Chuyên đề tam giác cân

Tài liệu gồm 16 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề tam giác cân, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 7 trong quá trình học tập chương trình Toán 7

Chủ đề:
Môn:

Toán 7 2.1 K tài liệu

Thông tin:
16 trang 10 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề tam giác cân

Tài liệu gồm 16 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề tam giác cân, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 7 trong quá trình học tập chương trình Toán 7

49 25 lượt tải Tải xuống
Trang 1
BÀI 6. TAM GIÁC CÂN
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
+ Nắm được các tính chất và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều.
Kĩ năng
+ Biết vẽ một tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều.
+ Nhận biết chứng minh được một tam giác tam giác cân, tam giác vuông cân tam giác
đều.
+ Vận dụng các tính chất của tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều để tính số đo góc,
chứng minh các góc hay các cạnh bằng nhau.
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tam giác cân
Định nghĩa
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tam giác ABC có
AB AC
được gọi tam giác
ABC cân đỉnh A, trong đó:
* AB, AC là cạnh bên và BC là cạnh đáy.
*
,
B C
là các góc ở đáy;
là góc ở đỉnh.
Tính chất
Định 1: Trong một tam giác cân, hai góc đáy
bằng nhau. Nếu ∆ABC cân đỉnh A thì
B C
.
Định 2: Nếu một tam giác hai góc bằng nhau
thì tam giác đó tam giác cân. Nếu ∆ABC
B C
thì ∆ABC cân đỉnh A.
Tam giác vuông cân
Tam giác vuông cân tam giác vuông hai cạnh
góc vuông bằng nhau.
Nếu ∆MNP
MN MP
MN MP
thì ∆MNP là tam giác
vuông cân tại M.
2. Tam giác đều
Định nghĩa
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Tính chất
* Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60°.
∆ABC là tam giác đều thì
60
AB BC CA
A B C
* Nếu một tam giác ba góc bằng nhau thì tam
giác đó là tam giác đều.
* Nếu một tam giác cân một góc bằng 60° thì
tam giác đó là tam giác đều.
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác đều
Phương pháp giải
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam
giác đều.
1. Một tam giác là tam giác cân nếu:
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tam giác có hai góc bằng nhau.
2. Một tam giác là tam giác đều nếu:
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tam giác có ba góc bằng nhau.
- Tam giác cân có một góc bằng 60°.
Bước 1. Xác định cặp cạnh (góc) bằng nhau của
tam giác cần chứng minh thông qua phân ch dữ
kiện bài toán.
Bước 2. Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng
bằng nhau và kết luận.
Quá trình chứng minh, có thể cần dựng thêm đường
phụ.
dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Gọi BD,CE
lần lượt phân giác trong góc B, C của tam giác
ABC. Chứng minh rằng tam giác ADE tam giác
cân.
Hướng dẫn giải
Phân tích: hai cách để chứng minh ∆ADE cân
là ta chứng minh
AD AE
hoặc
ADE AED
.
Ta thể chứng minh cặp góc (cạnh) bằng nhau
qua việc xét cặp tam giác bằng nhau.
+) Nếu chứng minh
AD AE
ta thể ghép vào
cặp tam giác ∆ADB và ∆AEC.
+) Cách còn lại khó khăn hơn
;
ADE AED
chỉ là
góc của ∆ADE.
Ta có:
1
2
ABD DBC ABC
(do BD là phân giác
của
ABC
);
1
2
ACE ECB ACB
(do CE là phân
giác của
ACB
).
Mà ∆ABC cân đỉnh A nên
AB AC
ABC ACB ABD ACE
.
Xét ∆ADB và ∆AEC có
BAD CAE
(góc chung),
,
AB AC ABD ACE
Do đó
. .
ADB AEC g c g
.
Suy ra
AD AE
(cặp cạnh tương ứng).
Vậy ∆ADE cân tại A.
Trang 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A
D BC
. Trên cạnh AB lấy điểm I,
trên cạnh AC lấy điểm H sao cho
AI AH
. Chứng minh rằng tam giác IDH là tam giác cân.
Hướng dẫn giải
Do AD là phân giác trong góc A nên
1
2
BAD CAD BAC
.
Xét ∆ADI và ∆ADH có
AI AH
(giả thiết),
IAD HAD
(chứng minh trên),
AD chung.
Do đó
. .
ADI ADH c g c DI DH
(cặp cạnh tương ứng).
Vậy tam giác DHI là tam giác cân đỉnh D.
dụ 2. Cho tam giác ABC
120
A
. Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm D sao cho
AD AB AC
. Chứng minh rằng tam giác BCD đều.
Hướng dẫn giải
Do AD là phân giác trong góc A nên
1
60
2
BAD CAD BAC
.
Trên tia AC lấy điểm E sao cho
AE AD
.
Do
AD AB AC
(giả thiết) nên ta có
AE AB AC
.
