) Biểu din dữ liệu vào biểu đhình quạt tròn.
Ví dụ 2: T l các bạn trong trường d đoán đội vô địch giải bóng đá học sinh khối 7 được cho
bi bng sau:
7A
7
B
7C
7
D
T l d đoán
15%
30%
20%
35%
Em hãy biu din thông tin bng trên vào biểu đồ Hình
2.
TỈ LỆ CÁC LOẠI KEM BÁN ĐƯỢC TRONG MỘT NGÀY
Hình 1
14%
25%
25%
36%
Kem đậu xanh
Kem ốc quế
Kem sữa dừa
Kem sôcôla
TỈ LỆ DỰ ĐOÁN VÔ ĐỊCH CỦA CÁC LỚP KHỐI 7
Hình 2
Lớp 7D
Lớp 7C
Lớp 7B
5%
Lớp 7A
Hình 3
TỈ LỆ HỌC SINH THAM GIA CÁC MÔN
THỂ THAO CỦA LỚP 7A
35%
30%
13%
22%
Cầu lông
Đá cầu
Bóng đá
Bơi lội
5
3) Phân tích dữ liệu trong biểu đhình quạt tròn.
Ví dụ 3: Cho biểu đồ Hình
3.
a) Môn th thao nào được các bn lp
7A
tham gia nhiu nhất.
b) Lp
7A
40
học sinh. Khi đó số học sinh tham gia bóng đá là bao nhiêu em?
c) Môn th thao nào được ít các bn tham gia nhất? chiếm bao nhiêu phần trăm học sinh c
lớp.
a) T biểu đồ ta thy, môn bơi lội đưc các bn lp
7A
tham gia nhiu nht chiếm
35%
.
b) S học sinh tham gia bóng đá chiếm
30%
trong tng s
40
hc sinh nên s hc sinh
tham gia bóng đá là
3
30%.40 .40 12
10
= =
học sinh.
c) Môn đá cầu được ít các bn tham gia nht chiếm
13%
s hc sinh c lớp.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho biểu đồ Hình
4.
a) Trong biểu đồ trên, có my th loi phim được thống kê.
b) Loại phim nào được các bn hc sinh khi lp 7 yêu thích nhất?
c) Phim hot hình có bao nhiêu bạn yêu thích?
Bài 2: Cho biểu đồ Hình
5.
a) Trong biểu đồ trên, có my loi trái cây ca hàng A nhp về.
b) Loi trái cây nào nhp v nhiu nht, loi nào ít nht, chiếm bao nhiêu phần trăm.
c) Nếu tng các loi trái cây là 200kg thì Cam chiếm bao nhiêu kg?
Bài 3: Biểu đồ Hình
6
th hin các mặt hàng nước ngọt bán được ca mt ca hàng trong mt
tháng.
a) Ca hàng bán sn phm nào nhiu nht, ít nhất.
b) Tng tt c có bao nhiêu phần trăm.
c) Ca hàng nhn thy đã bán hết tng
375
lon nước. Hỏi cửa hàng đã bán được bao nhiêu
lon nước Bridy trong một tháng.
Côca - côla
Nutri boost
Red bull
Birdy
TỈ LỆ CÁC LOẠI NƯỚC BÁN RA CỦA MỘT CỬA HÀNG
15%
40%
25%
20%
Hình 6
TỈ LỆ HỌC SINH LỰA CHỌN MÔN HỌC YÊU THÍCH KHỐI LỚP 7
17.5%
20%
Môn Anh
25%
Môn Lý
Môn Văn
Môn Toán
37.5%
Hình 7
Hình 4
TỈ LỆ YÊU THÍCH CÁC THỂ LOẠI PHIM CỦA 80 HỌC SINH LỚP 7
14%
25%
25%
36%
Phim hoạt hình
Phim hình sự
Phim phiêu lưu
Phim hài
TỈ LỆ CÁC LOẠI TRÁI CÂY ĐƯỢC GIAO CHO CỬA HÀNG A
Hình 5
25%
20%
5%
Mít
Bưởi
Soài
Cam
50%
6
Bài 4: Biểu đồ Hình
7
th hin t l các bn hc sinh khi lp
7
la chn môn học yêu thích.
a) Trong các môn học, môn nào đưc các bn hc sinh la chn nhiu nhất? ít nhất.
b) Lp bng thng kê cho biểu đồ Hình
7
.
c) Thy giáo thy rng có
70
bn thích học Lý, em hãy
tính xem khối lp
7
có bao nhiêu bn học sinh.
Bài 5: T l các loại sách trong thư vin ca mt
Trường được cho Hình
8.
a) Sách giáo khoa chiếm bao nhiêu phần trăm.
b) Sách nào có nhiu nht, ít nhất trong thư viện
c) Lp bng thng kê th hin biểu đồ
Hình
8.
Bài 6: Biểu đồ Hình
9
th hin các loại phương
tin di chuyn ca học sinh khi đi học ti mt
trường tiu hc.
a) Hc sinh ch yếu s dng phương tiện nào
nhiu nht, ít nhất.
b) Học sinh được b m đưa đón bằng xe máy
chiếm bao nhiêu phần trăm.
c) Trưng này cho biết có
360
học sinh đăng kí
đi xe đạp. em hãy tính số học sinh toàn trường
của trường tiu học này.
Bài 7: Biểu đồ doanh thu mt s dòng sn phm ca mt cửa hàng điện t trong một tháng được
cho bi bng sau:
Các loi sn phm
Máy tính
Điện thoi
Bàn phím
Chut không giây
Doanh s
10
20
40
V biểu đồ hình qut tròn th hin bng s liu trên.
Bài 8: Cho bng thng kê sau:
Li nhun sn phm trên mi mt hàng
Các loi sn phm
Xe đạp tr
em
Xe máy
điện
Pin Ph kiện đi kèm
Doanh s
20%
60%
15%
5%
V biểu đồ hình qut tròn th din d liệu trên.
TỈ LỆ CÁC LOẠI SÁCH TRONG THƯ VIỆN
40%
Hình 8
20%
25%
15%
Sách giáo khoa
Sách tham khảo
Truyện tranh
Một số sách khác
TỈ LỆ PHƯƠNG TIỆN CỦA HỌC SINH Ở MỘT TRƯỜNG TIỂU HỌC
Hình 9
Đi bộ
Xe máy
Xe buýt
Xe đạp
12%
45%
25%
18%
7
Bài 3. BIỂU ĐỒ ĐOẠN THẲNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Giới thiệu vbiu đđon thng.
Biểu đồ đoạn thẳng thường được dùng để biu din s thay đổi ca một đại lượng theo
thời gian. Các thành phn ca biểu đồ đoạn thng gm:
+ Trc ngang biu din thời gian.
+ Trc dc biu diễn đại lượng quan tâm.
+ Mỗi điểm biu din giá tr của đại lượng ti mt thời điểm. Hai điểm liên tiếp được ni
vi nhau bi một đoạn thẳng.
+ Tiêu đề ca biểu đ thường dòng trên cùng.
Ví dụ 1: Trong biều đồ Hình
1.
gm có:
+ Tiêu đề: Nhiệt độ
6
ngày đầu tun tháng
2
năm
2024
+ Trục đứng: Th hin nhiệt độ.
+ Trc ngang: Th hin ngày
+ Các điểm đưc ni vơi nhau bởi các đoạn thẳng.
2) Đọc và phân tích dữ liệu trong biểu đđoạn thẳng.
Biểu đồ đoạn thng giúp ta d dàng nhn ra xu
thế của đại lượng ta đang quan tâm theo thời gian.
Ví dụ 2: Cho biểu đồ Hình
2.
a) Cho biết biểu đồ cho ta biết thông tin gì?
b) Theo em, tháng nào giá trị ca cà phê thp nht, tháng nào cà phê có giá tr cao nhất?
c) T biểu đồ em hãy lập bng thng kê v giá tr ca cà phê trong
6
tháng đầu năm
2020
TỔNG QUAN THỊ TRƯỜNG CÀ PHÊ
6 THÁNG ĐẦU NĂM 2020
10
20
30
40
0
1
2
3
4
5
32
37
30
35
6
Tháng
Giá trị
( nghìn đồng/ kg)
30
27
Hình 2
SỞ THÍCH CỦA CÁC BẠN LỚP 7A
5
9
7
15
Sở thích
Số học sinh
4
8
12
16
0
Hình 3
Du
lịch
Buffet
Công
viên
Xem
phim
NHIỆT ĐỘ TRONG 6 NGÀY ĐẦU TUẦN
THÁNG 2 NĂM 2023
30
27
24
22
22
6
5
4
3
2
1
Hình 1
23
0
40
30
20
10
Nhiệt độ
0
C
Ngày
8
Ví dụ 3: Biểu đồ Hình
3
th hin s thích ca các bn trong lp
7A
a) S thích nào được các bn la chn nhiu nht, ít nhất.
b) Nếu mi bn ch được la chn mt s thích và bạn nào cũng chọn. Em hãy cho biết lp
7A
có bao nhiêu bn học sinh?
c) T thông tin biểu đồ, em hãy lập bng thng kê th hin s thích các bn lp
7A
.
3) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
Để v biểu đồ đoạn thng ta cn v hai trc ngang và dc.
Trên trục ngang ta thưng lấy các đại lượng ta quan tâm, trên trc dc th hin giá tr ca
các đại lượng.
Chú ý:
Khi ly các giá tr trên trc nm dc, các giá tr bng nhau s đưc th hin bởi các đoạn
thng bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho bng thng kê chiu cao ca một cây đậu trong
5
ngày.
Ngày
Ngày
1
Ngày
2
Ngày
3
Ngày
4
Ngày
5
Chiu cao ( cm)
0,5
0,75
1
1, 4
2,5
Em hãy v biểu đồ đoạn thng biu th bng s liệu trên.
Giải
Ta v trc ngang th hin các ngày t ngày
1
đến ngày
5
.
Trc dc ta th hin chiều cao theo cm. ( Hình
4).
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Quan sát biểu đ Hình
5.
ri tr li mt s câu hi sau
a) Biểu đồ biu diễn thông tin gì?
b) Đơn vị thời gian là gì?
c) m bao nhiêu thì sản lượng lương thực thế giới đạt trên 2000 triu tấn.
Bài 2: Quan sát biểu đ Hình
6.
a) Tháng nào trong năm có nhiệt độ trung
bình cao nht? thp nht? là bao nhiêu độ?
b) Gii thích vì sao các tháng
6,7,8
li có nhit đ trung bình cao nht trong năm?
c) Lp bng thng kê th hin biểu đồ trên.
CHIỀU CAO CỦA MỘT CÂY ĐẬU
TRONG 5 NGÀY ĐẦU TIÊN
Hình 4
Chiều cao
(cm)
Ngày
5
1
2,5
1,4
0,5
4
3
2
1
0
0,75
2,5
2
1,5
1
0,5
2003
SẢN LƯỢNG LƯƠNG THỰC THẾ GIỚI THỜI KÌ 1950 - 2003
676
500
1 000
1 500
2 000
2 500
1561
0
1950
1970
1980
1990
1213
2021
1950
2060
2000
Năm
Sản lượng ( Triệu tấn)
Hình 5
9
Bài 3: Sau khi tng kết hc kì 1 ca một trường THCS, trường này đã thể hin hc lc hc sinh
toàn trường vào biểu đồ Hình
7.
a) Có nhng loi hc lực nào được th hin trong
bn đ, hc sinh trưng này chiếm hc
lc nào nhiu nht, ít nht, chiếm bao nhiêu hc sinh?
b) Có bao nhiêu bạn đạt hc lc Gii, nếu ch
tiêu nhà trưng đưa ra trong hc kì 1 là
hc sinh có hc lc gii chiếm
20%
thì kết qu trên đã đt đưc chưa.
c) Em hãy lp bng thng kê th hin thông tin biểu đồ trên.
Bài 4: Thông tin v t l hc sinh yêu thích các loi màu sc ca các bn hc sinh trong lp
7D
.
a) Cho biết màu nào được hc sinh yêu thích nhiu nhất? chiếm bao nhiêu học sinh?
b) Màu nào được các bn la chn ít nhất? kém hơn so với máu được la chn nhiu nht là
bao nhiêu bạn?
c) Em hãy cho biết lp
7D
có bao nhiêu hc sinh, biết rng mi bn hc sinh ch được
chn
1
màu và có
4
bn không chọn màu?
NHIỆT ĐỘ TRUNG BÌNH 12 THÁNG Ở HÀ NỘI NĂM 2022
Hình 6
5
10
15
20
25
30
0
17
21
27
1
17
20
24
27
28
29
28
25
18
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tháng
Nhiệt độ
0
C
TỈ LỆ HỌC LỰC HỌC KÌ 1
20
40
60
80
100
120
0
140
Giỏi
Khá
Trung
Bình
Yếu
38
13
52
Hình 7
140
Số học sinh
Học lực
TỈ LỆ HỌC SINH YÊU THÍCH MÀU SẮC CỦA LỚP 7D
Hình 8
7
Đỏ
0
6
5
4
3
2
1
4
7
5
1
6
Xanh
Vàng
Cam
Đen
Màu sắc
Số học sinh
THỜI GIAN LÀM MỘT BÀI TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 7A
5
0
12
10
8
6
4
2
6
7
9
11
Thời gian ( phút)
Số học sinh
2
8
10
Hình 9
10
Bài 5: Biểu đồ Hình
9
th hin thi gian gii mt bài toán ca các bn hc sinh lp
7A
a) Thi gian nhiu nhất để
1
hc sinh lp
7A
giải bài toán này là bao nhiêu phút?
b) Nếu gii bài toán trên trong vòng
5
phút thì thy giáo s phần thường, vy lp
7A
bao nhiêu bạn được thầy giáo thưởng?
c) Lp
7A
có bao nhiêu học sinh? Từ
8
phút tr lên, bao nhiêu bạn làm xong?
Bài 6: Bng thng kê th hin s học sinh đạt điểm tt ca lp
7A
trong các tháng ca học kì 1.
Tháng
Tháng
9
Tháng
10
Tháng
11
Tháng
12
S hc sinh
7
9
12
8
Em hãy v biểu đồ th hin bng thng kê trên
Bài 7: Thi gian gii mt bài toán ca
10
em hc sinh lp
7A
được th hin trong bng thng
kê sau
Thi gian ( phút)
5
7
12
14
S hc sinh
1
2
5
2
Em hãy v biểu đồ th hin bng thống kê trên.
| 1/96

Preview text:

CHƯƠNG I. SỐ HỮU TỈ.
Bài 1: TẬP HỢP CÁC SỐ HỮU TỈ. A. LÝ THUYẾT. 1) Khái niệm:
Ví dụ 1:
Viết các số thập phân như 2, − 4 hay hỗn số 3 1 về phân số: 7 − − Ta có 24 12 2, − 4 = = và 3 10 1 = 10 5 7 7 −
Khi đó hai phân số 12 và 10 được gọi là số hữu tỉ. 5 7 Kết luận:
♣ Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số a với a, b∈,b ≠ 0. b
♣ Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là .  Chú ý: a
♣ Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ a là số hữu tỉ − . b b
♣ Vì các số thập phân đã biết đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều
là các số hữu tỉ. Tương tự cho các số tự nhiên và số nguyên.
Ví dụ 2: Trong các số sau, số nào là số hữu tỉ: 1 − − 3 6 3 1 − 0 − ,12 2 − 5 21 − 10 0 8 15 − − − Ta có 21 21= 3 11 1 − = − 12 3 0 − ,12 = − = − 2 2 − = 1 8 8 100 25 15 − 15 − − Nên các số 1 3 3 2 ; ; 0,001; −1 ; − 0,12; −
đều là các số hữu tỉ. 5 − 10 8 15 −
Số 6 không là số hữu tỉ vì có mẫu bằng 0. 0
Ví dụ 3: Tìm số đối của các số hữu tỉ sau: 7 − − − 5 6 3 5 − 3 1 − 9, − 2 9 2 11 − 13 − 4 − 7
Các số trên có số đối lần lượt là 7 − − 5 6 3 5 3 1 9,2 9 2 11 13 4 7
Ví dụ 4: Tìm số đối của số hữu tỉ 0.
Số đối của số hữu tỉ 0 là số 0.
2) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
Ví dụ 5: Biểu diễn các số hữu tỉ 3 − ; 2 trên trục số A B
Điểm A biểu diễn số 3 − -3 -2 -1 0 1 2 3
Điểm B biểu diễn số 2
Ví dụ 6: Biểu diễn các số hữu tỉ 3 5 ; trên trục số 2 3
Số hữu tỉ 3 =1,5 hoặc 3 1 1 =1 =1+ -5 3 2 2 2 2 3 2 − Số hữu tỉ 5 2 2 = 1 − = 1 − − -2 -1 0 1 2 3 3 3
Nên trên trục số ta lấy đoạn từ 1 − đến 2
− và chia đoạn đó thành 3 phần và lấy 2 lần. Kết luận:
♣ Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn trên trục số.
♣ Số hữu tỉ a có thể được viết về số thập phân rồi biểu diễn trên trục số. b
♣ Trên trục số, mỗi điểm biểu diễn số hữu tỉ a được gọi là điểm . a Chú ý:
♣ Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau a a
− nằm về hai phía khác b b
nhau so với điểm O và có cùng khoảng cách đến . O
3) Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ.
Ví dụ 7: Cho ba số hữu tỉ được biểu diễn bởi ba điểm ,
A B, C trên trục số như trên hình vẽ. Hỏi
trong ba điểm đó, điểm nào lớn nhất, điểm nào nhỏ nhất.
Ta có điểm A lớn nhất
Điểm C nhỏ nhất C B A
C < B < A 0
Ví dụ 8: So sánh hai số hữu tỉ 5 và 7 8 8 Ta thấy 5 7 5 < 7 ⇒ < . 8 8 Kết luận:
♣ Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bất kì bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh.
♣ Với hai số hữu tỉ a, b bất kì ta luôn có a > b hoặc a < b hoặc a = . b
♣ Với ba số hữu tỉ a, b, .
c Nếu a < bb < c thì a < b < c ( tính chất bắc cầu)
♣ Trên trục số nếu a < b thì a nằm bên trái . b Chú ý:
♣ Số hữu tỉ dương là số hữu tỉ lớn hơn 0.
♣ Số hữu tỉ âm là số hữu tỉ nhỏ hơn 0.
♣ Số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.
♣ So sánh cùng tử dương: Phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn
Cụ thể: Nếu m > n thì a a < m n
♣ Thêm dấu âm: Khi ta thêm dáu âm vào hai vế của một biểu thức so sánh thì ta dổi chiều dấu so sánh Cụ thể: Nếu a c > thì a c − < − b d b d B. BÀI TẬP.
Dạng 1: Nhận biết số hữu tỉ.
Bài 1: Trong các số sau, số nào là số hữu tỉ 1 − − 12 6 − 7 0 3 − 5 4 − 6 5 − 0 6 −
Bài 2: Trong các số sau, số nào là số hữu tỉ 4 4 − 1 5 4 − 9, − 1 0,123 2,1 3,2 7 12 3 1,2 0,8 Bài 3: Điền dấu ,
∈ ∈/ để thể hiện các mối quan hệ sau − 1) 4..... 2) 3..... −  3) 8..... 4) 1 3 ..... 5 4 2 − 5) 6 ..... 6) 0 ..... 7) 3..... 8) 9..... 19 − 10 0 Bài 4: Điền dấu ,
∈ ∈/ để thể hiện các mối quan hệ sau − − 1) 3..... 2) 6..... 3) 9 ..... 4) 5..... 4 2 3 − 6 5) 1 ..... 6) 0..... 7) 7 ..... 8) 6..... − 2 6 7  −
Bài 5: Viết các số sau về số hữu tỉ: 1) 1 1 − 2) 3 3 3) 1 7 4) 3 4 − 6 5 2 7 5) 0,2 6) 3,2 7) 4, − 50 8) 1, − 22
Bài 6: Viết các số sau về số hữu tỉ: − 1) 0,1 2) 2,2 3) 4 4) 5 5 20 2,1 3,5 5) 3,4 6) 2, − 8 7) 4,9 8) 0,8 1,7 0,7 7,0 3, − 2
Bài 7: Tìm số đối của các số hữu tỉ sau: 3 − − − 7 − 6 5 4 − 0 0 8 12 11 3 − 9 − 10 20
Bài 8: Tìm số đối của các số hữu tỉ sau: 3 − − − 5 − 1 4 8, − 8 2,3 1 5 2,3 7 4 5,1 2,2 3, − 4
Dạng 2. Biểu diễn và so sánh các số hữu tỉ
Bài 1: Biểu diễn số hữu tỉ 3 5 ; ; 2; 0 trên trục số. 2 4
Bài 2: Biểu diễn số hũu tỉ 1 5
1 ; 2 ; 4; 4,5 trên trục số. 3 6
Bài 3: Biểu diễn số hữu tỉ 2 1 1 −
; − 3,2; − 4; − 5 trên trục số. 3 3
Bài 4: Cho biết các điểm ,
A B, C trên trục số trong Hình 1 biểu diễn số hữu tỉ nào? A C B H N M 0 1 -1 0 Hì h 1 Hì h 2
Bài 5: Cho biết điểm M , N, H trên trục số trong Hình 2 biểu diễn số hữu tỉ nào?
Bài 6: So sánh các số hữu tỉ sau: − − 1) 3 và 5 2) 5 và 6 3) 2 và 2 4 4 9 9 7 9 − − 4) 7 và 7 5) 5 2 và 1 3 6) 4 3 và 3 3 11 12 6 6 13 13
Bài 7: So sánh các số hữu tỉ sau: 1) 5 và 4 2) 5 và 3 3) 5 và 9 6 5 8 4 3 6 − − − − 4) 9 và 4 5) 5 và 1 6) 7 và 31 10 5 12 − 2 4 18 −
Bài 8: So sánh các số hữu tỉ sau: − − − − 1) 11 và 15 2) 9 và 3 3) 7 và 6 12 14 17 2 6 7 − 4) 69 và 1 5) 28 và 5 − 6) 4 và 21 68 3 6 − 5
Bài 9: So sánh các số hữu tỉ sau: 1) 56 và 57 2) 15 và 19 3) 43 và 53 57 58 16 20 42 52 − − 4) 29 và 31 5) 9 − và 10 − 6) 14 và 21 14 15 19 21 17 24
Bài 10: So sánh các số hữu tỉ sau: − − 1) 1212 và 12 2) 414141 và 41 3) 5959 và 59 2323 23 676767 67 4242 42 − 4) 1010 và 101010 5) 333 − và 444 6) 555 − và 33 2121 212121 666 888 − 888 44
Bài 2: CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ A. LÝ THUYẾT.
1) Cộng, trừ hai số hữu tỉ.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính − − 1) 51 13 + 2) 5 11 − 3) 2 4 − − 19 19 6 6 5 15 − − + 5 11 − 5 − (− ) − 1) 51 13 51 13 + = 11 3) 2 4 6 4 − − = − 19 19 19 2) − = 6 6 6 5 15 15 15 38 − − − − − = = 2. − 16 8 6 4 10 2 = = . = = = . 19 6 3 15 15 3
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính 1) 2 0,6 + 2) 1 − ( 0, − 4) 3)  2 3,5 −  − 3 3  7    1) 2 6 2 0,6 + = + 2) 1 − (− ) 1 4 0,4 = + 3)  2 −  35 2 3,5 − = + 3 10 3 3 3 10  7    10 7 3 2 9 10 = + = + 1 2 5 6 = + = + 7 2 49 4 5 3 15 15 3 5 15 15 = + = + 2 7 14 14 19 = . 11 = . 53 15 15 = . 14 Kết luận:
♣ Để cộng, trừ các số hữu tỉ ta thực hiện như cộng, trừ các phân số.
♣ Các tính chất cơ bản:
. Giao hoán: a b b a + = +
. Kết hợp: a b c a c b + + = + + m m m m
m n m m m    n . Cộng với số a a 0: + 0 = 0 +
. Cộng với số đối: a a  + − =   0 . m m b b
♣ Trong tập hợp  ta cũng có quy tắc dấu ngoặc tương tự như tập hợp . 
♣ Đối với một tổng các số hữu tỉ, ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các
số hạng một cách tùy ý để tính toán cho thuận lợi.
Ví dụ 3: Thực hiện phép tính: 1) 3 3 10 − + 2) 4  3 −  7 − − 3) 3 11 9 + − 13 2 13 7  7    3 4 8 12 1) 3 3 10 − + 2) 4  3 −  7 − − 3) 3 11 9 + − 13 2 13 7  7    3 4 8 12 3 10 3 = + − 4 3 7 3 9 11 = − + 13 13 2 = + − 7 7 3 4 12 8 13 3 3 1 1 − = − = − = . 7 7 7 4 − 3 3 11 11 = − + = . 13 2 2 2 = − =1− = . 7 3 3 3 4 4 8 8
Ví dụ 4: Thực hiện phép tính: 1) 15 5  3 18  + − + 2) 5  7 3  17 − − + 3) 1 1  1 9  − − + 12 13 12 13      16 15 16  30 6 6  4 12    1) 15 5  3 18  + − + 2) 5  7 3  17 − − + 3) 1 1  1 9  − − + 12 13 12 13      16 15 16  30 6 6  4 12    15 5 3 18 = + − − 5 7 3 17 = − + + 1 1 1 9  12 13 12 13 16 15 16 30 = − − − 6 6 4 12   15 3 5 18 = − + − 5 3 7 17 = + − + 1 1 1 9 12 12 13 13 16 16 15 30 = − + + 6 6 4 12 12 13 − − = + = 0. 8 14 17 = + + 1 3 12 13 16 30 30 = + =1. 4 4 1 1 3 = + = . 2 10 5
2) Nhân, chia hai số hữu tỉ.
