Chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Tài liệu gồm 08 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 7 trong quá trình học tập chương trình Toán 7 

Chủ đề:
Môn:

Toán 7 2.1 K tài liệu

Thông tin:
8 trang 10 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Tài liệu gồm 08 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 7 trong quá trình học tập chương trình Toán 7 

62 31 lượt tải Tải xuống
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Mục tiêu
Kiến thức
+ Phát biểu được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác.
Kĩ năng
+ Vận dụng được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác trong các bài toán.
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí
Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ
cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Hệ quả
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ
cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của
hai cạnh còn lại.
Cho
ABC
ta có các bất đẳng thức sau:
.
AB AC BC
.
AB BC AC
.
AC BC AB
AB AC BC AB AC
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh
Phương pháp giải
- Ba đoạn thẳng a, b, c lập thành một tam giác nếu
a b c
b a c
c a b
hoặc
.
b c a b c
- Trong trường hợp c định được a số lớn nhất
trong ba số a, b, c thì điều kiện tồn tại tam giác ch
cần
a b c
Bước 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác xét các
trường hợp
a b c
b a c
c a b
hoặc
.
b c a b c
Bước 2. Lựa chọn giá trị thích hợp.
dụ: Cho tam giác ABC có
1 , 7 .
BC cm AC cm
Tìm độ dài cạnh AB, biết độ
dài này là một số nguyên (cm).
Hướng dẫn giải
Gọi độ dài cạnh ABx (cm)
0 .
x
Theo bất đẳng thức trong tam giác ABC, ta
BC AC AB BC AC
1 7 1 7 6 8.
x x
x là số nguyên nên
7.
x
Vậy độ dài cạnh
7 .
AB cm
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân. Tính AC, BC biết chu vi tam giác ABC là 23 cm và
5 .
AB cm
Trang 3
Hướng dẫn giải
- Nếu AB là cạnh bên và
ABC
cân tại A, ta có
5 .
AB AC cm
Do chu vi tam giác ABC bằng 23 cm nên
23 23 5 5 13 13 5 8 5
BC AB AC cm BC AB AC
hay
BC AB AC
(không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
- Nếu AB là cạnh bên và
ABC
cân tại B ta có
5 13 .
AB BC cm AC cm
Lại có
13 5 5
AC AB BC
(không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
- Nếu AB là cạnh đáy thì
ABC
cân tại C.
Suy ra
23 5 : 2 9
AC BC cm
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
Vậy
9 .
AC BC cm
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác?
a) 3cm; 4cm; 5cm. b) 2m; 3m; 6m.
Câu 2: Cho tam giác MNP với hai cạnh
1 , 3 .
MN cm NP cm
Hãy tìm độ dài cạnh MP, biết rằng độ dài
này là một số nguyên (cm). Tam giác MNP là tam giác gì?
Câu 3: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết
a)
7 , 13 .
AB cm AC cm
b)
5 , 12 .
AB m AC m
Dạng 2: Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài
Phương pháp giải
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về
bất đẳng thức.
- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
.
a b a c b c
- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều
.
a b
a c b d
c d
Ví dụ: Cho tam giác ABC, điểm N thuộc cạnh AB.
a) So sánh NC với
.
AN AC
b) Chứng minh
.
NB NC AB AC
Hướng dẫn giải
a) Xét
,
ANC
ta có
NC AN AC
(bất đẳng thức tam giác).
b) Theo câu a) ta có
Trang 4
NC AN AC NB NC NB AN AC
NB NC AB AC
(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho
ABC
M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
.
2 2
AB AC AB AC
AM
Hướng dẫn giải
Trên tia AM lấy điểm D sao cho
.
AM MD
Xét
AMB
DMC
;
AM MD AMB DMC
ối đỉnh);
BM MC
(giả thiết).
Do đó
AMB DMC
(c.g.c)
AB DC
(hai cạnh tương ứng).
Xét
ACD
DC AC AD AC DC
(bất đẳng thức tam
giác).
Do
AB DC
(chứng minh trên);
2
AD AM
nên
ta có
2 .