AE AC
hay C nằm giữa A và E.
Khi đó, ta có
AC EC AB AC EC AB
.
Xét ∆ADE có
, 60
AD AE DAE
. Suy ra ∆DAE đều.
Suy ra
, 60
DA DE AE DAE DEA ADE
.
Trang 5
Xét ∆ABD và ∆ECD
AB EC
(chứng minh trên),
60 ,
BAD CED DA DE
(chứng minh trên).
Do đó
. .
ABD ECD c g c
.
Suy ra
DB DC
(hai cạnh tương ứng),
ADB CDE
(hai góc tương ứng). (1)
Theo chứng minh trên, ta có
60 60
ADE ADC CDE
.
Do đó từ (1), ta có
60 60
ADC ADB BDC
.
Vậy tam giác BCD có
DB DC
60
BDC
nên ∆BCD đều.
Định hướng:
Cần chứng minh
60
DB DC
BDC
Bài tập tự luyện dạng 1
Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 2
Câu 1: Tam giác cân là tam giác
A. có hai đường cao bằng nhau.
B. có hai đường trung tuyến bằng nhau.
C. có hai cạnh bằng nhau.
D. có hai tia phân giác trong bằng nhau.
Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A các đường trung tuyến BD, CE. Tam giác nào dưới đây tam
giác cân?
A. ∆ABD. B. ∆BCE. C. ∆ADE. D. ∆BDE.
Câu 3: Cho tam giác ABC có
100 , 40
A C
.
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD AB
. Chứng minh rằng tam giác BCD tam giác
vuông.
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AD là phân giác trong góc A
D BC
. Đường thẳng qua D song
song với AB cắt AC tại I, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh rằng ∆IDK
tam giác cân.
Dạng 2: Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau
Phương pháp giải
* Sử dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các
Trang 6
* Sử dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác.
Bước 1. Xác định cặp góc bằng nhau qua tính chất
của tam giác cân.
Bước 2. Sử dụng tính chất tổng ba góc trong tam
giác để tính góc tương ứng.
góc còn lại của tam giác ABC nếu
a)
80
A
.
b)
75
B
.
Hướng dẫn giải
Do tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có
B C
.
Mà ta luôn có
180
A B C
.
a) Với
80
A
ta có
180 180 80 100
B C A
100
50
2
B C
.
b) Do
75
B
nên
75
C
.
Suy ra
180 180 75 75 30
A B C
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết
1
2
AB BC
. Tính số đo các góc của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
DA BA
.
Suy ra 2
BD DA AB AB BC
. (1)
Xét ∆CAB và ∆CAD có
90
chung
AB AD
CAB CAD
CA
Trang 7
Do đó
. .
CAB CAD c g c CD CB
(hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có
BC CD DB
nên ∆BCD là tam giác đều.
Suy ra
60
CBD
hay
60
B
.
Mà ∆ABC vuông tại A nên
90 90 60 30
B C C
.
Vậy ∆ABC có
90 , 60 , 30
A B C
.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu biết
80
A
: 1: 4
B C
?
Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ
AD BC D BC
BE AC E AC
. Gọi H giao điểm
của AD BE. Biết rằng
AH BC
, tính số đo
BAC
.
Câu 3: Tam giác ABC là tam giác gì nếu
3
150
2
A B
1
2 150
2
A B
?
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải
* Sử dụng tính chất: Tam giác cân hai cạnh bên
bằng nhau (dành cho hai đoạn thẳng một đầu
mút chung).
* Gắn các đoạn thẳng cần chứng minh vào hai cạnh
tương ng của hai tam giác bằng nhau (có thể áp
dụng với mọi cặp đoạn thẳng).
Bước 1. Xác định phương pháp chứng minh ơng
ứng đối với hai đoạn thẳng.
Bước 2. Lập luận và chứng minh.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh
AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
AM AN
. Chứng minh rằng
CM BN
.
Hướng dẫn giải
Do CM BN hai đoạn thẳng không đầu mút
chung nên ta sẽ chứng minh
CM BN
thông qua
hai tam giác bằng nhau.
Vì ∆ABC cân đỉnh A nên
AB AC
B C
.
Suy ra
AM MB AN NC
Lại có
AM AN
nên
BM CN
.
Xét ∆BCM và ∆CBN có
BM CN
(chứng minh trên),
MBC NCB
(chứng minh trên),
Trang 8
BC là cạnh chung
Do đó
. .
BCM CBN c g c
Suy ra
CM BN
(hai cạnh tương ứng).
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh huyền BC.
Chứng minh rằng
1
2
MA MB MC BC
.
Hướng dẫn giải
Gọi M’ là điểm nằm trên cạnh BC thỏa mãn
M B M A
.
Khi đó ∆M’AB cân đỉnh M’.
M BA M AB
hay
M AB B
. (1)
Do ∆ABC vuông tại A nên ta có
90
B C A
.
