Chuyên đề đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song – Phạm Hùng Hải

Tài liệu gồm 63 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Hùng Hải, tổng hợp kiến thức cần nhớ, phân loại, phương pháp giải toán, bài tập tự luyện và bài tập trắc nghiệm chuyên đề đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song (Hình học 11 chương 2).

79 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Quan hệ song song trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

63 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
THẦY HẢI TOÁN
Ths: Phạm Hùng Hải – ĐHSP Đà Nẵng
CHUYÊN Đ
Ề: HÌNH H
ỌC KHÔNG GIAN
TỌA Đ
Ộ
Chương 2
QUAN HỆ
SONG SONG
2021
Từ cơ bản tới nâng cao
Các dạng toán đa dạng và đầy đủ
dành cho học sinh muốn đạt 8+
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
MỤC LỤC
MỤC LỤC
Chương 2.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN HỆ SONG SONG 1
§1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1
AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
| Dạng 1.1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
| Dạng 1.2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
| Dạng 1.3: Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
| Dạng 1.4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh
một điểm thuộc một đường thẳng cố định.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§2 – HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
17
AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| Dạng 2.5: Chứng minh hai đường thẳng song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| Dạng 2.6: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| Dạng 2.7: Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một
đường thẳng cho trước.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
ii
Trang
MỤC LỤC
§3 – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 27
AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 3.8: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 3.9: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
| Dạng 3.10: Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một đường thẳng cho
trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§4 – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 41
AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
| Dạng 4.11: Chứng minh hai mặt phẳng song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
| Dạng 4.12: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
| Dạng 4.13: Giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β ) biết (α) qua điểm A;
song song với mặt phẳng (γ). Thiết diện.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
CC BÀI TẬP TỰ LUYỆN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
DD BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§5 – ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 53
AA Đề số 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
BB Đề số 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§6 – ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 60
ii
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG
SONG
2
CHƯƠNG
ĐẠICƯƠNGVỀĐƯỜNGTHẲNGVÀMẶT
PHẲNG
Bài 1
A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các định nghĩa, khái niệm cơ bản
L Mặt phẳng
¬ Để biểu diễn mặt phẳng, người ta dùng hình bình hành hay một miền góc
P
Kí hiệu (P) hoặc mp(P)
α
Kí hiệu (α) hoặc mp(α)
Ba cách xác định một mặt phẳng
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A,B,C không thẳng hàng
của mặt phẳng, kí hiệu (ABC).
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A
không thuộc d, kí hiệu (A,d).
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a,b cắt nhau, kí
hiệu (a,b).
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a,b song song, kí
hiệu (a,b) (xét ở bài sau).
L Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A, B và mặt phẳng (α).
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
2
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
¬ Khi A nằm trên (α), ta kí hiệu A ∈(α).
Khi B không nằm trên (α), ta kí hiệu B /∈ (α).
® Dấu hiệu nhận biết A ∈ (α) là điểm A thuộc một đường thẳng nằm trong (α) .
L Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
¬ Khi d nằm trong (α), ta kí hiệu d ⊂(α).
Dấu hiệu nhận biết d ⊂(α) là trên d có hai điểm phân biệt thuộc (α) .
2. Hình biểu diễn của một hình không gian
L Cần chú ý các quy tắc sau:
• Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để
biểu diễn cho những đường bị che khuất.
• Quan hệ thuộc, song song được giữ nguyên. Nghĩa là
– Nếu hình thực tế điểm A thuộc đường thẳng ∆ thì hình biểu diễn phải giữ nguyên quan
hệ đó.
– Nếu hình thực tế hai đường thẳng song song thì hình biểu diễn phải giữ nguyên quan
hệ đó.
L Hình biểu diễn của các mô hình không gian thường gặp:
A
C
B D
Hình tứ diện
S
A
B
C
D
Hình chóp tứ giác đáy hình bình hành
A
0
D
0
A
B
C
B
0
C
0
D
Hình lập phương, hộp chữ nhật
3. Hình chóp, hình tứ diện
L Định nghĩa: Cho đa giác A
1
A
2
.. .A
n
và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với
các đỉnh A
1
,A
2
,. .. ,A
n
ta được n miền đa giác SA
1
A
2
,SA
2
A
3
,. .. ,SA
n−1
A
n
. Hình gồm n tam giác đó
2
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
3
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
và đa giác A
1
A
2
A
3
.. .A
n
được gọi là hình chóp S.A
1
A
2
A
3
.. .A
n
.
L Các tên gọi
• Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.
• Đa giác A
1
A
2
.. .A
n
gọi là mặt đáy của hình chóp.
• Các đoạn thẳng A
1
A
2
,A
2
A
3
,. .. ,A
n−1
A
n
gọi là các cạnh
đáy của hình chóp.
• Các đoạn thẳng SA
1
,SA
2
,. .. ,SA
n
gọi là các cạnh bên của
hình chóp.
• Các miền tam giác SA
1
A
2
,SA
2
A
3
,. .. ,SA
n−1
A
n
gọi là các
mặt bên của hình chóp.
S
P
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
• Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì hình chóp tương ứng gọi
là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,...
L Chú ý:
• Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện.
• Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi
là hình tứ diện đều.
B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
Xác định 2 điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung đó.
Ta thường gặp một trong ba loại sau:
¬ Hai mặt phẳng (α) và (β ) có sẵn hai điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường
thẳng qua hai điểm chung đó.
Hai mặt phẳng (α) và (β ) có trước một điểm chung.
• A là điểm chung hay A ∈ (α) ∩(β ).
• Trong (α) tìm một đường thẳng d
1
, trong (β ) tìm một đường thẳng d
2
sao cho chúng
3
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
4
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
có thể cắt nhau (đồng phẳng).
Gọi B = d
1
∩d
2
, suy ra B ∈(α) ∩(β ).
• Vậy AB = (α) ∩(β ).
® Hai mặt phẳng (α) và (β ) chưa có điểm chung: Ta tìm hai điểm chung tương tự như cách
tìm điểm chung ở mục số .
Ví dụ 1
d
Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau.
Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến
của
a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).
c) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC).
S
A
D
B
C
Ví dụ 2
d
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC
sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao
tuyến của
a) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD).
b) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ABD).
c) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ACD).
B
I
M
A
C
D
N
Ví dụ 3
d Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (JAD).
b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho M, N không là trung điểm. Tìm giao
4
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
5
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
tuyến của mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (DMN).
Ví dụ 4
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có cạnh AB song
song với CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy điểm M
thuộc cạnh SC. Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
b) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC).
c) Mặt phẳng (ADM) và mặt phẳng (SBC).
A
S
D
B
C
M
Ví dụ 5
d
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CD, SA. Tìm giao tuyến của
a) (MNP) và (SAB).
b) (MNP) và (SBC).
c) (MNP) và (SAD).
d) (MNP) và (SCD).
S
A
B
C
D
M
N
P
Ví dụ 6
d Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác
ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
(AMN) và (BCD).a) (DMN) và (ABC).b)
5
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
6
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
p Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có hai có hai cách làm như sau
L Những bài toán đơn giản, ta tìm trong (P) một đường
thẳng a sao cho a cắt d.
• Gọi M = d ∩a, khi đó
M ∈d
M ∈a ⊂ (P)
.
• Vậy M = d ∩(P).
L Những bài toán khó tìm đường thẳng a, ta thực hiện các
bước sau:
• Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và dễ
tìm giao tuyến với (P);
• Tìm (Q) ∩(P) = a.
• Tìm M = d ∩a, suy ra M = d ∩(P).
d
Q
P
a
A
Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là điểm nằm trên BD
sao cho KD < KB. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
Ví dụ 2
d Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC,BD lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho MN không song
song với BC, MP khong song song với AD. Xác định giao điểm của các đường thẳng BC,AD,CD
với mặt phẳng (MNP).
Ví dụ 3
d Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho MN không song song với CD.
Gọi O là điểm bên trong tam giác (BCD).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).
c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).
6
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
7
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong
tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của CD và (SBM).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
c) Tìm giao điểm I của BM và (SAC).
d) Tìm giao điểm P của SC và (ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và
(ABM).
Ví dụ 5
d Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn AB lấy một
điểm M, trên đoạn SC lấy một điểm N (M,N không trùng với các đầu mút).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD).
Ví dụ 6
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. M, N, P lần lượt là các điểm trên
SA, SB, SD.
a) Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP).
Ví dụ 7
d Cho tứ diện SABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên cạnh SC lấy điểm K sao
cho CK = 3SK.
a) Tìm giao điểm F của BC với mặt phẳng (IHK). Tính tỉ số
FB
FC
.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng IH. Tìm giao điểm của KM và mặt phẳng (ABC).
7
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
8
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
p Dạng 1.3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
Ví dụ 1
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm trên
ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD và SC. Tìm thiết
diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trong tam giác SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và (SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
p Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng
đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định.
• Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm
đó lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β ) thì suy ra ba điểm
A, B, C nằm trên giao tuyến của (α) và (β ), nên chúng thẳng hàng.
α
β
A
B
C
• Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minh giao điểm đó
nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau:
Chọn một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng (a) và (b). Gọi I = (a) ∩(b).
8
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
9
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (a), tìm một mặt phẳng
(R) chứa đường thẳng (b), sao cho (c) = (Q) ∩(R) ⇒ I ∈ (c).
Vậy, ba đường thẳng (a), (b), (c) đồng quy tại điểm I.
(a), (b) ⊂ (P)
(a) ∩(b) = I
(P) ∩(Q) = (a)
(P) ∩(R) = (b)
(Q) ∩(R) = (c)
⇒ (a) ∩(b) ∩(c) = I.
a
b
c
Q
R
P
I
Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, Gọi M, N, P lần lượt là tr ung điểm của
AB, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của (AND) và (ABP).
b) Gọi I = AG ∩MP, J = CM ∩AN. Chứng minh D, I, J thẳng hàng.
Ví dụ 2
d Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm
của đoạn thẳng AB và SC.
a) Xác định giao điểm I = AN ∩(SBD).
b) Xác định giao điểm J = MN ∩(SBD).
c) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng.
Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là tr ung điểm của SA, SB, SC. Gọi E = AB ∩
CD, K = AD ∩BC
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) ∩(SBD) , (MNP) ∩(SBD).
2. Tìm giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).
3. Gọi H = NM ∩PQ. Chứng minh ba điểm S, H, E thẳng hàng.
9
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
10
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
4. Chứng minh ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy.
C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC D với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB,
N thuộc miền trong tam giác S∆SCD.
1. Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD)
2. Tìm SC ∩(AMN) và SD ∩(AMN)
3. Tìm SA ∩(CMN)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABC D là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB, N
thuộc miền trong tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD).
b) Tìm SC ∩(AMN), S D ∩(AMN).
c) Tìm SA ∩(CMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB song song với CD. O là giao
điểm của hai đường chéo, M thuộc SB.
a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm SO ∩(MCD); SA ∩(MCD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho MN không song song BC. Gọi
O là một điểm trong tam giác BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của DC, BD với (OMN).
c) Tìm thiết diện của (OMN) với hình chóp.
10
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
11
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 5. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), không có đường thẳng nào song
song.
a) Tìm giao điểm của MN với (ABC), suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABC).
b) Tìm giao điểm của AB với (MNP).
c) Tìm giao điểm của NP với (S AB).
d) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 6. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB), (SBC),
(ABC).
a) Tìm giao điểm của IJ với (ABC).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện của (IJK) cắt
bởi hình chóp.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm
trên ba cạnh AD, C D, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD và SC. Tìm
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, SC.
a) Tìm I = AN ∩(SBD).
b) Tìm K = MN ∩(SBD).
c) Tính tỉ số
KM
KN
.
d) Chứng minh B,I,K thẳng hàng. Tính tỉ số
IB
IK
.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của S A, BC. Điểm M thuộc SC,
SM =
2
3
MC.
a) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).
11
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
12
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
b) Mặt phẳng (KMN) cắt AB tại L. Tính tỉ số
LA
LB
.
Bài 11. Cho tứ diện S.ABC. Trên SB,SC lần lượt lấy hai điểm I, J sao cho IJ không song song
với BC. Trong tam giác ABC lấy một điểm K.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IJK).
b) Xác định giao điểm của AB, AC với (IJK).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJK).
d) Tìm giao điểm của BC, IJ với mặt phẳng (SAK).
e) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJK) với tứ diện S.ABC.
Bài 12. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB
tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 13. Cho tứ giác ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O
và OJ cắt SC tại M.
1. Tìm giao điểm K = IJ ∩(S AC).
2. Xác định giao điểm L = DJ ∩(SAC).
3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.
Bài 14. Cho tứ giác ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD.
1. Tìm giao điểm J = BN ∩(SAC)
2. Tìm giao điểm J = MN ∩(SAC)
3. Chứng minh rằng C, I, J thẳng hàng.
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB, K là trọng tâm của tam giác ACD.
a) Xác định giao tuyến của (AKM) và (BCD).
b) Tìm giao điểm H của MK và mp(BCD). Chứng minh K là trọng tâm của tam giác ABH.
c) Trên BC lấy điểm N. Tìm giao điểm P,Q của CD, AD với mp(MNK).
12
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
13
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
d) Chứng minh 3 đường thẳng MQ,NP,BD đồng quy.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD và hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam
giác SAD, M là trung điểm của SB.
a) Tìm giao điểm N của MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh ba điểm C,D,N thẳng hàng và D là trung điểm của CN.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của
SC.
a) Xác định giao tuyến của (ABM) và (SCD).
b) Gọi N là trung điểm của BO. Xác định giao điểm I của (AMN) với SD. Chứng minh
SI
ID
=
2
3
.
Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SC và SA, E là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tìm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AME). Chứng minh EI ∥ SB.
b) Tìm giao điểm H của SD và mặt phẳng (MNE).
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNE).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và SC.
a) Tìm giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số
KM
KN
.
b) Gọi E là trung điểm của SA. Tìm giao điểm F của SD và mặt phẳng (EMN). Chứng minh
tứ giác MEFN là hình thang.
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (EMN).
D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác
ABCD?
13
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
14
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A
1. B 3. C 0. D 2.
Câu 2. Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt?
A 10. B 6. C 8. D 7.
Câu 3. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A Một điểm và một đường thẳng. B Hai đường thẳng cắt nhau.
C Bốn điểm phân biệt. D Ba điểm phân biệt.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
B Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
C Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
D Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Câu 5. Cho 5 điểm A, B,C,D,E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt
phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho?
A 10. B 14. C 12. D 8.
Câu 6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
B Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
D Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC,CD.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là
A đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD).
B đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD).
C đường thẳng MN.
D đường thẳng AM.
A
C
N
B D
M
Câu 8. Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây?
A Tứ giác. B Tam giác. C Ngũ giác. D Lục giác.
Câu 9. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B,C,D. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là
A IK. B DK. C AK. D BC.
14
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
15
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I,J lần lượt là tr ung điểm SA,SB.
Khẳng định nào sau đây sai?
A IJCD là hình thang. B (SAB) ∩(IBC) = IB .
C (IAC) ∩(JBD) = AO (O là tâm ABCD). D (SBD) ∩(JCD) = J.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao
tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là
A AH (H là hình chiếu của B trên CD).
B AM (M là trung điểm của AB).
C AK (K là hình chiếu của C trên BD).
D AN (N là trung điểm của CD).
A
C
G
B D
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD ∥ BC).
Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC)
là
A SJ (J là giao điểm của AM và BD).
B SI (I là giao điểm của AC và BM).
C SO (O là giao điểm của AC và BD).
D SP (P là giao điểm của AB và CD).
S
B
C
A
D
M
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB ∥ CD). Khẳng định nào sau đây
sai?
A Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD .
D Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (S BC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng
(SMN) và (SAC) là
A SG (G là trung điểm AB).
B SD.
C SO (O là tâm hình bình hành ABCD).
D SF (F là trung điểm CD).
S
M
B
C
N
A
D
15
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
16
Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 15. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD.
Lấy E,F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt
nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây?
A (BCD) và (ABC). B (BCD) và (ABD).
C (BCD) và (AEF). D (BCD) và (DEF).
A
C
B
E
F
D
Câu 16. Cho tứ diện SABC. Gọi L,M,N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA,SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB,BC,SC lần
lượt tại K,I,J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A M,K,J . B N,I, J. C K, I,J. D M,I,J.
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN
cắt AD,BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
A I,B,D. B I, A,C. C I,C,D . D I,A,B.
Câu 18. Cho tứ diện ABC D. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC. Trên đường thẳng CD
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là
A Tam giác HKL với L = KM ∩BD.
B Hình thang HKMN với N ∈ AD và HK ∥ MN.
C Tam giác HKL với L = HM ∩AD.
D Tứ giác HKMN với N ∈AD.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG,BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A J là trung điểm của AM. B AM = (ACD) ∩(ABG).
C
A,J,M thẳng hàng. D DJ = (ACD) ∩(BDJ).
Câu 20. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác
BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
A Giao điểm của đường thẳng EG và CD. B Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
C Giao điểm của đường thẳng EG và AF. D Điểm F.
Câu 21. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt
phẳng (ABM) là
A Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩AM).
B Giao điểm của SD và AB.
16
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
17
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
C Giao điểm của SD và MK (với K = SO ∩AM).
D Giao điểm của SD và AM.
Câu 22. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích
là
A
a
2
√
3
4
. B
a
2
√
11
2
. C
a
2
√
2
4
. D
a
2
√
11
4
.
Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là
A
a
2
√
2
4
. B
a
2
√
2
6
. C
a
2
√
3
2
. D
a
2
√
3
4
.
Câu 24. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F,G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB,AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I,EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A CD,EF,EG. B AC,IG, BD. C CD, IG,HF. D AB,IG,HF.
Câu 25. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SA. Mặt phẳng
(MNP) cắt hình chóp theo thiết diện là hình
A Tam giác. B Lục giác. C Ngũ giác. D Tứ giác.
B
C
A
M
N
S
D
P
—HẾT—
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 2
A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
17
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
18
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a
P
a song song với b
b
a
b
I
P
a cắt b tại giao điểm I
a
b
P
a trùng b
a
P
b
a và b chéo nhau
Cho hai đường thẳng a và b phân biệt.
• Khi kiểm tra hai đường thẳng a và b song song hay cắt nhau thì trước tiên chúng phải đồng
phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng nào đó)
• Khi a và b không đồng phẳng (không có mặt phẳng nào chứa được a và b) thì ta nói a và b
chéo nhau.
2. Các định lý quan trọng
d Định lí 2.1.
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã
cho.
M
d
d
0
d Định lí 2.2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì
ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
18
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
19
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
α
β
γ
b
c
a
α
β
γ
b
c
a
c Hệ quả 2.1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường
thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song
với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
α
β
d
00
d
d
0
α
β
d
00
d
d
0
α
β
d
00
d
0
d
d Định lí 2.3.
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau
α
β
γ
b
c
a
19
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
20
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 2.5. Chứng minh hai đường thẳng song song
Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng
IJ ∥ CD.
Ví dụ 2
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Chứng minh MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt nhau tại trung
điểm G của mỗi đoạn.
p Dạng 2.6. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABC D. Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho
AM
AB
=
AN
AC
. Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng (DBC) và (DMN).
Ví dụ 2
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BD; G là trong tâm tam giác
ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (MNG).
Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA. Điểm E, F
lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Tìm (SAB) ∩(SCD).a) Tìm (MBC) ∩(SAD).b)
Tìm (MEF) ∩(SAC).c) Tìm AD ∩(MEF).d)
Tìm SD ∩(MEF).e) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
(MEF).
f)
20
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
21
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD. Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD, AB cắt CD tại điểm K.
Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD.
a) Tìm d = (SAD) ∩(SBC) và N = KM ∩(SBC).
b) Chứng minh rằng AM, BN và d đồng qui.
p Dạng 2.7. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một
đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng 6a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC
và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang
cân.
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IN ∥ (ABC) và hình chóp là một hình bình
hành.
Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N theo thứ tự là
trọng tâm của các tam giác SCD và SAB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (ABM) và (SCD); (SMN) và (ABC).
b) Chứng minh MN ∥ (ABC).
21
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
22
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
c) Gọi d là giao tuyến của (SCD) và (ABM); I, J lần lượt là các giao điểm của d với SD, SC.
Chứng minh IN ∥ (ABC).
d) Tìm các giao điểm P, Q của MC với (SAB), AN với (SCD). Chứng minh S,P,Q thẳng hàng.
C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, S D. Chứng minh
MN ∥ AD và MN ∥ BC;a) MO ∥ SC và NO ∥ SB.b)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, AD. Gọi I, J, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD và AOD. Chứng
minh
IJ ∥ MN;a) IJ ∥ BD và GJ ∥ SO.b)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và I là một điểm trên cạnh
SO.
a) Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA, SB. Chứng minh
EF ∥ AB;
b) Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh SK ∥ BC.
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của SA và SB.
Chứng minh EF ∥ CD.a) Tìm I = AF ∩(SCD).b) Chứng minh SI ∥ AB ∥
CD.
c)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SB. Gọi P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của
(SBC) và (SAD);a) (SAB) và (SCD);b) (MNP) và (ABCD).c)
22
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
23
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 6. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một
điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau
(SAC) và (EFC);a) (SAC) và (EFG).b)
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh SA sao
cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (MBC).
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN), giao điểm J của SA và (ICD).
c) Chứng minh ba đường thẳng ID, JC, SO đồng quy tại E. Tính tỉ số
SE
SO
.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi
M, N, P lần lượt thuộc các đoạn SA, AD, BC sao cho MA = 2MS, NA = 2ND, PC = 2PB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD).
b) Xác định giao điểm Q của SB với (MNP).
c) Gọi K là trung điểm của S D. Chứng minh CK = (MQK) ∩(SCD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng S D với mặt phẳng (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?
b) Giả sử I = AN ∩BM. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh
SC.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABD, N là trung điểm SG. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SCD).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC D có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng SA, AC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho BP = 3AP.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).
b) Gọi E, F là hai điểm nằm trong hai tam giác SAD và SBC. Tìm giao điểm của đường thẳng
EF với mặt phẳng (MNP).
23
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
24
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh BC và BD; E là một điểm
thuộc cạnh AD ( E khác A và D ).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi.
D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hai đường thẳng không có điểm chung thì
A chéo nhau. B song song.
C cắt nhau. D chéo nhau hoặc song song.
Câu 2. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì
A chéo nhau. B có điểm chung.
C cắt nhau hoặc chéo nhau. D không có điểm chung.
Câu 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Đường thẳng a nằm trên (P) và
đường thẳng b nằm trên (Q). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Nếu a cắt (Q) tại điểm I thì I phải nằm trên d.
B Nếu b cắt (P) thì b phải trùng với d.
C Nếu a và b có điểm chung thì a tr ùng với b.
D Nếu b cắt (P) thì b phải trùng với a.
Câu 4. Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều chéo với a.
B Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều cắt a.
C Mọi đường thẳng nằm trong (P) hoặc chéo với a, hoặc cắt a.
D Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều không cắt a.
24
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
25
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là hai điểm phân biệt nằm trên
đường thẳng AB, M
0
và N
0
là hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng CD.
Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A Hai đường thẳng MM
0
và NN
0
có thể cắt nhau.
B Hai đường thẳng MM
0
và NN
0
có thể song song với nhau.
C Hai đường thẳng MM
0
và NN
0
hoặc cắt nhau hoặc song song với nhau.
D Hai đường thẳng MM
0
và NN
0
chéo nhau.
B
C
D
A
Câu 6. Cho tứ diện ABCD, lấy M,N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Khi đó, xác định vị trí tương
đối giữa hai đường thẳng BC và MN.
A Chéo nhau. B Có hai điểm chung. C Song song. D Cắt nhau.
Câu 7. Cho tứ diện MNPQ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng?
A MN ∥ PQ. B MN cắt PQ.
C MN và PQ đồng phẳng. D MN và PQ chéo nhau.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM =
3MC, N là giao điểm của SD và (MAB). Khi đó tứ giác ABMN là hình gì?
A Tứ giác không có cặp cạnh nào song song. B Hình vuông.
C Hình thang. D Hình bình hành.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB ∥ CD. Gọi d là giao tuyến của hai mặt
phẳng (ASB) và (SCD). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A d ∥ AB. B d cắt AB. C d cắt AD. D d cắt CD.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi G, E lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SCD. Lấy M, N
lần lượt là trung điểm AB, BC . Khi đó ta có:
A GE và MN trùng nhau. B GE và MN chéo nhau.
C GE và MN song song với nhau. D GE cắt BC.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và
BCD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ABQ) và mặt phẳng (CDP).
A Giao tuyến là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và CD.
B Giao tuyến là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD.
C Giao tuyến là đường thẳng PQ.
D Giao tuyến là đường thẳng QA.
B
C
D
A
25
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
26
Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Câu 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A qua J và song song với BD. B qua G và song song với BC.
C qua I và song song với AB. D qua G và song song với CD.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần lượt
là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là
A đường thẳng qua S và song song với AB. B đường thẳng qua G và song song với DC.
C SC. D đường thẳng qua G và cắt BC.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J,E, F lần lượt là trung điểm
SA,SB,SC,SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ?
A DC. B AB. C AD. D EF.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A d qua S và song song với DC . B d qua S và song song với BD.
C d qua S và song song với BC . D d qua S và song song với AB.
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP,NQ.
A MP ∥ NQ. B MP cắt NQ. C MP ≡ NQ. D MP,NQ chéo nhau.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là
A Tứ giác IBCD. B Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D Tam giác IBC.
Câu 18. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng?
A T là hình chữ nhật.
B T là hình thoi.
C T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành.
D T là tam giác.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC D là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M,N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND) . Gọi I là giao điểm của AN và
DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A Hình bình hành. B Hình thoi. C Hình vuông. D Hình chữ nhật.
26
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
27
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 20. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam
giác SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng
A 8
√
2. B 6
√
2. C 9
√
2. D 10
√
2.
—HẾT—
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG
Bài 3
A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba
trường hợp sau:
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: a ∩(P) = ∅ ⇔ a ∥ (P).
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: a ∩(P) = A ⇔a cắt (P) tại
A.
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là: a ∩(P) =
{
A,B
}
⇔ a ⊂ (P).
a
P
a ∩(P) = ∅ ⇔ a ∥ (P).
a
A
P
a ∩(P) =
{
A
}
⇔ a cắt (P).
a
A B
P
a ∩(P) =
{
A,B
}
⇔ a ⊂ (P).
2. Các định lý, hệ quả
a
d
P
d Định lí 3.1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường
thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).
Tức là, a 6⊂(P) thì nếu: a ∥ d ⊂ (P) ⇒ a ∥ (P).
27
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
28
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
a
b
α
β
d Định lí 3.2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và
cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.
d
d
0
α
β
c Hệ quả 3.1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
M
b
0
b
a
α
d Định lí 3.3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng
này và song song với đường thẳng kia.
B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 3.8. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
Ta cần chứng tỏ các ý sau:
• a không nằm trên (P);
• a song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Suy ra a ∥ (P).
28
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
29
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
hay
a 6⊂ (P)
a ∥ b
b ⊂ (P)
⇒ a ∥ (P)
Chú ý: Việc chứng minh a ∥ b, ta thường đi đến việc xét các yếu tố song song đã biết trong
hình học phẳng như
¬ Cặp cạnh đối của hình bình hành;
Đường trung bình trong tam giác;
® Tỉ lệ
AM
AB
=
AN
AC
⇒ MN ∥ BC (hình bên).
B
C
A
M
N
Ví dụ 1
d
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với
các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
A
N
D
M
C
Q
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE).
Ví dụ 3
d
29
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
30
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là
hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác
SAD và E là điểm trên cạnh DC sao cho
DC = 3DE, I là trung điểm AD.
a) Chứng minh OI ∥ (SAB) và OI ∥
(SCD).
b) Tìm giao điểm P của IE và (SBC).
Chứng minh GE ∥ (SBC).
S
G
B
C
O
I
E
A
D
p Dạng 3.9. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
L Các phương pháp đã học ở hai bài trước
¬ Tìm hai điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung
đó.
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
(nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
L Ta xét thêm một trong hai cách sau:
¬ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và cắt (α)
theo giao tuyến b thì b song song với a.
hay
a ∥ (α)
a ⊂ (β )
M ∈(α) ∩(β )
⇒ (P) ∩(β ) = Mx ∥ a
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
hay
a ∥ (α)
a ∥ (β )
M ∈(α) ∩(β )
⇒ (α) ∩(β ) = Mx ∥ a .
30
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
31
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Ví dụ 1
d
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm 4ABC, M ∈CD với MC =
2MD.
a) Chứng minh MG ∥ (ABD).
b) Tìm (ABD) ∩(BGM).
A
DB
G
C
M
Ví dụ 2
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD.
a) Tìm giao tuyến của (SIK) và (SAC), (SIK) và (SBD).
b) Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh SD ∥ (ACM).
c) Tìm giao điểm F của DM và (SIK). Tính tỉ số
MF
MD
.
S
A
B
C
D
p Dạng 3.10. Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng
song song với một đường thẳng cho trước
Ví dụ 1
d
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt
phẳng (P) đi qua điểm M, song song với BI và SC . Xác định trên hình
vẽ các giao điểm của (P) với các cạnh AC, SA, SB. Từ đó suy ra thiết
diện của (P) cắt hình chóp.
C
B
M
S
I
A
31
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
32
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Ví dụ 2
d
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N thuộc cạnh AB, CD. Gọi
(α) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.
a) Tìm thiết diện của (α) với hình chóp.
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
S
D
N
M
B
C
A
Ví dụ 3
d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,
O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của
SA.
a) Chứng minh OM ∥ (SC D).
b) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M, đồng thời
song song với SC và AD. Tìm thiết diện của
mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD.
S
O
C
A
B
D
M
C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA, SD. Chứng minh rằng:
BC ∥ (SAD).a) AD ∥ (SBC).b) MN ∥ (ABCD).c)
MN ∥ (SBC).d) MO ∥ (SCD).e) NO ∥ (SBC).f)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
AB và CD.
a) Chứng minh MN ∥ (SBC) và MN ∥ (SAD).
32
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
33
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB ∥ (MNP) và SC ∥ (MNP).
c) Gọi G, I là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh GI ∥ (MNP).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm
trên cạnh SD sao cho 3SE = 2SD. Chứng minh:
DI ∥ (SBC).a) GO ∥ (SCD).b) SB ∥ (ACE).c)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N là trung điểm của các
cạnh AB,AD. Gọi I, J thuộc SM,SN sao cho
SI
SM
=
SJ
SN
=
2
3
. Chứng minh
MN ∥ (SBD).a) IJ ∥ (SBD).b) SC ∥ (IJO).c)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC sao cho
BI = 2IC. Chứng minh IG ∥ (ACD).
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng
minh rằng GP ∥ (BCD), GP ∥ (ABD).
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn
IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và (ICD).
b) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì?
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi K và J lần lượt là
trọng tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh KJ ∥ (SAB).
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa KJ và song song với AD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (P).
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng
minh rằng G
1
G
2
∥ (ABC) và G
1
G
2
∥ (ABD).
33
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
34
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của 4SAB,I
là trung điểm AB, lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG ∥ (SCD).
c) Chứng minh MG ∥ (SCD).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O
là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh OG ∥ (S BC).
b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh CM ∥ (SAB).
c) Gọi I là điểm trên cạnh SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA ∥ (BDI).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC D, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AD, SB.
a) Chứng minh BD ∥ (MNP).
b) Tìm giao điểm của (MNP) với BC.
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).
d) Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP).
Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. Gọi N, P lần lượt trung
điểm của BD và AD.
a) Chứng minh NP ∥ (ABC).
b) Tìm giao điểm Q của AC với (MNP) và tính
QA
QC
. Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi
(MNP).
c) Chứng minh MG ∥ (ABD), với G là trọng tâm của tam giác ACD.
34
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
35
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
b) Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E, (E 6= S, E 6= A), cắt SD tại
F, (F 6= S, F 6= D). Tứ giác BEFC là hình gì?
c) Gọi M thuộc đoạn AD sao cho AD = 3AM và G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung
điểm AB. Đường thẳng qua M và song song AB cắt C I tại N. Chứng minh NG ∥ (SCD) và
MG ∥ (SC D).
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB sau cho AM = 2MB. Gọi G là trọng tâm
4BCD và I là trung điểm CD, H là điểm đối xứng của G qua I.
a) Chứng minh GD ∥ (MCH).
b) Tìm giao điểm K của MG với (ACD). Tính tỉ số
GK
GM
.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm
4SAB, trên AD lấy điểm E sao cho AD = 3AE. Gọi M là trung điểm AB.
a) Chứng minh EG ∥ (SCD).
b) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC tại F. Chứng minh GF ∥ (SCD).
c) Gọi I là điểm thuộc cạnh CD sao cho CI = 2ID. Chứng minh GO ∥ (SAI).
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và
N là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh SB ∥ (AMN).
b) Tìm giao tuyến (AMN) và (SAB).
c) Tìm giao điểm I của SD với (AMN). Tính tỉ số
IS
ID
.
d) Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh QC ∥ (AMN).
35
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
36
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của (SMD) và (S AB).
b) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD).
c) Gọi H là điểm trên cạnh SA sao cho HA = 2HS. Tìm giao điểm K của MH và (SBD). Tính
tỉ số
KH
KM
.
d) Gọi G là giao điểm của BN và DM. Chứng minh HG ∥ (SBC).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi
O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh OG ∥ (S BC).
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Chứng minh C M ∥ (SAB).
c) Giả sử điểm I trên đoạn SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA ∥ (BID).
d) Xác định giao điểm K của BG và mặt phẳng (SAC). Tính tỉ số
KB
KG
.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC Gọi M, P, I lần lượt là trung điểm của AB, SC, SB. Một mặt phẳng
(α) qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q.
a) Chứng minh BC ∥ (IMP).
b) Xác định thiết diện của (α) với hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ).
