Chuyên đề giới hạn – Nguyễn Bảo Vương
Tài liệu gồm 105 trang phân dạng và hướng dẫn giải các bài toán chuyên đề giới hạn, tài liệu do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn gồm 3 tập:
Tập 1. 220 bài tập trắc giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số có lời giải chi tiết
Chủ đề: Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
NGUYỄN BẢO VƯƠNG.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 GIỚI HẠN HÀM SỐ TẬP 1
220 BÀI TẬP TRẮC GIỚI HẠN HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
https://web.facebook.com/phong.baovuong ALBA-CHƯ SÊ-GIA LAI
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
CHƢƠNG IV: GIỚI HẠN
TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1. Định nghĩa:
Dãy số (u ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý n
cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số
dương đó. Kí hiệu: lim u 0 .Hay là: limu 0 khi và chỉ khi với mọi 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự n x 0 n x
nhiên n sao cho: u , n n . 0 n 0
lim u a lim u a 0 , tức là: Với mọi 0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho n n x x 0
u a , n n . n 0
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
1.2. Một số giới hạn đặc biệt 1 lim 0 với k * k n
Nếu q 1 thì lim n q 0 n
Nếu u c (với c là hằng số) thì lim u lim c c n n n n
Chú ý: Ta viết limu a thay cho cách viết lim u a . n n n
2. Một số định lí về giới hạn
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa u v kể từ số hạng n|o đó trở đi v| lim v 0 thì limu 0 . n n n n
Định lí 2. Cho limu a, lim v b . Ta có: n n
lim(u v ) a b n n
lim(u v ) a b n n
lim(u .v ) . a b n n u a
lim n (b 0) v b n
Nếu u 0 n
thì lim u a n n
3. Tổng của CSN lùi vô hạn
Cho CSN (u ) có công bội q thỏa q 1 . Khi đó tổng n
S u u ... u .... gọi là tổng vô hạn của CSN và 1 2 n u (1 n q ) u 1 1
S limS lim . n 1 q 1 q
4. Giới hạn vô cực
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4.1. Định nghĩa:
lim u với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng n|o đó n n
trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
lim u lim u . n n n n
4.2. Một số kết quả đặc biệt lim k
n với mọi k 0 lim n
q với mọi q 1 .
4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.
Quy tắc 1: Nếu limu , lim v thì lim(u .v ) được cho như sau; n n n n lim u lim v lim(u v ) n n n n
Quy tắc 2: Nếu limu , lim v l thì lim(u .v ) được cho như sau; n n n n lim u Dấu của l lim(u v ) n n n u
Quy tắc 3: Nếu limu l , lim v 0 và v 0 hoặc v 0 kể từ một số hạng nào dó trở đi thì lim n n n n n vn được coi như sau; Dấu của l Dấu của v u n lim n vn
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phƣơng pháp:
Để chứng minh limu 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n sao cho n a u a n n . n a
Để chứng minh limu l ta chứng minh lim(u l) 0 . n n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
Để chứng minh limu ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n n M
sao cho u M n n . n M
Để chứng minh limu ta chứng minh lim( u ) . n n
Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó l| duy nhất. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: n 2 2 n 1 1 1 2n 1. lim 1 2. lim 3. lim 2 n 1 2 2n 1 2 2 n 1 Lời giải. 1
1. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1, ta có: a a n 2 1 1 1 a với n n n 1 n 1 n 1 a a n 2 n 2 Suy ra lim 1 0 lim 1. n 1 n 1 3
2. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 , ta có: a a 2 n 1 1 3 3 a với n n 2 2 2 2n 1 2 n 1 n 1 a a 2 2 n 1 1 n 1 1 Suy ra lim 0 lim . 2 2 2n 1 2 2n 1 2 9
3. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 , ta có: a 2 a 2 1 2n
1 2n 2 n 1
1 2n 2(n 1) 3 3 2 a với n n . a 2 2 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1 2 n 1 a 1 2n 1 2n Suy ra lim 2 0 lim 2 . 2 2 n 1 n 1
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (u ) : u ( 1
)n không có giới hạn. n n Lời giải.
Ta có: u 1 limu 1; u 1 limu 1 2n 2n 2n1 2n1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn.
Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: 2 n 1 2 n 1. lim 2. lim n n Lời giải.
1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 2 n 1 2 M M 4
M n Mn 1 0 n n 2 2 M M 4 2 n 1 Ta chọn n thì ta có: M, n n 0 2 0 n 2 n 1 Do đó: lim . n
2. Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta có: 2 2 n 2 M M 8
M n M n 2 0 n n 2 2 2 M M 8 n 2 Ta chọn n thì ta có: M, n n 0 2 0 n 2 n Do đó: lim . n
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1
Bài 1. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B.1 C.2 D. 3 1 1 1 1
Lời giải. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 ta có a n n nên có lim 0 . a a n 1 n 1 a n 1 a 1
Bài 2. Giá trị của lim (k *) bằng: k n A. 0 B.2 C.4 D. 5 1 1 1 1
Lời giải. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn k n ta có a n n nên có lim 0 . a a k k a n n k n a 2 sin n
Bài 3. Giá trị của lim bằng: n 2 A. 0 B.3 C.5 D. 8 1 2 sin n 1 1
Lời giải. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 2 ta có a n n nên có a a n 2 n 2 n 2 a a 2 sin n lim 0 . n 2
Bài 4. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C.0 D. 1 M 1
Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n M 2
Ta có: 2n 1 2n 1 M n
n lim(2n1) . M M
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 4
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 1 n
Bài 5. Giá trị của lim bằng: n A. B. C.0 D. 1 2 n 1
Lời giải. Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n thỏa M M M nM 2 M M 4 n . M 2 2 2 n 1 n 1 Ta có: M n n lim M n n 2 1 n Vậy lim . n 2
Bài 6. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C.0 D. 1 2
Lời giải. Với mọi a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 1 a a 2 2 Suy ra a n n lim 0 . n 1 a n 1 cos n sin n
Bài 7. Giá trị của lim bằng: 2 n 1 A. B. C.0 D. 1 cos n sin n 2 1 cos n sin n Lời giải. Ta có mà lim 0 lim 0 2 2 n n 2 2 n n 1 n 1
Bài 8. Giá trị của lim bằng: n 2 A. B. C.0 D. 1 1
Lời giải. Với mọi số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 1 a 2 a n 1 1 n 1 Ta có: a n n lim 0 . n 2 a n 1 n 2 3 3n n
Bài 9. Giá trị của lim bằng: 2 n A. B. C.0 D. 1 M
Lời giải. Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn n 1 M 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 3n n 1 Ta có:
3n M n n 2 M n n 3 3n n Vậy lim . 2 n 2 n
Bài 10. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C.0 D. 1 2 1
Lời giải. Với mọi M 0 lớn tùy ý , ta chọn n 3 1 M a n 2 3 Ta có: n 1
1 n 3 M n nM 1 n n 1 2 n Suy ra lim . n 1 2n 1
Bài 11. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C.2 D. 1 5
Lời giải. Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 2 2 a a 2n 1 5 5 Ta có: 2 a n n n 2 n 2 n 2 a a Vậy A 2 . 2n 3
Bài 12. Giá trị của B lim bằng: 2 n 1 A. B. C.0 D. 1 2n 3
Lời giải Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n thỏa a a a 2 n 1 a 2
1 a 4a 13 n a a 2n 3 Ta có: a n
n B 0 . 2 n 1 a 2 n 1
Bài 13. Giá trị của C lim bằng: n 1 A. B. C.0 D. 1 1
Lời giải. Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 a a 2 n 1 n 2 1 Ta có: 1 1 a n n n 1 n 1 n 1 a a Vậy C 1 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n 2 n
Bài 14. Giá trị của A lim bằng: 2n 1 A. B. C. D. 1 2 1
Đáp án A 2 2
nsin n 3n
Bài 15. Giá trị của B lim bằng: 2 n A. B. C. 3 D. 1
Lời giải B 3 1
Bài 16. Giá trị của C lim bằng: 2 n 2 n 7 A. B. C.0 D. 1
Lời giải C 0 4n 1
Bài 17. Giá trị của D lim bằng: 2 n 3n 2 A. B. C.0 D. 4
Lời giải D 4 n a
Bài 18. Giá trị của lim 0 bằng: n! A. B. C.0 D. 1
Lời giải. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m 1 a . Khi đó với mọi n m 1 m nm n a a a a a a a a Ta có: 0 . ... . ... . n! 1 2 m m 1 n
m! m 1 nm a n a Mà lim 0 . Từ đó suy ra: lim 0 . m 1 n!
Bài 19. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: A. B. C.0 D. 1
Lời giải. Nếu a 1 thì ta có đpcm n
Giả sử a 1 . Khi đó: 1 n 1 n a a n a 1 Suy ra: 0 n a
a 1 0 nên lim n a 1 n 1 1
Với 0 a 1 thì 1 lim 1 lim n n a 1. a a
Tóm lại ta luôn có: lim n a 1 với a 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phƣơng pháp:
Sử dụng c{c định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f ( ) n Khi tìm lim
ta thường chia cả tử và mẫu cho k
n , trong đó k là bậc lớn nhất của tử và mẫu. ( g ) n
Khi tìm lim k ( ) m f n ( g ) n
trong đó lim f ( ) n lim ( g )
n ta thường tách và sử dụng phương ph{p nh}n lượng liên hơn. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
n 1 3 5 ... (2n 1)
1 2 ... n n 1. A lim 2. B lim 2 2n 1 3 2 2 2
1 2 ... n 2n Lời giải. 1. Ta có: 2
1 3 5 ... 2n 1 n 2 n 1 1 Suy ra A lim lim . 2 2n 1 1 2 2 2 n ( n n 1)
2. Ta có: 1 2 ... n ; 2 n n n 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 ... n 6 2 1 n 1 ( n n 1) n 1 n n 1 Suy ra : 2 2 2 B lim lim . (
n n 1)(2n 1) 1 1 1 3 3 3 2n n 1 2 2 3 6 n n 3 2n 6
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : 1 1 1 1 1 1 1
1. C lim 1 1 ...1 2. D lim ... 2 2 2 2 3 n 1.2 2.3 3.4 ( n n 1) Lời giải. 1
(k 1)(k 1) 1. Ta có: 1 nên suy ra 2 2 k k 1 1 1 1.3 2.4
(n 1)(n 1) n 1 1 1 ... 1 . ... 2 2 2 2 2 2 2 3 n 2 3 n 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 8
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 2. Ta có nên suy ra k(k 1) k k 1 1 1 1 1 1 ... 1 1.2 2.3 3.4 ( n n 1) n 1 1 Vậy D lim 1 1 . n 1
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : n1 n1 4 5 n2 n1 4.3 2.7 1. A lim 2. B lim 4n 5n n n1 4 7 Lời giải. n 4 4 5 n 5 4
1. Chia cả tử và mẫu cho 5n ta có: A lim 5 ( do lim 0 ). n 4 5 1 5 n 4 2 36 7 7 2
2. Ta có: B lim . n 49 4 7 7 1 1 1
Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau : C lim 1 1 ...1 2 2 2 2 3 n Lời giải. 1
(k 1)(k 1) Ta có: 1 nên suy ra 2 2 k k 1 1 1 1.3 2.4
(n 1)(n 1) n 1 1 1 ... 1 . ... 2 2 2 2 2 2 2 3 n 2 3 n 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2 2n 3n 1
Bài 1. Giá trị của A lim bằng: 2 3n n 2 2 A. B. C. D. 1 3 3 1 2 2 n 2 Lời giải. Ta có: lim n A . 1 2 3 3 2 n n 2 n 2n
Bài 2. Giá trị của B lim bằng: 2 n 3n 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C.0 D. 1 3 2 n n 1 1 n n 1
Lời giải. Ta có: B lim lim 2 n 3n 1 1 1 3 1 3 2 n n 2n 4 1 n 29 2
Bài 3. Giá trị của C lim bằng: 17 n 1 A. B. C.16 D. 1 8 1 4 9 2 9 1 4 2 9 n (2 ) .n (1 ) (2 ) .(1 ) 2 2
Lời giải. Ta có: C lim n n lim n n 17 1 1 n (1 ) 1 17 17 n n Suy ra C 16 . 2 3 3
n 1 3n 2
Bài 4. Giá trị của D lim bằng: 4 4
2n n 2 n 3 1 3 A. B. C. D. 1 4 2 1 1 2 3 n 1 3 2 3 3 n n 1 3
Lời giải. Ta có: D lim . 4 1 2 2 1 4 n 2 1 3 4 n n
Bài 5. Giá trị của A 2 lim
n 6n n bằng: A. B. C.3 D. 1
n 6n n
Lời giải. Ta có A lim n 6n n 2 2 2 lim 2
n 6n n 6n 6 lim lim 3 2
n 6n n 6 1 1 n
Bài 6. Giá trị của B 3 3 2 lim
n 9n n bằng: A. B. C.0 D. 3
Lời giải. Ta có: B 3 3 2 lim
n 9n n 2 9n lim 3 2 n 9n 2 3 3 2 2 3
n n 9n n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 10
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 9 lim 3 . 2 9 9 3 1 1 1 n n 3.2n 3n
Bài 7. Giá trị của C lim bằng: n1 n1 2 3 1 A. B. C. D. 1 3 n 2 3. 1 3.2n 3n 3 1
Lời giải. Ta có: C lim lim n1 n1 2 3 n 3 2 2. 3 3
Bài 8. Giá trị của D 2 3 3 2 lim
n 2n n 2n bằng: 1 A. B. C. D. 1 3
Lời giải. Ta có: D
2n nn 3 3 2 lim 2 lim
n 2n n 2 2n 2n lim lim 2 3 3 2 2 3 3 2 2
n 2n n
(n 2n ) n n 2n n 2 2 1 lim lim . 2 2 2 3 2 3 3 1 1 (1 ) 1 1 n n n
Bài 9. Giá trị của A 2 lim
n 2n 2 n bằng: A. B. C.2 D. 1 2 2
Lời giải. Ta có A lim n 1 1 2 n n 2 2
Do lim n ; lim 1 1 2 . 2 n n
Bài 10. Giá trị của B 2 lim
2n 1 n bằng: A. B. C.0 D. 1 1
Lời giải Ta có: B lim n 2 1 n 4 3 3n 1 n
Bài 11. Giá trị của C lim bằng: 4
2n 3n 1 n A. B. C.0 D. 1
3. Chia cả tử và mẫu cho 2 n ta có được
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 1 1 4 5 8 n n n C lim 0 . 3 1 1 2 3 4 n n n k
a n ... a n a
Bài 12. Giá trị của k 1 0 D lim
(Trong đó k, p là các số nguyên dương; a b 0 ) . p
b n ... b n b k p p 1 0 bằng: A. B. C.Đ{p {n kh{c D. 1
Lời giải Ta xét ba trường hợp sau a a k1 0 a ... k k if a b 0
k p . Chia cả tử và mẫu cho k n ta có: lim k p n n D . b b if a b 0 p 0 ... k p pk k n n a a k1 0 a ... k k a
k p . Chia cả tử và mẫu cho k
n ta có: D lim n n k . b b 0 b ... k k k n a a k 0 ... pk p
k p . Chia cả tử và mẫu cho p n : lim n n D 0 . b0 b ... p p n
Bài 13. Giá trị củA. A 3
lim n 2n 1 bằng: A. B. C.0 D. 1 1 19
Lời giải.Ta có: f ( 2) 9 5 0, f ( 1
) 1 0, f 0 2 32 1
Bài 14. Giá trị củA. lim 1 2 f (0) x0 3
1 x 1 x 1 bằng: A. B. C.0 D. 1
Lời giải. f (0) 1 0, f (2) 4
7 0, f(10) 7921 0
Bài 15. Giá trị củA. x 0 với bằng: A. B. C.Đ{p {n kh{c D. 1
Lời giải. f ( ) x 0
f(x) khi x x
Bài 16. Giá trị củA. 0 y bằng:
k khi x x0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 12
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 A. B. C.0 D. 1 1 1 Lời giải. 2; 1 , 1 ; ,
; 0 , 0; 2 , 2;10 2 2
Bài 17. Giá trị củA. x x bằng: 0 3 A. B. C. D. 1 2 1 1 3 2 3 3 Lời giải.Ta có: lim n n E 2 2 1 3 2 1 n n 7 3
(n 2) (2n 1)
Bài 18. Giá trị củA. F lim bằng: 2 5 (n 2) A. B. C.8 D. 1 7 3 2 1 1 2 n n
Lời giải. Ta có: F lim 8 5 5 1 2 n
Bài 19. Giá trị củA. H 2 lim
n n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 1 1 n 1 1 Lời giải. Ta có: lim lim n H 2
n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n
Bài 20. Giá trị củA. M 3 2 3 lim
1 n 8n 2n bằng: 1 A. B. C.0 D. 1 12 2 1 n 1
Lời giải. Ta có: M lim 3 2 3 2 3 2 3 2 12 (1 n 8n ) 2n 1 n 8n 4n
Bài 21. Giá trị củA. N 2 3 3 lim
4n 1 8n n bằng: A. B. C.0 D. 1
Lời giải. Ta có: N
2n n 3 3 lim 4 1 2 lim
8n n 2n 1 Mà: lim 2
4n 1 2n lim 0 2 4n 1 2n n lim 3 2
8n n 2n lim 0 3 2 2 3 2 2 (8n )
n 2n 8n n 4n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Vậy N 0 .
Bài 22. Giá trị củA. K 3 3 2 2 lim
n n 1 3 4n n 1 5n bằng: 5 A. B. C. D. 1 12
Lời giải. Ta có: K 3 3 2
n n n 2 lim 1 3lim
4n n 1 2n 1 1 Mà: lim 3 3 2
n n 1 n ; lim 2
4n n 1 2n 3 4 1 3 5 Do đó: K 3 4 12 2n 1
Bài 23. Giá trị củA. A lim bằng: 1 3n 2 A. B. C. D. 1 3 2
Lời giải A 3 2 4n 3n 1
Bài 24. Giá trị củA. B lim bằng: 2 (3n 1) 4 A. B. C. D. 1 9 4
Lời giải B 9 3 n 1
Bài 25. Giá trị củA. C lim bằng: 2 ( n 2n 1) 1 A. B. C. D. 1 4 1
Lời giải C 4 3 2 n 3n 2
Bài 26. Giá trị củA. D lim bằng: 4 3 n 4n 1 A. B. C.0 D. 1
Lời giải D 0 3 n 2n 1
Bài 27. Giá trị củA. E lim bằng: n 2 A. B. C.0 D. 1
Lời giải E 4 4
n 2n 1 2n
Bài 28. Giá trị củA. F lim bằng: 3 3
3n n n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 A. B. C. D. 1 3 3 1 3
Lời giải F 3 3 1
Bài 29. Giá trị củA. M 2 lim
n 6n n bằng: A. B. C.3 D. 1 6n
Lời giải M lim 3 2
n 6n n
Bài 30. Giá trị củA. N 3 3 2 lim
n 3n 1 n bằng: A. B. C.0 D. 1 2 3n 1
Lời giải N lim 1 3 3 2 2 3 3 2 2
(n 3n 1) .
n n 3n 1 n
Bài 31. Giá trị củA. H n 3 3 2 lim
8n n 4n 3 bằng: 2 A. B. C. D. 1 3 2
Lời giải H lim n 3 3
8n n 2n limn 2
4n 3 2n 3 3.2n 3n
Bài 32. Giá trị củA. K lim bằng: n1 n1 2 3 1 A. B. C.2 D. 1 3 n 2 3 1 3 1
Lời giải K lim n 3 2 2 3 3 3
2n sin 2n 1
Bài 33. Giá trị củA. A lim bằng: 3 n 1 A. B. C.2 D. 1 sin 2n 1 2 3 Lời giải lim n A 2 1 1 3 n n n!