B C M AB M AC
(2)
Từ (1) và (2), ta được
M AB C M AB M AC
.
Suy ra
C M AC
hay
M CA M AC
.
Do đó ∆M’AC cân đỉnh M’, suy ra
M A M C
.
Kết hợp với
M B M A
(cách dựng), ta có
M B M C M A
nên M' là trung điểm của đoạn BC.
Vậy
M M
nên ta chứng minh được
MB MC MA
.
Phân tích: Ta cần thiết lập mối quan hệ giữa MA MB. vậy, ta sẽ chứng minh bài toán dựa trên ý
tưởng: Gọi điểm M' thỏa mãn
'
M BC
M A M B
sau đó ta chứng minh
'
M M
.
Bình luận: Bạn đọc thể tự chứng minh chiều ngược của bài toán trên: “Cho tam giác MAB cân đỉnh
M. Trên tia đối của tia MB, lấy điểm C sao cho M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác ABC
là tam giác vuông”.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A
36
A
. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Chứng
minh rằng
DA DB BC
.
Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi M trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D. Từ D kẻ
đường vuông góc với AM tại K và kéo dài cắt cạnh AC tại E. Chứng minh
AD AE
.
Trang 9
Dạng 4: Các bài toán tổng hợp
Phương pháp giải
Sử dụng kết hợp nh chất của tam giác cân, quan hsong song một skết quả đã được chứng minh
trong các dạng trước đó.
Ví dụ mẫu
dụ. Cho tam giác ABC cân đỉnh A có M, N lần lượt trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng
//
MN BC
1
2
MN BC
.
Hướng dẫn giải
Do ABC cân đỉnh A nên
AB AC
ABC ACB
.
Lại do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên
1 1
,
2 2
AM BM AB AN CN AC
Do đó AM AN
∆AMN cân đỉnh A
AMN ANM
.
Mà ∆AMN có
180
AMN ANM MAN
.
180
90
2 2
MAN A
AMN ANM
.
Mặt khác
180
ABC ACB BAC
180
90
2 2
BAC A
ABC ACB
.
Suy ra
90
2
A
AMN ABC
. Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên
//
MN BC
.
Qua M dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh BC tại điểm K.
MKB ACB
(đồng vị). Mà
ABC ACB
nên
MKB ABC
.
Xét ∆MBK có
MKB MBK
nên ∆MBK cân đỉnh M
MK MB
.
Ta có
MK MB MA AN CN
.
Lại có
//
MK AC
nên
BMK MAN
(đồng vị).
Xét ∆AMN và ∆MBK có
, ,
AMN MBK AM MB BMK MAN
.
Trang 10
Do đó
. .
AMN MBK g c g MN BK
(hai cạnh tương ứng). (1)
Xét ∆MNC và ∆CKM có
NMC KCM
(do
//
MN BC
), cạnh CM chung,
NCM KMC
(do
//
MK AC
).
Do đó
. .
MNC CKM g c g MN CK
(hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1)và (2) suy ra
MN BK CK
.
BK CK BC
nên K là trung điểm của BC.
Do đó
2
BC
MN BK CK
(điều phải chứng minh).
Hướng tư duy:
* Chứng minh quan hệ song song thể sử dụng mối quan hệ về góc (ưu tiên). Do đó ta chứng minh cặp
góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.
* Chứng minh hai góc bằng nhau qua tính chất của tam giác cân hoặc hai đường thẳng song song.
* Chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng thể sử dụng các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác
bằng nhau.
Bình luận: Đây bài toán điển hình trong việc sử dụng các mối quan hệ từ tam giác cân cho đến các
đường thẳng song song. Có thể mở rộng kết quả của bài toán này cho tam giác ABC bất kỳ: Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó, ta có
1
// ,
2
MN BC MN BC
.
Lưu ý việc chứng minh song song (
//
MN BC
) thể thực hiện thông qua việc dựng đường thẳng
//
MN BC
với
N BC
. Sau đó, ta tìm cách chỉ ra
N N
.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho tam giác ABC
2
BC AB
, M trung điểm của cạnh BC, Dtrung điểm của BM. Chứng
minh rằng 2
AC AD
.
Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A có
90
A
kBD vuông góc với AC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao
cho
AE AD
. Chứng minh rằng
a)
//
DE BC
.
b)
CE AB
.
Trang 11
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều
Câu 1: Chọn C
Câu 2: Chọn C
Xét ∆ADE có
1 1
,
2 2
AE AB AD AC
AB AC
(do ∆ABC cân), nên
AE AD
.
Vậy ∆ADE cân tại A.
Câu 3:
a) Xét ∆ABC có
180
A B C
180 180 100 40 40
B A C
40
B C
.
Do đó, ∆ABC cân đỉnh A.
b) ∆ABC cân tại A nên
AB AC
. Mà
AB AD
(giả thiết)
AC AD
∆ACD cân đỉnh A.