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Gọi M, N, I, lần lượt
là trung điểm của AD, BC, SA.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB).
b) Tìm giao điểm của S B và (IMN).
c) Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD.
36
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
37
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm
4SAB; N là một điểm thuộc đoạn AC sao cho
AN
AC
=
1
3
; I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh OI ∥ (SAD) và GN ∥ SD.
b) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua O, song song với SA và BC. Mặt phẳng (α) cắt SB, SC lần lượt
tại L và K. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (α) với hình chóp.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, K lần lượt là
trung điểm các cạnh SA, SB và M là điểm thuộc cạnh CD, (M khác C và D).
a) Tìm giao tuyến của (KAM) và (SBC), (SBC) và (SAD).
b) Tìm thiết diện tạo bởi (HKO) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì?
c) Gọi L là trung điểm đoạn HK. Tìm I = OL ∩(SBC). Chứng minh SI ∥ BC.
Bài 24. Cho tứ diện ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm của tam
giác ACD.
a) Tìm giao điểm E của MG và (BCD).
b) Tìm d = (MNG) ∩(BCD). Giả sử d ∩CD = P. Chứng minh GP ∥ (ABC).
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa MN và song song với AD. Tìm thiết diện của (α) với tứ diện.
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA thỏa
mãn 3MA = 2MS. Hai điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC).
b) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (MEF) với cạnh SD. Tính tỉ số
KS
KD
.
c) Tìm giao điểm I của MF với (SBD). Tính tỉ số
IM
IF
.
d) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MEF) với hình chóp S.ABCD.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm
của SA, SD.
a) Xác định giao điểm của NC và (OMD).
37
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
38
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
Bài 27. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC,
(P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam
giác SME với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF và diện tích tam
giác SCD.
c) Gọi K là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh ba điểm K,
A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số
EF
KJ
.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm 4ABC. Gọi M, N, P, Q, R, H lần lượt là trung
điểm của SA, SC, CB, BA, QN, AG.
a) Chứng minh rằng S, R, G thẳng hàng và S G = 2MH = 4RG.
b) Gọi G
0
là trọng tâm 4SBC. Chứng minh rằng GG
0
∥ (SAB) và GG
0
∥ (SAC).
D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ b,b ∥ (α). Khi đó
A a ∥ (α). B a ⊂ (α).
C a ∥ (α) hoặc a ⊂ (α). D a cắt (α).
Câu 2. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Giả sử b 6⊂ (α). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu b ∥ (α) thì b ∥ a.
B Nếu b ∥ a thì b ∥ (α).
C Nếu b cắt (α) và (β ) chứa b thì giao tuyến của (α) và (β ) là đường thẳng cắt cả a và b. .
D Nếu b cắt (α) thì b cắt a.
Câu 3. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau?
A Vô số. B 1. C 2. D 3.
Câu 4. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và
(P)?
A 3. B 1. C 2. D 4.
38
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
39
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ (α) ,b ⊂ (α). Khi đó
A a ∥ b. B a,b chéo nhau.
C a,b cắt nhau. D a ∥ b hoặc a,b chéo nhau.
Câu 6. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a,b,c. Gọi (P) là mặt phẳng qua a,(Q) là mặt phẳng
qua b sao cho giao tuyến của (P) và (Q) song song với c. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng (P) và (Q)
thỏa mãn yêu cầu trên?
A Vô số mặt phẳng (P) và (Q). B Một mặt phẳng (Q), vô số mặt phẳng (P).
C Một mặt phẳng (P), vô số mặt phẳng (Q). D Một mặt phẳng (P), một mặt phẳng (Q).
Câu 7. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khẳng định nào sau đây sai?
A Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b.
B Có vô số đường thẳng song song với a và cắt b.
C Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b.
D Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước).
Câu 8. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ (α) và b ∥ (α). Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.
B a và b chéo nhau.
C a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D a và b không có điểm chung.
Câu 9. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Các khẳng định A, B, C đều sai.
B Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b.
C Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b.
D Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b.
Câu 10. Cho d ∥ (α), mặt phẳng (β ) qua d cắt (α) theo giao tuyến d
0
. Khi đó
A d cắt d
0
. B d ∥ d
0
. C d và d
0
chéo nhau. D d ≡ d
0
.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC D là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA,SB sao
cho
SM
SA
=
SN
SB
=
1
3
. Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là
A MN và mp (ABCD) chéo nhau. B MNsong song mp (ABCD).
C MN nằm trên mp (ABCD). D MNcắt mp (ABCD).
Câu 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ =
2QB, P là trung điểm của AB, M là trung điểm của BD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Q thuộc mặt phẳng (CDP). B QG cắt (BCD).
39
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
40
Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
C MP ∥ (BCD). D GQ ∥ (BCD).
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABC D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định
nào sau đây đúng?
A MN ∥ mp (SAB). B MN ∥ mp (SBC). C MN ∥ mp (ABCD). D MN ∥ mp (SCD).
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC,(α) là mặt phẳng đi qua H
song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của (α) với tứ diện?
A Thiết diện là hình bình hành. B Thiết diện là hình chữ nhật.
C Thiết diện là hình vuông. D Thiết diện là hình thang cân.
Câu 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt thuộc cạnh AD,BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi
(P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của (P) và tứ diện ABC D là
A Hình tam giác. B Hình bình hành. C Hình thang. D Tam giác đều.
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P, Q,R,S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC,BD,AB,CD,AD, BC.
Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A M,N,P,Q. B P, Q,R, S. C M,P,R,S. D M,R,S , N.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA
(không trùng với S hoặc A). (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của (P) và hình
chóp là
A Hình thang. B Hình tam giác. C Hình chữ nhật. D Hình bình hành.
Câu 18. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O,O
1
lần lượt là tâm của ABCD,ABEF. M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A OO
1
∥ (BEC). B OO
1
∥ (EFM). C MO
1
cắt (BEC). D OO
1
∥ (AFD).
Câu 19. Cho hình chóp S .ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. M,N lần lượt là hai trung
điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của
(P) và hình chóp là
A Hình chữ nhật. B Hình vuông. C Hình thang. D Hình bình hành.
Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC D có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho
SM
SA
=
2
3
.
Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là
A
16
9
. B
4
9
. C
20
3
. D
400
9
.
—HẾT—
40
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
41
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Bài 4
A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Các khả năng có thể xảy ra:
¬ (P) và (Q) trùng nhau.
(P) và (Q) có một điểm chung. Khi đó chúng sẽ có điểm chung khác nữa. Tập hợp tất cả các
điểm chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Hình 1).
® (P) và (Q) không có điểm chung. Khi đó ta nói (P) song song (Q) (Hình 2).
– Kí hiệu (P) ∥ (Q);
– Khi (P) ∥ (Q) và a ⊂ (P) thì a ∥ (Q).
P
Q
Hình 1.
(P), (Q) có 1 điểm chung: (P) ∩(Q) = a
P
Q
Hình 2.
(P), (Q) không có điểm chung: (P) ∥ (Q)
2. Các định lí
d Định lí 4.1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt
nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song
song với (β ).
α
M
a b
β
• Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt
nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.
• Muốn chứng minh đường thẳng a ∥ (Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
41
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
42
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
(P) và (P) ∥ (Q).
d Định lí 4.2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho
trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã
cho.
α
A
β
d Định lí 4.3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt
phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao
tuyến song song với nhau.
α
β
A
A
0
B
B
0
a
b
d Định lí 4.4. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song
chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
α
β
γ
A
A
0
B
B
0
C
C
0
42
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
43
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
3. Hình lăng trụ và hình hộp
L Định nghĩa: Cho hai mặt phẳng (α) ∥ (α
0
). Trong (α) cho
đa giác lồi A
1
A
2
.. .A
n
. Qua các điểm A
1
,A
2
,. .. ,A
n
ta dựng
các đường song song với nhau và cắt (α
0
) tại A
0
1
,A
0
2
,. .. ,A
0
n
.
Hình tạo thành bởi hai đa giác A
1
A
2
.. .A
n
, A
0
1
A
0
2
.. .A
0
n
cùng với các hình bình hành A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
2
, . . . ,
A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi
A
1
A
2
.. .A
n
.A
0
1
A
0
2
.. .A
0
n
.
• Hai đa giác A
1
A
2
.. .A
n
, A
0
1
A
0
2
.. .A
0
n
được gọi là hai mặt
đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ.
• Các đoạn thẳng A
1
A
0
1
, A
2
A
0
2
,... , A
n
A
0
n
gọi là các cạnh
bên của hình lăng trụ.
• Các hình bình hành A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
2
,... ,
A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
• Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là các đỉnh của hình
lăng trụ.
A
1
A
0
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
0
2
A
0
3
A
0
4
A
0
5
α
α
0
L Tính chất:
• Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau.
• Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
• Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau:
Lăng trụ tam giác
Lăng trụ tứ giác
Hình hộp
Lăng trụ ngũ giác
• Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi là hình lăng trụ tam giác.
• Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
43
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
44
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
4. Hình chóp cụt
L Định nghĩa:
Cho hình chóp S.A
1
A
2
.. .A
n
. Một mặt phẳng (P) song song với mặt đáy của hình chóp và không đi
qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA
1
, SA
2
, . . . , SA
n
tại A
0
1
,A
0
2
,. .. ,A
0
n
. Hình tạo thành bởi hai đa giác
A
0
1
A
0
2
.. .A
0
n
, A
1
A
2
.. .A
n
và các tứ giác A
1
A
2
A
0
2
A
0
1
, A
2
A
3
A
0
3
A
0
2
,... , A
n
A
1
A
0
1
A
0
n
gọi là hình chóp cụt.
• Đáy A
1
A
2
.. .A
n
của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.
• Thiết diện A
0
1
A
0
2
.. .A
0
n
của hình chóp và (P) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
• Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . .).
S
A
0
1
A
0
2
A
0
3
A
0
4
A
0
5
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
P
L Tính chất:
• Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương tứng bằng nhau.
• Các mặt bên là hình thang.
• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm.
44
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
45
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 4.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh:
• Phương pháp 1.
Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau
cùng song song với mặt phẳng còn lại.
a ⊂ (α), b ⊂ (α)
a ∩b = M
a ∥ (β ), b ∥ (β )
⇒ (α) ∥ (β ).
a
b
α
β
• Phương pháp 2.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng
thứ 3.
(α) 6= (β )
(α) ∥ (γ), (β ) ∥ (γ)
⇒ (α) ∥ (β ).
α
β
γ
Ví dụ 1
d Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, S D. Chứng minh (OMN) ∥ (SBC).
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng (A
0
C
0
D
0
) ∥ (ABCD).
45
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
46
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABC D là hình thang mà AD ∥ BC và AD = 2BC. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh: (BMN) ∥ (SCD).
Ví dụ 4
d Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Gọi I, J, K
lần lượt là trung điểm AB, CD, EF. Chứng minh
(ADF) ∥ (BCE).a) (DIK) ∥ (JBE).b)
Ví dụ 5
d Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACC
0
,
A
0
B
0
C
0
. Chứng minh rằng (IJK) ∥ (BCC
0
B
0
) và (A
0
JK) ∥ (AIB
0
).
Ví dụ 6
d Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M, N lần lượt cắt AD và AF tại M
0
và N
0
.
a) Chứng minh rằng (ADF) ∥ (BCE).
b) Chứng minh rằng (CDF) ∥ (MM
0
N
0
N).
p Dạng 4.12. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chưng minh a song song (P), ta thường sử dụng một trong hai cách sau
L Cách 1. (Đã xét ở bài học trước) Ta cần chứng tỏ các ý sau:
• a không nằm trên (P);
• a song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Suy ra a ∥ (P).
hay
a 6⊂ (P)
a ∥ b
b ⊂ (P)
⇒ a ∥ (P)
L Cách 2. Ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) và (Q) ∥ (P) thì a ∥ (P).
46
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
47
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Ví dụ 1
d Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng
tâm các tam giác S AB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng G
2
G
3
. Chứng minh
G
1
M ∥ (SBC).
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SA và CD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) và (SBC) song song với nhau.
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh
IJ song song với (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác
trong của tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với (SAD).
p Dạng 4.13. Giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β)
biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ). Thiết diện.
Sử dụng tính chất
(α) ∥ (β )
(γ) ∩(α) = a
(γ) ∩(β ) = b
⇒ a ∥ b
Ví dụ 1
d Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P) đi qua H và song
song với (SAB). Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD).
b) Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC).
Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC D là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ trên AB. Gọi
(α) là măt phẳng qua M và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của hình
47
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
48
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
chóp.
Ví dụ 3
d Cho hình hộp chữ nhật ABC D.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD,
A
0
D
0
. Xác định giao tuyến của (MNP) và các mặt (A
0
B
0
C
0
D
0
), (AA
0
B
0
B).
Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là
tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên
đoạn AC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.
C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và CD.
Chứng minh hai mặt phẳng (MNO) và (S BC) song song.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm SA, SB, SD và K, I là trung điểm của BC, OM.
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SCD).
b) Chứng minh (PMN) ∥ (ABCD).
c) Chứng minh KI ∥ (SCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
SA, SD
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC).
b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB. Chứng minh PQ ∥ (SBC) và (ROM) ∥
48
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
49
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
(SCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với MNE
cắt SB, AD lần lượt tại P, Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (KPQ) và mặt phẳng (SAD).
Bài 5. Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Trên đoạn SA lấy hai điểm M, N
sao cho SM = MN = NA.
a) Chứng minh rằng GM ∥ (SBC).
b) Gọi D là điểm đối xứng với A qua G. Chứng minh rằng (MCD) ∥ (NBG).
c) Gọi H = DM ∩(SBC). Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác SBC.
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện tạo bởi
mặt phẳng (P) song song với (AB
0
D
0
) và đi qua M và cắt hình hộp.
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD,
ADB.
a) Chứng minh (G
1
G
2
G
3
) ∥ (BCD).
b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng G
1
G
2
G
3
. Tính diện tích thiết diện theo diện
tích tam giác BCD là S.
D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với
nhau.
C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song
song với nhau.
D Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Câu 2. Xét các mệnh đề sau:
49
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
50
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
a) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với mọi đường thẳng trong
(Q).
b) Nếu mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (R) song song với nhau.
c) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mọi đường thẳng trong (P) đều song song với
mọi đường thẳng trong (Q).
d) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q)
thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
Số mệnh đề đúng là
A 2. B 1. C 3. D 4.
Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A (ABCD) ∥ (A
0
B
0
C
0
D
0
). B (AA
0
D
0
D) ∥ (BCC
0
B
0
).
C (BDD
0
B
0
) ∥ (ACC
0
A
0
). D (ABB
0
A
0
) ∥ (CDD
0
C
0
).
Câu 4. Cho điểm O nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên (P). Tập hợp các
trung điểm của đoạn thẳng OM là
A Một đoạn thẳng . B Một mặt phẳng. C Một đường thẳng. D Một tam giác.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với
nhau.
B Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
C Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn
lại.
D Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Câu 6. Giả thiết nào dưới đây kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)?
A a ∥ b và b ∥ (α). B a ∥ (β ) và (β ) ∥ (α).
C a ∩(α) = ∅. D a ∥ b và b ⊂ (α).
Câu 7. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
A Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
B Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.
50
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
51
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
D
Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song
song với nhau.
Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó
nằm trong mặt phẳng đó.
B Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng
quy.
D Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng
đó song song với nhau.
Câu 9. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A a ∥ b ⇒ (P) ∥ (Q). B (P) ∥ (Q) ⇒ a ∥ b.
C (P) ∥ (Q) ⇒ a ∥ (Q) và b ∥ (P). D a và b chéo nhau.
Câu 10. Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A a và b vuông góc nhau. B a và b song song.
C a và b cắt nhau. D a và b chéo nhau.
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
, AC ∩BD = O,A
0
C
0
∩B
0
D
0
= O
0
. M,N,P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB,BC,CC
0
. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương là
hình
A Tam giác. B Từ giác. C Ngũ giác. D Lục giác.
Câu 12. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua
M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là
A hình thoi. B tam giác cân tại M. C tam giác đều. D hình bình hành.
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A (BA
0
C
0
). B (C
0
BD). C (BDA
0
). D (ACD
0
).
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung
điểm SA, SD. Mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A (SBC). B (SCD). C (ABCD). D (SAB).
Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mặt phẳng (AB
0
D
0
) song song với mặt phẳng nào sau đây?
A (BDA
0
). B (A
0
C
0
C). C (BDC
0
). D (BCA
0
).
51
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
52
Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A
0
, B
0
, C
0
, D
0
lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A A
0
B
0
∥ (SBD). B A
0
B
0
∥ (SAD). C (A
0
C
0
D
0
) ∥ (ABC). D A
0
C
0
∥ BD.
Câu 17. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A (BA
0
C
0
) ∥ (ACD
0
). B (ADD
0
A
0
) ∥ (BCC
0
B
0
).
C (BA
0
D) ∥ (CB
0
D
0
). D (ABA
0
) ∥ (CB
0
D
0
).
Câu 18. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB
0
D
0
). Mặt phẳng (P) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A Hình ngũ giác. B Hình lục giác. C Hình tam giác. D Hình tứ giác.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng
A
31
7
. B
18
7
. C
24
7
. D
15
7
.