AB AC AM AB AC
Vậy
.
2 2
AB AC AB AC
AM
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tam giác OBC cân tại O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng minh
.
AB AC
Câu 2: Cho góc
xOy
nhọn, trên Ox lấy hai điểm A B (điểm A nằm giữa hai điểm O B). Trên Oy lấy
hai điểm CD (điểm C nằm giữa OD). Chứng minh
.
AB CD AD BC
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh
.
2
AB BC CA
MA MB MC
Câu 4: Cho tam giác ABC
AB AC
AD là phân giác góc A
D BC
Gọi E là một điểm bất kỳ
thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh
.
AC AB EC EB
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A
3; 4.
AB AC
Gọi I trung điểm của AC, d đường trung
trực của đoạn AC và điểm M tùy ý trên d.
a) Chứng minh rằng
5.
MA MB
b) Xác định vị trí của M để tổng
MA MB
nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Trang 5
Câu 6: Cho hai điểm A B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao
cho tổng
AC CB
là nhỏ nhất.
Câu 7: Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d AB không song song với d.
Một điểm H di động trên d. Tìm vị trí của H sao cho
HA HB
là lớn nhất.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh
Câu 1.
a) 3cm; 4cm; 5cm.
Xét bộ ba cạnh: 3cm; 4cm; 5cm.
Ta có 5cm là số lớn nhất mà
3 4 5
(thỏa mãn) nên bộ ba cạnh 3cm; 4cm; 5cm. lập thành một tam giác.
b) 2m; 3m; 6m.
Xét bộ ba cạnh: 2m; 3m; 6m.
Ta 6m số lớn nhất
2 3 6
(không thỏa n bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba cạnh 2m; 3m;
6m không lập thành một tam giác.
Câu 2.
Gọi độ dài cạnh MP x (cm)
0 .
x
Theo bất đẳng thức trong tam giác MNP ta có
MN NP MP MN NP
1 3 1 3 2 4.
x x
x là số nguyên nên
3.
x
Vậy độ dài cạnh
3 .
MP cm
Ta có
3
MP NP cm
nên
MNP
cân tại P.
Câu 3.
a) Gọi độ dài cạnh BC x (cm)
0 .
x
Xét ABC ta có
AB AC BC AB AC
(bất đẳng thức tam giác)
7 13 7 13 6 20.
x x
Tam giác ABC là tam giác cân
7
BC cm
hoặc
13 .
BC cm
- Nếu
7
BC cm
thì chu vi tam giác ABC
7 13 7 27 .
AB AC BC cm
- Nếu
13
BC cm
thì chu vi tam giác ABC
7 13 13 33 .
AB AC BC cm
b) Gọi độ dài cạnh BC x (cm)
0 .
x
Xét ABC ta có
Trang 6
AB AC BC AB AC
(bất đẳng thức tam giác)
5 12 5 12 7 17.
x x
Tam giác ABC là tam giác cân nên
12 .
BC cm
Chu vi tam giác ABC
5 12 12 29 .
AB AC BC cm
Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài
Câu 1.
Xét tam giác OBA
AO OB AB
(bất đẳng thức tam giác)
.
AC OC OB AB
Lại có
OB OC
(
OBC
cân tại O)
AC AB
(điều
phải chứng minh).
Câu 2.
Gọi F là giao điểm của ADBC.
Xét
,
AFB
ta có
AB AF FB
(bất đẳng thức tam giác).
1
Xét
,
CFD
ta có
CD CF FD
(bất đẳng thức tam giác).
2
Từ
1 , 2
AB CD AF FB CF FD AD BC
hay
.
AB CD AD BC
(điều phải chứng minh).
Câu 3.
Xét
,
AMB
ta có
MA MB AB
(bất đẳng thức tam giác).
1
Xét
,
AMC
ta có
MA MC AC
(bất đẳng thức tam giác).
2
Xét
,
BMC
ta có
MB MC BC
(bất đẳng thức tam giác).
3
Cộng từng vế
1 , 2
3
ta được
MA MB MA MC MB MC AB AC BC
2 .