Xét ∆ACD có
BAC
là góc ngoài đỉnh A
100
ACD ADC BAC
.
Vậy
100
50
2
ACD ADC
.
Trang 12
Khi đó
40 50 90
BCD BCA ACD
.
Do đó ∆BCD vuông tại C.
Câu 4:
Ta có
KAD IAD
(tính chất đường phân giác).
//
DI AB IDA DAK
(hai góc so le trong).
//
DK AC KDA DAI
(hai góc so le trong).
Suy ra
IDA KDA
.
Xét ∆ADI và ∆ADK có
KAD IAD
, AD chung,
KDA IDA
.
Do đó
. .
ADI ADK g c g
DI DK
(hai cạnh tương ứng).
Do đó ∆IDK cân tại D.
Dạng 2. Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau
Câu 1:
Xét ∆ABC có
180
A B C
( tổng ba góc trong tam giác). Vì
80
A
nên
180 100
B C A
Theo giả thiết, ta có
1 4
B C
. Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có:
100
20 20 , 4.20 80
1 4 1 4 5
B C B C
B C
.
Vậy
80
A C
nên ∆ABC cân đỉnh B.
Câu 2:
Trang 13
Ta có
90
DAC DCA
(do ∆ADC vuông tại D) và
90
EBC ECB
(do ∆BCE vuông tại E).
Suy ra
90
DAC DCA ECB EBC DAC CBE
.
Xét ∆AHE và ∆BCE có
90 ,
AEH BEC AH BC
(giả thiết),
HAE CBE
(chứng minh trên).
Do đó
AHE BCE
(cạnh huyền - góc nhọn)
AE BE
(hai cạnh tương ứng).
Xét ∆ABE có
, 90
AE BE AEB
. Suy ra ∆AEB là tam giác vuông cân tại E.
Do đó
45
BAC BAE
.
Câu 3:
Ta có
3 3
150 150
2 2
A B A B
.
1 3 1 1 5
2 150 2 150 150 300 3 150 150 60
2 2 2 2 2
A B B B B B B B
.
Suy ra
3
150 .60 60
2
A
.
Vậy ∆ABC có
60
A B
, suy ra ∆ABC là tam giác đều.
Dạng 3. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
Câu 1:
Ta có
,
AB AC B C
(do ∆ABC cân đỉnh A).
180
A B C
(tổng ba góc trong một tam giác).
Trang 14
144
36 36 180 144 72
2
A B C B C B C
.
Do BD là tia phân giác góc B nên
1
36
2
DBC DBA B
.
Xét ∆ABD có
36
DAB DBA
nên ∆DAB cân đỉnh D
DB DA
(1)
BDC
là góc ngoài đỉnh D của ∆ABD nên
36 36 72
BDC DAB DBA
.
Xét ∆BCD có
72
BDC BCD
nên ∆BCD cân đỉnh B
BD BC
. (2)
Từ (1) và (2), ta được
DA DB BC
.
Câu 2:
Ta có ∆ABC cân đỉnh A nên
,
AB AC ABC ACB
.
Xét ∆ABM và ∆ACM có
,
AB AC BM CM
(giả thiết), AM chung.
Do đó
. .
ABM ACM c c c AMB AMC
(hai góc tương ứng).
180
AMB AMC BMC
nên
90
AMB AMC
AM BC
.
Ta có
DE AM
(giả thiết)
//
DE BC
(cùng vuông góc với AM)
,
ADE ABC AED ACB
(các góc đồng vị).
ABC ACB
nên
ADE AED
.
Suy ra ∆ADE cân đỉnh A. Suy ra
AD AE
.
Dạng 4. Các bài toán tổng hợp
Câu 1:
Trang 15
Do M là trung điểm của BC nên
2
BC
BM CM AB
.
Gọi K là trung điểm của AB nên
2
AB
AK BK .
Ta có D là trung điểm của BM nên
2
BM
BD MD
.
Suy ra
AK BK BD MD
.
Xét ∆ABD và ∆MBK có
,
AB MB ABM
chung,
BD BK
.
Do đó
ABD MBK
(c.g.c).
Suy ra
AD MK
(hai cạnh tương ứng).
Lại có
2
AC
MK (áp dụng kết quả phần ví dụ).
Suy ra
2
AC
AD
hay
2
AC AD
.
Câu 2:
a) Do ∆ABC cân đỉnh A nên
ABC ACB
.
1
180 90
2
ABC ACB BAC ABC BAC
. (1)
Ta có ∆ADE cân đỉnh A (do
AD AE
) nên
ADE AED
.
1
180 90
2
AED ADE EAD AED DAE
. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
ABC AED
.
Trang 16
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
//
DE BC
.
b) Xét ∆ABD và ∆ACE
,
AB AC BAC
chung,
AD AE
.