Bài 34. Giá trị củA. B lim bằng: 3 n 2n A. B. C.0 D. 1 n n ! n n n n
Lời giải. Ta có: 0 B 0 3 3 3 n 2n n 2n n 2n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3.3n 4n
Bài 35. Giá trị củA. C lim bằng: n1 n1 3 4 1 A. B. C.0 D. 1 2 1
Lời giải C 2 n 1
Bài 36. Giá trị củA. D lim bằng: 2 2 2
n ( 3n 2 3n 1) 2 A. B. C. D. 1 3 2 3
Lời giải D 3
Bài 37. Giá trị củA. 2
E lim( n n 1 2 ) n bằng: A. B. C.0 D. 1
Lời giải E
Bài 38. Giá trị củA. F lim n1 n bằng: A. B. C.0 D. 1
Lời giải F p
Bài 39. Giá trị củA. k 2 2
H lim( n 1 n 1) bằng: A. B. C.Đ{p {n kh{c D. 1
Lời giải. Xét các trường hợp
TH1: k p H
TH 2: k p H
TH 3: k p H 0 .
Bài 40. Giá trị của K n 2 lim
n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 1
Lời giải K 2 1 1 1
Bài 41. Tính giới hạn của dãy số u ... : n 2 1 2 3 2 2 3
(n 1) n n n 1 A. B. C.0 D. 1 1 1 1 Lời giải. Ta có:
(k 1) k k k 1 k k 1 1 Suy ra u 1 limu 1 n n n 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 16
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 3 3
(n 1) 1 2 ... n
Bài 42. Tính giới hạn của dãy số u : n 3 3n n 2 1 A. B. C. D. 1 9 2 n n Lời giải Ta có: 3 3 3 ( 1)
1 2 ... n 3 2 ( n n 1) 1 Suy ra u limu . n 3
3(3n n 2) n 9 1 1 1 ( n n 1)
Bài 43. Tính giới hạn của dãy số u (1 )(1 )...(1 ) trong đó T . : n T T T n 2 1 2 n 1 A. B. C. D. 1 3 1 2
(k 1)(k 2)
Lời giải. Ta có: 1 1 T ( k k 1) ( k k 1) k 1 n 2 1 Suy ra u . limu . n 3 n n 3 3 3 3 2 1 3 1 n 1
Bài 44. Tính giới hạn của dãy số u . .... . : n 3 3 3 2 1 3 1 n 1 2 A. B. C. D. 1 3 3 2 k 1
(k 1)(k k 1) Lời giải. Ta có 3 2 k 1
(k 1)[(k 1) (k 1) 1] 2 2 n n 1 2 Suy ra u . limu n 3 (n 1) n n 3 n 2k 1
Bài 45. Tính giới hạn của dãy số u . : n k k1 2 A. B. C.3 D. 1 1 1 1 1 1 2n 1
Lời giải. Ta có: u u ... n n 2 n1 n1 2 2 2 2 2 2 1 3 2n 1 u limu 3 . n n1 2 2 2 n
Bài 46. Tính giới hạn của dãy số 2
u q 2q ... n
nq với q 1 . : n q q A. B. C. D. q2 1 q2 1 Lời giải. Ta có: 2 3 1 u qu q q q ... n n q nq n n 1 n q q n1
(1 q)u q
nq . Suy ra limu . n 1 q n 1q2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n n
Bài 47. Tính giới hạn của dãy số u . : n 2 k1 n k A. B. C.3 D. 1 n n n 1
Lời giải. Ta có: n u n u 1 2 n 2 2 n 2 n n n 1 n 1 n 1 n u 1 0 limu 1 . n 2 n 1 n k k1
a .n a n
... a n a
Bài 48. Tính giới hạn của dãy số k k1 1 0 A lim
với a b 0 . : p p1
b .n b n
... b n b k p p p1 1 0 A. B. C.Đ{p {n kh{c D. 1
Lời giải. Ta chia l|m c{c trường hợp sau a a k1 0 a ... k k a
TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho k
n , ta được A lim n n k . b b b p 1 0 b ... p p k n n a a k1 0 a ... k k khi a b 0
TH 2: k p , chia cả tử và mẫu cho k n , ta được lim k p n n A b b b khi a b 0 p p 1 0 ... k p k p k p1 k n n n a a a k k 1 0 ... pk pk1 p
TH 3: k p , chia cả tử và mẫu cho p n , ta được lim n n n A 0 . bp1 b0 b ... p p n n 3 6 4
n n 1 4 n 2n 1
Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B lim . : 2 (2n 3) 3 A. B. C.3 D. 4
Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho 2 n ta có được: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 6 3 4 n n n n 1 4 3 B lim . 2 4 4 3 2 n
Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C 2 lim
4n n 1 2n . : 1 A. B. C.3 D. 4 1 1 n 1 1 Lời giải. Ta có: lim lim n C 2
4n n 1 2n 1 1 4 4 2 2 n n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 18
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
Bài 51. Tính giới hạn của dãy số D 2 3 3 2 lim
n n 1 2 n n 1 n . : 1 A. B. C. D. 1 6
Lời giải. Ta có: D
2n n n 3 3 2 lim 1 2 lim
n n 1 n 1 1 n 1 1 Mà: lim 2
n n 1 n lim lim n 2
n n 1 n 1 1 2 1 1 2 n n 1 1 2 1
n n n 2 3 3 2 n 1 lim 1 lim lim n 3 3 2 2 3 3 2 2
(n n 1) .
n n n 1 n 2 3 1 1 1 1 3 3 1 1 1 4 6 3 n n n n 1 2 1 Vậy D . 2 3 6 2
1 a a ... n a
Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1 . Tìm giới hạn I lim . 2
1 b b ... n b 1 b A. B. C. D. 1 1 a n1 a Lời giải. Ta có 2 1, , ,..., n a a
a là một cấp số nhân công bội a 2 n 1
1 a a ... a 1a n1 b Tương tự 2 n 1
1 b b ... b 1b n1 1 a 1 b Suy ra lim 1 lim a I n1 1 b 1 a 1 b
( Vì a 1, b 1 n1 n1 lima limb 0 ). 1
Bài 53. Cho dãy số (x ) x{c định bởi 2 x , x
x x , n 1 n 1 1 2 n n n 1 1 1 Đặt S S . n x 1 x 1 x . Tính lim 1 n 1 2 n A. B. C.2 D. 1
Lời giải. Từ công thức truy hồi ta có: x x , n 1,2,... n1 n
Nên dãy (x ) là dãy số tăng. n
Giả sử dãy (x ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim x x n n
Với x là nghiệm của phương trình : 2
x x x x 0 x vô lí 1
Do đó dãy (x ) không bị chặn, hay lim x . n n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 Mặt khác: x x (x 1) x x 1 n1 n n n n 1 1 1 Suy ra: x 1 x x n n n1 1 1 1 1 Dẫn tới: S 2 limS 2 lim 2 n n x x x x 1 n1 n1 n1 1 2 k
Bài 54. Cho dãy (x ) được x{c định như sau: x ... k k 2! 3! (k 1)! Tìm lim u với n n
u x x ... n n x . n n 1 2 2011 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! k 1 1 1 Lời giải. Ta có: nên x 1 (k 1)! k! (k 1)! k (k 1)! 1 1 Suy ra x x
0 x x k k1 k k1
(k 2)! (k 1)! Mà: n n ... n n n x x x x 2011x 2011 1 2 2011 2011 n 1 Mặt khác: lim x lim 2011x x 1 2011 2011 2011 2012! 1 Vậy lim u 1 . n 2012! u 2011 0 3 u
Bài 55. Cho dãy số (u ) được x{c định bởi: 1 . Tìm lim n . n u u n1 n n 2 u n A. B. C.3 D. 1
Lời giải. Ta thấy u 0, n n 3 1 Ta có: 3 3 u u 3 (1) n1 n 3 6 u u n n Suy ra: 3 3 3 3 u u
3 u u 3n (2) n n1 n 0 1 1 1 1 Từ (1) và (2), suy ra: 3 3 3 u u 3 u 3 n1 n 3 u 3n n u 3n2 2 3 3n 9n 0 0 1 n 1 1 n 1 Do đó: 3 3
u u 3n (3) n 0 2 3 k1 k 9 k1 k n 1 1 1 1 1 n 1 n 1 Lại có: 1 ...
2 2 . n 2n 2 2 k1 k 1.2 2.3 (n 1)n n k1 k k1 k 2 2n Nên: 3 3 3
u 3n u u 3n 0 n 0 9 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 20
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 3 3 u u u n 2 2 Hay 0 0 3 3 . n n n 9n 3 n 3 u Vậy lim n 3 . n
Bài 56. Cho dãy số (u ) x{c định bởi : u n 2 2 n 1 n . n n 4 Đặt m . Tìm . 3 A. B. C. 1 2 D. 1
Lời giải. Ta có: u n 2 n1 n1 n n x x x
f (x) f f ... f 2 3 3 3n 1 1 Nên S limS 1 2 n n 2 1
n 2 n 1 x 1 1
Bài 57. Cho dãy x 0 x{c định như sau: f (x) . Tìm 0; . x A. B. C.2010 D. 1 2 u u u u Lời giải. Ta có n n1 n n u u n1 n 2010 u .u 2010u n1 n n1 u n 1 1 2010. u u u n1 n n1 un 1 1 1 Ta có 2010( ) 2010(1 ) u u u u n1 1 n1 n1
Mặt khác ta chứng minh được: limu . n u Nên lim( u ) 2010 . un1
Bài 58. Cho dãy số x 0 với f (0) 3m 1. Dãy (s ) được cho bởi lim f ( ) x lim . 2 2x 3m 1 3m 1 n x0 x0 1 1
Tìm x 0 3m 1 m . 2 6 A. B. C.2 D. 9 4n 9
Lời giải. Bằng quy nạp ta chứng minh được: s 9 n 2n n Mà lim
0 lim s 9 . 2n n
Bài 59. Cho dãy số f ( 1 ) 1
, f(0) 1 f( 1 ). f(0) 1
0 được x{c định bởi: f ( ) x 0 .
Tính giới hạn sau nếu tồn tại: 1 ;0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C. D. 1 5 2
(u 2) (u 2)
Lời giải. Ta chứng minh được: * u 3; n , do đó n n u u 0 n n1 n 5
Từ đó thấy (u ) tăng. n
Giả sử (u ) bị chặn, khi đó tồn tại giới gạn hữu hạn, giả sử limu a và ta có: n n 2 ( a a 1) 8 3 2 a
a 2a 4a 8 0 a 2 (loại) 5 Do đó limu n 2
u (u 1) 8 u 2 n 1 1 Ta lại thấy rằng: n n u * , n n1 5 2 u 1 u 2 u 2 n n n1 n u 2 i 1 1 1 Vì vậy nên: lim lim . 2 n n i1 u 1 u 2 u 2 5 i 1 n1 .
n 1 3 5 ... (2n 1)
Bài 60. Tìm lim u biết u n n 2 2n 1 1 A. B. C. D. 1 2 1 Lời giải. Ta có: 2
1 3 5 ... 2n 1 n nên lim u n 2 3
x 2 2x 1 khi x 1
Bài 61. Tìm lim u biết f (x) n x 1 3m 2 khi x 1 3 6 A. B. C.2 D. 2 ( n n 1) n n n
Lời giải. Ta có: 1 2 ... n và 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 ... n 2 6 3 6 Nên lim u n 2 x 1 1 khi x 0
Bài 62. Tìm lim u biết f (x) n x 2
2x 3m 1 khi x 0 A. B. C.2 D. 1 1 1 1 1 Lời giải. Ta có: Suy ra u 1 limu 1 n n
(k 1) k k k 1 k k 1 n 1 2x 4 3 khi x 2
Bài 63. Tìm lim u biết f (x) trong đó x 1 . n x 1 khi x 2 2
x 2mx 3m 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 22
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C. D. 1 3 1 2
(k 1)(k 2) 1 n 2 1
Lời giải. Ta có: 1 1 Suy ra u . limu . T ( k k 1) ( k k 1) n 3 n n 3 k
3 x 2 2x 1
Bài 64. Tìm lim u biết f (x) n x 1 2 A. B. C. D. 1 3
Lời giải. Ta có Suy ra f (0) 0
Bài 65. Tìm lim u biết \ 1 n A. B. C.3 D. 1 Lời giải. Ta có: ( g ) x f ( ) x x g .
Bài 66. Tìm lim u biết với x 1 n q q A. B. C. D. 1 q2 1 1q2 1 n q q
Lời giải. Ta có: [0; ) n1
(1 q)u q
nq . Suy ra limu . n 1 q n 1q2
Bài 67. Tìm lim u biết f (1) 3m 2 n A. B. C.3 D. 1 n n n 1 n
Lời giải. Ta có: n u n u 1 u 1 0 limu 1 . 2 n 2 2 n 2 n n n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n n 1
Bài 68. Tìm lim u biết u n n 2 k1 n k A. B. C.3 D. 1 1 1 1 n n Lời giải. Ta có:
, k 1,2,...,n Suy ra u n 2 2 2 n n n k n 1 2 2 n n n 1 n n Mà lim lim
1 nên suy ra limu 1 . n 2 2 n n n 1
Bài 69. Tìm lim u biết u 2 2... 2 n n n dau can A. B. C.2 D. 1 n n 1 1 1 1 1 ... 1 1 Lời giải. Ta có: 2 2 n 2 2 2 u 2 2 ,nên 2 lim u lim 2 2 . n n Bài 70. Gọi ( g ) x 0, x
2 là dãy số x{c định bởi . Tìm lim f ( ) x lim . 2x 4 3 3 x2 x2 4 A. B. C. D. 1 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4 8 4 8
Lời giải. Ta có 0 u u u 3u
3u u nên dãy (u ) l| dãy tăng. 1 2 3 1 2 3 9 9 9 9 n 4 4
Dễ dàng chứng minh được * u , n
.Từ đó tính được lim u . n 3 n 3 2 2 1 1 1 Bài 71. Cho dãy số 2 2 2 2
A x x x x x x x x 3
0 được x{c định như sau x x . 1 1 2 1 2 2 1 2 2 4 2 1 2 3 Đặt x . Tìm 3
x 2x 3 3 2x 4 0 . 2 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải Ta có: 2 2 2 2 u
(u 3u )(u 3u 2) 1 (u 3u 1) n1 n n n n n n 2
u 3u 1 n n 1 1 1 Suy ra: u
1 (u 1)(u 2) n1 n n u
1 u 1 u 2 n1 n n 1 1 1 Suy ra: u 2 u 1 u 1 n n n1 n 1 1 1 1 1 1
Do đó, suy ra: v n i1 u 1 u 1 u 1 u 1 2 u 1 i i1 1 n1 n1 Mặt khác, từ 2 u
u 3u 1 ta suy ra: u 3n . n1 n n n1 1 1 Nên lim 0 lim v . u . Vậy 1 n 2 n1
Bài 72. Cho a,b ,(a, )
b 1; nab 1,ab 2,..
. . Kí hiệu r l| số cặp số ( , u ) v sao cho n r 1
n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. B. C. D. ab 1 ab n 1
Lời giải. Xét phương trình 0; (1). n
Gọi (u , v ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên dương kh{c (u , v ) 0 0 0 0 của (1).
Ta có au bv ,
n au bv n suy ra (
a u u ) (
b v v ) 0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho 0 0 0 0 v 1
u u kb,v v ka . Do v là số nguyên dương nên 0
v ka 1 k . (2) 0 0 0 a
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương cộng với 1. Do v 1 n u 1 đó 0 0 r 1 1. n a ab b a n u 1 n u 1
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 0 r 1. n ab b a ab b a
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 24
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 u 1 r u n 1 1 1 Từ đó suy ra : 0 0 . ab nb na n ab nb na n r 1
Từ đ}y {p dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n . n n ab
GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa:
1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x . Ta nói rằng hàm số f (x) x{c định trên K (có thể trừ 0
điểm x ) có giới hạn là L khi x dần tới x nếu với dãy số (x ) bất kì, x K\{x } và x x , ta 0 0 n n 0 n 0
có: f (x ) L . Ta kí hiệu: n
lim f (x) L hay f ( )
x L khi x x . xx 0 0
1.2.Giới hạn một bên:
* Cho hàm số y f ( )
x x{c định trên (x ; )
b .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f ( ) x khi x dần 0
tới x nếu với mọi dãy (x ) : x x b mà x x thì ta có: f (x ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . 0 n 0 n n 0 n xx0
* Cho hàm số y f ( )
x x{c định trên ( ;
a x ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f ( ) x khi x dần 0
tới x nếu với mọi dãy (x ) : a x x mà x x thì ta có: f (x ) L . Kí hiệu: lim f ( ) x L . 0 n n 0 n 0 n xx0
Chú ý: lim f ( )
x L lim f ( ) x lim f ( ) x L . x x 0 xx xx 0 0
1.3. Giới hạn tại vô cực
* Ta nói hàm số y f ( )
x x{c định trên ( ; a )
có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số
(x ) : x a và x thì f (x ) L . Kí hiệu: lim f ( ) x L . n n n n x
* Ta nói hàm số y f ( ) x x{c định trên ( ; )
b có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số
(x ) : x b và x thì f (x ) L . Kí hiệu: lim f ( ) x L . n n n n x
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm số y f ( )
x có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x nếu với mọi dãy số 0
(x ) : x x thì f (x ) . Kí hiệu: lim f ( ) x . n n 0 n xx0
* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi hoặc . 0
2. Các định lí về giới hạn
Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L 0 ) khi x x (hay x ; x ) 0
bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x x (hay x ; x ) . 0
Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các
giới hạn dần về vô cực
Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số f ( ) x , ( g ) x , ( h )
x x{c định trên K chứa điểm x (có thể c{c h|m đó không x{c định tại x ). 0 0 Nếu ( g ) x f ( ) x ( h ) x x K và lim ( g ) x lim ( h )
x L thì lim f (x) L . xx xx xx 0 0 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 25
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
3. Một số gới hạn đặc biệt * 2 lim k x ; 2k 1
lim x () x x ( x) (x) k * lim f ( ) x ( ) lim 0 (k 0) . xx xx 0 0 f (x)
Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phƣơng pháp:
Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa : 3 x 1 x 2 2 3x 2 1. 2
A lim(3x x 1) 2. B lim 3. C lim 4. D lim x 1 x 1 x 1 x2 x 2
x x 1 Lời giải.
