Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất | Vật lí 10
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất | Vật lí 10
Chủ đề: Tài liệu chung Vật Lí 10 28 tài liệu
Môn: Vật Lí 10 532 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON, XÁC SUẤT TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1 Quy tắc cộng
Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện
vởi n cách, phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó công việc được thực hiện theo n + m cách. 2 Quy tắc nhân
Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện vởi n cách, công đoạn B
có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó công việc được thực hiện theo n.m cách.
Giả sử n, k là các số nguyên dương với 1 ≤ k ≤ n và một tập hợp Q gồm n phần tử. 3 Hoán vị
• Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của Q tạo thành một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!. 4 Chỉnh hợp
• Mỗi cách sắp k phần tử thứ tự của Q tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp là n! Ak = . n (n − k)! 5 Tổ hợp
• Mỗi cách sắp k phần tử không biệt thứ tự của Q tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tập Ak n! hợp là Ck = n = . n k! k!(n − k)!
• Có tất cả các n phần tử (n > k + m), trong đó có m phần tử giống nhau từ tập hợp A, k phần tử giống
nhau từ tập B, n − m − k phần tử còn lại đôi một khác nhau. n!
• Số cách sắp chúng thành một hàng ngang là . m!k!
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM
Dạng 1. SẮP XẾP CÁC ĐỐI TƯỢNG VÀO CÁC VỊ TRÍ
Cho A là tập gồm m phần tử và tập B gồm n vị trí khác nhau. Yêu cầu sắp xếp các phần tử của tập
hợp A vào các vị trí trong tập hợp B theo một điều kiện nào đó.
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất PHƯƠNG PHÁP:
• Xem trong hai tập hợp A và B tập nào ít phần tử hơn thì phần tử của tập đó được chọn phần tử của tập còn lại. Ví dụ 1.
Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}. Từ tập A lập được bao nhiêu số:
a) Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện hai lần, còn các số khác xuất hiện đúng một lần?
b) Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện hai lần, số 2 xuất hiệnba lần còn các số khác xuất hiện không quá 1 lần?
Dạng 2. PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG Ví dụ 1.
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp
B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn như vậy? Ví dụ 2..
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi
dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải đủ ba loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Ví dụ 3..
Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 thẻ để tổng số ghi
trên 6 thẻ đó là một số lẻ?
Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP TẠO "VÁCH NGĂN"
• Khi bài toán yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau. Chúng ta có thể tạo ra các
"vách ngăn" các phần tử này trước khi xếp chúng. Ví dụ 1.
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 thầy
giáo không đứng cạnh nhau? Ví dụ 2.
Cho tập A = {2; 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau?
Dạng 4. PHƯƠNG PHÁP "BUỘC" CÁC PHẦN TỬ
• Đối ngẫu của phương pháp tạo "vách ngăn" là phương pháp "buộc" các phần tử. Các bài tập dạng này
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
yêu cầu xếp hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau. Vì vậy ta "buộc" các phần tử này thành một nhóm
và coi như một phần tử. Ví dụ 1.
Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp các học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 4 học sinh lớp A đứng cạnh nhau, 3 học sinh lớp B đứng cạnh nhau?
Dạng 5. PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁN TIẾP: XÉT BÀI TOÁN ĐỐI
• Khi giải bài toán bằng cách trực tiếp gặp khó khăn do xảy ra quá nhiều trường hợp, chúng ta tìm gián
tiếp bằng cách xét bài toán đối. Ví dụ 1.
Trong hộp có 20 quả cầu kích thước giống nhau gồm 10 quả cầu xanh, 10 quả cầu vàng. Hỏi có bao nhiêu
cách lấy ra 9 quả cầu sao cho 9 quả lấy ra đó có đủ cả hai màu?
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP
Dạng 1. CHỌN MỘT NHÓM PHẦN TỬ TỪ CÁC TẬP HỢP Ví dụ 1.
Tổ một có 10 người, tổ hai có 9 người. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 8 người sao cho mỗi tổ
trên có ít nhất là 2 người? Ví dụ 2.
Người ta sử dụng ba loại sách gồm: 8 cuốn sách về Toán, 6 cuốn sách về Lí và 5 cuốn sách về Hóa. Mỗi
loại đều gồm các cuốn sách đôi một khác loại nhau. Có bao nhiêu cách chọn 7 cuốn sách trong số sách
trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại có ít nhất một cuốn?