Do đó
. . 90
ABD ACE c g c AEC ADB
(hai góc tương ứng)
CE AB
(điều phải chứng minh).
| 1/16

Preview text:

BÀI 6. TAM GIÁC CÂN Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
+ Nắm được các tính chất và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều.  Kĩ năng
+ Biết vẽ một tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều.
+ Nhận biết và chứng minh được một tam giác là tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều.
+ Vận dụng các tính chất của tam giác cân, tam giác vuông cân và tam giác đều để tính số đo góc,
chứng minh các góc hay các cạnh bằng nhau. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tam giác cân Định nghĩa
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Tam giác ABC có AB  AC được gọi là tam giác
ABC cân đỉnh A, trong đó:
* AB, AC là cạnh bên và BC là cạnh đáy. * B, 
C là các góc ở đáy; A là góc ở đỉnh. Tính chất
Định lý 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy
bằng nhau. Nếu ∆ABC cân đỉnh A thì B   C .
Định lý 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau
thì tam giác đó là tam giác cân. Nếu ∆ABC có
B  C thì ∆ABC cân đỉnh A. Tam giác vuông cân
Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. MN  MP Nếu ∆MNP có  thì ∆MNP là tam giác MN  MP vuông cân tại M. 2. Tam giác đều Định nghĩa
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Tính chất
* Trong một tam giác đều, mỗi góc bằng 60°. AB  BC  CA 
∆ABC là tam giác đều thì   A  B   C  60
* Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam
giác đó là tam giác đều.
* Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60° thì
tam giác đó là tam giác đều. Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Phương pháp giải
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam Ví dụ: Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Gọi BD,CE giác đều.
lần lượt là phân giác trong góc B, C của tam giác
1. Một tam giác là tam giác cân nếu:
ABC. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác
- Tam giác có hai cạnh bằng nhau. cân.
- Tam giác có hai góc bằng nhau.
2. Một tam giác là tam giác đều nếu:
- Tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tam giác có ba góc bằng nhau.
- Tam giác cân có một góc bằng 60°. Hướng dẫn giải
Phân tích: Có hai cách để chứng minh ∆ADE cân
Bước 1. Xác định cặp cạnh (góc) bằng nhau của
tam giác cần chứng minh thông qua phân tích dữ là ta chứng minh AD  AE hoặc  ADE   AED . kiện bài toán.
Ta có thể chứng minh cặp góc (cạnh) bằng nhau
qua việc xét cặp tam giác bằng nhau.
+) Nếu chứng minh AD  AE ta có thể ghép vào
cặp tam giác ∆ADB và ∆AEC.
+) Cách còn lại khó khăn hơn vì  ADE;  AED chỉ là góc của ∆ADE.
Bước 2. Chứng minh cặp cạnh (góc) tương ứng 1 Ta có:  ABD   DBC   ABC (do BD là phân giác bằng nhau và kết luận. 2 1
Quá trình chứng minh, có thể cần dựng thêm đường của  ABC );  ACE   ECB   ACB (do CE là phân 2 phụ. giác của  ACB ).
Mà ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC và  ABC   ACB   ABD   ACE . Xét ∆ADB và ∆AEC có  BAD  
CAE (góc chung), AB  AC,  ABD   ACE Do đó ADB  A  EC g. . c g  .
Suy ra AD  AE (cặp cạnh tương ứng). Vậy ∆ADE cân tại A. Trang 3 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A D  BC . Trên cạnh AB lấy điểm I,
trên cạnh AC lấy điểm H sao cho AI  AH . Chứng minh rằng tam giác IDH là tam giác cân. Hướng dẫn giải 1
Do AD là phân giác trong góc A nên  BAD   CAD   BAC . 2 Xét ∆ADI và ∆ADH có AI  AH (giả thiết),  IAD   HAD (chứng minh trên), AD chung. Do đó ADI  A
 DH  .cg.c  DI  DH (cặp cạnh tương ứng).
Vậy tam giác DHI là tam giác cân đỉnh D.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A  120 . Trên tia phân giác của góc A, lấy điểm D sao cho
AD  AB  AC . Chứng minh rằng tam giác BCD đều. Hướng dẫn giải 1
Do AD là phân giác trong góc A nên  BAD   CAD   BAC  60 . 2
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE  AD .
Do AD  AB  AC (giả thiết) nên ta có AE  AB  AC .
 AE  AC hay C nằm giữa A và E.
Khi đó, ta có AC  EC  AB  AC  EC  AB . Xét ∆ADE có AD  AE, 
DAE  60 . Suy ra ∆DAE đều. Suy ra DA  DE  AE,  DAE   DEA   ADE  60 . Trang 4 Xét ∆ABD và ∆ECD có
AB  EC (chứng minh trên),  BAD   CED  60 ,
 DA  DE (chứng minh trên).
Do đó ABD  ECD  . c g.c .