1. Với mọi dãy (x ) mà lim x 1 ta có: n n A 2
lim 3x x 1 3 1 1 5 n n
2. Với mọi dãy (x ) mà lim x 1 và x 1 n ta có: n n n 2
(x 1)(x x 1) B lim n n n lim 2 x x . n n 1 3 x 1 n
3. Với mọi dãy (x ) mà lim x 2 và x 2 n ta có: n n n x 2 2 x n ( 2) n 1 1 B lim lim x n (x 2) x x n 2 2 n lim 2 2 2 4 n
4. Với mọi dãy (x ) mà lim x ta có: n n 2 3 3x 2 x D lim n lim n 3 . x 1 1 n 1 xn
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn: 1
1. f (x) sin khi x 0 2. 5 f ( )
x cos 2x khi x . x Lời giải. 1 1
1. Xét hai dãy (x ) : x ,(y ) : y n n 2 n n 2 (n ) 2 n 2
Ta có: lim x lim y 0 và lim f (x ) 1; lim f (y ) 0 . n n n n
Nên hàm số không có giới hạn khi x 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 26
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: x n ; y n n n 4
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu lim f ( )
x 0 thì lim f ( ) x 0 . xx xx 0 0 Lời giải.
Với mọi dãy (x ) : lim x x ta có: lim f (x ) 0 lim f (x ) 0 n n 0 n n lim f ( ) x 0 . xx0
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 1
Bài 1 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 x 1 x 1
Lời giải. Với mọi dãy (x ) : lim x 1 ta có: lim n 2 Vậy lim 2 . n n x 2 x1 x 2 n
Bài 2 Tìm giới hạn hàm số lim 3 x
1 bằng định nghĩA. x2 A. B. C.9 D. 1 Lời giải lim 3 x 1 9 x2 x 3 2
Bài 3. Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 x 3 2 1 Lời giải lim x1 x 1 4 x 3
Bài 4 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA.
x x 2 A. B. C. 2 D. 1 x 3 Lời giải lim 1
x x 2 2 2x x 1
Bài 5 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 2 2x x 1 Lời giải lim x x 2 3x 2
Bài 6 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x1 2x 1 A. B. C.5 D. 1 3x 2 3x 2 n 3.1 2
Lời giải. Với mọi dãy x : lim x 2 ta có: lim lim 5 n n x 1 2x 1 2x 1 2.1 1 n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 27
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 x 4 2
Bài 7 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8
Lời giải Với mọi dãy x : lim x 0 ta có: n n x 4 2 x 4 2 x 1 1 lim lim n lim n lim . x0 2x 2x 2 x 4 2 n 8 n 2x x n 4 2 n 4x 3
Bài 8 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 4x 3 4x 3
Lời giải. Với mọi dãy (x ) : x 1, n
và lim x 1 ta có: lim lim n . n n n x 1 x 1 x 1 n 3x 1
Bài 9 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x2 x 2 A. B. C. 2 D. 1 3x 1 3x 1
Lời giải. Với mọi dãy (x ) : x 2, n
và lim x 2 ta có: lim lim n . n n n x2 x 2 x 2 n 2 2x x 3
Bài 10 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 2 2 2x x 3 2x x 3
Lời giải. Với mọi dãy (x ) : lim x 1 ta có: lim lim n n
lim2x 3 . n 5 n n x 1 x 1 x 1 n x 1
Bài 11 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x 2 x4 2 A. B. C. 2 D. 1 x 1
Lời giải. Đáp số: lim x 2 x4 2 2 3x
Bài 12 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. 2
x 2x 1 3 A. B. C. D. 1 2 2 3x 3
Lời giải Đ{p số: lim 2
x 2x 1 2
Bài 13 Tìm giới hạn hàm số 2
lim x x
1 bằng định nghĩA. x A. B. C. 2 D. 1
Lời giải Đ{p số: 2
lim x x 1 x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 28
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 x 4
Bài 14 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x 2
4x 12x A. B. C.0 D. 1 2 x 4
Lời giải. Đ{p số: lim 0 x 2
4x 12x 2 x 3x 2
Bài 15 Tìm giới hạn hàm số lim
bằng định nghĩA. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 2 x 3x 2
Lời giải. Do x 1
x 1 (
x 1) . Đ{p số: lim 1 . x 1 x 1
Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số
Bài toán 01: Tìm lim f (x) biết f (x) xác định tại x . xx 0 0 Phƣơng pháp:
* Nếu f (x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x ) 0
* Nếu f (x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau:
sin 2x 3cos x x 2 x 3 2x 1. lim 2. lim 2 x0 2x cos 3x
x2 3 x 6 2x 1 Lời giải.
sin 2x 3cos x x sin 0 3cos 0 0 1. Ta có: lim 3 2 2 x0 2x cos 3x 2.0 cos 0 2 2 x 3 2x 2 3 2.2 7 4 2. Ta có: lim . x2 3 3
x 6 2x 1 2 6 2.2 1 5
Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại c{c điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? 2 x 3x 1 khi x 1 2 1. x 2 f (x) khi x 1 ; 3x 2 khi x 1 3 2
2x 3x 1 khi x 0
2. f (x) khi x 0 2
x 3x 2 khi x 0 Lời giải.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 29
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3x 2 5
1. Ta có: lim f (x) lim . x 1 x 1 3 3 2 x 3x 1 5 5 lim f ( ) x lim lim f( ) x lim f ( ) x . 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 3 3 5
Vậy lim f (x) . x1 3 2. Ta có: 2 lim f ( )
x lim(2x 3x 1) 1 . x0 x0 2 lim f ( )
x lim(x 3x 2) 2 lim f ( ) x lim f ( ) x . x0 x0 x0 x0
Vậy hàm số f (x) không có giới hạn khi x 0 .
Ví dụ 3. Tim m để các hàm số: 2
x mx 2m 1 khi x 0 x 1
1. f (x)
có giới hạn khi x 0 . 2x 3m 1 khi x 0 1 x 2 2 x x 2
mx 1 khi x 1
2. f (x) 1 x
có giới hạn khi x 1 .
3mx 2m1 khi x 1 Lời giải. 2
x mx 2m 1
1. Ta có: lim f (x) lim 2m 1 x0 x0 x 1 2x 3m 1 3m 1
lim f (x) lim x0 x0 1 x 2 3
Hàm số có giới hạn khi x 0 khi và chỉ khi lim f ( ) x lim f ( ) x x 0 x 0 3m 1 4 2m 1 m . 3 3
2. Ta có: lim f ( )
x lim(3mx 2m 1) 5m 1 x 1 x 1 2
x x 2
lim f (x) lim mx 1 x 1 x 1 1 x lim (x 2) 1 x mx 1 m 1 x 1
Hàm số có giới hạn khi x 1 khi và chỉ khi lim f ( ) x lim f ( ) x x 1 x 1 1
5m 1 m 1 m . 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2 x x 1
Bài 1 Tìm giới hạn hàm số A lim
bằng định nghĩA. x1 x 1 1 A. B. C. D. 1 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 30
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 x x 1 1 1 1 1
Lời giải. Ta có: A lim . x 1 x 1 1 1 2 2 tan x 1
Bài 2 Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩA. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 2 tan 1 2 tan x 1 4 3 6 Lời giải.Ta có 6 B lim . x sin x 1 9 6 sin 1 6
3 x 2 x 1
Bài 3 Tìm giới hạn hàm số C lim
bằng định nghĩA. x0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1
3 x 2 x 1 Lời giải.Ta có: 3 C lim 2 1. x0 3x 1 3 7x 1 1
Bài 4 Tìm giới hạn hàm số D lim
bằng định nghĩA. x1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 3 3 7x 1 1 8 1
Lời giải Ta có: D lim 3 . x 1 x 2 1 2 x 1
Bài 5 Tìm giới hạn hàm số A lim
bằng định nghĩA. 2 x 2
x x 4 1 A. B. C. D. 1 6 1
Lời giải A 6 2 sin 2x 3cos x
Bài 6 Tìm giới hạn hàm số B lim
bằng định nghĩA. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 3 3 9
Lời giải B 4 2 2 3
2x x 1 2x 3
Bài 7 Tìm giới hạn hàm số C lim
bằng định nghĩA. 2 x 1 3x 2 3 3 9 A. B. C. D. 3 2 5 4 2 Lời giải 3 C 2 5 3x 1 2
Bài 8 Tìm giới hạn hàm số D lim
bằng định nghĩA.
x1 3 3x 1 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 31
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C. D.0 6
Lời giải D 0 2
x ax 1 khi x 2
Bài 9. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f (x) . 2
2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải. Ta có: 2 lim f ( )
x lim(x ax 2) 2a 6 . 2 lim f ( )
x lim(2x x 1) 7 . x2 x2 x2 x2 1
Hàm số có giới hạn khi x 2 lim f ( ) x 1 lim f ( )
x 2a 6 7 a . Vậy a là giá trị cần tìm. x 2 x 2 2 2 2
5ax 3x 2a 1 khi x 0
Bài.10 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0 f (x) . 2 1
x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 2
Lời giải. Ta có lim f (x) 2a 1 1 2 lim f ( ) x a . x0 x0 2 2
5ax 3x 2a 1 khi x 0
Bài 11 Tìm a để hàm số . f (x)
có giới hạn tại x 0 2 1
x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2
Lời giải. Ta có: lim f ( ) x lim 2 5ax 3x 2a 1 2a 1 x0 x0 lim f ( )
x lim 1 x x x 2 1 2 x0 x0 2 2
Vậy 2a 1 1 2 a . 2 2
x ax 1 khi x 1
Bài 12 Tìm a để hàm số . f (x)
có giới hạn khi x 1 . 2
2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 Lời giải. Ta có: 2 lim f ( )
x lim(x ax 2) a 3 . x 1 x 1 2 lim f ( )
x lim(2x x 3 ) a 3a 1. x 1 x 1
Hàm số có giới hạn khi x 1 lim f ( ) x lim f ( ) x x 1 x 1
a 3 3a 1 a 1. Vậy a 1 là giá trị cần tìm. f (x)
Bài toán 02. Tìm A lim
trong đó f (x ) ( g x ) 0 . xx 0 0 0 ( g x)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 32
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 0
Dạng này ta gọi là dạng vô định . 0
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức f (x) có nghiệm x x thì ta có : 0 f ( )
x (x x ) f ( ) x . 0 1
*Nếu f (x) và (
g x) l| c{c đa thức thì ta phân tích f ( )
x (x x ) f ( ) x và ( g )
x (x x )g ( ) x . Khi 0 1 0 1 f (x) 0 đó 1 A lim
, nếu giới hạn này có dạng
thì ta tiếp tục qu{ trình như trên.
xx0 g (x) 0 1
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2 ax x
b +c có hai nghiệm x , x thì ta luôn có sự phân 1 2 tích 2
ax bx c (
a x x )(x x ) . 1 2
* Nếu f (x) và (
g x) là các hàm chứa căn thức thì ta nh}n lượng liên hợp để chuyển về c{c đa thức, rồi
ph}n tích c{c đa thức như trên. C{c lượng liên hợp:
1. ( a b)( a b) a b 2. 3 3 3 2 3 3 2
( a b)( a
ab b ) a b 3. n n n n1 n n2 n n1
( a b)( a
a b ... b ) a b
* Nếu f (x) và (
g x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương ph{p tách, chẳng hạn: Nếu n ( ), m u x ( v )
x c thì ta phân tích: n ( ) m
( ) (n ( ) ) (m u x v x u x c ( v ) x c) .
Trong nhiều trường hợp việc ph}n tích như trên không đi đến kết quả ta phải ph}n tích như sau: n ( ) m
( ) (n ( ) ( )) (m u x v x u x m x ( v ) x ( m ) x ) , trong đó ( m ) x c .
* Một đẳng thức cần lưu ý: n n n1 n2 n2 n1
a b (a ) b (a
a b ... ab b ) . Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: n x 1 5 3 2
x 5x 2x 6x 4 1. A lim 2. B lim x1 x 1 3 2 x 1
x x x 1 Lời giải. 1. Ta có: n n1 n2
x 1 (x 1)(x x ... x 1) n x 1 Suy ra: n1 n2 x x ... x 1 x 1
Do đó: A lim n1 n2 x x ... x 1 n . x 1 2. Ta có: 5 3 2 2 2
x 5x 2x 6x 4 (x 1) (x 2)(x 2) 3 2 2
x x x 1 (x 1) (x 1)
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 33
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2
(x 2)(x 2) 3 Do đó: B lim . x 1 x 1 2
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
(1 mx)n (1 n )m x 2 3
(1 2x) (1 3x) 1 1. C lim 2. D lim 2 x0 x x0 x Lời giải. 2 2 n m ( n n 1)x 1. Ta có: 3 3
(1 mx) 1 mnx m x .A 2 n
Với A C mxC mx 3 3 4 ... n C n n n m n m m x 1 nx 2 2 ( 1) 3 3 1 mnx n x B 2 m
Với B C nxC nx 3 3 4 ... m C m m m 2 2 m ( n n 1) n ( m m 1) Do đó: C lim x 3 3
m A n B x0 2 2 2 m ( n n 1) n ( m m 1) m ( n n ) m . 2 2
2 3 1 2 13 3 2 1 1 2 1 3 1 x x x x 2. Ta có: x x 2 (1 2x) 1 1 2x2 2
9 27x 27x (4 4x) x 2 Suy ra: D lim 1 2x 2
9 27x 27x (4 4 ) x 5 x0
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 2x 1 x 3 3x 2 x 1. A lim 2. B lim 2 x1 x 1 x2 3x 2 2 Lời giải. 2 2x 1 x ( x 1)
1. Ta có: A lim lim 0 x 1
(x 1)(x 1)( 2x 1 x) x 1
(x 1)( 2x 1 x) 3
(3x 2 x )( 3x 2 2)
2. Ta có: B lim x2 3 2 3
3(x 2)( (3x 2) 2 3x 2 4) 2 (
x 2x 1)( 3x 2 2) lim 1 . x2 3 2 3
3( (3x 2) 2 3x 2 4)
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 3 2x 1 1 3 4
2x 1. 3x 2. 4x 3 1 1. B lim 2. C lim x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 34
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 2t 1 1 2
1. Đặt t x 1 ta có: B lim t0 t 3 2. Ta có: 3 4 3 x x x x x 4 2 1. 3 2. 4 3 1 2 1. 3 2 4x 3 1 x 3 2 1 3x 2 1 2x 1 1 3 4 2x 1 1 3x 2 1 4x 3 1 Mà: lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Nên ta có: C 1 1 1 3 .
Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau:
3 7x 1 5x 1 3
x 2 x 20 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x7 4 x 9 2 Lời giải.
3 7x 1 2 ( 5x 1 2) 3 7x 1 2 5x 1 2
1. Ta có: A lim lim lim I J x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 7(x 1) 7 7 I lim lim . x 1 3 2 3
(x 1)( (7x 1) 2 7x 1 4) x 1 3 2 3 12 (7x 1) 2 7x 1 4 5(x 1) 5 5 J lim lim x 1 x 1
(x 1)( 5x 1 1) 5x 1 1 3 2 Vậy A . 3 3 x 2 3 x 20 3 3
x 2 x 20 2. Ta có: x 7 x 7 B lim lim x7 4 x7 4 x 9 2 x 9 2 x 7 x 2 3 1 1 Mà: lim lim x7 x7 x 7 x 2 3 6 3 x 20 3 1 1 lim lim x7 x7 3 2 3 x 7
( x 20) 3 x 20 9 27 4 x 9 2 1 1 lim lim . x7 x7 4 3 4 2 4 x 7
( x 9) 2( x 9) 4 x 9 8 32 1 1 112 Vậy 6 27 B . 1 27 32
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 3 2 x 3x 2
Bài 1 Tìm giới hạn A lim : 2
x1 x 4x 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 35
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 A. B. C. D. 1 2 3 2 2 x 3x 2
(x 1)(x 2x 2) 2 x 2x 2 3
Lời giải. Ta có: A lim lim lim . 2 x 1 x 1 x 4x 3
(x 1)(x 3) x 1 x 3 2 4 2 x 5x 4
Bài 2 Tìm giới hạn B lim : 3 x2 x 8 1 A. B. C. D. 1 6 4 2 2 2 x 5x 4
(x 1)(x 4) 2
(x 1)(x 2)(x 2) 2
(x 1)(x 2)
Lời giải. Ta có: B lim lim lim lim 1 . 3 3 3 x2 x2 x 8 x 2 2
x2 (x 2)(x 2x 4) 2 x2 x 2x 4 3 4
(1 3x) (1 4 ) x
Bài 3 Tìm giới hạn C lim : x0 x 1 A. B. C. D.25 6 3 4
(1 3x) (1 4 ) x
Lời giải. Ta có: C lim x0 x 3 4 (1 3 ) x 1 (1 4 ) x 1 lim lim x0 x0 x x 2 2 3 [ x (1 3 ) x (1 3 ) x 1] 4 ( x 2 4 ) x [(1 4 ) x 1] lim lim x0 x0 x x 2 2 lim3[(1 3 ) x (1 3 )
x 1] lim 4(2 4 ) x [(1 4 ) x 1] 25 x0 x0 (1 ) x (1 2 ) x (1 3 ) x 1
Bài 4 Tìm giới hạn D lim : x0 x 1 A. B. C. D.6 6 3 2 (1 ) x (1 2 ) x (1 3 ) x 1
6x 11x 6x
Lời giải.Ta có: D lim lim 6 . x0 x0 x x n x 1
Bài 5 Tìm giới hạn A lim ( , m n *) : 0 m x x 1 n A. B. C.
