Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục
Tài liệu gồm 58 trang bao gồm lý thuyết SGK, phân dạng toán và bài tập rèn luyện các chủ đề giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam GIỚI HẠN DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 . 1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số u có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho n
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim u 0 . n
Nói một cách ngắn gọn, lim u 0 nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng n n nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) limu 0 lim u 0 . n n
b) Dãy số không đổi u , với u 0 , có giới hạn là 0 . n n
c) Dãy số u có giới hạn là 0 nếu u có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. n n
2. Một số dãy số có giới hạn 0 Định lí 4.1
Cho hai dãy số u và v . n n
Nếu u v với mọi n và lim v 0 thì lim u 0 . n n n n Định lí 4.2
Nếu q 1 thì lim n q 0 .
Người ta chứng mình được rằng 1 a) lim 0 . n 1 b) lim 0 3 n 1 c) lim
0 với mọi số nguyên dương k cho trước. k n Trườ 1 ng hợp đặc biệt : lim 0 . n k n d) lim
0với mọi k * và mọi a 1cho trước. n a
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số u có giới hạn là số thực L nếu limu L . n 0 n
Kí hiệu: lim u L . n
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
a) Dãy số không đổi u với u c , có giới hạn là c . n n
b) lim u L khi và chỉ khi khoảng cách u L trên trục số thực từ điểm u đến L trở nên nhỏ n n n
bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm u “ n
chụm lại” quanh điểm L .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. Một số định lí Định lí 4.3
Giả sử lim u L . Khi đó n
a) lim u L và 3 3 lim u L . n n
b) Nếu u 0 với mọi n thì L 0 và lim u L . n n Định lí 4.4
Giả sử lim u L , lim v M và c là một hằng số. Khi đó n n
a) limu v L M .
b) limu v L M . n n n n
c) limu v LM .
D) limcu cL . n n n u L e) lim n (nếu M 0 ). v M n
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q 1 .
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: u 2 1
S u u q u q ... 1 1 1 1 q
III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.
1. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số u có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của n
dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim u . n
Nói một cách ngắn gọn, lim u nếu u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n n nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng: a) lim u . n b) 3 lim u n c) lim k
n với một số nguyên dương k cho trước.
Trường hợp đặc biệt : limn . d) lim n
q nếu q 1.
2. Dãy số có giới hạn
Ta nói rằng dãy số u có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy n
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: lim u . n
Nói một cách ngắn gọn, lim u nếu u có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng n n nào đó trở đi. Nhận xét:
a) limu lim u . n n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
b) Nếu lim u thì u trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó 1 1 trở n n u u n n 1
nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu lim u thì lim 0 . n un Định lí 4.5 1
Nếu lim u thì lim 0 . n un
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1
Nếu lim u và lim v thì limu v được cho trong bảng sau: n n n n lim u lim v limu v n n n n Quy tắc 2
Nếu lim u và lim v L 0 thì limu v được cho trong bảng sau: n n n n lim u Dấu của L limu v n n n Quy tắc 3
Nếu lim u L 0 và lim v 0 và v 0 hoặc v 0 kể từ một số hạng nào đó trở đi thì n n n n u
lim n được cho trong bảng sau: vn Dấu của L Dấu của v u n lim n vn
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC Câu 1: 3
lim n 2n 1 bằng A. 0 . B. 1. C. . D. . Đáp án D. Lời giải
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 2 1 Ta có: 3 3
n 2n 1 n 1 . 2 3 n n 2 1 Vì 3
lim n và lim 1 1 0 nên theo quy tắc 2, 3
lim n 2n 1 2 3 n n Câu 2: 2
lim 5n n 1 bằng A. . B. . C. 5. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B. 5 1 Ta có 2 2
5n n 1 n 1 . 2 n n 5 1 Vì 2
lim n và lim 1 1 0 nên 2
lim 5n n
1 (theo quy tắc 2). 2 n n 2 5n 3n 7 Câu 3:
lim u , với u bằng: n n 2 n A. 0. B. 5. C. 3. D. 7. Hướng dẫn giải Chọn B. 2 5n 3n 7 3 7 Ta có: limu lim lim 5 5 . n 2 2 2 2 n n n n n 3 2
2n 3n n 5 Câu 4:
lim u , với u n n 3 2 n n bằng 7 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn C.
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3 n ( 3
n là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta 3 1 5 2 2 3 đượ 3 1 5 1 7 c: n n n u . Vì lim 2 2 và lim 1 1 0 nên n 1 7 2 3 n n n 3 n n 1 3 n n 3 2
2n 3n n 5 2 lim 2 3 2 n n . 7 1 3 n 2n 1
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số u , với u n n 4 3 2
n 3n 5n bằng 6 1 A. 1. B. 0. C. . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 4 n ( 4
n là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 1 2 1 3 3 4 n 2n 1 0 lim lim lim n n n u 0. n 4 3 2
n 3n 5n 6 3 5 6 1 1 2 3 n n n 3 3n 2n 1
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số u với u n n 2 2n , bằng n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 3 A. . B. 0. C. . D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Chia cả tử và mẫu cho 2 n ( 2
n là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được 2 1 3 3n 2 3n 2n 1 n n 3n u . Vậy lim u lim . n 2 2n n 1 n 2 2 n sin n ! Ví dụ 7: lim 2 n bằng 1 A. 0. B. 1. C. . D. 2. Hướng dẫn giải Chọn A. sin n ! 1 1 Ta có lim
0 nên chọn đáp án A. 2 2 n 1 n mà 1 2 n 1 n 1 Ví dụ 8: lim bằng n n 1 A. 1. B. 1. C. . D. 0. Hướng dẫn giải Chọn D. n n 1 1 1 1 1 1 Ta có mà lim 0 nên suy ra lim 0 n n 1 n n 2 1 . n n n 2 n n n 1
Ví dụ 9: Tính giới hạn I 2 lim
n 2n 3 n A. I 1. B. I 1. C. I 0. D. I . Hướng dẫn giải Chọn B.
2n 2n3n 2n2n3n Ta có I 2 lim
n 2n 3 n lim 2
n 2n 3 n 3 2
n 2n 3 2 n 2 2n 3 2 lim lim lim n 1 . 2
n 2n 3 n 2
n 2n 3 n 2 3 1 1 1 1 2 n n Ví dụ 10: 3 3
lim n 8n 3n 2 bằng: A. . B. . C. 1. D. 0. Hướng dẫn giải Chọn B. 3 2 Ta có 3 3
lim n 8n 3n 2 3 lim n1 8 . 2 3 n n 3 2 Vì 3 3 lim n , lim1 8 1 8 1 0 3 3
nên limn 8n 3n 2 . 2 3 n n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 11: 2
lim n n 4n 1 bằng: A. 1. B. 3. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. 4 1 Ta có 2 2
n n 4n 1 n 1 . 2 n n 4 1 Vì 2
lim n và lim 1 1 0 2
nên theo quy tắc 2, limn n 4n 1 . 2 n n Ví dụ 12. 3 3 2
lim n n 3n 1 bằng : A. 1 . B. 1. C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A.
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của 3 3 2
n n 3n 1 3 3 2
n n n lim 3 1 3 3 2
n n 3n 1 lim 2 3 2
n n n 3n 1 3 2 3 n 3n 2 3 1 1 3 2 lim n 1 . 2 3 1 3 1 3 3 1 1 1 3 3 n n n n Ví dụ 13. 2 3 3 lim
n n 1 n 3n 2 bằng : 1 A. . B. 0 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn A. lim 1 2 3 3
n n 1 n 3n 2 lim 2
n n 1 n 3 3
n n 3n 2 2
Ví dụ 14. lim5n 2n bằng : 5 A. . B. 3 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. n n n n 2
Ta có 5 2 5 1 5 n 2
Vì lim5n và lim 1 1 0 n n
nên theo quy tắc 2, lim5 2 5 Ví dụ 15. n 1
lim 3.2 5.3n 7n bằng : A. . B. . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A. n n lim n n n 2 1 3.2
5.3 7n 3 5 6 7 3 3n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam n n 1 Ví dụ 16. 4.3 7 lim bằng : 2.5n 7n 3 7 A. 1. B. 7 . C. . D. . 5 5 Hướng dẫn giải Chọn B. n 3 4. 7 n n 1 4.3 7 7 7 lim lim 7 . 2.5n 7n n 5 1 2. 1 7 n 1 n2 Ví dụ 17. 4 6 lim bằng : 5n 8n 6 4 A. 0 . B. . C. 36 . D. . 8 5 Hướng dẫn giải Chọn A. n n 4 6 4. 36. n 1 n2 4 6 8 8 lim lim 0 . 5n 8n n 5 1 8 n n Ví dụ 18. 2 3 lim bằng : 2n 1 3 A. . B. 0 . C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. n 2 1 n n Chia cả tử và mẫu cho 2 3 3
3n ta được 2n 1 n n 2 1 3 3 n n n n n 2 2 1 2 1 Mà lim 1 1 0, lim 0 và 0
với mọi n nên theo 3 3 3 3 3 n n quy tắc 3, 2 3 lim 2n . 1
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. 22u n 1
Ví dụ 19. Cho dãy số u được xác định bởi u 1, u
với mọi n 1. Biết dãy số u có n n 1 n 1 u 3 n
giới hạn hữu hạn, lim u bằng: n 2 A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. . 3 Hướng dẫn giải Chọn B.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u 0 với mọi n n 22u 22L 1 n 1
Đặt limu L 0 . Ta có limu lim hay L n n 1 u 3 L 3 n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam L 2 ( ) n 2
L L 2 0 L 1 (l) Vậy lim u 2 . n Ví dụ 20. 1 2
Cho dãy số u được xác định bởi u 1, u
u với mọi n 1. Tìm giới hạn của n 1 n 1 2 n u n u . n A. lim u 1. B. lim u 1 . C. limu 2 .
D. limu 2 . n n n n Hướng dẫn giải Chọn C.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u 0 với mọi n n
Đề bài không cho biết dãy số u có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài n
cho đều là các giới hạn hữu hạn. Do đó có thể khẳng định được dãy số u có giới hạn hữu n
hạn. Đặt lim u L 0 n 1 2 limu lim u n 1 2 n u n 1 2 2 Hay 2 L L
L L 2 L 2 2 L L Vậy limu 2 n
( loại trường hợp L 2 ). Vậy lim u 2 . n Ví dụ 21. 1
Cho dãy số u xác định bởi u 1 và u
2u với mọi n 1. Khi nó lim u bằng: n 1 n 1 n n 2 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 2 2 Đáp án C.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . 1 1 1 Ta có: limu
2limu L 2L L . n 1 n 2 2 2 Đến đây có thể 1
kết luận là lim u
được không? Câu trả lời là không? n 2
Vì không khó để chứng minh được rằng u 0 với mọi n . Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì n
L 0 . Từ đó suy ra dãy không có giới hạn, mà trong bốn đáp án trên chỉ có đáp án C là vô cực. Vậy ta chọn đáp án C. Ta xét hai cách giải sau: 1 1 1 1 Đặ 1 t v u . Ta có: v
u 2u 2 u 2v n n n 1 n 1 n n n 2 2 2 2 2 3 3
Vậy v là cấp số nhân có v và q 2 . Vậy n 1 n2 v .2 3.2 . n 1 2 n 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Do đó v 2 lim lim 3.2n
. Suy ra limu . n n
Ví dụ 22. Cho dãy số u xác định u 0 , u 1, u 2u u 2 với mọi n 2 . Tìm giới hạn của n 1 2 n 1 n n 1 dãy số u . n A. 0 . B. 1 . C. . D. . Đáp án D.
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L . Ta có: lim u
2limu limu 2 L 2L L 2 0 2 (Vô lý) n 1 n n 1
Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực. Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy
chưa thể đoán là đáp án nào. Ta xem hai cách giải sau.
