Chuyên đề Giới hạn – Lư Sĩ Pháp
Tài liệu gồm 75 trang bao gồm phần lý thuyết cần nắm ở mỗi bài học, bài tập có hướng dẫn giải, bài tập tự luyện và bài tập trắc nghiệm chuyên đề giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục.
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
LƯ SĨ PHÁP §§ LSP
GV-Trường THPT Tuy Phong LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán,
tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG
1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học
2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Trắc nghiệm
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm
khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn. Lư Sỹ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 15
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 16 – 33
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 34 – 42 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 51 TRẮC NGHIỆM
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 52 – 55
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 60 HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 62 – 69 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 69 – 71
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Chương IV. GIỚI HẠN
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
lim u = 0 khi và chỉ khi u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n n→+∞ n đi.
lim v = a ⇔ lim (v − a) = 0 n n n→+∞ n→+∞
Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số ( u có giới hạn 0 n ) 2. Giới hạn vô cực
lim u = +∞ khi và chỉ khi u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n n→+∞ n
trở đi. Kí hiệu: lim u = +∞ hay u → +∞ khi n → +∞ n n
Dãy số ( u ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim(−u ) = +∞ n n
Nhận xét: lim u = +∞ ⇔ lim (−u ) = −∞ ; lim u = −∞ ⇔ lim (−u ) = +∞ n n n→+∞ n→+∞ n n n→+∞ n→+∞
Lưu ý: Thay cho viết lim u = L, lim u = ±∞ , ta viết lim u = a, lim u = ±∞ n n n→+∞ n→+∞ n n
3. Các giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim = 0 ; lim = 0 ; k
lim n = +∞ , với k nguyên dương. n k n b) n
lim q = 0 , nếu q < 1; n
lim q = +∞ nếu q > 1 c c) lim c = c ; lim = 0 , lim(c u k
n) = climun, với c là hằng số, k * ∈ℕ n n d) lim = 0 nếu q > 1 n q
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu lim u = L và lim v = M , thì: n n lim u
( + v ) = lim u + lim v = L + M n n n n lim u
( − v ) = lim u − lim v = L − M n n n n lim u v
. = lim u .lim v = L M . n n n n lim(c u . ) = c L
. ( với c là hằng số) n u L n lim = (nếu M ≠ 0 ) v M n
Định lí 2. Giả sử lim u = L n
Nếu u ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim u = L n n lim u = L 3 và 3 lim u = L n n 1
Nếu lim u = +∞ thì lim = 0 n un
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1. Nếu lim u = ±∞ và lim v = ±∞ thì lim (u v được cho trong bảng: n n ) n n 1 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 lim u lim v lim (u v n n ) n n +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞
b) Quy tắc 2. Nếu lim u = ±∞ và lim v = L ≠ 0 thì lim (u v được cho trong bảng: n n ) n n lim u Dấu của L lim (u v n n ) n +∞ + +∞ +∞ − −∞ −∞ + −∞ −∞ − +∞ u
c) Quy tắc 3. . Nếu lim u = L ≠ 0 và lim v = 0 và v > 0 hoặc v < 0 thì n lim được cho trong n n n n v n bảng: Dấu của L Dấu của v u n n lim v n + + +∞ + − −∞ − + −∞ − − +∞ u
Chú ý . Nếu lim u = L > 0, lim v = ±∞ thì n lim = 0 n n vn
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u
S = u + u + u + ... + u 1 + ... = ; q <1
S = u + u q + u q2 + ... + u q 1 − 1 + ... = ; q < 1 1 2 3 hay n n 1− q 1 1 1 1 1− q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số Cho ba dãy số (u ≤ ≤
n), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu u v
w với mọi n và lim u n n n
n = lim wn = L thì dãy
số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a n 1
d) Số e: e = lim 1+ n→+∞ n
9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu
cho nk, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp.
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. 2 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
- Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới
dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này. B. BÀI TẬP n +1
Bài 1.1. Biết dãy số (u ≤ n) thỏa mãn u
với mọi n. Chứng minh rằng lim u n n = 0. n2 HDGiải 1 1 + n +1 n +1 n 2 Đặt v = . Ta có n lim v = lim = lim
= 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy n n2 n n2 1 n
ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có u ≤ v ≤ v (2) n n n
Từ (1) và (2) suy ra u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là n lim un = 0. π n 3 +1− sin
Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn n lim n 3 HDGiải π π n n 3 +1− sin sin 1 Ta có n n lim = lim 1+ − n n 3 3 3 sin π 1 1 n 1 1 1 Mặt khác, ta lại có n ≤ = và lim = lim = 0 nên
có thể nhỏ hơn một số dương bé n n n 3 3 3 n 3 3 n 3
tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. sin π Từ đó suy ra
n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. n 3 sin π π π n n 3 +1− sin sin 1 Nghĩa là n lim = 0 . Vậy n n lim = lim 1+ − = 1 n 3 n n 3 3 3
Bài 1.3. Cho biết dãy số (u lim = +∞
n) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng u n HDGiải Vì n2 lim
= +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim u = +∞ n 3 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1
Bài 1.4. Biết dãy số (u −1 < n) thỏa mãn u
với mọi n. Chứng minh rằng lim u = 1 n n3 n HDGiải 1 1 Ta có lim = 0 nên
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt n3 n3 1 1
khác, ta có u −1 < = với mọi n n n3 n3
Từ đó suy ra u −1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(u n n
– 1) = 0. Do đó limun = 1 2n +1
Bài 1.5. Cho dãy số (u =
n) xác định bởi u n n + 2 1
a) Tìm số n sao cho u − 2 < n 100
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998; 2,001) HDGiải 2n +1 −3 3 1 3 1 a) Ta có u − 2 = − 2 = = . Khi đó u − 2 < ⇔ < ⇔ n > 298 n n + 2 n + 2 n + 2 n 100 n + 2 100 3 3
b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔ < n + 2 2009 3 3 3 ⇔ u − 2 < ⇔ 2 − < u < 2 +
⇔ 1,998 < u < 2,001 n n n 2009 2009 2009
Bài 1.6. Tính các giới hạn sau 6n −1 4n2 − n −1 3n2 + n − 5 2n3 − 2n + 3 a) lim b) lim c) lim d) lim n 3 + 2 3 + 2n2 2n2 +1 1− 4n3 HDGiải 1 1 1 1 n 6 − 6 6 − 4 − − n −1 n 4n2 − n −1 n 2 a) lim = lim = lim n = 2 n lim = lim = 2 3 b) n + 2 2 2 3 + 2n2 3 n 3 + 3 + + 2 2 n n n 2 3 2 − + n2 3 + n − 5 3 2n3 − 2n 2 3 + 3 1 c) lim = d) n n lim = lim = − 2n2 +1 2 1− 4n3 1 2 − 4 n3
Bài 1.7. Tính các giới hạn sau: n n 3 + 5.4 n n ( 2 − ) + 3
n +1 cosn n ( 1) − a) lim b) lim c) lim + d) lim 3 + n n 4 + 2 n 1 + n 1 (−2) + 3 + n n 3 n 2 HDGiải n 3 n 3 n 4 + 5 + 5 n n 4 3 + 5.4 4 a) lim = lim = lim = 5 4n + 2n n 2 n 1 n 4 1 + 1 + 4 2 4 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 n n (−2) + 3 1 b) lim = n 1 + n 1 (−2) + 3 + 3
n +1 cosn n +1 cos n c) lim + = lim + lim = 1 n n n 3 n 3 n n ( 1 − ) 1 d) lim 3 +
= lim 3 + lim − = 3 n 2 2
Bài 1.8. Tính các giới hạn n2 3 +1 + n
(n +1)(3− 2n 2) n2 9 − n +1 n2 4 +1 + n a) lim b) lim c) lim d) lim 1− 2n2 n3 +1 4n − 2 2n +1 HDGiải 1 1 1 1 3 + + 3 2 n n + + n 3 +1 + n n2 n n2 n a) lim = lim = lim = 0 1− 2n2 1− 2n2 1 −2 n2 8 3 9 4 ( − − + n +1)(3 − 2n 2 ) 4n3 − n2 8 − n 3 + 9 n 2 3 b) n n lim = lim = lim = 4 n3 +1 n3 +1 1 1+ n3 1 1 3 1 2 n 9 − + n − n +1 9n 9n2 3 c) lim = lim = 4 n − 2 4n − 2 4 1 4 + +1 4n2 +1 + n n2 3 d) lim = lim = 2 n +1 1 2 2 + n
Bài 1.9. Tính các giới hạn sau 2 2 2
a) lim ( n + n − n −1)
b) lim ( n − n − n) 4 2 2 2 2
c) lim ( n + n +1− n )
d) lim n ( n −1− n + 2) HDGiải 2 2 2 2 + − −1 + + −1
a) lim ( n2 + n − n2 −1)
( n n n )( n n n ) = lim
n2 + n + n2 −1 1 n 1+ n +1 n 1 = lim = lim =
n2 + n + n2 2 −1 1 1 n 1+ + 1− n n2
n2 − n − n
n2 − n + n − 1 2 n
b) lim ( n − n − n) ( )( ) = lim = lim = −
n2 − n + n 2 1 n 1− +1 n 5 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 4 2 4 1+ 2 + +1− 1 4 2 2 c) lim ( + +1 − ) n n n n n n n = lim = lim =
n4 + n2 +1 + n2 1 1 2 1+ + +1 n2 n4 2 2 2 2 −1 − + 2 −1 + + 2
d) lim n ( n2 −1− n2 +2) n ( n n )( n n ) = lim n2 −1 + n2 + 2 − n 3 3 = lim = − 2 1 2 n 1− + 1+ n2 n2
Bài 1.10. Tính các giới hạn sau: 1 2
a) lim ( n + n + 2 − n +1) b) lim n 3 + 2 − 2n +1 n2 +1 − n +1 1 c) lim d) lim n 3 + 2
n2 + 2n − n HDGiải 1 a) +∞ b) 0 c) 3 2 1+ +1 1
n2 + 2n + n n d) lim = lim = lim = 1 2 + 2 n2 − + 2n − n2 n n n 2
Bài 1.11. Tính các giới hạn sau 2 3 3 2 a) lim ( n + n 3 − n + 2)
b) lim ( n − 2n − n) 4n2 +1 − 2n +1
c) lim n ( n −1 − n) d) lim
n2 + 2n − n HDGiải n2 + n 3 − n n2 + n 3 + n 2 a) lim ( n + n 3 − n + 2) ( )( ) = lim + 2 n2 + n 3 + n n 3 3 7 lim 2 lim 2 = + = + = 3 3 2 n 1+ +1 1+ +1 n n ( 2
3 n3 − 2n2 − n) (n3 −2n2) +n3 n3 −2n2 +n2 3 3 3 2
b) lim ( n −2n − n) = lim ( 2
n3 − 2n2 ) + n3 n3 − 2n2 + n2 3 −2n2 −2 2 = lim = lim = −
3 n6 − 4n5 + 4n2 + n3 n3 − 2n2 + n2 4 4 2 3 3 3 1− + + 1− +1 n n4 n 6 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 n n −1− n n 1
c) lim n ( n −1 − n) ( ) = lim = − lim = − n −1 + n 2 1 n 1− +1 n 4 +1 − 2 +1
( 4n2+1−(2n−1))( 4n2+1+(2n−1))( n2 2 + 2n + n n n ) d) lim = lim
n2 + 2n − n
( n2+2n−n)( n2+2n+n)( 4n2+1−(2n−1)) 2 2 1+ +1 4
n ( n2 +2n + n) n 4 = lim = lim = = 1
2n( 4n2 +1+(2n−1)) 1 1 4 4 + + 2 − n2 n
Bài 1.12. Tính các giới hạn sau: 4 a) lim n 3 −10n +12 b) ( n n lim 2.3 − 5.4 ) 2
c) lim ( n − n + n) d) n lim 2.3 − n + 2 HDGiải a) +∞ ; b) −∞ 1 2
c) lim ( n − n + n) = limn 1− +1 = +∞ n n 2 n 2
d) 2.3 − n + 2 = ( 3)n n 2 − + với mọi n. Vì lim = 0;lim = 0 nên n n 3 3 n n 3 3 n 2 lim 2 − + = 2 > 0 . Ngoài ra ( )n lim 3 = +∞ n n 3 3 Do đó n
lim 2.3 − n + 2 = +∞
Bài 1.13. Tính các giới hạn sau: 2 2 2 a) lim n −
b) lim(−n + n n +1) n +1
n 1+ 2 + 3 + ... + n 1 2 3 n −1 c) lim d) lim + + + ...+ n2 + n +1
n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 HDGiải 1 2 1 2 + − n3 + n2 − 2 n 2 2 a) n lim n − = lim = lim = +∞ n +1 n +1 1 1 + n2 n3 1 1 2 2
b) lim(−n + n n +1) = lim(−n )1− + = −∞ n n2 n(n +1) 1 n 1+
n 1+ 2 + 3 + ... + n 2 n 2 c) lim = lim = lim = n2 + n +1 n2 + n +1 1 1 2 2 1+ + n n2 7 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 2 3 n −1 1+ 2 + 3+ ...+ (n −1) n(n −1) 1 d) lim + + + ...+ = lim = lim =
n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 2n2 + 2 2
Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau n 1 + n 2 − 3.5 + 3 n 1 + n 2 − 3 +11 a) ( n n 1 lim 3.2 5 + − +10) b) lim c) lim n n 3.2 + 7.4 n+2 n+3 3 + 2 − 4 n 13.3 − n 5 n n 1 3 + 2 + d) lim e) lim f) n lim 3.4 − n + 2 n n 3.2 + 5.4 n 1 5 + 3 + HDGiải 2 1 1 a) lim (3.2 5 + 10) n n n n lim 5 3. 5 10. − + = − + n 5 5 n 2 1 Ta có n
lim 5 = +∞ , lim 3. 5 10. − + = 5 − < 0 . Do vậy ( n n 1 lim 3.2 5 + − +10) = −∞ n 5 5 n 2 3 2. − 3+ n 1 + n n 2 − 3.5 + 3 5 5 b) lim = lim n n n n 3.2 + 7.4 2 4 3. + 7.2. 5 5 n 2 3 n n 2 4 n n 2 4 Ta có lim 2. 3 − +
= −3 < 0 ; lim 3. 7.2. +
= 0 và 3. + 7.2. > 0, n ∀ n 5 5 5 5 5 5 n 1 + n 2 − 3.5 + 3 Vậy lim = −∞ n n 3.2 + 7.4 n 1 + n 2 −3 +11 1
c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được lim = − n+2 n+3 3 + 2 − 4 9 n n 13.3 − n 5 0
d) Chia tử và mẫu cho 4n, và lưu ý lim
= 0 nếu q < 1. Vậy lim = = 0 n q n n 3.2 + 5.4 5 n n 1 3 + 2 + n n 1 3 + 2 + 1 e) Xét u =
, chia tử và mẫu cho 3n, khi đó lim = n n 1 5 + 3 + n 1 5 + 3 + 3 n n 1 3 + 2 + 3 Vậy lim = n 1 5 + 3 + 3 n 2 f) n n
lim 3.4 − n + 2 = lim 2 3− + n n 4 4 n 2 Ta có n lim 2 = +∞ , lim 3− + = 3 > 0 . Do vậy n
lim 3.4 − n + 2 = +∞ n n 4 4
Bài 1.15. Tính các giới hạn 1 1 1 1 1 1 1 1 a) lim + + + ...+ b) lim + + + ...+ 1.2 2.3 3.4 n(n +1) 1.3 3.5 5.7
(2n −1)(2n +1) 2 2 2.1 3.2 ... (n 1 n2 ) 1 1 1 c) lim + + + + d) lim + + ...+ n4 n3 +1 n3 + 2 n3 + n HDGiải 8 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 1 1 n 1 a) lim + + + ...+ = lim = lim 1− = 1 1.2 2.3 3.4 n(n +1) n +1 n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Ta có + + + ...+ = 1 − + − + ... + − = 1 − 1.3 3.5 5.7 (2 n −1)(2n +1) 2 3 3 5
2n −1 2n +1 2 2n +1 1 1 1 1 1 Nên lim + + + ...+ = 1.3 3.5 5.7
(2n −1)(2n +1) 2 2 2
2.1 + 3.2 +...+ (n +1)n2 3 3 3 1 + 2 + 3 + ...+ n3 2 2 2 +1 + 2 + 3 + .. n2 . c) lim = lim n4 n4 2 2 n(n +1)
n(n +1)(2n +1) 1 2 3 1 + 1+ 2 6 + + n n n2 n3 1 = lim = lim + = n4 4 6 4 1 1 d) Vì ≤ với mọi k * ∈ℕ n3 + k n3 +1 1 1 1 n 1 Do đó 0 < + + ...+ ≤ < n3 +1 n3 + 2 n3 + n n3 +1 n 1 1 1 1 Mà lim = 0 nên suy ra lim + + ...+ = 0 n n3 +1 n3 + 2 n3 + n
Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết 1 1 1 1 1 1 a) u = + + ...+ b) u = + + ...+ n n n2 +1 n2 + 2 n2 + n 1 2 n 1 1 1 3sin n + 4cosn c) u = + + ...+ d) u = n n n + 1 n + 2 n + n n +1 HDGiải 1 1 1 1 1 1 * a) Ta có + + ...+ ≤ u ≤ + + ...+ , n ∀ ∈ℕ n n2 + n n2 + n n2 + n n2 +1 n2 +1 n2 +1 n n n n Do đó: ≤ u ≤ . Mà lim = 1 = lim n n2 + n n2 +1 n2 + n n2 +1 1 1 1 Vậy lim u = lim + + ...+ = 1 n n2 +1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 n * b) Ta có u ≥ + + ...+ = = n, n ∀ ∈ℕ n n n n n 1 1 1
Mà lim n = +∞ . Vậy lim u = lim + + ...+ = +∞ n 1 2 n 1 1 1 1 1 1 * c) Ta có + + ...+ ≤ u ≤ + + ...+ , n ∀ ∈ℕ n n + n n + n n + n n + 1 n + 1 n + 1 n n n n Do đó ≤ u ≤ . Mà lim = 1 = lim n n + n n +1 n + n n +1 1 1 1 Vậy lim u = lim + + ...+ = 1 n n + 1 n + 2 n + n 3sin n + 4cosn 5 5 * d) Ta có ≤ , n ∀ ∈ ℕ . Mà lim = 0 . n +1 n +1 n +1 9 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3sin n + 4cosn Vậy lim u = lim = 0 n n +1 1 1
Bài 1.17. Tính tổng S = 2 − 2 +1− + −... 2 2 HDGiải 1 1 2 1
Dãy số vô hạn 2, − 2,1, −
, ,... là một cấp số nhân với công bội q = − = − 2 2 2 2 1 1 Vì q = − =
< 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 2 2 1 1 2 2 2
Do đó S = 2 − 2 +1− + −... = = 2 2 1 2 +1 1+ 2 n 1 1 (−1)
Bài 1.18. Tính tổng S = −1+ − + ...+ + ... 2 n 1 10 10 10 − HDGiải n 1 1 (−1) 1 Dãy số −1, ,− ,...,
,... là một cấp số nhân với công bội q = − 2 n 1 10 10 10 − 10 1 1 Vì q = − = < 1 10 10
nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. n 1 1 (−1) −1 10 Do đó S = −1+ − + ...+ + ... = = − 2 n 1 10 10 10 − 1 11 1− −10 1 1 1 1
Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 HDGiải 1 1 1 1 1 1 Dãy số , , ,...,
,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u = ,q = 2 3 n 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 Do đó S = + + + ...+ + ... = = 1 2 3 n 2 2 2 2 1 1− 2
Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777…dưới dạng một phân số. HDGiải 7 7 7 Ta có 0, 777... = + + + ... 2 3 10 10 10 7 1
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u = ,q = 1 10 10 7 7 7 7 10 7 Do đo 0, 777... = + + + ... = = 2 3 10 10 10 7 9 1− 10
Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số. HDGiải 10 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 31 31 1 31 1 31 1 31 0,313131... = + . + . + ... = . = 100 100 100 100 100 100 1 99 1− 100
Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13)
và c = 2,131131131…( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số. HDGiải 2 2 2 2 100 2 101
Ta có a = 1,020202... = 1+ + + ...+ + ... = 1+ = 1+ = 2 n 100 100 100 1 99 99 1− 100 2 2 2 1 (vì , ,...