D. m n m n1 n2 (x 1)(x x ... x 1) n1 n2 x x ... x 1 n
Lời giải Ta có: A lim lim . m1 m2
x0 (x 1)(x x ... x 1) m1 m2 x0 x x
... x 1 m n 1 ax 1
Bài 6 Tìm giới hạn B lim
(n *, a 0) : x0 x a n A. B. C. D. 1 n a
Lời giải. Cách 1: Nhân liên hợp Ta có:
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 36
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n n n1 n n2
( 1 ax 1)( (1 a ) x (1 a ) x ... n 1 ax 1) B lim x0 n n1 n n2 ( x (1 ax) (1 ax) ... n 1 ax 1) a a B lim . x0 n n1 n n2 (1 ) (1 ) ... n 1 1 n ax ax ax
Cách 2: Đặt ẩn phụ n n t 1
Đặt t 1 ax x
và x 0 t 1 a t 1 t 1 a B alim alim . n n1 1 1 t 1 (t 1)( n t t t
t ... t 1) n n 1 ax 1
Bài 7 Tìm giới hạn A lim với ab 0 :
x0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn
Lời giải. Áp dụng bài toán trên ta có: n 1 ax 1 x a m am A lim .lim . . x0 x0 m x 1 bx 1 n b bn 3 4
1 x 1 x 1 x 1
Bài 8 Tìm giới hạn B lim với 0 . : x0 x A. B. C. B D. B 4 3 2 4 3 2 Lời giải. Ta có: 3 4
1x 1 x 1 x 1 3 4 3
1x 1 x( 1 x 1) 1x(( 1 x 1) ( 1x 1) 4 3 1 x 1 1 x 1 1 x 1 3
B lim( 1 x 1 x) lim 1x lim x0 x0 x x x0 x 2 2x 5x 2
Bài 9. Tìm giới hạn A lim : 3 x2 x 3x 2 1 A. B. C. D. 1 3
(x 2)(2x 1) 1
Lời giải. Ta có: A lim 2
x2 (x 2)(x 2x 1) 3 4 x 3x 2
Bài 10 Tìm giới hạn B lim : 3 x 1
x 2x 3 1 A. B. C. D. 1 5 3 2
(x 1)(x x x 2) 1
Lời giải. Ta có: B lim 2 x 1
(x 1)(x x 3) 5 2x 3 x
Bài 11 Tìm giới hạn C lim : 2
x3 x 4x 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 37
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C. D. 1 3 (
x 3)(x 1) 1
Lời giải. Ta có: C lim x3 x
x x x 3 ( 3)( 1) 2 3 3 x 1 1
Bài 12. Tìm giới hạn D lim :
x0 4 2x 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 x 4 3 4 2 4
(2x 1) (2x 1) 2x 1 1 2
Lời giải Ta có: D lim x0 x 3 2 3 x x 3 2 ( 1) 1 1
3 4x 1 x 2
Bài 13. Tìm giới hạn E lim : x7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 1 27 3 3
4x 1 x 2 4x 1 3 x 2 3
Lời giải Ta có: E lim lim lim A B x7 4 x7 4 x7 4 2x 2 2 2x 2 2 2x 2 2
2 2x 2 2 2x 22 4 4 4 3 4x 1 3 64 A lim lim x7 4 x7 2x 2 2 4x 12 3 27 3 3 4x 1 9
2x 2 2 2x 22 4 4 4 x 2 3 8 B lim lim x7 4 x7 2x 2 2 2 x 2 3 3 64 8 8
E A B 27 3 27
(2x 1)(3x 1)(4x 1) 1
Bài 14. Tìm giới hạn F lim : x0 x 9 A. B. C. D. 1 2 9
Lời giải. Ta có: F 2 3
1 4x 1 6x
Bài 15. Tìm giới hạn M lim : 2 x0 x 1 A. B. C. D.0 3 3
4x 1 (2x 1)
1 6x (2x 1)
Lời giải. Ta có: M lim lim 0 2 2 x0 x0 x x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 38
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 m 1 n
ax 1 bx
Bài 16 Tìm giới hạn N lim : x0 x a b a b A. B. C. D. m n m n m 1 ax 1 n 1 bx 1 a b
Lời giải. Ta có: N lim lim x0 x0 x x m n m 1 n
ax 1 bx 1
Bài 17 Tìm giới hạn G lim : x0 x a b a b A. B. C. D. m n m n
m 1 ax n 1 bx 1 m 1 ax 1 b a
Lời giải. Ta có: G lim lim x0 x0 x x n m n m
1 mx 1 nx
Bài 18 Tìm giới hạn V lim : 2 x0 x
mnn m
mnn m A. B. C. D. 2 2 (1 n )m x (1 mn ) x (1 m )n x (1 mn ) x mn n m
Lời giải. Ta có: V lim ( ) lim . 2 2 x0 x0 x x 2 1 x 3
1 x ...1 n x
Bài 19 Tìm giới hạn K lim : n x 1 x 1 1 1 A. B. C. D. 0 n! 1 1
Lời giải Ta có: K lim . x 1 3 2 3 n n1 n! (1 x)( x x 1)...( x ... 1) n n 2
1 x x 2 1 x x
Bài 20 Tìm giới hạn L lim : x0 x A. B. C. 2n D. 0 n n 2
1 x x 1 2
1 x x 1
Lời giải. L lim 2n . 0 x n x 2 1 x x 2 2x 5x 2
Bài 21 Tìm giới hạn A lim : 3 x2 x 8 1 A. B. C. D. 0 4
(2x 1)(x 2) 1
Lời giải. Ta có: A lim 2
x2 (x 2)(x 2x 4) 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 39
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4 2 x 3x 2
Bài 22 Tìm giới hạn B lim : 3 x 1 x 2x 3 2 A. B. C. D. 0 5 2 2
(x 1)(x 2) 2
Lời giải. Ta có: B lim 2 x 1
(x 1)(x x 3) 5 2x 3 3
Bài 23 Tìm giới hạn C lim : 2
x3 x 4x 3 1 A. B. C. D. 0 6 2(x 3) 1
Lời giải. Ta có: C lim x3 x x x 6 ( 1)( 3) 2 3 3 3 x 1 1
Bài 24 Tìm giới hạn D lim : x0 2x 1 1 1 A. B. C. D. 0 3
x 2x 1 1 1
Lời giải.Ta có: D lim x0 3 2 3 3 2x
(x 1) x 1 1
3 4x 1 x 2
Bài 25 Tìm giới hạn E lim : x7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 0 27 3 4x 1 3 x 2 3 x 7
Lời giải. Ta có: E lim lim lim x7 x7 x7 4 x 7 x 7 2x 2 2 3 4x 1 3 4(x 7) 4 Mà: lim lim x7 x7 x 7 3 2 3 27 (x 7)
(4x 1) 3 4x 1 9 x 2 3 1 x 7 lim ; lim 16 x7 x7 4 x 7 6 2x 2 2 4 1 8 Do đó: E 16 . 27 6 27
n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1
Bài 26 Tìm giới hạn F lim : x0 x 9 A. B. C. D. 0 n Lời giải. Đặt n
y (2x 1)(3x 1)(4x 1) y 1 khi x 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 40
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n y 1
(2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Và: lim lim 9 x0 x0 x x n y 1 9 Do đó: F lim
x0 x n1 n2 y y ... y 1 n 3
1 4x 1 6x
Bài 27. Tìm giới hạn M lim : x0 1 cos 3x 4 A. B. C. D. 0 9 3 2
1 4x 1 6x x 2 4
Lời giải. Ta có: M lim . 2. . 2 x0 x 1 cos 3x 9 9 m 1 n
ax 1 bx
Bài 28. Tìm giới hạn N lim : x0 1 x 1
2 an bm A. B. C. D. 0 mn m
1 ax 1 n 1 bx 1 x
Lời giải. Ta có: N lim . x0 x x 1 x 1 a b 2(an b ) m .2 . m n mn n m
1 mx 1 nx
Bài 29 Tìm giới hạn V lim : x0 3
1 2x 1 3x
2 an bm A. B. C.
D. mnn m mn n 1 mx m 2 1 (1 nx) 1 x
Lời giải Ta có: V lim 2 2 x0 3 x x
1 2x 1 3x m ( n n ) m .2 m ( n n ) m . 2 1 x 3
1 x ...1 n x
Bài 30 Tìm giới hạn K lim : n x 1 x 1 1 2 1 A. B. C. D. 0 n! 1 1
Lời giải. Ta có: K lim . x 1 3 2 3 n n1 n! (1 x)( x x 1)...( x ... 1) 3
4x 1 2x 1
Bài 31 Tìm giới hạn A lim : x0 x 4 A. B. C. D. 0 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 41
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 4x 1 1 2x 1 1
Lời giải. Ta có: A lim lim x0 x0 x x 4x 1 1 4x 4 Mà: lim lim lim 2 x0 x0 x
x 4x 1 x0 1 4x 1 1 3 2x 1 1 2x 2 lim lim x0 x0 x 3 2 3 3 x
(2x 1) 2x 1 1 2 4 Vậy A 2 . 3 3 4x 5 3
Bài 32 Tìm giới hạn B lim :
x1 3 5x 3 2 4 2 A. B. C. D. 3 5 3 2 3 4(x 1) (5x 3) 2 5x 3 4 3 2 3 4 (5x 3) 2 5x 3 4 2
Lời giải Ta có: B lim lim . x1
5(x 1) 4x 5 3 x1 5 4x 5 3 5 4 3
2x 3 2 3x
Bài 33. Tìm giới hạn C lim : x 1 x 2 1 4 A. B. C. D. 3 3 4 3 2x 3 1 3x 2 1
Lời giải Ta có: C lim lim x 1 x 1 x 2 1 x 2 1 4 3 2(x 1) 1 1 3
(x 1) 1 1 2 1 x 1 x 1 4 lim lim 3 x 1 x 1 1 1 (x 1) 1 1 (x 1) 1 1 2 2 x 1 x 1 x x 2
Bài 34 Tìm giới hạn D lim : x2 3 x 3x 2 4 A. B. C. D. 1 3 2x x 2 2 3 3 2 x . x 3x 2 (3x 2) 2 3 3 2 x . x 3x 2 (3x 2)
Lời giải Ta có: D lim lim 1 . x2 3
(x 3x 2)x x 2 x2
(x 1)x x 2 3
1 2x 1 3x
Bài 35 Tìm giới hạn A lim : 2 x0 x 1 A. B. C. D. 0 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 42
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 t
Lời giải. Cách 1: Đặt 3 1
t 3x 1 x
và x 0 t 1 3 3 3 t 1 t 2 1 t t Nên 3 3 A lim 9lim 2 2 2 2 t1 t1 3
(t 1) (t t 1) t 1 3 3 2 t 3t 2 3lim t1 3 2 2 2 t 2
(t 1) (t t 1) t 3 2
(t 1) (t 2) 3 lim t1 3 2 2 2 t 2
(t 1) (t t 1) t 3 t 2 1 3 lim . t1 3 2 2 2 t 2
(t t 1) t 3 Cách 2: Ta có: 3
1 2x (1 x) 1 3x (1 ) x A lim lim 2 2 x0 x0 x x 1 3 x lim lim x0 x0 3 2 3 2
1 2x 1 x (1 3 ) x (1 )
x 1 3x (1 ) x 1 Do đó: A . 2 3
5 4x 7 6x
Bài 36. Tìm giới hạn B lim : 3 2 x 1
x x x 1 4 A. B. C. D. 1 3 3
5 4x 7 6x
Lời giải. Ta có: B lim x x 2 1 1 x 1
Đặt t x 1 . Khi đó: 3 3
5 4x 7 6x
1 4t 1 6t lim x lim 2 2 1 t0 1 t x 3
1 4t (2t 1)
1 6t (2t 1) lim lim 2 2 x0 t0 t t 4 8 t 12 lim lim 2 . t0 t0 3 2 3 2 2
1 4t 2t 1
(1 6t) (2t 1) (1 6t) (2t 1) Do đó: B 1 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 43
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 f (x)
Bài toán 03: Tìm B lim
, trong đó f ( ) x , ( g )
x , dạng này ta còn gọi là dạng vô định . x ( g x)
Phƣơng pháp: Tương tự như c{ch khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm c{ch đưa về các giới hạn: * 2 lim k x ; 2k 1
lim x () . x x ( x) (x) k * lim
0 (n 0; k 0) . n x x ( x) k * lim f ( ) x ( ) lim 0 (k 0) . xx xx 0 0 f (x) Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 4
(4x 1) (2x 1) 2
4x 3x 4 3x 1. A lim 2. B lim 7 x (3 2x) x 2
x x 1 x Lời giải. 3 4 1 1 4 2 x x
1. Ta có: A lim 8 7 x 3 2 x 3 4 4 3 2 x x 1
2. Ta có: B lim x 1 1 2 1 1 2 x x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 2 2
2x 1 x 1 2
3x 2 x 1 1. A lim 2. B lim x 2x 2 x 2 x 1 1 Lời giải. 1 1 1 1 x 2 x 1 2 1 2 2 2 2 x x x x 2 1
1. Ta có: A lim lim . x 2 x 2 2 ( x 2 ) 2 x x 2 1 1 2 1 1 x 3 x 3 2 2 2 2 x x x x x 2. Ta có: lim lim x B 3 x 1 1 x 1 1 x 1 1 2 2 x x x x
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2 2x 3x 2
Bài 1 Tìm giới hạn C lim : x 2 5x x 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 44
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 3 A. B. C. D. 0 6 2 2 3 2 x 2 3
Lời giải. Ta có: C lim x 1 6 5 1 2 x 3 4 6 1 x x
Bài 2 Tìm giới hạn D lim : x 3 4 1 x x 4 A. B. C. D. 1 3 2 1 1 3 x 1 6 2 Lời giải Ta có: lim x x D 1 x 2 1 1 x 1 4 2 x x
Bài 3 Tìm giới hạn 2
E lim( x x 1 ) x : x 1 A. B. C. D. 0 2 x 1 1
Lời giải Ta có: E lim x 2 2 x x 1 x
Bài 4 Tìm giới hạn 2 F lim ( x 4x 1 ) x : x 4 A. B. C. D. 0 3 1
Lời giải 4. Ta có: 2
F lim x 4 1 2 x x
Bài 5 Tìm giới hạn 2 2
M lim( x 3x 1 x x 1) : x 4 A. B. C. D. Đ{p {n kh{c 3 4x 2 khi x
Lời giải. Ta có: M lim x 2 2 2 khi 3 1 1 x x x x x
Bài 6 Tìm giới hạn N : 3 3 lim 8x 2x 2x x 4 A. B. C. D. 0 3 2x
Lời giải Ta có: N lim 0 x 3 3 2 3 3 2
(8x 2x) 2x 8x 2x 4x
Bài 7 Tìm giới hạn H : 4 4 2 lim 16x 3x 1 4x 2 x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 45
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4 A. B. C. D. 0 3 4 2
16x 3x 1 (4x 2)
Lời giải. Ta có: H lim x 4 4 2
16x 3x 1 4x 2 4 2 2
16x 3x 1 (4x 2) lim x 4 4 2
16x 3x 1 4x 2 4 2
16x 3x 1 4x 2 2 1
6x 3x 3 lim x 4 4 2
16x 3x 1 4x 2 4 2
16x 3x 1 4x 2 Suy ra H 0 .
Bài 8 Tìm giới hạn K : 2 2 lim x 1 x x 2x x 1 A. B. C. D. 0 2 2 2 2 2
x x 1 2 (x 1)(x x)
Lời giải. Ta có: K lim x 2 2
x 1 x x 2x
4(x x x x) 2x x 2 4 3 2 2 1 lim x 2 2
x 1 x x 2x 2 2 2
2 (x 1)(x x) 2x x 1
4(x x x x) 2x x 2 4 3 2 2 1 lim x 2 2
x 1 x x 2x 2 2 2
2 (x 1)(x x) 2x x 1 3 2 8
x 7x 2x 1 1 lim x 2 2
x x x x 2 2 2 x
x x x x 2 1 2 2 ( 1)( ) 2 1 2 3x 5x 1
Bài 9 Tìm giới hạn A lim : 2
x 2x x 1 3 A. B. C. D. 0 2 2 5 1 5 1 x (3 ) 3 2 2 x x x 3 Lời giải Ta có: lim lim x A x x 2 1 1 1 1 2 x (2 ) 2 2 2 x x x x n
a x ... a x a
Bài 10 Tìm giới hạn 0 n1 B lim
n (a b 0) : m 0 0
x b x ... b x b 0 m1 m 4 A. B. C. D. Đ{p {n kh{c 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 46
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 a a a n 1 n1 x (a ... n ) 0 n1 n Lời giải. Ta có: lim x x x B x b b b m 1 m1 x (b ... m ) 0 m1 m x x x a a a 1 n1 a ... n 0 n1 n a * Nếu x x x 0
m n B lim . x b b b b 1 m 1 m 0 b ... 0 m1 m x x x a a a 1 n1 a ... n 0 n1 n * Nếu lim x x x m n B 0 x b b b m n 1 m1 x (b ... m ) 0 m1 m x x x
( Vì tử a , mẫu 0 ). 0 * Nếu m n a a a n m 1 n1 x (a ... n ) 0 n1 n
khi a .b 0 x x x 0 0 B lim . x b b b khi a b 0 1 m 1 m 0 0 b ... 0 m1 m x x x 3 3 2
3x 1 2x x 1
Bài 11 Tìm giới hạn A lim : x 4 4 4x 2 3 3 2 A. B. C. D. 0 2 1 1 1 3 x 3 x 2 3 3 2 x x x 3 2
Lời giải Ta có: A lim . x 2 2 4 x 4 4 x 2
x x 1 2x 1
Bài 12 Tìm giới hạn B lim : x 3 3 2x 2 1 4 A. B. C. D. 0 3 2 1 2 1 1 2 1 x ( 1 ) ( x 1 ) 2 2 2 2 x x x x x Lời giải lim x B x 2 1 2 1 3 3 ( x 2 ) 2 3 3 x x x x (do tử , mẫu 3 2 ). 3 4
(2x 1) (x 2)
Bài 13. Tìm giới hạn A lim : 7 x (3 2x) 1 A. B. C. D. 0 16
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 47
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 4 1 2 2 1 x x 1
Lời giải A lim 7 x 16 3 2 x 2
4x 3x 4 2x
Bài 14. Tìm giới hạn B lim : x 2
x x 1 x A. B. C.2 D. 0 3 4 4 2 2 x Lời giải lim x B 2 x 1 1 1 x 2 x x 2 2x 3x 2
Bài 15 Tìm giới hạn C lim : x 2 5x x 1 2 3 A. B. C. D. 0 4 2 2 3 2 x 2 3
Lời giải C lim x 1 4 5 1 2 x 3 4 6 1 x x
Bài 16. Tìm giới hạn D lim : x 3 4 1 x x 4 A. B. C. D. 1 3 1 1 3 1 6 2 Lời giải lim x x D 1 x 1 1 1 4 x x
Bài 17. Tìm giới hạn A : 2 3 3 lim x x 1 2x x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3 1 1 1 1 Lời giải. Ta có: 3 A lim x 1 x 2 2 2 3 x x x x x 1 1 1 1 3 lim x 1 2 2 2 3 x x x x x
Bài 18 Tìm giới hạn B : 2 lim x x x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 48
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1
Lời giải Ta có: B lim x x 1
lim x1 1 2 2 x x x x x x
Bài 19 Tìm giới hạn C : 2 lim 4x x 1 2x x 1 A. B. C. D. 0 2 1 x 1 1 1 x 1 x 1
Lời giải Ta có: C lim lim lim x . x 2
4x x 1 2 x x 1 1 x 1 1 2 x 4 2x 4 2 2 x x 2 x x
Bài 20. Tìm giới hạn D : 3 3 2 2 lim x x 1 x x 1 x 1 A. B. C. D. 0 6 Lời giải. Ta có: D 3 3 2 x x x 2 lim 1 lim x x 1 x M N x x 2 x 1 1 M lim x 3 3 2 2 3 3 2 2 3 (x x 1) . x x x 1 x 1 1 x 1 1 lim lim x N x 2 x x 1 x x 1 1 2 1 1 2 x x 1 1 1 Do đó: B . 3 2 6
Bài 21. Tìm giới hạn A : 2 2 lim x x 1 2 x x x x 3 A. B. C. D. 0 2
x x 1 x 4(x x) 2 2 2 2 2
Lời giải Ta có: x x 1 2 x x x 2 2
x x 1 2 x x x 2 2
2x x x 1 1 5x 2x 2 2
x x 1 2 x x x 2x 2
x x 1 x 1 5x 2 2 2 2
x x 1 2 x x x
x x 1 2 x x x 2 ( x x 1) 2 2
x x 1 2 x x x 2
x x 1 x 1 5x . 2 2
x x 1 2 x x x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 49
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 2 Do đó: lim x A x 1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 2 2 x x x x x 1 5 1 5 3 lim x x 1 1 1 4 4 2 1 2 1 1 2 x x x
Bài 22. Tìm giới hạn 2 2 B lim ( x
x 2x 2 x x x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 2 2 2
2x 2x 2x x 2x 4x 4x Lời giải. Ta có: 2 2
x 2x 2 x x x 2 2
x 2x 2 x x x 2
x 2x x 1 2x 2 2
x 2x 2 x x x 2 x . 2 2 2
( x 2x 2 x x x)( x 2x x 1) 2 2 x Nên B lim x 2 2 2