Ta có u 0 , u 1 , u 4 , u 9 . Vậy ta có thể dự đoán u n
với mọi n 1. Khi đó n 2 1 1 2 3 4 u
2u u 2 2 n n
n n n n 2 1 22 2 2 1 1 n 1 1 2 .
Vậy u n 2
1 với mọi n 1. Do đó u n . n 2 lim lim 1 n
Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ 23. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a 2,151515... (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng
phân số tối giản, trong đó ,
m n là các số nguyên dương. Tìm tổng m n.
A. m n 104.
B. m n 312 .
C. m n 38 .
D. m n 114. Đáp án A. 15 15 15
Ta có a 2,151515... 2 ... 2 3 100 100 100 15 15 15 15 Vì
... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u , công 2 3 100 100 100 1 100 15 1 71 bội q nên 100 a 2 . 100 1 33 1 100
Vậy m 71, n 33 nên m n 104.
Ví dụ 24. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,32111... được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản a , trong b đó ,
a b là các số nguyên dương. Tính a b .
A. a b 611.
B. a b 611 .
C. a b 27901.
D. a b 27901 . Đáp án B. Lời giải Ta có: 1 3 32 1 1 1 32 289 10 0,32111... ... . 3 4 5 100 10 10 10 100 1 900 1 10
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Vậy a 289, b 900 . Do đó a b 289 900 6 11.
Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác. Ví dụ 25. Tổng 1 1 1 S 1 ... bằng: 2 4 8 2 3 A.1 . B. 2 . C. . D. . 3 2 Đáp án B. Lời giải 1
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u 1 và q . 1 2 Do đó 1 S 2. 1 1 2 n 1 1 1 1 1
Ví dụ 26. Cho dãy số u với u ...
. Khi đó lim u bằng: n n n 2 4 8 2n 1 2 3 A. . B. 1. C. . D. . 3 3 4 Đáp án A. Lời giải 1 1
u là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u và q . n 1 2 2 n 1 1 n n Do đó 1 2 1 1 1 1 1 u .
1 . Suy ra limu lim 1 . n 2 1 3 2 n 3 2 3 1 2 Ví dụ 27. 1 1 1 Tính lim ... bằng: 1.3 3.5 2n 1 2n 1 1 1 A. 0 . B. 1. C. . D. . 2 3 Đáp án C. Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
n n 1 ... 1 1.3 3.5 2 1 2 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2n 1 1 1 1 1 1 1 Vậy lim ... .
n n lim 1 1.3 3.5 2 1 2 1 2 2 n 1 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Ví dụ 28. 1 2 ... n
Cho dãy số u với u
. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n n 2 n 1 1
A. lim u 0 . B. lim u . C. lim u 1.
D. Dãy số u không n n n 2 n
có giới hạn khi n . Đáp án B. Lời giải n n 1 1 2 ... n n n 1
Ta có: 1 2 ... n . Suy ra . 2 2 n 1 2 2 n 1 n n 1 Do đó 1 limu lim . n 2 2 n 1 2
1 5 9 ... 4n 3 Ví dụ 1: lim bằng:
2 7 12 ... 5n 3 4 3 2 5 A. . B. . C. . D. . 5 4 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A
Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng u với n 1, u 4n 3 và công bội n n d 4 .
n 1 4n 3 n 4n 2
Do đó 1 5 9 ... 4n 3 . 2 2
n 2 5n 3 n 5n 1
Tương tự ta có: 2 7 12 ... 5n 3 . 2 2
1 5 9 ... 4n 3 n4n 2 4 Vậy lim lim .
2 7 12 ... 5n 3 n5n 1 5 2 3
3 3 3 ... 3n Ví dụ 2: lim 2 1 2 2 ... bằng: 2n 3 2 A. . B. 3 . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn A
Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân u với u 3 và q 3. n 1 n Do đó n 3 1 3 2 3
3 3 3 ... 3 3. 3n 1 3 . 1 2
Mẫu thức là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân v với v 1 và q 2 . Do đó n n n 1 n 2 1 2
1 2 2 ... 2 2. 2. n 1 2 1 . 2 1
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam n n 3 1 2 3
3 3 3 ... 3n 3 3n 1 3 2 3 Vậy lim lim . lim . 2 n n 1 1 2 2 ... 2 4 2 1 4 n 1 2 3 1 2 n Ví dụ 3: lim ... bằng 2 2 2
n 1 n 2 n n 1 1 A. 0. B. . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2 ... n 1 2 n 1 2 ... n Ta có ... . 2 2 2 2 2 n n n 1 n 2 n n n 1 n n 1 n n 1 1 2 ... n 1 1 2 ... n 1 Mà 2 2 lim lim ; lim lim . 2 2 2 2 n n n n 2 n 1 n 1 2 1 2 n 1 Vậy lim ... . 2 2 2
n 1 n 2 n n 2
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1: BÀI TẬP LÝ THUYẾT Câu 1:
Chọn khẳng định đúng.
A. lim u 0 nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
B. lim u 0 nếu u có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
C. lim u 0 nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
D. lim u 0 nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n Câu 2:
Chọn khẳng định đúng.
A. lim u nếu u có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
B. lim u nếu u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
C. lim u nếu u có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
D. lim u nếu u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n n đi. Câu 3:
Chọn khẳng định đúng.
A. lim u a nếu u a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
B. lim u a nếu u a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
C. lim u a nếu u a có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n
D. lim u a nếu u a có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. n n Câu 4:
Chọn khẳng định đúng. A. lim n
q 0 nếu q 1. B. lim n
q 0 nếu q 1 . C. lim n
q 0 nếu q 1. D. lim n
q 0 nếu q 1 .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 5:
Chọn khẳng định đúng. A. lim n
q nếu q 1. C. lim n
q nếu q 1 . B. lim n
q nếu q 1. D. lim n
q nếu q 1 Câu 6:
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Nếu q 1 thì limqn 0 .
B. Nếu lim u a , lim v b thì lim(u v ) ab . n n n n
C. Với k là số nguyên dương thì 1 lim 0. k n
D. Nếu lim u a 0 , lim v thì lim(u v ) . n n n n Câu 7:
Biết lim u 3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. n 3u 1 3u 1 3u 1 3u 1 A. lim n 3 lim n 2 lim n 1 lim n 1 u . C. 1 u . B. 1 u . D. 1 u . 1 n n n n Câu 8:
Biết limu . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. n u 1 1 u 1 u 1 1 u 1 A. lim n lim n 0 lim n lim n 2 3u . C. 5 3 2 3u . B. 5 2 3u . D. 5 5 2 3u . 5 n n n n 1 1 1 Câu 9:
Cho dãy số u với u ...
. Ta có lim u bằng: n n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 n 1 1 A. . B. . C. 1. D. 2 . 2 4 n n 1 3 4.2 3 Câu 10: lim bằng 3.2n 4n A. . B. 1. C. 0 . D. 3 n 2n Câu 11: lim bằng 2 1 3n 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 3
Câu 12: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1? 2 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 3 2n 3 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3 2n 4 2 2n 1 3 2 2n 2n 2 2n 1
Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim u thì lim u . B. Nếu lim u a thì lim u a . n n n n C. Nếu lim u 0 thì lim u 0 . D. Nếu lim u thì lim u . n n n n 2n 2
Câu 14: Cho dãy số u với u n 1
. Chọn kết quả đúng của lim u n n 4 2 n n n 1 A. . B. 1. C. . D. 0 . 1
Câu 15: Nếu limu L thì lim bằng bao nhiêu? n 3 u 8 n
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1 1 1 1 A. . B. C. . D. 3 L 2 L 8 3 L 8 L 8 Câu 16: lim n 1 n là: A. 1. B. . C. . D. 0 . Câu 17: L 3
lim 5n n là: A. 4. B. . C. . D. 6 .
Câu 18: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1 ? 5 2 1 2n 2 n 2n 1 2n 1 2n A. u . B. u . C. u . D. u . n 5n 5 n 2 5n 5n n 2 5n 5n n 5n 5
Câu 19: lim n n 1 n bằng 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 4 n n 1
Câu 20: Cho dãy số u
xác định bởi u n 1 n 2
n n . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề 1 sau? A. limu 0 .
B. limu 0 không tồn tại. n n C. limu 2 . D. limu 1. n n Câu 21: 2 2 lim
n 2n n 2n có kết quả là A. 4 . B. 2 . C. 1. D. . Câu 22: 4 n 1
lim 3 .2 5.3n bằng 2 1 A. . B. 1 . C. . D. . 3 3 2 2
Câu 23: lim n n 1 n 2 bằng: 1 1 3 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2 2 4n n 2
Câu 24: Cho dãy số u u . Để u n với n 2 an
n có giới hạn bằng 2 , giá trị của a là: 5 A. 4 . B. 3 . C. 4 . D. 2 . 3 3 3 3
Câu 25: lim n 1 n 2 bằng: A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 26: Dãy số u với 3 3
u n 1 n có giới hạn bằng: n n A. 1 . B. 2 . C. 1. D. 0 .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 27: Nếu n 2 2 L lim
n n 1 n n 6 thì L bằng 7 A. 3 . B. . C. . D. 7 1. 2
DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 28: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn? 1 A. (sin ) n . B. (cos ) n . C. (( 1)n ) . D. ( ) . 2
Câu 29: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khác 0? A. ((0,98)n ) . C. (( 0,99)n ) . B. ((0,99)n ) .
D. ((1, 02)n ) . 1
Câu 30: Biết dãy số (u ) thỏa mãn u 1 . Tính lim u . n n 3 n n A. lim u 1.
B. lim u 0 . n n C. lim u 1 .
D. Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số (u ) . n n
Câu 31: Giới hạn nào dưới đây bằng ? A. 2 3
lim(3n n ) . C. 2 lim(3n n) . B. 2 3
lim(n 4n ) . D. 3 4
lim(3n n ) . 2
(2n 1) (n 1) Câu 32: lim 2 (n 1)(2n bằng bao nhiêu? 1) A. 1. B. 2. C. 0. D. .
Câu 33: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? 2 3 n 3n 2 2 2n 3n 3 n 2n 1 2 n n 1 A. lim lim lim lim 2 n . C. n 3 n . B. 3n 3 n . D. 2n 1 . 2n
Câu 34: Trong các giới hạn hữu hạn sau, giới hạn nào có giá trị khác với các giới hạn còn lại 2 n sin 3n 2 2 n sin 3n 2n cos 5n 3n cos n A. lim(1 ) lim lim . D. lim . 3 n . C. 1 2 n . B. 5 5n n 1 3 Câu 35: Để tính 2 2
lim( n 1 n n) , bạn Nam đã tiến hành các bước như sau: 1 1 Bước 1: 2 2
lim( n n n 1) lim(n 1 n 1 ) . n n 1 1 1 1
Bước 2: lim(n 1 n 1 ) lim n( 1 1 ) . n n n n 1 1
Bước 3: Ta có limn ; lim( 1 1 ) 0 . n n Bước 4: Vậy 2 2
lim( n 1 n n) 0 .
Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.
Câu 36: lim( 3n 1 2n 1) bằng? A. 1. B. 0. C. . D. .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 2
n 1 n 1 Câu 37: lim 3n bằng? 2 1 A. 0. B. . C. . D. . 3 n 3
Câu 38: lim(1 2n) 3
n n bằng? 1 A. 0. B. -2. C. . D. .
Câu 39: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là hữu hạn?