Dạng 2. SẮP XẾP THỨ TỰ CÁC PHẦN TỬ TỪ CÁC TẬP HỢP Ví dụ 1.
Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 viên bi trắng giống nhau và 3 viên bi đỏ đôi một khác nhau. Có bao nhiêu
cách sắp xếp số bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi? Ví dụ 2.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có
hai học sinh nữ nào cạnh nhau? (nếu có hai cách xếp mà cách xếp này khi quay quanh tâm vòng tròn
được cách xếp kia thi ta coi chỉ là một cách xếp).
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
Dạng 3. PHÂN CHIA TẬP HỢP CÁC PHẦN TỬ THÀNH CÁC TẬP HỢP CON Ví dụ 1.
Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật? Ví dụ 2.
Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật đôi một khác nhau cho ba người sao cho có một người được 2 đồ vật và
hai người còn lại mỗi người được 3 đồ vật?
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ
Dạng 1. SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC Ví dụ 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong số đó có mặt đồng thời ba số 0, 1, 2? Ví dụ 2.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong số đó có mặt chữ số 1 và 2?
Dạng 2. SỐ TẠO THÀNH CHỨA HAI CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC KHÔNG CẠNH NHAU Ví dụ 1.
Cho tập hợp gồm 6 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ chúng viết được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho
hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?
Dạng 3. SỐ TẠO THÀNH CHỨA CHŨ SỐ LẶP LẠI Ví dụ 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện ba lần, một chữ số khác
xuất hiện hai lần và một chữ số khác với hai chữ số trên?
Dạng 4. TÍNH SỐ SỐ TỰ NHIÊN CHẴN Ví dụ 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
Dạng 5. TÍNH SỐ SỐ TỰ NHIÊN VỚI CÁC CHỨ SỐ CHẴN, LẺ Ví dụ 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có đúng hai chữ số lẻ? C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
Bài 1. Có bao nhiêu cách chia 10 đồ vật đôi một khác nhau cho hai người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật? A. 210. B. 220 + 1. C. 210 + 2. D. 210 − 2.
Bài 2. Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 7 cuấn sách Lí giống nhau và 8 cuốn sách Hóa giống nhau, được
đem làm giải thưởng cho 10 học sinh sao cho mỗi người được 2 cuốn sách khác loại. Tính số cách nhận
giải thưởng của 10 học sinh trên? A. 2520. B. 2420. C. 2024. D. 2025.
Bài 3. Có 5 cuốn sách giống nhau và 3 cuốn sách tham khảo đôi một khác nhau được đem làm giải thưởng
cho 8 học sinh sao cho mỗi người được 1 cuấn sách. Tính số cách nhận giải thưởng của 8 học sinh trên? A. 326. B. 336. C. 456. D. 466.
Bài 4. Có bao nhiêu cách chia 6 người thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người phân biệt thứ tự các nhóm là: Nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3? A. 606. B. 90. C. 120. D. 150.
Bài 5. Có bao nhiêu cách chia 6 người thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người không phân biệt thứ tự các nhóm? A. 15. B. 20. C. 30. D. 40.
Bài 6. Có bao nhiêu cách chia 6 đồ vật đôi một khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật? A. 310. B. 320. C. 540. D. 550.
Bài 7. Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ
số khác nhau mà trong đó hai chữ số cạnh nhau khác tính chẵn lẻ? A. 304. B. 404. C. 504. D. 604.
Bài 8. Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4
chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 2? A. 240. B. 242. C. 234. D. 246.
Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau mà trong đó có chữ số 1 đứng phải trước chữ số 2? A. 2100. B. 3100. C. 3104. D. 3108.
Bài 10. Cho tập hợp các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
mà trong đó hai chữ số 1 và 3 chữ số còn lại khác nhau và khác 1? A. 240. B. 288. C. 528. D. 558.
- - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - -
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất ĐÁP ÁN 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D 9 D 10 C
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất NHỊ THỨC NEWTON A. LÝ THUYẾT n X
• Công thức khai triển nhị thức Newton: (a + b)n = Ckan−kbk (n ∈ n N). k=0
• Quy ước: P0 = 0! và A0 = C0 = 1. n n
• Các công thức hay sử dụng: Cho n ∈ +
Z ; k ∈ Z với 0 ≤ k ≤ n ta có: (1) Ck = Cn−k n n (2) Ck + Ck+1 = Cn+1 n n n+1
(3) C0 + C1 + C2 + ... + Cn = 2n n n n n n 2[ ] (4) C0 + C2 + C4... + C 2 n n n n = 2n−1 n − 1 2[ ]+1 (5) C1 + C3 + C5... + C 2 n n n n = 2n−1
Sử dụng (2) ta chứng minh được hai công thức sau: Ck + 2Ck+1 + Ck+2 = Ck+2 n n n n+2 Ck + 3Ck+1 + 3Ck+2Ck+3 = Cn+3 n n n n n+3
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THỨC VÀ TÍNH TỔNG TỔ HỢP
Dạng 1. SỬ DỤNG NHỊ THỨC NEWTON Ví dụ 1.
Tính tổng S = 316C0 − 315C1 + 314C2 − ... + C16. 16 16 16 16 Ví dụ 2. Chứng minh rằng C0 + 32C2 + 34C4
+ ... + 32000C2000 = 22000(22001 − 1). 2001 2001 2001 2001 Ví dụ 3.
Chứng minh rằng S = 32006.2.C1 − 32004.23.C3 + 32002.25.C5
− 32000.27 + ... + 22007C2007. 2007 2007 2007 2007
Dạng 2. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM
• Sử dụng đạo hàm cấp một
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1, 2, 3, ..., n hay n, ..., 3, 2, 1. Ví dụ 1.
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
Tính tổng S = C1 − 2C2 + 3C3x2 − C4 + ... + (−1)n−1nCn. n n n n n Ví dụ 2.
Tính tổng S = C1 + 2C22 + 3C322 + ... + nCn2n−1. n n n n Ví dụ 3.
Chứng minh rằng (2 + x)n = 1.2n−1C1 + 2.2n−2.C2 + 3.2n−2.C2 + ... + nCn = 2.3n−1. n n n n
• Sử dụng đạo hàm cấp hai
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1.2, 2.3, ..., (n − 1).n hay n.(n − 1), ..., 3.2, 2.1. Ví dụ 1.
Chứng minh rằng 2.1C2 + 3.2C3 + 4.3C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2n−2. n n n n Ví dụ 2. Rút gọn tổng sau S = 12C1 22018 + 22C222017 + 32C3 22016 + ... + 20192C2019. 2019 n 2019 2019
Dạng 2. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (KIẾN THỨC 12) ak+1 − bk+1
Dấu hiệu: Khi nhận thấy số hạng của tổng có dạng . k + 1 Ví dụ 1. 22 23 2n+1 3n+1 − 1 Chứng minh rằng 2C0 + C1 + C2 + ... + Cn = . n 2 n 3 n n + 1 n n + 1 Ví dụ 2. 22 − 1 23 − 1 24 − 1 2n+2 − 1 Tính tổng S = C0 + C1 + C2 + ... + Cn. 2 n 3 n 4 n n + 2 n Ví dụ 3. 1 1 1 1 (−1)n Tính tổng S = C0 − C1 + C2 − C3 + ... + Cn. 2 n 4 n 6 n 8 n 2n + 2 n
Dạng 3. SỬ DỤNG SỐ PHỨC (KIẾN THỨC 12) Ví dụ 1.
Rút gọn P = C0 − C2 + C4 − ... + C4n. 4n 4n 4n 4n Ví dụ 2.
Tính Q = 1C1 − 3C3 + ... − (8n − 1)C8n−1. 8n 8n 8n
Dạng 4. SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Ví dụ 1.
Cho 0 ≤ m ≤ k ≤ n; k, m, n ∈ N. Chứng minh rằng CkC0 + Ck−1C1 + ... + Ck−mCm = Ck . n m n m n m m+n Ví dụ 2. (2n)!
Cho 0 ≤ m ≤ k ≤ n; k, m, n ∈ N. Chứng minh rằng C0Ck +C1Ck+1 +...+Cn−kCn = !. n n n n n n (n − k)!.(n + k)
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON
Dạng 1. BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Ví dụ 1.
Rút gọn biểu thức Sk = C0 − C1 + C2 − C3 + ... + (−1)kCk với k ≤ n, n > 1. n n n n n Ví dụ 2.
Tính tổng C1 + C3 + C5 + ... + C2n−1. 4n 4n 4n 4n Ví dụ 3.