( x 2x 2 x x x)( x 2x x 1) 2 1 lim . x 2 1 2 1 4 ( 1
2 1 1)( 1 1 ) x x x x n
a x ... a x a
Bài 23. Tìm giới hạn 0 n1 A lim
n , (a b 0) : m 0 0
x b x ... b x b 0 m1 m 4 A. B. C. D. Đ{p {n kh{c 3 a a a n 1 n1 x (a ... n ) 0 n1 n Lời giải. Ta có: lim x x x A x b b b m 1 m1 x (b ... m ) 0 m1 m x x x a a a 1 n1 a ... n 0 n 1 n a Nếu x x x 0
m n B lim . x b b b b 1 m 1 m 0 b ... 0 m1 m x x x a a a 1 n1 a ... n 0 n 1 n Nếu lim x x x m n B 0 x b b b m n 1 m1 x (b ... m ) 0 m1 m x x x
( Vì tử a , mẫu 0 ). 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 50
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 a a a n m 1 n1 x (a ... n ) 0 n 1 n khi a .b 0
Nếu m n , ta có: x x x 0 0 B lim x b b b khi a b 0 1 m 1 m 0 0 b ... 0 m1 m x x x 2 3 3
4x x 8x x 1
Bài 24 Tìm giới hạn B lim : x 4 4 x 3 4 A. B. C. D. 4 3 1 1 1 1 1 1 3 3 x 4 . x 8 4 8 2 3 2 3 x x x x Lời giải Ta có: lim lim x x B 4 x 3 x 3 4 4 x 1 1 4 4 x x 2 3 3
4x 2 x 1
Bài 25. Tìm giới hạn C lim : x 2 x 1 x 3 A. B. C. D. 0 2 2 1 2 1 3 3 x 4 x 1 4 1 2 3 2 3 x x x x 3
Lời giải. Ta có: C lim lim x 1 x 2 1 x 1 x 1 1 2 2 x x 2
x x 1 2x 1
Bài 26. Tìm giới hạn D lim : x 3 3
2x x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3 2 1 2 1 x 1 2 2 x x x
Lời giải Ta có: D lim . x 2 2 1 1 1 3 x 3 5 6 x x x x
Bài toán 04: Dạng vô định: và 0. Phƣơng pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng . Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 3 2 2
A lim( x 3x x 2x) x Lời giải. Ta có: 3 3 2 2 3 3 2 2
x 3x x 2x ( x 3x )
x ( x 2x ) x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 51
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 3 x 2 x 3 3 2 2 3 3 2 2 2
(x 3x ) x x 3x x
x 2x x 3 2 A lim lim 0 . x 3 x 2 3 2 3 3 (1 ) 1 1 1 1 x x x
Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau: 2 2 B lim ( x
x 2x 2 x x x) x Lời giải. 2 2 2
2x 2x 2x x 2x 4x 4x Ta có: 2 2
x 2x 2 x x x 2 2
x 2x 2 x x x 2
x 2x x 1 2x 2 2
x 2x 2 x x x 2 x . 2 2 2
( x 2x 2 x x x)( x 2x x 1) 2 2 x B lim x 2 2 2
( x 2x 2 x x x)( x 2x x 1) 2 1 B lim . x 2 1 2 1 4 ( 1
2 1 1)( 1 1 ) x x x x
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm giới hạn A : 2 lim x x 1 x x 1 A. B. C. D. 0 2 2 2
( x x 1 x)( x x 1 x)
Lời giải. Ta có: A lim x 2
x x 1 x 2 2
x x 1 x x 1 1 lim lim . x 2 x 2 2 x x 1 x x x 1 x
Bài 2 Tìm giới hạn B : 2 lim 2x 4x x 1 x 1 A. B. C. D. 0 4 2 2
(2x 4x x 1)(2x 4x x 1) x 1 1
Lời giải. B lim lim . x 2
2x 4x x 1 x 2 4 2x 4x x 1
Bài 3 Tìm giới hạn C lim [n (x a )(x a )...(x a ) ] x : 1 2 n x
a a ... a
a a ... a A. B. C. 1 2 n D. 1 2 n n 2n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 52
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải. Đặt n
y (x a )(x a )...(x a ) 1 2 n n n y x n n n1 n1 n1
y x (y ) x (y
y x ... x ) y x n1 n1 n1 y
y x ... x n n y x
lim(y x) lim n1 n2 n1 x x y
y x ... x n n y x n1 lim x C . n1 n1 n1 x y
y x ... x n1 x n n y x b b b Mà 2 3 lim
lim(a a ... a ... n ) n1 1 2 n 2 n1 x x x x x x
a a ... a . 1 2 n k n1k y x n1 n2 n1 y
y x ... x lim 1 k
0,...,n 1 lim n . n1 x x n1 x x
a a ... a Vậy 1 2 n C . n
Bài 4 Tìm giới hạn 2
A lim( x x 1 ) x : x 1 A. B. C. D. 0 2 x 1 1
Lời giải. A lim x 2 2 x x 1 x
Bài 5 Tìm giới hạn 2 B lim ( x 4x 1 ) x : x 1 A. B. C. D. 0 4
Lời giải B
Bài 6 Tìm giới hạn 2 2
C lim( x x 1 x x 1) : x 1 A. B. C. D. Đ{p {n kh{c 4 Lời giải x
x x x x x 2 2 2 lim 1 1 lim 1 x 2 2
x x 1 x x 1 x
x x x x . x 2 2 2 lim 1 1 lim 1 x 2 2
x x 1 x x 1
Bài 7 Tìm giới hạn 3 3
D lim( 8x 2x 2x) : x 1 A. B. C. D. 0 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 53
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2x
Lời giải D lim 0 x 3 3 2 3 3 2 (8x 2 ) x
2x (8x 2 ) x 4x
Bài 8 Tìm giới hạn 4 4 2
E lim( 16x 3x 1 4x 2) : x 1 A. B. C. D. 0 4
Lời giải. E
4 4x x x 2 lim 16 3 1 2 lim
4x 2 2x 0 x x
Bài 9 Tìm giới hạn 3 3
F lim(x 1 x ) : x 1 A. B. C. D. 0 4
Lời giải. F .
Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lƣợng giác Phƣơng pháp:
Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x lim lim 1 , từ đ}y suy ra lim lim 1. x0 x0 x sin x x0 x0 x tan x sin ( u ) x tan ( u x) Nếu lim ( u x) 0 lim 1 và lim 1 . xx xx xx 0 0 ( u x) 0 ( u x) Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: 3 cos x cos x 3
1 2x 1 3x 1. A lim 2. B lim 2 x0 sin x x0 1 cos 2x Lời giải. 2 3 2 cos x 1 x 1 cos x x
1. Ta có: A lim lim . 2 2 2 2 x0 x0 x sin x x sin x cos x 1 cos x 1 1 1 Mà: lim lim . 2 2 x0 x0 x x cos x 1 4 3 1 cos x 1 cos x 1 1 lim lim . 2 2 x0 x0 3 2 3 x x 6 cos x cos x 1 1 1 1 Do đó: A . 4 6 12 3
1 2x 1 3x 2 2. Ta có: lim x B x0 1 cos 2x 2 x 3 3
1 2x 1 3x 1 2x (1 ) x
(x 1) 1 3x Mà: lim lim lim 2 2 2 x0 x0 x0 x x x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 54
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 x 3 lim lim x0 x0
1 2x x 1
(x 1) (x 1) 1 3x 1 3x2 2 3 3 1 1 1 . 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 lim lim . 1 2 2 x0 x0 x x 1 cos 2x 1 Vậy B . 2
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 1 1. 3 A lim x sin 2. B 3
lim 2 sin x cos x x 1 x x 2 x0 x Lời giải. 1 1. Ta có: 3 3 0 x sin x 2 x 1 1 Mà 3 3 3
lim x 0 lim x sin 0 lim x sin 0 2 2 x0 x0 x0 x x Vậy A 0 . 3
2 sin x cos x
2. Ta có: B lim x x 1 x 2
2 sin x cos x 3 Mà: 0
0 khi x . x 1 x x 1 x Do đó: B 0 .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 cos ax
Bài 1 Tìm giới hạn A lim : 2 x0 x a A. B. C. D. 0 2 2 2 ax ax 2 sin sin a a Lời giải Ta có: 2 2 A lim lim . 2 x0 x0 x 2 ax 2 2
1 sin mx cos mx
Bài 2 Tìm giới hạn A lim :
x0 1 sin nx cos nx m A. B. C. D. 0 n 2 mx mx mx 2 sin 2sin cos
1 sin mx cos mx Lời giải. Ta có: 2 2 2
1 sin nx cos nx 2 nx nx nx 2 sin 2sin cos 2 2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 55
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 mx nx mx mx sin sin cos m 2 2 2 2 . . n mx nx nx nx sin sin cos 2 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m 2 2 2 2 m A lim .lim .lim . x0 x0 x0 n mx nx nx nx n sin sin cos 2 2 2 2 1 cos . x cos 2 . x cos 3x
Bài 3 Tìm giới hạn B lim : 2 x0 x A. B. C.3 D. 0 Lời giải. Ta có: 1 cos . x cos 2 . x cos 3x
1 cos x cos x cos 2 ( x 1 cos 3 ) x cos ( x 1 cos 2x) 2 x 2 x 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x cos . x cos 2x cos x 2 2 2 x x x 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x B lim limcos . x cos 2x limcos x 3 2 2 2 x0 x0 x0 x x x 1 cos 2x
Bài 4 Tìm giới hạn A lim : x0 3x 2 sin 2 A. B. C.1 D. 0 3x 2 sin sin x sin x 3 Lời giải. Ta có: 2 2 A lim lim ( x ) . lim 0 . x0 x0 x0 3x x 2 3x sin 2 2
cos 2x cos 3x
Bài 5 Tìm giới hạn B lim x0 ( x sin 3x : sin 4x) 5 A. B. C. D. 0 2 5x x 5x 2 sin sin sin 5 1 5 Lời giải. 2 2 2 B lim lim( . ).lim . x0 x0 x0 7x x 2 5x 7x 2 2 xcos sin cos 2 2 2 2 2 tan 2x
Bài 6 Tìm giới hạn C lim : x0 3 1 cos 2x A. B. C.6 D. 0 2 2 3 3 2 tan 2x tan 2 (
x 1 cos 2x cos 2x)
Lời giải. C lim lim x0 3 x0 1 cos 2x 1 cos 2x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 56
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 3 3 2 tan 2 (
x 1 cos 2x cos 2x) lim 2 x0 2 sin x tan 2x 2 x 2 3 3 2 2lim( ) .(
) (1 cos 2x cos 2x). x0 2x sin x C 6 . 2 x
Bài 7 Tìm giới hạn D lim : x0
1 x sin 3x cos 2x 7 A. B. C. D. 0 2 1
Lời giải Ta có: D lim x0
1 x sin 3x cos 2x 2 x
1 x sin 3x cos 2x
1 x sin 3x 1 1 cos 2x Mà : lim lim lim 2 2 2 x0 x0 x0 x x x sin 3x 1 7 3lim( . ) 2 . x0 3x
1 x sin 3x 1 2 7 Vậy: D . 2 sin( m x )
Bài 8 Tìm giới hạn A lim. : 1 sin( n x x ) n A. B. C. D. 0 m sin (1 m x ) sin (1 m x ) (1 n x ) 1 n x
Lời giải A lim lim .lim .lim 1 n 1 m 1 n 1 sin (1 x ) (1 x ) sin(1 x ) 1 m x x x x x n n1 n2 1 x (1 ) x (x x ...1) n lim lim . m m1 m2 x 1 x 1 1 x (1 ) x (x x ...1) m
Bài 9 Tìm giới hạn B lim( ) x tan x : x 2 2 5 A. B. C. D. 1 2 x sin x Lời giải. Ta có: 2
B lim( x) lim .lim sin x 1 . x 2 cos x x x 2 2 sin( x) 2 2 1
Bài 10 Tìm giới hạn C lim x sin ( 0) : x0 x 5 A. B. C. D. 0 2 1
Lời giải. Ta có: 0 |x sin | x . Mà lim x 0 x x0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 57
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
Nên theo nguyên lí kẹp A 0 . 39
Bài 11 Tìm giới hạn D lim(sin x 1 sin x) : x 5 A. B. C. D. 0 2
Lời giải. Trước hết ta có: sin x x x 0 x 1 x x 1 x
Ta có: sin x 1 sin x 2sin .cos 2 2 1 x 1 x 1 Mà lim 0 nên D 0 . x x 1 x
cos 3x cos 4x
Bài 12 Tìm giới hạn A lim :
x0 cos 5x cos 6x 7 A. B. C. D. 0 11 7x x sin sin 7 Lời giải Ta có: 2 2 A lim x0 11x x 11 sin sin 2 2 3 1 1 2 sin 2x
Bài 13 Tìm giới hạn B lim : x0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 2 sin 2x 4
Lời giải. Ta có B lim x0 x 3 3 2 x x 9 sin 3 1 1 2 sin 2 (1 2 sin 2 ) 2 sin 2x
Bài 14 Tìm giới hạn C lim : x0 3 4 cos x cos x A. B. C. 96 D. 0 2 sin 2x 2 Lời giải. Ta có: lim x C 9 6 x0 3 4
cos x 1 1 cos x 2 2 x x 4 sin 2x
Bài 15 Tìm giới hạn D lim : 4 x0 sin 3x 16 A. B. C. D. 0 81 16
Lời giải. Ta có: D 81
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 58
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 sin( cos ) x
Bài 16 Tìm giới hạn 2 E lim : x0 sin(tan x) 5 A. B. C. D. 0 2 1 sin cos x 2 Lời giải. tan lim x E 0 x0 sin(tan x) tan x
3sin x 2 cos x
Bài 17 Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2
3sin x 2 cos x 1
Lời giải. Ta có: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . m cos m ax cos bx
Bài 18 Tìm giới hạn H lim : 2 x0 sin x b a A. B. C. D. 0 2n 2m
m cos ax 1 1 n cosbx 2 2 b a Lời giải. Ta có: lim x x H 2 x0 sin x 2n 2m 2 x 1 n cos ax
Bài 19 Tìm giới hạn M lim : 2 x0 x a A. B. C. D. 0 2n n 1 cos ax
Lời giải. Ta có: 1 cos ax n n 2 n n1
1 cos ax ( cos ax) ... ( cos ax) 1 cos x a 1 a 1 a M lim lim . . 2 x0 x0 n n 2 n 1 x
1 cos ax ( cos ax) ... ( cos ax)n 2 n 2n
cos 3x cos 4x
Bài 20 Tìm giới hạn A lim :
x0 cos 5x cos 6x 7 A. B. C. D. 0 11 7x x sin sin 7 Lời giải. Ta có: 2 2 A lim x0 11x x 11 sin sin 2 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 59
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 1 1 2 sin 2x
Bài 21 Tìm giới hạn B lim : x0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 2 sin 2x 4
Lời giải. Ta có B lim x0 x 3 3 2 x x 9 sin 3 1 1 2 sin 2 (1 2 sin 2 ) 2 sin 2x
Bài 22 Tìm giới hạn C lim : x0 3 4 cos x cos x A. B. C. 96 D. 0 2 sin 2x 2 Lời giải. Ta có: lim x C 9 6 x0 3 4
cos x 1 1 cos x 2 2 x x 4 sin 2x
Bài 23 Tìm giới hạn D lim : 4 x0 sin 3x 16 A. B. C. D. 0 81 4 4
sin 2x 3x 16 16
Lời giải Ta có: D lim . .
x0 2x sin 3x 81 81 1 sin( cos ) x
Bài 24 Tìm giới hạn 2 E lim : x0 sin(tan x) A. B. C.1 D. 0 1 sin cos x 2 sin(tan ) x Lời giải. Ta có: tan lim x E Mà lim 1; x0 sin(tan x) x0 tan x tan x 2 x sin 2 2 2 sin 2 1 sin cos x 1 cos (1 cos ) x 2 2 lim lim lim x0 x0 x0 tan x tan x tan x 2 x sin 2 2 sin 2 2 x sin x 2 lim . . x 0 x0 4 2 x x 2 tan x sin ( ) 2 2 2 Do đó: E 0 .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 60
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1
3sin x 2 cos x
Bài 25 Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2
3sin x 2 cos x 1
Lời giải. Ta có: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . m cos m ax cos bx
Bài 26 Tìm giới hạn H lim : 2 x0 sin x b a A. B. C. D. 0 2n 2m
m cos ax 1 1 n cosbx 2 2 b a Lời giải. Ta có: lim x x H 2 x0 sin x 2n 2m 2 x
3 1 3x 1 2x
Bài 27 Tìm giới hạn M lim : x0 1 cos 2x 1 A. B. C. D. 0 4
3 3x 1 2x 1 1 2 1 Lời giải. Ta có: x 2 M lim x0 1 . cos 2x 2 4 2 x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT MUA 61 NGUYỄN BẢO VƢƠNG
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
TẬP 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
https://web.facebook.com/phong.baovuong
ALBA- Chư sê – Gia Lai
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Mục lục
HÀM SỐ LIÊN TỤC ....................................................................................... 2
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ....................................................... 2
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập ....................................................... 8
Vấn đề 3. Chứng minh phƣơng trình có nghiệm ...........................................................14
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Định nghĩa
Cho hàm số y f ( )
x xác định trên khoảng K và x K 0
1) Hàm số y f ( )
x liên tục tại x lim f ( )
x f (x ) 0 0 xx0
2) Hàm số y f ( )
x không liên tục tại x ta nói hàm số gián đoạn tại x 0 0 y f ( )
x liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó. y f ( )
x liên tục trên đoạn a; b
nếu nó liên tục trên a;b và
lim f (x) f ( )
a , lim f (x) f (b) . x a x b
2. Các định lý cơ bản. Định lý 1 :
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lý 2. Các hàm số y f ( ) x , y ( g )
x liên tục tại x . Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương 0 f (x) y liên tục nếu ( g x ) 0 . ( g x) 0
Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b . Nếu f ( ) a f ( )
b và M là một số nằm giữa f ( ) a , f ( )
b thì tồn tại ít nhất một số c ;
a b sao cho f (c) M
Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b . Nếu f ( ) a f ( )
b 0 thì tồn tại ít nhất một số c ;
a b sao cho f (c) 0 .
Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn a; b . Nếu f ( ) a f ( )
b 0 thì phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; ) b .