A. lim( n 1 n)n . C. 2
lim( n n 2 n 1) . 1 B. lim . D. 2
lim( n n 1 ) n .
n 2 n 1
Câu 40: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là không hữu hạn? 3 n 2 n 1 n A. lim . C. lim . 3 3 n 1 n 3 3
n n n B. 3 3 lim( 1 n ) n . D. 3 2 3
lim( n n ) n . 2 2
n 4n 4n 1 6 3 m Câu 41: Biết lim
, trong đó m là phân số tối giản, m và n là các số 2 2 3 1 n n n n
nguyên dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. . m n 10. C. . m n 15. B. . m n 14. D. . m n 21. 1 2.3n 6n
Câu 42: Tìm lim n n 1 2 (3 : 5) 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 2 3
DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 1 1 1 1
Câu 43: Cấp số nhân lùi vô hạn n 1 1, , , ,..., ( )
,... có tổng là một phân số tối giản m . Tính 2 4 8 2 n m 2n .
A. m 2n 8 .
C. m 2n 7 .
B. m 2n 4 .
D. m 2n 5 .
Câu 44: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 27323232... được biểu diễn bởi phân số tối giản m ( m , n là n
các số nguyên dương). Hỏi m gần với số nào nhất trong các số dưới đây? A. 542. B. 543. C. 544. D. 545.
Câu 45: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là 9 . Số hạn đầu 4
của cấp số nhân đó là? 9 A. 4. B. 5. C. 3. D. . 4 5
Câu 46: Phương trình 2 3 4 5
2x 1 x x x x ...
, trong đó x 1, có tập nghiệm là: 4
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 7 97 3 41 7 97 3 41 A. S . C. S
. B. S
. D. S . 24 16 24 16
Câu 47: Cho tam giác đều A B C cạnh a . Người ta dựng tam giác đều A B C có cạnh bằng đường cao 1 1 1 2 2 2
của tam giác A B C ; dựng tam giác đều A B C có cạnh bằng đường cao của tam giác A B C 1 1 1 3 3 3 2 2 2
và cứ tiếp tục như vậy. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A B C , A B C , 1 1 1 2 2 2 A B C ,… 3 3 3 2 3a 3 2 3a 3 A. . B. . C. 2 a 3 . D. 2 2a 3 . 4 2
DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI u
Câu 48: Cho số thực a và dãy số (u ) xác định bởi: u a và u 1 n
với mọi n 1. Tìm giới hạn n 1 n 1 2 của dãy số (u ) . n a A. a . B. . C. 1. D. 2. 2
Câu 49: Cho dãy số (u ) xác định bởi u 3, 2u
u 1 với mọi n 1. Gọi S là tổng n số hạng đàu n 1 n 1 n n
tiên của dãy số (u ) . Tìm lim S . n n
A. lim S . C. lim S 1.
B. lim S . D. lim S 1 . n n n n u u
Câu 50: Cho dãy số (u ) xác định bởi n 1 u 1,u 2, n u
với mọi n 1. Tìm lim u . n 1 2 n2 2 n 3 5 4 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 1 u
Câu 51: Cho dãy số (u ) xác định bởi 2 u , n u u
với mọi n 1. Tìm lim u . n 1 n 1 4 n 2 n 1 1 A. lim u . C. lim u .
B. lim u 0 .
D. lim u . n 4 n 2 n n u
Câu 52: Cho dãy số (u ) xác định bởi u 1,u
u 2n 1với mọi n 1. Khi đó 1 lim n bằng. n 1 n 1 n un A. . B. 0. C. 1. D. 2.
DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ u u
Câu 53: Cho dãy số (u ) được xác định bởi n 1 u , a u , n b u
với mọi n 1, trong đó a và n 1 2 n2 2
b là các số thực cho trước, a b . Tìm giới hạn của (u ) . n a 2b 2a b
A. lim u a . C. lim u .
B. lim u b . D. lim u . n n 3 n n 3 n m
Câu 54: Cho dãy số (u ) với 3 u
, trong đó m là tham số. Để dãy (u ) có giới hạn hữu hạn thì: n n 5n 2 n
A. m là số thực bất kỳ.
B. m nhận giá trị duy nhất bằng 3.
C. m nhận giá trị duy nhất bằng 5.
D. Không tồn tại số m .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 2 4n n 2
Câu 55: Cho dãy số (u ) với u
, trong đó a là tham số. Để (u ) có giới hạn bằng 2 thì n n 2 an 5 n
giá trị của tham số a là? A. -4. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 56: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số (u ) với 2 2
u 2n n a 2n n có giới n n hạn hữu hạn. A. a .
C. a (1; ) . B. a ( ; 1) . D. a 1.
Câu 57: Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: 2 2
lim( n an 5 n bn 3) 2 .
A. a b 2 .
B. a b 2.
C. a b 4 .
D. a b 4. 2
an 1 4n 2
Câu 58: Tìm số thực a để lim 2 5n . 2 A. a 10 . B. a 100 . C. a 14 . D. a 144 .
Câu 59: Tìm số thực a để 3 3
lim(2n a 8n 5) 6 . A. a 2 . B. a 4 . C. a 6 . D. a 8.
Câu 60: Tìm các số thực a và b sao cho 3 3
lim( 1 n a n ) b 0 . a 1 a 1 a 1 a 0 A. . B. . C. . D. . b 0 b 0 b 1 b 1
DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA
N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC
1 2 3 ... n Câu 61: lim bằng:
2 4 6 ... 2n 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 2 3 2
1 2 2 ... 2n Câu 62: lim 2 1 5 5 ... bằng: 5n 2 5 A. 0. B. 1. C. . D. . 5 2 1 1 1 Câu 63: Tìm lim (1 )(1 )...(1 ) ta được: 2 2 2 2 3 n 1 A. 1. B. . C. 0. D. 2. 2 n! Câu 64: lim 2 2 2 (11 ).(1 2 )...(1 bằng: n ) 1 A. 0. B. . C. 1. D. . 2 n 2 3n 9n 1 n
Câu 65: Cho dãy số (u ) . Biết u
với mọi n 1. Tìm u . n k k nu k 2 1 n k 1 1 A. 1. B. . C. 0. D. . 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam n 2
1 3 3 ... 3k Câu 66: lim bằng: k 2 k 5 1 17 17 1 A. 0. B. . C. . D. . 100 200 8
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1: Cho ;
a b là một khoảng chứa điểm x và hàm số y f x xác định trên ; a b hoặc trên 0
;a b \x . lim f x L với mọi dãy số x mà x ;ab\x , x x ta có lim f x L n . n 0 n 0 n 0 x 0 x Nhận xét:
- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số.
- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x . 0
Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x ; b . lim f x L với mọi dãy số x mà n 0 x 0 x x x ,
b x x ta có lim f x L n . 0 n n 0
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;
a x . lim f x L với mọi dãy số x mà n 0 x 0 x
a x x , x x ta có lim f x L n . n 0 n 0 Định lí 1
lim f x L lim f x lim f x . L x 0 x x 0 x x 0 x
2. Giới hạn vô cực tại một điểm Định nghĩa 3 Cho ;
a b là một khoảng chứa điểm x và hàm số y f x xác định trên ; a b hoặc trên 0
;a b \x . lim f x với mọi dãy số x mà x ;ab\x , x x ta có f x n . n 0 n 0 n 0 x 0 x Lưu ý:
Các định nghĩa lim f x ;
lim f x ;
lim f x ;
lim f x ;
lim f x được x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x
phát biểu hoàn toàn tương tự. 3. Lưu ý:
a) f x không nhất thiết phải xác định tại điểm x . 0
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
b) Ta chỉ xét giới hạn của f x tại điểm x nếu có một khoảng ;
a b (dù nhỏ) chứa x mà f x xác 0 0 định trên ;
a b hoặc trên ; a b \x . 0
Chẳng hạn, hàm số f x x có tập xác định là D 0; . Do đó ta không xét giới hạn của hàm số
tại điểm x 0 , do không có một khoảng ;
a b nào chứa điểm 0 mà f x xác định trên đó cả. Tương 0
tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f x tại mọi điểm x 0. 0
c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f x tại điểm x nếu có một khoảng x ; b (khoảng nằm bên phải 0 0
x ) mà f x xác định trên đó. 0
Tương tự, ta chỉ xét giới hạn bên trái của f x tại điểm x nếu có một khoảng ;
a x (khoảng nằm bên 0 0
trái x ) mà f x xác định trên đó. 0
Chẳng hạn, với hàm số f x x 1 , tại điểm x 1, ta chỉ xét giới hạn bên phải. Với hàm số 0
g x 1 x , tại điểm x 1, ta chỉ xét giới hạn bên trái. 0
d) lim f (x) lim f (x) lim f (x) x o x xx o xx o
lim f (x) lim f (x) lim f (x) x o x xx o xx o
II. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực
1. Giới hạn hữu hạn tại vô cực Định nghĩa 4
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) L với mọi dãy số x
x x a x f x L n , n và n ta đều có lim ( ) .
LƯU Ý: Định nghĩa lim f (x) L được phát biểu hoàn toàn tương tự. x
2. Giới hạn vô cực tại vô cực Định nghĩa 5
Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng ;
a . lim f (x) với mọi dãy số x
x x a x f x n , n và n ta đều có lim ( ) .
LƯU Ý: Các định nghĩa: lim f (x) ,
lim f (x) ,
lim f (x) được phát biểu hoàn toàn tương x x x tự.
III. Một số giới hạn đặc biệt
a) lim x xo . x o x b) lim c ;
c lim c c ( c là hằng số ) x o x x c c) lim 0 k
( c là hằng số, k nguyên dương ). x x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam d) lim k
x với k nguyên dương; lim k
x nếu k là số nguyên lẻ; lim k x x x x
nếu k là số nguyên chẵn.
Nhận xét: lim f (x) lim f (x) x . x
IV. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 2
Giả sử lim f (x) L và lim (
g x) M . Khi đó xxo x o x
a) lim f (x) (
g x) L M x . o x
b) lim f (x) ( g x) LM
cf x cL x ; lim ( )
với c là một là một hằng số. o x xxo f (x) L c) lim (M 0). xxo ( g x) M Định lí 3
Giả sử lim f (x) L . Khi đó xxo
a) lim f (x) L . x o x b) 3 3
lim f (x) L . x o x
c) Nếu f (x) 0 với mọi J \ x , trong đó J x L o
là khoảng nào đó chứa o , thì 0 và
lim f (x) L . x o x
LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay x x x x x x o bởi o , o .
V. Quy tắc về giới hạn vô cực
Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp: x x ,x x ,x x ,x o o o và x .
Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp x xo .
Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích ).
L lim f (x) lim ( g x) lim f (x) ( g x) xx o x o x x o x L 0 L 0
STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số
- Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực.
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
- Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số.
Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương)
L lim f (x) lim ( g x) Dấu của ( g x) f (x) xx lim o x o x
xxo g(x) L Tùy ý 0 L 0 0 + - L 0 0 + -
( Dấu của gx xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x xo ). 0
VI. Các dạng vô định: Gồm , ,0. 0
và .
B. Các dạng toán về giới hạn hàm số
Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lí và quy tắc Phƣơng pháp:
- chọn hai dãy số khác nhau a và b thỏa mãn a và b thuộc tập xác định của hàm số n n n n
y f (x) và khác x ; a x ;b x . 0 n 0 n 0
- Chứng minh lim f a lim f b hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại. n n
- Từ đó suy ra lim f (x) không tồn tại. TH x x
hoặc x chứng minh tương tự. x 0 o x
Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. lim sin x 1
B. lim sin x 1
C. lim sin x 0
D. lim sin x không tồn tại. x x x x Đáp án D Lời giải
Xét dãy số (x ) với x 2n . n n 2
Ta có x và lim sin x lim sin 2n 1. 1 n n 2
Lại xét dãy số ( y ) với y 2n . n n 2
Ta có y và lim sin y lim sin 2n 1 . 2 n n 2 Từ
1 và 2 suy ra lim sin x không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 2 x 1
Ví dụ 2: Cho hàm số f (x)
, lim f (x) bằng: 3 2 x x 5 3 1 A. . B. 0 . C. . D. . 3 2 Đáp án C. Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên 0; .