Ví dụ 5: Thực hiện phép tính − − − 1) 4 21 . 2) 17 4 : 3) 5 7 : 7 8 15 3 9 18 − − − − − − 1) 4 21 3 . = . 2) 17 4 17 3 17 : = . = . 3) 5 7 5 18 10 : = . = . 7 8 2 15 3 15 4 20 9 18 9 7 7
Ví dụ 6: Thực hiện phép tính − − 1) (− ) 4 5 . 2)  3 −    :6 3) 7 :( 3, − 5) 15  25  11 − − − − 1) (− ) 4 5.4 4 5 . = = . 2)  3 −  3 − 1 1 :6 = . − =   . 3) 7 7 7 :( 3, − 5) = : 15 15 3  25  25 6 50 11 11 2 7 − 2 − 2 = . = . 11 7 11 Kết luận:
♣ Để nhân, chia các số hữu tỉ ta thực hiện như cộng, trừ các phân số.
♣ Các tính chất cơ bản: . Giao hoán a b . . a b =
. Kết hợp a b c . a . . . b c a = = . c .b m n . m n m n d . m . n d m d n
. Nhân với số 1 a .1=1. a a =
. Phân phối a . c b . c c . a b  + = + m m m
m d n d d m n   
♣ Nếu số hữu tỉ được cho dưới dạng hỗn số, số thập phân thì ta có thể viết chúng dưới dạng
phân số rồi tính hoặc tính trực tiếp.
Ví dụ 7: Thực hiện phép tính − − − − 1) 11 3 2 3 . − . 2) 11 19 19 5 . + . 3) 3 5 5 8 5 . + . + 2 9 4 9 4 8 3 3 8 11 7 7 11 7 − − − − 1) 11 3 2 3 . − . 2) 11 19 19 5 . + . 3) 3 5 5 8 5 . + . + 2 9 4 9 4 8 3 3 8 11 7 7 11 7 3 11 2   − −  − − = − 19 11 5  = + 5 3 8  5 = + +   2 4  9 9      3  8 8  7  11 11  7 3 3 − = .1= . 19 16 19 = . = .( 2 − ) 5 = (− ) 5 . 1 + 2 4 4 3 8 3 7 7 38 − − = . 5 5 = + 2 + = 2. 3 7 7
Ví dụ 8: Thực hiện phép tính 1) 5  1 5  5  1 2 :  −   −    :  − + − 2) 2 3 19 3 5 19 + : + +     : 9 11 22 9 15 3       5 8  18  5 8  18 1) 5  1 5  5  1 2 :  −   −    :  − + − 2) 2 3 19 3 5 19 + : + +     : 9 11 22 9 15 3       5 8  18  5 8  18 5  2 5  5  1 10 :  2 − 3  18  3 − 5  18   :  = − + − = + . + +    . 9 22 22 9 15 15       5 8  19  5 8  19 5 3 − 5 3 − 5 2 − 2 5 5 : : . . − = + = + 18  2 − 3 3 − 5  = + + + 9 22 9 5 9 3 9 3 19  5 8 5 8    5  22 − 5 −  5 27 = + = 18  2 − 3 − 3 5  18   . − = 5. − 9 = + + + = .0 =   0.  3 3  9 3 19  5 5 8 8  19 B. BÀI TẬP.
Dạng 1: Tính đơn giản
Bài 1: Thực hiện phép tính − − 1) 3 2 + 2) 4 3 − 3) 5 7 + 5 5 7 7 13 13 − 4) 3  7  + − 5) 5 4 − − 6) 17 5 − 8  8    9 9 11 11
Bài 2: Thực hiện phép tính 1) 1 1 + 2) 2 3 − 3) 3 2 − 3 4 3 4 5 3 − − − 4) 1 5 + 5) 1 2 + 6) 5 7 − 5 2 4 5 6 5
Bài 3: Thực hiện phép tính − 1) 1 5 − 2) 3 2 + 3) 25 61 + 12 4 11 33 7 21 − − − − 4) 2 11 + 5) 16 5 − 6) 15 1 − 5 30 42 8 12 4
Bài 4: Thực hiện phép tính − − − 1) 3 5 + 2) 2 7 − 3) 4 3 + 8 6 15 10 8 10 − − 4) 1 1 − − 5) 3 2 − 6) 4 5 − + 12 10 20 30 12 18
Bài 5: Thực hiện phép tính 1) 3 2 + 2) 5 −1 3) 1 1 − + 4 3 5 − 4) 6 1 − − 5) 3 3 − + 6) 6 − − 2 5 7 7
Bài 6: Thực hiện phép tính 1) 3 2 2 −1 2) 3 1 3 + 2 3) 1 1 3 − − 2 5 3 7 2 2 4 4) 1 1 2 − − 3 5) 1 3 4 − + 2 6) 1  1 6  7  − − − 2 4 2 10 7 6   
Bài 7: Thực hiện phép tính − 1) 2 6 3 + − 2) 7 3 17 + − 3) 1 1 2 + + 7 21 14 2 4 12 12 4 3 − − − 4) 1 4 8 + − 5) 2 3 2 + + 6) 5 5 9 + − 3 5 15 3 4 6 18 45 6
Bài 8: Thực hiện phép tính − − − − 1) 20 4 . 2) 24 15 . 3) 4 17 . 41 5 5 8 − 34 24 − − − − − 4) 20 5 : 5) 8 12 : 6) 12 1 : 7 21 5 7 21 6
Bài 9: Thực hiện phép tính − − 1) 1 4 3 − . 2) 3 1 .2 3) 8 1 .1 9 21 4 2 15 4 4)  11 1 −         :1 5) 1 1 1 : 2 −   6) 1 6 3 − : 1 −      15  10 5  5   7   49 
Bài 10: Thực hiện phép tính − 1)  4 4,5. −     2) 4 2,4. 3 − 3) 15 0,2. 9      7  4 5 − 4) ( )  4 3,5 : 2  − −    5) :( 2 − ) 6) 1 1,25: 3 − 5     23  8 
Bài 11: Thực hiện phép tính − − − 1) 1 4 3 + + 2) 2 1 7 + + 3) 4  2 −  7 − − 4 15 4 3 3 15 5  5    10 4) 3 2 4 − + 5) 2 1 1 + − 6) 3 5 2 − + 7 3 7 3 4 3 5 4 5
Bài 12: Thực hiện phép tính − 1) 3 15 3 + + 2) 3 1 8 + − 3) 4  2 −  7 − − 8 25 − 5 5 25 20 5  7    10 − − − 4) 10 13 1 7 + − + 5) 13 8 22 4 + + − 6) 1 5 11 5 + + + 3 10 6 10 35 24 35 3 6 13 12 13 −
Bài 13:
Thực hiện phép tính − − 1) 3 1 17 3 + − + 2) 11 17 2 17 + + + 3) 8 15 1 15 + + + 7 2 7 2 13 29 13 29 9 23 9 23 − − − − 4) 7 6 17 17 + + + 5) 3 14 25 11 + + + 6) 7 4 4 10 + − + 10 23 10 23 11 25 11 25 3 7 3 7 − 7) 5 4 17 41 + + − 8) 11 5 13 36 − + − 9) 3 1 3 4 4 + − + 12 37 12 37 24 41 24 41 16 5 16 5
Bài 14: Thực hiện phép tính − 1) 15 1 19 4 3 + + − + 2) 5 8 14 3 30 + + + − 3) 11 5 7 8 10 − − − + 34 3 34 3 7 19 11 19 2 11 25 13 17 13 17 4) 13 6 38 35 1 + − + − 5) 28 10 13 7 + − + 3 6) 3 4 1 1 17 2 + + − + 25 41 25 41 2 15 24 15 12 4 21 4 2 21
Bài 15: Thực hiện phép tính − − − − − − − 1) 3 12 25 . . 2) 1 25 26 . . 3) 17 4 8 . . 4 5 − 6 5 13 45 12 2 34 − 4) 22 6 7 . . 5)  1   15  38  −  − − . −    . 6) 15 7 12 − . . 7 − 55 12  6   19  45 4  15  5
Bài 16: Thực hiện phép tính 7 − 5 15 − − − 1)  5 −  7  11 . .   .( 30) −  2) . . .( 32 − ) 3) 32 7 3 2. − . .  11  15  5 −  15 8 7 − 21 4 8 4) 3 1 2 .1 .( 2 − ,2) 5) 1 1 1 .1 .( 5 − ) ,1 6)  13 −  5  25 . . .( 64 −     ) 11 12 17 24  25  32  13 − 
Bài 17: Thực hiện phép tính 1)  3 3   3 − 2   −   − − + − +       2) 3 3 3 4 − + − − + 3) 25 31 7 3 − − − 5 4   4 5               7 8   8 7   27 42   27 42  4)  1 − 7   5 − 1   − + − +         5) 16 27 14 5 + − − 6) 13 15 10 1 + + − 2 6   2 6               21 12  12 21  23 4   23 4 
Bài 18: Thực hiện phép tính 1) 2  4 2 6      2 4  − + 2) 3 5 3 7 − 2 +  5 3) 2 4 2 8 − 3 +  4 5 9 5      5  7 5  7  9 7  4) 2  2 1 8      4 5  − − 5) 4 3 4 21 − 1 +  7 6) 3 4 3 11 − 2 +  5 9 9 2      11  5 11 13  7 13  7)  4 7  4 6 + 3 −       4 8) 8 3 8 7 + 2 −   4 9) 5 7 5 6 + 2 −   4  9 11 9  9 13  9  7 9  7
Bài 19: Thực hiện phép tính 1) 1 1  1 9   −   −    − − + 2) 2 7 1 3 − − + 3) 1 1 1 7 − − − 6        6  4 12    3  4  2 8  24 4  2 8  4) 3  5 −  1 6         − − + 5) 9 1 2 1 − − − − 6) 5 7 2 1 + − − + 2          4  2 8    7 2  7 10  3  12 3  3
Bài 20:
Thực hiện phép tính 1)  1 1   9 4 7      6  − + − + +  2) 7 1 1 7 + − + 3 − +    5 5 3 5 3       12 2  12 
3)  1 1   5 3   7 5     − − − − + −     4) 2 9 3 5 2 9 − − + − −
2 3   3 2   3 2               7 4   7 4   4 7  5)  1 2   1 6   7 3 3        5  6  − + − − − − − +  6) 2 1 5 3 7 5 6 − + −  5 + − −  3 − + 4 3 3 5 4 2          3 2   3 2   3 2  7)  5 3   5 2   8 4 9         2   10 − + − + − + − −  8) 9 2 3 5 2 9 8 − + −   6 − − + −  3 + − 3 7 7 3 7 3          4 7   7 4   4 7 
Bài 21: Thực hiện phép tính 1) 2 3 5 2 . + . 2) 2 5 3 2 . − . 3) 5 19 12 5 . − . 5 8 8 5 3 2 4 3 7 23 23 7 4) 7 11 7 5 . − . 5) 11 3 2 3 . − . 6) 3 13 3 8 . + . 2 6 2 6 9 4 9 4 7 5 7 5 7) 2 8 5 8 . + . 8) 23 3 17 3 . − . 9) 3 5 7 3 . − . 7 19 7 19 15 8 15 8 2 3 6 2 − − − − 10) 7 16 7 3 . + . 11) 23 3 13 3 . + . 12) 11 19 19 5 . + . 15 13 15 13 7 10 7 10 8 3 3 8 − − − − − − 13) 2 3 16 3 . + . 14) 5 3 13 3 . + . 15) 2 5 11 5 . + . 3 11 9 11 9 11 18 11 13 3 13 3 − − − − − − 16) 9 5 17 5 . + . 17) 7 4 5 7 . + . 18) 3 23 3 9 . − . 13 17 13 17 15 9 9 15 8 14 8 14
Bài 22: Thực hiện phép tính − − 1) 5 31 5 2 5 . + . +1 2) 5  3 −  5  8 −  5 . + . +     2 3) 9 23 1 9 9 . − . + 17 33 17 33 17 7  11  7  11  7 10 11 11 10 10 − − − − − 4) 5 8 5 8 . + . −1 5) 19 14 25 19 3 . + . + 4 6) 1 3 5 3 1 . − . + 4 15 16 15 3 4 4 3 4 27 7 9 7 9
Bài 23: Thực hiện phép tính − − 1) 10 8 7 10 . + . 2) 12 23 12 13 . − . 3) 3 16 2 3 . − . 11 9 18 11 25 7 7 25 7 15 15 7 − − − − − − − 4) 4 5 12 4 . + . 5) 6 13 6 8 . + . 6) 2 1 2 7 . − . 13 17 13 17 13 21 13 21 4 13 24 13
Bài 24: Thực hiện phép tính 1) 5 1 5 1 .17 − .47 2) 4 1 4 1 .19 − .39 3) 2 1 2 1 .15 − .10 6 3 6 3 5 3 5 3 5 3 5 3 4) 3 1 3 1 .13 − .33 5) 3 1 3 1 .26 − .44 6) 4 3 4 3 .15 − .2 5 4 5 4 4 5 4 5 13 41 13 41 − − − − 7) 1 25 1 25 12 . −10 . 8) 1 2 1 2 43 . −13 . 9) 3 1 3 1 16 . −13 . 5 4 5 4 4 3 4 3 5 3 5 3
Bài 25: Thực hiện phép tính − − − − − − 1) 1 4 1 4 35 : − 45 : 2) 5 5 4 5 4 : + 5 : 3) 7 2 2 2 .2 −1 . 6 5 6 5 9 7 9 7 5 3 5 3 − 4) 1 9 1 9 3 : + 3 : 5) 1 2 1 2 : − 4 : 6) 1 4 1 4 19 : − 39 : 3 4 3 13 9 145 3 145 3 3 3 3 7) 2 4 2 4 5 : −17 : 8) 4 5 4 5 22 : − 7 : 9) 1 2 1 2 13 : − 23 : 3 7 3 7 7 9 7 9 6 5 6 5 10) 2 3 2 3 16 − : + 28 : 11) 1  3 −  1  3 2 :  −   −    1 :  − − 12) 2 3 2 3 16 : −   28 : 7 5 7 5 4 5 4  5        7  5  7  5  13) 1  7 −  2  7 17 :       3 : −  + 14) 5 5 4 5 4 : − +   5 : − 3 3 3  3        9  7  9  7 
Bài 26: Thực hiện phép tính 1) 3  2 1  3  1 1 .       .  − + + 2) 51 1 2 51 3 7 . − +   . + 7 3 4 7  3 4        61  4 5  61  4 5  3) 15 4  12  7 9  12 − . + −        . 4) 9 4 1 9 5 7 . − + . −    
 11 13  17 11 13  17 5  9 18  5  36 12  5) 15  3 1  15 11 7 .       .  − + − 6) 15 4 12 7 9 12 − . + −    . 12 24 12 12  6 8     
 11 13  17 11 13  17 7)  3 − 5  5 −  4 − 6  5 + . + +        . − 8) 7 3 20 5 1 20 − . + −    .  7 11 3  7 11 3  6 4  21  6 4  21 9)  1 5  20  40 − 10  20 − . + +        . 10) 7 1 11 5 4 11 + . − +    . 11 45  21  45 11  21  2 3  23  2 3  23
Bài 27: Thực hiện phép tính 1)  2 − 10  4  1 − 4  4  −   − + : + +      : 2) 3 2 5 1 1 5 + : + +     :  3 7  5  3 7  5  4 3  11  4 3  11 3)  1 − 3  2  4 4  2  −  −  −  − + : + − +     : 4) 3 1 5 10 13 5 + : − +     :  5 7  11  5 7  11  7 12  6  7 12  6 5) 7  2 1  7  1 5 :  −   −    :  − + − 6) 3 1 1 3 1 16 : − +   : − 8 9 18 8  36 12        5  15 6  5  3 15  7) 100  3 7  23  9 7 :  :  + + − 123 4 12 123  5 15     
Bài 28: Thực hiện phép tính 1)  1 2  8 8  1 2 3 5     .  2 4  + − +  2) 1 1 9 1 1 9 7 + 2 . − 3 +    4 . 2 3 19 19 2 3       3 2  23  3 2  23
Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm x )
Bài 1: Tìm x biết: 1) 1 3 x + = 2) 1 3 x + = 3) 2 7 x + = 3 4 5 7 3 12 4) 3 4 x + = 5) 3 4 x + = 6) 2 5 x + = 5 15 4 5 3 6 7) 1 3 x − + = 8) 1 11 x − + = 9) 2 5 x + = 12 8 12 12 7 9 10) 1 5 + x = 11) 4 5 + x = 12) 1 1 + x = 6 12 7 3 2 4 − 13) 2 4 + x = 14) 5 4 − + x = 15) 3 1 + x = 3 7 9 9 7 3
Bài 2: Tìm x biết: 1) 3 1 x − = 2) 2 5 x − = 3) 2 5 x − = 4 2 5 7 3 6 4) 2 3 x − = 5) 1 3 x − = 6) 1 1 x − = 5 2 2 4 15 10 7) 1 2 x − − = 8) 2 1 x − − = 9) 3 2 x − − = 2 3 5 4 5 3 10) 4 1 − x = 11) 7 2 − x = 12) 2 2 − x = 7 3 5 3 5 3 − 13) 2 3 x − − = 14) 2 3 x − − = 15) 3 5 − x = 7 4 15 10 8 12
Bài 3: Tìm x biết: − 1) 2 4 x = 2) 3 21 x = 3)  3  5 .x − = 3 27 5 10  7    21 − − − 4) 4 2 : x = 5) 8 20 : x − = 6) 5 20 : x = − 7 5 15 21 7 35 − − 7) 3 4 x : = 8) 12 26 x : = 9)  2 −  15 x : − = 2 27 13 27  5    16
Bài 4: Tìm x biết: 1) 13 3 5 + + x = 2) 1 2  1 x −  + = − 3) 2 11 + x +1= 20 5 6 3 5  3    3 3 − − − − 4) 3 1 7 x − − = + 5) 3 4 2 − x = + 6) 5 7 1 − x = + 5 4 10 7 5 3 6 12 3 − 7) 3 1  3 x −  − −  − − = − 8) 5 3 1 x  − = − 9) 7 3 3 − − x = 7 4  5      8 20  6  12 5 4
Bài 5: Tìm x biết: 1) 1  1  5 −      x + = 2) 3 1 4 −  x + = 3) 5 1 1 −  x + = 2 3      6 4  2  5 6  3  6 4) 1  5  1 −      x − = 5) 17 7 7 −  x − = 6) 3 3 2 − +  x = 2 6      4 6  6  4 35  5  7 7) 3  2  5 −      x − = 8) 1 15 3 −  x − = 9) 11 2 2 − +  x = 4 3      6 2  6  4 12  5  3 10) 7  3  5 −   − − −    x − = 11) 5 3 5 − −  x = − 12) 11 2 3 − −  x = 12 8      6 12  8  6 12  5  4
Bài 6: Tìm x biết: 1) 3 1 5 x + = 2) 3 2 4 x + = 3) 3 1 x + = 5 2 2 2 5 3 5 4 2 4) 3 1 2 x − = 5) 3 1 3 x − = 6) 2 1 2 x − = 4 5 5 4 2 7 5 3 3 7) 3 6 1 x − = 8) 3 11 2 x − = 9) 2 2 x − = 1 − 5 7 7 5 4 5 5 3 − 10) 23 1 5 x − = 11) 1 1 5 x − − = 12) 3 2 1 x − = 3 4 3 4 3 9 5 7 5 13) 1 2x − = 5 − 14) 1 4 2x − = − 15) 3 7 3.x − − = 2 3 9 5 10 16) 1 2 4 + x = 17) 3 5 7 + x = 18) 5 2 3 + x = 2 3 5 4 2 2 7 3 10 19) 3 1 5 x − + = 20) 3 1 1 x − + = 21) 1 2 1 + x = − 4 4 6 4 4 2 3 3 2 22) 5 2 − x =1 23) 8 1 2 − x = 24) 4 5 1 x − − = 3 3 9 9 3 3 3 2 25) 7 3 1 − x = 26) 3 1 2 + : x = 27) 2 1 3 + : x = 4 4 2 4 4 5 3 3 5 28) 2 1 4 + : x = 29) 4 1 2 + : x = 30) 2 5 3 + : x = 3 3 3 5 3 3 3 2 4 31) 3 1 3 + : x = 32) 1 11 3 + : x = 33) 1 1 1 : x − + = 7 7 14 5 10 4 3 2 5 − − − 34) 3 1 + : x = 2 35) 5 1 + : x = 2 36) 1 3 11 − : x = − 4 4 6 6 4 4 36
Bài 7: Tìm x biết: − 1) 12 3x − = 0 − ,6 2) 4 1 x − =1,25 3) 11 5 − x + 0,25 = 5 3 2 12 6 4) 2 1 0,2 + x = 5) 15 3 1, − 5 + .x = 6) 5 1 x + 4 = 6 3 3 2 4 11 11 7) 2 1 5 1 x − = 8) 1 1 2 x − 9 = 20 9) 3 4 4 3 x − + = 3 4 6 4 4 7 7 5
Bài 8:
Tìm x biết: 1) 5 1 + ( x − ) 5 . 2. 1 = 1 1 1 2) 8 1 : x  2 − − =  1 − 3) 5 − .(2x + ) 1 = 8 4 4 7 7  3  2 2 2 4)  2x  −    2x  2  (− ) 1 1 : 5 =  5) 3 1 1 0,5.x − : =   1 6) − 3 :( 10 − ) =    5  4  7  2 7  3  5
Bài 9: Tìm x biết: 1)  1  2 x 2x + − =        0 2) ( x + ) 1 4 1 2 − x + =   0 3) ( x − ) 1 5 1 2x − =   0  2  3   3   3  4) ( x ) 3 2 3 x 1 − + =       0 5) ( − x) 4 3 2 x + 2 =   0 6) ( − x) 3 5 7 − 3x =   0  4   7   7  7)  3 7  9 x 6 x − − =          0 8) 1 7 6 3 x − − : x =    0 9) 2 4 1 x − + x =    0  7 5  10   3 9  5 2   3 9  2 
Dạng 4. Tính tổng và tính biểu thức Bài 1: Tính tổng 1) 2 2 2 2 A = + + + .....+ 2) 4 4 4 4 A = + + + .....+ 1.3 3.5 5.7 99.101 1.3 3.5 5.7 99.101 3) 8 1 1 1 1 1 A = − − − −.....− − 4) 2 2 2 2 A =1− − − −.....− 9 72 56 42 6 2 3.5 5.7 7.9 63.65 5) 6) 1 9 9 9 A = + + + .....+ 19 19.29 29.39 1999.2009
Bài 2: Tính giá trị biểu thức 2 2 2 + − 5 5 5 5 − + − 1) 212 213 214 B = 3 9 27 3 3 3 2) A = + − 8 8 8 8 − + − 212 213 214 3 9 27 4 2 2 50 − − + − 6 6 6 + − 3) 13 15 17 B = 7 19 31 8 4 4 4) B = 100 − + − 9 9 9 − + 13 15 17 7 19 31
Bài 3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. A. LÝ THUYẾT.
1) Lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Ví dụ 1: Viết các tích sau về dạng lũy thừa rồi chỉ ra cơ số và số mũ 1) ( 5 − ).( 5 − ).( 5 − ) − − − 2) 3 3 3 3 . . . 3) 2 2 2 . . 7 7 7 7 5 5 5 4 3
1) (− ) (− ) (− ) = (− )3 5 . 5 . 5 5 − − −  − 2) 3 3 3 3  3 . . .  = 3) 2 2 2 2 . .  = 7 7 7 7  7      5 5 5  5  Cơ số 5, − số mũ 3. − Cơ số 3 , số mũ 4. Cơ số 2 , số mũ 3. 7 5 Kết luận:
♣ Lũy thừa bậc n của số hữu tỉ x kí hiệu là n
x là tích của n thừa số x với n∈, n >1. Tổng quát: n
x = .x .x ....
x x ( n thừa số x ) với x∈ ,
n∈, n >1.
Đọc là x n hoặc x lũy thừa n
x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. ♣ Quy ước: 0 x = (x ≠ ) 1 1 0 , x = .x Chú ý:
♣ Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa: ( . )n n = . n a b a b n na a
♣ Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa: = (b ≠   0). nb b Ví dụ 2: Tính: 2 3  − 2 1)  4  1  1   2) 3) 1 7        2   4  2 3  −  − 2 2 1)  4  16 = 1 1  1   5  25  2) = 3) 1 = = 7         49  2  8  4   4  16 Ví dụ 3: Tính 3 3 2 2 12 5 1)  2   3  6   7   .   2)   : 3) 3  4        18   3  12 6 3 3 3 3 2 2 2 2 1)  2   3   2 3   1  1 . = . = =  6   7   6 7   1  1         . 2) : = : = =         .  3   4   3 4   2  8 18   3  18 3   7  49 12 12 3) 5  5  =   . 12 6  6 
Ví dụ 4: Tách thành tích các lũy thừa 1) ( )6 15 2) ( )5 55 3) ( )3 21 1) ( )6 = ( )6 6 6 15 3.5 = 3 .5 2) ( )5 = ( )5 5 5 55 5.11 = 5 .11 3) ( )3 = ( )3 3 3 21 3.7 = .3 .7
2) Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số.
Quy tắc:
♣ Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ m . n m n a a a + = .
♣ Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ m : n m n a a a − =
với x ≠ 0, m ≥ . n Chú ý: n na   a
♣ Mọi lũy thừa có số mũ chẵn đều có kết quả dương  − = 
với n là số chẵn. b   b      Ví dụ 5: Tính: 5 2 5 3 4 2    − 1)  1   1  1   1  3 3   .   2) −   : − 3)   : 6  6           2   2   7   7  5 2 7 5 3 2 4 2    − 1)  1   1   1  1   1   1  3 3   .  =  2) −   : − = − 3)   : 6  6   6              2   2   2   7   7  4 2 2  3   3   3  :  = =  7  7   7       
3) Lũy thừa của lũy thừa. Quy tắc:
♣ Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ ( )n m m.n a = a Ví dụ 6: Tính 2 4   1) ( )4 3 2 2) ( )4 3 4  2 − 3)      5    2 4 8   1) ( )4 3 3.4 12 2  2   2 = 2 = 2 2) (− )4 3 3.4 12 4 = 4 = 4 3)     =   .  5     5   B. BÀI TẬP.