,...là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = ) 2 n 100 100 100 100 13 13 13 13 100 13 211
Ta có b = 2,131313... = 2 + + + ...+ + ... = 2 + = 2 + = 2 n 100 100 100 1 99 99 1− 100 131 131 131 131 1000 131 2129
Ta có c = 2,131131131... = 2 + + + ...+ + ... = 2 + = 2 + = 2 n 1000 1000 1000 1 999 999 1− 1000 Bài 1.23. 5 39
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 25 .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2
b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 HDGiải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u 5 1 = (1) 1− q 3 u (1− q3 1 ) 39 = (2) 1− q 25 5 39 2 3
Thay (1) vào (2), ta được (1− q ) = ⇔ q = u = 1 3 25 5 thay vào (1), ta được 1 n 1 2 − b) u = n 3
Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 3
12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. HDGiải
Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho. 11 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 u1 = 12 (1) 1 − q u 3 Khi đó S 1 = u 1− q = (2) 1 . Theo giả thiết, ta có 1 ( ) . − q 4 u > 0 1 u2 = 9 3 3 Nhân (1) với (2), ta có 1
⇔ u = 3 ⇒ q = = 3; = 1 . Vậy u q 1 u > 0 4 4 1 12
Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là 5 và
tổng cấp số nhân này là 15. HDGiải
Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có 12 u q = 1 4 1 5 q = q = ⇔ 5 hoặc 5 u 1 =15 u = 12 u = 3 1 1− q 1 Bài 1.26. 155
a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là 16 .
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1
b) Tính tổng S = 9 + 3 +1+ ... + + ... n 3 3 − HDGiải
a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u1 = 10 (1) 1− q u (1− q5 1 ) 155 = (2) 1− q 16 155 1 5
Thay (1) vào (2), ta được 10(1− q ) = ⇔ q = u = 5 16 2 thay vào (1), ta được 1 1 1 b) Vì 9,3,1,...,
,...là cấp số nhân lùi vô hạn, có q = và u = 9 nên : n 3 3 − 3 1 1 9 27 S = 9 + 3 +1+ ... + + ... = = n−3 3 1 2 1− 3 1 7 2
Bài 1.27. Giải phương trình n
+ x + x + ...+ x + ... = , trong đó x < 1. x 2 HDGiải u1 2 x
Vì x < 1, nên với u = 1, q = x S =
= x + x + ...+ x + ... = 1 . Ta có n 1 − q 1− x 12 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 2 x 1 1 1 7 − +1 7 = 2 x x x 3 Do đó: n
+ x + x + ...+ x + ... = + S ⇔ + = ⇔ = ⇒ x x x 1− x 2 x(1− x) 2 2 x = 3 u = 2 Bài 1
1.28. Cho dãy số (un) xác định bởi
. Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm u = 2 + u ;n ≥ 1 n 1 + n giới hạn đó. HDGiải = −1 2 a Đặt limu = 2 + ⇒ lim = lim 2 + ⇒ = 2 + ⇒ − − 2 = 0 ⇒
n = a. Ta có u u u u a a a a n 1 + n n 1 + n a = 2 Vì u lim = ≥ 0 n > 0 nên u a . Vậy limu n n = 2. 1 u = 1 2
Bài 1.29. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 1 u = ;n ≥ 1 n 1 + 2 − un
Dãy số (un) có giới hạn hay không khi n → +∞ ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó. HDGiải 1 2 3 4 n
Ta có u = ;u = ;u = ;u = u = (1) 1 2 3 4 2 3 4 5 . Từ đó ta dự đoán n n +1
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp: 1 1 - n = 1, ta có u = = 1 1 (đúng) +1 2 k
- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là u = . Khi đó ta có k k +1 1 1 k +1 u = = =
, nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1. k 1 + 2 − u k k + 2 k 2 − k +1 n 1 * n - Vậy u = , n
∀ ∈ℕ . Từ đó ta có lim u = lim = lim = 1 n n +1 n n +1 1 1+ n u = 2 1
Bài 1.30. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi u +1 n u = ;n ≥ 1 n 1 + 2
Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó. HDGiải 3 5 9 17 n 1 2 − +1
Ta có u = 2;u = ;u = ;u = ;u = * u = ; n ∀ ∈ℕ 1 2 3 4 5 2 4 8 16 . Từ đó dự đoán n n 1 2 −
Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh) n 1 − n n 1 2 − +1 1 1 Từ đó, lim u lim u lim 1 lim 1 2. = = = + = + = 1 n n n 1 2 − 2 2 u = 1 1
Bài 1.31. Cho dãy số (u 2 + 3
n) xác định bởi công thức truy hồi u n u = ;n ≥ 1 n 1 + u + 2 n 13 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n
b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. HDGiải
a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n. (1)
- Với n =1, ta có u1 = 1 > 0
- Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta 2u + 3 2u + 3 có k u = . Vì u u = > 0 k 1 + k > 0 nên k u + 2 k 1 + u + 2 k k
Vậy: un > 0 với mọi n. 2u + 3 2u + 3 2a + 3 Đặt limu = ⇒ lim = lim ⇒ = ⇒ = ± 3 n = a. Ta có n n u u a a n 1 + n u 1 + 2 + u + 2 a + 2 n n Vì u lim = ≥ 0 lim = 3
n > 0 với mọi n, nên u a . Từ đó suy ra u n n u = −5 1
Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi 2u n u = − 6 n 1 + 3
Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18
a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (v lim n) và tìm u n HDGiải 2 2 a) Ta có v
= u +18 = u − 6 +18 = u +12 n 1 + n 1 + n n 3 3
Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được: 2 2 v =
v −18 +12 = v . n 1 + ( n ) n 3 3 2
Điều này chứng tỏ, dãy số (v =
n) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q 3 v 13
b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (v 1 = = = 39 n). Khi đó S 1 − q 2 1− 3
Vì lim v = 0 nên lim u = −18 n n
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.33. Tính các giới hạn sau n ( 1) − sin n 3 n −1 n + 2 a) lim 2 + b) lim −1 c) lim d) lim n + 2 4n n n +1
Bài 1.34. Tìm limun với n2 − n 3 + 5 −2n2 + n + 2 2n2 − n n 4 a) u = b) u = c) u = d) u = n 2n2 −1 n n4 3 + 5 n 1− n2 3 n n n 2.3 + 4
Bài 1.35. Tính các giới hạn sau:
n4 − 40n3 +1 n 5 − 7 2n3 + 3 n2 5 −10n + 3 a) lim b) lim n4 + n +100 n5 5 − n3 + 2n n4 6 + n +1 n n 3.2 − 8.7 c) lim lim 2 d) n +1 n n 4.3 + 5.7 14 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 n 1 2 + ( n n−2 3.2 −3 ) n 2 ( n 1− n 3 − 5.2 ) e) lim f) lim n 3 ( n 1 2 − + 4) n 1 3 − ( n2 + 4)
Bài 1.36. Tính các giới hạn sau n n (−3) + 2.5 1+ 2 + 3+...+ n a) lim b) lim n 1− 5 n2 + n +1 1 2 2
c) lim ( n + 2n +1− n + n −1) d) lim n + 2 − n +1 2n+3 3n+2 8 − 3 6n+3 3n+5 2 − 3 e) lim f) lim 3n+4 2n+3 4 + 5 3n+4 2n+3 4 + 7
Bài 1.37. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111… d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38. n 1 1 1 1 1 −
a) Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,..., − ,... 2 4 8 2 b) Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... n 3 + 2
Bài 1.39. Cho dãy số (u =
n) xác định bởi u n n +1 1
a) Tìm số n sao cho u − 3 < n 1000
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (2,999; 3,001) 15 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn − ( ) \ lim ( )
Cho khoảng K, x ∈ K K x f x = L 0
và hàm số f x xác định trên K (hoặc { 0}). khi và chỉ khi x→x0
với dãy số ( x bất kì, x ∈ K \ x và x → x thì lim f (x ) = L n { 0} n ) n 0 n n→+∞ − ( ) ; lim ( ) =
Cho hàm số f x xác định trên khoảng ( x b f x L x 0 ).
khi và chỉ khi với dãy số ( bất kì, n ) x x+ → 0
x < x < b x → x
lim f (x ) = L 0 và thì n n 0 n n→+∞ − ( ) ; lim ( ) =
Cho hàm số f x xác định trên khoảng (a x f x L x 0 ) .
khi và chỉ khi với dãy số ( bất kì, n ) x x− → 0
a < x < x và x → x thì lim f (x ) = L n 0 n 0 n n→+∞ − ( ) lim ( ) =
Cho hàm số f x xác định trên khoảng (a;+∞) . f x
L khi và chỉ khi với dãy số (x bất kì, n ) x→+∞
x > a và x → +∞ thì lim f (x ) = L . n n n n→+∞ − ( ) − ; lim ( ) =
Cho hàm số f x xác định trên khoảng ( ∞ a) . f x
L khi và chỉ khi với dãy số (x bất kì, n ) x→−∞
x < a và x → −∞ thì lim f (x ) = L . n n n n→+∞ 2. Giới hạn vô cực − ( ) − ; lim ( ) = −∞
Cho hàm số f x xác định trên khoảng ( ∞ a) . f x
khi và chỉ khi với dãy số ( x bất n ) x→+∞
kì, x > a và x → +∞ thì lim f (x ) = −∞ . n n n n→+∞ − ( ) \ lim ( )
Cho khoảng K, x ∈ K K x f x = +∞ 0
và hàm số f x xác định trên K (hoặc { 0}). khi và chỉ x→x0
khi với dãy số ( x bất kì, x ∈ K \ x và x → x thì lim f (x ) = +∞ n { 0} n ) n 0 n n→+∞ −
lim ( ) = +∞ ⇔ lim − ( ) f x f x = −∞ x→+∞ x→+∞
3. Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí 1.
Giả sử lim f (x) = L và lim g(x) = M . Khi đó x→x0 x→x0 a) lim f (x)
± g(x) = L ± M x→x0
b) lim k. f (x)
= k. lim f (x) = k L . ;(k ∈ℝ) x→x x→x 0 0
c) lim f (x) g . (x) = L.M x→x0 lim f (x) f (x) x→x L d) 0 lim = =
(nếu M ≠ 0, lim g(x) ≠ 0 )
x→x0 g(x)
lim g(x) M x→x0 x→x0
e) Nếu f (x) ≥ 0 và lim f (x) = L thì L ≥ 0 và lim
f (x) = L x→x0 x→x0
Các tính chất trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞
Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên)
lim f (x) = L khi và chỉ khi lim f (x) = lim f (x) = L x→x + − 0 x→x x→x 0 0
4. Các giới hạn đặc biệt 16 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 a) lim x = x0 x→x0 c b) lim c = c ; lim c = c ; lim = 0 (c là hằng số). x→x0 x→±∞ x→±∞ x c) k
lim x = +∞ , với k nguyên dương x→+∞ d) k
lim x = −∞ , nếu k là số lẻ; k
lim x = +∞ , nếu k là số chẵn x→−∞ x→−∞ sin x sin u(x) e) lim
= 1; lim u(x) = 0 ⇒ lim = 1 x→0 x x→0 x→0 u(x) tan x π π f) lim = 1; lim tan x = ; lim tan x = − x→0 x x→+∞ 2 x→−∞ 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tíchƒ(x).g(x)
Nếu lim f (x) = L ≠ 0 và lim g(x) = +∞ hoặc lim g(x) = −∞ thì lim f (x) g . (x) được tính: x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 lim f (x) lim g(x)
lim f (x) g . (x) x→x0 x→x0 x→x0 L > 0 +∞ +∞ −∞ −∞ L < 0 +∞ −∞ −∞ +∞ f (x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) x→x lim 0 x→x0
x→x0 g(x) L ±∞ Tùy ý 0 + +∞ L > 0 − −∞ 0 + −∞ L < 0 − +∞
4. Khử các dạng vô định
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định
hàm số về dạng áp dụng được các định lí này. f (x) 0 Dạng 1. Tính lim
khi lim f (x) = lim g(x) = 0 (hay dạng
x→x0 g(x) x→x x→x 0 0 0 )
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau: f (x)
(x − x )A(x) A(x) ( ) 0 lim = lim = lim A x và tính lim x→x x→x x→x 0 g(x)
0 ( x − x )B(x) 0 B(x)
x→x0 B(x) 0
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước. f (x) ∞ Dạng 2. Tính lim
khi lim f (x) = ±∞ và lim g(x) = ±∞ (hay dạng )
x→x0 g(x) x→x0 x→x0 ∞
- Ta chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành
tích chứa nhân tử n
x rồi giản ước).