Giải sử (x ) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn x 0, x 3 và x 3 khi n . Ta có n n n n 2 2 x 1 3 1 5 3
lim f (x ) lim n
( áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số). Do đó n 2 x 2 3 3 n 5 3 lim f (x) . x3 3
Ví dụ 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây ? x 2 x 2 A. lim 1. B. lim 5. x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x C. lim 1 .
D. Hàm số f x 2
không có giới hạn khi x 3. x 3 x 2 x 2 Đáp án B Lời giải x
Hàm số f x 2
xác định trên các khoảng ;2
và 2; . Ta có 32;. x 2
f x f 3 2 lim 3 5. x 3 3 2 Ví dụ 4: 3 lim 2
x 5x bằng: x A. 2 . B. 3 . C. . D. . Đáp án C. Lời giải 5 Ta có 3 3 2
x 5x x 2 . 2 x 5 5 Vì 3
lim x và lim 2 2 0 nên 3 lim x 2 . x 2 x x 2 x x 5
Vậy theo Quy tắc 1, lim 3 2 x 5x 3 lim x 2 . Do đó chọn C. 2 x x x Ví dụ 5: 4 2
lim 3x 2x 1 bằng: x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam A. . B. . C. 3. D. 2. Đáp án A Lời giải
Cách 1: Theo nhận xét trên thì 4 2
lim 3x 2x
1 ( x ,
k chẵn và a 0 ). Thật k x 2 1 vậy, ta có 4 2 4
3x 2x 1 x 3 . 2 4 x x 2 1 Vì 4
lim x và lim 3 3 0 nên 4 2
lim 3x 2x 1 . x 2 4 x x x x
Ví dụ 6: Cho hàm số f x 2
x 2x 5 . Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. lim f x .
B. lim f x . x x
C. lim f x 1.
D. lim f x không tồn tại. x x Đáp án B. Lời giải
Hàm số f x 2
x 2x 5 xác định trên .
Có thể giải nhanh như sau : Vì 2
x 2x 5 là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô cực. Mà 2
x 2x 5 0 với mọi x nên giới hạn của f x 2
x 2x 5 tại chắc chắn là . 2 5 2 5 Thật vậy, ta có 2 2
x 2x 5 x 1 x 1 . 2 2 x x x x 2 5
Vì lim x và lim 1 1 0 nên 2 lim
x 2x 5 . 2 x x x x x
Ví dụ 7: Giới hạn của hàm số f x 2 2
x x 4x 1 khi x bằng: A. . B. . C. 1 . D. 3. Đáp án A. Lời giải Ta có: 1 1 1 1 2 2 2 2
x x 4x 1 x 1 x 4
x 1 x 4 2 2 x x x x 1 1
x 1 4 2 x x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1 1
Mà lim x và lim 1 4 1 2 1 0 . x 2 x x x 1 1 Vậy lim x x x x . x 2 2 4 1 lim 1 4 2 x x x Ví dụ 8: 2017 lim bằng: 3 5
x 3x 5x 2017 A. . B. . C. . D. 0. 3 Đáp án D. Lời giải 2017 Vì 3 5
lim 3x 5x nên theo quy tắc 2, lim 0 . x 3 5
x 3x 5x Ví dụ 9: x
Giới hạn bên phải của hàm số f x 3 7 khi x 2 là x 2 7 A. . B. . C. 3. D. . 2 Đáp án B. Lời giải x
Hàm số f x 3 7 xác định trên ; \ 2 . x 2
Ta có lim x 2 0, x 2 0 với mọi x 2 và lim 3x 7 3.2 7 1 0. Do đó theo x 2 x 2 3x 7 quy tắc 2 thì lim . x2 x 2 2 3x x 1
Ví dụ 10: Xét bài toán “Tìm lim 2
x2 2x 5x
”, bạn Hà đã giải như sau: 2 Bước 1: Vì lim . 2 2x 5x 2 0 x2 Bước 2: 2
2x 5x 2 0 với x 2 và x đủ gần 2, Bước 3: lim 2 3x x 1 13 0 x2 2 3x x 1
Bước 4: nên theo quy tắc 2, lim 2 x2 2x 5x . 2
Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4. Đáp án B Lời giải
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Xét dấu biểu thức g x 2
2x 5x 2 ta thấy gx 0 với mọi x1;2 . 2 3x x 1
Vậy lời giải sai từ bước 2. (Lời giải đúng cho ra kết quả lim 2 x2 2x 5x ). 2 Ví dụ 11: 1 x Giới hạn lim bằng: x x 42 4 A. 0. B. 3 . C. . D. . Đáp án C. Lời giải
Ta có lim1 x 3
0, limx 42 0 và x 2 4
0 với mọi x 4 nên theo quy tắc 2, x4 x4 1 x lim
. Vậy chọn đáp án C. x x 42 4 5
x 2 khi x 1
Ví dụ 12: Cho hàm số f x
. Khẳng định nào dưới đây là đúng ? 2
x 3 khi x 1
A. lim f x 7 .
B. lim f x 2 . x 1 x 1
C. lim f x 7 .
D. lim f x 7 . x 1 x 1 Đáp án D. Lời giải
Ta có lim f x lim 5x 2 5.1 2 7 . Vì chỉ có một đáp án đúng nên chọn đáp án D. x 1 x 1 2
x 5 khi x 3 1
Ví dụ 13: Cho hàm số f x 2 x 5 . khi x 3 2 x 2
Trong biểu thức (2) ở trên, cần thay số 5 bằng số nào để hàm số f x có giới hạn khi x 3 ? A. 19. B. 1. C. 1 .
D. Không có số nào thỏa mãn. Đáp án C. Lời giải
Hàm số đã cho các định trên \ 2 .
Cách 1: Ta có lim f x 2 2
lim x 5 3 5 2 . x 3 x 3 x m
Đặt f x 2
x ( m là tham số, m 0 ). x khi 3 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x m 3 m 9 m
Ta có lim f x 2 2 lim x 3 x 3 x 2 3 . 2 5 Để 9 m
hàm số f x có giới hạn khi x 3 thì lim f x lim f x 2 m 1 . x 3 x 3 5
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị biểu thức 2
X 5 khi X 3 được kết quả bằng 2. Sử 2 X A
dụng MTCT tính giá trị biểu thức
X và lần lượt nhận các giá trị bằng 19,1 và X khi 3 2 1
. Ta thấy khi A 1
thì biểu thức nhận giá trị bằng 2. Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 14: Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây:
Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là ?
A. lim f x .
B. lim f x .
C. lim f x .
D. lim f x . x x x 3 x 3 Đáp án C. Lời giải Khi x 3
, đồ thị hàm số là một đường cong đi lên từ phải qua trái. Do đó lim f x . x 3
Tương tự như vậy ta có lim f x lim f x 0 ; lim f x . x x x 3 Do đó chọn đáp án C. 0
DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 1. Bài toán: f x Tính lim
khi lim f x lim g x 0 , trong đó f x và g x là các đa thức hoặc căn thức. x xx xx 0 x g x 0 0
Phương pháp giải (tự luận)
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể, vì lim f x lim g x 0 nên xx x 0 0 x
f x và g x cùng có nghiệm x x . Do đó ta phân tích được f x x x A x và 0 0 f x x x A x A x 0
g x x x B x . Khi đó ta có: lim lim lim và công việc còn lại 0 xx xx x g x x 0 0 x x B x B x 0 0 A x là đi tính lim . x 0 x B x
Nếu f x và g x có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi
phân tích chúng thành tích để giản ước. 2 x Ví dụ 1. 4 Tính lim . 2
x2 x 3x 2 A. 1. B. 4. C. 2 . D. 4 . Lời giải 2 x 4
x2x2 x 2 2 2 Ta có lim lim lim 4 . 2 x 2 x 2 x 3x 2
x 2 x x 2 1 x 1 2 1 m x n Ví dụ 2. x Tính giới hạn lim , m n
* , ta được kết quả: x 1 x 1 A. .
B. m n . C. m . D. 1. Lời giải m n m x x x 1 n x 1 Ta có lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 m x x 1 m 1 m2 x x ... x 1 1 m m Lại có lim lim lim 1 2 x x ... x 1 m. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 n x Tương tự 1 : lim n . x 1 x 1 m n m x x x 1 n x 1 m x 1 n x 1 Vậy lim lim lim l im m n . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Ví dụ 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 3 2 x 3 2 A. lim 0 . B. lim . 3 x 1
x 3x 2 3 x 1
x 3x 2 x 3 2 x 3 2 C. lim . D. lim không tồn tại. 3 x 1
x 3x 2 3 x 1
x 3x 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 0 Phân tích: Vì lim x và lim 3
x 3x 2 0 nên đây là dạng vô định . Tuy x 3 2 0 1 x 1 0
nhiên ta chưa thể phân tích ngay x 3 2 thành nhân tử mà phải nhân cả tử và mẫu với biểu
thức liên hợp của x 3 2 là x 3 2 . Lời giải
x32 x32 x 3 2 Cách 1: Ta có 3 x 3x 2
x32 3x 3x2 x 1 1 .
x 3 2x 2 1 x 2
x32x 1x2 1 1 Mà lim ; lim . x 1
x 3 2x 1 x 2 x 1
x32x 1x2 Do đó 1 lim không tồn tại. x 1
x 3 2x 1 x 2 x 3 2 Suy ra lim
không tồn tại. Vậy chọn đáp án D. 3 x 1
x 3x 2 3 x x Ví dụ 4. 2 1 3 2 Giới hạn lim bằng: x 1 x 1 1 A. 1. B. 0 . C. . D. . 2 Lời giải 3 3
2x 1 3x 2
2x 1 1 1 3x 2 Ta có x 1 x 1 x 1 2x 2 3 3 x 2x 1 1 x 1 3 3 1 3x 2 2
3x 2 x 1 2 3 . 3 2x 1 1 3 1 3x 2 2 3x 2 2 3 Tac có: lim 0 . x 1 x 3 2 1 1 3 1 3x 2 2 3x 2 3 x x Do đó 2 1 3 2 lim 0 . x 1 x 1
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 3 x x Ví dụ 5. 6 5 4 3 Tính giới hạn lim . x x 2 1 1 A. 0 . B. 2 . C. . D. . Lời giải
Đặt t x 1 thì x t 1, limt 0 và x 1
3 6x 5 4x 3
3 6t 1 4t 1
3 6t 1 2t 1 2t 1 4t 1 2 2 2 x 2 1 t t t 6t 1 3 2
8t 12t 6t 1 2
4t 4t 1 4t 1 3 t
t t t t 2 2 2 2 3
t 2t 1 4t 1 6 1 2 1 . 6 1 2 1 8 t 12 4 .