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài 1: Thực hiện phép tính ( Tính lũy thừa) 2 3 3  − 1)  3   2  1  2) 3) 2         3   3  2 3 2  − 4)  3  −  2  2   5) 6) 4         3 −   5  2  − 1  − 0  − 7) 6  1 9   8) 9) 5         2   21 
Bài 2:
Thực hiện phép tính ( Tính lũy thừa) 2 2 2 1)  1 3   1   2   2) 2 3)  1 − 2       5   3  2 4 2 4)  3 2  −  1   2   5)  1 − 6)  1 − 5       2   5  3 1 0 7)  1 2  −  3   10   8)  1 − 9)  9 − 4       4   11
Bài 3: Thực hiện phép tính ( Tính lũy thừa) 1) (− )3 0,3 2) (− )2 0,5 3) (− )2 1,1 4) (− )2 1,2 5) 2 1,4 6) 2 3,5 7) 3 0,25 8) 3 0,8 9) (− )0 0,987
Bài 4: Thực hiện phép tính ( Lũy thừa của một tích, thương) 8 8 12 12 5 5  − 1)  8   9  3   21 4   26   .   2)   . 3)   . 3  4           7   5   13   5  4 4 13 13 12 12  − 4) 12   35  6   49  1 13   .   5)   . 6)   : 7  16           7   18   4  12  4 4  −   − 19 19    − 11 11  − 7) 10 5 4 12  4   16   :   8)   : 9)   : 3  6           7   35   7   28 − 
Bài 5: Thực hiện phép tính ( Lũy thừa của một tích, thương) 5 9 3 1)  1  5  2   4    .5 2) 9   .5 3) 3   .3  5   5   9  2 6 7 4)  3  .( 7 − 12  4  8  5    )4 5) (− ) 11 .  6) ( 6 − ) .   7  11  6 
Bài 6: Thực hiện phép tính ( Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số) 7 8 7 3 5 6 1)  3   3  2   2   6   6   .   2)   . 3)   . 5  5           7   7   5   5  7 9  −   − 9 11 4 3 4) 7 7  2   2   4   4   .   5) −   . − 6)   . 13  13           7   7   11 −   11 −  9 5 11 7 12 11  −   − 7)  4   4  5   5  11 11  :   8)   : 9)   : 9  9           9   9   4   4  6 6 7 7 5  −   − 10) 13  13  3   3  2 2   :   11) −   : − 12)   : 6  6           5   5   13   13 
Bài 7: Thực hiện phép tính ( Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số) 2 5  − 7 4    − 4 7 1) 2   2 6 6   6   6   .   2)   . 3) −   . 3  3          5   5   5   5  11 8    − 10 7 8 2 4) 4 4  1   1   3   3   .   5) −   : 6)   : − 9  9           5   5   8   8  11 4    − 13 13    − 9 6    − 7) 6 6 4 4  7 7   :   8) −   : 9)   : 13  13           9   9  13   13 
Bài 8: Thực hiện phép tính ( Lũy thừa của lũy thừa) 99 0   0 5   5 2   1)  3   1   3     2)    3)     5     5     7    6 5   3 2   2 2   4)  3   2 −   1 −  −   5)    6)      4     3     2   
Bài 9: Thực hiện phép tính 3 3 3 1) 15 2) 21 3) 55 4 5 4 7 5 11 6 2 4 4) 6 5) 45 6) 26 8 3 ( 9 − )4 5 13 −
Bài 10: Thực hiện phép tính ( Lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích) 10 2 3 2 5 1) 8 2) 4 .4 3) 8 .4 8 4 10 2 20 2 7 3 15 4 7 3 4) 2 .9 5) 2 .9 6) 2 .9 5 2 6 .8 6 3 6 .8 3 2 6 .8 15 10 2 11 5 4 7) 6 .9 8) 9 .2 9) 4 .9 34 13 3 .2 2 3 16 .6 3 3 8 .27 4 3 29 16 20 35 10) 27 .4 11) 3 .4 12) 4 .3 5 2 9 .8 9 11 27 .8 37 12 2 .27 7 2 2 3 4 4 13) 6 .4 14) 15 .9 15) 5 .20 2 5 9 .12 3 2 25 .27 5 5 25 .4
Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm x )
Bài 1: Tìm x biết: 5 7 2 4 2 4 1)  3   3  2   2   2   2   .x  =  2)   .x = 3) −   .x = − 4  4          3   3   5   5  2 3  −  − 7 8  −   − 4)  2   2 x :  = 1 1 9 9   5) x : = 6) x : = 3   3             2  2  5   5  10 8  −   − 2 4 5 4 7) 5 5  1   1   4   4   : x  =  8) −   : x = 9)   : x − = 9  9           3   3   5   5 
Bài 2:
Tìm x biết: ( Cùng số mũ) − 1) (x − )3 1 1 = 2) ( − x)3 27 3 = 3) (x − )3 1 5 = 8 64 27 − 4) (x − )2 4 4 = 5) ( − x)2 1 5 = 6) (x + )2 4 1 = 9 16 49
Bài 3: Tìm x biết: ( Cùng số mũ) 3 3 3 1)  1 x  − =  1  27  1  8  8 −  2) x − =   3) x − − =    2   2  8  3  27 3 3 3 4)  1  8 x − =  5  1  1  8  5)  x − − = 6)  x − − = 3      27  2  8  8  125 2 2 2 7)  1  1 x + =  3  9  5  1  8)  x − = 9)  x − = 2      16  2  16  6  36 2 2 2 10)  2  9 x + =  1  16  4  1  11)  x + = 12)  x − = 5      16  12  9  7  49
Bài 4: Tìm x biết: ( Cùng số mũ) 1) ( x − )3 8 2 1 = 2) ( x − )2 1 2 1 = 3) ( − x)2 9 2 3 = 27 4 4 2 4) ( x + )2 16 2 1 = 5) ( x + )2 36 5 1 = 2  3  25 49 6) (3x − 4) = −  4    2 2 2 7)  2  4 1− x =  3  1  4 1  4  8) −  7x = 9) −  x = 3      9  4  4  7 2  9 3 3 3   − 10)  1 3. x  − =  1  27 1 1   81 11) 2. + x − =   12) x + :3 =    2   4  4  2  81 2 2 2 13)  2  4 − x =  1  16  2  1 4   1: 14) 2x − + =   1 15) − 3x − =    3  9  5  25  5  5 25
Bài 5: Tìm x biết: ( Cùng cơ số) x x x 1)  1  1 =      2) 7 49 = 3) 3 27 = 2        32  5  25  5  125 x x  − x  −  − 4)  3  9 − =   5) 4 16 = 6) 2 8 = 2        4  9  81  3  27
Bài 6: Tìm x biết: 2x 1 − 2x 1 +  −  − 5−2x 1)  1  1 = 1 1  2  2  2) = 3) = 2        8  3  27  3  3 2.x 1 −  −  − 3x 1 + 3.x+4  − 4) 3 27 =  1  1 6  36  5) − = 6) = 4        64  3  81  7  49
Bài 7*:
Tìm x biết: x+3 x+2 x+4 x 1 + x+2 x 1 + 1)  1   1  4 + =  1   1  9  2   2  20  2) + = 3) + = 3   3             27  2   2  32  3   3  27 x 1 − x 1 + x−2 x 1 − x−3 x−2 4)  3   3  117 + =  1   1  6  2   2  10  5) + = 6) − = 2   2             16  5   5  25  7   7  49
Bài 8*: Tìm x biết: x+3 x 1 + 5 1) 1 x 1 + 1 x+2 23 5 .3 + .3 = .3 4 4 4 .117 7 2 14 2) + = 5 7 35 x+ 5 x+ 275 3)  1 1  x 1 + x+2 148 − 2 + 2 − =  4) 3 4 5 + .5 =  20 5  5 6 2 Dạng 3: So sánh Bài 1: So sánh 0 1 1) 5 và 5 2) 7 − và 7 −  3 −   0  3 2 2 3 5 2 2 5 3)  và và 300 2       300  Bài 2: So sánh 24 36 50 75 300  − 200 1)  1   1   1   1  1  1   và 2) và 3) và − 2               3   5   3   2   3  30 20 11 9 6 7 4)  1   1   1   1   1   1   và 5) và 6) và 16               8  16   32   32  16  Bài 3*: So sánh 8 8 P = + và 9 7 Q = + 7 5 3 3 7 5 3 3 14 15 Bài 4*: So sánh 14 1 A + = và 14 1 B + = 15 14 +1 16 14 +1 20 17 Bài 5*: So sánh 17 1 M + = và 17 1 N + = 19 17 +1 16 17 +1
Bài 4. THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH
QUY TẮC CHUYỂN VẾ. A. LÝ THUYẾT.
1) Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc:
♣ Với các biểu thức chỉ có cộng, trừ hoặc nhân, chia ta thực hiện các phép tính từ trái qua phải.
♣ Với các biểu thức không có dấu ngoặc ta tính lũy thừa ⇒ nhân, chia⇒ cộng, trừ.
♣ Với các biểu thức có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau ( ) ⇒[ ]⇒{ }
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính − 1) 4 3 3 −1 : 2) 2 8 5 14 : − . 3) 3 5 3 2 . + : 2 5 4 3 9 7 15 4 8 4 3 − 1) 4 3 3 −1 : 2) 2 8 5 14 : − . 3) 3 5 3 2 . + : 2 5 4 3 9 7 15 4 8 4 3 9 4 − 12 3 . 3 − = − = − 2 9 2 3 2 = . − = − 15 3 3 15 9 = + . = + 5 3 5 3 8 3 4 3 32 4 8 32 32 27 = . 1 = . 24 3 = = . 5 12 32 4
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính 1) 3 2  1 :           2 0,25 + − 5 5 4  2) 1 1− 1  : 2 +1:1− 3) 1 5 5 1 9 1 :  + − −   .       2   4 8 3  4  4 1) 3 2  1 :           2 0,25 + − 5 5 4  2) 1 1− 1  : 2 +1:1− 3) 1 5 5 1 9 1 :  + − −   .       2   4 8 3  4  4 3 2  9 1 :  = + −   1 5 5 23 9 5 5  4 4    =1− 1  : 2 +1:  = :  + .      2  4 8 12  4 3 2 3 2 1 = + : 2 = + . =1−{1:[2 + 2]} 5 5 69 5 5 5 5 2 = :  + 4 8 16    3 1 4 1  3 = + = . =1−   = . 5 79 5 16 20 5 5 5 4 4 = :   = . = . 4 16  4 79 79
2) Quy tắc chuyển vế. Quy tắc:
♣ Khi chuyển một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số
hạng đó, từ " + " thành " − " và từ " − " thành " + ".
♣ Nếu a = b b = a
♣ Nếu a = b a + c = b + c
Ví dụ 3: Tìm x biết: 1) 1 1
x − 3 = −x + 2) 1 1 5 x + = x − 3) 3 1 3 x −1= x = 2 5 4 2 6 2 2 5 1) 1 1
x − 3 = −x + 2) 1 1 5 x + = x − 3) 3 1 3 x −1= x = 2 5 4 2 6 2 2 5 1 1 ⇒ x + x = 3 + 1 5 1 x x − ⇒ − = − 3 1 3 ⇒ x x =1+ 2 5 2 6 4 2 2 5 3 16 ⇒ x = 1 13 x − ⇒ = 8 8
⇒ 2x = ⇒ x = : 2 2 5 2 12 5 5 16 3 32 − ⇒ x = : = . 13 1 13 ⇒ x − = : = . 4 ⇒ x = . 5 2 15 12 2 6 5 B. BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính
Bài 1: Thực hiện phép tính − 1) 2 5 1 . + 2) 2 1 10 + . 3) 3 2 3 + . 3 8 6 3 5 7 5 5 4 − − − 4) 2 3 4 + . 5) 2 1 3 + . 6) 2 3 4 + . 3 4 9 5 5 4 3 4 9 − 7) 5 3 21 + . 8) 7 27 1 − . 9) 3 1 + .( 3 − ) 4 7 8 12 7 18 4 4 − 10) 2 3 5 4 + . − 11) 5 9 5 5 + . − 12) 5 7 15 3 + − : 7 5 7 7 8 4 3 24 36 9 8 2 − 13) 5 4 3 1 + : − 14) 2 3  3 −  1 + : + 15) 2 5 3 1 − : + 12 5 4 4 5 5  2    2 3 3 4 4
Bài 2: Thực hiện phép tính 1) 2  1 3 4   − − + 2) 1 6  1 1 .  + − 3) 1 5  + .11−   7 3  2 4     7 7  2 3   3 6  4)  9 4  2 − : +       1 5) 3 1 1 2 − : −   6) 3 2 17 3 + : −   10 5  5 2 2  4 3   4 3  24 4
Bài 3: Thực hiện phép tính 2 2 2 1)  1  2 12. +  1  5  2  7  2) 18. + 3) 15. − − 3        3  2  2  3  3 2 3 2    − 2 4)  1  2 2 .3 − 1 9 1  3  1   : 5) . −     6) − −   1 :6  3  9 3  3  4  2   2  2 2  − 7) 3  1 1 3: +   .6  2  9
Bài 4: Thực hiện phép tính 2   − 2 3  − 1) 1 2 8 + − + 2) 5  1 3  − + − 3) 1 8 26 + − 3  3        9 2  2   3  9 27 0 2 2 2 4)  1  4  2  1   2   2  − − + −  5) 1 − +   1,2 6) 1 − −   2,5 7 9  3       2   3 
Bài 5: Thực hiện phép tính 9 7 3 3 2 1) 1  2   2  5 −  3   7  2  4    : + 2) . +     : 2 3  3       6  7   6  3  3  4 2 − 21 19  −   −   − 3) 4 9  4   4 : 4 2 2    :  + 4) +1 −     : 7 14 3  3        3   3   3  5 3    − 20 8 8      − 5) 5 4 6 3   3 1 3 4  .   :  − + −  6) 10 0 25 . + − . −       2011 2 3 7 2  2        5   4   3  10 10 4 7 6 7)  3   5  13 0 . − + 5 3  17  17      2014 8) ( 0, − 5) :( 0, − 5) −   : 4    5   3  39  2   2 
Bài 6: Thực hiện phép tính 2 2 2 3 3 1)  3  2  1  3 .4 − : 2 −  3   1   3      2 2) 2 .5 − 2 : −       3  4   2  4  5   4   4  3 2  −   − 3 2 0 3) 1 1 1 1 25. + −  1   1   1   2. −  4) 4. + 3. −     2. 5 5  2        2  2   2   2  2 0 2 0      − 5)  1  1 2  1 2 2 2   .4 .3  − + +  6) 5. − + 2. − +     4. 2 3  2020        5   5   5  2 0  −   −   − 2 0    −   − 7) 2 2 2 3. 2 9 15   2  4  − +  8) 9. + 2. +     4. 3 3  3           3   2   7  3 2 3 1 − 0 2  −   − 9)  2   3   2 1 6   1   4. 1  − − + −  10) − +       : 2 3 4   3        3   7   2  2 2 20  −   − 2 3 0 11) 1 1 1 1 25. + −  1   1   2015   9. +  12) − + −     .64 + − 5 5  9        9  3   4   2016  2 13) 1 1  2    ( )3  7 2 : 3 .7 9  − − + − − 3 3 3 9 3     
Bài 7: Thực hiện phép tính 0 3 1) 1 1  1 9    − − + 15 1  6  1 1  1  6  2) .− . −    − 2 . − 6  4 12    7  3 11 8   7  2       0     3) 3  1  1 ( )2 1 2 3. 2 :  − − + −   :8 4) 2 3 + 2: 1  + 3: 2 −1:3+  2 2 2  2        1− 3 
Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm x )
Bài 1: Tìm x biết: − 1) 1 2 3 − + 3.x = 2) 1 2 7 1 + .x + = 3)  1  5 1 x − − − = + 3 5 4 10 5 20 10  4   6 8 4) 3 1 1 − x = − + 3 2 2 3
Bài 2: Tìm x biết: 1)  1  1 5 5 x − : + =       9 2) 11 5 15 11 − − x = − −      2  3 7 7 13  42   28 13  3)  1   3  7 − 1 1 1    − − + x : 3 − = +      : 4) 3 1 3 1 − x − 2 = −    1   5   5  4 4 8 2  3   4 8  5) 3 4  2  3 : 2 −  x   3 − x + 2 = 6) 15 1 5 − : −  0,5 = 4 9 3     4 8 8  4  4 3 7)  2 − 3   8  8 x +   . − = −  11  1  15 5 3 8  5      15 8) −  x + −   = 4  2  12   8 
Bài 3: Tìm x biết: 1) 2 2 3 x −1 x = 2) 1 2x − 3 = x + 3) 1 3 33 x x − + = 3 5 5 2 2 5 25 4) 5 1 3 x x + 2 = 5) 2 2 1 1 x − = x − 6) 1 1 1 3
.x + 2 = 3 .x − 2 3 2 3 5 2 3 2 2 2 4 7) 1 2
1,5x − 2 x =1,5 − 8) 5 1 7 x + 3 = − x 9) 1 1 4 x + x x +1= 0 3 3 12 3 12 6 10 15
Bài 4: Tìm x biết: 1) 1 2 x + (x + ) 1 = 0 2) 1 x + (x − ) 17 2 5 = 3 5 5 5 3) x − ( x + ) 1 4 2 1 = 3− + x 4) 1 1 x + (x − ) 3 2 = − 2x 3 2 2 4 5)  1  1  2  5 3 x + − 2 1  3  1   4x − =  6) − x − − (2.x + ) 1 =   5 2 2 3      6 3 3 2  2 7) 11  7  3 61 − +  1  2  . x x = + 8) 2 x − − 3(x − ) 1 = (2 −   3x) 15  9  8 90 3  3  3
CHƯƠNG II. SỐ THỰC
Bài 5. LÀM QUEN VỚI SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN A. LÝ THUYẾT.
1) Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 1:
a) Khi ta chuyển số hữu tỉ 12 thành số thập phân là 2,4. Nhận thấy số thập phân 2,4 chỉ có 5
1 chữ số 4 sau dấu " , " nên được gọi là số thập phân hữu hạn.
b) Khi ta chuyển số hữu tỉ 5 thành số thập phân 1,666...... Nhận thấy số thập phân 1,666..... 3
có vô số các chữ số 6 sau dấu " , " nên gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6. Kết luận:
♣ Số thập phân hữu hạn là số thập phân có hữu hạn các chữ số sau dấu " , "
♣ Số thập phân vô hạn tuần hoàn là số thập phân có vô số các số sau dấu " , " và các số đó
có tính chu kì ( lặp lại)
♣ Mọi số hữu tỉ đều được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 2: Số hữu tỉ 7 được viết thành 7 = 0,212121... = 0,( )
21 là số thập phân vô hạn tuần 33 33 hoàn với chu kì 21. Chú ý:
♣ Số hữu tỉ sau khi rút gọn mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì viết được dưới dạng
số thập phân vô hạn tuần hoàn.
♣ Cách đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta dựa vào các biến đổi cơ bản sau 1 = 0,( )1 1 =0,(0 )1 1 =0,( ) 001 9 99 999
Ví dụ 3: Đưa các số thập phân sau về số hữu tỉ 1) 1,(8) 2) 0,(23) 3) 2, − 0(2) 1) Ta có ( ) = + ( ) = + ( ) 1 17 1, 8 1 0, 8 1 8.0, 1 =1+ 8. = 9 9 2) ( ) = ( ) 1 23 0, 23 23.0, 01 = 23. = 99 99 0, 2 3) ( ) = + ( ) ( ) 1 = + = + ( ) 1 1 91 2,0 2 2 0,0 2 2 2 .2.0, 1 = 2 + . = 10 10 5 9 45
2) Làm tròn số thập phân căn cứ vào độ chính xác cho trước.
Ví dụ 4: Làm tròn các số sau đến chữ số hàng đơn vị 1) 12,3 2) 3, − 6 3) 6,5 1) 12,3 ≈12 2) 3, − 6 ≈ 4 − 3) 6,5 ≈ 7 Kết luận:
♣ Khi làm tròn số đến một hàng nào đó, kết quả làm tròn có độ chính xác bằng một nửa đơn vị hàng làm tròn.
♣ Ta có thể sử dụng bảng sau Hàng làm tròn Trăm Chục Đơn vị Phần mười Phần trăm Độ chính xác 50 5 0,5 0,05 0,005
♣ Ta có thể ước lượng kết quả các phép tính bằng cách làm tròn rồi thực hiện tính toán.
Ví dụ 5: Ước lượng kết quả các phép tính sau bằng cách làm tròn đến hàng đơn vị 1) 5,34 + 6,9 2) 12,78 −8,8 3) 3,14 . 5,9 1) 5,34 + 6,9 2) 12,78 −8,8 3) 3,14 . 5,9 ≈ 5 + 7 =12 ≈13 − 9 = 4 ≈ 3 . 6 =18
B. BÀI TẬP. Dạng 1. Tìm hiểu số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn
Bài 1: Sử dụng chu kì, hãy viết gọn các số thập phân sau 1) 3,999... 2) 2,212121... 3) 0,363636... 4) 4,343434... 5) 0,580580... 6) 6,1343434... 7) 0,62313131... 8) 0,123123123... 9) 1 − ,2333... 10) 3 − ,24545... 11) 1 − ,525252... 12) 1 − ,020202... 13) 6 − ,676767... 14) 23 − ,0232323... 15) 5 − ,0212121... 16) 0 − ,01919.....
Bài 2: Viết các số hữu tỉ sau về số thập phân ( hữu hạn) 1) 7 2) 13 3) 11 4) 21 5 2 10 50 − − − 5) 13 6) 13 7) 13 8) 3 − 4 5 5 2 − 9) 23 10) 7 − 11) 26 − 12) 8 10 20 25 25 −
Bài 3: Viết các số hữu tỉ sau về số thập phân ( vô hạn tuần hoàn) − − 1) 7 2) 11 3) 7 4) 15 3 3 6 7 − − − 5) 1 6) 9 7) 11 8) 5 7 7 6 3 − − 9) 15 10) 9 11) 6 12) 31 11 13 15 30
Bài 4: Viết các số thập phân hữu hạn sau về số hữu tỉ 1) 1,23 2) 4, − 3 3) 0,27 4) 0, − 45 5) 3,08 6) 0,05 7) 0, − 06 8) 5, − 08
Bài 5: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau về số hữu tỉ ( hoặc hỗn số) 1) 0,(3) 2) 1,(4) 3) 2,(5) 4) 3,( ) 1 5) 2, − (2) 6) 1, − (6) 7) 0, − (8) 8) 9, − (7) 9) 0,(0 ) 1 10) 1,(02) 11) 2,(03) 12) 3,(05) 13) 1, − (12) 14) 0, − (32) 15) 2, − (15) 16) 4, − (36) 17) 0, − 0(12) 18) 1, − 0(3) 19) 6, − 0(30) 20) 12 − ,0(60)
Dạng 2. Thực hiện phép tính Bài 1: Tính − 1) 5 2 + − 0,5 2) ( )  2 1, 6 −  + − ( 1, −   2) 3) ( ) 5 3 0, 3 − + 6 3  7  6 4 4) ( ) − ( ) 2 0, 3 1, 3 + 5)  2 7 3,5   − + − 6) ( ) 3 1 0,8 3  − − + 7 11 2      8 10 
Bài 2: Thực hiện phép tính 1) 1 3 1 14. . − 2 :1,(3) 2)  1   2  2 −  . −   . 0, −  (6) 4 4 4 2 3 3      5 5 − 3)  11 ( ) ( )  5 .6, 3 6, 3 . −  − +  4) .0,5(3) + .0,5(3) −1 8  8      4 16
Bài 3: Thực hiện phép tính 3  − 1) ( )2 1 27 . 2, 6 4  − −  2) − ( )3 8 26 0, 3 + − 2    9 27 0 3 3) 3  1  1 2 3. ( 3)2 :0,(3) − − + − 15  1 0 1 1  1    :8 4) . − .0,(54) − − 2 . − 2 3 3         7  3 8 7  2 
Bài 4: Thực hiện phép tính 2 2 3   − 1)  1   2 1 19 3 2 2   ( ( ) ) 7 1 . 2, 6 2 .  − + −  2) 4 − +  .0,(6) − 2 5 3 5      5  10 75 3  − 6 3  1 −  3  1 − 1  3) ( )2 1 1 0, 6 .9 −   : 4) : −  0,1(6) +  : −1   4  64 5 15 5  3 15      Dạng 3. So sánh Bài 1: So sánh 1) 4,(15) và 4,1(15) 2) 2,3(16) và 2,33(16) 3) 3, − (23) và 3, − 2(23) 4) 0, − 0(15) và 0 − ,00(15) Bài 2: So sánh 1) 0,(15) và 0,15 2) 3,(33) và 3,33 3) 2, − (23) và 2 − ,233 4) 1, − 0(23) và 1 − ,02322 Bài 3: So sánh 1) 2,(34) và 2,3(43) 2) 4,(03) và 4,0(30) 3) 0, − (14) và 0 − ,1( ) 41 4) 1, − (17) và 1 − ,1( ) 71 Bài 4: So sánh 1) 2 và 0,(6) 2) 4 và 0,(4) 3) 0,4(6) và 8 3 9 15 4) 5 − và 0, − 41(6) 5) 8 − và 2, − (3) 6) 0, − (2) và 2 − 12 3 9
Dạng 4: Làm tròn số
Bài 1: Làm tròn các số sau với độ chính xác 0,5. 1) 6,6 2) 14,3 3) 9,4 4) 3,51 5) 0 − ,19 6) 9, − 82 7) 7 − ,505 8) 1 − ,199
Bài 2: Làm tròn các số sau đến chữ số hàng phần mười. 1) 1,4545 2) 2,9393 3) 0,6464 4) 5,5151 5) 6 − ,3838 6) 0 − ,1919 7) 3 − ,5454 8) 1 − ,858
Bài 3: Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm 1) 2,(4) 2) 0,(7) 3) 5,(9) 4) 3,(5) 5) 4, − (2) 6) 5, − (6) 7) 0, − (8) 8) 1, − (5)
Bài 4: Làm tròn các số sau đến hàng phần trăm 1) 0,(35) 2) 1,(97) 3) 3,(45) 4) 4,(29) 5) 9, − (13) 6) 0, − (19) 7) 3, − (78) 8) 9, − (50)
Bài 5: Ước lượng kết quả phép tính bằng cách làm tròn đến hàng đơn vị rồi tính 1) 12,21+ 5,9 2) 4,99 − 5,1 3) 21,09 . 4,99 4) 6 − ,881− 3,222 5) 4 − ,15 + 4,91 6) 20,08 : 4,92
Bài 6: Ước lượng kết quả phép tính bằng cách làm tròn đến hàng chục rồi tính 1) 133 + 777 2) 612 + 81 3) 345 +159 4) 1458 − + 642 5) 1329 − ( 274 − ) 6) 6666 − − 7777
Bài 7: Ước lượng kết quả phép tính bằng cách làm tròn đến độ chính xác 0,5 rồi tính. 1) 4,(65) + 9,(12) 2) 8, − (38) + 5,(38) 3) 7,(7) −8,(4) 4) 4 − ,4(9) − 5,8( ) 1 5) 12 − ,(7) . 3,(12) 6) 9,(49) : 5 − ,(09)  
Bài 6. SỐ VÔ TỈ, CĂN BẬC HAI SỐ HỌC A. LÝ THUYẾT. 1) Số vô tỉ.