Câu 20. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình
vuông AA
0
D
0
D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
tạo bởi mặt phẳng (CMN).
A
a
2
√
14
4
. B
3a
2
√
14
2
. C
3a
2
4
. D
a
2
√
14
2
.
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. AB = 8, SA = SB = 6. (P) là
mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Thiết diện của hình chóp với (P) có diện tích bằng
A 6
√
5. B 5
√
5. C 12. D 13.
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
2
3
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x =
MA
MD
.
A x =
1
2
. B x = 1. C x =
3
2
. D x =
2
3
.
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, điểm G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi
(P) là mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC). Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt
phẳng (P) và tứ diện ABCD.
A S =
a
2
√
3
12
. B S =
a
2
√
3
4
. C S =
a
2
√
3
9
. D S =
a
2
√
3
6
.
—HẾT—
52
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
53
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI
CHƯƠNG
Bài 5
A.
ĐỀ SỐ 1
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB ∥ CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD .
Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A IJ song song với CD. B IJ song song với AB.
C IJ chéo C D. D IJ cắt AB.
Câu 3. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và
(P)?
A 2. B 3. C 1. D 4.
Câu 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khẳng định nào sau đây sai?
A Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b.
B Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b.
C Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước).
D Có vô số đường thẳng song song với a và cắt b.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song.
B Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
D Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng
đó.
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi I, I
0
lần lượt là trung điểm của AB, A
0
B
0
. Qua phép chiếu
song song phương AI
0
, mặt phẳng chiếu (A
0
B
0
C
0
) biến I thành?
A A
0
. B B
0
. C C
0
. D I
0
.
53
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
54
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và
(GAB) là
A AM (M là trung điểm của AB). B AN (N là trung điểm của CD).
C AH (H là hình chiếu của B trên CD). D AK (K là hình chiếu của C trên BD).
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P,Q, R,T lần lượt là trung
điểm AC,BD, BC,CD,SA,SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau?
A MP và RT . B MQ và RT . C MN và RT . D PQ và RT .
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I,J lần lượt là
trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là
A SC. B đường thẳng qua S và song song với AB.
C đường thẳng qua G và song song với DC. D đường thẳng qua G và cắt BC.
Câu 10. Cho hai đường thẳng phân biệt a,b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ b,b ∥ (α). Khi đó
A a ∥ (α). B a ⊂ (α).
C a cắt (α). D a ∥ (α) hoặc a ⊂ (α).
Câu 11. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Giả sử b 6⊂(α). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu b ∥ (α) thì b ∥ a.
B Nếu b cắt (α) thì b cắt a.
C Nếu b ∥ a thì b ∥ (α).
D Nếu b cắt (α) và (β ) chứa b thì giao tuyến của (α) và (β ) là đường thẳng cắt cả a và b. .
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,I theo thứ tự là
trung điểm của SA,SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A (NOM) cắt (OPM). B (MON) ∥ (SBC).
C (PON) ∩(MNP) = NP. D (NMP) ∥ (SBD).
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC,BC và BD. Giao tuyến của hai
mặt phẳng (ABD) và (IKJ) là đường thẳng
A KD. B KI.
C qua K và song song với AB. D Không có.
Câu 14. Cho hình lăng tr ụ ABC.A
0
B
0
C
0
, qua phép chiếu song song phương CC
0
, mặt phẳng chiếu
(A
0
B
0
C
0
) biến M thành M
0
. Trong đó M là trung điểm của BC. Chọn mệnh đề đúng?
A M
0
là trung điểm của A
0
B
0
. B M
0
là trung điểm của B
0
C
0
.
C M
0
là trung điểm của A
0
C
0
. D Cả ba đáp án trên đều sai.
Câu 15. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
54
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
55
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
A Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B Nếu A, B, C thẳng hàng và (P), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P) và
(Q).
C Nếu 3 điểm A, B, C là điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng
hàng.
D Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P) và (Q) phân biệt thì C cũng là điểm chung
của (P) và (Q).
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC. Gọi O là
giao điểm của AC và BD. Biết Q là giao điểm của SD với mặt phẳng (MNP). Khẳng định nào sau đây
đúng?
A SO, MP, NQ đồng quy. B M, N, Q thẳng hàng.
C N, P, Q thẳng hàng. D SO, SD, NQ đồng quy.
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SBC. Gọi ∆ là giao
tuyến giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AMN). Khẳng định nào sau đây là sai?
A ∆ ∥ MN. B ∆ đi qua hai điểm A và C.
C ∆ cắt SB. D Bốn điểm A, M, N, C đồng phẳng.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCA. Gọi
(α) là mặt phẳng qua S và song song với (ABC). Biết Q là giao điểm giữa AN và (α). Tỉ số
QN
QA
bằng
A
1
3
. B
2
3
. C
3
2
. D 3.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm của BC và (α)
là mặt phẳng qua E đồng thời song song với BD và SC. Ký hiệu (T ) là thiết diện tạo bởi (α) và hình
chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A (T ) là ngũ giác. B (T ) là hình bình hành.
C (T ) là tam giác. D (T ) là hình thoi.
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M di động trên cạnh BC và
(α) là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với các cạnh SB, CD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm
của SC, SD, AD với (α) và K là giao điểm của MN với PQ. Khi M di chuyển trên BC thì K chuyển động
trên một đường thẳng ∆ cố định. Khẳng định nào sau đây đúng?
A ∆ ∥ NP. B ∆ ∥ PQ. C ∆ ∥ CD. D ∆ ∥ BC.
—HẾT—
55
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
56
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
B.
ĐỀ SỐ 2
Câu 1. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A Ba điểm. B Một điểm và một đường thẳng.
C Bốn điểm. D Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phăng thì song song với nhau.
B Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt
phẳng còn lại.
C Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
D Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, AC,
BD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Ba đường thẳng MQ,RS,NP đôi một song song.
B Ba đường thẳng MP,NQ,RS đồng quy.
C Ba đường thẳng NQ,SP,RS đồng phẳng.
D Ba đường thẳng MN,RS,PQ đôi một cắt nhau.
Câu 4. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng từ các điểm đó?
A 6. B 2. C 3. D 4.
Câu 5. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Giả sử AC ∩BD = O và AD∩BC =
I. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (S BC) là
A SO. B SC. C SI. D SD.
Câu 6. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Giả sử AC ∩BD = O và AD∩BC =
I. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là
A SO. B SB. C SI. D SA.
Câu 7. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm
các cạnh SA,SD,AB,ON. Khi đó điều khẳng định nào sau đây là sai?
A (MON) ∥ (SBC). B (MOP) ∥ (SBC). C MN ∥ (ABCD). D (MON) ∥ (ABC).
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC
0
của hình lập phương?
A 2. B 3. C 6. D 4.
56
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
57
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Câu 9. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không thuộc cùng một mặt phẳng, có cạnh chung AB.
Kết quả nào sau đây đúng?
A BC ∥ (AEF). B FD ∥ (BEF). C (CEF) ∥ (ABD). D (AFD) ∥ (BCE).
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Khẳng định nào sai?
A (A
0
BD) ∥ (CB
0
D
0
). B (AB
0
D
0
) ∥ (A
0
BD). C B
0
D
0
∥ (BCD). D (DA
0
C
0
) ∥ (B
0
AC).
Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
B Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau.
C Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
D Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó.
Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
B Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau.
C Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
D Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với
nhau.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N lần lượt là hai điểm thuộc vào các cạnh AC,BC sao cho MN
không song song với AB. Gọi Z là giao điểm của AN và (SBM). khẳng định nào sau đây đúng?
A Z là giao điểm của AM và BN. B Z là giao điểm của AN và BM.
C Z là giao điểm của MN và AB. D Z là giao điểm của S M và SN.
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AA
0
. Khẳng định
nào đúng?
A Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (ABB
0
A
0
) là đường thẳng MA.
B Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (CDD
0
C
0
) là đường thẳng đi qua D song song với
CD
0
.
C Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (BB
0
C
0
C) là đường thẳng đi qua B và giao điểm
của hai đường DM và BC.
D Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (AB
0
C
0
D
0
) là đường thẳng đi qua N và giao của
hai đường thẳng A
0
B
0
và MN.
Câu 15. Chọn khẳng định sai?
A Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
B Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt
phẳng kia.
57
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
58
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song
song với nhau.
D Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) đều phải cắt (Q)
và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SB, mặt phẳng (α) đi qua M và song song với
mặt phẳng (ABC) cắt SA,SC lần lượt tại N,P. Khẳng định nào đúng?
A Hai mặt phẳng (α) và (MNP) khác nhau . B MP cắt BC.
C MN cắt AC. D MP ∥ BC.
Câu 17. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD, qua A, B,C,D lần lượt vẽ bốn đường thẳng
a,b, c,d đôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a,b,c,d lần lượt tại bốn
điểm A
0
,B
0
,C
0
,D
0
. Chọn đáp án sai?
A AA
0
+CC
0
= BB
0
+ DD
0
. B CC
0
+ BB
0
= AA
0
+ DD
0
.
C AB + A
0
B
0
= CD +C
0
D
0
. D AD + A
0
D
0
= BC + B
0
C
0
.
Câu 18. Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm di động trên đoạn AI. Gọi
(P) là mặt phẳng qua M và song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (P) và tứ diện S.ABC là?
A Hình thoi. B Tam giác cân tại M.
C Tam giác đều. D Hình bình hành.
Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M,M
0
lần lượt là trung điểm của BC,B
0
C
0
. Khi
đó giao của AM
0
với (A
0
BC) là
A Giao của AM
0
và A
0
M. B Giao của AM
0
và BC.
C Giao của AM
0
và B
0
C
0
. D Giao của AM
0
và A
0
C.
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P, Q lần lượt là trung điểm
các đoạn SA,SD,AB,ON. Khẳng định nào sai?
A (MON) ∥ (SBC). B (S AD ) ∥ PQ. C (S BC) ∥ ON. D (SBC) ∥ PQ.
Câu 21. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD,CC
0
sao cho
AM
MD
=
CN
NC
0
. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua MN và song song với (ACB
0
) là?
A Hình bình hành. B Ngũ giác. C Lục giác. D Hình thang.
Câu 22. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
0
B
0
C
0
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BB
0
,CC
0
. Đường thẳng
qua đi qua trọng tâm I của tam giác ABC cắt A
0
B và MN lần lượt tại P,Q. Khi đó tỷ số
IP
IQ
bằng?
A
3
5
. B
5
2
. C
2
5
. D
5
3
.
Câu 23. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
. Đường thẳng AC
0
cắt (DBA
0
) và (D
0
B
0
C) lần lượt tại H,K.
Khẳng định nào sai?
58
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường
59
Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
A Các trung điểm của sáu cạnh BC,CD,DD
0
,D
0
A
0
,A
0
B
0
,B
0
B không thuộc cùng một mặt phẳng.
B (BDA
0
) ∥ (B
0
D
0
C).
C AH = HK = KC
0
.
D H,K lần lượt là trọng tâm của các tam BDA
0
và B
0
D
0
C.
Câu 24. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
cạnh a. Trên AB,CC
0
,C
0
D
0
,AA
0
lần lượt lấy các điểm
M,N,P,Q sao cho AM = C
0
N = C
0
P = AQ = x(0 ≤ x ≤ a). Gọi R,S lần lượt là trung điểm các cạnh
BC,A
0
D
0
. Mặt phẳng (MNP) luôn chứa một đường thẳng cố định là:
A A
0
B. B RS.
C đi qua S song songg với A
0
C. D đi qua R song song với AC
0
.
Câu 25. Cho tứ diện ABCD. GỌi I,J là hai điểm di động trên AD, BC sao cho luôn có
IA
ID
=
JB
JC
. Đường
thẳng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định nào?
A Mặt phẳng đi qua AC và song song với BD.
B Mặt phẳng đi qua AB và song song với CD.
C Mặt phẳng đi qua AC và song song với AB.
D Mặt phẳng đi qua trung tuyến tam giác ABD và song song với AC.
—HẾT—
59
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
Gv Ths: Phạm Hùng Hải
60
Trang
6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
Bài 6
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1
1. A 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D 7. A 8. D 9. A 10. C
11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. D 17. A 18. A 19. A 20. C
21. A 22. D 23. A 24. C 25. C
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2
1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A
7. D
8. C 9. A 10. C
11. A 12. D 13. B 14. C 15. C 16. D 17. B 18. C 19. A 20. A
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3
1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. B
11. B 12. D 13. C 14. A 15. B 16. D 17. A 18. C 19. C 20. D
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 4
1. A 2. B 3. C 4. B 5. D
7. B
8. A 9. C 10. B 11. D
12. B 13. B 14. A 15. C 16. C 17. D 18. B 19. C 20. A 21. A
22. A 23. C
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1
1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B
7. B
8. B 9. C 10. D
11. C 12. B 13. C 14. B 15. D 16. A 17. C 18. B 19. A 20. D
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 2
1. D 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A
7. D
8. C 9. D 10. B
11. A 12. C 13. B 14. B 15. C 16. D 17. B 18. B 19. A 20. B
21. C 22. C 23. A 24. B 25. B
60
Trang
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921
| 1/63
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

THẦY HẢI TOÁN
Ths: Phạm Hùng Hải – ĐHSP Đà Nẵng CHUYÊN Đ Ề: HÌNH HỌC KH ÔNG GIA N TỌA Đ Ộ Chương 2 2021
QUAN HỆ Từ cơ bản tới nâng cao
Các dạng toán đa dạng và đầy đủ
SONG SONG dành cho học sinh muốn đạt 8+ MỤC LỤC L Chương 2.
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG 1 Đường
§1 – ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Con B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
| Dạng 1.1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau .......................................... 3 Có
| Dạng 1.2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng...............................................6 Đó
| Dạng 1.3: Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng...................................8 Ở
| Dạng 1.4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh Chí
một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Ý C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Có
§2 – HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Đâu 17 Nơi A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| Dạng 2.5: Chứng minh hai đường thẳng song song.........................................................20
| Dạng 2.6: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau ........................................ 20
| Dạng 2.7: Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một
đường thẳng cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 ii Trang MỤC LỤC
§3 – ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 27 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| Dạng 3.8: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ........................ 28
| Dạng 3.9: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau.................................................30
| Dạng 3.10: Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một đường thẳng cho
trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
§4 – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 41 A
KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 B
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Hải
| Dạng 4.11: Chứng minh hai mặt phẳng song song .......................................................... 45
| Dạng 4.12: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ................................. 46 Hùng
| Dạng 4.13: Giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β ) biết (α) qua điểm A;
song song với mặt phẳng (γ). Thiết diện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phạm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 D
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Ths:
§5 – ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 53 Gv A
Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 B
Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§6 – ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 60
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang ii CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ V MẶT MẶ PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN QU HỆ SONG 2 SONG
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT Bài 1 PHẲNG Đường A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các định nghĩa, khái niệm cơ bản Con L Mặt phẳng Có
¬ Để biểu diễn mặt phẳng, người ta dùng hình bình hành hay một miền góc Đó Ở P α Chí Kí hiệu (P) hoặc mp(P) Kí hiệu ( Ý α ) hoặc mp(α ) Có
­ Ba cách xác định một mặt phẳng Đâu
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm A, B,C không thẳng hàng
của mặt phẳng, kí hiệu (ABC). Nơi
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng d và một điểm A
không thuộc d, kí hiệu (A, d).
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu (a, b).
– Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng a, b song song, kí
hiệu (a, b) (xét ở bài sau).
L Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A, B và mặt phẳng (α). 2 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
¬ Khi A nằm trên (α), ta kí hiệu A ∈ (α).
­ Khi B không nằm trên (α), ta kí hiệu B / ∈ (α).
® Dấu hiệu nhận biết A ∈ (α) là điểm A thuộc một đường thẳng nằm trong (α) .
L Đường thẳng nằm trong mặt phẳng: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
¬ Khi d nằm trong (α), ta kí hiệu d ⊂ (α).
­ Dấu hiệu nhận biết d ⊂ (α) là trên d có hai điểm phân biệt thuộc (α) .
2. Hình biểu diễn của một hình không gian
L Cần chú ý các quy tắc sau: Hải
• Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để Hùng
biểu diễn cho những đường bị che khuất.
• Quan hệ thuộc, song song được giữ nguyên. Nghĩa là Phạm
– Nếu hình thực tế điểm A thuộc đường thẳng ∆ thì hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ đó. Ths:
– Nếu hình thực tế hai đường thẳng song song thì hình biểu diễn phải giữ nguyên quan Gv hệ đó.
L Hình biểu diễn của các mô hình không gian thường gặp: A S A0 D0 B0 C0 B D D D A A B C C B C Hình tứ diện
Hình chóp tứ giác đáy hình bình hành
Hình lập phương, hộp chữ nhật
3. Hình chóp, hình tứ diện
L Định nghĩa: Cho đa giác A1A2 ...An và cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với
các đỉnh A1, A2, . . . , An ta được n miền đa giác SA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An. Hình gồm n tam giác đó
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 2 3 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
và đa giác A1A2A3 . . . An được gọi là hình chóp S.A1A2A3 . . . An. S L Các tên gọi
• Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp. • Đa giác A A
1A2 . . . An gọi là mặt đáy của hình chóp. 6 A1
• Các đoạn thẳng A1A2, A2A3, . . . , An−1An gọi là các cạnh A2 A5 đáy của hình chóp. P A A 3 4
• Các đoạn thẳng SA1, SA2, . . . , SAn gọi là các cạnh bên của hình chóp.