Tính tổng S = C0 − 2C1 + 3C2 + ... + (−1)n(n + 1)Cn. n n n n Ví dụ 2. 1 1 1 Tính tổng S = C0 + C1 + C2 + ... + Cn. n 2 n 3 n n + 1 n
Dạng 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP Ví dụ 1.
Chứng minh rằng (C0)2 + (C1)2 + (C2)2 + ... + (Cn)2 = Cn . n n n n 2n
Dạng 3. PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Ví dụ 1.
Giải phương trình A3 + 2Cx−1 − 3Cx−3 = 3x2 + P x x+1 x−1 6 + 159. Ví dụ 2.
Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành một cấp số cộng trong dãy số sau C0 , C1 , C2 , ..., C23. 23 23 23 23
Dạng 4. TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC Ví dụ 1. √ 2 n
Tính số hạng không chứa x khi khai triển P (x) = 3 x + √
, biết rằng n thỏa mãn hệ thức x C6 + 3C7 + 3C8 + C9 = 2C8 . n n n n n+2 Ví dụ 2.
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất P (x) = (2x + 1)13 = a0x13 + a1x12 + ... + a13. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Cho hai đường thẳng (d1), (d1) song song với nhau. Trên (d1) có 15 điểm, trên (d2) có n điểm. Hãy
tìm n biết rằng số tam giác có 3 đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh đã cho là 3825. A. n = 15. B. n = 16. C. n = 17. D. n = 19.
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất 1 n
Bài 2. Khai triển nhị thức Newton của P (x) = x3 −
. Hãy tính hệ số a của số hạng chứa x10, biết x2
rằng n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức C4 = 13C2. n n A. a = −6435. B. a = 6435. C. a = −5463. D. a = 5463.
Bài 3. Cho đa thức P (x) = (x + 2)15 = a0x15 + a1x14 + ... + a15. Hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức là. A. 292864. B. 282964. C. 262984. D. 242986.
Bài 4. Cho tổng S = C0 + 3.C2 + 5.C4 + ... + (2n + 1)C2n. Khi đó S bằng? 2n 2n 2n 2n A. S = (n + 1)n3n−1. B. S = (n + 1)n2n+2. C. S = (n + 1)n2n. D. S = (n + 1)n2n−1.
- - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - -
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất ĐÁP ÁN 1 C 2 A 3 A 4 D
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất XÁC SUẤT A. LÝ THUYẾT 1. Phép thử và biến cố
• Phép thử là một thí nghiệm hay hành động mà ta không thể biến trước được kết quả mặc dù ta đã
biết tập hợp tất cả các kết quả của nó.
• Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu: Ω.
• Biến cố là một tập con của không gian mẫu.
Tập ∅ là biến cố không thể.
Tập Ω là biến cố chắc chắn.
2. Phép toán trên các biến cố
• Tập Ω A được gọi là biến cố đối của A. Kí hiệu là A.
Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra.
Giả sử A, B là các biến cố liên quan đến một phép thử.
• Tập A ∪ B được gọi là tập hợp của hai biến cố A, B. Nó bao gồm các phần tử thuộc A hoặc B.
• Tập A ∩ B (hay kí hiệu AB) được gọi là giao của hai biến cố A, B. Nó bao gồm các phần tử thuộc A và B.
Nếu A ∩ B = ∅ thi hai biến cố A, B được gọi là xung khắc với nhau.
Ta có A ∪ A = Ω; A ∩ A = ∅ nên A và A là hai biến cố xung khắc. Điều ngược lại không đúng.
3. Xác suất của biến cố
Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả n(A)
năng xuất hiện. Tỉ số P (A) =
là xác suất của biến cố A. n(Ω)
Trong đó: n(A) là số phần tử của biến cố A, n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu.
Ta có: P (∅) = 0; P () = 1; 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A.
Nếu A, B xung khắc thì P (AB) = P (A) + P (B);
Với mọi biến cố A ta có P (A) = 1 − P (A)
Nếu A, B là các biến cố bất kì thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Nếu sự xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng đến sự xảy ra của biến cố B thì ta nói các biến cố A, B độc lập với nhau.
Các biến cố A, B độc lập với nhau khi và chỉ khi P (AB) = P (A).P (B).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
Dạng 1. XÁC ĐỊNH BIẾN CỐ VÀ KHÔNG GIAN MẪU Ví dụ 1.