Ví dụ 1: Tìm số hữu tỉ x sao cho x.x = 3
Ta không thể tìm được số hữu tỉ nào mà 2 x = 3
Nhưng bằng máy tính, người ta tính được số đó là x =1,73205080757.....
Số trên không phải số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn mà là số thập phân vô hạn
không tuần hoàn nên được gọi là số vô tỉ. Kết luận:
♣ Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
♣ Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.
2) Căn bậc hai số học.
♣ Căn bậc hai số học của một số a không âm, kí hiệu là a là một số x không âm sao cho 2 x = . a Chú ý:
♣ Căn bậc hai số học của một số luôn có kết quả không âm ( tức ≥ 0 ).
Ví dụ 2: Tính căn bậc hai số học của các số sau 1) 4 2) 9 3) 1 4) 100 1) 4 = 2 2) 9 = 3 3) 1 =1 4) 100 =10 Vì 2 2 = 4 Vì 2 3 = 9 Vì 2 1 =1 Vì 2 10 =100
Ví dụ 3: Tính căn bậc hai số học của các số sau 1) − 16 2) 0 3) 0,64 4) 25 − 49 1) − 16 = 4 − 2) 0 = 0 3) 0,64 = 0,8 4) 25 5 − = − 49 7 B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Thực hiện phép tính Bài 1: Tính 1) 16 2) 36 3) 64 4) 91 5) − 121 6) − 144 7) − 169 8) − 196 9) 255 10) 400 11) 900 12) 25 − Bài 2: Tính 1) 0,04 2) 0,09 3) 0,25 4) 0,36 5) − 0,49 6) − 1,21 7) − 2,25 8) − 0,64 Bài 3: Tính 1) 2 1 2) 2 5 3) 2 13 4) 2 36 5) ( )2 7 − 6) ( )2 9 − 7) ( )2 49 − 8) ( )2 100 − 9) − (− )2 25 10) − (− )2 36 11) − (− )2 1 12) 2 − 0 − Bài 4: Tính 1) 1 2) 25 3) 64 4) 100 4 49 81 9 5) 17 + 8 6) 36 7) 11 1− 8) 1 2 + 16 100 − 36 36 4
Bài 5: Thực hiện phép tính 1) 9 5 − + 2) 4 25 − 3 3) 4 0,36 + 16 36 9 3 4) 2 25 3 7 + − 5) 49 25 − + 0,25 6) 3 4 16 − + 16 2 4 49 9 7 7) 1 − (− 0,15+ 0,01) 9
Bài 6: Thực hiện phép tính 1) 16. 4 − 25 + 2 49 2) 121. 225 − 81 − 3 9 3) 2 2 6 + 8 − 3 25 4) 2 2 2 400 − 2 100 + 4 + 3 5) 2 64.23 + 2. 23 − 144 6) 0,25 − 3. 0,49 + 1,44 0 0 7) 2  1  1 2 + 5. − −  2  1 9  8) − − : +   20% 3    9  3  5 25 2   4 − 121 9) 1 1 1 2. + − 10) − 25. − 5. + ( 3 − )2 3   2 225 15 −  2 25 3  2 11) 1 1 1 − − + ( 2 − )2 1 0 .3  5 −  4 16 0 2 12) .0,16 − : + ( 2020 −   ) 16 4  4  81 9 13) 2 2 1 2. 5 − 3 − 64 + ( 7 36 15 )2 4 14) − − + 3 2 2 6 + 8 4   100 2 1 15) 25 7 4 1 −  −  + 16) 25% − + + 2 9  144 3  3 2 + 3 144 6 64 17) 100 2 1 25% − + + 18) 3 1 9 16 4 + − + + 50% 2 + 3 144 6 64 16 25 256 5 ( 5 1 9 1 )2 ( 7 2 16 2 )2 19) 10 : + 8 . + 220 20) 99 + 5 : −17 . 4 25 4 2 5 −16 2 3 49 3 2 0 2 21)  11  1 25 − − : +  5  1 4 0   20% 22) .0,8 − : + ( 1234 −   )  91 7 49  4  81 9
Bài 7: Thực hiện phép tính      2   1) 1 1    1 :  4 1:1  − + −  2) 49 (− ) 2 4 : 196 − 2 :− 1      4    13  9 9      2 −   1 4 − 100 169 1 1 3) 47 2 2 4 .2 −  1  . 4) 3 . + . − : 5 3 5 − 2   9 3 9 3 9 3 16
Bài 8: Thực hiện phép tính   −    2  1) 225 1 1 6 3. 3  −   :1 . +  2  3 4 5    64 4          2) 4 1 3 : 1  27 :3 : 2 1:3  + + − +  1    1− 9    3)  7 − 1 A = + + ( )2  4 − 3 0,5 − + −  0,75 5   ( )2   10 2 2  −   2 4)  3 A −  = .( 16
− ) − (2019 − 2020)2019 − ( 10 −   )2  4  2 1 2 5) 2 A    ( 2)  ( ) 13 . 16 3 . 0,01 2 0,0 6  = − − + − +  2  30    
Dạng 2. Tìm giá trị chưa biết ( Tìm x )
Bài 1: Tìm x biết 1) 3 − 2 x = 1 − 2) 3 x +1= 40 3) 2 − 3 x = 7 − 4) 2 1 − x = 5) 1 1 x + = 6) 1 5 + x = 5 4 3 4 6 12 7) 3 2 4 x − = 8) 4 7 3 x − − = 9) 3 5 1 − x = 5 3 5 5 10 2 3 10) 3 1 7 x − − − = + 11) 7 3 3 − − x = 12) 1 11 3 + : x = 5 4 10 12 5 4 5 10 4 13) 3 1 2 + : x = 14) 2 5 3 + : x = 4 4 5 3 2 4
Bài 2: Tìm x biết 1) x − 6 = 2 2) x + 5 = 9 3) x +1 =1 4) 2x − 3 = 7 5) 3x − 7 = 5 6) 2 − 3x = 4 7) 1 1− 3x = 8) 1 5 − 6x = 9) 5 2x −1 = 2 5 2 10) 4 1 2x − = 11) 5 1 x − = 12) 2 4 x − = 3 2 6 3 11 11 13) 4 4 x : = 2 14) 3 1 3 x − = 15) 2 1 3 + : x = 21 5 4 2 7 3 3 5
Bài 3: Tìm x biết 1) (x − )2 3 = 5 2) ( − x)2 3 = 9 3) (x − )2 1 = 4 4) (x + )2 12 =13 5) ( − x)2 6 = 2 6) ( − x)2 = (− )2 4 3 1 7) (x − )2 1 4 = 8) ( − x)2 2 1 3 = 9) ( x + )2 6 5 1 = 2 3 7 10) ( x − )2 3 3 4 = 2  x  4 2  1  1 4 11) −1 =  12) 2x − = 5     3  4  2
Bài 4: Tìm x biết: 1) (x − ) 1 (4 − x) = 0
2) (7 − x)(8 + x) = 0 3) (2x − ) 1 (3x + ) 1 = 0
4) (4 − x)( x + )1 = 0
5) ( x − )1(5− x) = 0
6) (5 x − )1(1+ x) = 0 7) ( 2 x + ) 1 ( x − 7) = 0 8) 2 x (3− x) = 0 9) ( x − )( 2 4 5 −x ) = 0       10) 1 +   x  3 x x −  = 0 11) ( x + ) 3 1 − x =   0 12) 6  2 x − 1−  = 0  2  4   2   5  5 
Bài 5: Tìm x biết: 1) (x − )2 8 = 8 2) (x − )2 4 = 4 3) ( x − )2 2 4 4 = 4 4) ( x − )2 3 6 5 = 9 2 2 5) 4 1  1  7 1 − : x − =  1  5   1 6) x + + 2 =   2,7 :0,9 9 16  2  9  4  9
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
1) A = x + 2 + 2
2) A = x − 7 −14
3) A = x − 3 + 6
4) A = 2 x + 7 − 5 5) 3 A = 5 x + 5 − 6) 9 2 5 A = x − 9 + 5 5 9 7) 1 A = 12 − + x − 8 x 2 8) 5 2 5 A − = − + 6 3
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
1) B = − x + 9 + 9
2) B = − 1− 5x −12 3) 1 B = 4 − x 4 4) 17 6 B = − x − 5 5 5) 5 2 x B = − − + 3 6) 1 x 1 B = − − 4 − 2 3 2 12 5 6 7) 2 1 2 B =1 − x − 4 8) 3 1 2 B = − 9 − x 4 2 2 4
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 1) 5 C − = 2) 7 C = 3 − x −1 + 5 4 + x − 4 (− )2 25 2 25 − 5 3) C = 4) C = 5 − 3x −8 9 + 9 − 3x
Bài 7. TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC. A. LÝ THUYẾT.
1) Khái niệm số thực và trục số thực.
Ví dụ 1: Chúng ta đã được học về các số hữu tỉ và số vô tỉ
Như vậy khi gộp chung hai số đó lại với nhau tạo thành một tập hợp gọi là tập số thực. Kết luận:
♣ Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực
♣ Tập hợp số thực được kí hiệu là . 
♣ Mỗi số thực a đều có 1 số đối là − . a
♣ Trong tập hợp số thực cũng có đầy đủ các phép tính toán như trong tập số hữu tỉ.
♣ Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi 1 điểm trên trục số.
Ví dụ 1: Biểu diễn số thực 5 trên trục số Ta tách 2 2
5 =1 + 2 khi đó trên trục số, độ dài 5 là đường chéo của hình chữ nhật có cạnh 1 và 2. 1 5
Ví dụ 2: Biểu diễn số thực − 3 trên trục số -1 0 1 Ta tách = + ( )2 2 3 1
2 khi đó trên trục số, độ dài 3 là đường chéo của hình chữ nhật có cạnh 1 và 2. Ta tách 2 2
2 =1 +1 khi đó 2 là đường chéo của hình chữ nhật có cạnh 1 và 1. 2 2 1 1 - 3 0 1 0 1
2) Thứ tự trong tập hợp số thực.
♣ Các số thực đều được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn hoặc vô hạn
không tuần hoàn nên có thể so sánh hai số thực như so sánh hai số thập phân.
♣ Nếu 0 < a < b thì a < b
♣ Với số thực a < 0 ta nói a là số thực âm, còn a > 0 ta nói a là số thực dương.
Ví dụ 3: So sánh các số thực sau 1) 3 và 8 2) 4 và 17 3) − 19 và − 20 1) 3 = 9 > 8 2) 4 = 16 < 17 3) 19 < 20 ⇒ 3 > 8 ⇒ 4 < 17 ⇒ − 19 > − 20.
3) Giá trị tuyệt đối của một số thực. 2 3 Ví dụ 4: -3 -2 -1 0 1 2 3
Trên trục số khoảng cách từ số 3 đến số 0 là 3 đơn vị gọi là giá trị tuyệt đối của 3.
Trên trục số, khoảng cách từ số 2
− đến số 0 là 2 đơn vị gọi là giá trị tuyệt đối của 2. − Kí hiệu 3 = 3 và 2 − = 2. Kết luận:
♣ Khoảng cách từ điểm a trên trục số đến gốc 0 là giá trị tuyệt đối của số .
a Kí hiệu a . a (a > 0) 
Tổng quát: a = −a (a < 0) 0  (a = 0) Chú ý:
♣ Giá trị tuyệt đối của một số luôn không âm. Nhỏ nhất bằng 0 khi 0 = 0.
Ví dụ 5: Tìm giá trị tuyệt đối của các số sau 7 − 9 5; − ; − ; − 15 6 2
Giá trị tuyệt đối của các số trên là 7 − 7 9 9 5 − = 5. = . − = . − 15 = 15. 6 6 2 2 B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Tìm hiểu về số thực
Bài 1: Điền dấu ∈ hay ∈/ vào chỗ trống trong mỗi câu sau: 1 ..... −  5..... 7 ..... 2 − ..... 1,4981..... 7 9 12 − 9 4 7..... 12..... ..... − 25..... 20  39 ..... 5 4 5 1 ..... ..... 3 −8..... − ..... 5 19  7 5..... 9
Bài 2: Điền dấu ∈ hay ∈/ vào chỗ trống trong mỗi câu sau: 2 − 13..... 1 − ,(49)..... 2
− ,(8) − 10..... 3 7 − 1..... 6 4 − 0,2..... 2,431.......... −  6 ..... 7 − 11 6 5 ..... ..... 0,(02) 7..... 25 13  4 5 1− 2 13..... 5 − 2 16..... 11 − 4.....
− 5 − 9..... 0,(2) − 2.....
Bài 3: Tìm số đối của các số sau 4 12 6 15 − 5 7 23 ; ; ; ; ; ; − 3 5 7 25 9 − 19 41
Bài 4: Tìm số đối của các số sau 2 2 2
− 5 − 2 ; 8 3; − 9 12; − 2 + 5
Bài 5: Tìm số đối các kết quả của các phép tính sau 3 − 15 − 3 3 − 5; 7 − 2; 11 + 6; − 9 − 13; ; 1 − 3 3
Bài 6: Biểu diễn các số sau trên các trục số khác nhau. 1) 13 2) 2 − 2 3) 3 5
Dạng 2. So sánh hai số thực
Bài 1: So sánh các số sau 1) 5 và 2 2) 35 và 6 3) 8 và 3 4) 17 và 4 5) 5 − và − 24 6) 7 − và − 50 7) 11 − và − 110 8) − 81 và 9 −
Bài 2: So sánh các số sau 1) 1 và 1 2) 4 và 4 3) 4 − và 4 − 4) 3 − và 3 − 5 6 27 5 121 120 36 7 5) − 9 và 1 6) 3 và 7 7) − 5 và 8 − 8) 35 và 50 2 16 7 3 8 5 6 7 Bài 3: So sánh 1) 3,(14) và 3,1( ) 41 2) 3 − ,679 và 3, − 90 3) 2 − ,950 và 3 − ,001 4) 2 . 5,( ) 1 và 10,(2) 5) 6,(02) . 7 và 42,15 6) 3 . 3,(32) và 9,(69)
Dạng 3. Thực hiện phép tính Bài 1: Tính 1) 8 2) 12 3) 3,02 4) 4 5 5) 15 30 6) 5 − 7) 0, − 29 8) − 6 9) 5 10) 8 − 15 − 18 Bài 2: Tính − 1) − − 3 − 2) − − 5 3) 1 − 4) 6 − 3 − − 11 − 5) 12 14 6) 3 − 12 7) 5 − 5 8) 20 − 10 9) 5 − − 2 10) 4 + 3
Bài 3: Thực hiện phép tính 1) 3 5 1 − 21 1 − − − + + 2) 3 4 1 1 + − + 3) 1 3 36 3 − − + 5 2 4 8 5 3 2 4 4 2 2 2 4)  2 −  13 − 25 − +  3  1  5) 1 25 + − 0,81 6) 3: − +   . 36 3    15 9 36 6  2  9 0 2 3 25 2 − 7) 1 −  6 −   1  − +  2  49 7     : 2 8) + − −   :3 9) + (5555)0 + 3  7   2   3  81 3 49 7 3 3 10) 1 ( )0 5 999 − − − + 4  1 −  3 − 7 9  1  3 7 36 6 11) + −   . 12) + − − − − 9    2  7 8 49  2  7 8 2 3   13)  3 1  25  − − 4  49  1  : 14) :0,75 −   15) 9 9  − 9  1  4 6  144  8  169  4  16 −   2 16) 11 9 1 : 5 −  1 1   2,5. − 3 17) 4 4 16 0,25. 2 − : 18) 121 − : − 3 25 3      9 25 4  3 2  − 19) 15 3 9 − − . 81 + 20) 25 3 0,36. + − . 0,(3) 21) (− )2 3 8 2 + . 36 − . 9 6 18 64 16 4 2 3
Bài 4: Thực hiện phép tính 2 1) 5 − (− )2 0 16 . 8 − 2019 . 2) 16 2  1 −  0 5. − : +   2023 − 8 25 25 3  3  0 3 3) 5 −  11 −  1  20 25  1 1  3 − 7   :  + − 4) − + − +   . 3 4 16  21      64  4 2  7 12 2 3 5)  3 −  11 5  −  − + − − . ( 12 − 1 9 5 5   )2 6) + − : +   25  4  18 12  2  8 12 6 2 0 2 7)  1  9 2 −  2222 25  1 1  3 − 7  .  − − +  8) − + − +   . 3 4 3  555      64  4 2  7 12 2 2 3 0 9)  3  1 1  1  213 −  ( )2 1 : 2 9 .  − − −  10) − + −   .64 + 2  2 3     3  4  216   100 5 − 31 5 2 1 11) 3 2 1  3 2 1   :  − + − − +  12) . + . + 2 − 5 10   0    2 3 − 12  17 33 − 17 − 33 ( 99 − ) 9 8 2 0 13) 16  2   2 16  2  1  19 −    :  + − −   2929 − 14) +   : 4 − − 9    3   3  25  5  5  20  2 15)  2  9 4 16 3 9 1 − . − : + ( 9876 −   )0 16) 2 − . + (− )2020 1 + 9999  3  16 81 9 5 5 9 2 2 21 17) 2 3 − 6 + + + 34 − 25  1 −  1 −  1  1 − 5 7 35 18) 25. + −  9. +  5 5  9     9 6  −   −  2 19) 3 1 1 3 1 1 : − + 4 9  1 −  13   : −1 5 20) + 0, − 75 − . +  15 6  5  3 15  − −     25 5  3  4 2  −    2 4 1 21) 2 3 9 2 81 − + 22) 4 − . + (− )2021 1 + 3636 − 3  4    64  3  3 3 4 2 3 23) ( )2 9 1 3 0,5 .8 : 2 − − + − 24)  1  1 −  1 : 2  − − − + 25 −     16 16 2 5  2  4  2   7 − 3 7 − 5  − 7 14 − 25) 1 3 − 1 3 0 10 − : + 8 : + 4321 26)  . + .  + : 4 5 4 5  4 8 4 ( 2 −  )3  15 − 5  2 27)  5  4 16   − .0,16 − : + ( 8822 −   )0 28) 5 49 2 14 − : 25 −1,12. −1 . −    4  81 9 3 36 7  15  2 3 3 2 29)  3  2 1 −  3 .5 :   −  − − − − − 1 3 1 3 1     3 30) + .19 −   .39  5  4  4  2  2  2 3 4 3  2  1  1 2  31)  1   1 −  4  2 5 . .  − − −     32) 2 + 3:− +  2 2 2 3  3         2   9 5    2   2   33)  1  27 16 4  1 −  1   . + − 3 : 34) 6 − 3. +    : 0,(9)  3  7 49   7    3  4     35) 1 25 49 441  1   11  + −  : 36) 25. 0,4 −1 : ( 2 −   )3. 9 36 81 324      2   8  37) 144 23 12 13 . − . 38) 25 5 1 25 . − . 5 25 7 49 25 7 2 16 7 8 −    39) 9 16 3 2 . − . 40) 1 1 1 7 −  − − 8   2 225 4 4 5 3 24 2  +  2 3 1 2 16  2   41) 9 2 1  3  1   1  3  .2 2,25: 2 1,2  + − + − − 42) 1,5 + 2 −  ( 8)2 : 4 − 0,25 −2     64 3  5  2    2   2  4 0 2 2 4 43) 3  1   1  ( )2 1 2 3. .4 2 :     − + − − + − 2 3 5 3      :8 44) 12 − 44 − 1 − 2 +   (1,5) : 2 2  2          4   2  2   3 45) 1 1  5  3 2 − 4   2 2  1   −1,2:1 − − +   1,25 − 46) + . −  2012 − 2012 : −     4  20  2  4 9 9   7 7  21  2 2  4 1    1 11 47) (− ) 3 − (− )  1 −  1 0,25 : 5 − 3 +  48)  + −    : 0,75 +1 .1−  4    3  25  9  2    3 12  3 2 2 49) 81  1 3 :  − + − .108 + ( 6 −  1 −  16 1  2 −    )2 : 2,25 50) 96. + 81. − −   1 . 16  3  2 9 2  3      10 − ( + )2 3 5  1 1 1  1 1  51) 7 5 4 . + . 52) + −   : − +1   121 9 2 81 11  256 2 1 8 6  2  ( 5 5 5 25 )2 53) 1− − − − 54) 1 (− )2 2 48 25 9 − 3 − −14. 1− + 196 (2 21)2 204 374 9 49 4 2   2 0 2  9 1     19  11 55) 5 9  −  − (− ) 25 64 : 4,5 − . 56) . : − −   49. −   4 4 16 9   5 25  5     20  15 
Dạng 4: Tìm giá trị chưa biết ( Tìm x biết)
Bài 1: Tìm x biết: 1) 1 x + = 0 2) 2 x − =1 3) 3 1 x + = 3 5 4 2 4) 2 1 x − = 5) 1 3 x − = 6) 3 2 − x = 5 4 3 2 8 5 7) 3 1 x + − = 0 8) 3 1 x − − = 0 9) 3 2 x + − = 0 4 3 4 4 4 5 10) 3 1 x + − = 0 11) 1 5 x + − = 0 12) 5 7 − x − = 0 4 2 3 6 18 24 13) 1 x + − 4 = 1 − 14) 1 x + − 4 = 2 − 15) 1 x + − 5 = 6 3 5 3 16) 3 1 x − + = 7 17) 3 5 x + + =1 18) 2 2 3 x + − = 4 2 5 8 3 5 5 19) 3 1 x 2 − + − = 20) 3 5 7 − x + = 21) 2 1 3 x − + = 4 4 8 6 4 5 2 4 22) 1 1 5 x − + = 23) 1 5 2 x − − = 24) 4 1 8 x − + = 3 2 8 2 6 3 5 3 15 25) 1 1 2 x + − = 26) 1 1 2 + x − = 27) 2 1 7 − x + = 2 3 3 4 3 5 5 2 2 28) 3 1 x 1 − + − = 29) 1 1 5 − x − = 30) 3 2 2 x + − = 5 10 3 3 3 2 5 3 31) 1 1 x − − = 2,5 32) 3 5 1 x + − = 3 33) 5 1 1 x − − − + = 2 3 2 4 6 5 6 2 3 34) 2 1 x + − 0,5 =1 35) 1 1 1 − − x = 36) 2 1 − − x = 6 5 2 5 5 5 5 2 37) 5 1 − 2 − x = 38) 1 5 5 21 1 x − − + = . 39) 18 1 3 − + x = 6 3 4 6 7 6 5 4 5
Bài 2: Tìm x biết: 1) 3 3x − = 3 2) 1 2x + 3 = 3) 1 − 4x = 2 2 4 4 4) 2 3 2x − + =1 5) 3 2 − 2x −1= 6) 2 1 1 − 3x − = 5 10 4 3 3 6 12 7) 1 1 1 x − = 8) 1 3 1 x + = 9) 3 3 3 x − − = 2 6 3 2 5 2 4 4 4 10) 3 14 x − −1 = 9 11) 2 17 − − 4x = 9 12) 1 5 − 2x − 3 = 2 3 2 13) 3 1 4 − 2x − = 14) 1 2 3x + − =1 15) 1 1 5 − 3x + =1 4 2 2 3 6 2 16) 1 5 1 − − − 2x = 17) 2 2 5 + − 3x = 18) 1 2 1 1 − x − = 3 4 4 7 5 7 2 3 2 3 19) 1 2 2x −1 − = 20) 2 1 5 − 3x + = 21) 1 2 3 1 x + − = 2 3 3 6 6 3 4 2 22) 5 1 0,5 − − 2x = 23) 1 1 2 2 − x + − = 2 24) 1 5 5 21 1 x − − + = . 4 3 3 3 3 4 6 7 6 25) 2 x 1 : −1 = 26) 3 4 2 x − : = 27) 8 8 : 2x −1 = 5 2 4 4 3 5 9 5 28) 1 2 2x − 3 = 29) 1 1 2 x − − = 0 30) 3 1 1 1 . x − = 2 2 8 4 4 2 6 31) 3 2 2 x − . − = 0 32) 5 − 1 − 3 2 − x = 33) 4 1 1 − : 2x −1 = 4 5 5 6 3 3 3 2
Bài 3: Tìm x biết: 1) 1 9 19 2 x : − − + + = 2) 1 1 4 1 x − = − − 3) 22 1 2 1 x + = − + 2 2 3 − 3 5 7 3 6 15 3 3 5 2 2 2 4) 1 2 1 x    − − − = 5) 3  1 x 1  − − = − 6) 7 3 x 1,25  − + = 6  3        12  2  4  2  2 2 1   7) 2  1 0,75 x 2 1  − + = − 8) x − − 0,(3) = 9) 1 3 1,25 −  x − + = 2     3 3  2  2 10) 1 3 2x − 5 = .2 11) 5 3 2: − x + = 12)  5  3 x : − − =   2 2 6 4  6  4 13) 1 1 x − 3. − = 5 14) 3 1 1 : x − = 15) 5  5  5 − : −   : x = − 2 2 4 7 14 12  6  9
Bài 4: Tìm x biết: 1) 1 x − − 25 = 2 − 2) 1 2 x +1 − 0,5 = 3) 1 1 1 x − − = 2 9 2 9 4 4) 3 1 x + − = 0 5) 3 14 x − −1 = 9 2 6) 2 1 5 − 3x + = 4 3 2 3 6 7) 3 1 x − − = 0 8) 3x 1 −1 = 9) 1 1 4x − − 25% = 2 4 2 2 2 4 2
Bài 5: Tìm x biết:     1) 1 3 5
3 − x . x + − =  1      0 2) ( 2 x + 16) x − =   0  2   4 6   2  3)  3 2 x − ( x +3 −5) =  1    0 4) x + 2 + .( 2 x − 4) =   0  4   2      5) 1 1  2 1 1 1 1 x . x  − − + =   0 6) x − − .( x −3) =   0  3 4   4   7 14 
Bài 6*: Tìm x, y biết:
1) x + + ( y − )2012 5 3 4 = 0 2) (x + )2 2 + 2 y −1 = 0 3) x + + ( y − )2 6 22 21 = 0 4) 2 1 3 11 23 − + x + 1,5 − + y = 0 3 2 4 6 3
5) 12x + 8 + 11y − 5 ≤ 0
6) x y − + ( y − )4 5 3 = 0
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 1) 3 1 A = − x + 2) x 3 2 A = − + 3) 15 19 A = x + + 5 9 3 2 3 19 15 4) 1 1 A x − = + + 5) 99 3 A = + − − x 6) 2 A = 119x − 2 +1 2 2 100 5 199 7) 7 2 1 A = x + + 8) 4 1 2 A = x − − 9) 7 5 A = x + + 5 5 3 10 3 4 11 8 6 10) 1 1 1 A − = − + x + 5 11) 1 1 5 7 A = + x − 12) 6 5 3 A = + 2 x + 2 4 2 99 5 4 2 11 8 5
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 1) 1 A = 9 − x − 2) 5
A = − − x + 2 3) 2 2 10 x A = − − 10 3 3 5 4) 4 2x 3 A − = − − 5) 2021 A − = − x + 2023 6) 29 20 92 A = − x − 3 4 2022 20 29 29 7) 3 1 A = − x + + 3 8) 1 2
A = − x − 2 − 9) 1 1
A = − x +1 − − 2 2 3 3 6 5 10) 5 5 A − = − − x 11) 6 x 4 A = − − 3 − 12) 7 4 4 A = − 3 − x 8 2 13 5 7 10 5 5
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 1) 15
B = 4x − 3 + 5y + +12 2) 1 3 1
B = x + + x + y + − 2 2 2 17 3) 4 3 4
B = − + x − 3 + − y 4) 5 7 7 5 7
B = − + 2x − + 5y − 3 4 3 7 5 5 7 2 2 y 5)  5  y 6 B = x + +  2x − 3 − +  6) 2 3 12 9 B 7x − − = + −  2  4 13 10 9 10 3 1 −  − 6 − x  7) 1 2 1 1 B = x − + y − + 8) B = −  − y − 6  5 7 4 6 27  3 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau  x  1) 7 8 10
C = − x − − y − + 2) 1
C = − x + y −1 + −1 − 3 3 3 3 99   3 2 3) 1 x − 3  1 Cx −  y  = − − − 4) 1 3 C = − − y + x − 6 10 5 6    4 4 2 5) 1  3x  1 C = − −1 − x −   y
6) C = −(x − )6 2 3 1 9 − y − − 9 3  2  4 14 5
CHƯƠNG III. GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 1. GÓC Ở VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT, TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC. A. LÝ THUYẾT. 1) Hai góc kề bù. z
Ví dụ 1: Cho ba tia Ox, Oy, Oz như Hình 1.