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa k
x ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc
cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x . 17 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Dạng 3. Tính lim f (x)
− g(x) khi lim f (x) = lim g(x) = +∞ (hay dạng ∞ − ∞) hoặc x→x0 x→x x→x 0 0
Tính lim f (x) g
. (x) khi lim f (x) = 0 và lim g(x) = ±∞ (hay dạng 0.∞ ) x→x0 x→x0 x→x0
- Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu
để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức) B. BÀI TẬP
Bài 2.1. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: x2 − 4 2x2 + x − 3 x +1 2 − 5x2 a) lim b) lim c) lim d) lim x→ 2 − x + 2 x 1 → x −1 x→4 3x − 2 x→+∞ x2 + 3 HDGiải x2 − 4 x2 − 4 a) lim
. Xét hàm số f (x) = x→ 2 − x + 2 x + 2
Hàm số xác định trên ℝ \ { } 2 −
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ −2 và x → 2
− khi n → +∞ ( hay lim x = −2 ) n n n n x2 − 4 (x + 2)(x − 2) Ta có n n n lim f (x ) = lim = lim = lim(x − 2) = 4 − n n x + 2 x + 2 n n x2 − 4 Vậy lim = −4 x→ 2 − x + 2 2x2 + x − 3 x2 2 + x − 3 b) lim
. Xét hàm số f (x) = x 1 → x −1 x −1
Hàm số xác định trên ℝ \ { } 1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ 1 và x → 1 khi n → +∞ ( hay lim x = 1) n n n n 3 2(x −1) x + 2 n n 2x + x − 3 2 3 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = lim 2 x + = 5 n n x −1 x −1 2 n n 2x2 + x − 3 Vậy lim = 5 x 1 → x −1 x +1 x +1 c) lim
. Xét hàm số f (x) = x→4 3x − 2 3x − 2 2 2 2
Hàm số xác định trên − ; ∞ ∪ ;+∞ = 4∈ ;+∞ 3 3 và x 3 2
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ ; +∞ và x → 4 khi n → +∞ n n 3 n x +1 4 +1 1 x +1 1 Ta có n lim f (x ) = lim = = . Vậy lim = n 3x − 2 3.4 − 2 2 x→4 3x − 2 2 n 2 − 5x2 2 − 5x2 d) lim
. Xét hàm số f (x) = x→+∞ x2 + 3 x2 + 3
Hàm số xác định trên ℝ
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì và x → +∞ khi n → +∞ n n 18 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 −5 2 − 5x2 x2 2 − 5x2 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = −5 . Vậy lim = −5 n x2 + 3 3 x→+∞ x2 + 3 n 1+ x2n
Bài 2.2. Dùng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: x + 3 x3 +1 x2 − 3x − 4 a) lim b) lim c) lim x→5 3 − x x→+∞ x2 +1 x→ 1 − x +1 1 1 d) lim
e) lim x.cos x 1 → 5 − x x→0 x HDGiải x + 3 x + 3 a) lim
. Xét hàm số f (x) = x→5 3 − x 3 − x
Hàm số xác định trên (− ;
∞ 3)∪(3;+∞) và x = 5∈(3;+∞)
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ 3; +∞ và x → 5 khi n → +∞ n ( ) n n x + 3 5 + 3 x + 3 Ta có n lim f (x ) = lim = = −4 . Vậy lim = 4 − n 3 − x 3 − 5 x→5 3 − x n x3 +1 x3 +1 b) lim
. Xét hàm số f (x) =
. Hàm số xác định trên ℝ x→+∞ x2 +1 x2 +1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì và x → +∞ khi n → +∞ n n 1 x + 3 n x +1 x3 x3 +1 Ta có n n lim f (x ) = lim = lim = +∞ . Vậy lim = +∞ n x2 +1 1 x→+∞ x2 +1 n 1+ x2n x2 − 3x − 4 x2 − 3x − 4 c) lim
. Xét hàm số f (x) = x→ 1 − x +1 x +1
Hàm số xác định trên ℝ \ {− } 1
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ≠ −2 và x → −1 khi n → +∞ n n n x2 − 3x − 4 (x +1) x − 4 n ( n n n )
Ta có lim f (x ) = lim = lim = lim x − 4 = 5 − n ( n ) x +1 x −1 n n x2 − 3x − 4 Vậy lim = −5 x→ 1 − x +1 1 1 d) lim
. Xét hàm số f (x) = x 1 → 5 − x 5 − x
Hàm số xác định trên (− ;
∞ 5) và x =1∈(− ; ∞ 5)
Giả sử ( x ) là một dãy số bất kì, thỏa mãn x ∈ − ;
∞ 5 và x →1 khi n → +∞ n ( ) n n 1 1 1 1 1
Ta có lim f (x ) = lim = = . Vậy lim = n 5 − x 5 −1 2 x 1 → 5 − x 2 n 1 1
e) lim x.cos . Xét hàm số f (x) = x.cos . x→0 x x
Với mọi dãy ( x ) mà x ≠ 0 với mọi n và lim x = 0 n n n 19 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1
Ta có f (x ) = x .cos
. Vì f (x ) = x cos
≤ x và lim x = 0 n n x n n n x n n n 1
Nên lim f (x ) = 0. Do đó lim x.cos = 0 n x→0 x
Bài 2.3. Tính các giới hạn sau: x2 +1 x2 + x − 2 x2 − x − 2 2x2 − x +1 a) lim b) lim c) lim d) lim x 3 → 2 3 2 2 x x 1 → x −1 x→ 1 − x + x x→ 1 − x + 2x HDGiải lim x2 +1 lim x2 2 2 + lim lim x.lim x x + x + lim1 1 +1 5 x→3 ( ) a) →3 →3 →3 →3 →3 lim = lim = = = = →3 2 x →3 2 x lim 2 x lim 2.lim x lim 2. lim x 3 x→3 ( ) x x x x x x x x→3 x→3 x→3 x→3 x2 + x − 2 x2 + x − 2 (x −1)(x + 2) b) lim = lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1 → x −1 x 1 → x 1 → x x −1 x 1 −1 → x2 − x − 2 (x +1)(x − 2) x − 2 c) lim = lim = lim = −3 x 3 2 →− x 2 →− x x + x x (x +1) →− x2 1 1 1 2x2 − x +1 4 d) lim = = −4 x→− x2 1 + 2x 1 −
Bài 2.4. Tính các giới hạn sau: x2 −1 4 − x2 x + 3 − 3 a) lim b) lim c) lim d) lim x2 + 5 −1 x→ 2 − ( ) x→ 3 − x +1 x→ 2 − x + 2 x→6 x − 6 HDGiải x2 −1 x2 −1 9 −1 a) lim = lim = = 4 − x→ 3 − x x → 3 +1 − x +1 −3 +1 4 − x2 (2 − x)(2 + x) b) lim = lim = lim(2 − x) = 4 x→ 2 − x→−2 x x + 2 x → 2 + 2 − + 3 − 3
( x+3−3)( x+3+3 x ) c) lim = lim x→6 x x →6 − 6
(x − 6)( x +3 +3) x − 6 1 1 = lim = lim = x→6 x −
( x+ + ) x→6( x+ + ) 6 ( 6) 3 3 3 3 d) lim
x2 + 5 −1 = 4 + 5 −1 = 2 x→ 2 − ( )
Bài 2.5. Tính các giới hạn sau: x2 + 2x − 3 2 − x x2 − 2x − 3 a) lim b) lim c) lim x→ 2x2 1 − x −1 x→2 x + 7 − 3 x→3 x −1 2x3 +15 (1+ x 3) −1 x2 + 5 − 3 d) lim e) lim f) lim x→− (x 2 2 + 2) x→0 x x→ 2 − x + 2 HDGiải x2 + 2x − 3 (x −1)(x + 3) (x + 3) 4 a) lim = lim = lim = x 2 1 → x 1 → − − x 2x x 1 1 1 → 1 3
2(x −1) x + 2 x + 2 2 20 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 (2 − x) − ( x+7+3)
(2 − x)( x + 7 +3 2 x ) b) lim = lim = lim x→2 x x →2 + 7 − 3
( x+7−3)( x+7+3) x→2 x − 2 = lim − x + 7 + 3 = −6 x→2 ( ) x2 − 2x − 3 9 − 6 − 3 c) lim = = 0 x→3 x −1 3 −1 2x3 +15 d) lim
. Ta có lim (2x3 +15) = 1 − < 0 và lim(x 2 + 2) = 0 . x→− (x 2 2 + 2) x→ 2 − x→ 2 − 2x3 +15 Nên lim = −∞ x→− (x 2 2 + 2)
(1+ x −1)(1+ x 2) + (1+ x) +1 x (1+ x 2 3 ) + (1+ x + x ) +1 (1 ) −1 e) lim = lim = lim x→0 x→0 x x x →0 x lim (1 x 2 ) (1 x) 1 = + + + + = 3 x→0 x2 + 5 − 3 x2 + 5 − 9 x − 2 2 f) lim = lim = lim = − x→ 2 − x x →−2 + 2
(x + 2)( x2 +5 +3) x→−2 x2 3 + 5 + 3
Bài 2.6. Tính các giới hạn sau: x − x3 x − 3 x4 + 3x −1 1 a) lim b) lim c) lim d) lim x 1−
x→ (2x −1)(x4 1 − 3)
x→ 9x − x2 9 x→ 2x2 2 −1 x→0 x HDGiải x − x3 3 1−1 a) lim = = 0
x→ (2x −1)(x4 4 1 − 3) (2.1−1)(1 − 3) − 3 ( x −3)( x +3 x ) x − 9 1 1 b) lim = lim = lim = − lim = − x 2 →9 x 9x − x
→9 (9x − x2)( x +3) x→9 x(9− x)( x +3) x→9 x( x +3) 54 x4 + 3x 4 −1 2 + 3.2 −1 c) lim = = 3 x→ 2x2 2 2 −1 2.2 −1 1 1
d) lim x 1− . Với mọi x ≠ 0 , ta có x 1− = (x −1) . x→0 x x 1
Nên lim x 1− = lim(x −1) = −1 x→0 x x →0
Bài 2.7. Tính các giới hạn sau: x3 2x(x +1) a) lim x2 − 4 b) lim c) 3 lim 2 2 x→ 3 x→ 1 − x − 3 x→3 x − 6 1− 2 x3 − 3x
2 x +1 − 5 x − 3 d) lim x2 − 8 e) lim f) lim 2 x→ 3 x→ 2 − 2x + x − 3 x→ 2 − 2x + 3 HDGiải x3 2
a) lim x2 − 4 = 3 − 4 = 1 b) lim = 2 x→ 3 x→ 1 − x − 3 2 21 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2x(x +1) c) 3 lim = 2 d) lim x2 − 8 = 5 x→ x2 3 − 6 x→ 3 1− 2 x3 − 3x
2 x +1 − 5 x − 3 e) lim = 3 f) lim = 3 x→− 2x2 2 + x − 3 x→ 2 − 2x + 3
Bài 2.8. Tính các giới hạn sau: 3 2 + 3 − 4 3 2 x x
a) lim −x + x − x +1 b) lim x→−∞ ( )
x→+∞ −x3 − x2 +1 x2 − x − x2 4 +1 2 c) lim d) lim
4x − x + 2x x→−∞ ( ) x→−∞ 2x + 3 HDGiải 1 1 1 3 2 3
a) lim −x + x − x +1 = lim x −1+ − + = +∞ x→−∞ (
) x→−∞ x x2 x3 3 4 2 2 + − x3 + 3x 2 3 − 4 b) x x lim = lim = −2 x 3 2 →+∞ x −x − x +1 →+∞ 1 1 −1− + x x3 1 1 1 1 1− − 4 + − 1− + 4 2 2 x x x x +
x − x − 4x +1 x x2 x x2 c) lim = lim = lim x→−∞ x→−∞ x 2x + 3 2x + 3 →−∞ 2x + 3 1 1 − 1− + 4 + x x2 1 = lim = x→−∞ 3 2 2 + x
4x2 − x − 4x2 2 −x d) lim
4x − x + 2x = lim = lim x→−∞ (
) x→−∞( 4x2−x−2x) x→−∞ 1 x 4 − − 2x x −x 1 = lim = x→−∞ 1 4
−x 4 − − 2x x
Bài 2.9. Tính các giới hạn sau: 2x − 6 17 − x2 2 + x −1 a) lim b) lim c) lim x→+∞ 4 − x x→+∞ x2 +1 x→+∞ 3 + x 3x2 − 2x x2 +1 + x
x2 − 2x + 4 − x d) lim e) lim f) lim x→+∞ x2 +1 x→+∞ 5 − 2x x→−∞ 3x −1 HDGiải 6 2 2 − x − 6 x a) lim = lim = −2 x→+∞ x 4 − x →+∞ 4 −1 x 17 b) lim = 0 x→+∞ x2 +1 22 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 −2 2 + − − x2 + x −1 x 2 c) x lim = lim = −∞ x→+∞ x 3 + x →+∞ 3 1 + x2 x 2 3 3 − x2 − 2x d) x lim = lim = 3 x 2 →+∞ x x +1 →+∞ 1 1+ x2 1 1 1 1+ + 1+ + 1+ +1 2 x x x x x +1 + x x2 x2 x2 e) lim = lim = lim = lim = −1 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x 5 − 2x 5 − 2x 5 − 2x →+∞ 5 −2 x 2 4 1− + +1
x2 − 2x + 4 − x x x2 2 f ) lim = − lim = − x→−∞ x 3x −1 →−∞ 1 3 3 − x x ; x ≥ 0
Bài 2.10. Cho hàm số f (x) = 1
− x ; x < 0
Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f (x) không có giới hạn khi x → 0 .
Phương pháp: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f (x) không có giới hạn khi x → x0 ta thường làm như sau
- Chọn hai dãy số khác nhau ( x ) và ( y ) thỏa mãn: x và y thuộc tập xác định của hàm số y = f (x) n n n n và khác x
x → x ; y → x 0 ; n 0 n 0
- Chứng minh rằng lim f (x ) ≠ lim f (y ) hoặc chứng minh một trong các giới hạn này không tồn tại. n n n→+∞ n→+∞
Lưu ý: Trường hợp x x+; x x− → → 0
0 hay x → ±∞ chứng minh tương tự. HDGiải
Hàm số xác định trên ℝ 1 1
Lấy dãy số ( x ) với x =
. Ta có x → 0 và lim f (x ) = lim x = lim = 0 (1) n n n n n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ n 1 1
Lấy dãy số ( y ) với y = − . Ta có y → 0 và lim f (y ) = lim (1− y ) = lim 1+ = 1 (2) n n n n n n n→+∞ n→+∞ n→+∞ n
Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 0 Bài 2.11. 1 2
a) Cho hai dãy số có dạng tổng quát là u = và v = . Tính limu n
n và limvn. n3 n 4n +1
b) Dùng kết quả câu a), chứng minh rằng hàm số f (x) sin π =
không có giới hạn khi x → 0 x HDGiải 2 1 2 n a) lim u = lim = 0,lim v = lim = lim = 0 (1) n 3 n n 4n +1 1 4 + n 23 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
b) Hàm số f (x) sin π = xác định trên ℝ \ { }
0 . Ta có u ,v đều thuộc ℝ \ { } 0 , với mọi n và x n n lim π f (u ) = lim sin = sin n3π = 0, n 1 n3 π (4n +1) lim π π f (v ) = lim sin = lim sin
= lim sin2nπ + =1 n 2 2 2 4n +1 Vì limu lim ( ) ≠ lim ( ) ( ) sin π = n = limvn = 0, nhưng f u
f v nên hàm số f x không có giới hạn khi n n x x → 0
Bài 2.12. Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞ HDGiải π
Xét hai dãy số ( x ) với x = 2nπ và ( y ) với y = + nπ n * 2 ( ∈ℕ ) n n n n 2 π π
Ta có lim x = lim 2nπ = +∞ , lim y = lim
+ 2nπ = lim n + 2π = +∞ n n 2 2n π
lim sin x = lim sin 2nπ = lim 0 = 0 , lim sin y = lim sin + 2nπ = lim1 = 1 n n 2
Vì lim x = lim y = +∞ nhưng lim f (x ) ≠ lim f (y ) nên hàm số f (x) = sin x không có giới hạn khi n n n n x → 0 1
Bài 2.13. Chứng minh rằng hàm số y = cos không có giới hạn khi x → 0 x HDGiải 1 1
Chọn hai dãy số có số hạng tổng quát là x = và y = n 2nπ n (2n +1)π
Làm tương tự như bài 2.12.
x +1; x ≥ 0 1 1
Bài 2.14. Cho hàm số f (x) =
.và các dãy số ( u ) với u =
và ( v ) với v = − . Tính n n n n 2x; x < 0 n n
lim u ;lim v ;lim f (u );lim f (v ) n n n n HDGiải 1 1 Ta có lim u = lim
= 0,lim v = lim − = 0 n n n n 1 1 1 2 Do n *
∀ ∈ℕ , u = > 0 và v = − < 0 . Nên f u ( ) =
+1 và f (v ) = − n n n n n n n n 1 2
Từ đó lim f (u ) = lim
+1 = 1;lim f (v ) = lim − = 0 n n n n
Vì lim u = lim v = 0 nhưng lim f (u ) ≠ lim f (v ) nên hàm số y = f (x) không có giới hạn khi x → 0 n n n n
5x + 2; x ≥ 1
Bài 2.15. Cho hàm số f (x) =
. Tìm lim f (x), lim f (x), lim f (x)
x2 − 3; x < 1 x 1− → x 1+ x 1 → → HDGiải 24 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Ta có lim f (x) = lim(x2 − 3) = 2
− ; lim f (x) = lim(5x + 2) = 7 x 1− x 1− → → x 1+ x 1+ → →
Vì lim f (x) ≠ lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại x 1− x 1+ → → x 1 →
x2 − 2x + 3; x ≤ 2
Bài 2.16. Cho hàm số f (x) =
. Tìm lim f (x), lim f (x), lim f (x)
4x − 3; x > 2 x→2− x→2+ x→2 HDGiải Ta có 2
lim f (x) = lim (x − 2x + 3) = 3 ; lim f (x) = lim (4x − 3) = 5 x 2− x 2− → → x 2+ x 2+ → →
Vì lim f (x) ≠ lim f (x) nên lim f (x) không tồn tại x 2− x 2+ → → x→2
9 − x2;−3 ≤ x < 3
Bài 2.17. Cho hàm số f (x) = 1
; x = 3 . Tìm lim f (x), lim f (x) và lim f (x) (nếu có) x 3− x 3+ → → x→3 x2 − 9 ; x > 3 HDGiải
Ta có lim f (x) = lim 9 − x2 = 0 ; lim f (x) = lim x2 − 9 = 0 x 3− x 3− → → x 3+ x 3+ → →
Do đó lim f (x) = 0 x→3 1 3 − ; x >1
Bài 2.18. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1 .