3 t 2 t
t t 2 3
2t 1 4t 1 6 1 2 1 . 6 1 2 1
3 6x 5 4x 3 8 t 12 4 Vậy lim lim . x x 2 1 1 t0
3 t 2 t 3 t t 2 2t 1 4t 1 6 1 2 1 . 6 1 2 1 8 t 12 12 4 4 Mà lim 4 ; lim 2. t0 t 3 0
t 2 t 3 t t 2 3 6 1 2 1 . 6 1 2 1
2t 1 4t 1 2
3 6x 5 4x 3 Vậy lim . x x 4 2 2 2 1 1 2
x a 2 x a 1
Ví dụ 6. Giới hạn của hàm số f x khi x 1 bằng 3 x 1 a a 2 2 a A. a . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải 2
x a 2 x a 1 x
1 x a 1 x a 1 a lim lim lim 3 x 1 x 1
x x 1 2 1 x x 1 2 x 1 x x 1 3 ax Ví dụ 7. 1 1 Giả sử lim
L . Hệ số a bằng bao nhiêu để L 3 ? x0 2x A. 6 . B. 6 . C. 12 . D. 12 . Lời giải 1 ax 1 ax a a Ta có lim lim lim x0 2x
x0 2x 1 ax 1
x0 2 1 ax 1 4
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam a Vậy a L . Do đó L 3
3 a 12. Đáp án đúng là D. 4 4
2. Các i toán iên quan đến giới hạn đặc iệt 0
Trong sách giáo khoa đại số và giải tích có nêu một giới hạn đặc biệt dạng 0 sin x Đó là lim
1. Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng kết quả này. x0 x ax
Ví dụ 8: Cho a và b là các số thực khác 0. Khi đó lim bằng x0 sin bx a b A. a . B. b . C. . D. . b a Lời giải Đáp án C. ax bx a a bx Ta có lim lim . .lim x0 x0 x0 sin bx sin bx b b sin bx bx t
Đổi biến t bx ta thấy khi x 0 thì t 0. Do đó lim lim 1 x0 x0 sin bx sin t ax a Vậy lim . x0 sin bx b 2 x
Ví dụ 9: Cho số thực a khác 0. Khi đó lim bằng
x0 1 cos ax 2 2 A. . B. . C. 2 2a . D. 2a . 2 a a Lời giải Đáp án A Ta có: 2 2 ax ax 2 2 x x 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim . lim .1 . 2 2 2 2 x0 x0 ax ax x0 ax x0 1 cos 2 2 a a ax a a 2sin sin sin 2 2 2 sin x sin a Ví dụ 10: lim bằng xa x a A. tan a . B. cot a . C. sin a . D. cosa . Lời giải Đáp án D x a x a x a 2cos sin sin sin x sin a x a Ta có 2 2 2 lim lim lim .cos xa xa x a x a xa x a 2 2. 2 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x a sin x a Mà 2 lim 1 a . xa x
(xem STUDY TIP trên), lim cos cos a xa 2 2 sin x sin a Vậy lim cos a xa x . Do đó chọn đáp án D. a 3
x 1 x 19 a a Ví dụ 11: Biết lim
trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên 4 x 8 x 8 2 b b dương.
Tổng a b bằng A. 137. B. 138. C. 139. D. 140. Lời giải Đáp án C.
Với những bài dạng này, s khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng.
Đặt t x 8. Suy ra x t 8. limt 0 và x 8 t t 3 3 1 3 1 3 3
x 1 x 19
t 9 t 27 9 27 4 4 x 8 2 t 16 2 t 4 2 1 2 16 t t 3 1 1 1 1 9 27 3 t t g t 2 t 4 1 16 1 t 3
x 1 x 19 Do đó lim
lim g(t) . p dụng ví dụ 3 Ta có: 4 x 8 t 0 x 8 2 t 1 t 1 t 1 3 4 1 1 1 1 1 1 9 1 9 27 1 27 16 1 16 lim ;lim ;lim t 0 t 0 t 0 t 2 18 t 3 81 t 4 64 1 1 3 112 Vậy 18 81 lim g(t) . t0 2 1 27 64 3
x 1 x 19 112 Do đó lim
. Vậy a 112,b 27 và a b 139 4 x 8 x 8 2 27 0
*** Tính giới hạn vô định dạng
bằng đạo hàm (Quy tắc ‟Hôpital). 0 3 x 3x 1 Ví dụ 12: Giới hạn lim x 5 bằng: 2x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 3 A. 0 B. C. D. 2 Đáp án D 3 x 3x 1 1
Theo kết quả đã nêu ở trên thì 2 lim
lim x x 5 2x 2 x
Ví dụ 3 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ? 5 3 x x 7 2 3 1 3x x 3 4 x 3x 5 2 6 3x x lim lim lim lim 3 2 2 3 2
A. x 2x 3x 1 B. x 4x 1
C. x x x 1
D. x 1 x 5x Đáp án C Lời giải
Cách 1 : Theo cách ghi kết quả ở trên thì 5 3 2 3 x x 7 1 1 3x x 1 2 2 lim lim x ; lim lim x ; 3 2 2
x 2x 3x 1 2 x x 4x 1 4 x 3 4 2 6 x 3x 5 3x x 1 4 lim 3 lim x ; lim lim x ; 3 5 x x x 1 x
x 1 x 5x 5 x
Cách 2 : sử dụng MTCT tính lần lượt các giới hạn 3 4 Khi đế x 3x 5 n C thấy lim 3 lim x 3 x x x
nên dừng lại và chọn đáp án C 1 x 2 4x x 1 Ví dụ 4 : Giới hạn lim x x bằng : 1 A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 Đáp án B Lời giải : Cách 1 : 1 1 1 1 1 1 2 x 4 x 4 4 2 2 2 4x x 1 x x x x x x lim lim lim lim 2 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 1 x Vậy chọn đáp án B Cách 2 : Sử dụng MTCT 2 2
x x 4x 1
Ví dụ 5 : Giới hạn lim x 2x bằng : 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 Đáp án B ời giải :
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Cách 1 : Theo ví dụ đã trình bày ở dạng thì 2 2
lim ( x x 4x 1) x Ta đưa 2
x ra ngoài căn rồi chia cả tử và mấu cho x. Cụ thể như sau : 1 1 2 2 x 1 x 4 2
x x 4x 1 x x lim lim x 2x 3 x 2x 3 1 1 1 1
x 1 x 4 1 4 2 2 x x x x 1 lim lim x 2x 3 x 3 2 2 x Vậy đáp án đúng là B
Cách 2 : Sử dụng máy tính tính giá trị hàm số tại 10 x 10
ta được kết quả như hình bên. Vậy chọn đáp án B
Cách 3 : Ta có thể giải bài này bằng phương pháp loại trừ như sau : Vì 2 2
lim ( x x 4x 1) ;
lim (2x 3) nên giới hạn cần tìm phải mang dấu x x
dương. Mặt khác bậc tử và bậc mẫu bằng nhau nên giới hạn cần tìm là hữu hạn.
Đáp án cần tìm là đáp án B 2x 1 a
Ví dụ 6 : Biết lim x 3 2 x 3x x
trong đó a, b là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của tích 2 b ab bằng : A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 Đáp án C ời giải : 3 2 2x 1 2x x 6 Ta có : lim x lim 3 2 3 2 x 3x x 2 x 3x x 2 3 Vậy a 6
Dễ dàng suy ra được tích của ab là 8. b 3
Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 10
x 10 thì ta thu được kết quả như hình
bên. Do đó, nếu không có kiến thưc về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu
chỉ dùng MTCT. Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn đọc s nhanh chóng tìm ra đáp án,
thậm chí là trong chớp mắt ! Vì vậy, tôi xin nhắc lại, tôi khuyến nghị các bạn đọc nên giải bài
tập theo kiểu tự luận một cách căn cơ để có thể đối mặt với các bài toán „‟chống MTCT‟‟ STUDY TIP
Dạng 4 : Dạng vô định 0.
Bài toán : Tính giới hạn lim [u(x)v(x)] khi lim [u(x)] 0 và lim [v(x)] x 0 x x 0 x x 0 x 0 Phương pháp u(x)
: Ta có thể biến đổi lim [u(x)v(x)] lim để đưa về dạng hoặc xx xx 1 0 0 0 v(x) u(x) lim [u(x)v(x)] lim để đưa về dạng xx xx 1 . 0 0 v(x)
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra
ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức …. à đưa được về dạng quen thuộc. 1 1
Ví dụ 1 : Giới hạn lim ( 1) x0 x x bằng : 1 A. 0 B. -1 C. 1 D. Đáp án B 1 1 Phân tích : Ta có lim ; lim( 1) 0 x0 x0 x x
nên chưa có thể áp dụng các định lí, qui tắc để 1 tính giới hạn. ời giải : 1 1 1 (x 1) x 1 Cách 1 : Ta có lim ( 1) lim lim lim 1 x0 x0 x0 x0 x x 1 x(x 1) x(x 1) x 1
Cách 2 : Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 0
,00000001 ta được kết quả như hình bên. Do 1 1
đó chọn đáp án B, tức lim ( 1) 1 x0 x x 1 STUDY TIP x
Ví dụ 2 : Giới hạn lim (x 2) 2 x2 x bằng : 4 A. B. C. 0 D. 1 Đáp án C x
Phân tích : Vì lim (x 2) 0; lim 2 x2 x2 x
nên chưa có thể áp dụng các định lý và qui tắc 4 để tính giới hạn. ời giải : 2 x (x 2) x (x 2)x
Cách 1 : Với mọi x 2 ta có : (x 2) 2 2 x 4 x 4 x 2 x (x 2)x Do đó lim (x 2) lim
0. Vậy chọn đáp án C 2 x2 x2 x 4 x 2 Cách 2: Sử dụng MTCT 2x 1
Ví dụ 3: Giới hạn lim (x 1) 3 x 5x x bằng: 2 2 10 5 A. 2 B. 5 C. 5 D. 2 Đáp án B
Phân tích: Ví dụ tương tự đã được nghiên cứu trong phần dạng vô định 2x 1
Tuy nhiên vì lim (x 1) ; lim 0 3 x x 5x x
nên giới hạn này cũng có thể coi như dạng 2 0. ời giải
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Cách : Với x 1 2
ta có x 1 0 nên x 1 (x 1) . Do đó 2 2x 1
(x 1) (2x 1) 10 lim (x 1) lim 3 3 x 5x x 2 x 5x x 2 5 Vậy chọn đáp án B
Cách 2: Sử dụng MTCT. Tính giá trị hàm số tại 10 x 10
ta được kết quả như hình bên. So
sánh các đáp số A, B, C, D ta chọn đáp án đúng là B. STUDY TIP
Ta chỉ quan tâm đến lũy thừa bậc cao nhất là 3 x 2 2 . Hệ số của 2
x trong (x 1) là 1 do x 2 2 1
x 2x 1. Hệ số của x trong 2x + là 2 nên hệ số của 3 x trên tử là 2 1 .2 . Ở đây
không nhất thiết phải khai triển tích thành đa thức để tìm hệ số của 3 x . 1
Ví dụ 4: Giới hạn lim (xsin ) x bằng x A. 0 B. 1 C. D. Không tồn tại Đáp án B 1 1 Phân tích: Vì lim
0 nên lim sin 0. Ta có dạng 0. . ời giải như sau : x x x x ời giải : 1 sin 1 x
Cách 1 : Ta có : lim (x sin ) lim x x x 1 x 1 1 sint Đặt t
và lim t 0 thì lim (x sin ) lim 1 x x x x x t
Cách 2: Sử dụng MTCT ( ưu ý chuyến máy về chế độ Radian) STUDY TIP 0 s inx
Ở ví dụ 4 ta đã chuyển dạng 0. thành do ta liên tưởng đến giới hạn đặc biệt lim 1 0 x0 x
Ví dụ 5: Giới hạn lim ( x) a t nx bằng 2 x 2 A. 1 B. 0 C. D. Không tồn tại Đáp án A s inx Phân tích: vì lim ( x) 0; lim a t nx= lim
nên ta có dạng 0. 2 cos x x x x 2 2 2 ời giải :
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Cách 1 : Đặt t
x thì x t, lim t 0 và 2 2 x 2 sin( t) 2 t (
x) tan x t tan( t) t cos t . Do đó 2 2 sin t cos( t) 2 t lim ( x) t anx= lim cost 1 2
to sin t x 2 Cách 2 : Sử dụng MTCT STUDY TIP lim tanx=+ ; lim a
t nx=+ . ưu ý để tránh nhầm lẫn giữa hai giới hạn này x x 2 2
Dạng 5 : Dạng
Bài toán : Tính lim [u(x) v(x)] khi lim u(x) và limv(x) Hoặc tính x 0 x x 0 x x 0 x
lim [u(x) v(x)] khi lim u(x) và limv(x) x 0 x x 0 x x 0 x
Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa
về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức). 2 2 lim x x x 1 bằng x
Ví dụ 1 : Giới hạn 1 1 A. B. C. D. 2 4 Đáp án A Lời giải : Cách 1: 2 2 Phân tích: Ta thấy lim
x x ;
lim x 1 nên bài này thuộc dạng . Tương x x
tự như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: 1 x lim x
x x x x 1 1 1 2 2 1 Ta có: lim lim x 2 2
x x x 1 x 1 1 2 1 1 2 x x Cách 2: Sử dụng MTCT 2 lim 9x x 1 3x bằng x
Ví dụ 2: Giới hạn 2 2 1 1 3 3 6 6 A. B. C. D. Đáp án D ời giải: 2 Phân tích: Ta có lim
9x x 1 ;
lim (3x) nên bài này thuộc dạng vô x x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
định (mặc dù biểu thức của hàm số lấy giới hạn có hạng tổng). Ta tiến hành nhân chia
với biểu thức liên hợp. Lời giải cụ thể như sau: x 1 x 1 Ta có: lim 2
9x x 1 3x lim lim 2
9x x 1 3x 1 1 x 9 3x 2 x x 1 1 1 1 lim x
. Vậy chọn đáp án D. x 1 1 3 3 6 9 3 2 x x
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 10 x 10
ta được kết quả như hình bên. Sử
dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 1 0,1 6 6
(xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D. Studytip:
Ví dụ 3. Giới hạn bằng: 2 3 3 2 lim 4x 3x 8x 2x 1 x 13 7 13 7 A. B. C. D. 24 12 24 12 Lời giải
Cách 1: Phân tích: Vì 2 3 3 2 lim
4x 3x ;
lim 8x 2x 1 nên đấy cũng là dạng vô định . Tuy x x
nhiên vì là hiệu của hai căn thức không cùng bậc nên ta chưa thể nhâ chia với biểu thức liên
hợp luôn được. Nhận thấy x 0 thì 2 3 3
4x 8x 2x nên ta thêm bớt 2x rồi nhân chia liên hợp. Với x 0 : 2 3 3 2 x x
x x 2
x x x 3 3 2 4 3 8 2 1 4 3 2
2x 8x 2x 1 1 2 2 3x x 2 2
4x 3x 2x 2 1 2 1 3 3 4 2 8 8 3 3 x x x x Do đó 2 3 3 2 lim 4x 3x 8x 2x 1 x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 1 2 2 3 3 2 7 lim x . x 2 3 2 2 4 4 4 12 2 1 2 1 4 2 3 3 4 2 8 8 3 3 x x x x x Do đó chọn B.