Biết Ox, Oy là hai tia đối nhau. Khi đó: Hai góc  xOz và 
yOz gọi là hai góc kề bù. x O y Kết luận: Hình 1
♣ Hai góc kề bù là hai góc có chung một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau.
♣ Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 0 180 Cụ thể:  +  =  0 xOy yOz xOy =180 . Chú ý:
♣ Hai góc kề bù còn được hiểu là hai góc vừa kề nhau, vừa bủ nhau.
Ví dụ 2: Chỉ ra các cặp góc kề bù có trong hình sau b t z y M a m A n O x c Hình 2 Hình 3 Hình 4
Hình 2. Hai góc  mAt và 
nAt là hai góc kề bù.
Hình 3. Hai góc  xOz và 
zOy không là hai góc kề bù.
Hình 4. Hai góc  aMc và 
bMc là hai góc kề bù.
2) Hai góc đối đỉnh. y
Ví dụ 3: Hai đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' như Hình 5. x' Khi đó: 1 2 Hai góc  O 1 O và 2
O được gọi là hai góc đối đỉnh. Kết luận: y' x
♣ Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này Hình 5
là tia đối một cạnh của góc kia.
♣ Hai góc đối đỉnh có số đo bằng nhau. 1 Cụ thể:  =  1 O 2 O . x O y Chú ý: 2 Hình 6 ♣ Góc 1
O đối đỉnh với góc 2
O thì ta cũng nói 1 O và 2
O đối đỉnh với nhau.
♣ Chúng ta không xét hai góc bẹt đối đỉnh
Cụ thể: Hình 6. Hai góc bẹt 1 O và 2
O chúng ta sẽ không
xét là hai góc đối đỉnh.
Ví dụ 4: Chỉ ra các cặp góc đối đỉnh có trong hình c 1 2 a b M 1 4 3 1 O G N d Hình 7 Hình 8 Hình 9
Hình 7. Hai góc 1 O và 3
O đối đỉnh, hai góc 2 O và 4 O đối đỉnh. Ở Hình 8. Góc  aGc đối đỉnh  bGd , góc 
bGc đối đỉnh với  aGd .
Hình 9. Không có cặp góc nào đối đỉnh. y
3) Tia phân giác của một góc. Ví dụ 5: Cho góc 
xOy và tia Om như Hình 10. m
Biết rằng tia Om chia 
xOy thành hai góc nhỏ  xOm và 
yOm bằng nhau. Khi đó: O x
Tia Om được gọi là tia phân giác của góc  xO . y Hình 10 Kết luận:
♣ Tia nằm giữa hai cạnh và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau là tia phân giác của góc đó. ♣ Khi xOy
Om là tia phân giác của  xOy thì  =   xOm yOm = . 2 Ví dụ 6: Cho  0
xOy =100 . Tia Oa là tia phân giác của góc đó. y Tính  xO . a a
Oa là tia phân giác của góc  xOy nên  =   0 xOy 100 0 xOa yOa = = = 50 . ( Hình 11) 2 2 O x Ví dụ 7: Cho 
ABC và tia Bm là tia phân giác của góc đó. Hình 11 Tính  ABC biết  0 ABm = 37 . C
Bm là tia phân giác  ABC nên m  =  0 0
ABC 2.ABm = 2.37 = 74 . ( Hình 12) 370 B A Hình 12 B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Nhận biết các góc kề bù, đối đỉnh và
Tia phân giác của một góc.
Bài 1: Cho biết các góc kề bù trong các hình sau m m B n 2 1 y A x a C Hình 13 Hình 14 Hình 15
Bài 2: Cho Hình 16. a a) Góc 
mOa kề bù với góc nào? b b) Góc 
bOm kề bù với góc nào? c) Hai góc  nOb và 
mOa có kề bù với nhau không? n O m d) Hai góc  nOb và 
bOa có kề bù với nhau không? Hình 16
Bài 3: Cho Hình 17. A a) Góc 1
A có kề bù với góc 2 A không? 2 1 b) Góc 
AMC kề bù với góc nào? B M C
Bài 4: Cho biết các góc đối đỉnh trong các hình sau Hình 17 A A B d O O a b B M C C D c Hình 18 Hình 19 Hình 20 D
Bài 5: Cho Hình 21. a) Góc 
AGN đối đỉnh với góc nào? A b) Góc 
GNM đối đỉnh với góc nào? c) Hai góc  AMB và 
AMC có đối đỉnh với nhau không? N d) Hai góc  NGM và 
NCM có đối đỉnh với nhau không? G B M C Hình 21
Bài 6: Cho Hình 22. A
a) Chỉ ra các cặp góc đối đỉnh có trong hình. x
b) Hãy chỉ ra hai góc kề bù tại đỉnh . D E c) Góc 
AED kề bù với góc nào? B D C
Bài 7: Cho Hình 23. Hình 22 a) Góc 
ABC đối đỉnh với góc nào? kề bù với góc nào? A b) Góc 
BCy đối đỉnh với góc nào? kề bù với góc nào? m B C n x y Hình 23
Bài 8: Tìm các tia phân giác có trong các hình sau P I A 1 2 x 290 H 630 E Q 290 630 B D C M G K N Hình 24 Hình 25 Hình 26
Bài 9: Cho Hình 27. A B
a) BE là tia phân giác của góc nào?
b) DE là tia phân giác của góc nào? E C D Hình 27
Dạng 2. Tính số đo góc
Bài 1: Cho Hình 28. Biết Ox, Oy là hai tia đối nhau,  0 yOm = 70 . Tính  xO . m m m A 500 t 700 x O y Hình 29 x n Hình 28
Bài 2: Cho Hình 29. Biết  nAt và 
mAt là hai góc kề bù. Biết  0 mAt = 50 . Tính  nAt
Bài 3: Cho Hình 30. Biết  0 =  0
aHc 60 , bHm = 44 . c m a) Tính   1 H , H2 . a 600 440 b b) Tính   bHc, bHn. 1 H 2 c) Tính  mHc. n d Hình 30
Bài 4: Cho Hình 31. Biết  =  x 1 H H2. a) Hai góc   1
H , H2 là hai góc như thế nào? b) Tính  1 2 1 H . n H m c Hình 31 Bài 5: Cho d Hình 32. Biết  0 aMd = 60 . a) Tính  bMd. b) Tính  a . Mc 600 a M b c) Tính  d . Mc Hình 32 z n
Bài 6: Cho Hình 33. Biết  0 xAn = 35 . a) Tính  yAm. 350 y y A x b) Tính  yAz. x A 450 B m
Bài 7: Cho Hình 34. Hình 33 a) Tính  BEC và  xA .y 1350 n C b) Tính  xA . D D E Hình 34 x
Bài 8: Cho Hình 35. Biết Ax là tia phân giác  mAn và  0 mAn = 80 . Tính . mAx A m Bài 9: Cho 
xAy và tia An là tia phân giác của góc đó. Hình 35 n m Biết  0 xAn = 55 . Tính 
xAy.( Hình 36). 600 y O x
Bài 10: Vẽ hình theo yêu cầu Hình 36 a) Vẽ  0 xOy = 72 . B
b) Vẽ tia Om là tia phân giác của  xO . y D c) Tính . mOy 360
Bài 11: Cho tam giác ABC AD là tia phân giác của góc A. A C Hình 37 Biết rằng  0 BAD = 36 . Tính 
BAC. ( Hình 37) n m
Bài 12: Cho Hình 38. Biết  0 =  0
xOm 60 , xOn =120 . a) Tính  mOn. 600 y O x
b) Om là tia phân giác của góc nào? Hình 38
c) On là tia phân giác của góc nào? y
Bài 13: Cho hai góc kề bù  
xOy, yOz sao cho  0 xOy =100 . t
Vẽ tia Ot là phân giác 
yOz. ( Hình 39). 1000 a) Tính  yOz. z O x Hình 39 b) Chỉ ra rằng  2 =  zOt x . Oy 5
Bài 14: Cho Hình 40. Biết Mx là tia phân giác của c x a . Mc a) Tính  aMc. b) Tính  bMx. y
Bài 15: Cho hai góc kề bù  xOy và  yOz sao cho  0 xOy = 80 . m n
Hai tia On, Om lần lượt là hai tia phân giác của hai góc  xOy và 
yOz ( Hình 41). z O x a) Tính  yOz. Hình 41 b) Tính  mOn. b n c Bài 16: Cho  0
aOb =100 . Oc là tia phân giác của góc đó. m Vẽ hai tia ,
Om On lần lượt là tia phân giác của   aOc, b . Oc a) Tính  aOc. O a Hình 42 b) Tính  mOn.
Bài 17: Cho Hình 43. Biết AD là tia phân giác  BAx, 1 A
CD là tia phân giác  ACB, số đo  0 =  0
BAC 70 , BDC = 20 . 2 D 700 a) Tính  ACB. 200 b) Tính   B C 1 A , 2 A . Hình 43
Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT. A. LÝ THUYẾT.
1) Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
Ví dụ 1: Vẽ hai đường thẳng a, b không trùng nhau. c
Vẽ tiếp đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần A1 a lượt tại hai điểm ,
A B ( Hình 1). Khi đó: 2 4 3
♣ Các cặp góc so le trong gồm: 3 A và 1 B , 4 A và 2 B . 1
♣ Các cặp góc đồng vị gồm: 2 4 3 bB 1 A và 1 B , 2 A và 2 B , 3 A và 3 B , 4 A và 4 B . Hình 1
♣ Các cặp góc trong cùng phía gồm: 4 A và 1 B , 3 A và 2 B . Chú ý:
♣ Các cặp góc so le trong, đồng vị hay trong cùng phía chưa chắc đã bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình 2. d
a) Hãy chỉ ra các cặp góc so le trong N x
b) Hãy chỉ ra các cặp góc đồng vị. 3 5 7 1 c) Góc 
N7 trong cùng phía với góc nào? Góc 
M6 trong cùng phía với góc nào? 6 4 y 8 2 M
2) Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song. Hình 2
♣ Nếu một đường thẳng c cắt hai đường thẳng phân biệt a, b và trong các góc tạo thành có
một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường
thẳng a b song song với nhau.
Ví dụ 3: Cho Hình 3 và Hình 4. c c a A C a b b B D Hình 3 Hình 4
Hình 3. Nhận thấy có  =  A B mà  
A , B là hai góc so le trong nên a∥ . b
Hình 4. Nhận thấy có  =  C D mà  
C , D là hai góc đồng vị nên a∥ . b Nhận xét:
♣ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng c
thứ ba thì chúng song song với nhau. a Cụ thể: a c b
Hình 5. Ta thấy  ⇒ a∥ . b b  ⊥ c Hình 5 B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Nhận biết các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía
Bài 1: Cho Hình 6. Hãy chỉ ra a
a) Các cặp góc so le trong m H
b) Các cặp góc trong cùng phía. C 1 2 4 3 2 1 c) Góc 1
C đồng vị với góc nào? 2 Góc  1 7
D đồng vị với góc nào? 6 3 4 Bài 2: Cho 5 Hình 7. Hãy chỉ ra n K 7 8
a) Các cặp góc so le trong D Hình 7
b) Các cặp góc đồng vị Hình 6
c) Các cặp góc trong cùng phía. A
Bài 3: Cho Hình 8. Hãy cho biết 1 a) 1
A so le trong với góc nào? 1 D b)   1 D , 2 D là hai góc gì? 2 c)   2 2 1 1 D , 2 E là hai góc gì? B E C d) 2
D trong cùng phía với góc nào? so le trong với góc nào? Hình 8 e) 2
B đồng vị với góc nào, trong cùng phía với góc nào? x
Bài 4: Cho Hình 9. A 2
a) Hãy chỉ ra các cặp góc so le trong có trong hình. 1
b) Hãy chỉ ra các cặp góc trong cùng phía có trong hình
c) Hãy chỉ ra các cặp góc đồng vị. 2 1 B C y Hình 9
Bài 5: Cho Hình 10. n A m
a) Chỉ ra góc so le trong với góc   BAn, nAC.
b) Chỉ ra góc trong cùng phía với   B , ACB. B C y Hình 10
Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng song song. m
Bài 1: Cho Hình 11. A a a)   1 A , 1
B là hai góc như thế nào? 1
b) Chứng tỏ đường thẳng ab.
Bài 2: Cho Hình 12. n m 1 b B a) Cho biết   C 1 C , 2 D là hai góc gì? Hình 11 1 2 b) Chứng tỏ m Dn. Hình 12
Bài 3: Cho Hình 13. B A
a) Chứng tỏ rằng DEAC.
b) Chứng tỏ rằng CBMx. M N E D 1 1 x 480 y B C C 480 M A Hình 14 Hình 13 x
Bài 4: Cho Hình 14. Biết  =  M1 1 B A
a) Chứng tỏ rằng By n BMN. 1100 1
b) Chứng tỏ rằng MN Cx. H K
Bài 5: Cho Hình 15. Chứng tỏ rằng Am 700Bn. m A Bài 6: Cho B Hình 16. Hình 15 M C Hình 16 a)  HBM và  KMC là hai góc gì? A
b) Chứng tỏ rằng BH MK.
Bài 7: Cho Hình 17. 2 1 a) Cho biết  M 2 A và 
M1 là hai góc ở vị trí như thế nào? 1 b) Hai góc  E 1 A và  N2 là hai góc gì? B D H C
c) Chứng tỏ rằng MD 2AH Hình 17 N
d) Chứng tỏ rằng NEMD
Bài 8: Cho Hình 18. Biết AC là tia phân giác   0 BAx, C = 55 , A B 1  0 A = 70 . N 1 M a) Tính  CAx.
b) Chứng tỏ rằng AxBC. C D
Bài 9: Cho Hình 19. Biết  =  A x Hình 19 1 A M1. 700
a) Chứng tỏ rằng ABMN B A
b) Chứng tỏ rằng MN C . D
Bài 10: Cho Hình 20. 550 C B C D
a) Chứng tỏ rằng Ax∥ . Om Hình 18
b) Chứng tỏ rằng Om∥ . By Hình 21 F E
Bài 11: Cho Hình 21.
a) Chứng tỏ rằng ABCD. x A H 1 m
b) Chứng tỏ rằng CDEF . m O
Bài 12: Cho Hình 22. 360 A x 360 1
a) Chứng tỏ rằng HmAx. B y K n
b) Chứng tỏ rằng Ax Hình 20Kn. 1 Hình 22
Bài 3. TIÊN ĐỀ EUCLID
TÍNH CHÁT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A. LÝ THUYẾT.
1) Tiên đề Euclid về đường thẳng song song. c M
Ví dụ 1: Vẽ đường thẳng b
a và một điểm M ∈/ . a
Vẽ đường thẳng b đi qua M và song song với . a
Vẽ tiếp đường thẳng c cũng đi qua M và song song với . a a
Nhận thấy rằng đường thẳng b c trùng nhau. Hình 1 Kết luận:
♣ Qua một điểm ở bên ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Cụ thể:
Hình 1. Chỉ có một đường thẳng đi qua M và song song với đường thẳng . a
Ví dụ 2: Cho Hình 2.Biết ABm AC∥ .
m Chứng tỏ rằng B, , A C thẳng hàng.
ABm nên ,
A B nằm trên đường thẳng B A C
đi qua A và song song với m ( ) 1
ACm nên ,
A C nằm trên đường thẳng m
đi qua A và song song với m (2) Hình 2 Từ ( )
1 , (2) ta được ba điểm B, ,
A C cùng nằm trên một đường thẳng nên chúng thẳng hàng.
2) Tính chất của hai đường thẳng song song.
Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng a∥ .
b đường thẳng c cắt hai đường thẳng a b lần lượt tại hai điểm A và . B ( Hình 3).
Nhận thấy rằng khi đó  =  c 1 A 1 B và  =  1 A 2 B Kết luận: A a
♣ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: 1
. Hai góc so le trong bằng nhau. 2 b
. Hai góc đồng vị bằng nhau. B 1
. Hai góc trong cùng phía bù nhau. ( tổng bằng 0 180 ). Hình 3 Nhận xét:
♣ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng
vuông góc với đường thẳng kia ( Hình 4)
♣ Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau ( Hình 5 ) m a a b c b B. BÀI TẬP. Hình 5 Hình 4
Dạng 1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 1: Cho Hình 6. M A N
a) Chứng tỏ rằng AM BC. 400 550
b) Chứng tỏ rằng AN BC.
c) Chứng tỏ rằng ba điểm M , , A N thẳng hàng. 400 550 B C Hình 6
Bài 2: Cho Hình 7.
a) Chứng tỏ rằng DEBC. A
b) Chứng tỏ rằng EF BC.
c) Chứng tỏ rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng. D 480 E F
Bài 3: Cho Hình 8. 480 A B C
a) Chứng tỏ rằng KH ∥ . AB Hình 7 b) Chỉ ra KI H ∥ . AB
c) Chứng tỏ rằng ba điểm 600 B C
H, K, I thẳng hàng 600 K E A
Bài 4: Cho Hình 9. I Hình 8 770 B
a) Chứng tỏ rằng AEDC
b) Chỉ ra rằng BADC.
c) Chứng tỏ rằng ba điểm E, , A B thẳng hàng. 770 D C Hình 9
Dạng 2. Tính giá trị các góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
Bài 1: Cho Hình 10. Biết DCAB và  0 A = 55 . D C Tính 1 C . m 1 A a 1 2 550 A Bài 2: Cho B
Hình 11.Biết ab Hình 10 b và  0 B = 60 . Tính   1 A , 2 A . 600 B Hình 11 A 1 B 1150
Bài 3: Cho Hình 12. Biết ABDC. và  0 =  0
D 70 , B =115 . Tính   1 A , C . 700
Bài 4: Cho Hình 13.Biết BH MK và  0 BIM = 57 . D C Hình 12
a) Chứng tỏ rằng BH AC. b) Tính  IMK . A
Bài 5: Cho Hình 14. Biết A x H 400
AxMz ByMz. z I K 1 M 2 a) Tính   M1, M2. 300 B b) Tính  AMB . y B M C Hình 14 Hình 13
Bài 6: Cho Hình 15. Biết
MxAz, NyAz. M 450 x B 600 A a) Tính   3 A , 4 A . 4 A z N 1 M 3 2 b) Tính  MAN . 700 y N 550 C D Hình 16
Bài 7: Cho Hình 16. Biết Hình 15
ABMN, CDMN. a) Tính   M D 700 C 1, M 2 . b) Tính  AMC. F E
Bài 8: Cho Hình 17. Biết DCEF, HGEF 1 và  0 CEG =110 . Tính  H G 1 G . Hình 17 M A 1
Bài 9: Cho Hình 18. x H 650 y 1100 A B
Biết MAxy, NBxy Và  0 MHN C =105 . 1 D N B a) Tính  M Hình 18 1 . 1500 E F b) Tính 1 N . Hình 19
Bài 10: Cho Hình 19. Biết ABCD, CDEF a) Tính  ACD và  DCE. M 1200 a C x 1 b) Tính  ACE. B A z c) A
Bài 11: Cho Hình 20. Biết aAB, b 1 N D y 400 b Hình 21AB và  0 MAN =100 . Tính  Hình 20 1 N .
Bài 12: Cho Hình 21. Biết xz, yz và  0 CAD =120 . a) Tính  DAz. b) Tính 1 C .
Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Bài 1: Cho Hình 22. Biết
ab Ad là phân giác  aAc. c d
a) Chứng tỏ rằng a ⊥ .c A a C m b) Tính  cAd . A
Bài 2: Cho Hình 23. b n B D
a) Chứng tỏ rằng m B ∥ . n Hình 22
b) Chứng tỏ rằng AB Hình 23 ⊥ . n
Bài 3: Cho Hình 24. a) Chỉ ra rằng x C M x K ∥ . y G 750
b) Chỉ ra rằng x CD. y
Bài 4: Cho Hình 25. 1050 1 D N O H a) Tính 1
O rồi chỉ ra GK OH. Hình 24 Hình 25
b) Chứng tỏ rằng OH HK.
Bài 5: Cho Hình 26. E M M N A a) Tính  600 450 1
F và chỉ ra EM FN.
b) Chỉ ra rằng EM MN. 1 1200 450 1
Bài 6: Cho Hình 27. F N O B Hình 27 a) Tính  Hình 26 1
O rồi chỉ ra AM ∥ . OB
b) Chứng tỏ rằng OB ⊥ . AB
Dạng 4. Tính giá trị góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía.
Bài 1: Cho Hình 28. Biết  0 A = 70 . z c
a) Chứng tỏ rằng a∥ . b C a A x b) Tính  1 700 1 B .
Bài 2: Cho Hình 29. Biết  0 D = 60 b 1 y B 600 D
a) Chỉ ra rằng x∥ . y Hình 28 Hình 29 b) Tính 1 C . a
Bài 3: Cho Hình 30. D n x M
a) Chỉ ra rằng m∥ . n 1 A 1300 b) Tính 1 D . 580 B m 1
Bài 4: Cho Hình 31. C y N
a) Chỉ ra rằng x∥ . y Hình 30 Hình 31 b) Tính 1 N . m
Bài 5: Cho Hình 32. A 390 x a) Tính 1 B . B 1 D y
b) Chỉ ra rằng yz rồi suy ra xz. z
Bài 6: Cho Hình C 33. Hình 32
a) Chỉ ra rằng ac bc rồi suy ra a∥ . b d b) Tính  d M 740 a 1 N .
Bài 7: Cho Hình 34. Biết a∥ .c a A 650 N 1 b a) Chỉ ra a∥ . b P b b) Tính  AOB. c O Q c 450 Hình 33 B Hình 34
Bài 8: Cho Hình 35. a a) Chỉ ra m∥ . n A n 1 2 b) Tính 1 A . 640 A x c) Tính 1 C . B 720 1 m C 1
Bài 9: Cho Hình 36. Biết y z
z y∥ . x Hình 35 O
a) Chỉ ra rằng xz rồi suy ra AO Oz. 1400 y B b) Tính  BOz rồi suy ra 1 O . Hình 36
Dạng 5. Vẽ thêm hình phụ để tính số đo góc.