mx + 2; x ≤ 1
Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi x → 1? Tìm giới hạn này. HDGiải Ta có 1 3 x2 + x − 2
lim f (x) = lim − = lim + + 3 + 2 x 1 → x 1 → x −1 −1 x x 1 →
(x −1)(x + x +1) (x −1)(x + 2) (x + 2) = lim = lim = 1 + 2 + 2 x 1 → ( −1)( + +1) x x x x 1 → (x + x +1)
lim f (x) = lim(mx + 2) = m + 2 x 1− x 1− → →
f (x) có giới hạn khi x → 1 ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = 1. Khi đó lim f (x) = 1 x 1 →
Bài 2.19. Tính các giới hạn sau: 2x − 3 2x − 3 2x − 7 a) lim b) lim c) lim x 1− → x −1 x 1+ → x −1 x 1− → x −1 2x − 7 3 2 4 d) lim
e) lim 2x − 5x + 7 f) lim 2x − 3x +12 x→−∞ ( ) x 1+ → x −1 x→+∞ HDGiải
a) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2x − 3) = −1 < 0 . x 1− → x 1− → 2x − 3 Vậy lim = +∞ x 1− → x −1
b) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2x − 3) = 1 − < 0 . x 1+ → x 1+ → 2x − 3 Vậy lim = −∞ x 1− → x −1
c) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 < 0 với mọi x và lim(2x − 7) = −5 < 0 . x 1− → x 1− → 25 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2x − 7 Vậy lim = +∞ x 1− → x −1
d) Ta có lim(x −1) = 0 , x – 1 > 0 với mọi x và lim(2x − 7) = 5 − < 0 . x 1+ → x 1+ → 2x − 7 Vậy lim = −∞ x 1+ → x −1 5 7 3 2 3
e) lim 2x − 5x + 7 = lim x 2 − + . x→−∞ (
) x→−∞ x x2 5 7 3 Ta có lim x = − ; ∞ lim 2 − + = 2 > 0 x→−∞ x→−∞ x x2 3 2
Vậy lim 2x − 5x + 7 = −∞ x→−∞ ( ) 3 12 4 2 f) lim
2x − 3x +12 = lim x 2 − + = +∞ x→+∞ x→+∞ x2 x4
Bài 2.20. Tìm các giới hạn sau: x + 2 x 4 − x2 x2 + 3x + 2 x2 − 7x +12 a) lim b) lim c) lim d) lim x 0+ → x − x x 2− → 2 − x x ( 1)+ → − x5 + x4 x 3− → 9 − x2 HDGiải x + 2 ( x +2 x x ) x +2
a) Với mọi x > 0, ta có = = . x − x x ( x − )1 x −1 x + 2 x x + 2 2 Do đó lim = lim = = 2 − x 0+ x x − x 0+ → → x −1 −1
b) Với mọi x < 2, ta có 4 − x2 (2 − x)(2 + x) lim = lim
= lim(x + 2) 2 − x = 0 x 2− x 2− x 2 − x 2 − x 2− → → →
c) Với mọi x > -1, ta có x2 + 3x + 2 (x +1)(x + 2) x +1(x + 2) lim = lim = lim = 0 →( 1 − )+ 5 4 + 2 + 2 x x→( 1 − ) x x + x x x →( 1 − ) +1 x
d) Với mọi – 3 < x < 3, ta có x2 − 7x +12
(3 − x)(4 − x) 4 − x 6 lim = lim = lim = x 3− 2 x 3− x 9 − x (3 − x)(3+ x 3 ) − → → → 3 + x 6
Bài 2.21. Tìm các giới hạn sau:
x2 + x − x 1− x 3 − x x3 − 8 a) lim b) lim c) lim d) lim + 2 + 2 x→0 x x 1−
→ 2 1− x +1− x x 3− → 27 − x3 x→2 x − 2x HDGiải
x2 + x − x
x2 + x − x2 1 a) lim = lim = lim = +∞ + 2 x 0 x x 0+ + → →
x2 ( x2 + x + x ) x→0 x2 + x + x 1− x 1− x 1 1 b) lim = lim = lim = x 1− x 2 1− x +1− x 1−
1− x (2+ 1− x) x 1− → → → 2 + 1− x 2 26 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3 − x 3 − x 3 − x c) lim = lim = lim = 0 x 3− 3 x 3− 2 x 27 − x
(3 − x)(9 + 3x + x 3 ) − → → → 9 + 3x + x2 x3 − 8
(x − 2)(x2 + 2x + 4) 1 x2 + 2x + 4 d) lim = lim = lim = +∞ + 2 x 2 − 2 x x x 2+ x(x − 2) x 2+ → → → x x − 2
Bài 2.22. Tìm các giới hạn sau: 2x4 + 3x +1 x2 − x + 5 x4 +1 a) 3 lim b) lim c) lim x→− x2 2 − x + 2 x→−∞ 2x −1 − 2 x→( 3 − ) x + 4x + 3 8 + 2x − 2 3 x + 4 2 2 d) lim e) lim . f) lim
x + x − 4 + x x→−∞ ( ) x ( 2)+ → − x + 2 x→ (x 2 2 − 2) 4 − x HDGiải 2x4 + 3x +1 27 3 a) 3 3 lim = = x→− x2 2 − x + 2 8 2 1 5 1 5 1− + − 1 2 x x − + x − x + 5 x x2 x x2 1 b) lim = lim = lim = − x→−∞ x→−∞ x 2x −1 1 →−∞ 1 2 x 2 − x 2 − x x x4 +1 x4 +1 x4 +1 1 c) lim
. Với mọi x < −3, ta có = . − 2 2 x→( 3 − ) x + 4x + 3 x + 4x + 3 x +1 x + 3 x4 +1 1 x4 +1 Vì lim = −41 < 0 và lim = −∞ nên lim = +∞ − 2 x ( 3)− → − x +1 x ( 3)− → − x + 3 x→( 3 − ) x + 4x + 3 8 + 2x − 2 8 + 2x − 4 d) lim = lim x ( 2)+ x x ( 2) + 2 + → − → −
x + 2 ( 8+ 2x + 2) 2(x + 2) 2 x + 2 = lim = lim = 0 x ( 2)+
x + 2 ( 8+2x + 2) x ( 2)+ → − → − 8 + 2x + 2 3 x + 4 3 x + 4 e) lim . . Vì lim = +∞ và lim = 3 > 0 . x→ (x 2 2 − 2) 4 − x x→ (x 2 2 − 2) x→2 4 − x 3 x + 4 Nên lim . = +∞ x→ (x 2 2 − 2) 4 − x − 4 − 4 2 2 x x f ) lim
x + x − 4 + x = lim = lim x→−∞ ( ) x→−∞ 2 2 x
x + x + 4 + x →−∞ 1 4 x 1+ + x +1 x x 4 1− x 1 = lim = − x→−∞ 1 4 2 − 1+ − +1 x x
Bài 2.23. Tìm các giới hạn sau: x2 +1 −1 x − x 2x4 + 5x −1 a) lim b) lim c) lim x→0 4 − 2 4 x2 +16 x 1 → x −1
x→+∞ 1 − x + x x + x2 4 − x +1 1 1 2 d) lim e) lim x x +1 − x f) lim − x→+∞ ( ) x→−∞ 1− 2x x + → x2 2 − 4 x − 2 27 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 HDGiải 2 x2 +1 −1 (4+ x2+16 x ) 4 + x2 +16 a) lim = lim = − lim = 4 − x→0 2 x 4 − x →0 2 2 →0 +16 −x ( x +1+ ) x 1 x2 +1 +1 x − ( x −1 x x ) b) lim = lim = lim x = 1 x 1 → x 1 → x x −1 x 1 −1 → 5 1 2 2 + − x4 + 5x 3 4 −1 c) x x lim = lim = 2 x 2 4 →+∞ x 1− x + x →+∞ 1 1 − +1 x4 x2 1 1 1− 4 − +
x + 4x2 − x +1 x x2 1 d) lim = lim = x→−∞ x 1− 2x →−∞ 1 2 − 2 x x x2 +1− x2 1 1 2 x e) lim x + − = = = = →+∞ ( x 1 x) ( ) lim lim lim x x→+∞ 2 x→+∞ x x +1 + x 1 →+∞ 1 2 x 1+ + x 1+ +1 x2 x2 1 1 1−(x + 2) −x −1 f) lim − = lim = lim = −∞ + 2 + 2 + 2
x→2 x − 4 x − 2 x→2 − 4 x x →2 x − 4
Bài 2.24. Tính các giới hạn sau: 6 − 3x x − 3x − 2 x2 − 3x +1 a) lim b) lim c) lim x→−2 2x2 +1 x→ x2 2 − 4 x 2+ → x − 2 2 −1 2 + 4 −1 2 n x x x d) n
lim x + x + ...+ x − e) lim f) lim x 1− → 1− x x→+∞ x + 3 x→−∞ 2 − 3x HDGiải 6 − 3x a) lim = 4 x→ 2 − 2x2 +1 x − 3x − 2 x2 − 3x + 2 b) lim = lim x 2 →2 x x →2 − 4
(x2 −4)(x+ 3x−2)
(x −1)(x − 2) x −1 1 = lim = lim = x→2 x − x +
(x+ x− ) x→2 x+ (x+ x− ) 16 ( 2)( 2) 3 2 ( 2) 3 2 x2 − 3x +1 2 c) lim = −∞ ( Vì khi x 2+ → thì lim
− = và x − 2 > 0 còn x − 3x +1→ −1) + ( x 2) 0 x 2+ → x − 2 x→2 2 n d) n
lim x + x + ...+ x − . Khi x 1−
→ thì x < 1 nên theo tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta x 1− → 1− x 2 x x n x − n có: n
x + x + ... + x = lim − = lim = −∞ 1 . Do đó − x x
1− 1− x 1− x x 1− → → 1− x 1 2 2 − x −1 x e) lim = lim = 2 x→+∞ x x + 3 →+∞ 3 1+ x 28 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1− 4 − x + 4x2 −1 x2 1 f) lim lim = x→−∞ x 2 −3x →−∞ 2 3 − 3 x
Bài 2.25. Tính các giới hạn sau: x2 + x +10 x2 +1 x 1 + 30
x6 + 4x2 + x − 2 a) lim b) lim c) lim x→− x3 1 + 6 x→− 25 − x2 5 x→−∞ ( 2 x3 + 2) x2 + x − 40 x4 + x2 2 4 + 3 x +1 d) lim e) lim f) lim (2x +1)
x→+∞ 2x5 + 7x4 + 21 x→−∞ 2x +1 x→+∞ 2x3 + x2 1 2 g) lim 5x +1 − x 5 h) lim x→+∞ ( ) x→+∞
x2 + x +1 − x HDGiải 1 a) 2; b) 10 ; c) 1; d) 0 1 3 4 2 2 2 + 4 + 3 − 2 + 4 4 2 x x x 2 + x + 4x + 3 x x2 e) lim = lim = lim = −∞ x→−∞ x 2 +1 →−∞ 1 x x →−∞ 1 2 + 2 + x x x +1 (2x 2 +1) (x +1) (2x +1)(x +1) 1 1 f ) lim (2x +1) = lim = lim = lim 2 + 1+ = 2 x 3 2 →+∞ x 2 →+∞ x 2 →+∞ x 2x + x x (2x +1) x →+∞ x x 1 2 g) lim
5x +1 − x 5 = lim = 0 x→+∞ (
) x→+∞ 5x2+1+x 5 1 1 1+ + +1 1
x2 + x +1 + x x x2 h) lim = lim = lim = 2 x→+∞ 2 x→+∞ x + +1 x x x − x +1 →+∞ 1 1+ x
Bài 2.26. Tìm giới hạn các hàm số sau: x − 2 2x + 7 − 3 x2 −1 a) lim b) lim c) lim
x→2 3 − x + 7 x 1 → x + 3 − 2 x 1 → 3 x −1 x + x2 −1 −1 1− x 3 − 1− x
3x − 2 − 4x2 − x − 2 d) lim e) lim f) lim 2 x 1+ → x −1 x→0 x x 1 → x − 3x + 2 x3 − 3x + 2 1 1
x − 4 − x + 4 + 2 g) lim h) lim − k) lim − 2 2 3 x 1 → x − 5x + 4 x 1
→ x + x − 2 x −1 x→5 x − 5 HDGiải − 2 (x −2)(3+ x+7) (x −2)(3+ x+7 x ) a) lim = lim = lim = − lim 3 + x + 7 = 6 − x→2 x 3 − x →2 + 7
(3− x+7)(3+ x+7) x→2 x 2 − x →2 ( ) 29 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 + 7 − 3
( 2x+7−3)( 2x+7+3)( x+3+2 2x ) b) lim = lim x 1 → x x 1 + 3 − 2 →
( 2x+7+3)( x+3−2)( x+3+2)
2(x −1)( x +3 +2) 2( x +3 +2) 4 4 = lim = lim = 2. = x 1 →
x − ( x + + ) x 1 → ( x + + ) 6 3 ( 1) 2 7 3 2 7 3 −1
(x2 − )1(3 x2 3 2 + x 3 + 1 x ) c) lim = lim x 1 → 3 x x 1 −1
→ (3 x − )1(3 x2 3 + x 3 + 1)
(x −1)(x +1)(3 x2 3 + x 3 + 1) = lim = lim(x 3 +1) x2 3 + x 3 + 1 = 6 x 1 → x x 1 −1 → ( ) 2 2 1 1 1 1 + − − − − ( x − )1( x +1 x x x x ) d) lim = lim + = lim x +1 + x 1+ → x 1+ → x x −1 x −1 x 1 −1 + → x −1( x + ) 1 x −1
(x −1) x −1 = lim x +1 + = lim x +1 + x 1+ →
x −1( x + ) x 1 1 + → (x −1) x +1 x −1 = lim x +1 + = 2 1+ → ⇒ −1 > 0 ( vì x x ) x 1+ → x +1 1− x 3 − 1− x 1− x 3 −1 1− x −1 e) lim = lim − lim x→0 x→0 x x x →0 x
( 1−x − )1( 1−x + )1 (31−x − )1(3(1−x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) = lim − lim x→0 x ( 1− x + ) x→0 1 x (3 (1− x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) −x x = lim − lim
x→0 x ( 1− x + ) x→0 1 x (3 (1− x 2 3 ) + 1− x 3 + 1) −1 1 1 = lim − lim = −
x→0 ( − x + ) x→0 (3 − x 2 3 + − x 3 + ) 6 1 1 (1 ) 1 1 − 2) − 4 − − 2
((3x−2)− 4x2−x−2)((3x−2)+ 4x2 2 − x − 2 (3x x x ) f ) lim = lim x 2 1 → x x − 3x 1 + 2 →
(x2 −3x+2)((3x−2)+ 4x2 −x−2) 5x2 −1 x 1 + 6 (x −1)(5x + 6) = lim = lim x 1 → ( 2 2 1
x − 3x + 2)((3x −2)+ 4x − x −2) x→ (x −1)(x −2)((3x −2)+ 4x2 − x −2) 5x + 6 1 = lim = x 1 → x −
( x− + x2−x− ) 2 ( 2) (3 2) 4 2 x3 − 3x + 2 (x 2 −1) (x + 2) x −1 (x − 2)
(x −1) (x + 2) − 3 3 g) lim = lim = lim = − lim = = − 2 x 1 − 5 + 4 x x x 1−
(x −1)(x − 4) x
1− (x −1)(x − 4) x 1− → → → →
(x −1)(x − 4) −3 3 30 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 1 1 h) lim − = lim − x 2 3 → x x + x − 2 x −1 →
(x −1)(x + 2) (x −1)(x2 1 1 + x +1)
x2 + x +1− (x − 2) (x −1)(x +1) (x +1) 2 = lim = lim = lim = x 2 → x 2 → x
(x −1)(x + 2)(x + x +1)
(x −1)(x + 2)(x + x +1) → (x + 2)(x2 1 1 1 + x +1) 9 − 4 − + 4 + 2
( x−4− )1−( x+4−3 x x ) k) lim = lim x→5 x x →5 − 5 x − 5 ( x − 4 − )
1 ( x −4 + )1 ( x +4 −3)( x +4 +3 1 ) lim = − x→5 x 5 − x − 4 +1 x + 4 + 3 1 x 5 x 5 1 1 − − 1 = lim − = lim − = x→5 x
x − 5 x − 4 +1 x →5 + 4 + 3 x − 4 +1 x + 4 + 3 3
Bài 2.27. Tìm các giới hạn sau: 1 1
x2 + 2x − 4 + 3x +1 a) lim + b) lim
x→ x2 − 3x + 2 x2 2 − 5x + 6 x→+∞
x2 + 4x − 3 + 2x − 5 2 2
c) lim x + x − x d) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→+∞ ( ) x→+∞ x2 − 3x + 2
x3 − x2 + 4x + 5 e) lim f) lim
x→ x3 − 4x2 1 + 2x +1 x→+∞ x4 − x + 3 HDGiải 1 1 2x2 − 8x + 8 a) lim + = lim x 2 2 → x x − 3x + 2 x − 5x + 6 → (x 2 2 2
− 2) (x −1)(x − 3) 2(x 2 − 2) 2 2 = lim = lim = = −2 x 2 →2 x
(x − 2) (x −1)(x →2 − 3)
(x −1)(x − 3) 1 − 2 4 1+ − + 3 +1 2 x x
x + 2x − 4 + 3x +1 x x2 b) lim = lim x→+∞ 2 x
x + 4x − 3 + 2x − 5 →+∞ 4 3 x 1+ − + 2x − 5 x x2 2 4 1 x 1+ − + 3 2 4 1 + 1+ − + 3 x + x2 x x x2 x 4 = lim = lim = x→+∞ x 4 3 5 →+∞ 4 3 5 3 x 1+ − + 2 − 1+ − + 2 − x x2 x x x2 x 2 4 1 − 1+ − − 3 − + 2 − 4 + 3 +1 x x2 2 x x x x Lưu ý: lim = lim = 2 x→−∞ 2 x x 4x 3 2x 5 →−∞ 4 3 5 + − + − − 1+ − − 2 + x x2 x
x + x − x x + x + x
c) lim x + x − x = lim x→+∞ x→+∞
x + x + x 31 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 x 1 1 = lim = lim = x→+∞ x→+∞ 1 2 x + x + x 1+ +1 x d) lim
x2 − 2x −1 − x2 − 7x + 3 x→+∞ ( )
( x2−2x−1− x2−7x+3)( x2−2x−1+ x2−7x+3) = lim x→+∞
x2 − 2x −1 + x2 − 7x + 3 4 x 4 5 − 5 − x x 5 = lim = lim = x→+∞ x 2 1 7 3 →+∞ 2 1 7 3 2 x 1− − + 1− + 1− − + 1− + x x2 x x2 x x2 x x2 Lưu ý: 4 5 − 5 2 2 x lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 = lim = − x→−∞ ( ) x→−∞ 2 2 1 7 3 − 1− − + 1− + x x2 x x2 x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x − 2 1 e) lim = lim = lim = x 3 2 → x 2 → x
x − 4x + 2x +1
(x −1)(x − 3x −1) → x2 1 1 1 − 3x −1 3 1 4 5 1− + +
x3 − x2 + 4x + 5 x x2 x3 f ) lim = lim = 0 x 4 →+∞ x x − x + 3 →+∞ 1 3 x 1− + x3 x4
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 2.28. Tìm các giới hạn sau: 1 1 1 4x4 − 3 a) lim − b) lim x→ x 3 ( 3 3 + 2 x − 3) x→( 2
− ) 2x + 3x − 2
x3 − x2 − x +10 2 2 c) lim d) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→−∞ ( ) x→− x2 2 + 3x + 2
Bài 2.29. Tìm các giới hạn sau:
x + 9 + x +16 − 7
3 x + 7 − 5− x2 a) lim b) lim x→0 x x 1 → x −1 3 3 2 2 2 c) lim x −1 − x +1 d) lim
x + 8x + 3 − x + 4x + 3 x→±∞ ( ) x→+∞ ( ) x3 −1 neáu x < 1
Bài 2.30. Cho hàm số f (x) = x −1
. Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi
mx + 2 neáu x ≥ 1 x → 1? 5 − x
Bài 2.31. Cho hàm số f (x) =
. Tìm các giới hạn sau: lim f (x), lim f (x) và lim f (x) (nếu có). x − 5 x 5+ x 5− → → x→5 32 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
2 x -1 neáu x ≤ 2 −
Bài 2.32. Cho hàm số f (x) =
. Tìm các giới hạn sau: lim f (x), lim f (x) và 2 + −
2x +1 neáu x > 2 x→( 2 − ) x→(−2)
lim f (x)(nếu có). x→2
Bài 2.33. Tìm các giới hạn sau: (x2 + )1(1−2x) x2 − 9x − 22 2 2 a) lim b) lim 3 c) lim
x + 8x − x − x x→−∞ ( ) x→− x2 1 + x +1 x 1 → 1
(x −11)(x2 −3x +16) 2 3
x2 + x + 2 − 1− x x2 + 7x −18 d) lim − e) lim f) lim − 2 4 x→( 4
− ) x + 3x − 4 x + 4 x→ 1 − x + x x→2 3x − 2 − 2
x3 + 3x2 − 9x − 2
2x +1− 2x2 + 9x −1 3 10 − x − 2 g) lim h) lim k) lim x→ x3 2 − x − 6 x→ x3 + 3x2 2 − 9x − 2 x→2 x − 2 33 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Hàm số liên tục
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x ∈ K = ( ) 0 . Hàm số y
f x liên tục tại x0 khi và chỉ
khi lim f (x) = f (x ) 0 x→x0
Hàm số y = f (x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó
y = f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
y = f (x) liên tục trên đoạn a; b
nếu nó liên tục trên khoảng ( ; a b) và
lim f (x) = f (a), lim f (x) = f (b) x a+ x b− → →
Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng được biểu thị bởi một “đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2.
Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số f (x) + g(x), f (x) − g(x) và f (x) g
. (x) cũng liên tục tại điểm x0. f (x) b) Hàm số ( ) ≠ 0
g(x) liên tục tại x0, nếu g x0 Định lí 3
Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a; b
và f (a). f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c ∈(a; b) sao cho f c ( ) = 0 Mệnh đề tương đương
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn a; b
và f (a). f (b) < 0 . Khi đó phương trình f (x) = 0
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). B. BÀI TẬP x
Bài 3.1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = tại x0 = 3 x − 2 HDGiải
Hàm số y = f (x) xác định trên ℝ \ { }
2 , do đó xác định trên khoảng (2;+∞) chứa x0 = 3. x lim f (x) = lim
= 3 = f (3) . Vậy hàm số y = f (x) liên tục tại x0 = 3. x→3 x→3 x − 2 x2 2 − 2x khi x ≠ 1
Bài 3.2. Cho hàm số f (x) = x −1
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 5 khi x = 1 HDGiải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 2 − 2x
Nếu x ≠ 1 thì f (x) = . x −1
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 1)∪(1;+∞) 34 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 1)và (1;+∞) 2x2 − 2x 2x(x −1)
Nếu x = 1, ta có f (1) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 2 ≠ f (1) x 1 → x 1 → x x 1 −1 → x −1
Vì lim f (x) ≠ f (1) , nên hàm số không liên tục tại x = 1. x 1 →
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 1),(1;+∞)và gián đoạn tại x = 1.
x2 − 2x − 3 khi x ≠ 3
Bài 3.3. Cho hàm số f (x) = x − 3
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của 5 khi x = 3 nó. HDGiải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 − 2x − 3
Nếu x ≠ 3 thì f (x) = . x − 3
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 3)∪ (3;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 3) và (3;+∞) x2 − 2x − 3 (x +1)(x − 3)
Nếu x = 3, ta có f (3) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 4 ≠ f (3) x→3 x→3 x x →3 − 3 x − 3
Vì lim f (x) ≠ f (3) , nên hàm số không liên tục tại x = 3. x→3
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 3) ,(3;+∞) và gián đoạn tại x = 3
Bài 3.4. Xét tính liên tục của hàm số f x = − x2 ( ) 1
trên đoạn −1;1 . HDGiải
Hàm số đã cho xác định trên đoạn −1;1 . Với mọi x ∈(−1;1) 0 , ta có
lim f (x) = lim 1− x2 = 1− x2 = f (x ) −1;1 0
0 , nên hàm số liên tục trên khoảng ( ) x→x x→x 0 0 2 2
Ngoài ra, ta có lim f (x) = lim
1− x = 0 = f ( 1
− ) và lim f (x) = lim 1− x = 0 = f (1) x ( 1)+ x ( 1)+ → − → − x ( 1)− x ( 1)− → − → −
Do đó f (x) liên tục trên đoạn −1;1
Bài 3.5. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x +1 liên tục trên nửa khoảng [−1;+∞) HDGiải
Hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [−1; +∞) nếu nó liên tục trên khoảng (−1; +∞) và
lim f (x) = f (−1) Vì với mỗi x ∈(−1;+∞) 0 , ta có x ( 1)+ → −
lim f (x) = lim x +1 = x +1 = f (x ) − +∞ 0
0 , nên hàm số liên tục trên khoảng ( 1; ) . x→x x→x 0 0
Ngoài ra, ta có lim f (x) = lim
x +1 = 0 = f (−1) x ( 1)+ x ( 1)+ → − → −
Do đó hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [−1; +∞) x3 − 8 neáu x ≠ 2
Bài 3.6. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
5 neáu x = 2 HDGiải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x3 − 8
Nếu x ≠ 2 thì f (x) = . x − 2 35 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 2)∪ (2;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ 2) và (2;+∞) x2 − 8
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
Nếu x = 2, ta có f (2) = 5 và lim f (x) = lim = lim = 12 ≠ f (2) x→2 x→2 x x →2 − 2 x − 2
Vì lim f (x) ≠ f (2) , nên hàm số không liên tục tại x = 2. x→2
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 2) ,(2;+∞) và gián đoạn tại x = 2
x2 − x − 2 neáu x > 2
Bài 3.7. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = x − 2 tại x = 2
5 − x neáu x ≤ 2 HDGiải
x2 − x − 2 khi x > 2
Hàm số f (x) = x − 2
có tập xác định là ℝ
5 − x khi x ≤ 2 Ta có f (2) = 3. (1) x2 − x − 2 (x − 2)(x +1) lim f (x) = lim = lim = 3 (2) x 2+ x 2+ x − 2 x 2+ → → → x − 2
lim f (x) = lim(5− x) = 3 (3) x 2− x 2− → →
Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f (x) = 3 = f (2) . Vậy f (x) liên tục tại x = 2. x→2 x −1 neáu x < 1
Bài 3.8. Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2 − x −1 tại x = 1
− 2x neáu x ≥ 1 HDGiải x −1 neáu x < 1
Hàm số f (x) = 2 − x −1
có tập xác định là ℝ
− 2x neáu x ≥ 1 Ta có f (1) = 2 − . (1) (x −1) −1 ( 2−x +1 x ) lim f (x) = lim = lim = −2 (2) x 1− x 1− x 2 − x 1 −1 − → → → 1− x
lim f (x) = lim( 2 − x) = 2 − (3) x 1+ x 1+ → →
Từ (1), (2) và (3) suy ra lim f (x) = −2 = f (1) . Vậy f (x) liên tục tại x = 1. x 1 → 2 x + 5x + 4 neáu x ≠ −1 Bài 3.9.Cho hàm số 3 f (x) = x +1
. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định 1 neáu x = −1 của nó. HDGiải
Tập xác định của hàm số là ℝ . x2 + 5x + 4
Nếu x ≠ −1thì f (x) = . x3 +1
Đây là hàm số phân thức hữu tỉ có tập xác định là (− ; ∞ 1 − )∪(−1;+∞)
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (− ; ∞ −1) và (−1;+∞) 36 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 x2 + 5x + 4 (x +1)(x + 4) Nếu x = 1
− , ta có f (−1) = 1 và lim f (x) = lim = lim = 1 x→− x 3 →− x x +1 →− (x +1)(x2 1 1 1 − x +1)
Vì lim f (x) = f (−1) , nên hàm số liên tục tại x = 1 − . x→ 1 −
Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ . Bài 3
3.10. Chứng minh rằng phương trình x + 2x − 5 = 0 có ít nhất một nghiệm. HDGiải
Xét hàm số f x = x3 ( ) + 2x − 5
Ta có f (0) = −5 và f (2) = 7 . Do đó f (0). f (2) < 0
y = f (x) làm hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên đoạn [0; 2]. Từ đó suy ra phương
trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (0; 2) 0
Bài 3.11.Chứng minh rằng phương trình:
a) 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm
b) cosx = x có nghiệm HDGiải
a) Xét hàm số f (x) = 2x3 – 6x + 1. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên
các đoạn [0; 1] và [1; 2] (1) Mặt khác, ta có
f (0) = 1; f (1) = 3
− và f (2) = 5. Do đó f (0).f (1) < 0 và f (1).f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 1), còn nghiệm kia thuộc khoảng (0; 2)
b) Xét f (x) = cosx – x. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn 0; π 2 (1) π π π
Mặt khác, ta có f (0) = 1 ; f = −
. Do đó f (0). f < 0 (2) 2 2 2 π
Từ (1) và (2) suy ra f (x) = 0 có nghiệm thuôc khoảng 0; 2 .
Bài 3.12. Chứng minh rằng phương trình:
a) x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm π
b) cos2x = 2sinx – 2 có ít nhất hai nghiệm thuộc trong khoảng − ;π 6 3
c) x + 6x +1 − 2 = 0 có nghiệm dương
d) x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (−1;3) HDGiải
a) Xét hàm số f (x) = x5 – 3x – 7 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [0; 2] (1) Mặt khác, ta có f (0) = 7
− < 0 ; f (2) = 19 > 0 f(2) = 19 > 0 . Do đó f (0).f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuộc khoảng (0; 2)
Vậy f (x) = 0 luôn có nghiệm.
b) Xét f (x) = cos2x – 2sinx + 2. Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên π π π các đoạn − ; π 6 2 và
; (1). Mặt khác, ta có 2 37 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 π 7 π π π π f − = ; f
= −1và f (π ) = 3. Do đó f − . f < 0 và f . f (π ) < 0 (2) 6 2 2 6 2 2 π π
Từ (1) và (2) suy ra f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm thuôc khoảng − ; 6 2 , còn nghiệm kia π thuộc khoảng ;π 2 . 3 3 3
c) Ta có x + 6x +1 − 2 = 0 ⇔ x + 6x +1 = 4 ⇔ x + 6x − 3 = 0
Xét hàm số f (x) = x3 + 6x – 3 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)
Mặt khác, ta có: f (0) = −3 ; f (1) = 4 . Do đó f (0). f (1) < 0 (2)
Từ (1) và(2) suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) 3
Vậy phương trình x + 6x +1 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm dương.
d) Xét hàm số f (x) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên ℝ
Nên f (x) liên tục trên đoạn [-1; 1] chứa trong −1;3 . Mặt khác, ta có
f (−1) = 5 và f (1) = −1. Do đó f ( 1 − ).f (1) < 0
Suy ra f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1) chứa trong khoảng (−1;3) .
Vậy f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng (−1;3) .
Bài 3.13. Chứng minh rằng phương trình:
a) x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trong khoảng (−2;5) .
b) x5 – 5x – 1= 0 có ít nhất ba nghiệm
c) x3 + 3x2 – 4x – 7 = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (−4;0) ? HDGiải
a) Xét hàm số f (x) = x5 – 3x4 + 5x – 2 liên tục trên ℝ
Nên f(x) liên tục trên đoạn [0; 1], [1; 2] và [2; 3] chứa trong −2;5 . Mặt khác, ta có
f (0) = −2 và f (1) = 1 , f (2) = −8 và f (3) = 13 . Do đó f (0). f (1) < 0 , f (1). f (2) < 0 và f (2). f (3) < 0
Suy ra f (x) = 0 có ba nghiệm, một nghiệm thuộc trong khoảng (0; 1), một nghiệm thuộc trong khoảng
(1; 2) và nghiệm còn lại thuộc trong khoảng (2; 3).
Vậy f (x) = 0 có ba nghiệm trong khoảng (−2;5)
b) Xét hàm số f (x) = x5 – 5x – 1 tương tự như câu a), trên các đoạn −2;−1 , 1
− ; 0 và [0;3]
c) Xét hàm số f (x) = x3 + 3x2 – 4x – 7 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ .
Mặt khác, vì f (0). f (−2) < 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng (−2;0) . Do đó có
nghiệm trong khoảng (−4;0) .
Bài 3.14. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 HDGiải
Xét hàm số f (x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1, là hàm đa thức, liên tục trên ℝ , nên liên tục trên đoạn −1;0 Mặt khác, ta có f (0) = 1 − < 0và f = m2 (1)
+1 > 0 nên f (1).f (0) < 0 , với mọi m
Suy ra phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc trong khoảng (−1;0) , nghĩa là phương trình
f (x) = 0 luôn có nghiệm với mọi m. 38 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Bài 3.15. Chứng minh rằng phương trình: (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị
của tham số m. HDGiải
Xét hàm số f (x) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn −2; 1
− . Mặt khác, ta có f ( 1 − ) = 1
− < 0 và f − = m2 ( 2) + 2 > 0 nên f ( 1
− ).f (−2) < 0 , với mọi m
Do đó f (x) = 0 luôn có ít một nghiệm thuộc trong khoảng (−2;− )
1 với mọi m. Nghĩa là phương trình (1
– m2)(x + 1)3 + x2 – x – 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.16. Chứng minh rằng các phương trình:
a) x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π )
b) sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm
c) x4 – 3x3 + x – 1 = 0 có nghiệm trong khoảng ( − 1; 3) không ? HDGiải
a) Hàm số f (x) = x2cosx + xsinx + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 0;π . Mặt khác, ta có
f (0) = 1 > 0 , f 2
(π ) = 1−π < 0 nên f (0).f (π ) < 0 . Do đó f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;π ) . Vậy phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π )
b) Hàm số f (x) = sinx – x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn 0;π . Mặt khác, ta có f (0) = 1
− < 0, f (π ) = π −1 > 0 nên f (0).f (π ) < 0 . Do đó f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;π ) . Vậy phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm.
c) Hàm số f (x) = x4 – 3x3 + x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó liên tục trên đoạn −1;0 . Mặt khác, ta có f (0) = 1 − < 0, f ( 1
− ) = 2 > 0 nên f ( 1
− ). f (0) < 0 . Do đó f (x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (−1;0) chứa trong (−1;3) . Vậy phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng (−1;3) .
x2 − 3x + 2 neáu x < 2
Bài 3.17. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số f (x) = x2 − 2x
liên tục trên ℝ .
mx + m + 1 neáu x ≥ 2 HDGiải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Ta có f (2) = 3m + 1. lim f (x) = lim (xm + m +1) = m 3 +1 = f (2) và x 2+ x 2+ → → x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x −1 1 lim f (x) = lim = lim = lim = − − 2 x 2 x 2 − 2 x x x 2− x(x − 2) x 2− → → → → x 2 1 1
Để hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi m 3 +1 = ⇔ m = − 2 6 1
Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = − 6 .
x2 − x − 2 neáu x ≠ 2
Bài 3.18. Tìm già trị của m để hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2. m neáu x = 2 HDGiải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ 39 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 x2 − x − 2 (x +1)(x − 2)
Ta có f (2) = m và lim f (x) = lim = lim = lim(x +1) = 3 x→2 x→2 x→2 x x − 2 x →2 − 2
Để hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi f (2) = lim f (x) ⇔ m = 3 x→2
Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 2. 1 3 − neáu x > 1
Bài 3.19. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
mx + 2 neáu x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1 . HDGiải
Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Ta có. f (1) = m + 2 1 3 x2 + x − 2
lim f (x) = lim − = lim + + 3 + 2 x 1 → x 1 → x −1 −1 x x 1 →
(x −1)(x + x +1) (x −1)(x + 2) x + 2 = lim = lim = 1 + 2 + 2 x 1 → ( −1)( + +1) x x x x 1 → x + x +1
Và lim f (x) = lim(mx + 2) = m + 2 = f (1) x 1− x 1− → →
Để f (x) liên tục tại x = 1 ⇔ lim f (x) = lim f (x) ⇔ m + 2 = 1 ⇔ m = 1 − . x 1+ x 1− → →
Bài 3.20. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng x2 − 2 1− x neáu x ≠ 2 neáu x ≠ 2
a) f (x) = x − 2
b) f (x) = (x 2 − 2) 2 2 neáu x = 2 n 3 eáu x = 2 HDGiải x2 − 2 ; khi x ≠ 2
a) f (x) = x − 2
. Hàm số xác định trên ℝ 2 2; khi x = 2 x2 − 2
Nếu x ≠ 2 thì f (x) =
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 ) và x − 2 ( 2;+∞) 2 − 2 (x− 2)(x+ 2 x ) Tại x = 2 . lim = lim
= lim x + 2 = 2 2 = f 2 x→ 2 x→ 2 x→ 2 ( ) ( ) x − 2 x − 2
Do đó hàm số liên tục tại x = 2
Vậy hàm số f (x) liên tục trên ℝ 1− x ; khi x ≠ 2
b) f (x) = (x 2 − 2)
có tập xác định là ℝ 3 ; khi x = 2 1− x
Nếu x ≠ 2 thì f (x) =
là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2) và (x 2 − 2) (2;+∞). 40 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1− x
Tại x = 2, ta có lim f (x) = lim = −∞ ≠ f (2) x→ x→ (x 2 2 2 − 2)
Do đó hàm số f (x) không liên tục tại x = 2.
Vậy hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (− ;
∞ 2) và (2;+∞) và gián đoạn tại x = 2.
Bài 3.21. Tìm số thực a sao cho hàm số
a2x2 neáu x ≤ 2 f (x) = liên tục trên ℝ (
1− a)x neáu x > 2 HDGiải 2 2 2
Ta có lim f (x) = lim
= 4 = (2) ; lim f (x) = lim − = − + + (1
a) x 2(1 a) →2− →2− ( a x ) a f x x x→2 x→2 a = −1 2
Hàm số f liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi 4a = 2(1− a) ⇔ 1 a = 2
Hiển nhiên hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 với mọi a 1
Vậy hàm số f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi a = 1 − ,a = 2 Bài 3.22. 3 2
a) Chứng minh rằng phương trình x +1000x + 0,1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm 3 2
b) Chứng minh rằng phương trình x −1000x − 0, 01 = 0 có ít nhất một nghiệm dương 3 2
c) CMR với mọi số thực a, b, c, phương trình x + ax + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm HDGiải 3 2
a) Hàm số f (x) = x +1000x + 0,1 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = 0,1 > 0 . Vì lim f (x) = −∞ nên tồn x→−∞
tại một số thực a sao cho f (a) < 0
Vì f (0). f (a) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số
thực c ∈ (a; 0) sao cho f c
( ) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm âm của phương trình đã cho. 3 2
b) Hàm số f (x) = x −1000x − 0, 01 liên tục trên ℝ . Ta có f (0) = −0, 01 < 0 . Vì lim f (x) = +∞ nên x→+∞
tồn tại một số thực b đủ lớn sao cho f (b) > 0
Vì f (0). f (b) < 0 nên, theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại một số
thực c ∈ (0; b) sao cho f c
( ) = 0 . Vậy x = c là một nghiệm dương của phương trình đã cho. 3 2
c) Hàm số f (x) = x + ax + bx + c liên tục trên ℝ .
lim f (x) = +∞ và lim f (x) = −∞ . Do đó phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi x→+∞ x→−∞ số thực a, b, c.
Bài 3.23. Tìm các giá trị của a và b để hàm số
ax − b neáu x ≤ 1 f (x) = 3
x neáu 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2.
bx2 − a neáu x ≥ 2 HDGiải
Hàm số liên tục tại x = 1 và gián đoạn tại x = 2 khi và chỉ khi
lim f (x) = lim f (x) = f (1) − + − = 3 = + 3 1 → 1 a b a b x x→ ⇒ ⇒ lim
f (x) ≠ lim f (x)
4b − a ≠ 6 b ≠ 3 x→2− x→2+ 41 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 x −1 neáu x ≠ 1
Bài 3.24. Tìm m để hàm số f (x) = x2 −1
liên tục tại x = 1. 2 m x neáu x = 1 HDGiải −1 ( x − )1( x +1 x ) 1 1 Ta có f m2 (1) = . lim = lim = lim = x 2 1 → x x 1 −1
→ (x −1)(x +1)( x + ) x 1 1
→ (x +1)( x + ) 4 1 1
Để hàm số liên tục tại x = 1thì lim f (x) = f (1) ⇔ m = ± x 1 → 2
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 2
Bài 3.25. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x + x + 3 +
liên tục trên tập xác định của nó. x − 2 3
Bài 3.26. Chứng minh rằng phương trình x + x +1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn – 1.
Bài 3.27. Chứng minh rằng các phương trình m (2cos x − 2) = 2sin5x +1 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Bài 3.28. Chứng minh rằng hàm số x5 + x2 neáu x ≠ 1 va øx ≠ 0 x2 + x
f (x) = −3 neáu x = −1 liên tục trên ℝ . 0 neáu x = 0
x2 − 3x + 2 neáu x ≠ 2
Bài 3.29. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2 . 1 neáu x = 2
x2 − 5x + 6 neáu x ≠ 3
Bài 3.30. Cho hàm số f (x) = x − 3
. Tìm m để hàm số y = f (x) liên tục tại x = 3 .