Suy ra DB  DC (hai cạnh tương ứng),  ADB  
CDE (hai góc tương ứng). (1)
Theo chứng minh trên, ta có  ADE  60   ADC   CDE  60 . Do đó từ (1), ta có  ADC   ADB  60   BDC  60 .
Vậy tam giác BCD có DB  DC và 
BDC  60 nên ∆BCD đều. Định hướng: DB  DC  Cần chứng minh   BDC  60
Bài tập tự luyện dạng 1
Chọn đáp án đúng từ câu 1 đến câu 2
Câu 1: Tam giác cân là tam giác
A. có hai đường cao bằng nhau.
B. có hai đường trung tuyến bằng nhau.
C. có hai cạnh bằng nhau.
D. có hai tia phân giác trong bằng nhau.
Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có các đường trung tuyến BD, CE. Tam giác nào dưới đây là tam giác cân? A. ∆ABD. B. ∆BCE. C. ∆ADE. D. ∆BDE.
Câu 3: Cho tam giác ABC có A  100 ,   C  40 .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD  AB . Chứng minh rằng tam giác BCD là tam giác vuông.
Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC có AD là phân giác trong góc A D  BC . Đường thẳng qua D song
song với AB cắt AC tại I, đường thẳng qua D song song với AC cắt AB tại K. Chứng minh rằng ∆IDK là tam giác cân.
Dạng 2: Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau Phương pháp giải
* Sử dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều. Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các Trang 5
* Sử dụng tính chất tổng ba góc trong một tam giác. góc còn lại của tam giác ABC nếu a) A  80 . b) B  75 . Hướng dẫn giải
Bước 1. Xác định cặp góc bằng nhau qua tính chất của tam giác cân.
Bước 2. Sử dụng tính chất tổng ba góc trong tam
giác để tính góc tương ứng.
Do tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có B   C .
Mà ta luôn có A  B   C  180 .
a) Với A  80 ta có
B  C 180  A 180 80 100    B   100 C   50 . 2 b) Do B  75 nên  C  75 . Suy ra
A 180  B  
 C 1807575 30. Ví dụ mẫu 1
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AB  BC . Tính số đo các góc của tam giác ABC. 2 Hướng dẫn giải
Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho DA  BA .
Suy ra BD  DA  AB  2AB  BC . (1) AB  AD  Xét ∆CAB và ∆CAD có  C  AB   CAD  90 C  A chung  Trang 6 Do đó CAB  C
 AD  .cg.c  CD  CB (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có BC  CD  DB nên ∆BCD là tam giác đều. Suy ra 
CBD  60 hay B  60 .
Mà ∆ABC vuông tại A nên B   C  90  
C  90  60  30 . Vậy ∆ABC có A  90 ,  B  60 ,   C  30 .
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu biết A  80 và B :  C  1: 4 ?
Câu 2: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AD  BC D  BC và BE  AC E  AC  . Gọi H là giao điểm
của AD và BE. Biết rằng AH  BC , tính số đo  BAC . 3 1
Câu 3: Tam giác ABC là tam giác gì nếu A  
B  150 và 2A  B  150 ? 2 2
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp giải
* Sử dụng tính chất: Tam giác cân có hai cạnh bên Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh
bằng nhau (dành cho hai đoạn thẳng có một đầu AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho mút chung).
AM  AN . Chứng minh rằng CM  BN .
* Gắn các đoạn thẳng cần chứng minh vào hai cạnh
tương ứng của hai tam giác bằng nhau (có thể áp
dụng với mọi cặp đoạn thẳng). Hướng dẫn giải
Do CM và BN là hai đoạn thẳng không có đầu mút
Bước 1. Xác định phương pháp chứng minh tương chung nên ta sẽ chứng minh CM  BN thông qua
ứng đối với hai đoạn thẳng. hai tam giác bằng nhau.
Bước 2. Lập luận và chứng minh.
Vì ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC và B   C .
Suy ra AM  MB  AN  NC
Lại có AM  AN nên BM  CN . Xét ∆BCM và ∆CBN có
BM  CN (chứng minh trên),  MBC   NCB (chứng minh trên), Trang 7 BC là cạnh chung Do đó BCM  C  BN  .cg.c
Suy ra CM  BN (hai cạnh tương ứng). Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh huyền BC. 1
Chứng minh rằng MA  MB  MC  BC . 2 Hướng dẫn giải
Gọi M’ là điểm nằm trên cạnh BC thỏa mãn M B   M A  .
Khi đó ∆M’AB cân đỉnh M’.   M B  A   M A  B hay  M A  B  B . (1)
Do ∆ABC vuông tại A nên ta có B   C  90  A .  B   C   M A  B   M A  C (2)
Từ (1) và (2), ta được  M A  B  C   M A  B   M A  C . Suy ra  C   M A  C hay  M C  A   M A  C .
Do đó ∆M’AC cân đỉnh M’, suy ra M A   M C  . Kết hợp với M B   M A  (cách dựng), ta có M B   M C   M A
 nên M' là trung điểm của đoạn BC.