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phƣơng pháp:
Tìm giới hạn của hàm số y f ( )
x khi x x và tính f (x ) 0 0
Nếu tồn tại lim f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x ) . xx xx 0 0 0 Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại x thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 0 2. lim f ( )
x l lim f ( ) x lim f ( ) x l . x x 0 xx xx 0 0
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
f(x) khi x x 3. Hàm số 0 y
liên tục tại x x lim f (x) k .
k khi x x 0 xx 0 0
f (x) khi x x 4. Hàm số 1 0 f (x)
liên tục tại điểm x x khi và chỉ khi lim f (x) lim f (x) f (x ) .
f (x) khi x x 0 1 2 1 0 xx xx 2 0 0 0 Chú ý:
f (x) khi x x Hàm số 0 y
liên tục tại x x khi và chỉ khi
k khi x x 0 0 lim f ( ) x k . xx0
f (x) khi x x Hàm số 0 y
liên tục tại x x khi và chỉ khi (
g x) khi x x 0 0 lim f ( ) x lim ( g ) x . xx xx 0 0 Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 3 3 x 27 khi x 3 x 3 2 khi x 3
1. f x x x 6
2. f x 2x 3 3 10 khi x 3 x 12 khi x 3 3 Lời giải.
1. Hàm số xác định trên 10 3 2 x 27
(x 3)(x 3x 9) Ta có f (3) và lim f ( ) x lim lim 3 2 x3 x3 x3 x x 6
(x 3)(x 2) 2 x 3x 9 27 lim f (3) . x3 x 2 5
Vậy hàm số không liên tục tại x 3 . x 3 2x 3 3
2. Ta có f (3) 4 và 2 lim f ( )
x lim(x 1) 4 ; lim f (x) lim lim
3 lim f (x) x3 x3 x3 x3 x3 x3 2x 3 3 2
Vậy hàm số gián đoạn tại x 3 .
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra 2
x x 2 2
x 1 khi x 1
1. f (x) tại điểm x 1 2. khi x 1 f (x) 2 khi x 1 0 x 1 1 khi x 1 Lời giải.
1. Ta có f (1) 2 và 2 lim f ( )
x lim(x 1) 2 f (1) x 1 x 1
Vậy hàm số liên tục tại điểm x 1 . 2. Ta có f ( 1 ) 1
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
(x 1)(x 2) lim f ( ) x lim lim (2 ) x 3 x 1 x 1 x 1 x 1
(x 1)(x 2) lim f ( ) x lim lim (x 2) 3 lim f( ) x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y f ( ) x khi x 1 .
Vậy hàm số gián đoạn tại x 1 .
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x 2 3 4x 2 4 2 x 5x 4 khi x 2 khi x 2
1. f x x 2
2. f x 3 x 8 a khi x 2 2 ax x 1 khi x 2 Lời giải. 3 4x 2 4 1
1. Ta có f (2) a và lim f (x) lim lim x2 x2 x2 x 2 3 2 3 3 (4x) 2 4x 4 1
Hàm số liên tục tại điểm x 2 lim f ( )
x f (2) a . x2 3 4 2 2 x 5x 4
(x 1)(x 2)
2. Ta có : lim f ( ) x lim lim 1 3 2 x2 x2 x2 x 8 x 2x 4 lim f ( ) x lim 2 ax x 1 4a 3 f(2) x2 x2
Hàm số liên tục tại x 2 lim f ( ) x lim f ( ) x f (2) x 2 x 2 1
4a 3 1 a . 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 2 khi x 4 Bài 1 Cho hàm số x 4 f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 4 4
A. Hàm số liên tục tại x 4
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4
C. Hàm số không liên tục tại x 4
D. Tất cả đều sai x 2 1 1
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim lim f (4) x4 x4 x4 x 4 x 2 4
Hàm số liên tục tại điểm x 4 . 2
x 3x 2 2 khi x 1
Bài 2 Cho hàm số f (x) x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 3x x 1 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại x 1
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 4
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại x 1
D. Tất cả đều sai
(x 1)(x 2)
Lời giải. lim f (x) lim 2 2 x 1 x 1 x 1 lim f ( ) x lim 2 3x x 1 3 lim f ( ) x x 1 x 1 x 1
Hàm số không liên tục tại x 1 . x x
Bài 3 Cho hàm số 3. f x cos khi 1 2
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
x 1 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại tại x 1 và x 1 .
B. Hàm số liên tục tại x 1 , không liên tục tại điểm x 1 .
C. Hàm số không liên tục tại tại x 1 và x 1 .
D. Tất cả đều sai
Lời giải. Hàm số liên tục tại x 1 , không liên tục tại điểm x 1 . 2x 1 1
Bài 4. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x)
liên tục tại điểm x 0 . ( x x 1) A.1 B.2 C.3 D.4 2x 1 1 2x
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim lim 1 x0 x0 x0 ( x x 1) (
x x 1) 2x 1 1
Vậy ta chọn f (0) 1 3 2x 8 2
Bài 5. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x)
liên tục tại điểm x 0 . 3x 4 2 2 1 A.1 B.2 C. D. 9 9 2 3x 4 2 2
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim x0 x0 3 2 3 x x 9 3 (2 8) 2. 2 8 4 2
Vậy ta chọn f (0) . 9 x x 2 khi x 1
Bài 6 Cho hàm số f (x) x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2x 3 khi x 1
A. Hàm số liên tục tại tại tại x 1 0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x 1 .. 0
D. Tất cả đều sai
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Lời giải. Ta có: f ( 1
) 1 và lim f ( ) x lim 2x 3 1 x 1 x 1 2 x x 2 x x 2 lim f ( ) x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1
(x 1)(x x 2) x 2 3 lim x 1 x x 2 2 Suy ra lim f ( ) x lim f ( ) x x 1 x 1
Vậy hàm số không liên tục tại x 1 . 0 3
x 1 x 1 khi x 0
Bài 7 Cho hàm số 3. f (x) x
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 khi x 0
A. Hàm số liên tục tại x 0 0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x 0 0
C. Hàm số không liên tục tại x 0 0
D. Tất cả đều sai
Lời giải. Ta có: f (0) 2 3 3
x 1 x 1 1 x 1
lim f (x) lim lim1 x0 x0 x0 x x 1 lim1 2 f (0) x0 3
1 x 1 x 1
Vậy hàm số liên tục tại x 0 . 3 x 1 khi x 1 Bài 8 Cho hàm số x 1 f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 1 3
A. Hàm số liên tục tại x 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại x 1
D. Tất cả đều sai 3 x 1 1 1
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim lim f(1) x 1 x4 x4 3 2 3 x 1 3 x x 1
Hàm số liên tục tại điểm x 1 . 2 x x 2
2x khi x 2
Bài 9 Cho hàm số f (x) x 2 2 x x 3 khi x 2
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
A. Hàm số liên tục tại x 2 0
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại x 2 0
D. Tất cả đều sai
(x 1)(x 2)
Lời giải. Ta có : lim f ( ) x lim 2x 4 x2 x2 x 2 lim f ( ) x lim 2
x x 3 5 lim f( ) x x2 x2 x2
Hàm số không liên tục tại x 2 . 0
x 2a khi x 0
Bài 10. Tìm a để các hàm số f x
liên tục tại x 0 2
x x 1 khi x 0 1 1 A. B. C.0 D.1 2 4 Lời giải Ta có : 2 lim f ( )
x lim(x x 1) 1 x0 x0 lim f ( )
x lim(x 2 ) a 2a x 0 x 0 1
Suy ra hàm số liên tục tại x 0 a . 2 4x 1 1 khi x 0
Bài 11. Tìm a để các hàm số 2
f (x) ax (2a 1)x
liên tục tại x 0 3 khi x 0 1 1 1 A. B. C. D.1 2 4 6 4x 1 1
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim x0
x0 x ax 2a 1 4 2 lim x0 ax a x 2a 1 2 1 4 1 1 2 1
Hàm số liên tục tại x 0 3 a . 2a 1 6 3x 1 2 khi x 1 2
Bài 12. Tìm a để các hàm số x 1 f (x)
liên tục tại x 1 2 ( a x 2) khi x 1 x 3 1 1 3 A. B. C. D.1 2 4 4 3x 1 2 3
Lời giải. Ta có : lim f (x) lim 2 x 1 x 1 x 1 8
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 2 ( a x 2) a lim f ( ) x lim x 1 x 1 x 3 2 a 3 3
Suy ra hàm số liên tục tại x 1 a . 2 8 4
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phƣơng pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ <
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các
điểm chia của các khoảng đó. Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số: x 1 2 1. f ( )
x tan 2x cos x
2. f (x) 2 x 3x 2 Lời giải. 1. TXĐ: D
\ k , k 4 2
Vậy hàm số liên tục trên D x 1 0 x 1
2. Điều kiện xác định: 2
x 3x 2 0 x 2
Vậy hàm số liên tục trên 1; 2 2; . 2
a x 2 khi x 2
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số f x x 2 2 liên tục trên .
1 a x khi x 2 Lời giải. Hàm số xác định trên
Với x 2 hàm số liên tục
Với x 2 hàm số liên tục
Với x 2 ta có lim f ( ) x lim(1 ) a x 2(1 ) a f (2) x 2 x 2 2 a (x 2) 2 2
lim f (x) lim
lim a ( x 2 2) 4a x2 x2 x2 x 2 2 Hàm số liên tục trên
hàm số liên tục tại x 2 2 1 lim f ( ) x lim f ( )
x 4a 2(1 ) a a 1 ,a . x2 x2 2 1 Vậy a 1, a
là những giá trị cần tìm. 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 2
Bài 1. Cho hàm số f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 2 x x 6
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 8
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
A. Hàm số liên tục trên B. TXĐ : D \ 3;
2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2 ,x 3
C. Hàm số liên tục tại x 2 ,x 3
D. Tất cả đều sai
Lời giải. TXĐ : D \ 3;
2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2 ,x 3 Bài 2. Cho hàm số 2 f ( )
x 3x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên 1 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ; ; 3 3 1 1
C. TXĐ : D ; ; 2 2 1 1
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ; . 3 3 1 1
Lời giải. TXĐ : D ; ; 3 3 1 1
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x ; ; 3 3 1 1 lim
f (x) 0 f
hàm số liên tục trái tại x 1 3 3 x 3 1 1
lim f (x) 0 f
hàm số liên tục phải tại x 1 3 3 x 3 1 1
Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x ; . 3 3
Bài 3. Cho hàm số f ( )
x 2sin x 3tan 2x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. TXĐ : D
\ k , k 2 2
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x k ,k . 4 2
Lời giải. TXĐ : D
\ k , k 4 2
Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 x k ,k . 4 2 2
x 5x 6 khi x 2
Bài 4. Cho hàm số f x 3 2x 16
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 2 x khi x 2
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục trên 2 :
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 .
Lời giải. TXĐ : D \ 2 2 x 5x 6
Với x 2 f (x) hàm số liên tục 3 2x 16
Với x 2 f( )
x 2 x hàm số liên tục
Tại x 2 ta có : f (2) 0 lim f ( )
x lim 2 x ; 0 x2 x2
(x 2)(x 3) 1 lim f ( ) x lim lim f( ) x 2 x2 x2 x2 2(x 2)(x 2x 4) 24
Hàm số không liên tục tại x 2 . 3 x 1 khi x 1 Bài 5. Cho hàm số x 1 f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3
1 x 2 khi x 1 x 2
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số không liên tục trên 1 :
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 .
Lời giải. Hàm số xác định với mọi x thuộc 1 x 2
Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 2 3 x 1
Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 1 2
Tại x 1 ta có : f (1) 3 3 x 1
(x 1)( x 1) 2 lim f ( ) x lim lim ; x 1 x 1 x 1 3 2 3 x 1 3 (x 1)( x x 1) 1 x 2 2 lim f ( ) x lim lim f ( ) x f (1) x2 x 1 x 1 x 2 3
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 10
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Hàm số liên tục tại x 1 .
Vậy hàm số liên tục trên . 2
x 3x 2 khi x 1
Bài 6. Cho hàm số f x x 1
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a khi x 1
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số không liên tục trên 1 :
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 .
Lời giải. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1 và gián đoạn tại x 1 2x 1 1 khi x 0
Bài 7. Cho hàm số f x x
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 0 khi x 0
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số không liên tục trên 0;
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 0 .
Lời giải. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 0 và gián đoạn tại x 0
2x 1 khi x 0 Bài 8. Cho hàm số 3 f (x) (
x 1) khi 0 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
x 1 khi x 2
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số không liên tục trên 2;
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 .
Lời giải. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 2 và gián đoạn tại x 2 2
2x x 1 khi x 1
Bài 9. Cho hàm số f (x)
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3x 1 khi x 1
A. Hàm số liên tục trên
B. Hàm số không liên tục trên
C. Hàm số không liên tục trên 2;
D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 .
Lời giải. Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1
và gián đoạn tại x 1 .
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 sin x khi x
Bài 10. Xác định a,b để các hàm số f x 2 liên tục trên
ax b khi x 2 2 2 1 2 a a a a A. B. C. D. b 1 b 2 b 0 b 0 ab 1 2 a
Lời giải. Hàm số liên tục trên 2
a b 1 b 0 2 3 2
x 3x 2x khi ( x x 2) 0 ( x x 2)
Bài 11. Xác định a,b để các hàm số f (x) a khi x 2 liên tục trên b khi x 0 a 10 a 11 a 1 a 12 A. B. C. D. b 1 b 1 b 1 b 1 a 1
Lời giải. Hàm số liên tục trên . b 1 3
x 2 2x 1 khi x 1
Bài 12. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên 3m 2 khi x 1 4 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 3
3 x 2 2x 1
Lời giải. Với x 1 ta có f (x)
nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1 x 1
Do đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 1
Ta có: f (1) 3m 2
3 x 2 2x 1
lim f (x) lim x 1 x 1 x 1 3 x x 2 lim 1
x1 (x 1) 2 3 3 2
x x x 2 (x 2) 2 x x 2 lim 1 2 x1 2 3 3 2
x x x 2 (x 2) 4
Nên hàm số liên tục tại x 1 3m 2 2 m 3
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 12
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 4 Vậy m
là những giá trị cần tìm. 3 x 1 1 khi x 0
Bài 13. Tìm m để các hàm số f (x) x liên tục trên 2
2x 3m 1 khi x 0 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 6 x 1 1
Lời giải. Với x 0 ta có f (x)
nên hàm số liên tục trên 0; x
Với x 0 ta có 2 f ( )
x 2x 3m 1 nên hàm số liên tục trên ( ; 0) .
Do đó hàm số liên tục trên
khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 0
Ta có: f (0) 3m 1 x 1 1 1 1
lim f (x) lim lim x0 x0 x0 x x 1 1 2 lim f ( ) x lim 2 2x 3m 1 3m 1 x0 x0 1 1
Do đó hàm số liên tục tại x 0 3m 1 m 2 6 1 Vậy m
thì hàm số liên tục trên . 6 2x 4 3 khi x 2
Bài 14. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên khi x 2 2
x 2mx 3m 2 1 A. m 1 B. m C. m 5 D. m 0 6
Lời giải Với x 2 ta có hàm số liên tụC.
Để hàm số liên tục trên
thì hàm số phải liên tục trên khoảng ; 2 và liên tục tại x 2 .
Hàm số liên tục trên ;2 khi và chỉ khi tam thức 2 ( g )
x x 2mx 3m 2 0, x 2 2
' m 3m 2 0 3 17 3 17 TH 1: m (
g 2) m 6 0 2 2 2
m 3m 2 0 2
' m 3m 2 0 TH 2: m 2
x m ' 2 1 2 ' (m 2) 3 17 m 3 17 m 6 2 2 m 6
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 3 17 Nên m 6 (*) thì ( g ) x 0, x 2 2 lim f ( ) x lim 2x 4 3 3 x2 x2 x 1 3 lim f ( ) x lim 2 x2
x2 x 2mx 3m 2 6 m 3
Hàm số liên tục tại x 2
3 m 5 (thỏa (*)) 6 m
Vậy m 5 là những giá trị cần tìm.
Vấn đề 3. Chứng minh phƣơng trình có nghiệm Phƣơng pháp :
Để chứng minh phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f ( ) x
liên tục trên D và có hai số a,b D sao cho f ( ) a . f ( ) b 0 .
Để chứng minh phương trình f ( )
x 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f ( ) x liên tục
trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (a ; a )
f (a ). f (a ) 0 . i i
(i=1,2,<,k) nằm trong D sao cho 1 i i1 Các ví dụ
Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm. 1. 5
x 3x 1 0 2. 3
x 2x 4 3 3 2x Lời giải. 1. Xét hàm số 5 f ( )
x x 3x 1 là hàm liên tục trên Mặt khác: f ( 1 ) 1
, f(0) 1 f( 1 ). f(0) 1 0
Nên phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1 ;0 .
Giả sử phương trình có hai nghiệm x , x . 1 2
Khi đó: f (x ) f (x ) 0 5 5
x x 3 x x 0 1 2 1 2 1 2
x x 4 3 2 2 3 4
x x x x x x x x 3 0 (1) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 A 2 2 1 1 1 Do 2 2 2 2
A x x x x x x x x 3 0 1 1 2 1 2 2 1 2 2 4 2
Nên (1) x x 1 2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm. 3
2. Điều kiện: x 2 Phương trình 3
x 2x 3 3 2x 4 0 3 Xét hàm số 3 f ( )
x x 2x 3 3 2x 4 liên tục trên ; 2 3 19 3 f (0) 4 3 3 0, f
0 f(0). f 0 2 8 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Nên phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm
Giả sử phương trình f ( )
x 0 có hai nghiệm x , x 1 2
Khi đó: f (x ) f (x ) 0 1 2 3 3
x x 2 x x 3
3 2x 3 2x 0 1 2 1 2 1 2
x x 2 2 6
x x x x 2 0 1 2 1 1 2 2
3 2x 3 2x 1 2 B x x 1 2 2 2 x 3x 6 (Vì 2 2 B x 2 0 ) 1 2 4
3 2x 3 2x 1 2
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm : 1. 7 5
x 3x 1 0 2. 2
x sin x xcos x 1 0 Lời giải. 1. Ta có hàm số 7 5 f ( )
x x 3x 1 liên tục trên R và f (0). f (1) 3 0
Suy ra phương trinh f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) . 2. Ta có hàm số 2 f ( )
x x sin x x cos x 1 liên tục trên R và f (0). f ( )
0 . Suy ra phương trinh f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . Ví dụ 3. 5 3 2 2
x 2x 15x 14x 2 3x x 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt Lời giải.
Phương trình đã cho tương đương với x x x
x x x 2 5 3 2 2 2 15 14 2 3 1 5 4 3 2
x 9x 4x 18x 12x 1 0 (1) Hàm số 5 4 3 2 f ( )
x x 9x 4x 18x 12x 1 liên tục trên 1 19 Ta có: f ( 2) 9 5 0, f ( 1
) 1 0, f 0 2 32
f (0) 1 0, f (2) 4
7 0, f(10) 7921 0
Do đó phương trình f ( )
x 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng 1 1 2; 1 , 1 ; ,
; 0 , 0; 2 , 2;10 2 2
Mặt khác f (x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt 1. 3
x 3x 1 0 2. 3
2x 6 1 x 3
Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n 3 1 1
1. mx
1 x 2 2x 3 0 2. m cos x sin x
3. mx ax c nx bx d 0
( a b c d ).