(m −1)x neáu x = 3 6x + 7 − x neáu x > 7
Bài 3.31. Cho hàm số f (x) = x2 − 8x + 7
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 7 .
2ax2 − 6ax + 1 neáu x ≤ 7 42 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2n3 − 2n + 3
2n +1 cosn n ( 1) − a) lim b) lim + c) lim 3 + n→+∞ 1− 4n3 n n→+∞ n 4 n n→+∞ 3 HDGiải 2 3 2 3 n3 2 − + 2 2 − + n3 − 2n + 3 n2 n3 2 3 1 a) n n lim = lim = lim = − n 3 →+∞ n→+∞ − n 1 4n 1 →+∞ 1 2 n3 − 4 − 4 n3 n3
2n +1 cosn 2n +1 cosn b) lim + = lim + lim n n n→+∞ n→+∞ n n 4 n →+∞ 4 2 n n n +1 1 cosn 1 1 1 cos n Ta có lim = lim 2 + = 2 . ≤
= với mọi n và lim = 0 nên lim = 0 . n→+∞ n n →+∞ n n n 4 4 4 n→+∞ 4 n n→+∞ 4
2n +1 cosn Vậy lim + = 2 n n→+∞ n 4 n n ( 1) − ( 1 − ) n n (−1) 1 c) lim 3 + = lim 3 + lim = 3 (Vì
≤ → 0 khi n → +∞ ) n n n→+∞ n→+∞ n 3 →+∞ 3 n 3 3
Bài 2. Tính các giới hạn sau: 4 − 2 + 3 2 2 n n a) lim ( n + n
3 +1 − n + 2n −1) b) lim −2n2 + 3 n n 3 5 − 7 9 2 c) lim n + n 8 − 7 d) lim n n 3 + 2.7 HDGiải 2 2 + 3 +1− + 2 −1
a) lim ( n2 + n
3 +1 − n2 + 2n −1) n n (n n )
= lim n2 + n3+1+ n2 +2n−1 2 n 1+ n + 2 n = lim = lim n2 n 3 1 n2 2n 1 3 1 2 1 + + + + − n 1+ + + 1+ − n n2 n n2 2 1+ n 1 = lim = 3 1 2 1 2 1+ + + 1+ − n n2 n n2 2 3 2 3 1− + 1 4 n2 − + n − 2n + 3 n3 n4 n3 n4 1 b) lim = lim = lim = − 2 − n2 + 3 3 3 2 n2 2 − + −2 + n2 n2 8 7 8 7 c 3 )lim n9 + n2 8 − 7 = lim n3 3 1+ − = +∞ ( vì lim n 3 = + ; ∞ lim 1+ − = 1 > 0 ) n7 n9 n7 n9 43 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 n n 5 5 −1 −1 n n n 5 − 7 7 7 1 d) lim = lim = lim = − n n n n 3 + 2.7 3 2 3 + 2 + 2 n 7 7
Bài 3. Tìm các giới hạn sau: 4x5 + 9x + 7
x3 + 3x2 − 9x − 2 x +1 a) lim b) lim c) lim x→ 3x6 + x3 1 +1 x→ x3 2 − x − 6 x→ 1 − 6x2 + 3 + 3x
9 + 5x + 4x2 −3 3 10 − x − 2 x + 8 − 8x +1 d) lim e) lim f) lim x→0 x x→2 x − 2 x 1 →
5 − x − 7x −3 HDGiải 4x5 + 9x 5 + 7 4.1 + 9.1+ 7 a) lim = = 4 x→ 3x6 + x3 6 3 1 +1 3.1 +1 +1 (x − 2)(x2 3 2 + 5x x x x + + − − )1 3 9 2 x2 + 5x +1 15 b) lim = lim = lim = x 3 →2 x x − x →2 2 2 − 6
(x − 2)(x + 2x +3) x→2 x + 2x +3 11 +1
(x + )1( 6x2 +3−3x x ) 6x2 + 3 − 3x c) lim = lim = lim = 1 x→− 2 x 2 1 → 1 − x 6 + 3 + 3 3 − 3x → 1 − 3(1− x x x )
9 + 5x + 4x2 −3 5x + 4x2 5 + 4x 5 d) lim = lim = lim = x→0 x x
→0 x ( 9+5x +4x2 +3) x→0 + x + x2 6 9 5 4 + 3 3 10 − x − 2 2 − x e) lim = lim x→2 x x →2 − 2 ( 2 x − 2) 3 (10 − x) 3 + 2 10 − x + 4 1 1 = − lim = − x→2 12 3 ( 2 10 − x) 3 + 2 10 − x + 4 7(1− x) + 8 − 8 +1
( 5−x + 7x−3)
7( 5− x + 7x −3 x x ) 7 f) lim = lim = lim = x 1 → x 5 − x − 7x 1 − 3
→ 8(1− x)( x +8 + 8x +1) x 1→ 8( x +8 + 8x +1) 12
Bài 4. Tìm các giới hạn sau: x + 3 − 2 2 − x − 3 2 a) lim b) lim c) lim
3x + x +1 − x 3 x→+∞ ( ) x 1 → x −1 x→ x2 7 − 49 x − 3
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 x + 2 − 2 d) lim e) lim f) lim 2 x 3− → 3 − 6x − x2 x→3 x − 4x + 3 x→2 x + 7 − 3 HDGiải + 3 − 2
( x+3−2)( x+3+2 x ) x −1 1 1 a) lim = lim = lim = lim = x 1 → x x 1 −1 →
(x − )1( x+3+2) x 1
→ (x − )1( x +3 +2) x 1→ x +3 +2 4 2 − x − 3 7 − x 1 1 b) lim = lim = − lim = − x 2 →7 x x →7 − 49
(x − 7)(x + 7)(2+ x −3) x→7 (x +7)(2+ x −3) 56 44 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 +1 3 2 x c) lim
3x + x +1 − x 3 = lim = x→+∞ (
) x→+∞ x2+x+ +x 6 3 1 3 (x − 3) − 3 (3+ 6x−x2 x ) 3 + 6x − x2 d) lim = lim = lim x 3− 2 x 3− − − ( 2 − − )( 2 + − ) x 3− → → → x x x x x x x − 3 3 6 3 6 3 6 2
Ta có lim 3 + 6x − x
= 6 > 0, lim(x − 3) = 0 và x – 3 < 0 với mọi x < 3 x 3− ( ) x 3− → → x − 3 Do vậy lim = −∞ x 3− → 3 − 6x − x2
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 −4x +12 e) lim = lim x 2 →3 x x − 4x →3 + 3
(x2 −4x+3)( x2 −2x+6+ x2 +2x−6) 4 1 = lim = −
x→3 ( − x)( x2 − x + + x2 + x − ) 3 1 2 6 2 6 (x − 2) + 2 − 2 ( x+7+3 x ) x + 7 + 3 3 f) lim = lim = lim = x→2 x x →2 + 7 − 3
(x − 2)( x +2 +2) x→2 x +2 +2 2
Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 3 x3 + 8
2x3 − 5x2 − 2x −3 (x +3) −27 a) lim b) lim c) lim x→− x2 2 +1 x 1 +18
x→ 4x3 −13x2 3 + 4x − 3 x→0 x 3x2 + x4 x x + 2 1 3 d) lim e) lim f) lim − x→0 2x + 2 x→( 2 − ) x + 3x + 2 x→ 1− x 1− x3 1 HDGiải (x + 2) + (x2 3 − 2x x + 4 8 ) x2 − 2x + 4 12 a) lim = lim = lim = x 2 → 2 − x→ 2 − x x +1 x 1 +18 (x + 2)(x → 2 + 9) − x + 9 7 (x − 3)(2x2 3 2 + x x x x + − − − )1 2 5 2 3 2x2 + x +1 11 b) lim = lim = lim = x 3 2 →3 x
4x −13x + 4x →3 2 2 − 3
(x − 3)(4x − x + ) x→3 1 4x − x +1 17 ( 3 x + 3) − 27 2 c) lim
= lim x + 9x + 27 = 27 x→0 x→0 ( ) x 2 3x2 + x4 x 3 + x d) Ta có = 2 x 2x x + x2 −x + x2 3 3 3x2 + x4 3 Với x < 0, = lim = − 2 . Do đó x 2x x 0− → 2x 2 x + x2 x + x2 3 3 3x2 + x4 3 Với x > 0, = lim = 2 . Do đó x 2x x 0+ → 2x 2 3x2 + x4
Từ đó suy ra không tồn tại lim x→0 2x x x + 2 x e) Khi x ( 2)+ → −
thì x + 2 = x + 2 . Do đó lim = lim = 2 + 2 x ( 2) + 3 + 2 x x x ( 2)+ → − → − x +1 45 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 3 −x − 2 f) lim − = lim = −1 x 3 → x
1− x 1− x → x2 1 1 + x +1
Bài 6. Tìm giới hạn của các hàm số sau: −x2 − x + 6 9 − x2 3 − x −1 a) lim b) lim c) lim x→− x2 3 + 3x x→− 2x2 3 + 7x + 3
x→4 x − 2 − 2 2x +1 1+ x 3 − 1+ x 2 3 3 d) lim x e) lim f) lim x +1 − x −1 x→+∞ ( ) x→+∞ 3x3 + x2 + 2 x→0 x HDGiải
−x2 − x + 6 2 − x −x2 − x + 6 2 − x 5 a) Ta có = với mọi x ≠ 3 − và lim = lim = − x2 + 3x x x 2 → 3 − x x + 3x → 3 − x 3 −x2 − x + 6 5 5 Do đó lim = − = x→− x2 3 + 3x 3 3 9 − x2 6 b) lim = x→− 2x2 3 + 7x + 3 5
c) Với x > 2, ta có x −1 = x −1 và x − 2 = x − 2 . 3 − x −1
3 − x +1 4 − x Do đó = =
= −1 với x > 2 và x ≠ 4 x − 2 − 2 x − 2 − 2 x − 4 3 − x −1 Vậy lim = lim(−1) = −1 x→4 x x →4 − 2 − 2 1 3 2 2 2 + x +1 2x + x 6 d) lim = lim = lim x x = 3 2 3 2 x→+∞
3x + x + 2 x→+∞ 3x + x + 2 x→+∞ 1 2 3 3 + + 3 x x 1+ x 3 − 1+ x 1+ x 3 −1+1− 1+ x 1+ x 3 −1 1+ x −1 e) lim = lim = lim − lim x→0 x→0 x→0 x x x x →0 x
( 1+x − )1( 1+x + )1 (31+x − )1(3 (1+x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) = lim − lim x→0 x ( 1+ x + ) x→0 1 x (3 (1+ x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) x x = lim − lim
x→0 x ( 1+ x + ) x→0 1 x (3 (1+ x 2 3 ) + 1+ x 3 + 1) 1 1 1 = lim − lim = x→0 ( + + ) x x →0 (3 + x 2 3 + + x 3 + ) 6 1 1 (1 ) 1 1 f ) lim x2 3 +1 − x3 −1 = lim
x2 +1 − x + x 3 − x3 −1 x→+∞ ( ) x→+∞( ) 1 1 = lim + = 0
x→+∞ x2 +1 + x 2 x2 x 3 x3 1 (x3 3 )1 + − + − 46 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 x2 −3x + 2 neáu x < 1
Bài 7. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : f (x) = x2 − x
liên tục trên ℝ .
mx + m + 1 neáu x ≥ 1 HDGiải
Ta có f (1) = 2m + 1. lim f (x) = lim(xm + m +1) = 2m + 1 = f (1) và x 1+ x 1+ → → x2 − 3x + 2
(x −1)(x − 2) x − 2 lim f (x) = lim = lim = lim = −1 − − 2 x 1 x 1 − 2 x x x 1− x(x −1) x 1− → → → → x
Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi 2m +1 = −1 ⇔ m = −1
Dễ thấy với mọi m, hàm số f liên tục tại mọi điểm x ≠ 1 . Vậy f liên tục trên ℝ khi và chỉ khi m = −1 . x2 + x − 2 neáu x ≠ 1
Bài 8. Tìm già trị của m để hàm số f (x) = x −1
liên tục tại x = 1. m neáu x = 1 HDGiải x2 + x − 2 (x −1)(x + 2)
Ta có f (1) = m và lim f (x) = lim = lim = lim(x + 2) = 3 x 1 → x 1 → x→2 x x −1 x 1 −1 →
Để hàm số f liên tục tại x = khi và chỉ khi f (1) = lim f (x) ⇔ m = 3 x 1 →
Vậy m = 3 thì hàm số f liên tục tại x = 1. 4 2
Bài 9. Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x − 6 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). HDGiải
Xét hàm số f x = x4 − x2 ( )
3 + 5x − 6 . Hàm số này là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ . Do đó nó liên tục trên các đoạn [1; 2] (1)
Mặt khác, ta có f (1) = 3
− < 0 ; f (2) = 8 > 0 . Do đó f (1).f (2) < 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ta f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 10. Tìm các giới hạn sau: 4 2 2 a) lim ( n 2 − 2n + 3)
b) lim ( n + 2n − n ) 2 n n n 2 cos n − n2 − n 3 + n3 + n2 4 8 c) lim + d) lim n 2n 1 3 − 2 + 3 n 2n 1 2 + ( n+2 3 − 5) n n+2 n+2 3 .4 + 2 e) lim f) lim n 1 3 − ( n+2 2 + 4 ) n 1 − n−2 2 .6 − 3
Bài 11. Tìm các giới hạn sau: n 3 3 3 2 3 a) lim
b) lim ( 1+ n − n)
c) lim ( n − n + n) n +1 + n 2 1 1 1− 4 2 2 n n n
d) lim n (n − n +1) e) lim + + f) lim n −
3 n3 + n − n n 2n2
Bài 12. Tìm các giới hạn sau: x3 x2 2 2 a) lim − b) lim 9x +1 − 3x c) lim
2x − 3 − 5x x→−∞ ( ) x→+∞ ( )
x→+∞ 3x2 − 4 3x + 2 47 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2x −1
x2 − 2x − 4x − 9 x2 2 + 3 d) lim e) lim f) lim
x→2 (x − 2)(x2 − x − 2)
x→3 (x − 3)(x2 − 2x −3) x→±∞ 4x + 2
Bài 13. Tìm các giới hạn sau: x3 − 3x − 2 2x 3 +1. 3x +1 −1 1+ 2x 3 − 1+ 3x a) lim b) lim c) lim x 1 → x −1 x→0 x x→ x2 0
x +1 − 3x − 5 3 3 2 2 d) lim
e) lim x + x + x − x f) lim
x + 3x − x − 2x x→+∞ ( ) x→3 2x + 3 − x + 6 x→+∞
Bài 14. Tìm các giới hạn sau: 1 3 2 2
a) lim − x + 5x − 4x +1
b) lim 2x − 3 + 4x + 7x − 9 x→−∞ ( ) x→−∞ 3 −2x +1 2 c) lim
d) lim 6x − 5 − 36x − 4xx − 5 x→+∞ ( ) x 1+ → 1− x 1 4 2 2
e) lim x − 2x + 4
f) lim 5x +1− 9x + 2x x→+∞ ( ) x→−∞ 4
Bài 15. Tìm các giới hạn sau: 2x +1 2 a) lim b) lim
4x + 3x −1+ 3x x→−∞ ( ) 1 + 2 x − 1 x→ 2 1 4 2 2
c) lim − x − 2x + 3 d) lim
36x − 24x − 6x + 2 x→+∞ ( ) x→−∞ 4 4x2 + x − 20 2 e) lim f) lim
9x − 3x + 5 + 3x − 4 x→−∞ ( ) − → − 3 + 9 x ( 3) x
Bài 16. Tìm các giới hạn sau: 2x2 + x − 20 2 a) lim b) lim
4x − 3x + 5 + 2x − 4 x→−∞ ( ) − → − 2 + 4 x ( 2) x 3 2
c) lim −2x + 3x − 4
d) lim 4x − 36 + 4x −12x x→−∞ ( ) x→+∞ ( ) 3 3 2 2 3 3 e) lim
8x + x +1 + 4x − 3x + 5 f) lim
9x − 3x + 5 + 27x + x +1 x→−∞ ( ) x→−∞ ( ) 1 1 x3 − 2x + 4 g) lim − h) lim x − → x2 2 − 4 x − 2 x→ 2
− x + 4 − x + 6 6 − x 3 − x2 + 4
3 x + 7 − 5− x2 k) lim l) lim x→ x2 2 − 4 x 1 → x −1
x2 − x + 4 neáu x = 2
Bài 17. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x − 2
liên tục trên tập xác định của nó. neáu x ≠ 2 x + 7 − 3 3 2
Bài 18. Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x + 7 = 0 luôn có nghiệm. 1 3 − neáu x > 1
Bài 19. Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
m2x + 2mx + 2 neáu x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1. 48 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
m2x2 − mx + 4 neáu x = 2
Bài 20. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số neáu x ≠ 2 x + 7 − 3
f (x) liên tục tại x = 2.
x3 − x2 + x −1 neáu x > 1
Bài 21. Cho hàm số f (x) = x2 − 5x + 4
. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại x = 1. −2x + 1 neáu x ≤1
x3 + 3x2 − 9x − 2 neáu x ≠ 2
Bài 22. Cho hàm số f (x) = x2 − 3x + 2
. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại x =
5x + 5 neáu x = 2 2. 2 − x + 1 khi x ≤ −1
Bài 23. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x2 + 5x + 4 tại x = 1 − khi x > 1 − x3 +1
2x + 5 khi x > −2
Bài 24. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x4 − 3x2 − 4 tại x = −2 khi x ≤ −2 x3 + 8
2x + 8 khi x ≠ 1
Bài 25. Xét tính liên tục của hàm số y = f (x) = x4 + 3x2 − 4 tại x = 1 khi x = 1 x3 − 2x +1 x2 + 3x + 2 khi x > 1 − + + 2
Bài 26. Xét tính liên tục của hàm số x x
y = f (x) = tại x = 1 −
1 x3 + x2 +2x −2 khi x ≤ 1 − 3
Bài 27. Tìm các giới hạn sau: n n 5.2 − 3.7 n2 9 +1 + n x6 − 2x a) lim b) lim c) lim n n 4 + 2.5 2n +1
x→−∞ 3x2 + 2 2x + 2 − 2 3 2 3 −11 + 7 − 3 2 x x x d) lim e) lim
x + x + 3 − x f) lim x→+∞ ( ) x 1 → x −1
x→ 5x3 −19x2 3 +14x − 6 1 1 2 2 g) lim − h) lim
x − 2x −1 − x − 7x + 3 x→−∞ ( ) x + → x2 4 −16 x − 4
Bài 28. Tìm các giới hạn sau:
(n + 2)(2 − n 2 3 ) n+3 2n 1 2 − 2 +
2x3 − 7x2 +1 x 1 −10 a). lim b) lim c) lim n3 + 8 n−2 n 4 + 3 x→ x3 − 2x2 2 − 3x + 6 x +1
x + 9 + x + 4 − 5 2x3 − 5x −3 d) lim e) lim f) lim x→ 1 − 6x2 + 3 + 3x x→0 x x→ 1 − 5x + 6 + x 2x2 + 2x − 5 2 9 − 5 + − 3 2 x x x g) lim h) lim
4x +12x + 3x −15 i) lim x→−∞ ( ) x→−∞ 3 8x3 − x
x→−∞ 2x + 3 − 4x2 − 7
Bài 29. Tìm các giới hạn sau: 49 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3 4 2 2 2
x3 − 3x2 + 5x − 2
(6x + 4) (3x − 5) 2 a) lim b) lim
c) lim x − 2 + x + 3x x→−∞ ( ) 3 1 2 2 → 1− 8 x→+∞ x x
(9x4 − 2) (8x3 + 2) 2 2x 3 −1 + x − 2 x 3 + 4 − x + 8
3x3 + 2x2 − 4x +1 d) lim e) lim g) lim x→ x2 1 −1 x→ 2x2 0 + x 3 1 → 27 −1 x x 3 ( 3 4 3 x3 − 4) (5x2 + n n 1 − n )1 2 (3 −5.2 ) 2x 3 + 3 − 3x +18 h) lim lim i) lim j) x→+∞ ( 2 3 4 n 1 − n →3 − 3
x4 2) (7x2 2) − + 3 (2 + 4) x x m khi x = 2
Bài 30. Cho hàm số f (x) = 2x2 − 5x + 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2 x2 − 4
f (x) liên tục tại x = 2 .
m2x2 − mx + 4 khi x = 2
Bài 31. Cho hàm số f (x) = x − 2
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số khi x ≠ 2 x + 7 − 3
f (x) liên tục tại x = 2 . 1 3 − khi x ≠ 1
Bài 32. Bài 2(2,5điểm). Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục
m2x + 2mx + 2 khi x = 1 tại x = 1.