Vậy M   M nên ta chứng minh được MB  MC  MA .
Phân tích: Ta cần thiết lập mối quan hệ giữa MA và MB. Vì vậy, ta sẽ chứng minh bài toán dựa trên ý
tưởng: Gọi điểm M' thỏa mãn M ' BC và M A   M B
 sau đó ta chứng minh M '  M .
Bình luận: Bạn đọc có thể tự chứng minh chiều ngược của bài toán trên: “Cho tam giác MAB cân đỉnh
M. Trên tia đối của tia MB, lấy điểm C sao cho M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông”.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A có A  36 . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm D. Chứng
minh rằng DA  DB  BC .
Câu 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D. Từ D kẻ
đường vuông góc với AM tại K và kéo dài cắt cạnh AC tại E. Chứng minh AD  AE . Trang 8
Dạng 4: Các bài toán tổng hợp Phương pháp giải
Sử dụng kết hợp tính chất của tam giác cân, quan hệ song song và một số kết quả đã được chứng minh
trong các dạng trước đó. Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC cân đỉnh A có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng 1 MN // BC và MN  BC . 2 Hướng dẫn giải
Do ABC cân đỉnh A nên AB  AC và  ABC   ACB . 1 1
Lại do M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên AM  BM  AB, AN  CN  AC 2 2
Do đó AM  AN  ∆AMN cân đỉnh A   AMN   ANM . Mà ∆AMN có  AMN   ANM   MAN  180 .     180   MAN A AMN ANM   90  . 2 2 Mặt khác  ABC   ACB   BAC  180     180   BAC A ABC ACB   90  . 2 2 A Suy ra  AMN    ABC  90 
. Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên MN // BC . 2
Qua M dựng đường thẳng song song với AC , cắt cạnh BC tại điểm K.   MKB   ACB (đồng vị). Mà  ABC   ACB nên  MKB   ABC . Xét ∆MBK có  MKB  
MBK nên ∆MBK cân đỉnh M  MK  MB .
Ta có MK  MB  MA  AN  CN . Lại có MK // AC nên  BMK   MAN (đồng vị). Xét ∆AMN và ∆MBK có  AMN   MBK, AM  MB,  BMK   MAN . Trang 9 Do đó AMN  M
 BK g. .cg  MN  BK (hai cạnh tương ứng). (1) Xét ∆MNC và ∆CKM có  NMC  
KCM (do MN // BC ), cạnh CM chung,  NCM   KMC (do MK // AC ).
Do đó MNC  CKM  g. .
c g   MN  CK (hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1)và (2) suy ra MN  BK  CK .
Mà BK  CK  BC nên K là trung điểm của BC. BC Do đó MN  BK  CK 
(điều phải chứng minh). 2 Hướng tư duy:
* Chứng minh quan hệ song song có thể sử dụng mối quan hệ về góc (ưu tiên). Do đó ta chứng minh cặp
góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.
* Chứng minh hai góc bằng nhau qua tính chất của tam giác cân hoặc hai đường thẳng song song.
* Chứng minh quan hệ độ dài đoạn thẳng có thể sử dụng các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác bằng nhau.
Bình luận: Đây là bài toán điển hình trong việc sử dụng các mối quan hệ từ tam giác cân cho đến các
đường thẳng song song. Có thể mở rộng kết quả của bài toán này cho tam giác ABC bất kỳ: Gọi M, N lần 1
lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó, ta có MN // BC, MN  BC . 2
Lưu ý việc chứng minh song song ( MN // BC ) có thể thực hiện thông qua việc dựng đường thẳng
MN  // BC với N   BC . Sau đó, ta tìm cách chỉ ra N   N .
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho tam giác ABC có BC  2AB , M là trung điểm của cạnh BC, D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng AC  2AD .
Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A có A  90 kẻ BD vuông góc với AC. Trên cạnh AB lấy điểm E sao
cho AE  AD . Chứng minh rằng a) DE // BC . b) CE  AB . Trang 10 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều Câu 1: Chọn C Câu 2: Chọn C 1 1 Xét ∆ADE có AE  AB, AD 
AC mà AB  AC (do ∆ABC cân), nên AE  AD . 2 2 Vậy ∆ADE cân tại A. Câu 3:
a) Xét ∆ABC có A  B   C  180
 B  180  A  
 C 18010040  40  B   C  40 .
Do đó, ∆ABC cân đỉnh A.
b) ∆ABC cân tại A nên AB  AC . Mà AB  AD (giả thiết)
 AC  AD  ∆ACD cân đỉnh A. Xét ∆ACD có  BAC là góc ngoài đỉnh A   ACD   ADC   BAC  100 .  Vậy  ACD   100 ADC   50 . 2 Trang 11 Khi đó  BCD   BCA  
ACD  40  50  90 .
