Chuyên đề tổng ba góc trong một tam giác

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC
BÀI 1. TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được các định lí tổng ba góc trong một tam giác.
+ Nhận biết được tam giác vuông và nắm được tính chất về góc trong tam giác vuông.
+ Nhận biết được góc ngoài của một tam giác và nắm được định lí về tính chất góc ngoài của tam giác.  Kĩ năng
+ Vận dụng các định lí trong bài để tính số đo các góc trong và ngoài tam giác.
+ Vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán trong thực tiễn. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí tổng ba góc của một tam giác
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.
∆ABC có A  B   C  180
Áp dụng vào tam giác vuông
Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
Định lý: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Tam giác ABC vuông tại A nên B   C  90 .
Khi đó, hai góc nhọn được gọi là phụ nhau.
∆ABC vuông tại A  B   C  90 Góc ngoài của tam giác
Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. ∆ABC có 
ACx là góc ngoài đỉnh C   ACx  A  B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA ∆ABC, A  90  B   C  90 ∆ABC luôn có
A  B  C  180 ∆ABC có  ACx là góc ngoài tại C   ACx  A  B Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số đo của một góc, so sánh các góc Phương pháp giải
1. Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam Ví dụ: Tính số đo x, y trong các hình vẽ sau:
giác và các định lý về góc khác.
2. Lưu ý cách giải của một số dạng toán quen
thuộc như tổng - hiệu, tổng - tỷ, tính chất của tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau. Hướng dẫn giải
a) Xét ∆ABC có A  B   C  180
a) Áp dụng định lí về tổng ba góc của một tam 65  60   C  180 giác.  
C  180  65  60  55
b) Áp dụng định lí về góc ngoài của tam giác.
b) Xét ∆ABC có y là góc ngoài tại đỉnh C.
Suy ra y  A  B  85  55  140 .
Lại có x  B  180 (hai góc kề bù).
Suy ra x  180  B  180  55  125 . Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A  80 và B   C  20 .
a) Tính số đo các góc B, C của ∆ABC.
b) Gọi AD là tia phân giác của A . Tính số đo của  ADB . Hướng dẫn giải
a) Xét ∆ABC có A  B   C  180 .
Theo giả thiết A  80 nên B   C  100 . Mặt khác B   C  20 (giả thiết). Trang 3    Suy ra:  100 20 B   60. 2  
C  B  20  60  20  40 . 1 1
b) Do AD là tia phân giác góc A nên  BAD   DAC  A  .80  40. 2 2 Xét ∆ACD có 
ADB là góc ngoài đỉnh D nên  ADB   DAC  
ACD  40  40  80
Ví dụ 2. Cho ∆ABC có B  20 ,   C  40.
a) Tam giác ABC là tam giác gì?
b) Gọi AD là tia nằm giữa hai tia AB và AC . Biết  CAD  2. BAD . Tính số đo của  CDA . Hướng dẫn giải
a) Xét ∆ABC có A  B   C  180
 A  180  B  
 C 1802040 120.
Do A  90 nên tam giác ABC là tam giác có một góc tù.
b) Theo giả thiết, ta có  CAD  2. BAD  BAD 1  BAD 1  BAD 1         1 BAD   1      . CAD  BAD   CAD   A .120 40 2 1 2 A 3 3 3 Xét ∆ADB có 
ADC là góc ngoài đỉnh D nên  ADC   BAD   ABD  
ADC  40  20  60 .
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Tam giác ABC có số đo A  75 ,
 B  45 . Góc C có số đo bằng A.  C  90 . B.  C  60 . C.  C  45 . D.  C  75.
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là sai? A.  ABC  90 . B. A   C  90 . C. B   C  90 . D.  C  90  A .
Câu 3: Cho tam giác MNP có  M  80 . Biết 
N  P  40 . Số đo của  N bằng A.  N  75 . B.  N  45 . C.  N  70 . D.  N  60 .
Câu 4: Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Một tam giác chỉ có tối đa hai góc nhọn.
B. Một tam giác chỉ có nhiều nhất một góc tù. Trang 4
C. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc có số đo nhỏ hơn 60°.
D. Trong một tam giác, số đo của mỗi góc luôn nhỏ hơn tổng số đo các góc còn lại.
Câu 5: Cho tam giác ABC có A  75 và B  2.
C . Số đo của góc C bằng A.  C  70 . B.  C  35 . C.  C  40 . D.  C  50 .
Câu 6: Cho tam giác ABC có A  75 . Biết góc B có số đo lớn hơn số đo góc C là 15o.
a) Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC.
b) Gọi BD là tia phân giác của 
ABC với D  AC . Tính số đo của  ADB .