4x +1 − 6x −3 khi x ≠ 2 2 4 Bài 33. Cho hàm số − x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 2 . 1 1
m2x2 + x − khi x = 2 6 4
3x +1 − x + 3 khi x ≠ 1
Bài 34. Cho hàm số f (x) = x3 −1
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 1.
m2x2 − 4x khi x = 1
x +1 + x + 4 −3 khi x > 0 Bài 35. Cho hàm số x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại 5
(1+ x)m2 + (1− 2x)m − khi x ≤ 0 4 x = 0 .
x + 9 + x + 4 − 5 khi x > 0 Bài 36. Cho hàm số x f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại 19 (1− x m2 ) + (2x −1 m ) − khi x ≤ 0 12 x = 0 . 50 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
2x2 + 3x −14 khi x ≠ 2
x3 − x2 − x − 2
Bài 37. Cho hàm số f (x) =
. Tìm m để hàm số f (x) liên tục tại x = 2 . m 3 − 5 khi x = 2 2x + 3 Bài 38. 5
a) Chứng minh rằng phương trình x + x −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực. 3 2
b) Chứng minh rằng phương trình x + 3x − 4x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm. 4 3 2
c) Chứng minh rằng phương trình 2x − x + 3x − 3x − 9 = 0 có ít nhất hai nghiệm. 4 3 2
d) Chứng minh rằng phương trình 16x −16x + 19x −16x + 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 1).
e) Chứng minh rằng các phương trình: x2cosx + xsinx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π ) .
f) Chứng minh rằng các phương trình: sinx = x – 1 có ít nhất một nghiệm có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π ) . 5 4
g) Chứng minh rằng phương trình x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. 5
h) Chứng minh rằng phương trình x − 5x −1 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt. 51 BT. ĐS> 11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Câu 1: ( n n lim 2.3 − 5.4 ) bằng. 4 A. 5. B. + . ∞ C. − . ∞ D. . 3 n 1 + n 2 − 3.5 + 3 Câu 2: lim bằng. n n 3.2 + 7.4 2 A. − . ∞ B. 3 − . C. . +∞ 5 D. . Câu 3: ( n n 1 lim 3.2 5 + − +10) bằng. A. − . ∞ B. + . ∞ C. 2 − . D. 5 − . n 13.3 − n 5 Câu 4: lim bằng. n n 3.2 + 5.4 3 1 A. − . ∞ B. . . 4 C. 2 D. 0.
Câu 5: lim n ( n −1 − n ) bằng. 1 3 A. − . − . 2 B. 0. C. 2 D. 1. 1 Câu 6: lim bằng.
n2 + 2n − n 1 A. . − 2 B. 2. C. 0. D. 1. Câu 7: ( n2 lim
− n − n) bằng. 1 A. − . −∞ 2 B. . C. 0. D. 2. 4 Câu 8: lim n 3 −10n +12 bằng. A. + . ∞ B. 3. C. − . ∞ D. 0. Câu 9: n
lim 2.3 − n + 2 bằng. A. 1. B. + . ∞ C. − . ∞ D. 2. n 1 + n 2 − 3 +11 Câu 10: lim bằng. n+2 n+3 3 + 2 − 4 2 1 1 A. . +∞ − . − . 3 B. . C. 17 D. 9 Câu 11: ( n2 lim
+ n + 2 − n +1) bằng. A. 1. B. − . ∞ C. + . ∞ D. 0. n n 1 3 + 2 + Câu 12: lim bằng. n 1 5 + 3 + 52 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 3 1 A. . . . 3 B. 3 C. 3. D. 3 Câu 13:
n ( n2 − − n2 lim 1 + 2 ) bằng. 3 1 A. − . − . +∞ 2 B. 2 C. . D. 1. ( 1)n −
Câu 14: Tìm M = lim 3 + 2n A. M = 3. B. M = 1. C. M = 4. D. M = 0. n2 9 − n +1 Câu 15: lim bằng. 4n − 2 3 3 3 A. 3. B. . . . 4 C. 2 D. 4 2
Câu 16: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 n 1 2 + n 1 n 1 n 1 3 − 2 − 3 + A. u = . B. u = . C. u = . D. u = . n 3 n 2 n 3 n 2 n2 4 +1 + n Câu 17: lim bằng. 2n +1 3 1 A. 1. B. 3. C. . . 2 D. 2 n 1 1 (−1)
Câu 18: Tính tổng S = −1+ − + ...+ + ... 2 n 1 10 10 10 − 10 10 1 11 A. S = . S = − . S = . S = − . 11 B. 11 C. 11 D. 10 Câu 19:
( n2+n− n2 lim −1) bằng. 1 A. + . ∞ B. 0. C. . − 2 D. 1. n2 3 +1 + n Câu 20: lim bằng. 1− 2n2 3 A. 1 − . B. 0. C. − . 2 D. 1. Câu 21: ( n2 lim
− n + n) bằng. A. 0. B. 1. C. 2. D. + . ∞ 4n2 +1 − 2n +1 Câu 22: lim bằng.
n2 + 2n − n 3 A. . − 2 B. 1. C. 0. D. 1. n2 +1 − n +1 Câu 23: lim bằng. n 3 + 2 53 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 1 1 A. 1. B. . − . . 3 C. 3 D. 3 (−2)n + 3n
Câu 24: Tìm H = lim . n 1 + n 1 ( 2 − ) + 3 + 1 1 A. H = 3. B. H = − . H = H = . 2 C. 1. D. 3 Câu 25: ( n2 lim + n 3 − n + 2) bằng. 7 7 1 A. . . . 4 B. 2. C. 2 D. 2 Câu 26:
( n4+n2+ −n2 lim 1 ) bằng. 1 1 A. 0. B. . C. . 3 +1 2 D. 1. 3 Câu 27: ( n3− n2 lim 2 − n) bằng. 1 2 A. 2 − . B. 1 − . C. − . − . 3 D. 3 1
Câu 28: Biết dãy số (u −1 < n) thỏa mãn u
với mọi n. Tìm lim u ? n n3 n 1 A. lim u = . B. lim u = 1.
C. lim u = −1. D. lim u = 0. n 2 n n n 3 π n +1− sin n
Câu 29: Tìm I = lim . 3 n 1 1 A. I = 0. B. I = . I = I = . 3 C. 1. D. 2 3n + 5.4n
Câu 30: Tìm K = lim . 4n + 2n 3 5 A. K = . K = . K = K = 4 B. 2 C. 5. D. 1.
(n +1)(3 − 2n 2) Câu 31: lim bằng. n3 +1 A. 2 − . B. 4. C. 2. D. 1. Câu 32: n lim 3.4 − n + 2 A. 0. B. 2. C. 3. D. + . ∞ 1 1
Câu 33: Tính tổng S = 2 − 2 + 1− + − ... 2 2 2 2 2 A. S = . B. S = . C. S = 2 + 1. D. S = 2 2. 2 +1 2 +1 3sin n + 4 cosn Câu 34: lim bằng. n +1 54 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 A. . 2 B. 0. C. 0. D. 1.
n +1 cosn
Câu 35: Tìm J = lim + . n 3n 1 A. J = 2. B. J = 1. C. J = 0. D. J = . 2 5 39
Câu 36: Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 3 , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 25 . Tìm số
hạng đầu và công bội của cấp số đó. 5 2 2
A. u = 1, q = . u = 1,q = . u = 2,q = . u = 1,q = 2. 1 2 B. 1 5 C. 1 5 D. 1 3 6 3
n − 7n − 5n + 8 Câu 37: lim bằng. n +12 A. + . ∞ B. 1. C. . n D. 0.
Câu 38: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là 4 và số hạng đầu là một số dương. 3 1 3
A. u = 3; q = . u = 3;q = . u = 1;q = . u = 3; q = 3. 1 4 B. 1 4 C. 1 4 D. 1 1
Câu 39: Tính tổng S = 9 + 3 +1+ ... + + ... n 3 3 − 1 35 7 27 A. S = . S = . S = . S = . 2 B. 3 C. 2 D. 2 1 7 2
Câu 40: Giải phương trình n
+ x + x + ...+ x + ... = , trong đó x < 1. x 2 2 1 1 2 A. x ∈{1; } 2 .
B. x ∈ .
C. x ∈ .
D. x ∈ ; . 3 3 3 3 n 1 1 1 1 1 −
Câu 41: Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,..., − ,... 2 4 8 2 3 2 3 3 A. S = . S = . S = . S = . 2 B. 3 C. 8 D. 4 Câu 42: Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) − = + + + + + + ... 9 A. S = . S = S = S = 10 B. 11. C. 10. D. 9. 1 Câu 43: lim bằng. n 3 + 2 − 2n +1 1 A. 0. B. 3 − 2. C. 1. D. . 3 − 2 1 2
Câu 44: lim n − 3sin 2n + 5 bằng. 2 1 11 A. + . ∞ B. . . 2 C. 5. D. 5 55 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 1 1
Câu 45: Tìm tổng cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 1 1 A. S = . B. S = . C. S = 1. D. 2n S = . 1 2n+ 2
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
x3 − x2 + 4x + 5 Câu 1: lim bằng. x→+∞ x4 − x + 3 A. 3. B. 1 − . C. 1. D. 0. 1 1 Câu 2: lim + bằng.
x→ x2 − 3x + 2 x2 2 − 5x + 6 1 A. − − 2 B. 2. C. 2. D. 0. 2x3 +15 Câu 3: lim bằng. x→− (x 2 2 + 2) 1 A. + . ∞ B. − . ∞ C. 1 − . D. 16 4 2x + 5x −1 2
x + 4x − x +1 Câu 4: Biết lim = a và lim
= b . Tính P = . a b +1 2 4
x→+∞ 1− x + x x→−∞ 1− 2x 1 A. P = 1. B. P = 2. C. P = . P = − 4 D. 2. 1
Câu 5: Biết lim x 1− = cosα . Giá trị của . α x→0 x π 3π A. α = . α = π α = π α = . 2 B. . C. 2 . D. 2 1 1 Câu 6: lim − bằng. x + → x2 2 − 4 x − 2 1 A. . −∞ 32 B. . C. 0. D. 2. x2 + 5 − 3 Câu 7: lim bằng. x→−2 x + 2 2 2 A. +∞ − . 3 B. 0. C. . D. 3 Câu 8:
x2 − x − − x2 lim 2 1 − 7x + 3 bằng. x→+∞ ( ) 5 1 5 A. 5. B. − . . . 2 C. 2 D. 2 3 2
Câu 9: lim −x + x − x + 1 bằng. x→−∞ ( ) A. − . ∞ B. 1 − . C. + . ∞ D. 0. x2 − 3x + 2 Câu 10: lim bằng.
x→ x3 − 4x2 1 + 2x +1 56 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 1 1 A. . . . − . 3 B. 6 C. 2 D. 4
x +1; x ≥ 0 1
Câu 11: Cho hàm số f (x) =
.và dãy số ( u ) với u =
. Tính lim f (u ) n n n 2x; x < 0 n
A. lim f (u ) = 1.
B. lim f (u ) = −1.
C. lim f (u ) = 0.
D. lim f (u ) = 2. n n n n 2 2 x x 4x 1 − − +
Câu 12: Biết lim a + = 3 . Giá trị của . a x→−∞ 2x 3 + 5 1 1 A. a = . a = . a = − . a = 2 B. 2 C. 2 D. 3. x2 −1 Câu 13: lim bằng. x 1 → 3 x −1 A. 6. B. 9. C. 0. D. + . ∞ x + x2 −1 −1 Câu 14: lim bằng. x 1+ → x −1 A. 2. B. 2. C. + . ∞ D. 0. 1− x Câu 15: lim bằng. x 1−
→ 2 1− x +1− x 1 1 A. . +∞ . 2 B. 2. C. . D. 3
Câu 16: lim x + x − x bằng. x→+∞ 1 A. 0. B. . +∞ 2 C. 2. D. . 1− x 3 − 1− x Câu 17: lim bằng. x→0 x 5 1 A. . − . 6 B. 1. C. 6 D. 6. x3 − 8 Câu 18: lim bằng. + 2 x→2 x − 2x 1 A. . −∞ +∞ 2 B. 1. C. . D. . 3 2 Câu 19: Biết lim
x − x + x + m = . Giá trị của m. x→−∞ ( 4 2 ) 4 1 1 3 A. m = . m = . m = m = . 2 B. 4 C. 1. D. 4 6 2
x + 4x + x − 2 2 x + x − 40 Câu 20: Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a − . b x→−∞ ( 5 4 →+∞ x + 2)2 3 x 2x + 7x + 21 1 10 A. S = 0 B. S = 1 C. S = S = 2 D. 3 57 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 4 − x2 Câu 21: lim bằng. x 2− → 2 − x A. 1. B. 0. C. + . ∞ D. 2 − . Câu 22: Biết + − = . Tính cosa . →+∞ ( 2 lim 5x 1 x 5 a x ) 1 A. cos a = 0 B. cos a = 1 C. cos a =
a = k π k ∈ 2 D. cos 2 , ℤ 2x + 7 − 3 Câu 23: lim bằng. x 1 → x + 3 − 2 1 4 3 A. . . . 3 B. 3 C. 3. D. 4 2 − x Câu 24: lim x→2 x + 7 − 3 1 A. 0. B. − − − 6 C. 6. D. 1. x2 − 2x − 3 Câu 25: lim bằng. x→3 x −1 9 A. . − 2 B. 0. C. 9. D. 1. x2 − 7x +12 Câu 26: lim bằng. x 3− → 9 − x2 6 3 2 5 A. . . . . 6 B. 3 C. 2 D. 5 2 a
Câu 27: Biết lim x + − = . Tính P = . a b . →+∞ ( x 1 x x ) b 1 A. P = 3. B. P = . P = P = 2 C. 1. D. 2. (1+ x 3) −1 Câu 28: lim bằng. x→0 x 1 A. . − 3 B. 3. C. 3. D. 0. x +1
Câu 29: lim (2x +1) bằng. x→+∞ 2x3 + x2 2 A. 2. B. . 2 C. 2. D. 3. x2 +1 −1 Câu 30: lim bằng.
x→0 4 − x2 +16 1 A. 2. B. − . − 4 C. 0. D. 4. 1 3 − ; x > 1
Câu 31: Cho hàm số f (x) = x −1 x3 −1 .
mx + 2; x ≤ 1 58 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
Với giá trị nào của m thì hàm số f (x) có giới hạn khi x →1? Tìm giới hạn này.
A. m = 1; lim f (x) = 2. B. m = 2; lim f (x) = 2. C. m = 2; lim f (x) = 1. D. m = 1; lim f (x) = 1. x 1 → x 1 → x 1 → x 1 →
x2 + 2x − 4 + 3x +1 Câu 32: lim bằng. x→+∞
x2 + 4x − 3 + 2x − 5 4 4 3 A. 1. B. − . . . 3 C. 3 D. 4 1 Câu 33: Biết lim = a . Tính a P = C + a 10 x→+∞ 2
x + x +1 − x A. P = 47 B. P = 100 C. P = 2 D. P = 45 x2 + 2x − 3 Câu 34: lim bằng. x→ 2x2 1 − x −1 1 3 4 A. . . . 2 B. 2. C. 4 D. 3
3x − 2 − 4x2 − x − 2 Câu 35: lim bằng. x→ x2 1 − 3x + 2 4 1 3 A. − . . . 3 B. 0. C. 2 D. 2 3 2x + 3x − 4 2 c Câu 36: Biết lim = c . Tính H = +1 3 2
x→+∞ −x − x +1 2 A. H = 1 − . B. H = 3. C. H = 4. D. H = 2 − . 2 n Câu 37: n
lim x + x + ...+ x − bằng. x 1− → 1− x A. 0. B. 1. C. − . ∞ D. + . ∞ 1 1 Câu 38: lim − bằng.
x→ x2 + x − 2 x3 1 −1 1 9 2 A. . − . . 9 B. 2 C. 0. D. 9 x3 − 3x + 2 Câu 39: lim bằng. − 2 x 1 → x − 5x + 4 3 3 1 A. − . ∞ B. . . . 4 C. 3 D. 3 x + 2 x Câu 40: lim bằng. x 0+ → x − x A. 2 − . B. 2. C. − . ∞ D. 0. 2 x + x +10 2 x +11x + 30 Câu 41: Biết lim = a và lim
= b . Tính S = a + . b 3 x→−1 x + 6 2 x→−5 25 − x 1 1 21 A. S = S = S = S = 10 B. 5 C. 10 D. 2 x2 + 3x + 2 Câu 42: lim bằng. x ( 1)+ → − x5 + x4 59 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3 1 A. . − . 2 B. 1. C. 2 D. 0.
x − 4 − x + 4 + 2 Câu 43: lim bằng. x→5 x − 5 1 2 A. 1. B. 3. C. . . 3 D. 3
x2 + x − x Câu 44: lim bằng. + 2 x→0 x A. 2. B. 0. C. − . ∞ D. + . ∞
x2 − 2x + 3; x ≤ 2
Câu 45: Cho hàm số f (x) =
. Tính lim f (x).