MA MB MC AB AC BC
Trang 7
Vậy
2
AB AC BC
MA MB MC
(điều phải chứng minh).
Câu 4.
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho
.
AF AB
Xét
ABE
AFE
AB AF
(cách vẽ);
BAE FAE
(giả thiết); AE chung.
Do đó
ABE AFE
(c.g.c)
.
BE EF
(hai cạnh tương
ứng)
Xét
EFC
FC EC EF
(bất đẳng thức tam giác).
BE EF
nên
. 1
FC EC EB
Lại
FC AC AF
mà
AF AB
n
. 2
FC AC AB
Từ
1
2
suy ra
.
AC AB EC EB
Câu 5.
a) Xét
ABC
vuông tại A, ta
2 2 2
AB AC BC
(định lí Pi-ta-go)
2 2 2
3 4
BC
2 2
5 5.
BC BC
Xét
AMI
CMI
90
MIA MIC
(MI trung trực của AC);
AI CI
(giả thiết); MIcạnh chung.
Do đó
AMI CIM
(hai cạnh góc vuông)
MA MC
(hai cạnh ơng ứng)
.
MA MB MC MB
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong
,
BMC
ta có
5 5.
MB MC BC MA MB
b) Vì
5
MA MB
(chứng minh trên) n
MA MB
nhỏ nhất khi và chỉ khi
.
MA MB BC
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đoạn BC
,
M J
với J là giao điểm của d BC.
Trang 8
Câu 6.
Giả sử C giao điểm của đoạn thẳng AB với
đường thẳng d.
C nằm giữa A B nên ta
. 1
AC CB AB
Lấy điểm
C
bất kỳ trên d
.
C C
Nối
, .
AC BC
Sử dụng bất đẳng thức tam giác vào
,
ABC
ta có
. 2
AC BC AB
Từ
1
2
suy ra
.
AC BC AC CB
Vậy C là điểm cần tìm.
Câu 7.
AB không song song với d nên AB cắt d tại I.
Với điểm H bất thuộc d H không trùng với I
thì ta có tam giác HAB.
Xét tam giác HAB
.
HA HB AB
Khi
H I
thì
.
HA HB AB
Vậy
HA HB
lớn nhất bằng AB, khi đó
H I
là giao điểm của hai đường thẳng dAB.
| 1/8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức
+ Phát biểu được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác.  Kĩ năng
+ Vận dụng được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác trong các bài toán. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định lí
Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ
cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Cho ABC ta có các bất đẳng thức sau: • AB  AC  BC. • AB  BC  AC. • AC  BC  A . B Hệ quả
AB  AC  BC  AB  AC.
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ
cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh Phương pháp giải
- Ba đoạn thẳng a, b, c lập thành một tam giác nếu Ví dụ: Cho tam giác ABC có a  b  c BC  1cm, AC  7c .
m Tìm độ dài cạnh AB, biết độ 
b  a  c hoặc b  c  a  b  . c
dài này là một số nguyên (cm). c  a  b  Hướng dẫn giải
- Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất Gọi độ dài cạnh AB là x (cm) x  0.
trong ba số a, b, c thì điều kiện tồn tại tam giác chỉ cần a  b  c
Bước 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác xét các Theo bất đẳng thức trong tam giác ABC, ta có trường hợp
BC  AC  AB  BC  AC a  b  c 
b  a  c hoặc b  c  a  b  . c
 1 7  x  1 7  6  x  8. c  a  b 
Vì x là số nguyên nên x  7.
Bước 2. Lựa chọn giá trị thích hợp.
Vậy độ dài cạnh AB  7c . m Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân. Tính AC, BC biết chu vi tam giác ABC là 23 cm và AB  5c . m Trang 2 Hướng dẫn giải
- Nếu AB là cạnh bên và ABC cân tại A, ta có AB  AC  5cm.
Do chu vi tam giác ABC bằng 23 cm nên
BC  23  AB  AC  235 5 13cm  BC  AB 13 5  8  5  AC hay BC  AB  AC
(không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
- Nếu AB là cạnh bên và ABC cân tại B ta có AB  BC  5cm  AC  13cm.