Câu 7: Cho tam giác ABC có AD, BE lần lượt là tia phân giác trong các góc , A B D  BC; E CA .
Biết AD cắt BE tại K và  AKB  110 ,  
KAC  30 . Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC.
Câu 8: Cho tam giác ABC. Tính số đo các góc còn lại của tam giác biết A. A  96 và  C  32 . B. A : B :  C  2 : 7 :1 .
C. B  75 và A :  C  3 : 2
Dạng 2: Các bài toán chứng minh góc Phương pháp giải
Sử dụng linh hoạt các tính chất về góc của một tam Ví dụ: Cho tam giác MNP. Các đường phân giác
giác, góc ngoài tại một đỉnh hay tính chất tia phân trong các góc M, P cắt nhau tại I. giác của góc. MNP Chứng minh rằng:   MIP  90  2 Hướng dẫn giải Xét ∆MIP có  MIP   IMP   IPM  180
Bước 1. Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam
giác, tính góc trong yêu cầu của bài toán.   MIP  180   IMP    IPM  Lại có:
Bước 2. Kết hợp tính chất đường phân giác để  1 IMP  
NMP (do MI là phân giác của  NMP ). chứng minh hệ thức. 2  1 IPM  
NPM (do PI là phân giác của  NPM ). 2 Trang 5 1 Suy ra  MIP  180  .  NMP    NPM . (1) 2 Mặt khác, xét ∆MNP có  MNP   NMP   NPM  180   NMP   NPM  180   MNP (2)
Thế (2) vào (1), ta được  1
MIP  180  . 180    MNP 2   1 MIP  180  90  . MNP 2    MNP MIP  90 
(điều phải chứng minh) 2 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và AH  BC H  BC . a) Chứng minh  BAH   BCA . b) Tia phân giác của 
CAH cắt CH tại K. Chứng minh  AKB   BAK Hướng dẫn giải a) Xét ∆ABC có  BAC  90   ABC   ACB  90 . Xét ∆ABH có  AHB  90   ABH   BAH  90 . Suy ra  ABC   ACB   ABH   BAH  90   ACB  
BAH (điều phải chứng minh). 1
b) Ta có AK là tia phân giác của  CAH nên  CAK   KAH   CAH . 2 Mà  ACB  
BAH (chứng minh câu a) nên suy ra  ACB   CAK   BAH   KAH   ACB   CAK   BAK (1). Mặt khác 
AKB là góc ngoài đỉnh K của ∆AKC nên Trang 6  AKB   ACK   CAK hay  AKB   ACB   CAK (2) Từ (1) và (2) ta có  AKB  
BAK (điều phải chứng minh)
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vuông góc với BC H  BC . Các tia phân giác góc ABC
và góc HAC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng  AIB  90 .
Câu 2: Cho tam giác ABC có BD , CE lần lượt là tia phân giác các góc B, C. Gọi I là giao điểm của BD và CE. A a) Chứng minh rằng   BIC  90  . 2 b) Biết 
BAC  60 . Tính số đo của  BIE . c) Tính số đo của  BIC biết số đo góc 
BAC là trung bình cộng của hai góc  ABC,  ACB .
Câu 3: Cho tam giác ABC và đường cao AH H  BC . Biết rằng  BAH   BCA .
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
b) Biết rằng số đo góc 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc  BAC, 
ACB . Tính số đo các góc của tam giác ABC. Trang 7 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Tính số đo của một góc, so sánh các góc ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1-B 2-C 3-C 4-B 5-B
Câu 1: Xét ∆ABC có A  B   C  180   C  180  A  
 B 1807545  60.
Câu 2: Vì tam giác ABC vuông tại B nên B  90 (A đúng); A   C  90 (B và D đúng). C. B  
C  90 sai vì B  90 nên B   C  90 . Câu 3: Xét ∆MNP có  M   N  P  180   N  P  180  
M  180  80  100 .    Mặt khác 
N  P  40 . Suy ra  100 40 N   70 . 2 Câu 4:
A. Sai vì luôn tồn tại tam giác có ba góc nhọn. Ví dụ tam giác có ba góc bằng 60°.
B. Đúng. Giả sử tam giác có nhiều hơn 1 góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180° (mâu
thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).Vậy trong tam giác có nhiều nhất một góc tù.
C. Sai. Thật vậy xét tam giác ABC có A  60 ,  B  60 ,  
C  60 . Khi đó A  B   C  180 (mâu thuẫn
với định lí tổng 3 góc trong tam giác).
D. Sai. Thậy vậy, xét ∆ABC có A tù. Khi đó góc ngoài A tại A là góc nhọn. Ta có A  B   C   A (mâu 1 1
thuẫn vì góc tù luôn lớn hơn góc nhọn).