Bài 1: Cho Hình 37. Biết ABC . D Tính  AOC. A B A B 450 410
Bài 2: Cho Hình 38. Biết AB OC . D O Tính  BOD. 300 360 C D D C Hình 37 Hình 38
Bài 3: Cho Hình 39. Biết ABC . D Tính  BOC. A 700 B A B 450
Bài 4: Cho Hình 40. Biết ABC . D O O Tính  AOC. 500 C C D 1450 D Hình 39 x Hình 40
Bài 5: Cho Hình 41. Biết ABMN . A B Tính  AEM . 1300 E A B
Bài 6: Cho Hình 42. Biết ABMN . 400 750 N M Tính  AHN . Hình 41 H
Bài 7: Cho Hình 43. Biết ABMN . Tính  AOM . 1250 M N Hình 42
Bài 8: Cho Hình 44. Biết ABMN . Tính 1 K . A B 1300
Bài 9: Cho Hình 45. Biết ABMN . O Tính 1 G . 1500 A B M N A B 400 1 G Hình 43 H H 1 350 M K N M K N Hình 44 Hình 45
Bài 10: Cho Hình 46. Biết Bx là tia phân giác A góc 
ABC, Tia MyBC My là tia phân x M giác góc  C . Mx 1 y 2 a) Tính  M1. 450 b) Tính  ABC rồi suy ra  ABM . B C Hình 46
Bài 4. ĐỊNH LÍ VÀ CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ. A. LÝ THUYẾT.
1) Định lí. Giả thiết và kết luận của định lí.
Ví dụ 1: Với kết luận “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”. Đây được coi là một định lí.
Khi đó Hai góc đối đỉnh được gọi là giả thiết còn bằng nhau được gọi là kết luận của định lí đó. Kết luận:
♣ Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết.
♣ Mỗi định lí thường được viết dưới dạng: “ Nếu ..( ) 1 .. thì ..(2)..” .
Trong đó: Phần nội dung ( )
1 là giả thiết của định lí còn phần (2) là kết luận của định lí.
Ví dụ 2: Với tính chất: “ Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau”. Tính chất này là một định lí.
Khi đó ta sẽ viết giả thiết và kết luận cho định lí này như sau. m a GT a ⊥ , m b m b KL ab. Hình 1
2) Chứng minh định lí. m
Ví dụ 3: Quay trở lại định lí ở ví dụ 2: a
Giả sử đường thẳng a vuông góc với m tại M M
b vuông góc với m tại N. b Khi đó  =  0 M N = 90 . mà  
M , N là hai góc đồng vị ( Hình 2) N Nên ab. Hình 2
Cách làm trên gọi là đi chứng minh một định lí. Kết luận:
♣ Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết suy
ra kết luận của định lí.
Ví dụ 4: Cho định lí sau: “ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song
song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại ”.
a) Vẽ hình và viết giả thiết và kết luận cho định lí trên. a
b) Chứng minh định lí trên. x M a) Hình 3. y
GT xy, a x N Hình 3 KL a ⊥ . y
b) Vì xy nên  =  M
N ( đồng vị) mà  0 = ⇒  0 M 90
N = 90 . Vậy a ⊥ . y Ví dụ 5: Cho  
xOy, yOz là hai góc kề bù, hai tia ,
Om On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc
trên. Chứng minh rằng Om On.
a) Viết giả thiết và kết luận cho bài toán trên.
b) Chứng minh bài toán trên. a) Hình 4. y  
xOy , yOz kề bù. n m GT ,
Om On lần lượt là phân giác   xOy, yOz. z O x KL Chứng minh  0 Hình 4 mOn = 90 . b) Vì  
xOy, yOz kề bù nên  +  0 xOy yOz =180 . ,
Om On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc   xOy, yOz. Nên  1 =  mOy xOy và  1 =  nOy yOz. Khi đó 2 2  =  +  1 =  1 +  1 =  +  mOn mOy nOy xOy yOz (xOy yOz) 1 0 0
= .180 = 90 . Vậy Om ⊥ . On 2 2 2 2 B. BÀI TẬP.
Bài 1:
Cho Hình 5. Tính  M1. M
a) Viết giả thiết và kết luận cho bài toán trên. A 1
b) Chúng minh bài toán trên. A m 600 B N
Bài 2: Cho Hình 6. Biết AmBn O Hình 5
Hai tia phân giác của hai góc   A , B n cắt nhau tại . O Tính  AOB. B Hình 6
a) Viết giả thiết và kết luận cho bài toán. B A C
b) Chứng minh bài toán trên. 430
Bài 3: Cho Hình 7. Chứng tỏ rằng ba điểm ,
A B, C thẳng hàng.
a) Viết giả thiết và kết luận cho bài toán.
b) Chứng minh bài toán trên. 430 c M N a 1060 Hình 7
Bài 4: Cho Hình 8. M 2
a) Chứng minh rằng ab. b b) Tính  1 1 N . N
( có viết giả thiết và kết luận) Hình 8
Bài 5: Cho Hình 9. A
a) Chứng minh MN B .x A M 1 N b) Tính 1 N . N M
Bài 6: Cho Hình 10. 1 1360 x
a) Chứng minh MN BC. B C Hình 9 b) Tính  430 1 N . B C Hình 10
Bài 7: Cho Hình 11. Chứng minh rằng Am∥ . Bn A 1200 m
Bài 8: Cho Hình 12. Biết  0 DAB =120 . 1
a) Chứng minh rằng ABDC. A x 600 B G 400 1 440 1 400 n B b) Tính 1 A . c) Tính  C2 và  ACB
rồi suy ra ADBC. A B 410
Bài 9: Cho Hình 13. Biết ∥  0
AO BD, AOC = 71 . a) Chứng minh AB OCD. 300 b) Tính  BDC. a C D 250 Hình 13 M
Bài 10: Cho Hình 14. Biết  0 MON = 70 . b
Chứng minh MaNb. 350 O N Hình 14
CHƯƠNG IV. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Bài 1. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC. A. LÝ THUYẾT.
1) Tổng các góc trong một tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ ΔABC, từ đỉnh A vẽ đường thẳng xyBC. x A y ( Hình 1). 1 3 2
a) Chứng minh rằng  =  1 A B .
b) Chứng minh rằng  =  3 A C . B C
c) Chứng minh rằng  +  +  0 2 A B C =180 . Hình 1 a) Vì ∥ ⇒  =  xy BC 1 A B ( so le trong). b) Vì ∥ ⇒  =  xy BC 3 A C ( so le trong).
c) Khi đó  +  +  =  +  +  =  0 2 A B C 2 A 1 A 3 A xAy =180 . B Kết luận:
♣ Tổng ba góc trong một tam giác bằng 0 180 .
♣ Tam giác có ba góc đều là góc nhọn gọi là tam giác nhọn. A C
♣ Tam giác có một góc tù thì gọi là tam giác tù. Hình 2
♣ Tam giác có một góc vuông thì gọi là tam giác vuông.
Cụ thể ΔABC vuông tại ,
A khi đó cạnh BC gọi là cạnh huyền, hai cạnh AB, AC gọi là
hai cạnh góc vuông. ( Hình 2) . ♣ ΔABC có 1
C kề bù với góc  C nên 1
C gọi là góc ngoài của tam giác.
Cụ thể: ΔABC có 1
C là góc ngoài thì  =  +  1 C A B . A B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính số đo x trong các hình sau: 1 A B C A Hình 3 x A x 740 450 720 x 640 1250 250 B C B C B C Hình 4 Hình 5 Hình 6 A B A 600 x x 310 x x B C A C Hình 7 B C Hình 8 Hình 9 1
Bài 2: Tìm số đo x trong các hình sau: D A A x A 810 x M 450 630 500 x 380 480 B C B C D B C Hình 11 Hình 10 Hình 12 D A A A x x 1200 x 600 B x x C M C B 440 B C Hình 13 Hình 14 Hình 15 D
Bài 3: Tìm số đo x, y trong các hình sau: A A D C x x 530 D x y 1300 y 560 x B H C B C A B M Hình 16 Hình 17 Hình 18 A A A x Ey E x x x 600 y 500 350 y 300 B C B M C B C Hình 20 Hình 19 Hình 21
Bài 4: Cho Hình 22. Biết AO là tia phân giác góc  BAD . A và  = 
AOB AOD. Chứng minh rằng  =  B 1 D . D 1
Bài 5: Cho Hình 23. Biết  =   =  1 B 2 B , AMB DMB. B O C B
Chứng minh rằng MD BC. Hình 22 1 2 D A M C Hình 23 2
Bài 6: Cho Hình 24. Biết MN BC. A
Tính số đo x trong hình. A x 1 2 M N
Bài 7: Cho ΔABC vuông tại . A 1300
Kẻ AH BC.( Hình 25). 1140 Chứng minh rằng  =  B H C B C 1 A C . Hình 25 Hình 24
Bài 8: Cho ΔABC có  0 =  0
ABC 70 , ACB = 30 . A
AD là tia phân giác 
BAC, kẻ AH BC. ( Hình 26 ). a) Tính  BAC. 300 b) Tính  ADB và  HAD. B C H D Hình 26
Bài 9: Cho ΔABC có  =  0 B C = 40 .
AD là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A ( Hình 27 ). A D
Chứng minh rằng ADBC. 400 400
Bài 10: Cho ΔABC có  =  0 A C = 60 . B C Hình 27
BE là tia phân giác góc ngoài tại . B ( Hình 28). A
Chứng minh rằng BEAC. 600 E
Bài 11: Cho ΔABC có  0 =  0 B 80 , C = 40 . A
BO, CO lần lượt là hai tia phân giác 600 D B C của hai góc   B , C . O Hình 28 Tính 
BOC. ( Hình 29 ). B C
Bài 12: Cho ΔABC có  0 A = 90 . Hình 29 B
BO, CO lần lượt là hai tia phân giác của   B , C . Tính 
BOC. ( Hình 30). O A C Hình 30 3
Bài 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC. A. LÝ THYẾT.
1) Hai tam giác bằng nhau. A D
Ví dụ 1: Cho ΔABC ΔDEF như Hình 1.
Nhận thấy ΔABC ΔDEF có ba cạnh bằng nhau:
AB = DE , AC = DF , BC = FE
và ba góc bằng nhau:  =  A D ,  =  B E ,  =  C F B C F E
Nên hai ΔABC ΔDEF gọi là hai tam giác bằng nhau. Hình 1
Khi đó cạnh AB và cạnh DE gọi là hai cạnh tương ứng và  A và 
D gọi là hai góc tương ứng. Kết luận:
♣ Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cạnh cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
♣ Kí hiệu: ΔABC = ΔDEF cần chú ý về thứ tự các đỉnh khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình 2. A D a) Chứng minh  =  C M .
b) Chứng minh rằng ΔABC = ΔDNM. a) B C M N
ΔABC có  +  +  0 A B C =180 Hình 2
ΔDMN có  +  +  0 D M N =180   =  A D
Suy ra  +  +  =  +  +  A B C D M N mà  ⇒  =  C M   =  B N
b) Xét ΔABC ΔDNM có:
AB = DN, AC = DM , BC = MN ( giả thiết)  =   = 
A D , B N ( giả thiết) và  = 
C M ( chứng minh câu a)
Vậy ΔABC = ΔDNM.
2) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác. B 6cm C
Ví dụ 1: Vẽ ΔABC biết BC = 6c ,
m AC = 4cm, AB = 5c . m
Vẽ cạnh BC = 6c . m
Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5c . m
Vẽ tiếp cung tròn tâm C bán kính 4c . m B 6cm C
Hai cung tròn cắt nhau tại điểm A A
Nối các điểm ta được A
ΔABC. ( Hình 3). 5cm 4cm B 6cm C B 6cm C Hình 3 4
Ví dụ 2: Vẽ thêm ΔDEF EF = 6c , m DF = 4c , m DE = 5c . m D
Làm giống ví dụ 1 ta được ΔBEF như Hình 4.
Cho nhận xét về ΔABC ΔDEF. 5cm 4cm E 6cm F Kết luận: Hình 4
♣ Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác ấy bằng nhau
♣ Kí hiệu: ΔABC = ΔDEF ( .c .cc) B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Xác định các yếu tố bằng nhau của hai tam giác
Bài 1: Cho ΔABC = ΔDEF
a) Hãy chỉ ra các cạnh tương ứng bằng nhau. Các góc tương ứng bằng nhau.
b) Nếu BC = 7cm thì cạnh nào cũng bằng 7c . m
Bài 2: Cho ΔABC = ΔDMN. Biết =  0 BC 6c ,
m B = 60 , AC = 4c . m
a) ΔDMN có góc nào cũng có số đo bằng 0 60
b) Suy ra số đo cạnh nào của ΔDMN.
Bài 3: Cho ΔABC = ΔHIK. Biết AB = 7c , m BC = 8c , m HK = 7c . m
a) Cạnh AC bằng bao nhiêu cm ?
b) Tính chu vi của mỗi tam giác trên.
Bài 4: Cho ΔABC = ΔDMN. Biết  0 =  0 A 50 , M = 60 a) Tính  C của ΔABC
b) Tính số đo các góc còn lại của ΔDMN.
Bài 5: Cho ΔABD = ΔHIK. Biết  0 =  0 B 90 , D = 45 . a) Tính số đo góc  A của ΔABC.
b) Cho biết ΔHIK là tam giác gì?
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau A
Bài 1: Cho Hình 5.
a) Chứng minh ΔABC = Δ . ABD C b) Chứng minh  =  1 A 2 A .
Bài 2: Cho Hình 6. a) Chứng minh A 1 ΔAHB = ΔAHC. 2 B B H C b) Chứng minh  =  B C . Hình 6 c) Chứng minh AH ABC. Hình 5 D
Bài 3: Cho Hình 7.
a) Chứng minh ΔANM = ΔBNM. M N
b) Chứng minh MN là tia phân giác  AMB. Hình 7 B 5
Bài 4: Cho Hình 8. A
a) Chứng minh ΔABM = ΔEDM.
b) Chứng minh ABDE. y
Bài 5: Cho Hình 9. D B M M
a) Chứng minh ΔAMK = ΔANK K
b) Chứng minh AK là tia phân giác  MAN . Hình 8 E
Bài 6:
Cho Hình 10. A x N
a) Chứng minh ΔOAB = ΔOCD. Hình 9 A B
b) Chứng minh ABCD. O A
Bài 7: Cho Hình 11.
a) Chứng minh ΔABO = ΔACO. D C b) Chứng minh  =  ABO ACO. Hình 10 O
Dạng 3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh B C
Bài 1: Vẽ ΔABC biết AB = 4c , m AC = 5c , m BC = 3cm. Hình 11
Bài 2: Vẽ ΔDEF biết AB = 6c , m BC = 6c , m AC = 6cm.
Bài 3: vẽ ΔAMN biết AB = 5c , m AC = 5c , m BC = 4cm.
Bài 4: Vẽ ΔABC biết BC = 6c , m AB = 5c , m AC = 4c . m 6
Bài 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC A. LÝ THUYẾT.
1) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác ( .cg.c) y Ví dụ 1: Vẽ  0
xAy = 60 . Trên tia Ax lấy điểm B sao cho C AB = 5c ,
m trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 4c . m 4m
Nối B với C ta được ΔABC ( Hình 1). 600
Ví dụ 2: Vẽ thêm ΔMNP có  0
M = 60 , MN = 5c , m MP = 4cm A 5m B x Hình 1 Trong ΔABC thì 
A gọi là góc sen giữa hai cạnh AB, AC. P Trong ΔMNP thì 
M gọi là góc sen giữa hai cạnh MP, MN.
Xét ΔABC ΔMNP có: 4m
AC = MP = 4cm. 600  =  0 A M = 60 . M 5m N Hình 2
AB = MN = 5cm.
Khi đó ta nói ΔABC bằng ΔPMN theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Kết luận:
♣ Nếu hai cạnh và góc sen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc sẽ giữa của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Ví dụ 3: Cho Hình 3.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC. A b) Chứng minh  =  B C .
a) Xét ΔAHB ΔAHC có: AH là cạnh chung  =  0 AHB AHC = 90 . B x
HB = HC ( giả thiết) H C y Hình 3 A
Vậy ΔAHB = ΔAHC ( .cg.c) b) Vì = ⇒  =  ΔAHB ΔAHC
B C ( hai góc tương ứng)
2) Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác. 600 500
Ví dụ 4: Vẽ đoạn thẳng BC = 4c .
m Vẽ tia Bx sao cho  0 CBx = 60 . B C 4cm
Vẽ tia Cy sao cho  0
BCy = 50 . tia Bx cắt Cy tại A Hình 4
ta được ΔABC.( Hình 4). D
Ví dụ 5: Vẽ thêm ΔDEF có =  0 =  0 EF 4c ,
m E 60 , F = 50 .
Trong ΔABC thì BC là cạnh xen giữa hai góc   B , C .
Trong ΔDEF thì EF là cạnh xen giữa hai góc   E , F . 600 500 E 4cm F
Với hai tam giác có các yếu tố như trên Hình 5
Khi đó ta nói ΔABC bằng ΔDEF theo trường hợp góc – cạnh – góc. B. BÀI TẬP. 7
Dạng 1. Vẽ tam giác theo yêu cầu bài toán.
Bài 1: Vẽ ΔABC biết  0
A = 50 , AB = 4c , m AC = 5c . m
Bài 2: Vẽ ΔABC biết  0
A = 90 , AB = 6c , m AC = 3c . m
Bài 3: Vẽ ΔDEF biết  0
D = 60 , DE = 4c , m DF = 4cm.
Bài 4: Vẽ ΔDEF biết =  0 EF 4c ,
m E = 90 , DE = 4c . m
Bài 5: Vẽ ΔABC biết  0 =  0
B 50 , C = 60 , BC = 4c . m
Bài 6: Vẽ ΔAMN biết  0 =  0
M 50 , N = 50 , MN = 3cm.
Bài 7: Vẽ ΔDEF biết  0 =  0
D 60 , E = 60 , DE = 4c . m
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Bài 1: Cho Hình 6. B
a) Chứng minh ΔAOM = ΔBOM . A
b) Chứng minh MB = MA. M
Bài 2: Cho Hình 7.
a) Chứng minh ΔABM = ΔACM . O A
b) Chứng minh AM BC. Hình 6
Bài 3: Cho Hình 8. B M C N
a) Chứng minh ΔABN = ΔABM Hình 7
b) Chứng minh AB là phân giác  NAM .
Bài 4: Cho Hình 9. A B H
a) Chứng minh ΔHMN = ΔKMN .
b) Chứng minh MH = MK . M N Hình 8 M
Bài 5: Cho Hình 10.
a) Chứng minh ΔAIN = ΔBIM . Hình 9 K A B b) Chứng minh  =  ANI BMI . I A B
Bài 6: Cho Hình 11.
a) Chứng minh ΔOAB = ΔODC. O
b) Chứng minh AB = CD. N M Hình 10 C D A
Bài 7: Cho Hình 12. Hình 11
a) Chứng minh ΔHDB = ΔHEC. D E b) Chứng minh  =  DBH ECH . H B C Hình 12 8 Bài 8: Cho 
xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy điểm , A y
Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = . OB Vẽ Om B tia phân giác 
xOy. Lấy M bất kì trên tia . Om ( Hình 13) m
a) Chứng minh ΔAOM = ΔBOM . M
b) Chứng minh AM = BM. O A x Hình 13
Bài 9: Cho ΔABC vuông tại .
A Trên cạnh BC lấy điểm A
E sao cho BE = BA. Tia phân giác 
B cắt AC D.( Hình 14) D
a) So sánh DADE. b) Tính số đo  BED. B C E Hình 14
Bài 10: Cho ΔABC vuông tại ABC = 2 .
AB E là trung B
điểm của BC. Tia phân giác 
B cắt AC ở . D ( Hình 15)
a) Chứng minh DB là phân giác  ADE E
b) Chứng minh BD = DC c) Tính  
B , C của ΔABC. A D C Hình 15
Bài 11: Cho ΔABC vuông tại .
A Tia phân giác góc  B cắt B
AC D, kẻ DE BC . Chứng minh AB = BE . ( Hình 16)
Bài 12: Cho ΔABC vuông tại .
A Kẻ BD là tia phân giác  ABC. E
Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh: a) ΔABD = Δ . EBD
b) DE = AD, DE BC. A D C
c) BD là đường trung trực của AE. Hình 16
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh ba điểm F, D, E
thẳng hàng. ( Hình 17)
Bài 13: Cho ΔABC nhọn có AB < AC. Phân giác của 
A cắt BC tại .
D Trên AC lấy điểm E sao cho AE = .
AB ( Hình 18). B
a) Chứng minh ΔADB = ΔADE.
b) ED cắt AB tại F. Chứng minh AF = AC. E
c) Chứng minh ΔDBF = ΔDEC. A A D C E Hình 17 F B D C Hình 18 F 9
Bài 14: Cho ΔABC AB = AC . Lấy điểm E trên AB, A
điểm F trên AC sao cho AE = AF . ( Hình 19).
a) Chứng minh BF = CE ΔBEC = ΔCFB. b) Biết E F
BF cắt CE tại I. Cho biết IE = IF .
Chứng minh ΔIBE = ΔICF . A I B C
Bài 15: Cho ΔABC AB = AC . Trên các cạnh AB, AC Hình 19
lấy lần lượt các điểm D E sao cho AD = AE . D E
Gọi O là giao điểm của BE và . CD O a) Chứng minh  = 
ABE ACD . ( Hình 20). A
b) Chứng minh OD = OE, OB = OC B C Hình 20 Bài 16: Cho  ΔABC ( 0
A < 90 ), AB = AC . Kẻ CE AB E D
(E AB). Kẻ BD AC, ( DAC). Gọi O là giao điểm O
của BD CE. ( Hình 21). B C
a) Chứng minh BD = CE Hình 21
b) Chứng minh OE = OD OB = OC . K
c) Chứng minh OA là phân giác  BAC
Bài 17: Cho ΔABC vuông tại .
A Trên cạnh BC lấy điểm E A M
sao cho BA = BE. Tia phân giác của 
B cắt AC ở . D ( Hình 22). D
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD.
b) Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH DE. B H C E c) So sánh  ABC và  EDC. Hình 22
d) Gọi K là giao điểm của ED và ,
BA M là trung điểm A
của KC. Chứng minh B, D, M thẳng hàng.
Bài 18: Cho ΔABC biết AB < AC. AE là phân giác  BAC . M
Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB. ( Hình 23). I B
a) Chứng minh ΔABE = ΔAME. E C
b) AE cắt BM tại I. Chứng minh IB = IM . Hình 23 N
c) Trên tia đối của tia EM lấy điểm N sao cho EN = EC.
Chứng minh ΔENB = ΔECM . A d) Chứng minh ,
A B, N thẳng hàng.
Bài 19: Cho ΔABC AB < AC và tia phân giác 
A cắt BC tại D. E
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB . ( Hình 24). B
a) Chứng minh DB = DE . D C b) ABC
cần thêm điều kiện gì để DE AC . K Hình 24 10
c) Gọi AB cắt ED tại K. Chứng minh  =  AKE ACB . F d) Chứng minh KBE = CEB .
Bài 20: Cho ΔABC vuông tại A có  0 B = 53 . Tính 
C . ( Hình 25). A H
a) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. E
Tia phân giác B cắt AC tại E. Chứng minh ΔBEA = ΔBED.
b) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H , B D C
CH cắt AB tại F . Chứng minh BF = BC . Hình 25
c) Chứng minh ΔBAC = ΔBDF D, E, F thẳng hàng. Bài 21: Cho A
ΔABC vuông tại AAB < AC. Trên cạnh BC lấy
điểm M sao cho BA = BM . Gọi E là trung điểm của AM . K E
a) Chứng minh ΔABE = ΔMBE.( Hình 26). F Q
b) BE cắt AC tại K. Chứng minh KM BC. B M C
c) Qua M vẽ đường thẳng song song với AC
cắt BK tại F .Trên đoạn KC lấy điểm Q Hình 26
sao cho KQ = MF . Chứng minh  =  ABK QMC. A
Bài 22: Cho ΔABC vuông tại AAB < AC. Trên cạnh BC D H I
lấy điểm K sao cho AB = BK .Gọi H là trung điểm của AK . N
Kéo dài BH cắt AC tại I . ( Hình 27). B K C a) Nếu  0 ABC = 60 . Tính  ACB. Hình 27
b) Chứng minh ΔABH = ΔKBH . suy ra AK BI . B
c) Qua K kẻ đường thẳng song song với AC cắt BH, AB
lần lượt tại N D. Chứng minh KA là tia phân giác  IKD.
Bài 23: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AC. A M C
Trên tia MB lấy điểm N sao cho M là trung điểm của BN . ( Hình 28).
a) Chứng minh CN AC CN = AB Hình 28
b) Chứng minh AN = BC AN BC. N A
Bài 24:
Cho ΔABC, D là trung điểm của AB, E là trung E F D
điểm của AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF .
a) Chứng minh ΔAED = ΔCEF . ( Hình 29).
b) Chứng minh DB = CF . B C Hình 29
c) Chứng minh ΔBDC = ΔFCD. E A D
Bài 25: Cho ΔABC, gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AC AB. Trên tia đối của tia MB NC lấy M N
tương ứng hai điểm D E sao cho MD = MB, NE = NC . B C Hình 30 11
a) Chứng minh AD = AE. ( Hình 30). F A E b) Chứng minh ,
A E, D thẳng hàng.
Bài 26: Cho ΔABC, có AB = AC. Hai điểm M , N lần lượt N M
là trung điểm của AC, AB. ( Hình 31).
a) Chứng minh ΔABM = ΔACN ΔBMC = ΔCNB. B C
b) Lấy điểm E, F sao cho M là trung điểm của BE, Hình 31
N là trung điểm của CF .Chứng minh AE = AF . A
c) Chứng minh MN BC, MN EF .
Bài 27: Cho ΔABC, E là trung điểm của BC. Lấy điểm D I
thuộc tia đối của tia EA sao cho ED = EA. ( Hình 32). B E C
a) Chứng minh ΔAEB = ΔDEC. K
b) Chứng minh ACBD.
c) Kẻ EI AC EK BD. Chứng minh ΔAIE = ΔDKE. A Hình 32 D
d) Chứng minh I, E, K thẳng hàng.