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại 10 x 10
ta được kết quả như hình bên. Sử
dụng ki thuật tìm dạng phân số của một số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được 7 0,58 3 . 12
(xem lại phần giới hạn dãy số). Vậy chọn đáp án D. Studytip:
Lƣu ý: Ta xem lại một Ví dụ đã trình bày ở dạng như sau:
Ví dụ 4. Giới hạn của hàm số f x 2 2
x x 4x 1 khi x bằng: A. B. C. 1 D. 3
Phân tích: Ví dụ này cũng thuộc dạng nhưng lại không phải là dạng vô định. Bằng các
định lí và quy tắc, ta tính được giới hạn hàm số mà không cần phải nhân chia với biểu thức liên
hợp. Ta xem cách giải cho tiết dưới đây. Lời giải 1 1 1 1 2 2 2 2
x x 4x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 2 2 x x x x 1 1 x 1 4 . 2 x x 1 1
Ta có lim x và lim 1 4 1 2 1 0. x 2 x x x 1 1 Vậy lim x x x x x 2 2 4 1 lim 1 4 . 2 x x x Studytip:
Cũng là nhưng khi nào là xác định, khi nào là vô định? Khi nào phải nhân chia liên hợp, khi nào thì đưa n
x ra ngoài căn rồi đặt nhân tử chung như Ví dụ 4? Để có câu trả lời mời quý
độc giả hãy đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa căn.
Ví dụ 5. Trong các giới hạn sau giới hạn nào là hữu hạn: A. 2 lim
4x 4x 3 2x B.
x x x x 2 lim 2 1 3 . . x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam C. 2
lim x 1 x 2x D.
x x x x 2 lim 3 2 . . x Lời giải
Cách 1: Với các kết quả đã biết phần giới hạn dãy số có chứa căn, ta thấy ngay đáp án là D. Thật vậy: 2
x x x 2 lim 4 4 3 ; lim 2 lim
4x 4x 3 2x . x x x 2
x x
x 2 lim 2 1 ; lim 3 lim
2x x 1 3x . x x x lim x x x x x 1 1 2 1 2 lim 1 2 2 x x x 1 1 do lim x ; lim 1 2 1 2 0. 2 x x x x 2 3 3x 2 3 lim x
x x x x 2 3 2 lim lim . x 2 x 3x 2 x x 3 2 2 1 1 2 x x
Cách 2: Sử dụng MTCT để tìm lần lượt các giới hạn. Ví dụ 6. 1 1 Giới hạn lim bằng: 2
x2 x 4 x 2 A. B. C. 3 D. 2 Lời giải 1 1 Cách 1: Vì lim ; lim
nên ta có dạng . 2 x2 x2 x 4 x 2
Theo phương pháp đã nêu từ đầu, ta đi quy đồng mẫu số các phân thức. 1 1 1 1 x 1 Ta có lim lim lim . 2 x2 x2 x 4 x 2
x 2 x 2 x 2 x2
x 2x 2 x 1 3 Vì lim x
x với mọi x 2 nên theo quy tắc 2, x x và 2 0 2 0, lim 2 0 2 x2 4 1 1 x 1 lim lim . Do đó chọn B 2 x 2 x 2 x 4 x 2
x2x2
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x 2, 00000001 ta được kết quả như hình bên.
Do đó chọn đáp án B, tứ 1 1 c là lim . 2
x2 x 4 x 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Ví dụ 7. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn: a b lim là hữu hạn: 2 2
x2 x 6x 8
x 5x 6
A. a 4b 0.
B. a 3b 0.
C. a 2b 0.
D. a b 0. Lời giải a b a b Cách 1: Ta có 2 2 x 6x 8 x 5x 6
x 2x 4 x 2x 3 a x
3 b x 4 g x
x x x
x x x . 2 3 4 2 3 4
Ta có lim x 2 0; lim x 3 1
; lim x 4 2
; lim g x 2b . a x 2 x 2 x 2 x 2
Do đó nếu lim g x 0 2b a 0 thì giới hạn cần tìm là vô cực theo quy tắc 2. x 2
Từ đó chọn được đáp án đúng là C.
(Thật vậy, nếu lim g x 2b a 0 thì x 2 a b bx 2b b 2 2 x 6x 8 x 5x 6
x 2x 3x 4 x 3x 4 Và do đó a b b b lim lim . 2 2 x 2 x 2 x 6x 8 x 5x 6
x3x4 2
Cách 2: Sử dụng MTCT. Với mỗi đáp án, lấy các giá trị cụ thể của a và b , thay vào hàm số rồi tính giới hạn.
Từ đó chọn được đáp án là C.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
DẠNG 1. BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁCH SỦ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ, QUY TẮC. Câu 1:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để B 7 với B lim 3 2
x 3x m 2m. x 1
A. m 1hoặc m 3 B. m 1
hoặc m 3 C. 1 m 3
D. 1 m 3. 2 x 1 khi x 1 Câu 2:
Cho hàm số f x 1 x
. Khi đó lim f x bằng: x 1
2x 2 khi x 1 A. 0 B. 2 C. D. Câu 3:
Trong các hầm số sau, hàm số nào có giới hạn tại điểm x 1?
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
A. f x 1 g x
C. h x 1
D. t x 1 x B. 1 1 x 1 1 x x 1 Câu 4:
Chọn khẳng định đúng. 1 1 1 1 A. lim cos 0 B. lim cos 1 C. lim cos 1 D. lim cos không tồn x 0 x x 0 x x0 x x 0 x tại. Câu 5:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ? A. 3 2
lim 5x x x 1 . B. 4
lim 2x 3x 1 . x x C. 2 3
lim 4x 7x 2. D. 5
lim 3x x 2. x x Câu 6:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ? A. 2 lim
4x 4x 3 2x B.
x x x x 2 lim 4 4 3 2 . . x C. 2 lim
4x 4x 3 x D. x x x x 2 lim 4 4 3. . x Câu 7:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ? 2 6 x 1 2x 3 5 3x 3 2x 4 A. lim . lim . lim . D. lim 4 2 x3 9 B. 3x x 1 5 C. 5x x 2 x 2 x 1 x 1 Câu 8:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực? 2 x x 1 3 2 x 2x A. 3 lim . B. lim . 2 2 x2 x 2x x 2 2 x x 6 2 9x x 2 x 2x 1 C. lim D. lim . 4 x 2x 1 . 4 3 x 3 x 1 x x 1 Câu 9:
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là vô cực? 3 x23 8 A. lim . B. lim . x 2
5x x 2 4x x 0 x 2
x x 2 3 x 5 C. lim . D. lim . 3 3 x 4 1 x x
x 4x x 2
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f x 2
mx 9x 3x 1 có giới
hạn hữu hạn khi x . A. m 3 B. m 3 C. m 0 D. m 0 0
DẠNG 2. GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG . 0 3x 6 lim
Câu 11: Giới hạn x 2 x 2 A. Bằng 3 B. Bằng 3 C. Bằng 0 D. không tồn tại 4 4 x a
Câu 12: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim bằng: xa x a
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam A. 3 3a B. 3 2a C. 3 a D. 3 4a 2
x mx m 1
Câu 13: Cho C lim , m C 2 x 1 x
là tham số thực. Tìm m để 2. 1 A. m 2 B. m 2 C. m 1 D. m 1 2
x ax b
Câu 14: Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim 6 bằng: x2 x thì a b 2 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 1 ax 1
Câu 15: Cho a và b là các số thực khác 0. Giới hạn lim bằng: x0 sin bx a a 2a 2a A. B. C. D. 2b 2b b b Câu 16: Cho , a ,
b c là các số thực khác 0,3b 2c 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa , a , b c để: tan ax 1 lim . 3 x 0
1 bx 1 cx 2 a 1 a 1 a 1 a 1 A. B. C. D. 3b 2c 10 3b 2c 6 3b 2c 2 3b 2c 12 sin x 1
Câu 17: Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim1 m n x x bằng: x 1 1
A. m n
B. n m C. D. m n n m
5x 4 2x 1
Câu 18: Để tính giới hạn lim
, bạn Bính đã trình bày bài giải như sau: x 1 x 1 Bước 1: Ta có:
5x 4 2x 1 5x 4 1 2x 1 1 lim lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 5x 4 1 5 x 1 Bướ 5 5 c 2: lim lim lim . x 1 x 1 x 1 x
1 5x 4 x 1 1 5x 4 1 2 2x 1 1 2 x 1 Bướ 2 c 3: lim lim lim 1. x 1 x 1 x 1 x
1 2x 1 x 1 1 2x 1 1 Bướ 5x 4 2x 1 5 3 c 4: lim 1 . x 1 x 1 2 2
Hỏi lời giải của bạn Bính đã mắc lỗi sai ở bước nào? A. Bước 1. B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bước 4.