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc hai lần. a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố: "Có ít nhất một lần số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc là số chẵn". Tính
số phần tử của biến cố A. Ví dụ 2.
Trong một hộp có 9 tấm thẻ được đánh số 1; 2; 3; ...; 9. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai thẻ (có phân biệt thứ tự của chúng). a) Mô tả không gian mẫu.
b) Xác định số phần tử của biến cố A: "Có đúng một thẻ ghi số lẻ". Ví dụ 3.
Ba xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2, 3. a) Mô tả không gian mẫu.
b) Hãy tính số phần tử của các biến cố sau:
A: "Có ít nhất một ngưới bắn trúng".
B: "Có đúng một ngưới bắn trúng".
Dạng 2. TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ĐƠN GIẢN Ví dụ 1.
Từ bộ bài lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc 3 con.
a) Tính xác suất của biến cố A: "có ít nhất một con át".
b) Tính xác suất của biến cố B: "cả 3 con ghi số khác nhau đều thuộc tập hợp 2, 3, 4, .., 10". Ví dụ 2.
Trong một chiếc hộp có 5 qur bóng trắng, 6 quả bóng xanh và 7 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên trong hộp
ra 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba loại. Ví dụ 3.
Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0, 1, 2, 3, ..., 9. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 4 thẻ và xếp cạnh nhau
theo thứ tự trừ trái sang phải. Tính xác suất để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong đó có chữ số 1.
Dạng 3. TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ KHÁC Ví dụ 1.
Có ba lô hàng. Người ta lấy ra một cách ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Biết rằng xác suất để
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
được một sản phẩm có chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là 0, 7; 0, 8; 0, 9. Hãy tính xác suất để:
a) Trong ba sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong ba sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có chất lượng tốt. Ví dụ 2.
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả màu đỏ và 5 quả màu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả
màu đỏ và 4 quả màu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.
a) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Bài 1. Gieo một con xúc sắc hai lần. Tìm xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là 9. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 8 18 9
Bài 2. Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ, xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Tìm xác
suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau. 5 2 5 1 A. . B. . C. . D. . 14 5 42 13
Bài 3. Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0, 1, 2, 3, ..., 9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh
nhau theo thứ tự từ trái sang phải. 14 41 9 14 A. . B. . C. . D. . 90 90 44 80
Bài 4. Trong bộ bài lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên ra cùng một lúc 4 con. Tính xác suất của biến cố D:
"Có ít nhất một con cơ". 1498 1448 14498 1449 A. . B. . C. . D. . 285 208 2085 280
Bài 5. Có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Người ta chọn a một cách ngẫu nhiên 4 học sinh. Tìm xác
suất để 4 học sinh được chọn ra ít nhất 2 học sinh nữ. 19 23 23 A. . B. . C. . D. Đáp số khác. 42 42 42
Bài 6. Có 3 bức thư và 3 bì thư. Trên các bì thư đã ghi sẵn địa chỉ tương ứng với các bức thư trên. Người
ta cho các bức thư đó vào các bì thư một cách ngẫu nhiên, mỗi bì thư có một bức thư. Tìm xác suất để
cả 3 bức thư cùng bị sai địa chỉ. 1 2 1 A. . B. . C. . D. Đáp số khác. 3 3 4
Bài 7. Từ một hộp có 7 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 quả. Tính xác suất
sao cho 5 quả lấy ra có cả màu đỏ và xanh. 140 142 144 140 A. . B. . C. . D. . 145 153 154 143
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất
Bài 8. Từ một hộp có 7 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 quả. Tính xác suất
sao cho 5 quả lấy ra có ít nhất hai quả màu xanh. 453 242 77 243 A. . B. . C. . D. . 429 343 429 425
Bài 9. Có 4 lô hàng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Biết rằng xác suất để sản phẩm rút
ra từ mỗi lô hàng là sản phẩm xấu lần lượt là 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 . Tính xác suất để trong 4 sản phẩm rút
ra có ít nhất 1 sản phẩm xấu. A. 0, 6978. B. 0, 9768. C. 0, 6976. D. 0, 7967.
- - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - -
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng Lê Văn Hưng
Chuyên đề: Tổ Hợp, Nhị Thức NewTon, Xác Suất ĐÁP ÁN 1 D 2 A 3 B 4 C 5 C 6 A 7 D 8 A 9 C
Trên con đường thành công không có bước chân của những kẻ lười biếng