• Các miền tam giác SA1A2, SA2A3, . . . , SAn−1An gọi là các Đường mặt bên của hình chóp. Con
• Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, . . . thì hình chóp tương ứng gọi
là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,. . . Có L Chú ý: Đó Ở
• Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện. Chí
• Hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác đều hay có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi Ý là hình tứ diện đều. Có B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Đâu
p Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau Nơi
Xác định 2 điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm chung đó.
Ta thường gặp một trong ba loại sau:
¬ Hai mặt phẳng (α) và (β ) có sẵn hai điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường
thẳng qua hai điểm chung đó.
­ Hai mặt phẳng (α) và (β ) có trước một điểm chung.
• A là điểm chung hay A ∈ (α) ∩ (β ).
• Trong (α) tìm một đường thẳng d1, trong (β ) tìm một đường thẳng d2 sao cho chúng
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 3 4 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
có thể cắt nhau (đồng phẳng).
Gọi B = d1 ∩ d2, suy ra B ∈ (α) ∩ (β ). • Vậy AB = (α) ∩ (β ).
® Hai mặt phẳng (α) và (β ) chưa có điểm chung: Ta tìm hai điểm chung tương tự như cách
tìm điểm chung ở mục số ­. Ví dụ 1 d
Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. S
Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của A B Hải
a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). D C
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD). Hùng
c) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). Phạm Ví dụ 2 d Ths:
Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC A Gv
sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của M N D
a) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (BCD). B I
b) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ABD). C
c) Mặt phẳng (MNI) và mặt phẳng (ACD). Ví dụ 3
d Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (JAD).
b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho M, N không là trung điểm. Tìm giao
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 4 5 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
tuyến của mặt phẳng (IBC) và mặt phẳng (DMN). Ví dụ 4 d
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có cạnh AB song S
song với CD. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Lấy điểm M
thuộc cạnh SC. Tìm giao tuyến của M
a) Mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). A B D C
b) Mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SBC). Đường
c) Mặt phẳng (ADM) và mặt phẳng (SBC). Con Ví dụ 5 Có d
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P S Đó
lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CD, SA. Tìm giao tuyến của Ở P a) (MNP) và (SAB). Chí D Ý A b) (MNP) và (SBC). N Có B M C c) (MNP) và (SAD). Đâu d) (MNP) và (SCD). Nơi Ví dụ 6
d Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác
ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau a) (AMN) và (BCD). b) (DMN) và (ABC).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 5 6 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
p Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có hai có hai cách làm như sau
L Những bài toán đơn giản, ta tìm trong (P) một đường thẳng a sao cho a cắt d.  M ∈ d
• Gọi M = d ∩ a, khi đó . M ∈ a ⊂ (P) • Vậy M = d ∩ (P). d Q
L Những bài toán khó tìm đường thẳng a, ta thực hiện các a bước sau: A P
• Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và dễ Hải tìm giao tuyến với (P); • Tìm (Q) ∩ (P) = a. Hùng
• Tìm M = d ∩ a, suy ra M = d ∩ (P). Ví dụ 1 Phạm
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là điểm nằm trên BD Ths:
sao cho KD < KB. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK). Gv Ví dụ 2
d Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC, BD lấy lần lượt ba điểm M, N, P sao cho MN không song
song với BC, MP khong song song với AD. Xác định giao điểm của các đường thẳng BC, AD,CD với mặt phẳng (MNP). Ví dụ 3
d Cho tứ diện ABCD. trên AC và AD lấy hai điểm M, N sao cho MN không song song với CD.
Gọi O là điểm bên trong tam giác (BCD).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC với (OMN).
c) Tìm giao điểm của BD với (OMN).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 6 7 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của CD và (SBM).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
c) Tìm giao điểm I của BM và (SAC).
d) Tìm giao điểm P của SC và (ABM). Từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM). Ví dụ 5 Đường
d Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Trên đoạn AB lấy một Con
điểm M, trên đoạn SC lấy một điểm N (M, N không trùng với các đầu mút). Có
a) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD). Đó
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Ở Ví dụ 6 Chí Ý
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB, SD. Có
a) Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng (MNP). Đâu
b) Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng (MNP). Nơi Ví dụ 7
d Cho tứ diện SABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB. Trên cạnh SC lấy điểm K sao cho CK = 3SK. FB
a) Tìm giao điểm F của BC với mặt phẳng (IHK). Tính tỉ số . FC
b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng IH. Tìm giao điểm của KM và mặt phẳng (ABC).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 7 8 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
p Dạng 1.3. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng Ví dụ 1
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm trên
ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD và SC. Tìm thiết
diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trong tam giác SCD. Hải
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). Hùng
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và (SAC).
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). Phạm
p Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng Ths:
đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. Gv
• Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng:
Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm
đó lần lượt thuộc hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β ) thì suy ra ba điểm A α β
A, B, C nằm trên giao tuyến của (α) và (β ), nên chúng thẳng hàng. B C
• Phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy:
Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứng minh giao điểm đó
nằm trên đường thẳng thứ ba. Cụ thể như sau:
Chọn một mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng (a) và (b). Gọi I = (a) ∩ (b).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 8 9 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (a), tìm một mặt phẳng
(R) chứa đường thẳng (b), sao cho (c) = (Q) ∩ (R) ⇒ I ∈ (c). I
Vậy, ba đường thẳng (a), (b), (c) đồng quy tại điểm I. c  ( a b  a), (b) ⊂ (P)      (a) ∩ (b) = I   P   Q R
(P) ∩ (Q) = (a) ⇒ (a) ∩ (b) ∩ (c) = I.     (P) ∩ (R) = (b)      (Q) ∩ (R) = (c) Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của Đường AB, BC, CD. Con
a) Tìm giao tuyến của (AND) và (ABP). Có
b) Gọi I = AG ∩ MP, J = CM ∩ AN. Chứng minh D, I, J thẳng hàng. Đó Ví dụ 2 Ở
d Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm Chí
của đoạn thẳng AB và SC. Ý
a) Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD). Có
b) Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD). Đâu
c) Chứng minh ba điểm I, J, B thẳng hàng. Nơi Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Gọi E = AB ∩ CD, K = AD ∩ BC
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) ∩ (SBD) , (MNP) ∩ (SBD).
2. Tìm giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).
3. Gọi H = NM ∩ PQ. Chứng minh ba điểm S, H, E thẳng hàng.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 9 10 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
4. Chứng minh ba đường thẳng SK, QM, NP đồng quy. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB,
N thuộc miền trong tam giác S∆SCD.
1. Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD)
2. Tìm SC ∩ (AMN) và SD ∩ (AMN) 3. Tìm SA ∩ (CMN) Hải
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ thuộc SB, N
thuộc miền trong tam giác SCD. Hùng
a) Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABCD).
b) Tìm SC ∩ (AMN), SD ∩ (AMN). Phạm c) Tìm SA ∩ (CMN). Ths: Gv
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB song song với CD. O là giao
điểm của hai đường chéo, M thuộc SB.
a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm SO ∩ (MCD); SA ∩ (MCD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho MN không song song BC. Gọi
O là một điểm trong tam giác BCD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của DC, BD với (OMN).
c) Tìm thiết diện của (OMN) với hình chóp.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 10 11 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 5. Cho tứ diện SABC. Gọi M ∈ SA, N ∈ (SBC), P ∈ (ABC), không có đường thẳng nào song song.
a) Tìm giao điểm của MN với (ABC), suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABC).
b) Tìm giao điểm của AB với (MNP).
c) Tìm giao điểm của NP với (SAB).
d) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 6. Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB), (SBC), (ABC). Đường
a) Tìm giao điểm của IJ với (ABC).
b) Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của hình chóp. Từ đó suy ra thiết diện của (IJK) cắt Con bởi hình chóp. Có
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt nằm Đó
trên ba cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI). Ở
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm lấy trên AB, AD và SC. Tìm Chí Ý
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). Có
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Đâu a) Tìm I = AN ∩ (SBD). Nơi b) Tìm K = MN ∩ (SBD). KM c) Tính tỉ số . KN IB
d) Chứng minh B, I, K thẳng hàng. Tính tỉ số . IK
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC. Gọi K, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Điểm M thuộc SC, 2 SM = MC. 3
a) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(KMN).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 11 12 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG LA
b) Mặt phẳng (KMN) cắt AB tại L. Tính tỉ số . LB
Bài 11. Cho tứ diện S.ABC. Trên SB, SC lần lượt lấy hai điểm I, J sao cho IJ không song song
với BC. Trong tam giác ABC lấy một điểm K.
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IJK).
b) Xác định giao điểm của AB, AC với (IJK).
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJK).
d) Tìm giao điểm của BC, IJ với mặt phẳng (SAK).
e) Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJK) với tứ diện S.ABC. Hải
Bài 12. Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB
tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Hùng
Bài 13. Cho tứ giác ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M. Phạm
1. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC). Ths:
2. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC). Gv
3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.
Bài 14. Cho tứ giác ABCD và S 6∈ (ABCD). Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD.
1. Tìm giao điểm J = BN ∩ (SAC)
2. Tìm giao điểm J = MN ∩ (SAC)
3. Chứng minh rằng C, I, J thẳng hàng.
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB, K là trọng tâm của tam giác ACD.
a) Xác định giao tuyến của (AKM) và (BCD).
b) Tìm giao điểm H của MK và mp(BCD). Chứng minh K là trọng tâm của tam giác ABH.
c) Trên BC lấy điểm N. Tìm giao điểm P, Q của CD, AD với mp(MNK).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 12 13 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
d) Chứng minh 3 đường thẳng MQ, NP, BD đồng quy.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD và hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam
giác SAD, M là trung điểm của SB.
a) Tìm giao điểm N của MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh ba điểm C, D, N thẳng hàng và D là trung điểm của CN.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SC.
a) Xác định giao tuyến của (ABM) và (SCD). Đường SI 2
b) Gọi N là trung điểm của BO. Xác định giao điểm I của (AMN) với SD. Chứng minh = . ID 3
Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN). Con
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là Có
trung điểm của SC và SA, E là trọng tâm của tam giác ABC. Đó Ở
a) Tìm giao điểm I của SD và mặt phẳng (AME). Chứng minh EI ∥ SB.
b) Tìm giao điểm H của SD và mặt phẳng (MNE). Chí Ý
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNE). Có
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm Đâu của các cạnh AB và SC. KM Nơi
a) Tìm giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số . KN
b) Gọi E là trung điểm của SA. Tìm giao điểm F của SD và mặt phẳng (EMN). Chứng minh
tứ giác MEFN là hình thang.
c) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (EMN). D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh của tứ giác ABCD?
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 13 14 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A 1. B 3. C 0. D 2.
Câu 2. Hình chóp lục giác có bao nhiêu mặt? A 10. B 6. C 8. D 7.
Câu 3. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
A Một điểm và một đường thẳng.
B Hai đường thẳng cắt nhau.
C Bốn điểm phân biệt.
D Ba điểm phân biệt.
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
B Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung khác nữa.
C Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
D Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Câu 5. Cho 5 điểm A, B,C, D, E trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt Hải
phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A 10. B 14. C 12. D 8. Hùng
Câu 6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
B Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng. Phạm
C Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng. Ths:
D Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng. Gv
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC,CD. A
Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là
A đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD). M
B đường thẳng AH (H là trực tâm tam giác ACD). B D C đường thẳng MN. D đường thẳng AM. N C
Câu 8. Thiết diện của hình chóp tứ giác (cắt bởi một mặt phẳng) không thể là hình nào dưới đây? A Tứ giác. B Tam giác. C Ngũ giác. D Lục giác.
Câu 9. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B,C, D. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và B. Giao
tuyến của (IBC) và (KAD) là A IK. B DK. C AK. D BC.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 14 15 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm SA, SB.
Khẳng định nào sau đây sai? A IJCD là hình thang.
B (SAB) ∩ (IBC) = IB .
C (IAC) ∩ (JBD) = AO (O là tâm ABCD). D (SBD) ∩ (JCD) = J.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao A
tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là
A AH (H là hình chiếu của B trên CD).
B AM (M là trung điểm của AB). B D
C AK (K là hình chiếu của C trên BD). G
D AN (N là trung điểm của CD). C Đường
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD ∥ BC). S
Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) Con là A D
A SJ (J là giao điểm của AM và BD). Có M
B SI (I là giao điểm của AC và BM). Đó B C
C SO (O là giao điểm của AC và BD). Ở
D SP (P là giao điểm của AB và CD). Chí
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB ∥ CD). Khẳng định nào sau đây Ý sai?
A Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên. Có
B Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD . Đâu
D Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC). Nơi
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi S
M, N lần lượt là trung điểm AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là
A SG (G là trung điểm AB). M A D B SD.
C SO (O là tâm hình bình hành ABCD). B N C
D SF (F là trung điểm CD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 15 16 Trang
1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 15. Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD. A
Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC. Khi EF và BC cắt E
nhau tại I thì I không phải là điểm chung của hai mặt phẳng nào sau đây? A (BCD) và (ABC). B (BCD) và (ABD). B D F C (BCD) và (AEF). D (BCD) và (DEF). C
Câu 16. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM
không song song với AB, LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB, BC, SC lần
lượt tại K, I, J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A M, K, J . B N, I, J. C K, I, J. D M, I, J.
Câu 17. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN
cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? Hải A I, B, D. B I, A,C. C I,C, D . D I, A, B.
Câu 18. Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD Hùng
lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM) là
A Tam giác HKL với L = KM ∩ BD. Phạm
B Hình thang HKMN với N ∈ AD và HK ∥ MN.
C Tam giác HKL với L = HM ∩ AD. Ths:
D Tứ giác HKMN với N ∈ AD. Gv
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm ở trên
đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?
A J là trung điểm của AM. B AM = (ACD) ∩ (ABG).
C A, J, M thẳng hàng. D DJ = (ACD) ∩ (BDJ).
Câu 20. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác
BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là
A Giao điểm của đường thẳng EG và CD.
B Giao điểm của đường thẳng EG và AC.
C Giao điểm của đường thẳng EG và AF. D Điểm F.
Câu 21. Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O và một điểm S không thuộc mặt phẳng
(ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C. Giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM) là
A Giao điểm của SD và BK (với K = SO ∩ AM).
B Giao điểm của SD và AB.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 16 17 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
C Giao điểm của SD và MK (với K = SO ∩ AM).
D Giao điểm của SD và AM.
Câu 22. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
AC, BC, P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 3 a2 11 a2 2 a2 11 A . B . C . D . 4 2 4 4
Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD)
cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là √ √ √ √ a2 2 a2 2 a2 3 a2 3 A . B . C . D . 4 6 2 4
Câu 24. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF
cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy? Đường A CD, EF, EG. B AC, IG, BD. C CD, IG, HF. D AB, IG, HF. Con
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. S Có
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SA. Mặt phẳng Đó
(MNP) cắt hình chóp theo thiết diện là hình P Ở A Tam giác. B Lục giác. C Ngũ giác. D Tứ giác. D A Chí N B M C Ý —HẾT— Có
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI Bài 2 Đâu
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Nơi A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 17 18 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a a I b b P P a song song với b a cắt b tại giao điểm I b a a b P P a trùng b a và b chéo nhau
Cho hai đường thẳng a và b phân biệt. Hải
• Khi kiểm tra hai đường thẳng a và b song song hay cắt nhau thì trước tiên chúng phải đồng
phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng nào đó) Hùng
• Khi a và b không đồng phẳng (không có mặt phẳng nào chứa được a và b) thì ta nói a và b chéo nhau. Phạm
2. Các định lý quan trọng Ths: d Định lí 2.1. Gv
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho M d0
trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã d cho.
d Định lí 2.2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì
ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 18 19 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU c c β β α α b b a a γ γ c Hệ quả 2.1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Đường Con β β β Có α d α d α d d00 d00 Đó d0 d0 d00 d0 Ở Chí Ý d Định lí 2.3. Có
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau Đâu c β α Nơi b a γ
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 19 20 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 2.5. Chứng minh hai đường thẳng song song Ví dụ 1
d Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng IJ ∥ CD. Ví dụ 2
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
Chứng minh MPNQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn. Hải
p Dạng 2.6. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau Hùng Ví dụ 1 AM AN Phạm
d Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lần lượt lấy M, N sao cho = . Tìm giao tuyến của hai AB AC mặt phẳng (DBC) và (DMN). Ths: Ví dụ 2 Gv
d Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BD; G là trong tâm tam giác
ABC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (MNG). Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA. Điểm E, F
lần lượt là trung điểm của AB và BC. a) Tìm (SAB) ∩ (SCD). b) Tìm (MBC) ∩ (SAD). c) Tìm (MEF) ∩ (SAC). d) Tìm AD ∩ (MEF). e) Tìm SD ∩ (MEF).
f) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MEF).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 20 21 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD. Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD, AB cắt CD tại điểm K.
Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD.
a) Tìm d = (SAD) ∩ (SBC) và N = KM ∩ (SBC).
b) Chứng minh rằng AM, BN và d đồng qui.
p Dạng 2.7. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một
đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. Ví dụ 1 Đường
d Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng nhau và bằng 6a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC
và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. Con
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang Có cân. Đó
b) Tính diện tích thiết diện theo a. Ở Chí Ví dụ 2 Ý
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J Có
lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC; G là trọng tâm của tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG). Đâu
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IN ∥ (ABC) và hình chóp là một hình bình Nơi hành. Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N theo thứ tự là
trọng tâm của các tam giác SCD và SAB.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (ABM) và (SCD); (SMN) và (ABC). b) Chứng minh MN ∥ (ABC).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 21 22 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
c) Gọi d là giao tuyến của (SCD) và (ABM); I, J lần lượt là các giao điểm của d với SD, SC. Chứng minh IN ∥ (ABC).
d) Tìm các giao điểm P, Q của MC với (SAB), AN với (SCD). Chứng minh S, P, Q thẳng hàng. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA, SD. Chứng minh a) MN ∥ AD và MN ∥ BC; b) MO ∥ SC và NO ∥ SB. Hải
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, AD. Gọi I, J, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD và AOD. Chứng minh Hùng a) IJ ∥ MN; b) IJ ∥ BD và GJ ∥ SO. Phạm
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và I là một điểm trên cạnh SO. Ths: Gv
a) Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA, SB. Chứng minh EF ∥ AB;
b) Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh SK ∥ BC.
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA và SB. a) Chứng minh EF ∥ CD. b) Tìm I = AF ∩ (SCD). c) Chứng minh SI ∥ AB ∥ CD.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA, SB. Gọi P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của a) (SBC) và (SAD); b) (SAB) và (SCD); c) (MNP) và (ABCD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 22 23 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 6. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một
điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau a) (SAC) và (EFC); b) (SAC) và (EFG).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh SA sao
cho SM = 2MA, N là trung điểm của AD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (MBC).
b) Tìm giao điểm I của SB và (CMN), giao điểm J của SA và (ICD). SE
c) Chứng minh ba đường thẳng ID, JC, SO đồng quy tại E. Tính tỉ số . SO Đường
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi
M, N, P lần lượt thuộc các đoạn SA, AD, BC sao cho MA = 2MS, NA = 2ND, PC = 2PB. Con Có
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD). Đó
b) Xác định giao điểm Q của SB với (MNP). Ở
c) Gọi K là trung điểm của SD. Chứng minh CK = (MQK) ∩ (SCD). Chí Ý
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC. Có
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?
b) Giả sử I = AN ∩ BM. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy trên cạnh Đâu SC. Nơi
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABD, N là trung điểm SG. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABN) và (SCD).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các đoạn thẳng SA, AC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho BP = 3AP.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).
b) Gọi E, F là hai điểm nằm trong hai tam giác SAD và SBC. Tìm giao điểm của đường thẳng EF với mặt phẳng (MNP).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 23 24 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh BC và BD; E là một điểm
thuộc cạnh AD ( E khác A và D ).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJE).
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình thoi. D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hai đường thẳng không có điểm chung thì A chéo nhau. B song song. C cắt nhau.
D chéo nhau hoặc song song. Hải
Câu 2. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì A chéo nhau. B có điểm chung. Hùng
C cắt nhau hoặc chéo nhau.
D không có điểm chung.
Câu 3. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Đường thẳng a nằm trên (P) và
đường thẳng b nằm trên (Q). Mệnh đề nào dưới đây đúng? Phạm
A Nếu a cắt (Q) tại điểm I thì I phải nằm trên d. Ths:
B Nếu b cắt (P) thì b phải trùng với d.
C Nếu a và b có điểm chung thì a trùng với b. Gv
D Nếu b cắt (P) thì b phải trùng với a.
Câu 4. Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều chéo với a.
B Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều cắt a.
C Mọi đường thẳng nằm trong (P) hoặc chéo với a, hoặc cắt a.
D Mọi đường thẳng nằm trong (P) đều không cắt a.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 24 25 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N là hai điểm phân biệt nằm trên A
đường thẳng AB, M0 và N0 là hai điểm phân biệt nằm trên đường thẳng CD.
Các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? B
A Hai đường thẳng MM0 và NN0 có thể cắt nhau. D
B Hai đường thẳng MM0 và NN0 có thể song song với nhau.
C Hai đường thẳng MM0 và NN0 hoặc cắt nhau hoặc song song với nhau. C
D Hai đường thẳng MM0 và NN0 chéo nhau.
Câu 6. Cho tứ diện ABCD, lấy M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB. Khi đó, xác định vị trí tương
đối giữa hai đường thẳng BC và MN. A Chéo nhau.
B Có hai điểm chung. C Song song. D Cắt nhau.
Câu 7. Cho tứ diện MNPQ. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng? Đường A MN ∥ PQ. B MN cắt PQ.
C MN và PQ đồng phẳng. D MN và PQ chéo nhau. Con
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM = Có
3MC, N là giao điểm của SD và (MAB). Khi đó tứ giác ABMN là hình gì? Đó
A Tứ giác không có cặp cạnh nào song song. B Hình vuông. Ở C Hình thang. D Hình bình hành. Chí
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB ∥ CD. Gọi d là giao tuyến của hai mặt Ý
phẳng (ASB) và (SCD). Khẳng định nào sau đây là đúng? A d ∥ AB. B d cắt AB. C d cắt AD. D d cắt CD. Có
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi G, E lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SCD. Lấy M, N Đâu
lần lượt là trung điểm AB, BC . Khi đó ta có:
A GE và MN trùng nhau. B GE và MN chéo nhau. Nơi
C GE và MN song song với nhau. D GE cắt BC.
Câu 11. Cho tứ diện ABCD có P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A
BCD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ABQ) và mặt phẳng (CDP).
A Giao tuyến là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và CD. B
B Giao tuyến là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB và AD. D
C Giao tuyến là đường thẳng PQ.
D Giao tuyến là đường thẳng QA. C
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 25 26 Trang
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Câu 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam
giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A qua J và song song với BD.
B qua G và song song với BC.
C qua I và song song với AB.
D qua G và song song với CD.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi (ACI) lần lượt
là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là
A đường thẳng qua S và song song với AB.
B đường thẳng qua G và song song với DC. C SC.
D đường thẳng qua G và cắt BC.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm
SA, SB, SC, SD. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ? A DC. B AB. C AD. D EF.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt Hải
phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A d qua S và song song với DC.
B d qua S và song song với BD.
C d qua S và song song với BC.
D d qua S và song song với AB. Hùng
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB. P, Q là hai
điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ. Phạm A MP ∥ NQ. B MP cắt NQ. C MP ≡ NQ. D MP, NQ chéo nhau. Ths:
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện
của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là Gv A Tứ giác IBCD.
B Hình thang IBCJ (J là trung điểm SD).
C Hình thang IGBC (G là trung điểm SB). D Tam giác IBC.
Câu 18. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mặt phẳng (α) qua MN cắt tứ
diện ABCD theo thiết diện là đa giác T. Khẳng định nào sau đây đúng?
A T là hình chữ nhật. B T là hình thoi.
C T là tam giác hoặc hình thang hoặc hình bình hành. D T là tam giác.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND) . Gọi I là giao điểm của AN và
DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì? A Hình bình hành. B Hình thoi. C Hình vuông. D Hình chữ nhật.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 26 27 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 20. Cho hai hình vuông ABCD và CDIS không thuộc một mặt phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam
giác SAC cân tại S, SB = 8. Thiết diện của mặt phẳng (ACI) và hình chóp S.ABCD có diện tích bằng √ √ √ √ A 8 2. B 6 2. C 9 2. D 10 2. —HẾT—
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT Bài 3 PHẲNG A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba Đường trường hợp sau:
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là: a ∩ (P) = ∅ ⇔ a ∥ (P). Con
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là: a ∩ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại Có A. Đó
• Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là: a ∩ (P) = {A, B} ⇔ a ⊂ (P). Ở a Chí a Ý A A a B P P P Có a ∩ (P) = ∅ ⇔ a ∥ (P).
a ∩ (P) = {A} ⇔ a cắt (P).
a ∩ (P) = {A, B} ⇔ a ⊂ (P). Đâu
2. Các định lý, hệ quả Nơi a d P
d Định lí 3.1. Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường
thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).
Tức là, a 6⊂ (P) thì nếu: a ∥ d ⊂ (P) ⇒ a ∥ (P).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 27 28 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG β a b α
d Định lí 3.2. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và
cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a. d0 d β Hải α
c Hệ quả 3.1. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến Hùng
của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Phạm b M b0 Ths: a α Gv
d Định lí 3.3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng
này và song song với đường thẳng kia. B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 3.8. Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
Ta cần chứng tỏ các ý sau: • a không nằm trên (P);
• a song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Suy ra a ∥ (P).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 28 29 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG  a 6⊂ (P)     hay a ∥ b ⇒ a ∥ (P)     b ⊂ (P)
Chú ý: Việc chứng minh a ∥ b, ta thường đi đến việc xét các yếu tố song song đã biết trong hình học phẳng như
¬ Cặp cạnh đối của hình bình hành; A M N
­ Đường trung bình trong tam giác; AM AN ® Tỉ lệ = ⇒ MN ∥ BC (hình bên). B C AB AC Đường Ví dụ 1 Con d Có
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các A
tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với Đó
các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Ở M Chí D Ý N Q Có C Đâu Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của Nơi các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE). Ví dụ 3 d
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 29 30 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là S
hình chữ nhật. Gọi G là trọng tâm tam giác
SAD và E là điểm trên cạnh DC sao cho
DC = 3DE, I là trung điểm AD. a) Chứng minh OI G ∥ (SAB) và OI ∥ (SCD). A B
b) Tìm giao điểm P của IE và (SBC). I O Chứng minh GE ∥ (SBC). D E C
p Dạng 3.9. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau Hải
L Các phương pháp đã học ở hai bài trước
¬ Tìm hai điểm chung phân biệt. Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung Hùng đó.
­ Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng Phạm
(nếu có) cũng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Ths:
L Ta xét thêm một trong hai cách sau: Gv
¬ Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và cắt (α)
theo giao tuyến b thì b song song với a.  a  ∥ (α )    hay a ⊂ (β ) ⇒ (P) ∩ (β ) = Mx ∥ a     M ∈ (α ) ∩ (β )
­ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.  a  ∥ (α )    hay a ∥ (β )
⇒ (α) ∩ (β ) = Mx ∥ a .     M ∈ (α ) ∩ (β )
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 30 31 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Ví dụ 1 d
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm 4ABC, M ∈ CD với MC = A 2MD. a) Chứng minh MG ∥ (ABD). G B D b) Tìm (ABD) ∩ (BGM). M C Ví dụ 2 d Đường
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi S Con
I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Có
a) Tìm giao tuyến của (SIK) và (SAC), (SIK) và (SBD). D Đó
b) Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh SD ∥ (ACM). A Ở MF
c) Tìm giao điểm F của DM và (SIK). Tính tỉ số . MD B C Chí Ý
p Dạng 3.10. Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng Có
song song với một đường thẳng cho trước Đâu Ví dụ 1 Nơi d
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AC. Mặt S
phẳng (P) đi qua điểm M, song song với BI và SC. Xác định trên hình
vẽ các giao điểm của (P) với các cạnh AC, SA, SB. Từ đó suy ra thiết I
diện của (P) cắt hình chóp. A C M B
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 31 32 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Ví dụ 2 d
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N thuộc cạnh AB, CD. Gọi S
(α) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.
a) Tìm thiết diện của (α) với hình chóp. A D
b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. N M C B Ví dụ 3 d Hải
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, S
O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Hùng M a) Chứng minh OM ∥ (SCD). A D Phạm
b) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua M, đồng thời O
song song với SC và AD. Tìm thiết diện của B Ths: C
mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD. Gv C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA, SD. Chứng minh rằng: a) BC ∥ (SAD). b) AD ∥ (SBC). c) MN ∥ (ABCD). d) MN ∥ (SBC). e) MO ∥ (SCD). f) NO ∥ (SBC).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
a) Chứng minh MN ∥ (SBC) và MN ∥ (SAD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 32 33 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB ∥ (MNP) và SC ∥ (MNP).
c) Gọi G, I là trọng tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh GI ∥ (MNP).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, I là trung điểm của SA, G là trọng tâm của tam giác SBC và E là một điểm
trên cạnh SD sao cho 3SE = 2SD. Chứng minh: a) DI ∥ (SBC). b) GO ∥ (SCD). c) SB ∥ (ACE).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của các SI SJ 2
cạnh AB, AD. Gọi I, J thuộc SM, SN sao cho = = . Chứng minh SM SN 3 Đường a) MN ∥ (SBD). b) IJ ∥ (SBD). c) SC ∥ (IJO). Con
Bài 5. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC sao cho
BI = 2IC. Chứng minh IG ∥ (ACD). Có Đó
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và P lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và ABC. Chứng Ở
minh rằng GP ∥ (BCD), GP ∥ (ABD). Chí
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, M là một điểm trên đoạn Ý
IJ. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD. Có
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) và (ICD). Đâu
b) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện là hình gì? Nơi
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi K và J lần lượt là
trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. a) Chứng minh KJ ∥ (SAB).
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa KJ và song song với AD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng
minh rằng G1G2 ∥ (ABC) và G1G2 ∥ (ABD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 33 34 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của 4SAB, I
là trung điểm AB, lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh NG ∥ (SCD). c) Chứng minh MG ∥ (SCD).
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC. Gọi O
là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. a) Chứng minh OG ∥ (SBC).
b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh CM ∥ (SAB). Hải
c) Gọi I là điểm trên cạnh SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA ∥ (BDI). Hùng
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SB. Phạm a) Chứng minh BD ∥ (MNP). Ths:
b) Tìm giao điểm của (MNP) với BC. Gv
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).
d) Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP).
Bài 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho MC = 2MB. Gọi N, P lần lượt trung điểm của BD và AD. a) Chứng minh NP ∥ (ABC). QA
b) Tìm giao điểm Q của AC với (MNP) và tính
. Suy ra thiết diện của hình chóp bị cắt bởi QC (MNP).
c) Chứng minh MG ∥ (ABD), với G là trọng tâm của tam giác ACD.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 34 35 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
b) Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E, (E 6= S, E 6= A), cắt SD tại
F, (F 6= S, F 6= D). Tứ giác BEFC là hình gì?
c) Gọi M thuộc đoạn AD sao cho AD = 3AM và G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung
điểm AB. Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tại N. Chứng minh NG ∥ (SCD) và MG ∥ (SCD).
Bài 15. Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên cạnh AB sau cho AM = 2MB. Gọi G là trọng tâm
4BCD và I là trung điểm CD, H là điểm đối xứng của G qua I. Đường a) Chứng minh GD ∥ (MCH). Con GK
b) Tìm giao điểm K của MG với (ACD). Tính tỉ số . GM Có
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm Đó
4SAB, trên AD lấy điểm E sao cho AD = 3AE. Gọi M là trung điểm AB. Ở a) Chứng minh EG ∥ (SCD). Chí Ý
b) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC tại F. Chứng minh GF ∥ (SCD). Có
c) Gọi I là điểm thuộc cạnh CD sao cho CI = 2ID. Chứng minh GO ∥ (SAI). Đâu
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC và
N là trọng tâm tam giác ABC. Nơi a) Chứng minh SB ∥ (AMN).
b) Tìm giao tuyến (AMN) và (SAB). IS
c) Tìm giao điểm I của SD với (AMN). Tính tỉ số . ID
d) Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh QC ∥ (AMN).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 35 36 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của (SMD) và (SAB).
b) Tìm giao tuyến của (SMN) và (SBD).
c) Gọi H là điểm trên cạnh SA sao cho HA = 2HS. Tìm giao điểm K của MH và (SBD). Tính KH tỉ số . KM
d) Gọi G là giao điểm của BN và DM. Chứng minh HG ∥ (SBC).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi
O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. Hải a) Chứng minh OG ∥ (SBC).
b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Chứng minh CM ∥ (SAB). Hùng
c) Giả sử điểm I trên đoạn SC sao cho 2SC = 3SI. Chứng minh SA ∥ (BID). KB
d) Xác định giao điểm K của BG và mặt phẳng (SAC). Tính tỉ số . Phạm KG Ths:
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC Gọi M, P, I lần lượt là trung điểm của AB, SC, SB. Một mặt phẳng
(α) qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA, BC tại N, Q. Gv a) Chứng minh BC ∥ (IMP).
b) Xác định thiết diện của (α) với hình chóp. Thiết diện này là hình gì?
c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ).