3 8x 11 x 7 m Câu 19: Biết lim
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên 2 x2 x 3x trong đó m 2 n n
dương. Tổng 2m n bằng:
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 3
6x 9 27x 54 m Câu 20: Biết lim
trong đó m là phân số tối giản, m và n là các số nguyên x x 3 , 2 3
x 3x 18 n n
dương. Khi đó 3m n bằng: A. 55 B. 56 C. 57 D. 58 3
3x 2 5x 4
Câu 21: Giới hạn lim bằng: x x 2 1 1 A. B. C. 0 D. 1
Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?
x x62 2 x 1 2 x 1 2 x x 6 A. lim . B. lim . lim . lim . 3 2 x 1 x 1 2 3 2 x 2
x 3x C. 2 x 3 x D. 3x x 2 x 2x
Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào khác 0? 2 x 3x 2 2 x 9 A. lim . B. lim . x2 2 x x 3
2x 13x 2 x 3x 2 3 x 1 C. lim . D. lim . x 2 1 x 2x 1 2 x 1 x 1
Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào không tồn tại? 3 x 8 x33 27 2 4 3x x x x 2 A. lim . lim . C. lim . D. lim . 2 x 2
x 11x B. 18 x 0 x x0 2x x 2 2 x 3x 2
Câu 25: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào không hữu hạn? 2 2x x 10 2 x 4x 3 x 2 1 x 2 A. lim . lim . lim . D. lim . 3 2 2 x2 x B. 8 x 3 x 6x C. 9 2 x 2 x 5 3 x 3 x 9
DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG .
Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? 2 x 1 3 2 x x 3 2x 3 2 2x x 1 A. lim . lim . lim . D. lim . x x B. 1 2 3 x 5x C. x 2 2
x x 5x x 3x x
Câu 27: Trong các giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn nào là lớn nhất? x 1 3
3 2x 5x 2 2x 1 2 2x x A. lim B. lim . x x . 3 x 1 x 4
2x x x 1 2x 1 2
2x x 4 2 3x 1 3 2 x C. lim . D. lim . 3 x x 3x 1 x 4
2x x x 1
Câu 28: Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? 2 2 x x 1 2 3x x 5 3 2 1 3x x 2 4 3x x 1 A. lim . lim . lim . lim . x 3 B. x x 1 C. 2x 2
x 5 x D. 2x 2 x 2 x x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 2
x 2x 3x
Câu 20. Tính giới hạn lim . x 2
4x 1 x 2 1 2 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2
Câu 21. Cho a ,b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a ,b , c để 2
ax b 9x 2 lim 5 x cx . 1 a 3b a 3b a 3b a 3b A. 5. B. 5 . C. 5. D. 5 . c c c c 2
4x 3x 1
Câu 22. Cho a và b là các tham số thực . Biết rằng lim
ax b 0,a và b thỏa mãn x cx 1
hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây ?
A. a b 9.
B. a b 9.
C. a b 9.
D. a b 9.
Câu 23. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là ? 4 2x x 1 2 x 5x 2 A. lim lim . 2
x x x . B. 2 x 1 2 x 5 x x 11 3 3 2 x 2x 1 C. lim lim . 2 x 2x x . D. 1 x 1 2x
Câu 24. Tìm giới hạn nhỏ nhất trong các giới hạn hữu hạn sau. 6 x 2 2 2x x A. lim 3 lim . 3
x 3x . B. 1 2 x 8x x 3 x x 2 x 3 C. lim lim . 2
x x x . D. 2 x 2 x x 5
Câu 25. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là lớn nhất?
2x 51 x2 2x 2 1 x 3 A. 3 lim lim . 3 x 3x x . B. 1 2 x x 5x 4 2 x x 2 3 2 x C. lim . D. lim . x
3x 13x 1 x 2 x 1 x
Câu 26. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? 2
x x 2x x A. lim lim 1 2x 3 x 3 . B. 4 x x x . 1 2 2
x x 4x 1 4 5 3x 4x 2 C. lim lim . x 2x . D. 3 5 4 x 9x 5x 4
DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0. 1 1 1
Câu 27. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim .
xa x
a x a2 1 A. bằng . B. là . C. là . D. không tồn tại. 2 a
Câu 28. Trong các giới hạn sau , giới hạn nào là hữu hạn ? x 3x
A. lim x 3 1 .
B. lim x 1 . 4 2 2 x 2x x 1 x x 1
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x 1 x
C. lim x 2 2 lim x 1 3 x x . D. x 4 x 2x x . 1
Câu 29. Trong các giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nào là nhỏ nhất? 2x 1 3x 11
A. lim x 1 lim 1 2x 3 x x x . B. 2 3 x x . 1 x x 1 C. lim lim 2 3x . 3 x 1 2 3 x 1 x . D. 1 x 5x 2x 1 x 2 x 3
Câu 30. Tính giới hạn 2 3 lim x . x x x 1 A. . B. 0. C. . D. 2
Câu 31. Tính giới hạn lim tan 2x tan x . x 4 4 1 1 A. 2 . B. 0. C. . D. 2 4
DẠNG 5: Dạng vô định n 1
Câu 32. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim . 1 1 n x x 1 x n n 1 n 1 n 2 A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 1 3 khi x 1
Câu 33. Cho hàm số f x 3
x 1 x 1
. Với giá trị nào của m thì hàm số f x có giới hạn mx 2 khi x 1
tại điểm x 1 A. 2. B. -1. C. 1. D. 3 1 k
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim( ) là hữu hạn. 2 x 1 x 1 x 1 A. k 2 .
B. k 2 . C. k 2 . D. k 2 .
Câu 35. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1 ? A. 2
lim ( x 2x x) . B. 2
lim ( x 2x x) . x x C. 2
lim( x 2x ) x . D. 2
lim ( x 2x x) . x x Câu 36. Giới hạn 2
lim ( x 3x 5+ax) = + nếu. x A. a 1. B. a 1. C. a 1. D. a 1.
Câu 37. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2
lim (ax x bx 2) 3 , thì tổng a b bằng x A. 2 . B. 6 . C. 7 . D. 5 .
Câu 38. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết 2
lim (ax+b- x 6x 2) 5 số lớn hơn trong hai số x
a và b là số nào trong các số dưới đây? A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
Câu 39. Trong các giới hạn dưới đây, giới hạn nào là vô cực? A. 2 2
lim ( 2x x 2x 3) . B. 2
lim ( 4x x 1 2x) . x x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam C. 2
lim ( 9x 3x 1 5x) . D. 2 2
lim ( 3x 1 3x 5x) . x x m Câu 40. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x 2x 27x 4x 5)
trong đó m là phân số tối giản, m và n là các x n n
số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n . A. 135 .
B. 136 . C. 138 . D. 140 . 7
Câu 41. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết 2 3 3 2
lim ( 9x + ax 27x bx 5)
, hỏi a và b x 27
thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a 2b 33 .
B. a 2b 34 .
C. a 2b 35 .
D. a 2b 36 . H Ố LI N C A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Định nghĩa 1
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a,b và x 0
;ab. Hàm số y f x được gọi
là iên t c tại x
0 nếu lim f x f x0 . x x 0
Hàm số y f x không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. STUDY TIP
Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định trên
một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó. Định nghĩa 2
Hàm số y f x được gọi là i n n h ảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y f x được gọi là i n n ạn a,b
nếu nó liên tục trên khoảng ; a b
và lim f x f a; lim f x f b x a x b
Khái niệm liên tục của hàm số trên nửa khoảng như ; a b , ; a b , ; a , ; b được định
nghĩa một cách tương tự. STUDY TIP
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó y y a a O b x O b x
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng
Đồ thị của hàm số không liên tục trên khoảng a;b. a;b. Định ý 2
Giả sử y f x và y gx là hai hàm số liên tục tại điểm . o x Khi đó:
a) Các hàm số y f x gx,y f x gx,y f x.gx liên tục tại điểm . o x f x b) Hàm số y
liên tục tại điểm x nếu gx . 0 g x o STUDY TIP
Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm
đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).
2. ột ố định í cơ ản Định í 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa,
hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit s được học trong chương trình lớp 2) STUDY TIP
Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lí 3
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ; a
b và f a. f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ;
a b sao cho f c 0 . Nói cách khác:
Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn ; a
b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ; a b . STUDY TIP
Một phương pháp chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng ; a b :
- Chứng minh hàm số y f x liên tục trên đoạn ; a b .
- Chứng minh f a. f b 0.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN T C
DẠNG 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Phương pháp chung:
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;
a b và x ;
a b . Để xét tính liên tục của hàm 0
số y f x tại x ta làm như sau: 0 - Tính f x ; 0 -
Tính lim f x. x 0 x -
Nếu lim f x f x thì kết luận hàm số liên tục tại x . 0 0 x 0 x -
Nếu lim f x không tồn tại hoặc lim f x f x thì kết luận hàm số không liên tục tại 0 x 0 x x 0 x x . 0
Khi xét tính liên tục của hàm số trên một tập, ta sử dụng Định lí , Định lí 2 đã nêu trong phần Lí thuyết. Câu 1:
Hàm số y f x có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu? A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Đáp án B. Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy lim f x 3; lim f x 0 . Vậy lim f x lim f x nên lim f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
không tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x 1. x 1 Câu 2:
Cho hàm số f x 2
. Hàm số f x liên tục trên khoảng nào sau đây? 2 x 5x 6 A. ;3 . B. 2; 3 . C. 3 ;2. D. 3 ; . Đáp án B. Lời giải
Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định trên tập hợp D ; 3 3 ;2 2 ;
nên theo Định lí , hàm số liên tục trên các khoảng ; 3 ; 3 ;2; 2 ; . Vì 2; 3 2
; nên đáp án đúng là B. STUDY TIP
Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. x 2 Câu 3:
Cho hàm số f x
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 2 x 3x 2
A. f x liên tục trên .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
B. f x liên tục trên các khoảng ;1 và 1;.
C. f x liên tục trên các khoảng ;2
và 2; .
D. f x liên tục trên các khoảng ;1
, 1;2 và 2; . Đáp án D. Lời giải
f x là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định là ;
1 1;2 2; nên theo Định lí ,
f x liên tục trên các khoảng ;1
, 1;2 và 2; . STUDY TIP x 2 1
Thật ra rút gọn ta được f x f x x 1 x 2
x nhưng không vì thế mà kết luận 1 trên các khoảng ;1 và 1;.
Chú ý: Không được rút gọn biểu thức của hàm số trước khi tìm tập xác định! x x Câu 4:
Cho hàm số f x 5 khi 5
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? 1 khi x 0
A. f x liên tục tại x 7 .
B. f x liên tục tại x 0 .
C. f x liên tục trên 5; .
D. f x liên tục trên 5; . Đáp án B. Lời giải
Hàm số f x xác định trên D 5;
0 . Theo định lí 1, f x liên tục trên 5; . Do
đó f x liên tục trên 5; và tại x 7 . Vậy A, C, D đúng suy ra B sai .
Thật vậy, vì không tồn tại khoảng ;
a b nào chứa điểm x 0 mà f x xác định trên ; a b
nên không thể xét tính liên tục của f x tại x 0 . Do đó không thể khẳng định f x liên tục tại x 0 . 3
x 2 khi x 1 Câu 5:
Cho hàm số f x
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 2
x 1 khi x 1
A. f x liên tục trên .
B. f x liên tục trên ; 1 .
C. f x liên tục trên 1 ;.
D. f x liên tục tại x 1 . Đáp án C. Lời giải Trên 1
;, f x 2
x 1 nên theo định lí , f x liên tục trên 1
;. Vậy chọn đáp án đúng là C. Giải thích thêm:
Ta có lim f x lim 3x 2 1
, lim f x lim 2 x . 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1
Vậy lim lim nên lim không tồn tại. x 1 x 1 x 1
Do đó f x không liên tục tại x 1 nên A,D sai.