Bài 28: Cho ΔABC M là trung điểm của BC. Trên tia đối K
của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . ( Hình 33). B C M
a) Chứng minh ΔAMC = ΔDMB. H
b) Chứng minh ACBD.
c) Vẽ MH DB tại H. Trên cạnh AC lấy điểm K Hình 33
Sao cho AK = DH . Chứng minh ΔMHD = ΔMKA. D
từ đó suy ra MK AK . A Bài 29: Cho F
ΔABC nhọn, vẽ AH BC, ( H BC) . N
Vẽ HI AB tại I, vẽ HK AC tại K. Lấy E, F M
sao cho I là trung điểm của HE , K là trung điểm E
của HF, EF cắt AB, AC lần lượt tại M , N . ( Hình 34). B H C
a) Chứng minh MH = ME và chu vi ΔMHN bằng EF . Hình 34 A b) Nếu  0
BAC = 60 . Tính các góc ΔAEF . Bài 30: Cho D
ΔABC vuông tại A có  0
B = 60 . Vẽ AH vuông I
góc với BC tại H . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho B H K C
AD = AH . Gọi I là trung điểm cạnh HD. ( Hình 35). Hình 35 a) Chứng minh ΔAHI A
= ΔADI . Từ đó suy ra AI HD.
b) Tia AI cắt HC tại K . Chứng minh ΔAHK = ΔADK từ đó suy ra AB K DKD. E
Bài 31: Cho ΔABC AB = AC AB > BC . Gọi M là trung điểm N
của BC. ( Hình 36).
a) Chứng minh ΔABM = ΔACM . B C M Hình 36 12
b) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm A
E sao cho AD = AE.Chứng minh MD = ME.
c) Gọi N là trung điểm của BD. Trên tia đối của
tia NM lấy điểm K sao cho NK = NM . B H M C
Chứng minh K, D, E thẳng hàng.
Bài 32: Cho ΔABC AB < AC . M là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . ( Hình 37). E D
a) Chứng minh ΔAMB = ΔDMC. Hình 37
b) Chứng minh ABCD. A
c) Kẻ AH BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm
E sao cho H là trung điểm của AE. Chứng minh BA = BE.
d) Chứng minh BD = CE. B C H M
Bài 33: Cho ΔABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia AM
lấy điểm D sao cho AM = MD . ( Hình 38).
a) Chứng minh ΔAMB = ΔDMC. Hình 38 E D
b) Vẽ AH BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E A
sao cho HE = HA. Chứng minh ΔHMA = ΔHME ME = MD.
c) Chứng minh DEBC. B H B C
Bài 34: Cho ΔABC nhọn có AB < AC . Lấy E là trung điểm
của BC. Trên tia AE lấy điểm D sao cho E là trung điểm của AD. Hình 39
a) Chứng minh ΔABE = ΔDCE. ( Hình 39). K D
b) Chứng minh ACBD. A
c) Vẽ AH BC . Trên tia AH lấy điểm K sao cho
H là trung điểm của AK . Chứng minh BD = AC = CK .
d) Chứng minh DK AH . B C
Bài 35: Cho ΔABC nhọn. Kẻ AK BC (K BC). Trên tia đối K H
của tia KA lấy điểm D sao cho KD = KA. ( Hình 40).
a) Chứng minh ΔAKB = ΔDKB. D E
b) Chứng minh CB là tia phân giác của  ACD . Hình 40 A
c) Gọi H là trung điểm của BC. Trên tia AH lấy điểm E
sao cho H là trung điểm của AE. Chứng minh CE = BD.
Bài 36: Cho ΔABC nhọn có AB < AC . Lấy M là trung điểm của
BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA = ME . B C H M
a) Chứng minh BEAC.( Hình 41).
b) Kẻ AH BC tại H . Vẽ tia Bx sao cho  ABx nhận tia E F
BC làm tia phân giác. Tia Bx cắt AH tại F . Hình 41 K 13
Chứng minh CE = BF . A
c) Tia Bx cắt tia CE tại K , tia CF cắt tia BE tại I .
Chứng minh M , I, K thẳng hàng.
Bài 37: Cho ΔABC nhọn có AB < AC . Vẽ AH BC (H BC). E B C
Trên AH lấy điểm K sao cho H là trung điểm của AK . ( Hình 42). H
a) Chứng minh ΔACH = ΔKCH .
b) Gọi E là trung điểm của BC. Trên tia AE lấy điểm D sao J K N D
cho E là trung điểm của AD. Chứng minh BD = AC = CK . Hình 42
c) Chứng minh EH là tia phân giác 
AEK DK BC. A
d) Gọi I là giao điểm của BD CK, N là trung điểm của KD.
Chứng minh E, I, N thẳng hàng. I
Bài 38: Cho ΔABC nhọn có AB < AC . Kẻ AH BC .
Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho BH = HD . ( Hình 43). B H D C
a) Chứng minh AB = AD .
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. K
Chứng minh ABED.
c) Tia ED cắt AC tại I, tia AD cắt EC tại K. Hình 43 E
Chứng minh DI = DK . A
d) Chứng minh IK BC .
Bài 39: Cho ΔABC có ba góc nhọn. Kẻ BM AC , CN AB . M
Gọi H là giao điểm của BM CN. Gọi O là trung điểm của BC. N H
Trên tia đối của tia OH lấy điểm D sao cho O là trung điểm của HD. E a) So sánh  ABM và 
ACN . ( Hình 44). B C O
b) Chứng minh BD AB . F
c) Tìm điều kiện của ΔABC để BM = CN . D Hình 44
d) Trên các đoạn BH CD lấy điểm E F sao cho A
BE = CF . Chứng minh BC, HD EF đồng quy.
Bài 40: Cho ΔABC nhọn có AB < AC . Phân giác 
A cắt BC tại . D
Vẽ BE AD tại E. Tia BE cắt AC tại F. ( Hình 45). F H
a) Chứng minh AB = AF. E
b) Qua F vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AE tại H B D K C
Lấy điểm K nằm giữa D C sao cho FH = DK. Hình 45
Chứng minh DH = KF DH KF . A c) Chứng minh  >  ABC C .
Bài 41: Cho ΔABC có  = 
B C . Kẻ AH BC (H BC). Trên K I
tia đối của tia BC lấy điểm .
D Trên tia đối của tia CB lấy điểm D B H C E
E sao cho BD = CE . ( Hình 46). Hình 46 O 14
a) Chứng minh AB = AC .
b) Chứng minh ΔABD = ΔACE.
c) Chứng minh ΔACD = ΔABE.
d) AH là tia phân giác của 
DAE . Kẻ BK AD , CI AE .
Chứng minh AH, BK, CI đồng quy. A
Bài 42: Cho ΔABC AB = AC . Gọi H là trung điểm của BC.
Trên đoạn BH lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE . ( Hình 47). M
a) Chứng minh ΔABH = ΔACH AH BC.
b) Kẻ DM BC, (
M AB) và EN BC, (N AC) , I C B E
MN cắt BC tại I. Chứng minh DM = EN IM = IN. D H
c) Đường thẳng qua I và vuông góc với MN cắt tia AH O tại .
O Chứng minh OC AN . Hình 47 N 15
Bài 4. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG A. LÝ THUYẾT.
1) Ba trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông. Hình 1 Hình 2 Hình 3
♣ Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình 1).
♣ Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc
vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình 2).
♣ Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn
của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( cạnh huyền – góc nhọn) ( Hình 3).
Ví dụ 1: Cho Hình 4. A
Xét ΔAMN ΔBMN có:  =  0 A B = 90 . N M NM là cạnh chung.  = 
AMN BMN ( giả thiết) Hình 4 B
Vậy ΔAMN = ΔBMN ( cạnh huyền – góc nhọn)
2) Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
♣ Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai am giác vuông đó bằng nhau. A
( cạnh huyền – cạnh góc vuông) ( Hình 5 ). Hình 5
Ví dụ 2: Cho Hình 6.
Xét ΔABD ΔACD có:  =  0 B C = 90 . AD là cạnh chung. B C
AB = AC ( giả thiết) D A Vậy Hình 6
ΔABD = ΔACD ( cạnh huyền – cạnh góc vuông). B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình 7.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC.
b) Chứng minh H là trung điểm BC. B H C Hình 7 16
Bài 2: Cho Hình 8. A A C
a) Chứng minh ΔABH = ΔABK .
b) Chứng minh BH = BK . O
Bài 3: Cho Hình 9. B D
a) Chứng minh ΔABO = ΔCDO. Hình 9 H K
b) Chứng minh AD = BC. B
Bài 4: Cho Hình 10. Hình 8 B
a) Chứng minh ΔABD = ΔHBD. H F
b) Chứng minh ΔDBH = ΔDCH .
c) Chứng minh ΔABD = ΔHCD. A D C B Hình 10
Bài 5: Cho Hình 11. D
a) Chứng minh ΔBDF = ΔEDC. A b) Chứng minh  =  F C . A E C
c) Chứng minh ΔAEF = ΔBAC. Hình 11
Bài 6: Cho Hình 12.
a) Chứng minh ΔHMB = ΔHNC. M N
b) Chứng minh ΔAHM = ΔAHN . B H C Hình 12 m
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB, Qua A vẽ đường thẳng m AB ,
Qua B vẽ đường thẳng n AB, Qua trung điểm O của AB vẽ C
một đường thẳng cắt mC và cắt n ở .
D So sánh OC OD. n ( Hình 13). A B O Hình 13
Bài 8: Cho ΔABC vuông tại AAB = AC . Qua A kẻ đường D
thẳng xy ( B, C cùng phía đối với xy ). Kẻ BD xy, C
E xy .
a) Chứng minh ΔBAD = ΔACE. E y A
b) Chứng minh DE = DB + CE . ( Hình 14). D x
Bài 9:
Cho ΔABC vuông tại .
A Gọi M là trung điểm của BC B C
AM BC . ( Hình 15). Hình 14
a) Chứng minh AB = AC . E d A
b) Qua A kẻ đường thẳng (d ) sao cho B C nằm cùng D
phía với (d ) . Kẻ BH ⊥ (d ) tại H, kẻ CK ⊥ (d ) tại K.
Chứng minh ΔAHB = ΔCKA. B M C Hình 15 17
Bài 10: Cho ΔABC . Tia Ax đi qua trung điểm M của BC. A
Kẻ BE CF vuông góc với Ax (E Ax, F Ax).
So sánh BE CF . ( Hình 16). E
Bài 11: Cho ΔABC E là trung điểm của BC. Lấy D B M C
thuộc tia đối của tia EA sao cho ED = EA. ( Hình 17). F
a) Chứng minh: ΔAEB = ΔDEC. A Hình 16 x
b) Chứng minh: ACBD.
c) Kẻ EI AC (I AC) , EK BD (K AC) I
Chứng minh ΔAIE = ΔDKE. B E C
d) Chứng minh I, E, K thẳng hàng. K
Bài 12: Cho ΔABC AB < AC . M là trung A Hình 17
điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D
I sao cho MA = MI . ( Hình 18). E H
a) Chứng minh ΔABM = ΔICM .
b) Chứng minh ABIC. B M C
c) Kẻ BH CK vuông góc với AI . Chứng minh BH = CK . K F
d) BH cắt AC tại E, CK cắt BI tại F .
Chứng minh E, M , F thẳng hàng. Hình 18 I
Bài 13: Cho ΔOAB nhọn. Trên tia đối của tia OA lấy điểm C D N C
sao cho OC = OA . Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho
OD = OB . ( Hình 19). K
a) Chứng minh ΔOAB = ΔOCD.
b) Từ B kẻ BH AC , Từ D kẻ DK AC. O
Chứng minh BH = DK . c) Trên tia H
AB lấy điểm M trên tia DC lấy điểm N sao cho
BM = DN . Chứng minh M , O, N thẳng hàng. A B M
Bài 14: Cho ΔABC nhọn và AB < AC . Gọi M là trung điểm Hình 19 của .
AB Trên tia đối của tia MC lấy điểm N sao cho MN = BC . ( Hình 20).
a) Chứng minh ΔAMN = ΔBMC ACBN .
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, NB N A
Chứng minh AF = BE .
c) Chứng minh M là trung điểm của EF . F E M B C Hình 20 18
Bài 15: Cho ΔMNP nhọn. Có Q là trung điểm của MP. A F K
Trên tia đối của tia QN lấy điểm K sao cho QK = QN . ( Hình 21).
a) Chứng minh ΔMNQ = ΔPKQ. Q
b) Chứng minh MN KP.
c) Gọi E là trung điểm của đoạn NP, đường thẳng N E P
EQ cắt MK tại F . Chứng minh F là trung điểm của MK . Hình 21
Bài 16: Cho ΔABC AB = AC . M là trung điểm của BC. A
Chứng minh ΔAMB = ΔAMC. ( Hình 22).
a) Từ M kẻ ME AB MF AC . Chứng minh AE = AF .
b) Chứng minh EF BC.
c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB. Từ C kẻ đường E F
thẳng vuông góc với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau B
tại N . Chứng minh ,
A M , N thẳng hàng. M C N Hình 22
Bài 17: Cho ΔABC nhọn có AB = AC . H là trung điểm của BC.
Từ H kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. A
a) Chứng minh ΔABH = ΔACH . ( Hình 23).
b) Chứng minh ΔAHE = ΔAHF .
c) Gọi M là giao điểm của AB với HF , N là giao điểm của AC
HE. Chứng minh ME = NF, MF = NE . E F B C H M N Hình 23 19
Bài 5. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG A. LÝ THUYẾT. 1) Tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho ΔABC có hai cạnh AB = AC. A
Khi đó ΔABC được gọi là tam giác cân. Kết luận:
♣ Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Cụ thể: Hình 1. ΔABC cân tại đỉnh A.
Hai cạnh AB, AC là hai cạnh bên. BC là cạnh đáy. B C Hai góc  
B , C là hai góc ở đáy. Hình 1
♣ Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân. A
Cụ thể: Hình 2. ΔABC có  = 
B C nên là tam giác cân tại . A
♣ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.
♣ Tam giác cân có 1 góc bằng 0 60 là tam giác đều.
♣ Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân tại góc vuông. B C
2) Đường trung trực của một đoạn thẳng. Hình 2
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng .
AB M là trung điểm của . AB
Đường thẳng (d ) vuông góc với AB tại M.( Hình 3). Khi đó ( (d)
d ) được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Kết luận:
♣ Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm A M B
Của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
♣ Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều Hình 3
Hai đầu mút của đoạn thẳng đó. (d)
Cụ thể: Hình 4. Điểm O∈(d ) ⇒ OA = OB. O
♣ Ngược lại điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. A M B B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình Hình 4 5. A
a) ΔABC là tam giác gì? B b) Tính   A, C .
Bài 2: Cho Hình 6.
a) ΔABC là tam giác gì? 650 b) Tính   B , C . B C Hình 5 500 A C Hình 6 20
Bài 3: Cho Hình 7. B A a) Tính  B .
b) ΔABC là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình 8. ΔABC là tam giác gì? 450 A C 600
Bài 5: Cho Hình B
9. ΔABC là tam giác gì? Hình 7 C Hình 8 A
Bài 6: Cho Hình 10.
a) Chứng minh ΔABC = ΔABD.
b) ΔACD là tam giác gì? A A 1200 B C
Bài 7: Cho Hình 11. Hình 9
a) Chứng minh ΔABM = ΔACN .
b) ΔAMN là tam giác gì? C D B M N C Hình 11 B Hình 10 A
Bài 8: Cho ΔABC. Tia phân giác 
B cắt AC D.Trên tia đối của tia BA D
lấy điểm E sao cho BE = BC . Chứng minh BDEC. ( Hình 12).
Bài 9: Cho ΔABC cân tại A, lấy điểm D thuộc AC, B C A
E thuộc AB sao cho AD = AE . ( Hình 13). a) So sánh  ABD và  ACE . E D Hình 12
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. E Khi đó IB
C là tam giác gì? Vì sao? I A
Bài 10: Cho ΔABC cân tại ,
A lấy điểm H trên AC , B C
điểm K trên AB sao cho AH = AK . Gọi O là giao Hình 13
điểm của BH CK . ( Hình 14). K H a) Chứng minh A
ΔOBC là tam giác cân. O
b) Chứng minh KH BC. B C
Bài 11: Cho ΔABC cân tại .
A Tia phân giác của Hình 14 E D
cắt cạnh AC, AB lần lượt ở D E . ( Hình 15).
a) Chứng minh ΔAED cân. O
b) Chứng minh DEBC. B C A
c) Chứng minh BE = ED = DC . Hình 15
Bài 12: Cho ΔABC cân tại . A Tia phân giác 
BAC cắt BC tại M.
Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt AB tại H. Đường
thẳng qua M và vuông góc với AC cắt AC tại K. ( Hình 16). H K
a) Chứng minh ΔAMB = ΔAMC. B C M Hình 16 21
b) Chứng minh ΔAHM = ΔAKM . So sánh AH, AK . A
c) Chứng minh HK AM .
Bài 13: Cho ΔABC cân tại ,
A vẽ BD AC tại D, CE AB tại E.
Gọi I là giao điểm của BD CE. ( Hình 17). E D
a) Chứng minh BD = CE EI = DI . I
b) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh ,
A I, H thẳng hàng. B H C
Bài 14: Cho ΔABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Hình 17
a) Chứng minh ΔABM = ΔACM . A
b) Trên cạnh AM lấy điểm K bất kỳ.
Chứng minh KB = KC . B
c) Tia BK cắt cạnh AC tại F , tia CK E F
cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EF BC. K D ( Hình 18). A C E B C M H Hình 18 Hình 19 F
Bài 15: Cho ΔABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho B
BD = BA. Tia phân giác của 
B cắt cạnh AC E. ( Hình 19).
a) Chứng minh ΔBEA = ΔBED. K
b) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE tại H . M A
CH cắt đường thẳng AB tại F . Chứng minh BF = BC D C
c) Chứng minh ΔBAC = ΔBDF D, E, F thẳng hàng. Hình 20
Bài 16: Cho ΔABC vuông tại .
A Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho H
BK = BA . M là trung điểm của AK . ( Hình 20).
a) Chứng minh ΔAMB = ΔKMB.
b) Đường thẳng BM cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh DK BC .
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = KC . A
Chứng minh H, D, K thẳng hàng.
Bài 17: Cho ΔABC ( AB < AC). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
AD = AB . Gọi M là trung điểm của cạnh BD. ( Hình 21). D M
a) Chứng minh ΔABM = ΔADM . B K C
b) Chứng minh AM BD . Hình 21 F
c) Tia AM cắt cạnh BC tại K. Chứng minh  =  ABK ADK . A
d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DC .
Chứng minh F, K, D thẳng hàng. M
Bài 18: Cho ΔABC AB < AC . AE là tia phân giác 
BAC (E BC) . I B
Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB . ( Hình 22). C E
a) Chứng minh ΔABE = ΔAME. Hình 22 N 22
b) AE cắt BM tại I . Chứng minh I là trung điểm của BM .
c) Trên tia đối của tia EM lấy điểm N sao cho EN = EC . Chứng minh ΔENB = ΔECM . d) Chứng minh ,
A B, N thẳng hàng.
Bài 19: Cho ΔABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC) F
và tia phân giác AD của 
HAC (DBC) . ( Hình 23). B H
a) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AH . D
Chứng minh ΔADH = ΔADE DE AC .
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm F sao cho HF = EC .
Chứng minh F, D, E thẳng hàng. A E C Hình 23
Bài 20: Cho ΔDEF vuông tại D, EK là tia phân giác của  DEF E
(K DF). Trên tia EF lấy điểm H sao cho EH = ED . ( Hình 24). H
a) Chứng minh ΔEDK = ΔEHK từ đó suy ra KH EF .
b) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với DF nó cắt DF tại I. Chứng minh HI D K FED. I Hình 24
Bài 21: Cho ΔABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. ( Hình 25). A
a) Chứng minh ΔADB = ΔADC suy ra AD là tia phân giác  BAC .
b) Chứng minh AD BC . P M N
c) Trên cạnh AB AC lấy lần lượt hai điểm M , N sao cho K
AM = AN . Gọi K là giao điểm của AD MN . O
Chứng minh AD MN .
d) Gọi O là trung điểm của BM , trên tia đối của tia OD lấy điểm B D C P sao cho OD Hình 25
= OP . Chứng minh P, M , N thẳng hàng.
Bài 22:
Cho ΔABC cân tại A. Gọi I J lần lượt là trung điểm của AB AC. ( Hình 26).
a) Chứng minh ΔABJ = ΔACI . E A F
b) Gọi O là giao điểm của BJ CI .
c) Chứng minh ΔOBC có hai góc bằng nhau. và IJ BC. I J
d) Lấy điểm E F sao cho I O
J lần lượt là trung
điểm của CE BF . Chứng minh A là trung điểm B C Hình 26 của EF .
Bài 23: Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. A
Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE .
Chứng minh ΔADE là tam giác cân. ( Hình 27). D B C E Hình 27 23
Bài 24: Cho ΔABC cân tại A, AM là tia phân giác của góc A A
(M BC) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .
Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE .
a) Chứng minh ΔABM = ΔACM . ( Hình 28).
b) Chứng minh AM BC . D B C E Hình 28 c) Chứng minh  =  ADC AEB . A
Bài 25: Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm D E
sao cho BD = CE . Nối AD AE. ( Hình 29).
a) Chứng minh ΔADE cân.
b) Chứng minh ΔABE = ΔACD. B D E C Hình 29
Bài 26: Cho ΔABC cân tại A. Lấy điểm I là trung điểm của BC. A
Trên tia BC lấy điểm N , trên tia CB lấy điểm M sao cho
CN = BM . Chứng minh ( Hình 30). a)  = 
ABI ACI AI là tia phân giác của góc  BAC . b) AM = AN . B N I M C c) Hình 30 AI BC .
d) AI là đường trung trực của MN . M
Bài 27: Cho ΔMNP cân tại M . Gọi D là trung điểm
của đoạn thẳng NP.( Hình 31). I
a) Chứng minh ΔMND = ΔMPD. Từ đó suy ra MD NP .
b) Trên tia đối của tia NP lấy điểm E và trên tia đối của tia E N D P F
PN lấy điểm F sao cho NE = PF . Chứng minh ME = MF . Hình 31
c) Lấy điểm I bên trong ΔMNP sao cho IN = IP .
Chứng minh M , I, D thẳng hàng. 24 ÔN TẬP CHƯƠNG 4.
Bài 1:
Cho ΔABC vuông tại .
A Kẻ BD là tia phân giác của ΔABC F
(DAC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBD. A
b) Chứng minh DE = ADDE BC . D
c) Chứng minh BD là đường trung trực của AE.
d) Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE . B E C
Chứng minh D, F, E thẳng hàng.
Bài 2: Cho ΔABC có  0
A = 90 . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho F
BE = BA. Tia phân giác của 
B cắt AC tại D.
a) Chứng minh ΔABD = ΔEBDDE BC . A I
b) Gọi F là giao điểm của AB DE. D
Chứng minh AF = CE .
c) Gọi I là trung điểm của CF . Chứng minh B, D, I thẳng hàng. B C E
d) Chứng minh  =  +  BAE EAC ECA .
Bài 3: Cho góc nhọn  0
xOy > 50 . Lấy điểm A trên tia Ox ( A O) y
và điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB . Gọi H là trung điểm của K đoạn AB.
a) Chứng minh ΔOAH = ΔOBH . B M S
b) Trên tia OH lấy điểm M sao cho OM > OH . H
Chứng minh AM = MB . O A E x
c) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt Ox tại E
Oy tại K . Chứng minh OH EK OM là đường trung trực của EK .
d) Gọi giao điểm của AK với BE S . Chứng minh OS là tia phân giác của  xOy .
Bài 4: Cho ΔABC AB < AC . Tia phân giác 
A cắt cạnh BC tại I . A
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB .
a) Chứng minh BI = ID .
b) Tia DI cắt tia AB tại E. Chứng minh ΔIBE = ΔIDC. D
c) Chứng minh BDEC. B C I d) Cho  = 
ABC 2.ACB . Chứng minh AB + BI = AC . E
Bài 5: Cho ΔABC cân tại A. Vẽ AD là phân giác góc 
BAC (DBC). A
a) Chứng minh ΔABD = ΔACD.
b) Chứng minh AD là trung trực của BC.
c) Vẽ DM AB tại M . Trên cạnh AC lấy N M N E K
sao cho AN = AM . Chứng minh ADM = ΔADN B D C 25 và DN AC .
d) Gọi K là trung điểm của CN . Trên tia đối của tia KD lấy điểm E sao cho KE = KD .
Chứng minh M , N, E thẳng hàng.
Bài 6: Cho ΔABC vuông tại A, BD là phân giác 
B (D∈AC). A
Kẻ DE BC tại E. D
a) Chứng minh BA = BE .
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE. B O E C
c) Kẻ Bx BD ( Bx nằm trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm ),
A trên tia Bx lấy điểm H sao cho BH = AE .
Chứng minh HE AC . H
d) O là trung điểm của BE. Chứng minh ,
A O, H thẳng hàng.
Bài 7: Cho ΔABC vuông tại AAB > AC . Kẻ AH BC (H BC). A
Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA.
a) Chứng minh rằng ΔCAH = ΔCDH K
và tia CB là tia phân giác của  ACD . C B H
b) Qua D kẻ một đường thẳng song song với AC cắt BC M
tại M và cắt AB tại K . Chứng minh ΔCHA = ΔMHD AD N
là đường trung trực của CM . D
c) Kẻ BN AM ( N thuộc tia AM ). Chứng minh B, N, D thẳng hàng.
Bài 8: Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE . Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC lần lượt
M N . Chứng minh A a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN .
Kẻ AH BC, (
H BC) . Đường thẳng vuông góc với MN M
tại I cắt đường thẳng AH tại O. I C
Chứng minh ΔOAB = ΔOAC ΔOBM = ΔOCN . E B D H c) OC AC . O N
Bài 9: Cho ΔABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Phân giác 
ABC cắt AC tại I .