4x − 3; x > 2 x→2
A. lim f (x) = 3.
B. lim f (x) = 5. x→2 x→2
C. lim f (x) không tồn tại.
D. lim f (x) = 1. x→2 x→2 3 − x Câu 46: lim bằng. x 3− → 27 − x3 1 1 A. 0. B. . C. − . D. 3. 3 3
5x + 2; x ≥ 1
Câu 47: Cho hàm số f (x) =
. Tính lim f (x).
x2 − 3; x < 1 x 1 →
A. lim f (x) = 7.
B. lim f (x) = 1. x 1 → x 1 →
C. lim f (x) = 2 − .
D. lim f (x) không tồn tại. x 1 → x 1 → x − x Câu 48: lim bằng. x 1 → x −1 A. 3 − . B. 0. C. 1. D. 1 − .
----------------------------------------------- HÀM SỐ LIÊN TỤC 2 2
a x neáu x ≤ 2
Câu 1: Tìm số thực a sao cho hàm số f (x) = liên tục trên . ( ℝ
1− a)x neáu x > 2 1 1 A. a = 1 − ,a = 1.
B. a = 1,a = . a = − a = a = 1 − ,a = . 2 C. 1, 2. D. 2 2 x − 3x + 2 vôùi x < 2
Câu 2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2
f (x) = x − 2x liên tục trên ℝ .
mx + m +1 vôùi x ≥ 2 1 A. m = 4. B. m = 1 − . C. m = 6. D. m = − . 6
Câu 3: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số y = tan x liên tục trên . ℝ
B. Hàm số y = x + sin x liên tục trên . ℝ 60 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 x + 3x + 2 C. Hàm số y =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 2 − ) và ( 2 − ;+∞). x + 2 5 4
D. Phương trình x − 3x + 5x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (−2;5). 1 3 − vôùi x >1 Câu 4: Cho hàm số 3
f (x) = x −1 x −1
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
mx + 2 vôùi x ≤ 1
f (x) liên tục tại x = 1. A. m = 1. B. m = 1 − . C. m = 2 − . D. m = 3 − . 1 1 +
khi x > 2 v aø x ≠ 3
Câu 5: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2 2
f (x) = x − 3x + 2 x − 5x + 6 2 2
m x − 3mx − 5 khi x ≤ 2 liên tục tại x = 2 0 . 3 ± 21 3 4 ± 21 A. m = . m = . m = ± m = . 4 B. 2 C. 3 21. D. 3
ax − b vôùi x ≤ 1
Câu 6: Tìm các giá trị của a và b để hàm số f (x) = 3
x vôùi 1 < x < 2 liên tục tại x = 1 và gián 2
bx − a vôùi x ≥ 2 đoạn tại x = 2. b = a + 3 b = a + 3 a = b − 3 a = b + 3 A. . B. . C. . D. . a ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3 b ≠ 3 x −1 vôùi x ≠ 1
Câu 7: Tìm m để hàm số 2
f (x) = x −1
liên tục tại x = 1. 2
m x vôùi x = 1 1 1 1 1 A. m = − . m ≠ ± . m = ± . m = . 2 B. 2 C. 2 D. 2
Câu 8: Cho phương trình 4 2
2x − 5x + x +1 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng ( 2 − ; ) 1 .
B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 1 − ; ) 1 .
C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0;2).
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0). 2
x − x − 2 vôùi x ≠ 2
Câu 9: Tìm giá trị của m để hàm số f (x) = x − 2
liên tục tại x = 2.
m vôùi x = 2 A. m = 0. B. m = 3. C. m = 1. D. m = 2.
Câu 10: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Nếu hàm số y = f (x) và y = g(x) liên tục tại điểm x
y = f x − g x x . 0 thì hàm số ( ) ( ) liên tục tại 0
B. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x y = g x x 0 , còn hàm số
( ) không liên tục tại 0 thì
y = f (x) + (
g x) là hàm số không liên tục tại x . 0
C. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x y = g x x 0 , còn hàm số
( ) không liên tục tại 0 thì
y = f (x) + (
g x) là hàm số liên tục tại x . 0 61 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11
D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực . ℝ
Câu 11: Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [ ;
a b]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu hàm số f (x) liên tục, tăng trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f (x) = 0 không
thể có nghiệm trong khoảng ( ; a b).
B. Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và f (a). f (b) > 0 thì phương trình f (x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng ( ; a b).
C. Nếu f (a). f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( ; a b).
D. Nếu phương trình f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng ( ;
a b) thì hàm số f (x) phải liên tục trên khoảng ( ; a b). 2
x − x − 2 khi x ≠ 2
Câu 12: Tim tham số thực m để hàm số f ( x) 2
= 3x − 5x − 2
liên tục tại x = 2 2 2 3
x m + m + x khi x = 2 1 1 1 A. m = − . m ≠ ± . m = . 2 B. m ∈∅ C. 2 D. 2
ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 3 2 2
2x − 5x − 2x − 3 ax + bx +1 Câu 1: Biết lim = lim
, với a, b,c, d ∈ . P = abcd 3 2 2 ℤ Tính . x→3 x→3
4x −13x + 4x − 3 cx + dx +1 A. P = 6. B. P = 2 − . C. P = 8 − . D. P = 4. 1 Câu 2: lim bằng. n! 1 1 A. 1. B. 0. C. . . 1000 D. 9 10 2 +1 + Câu 3: lim n n bằng. 3 3
n + n − n 1 A. 1. B. 2. C. + . ∞ D. . 2 Câu 4: 2 n ( 2 lim
n − n +1) bằng. A. − . ∞ B. 1. C. 2. D. 0. −x2 − x + 6 Câu 5: lim bằng. x→− x2 3 + 3x 1 5 5 3 A. . − . . − . 3 B. 3 C. 3 D. 5 n ( 1 − ) n ( 3 1 ) Câu 6: lim + bằng. n 1 2 3.2 + 1 5 A. . . +∞ 2 B. 6 C. 1. D. . 62 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 − x − 3 Câu 7: lim bằng. 2 x→7 x − 49 1 A. 0. B. − . +∞ − 56 C. . D. 56. n 2 3 n Câu 8: lim + bằng. 4n π 3 2 A. . +∞ . 4 B. 0. C. . D. π 3 10 − x − 2 Câu 9: lim bằng. x→2 x − 2 1 1 1 A. . − . . 12 B. 2. C. 12 D. 24 2 2sin Câu 10: lim 10 n − bằng. n A. 0. B. 10. C. + . ∞ D. 9.
Câu 11: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 1 − ? 2 n + n 2 3 n − n 2n + 3 3 n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 −2n − n 3 2n +1 2 − 3n 2 n + 3
Câu 12: lim ((0.99)n cosn) bằng. 2 9 11 A. . . . 2 B. 10 C. 10 D. 0.
9 + 5x + 4x2 − 3 Câu 13: lim bằng. x→0 x 1 1 5 10 A. . . . . 6 B. 2 C. 6 D. 3 x + 8 − 8x +1 Câu 14: lim bằng. x 1 →
5 − x − 7x − 3 5 2 7 1 A. . . . . 12 B. 3 C. 12 D. 56 2n n Câu 15: lim bằng. 2 n + 2n −1 1 A. 2. B. 0. C. . 2 D. 3. (x + 2) + 8 ( 2 3
ax + bx + c x ) Câu 16: Biết lim = lim
, với a, b,c, d ∈ .
S = a + b + c + d 2 ℤ Tính . x→ 2 − x→ 2 x +11x +18 −
(x + 2)(x + d) A. S = 2 − . B. S = 9. C. S = 4. D. S = 12. 1+ x 3 − 1+ x Câu 17: lim bằng. x→0 x A. 0. B. 2. C. 8. D. 3 − . 63 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 (− )1n Câu 18: lim bằng. 2n +1 1 1 A. 1. B. 0. C. − . . 2 D. 2
Câu 19: Cho phương trình 3 2
x + 3x − 4x − 7 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 2 − ;0).
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng ( 4 − ;0). C. Hàm số 3 2
f (x) = x + 3x − 4x − 7 liên tục trên . ℝ
D. Phương trình (1) ít nhất nghiệm trong khoảng (1;3). 2 n n 2n cosn − Câu 20: lim + bằng. 2n 1 3n − 1 1 A. . − . 2 B. 2 C. 0. D. 2. 3 − x −1 Câu 21: lim bằng.
x→4 x − 2 − 2 A. 4. B. 1. C. 1 − . D. 0. n+2 4 ( 2n−3 5 − 3 ) Câu 22: lim bằng. n→+∞ ( 2n 1 2 + − )1( n−2 2 − 9 ) A. 4. B. 24. C. 16. D. 36.
Câu 23: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? x −1 2x + 5 2 x −1 A. lim . B. lim . C. + − D. lim . →+∞ ( 2 lim x 1 x 2 x ) 3 x 1 → x −1 x→−2 x + 10 x 1 → x − 3x + 2 x + 3 − 2 Câu 24: lim bằng. x 1 → x −1 1 1 1 1 A. . . . . 12 B. 8 C. 6 D. 4
Câu 25: Cho phương trình 3
−4x + 4x −1 = 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng (−2;0). 1
B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3 − ; 2 C. Hàm số 3
f (x) = 4x + 4x −1 liên tục trên . ℝ
D. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng (− ; ∞ ) 1 . 1 3 lim − bằng. x→ 1− x 1− x3 1 Câu 26: 1 A. 0. B. − . − 2 C. 4. D. 1. 64 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 m(x −1) khi x = 3 m −1
Câu 27: Cho hàm số f (x) =
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f (x) liên 2 x − 9 khi x ≠ 3 3− 2x + 3 tục tại x = 3. 9 9 A. m = . B. m = 1 − 8. C. m = − . D. m = 18. 13 13
Câu 28: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2n + 3 2n +1 A. lim . B. lim . 1− 2n 3.2n − 3n 3 1− n (2n+ )1(n−3)2 C. lim . D. lim . 2 n + 2n 3 n − 2n 2x 3 +1. 3x +1 −1 Câu 29: lim bằng. x→0 x A. + . ∞ B. 2. C. 1. D. 4 − . 3 2 − 3 +1 Câu 30: lim n n bằng. 3 2 n + n 1 A. 0. B. 3. C. 3 − . D. − . 3 x +1 Câu 31: Biết lim = a . Tính a a
H = P + A + C x→−1 2 6 a a a x + 3 + 3x A. 105. B. 9. C. 55. D. 3.
( x + 2)3 − 8 neáu x ≠ 0,x ≠ −1
Câu 32: Cho hàm số: y = f (x) = 2 x + x
. Khẳng định nào dưới đây là sai ? 2
x − 2x +12 neáu x = 0
A. f (0) = lim f (x)
B. Hàm số gián đoạn tại x = 0 x→0 (x+2)3 −8 C. lim = 12
D. Hàm số liên tục tại x = 0 2 x→0 x + x n − 2 n Câu 33: lim bằng. 2n 1 1 A. 1 − . B. 2. C. − . . 2 D. 2 3 2
6 − x − x + 4 Câu 34: lim bằng. 2 x→2 x − 4 7 1 7 A. −7. B. − . − . . 48 C. 48 D. 48 4x5 + 9x + 7 Câu 35: lim bằng. x→ 3x6 + x3 1 +1 4 A. . 3 B. 8. C. 4. D. 2. 65 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3 3n − 5n +1 Câu 36: lim bằng. 2 n + 4 1 A. . +∞ 3 B. 0. C. 3. D. . x + 2 − 2 Câu 37: lim bằng. x→2 x + 7 − 3 1 2 3 1 A. − . . . . 3 B. 2 C. 2 D. 2
x3 + 3x2 − 9x − 2 Câu 38: lim bằng. x→ x3 2 − x − 6 15 15 11 A. . . . 11 B. 10 C. 15. D. 15 1 1− 4n
Câu 39: lim n − bằng. 2 n 2n 1 A. − . +∞ − 2 B. . C. 2. D. 2.
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 Câu 40: lim bằng. x→ x2 3 − 4x + 3 2 1 A. . − − . 3 B. 1. C. 3. D. 3 Câu 41: x2 lim
3 + x +1 − x 3 bằng. x→+∞ ( ) 1 3 3 A. . . . 6 B. 6 C. 3 D. 0.
Câu 42: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số. 32 13 100 31 A. . . . . 99 B. 99 C. 99 D. 99
Câu 43: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 5111... được biểu diễn bởi một phân số. 6 47 46 43 A. . . . . 11 B. 90 C. 90 D. 90
Câu 44: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là +∞? 2 n − n +1 2 n − 3n + 2 2 2n − 3n 3 n + 2n −1 A. lim . lim . lim . lim . 2 B. C. D. n −1 2 n + n 3 n + 3n 3 n − 2n 2 −
Câu 45: Cho hàm số ( ) = a x f x
. lim f (x) bằng. x x→−∞ A. 1. B. + . ∞ C. + . ∞ D. 1 − . ( x + 3)3 − 27 Câu 46: Biết lim
+ m = 27. Giá trị của m là. x→0 x A. m = 0. B. m = 9 − . C. m = 27. D. m = 1. 3 Câu 47: ( 3
lim 1+ n − n) bằng. A. 3. B. 2. C. + . ∞ D. 0. 66 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1+ x 3 − 1+ x Câu 48: lim bằng. x→0 x 1 A. . 6 B. 6. C. 12. D. 0.
Câu 49: lim (5n − cos nπ) bằng. A. 1. B. + . ∞ C. 0. D. 1 − . 3 Câu 50: ( 2 3 lim
n − n + n) bằng. 1 A. 2. B. . − 3 C. 3. D. 0. 1
Câu 51: Biết u − 2 ≤ . Tìm lim u . n 3n n 1 A. lim u = 2. B. lim u = . C. lim u = 0. D. lim u = + . ∞ n n 3 n n 2 2 sin − 3 Câu 52: lim n n n bằng. 2 n A. 2. B. 0. C. 3 − . D. 3.
Câu 53: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại ? x x 2x +1 A. lim cos x B. lim C. lim . D. lim . x→+∞ x→− ( 2 x + )2 1 1 x→0 x +1 x→−∞ x +1
Câu 54: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là −1 ? 2 2x + x −1 2x + 3 3 2 x − x + 3 2 x −1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 x→+∞ 3x + x 2
x→−∞ x − 5x 2 3 x→+∞ 5x − x x→−∞ x + 1 3 − x neáu x ≠ 3
Câu 55: Cho hàm số f (x) = x +1 − 2
. Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng.
m neáu x = 3 A. 1. B. 4. C. 1 − . D. 4 − . Câu 56: ( 4 2 2 lim
n + 2n − n ) bằng. A. 1. B. 2. C. 0. D. 1 − . 2 x
vôùi x < 1, x ≠ 0 x
Câu 57: Cho hàm số f (x) = 0 vôùi x = 0
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? x vôùi x ≥ 1
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . ℝ
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0;1].
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1. 3 3 2
5 x − 7 + 9x − 3x +1 Câu 58: lim bằng. x→−∞ 2017 − 4 x 67 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 3 9 − 5 3 9 + 5 9 1 A. . . . . 4 B. 4 C. 4 D. 4 3x2 + x4 lim bằng. Câu 59: x→0 2x 3 3 A. . − . 2 B. 2 C. Không tồn tại D. 0. 3− 5x −1 khi x > 2
Câu 60: Tìm tham số m để hàm số: 2
y = f (x) = 2x − 5x + 2
liên tục tại x = 2 0 3
(m − 2)x − mx +10 khi x ≤ 2 103 103 5 5 A. m = − . B. m = . C. m = . D. m = − . 108 108 18 18 3n − 4n Câu 61: lim bằng. 2.4n + 2n 1 1 A. . − − − . 2 B. 2. C. 1. D. 2 n+2 4 ( 2n−3 5 − 3 ) Câu 62: lim bằng. n→+∞ ( 2n 1 2 + − )1( n−2 2 − 9 ) A. 24. B. 2 − 4. C. 42. D. 4 − 2. 1
Câu 63: lim 2n + bằng. n A. 0. B. 2. C. 3. D. + . ∞ 2 − (− ) 1 n n Câu 64: lim bằng. 2 1+ 2n 3 1 A. 0. B. . . − 2 C. 2 D. 2. 2n 1 3 + + 2( 5 − )n Câu 65: lim bằng. n−2 n→+∞ 6 − 3 1 A. 108. B. 102. C. 1. D. . 6 2
2x − 3 + 4x + x Câu 66: Biết lim
+ 2m = 10. Giá trị của m là. x→−∞ 3 3 2
8x − 4x − x + 5 A. m = 5. B. m = 0. C. m = 10. D. m = 1. 1
Câu 67: Cho phương trình
= 0 (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? x
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng ( 1 − ; ) 1 .
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng ( 1 − ; ) 1 .
C. Phương trình (1) vô nghiệm 1
D. Hàm số f (x) =
liên tục trên các khoảng (− ; ∞ 0) và (0;+∞) x x − 3 Câu 68: lim bằng. x 3− → 3 − 6x − x2 68 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 6 A. 2. B. − . −∞ 6 C. 0. D. . 2 3 3 2 4n n 8n n − + + Câu 69: lim bằng. 2n 3 + A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Câu 70: lim (2n − 2n + 3) bằng. A. − . ∞ B. + . ∞ C. 3. D. 2. 1 1 1 (−1)n
Câu 71: Tổng của cấp số nhân vô hạn − , , − ,... ,... 2 4 8 2n 1 1 1 A. S = . S = − S = − . S = − . 2 B. 1. C. 4 D. 3 n Câu 72: lim bằng. n +1 + n 1 A. 0. B. 2 − . C. 1. D. . 2
Câu 73: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131... dưới dạng một phân số. 2129 212 219 129 A. . . . . 999 B. 999 C. 999 D. 999 (2−3n)3(n+ )2 1 Câu 74: lim bằng. 5 1− 4n 3 27 27 3 A. . − . . − . 4 B. 4 C. 4 D. 4 2 2
n + n −1 − 4n − 2 Câu 75: lim bằng. n + 3 1 A. 2 − . B. 1 − . C. 0. D. − . 3 ĐÁP ÁN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D 41 42 43 44 45 69 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 A B C D
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 A B C D HÀM SỐ LIÊN TỤC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D
ÔN TẬP CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 A B C D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 A B C D 71 BT. ĐS>11
Chương IV. Giới hạn