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Mặt khác f 2 1
1 1 0 . Vậy lim f
1 nên f x không liên tục trên ; 1 . x 1 Do đó B sai. 3 x 8 khi x 2 Câu 6:
Cho hàm số f x x 2
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số mx1 khi x=2
liên tục tại x 2 . 17 15 13 11 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Đáp án D. Lời giải
f x xác định trên . 3 x 8
Ta có f 2 2m1 và lim f x lim lim 2
x 2x 4 12 x 2 x 2 x 2 x . 2
(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) Để 11
f x liên tục tại x 2 thì lim f x f 2 2m 1 12 m . x 2 2 x 2 3 Câu 7:
Chon hàm số f x khi x 3 . x 3
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm m khi x 3
số liên tục tại x 3. A. m . B. m . C. m 1. D. m 1 . Đáp án A. Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên . 2 x 3 x 3 x 3 Ta có lim f x lim lim lim lim 1 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x . 3
Tương tự ta có lim f x .(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) 1 x 3
Vậy lim f x lim f x nên lim f x không tồn tại. Vậy với mọi m , hàm số đã cho không x 3 x 3 x 3
liên tục tại x 3.
Do đó đáp án đúng là A.
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi x 3 để hiểu rõ hơn.
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 8:
Cho a và b là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số ax 1 1 f x khi x 0 x
liên tục tại x 0 . 2
4x 5b khi x 0
A. a 5b .
B. a 10b .
C. a b .
D. a 2b . Đáp án B. Lời giải
Cách : Theo kết quả đã biết thì f x ax 1 1 a lim lim
. Mặt khác f 0 5b. Để hàm x0 x0 x 2
số đã cho liên tục tại a
x 0 thì lim f x f 0
5b a 10b . Vậy đáp án đúng là B. x 0 2
Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của a và b thỏa mãn từng hệ thức rồi tính
toán cho đến khi được kết quả lim f x f 0. Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn x 0 5x 1 1 5
a 5;b 1 ta tìm được lim
; f 0 5 nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp x0 x 2 án B, chọn 10x 1 1
a 10;b 1 ta được lim
5; f 0 5 nên thỏa mãn lim f x f 0. x0 x x 0 Do đó đáp án là B. STUDY TIP n ax 1 1 a lim . x0 x n 2x 4 3 khi x 2 Câu 9:
Cho hàm số f x x 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để khi x 2 2
x 2mx 3m 2 hàm số liên tục trên . A. m 3 . B. m 4 . C. m 5 . D. m 6 . Đáp án C. Lời giải
Cách : Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2; .
Ta có f 2 3; lim f x lim . 2x 4 3 3 x2 x2 Nếu x 1
m 6 thì lim f x lim
nên hàm số không liên tục tại x 2 . 2 x2 x2 x 12x 20 Nếu x 1 3
m 6 thì ta có lim f x lim . 2 x2 x2
x 2mx 3m 2 6 m
Để hàm số liên tục tại 3 x 2 thì
3 6 m 1 m 5. 6 m Với x 1
m 5 thì khi x 2 , f x liên tục trên ;2 . 2 x 10x 17
Tóm lại với m 5 thì hàm số đã cho liên tục trên .
Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng 2; .
Ta có f 2 3; lim f x lim . 2x 4 3 3 x2 x2
Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy m 5 thỏa mãn lim f x 3. Do đó chọn đáp án C. x2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Phương pháp chung:
Một phương pháp chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm trên khoảng ; a b :
- Chứng minh hàm số y f x liên tục trên đoạn ; a b .
- Chứng minh f a. f b 0.
- Từ đó kết luận phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ; a b .
Để chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số a và b sao cho hàm
số liên tục trên đoạn ; a
b và f a. f b 0.
Ví dụ 1. Cho hàm số f x xác định trên đoạn ; a
b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu hàm số f x liên tục trên đoạn ; a
b và f a. f b 0 thì phương trình f x 0
không có nghiệm trong khoảng ; a b .
B. Nếu f a. f b 0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ; a b .
C. Nếu phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng ;
a b thì hàm số y f x phải liên tục trên khoảng ; a b .
D. Nếu hàm số y f x liên tục, tăng trên đoạn ; a
b và f a. f b 0 thì phương trình
f x 0 không thể có nghiệm trong khoảng ; a b . Đáp án D. Lời giải
A sai. Chẳng hạn xét hàm số f x 2
x 5. Hàm số này xác định trên đoạn 3 ; 3 và liên tục
trên đó, đồng thời f 3 . f
3 4.4 16 0 nhưng lại có hai nghiệm x 5; x 5 thuộc 1 2 vào khoảng 3 ; 3 .
B sai . vì thiếu điều kiện f x liên tục trên đoạn ; a b . x
C sai. Chẳng hạn xét hàm số f x 1 khi x 0
. Hàm số này xác định trên đoạn 3 ; 3 ,
x 2 khi x 0 có nghiệm x 1
thuộc vào khoảng 3 ;
3 nhưng gián đoạn tại điểm x 0 3 ; 3 , tức là không liên tục trên 3 ; 3 . Vậy D đúng. Thật vậy:
- Vì hàm số y f x liên tục, tăng trên đoạn ; a
b nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ; a
b là f a , giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ; a
b là f b .
- Nếu f a 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn ; a
b là một số dương nên
không có giá trị nào của x trên khoảng ;
a b làm cho f x 0 . Do
đó phương trình f x 0 không thể có nghiệm trong khoảng ; a b.
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
+ Nếu f a 0, do f a. f b 0 nên suy ra f b 0. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ;a
b là một số âm nên không có giá trị nào của x trên khoảng ;
a b làm cho f x 0 . Do đó phương
trình f x 0 không thể có nghiệm trong khoảng ; a b .
Câu 10: Cho phương trình 3 2
x ax bx c 0
1 trong đó ,a ,bc là các tham số thực. Chọn khẳng
định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình 1 vô nghiệm với mọi , a , b c .
B. Phương trình
1 có ít nhất một nghiệm với mọi , a , b c .
C. Phương trình
1 có ít nhất hai nghiệm với mọi , a , b c .
D. Phương trình
1 có ít nhất ba nghiệm với mọi , a , b c . Lời giải Đáp án B.
Dễ thấy a b c 0 thì phương trình 1 trở thành 3
x 0 x 0. Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.
Giải hí h h : Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình 3 2
x ax bx c 0 1 luôn
có ít nhất một nghiệm với mọi , a ,
b c ”. Ta có lời giải cụ thể như sau: Đặt f x 3 2
x ax bx . c Ta có: + 3 2
lim x ax bx c với mọi , a ,
b c nên tồn tại một giá trị x x sao cho f x 0 . 1 1 x + 3 2
lim x ax bx c với mọi , a ,
b c nên tồn tại một giá trị x x sao cho f x 0 2 2 x .
Vậy f x . f x 0 mà f x liên tục trên nên suy ra f x 0 có ít nhất một nghiệm 1 2
trên khoảng x ; x . Từ đó suy ra ĐPCM. 1 2 STUDY TIP Phương trình đa thức bậc lẻ 2n 1 2n a x
a x ... a x a 0 trong đó a 0 luôn có ít 2n 1 2n 1 0 2n 1
nhất một nghiệm với mọi giá trị của a ,i 2n 1,0. i
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình: 2
m m 3 3
2 x 3x 1 0 có nghiệm. A. m1; 2 . B. m . C. m \1; 2 . D. m . Lời giải Đáp án B. Nếu 2
m 3m 2 0 : Phương trình đã cho trở thành 1 3
x 1 0 x . 3 Nếu 2
m 3m 2 0 : theo STUDY TIP vừa nêu thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Tóm lại với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Do đó B đúng. 1
Câu 12: Cho phương trình 4 3
x 3x x 0
1 . Chọn khẳng định đúng: 8
A. Phương trình
1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1 ; 3 .
B. Phương trình
1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1 ; 3 .
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
C. Phương trình
1 có đúng ba nghiệm trên khoảng 1 ; 3 .
D. Phương trình
1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng 1 ; 3 . Lời giải Đáp án D. 1
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: f X 4 3
X 3X X , Start: 1 , End: 3, 8
Step: 0.2 ta được kết quả như sau:
Quan sát kết quả ta thấy giá trị của f x tại các điểm trong khoảng 1 ; 3 đổi dấu 4 lần. Mà
phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình
1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng 1 ;
3 . Do đó D là đáp án đúng.
Cách 2: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng 1 ;
3 . Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên. STUDY TIP
Nếu f x liên tục trên đoạn ; a
b và f x đổi dấu khi x từ a qua b thì phương trình
f x 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng ; a b .
Câu 13: Cho phương trình 4 2
2x 5x x 1 0
1 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Phương trình
1 không có nghiệm trong khoảng 1 ; 1 .
B. Phương trình
1 không có nghiệm trong khoảng 2 ;0 .
C. Phương trình
1 chỉ có một nghiệm trong khoảng 2 ; 1 .
D. Phương trình
1 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 0;2 . Lời giải Đáp án D.
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: f X 4 2
2X 5X X 1, Start: 2, End: 2,
Step: 0.2 ta được kết quả như sau:
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam
Quan sát kết quả ta thấy trên khoảng 1 ;
1 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng 2
;0 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng 2 ;
1 phương trình có ít nhất ba
nghiệm, trên khoảng 0;2 phương trình có ít nhất hai nghiệm. Vậy D là đáp án đúng.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1.
Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây:
Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số liên tục trên .
B. Hàm số liên tục trên ;4 .
C. Hàm số liên tục trên 1; .
D. Hàm số liên tục trên 1;4 . Câu 2. Cho hàm số
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam x 3 2 , x 1 x 1 f x 1 , x 1 4 2
x 1 , x 1. 2
x 7x 6
Chọn khẳng định đúng:
A. f x liên tục tại x 6 và không liên tục tại x 1.
B. f x liên tục tại x 6 và tại x 1.
C. f x không liên tục tại x 6 và liên tục tại x 1.
D. f x liên tục tại x 6 và tại x 1. 4 2 x 4x khi x 0 Câu 3.
Cho hàm số f x . x
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm m 3 khi x 0
số liên tục tại x 0.
A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn.
B. m 5 . C. m 1. D. m 1; 5 . Câu 4.
Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại x 0. 3
ax 1 bx 1 1 f x khi x 0 . x ab khi x 0
A. a b 0 .
B. 2a b 0 .
C. 3a 4b 0 .
D. 3a 2b 0 . 3 1 khi x 1 Câu 5.
Cho hàm số f x 3 1 x 1 x
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 3
m x 3 3m khi x 1 hàm số liên tục trên . A. m1; 2 . B. m 1; 2 . C. m 1 ; 2 . D. m 1 ; 2 .
x 6 a khi x 3 Câu 6.
Cho hàm số f x x 1 2
. Trong đó a và b là các tham số thực. Biết hàm 3 x 2b 1 x khi x 3
số liên tục tại x 3. Số nhỏ hơn trong hai số a và b là A. 2 . B. 3 . C. 4. D. 5 . 2 xsin khi x 0 Câu 7.
Cho hàm số f x x
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để acos x5 khi x 0 hàm số liên tục trên . A. a 5 . B. a 7 . 11 C. a .
D. Không có giá trị nào của a thỏa mãn. 2
Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 8. Cho phương trình 4 2
4x 2x x 3 0
1 . Chọn khẳng định đúng:
A. Phương trình
1 vô nghiệm trên khoảng 1 ; 1 .
B. Phương trình
1 có đúng một nghiệm trên khoảng 1 ; 1 .
C. Phương trình
1 có đúng hai nghiệm trên khoảng 1 ; 1 .
D. Phương trình
1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 1 ; 1 . Câu 9.
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 2
m m 5 2 5
4 x 2x 1 0 có nghiệm. A. m \1; 4 . B. m ; 1 4; . C. m1; 4 . D. m .
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm
m m x 2017 2 2018 2 5 2 1 x
2 2x 3 0. 1 1 A. m \ ;2 . B. m ; 2; . 2 2 1
C. m ; 2 . D. m . 2