Bài 3 Cho m 0 và a,b,c là ba số thực bất kỳ thoả mãn a b c
0 . Chứng minh rằng phương trình 2
ax bx c 0 luôn có nghiệm. m 2 m 1 m
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình : 1. 4 3 2
x x 3x x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng 1 ; 1 2. 5 3
x 5x 4x 1 0 có năm nghiệm thuộc khoảng 2 ; 3
3. ax bx c bx cx a c x ax b 0 ; a,b,c 0 có hai nghiệm phân biệt. 4. 2 5
(1 m )x 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m 5. 2 3 4
m .(x 2) (
m x 1) .(x 2) 3x 4 0 có nghiệm với mọi m . a b c
Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: 2 n ;
m mp n và
0 . Chứng minh rằng m n p phương trình : 2 f ( )
x ax bx c 0 luôn có nghiệm. Bài 6.
1. Cho hàm số f :0;1 0;1
liên tụC.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c 0;1 sao cho
f c c . f (x)
2. Cho hàm số f :[0;+ ) [0;+ ) liên tục và lim
L 1 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số x x
c 0 sao cho f (c) c .
3. Tìm tất cả các hàm số f :
liên tục tại x 0 thỏa: f (3 ) x f ( ) x .
4. Cho hàm số f : 0;1 0;1
liên tục trên 0;1
và thỏa f (0) f(1) . 1
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình f (x) f (x ) 0 luôn có ít nhất một nghiệm n thuộc đoạn 0;1 . Bài 7.
1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x ; x ;...; x ; a b 1 2 n
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất
một điểm c ; a b
sao cho nf (c) f (x ) f (x ) ... f(x ) . 1 2 n
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0 1 sao cho 2
cos và tan 1 .
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 16
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Vấn đề 3. Chứng minh phƣơng trình có nghiệm Bài 1 1. Xét hàm số 3 f ( )
x x 3x 1 , ta có hàm số liên tục trên R và f ( 2 ) 1
; f(0) 1 ; f(1) 1 ; f(2) 3 f( 2 ). f(0) 1
0, f(0). f(1) 1
0, f(1). f(2) 3 0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( 2 ;0),(0;1),(1;2) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm. 2. Phương trình 3 3
2x 3 6 x 1 (2x 3) 216(x 1) 0 Xét hàm số 3 f ( )
x (2x 3) 216(x 1) , ta có hàm số liên tục trên R và f ( 4 ) 2
51, f(0) 189, f(1) 1 , f(7) 35 Suy ra f ( 4
). f(0) 0, f(0). f(1) 0, f(1). f(7) 0
Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( 4 ;0),(0;1),(1;7) .
Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm
Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm. Bài 2 3
1. Ta có hàm số f ( )
x mx
1 x 2 2x 3 liên tục trên R và f (1). f ( 2 ) 5
0 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ( 2; 1)
2. Điều kiện : x k , k 2 Xét hàm số f ( )
x sin x cos x msin xcos x ,liên tục trên 0; và 2
f (0). f ( ) 1
0 do đó phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm 2 x 0; x k 0 0 2 2
Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
3. Hàm số f ( )
x mx ax c nx bx d liên tục trên R và 2 f ( )
a . f (c) n a ba dc bc d 0 phuowngt rình đã cho có ít nhất một nghiệm. Bài 3 Đặt 2 f ( )
x ax bx c
c 0 f ( )
x 0 có nghiệm x 0 m 1 c
c 0 ta có f (0) c; f
m 2 mm 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 2 m 1 c f (0). f
, suy ra phương trình f ( )
x 0 có ít nhất một nghiệm.
m mm 0 2 2
Bài 4. Gọi f (x) là vế trái của các phương trình
1. Ta có hàm số y f ( ) x liên tục trên và f (1). f ( 1 ) 3 0
Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ;1) . 3
2. Ta có hàm số y f ( ) x liên tục trên và f ( 2) f ( ) 0; 2 3 1 1 f ( ) f ( 1 ) 0; f ( 1
). f ( ) 0; f( ) f(1) 0; f(1) f(3) 0 2 2 2
Nên ta có điều phải chứng minh.
3. Ta có hàm số y f ( ) x liên tục trên và 2 f ( ) a f ( )
b f (c) abc ( a )
b (b c)(c ) a 0
Nên ta có điều phải chứng minh.
4. Ta có hàm số y f ( ) x liên tục trên và lim f ( ) x . lim f ( ) x 0 x x
Nên ta có điều phải chứng minh.
5. Ta có hàm số y f ( ) x liên tục trên
và f (1). f (2) 0
Nên ta có điều phải chứng minh. 2 n n n
Bài 5 Ta xét f ( ) a b c . 2 m m m a b c 2 m n n 1 m Mặt khác từ : 0 . a
b c ( c ) 0 m n p 2 2 2 n m m p n 2 2 2 m n n pm n pm n pm n f ( ) . c 0 f ( ) c f (0) 2 2 n m pn m pm pm * Xét c 0
Nếu a 0 b 0 f ( )
x là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1) b n
Nếu a 0 , từ giả thiết 1 và f( ) x ( x ax ) b 0 a m b x (0;1) a 2 n pm n n
* Xét c 0 , ta có: 2 f . f (0) f (0)
0 f (x) có nghiệm x (0; ) (0;1) . m pm m Bài 6.
1. Xét hàm số g x f x x ,ta có y ( g )
x liên tục trên 0;1 và ( g 0) (
g 1) 0 nên tồn tại
c 0;1 : g(c) 0 f (c) c .
2. Nếu f (0) 0 thì ta chọn c 0 . Nếu f (0) 0 . Xét hàm số ( g ) x f ( )
x x , ta có hàm g liên tục trên [0; ) và ( g 0) 0
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 18
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 f (x) f ( ) a Vì lim
L 1 nên tồn tại số a 0 sao cho 1 ( g ) a 0 x x a ( g 0). ( g )
a 0 nên tồn tại số thực c 0; a sao cho ( g c) 0
Hay là f (c) c . x x x
3. Ta có: f (x) f f ... f 2 3 3 3n x Cho n 0, x 3n Suy ra: f ( )
x f (0) a, x Vậy f là hàm hằng. 1 n 1 4. Xét hàm số ( g x) f x
f (x) , ta có g là hàm liên tục trên 0; n n n1 n1 k k 1 k Và g f
f f (1) f (0) 0 k0
n k0 n n
i j
Suy ra tồn tại hai chỉ số i, j 0,1,...,n
1 sao cho : g .g 0
n n 1 Hay phương trình : (
g x) 0 f (x) f (x ) 0 có nghiệm trên 0;1 . n Bài 7. 1. Xét hàm số : ( g ) x nf ( )
x f (x ) f (x ) ... f (x ) liên tục trên [a ;b]. 1 2 n
Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó tồn tại , a,b sao cho f () ,
m f ( ) M ( g ). ( g ) 0 . 2. Hàm số : 2 f ( )
x cos x x liên tục trên
và f (0). f (1) 1(cos11) 0 Suy ra 0; 1 : f () 0 hay 2 cos
Mặt khác hàm số y cos x là hàm nghịch biến trên (0;1) , hàm 2
y x là hàm đồng biến trên 0;1 nên là số duy nhất. Hàm số ( g )
x x tan x 1 liên tục trên 0;1 và f (0). f (1) 1
(tan11) 0 , đồng thời hàm số ( g x) đồng biến
trên (0;1) nên tồn tại duy nhất số thực (0;1) sao cho tan 1 0 . sin Vì sin x x x 0 nên ( g )
1 0 f () .
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
TẬP 3. 175 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
https://web.facebook.com/phong.baovuong
ALBA- CHƯ SÊ- GIA LAI
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 Mục lục
TỔNG HỢP LẦN 1. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN............................................................... 2
ĐÁP ÁN LẦN 1 ....................................................................................................................................10
TỔNG HỢP LẦN 2. ............................................................................................................. 11
TỔNG HỢP LẦN 3. ............................................................................................................. 17
ĐÁP ÁN LẦN 3 ....................................................................................................................................22
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3
BÀI TẬP TỔNG HỢP
TỔNG HỢP LẦN 1. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
Với mỗi câu từ số 1 đến 91 dưới đây đều có 4 phương án lựa chọn, trong đó chỉ có một phương án đúng. Hãy
khoanh tròn vào chữ cái đứng đầu câu trả lời mà em cho là đúng.
(Ta quy ước viết lim u thay cho lim u ) n n n
Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 1 1 n 1 sin n A. ; B. ; C. ; D. . n n n n Câu 2.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n n n n 4 4 5 1 A. ; B. ; C. ; D. . 3 3 3 3 Câu 3.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? n n A. 0,999 ; B. 1 ,0 1 ; n n C. 1,0 1 ; D. 2 ,00 1 . Câu 4.
Dãy nào sau đây không có giới hạn? n n n n A. 0,99 ; B. 1 ; C. 0 ,99 ; D. 0 ,89 . n 1 Câu 5. lim
có giá trị là bao nhiêu? n 3 1 1 A. ; B. 1 ; C. 0 ; D. . 3 4 3 4n Câu 6. lim
có giá trị là bao nhiêu? 5n 3 3 4 4 A. ; B. ; C. ; D. . 5 5 5 5 2n 3n Câu 7. lim
có giá trị là bao nhiêu? 3n 2 5 A. 0 ; B. 1 ; C. ; D. . 3 3 cos 2n Câu 8. lim 4
có giá trị là bao nhiêu? n A. 0 ; B. 2 ; C. 2 ; D. 4 . 3 3n 2n 1 Câu 9. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 4n 2n 1 3 2 A. 0 ; B. ; C. ; D. . 4 7
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 4 3n 2n 3 Câu 10. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 4n 2n 1 3 4 A. 0 ; B. ; C. ; D. . 4 7 2 4 2n 3n Câu 11. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 4n 5n 1 3 1 3 A. ; B. 0 ; C. ; D. . 4 2 4 4 3n 2n 4 Câu 12. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 4n 2n 3 3 4 A. 0 ; B. ; C. ; D. . 4 3 Câu 13. 3 2 lim 3
n 2n 5 có giá trị là bao nhiêu? A. 3 ; B. 6 ; C. ; D. . Câu 14. 4 2
lim 2n n 5n có giá trị là bao nhiêu? A. ; B. 0 ; C. 2 ; D. . 2
4n 5 n 4 Câu 15. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2n 1 A. 0 ; B. 1 ; C. 2 ; D. . Câu 16.
lim n10 n có giá trị là bao nhiêu? A. ; B. 10 ; C. 10 ; D. 0 . 2 3 2n 4n Câu 17. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 4n 5n 3 3 4 A. 0 ; B. 1 ; C. ; D. . 4 3 Câu 18.
Nếu limu L thì lim u 9 có giá trị là bao nhiêu? n n A. L 9 ; B. L 3 ; C. L 9 ; D. L 3 . 1 Câu 19.
Nếu limu L thì lim
có giá trị là bao nhiêu? n 3 u 8 n 1 1 1 1 A. ; B. ; C. ; D. . L 8 L 8 3 L 2 3 L 8 n 4 Câu 20. lim
có giá trị là bao nhiêu? n 1 A. 1 ; B. 2 ; C. 4 ; D. . 2 1 2n 2n Câu 21. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 5n 5n 3 1 2 2 A. 0 ; B. ; C. ; D. . 5 5 5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 4 10 n Câu 22. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 10 2n A. ; B. 10000 ; C. 5000 ; D. 1 .
1 2 3 ... n Câu 23. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 2n 1 1 A. 0 ; B. ; C. ; D. . 4 2 3 3 n n Câu 24. lim
có giá trị là bao nhiêu? 6n 2 1 1 3 2 A. ; B. ; C. ; D. 0 . 6 4 6 Câu 25. n 2 2 lim
n 1 n 3 có giá trị là bao nhiêu? A. ; B. 4 ; C. 2 ; D. 1 . n sin 2n Câu 26. lim
có giá trị là bao nhiêu? n 5 2 1 A. ; B. ; C. 0 ; D. 1 . 5 5 Câu 27. 3
lim 3n 4n có giá trị là bao nhiêu? A. ; B. 4 ; C. 3 ; D. . Câu 28.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 2 n 2n 1 2n A. u ; B. u ; n 2 5n 5n n 5n 5 2 1 2n 1 2n C. u ; D. u . n 5n 5 n 2 5n 5n Câu 29.
Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? A. 2 3
u 3n n ; B. 2 3
u n 4n ; n n C. 2
u 3n n ; D. 3 4
u 3n n . n n Câu 30.
Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? A. 4 3
u n 3n ; B. 3 4
u 3n n ; n n C. 2
u 3n n ; D. 2 3 u n 4n . n n n 1 1 1 1 Câu 31.
Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? 2 4 2n 1 1 2 A. 1; B. ; C. ; D. . 3 3 3 n 1 1 1 Câu 32.
Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? 2 4 2n 1 1 2 A. ; B. ; C. ; D. 1 . 3 3 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 4
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 n 1 1 1 1 Câu 33.
Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? 3 9 3n 1 1 3 A. ; B. ; C. ; D. 4 . 4 2 4 1 1 1 Câu 34.
Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? 1 2 6 2.3n 1 3 3 3 A. ; B. ; C. ; D. . 3 8 4 2 n 1 1 1 1 Câu 35.
Tổng của cấp số nhân vô hạn ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? n1 2 6 2.3 8 3 2 3 A. ; B. ; C. ; D. . 3 4 3 8 n 1 1 1 1 Câu 36.
Tổng của cấp số nhân vô hạn 1; ; ;...;
;... có giá trị là bao nhiêu? n1 2 4 2 2 2 3 A. ; B. ; C. ; D. 2. 3 3 2 Câu 37.
Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 2 n 2n 1 2n 2 1 n 2 n 2 A. u ; B. u ; C. u ; D. u . n 2 5n 5n n 5n 5 n 5n 5 n 3 5n 5n Câu 38.
Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 2 9n 7n 2007 2008n A. u ; B. u ; n 2 n n n n 1 C. 2
u 2008m 2007n ; D. 2 u n 1 . n n Câu 39.
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1 ? 2 2n 3 2 2n 3 2 2n 3 3 2n 3 A. lim ; B. lim ; C. lim ; D. lim . 3 2 n 4 2 2 n 1 3 2 2 n 2n 2 2 n 1 Câu 40.
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 2 2n 3 3 2n 3n 2 4 2n 3n 3 3 2n A. lim ; B. lim ; C. lim ; D. lim . 3 2 n 4 2 2 n 1 3 2 2 n 2n 2 2n 1 Câu 41.
Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ? 2 2n 3 3 2n 3n 2 4 2n 3n 3 3 2n A. lim ; B. lim ; C. lim ; D. lim . 3 n 4 2 2n 1 3 2 2 n 2n 2 2n 1 1 Câu 42.
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 5 2 n 2n 1 2n 2 1 2n 1 2n A. u ; B. u ; C. u ; D. u . n 2 5n 5n n 5n 5 n 5n 5 n 2 5n 5n Câu 43.
lim 3 có giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 2 ; B. 1 ; C. 0; D. 3. Câu 44. lim 2
x 2x 3 có giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 0; B. 2; C. 4; D. 6.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 Câu 45. lim 2
x 3x 5 có giá trị là bao nhiêu? x2 A. 15 ; B. 7 ; C. 3; D. . 4 3x 2x 3 Câu 46. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4
x 5x 3x 1 4 3 A. 0; B. ; C. ; D. . 9 5 4 5 3x 2x Câu 47. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4
x 5x 3x 2 2 3 A. ; B. ; C. ; D. . 5 5 2 5 3x x Câu 48. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4
x x x 5 A. ; B. 3; C. 1 ; D. . 4 5 3x 2x Câu 49. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 6
x 5x 3x 1 3 2 A. ; B. ; C. ; D. 0. 5 5 4 5 3x 2x Câu 50. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 6 x 1
5x 3x 1 1 3 2 2 A. ; B. ; C. ; D. . 9 5 5 3 4 5 3x 2x Câu 51. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 2 x 1
5x 3x 1 1 5 3 5 A. ; B. ; C. ; D. . 3 9 5 3 4 5 3x x Câu 52. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 x 1
x x 5 4 4 2 2 A. ; B. ; C. ; D. . 5 7 5 7 4 3x 2x Câu 53. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 x 2
x 3x 2 13 7 11 13 A. ; B. ; C. ; D. . 6 4 6 6 2 3 x x Câu 54. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 2
x x 3 4 12 4 A. ; B. ; C. ; D. . 9 5 3 4 5 x 2x Câu 55. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 5 x 1
2x 3x 2 1 1 2 1 A. ; B. ; C. ; D. . 12 7 3 2
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 6
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 3 x x Câu 56. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 2
x x 1 10 10 A. ; B. ; 7 3 6 C. ; D. . 7 Câu 57. 3
lim 4x 2x 3 có giá trị là bao nhiêu? x 1 A. 9; B. 5; C. 1; D. 5 . 4 5 3x 4x 3 Câu 58. lim
có giá trị là bao nhiêu? 5 4 x 9x 5x 1 1 3 2 A. 0; B. ; C. ; D. . 3 5 3 4 2 x 4x 3 Câu 59. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 2 7x 9x 1 1 1 35 A. ; B. ; C. ; D. . 15 3 9 4 2
x 4x 3x Câu 60. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 1 x 16x 1 1 3 3 A. ; B. ; C. ; D. . 8 8 8 3 1 x Câu 61. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x1 3x x 1 1 A. 0; B. 1; C. ; D. . 2 3 x 2 Câu 62. lim
có giá trị là bao nhiêu? x1 x 1 1 1 A. ; B. ; C. ; D. . 2 2 3 10 x Câu 63. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 1 3x x 3 11 9 11 A. ; B. ; C. ; D. . 2 4 2 2 Câu 64. lim
có giá trị là bao nhiêu? x 3 x 5 x A. 0; B. 3 5 ; C. ; D. . 4 3 2
2x x 2x 1 Câu 65. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4 x x 2x A. – 2; B. – 1; C. 1; D. 2. Câu 66. x
có giá trị là bao nhiêu? 2 lim x 5 x x
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 5 5 A. ; B. ; C. 5 ; D. . 2 2 Câu 67. x
có giá trị là bao nhiêu? 2 lim x 1 x x 1 1 A. ; B. 0; C. ; D. . 2 2 4 y 1 Câu 68. lim
có giá trị là bao nhiêu? y1 y 1 A. ; B. 4; C. 2; D. . 4 4 y a Câu 69. lim
có giá trị là bao nhiêu? ya y a A. ; B. 3 2a ; C. 3 4a ; D. 2 4a . 4 y 1 Câu 70. lim
có giá trị là bao nhiêu? 3 y1 y 1 3 4 A. ; B. 0; C. ; D. . 4 3 2
4x 2 x 3 Câu 71. lim
có giá trị là bao nhiêu? x 2x 3 A. 0; B. 1; C. 2; D. . 2
x 1 x x 1 Câu 72. lim
có giá trị là bao nhiêu? x0 x 1 A. 0; B. – 1; C. ; D. . 2 2 x 3x 2 Câu 73. lim
có giá trị là bao nhiêu? x2 2x 4 3 1 1 A. ; B. ; C. ; D. . 2 2 2 2 x 12x 35 Câu 74. lim
có giá trị là bao nhiêu? x2 x 5 A. ; B. 5; C. – 5; D. – 14. 2 x 12x 35 Câu 75. lim
có giá trị là bao nhiêu? x5 5x 25 1 2 2 A. ; B. ; C. ; D. . 5 5 5 2 x 2x 15 Câu 76. lim
có giá trị là bao nhiêu? x 5 2x 10 1 A. – 8; B. – 4; C. ; D. . 2 2 x 2x 15 Câu 77. lim
có giá trị là bao nhiêu? x5 2x 10 A. – 4; B. – 1; C. 4; D. .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 8
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 2 x 9x 20 Câu 78. lim
có giá trị là bao nhiêu? x5 2x 10 5 3 A. ; B. – 2; C. ; D. . 2 2 4 5 3x 2x Câu 79. lim
có giá trị là bao nhiêu? 4
x 5x 3x 2 2 3 A. ; B. ; C. ; D. . 5 5 3 x 1 Câu 80. lim
có giá trị là bao nhiêu? 2 x 1 x x A. – 3; B. – 1; C. 0; D. 1. x Câu 81. lim x 2
có giá trị là bao nhiêu? 3 x x 1 A. ; B. 0; C. 1; D. . 2 x 3x 2 Câu 82. lim
có giá trị là bao nhiêu? 3 x1 x 1 1 1 A. ; B. ; C. 0; D. 1. 3 3 Câu 83. lim
có giá trị là bao nhiêu? x 3 x 5 x A. ; B. 4; C. 0; D. . 2 3x 7x Câu 84. lim
có giá trị là bao nhiêu? x3 2x 3 3 A. ; B. 2; C. 6; D. . 2 3 2
6x x x Câu 85. lim
có giá trị là bao nhiêu? x 1 x 2 8 4 8 A. ; B. – 2; C. ; D. . 3 3 3 2 x 1 Câu 86. lim
có giá trị là bao nhiêu? x1 x 1 A. ; B. 2; C. 1; D. . x x Câu 87. Cho f x 2 2
với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm số x liên tục trên . 1 1 A. 0; B. 1; C. ; D. . 2 2 2 x Câu 88.