Lại có AC  AB  BC 13 5  5 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
- Nếu AB là cạnh đáy thì ABC cân tại C.
Suy ra AC  BC  23  5 : 2  9cm (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
Vậy AC  BC  9cm.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác? a) 3cm; 4cm; 5cm. b) 2m; 3m; 6m.
Câu 2: Cho tam giác MNP với hai cạnh MN  1c , m NP  3c .
m Hãy tìm độ dài cạnh MP, biết rằng độ dài
này là một số nguyên (cm). Tam giác MNP là tam giác gì?
Câu 3: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết a) AB  7cm, AC  13cm. b) AB  5m, AC  12m.
Dạng 2: Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài Phương pháp giải
- Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về Ví dụ: Cho tam giác ABC, điểm N thuộc cạnh AB. bất đẳng thức.
a) So sánh NC với AN  AC.
- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức
b) Chứng minh NB  NC  AB  AC.
a  b  a  c  b  . c Hướng dẫn giải
- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều
a  b ac  bd. c  d a) Xét ANC, ta có
NC  AN  AC (bất đẳng thức tam giác). b) Theo câu a) ta có Trang 3
NC  AN  AC  NB  NC  NB  AN  AC
 NB  NC  AB  AC (điều phải chứng minh). Ví dụ mẫu AB  AC AB  AC
Ví dụ. Cho ABC có M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng  AM  . 2 2 Hướng dẫn giải
Trên tia AM lấy điểm D sao cho AM  MD. Xét AMB và DMC có  
AM  MD; AMB  DMC (đối đỉnh); BM  MC (giả thiết). Do đó AMB  D  MC (c.g.c)
 AB  DC (hai cạnh tương ứng). Xét ACD có
DC  AC  AD  AC  DC (bất đẳng thức tam giác).
Do AB  DC (chứng minh trên); AD  2AM nên ta có
AB  AC  2AM  AB  AC. AB  AC AB  AC Vậy  AM  . 2 2
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tam giác OBC cân tại O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng minh AB  AC. Câu 2: Cho góc 
xOy nhọn, trên Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa hai điểm O và B). Trên Oy lấy
hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D). Chứng minh AB  CD  AD  BC.
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh AB BC CA MA MB MC      . 2
Câu 4: Cho tam giác ABC có  AB  AC và AD là phân giác góc A D  BC. Gọi E là một điểm bất kỳ
thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC  AB  EC  EB.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  3; AC  4. Gọi I là trung điểm của AC, d là đường trung
trực của đoạn AC và điểm M tùy ý trên d.
a) Chứng minh rằng MA  MB  5.
b) Xác định vị trí của M để tổng MA  MB nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Trang 4
Câu 6: Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao
cho tổng AC  CB là nhỏ nhất.
Câu 7: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song song với d.
Một điểm H di động trên d. Tìm vị trí của H sao cho HA  HB là lớn nhất.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh Câu 1. a) 3cm; 4cm; 5cm.
Xét bộ ba cạnh: 3cm; 4cm; 5cm.
Ta có 5cm là số lớn nhất mà 3  4  5 (thỏa mãn) nên bộ ba cạnh 3cm; 4cm; 5cm. lập thành một tam giác. b) 2m; 3m; 6m.
Xét bộ ba cạnh: 2m; 3m; 6m.
Ta có 6m là số lớn nhất mà 2  3  6 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba cạnh 2m; 3m;
6m không lập thành một tam giác. Câu 2.
Gọi độ dài cạnh MP là x (cm)  x  0.
Theo bất đẳng thức trong tam giác MNP ta có
MN  NP  MP  MN  NP
1 3  x  1 3  2  x  4.
Vì x là số nguyên nên x  3.
Vậy độ dài cạnh MP  3cm.
Ta có MP  NP  3cm nên MNP cân tại P. Câu 3.
a) Gọi độ dài cạnh BC là x (cm)  x  0. Xét ABC ta có
AB  AC  BC  AB  AC (bất đẳng thức tam giác)
 7 13  x  7 13  6  x  20.
