
1. CÁC QUY TẮC ĐẾM 13
Vậy có 10 số trong trường hợp này.
Trường hợp 3. Số cần tìm có dạng aba, trong đó a, b ∈ A \ {7}, a 6= 0.
Vì aba chia hết cho 7 nên
[(3a + b) · 3 + a]
.
.
. 7 ⇔ (7a + 3a + 3b)
.
.
. 7 ⇔ 3(a + b)
.
.
. 7 ⇔ (a + b)
.
.
. 7.
Ta có các trường hợp sau:
◦ Với a = 1 thì b = 6.
◦ Với a = 2 thì b = 5.
◦ Với a = 3 thì b = 4.
◦ Với a = 4 thì b = 3.
◦ Với a = 5 thì b = 2 hoặc b = 9.
◦ Với a = 6 thì b = 1 hoặc b = 8.
◦ Với a = 8 thì b = 6.
◦ Với a = 9 thì b = 5.
Vậy có 10 số trong trường hợp này.
Do đó, số các số nguyên dương có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 7 là
128 − (1 + 11 + 10 + 10) = 96.
2 Số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 102.
Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 3 là 999.
Hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 cách nhau là 3 đơn vị.
Vậy có
999 − 102
3
+ 1 = 300 số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3.
Bây giờ ta tính số các số tự nhiên (trong 300 số nói trên) có đúng 2 chữ số giống nhau.
- Có đúng 2 chữ số 0 là các số {300; 600; 900}.
- Có đúng 1 chữ số 0 (2 chữ số còn lại giống nhau) là các số {303; 330; 606; 660; 909; 990}.
- Không có chữ số 0 và có đúng hai chữ số giống nhau. Các số này lập được từ các bộ {1; 4}, {1; 7}, {4; 7},
{2; 5}, {2; 8}, {5; 8}, {3; 6}, {3; 9}, {6; 9}. Mỗi bộ như vậy lập được 6 số chia hết cho 3 (chẳng hạn, với
bộ {1; 4} thì ta có các số 114, 141. 411, 144, 414, 441) nên có 6 · 9 = 54 số.
Số các số tự nhiên có 3 chữ số giống nhau là 9.
Do đó có tất cả 300 − (3 + 6 + 54 + 9) = 228 số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
3 Các số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4. Ta xét các trường
hợp sau:
◦ a20, a40, a60, a80, a04, a08. Mỗi trường hợp nhỏ như vậy có thể lập được 8 số, do đó có
8 · 6 = 48 số.
◦ a12, a32, a52, a72, a92, a24, a64, a84, a16, a36, a56, a76, a96, a28, a48, a68. Mỗi trường hợp nhỏ
như vậy có thể lập được 7 số, do đó có 7 · 16 = 112 số.
Vậy có tất cả 48 + 112 = 160 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4 Trong các số chia hết cho 4 ở trên có các số chia hết cho 3.
◦ Với a20, a40, a60, a80 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 2, 3.
◦ a12, a32, a52, a72, a92 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 1, 3, 3.
◦ a04, a24, a64, a84 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 3, 3, 3.
◦ a16, a36, a56, a76, a96 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 1, 3, 3, 1.
◦ a08, a28, a48, a68 thì số các số chia hết cho 3 tương ứng là 3, 1, 3, 3.
Vậy có tất cả 17 · 3 + 2 + 4 = 57 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5 Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4 là
228 − 57 = 171.