Biết BI AM tại H .
a) Chứng minh IA = IM . A K
b) Tính các góc của ΔBIC. I
c) Biết độ dài các cạnh của ΔABC là ba số nguyên dương
liên tiếp. Tính chu vi của ΔABC H
d) Trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao cho HK = HB . B M C
Chứng minh ΔAIB = ΔKIC. 26
Bài 10: Cho ΔABC cân tại A. Kẻ tia phân giác CD (DAB). Qua D vẽ đường thẳng vuông
góc với CD cắt BC tại F và cắt CA tại K, đường thẳng kẻ qua D và song song với BC cắt
AC tại E. Phân giác góc 
BAC cắt DE tại M . Chứng minh K
a) ΔCDF = ΔCDK . A
b) ΔDEC, ΔDEK là các tam giác cân. c) CF = 2.BD. D E M d) 1 MD = CF . 4 B F C
Bài 11: Cho ΔABC AB < AC . AD là tia phân giác của  BAC .
Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = AB . P
a) Chứng minh ΔABD = ΔAMD. A
b) Gọi I là giao điểm của AD BM . K
c) Chứng minh I là trung điểm BM AI BM .
d) Gọi K là trung điểm của AM , trên tia đối của tia KB A I
lấy điểm P sao cho KB = KP . Chứng minh MPAB. B D C
e) Trên tia đối của tia MP lấy điểm E sao cho MP = ME . Chứng minh ,
A I, E thẳng hàng. A
Bài 12: Cho ΔABC đều, Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt E
lấy ba điểm D, E, F sao cho AD = BE = CF . D
Chứng minh rằng ΔDEF là tam giác đều. F B C E
Bài 13: Cho ΔABC AB < BC . Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC . Tia phân giác 
B cắt AC DC lần lượt tại E I . D
a) Chứng minh ΔBEC = ΔBED. H
b) Chứng minh ID = IC . A
c) Từ A kẻ AH DC tại H . I
Chứng minh AH BI . E B C
Bài 14:
Cho ΔABC AB < BC . Trên tia BA lấy điểm D sao cho BC = BD . Tia phân giác 
B cắt AC E. Gọi K là trung điểm của DC. D
a) Chứng minh ΔBED = ΔBEC. H
b) Chứng minh EK DC . A
c) Chứng minh B, K, E thẳng hàng. K d) Kẻ AH E
DC, ( H DC) . ΔABC cần thêm điều kiện gì để  0 DAH = 45 . B C 27
CHƯƠNG V. THU THẬP VÀ BIỂU DIỄN DỮ LIỆU
Bài 1. THU THẬP VÀ PHÂN LOẠI DỮ LIỆU A. LÝ THUYẾT.
1) Thu thập và phân loại dữ liệu.
Ví dụ 1: Cho các dãy dữ liệu sau:
a) Các loại màu sắc gồm có: Xanh, đỏ, cam, vàng, trắng, đen.
b) Các loại bộ nhớ của USB: 8G; 16G; 32G; 64G; 128G
c) Các loại học lực: Giỏi; Khá; Trung Bình; Yếu.
Nhận thấy rằng dữ liệu ở câu b là dữ liệu liên quan đến số nên gọi là số liệu.
Còn dữ liệu ở câu a, c có dữ liệu không phải là số. Kết luận:
♣ Dữ liệu có thể là số liệu hoặc không phải là số liệu.
♣ Dữ liệu là số liệu còn gọi là dữ liệu định lượng, dữ liệu không phải là số gọi là dữ liệu định tính. Chú ý:
♣ Trong dữ liệu không phải là số có thể chia thành hai loại nhỏ, là dữ liệu có thể sắp thứ tự
và dữ liệu không thể sắp thứ tự
Cụ thể: Dữ liệu không thể sắp thứ tự ở câu a, dữ liệu có thể sắp thứ tự là câu c.
Ví dụ 2: Bạn Thảo đã hỏi một số bạn trong lớp về một số câu hỏi và thu được kết quả như sau:
a) Tháng sinh của bạn là tháng mấy: tháng 3, tháng 5 , tháng 7 , tháng 9 .
b) Quê ngoại của bạn ở đâu: Nội thành Hà Nội, Thái Bình, Ngoại thành Hà Nội, Hưng yên.
c) Sự yêu thích của bạn với môn Toán: Thích, Bình thường, Không thích.
d) Chiều cao của bạn: 1,2 ; m 1,4 ; m 1,3 ; m 1,35m. Khi đó:
Dữ liệu ở câu a và câu d là dữ liệu số.
Dữ liệu ở câu b không phải là dữ liệu số, dữ liệu ở câu c không là dữ liệu số và có thể sắp thứ tự.
2) Tính đại diện của dữ liệu.
♣ Để có thể đưa ra các kết luận hợp lí, dữ liệu thu được phải đảm bảo tính đại diện cho toàn
bộ đối tượng đang được quan tâm.
Ví dụ 3: Kết quả điều tra về số lượng xe gửi trong 1 tuần của một bãi gửi xe ô tô, xe máy được cho bởi bảng sau: Loại xe
Thứ 2 Thứ 3 Thứ 4 Thứ 5 Thứ 6 Thứ 7 CN Ô tô 90 95 88 76 80 98 102
Dữ liệu trên có đại diện cho số lượng xe được gửi trong một tuần của bãi xe trên không? 1
Dữ liệu trên không đại diện cho số lượng xe một tuần của bãi xe trên, vì bãi xe trên bao
gồm cả xe máy và ô tô, nhưng dữ liệu trên chỉ cho ta biết thông tin về xe ô tô.
Ví dụ 4: Kết quả điều tra về màu sắc sản phẩm bán được trong 1 tháng tại một shop quần áo
được cho bởi bảng thống kê sau: Màu sắc Đen Xám bạc Xanh rêu Ghi Xanh dương Quần 56 43 21 50 32
Dữ liệu trên có đại diện cho màu sắc mặt hàng bán được của shop quần áo không?
Dữ liệu trong bảng không đại diện cho màu sắc mặt hàng bán được của shop quần áo. vì
trong shop có đủ cả quần và áo, nhưng dữ liệu trong bảng chỉ cho thông tin về màu sắc của quần bán được. B. BÀI TẬP.
Bài 1: Hãy cho biết dữ liệu dưới đây là dữ liệu số hay không là dữ liệu số.
a) Danh sách một số loại phương tiện: Xe máy, ô tô, máy bay, …..
b) Màu sắc một số màu sơn tường: vàng, trắng, cam, xanh, …..
c) Chiều dài của một số máy bay dân dụng: 73,9 ; m 63 ; m 66,89 ; m .....
Bài 2: Cho các dãy dữ liệu sau, đâu là dữ liệu số, dữ liệu nào có thể sắp thứ tự được?
a) Áo trắng, quần đen, giày thể thao, mũ trắng. b) 50%; 30%; 17%; 3%. c) 2 ; h 3 ; h 4 ; h 5 . h
d) Vở, sách, bút, thước, cục tẩy.
Bài 3: Cho bảng sau: Tốc độ chạy trung bình của một số loài động vật Con vật
Tốc độ (km / h) Tên loài điển hình Chó sói 69 Sói bắc cực Ngựa vằn 64 Ngựa vằn chamman Sơn dương 98 Sơn dương sumatra Thỏ 56 Thỏ Angora
Trong bảng trên, đâu là dữ liệu số, đâu là dữ liệu không phải số.
Bài 4: Khi tìm hiểu về việc học thêm môn Toán của một số học sinh trong lớp, Yến thu về bảng thông tin sau STT Gới tính Tuổi Ý kiến 1 Nam 13 Thích 2 Nam 13 Không thích 3 Nữ 13 Không thích 4 Nam 13 Không thích 5 Nữ 13 Thích 6 Nữ 13 Thích 2
Trong các loại dữ liệu thống kê trên, dữ liệu thống kê nào là số liệu?
Bài 5: Sở thích môn Toán của các bạn lớp 7A được ghi ở bảng sau: Sở thích Rất thích Bình thường Không thích Bạn nam 6 3 5
Bảng trên có đại diện cho sở thích môn Toán của các bạn lớp 7A
Bài 6: Tìm hiểu về môn học yêu thích của các bạn trong lớp 7B , cô giáo lập phiếu thu như bảng
sau và học sinh sẽ tích vào các môn mà học sinh chọn. Môn học Toán Văn Anh Thích Không thích
Dữ liệu trên có đại diện cho môn học yêu thích của các bạn trong lớp 7B hay không?
Bài 7: Cô giáo chủ nhiệm muốn lấy ý kiến của các bạn học sinh lớp 7A về sở thích học môn Toán của lớp.
a) Em hãy cho biết đối tượng mà cô giáo muốn lấy ý kiến.
b) Trong các cách lấy ý kiến sau, cách nào hợp lý hơn:
Cách 1: Lấy ý kiến của các bạn học giỏi Toán của lớp.
Cách 2: Lấy ý kiến của tất cả các bạn ở tổ I. 3
Bài 2. BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT TRÒN. A. LÝ THUYẾT.
1) Đọc và mô tả biểu đồ hình quạt tròn.
♣ Biểu đồ hình quạt tròn dùng để so sánh các phần trong toàn bộ dữ liệu.
♣ Trong biểu đồ hình quạt tròn, mỗi phần là một hình quạt tròn, cả hình tròn biểu diễn toàn
bộ dữ liệu ứng với 100%.
Ví dụ 1: Biểu đồ ở Hình 1. Cho biết các loại kem bán ra trong một ngày của một cửa hàng kem.
a) Em hãy chỉ ra các thành phần của biểu đồ trên.
TỈ LỆ CÁC LOẠI KEM BÁN ĐƯỢC TRONG MỘT NGÀY
b) Trong biểu đồ, hình tròn được chia thành mấy 14%
hình quạt, mỗi hình quạt biểu diễn số liệu nào? Kem sôcôla
c) Em hãy lập bảng thống kê tỉ lệ các loại kem bán 36% Kem sữa dừa
được trong một ngày của cửa hàng đó. Kem ốc quế 25% Kem đậu xanh 25%
a) Các thành phần trong biểu đồ ở Hình 1 gồm có: Hình 1
Tiêu đề: Tỉ lệ các loại kem bán được trong một ngày.
Hình tròn biểu diễn dữ liệu và Chú giải.
b) Trong biểu đồ hình tròn được chia thành 4 hình quạt, mỗi hình quạt biểu diễn tỉ lệ một loại kem được bán ra.
c) Từ biểu đồ hình tròn ta có bảng thống kê sau
Kem sôcôla Kem sữa dừa Kem ốc quế Kem đậu xanh Tỉ lệ phần trăm 36% 25% 25% 14% Nhận xét:
♣ Mỗi 1% ứng với một góc 0
3,6 ở tâm của hình tròn.
♣ Phần hình quạt ứng với một nửa đường tròn là 50%.
2) Biểu diễn dữ liệu vào biểu đồ hình quạt tròn.
Ví dụ 2: Tỉ lệ các bạn trong trường dự đoán đội vô địch giải bóng đá học sinh khối 7 được cho bởi bảng sau: 7A 7B 7C 7D Tỉ lệ dự đoán 15% 30% 20% 35%
Em hãy biểu diễn thông tin bảng trên vào biểu đồ ở Hình 2.
TỈ LỆ DỰ ĐOÁN VÔ ĐỊCH CỦA CÁC LỚP KHỐI 7
TỈ LỆ HỌC SINH THAM GIA CÁC MÔN
THỂ THAO CỦA LỚP 7A 5% 35% Lớp 7A 22% Cầu lông Lớp 7B Đá cầu Lớp 7C 13% Bóng đá Lớp 7D Bơi lội 30% Hình 2 Hình 3 4
3) Phân tích dữ liệu trong biểu đồ hình quạt tròn.
Ví dụ 3: Cho biểu đồ ở Hình 3.
a) Môn thể thao nào được các bạn lớp 7A tham gia nhiều nhất.
b) Lớp 7A có 40 học sinh. Khi đó số học sinh tham gia bóng đá là bao nhiêu em?
c) Môn thể thao nào được ít các bạn tham gia nhất? chiếm bao nhiêu phần trăm học sinh cả lớp.
a) Từ biểu đồ ta thấy, môn bơi lội được các bạn lớp 7A tham gia nhiều nhất chiếm 35%.
b) Số học sinh tham gia bóng đá chiếm 30% trong tổng số 40 học sinh nên số học sinh tham gia bóng đá là 3 30%.40 = .40 =12 học sinh. 10
c) Môn đá cầu được ít các bạn tham gia nhất chiếm 13% số học sinh cả lớp. B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho biểu đồ ở Hình 4.
a) Trong biểu đồ trên, có mấy thể loại phim được thống kê.
b) Loại phim nào được các bạn học sinh khối lớp 7 yêu thích nhất?
c) Phim hoạt hình có bao nhiêu bạn yêu thích?
TỈ LỆ YÊU THÍCH CÁC THỂ LOẠI PHIM CỦA 80 HỌC SINH LỚP 7
TỈ LỆ CÁC LOẠI TRÁI CÂY ĐƯỢC GIAO CHO CỬA HÀNG A 14% 5% Phim hài 20% Cam 36% Phim phiêu lưu Phim hình sự Soài 50% Bưởi 25% Phim hoạt hình Mít 25% 25% Hình 5 Hình 4
Bài 2: Cho biểu đồ ở Hình 5.
a) Trong biểu đồ trên, có mấy loại trái cây của hàng A nhập về.
b) Loại trái cây nào nhập về nhiều nhất, loại nào ít nhất, chiếm bao nhiêu phần trăm.
c) Nếu tổng các loại trái cây là 200kg thì Cam chiếm bao nhiêu kg?
Bài 3: Biểu đồ ở Hình 6 thể hiện các mặt hàng nước ngọt bán được của một cửa hàng trong một tháng.
a) Cửa hàng bán sản phẩm nào nhiều nhất, ít nhất.
b) Tổng tất cả có bao nhiêu phần trăm.
c) Cửa hàng nhận thấy đã bán hết tổng 375 lon nước. Hỏi cửa hàng đã bán được bao nhiêu
lon nước Bridy trong một tháng.
TỈ LỆ HỌC SINH LỰA CHỌN MÔN HỌC YÊU THÍCH KHỐI LỚP 7
TỈ LỆ CÁC LOẠI NƯỚC BÁN RA CỦA MỘT CỬA HÀNG 25% 20% 15% Môn Anh Côca - côla 37.5% Môn Văn Nutri boost Môn Lý Red bull 40% 17.5% Môn Toán 25% Birdy 20% Hình 7 5 Hình 6
Bài 4: Biểu đồ ở Hình 7 thể hiện tỉ lệ các bạn học sinh khối lớp 7 lựa chọn môn học yêu thích.
a) Trong các môn học, môn nào được các bạn học sinh lựa chọn nhiều nhất? ít nhất.
b) Lập bảng thống kê cho biểu đồ ở Hình 7 .
c) Thầy giáo thấy rằng có 70 bạn thích học Lý, em hãy
tính xem khối lớp 7 có bao nhiêu bạn học sinh.
Bài 5: Tỉ lệ các loại sách trong thư viện của một
TỈ LỆ CÁC LOẠI SÁCH TRONG THƯ VIỆN
Trường được cho ở Hình 8. 15%
a) Sách giáo khoa chiếm bao nhiêu phần trăm. Sách giáo khoa
b) Sách nào có nhiều nhất, ít nhất trong thư viện Sách tham khảo 40% 20% Truyện tranh
c) Lập bảng thống kê thể hiện biểu đồ ở Một số sách khác Hình 8. 25% Hình 8
Bài 6: Biểu đồ ở Hình 9 thể hiện các loại phương
tiện di chuyển của học sinh khi đi học tại một trường tiểu học.
TỈ LỆ PHƯƠNG TIỆN CỦA HỌC SINH Ở MỘT TRƯỜNG TIỂU HỌC
a) Học sinh chủ yếu sử dụng phương tiện nào 12% nhiều nhất, ít nhất. Xe đạp 18% Xe buýt
b) Học sinh được bố mẹ đưa đón bằng xe máy 45% Xe máy
chiếm bao nhiêu phần trăm. Đi bộ
c) Trường này cho biết có 360 học sinh đăng kí 25% Hình 9
đi xe đạp. em hãy tính số học sinh toàn trường
của trường tiểu học này.
Bài 7: Biểu đồ doanh thu một số dòng sản phẩm của một cửa hàng điện tử trong một tháng được cho bởi bảng sau: Các loại sản phẩm
Máy tính Điện thoại Bàn phím Chuột không giây Doanh số 10 80 20 40
Vẽ biểu đồ hình quạt tròn thể hiện bảng số liệu trên.
Bài 8: Cho bảng thống kê sau:
Lợi nhuận sản phẩm trên mỗi mặt hàng Các loại sản phẩm Xe đạp trẻ Xe máy em điện Pin Phụ kiện đi kèm Doanh số 20% 60% 15% 5%
Vẽ biểu đồ hình quạt tròn thể diện dữ liệu trên. 6
Bài 3. BIỂU ĐỒ ĐOẠN THẲNG A. LÝ THUYẾT.
1) Giới thiệu về biểu đồ đoạn thẳng.
♣ Biểu đồ đoạn thẳng thường được dùng để biểu diễn sự thay đổi của một đại lượng theo
thời gian. Các thành phần của biểu đồ đoạn thẳng gồm:
+ Trục ngang biểu diễn thời gian.
+ Trục dọc biểu diễn đại lượng quan tâm.
+ Mỗi điểm biểu diễn giá trị của đại lượng tại một thời điểm. Hai điểm liên tiếp được nối
với nhau bởi một đoạn thẳng.
+ Tiêu đề của biểu đồ thường ở dòng trên cùng.
NHIỆT ĐỘ TRONG 6 NGÀY ĐẦU TUẦN THÁNG 2 NĂM 2023
Ví dụ 1: Trong biều đồ ở Hình 1. gồm có: Nhiệt độ 0C 40
+ Tiêu đề: Nhiệt độ 6 ngày đầu tuần tháng 2 năm 2024 30
+ Trục đứng: Thể hiện nhiệt độ. 30 27 24 23 22 22
+ Trục ngang: Thể hiện ngày 20
+ Các điểm được nối vơi nhau bởi các đoạn thẳng. 10 0 Ngày
2) Đọc và phân tích dữ liệu trong biểu đồ đoạn thẳng. 1 2 3 4 5 6 Hình 1
♣ Biểu đồ đoạn thẳng giúp ta dễ dàng nhận ra xu
thế của đại lượng ta đang quan tâm theo thời gian.
Ví dụ 2: Cho biểu đồ ở Hình 2.
a) Cho biết biểu đồ cho ta biết thông tin gì?
b) Theo em, tháng nào giá trị của cà phê thấp nhất, tháng nào cà phê có giá trị cao nhất?
c) Từ biểu đồ em hãy lập bảng thống kê về giá trị của cà phê trong 6 tháng đầu năm 2020
TỔNG QUAN THỊ TRƯỜNG CÀ PHÊ
6 THÁNG ĐẦU NĂM 2020
SỞ THÍCH CỦA CÁC BẠN LỚP 7A Giá trị ( nghìn đồng/ kg) Số học sinh 40 16 15 35 37 32 30 30 30 12 27 9 20 8 7 5 10 4 0 0 Du Buffet Xem Sở thích Công 1 2 3 4 5 6 Tháng lịch viên phim Hình 2 Hình 3 7
Ví dụ 3: Biểu đồ ở Hình 3 thể hiện sở thích của các bạn trong lớp 7A
a) Sở thích nào được các bạn lựa chọn nhiều nhất, ít nhất.
b) Nếu mỗi bạn chỉ được lựa chọn một sở thích và bạn nào cũng chọn. Em hãy cho biết lớp
7A có bao nhiêu bạn học sinh?
c) Từ thông tin biểu đồ, em hãy lập bảng thống kê thể hiện sở thích các bạn lớp 7A.
3) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
♣ Để vẽ biểu đồ đoạn thẳng ta cần vẽ hai trục ngang và dọc.
♣ Trên trục ngang ta thường lấy các đại lượng ta quan tâm, trên trục dọc thể hiện giá trị của các đại lượng. Chú ý:
♣ Khi lấy các giá trị trên trục nằm dọc, các giá trị bằng nhau sẽ được thể hiện bởi các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 4: Cho bảng thống kê chiều cao của một cây đậu trong 5 ngày. Ngày Ngày 1 Ngày 2 Ngày 3 Ngày 4 Ngày 5 Chiều cao ( cm) 0,5 0,75 1 1,4 2,5
Em hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu thị bảng số liệu trên. Giải
Ta vẽ trục ngang thể hiện các ngày từ ngày 1 đến ngày 5 .
Trục dọc ta thể hiện chiều cao theo cm. ( Hình 4). B. BÀI TẬP.
CHIỀU CAO CỦA MỘT CÂY ĐẬU
TRONG 5 NGÀY ĐẦU TIÊN
SẢN LƯỢNG LƯƠNG THỰC THẾ GIỚI THỜI KÌ 1950 - 2003 Chiều cao (cm)
Sản lượng ( Triệu tấn) 2,5 2,5 2 500 2 2021 2 000 1950 2060 1,5 1,4 1561 1 1 500 1 1213 0,75 0,5 1 000 0,5 676 500 0 1 2 3 4 5 Ngày
0 1950 1970 1980 1990 2000 2003 Năm Hình 4 Hình 5
Bài 1: Quan sát biểu đồ ở Hình 5. rồi trả lời một số câu hỏi sau
a) Biểu đồ biểu diễn thông tin gì?
b) Đơn vị thời gian là gì?
c) Năm bao nhiêu thì sản lượng lương thực thế giới đạt trên 2000 triệu tấn.
Bài 2: Quan sát biểu đồ ở Hình 6.
a) Tháng nào trong năm có nhiệt độ trung bình cao nhất? thấp nhất? là bao nhiêu độ?
b) Giải thích vì sao các tháng 6,7,8 lại có nhiệt độ trung bình cao nhất trong năm?
c) Lập bảng thống kê thể hiện biểu đồ trên. 8
NHIỆT ĐỘ TRUNG BÌNH 12 THÁNG Ở HÀ NỘI NĂM 2022
TỈ LỆ HỌC LỰC HỌC KÌ 1 Nhiệt độ 0C Số học sinh 30 27 28 29 28 27 140 140 25 24 25 21 120 20 20 17 17 18 100 15 80 10 60 52 40 38 5 20 13
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tháng 0 Giỏi Khá Trung Yếu Học lực Hình 6 Bình Hình 7
Bài 3: Sau khi tổng kết học kì 1 của một trường THCS, trường này đã thể hiện học lực học sinh
toàn trường vào biểu đồ ở Hình 7.
a) Có những loại học lực nào được thể hiện trong bản đồ, học sinh trường này chiếm học
lực nào nhiều nhất, ít nhất, chiếm bao nhiêu học sinh?
b) Có bao nhiêu bạn đạt học lực Giỏi, nếu chỉ tiêu nhà trường đưa ra trong học kì 1 là
học sinh có học lực giỏi chiếm 20% thì kết quả trên đã đạt được chưa.
c) Em hãy lập bảng thống kê thể hiện thông tin ở biểu đồ trên.
Bài 4: Thông tin về tỉ lệ học sinh yêu thích các loại màu sắc của các bạn học sinh trong lớp 7D .
a) Cho biết màu nào được học sinh yêu thích nhiều nhất? chiếm bao nhiêu học sinh?
b) Màu nào được các bạn lựa chọn ít nhất? kém hơn so với máu được lựa chọn nhiều nhất là bao nhiêu bạn?
c) Em hãy cho biết lớp 7D có bao nhiêu học sinh, biết rằng mỗi bạn học sinh chỉ được
chọn 1 màu và có 4 bạn không chọn màu?
TỈ LỆ HỌC SINH YÊU THÍCH MÀU SẮC CỦA LỚP 7D Số học sinh
THỜI GIAN LÀM MỘT BÀI TOÁN CỦA HỌC SINH LỚP 7A 7 7 Số học sinh 6 6 12 5 5 10 10 4 4 8 8 3 6 6 2 1 4 1 2 2 0 Đỏ Xanh Vàng Cam Đen Màu sắc 0 5 7 9 11 Thời gian ( phút) Hình 8 Hình 9 9
Bài 5: Biểu đồ ở Hình 9 thể hiện thời gian giải một bài toán của các bạn học sinh lớp 7A
a) Thời gian nhiều nhất để 1 học sinh lớp 7A giải bài toán này là bao nhiêu phút?
b) Nếu giải bài toán trên trong vòng 5 phút thì thầy giáo sẽ có phần thường, vậy lớp 7A
bao nhiêu bạn được thầy giáo thưởng?
c) Lớp 7A có bao nhiêu học sinh? Từ 8 phút trở lên, bao nhiêu bạn làm xong?
Bài 6: Bảng thống kê thể hiện số học sinh đạt điểm tốt của lớp 7A trong các tháng của học kì 1. Tháng
Tháng 9 Tháng 10 Tháng 11 Tháng 12 Số học sinh 7 9 12 8
Em hãy vẽ biểu đồ thể hiện bảng thống kê trên
Bài 7: Thời gian giải một bài toán của 10 em học sinh lớp 7A được thể hiện trong bảng thống kê sau Thời gian ( phút) 5 7 12 14 Số học sinh 1 2 5 2
Em hãy vẽ biểu đồ thể hiện bảng thống kê trên. 10
Document Outline

  • CƠ BẢN TOÁN 7 CHƯƠNG 1. SỐ HỮU TỈ ( 24 TRANG)
  • CƠ BẢN TOÁN 7 CHƯƠNG 2. SỐ THỰC ( 17 TRANG)
  • CƠ BẢN TOÁN 7 CHƯƠNG 3. GÓC VÀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ( 18 TRANG)
  • CƠ BẢN TOÁN 7 CHƯƠNG 4. TAM GIÁC BẰNG NHAU ( 27 TRANG)
  • CƠ BẢN TOÁN 7 CHƯƠNG 5. THU THẬP VÀ BIỂU DIỄN DỮ LIỆU ( 10 TRANG)