Tam giác ABC là tam giác cân  BC  7cm hoặc BC  13c . m
- Nếu BC  7cm thì chu vi tam giác ABC là AB  AC  BC  7 13  7  27cm.
- Nếu BC  13cm thì chu vi tam giác ABC AB  AC  BC  7 13 13  33cm.
b) Gọi độ dài cạnh BC là x (cm)  x  0. Xét ABC ta có Trang 5
AB  AC  BC  AB  AC (bất đẳng thức tam giác)  5 12  x  5 12  7  x  17.
Tam giác ABC là tam giác cân nên BC  12cm.
Chu vi tam giác ABC là AB  AC  BC  5 12 12  29cm.
Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài Câu 1. Xét tam giác OBA có
AO  OB  AB (bất đẳng thức tam giác)  AC  OC  OB  AB.
Lại có OB  OC ( OBC cân tại O)  AC  AB (điều phải chứng minh). Câu 2.
Gọi F là giao điểm của AD và BC.
Xét AFB, ta có AB  AF  FB (bất đẳng thức tam giác).   1
Xét CFD, ta có CD  CF  FD (bất đẳng thức tam giác). 2 Từ  
1 ,2 có AB CD  AF  FB CF  FD  AD  BC hay
AB  CD  AD  BC. (điều phải chứng minh). Câu 3. Xét AMB, ta có
MA  MB  AB (bất đẳng thức tam giác).   1 Xét AMC, ta có
MA  MC  AC (bất đẳng thức tam giác). 2 Xét BMC, ta có
MB  MC  BC (bất đẳng thức tam giác). 3 Cộng từng vế  
1 ,2 và 3 ta được
MA  MB  MA  MC  MB  MC  AB  AC  BC
 2MA  MB  MC  AB  AC  BC. Trang 6 AB AC BC Vậy MA MB MC     
(điều phải chứng minh). 2 Câu 4.
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF  AB.
Xét ABE và AFE có AB  AF (cách vẽ);   BAE  FAE (giả thiết); AE chung. Do đó ABE  A
 FE (c.g.c)  BE  EF. (hai cạnh tương ứng)
Xét EFC có FC  EC  EF (bất đẳng thức tam giác).
Mà BE  EF nên FC  EC  E . B   1 Lại có FC  AC  AF mà AF  AB nên FC  AC  A . B 2 Từ  
1 và 2 suy ra AC  AB  EC  EB. Câu 5.
a) Xét ABC vuông tại A, ta có 2 2 2
AB  AC  BC (định lí Pi-ta-go) 2 2 2  3  4  BC 2 2  5  BC  BC  5. Xét A  MI và CMI có  
MIA  MIC  90 (MI là trung trực của AC);
AI  CI (giả thiết); MI là cạnh chung.
Do đó AMI  CIM (hai cạnh góc vuông)  MA  MC (hai cạnh tương ứng)  MA  MB  MC  M . B
Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong BMC, ta có
MB  MC  BC  5  MA  MB  5.
b) Vì MA  MB  5 (chứng minh trên) nên
MA  MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MA  MB  BC.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên đoạn BC
 M  J, với J là giao điểm của d và BC. Trang 7 Câu 6.
Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.
Vì C nằm giữa A và B nên ta có AC  CB  A . B   1
Lấy điểm C bất kỳ trên d C  C. Nối AC , BC .
Sử dụng bất đẳng thức tam giác vào ABC , ta có AC  BC  A . B 2 Từ  
1 và 2 suy ra AC BC  AC C . B
Vậy C là điểm cần tìm. Câu 7.
Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại I.
Với điểm H bất kì thuộc d mà H không trùng với I thì ta có tam giác HAB.
Xét tam giác HAB có HA  HB  A . B
Khi H  I thì HA  HB  AB.
Vậy HA  HB lớn nhất là bằng AB, khi đó H  I
là giao điểm của hai đường thẳng d và AB. Trang 8