Cho f x
với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên x 1 1 tục trên . A. 0; B. 1; C. 2 ; D. 2.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 x x Câu 89. Cho f x 2 5
với x 0 . Phải bổ sung thêm giá trị f 0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục 3x trên . 5 1 A. ; B. ; 3 3 5 C. 0; D. . 3 2 x
vôùi x 1, x 0 x Câu 90.
Cho hàm số f x 0 vôùi x 0
. Hàm số f x liên tục tại: x vôùi x 1
A. mọi điểm thuộc
; B. mọi điểm trừ x 0 ;
C. mọi điểm trừ x 1 ; D. mọi điểm trừ x 0 và x 1 . Câu 91.
Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? A. x 0 ; B. x 1 ; C. x 2 ; D. x 3 . ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10 C D A B C D B C A C Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 A B C D B D B C D A Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 C C B A C D A D C B Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 10
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 B B A C D B C D B A Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 C A D D B C C D D A Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 D A D C B A B D B B Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70 A C D A B B D B C D Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77 Câu 78 Câu 79 Câu 80 B A C C D B C B D A Câu 81 Câu 82 Câu 83 Câu 84 Câu 85 Câu 86 Câu 87 Câu 88 Câu 89 Câu 90 C A C B D A C D D A Câu 91 B TỔNG HỢP LẦN 2.
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Câu 1.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim u
, thì lim u . B. Nếu lim u
, thì lim u . n n n n
C. Nếu lim u 0 , thì lim u 0.
D. Nếu lim u a , thì lim u a . n n n n n un Câu 2. Cho dãy số (u 1 n) với un = và
1 . Chọn giá trị đúng của limun trong các số sau: n 4 un 1 1 3 A. . B. . C. . D. 1. 4 2 4 2 n cos 2n Câu 3.
Kết quả đúng của lim 5 là: 2 n 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 1 A. 4. B. 5. C. –4. D. . 4 n 2 5 2 Câu 4. Kết quả đúng của lim là: n n 3 5 . 2 5 5 25 A. – . B. 1. C. . D. – . 2 2 2 2
n 2n 1 Câu 5. Kết quả đúng của lim là 3 4 n 2 3 2 1 1 A. – . B. – . C. – . D. . 3 3 2 2 3 4 n n Câu 6.
Giới hạn dãy số (un) với un = là: 4n 5 3 A. –. B. +. C. . D. 0. 4 n n 3 2 . 4 1 3 Câu 7. lim bằng : n n 2 . 3 4 A. +. B. –. C. 0. D. 1. n3 2n 5 Câu 8.
Chọn kết quả đúng của lim : 3 n 5 2 A. 5. B. . C. –. D. +. 5
2n 1 3 2n 2 Câu 9. Giá trị đúng của lim là: A. +. B. –. C. –2. D. 0. n 3n 5 Câu 10. Giá trị đúng của lim là: A. –. B. C. 2. D. –2. n 2 Câu 11. lim n sin 3 2n bằng: 5 A. +. B. 0. C. –2. D. –.
n n1 n1 Câu 12. Giá trị đúng của lim là: A. –1. B. 0. C. 1. D. +. 2n 2 Câu 13. Cho dãy số (u n n) với un = ( ) 1
. Chọn kết quả đúng của limun là: 4 2 n n 1 A. –. B. 0. C. 1. D. +.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 12
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 5n 1 Câu 14. lim bằng : 3n 1 A. +. B. 1. C. 0. D. –. 10 Câu 15. lim bằng : 4 2 n n 1 A. +. B. 10. C. 0. D. –. Câu 16. lim 5 5 2
200 3n 2n bằng : A. 0. B. 1. C. +. D. –. u 1 n 2 Câu 17.
Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi :
. Tìm két quả đúng của limun .
u 1 ,n n 1 1 2 un 1 A. 0. B. 1. C. –1. D. . 2 1 1 1 1 Câu 18.
Tìm giá trị đúng của S = 21 ... ...... . 2 4 8 2n 1 A. 2 +1. B. 2. C. 2 2 . D. . 2 n n 1 4 2 Câu 19. Lim 4 bằng : n n2 3 4 1 1 A. 0. B. . C. . D. +. 2 4 n 1 4 Câu 20. Tính giới hạn: lim n 1 n 1 A. 1. B. 0. C. –1. D. . 2
1 3 5 ...... (2n ) 1 Câu 21. Tính giới hạn: lim 3 2 n 4 1 2 A. 0. B. . C. . D. 1. 3 3 1 1 1 Câu 22. Tính giới hạn: lim ...... 2 . 1 3 . 2 n(n ) 1
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 3 A. 0. B. 1. C. . D. Không có giới 2 hạn. 1 1 1 Câu 23. Tính giới hạn: lim ...... 3 . 1 5 . 3 n(2n ) 1 2 A. 1. B. 0. C. . D. 2. 3 1 1 1 Câu 24. Tính giới hạn: lim ...... 3 . 1 4 . 2 n(n ) 2 3 2 A. . B. 1. C. 0. D. . 2 3 1 1 1 Câu 25. Tính giới hạn: lim ...... 4 . 1 5 . 2 n(n ) 3 11 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 18 2 1 1 1 Câu 26.
Tính giới hạn: lim 1 1 ..... 1 2 2 2 2 3 n 1 1 3 A. 1. B. . C. . D. . 2 4 2 n2 1 1 Câu 27.
Chọn kết quả đúng của lim 3 . 2 n 3 n 2 1 A. 4. B. 3. C. 2. D. . 2 2 x 1 Câu 28.
Cho hàm số f (x)
và f(2) = m2 – 2 với x 2. Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là: x 1 A. 3 . B. – 3 . C. 3 . D. 3. Câu 29.
Cho hàm số f (x) 2
x 4 . Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2.
(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.
(III) f(x) liên tục trên đoạn 2 ; 2 . A. Chỉ (I) và (III). B. Chỉ (I). C. Chỉ (II).
D. Chỉ (II) và (III).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 2 x 1 , x , 3 x 2 Câu 30.
Cho hàm số f (x) 3 x x 6
. Tìm b để f(x) liên tục tại x = 3. , x , 3 b R b 3 2 3 2 3 A. 3 . B. – 3 . C. . D. – . 3 3 Câu 31.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 I. f (x) liên tục trên R. 2 x 1 sin x II. f (x)
có giới hạn khi x 0. x III. 2
f (x) 9 x
liên tục trên đoạn [–3;3]. A. Chỉ (I) và (II). B. Chỉ (I) và (III). C. Chỉ (II). D. Chỉ (III).
sin 5x , x 0 Câu 32.
Cho hàm số f (x) 5x
. Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0. , x 0 a 2 A. 1. B. –1. C. –2. D. 2. Câu 33.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) > 0 thì tồn tại ít nhất số c (a;b) sao cho f(c) = 0.
II. f(x) liên tục trên (a;b+ và trên *b;c) nhưng không liên tục trên (a;c). A. Chỉ I đúng. B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Câu 34.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
II. f(x) không liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) 0 thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm. A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng. D. Cả I và II sai. Câu 35.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: x 1 I. f (x)
liên tục với mọi x 1. x 1
II. f (x) sin x liên tục trên R. x III. f (x) liên tục tại x = 1.. x A. Chỉ I đúng. B. Chỉ (I) và (II). C. Chỉ (I) và (III).
D. Chỉ (II) và (III).
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 2 x 3 , x 3 Câu 36.
Cho hàm số f (x) x 3
. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: , x 3 2 3
I. f(x) liên tục tại x = 3 .
II. f(x) gián đoạn tại x = 3 . III. f(x) liên tục trên R. A. Chỉ (I) và (II).
B. Chỉ (II) và (III). C. Chỉ (I) và (III).
D. Cả (I),(II),(III) đều đúng. Câu 37.
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) = x5 – 3x2 +1 liên tục trên R. 1 II. f (x)
liên tục trên khoảng (–1;1). 2 x 1 III. f (x)
x 2 liên tục trên đoạn [2;+). A. Chỉ I đúng. B. Chỉ (I) và (II).
C. Chỉ (II) và (III). D. Chỉ (I) và (III). (x 2 ) 1 x , 1 Câu 38.
Cho hàm số f (x) 2
x 3 , x 1. Tìm k để f(x) gián đoạn tại x = 1. 2 k , x 1 A. k 2. B. k 2. C. k –2. D. k 1. 3 9 x 0 , x 9 x Câu 39.
Cho hàm số f (x) m , x 0
. Tìm m để f(x) liên tục trên [0;+) là. 3 , x 9 x 1 1 1 A. . B. . C. . D. 1. 3 2 6 2 x 1 Câu 40.
Cho hàm số f (x)
. f(x) liên tục trên các khoảng nào sau đây ? 2 x 5x 6 A. (–3;2). B. (–3;+) C. (–; 3). D. (2;3). Câu 41.
Cho hàm số f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 . phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây ? I. (–1; 0). II. (0; 1). III. (1; 2). A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 16
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3
tan x , x 0 Câu 42.
Cho hàm số f (x) x
. f(x) liên tục trên các khoảng nào sau đây ? , x 0 0 A. ; 0 . B. ; . C. ; . D. ; . 2 4 4 4 2 2 a x , x 2, a R Câu 43.
Cho hàm số f (x)
. Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là: (2 2
a)x , x 2 A. 1 và 2. B. 1 và –1. C. –1 và 2. D. 1 và –2. 2 x x , 1 2 3 x Câu 44.
Cho hàm số f (x) 0 ,
x 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 x xsin x x , 0
A. f(x) liên tục trên R.
B. f(x) liên tục trên R\ 0 .
C. f(x) liên tục trên R\ 1 .
D. f(x) liên tục trên R\ 1 ; 0 . TỔNG HỢP LẦN 3. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 2 3
2n 3n 1 n
Câu 1. Cho dãy số u
và gọi L limu . Giá trị của L là: n 2 2n n n 5 A. L B. 5 C. D. 2 3 4
2n n n
Câu 2. Giá trị của lm 2 n 2 2n 1 1 A. 1 B. 0 C. D. 2 2 3n 3 1 n 4n
Câu 3. Giá trị của lim bằng: n 2 2n n 1 1 3 A. B. 2 C. 4 D. 2 2 2 9n n 1 n
Câu 4. Giá trị của lim bằng 2n
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 9 3 A. B. 1 C. D. 2 2
Câu 5. Giá trị của 2 lim
n 2n 3 n 1 bằng: A. 0 B.2 C. 1 D.3
Câu 6. Giá trị của 3 3 2
lim 2n 8n 9n 2 bằng: 3 3 3 A. B. C. D. 4 4 2 Câu 7. Cho u
là dãy số có u 0 với mọi n. nếu u
có giới hạn hữu hạn là L..Khẳng định nào trong các n n n khẳng định là đúng:
A. L có thể là 1 số âm B. L>0 C, L 0 D. L 0 n1 4 5n 2
Câu 8. Giá trị của lim bằng: 6n 5n 2 16 A. 1 B. C. D. 0 3 5 2n2 3 4.2n
Câu 9. Giá trị của lim n1 9 4n 1 1 A.0 B.1 C. D. 3 9 4n 5n
Câu 10. Giá trị của lim n2 n4 4 3 5 5 5 A. B. C. D. 16 4 16
Bài 11. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 2n 1 2 2n sinn 4nn 3 1 n 2 2n 1 A. lim B. lim C. loim D. lim 3n 2 3 n 3 2n 3n 3 2n 5sin n
Bài 12. Giá trị của lim 3n 1 2 A. 1 B.0 C.5 D. 3 2
1 3 3 ... 3n
Câu 13. Giá trị của lim bằng” 2
1 4 4 ... 4n 3 4 A.0 B. C. D. 4 3 2 3 2 2 2
Câu 14. Đặt S 1
... Giá trị của S bằng: 3 3 3
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 18
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 2 3 5 A. 3 B. C. D. 3 5 3
Câu 15. Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,62222222.... được biểu diễn bởi phân số nào: 57 64 73 68 A. B. C. D. 33 51 45 57
Câu 16. Cho u
là một cấp số nhân lùi vô hạn có u 2 và tổng tất cả các số hạng là 3. Thế thì công bội của n 1 cấp số nhân này là: 1 2 1 1 A. B. C. D. 2 3 2 3 2
2x 3x 1 4
Câu 17. Giá trị của lim bằng x2 x 3 2 3 4 8 A. B. 1 C.0 D. 5 5 3 x 3x 2
Câu 18. Giá trị của lim bằng: 2 x1 x 1 1 A. 0 B. C. 1 D. 2 2
2x 5x6 3x 1
Câu 19. Giá trị của lim bằng: 2 x2 4 x 7 7 1 A. 0 B. C. D. 4 4 4 3 3x 2x 1
Câu 20. Giá trị của lim bằng: 2 x 4x x 3 A. 3 B. C. D. 4 2
3x x 2 4
Câu 21. Giá trị của lim bằng: 2 x2 x 2x 1 13 13 13 A. B. C. D. 8 8 2 16 3 x 5 2
Câu 22. Giá trị của lim bằng: 2 x3 x 3x 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 6 36 12 2 5x x 2
Câu 23. Giá trị của lim bằng: x1 2 x 3x 2 3 A. 0 B. 1 C. 1 D. 5
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3
Câu 24. Giá trị của bằng: 2 lim 4x 3x 3x x A. B. C. 2 D. 2 2
4x 3x 4x
Câu 25. Giá trị của lim bằng: x 2
9x 6x x 3 A. 1 B. C. 0 D. 2
Câu 26. Giá trị của bằng: 2 lim 4x 2x 3 2x 3 x 1 5 A.0 B. C. D. 2 2
Câu 27. Giá trị của bằng: 2 lim x 4x x x A. 2 B. 2 C. D. 2 x 3x , x 2
Câu 28. Cho hàm số f x x 2 tìm khảng định đúng 3x 1,x 2 1
A. lim f x
B. lim f x 5 x2 2 x2 1
C. lim f x
hoặc lim f x 5
D. lim f x không tồn tại x2 2 x2 x2 x 2 1 x 3
Câu 29. Giá trị của lim bằng” 2 x1 x 3x 2 2 A. 2 B. 2 C. D. 3 2 2x x 6
Câu 30. Giá trị của lim bằng:
x2 2 x x 3 7 7 A. B. C. D. 5 5
Câu 31. Hàm sô nào trong các hàm số sau liên tục tại điểm x 1 ? x 3 x x x x
A. f x
B. g x 1, 1
C. hx 1, 1
D. k x 1 2x 2 x 1 2x 3, x 1 3x 1, x 1
Câu 32. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng:
A. Nếu hàm số f không xác định tại x thì f gián đoạn tại x 0 0
B. Nếu lim f x không tồn tại thì hàm số f gián đoạn tại x xx 0 0
C. Nếu lim f x tồn tại và lim f x f x thì hàm số f gián đoạn tại x 0 xx xx 0 0 0
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 20
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3
D. Cả ba khẳng định đều đúng 2
x x 2 , x 2
Câu 33. Cho hàm số f x 2 x 4
Hàm số liên tục tại x 2 khi. a,x 2 3 3 1 1 A. a B. a C. a D. a 4 4 4 4 x x
Câu 34. Hàm số f x 3 1, 0
. Tập hợp các giá trị của tham số a, để hàm số liên tục trên là: ax 1, x 0 A. B. C. 1 D. 3 x 4 6 , x 2
Câu 35. Cho hàm số f x x 2
> tập hợp các giá trị a để hàm số liên tục tại x 2 là: a,x 2 1 1 1 A. 1 B. C. D. 2 6 6 2 6 3 x 8 , x 2 2 x 4
Câu 36. Cho hàm số f x a, x 2
. Tập hợp các giá trị của a để hàm số liên tục tại x 2 là: x tan , x 2 4 A. 3 B. 1 C. D. 2
Câu 37. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
I. Nếu hàm số f liên tục trên a; b
và f x f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm thuộc a;b
II. Nếu hàm số f liên tục trên a; b
và f x f b 0 thì phương trình f x 0 không có nghiệm thuộc a;b A. I B.II C. I và II D. I và II đều sai
x 3 1,x 1
Câu 38. Hàm số f x 3 x 1 , x 1 2 x x A. Liên tục trên
B. liên tục tại mọi đuểm trừ điểm x 1
C. Liên tục tại mọi điểm x 3; trừ x 1
D. Liên tục tại mọi điểm x 3;
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 3 4 x x
, x 0, x 1 2 x x
Câu 39. Cho hàm số f x 3, x 1 1,x 0
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. hàm số f liên tục tại mọi điểm x
B. Hàm số f liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc 1 ;0
C. hàm số f liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1
D. Hàm số f liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 xcosx,x 0 x
Câu 40. Hàm số f x 2 ,0 x 1 x 1 3 x ,x 1 A. Liên tục trên
B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0
C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1
D. Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x 0 và x 1 ĐÁP ÁN 1C 2D 3A 4B 5B 6A 7C 8D 9B 10B 11B 12D 13A 14C 15C 16D 17A 18A 19B 20D 21D 22C 23D 24A 25B 26D 27B 28D 29A 30D 31C 32D 33B 34B 35B 36C 37A 38D 39A 40C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG | 22
Document Outline
- TAP 1-GIOI HAN HAM SO - LOP 11
- TAP 2. LIEN TUC HAM SO-LOP 11
- TAP 3. BAI TAP TRAC NGHIEM GIOI HAN-LOP 11
- Untitled