Câu 5: ∆ABC có A  B   C  180  B  
C  180  A  180  75  105 . Mặt khác  B  2. C nên 2 C   C  105  3 C  105   C  35 . BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu 6:
a) Xét ∆ABC có A  B   C  180  B  
C  180  A  180  75  105 . 105 15 Mà B  
C  15 (giả thiết) nên B   60 ,  
C  105  60  45 . 2 1 1
b) Do BD là tia phân giác góc ABC nên  ABD   DBC   ABC  .60  30 . 2 2 Xét ∆BCD có 
ADB là góc ngoài đỉnh D nên  ADB   DBC  
DCB  30  45  75 . Trang 8 Câu 7: Ta có  KAC  30
Do AK là phân giác của  BAC nên  KAB   KAC  30 và  BAC  2. KAC  2.30  60 . Xét ∆ABK có  KAB   KBA  
AKB  180  30  
KBA 110  180  
KBA  180  30 110  40
Mà BK là phân giác của  ABC nên  ABC  2. ABK  2.40  80 .
Xét ∆ABC có A  B  
C  180  60  80   C  180  
C  180  60  80  40 . Vậy ∆ABC có A  60 ,  B  80 ,   C  40 .
Câu 8: Xét ∆ABC có A  B   C  180 . a) Có A  96 ,  
C  32 nên B  180  A  
 C 1809632 52. A B C
b) Theo giả thiết A B     : : C  2 : 7 :1    . 2 7 1
A B C A  B  C 180
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:      18 2 7 1 2  7 1 10
Suy ra A  2.18  36 ;  B  7.18  126 ;   C  1.18  18 .
c) Do B  75 nên ta có A  
C  180  75  105 . A C Từ giả thiết A    : C  3 : 2   . 3 2 A C A  C 105
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:     21 3 2 3  2 5
Suy ra A  3.21  63 ;   C  2.21  42 .
Dạng 2. Các bài toán chứng minh góc Câu 1: Trang 9
Xét ∆ABC vuông tại A có  ABC   ACB  90 . (1)
Xét ∆AHC vuông tại H có  HAC   ACH  90 . (2) Từ (1) và (2), ta có  HAC   ACH   ABC   ACB  90   HAC   ABC . 1 1 Lại có  ABI  
ABC (do BI là phân giác của  ABC );  HAI  
HAC (do AI là phân giác của  HAC ). 2 2 1 1 Suy ra  ABI   HAI   ABC   HAC   HAC (do  HAC   ABC ). 2 2 Xét ∆ABI có:  ABI   IAB   ABI   IAH   HAB   HAC   HAB   BAC  90 . Mà  ABI   IAB   AIB  180 . Suy ra  AIB  180   ABI   
IAB  180  90  90 (điều phải chứng minh). Câu 2: 1 1 a) Ta có  IBA   IBC  
B (do BI là tia phân giác B ),  ICA   ICB  
C (do CI là tia phân giác  C ). 2 2 Xét ∆IBC có  BIC   IBC   ICB  180 .  1 1  1 Suy ra  BIC  180   IBC    ICB  180 
B  C 180  B      C(1)  2 2  2
Xét ∆ABC có A  B   C  180  B   C  180  A (2) Thế (2) vào (1) ta có:  1 BIC       A 1       1 180 180 180 90
A  90  A (điều phải chứng minh). 2 2 2 1 1
b) Từ chứng minh câu a, ta có:  BIC  90  
BAC  90  .60  120 . 2 2 Mà ta có  BIE  
BIC  180 (hai góc kề bù). Suy ra  BIE  180  
BIC  180 120  60 . c) Do 
BAC có số đo là trung bình cộng số đo của  ABC và  ACB nên Trang 10  1 BAC   ABC   
ACB hay B  C  2.A 2  Mà A  B   C  180 nên A     180 3. 180 A   60 . 3 A 
Áp dụng chứng minh ở ý a ta có:   60 BIC  90   90   120 . 2 2 Câu 3:
a) Xét ∆AHC vuông tại H có  HAC   HCA  90 (1) Theo giả thiết, ta có  BAH   BCA hya  HAB   HCA Theo (1), ta có:  HAC   HAB  90   BAC  90  AB  AC .
Vậy tam giác ABC vuông tại A. b) Do số đo góc 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc  BAC ,  ACB nên ta có
 A  C 90  C ABC   . (2) 2 2
Tam giác ABC vuông tại A nên B  
C  90  B  90   C . (3) 90   C Từ (2) và (3) ta có:  90   C . 2
Giải phương trình ta tìm được 
C  30 . Khi đó, ta có B  90  
C  90  30  60. Vậy ∆ABC có A  90 ;  B  60 ;   C  30 . Trang 11