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Gọi M, N, I, lần lượt
là trung điểm của AD, BC, SA.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB).
b) Tìm giao điểm của SB và (IMN).
c) Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 36 37 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm AN 1
4SAB; N là một điểm thuộc đoạn AC sao cho =
; I là trung điểm của AB. AC 3
a) Chứng minh OI ∥ (SAD) và GN ∥ SD.
b) Gọi (α) là mặt phẳng đi qua O, song song với SA và BC. Mặt phẳng (α) cắt SB, SC lần lượt
tại L và K. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (α) với hình chóp.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, K lần lượt là
trung điểm các cạnh SA, SB và M là điểm thuộc cạnh CD, (M khác C và D).
a) Tìm giao tuyến của (KAM) và (SBC), (SBC) và (SAD).
b) Tìm thiết diện tạo bởi (HKO) với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì? Đường
c) Gọi L là trung điểm đoạn HK. Tìm I = OL ∩ (SBC). Chứng minh SI ∥ BC. Con
Bài 24. Cho tứ diện ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC và G là trọng tâm của tam Có giác ACD. Đó
a) Tìm giao điểm E của MG và (BCD). Ở
b) Tìm d = (MNG) ∩ (BCD). Giả sử d ∩CD = P. Chứng minh GP ∥ (ABC). Chí Ý
c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa MN và song song với AD. Tìm thiết diện của (α) với tứ diện. Có
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA thỏa
mãn 3MA = 2MS. Hai điểm E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC. Đâu
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MEF) và (SAC). Nơi KS
b) Xác định giao điểm K của mặt phẳng (MEF) với cạnh SD. Tính tỉ số . KD IM
c) Tìm giao điểm I của MF với (SBD). Tính tỉ số . IF
d) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MEF) với hình chóp S.ABCD.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SA, SD.
a) Xác định giao điểm của NC và (OMD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 37 38 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC,
(P) là mặt phẳng qua AM và song song với BD.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P).
b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (P) với cạnh SB và SD. Hãy tìm tỉ số diện tích của tam
giác SME với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF và diện tích tam giác SCD.
c) Gọi K là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh ba điểm K, EF
A, J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số . KJ Hải
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm 4ABC. Gọi M, N, P, Q, R, H lần lượt là trung
điểm của SA, SC, CB, BA, QN, AG. Hùng
a) Chứng minh rằng S, R, G thẳng hàng và SG = 2MH = 4RG.
b) Gọi G0 là trọng tâm 4SBC. Chứng minh rằng GG0 ∥ (SAB) và GG0 ∥ (SAC). Phạm D. Ths:
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( Gv
α ). Giả sử a ∥ b, b ∥ (α). Khi đó A a ∥ (α). B a ⊂ (α).
C a ∥ (α) hoặc a ⊂ (α). D a cắt (α).
Câu 2. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Giả sử b 6⊂ (α). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu b ∥ (α) thì b ∥ a.
B Nếu b ∥ a thì b ∥ (α).
C Nếu b cắt (α) và (β ) chứa b thì giao tuyến của (α) và (β ) là đường thẳng cắt cả a và b. .
D Nếu b cắt (α) thì b cắt a.
Câu 3. Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau? A Vô số. B 1. C 2. D 3.
Câu 4. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và (P)? A 3. B 1. C 2. D 4.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 38 39 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Câu 5. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ (α),b ⊂ (α). Khi đó A a ∥ b. B a, b chéo nhau. C a, b cắt nhau.
D a ∥ b hoặc a, b chéo nhau.
Câu 6. Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau a, b, c. Gọi (P) là mặt phẳng qua a, (Q) là mặt phẳng
qua b sao cho giao tuyến của (P) và (Q) song song với c. Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn yêu cầu trên?
A Vô số mặt phẳng (P) và (Q).
B Một mặt phẳng (Q), vô số mặt phẳng (P).
C Một mặt phẳng (P), vô số mặt phẳng (Q).
D Một mặt phẳng (P), một mặt phẳng (Q).
Câu 7. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khẳng định nào sau đây sai?
A Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b.
B Có vô số đường thẳng song song với a và cắt b.
C Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b. Đường
D Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước). Con
Câu 8. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ (α) và b ∥ (α). Mệnh đề nào sau đây đúng? Có
A a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. Đó B a và b chéo nhau. Ở
C a và b hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.
D a và b không có điểm chung. Chí Ý
Câu 9. Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Các khẳng định A, B, C đều sai. Có
B Nếu (P) cắt a thì (P) cũng cắt b. Đâu
C Nếu (P) song song với a thì (P) cũng song song với b.
D Nếu (P) chứa a thì (P) cũng chứa b. Nơi
Câu 10. Cho d ∥ (α), mặt phẳng (β ) qua d cắt (α) theo giao tuyến d0. Khi đó A d cắt d0. B d ∥ d0. C d và d0 chéo nhau. D d ≡ d0.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA, SB sao SM SN 1 cho = =
. Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là SA SB 3
A MN và mp (ABCD) chéo nhau.
B MNsong song mp (ABCD).
C MN nằm trên mp (ABCD). D MNcắt mp (ABCD).
Câu 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, Q thuộc cạnh AB sao cho AQ =
2QB, P là trung điểm của AB, M là trung điểm của BD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A Q thuộc mặt phẳng (CDP). B QG cắt (BCD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 39 40 Trang
3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG C MP ∥ (BCD). D GQ ∥ (BCD).
Câu 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng? A MN ∥ mp (SAB). B MN ∥ mp (SBC). C MN ∥ mp (ABCD). D MN ∥ mp (SCD).
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC, (α) là mặt phẳng đi qua H
song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của (α) với tứ diện?
A Thiết diện là hình bình hành.
B Thiết diện là hình chữ nhật.
C Thiết diện là hình vuông.
D Thiết diện là hình thang cân.
Câu 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = 2ID và JB = 2JC. Gọi
(P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là A Hình tam giác. B Hình bình hành. C Hình thang. D Tam giác đều.
Câu 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB,CD, AD, BC. Hải
Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng? A M, N, P, Q. B P, Q, R, S. C M, P, R, S. D M, R, S, N. Hùng
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA
(không trùng với S hoặc A). (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp là Phạm A Hình thang. B Hình tam giác. C Hình chữ nhật. D Hình bình hành. Ths:
Câu 18. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O, O1 Gv
lần lượt là tâm của ABCD, ABEF. M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai? A OO1 ∥ (BEC). B OO1 ∥ (EFM). C MO1 cắt (BEC). D OO1 ∥ (AFD).
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. M, N lần lượt là hai trung
điểm của AB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là A Hình chữ nhật. B Hình vuông. C Hình thang. D Hình bình hành. SM 2
Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho = . SA 3
Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là 16 4 20 400 A . B . C . D . 9 9 3 9 —HẾT—
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 40 41 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Bài 4
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG A.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Các khả năng có thể xảy ra: ¬ (P) và (Q) trùng nhau.
­ (P) và (Q) có một điểm chung. Khi đó chúng sẽ có điểm chung khác nữa. Tập hợp tất cả các
điểm chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Hình 1).
® (P) và (Q) không có điểm chung. Khi đó ta nói (P) song song (Q) (Hình 2). Đường
– Kí hiệu (P) ∥ (Q); Con
– Khi (P) ∥ (Q) và a ⊂ (P) thì a ∥ (Q). Có Q Đó P Ở P Chí Ý Q Hình 1. Hình 2. Có
(P), (Q) có 1 điểm chung: (P) ∩ (Q) = a
(P), (Q) không có điểm chung: (P) ∥ (Q) Đâu 2. Các định lí Nơi M a b
d Định lí 4.1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt α
nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β ) thì (α) song song với ( β β ).
• Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt
nhau thuộc mặt phẳng này lần lượt song song với mặt phẳng kia.
• Muốn chứng minh đường thẳng a ∥ (Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 41 42 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (P) và (P) ∥ (Q). A
d Định lí 4.2. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho α
trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. β a b
d Định lí 4.3. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt A A0
phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao α tuyến song song với nhau. B B0 β Hải d A0
Định lí 4.4. Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song A Hùng α
chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. B B0 β Phạm C C0 γ Ths: Gv
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 42 43 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
3. Hình lăng trụ và hình hộp
L Định nghĩa: Cho hai mặt phẳng ( 0 α ) ∥ (α ). Trong (α) cho
đa giác lồi A1A2 . . . An. Qua các điểm A1, A2, . . . , An ta dựng A05
các đường song song với nhau và cắt ( 0 A0
α ) tại A0 , A0 , . . . , A0 4 1 2 n. A0 A0 1 2
Hình tạo thành bởi hai đa giác A1A2 . . . An, A0 A0 . . . A0 0 1 2 n α A03
cùng với các hình bình hành A1A2A0 A0 , A A0 , . . . , 2 1 2A3A03 2 AnA1A0 A0
1 n được gọi là hình lăng trụ và được ký hiệu bởi A1A2 . . . An.A0 A0 . . . A0 1 2 n. A5
• Hai đa giác A1A2 . . . An, A0 A0 . . . A0 1 2
n được gọi là hai mặt A4
đáy (bằng nhau) của hình lăng trụ. A1 α A A 2 3 Đường
• Các đoạn thẳng A1A0 , A ,. . . , A 1 2A02
nA0n gọi là các cạnh
bên của hình lăng trụ. Con
• Các hình bình hành A1A2A0 A0 , A A0 ,. . . , 2 1 2A3A03 2 Có AnA1A0 A0
1 n gọi là các mặt bên của hình lăng trụ. Đó
• Các đỉnh của hai đa giác đáy gọi là các đỉnh của hình Ở lăng trụ. Chí L Tính chất: Ý
• Các cạnh bên của hình lăng trụ thì song song và bằng nhau. Có
• Các mặt bên của hình lăng trụ đều là hình bình hành.
• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau. Đâu
• Người ta gọi tên hình lăng trụ theo đáy của nó như sau: Nơi Lăng trụ tứ giác Hình hộp Lăng trụ tam giác Lăng trụ ngũ giác
• Hình lăng trụ có đáy là tam giác gọi là hình lăng trụ tam giác.
• Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 43 44 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 4. Hình chóp cụt L Định nghĩa:
Cho hình chóp S.A1A2 . . . An. Một mặt phẳng (P) song song với mặt đáy của hình chóp và không đi
qua đỉnh lần lượt cắt các cạnh SA1, SA2, . . . , SAn tại A0 , A0 , . . . , A0 1 2
n. Hình tạo thành bởi hai đa giác A0 A0 . . . A0 A0 , A A0 ,. . . , A A0 1 2
n, A1A2 . . . An và các tứ giác A1A2A02 1 2A3A03 2
nA1A01 n gọi là hình chóp cụt.
• Đáy A1A2 . . . An của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt.
• Thiết diện A0 A0 . . . A0 1 2
n của hình chóp và (P) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
• Ta gọi tên hình chóp cụt theo đa giác đáy của nó (chóp cụt tam giác, tứ giác,. . . ). S A0 Hải 5 A04 A01 P A0 A0 2 3 Hùng A5 A4 A1 Phạm A A 3 2 Ths: Gv L Tính chất:
• Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương tứng bằng nhau.
• Các mặt bên là hình thang.
• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại 1 điểm.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 44 45 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG B.
PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
p Dạng 4.11. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh: • Phương pháp 1.
Trên mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau
cùng song song với mặt phẳng còn lại. b a  α  a ⊂ (α), b ⊂ (α)     a ∩ b = M ⇒ (α) ∥ (β ). β      a ∥ (β ), b ∥ (β ) Đường • Phương pháp 2. Con
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng Có thứ 3. α  Đó  (α ) 6= (β ) β Ở ⇒ (α) ∥ (β ). 
(α ) ∥ (γ ), (β ) ∥ (γ ) γ Chí Ý Có Ví dụ 1 Đâu
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N lần lượt là trung Nơi
điểm của SA, SD. Chứng minh (OMN) ∥ (SBC). Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A0, B0, C0, D0 lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng (A0C0D0) ∥ (ABCD).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 45 46 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Ví dụ 3
d Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang mà AD ∥ BC và AD = 2BC. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và AD. Chứng minh: (BMN) ∥ (SCD). Ví dụ 4
d Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Gọi I, J, K
lần lượt là trung điểm AB, CD, EF. Chứng minh a) (ADF) ∥ (BCE). b) (DIK) ∥ (JBE). Ví dụ 5
d Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACC0,
A0B0C0. Chứng minh rằng (IJK) ∥ (BCC0B0) và (A0JK) ∥ (AIB0). Hải Ví dụ 6 Hùng
d Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo
AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M, N lần lượt cắt AD và AF tại M0 và N0. Phạm
a) Chứng minh rằng (ADF) ∥ (BCE). Ths:
b) Chứng minh rằng (CDF) ∥ (MM0N0N). Gv
p Dạng 4.12. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chưng minh a song song (P), ta thường sử dụng một trong hai cách sau
L Cách 1. (Đã xét ở bài học trước) Ta cần chứng tỏ các ý sau: • a không nằm trên (P);
• a song song với một đường thẳng b nằm trong (P). Suy ra a ∥ (P).  a 6⊂ (P)     hay a ∥ b ⇒ a ∥ (P)     b ⊂ (P)
L Cách 2. Ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) và (Q) ∥ (P) thì a ∥ (P).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 46 47 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Ví dụ 1
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng G2G3. Chứng minh G1M ∥ (SBC). Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (OMN) và (SBC) song song với nhau.
b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh Đường IJ song song với (SAB).
c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân tại A. Gọi AE và AF lần lượt là các đường phân giác Con
trong của tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF song song với (SAD). Có
p Dạng 4.13. Giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β ) Đó
biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ). Thiết diện. Ở  (  α ) ∥ (β )  Chí   Ý Sử dụng tính chất (γ) ∩ (α) = a ⇒ a ∥ b     (γ ) ∩ (β ) = b Có Ví dụ 1 Đâu
d Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm H. Mặt phẳng (P) đi qua H và song Nơi
song với (SAB). Tìm giao tuyến của
a) Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABCD).
b) Mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC). Ví dụ 2
d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ trên AB. Gọi
(α) là măt phẳng qua M và song song với (SBC). Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của hình
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 47 48 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG chóp. Ví dụ 3
d Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD,
A0D0. Xác định giao tuyến của (MNP) và các mặt (A0B0C0D0), (AA0B0B). Ví dụ 4
d Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là
tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α). Hải
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. Hùng C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Phạm
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Ths:
Chứng minh hai mặt phẳng (MNO) và (SBC) song song. Gv
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm SA, SB, SD và K, I là trung điểm của BC, OM.
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SCD).
b) Chứng minh (PMN) ∥ (ABCD). c) Chứng minh KI ∥ (SCD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD
a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC).
b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB. Chứng minh PQ ∥ (SBC) và (ROM) ∥
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 48 49 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (SCD).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, E lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K. Mặt phẳng qua K song song với MNE
cắt SB, AD lần lượt tại P, Q. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (KPQ) và mặt phẳng (SAD).
Bài 5. Cho hình chóp SABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Trên đoạn SA lấy hai điểm M, N sao cho SM = MN = NA.
a) Chứng minh rằng GM ∥ (SBC).
b) Gọi D là điểm đối xứng với A qua G. Chứng minh rằng (MCD) ∥ (NBG).
c) Gọi H = DM ∩ (SBC). Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác SBC. Đường
Bài 6. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tìm thiết diện tạo bởi Con
mặt phẳng (P) song song với (AB0D0) và đi qua M và cắt hình hộp. Có
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, Đó ADB. Ở
a) Chứng minh (G1G2G3) ∥ (BCD). Chí Ý
b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng G1G2G3. Tính diện tích thiết diện theo diện Có tích tam giác BCD là S. Đâu D.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Nơi
Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Trong không gian hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
B Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
D Trong không gian hình biểu diễn của một góc thì phải là một góc bằng nó.
Câu 2. Xét các mệnh đề sau:
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 49 50 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
a) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với mọi đường thẳng trong (Q).
b) Nếu mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) cùng song song với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (R) song song với nhau.
c) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mọi đường thẳng trong (P) đều song song với
mọi đường thẳng trong (Q).
d) Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q)
thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Số mệnh đề đúng là A 2. B 1. C 3. D 4.
Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là sai? Hải
A (ABCD) ∥ (A0B0C0D0).
B (AA0D0D) ∥ (BCC0B0).
C (BDD0B0) ∥ (ACC0A0).
D (ABB0A0) ∥ (CDD0C0). Hùng
Câu 4. Cho điểm O nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên (P). Tập hợp các
trung điểm của đoạn thẳng OM là Phạm
A Một đoạn thẳng . B Một mặt phẳng.
C Một đường thẳng. D Một tam giác.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai? Ths:
A Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với Gv nhau.
B Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
C Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
D Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
Câu 6. Giả thiết nào dưới đây kết luận đường thẳng a song song với mặt phẳng (α)?
A a ∥ b và b ∥ (α).
B a ∥ (β ) và (β ) ∥ (α). C a ∩ (α) = ∅.
D a ∥ b và b ⊂ (α).
Câu 7. Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề sai là
A Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung.
B Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C Hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 50 51 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
D Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến song song với nhau.
Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó
nằm trong mặt phẳng đó.
B Nếu hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó phải đồng quy.
D Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
Câu 9. Cho đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q). Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường
A a ∥ b ⇒ (P) ∥ (Q).
B (P) ∥ (Q) ⇒ a ∥ b.