Do đó ∆BCD vuông tại C. Câu 4: Ta có  KAD  
IAD (tính chất đường phân giác). Mà DI // AB   IDA   DAK (hai góc so le trong). DK // AC   KDA   DAI (hai góc so le trong). Suy ra  IDA   KDA . Xét ∆ADI và ∆ADK có  KAD   IAD , AD chung,  KDA   IDA . Do đó ADI  A  DK g. .cg
 DI  DK (hai cạnh tương ứng). Do đó ∆IDK cân tại D.
Dạng 2. Tính số đo góc, chứng minh các góc bằng nhau Câu 1:
Xét ∆ABC có A  B  
C  180 ( tổng ba góc trong tam giác). Vì A  80 nên B  
C  180  A  100 B C Theo giả thiết, ta có 
. Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, ta có: 1 4 B C B  C 100     20  B  20 ,   C  4.20  80 . 1 4 1 4 5 Vậy A  
C  80 nên ∆ABC cân đỉnh B. Câu 2: Trang 12 Ta có  DAC  
DCA  90 (do ∆ADC vuông tại D) và  EBC  
ECB  90 (do ∆BCE vuông tại E). Suy ra  DAC   DCA   ECB   EBC  90   DAC   CBE . Xét ∆AHE và ∆BCE có  AEH   BEC  90 ,
 AH  BC (giả thiết),  HAE   CBE (chứng minh trên). Do đó AHE  B
 CE (cạnh huyền - góc nhọn)  AE  BE (hai cạnh tương ứng). Xét ∆ABE có AE  BE, 
AEB  90 . Suy ra ∆AEB là tam giác vuông cân tại E. Do đó  BAC   BAE  45 . Câu 3: 3 3 Ta có A  
B  150  A  150  B . 2 2 1  3  1 1 5
Mà 2A  B  150  2 150  B  B  150  300  3B  B  150 
B 150  B  60   . 2  2  2 2 2 Suy ra  3
A  150  .60  60 . 2
Vậy ∆ABC có A  B  60 , suy ra ∆ABC là tam giác đều.
Dạng 3. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau Câu 1: Ta có AB  AC,  B   C (do ∆ABC cân đỉnh A). Mà A  B  
C  180 (tổng ba góc trong một tam giác). Trang 13   A      B   C    B   C    B   144 36 36 180 144 C   72 . 2 1
Do BD là tia phân giác góc B nên  DBC   DBA  B  36. 2 Xét ∆ABD có  DAB  
DBA  36 nên ∆DAB cân đỉnh D  DB  DA (1) Có 
BDC là góc ngoài đỉnh D của ∆ABD nên  BDC   DAB  
DBA  36  36  72 . Xét ∆BCD có  BDC  
BCD  72 nên ∆BCD cân đỉnh B  BD  BC . (2)
Từ (1) và (2), ta được DA  DB  BC . Câu 2:
Ta có ∆ABC cân đỉnh A nên AB  AC,  ABC   ACB .
Xét ∆ABM và ∆ACM có AB  AC, BM  CM (giả thiết), AM chung.
Do đó ABM  ACM  . c . c c   AMB   AMC (hai góc tương ứng). Mà  AMB   AMC   BMC  180 nên  AMB   AMC  90  AM  BC .
Ta có DE  AM (giả thiết)  DE // BC (cùng vuông góc với AM)   ADE   ABC,  AED   ACB (các góc đồng vị). Mà  ABC   ACB nên  ADE   AED .
Suy ra ∆ADE cân đỉnh A. Suy ra AD  AE .
Dạng 4. Các bài toán tổng hợp Câu 1: Trang 14 BC
Do M là trung điểm của BC nên BM  CM   AB . 2 AB
Gọi K là trung điểm của AB nên AK  BK  . 2 BM
Ta có D là trung điểm của BM nên BD  MD  . 2
Suy ra AK  BK  BD  MD .
Xét ∆ABD và ∆MBK có AB  MB,  ABM chung, BD  BK .
Do đó ABD  MBK (c.g.c).
Suy ra AD  MK (hai cạnh tương ứng). AC Lại có MK 
(áp dụng kết quả phần ví dụ). 2 AC Suy ra AD  hay AC  2AD . 2 Câu 2:
a) Do ∆ABC cân đỉnh A nên  ABC   ACB . 1 Mà  ABC   ACB   BAC  180   ABC  90   BAC . (1) 2
Ta có ∆ADE cân đỉnh A (do AD  AE ) nên  ADE   AED . 1 Mà  AED   ADE   EAD  180   AED  90   DAE . (2) 2 Từ (1) và (2), suy ra  ABC   AED . Trang 15
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC .
b) Xét ∆ABD và ∆ACE có AB  AC,  BAC chung, AD  AE . Do đó ABD  A  CE  .cg.c   AEC  
ADB  90 (hai góc tương ứng)
 CE  AB (điều phải chứng minh). Trang 16