C (P) ∥ (Q) ⇒ a ∥ (Q) và b ∥ (P). D a và b chéo nhau. Con
Câu 10. Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) theo hai giao tuyến a và b. Mệnh Có
đề nào sau đây đúng? Đó
A a và b vuông góc nhau. B a và b song song. Ở C a và b cắt nhau. D a và b chéo nhau.
Câu 11. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0, AC ∩ BD = O, A0C0 ∩ B0D0 = O0. M, N, P lần lượt là Chí Ý
trung điểm của các cạnh AB, BC,CC0. Khi đó thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương là hình Có A Tam giác. B Từ giác. C Ngũ giác. D Lục giác. Đâu
Câu 12. Cho tứ diện đều SABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua
M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện SABC là Nơi A hình thoi.
B tam giác cân tại M. C tam giác đều. D hình bình hành.
Câu 13. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A (BA0C0). B (C0BD). C (BDA0). D (ACD0).
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA, SD. Mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng nào sau đây? A (SBC). B (SCD). C (ABCD). D (SAB).
Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mặt phẳng (AB0D0) song song với mặt phẳng nào sau đây? A (BDA0). B (A0C0C). C (BDC0). D (BCA0).
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 51 52 Trang
4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A0, B0, C0, D0 lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A A0B0 ∥ (SBD). B A0B0 ∥ (SAD). C (A0C0D0) ∥ (ABC). D A0C0 ∥ BD.
Câu 17. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A (BA0C0) ∥ (ACD0).
B (ADD0A0) ∥ (BCC0B0). C (BA0D) ∥ (CB0D0). D (ABA0) ∥ (CB0D0).
Câu 18. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 và điểm M nằm giữa hai điểm A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi
qua M và song song với mặt phẳng (AB0D0). Mặt phẳng (P) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì? A Hình ngũ giác. B Hình lục giác. C Hình tam giác. D Hình tứ giác.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD
để thiết diện thu được là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng 31 18 24 15 A . B . C . D . 7 7 7 7 Hải
Câu 20. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là tâm hình
vuông AA0D0D. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 tạo bởi mặt phẳng (CMN). Hùng √ √ √ a2 14 3a2 14 3a2 a2 14 A . B . C . D . 4 2 4 2
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. AB = 8, SA = SB = 6. (P) là Phạm
mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Thiết diện của hình chóp với (P) có diện tích bằng √ √ Ths: A 6 5. B 5 5. C 12. D 13. Gv
Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, AB//CD, AB = 2CD. M là điểm thuộc
cạnh AD, (α) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình 2 MA
chóp cắt bởi mặt phẳng (α) bằng
diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số x = . 3 MD 1 3 2 A x = . B x = 1. C x = . D x = . 2 2 3
Câu 23. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, điểm G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi
(P) là mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC). Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt
phẳng (P) và tứ diện ABCD. √ √ √ √ a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A S = . B S = . C S = . D S = . 12 4 9 6 —HẾT—
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 52 53 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI Bài 5 CHƯƠNG A. ĐỀ SỐ 1
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB ∥ CD). Khẳng định nào sau đây sai?
A Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên.
B Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD).
C Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC).
D Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD .
Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau? Đường
A IJ song song với CD.
B IJ song song với AB. C IJ chéo CD. D IJ cắt AB. Con
Câu 3. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối của a và Có (P)? Đó A 2. B 3. C 1. D 4. Ở
Câu 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khẳng định nào sau đây sai? Chí
A Có duy nhất một mặt phẳng song song với a và b. Ý
B Có duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b.
C Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm M, song song với a và b (với M là điểm cho trước). Có
D Có vô số đường thẳng song song với a và cắt b. Đâu
Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Hai mặt phẳng không cắt nhau thì song song. Nơi
B Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì cắt nhau.
C Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
D Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có vô số mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0. Gọi I, I0 lần lượt là trung điểm của AB, A0B0. Qua phép chiếu
song song phương AI0, mặt phẳng chiếu (A0B0C0) biến I thành? A A0. B B0. C C0. D I0.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 53 54 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là
A AM (M là trung điểm của AB).
B AN (N là trung điểm của CD).
C AH (H là hình chiếu của B trên CD).
D AK (K là hình chiếu của C trên BD).
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q, R, T lần lượt là trung
điểm AC, BD, BC,CD, SA, SD. Cặp đường thẳng nào sau đây song song với nhau? A MP và RT . B MQ và RT . C MN và RT . D PQ và RT .
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB. Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là A SC.
B đường thẳng qua S và song song với AB.
C đường thẳng qua G và song song với DC.
D đường thẳng qua G và cắt BC.
Câu 10. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (α). Giả sử a ∥ b,b ∥ (α). Khi đó Hải A a ∥ (α). B a ⊂ (α). C a cắt (α).
D a ∥ (α) hoặc a ⊂ (α). Hùng
Câu 11. Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Giả sử b 6⊂ (α). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Nếu b ∥ (α) thì b ∥ a.
B Nếu b cắt (α) thì b cắt a. Phạm
C Nếu b ∥ a thì b ∥ (α).
D Nếu b cắt (α) và (β ) chứa b thì giao tuyến của (α) và (β ) là đường thẳng cắt cả a và b. . Ths:
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I theo thứ tự là Gv
trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng? A (NOM) cắt (OPM). B (MON) ∥ (SBC). C (PON) ∩ (MNP) = NP. D (NMP) ∥ (SBD).
Câu 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD. Giao tuyến của hai
mặt phẳng (ABD) và (IKJ) là đường thẳng A KD. B KI.
C qua K và song song với AB. D Không có.
Câu 14. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0, qua phép chiếu song song phương CC0, mặt phẳng chiếu
(A0B0C0) biến M thành M0. Trong đó M là trung điểm của BC. Chọn mệnh đề đúng?
A M0 là trung điểm của A0B0.
B M0 là trung điểm của B0C0.
C M0 là trung điểm của A0C0.
D Cả ba đáp án trên đều sai.
Câu 15. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 54 55 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
A Nếu 3 điểm A, B, C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thì A, B, C thẳng hàng.
B Nếu A, B, C thẳng hàng và (P), (Q) có điểm chung là A thì B, C cũng là 2 điểm chung của (P) và (Q).
C Nếu 3 điểm A, B, C là điểm chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt thì A, B, C không thẳng hàng.
D Nếu A, B, C thẳng hàng và A, B là 2 điểm chung của (P) và (Q) phân biệt thì C cũng là điểm chung của (P) và (Q).
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC. Gọi O là
giao điểm của AC và BD. Biết Q là giao điểm của SD với mặt phẳng (MNP). Khẳng định nào sau đây đúng?
A SO, MP, NQ đồng quy.
B M, N, Q thẳng hàng.
C N, P, Q thẳng hàng.
D SO, SD, NQ đồng quy. Đường
Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SBC. Gọi ∆ là giao
tuyến giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AMN). Khẳng định nào sau đây là sai? Con A ∆ ∥ MN.
B ∆ đi qua hai điểm A và C. Có C ∆ cắt SB.
D Bốn điểm A, M, N, C đồng phẳng. Đó
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCA. Gọi QN Ở
(α) là mặt phẳng qua S và song song với (ABC). Biết Q là giao điểm giữa AN và (α). Tỉ số bằng QA 1 2 3 Chí A . B . C . D 3. 3 3 2 Ý
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E là trung điểm của BC và (α) Có
là mặt phẳng qua E đồng thời song song với BD và SC. Ký hiệu (T ) là thiết diện tạo bởi (α) và hình
chóp. Khẳng định nào sau đây là đúng? Đâu A (T ) là ngũ giác.
B (T ) là hình bình hành. C (T ) là tam giác. D (T ) là hình thoi. Nơi
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M di động trên cạnh BC và
(α) là mặt phẳng đi qua M đồng thời song song với các cạnh SB, CD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm
của SC, SD, AD với (α) và K là giao điểm của MN với PQ. Khi M di chuyển trên BC thì K chuyển động
trên một đường thẳng ∆ cố định. Khẳng định nào sau đây đúng? A ∆ ∥ NP. B ∆ ∥ PQ. C ∆ ∥ CD. D ∆ ∥ BC. —HẾT—
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 55 56 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG B. ĐỀ SỐ 2
Câu 1. Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất? A Ba điểm.
B Một điểm và một đường thẳng. C Bốn điểm.
D Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phăng thì song song với nhau.
B Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó song song với mặt phẳng còn lại.
C Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
D Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cắt mặt phẳng còn lại.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA, AC,
BD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Hải
A Ba đường thẳng MQ, RS, NP đôi một song song.
B Ba đường thẳng MP, NQ, RS đồng quy. Hùng
C Ba đường thẳng NQ, SP, RS đồng phẳng.
D Ba đường thẳng MN, RS, PQ đôi một cắt nhau. Phạm
Câu 4. Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng từ các điểm đó? Ths: A 6. B 2. C 3. D 4. Gv
Câu 5. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Giả sử AC ∩BD = O và AD∩BC =
I. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là A SO. B SC. C SI. D SD.
Câu 6. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD. Giả sử AC ∩BD = O và AD∩BC =
I. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là A SO. B SB. C SI. D SA.
Câu 7. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
các cạnh SA, SD, AB, ON. Khi đó điều khẳng định nào sau đây là sai? A (MON) ∥ (SBC). B (MOP) ∥ (SBC). C MN ∥ (ABCD). D (MON) ∥ (ABC).
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Có bao nhiêu cạnh của hình lập phương chéo nhau với
đường chéo AC0 của hình lập phương? A 2. B 3. C 6. D 4.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 56 57 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
Câu 9. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không thuộc cùng một mặt phẳng, có cạnh chung AB.
Kết quả nào sau đây đúng? A BC ∥ (AEF). B FD ∥ (BEF). C (CEF) ∥ (ABD). D (AFD) ∥ (BCE).
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Khẳng định nào sai? A (A0BD) ∥ (CB0D0). B (AB0D0) ∥ (A0BD). C B0D0 ∥ (BCD). D (DA0C0) ∥ (B0AC).
Câu 11. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau.
B Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể cắt nhau.
C Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể trùng nhau.
D Một đường thẳng có thể trùng với hình chiếu song song của nó.
Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Đường
A Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể trùng nhau.
B Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau thì cắt nhau. Con
C Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau.
D Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể cắt nhau, trùng nhau, song song với Có nhau. Đó
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc vào các cạnh AC, BC sao cho MN Ở
không song song với AB. Gọi Z là giao điểm của AN và (SBM). khẳng định nào sau đây đúng? Chí
A Z là giao điểm của AM và BN.
B Z là giao điểm của AN và BM. Ý
C Z là giao điểm của MN và AB.
D Z là giao điểm của SM và SN. Có
Câu 14. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AA0. Khẳng định nào đúng? Đâu
A Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (ABB0A0) là đường thẳng MA.
B Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (CDD0C0) là đường thẳng đi qua D song song với Nơi CD0.
C Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (BB0C0C) là đường thẳng đi qua B và giao điểm của hai đường DM và BC.
D Giao tuyến của mặt phẳng (DMN) và mặt phẳng (AB0C0D0) là đường thẳng đi qua N và giao của
hai đường thẳng A0B0 và MN.
Câu 15. Chọn khẳng định sai?
A Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì sẽ cắt mặt phẳng còn lại.
B Nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia.
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 57 58 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
C Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
D Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) đều phải cắt (Q)
và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SB, mặt phẳng (α) đi qua M và song song với
mặt phẳng (ABC) cắt SA, SC lần lượt tại N, P. Khẳng định nào đúng?
A Hai mặt phẳng (α) và (MNP) khác nhau . B MP cắt BC. C MN cắt AC. D MP ∥ BC.
Câu 17. Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD, qua A, B,C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng
a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trên (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn
điểm A0, B0,C0, D0. Chọn đáp án sai? A AA0 +CC0 = BB0 + DD0.
B CC0 + BB0 = AA0 + DD0. C AB + A0B0 = CD +C0D0.
D AD + A0D0 = BC + B0C0. Hải
Câu 18. Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của AB, M là một điểm di động trên đoạn AI. Gọi
(P) là mặt phẳng qua M và song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (P) và tứ diện S.ABC là? Hùng A Hình thoi.
B Tam giác cân tại M. C Tam giác đều. D Hình bình hành. Phạm
Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi M, M0 lần lượt là trung điểm của BC, B0C0. Khi
đó giao của AM0 với (A0BC) là Ths:
A Giao của AM0 và A0M.
B Giao của AM0 và BC. Gv
C Giao của AM0 và B0C0.
D Giao của AM0 và A0C.
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm
các đoạn SA, SD, AB, ON. Khẳng định nào sai? A (MON) ∥ (SBC). B (SAD) ∥ PQ. C (SBC) ∥ ON. D (SBC) ∥ PQ.
Câu 21. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AD,CC0 sao cho AM CN =
. Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng qua MN và song song với (ACB0) là? MD NC0 A Hình bình hành. B Ngũ giác. C Lục giác. D Hình thang.
Câu 22. Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB0,CC0. Đường thẳng IP
qua đi qua trọng tâm I của tam giác ABC cắt A0B và MN lần lượt tại P, Q. Khi đó tỷ số bằng? IQ 3 5 2 5 A . B . C . D . 5 2 5 3
Câu 23. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0. Đường thẳng AC0 cắt (DBA0) và (D0B0C) lần lượt tại H, K.
Khẳng định nào sai?
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 58 59 Trang
5. ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
A Các trung điểm của sáu cạnh BC,CD, DD0, D0A0, A0B0, B0B không thuộc cùng một mặt phẳng. B (BDA0) ∥ (B0D0C). C AH = HK = KC0.
D H, K lần lượt là trọng tâm của các tam BDA0 và B0D0C.
Câu 24. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a. Trên AB,CC0,C0D0, AA0 lần lượt lấy các điểm
M, N, P, Q sao cho AM = C0N = C0P = AQ = x(0 ≤ x ≤ a). Gọi R, S lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, A0D0. Mặt phẳng (MNP) luôn chứa một đường thẳng cố định là: A A0B. B RS.
C đi qua S song songg với A0C.
D đi qua R song song với AC0. IA JB
Câu 25. Cho tứ diện ABCD. GỌi I, J là hai điểm di động trên AD, BC sao cho luôn có = . Đường ID JC
thẳng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định nào? Đường
A Mặt phẳng đi qua AC và song song với BD.
B Mặt phẳng đi qua AB và song song với CD. Con
C Mặt phẳng đi qua AC và song song với AB.
D Mặt phẳng đi qua trung tuyến tam giác ABD và song song với AC. Có —HẾT— Đó Ở Chí Ý Có Đâu Nơi
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 59 60 Trang
6. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ Bài 6
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 1. A 2. D 3. B 4. D 5. A 6. D 7. A 8. D 9. A 10. C 11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. D 17. A 18. A 19. A 20. C 21. A 22. D 23. A 24. C 25. C
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 2 1. D 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. D 8. C 9. A 10. C 11. A 12. D 13. B 14. C 15. C 16. D 17. B 18. C 19. A 20. A
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 3 Hải 1. C 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. B 11. B 12. D 13. C 14. A 15. B 16. D 17. A 18. C 19. C 20. D Hùng
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 4 Phạm 1. A 2. B 3. C 4. B 5. D 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. B 13. B 14. A 15. C 16. C 17. D 18. B 19. C 20. A 21. A Ths: 22. A 23. C Gv
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1 1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. B 7. B 8. B 9. C 10. D 11. C 12. B 13. C 14. B 15. D 16. A 17. C 18. B 19. A 20. D
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 2 1. D 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A 7. D 8. C 9. D 10. B 11. A 12. C 13. B 14. B 15. C 16. D 17. B 18. B 19. A 20. B 21. C 22. C 23. A 24. B 25. B
Ô Th.S Phạm Hùng Hải - Lớp Toán Thầy Hải - ĐT: 0905.958.921 Trang 60
Document Outline

  • Bia Hinh Hoc Khong Gian New
  • 1H2-NC-V1-Hocsinh
    • ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
      • ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
        • KIẾN THỨC CẦN NHỚ
        • PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
        • 124 Dạng 1.1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
        • 124 Dạng 1.2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
        • 124 Dạng 1.3: Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
        • 124 Dạng 1.4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định.
        • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
        • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
        • KIẾN THỨC CẦN NHỚ
        • PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
        • 124 Dạng 2.5: Chứng minh hai đường thẳng song song
        • 124 Dạng 2.6: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
        • 124 Dạng 2.7: Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
        • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
        • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
        • KIẾN THỨC CẦN NHỚ
        • PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
        • 124 Dạng 3.8: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)
        • 124 Dạng 3.9: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau
        • 124 Dạng 3.10: Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với một đường thẳng cho trước
        • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
        • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
        • KIẾN THỨC CẦN NHỚ
        • PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
        • 124 Dạng 4.11: Chứng minh hai mặt phẳng song song
        • 124 Dạng 4.12: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
        • 124 Dạng 4.13: Giao tuyến của mặt phẳng () với mặt phẳng () biết () qua điểm A; song song với mặt phẳng (). Thiết diện.
        • BÀI TẬP TỰ LUYỆN
        • BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
      • ĐỀ TRẮC NGHIỆM ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG
        • Đề số 1
        • Đề số 2
      • ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